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INTRODUCCIÓN A LOS AGUJEROS NEGROS

SOCIEDAD JULIO GARAVITO – PLANETARIO DE MEDELLÍN

Juan Felipe Henao Moreno: Divulgador Científico

De los conceptos que han surgido de la mente humana, a través de la Física Teórica, sin duda ninguno sea tan extraño y enigmático como el concepto de los Agujeros Negros. Constituyen uno de los cuerpos astrofísicos que durante años han generado más curiosidad entre los interesados en el conocimiento del Universo.

INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN

La Física en su cercanía se aparta del sentido común: el tiempo se dilata, el espacio se contrae y la luz se desvía. Su concepción formal se basa en una de las teorías más exitosas, la Teoría de la Relatividad General. Son cuerpos con gravedad máxima y nos llevan a terrenos donde en algunos casos la Física Actual pierde su real significado.


Sociedad Julio Garavito Planetario de Medellín - Marzo 7 de 2015

Muchos físicos teóricos sostienen que los Agujeros Negros son una predicción de la Física de Newton. Esta afirmación se deriva de una hipótesis hecha en 1783, por John Michell la cual señalaba que una estrella muy masiva y muy compacta debería poseer un campo gravitacional tan fuerte que la luz no podría escapar.

ANTECEDENTES HISTÓRICOS (I)

Michell sugirió que debería haber un gran número de estos cuerpos a los que denominó "estrellas oscuras". Esta idea le surgió cuando pensaba en un método para calcular la masa de una estrella. Afirmó que la gravedad de la estrella podría reducir la velocidad de la luz y que midiendo esta reducción se determinaría su masa.



La hipótesis de Michell implicaba la participación de dos conceptos fundamentales: la teoría corpuscular de la luz y la velocidad de escape, ambos propuestos por Newton. Michell se preguntó: ¿Qué pasaría si la gravedad en la superficie estelar fuera tan fuerte que la velocidad de escape fuese superior a la velocidad de la luz?

ANTECEDENTES HISTÓRICOS (II)

La respuesta de Michell sería: si la luz es una partícula debería retornar a la superficie de la estrella y debería ser invisible para cualquier observador lejano ya que no se podría ver porque su luz nunca nos alcanzaría. Sin embargo, muy pocos científicos estaban aptos para entender las ideas avanzadas propuestas por Michell.



Michell que ya conocía el valor de la velocidad de la luz medida por Roemer, halló que para que la velocidad de escape excediera la luz, la estrella debería tener 500 veces la masa del Sol. Michell comunicó los resultados a la Real Sociedad en noviembre de 1783 y éstos fueron publicados en el "Philosophical Transactions" en 1784.

ANTECEDENTES HISTÓRICOS (III)

Después Pierre S. Laplace en 1793 en "El Sistema de los Mundos" y sin referencia al trabajo de Michell, presentó la idea de las estrellas oscuras. Pero al ganar terreno el concepto de la naturaleza ondulatoria de luz, no volvió a publicar nada al respecto. No había forma de relacionar ondas con gravedad y estos cuerpos pasaron al olvido.



CUERPOS OSCUROS DE MICHELL-LAPLACE (I)

Recordemos que la velocidad de escape se define como la velocidad mínima con la cual un objeto es capaz de superar la atracción gravitacional de un cuerpo astrofísico.

A partir de la Física de Newton, Michell y Laplace llegaron a la conclusión que debería existir una "distancia crítica" tal que la luz emitida por la superficie de la estrella nunca saldría.

La luz sale de la estrella y después

regresa a su superficie



El Principio de Conservación de la Energía Mecánica nos dice que la sumatoria de la energía cinética y la energía potencial gravitacional deben conservarse, por lo tanto:

CUERPOS OSCUROS DE MICHELL-LAPLACE (II)

Donde 𝑟 es el radio del cuerpo astrofísico, 𝑀 la masa del cuerpo astrofísico, 𝑣 la velocidad de escape y 𝑚 la masa

del objeto. La velocidad de escape del objeto será:

𝐸𝑇 =1

2𝑚𝑣2 −

𝐺𝑀𝑚

𝑟= 0

𝑣𝑒 = 2𝐺𝑀/𝑟

La 𝑣𝑒 sólo depende de la masa y del radio de la estrella.



A partir de las ideas formuladas por Michell y por Laplace podemos preguntarnos si la luz puede ser atrapada por un campo gravitacional. Reemplazando el valor 𝑐 de la

luz en la expresión para la velocidad de escape se tiene:

CUERPOS OSCUROS DE MICHELL-LAPLACE (III)

Por tanto: ¿Cuál es el radio o que masa debería tener un cuerpo astrofísico para que la velocidad de escape fuese igual a la velocidad de la luz y presente las propiedades de una estrella oscura sugerida por Michell-Laplace?

𝑐 = 2𝐺𝑀/𝑟

𝑟 = 2𝐺𝑀/𝑐2



A partir del número encontrado por Michell, calculemos el radio que deberá tener la Tierra para que la velocidad de la luz fuese igual a la velocidad de escape, así:

CUERPOS OSCUROS DE MICHELL-LAPLACE (IV)

Con este número podemos calcular el radio que deberían tener diversos cuerpos para presentar las características de los cuerpos oscuros propuestos por Michell-Laplace:

𝑟 = 𝑅𝑇 = 2𝐺𝑀/𝑐2 = 9 𝑚𝑚

Masa cuerpo humano: 100 𝑘𝑔 → radio: 1,5x10-22 𝑚𝑚

Masa del Sol: 2x1030 𝑘𝑔 =1 𝑀𝑠 → radio: 3 𝑘𝑚

Masa de la galaxia: 1011 𝑀𝑠 → radio: 3x1011 𝑘𝑚



El número es el correcto, pero la teoría era incorrecta y el método para hallar la masa estelar estaba errado. Hoy sabemos por la Teoría de la Relatividad Especial que la luz es finita. Fue acertado decir que un cuerpo en el cual la velocidad de escape supere la velocidad de la luz es invisible y de allí nació el concepto de "Agujero Negro".

CUERPOS OSCUROS DE MICHELL-LAPLACE (V)

Los cuerpos de Michell-Laplace tenían dificultades: se veían desde cerca y la luz debía ser partícula. Predijeron cuerpos muy extraños, pero no se pueden clasificar como agujeros negros. Estos fueron olvidados con la teoría ondulatoria, la luz dejó de ser partícula y por lo tanto no podría aplicarse el concepto de velocidad de escape.



El concepto de los agujeros negros volvió a tener interés, después de que la Teoría General de la Relatividad mostró que la luz podía ser afectada por la gravedad. Es a partir de allí que se deducen las consecuencias más interesantes para los cuerpos de masa extrema, volviendo a retomarse la vieja idea de los cuerpos oscuros de Michell-Laplace.

AGUJEROS NEGROS EN RELATIVIDAD (I)

A partir de las ecuaciones de campo de Einstein y de sus soluciones, los físicos teóricos retomaron el estudio de los cuerpos oscuros de Michell-Laplace, a pesar de que el mismo Einstein adoptara una actitud escéptica y no creyera que cuerpos tales como los agujeros negros pudieran existir realmente en nuestro Universo.



Einstein nos enseñó que la energía y la materia curvan el espacio-tiempo y que esta curvatura es la manifestación geométrica del campo gravitacional que aquellas generan. Esta idea se resume mediante la siguiente expresión:

AGUJEROS NEGROS EN RELATIVIDAD (II)

El lado izquierdo en términos de curvatura (geometría) y el lado derecho en términos de densidades de materia y energía. En palabras de John A Wheeler se resumiría así: "La materia le dice al espacio-tiempo como curvarse y el espacio-tiempo le dice a la materia como moverse".

𝑅𝜇 −1

2𝑔𝜇 𝑅 =

8𝜋𝐺

𝑐4 𝑇𝜇



Einstein publica la Relatividad General en noviembre de 1915. En diciembre de 1915 el astrofísico alemán Karl Schwarzschild le escribe una carta a Einstein donde le presenta una solución exacta a sus ecuaciones y obtiene el mismo número encontrado por Michell pero esta vez a partir de los postulados de la Relatividad General.

AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD (I)

Schwarzschild demostró cómo se comporta el espacio-tiempo alrededor de un cuerpo masivo y a partir de allí redescubrió el concepto de agujero negro. Sin embargo el mismo Schwarzschild no creyó que un cuerpo con estas características pudiera existir en la realidad y su solución fue considerada una curiosidad matemática.



Schwarzschild utilizó las coordenadas más prácticas, las esféricas (efectos isotrópicos) con estas suposiciones:

AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD (II)

Schwarzschild determinó una solución esféricamente simétrica no trivial en el vacío. El logro de Schwarzschild fue describir el campo gravitacional externo generado por cualquier masa esférica, estática y sin rotación.

Simetría esférica (independencia del tiempo)

Espacio asintóticamente plano (lejos no hay gravedad)

Geometría estática (el cuerpo no presenta rotación)

Espacio-tiempo vacío (excepto en el origen)

No tiene en cuenta efectos de origen cuántico



En esta solución el factor (2𝐺𝑀/𝑐2) se denomina el radio

de Schwarzschild o radio gravitacional, que depende de la masa 𝑀 del cuerpo y no de la información angular:

RADIO O DISTANCIA DE SCHWARZSCHILD

Este número calculado con la Teoría de Einstein, es igual al obtenido con las leyes de Newton. En la Física Clásica, la luz que sale de la estrella sube hasta una altura y cae. En Relatividad la luz se queda atrapada y nunca sale. El número es idéntico pero las matemáticas utilizadas son diferentes y aquí termina el parecido. Un objeto así ya no es el inofensivo cuerpo oscuro de Michell-Laplace sino un agujero negro que deforma el tejido espacio-tiempo.

𝑅𝑠 = 2𝐺𝑀/𝑐2



HORIZONTE DE EVENTOS DEL AGUJERO NEGRO

La esfera cuyo radio es igual al radio de Schwarzschild se llama "horizonte de eventos". Frontera que limita la región donde la luz no puede escapar llamado límite de no retorno.

Su identificación fue realizada por David Finkelstein en 1958 y equivale a una membrana unidireccional donde eventos de un lado no pueden afectar a un observador del otro lado.

Radio de

Schwarzschild

Horizonte de

eventos

𝑅s



Aunque algunos científicos consideraron seriamente los agujeros negros, dos de los más reconocidos expertos en Relatividad, Einstein y Eddington no aceptaron esta idea. Mucha parte de los físicos teóricos se resistía a tomar en serio el revolucionario concepto de los agujeros negros argumentando que no podían formarse en la realidad.

ACEPTACIÓN DEL CONCEPTO DE AGUJERO NEGRO

Esta posición fue cambiando a medida que aparecieron otras soluciones a las ecuaciones de campo de Einstein que apoyaban la existencia de varios tipos de agujeros negros y así el panorama teórico para estos extraños cuerpos astrofísicos fue ganando mucha más aceptación dentro de la comunidad científica.



Otras soluciones exactas a las ecuaciones de campo de Einstein que determinaban cuerpos astrofísicos extremos fueron apareciendo y el panorama fue algo distinto:

DIFERENTES TIPOS DE AGUJEROS NEGROS (I)

Solución de Reissner-Nordstrom: Hans Reissner y Gunnar Nordstrom mostraron en 1918 una solución depende de la masa 𝑀 y de la carga eléctrica 𝑄.



Solución de Kerr: Patrick Kerr presentaría en 1963 una solución estacionaria para cuerpos masivos en rotación que sólo dependen de la masa 𝑀 y del momento angular 𝐽.

Solución de Kerr-Newman: Kerr y Ted Newman en 1965 presentaron una solución que dependen de la masa 𝑀, el momento angular 𝐽 y la carga eléctrica 𝑄.

En resumen, existen cuatro (4) soluciones exactas a las ecuaciones de Einstein, que describen agujeros negros con masa, con o sin carga y con o sin rotación, así:

DIFERENTES TIPOS DE AGUJEROS NEGROS (II)

El agujero negro de Kerr-Newman será la solución más general, pero la más real en el Universo es la de Kerr.

TIPO DE AGUJERO NEGRO MASA (𝑀 ) CARGA (𝑄 ) ROTACIÓN (𝐽 )

Schwarzschild

Reissner-Nordstrom

Kerr

Kerr-Newman



Teniendo en cuenta cada uno de los conceptos expuestos hasta este momento, podemos aventurarnos a proponer una primera definición para un agujero negro, así:

PRIMERA DEFINICIÓN DE AGUJERO NEGRO

El término "agujero negro" fue introducido en 1961 por John A. Wheeler y Remo Ruffini aunque el estudio teórico de estos enigmáticos cuerpos astrofísicos dentro de la Relatividad General presentaba ya una larga historia.

"Es una región del espacio-tiempo que posee un horizonte dispuesto de manera tal que su interior está incomunicado para siempre del exterior, mientras que el exterior tiende a lo lejos a un espacio-tiempo plano, ya que la interacción

gravitacional disminuye con la distancia".



SEGUNDA DEFINICIÓN DE AGUJERO NEGRO

Un agujero negro no significa que tengamos materia compacta, sino que se debe cumplir que su radio, sea menor a su horizonte de eventos. Atendiendo a esta condición, podemos redefinir a un agujero negro así:

Por ejemplo la densidad promedio para el agujero negro supermasivo situado en el centro de la Vía Láctea, que tiene 4x106 𝑀𝑠 tiene una densidad de 102 𝑔/𝑐𝑚3. Esta es una densidad muy similar a la densidad del agua 1 𝑔/𝑐𝑚3.

"Un agujero negro es un cuerpo astrofísico donde la materia es comprimida a una densidad tan elevada, que su tamaño es menor a su horizonte de eventos"



El parámetro más importante de un agujero negro es su masa y desde el punto de vista de la Relatividad General no existe un límite para la masa de un agujero negro. Atendiendo a la masa que poseen los agujeros negros, estos se clasifican en los siguientes cuatro (4) tipos:

CLASIFICACIÓN DE LOS AGUJEROS

Agujeros negros primordiales: 𝑀 ~ 105 𝑘𝑔

Agujeros negros estelares: 𝑀 ~ 5−20 𝑀𝑠

Agujeros negros intermedios: 𝑀 ~ 100−10.000 𝑀𝑠

Agujeros negros supermasivos: 𝑀 ~ 106−109 𝑀𝑠

La masa mínima estaría limitada por la masa de Planck.



Los científicos que estudiaron las posibles soluciones de las ecuaciones de Einstein, llegaron a la conclusión que un agujero negro, sólo presentaba tres parámetros que lo determinan: su masa, su carga y su momento angular. Esto se denominó como el teorema del no pelo el cual fue formulado en 1967 por el astrofísico John A. Wheeler.

TEOREMA DEL NO PELO O DEL CUASI-PELO

Este resultado sorprendente implica que una estrella masiva en su colapso pierde todas sus propiedades al transformarse en agujero negro. Se ha calculado que esta eliminación ocurre en un tiempo extremadamente corto. En este sentido, un agujero negro a pesar de tener una matemática compleja, es un cuerpo demasiado simple.



El descubrimiento de las estrellas de neutrones sólo fue un argumento matemático para soportar la existencia de objetos compactos en el Universo. Pero la demostración real de la existencia de los agujeros negros sólo se hizo en 1971 cuando se detectó una enorme fuente de rayos X (fotones de alta energía) en la constelación del Cisne.

DESCUBRIMIENTO DE LOS AGUJEROS NEGROS (I)

En el rango del visible y con la ayuda de un espectrógrafo, se detectó que la estrella super-gigante azul denominada por HDE226868 tenía líneas de absorción muy corridas, lo que hizo pensar que se debía a un compañero que la hacía mover fuertemente. Este arreglo se llama sistema binario de rayos X formado por un cuerpo compacto y la estrella.



Mediante la determinación de los elementos orbitales del sistema binario, se pudo deducir que la masa del cuerpo compacto debía tener entre 7 y 13 veces la masa del Sol, que estaba situado a 0,2 UA de la estrella y que no emitía un solo fotón en el visible. ¿Podría ser esta la evidencia concluyente de la existencia de un agujero negro?

DESCUBRIMIENTO DE LOS AGUJEROS NEGROS (II)

Dado que la masa máxima que puede tener una estrella de neutrones es de 3 𝑀𝑠, se dedujo que este objeto compacto

debía ser un agujero negro estelar. Por tanto Cyguns X-1 constituye el primer caso en el que se pudo comprobar la presencia de un agujero negro y este descubrimiento es aceptado por la gran parte de la comunidad científica.



En 1974 los radioastrónomos comenzaron a usar la nueva técnica de la interferometría en radio para observar el centro de nuestra galaxia la Vía Láctea. Los científicos descubrieron un cuerpo puntual, Sagitario A* y luego se especuló que podría ser la manifestación de un agujero negro supermasivo situado en el centro galáctico.

DESCUBRIMIENTO DE LOS AGUJEROS NEGROS (III)

Desde las primeras observaciones en 1992, se han podido determinar las órbitas varias estrellas orbitando la región. A partir de estas mediciones y usando las leyes de Kepler, la masa de Sagitario A* se ha determinado con precisión en 4 millones de 𝑀𝑠, lo que proporcionó la evidencia de la

presencia de un agujero negro supermasivo.



Sabemos que los agujeros negros son el resultado de las ecuaciones de Einstein y podríamos pensar en principio que éstos dependen solamente de la gravedad y no de la intervención de otras interacciones de la naturaleza. Sin embargo, conocemos que la Teoría de la Relatividad no puede ser aplicada en cualquier circunstancia.

AGUJEROS NEGROS DESDE LA ÓPTICA CUÁNTICA (I)

Al final, toda la materia que "cae" dentro de un agujero negro termina concentrada en volúmenes muy pequeños, del orden de lo subatómico (singularidad). Por lo tanto, para entender la naturaleza de los agujeros negros se requiere la utilización simultánea de la Mecánica Cuántica y de la Teoría Especial y General de la Relatividad.



Las soluciones a las ecuaciones de Einstein permitieron comprender el funcionamiento de los agujeros negros, pero surgía el inconveniente de hacer compatibles estos cuerpos con la Mecánica Cuántica. La búsqueda de una cohesión entre la Relatividad y Cuántica, revelaría una estrecha relación con las Leyes de la Termodinámica.

AGUJEROS NEGROS DESDE LA ÓPTICA CUÁNTICA (II)

La gran tarea de extender los conceptos termodinámicos al Universo entero, condujo a los físicos a examinar el comportamiento termodinámico de los agujeros negros. Un análisis preliminar mostró, que la Segunda Ley de la Termodinámica para sistemas clásicos podría ser violada en presencia de los agujeros negros.



Esta analogía sería el primer indicio para relacionar los agujeros negros con la Termodinámica Clásica. Bekenstein supuso que para mantener vigente la Segunda Ley, los agujeros negros debían tener entropía. Luego pensó que el aumento del área y entropía estaban relacionadas y más aún, que estas dos cantidades debían ser proporcionales.

AGUJEROS NEGROS DESDE LA ÓPTICA CUÁNTICA (III)

Stephen Hawking propuso en 1971 el Teorema del Área que afirma que el área del horizonte no puede disminuir. A partir de este teorema Jacob Bekenstein sugirió en 1972 que este comportamiento era el mismo que ocurre en un sistema termodinámico en el cual las transformaciones se dan en la dirección en la cual crece la entropía (2da Ley).



Según el Primer Principio de la Termodinámica aplicada a un agujero negro, implicaría que si la temperatura fuera cero, la entropía del agujero negro debería ser infinita dado que 𝑑𝑈 =𝑇𝑑𝑆. Esta situación tendría un cambio radical

cuando Hawking mostró que los agujeros negros emiten radiación si se tiene en cuenta a la Mecánica Cuántica.

AGUJEROS NEGROS DESDE LA ÓPTICA CUÁNTICA (IV)

El principal argumento en contra de las analogías entre las leyes de los agujeros negros y las leyes termodinámicas lo constituía el hecho de que a un cuerpo astrofísico como el agujero negro, no se le puede asociar una temperatura ya que atendiendo a su definición dentro del marco de la Relatividad todo lo absorbe y no emite ninguna radiación.



QUIZÁS LOS AGUJEROS NEGROS NO SON TAN NEGROS



Hawking demostró que un agujero negro además de tener una entropía tiene temperatura y que éste emite radiación como cuerpo negro. Si se pierde masa, el área del horizonte se reduce y disminuye la entropía del agujero negro la cual es compensada por la entropía de la radiación emitida y la Segunda Ley no se viola. Para el caso de un agujero negro de Schwarzschild, la temperatura se define por la ecuación:

Observamos que la temperatura en la que emite el agujero negro es inversamente proporcional a su masa y por tanto no será relevante para los agujeros negros estelares.

𝑇𝐻𝑊 =ℏ𝑐3

4𝜋𝐺𝑀𝑘𝐵

CÁLCULO DE LA ENTROPÍA PARA UN AGUJERO NEGRO



Aceptado el hecho de que por efectos cuánticos un agujero negro presente un espectro térmico y una temperatura no nula, sugiere una conexión con la Termodinámica. Por lo tanto, se puede precisar la expresión de Bekenstein para determinar la entropía de un agujero negro si se tiene en cuenta la radiación encontrada por Hawking, así:

La expresión anterior relaciona la entropía con el área del horizonte de eventos del agujero negro y esta conexión sólo es posible si se tienen en cuenta efectos cuánticos. ¿Pero que implicaciones tiene la radiación de Hawking?

𝑆 =𝑐3𝑘𝐵𝐴

4𝐺ℏ

CÁLCULO DE LA LUMINOSIDAD DE UN AGUJERO NEGRO



La radiación de Hawking hizo cambiar la definición clásica que se tenía de los agujeros negros y demostró que estos emiten como cuerpos negros. Es lógico pensar que a partir de la temperatura, calculemos la luminosidad producida en su horizonte de eventos. De la ley de Stefan-Boltzmann, la potencia intrínseca de un agujero negros está dada por:

Mientras más masa tiene el agujero, menor su luminosidad. Para un agujero negro con la masa de la Tierra, 𝐿=1x10-17 𝑊 y para la masa del Sol, 𝐿=9x10-29 𝑊. Un agujero con masa 961 𝑘𝑔, tendrá la luminosidad muy similar a la del Sol.

𝐿𝐻𝑊 =ℎ𝑐6

30.720 𝜋2𝐺2𝑀2

PROCESO DE EVAPORACIÓN DE LOS AGUJEROS NEGROS



El proceso por el cual un agujero negro pierde su masa por radiación se llama evaporación. A medida que él emite, su masa disminuye y ya que su temperatura es inversamente proporcional a su masa, a medida que pierde su masa, se calienta, se hace más y más pequeño hasta evaporarse. La expresión para determinar el tiempo de evaporación será:

Un agujero negro de masa solar tomaría en evaporarse un tiempo de 𝜏𝐸𝑉=6,6×1074 𝑠, un tiempo mayor que la edad del Universo de 𝜏𝑈=4,3×1017 𝑠. Por esta razón es que los físicos

se interesan en detectar los agujeros negros primordiales.

𝜏𝐸𝑉 =10.240 𝜋2𝐺2𝑀𝑜

3

ℎ𝑐4

En muchas situaciones la Mecánica Cuántica y la Gravedad conviven en paz, pero hay un campo en el cual las dos son importantes y ese campo se presenta cuando las cosas son muy pequeñas y la gravedad es apreciablemente grande. Pues bien esto precisamente es lo que pasa dentro de un cuerpo astrofísico tan exótico como un agujero negro.

CONSIDERACIONES Y COMENTARIOS FINALES

En escenarios muy especiales tendrán tanta importancia la gravedad como la cuántica. Podemos afirmar que la gravitación de Einstein es una aproximación, ya que no describe los aspectos cuánticos asociados a un agujero negro y la verdadera Teoría Física para a estos extraños cuerpos, debería ser la enigmática Gravedad Cuántica.



!!! MUCHAS GRACIAS !!!

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