Capítulo 5

- I

Las leyes del movimiento

... Un pequeño remolcador ejerce una fuerza sobre un barco grande, haciendo que éste se mueva. ¿Cómo puede un pequeño bole mover un objeto tan grande? (Steve RaymerlCORBISJ

•

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

• • •

El concepto de fuerza

Primera ley de Newton y marcos inerciales

Masa

Segunda ley de Newton

La fuerza gravitacional y peso

Tercera ley de Newton

Algunas aplicaciones de las leyes de Newton

Fuerzas de fricción

11 1

.'

Un cuerpo acelera debido i:l una fuerza externa

Definicion de CQuIIJbr o

112

E n los capítulos 2 y 4 d<:scribimos el movimiento en términos de posición , velocidad}' acc­leración, sin consider<lr qllé: po(\I-ía causar ese movimiento. Ahora consideremos la causa, ¿qué podría hacer" que un clle rpo permanezca en reposo}' que otro acelere? Los dos facto­res principales que eS Ilt'cesario considerar son las fuerzas que aClúall sobre un cuc 'l)o Y la masa del cuerpo. Analizamos las tres leyes básicas de movimiento, que se rdieren a ruerzas y masas, }' fueron formuladas hace más de tres siglos por Isaac NewlOl1. Una vez que COI11-

prendamos estas leyes, poclemos contestar preguntas como" ¿qué mecanismo cambia el 1110-

vimic11lo?")''' ¿por qué algunos cuerpos aceleran más que otros?"

5.1 El concepto de fuerza

Por nuestra experiencia de la vida diaria, todos tenemos una idea básica d el concepto de fuerza . Cuando uno cmpl!Ía un plato, ejerce una fuerza sobre él. Del mismo modo, se apli­ca una fuerza cuando se lanza o se patea una pelOla. En estos ~jemplos , la palabra fuena es­tá asociada con actividad muscular y algún cambio en la velocidad de un cut:!rpo, aunque las fue rzas no siempre causan movimienlo. Por ejemplo, cuando una persona se sienL.'l a leer este libro, una fuerza de gravedad actúa sobre su cuerpo, y a pesar de e llo, permanece esta­cionario. Como segundo <:.iemplo, se puede empl!jar (en otras palabras, ejercer una fuerza) una piedra grande y no poder moverla.

¿Qué ruerza (si la hay) hace que la Luna gire en ól·bita alrededor de la Tierra? New­ton con testó éS La }' OIras pregullIas similares al establecer que las fuerzas son las que pro­ducen cualquier cambio en la velocidad de un cuerpo. La velocidad de la Luna no es constante porque se mueve en una órbita casi circular alrededor de la Tie rra . Ahora sabe­mos que este cambio en velocidad es causado por la fuerza gravitacional eje rcida por la Tierra sobre la Luna. Como sólo una fuerza puede causar un cambio en velocidad, pode­mos considerar que una fuerza es aquello qlli' orflsiona 'lile un ruerfJo (lule,.e. En este capítulo estamos interesados en la relación entre la fuerza ejercida sobre un cuerpo y la acelera­ción de éste.

¿Qué ocurre cuando varias fuerzas actúan simultáneamente sobre un cuerpo? En este caso, el cuerpo acelera sólo si la fuerLa net.a que actúa sobre él es diferente de cero. La fue rza neta que acttla sobre un cuerpo se define como la suma vectorial de todas las fuer4

zas que actúan sobre él. (A veces, la fuerza neta se denomina fuerza IOlal, /IIPrza resultante, o júen:.a desequilibrada.) Si la fuerza n eta ejercid a sobre un cuerpo es cero, la acele r ación d e éste es cero y su ve locidad pennanece constan te. De modo que, si la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo es cero, éste permanece en reposo o continlla su movimiento con ve­locidad constante. Cuando la vcloc idarl de un cuerpo es constante (incluyendo cuando el cuerpo está en reposo) , se dice que está en equilibrio.

Cuando se tira de un resorte de espiras, como en la figura 5.1 a, el resorte se esti ra. Cuando se ti ra de un carro con fue rza suficiente para vencer la fricción , como en la figura 5.1b, el carro se mueve. Cuando se palca un balón de fútbo l, como en la figura 5. 1e, el ba­lón se deforma y se po ne en movimiento. Estas situaciones son lOdas ejemplos de una clase de fuerzas llamada fuerws de conlacto. E.lilO es, comprenden comaclO físico entre dos cuer­pos. Otros ejemplos de fucrzas de contacto son la fuerza ejclTida por moléculas de gas so­bre las paredes de un recipientc y la ejercida por los pies sobre el piso.

Fueu.as de: (onWcto

(b)

Fucr7a." de campo

, , , , L ____ _ I

,...-- --1 ,

(d)

-q •

(e)

r ----- ---l , ,

' -:~~~~~'----. ¡ L Hierro

~--------~

( ')

N s

Figura 5.1 Algunos ejemplos de fucn!¡¡s aplicadas. En c¡¡da caso se ejerce una fuerza sobrc el cue rpo qut: está delHro del cuadro ele lílleas punteada.s. Algún agente del ambit' me exter­no a este cuadro (jerce una fuer7a sobr~: el cuerpo.

Otra clase de fllenas, conocida como júerzaJ de mmpo, no implican COntaclO IIsico enu-e dos ctlerpos, sino que aetúan a lI<wés del espacio vacío. La fuerza gravitacional de atracción <:nlre dos cuerpos, ilustrada en la figura S.ld, es un c:;j~mplo de esta clase de fuerza. La [uer­za ~ravilaciona l mamiene cuerpos unidos a la Tierra )' a los planetas en órbilél alred~dor del Sol. Otro ejemplo ,ollll'm de una fuer/.a de campo es la fuerza elcctl"Íca que lIna carga ejer­ce sobre otra (figura f>_ l c) . Estas cargas podrían ser las del electrón)' protón que forman un álOmo de hidrógeno. Un tercer ejemplo d<: una fucrza de campo es la fuerza que un imán de barra ~jen:e sobre ulla pieza de hierro (figura 5.11).

La distinción entre fuen:as de contacto }' fu erzas de campo no es tan marcada como la disertación previa haría pensar. Cuando se examinan a nivel atómico, todas las fue rzas qut:'! clasificamos como fuerzas de contacto n:sultan se r causadas por fuerzas eléctricas (de cam­po) del tipo quc se ilustra ell la figura 5. le. i'o obstante, al crear modelos para fenómenos macroscópicos , es conveniente usar ambas clasificaciones de fuerzas_ Las Linicas fuerz,Is [un­dalfll'l1lales conocidas cn la naturaleza son tOdas fuerzas de campo: ( 1) fuerz.as &mIVifariol/(l{PJ

entré cuerpos, (2) [lIerz.fI.~ elff/muUlff'lélims entre ca rgas eléctricas, (3) flln;;.as lIudeo,-es entre partículas suh::uómicas , }' (4 ) [uenas (/;bi{es que surgen en cienos pmcesos de desintegracióll radiactiva. En física clásica, nos interesatl sólo fuerzas gravitacionales y elcctmmagnéticas,

Medición de la intensidad de una fuerza

Es cOlweniente usar la deformación de UIl resorte para medir una fuer/.-<'l.. Suponga que se aplica una fuerza vertical a UI1<l b,lscula de resorte que tiene un extremo superio t- fijo. como se ve en la figura 5.2a. El resone se alarga cuando se aplica la fue'-J.a, y tina agt!ia en la ca1<Í­tula indica el valor de ];., fuerl3 aplicada. Podemos calib rar el resorte al definir una fuerza de referencia F 1 como la fuerza que hace que la aguja indique 1.00 cm. (Como la fuerza es ulla callf idad vcclOrial, usamos el símbo lo e n letra ncgrim F ,) Si ahora ¡:¡pli camos una fucr­la diferente F~ hacia ab,-~ o. (,lLya magnitud sea el doble de la flLerza de referencia F 1, como

5.1 • El concepto de fuerza 11 3

114 CAP 5 • Las leyes del movimiento

Isaac Newton, Físico y matemático Inglés (1642-1727)

Isaac Newton fue uno de los más brillantes científicos de la historia. Antes de cumplir 30 afias formuló los conceptos básicos y leyes de la mecánica, descubrió la ley de gravitación universal e inventó los métodos matemáticos del cálculo. Como consecuencia de sus leo­rías, Newton pudo explicar los mo­vimientos de los planetas, el subir y bajar de las mareas, y muchas ca­racterlsticas especiales de los mo­vimientos de la Luna y la Tierra. También interpretó numerosas ob­servaciones fundamentales respec­lo a la naturaleza de la luz. Sus aportaciones a las teorías físicas dominaron el pensamiento científi­co durante dos siglos, y aún hoy si­guen siendo importantes. (GiraudonlArt Resource)

ClCJc::J Clc::::Jc:J c::J CI Salida de ai re

Salida eICctr ica

Figura 5.3 En una mesa de aire para hockey. el aire quc sale por los :lgIUe­ros en la superficie pcnnilc qut: el disco se muevo\ casi sin rricción. Si la mesa no está aceleran do. el disco co­locado sohre ella permanecerá en re­poso.

F ey t..lewt ;,

le , , , F,

, FI ________ ~ F

F,

(a) (b) (e) (d )

Figu ra 5.2 I.a natllra leza vcctorial de una f1lerza se p rueba con 111101 báscu la de resane. (a) LJna rucrza F l hacia ab,\jo ala rga 1.00 CI1l el resorte. (b) Una fucI7a F2 hacia ah,.yo ala rga 2.00 cm el resorlc. (l') Cuando F t ) F~ se aplican sillllllt.ineamentc, t:l reso rte se alarga 3.00 cm. (d) Cuando F l es haci:) ab,üo y F2 es hori7olllal , la combinaciún de las dos fue rzas alarga

el rc~orte ~( 1.00 Clll )~ + (2.00 cm)~ = 2.24 cm.

se ve en la figura 5.2b, la aglua se mlleve a 2.00 cm. La figura 5.2c mues tra que el efecto combi nado de las dos fuerzas colineales es la suma de los CfCClüS de las fue rzas individuales.

Ahora SUpOIlg<lIllOS que las dos fuerzas se aplican simul táneamente con F ] hacia al);;uo y

F2 ho rizonlal, como se \'c en la Figura .i.2d. En este ca~o. la aglua indica ~.i.OO cm::! = 2.24 cm. La fue rza indi\idual F que produciría esta misma Icen tra es la suma de los dos VCCLOres F 1 Y

F2, como se describe en la figura 5.2d. ESlO es, IF[ = ~F12 + "22 = 2.24 unidades, y su direc­ción es B = tan - 1( _ 0.500) = - 26.6°. Debido a que experimentalmente se ha verificado que las fue r zas se comportan com o vectores, se d eben usa r las reglas d e la adición vec­torial para obte ner la fuerza ne ta sob re un cuerpo.

5.2 Primera ley de Newton y marcos inerciales

Iniciamos nueSLro estudio de fuerzas <t I imagi nar a lgunas situaciones. Po ngamos u n d isco sobre una mesa de hockey perfecLaIllt'nte nivelada y con a ire (figura. 5.3). Es de espera rse q ue el disco permanezca donde eSlá colocado. Ahonl imaginemos que la mesa de ai re se co­loca en un lren que se mueve con ve locidad constante. Si el disco se coloca sobre la mesa , de nuevo permanece en donde está colocado. Si el ¡" en fuera. a ace lera r, sin embargo, el disco empezaría a moverse a lo largo de la mesa, exactamente como unos papeles pueslOs sobre el t.."1blero de un aulO que caen sobre el as ienlO de lante ro cuando se pisa el ace le­rador.

Como vimos en la sección 4.6, un cuerpo en movi miento se puede observar desde cual­quie r número d e marcos de refe rencia. La prim era ley d e Newton d e l movimiento, a ve­ces llamada ")' dI' inercia, define un conjullTo especial de marcos de referencia llamados IIlfIlTU.\ ilwrciales. [ sta ley se puede expresar como sigue:

Si un cuerpo no interactúa con otJ'os cuerpos, es posible identificar un marco de refe­rencia en el que el cuerpo tiene aceleración cero.

5 2 • Primera ley de Newton y marcos inerciales 115

Es te marco se llama m arco d e refere ncia inercial. Cuando el disco está sobre la mesa de hockey situada sobre el suelo, lo observamos desde un marco de rcferenc ia inercia l, no hay inte raccio nes horizontales del di sco con ningún Otro cucrpo, )' observamos que tiene acele­ración cero en esa d irccción . Cuando es tamos en un u·cn que se mueve a velocidad cons­tante , también observamos e l disco desde un marco de refe rcncia inercial. Cualquie r marco d e referen cia q u e se mueva con velocidad cons tante con resp ecto a un m arco inercial es en sí mism o un m ar co ine rcia l. Clmndo e l tren acelera, sin embargo, se obser­va el disco d esde un m a rco n o ine rcia l d e referen cia porque el observador y ell ren están acelerando con respecto a l marco de re ferencia inercial de la supcrficie terres tre. \1ientras e l di sco parezc.:<\ estar acelerando según nuestra observación, podemos identificar un marco de referencia e n el que el disco tiene aceleración cero. Po r ejemplo, un o bservador p;:lrado fuera del tren en el suelo ve que e l disco se mueve con la misma velocidad que e l tren tenía antes de empezar a acelerar (porque cas i no hay fri cción para "amaITal-" e l disco y e l tren ). Por lo tanto, la primera le)' de NC\ .... lOn se cumple todavía aun cuando las observac.:iones di­gan lo contrario.

l: n marco de re fere ncia que se mueve con velocidad constante con respecto a estre llas distantes , es la mejor aproximación de un marco ine rcial , y para nuestro propós ito pocle­mos considerar nuestro planeta como que es ese marco. La Tie rra no es realmen te un mar­co inercial debido a su movimiento orbita l alrededor del Sol }' su movimiento ro tacional alrededor de Sil propio c;je, los cuales result.an en aceleraciones centrípctas. No obstantc, es­t.as aceleracioncs son pcquel1as en comparación con gy a veces pueden despreciarse. Por es­ta razón, supo nemos que la Tierra es un marco ine rcial , como lo es cualquier 01.1'0 marco unido a ella.

Supongamos que est,lmos observando un cuerpo desde un marco de referencia iner­cial. (Regresaremos a obser .... aciones hechas en marcos no inerciales de refere nc ia en la sec­c ión 6.3.) Antes d e 1600, los sabios pcnsaban que e l estado natural de la materia era e l estado de reposo. Observaciones hechas mos traban que cue rpos en movimiento f1nalm em e dejaban d e moverse. Galileo fue e l primero en tomar un planteamiento diferente al movi­miento }' e l estado natural d e la materia. Realizó experimentos mentales)' concluyó que no es la naturaleza de un cuerpo detenerse y po nerse en movimiento: más bien, es su naturale­za resistirsl' a cambio~ en Sil movimiento. En sus palab ras, "cualquier velocidad que Hila vcz se imparta a un cuerpo en Illovimienlü se mantend ní. rígidamente mientras las causas exte rnas de rCla l-do se remunan"· Por ej cmplo, una nave espacial que se desplace por e l esp"cio abierto con sus motores apagad os, se man tendrá en movimiento por siempre , es to es, no busca un "estado natural- de reposo.

Dada Iluestra suposición de o bse rvacio nes hechas desde marcos d e referencia ine rcia­les, podemos plantear un enunciado más pníclico de la primera ley de Ne\\'ton del movi­miento:

En ausencia de fuerzas externas, cuando se vea d esde un marco de referencia inercial , un cuerpo e n reposo permanece en reposo y un cuerpo en movimiento continúa en movimiemo con una velocidad constante (esto es, con una rapidez constante en línea recta) .

En té rminos más sencillos, podemos decir que cu ando ninguna fuerza actúa sobre un cuerpo, la ace le r ación d e l cuerpo es cero. Si nada actúa para cambiar el mo\'imie lllo del cue rpo, enlonces Sil velocidad no cambia. De la primera le)', concluimos que cualquie r (lm/)o aislado (uno que no inte ractúa con Sil enlOmo) est,í. en reposo o e n mO\1 miento con velocidad consüll1tc. La tendencia de un cue rpo para resistir cualquie r intemo de cambiar su velocidad se llana ine rcia .

Pregunta rápida 5.1 ¿Cuál de los siguientes enunciados es más correc­to? (a) Es posible para un cuerpo tene r movimiento en ausencia de fuerl.a5 sobre el cuerpo. (b) Es posible tener fuer/..3.S sobre un cue rpo en ausencia de movimiento del

cuerpo. (c ) Ni (a) ni (b ) es correcto. (d ) Tanto (a) como (b) son correctos.

Marco de referencia inercial

• ¡ADVERTENCIA!

5.1 Primera ley de Newton La primera ley de ~ewlon 110 dice lo que ocurre para un cuerpo con jllena neta ceIV, ~slO es, fUt:!rzas múl­tiples que se cancelan; dice lo que ocurre en ausencia de unajl/en.a. Ésta es una su til pero importante diferencia que nos pemlite defini r una fuerza COIlIO aquello que pro­duce un ca!nbio en el mo\;miento. La descripción de un cuerpo b;üo el efeCto de fue rlas que se equili­bran, se eSlud ia en la segunda Le}' de Newton.

Otro enunciado de la primera ley de Newton

116 CAP 5 • Las leyes del movimiento

Def L on d nas

Masa y peso 1151 n cantu I e diferentes

5.3 Masa

Imaginejugar a a trapar ya sea un balón de balonccsw o una bo la d e boliche. ¿Cuál bola tie­ne más posibilidades de seguir movlt:ndose cuando tratamos de atraparla? ¿Cuál bola liene m<l)'or tendencia a perman ecer sin movimie nto cuando imema lani'..4:l rla? La bola de boliche es más resisten le <l cambios en su veloc idad que el ba lón de baloncesto; ¿cómo podemos cuantificar es te cOllcepto?

Masa es una propiedad de un cuerpo que especifica cuánta resistencia presenta un cuer­po a cambios en su velocidad. y. como aprendimos en la sección 1.1 , la unidad de rnaq del SI es el kilogramo. Cuanto mayor sea la masa de un cuerpo, menor es la aceleración del cuerpo bajo la acción de una fuerza aplicada dada.

Para describir la masa cuantitativame nte, comenzamos por comparar e n forma experi­men tal las acele raciones que una fuerza dada produce sobre difen.:: ntes cuerpos. Suponga que tina fuerza que ,lCtúa sobre un cuerpo de Illasa mi produce una aceleración al , y la mis­ma fuerza que acrúa sobre un cuerpo de masa 11lz produce la aceleración 3 2. La razón entre las dos masas se define como la razón inversa en tre las magnitudes d e las aceleraciones pro­ducidas por la fueo ... \:

~;;: tl<l

tn2 al (5.l )

Por ejemplo. si una fuerza dada que aC lúa sobre u n cuerpo de 3 kg produce una acelera­ció n de 4 111 / s2, la misma fuerza aplicada a un cuerpo de 6 kg produce una aceleració n de 2 l11 / s2. Si un cuerpo tiene Ilna masa conocida, la masa de l otro cllel'P0 se puede obtener d e las Ill ediciones de acelerac ión .

La masa es una propiedad inherente de un cuerpo y es independiente del en· torno d e l cue rpo y d el método empleado para medirla. Dc igual modo, la masa es una cantidad escalar y por lo tamo obedece las reglas de aritmética o rdinaria. ESLO es, varias masas se pueden combinar e n forma numérica simple. Por ejemplo, si combinamos una masa de 3 kg con una de 5 kg, la masa total es 8 kg. Podemos verificar este resultado experimen talmente al com parar las aceleraciones que una fuerza. conocida da a va rios cuer­pos por separado con la aceleración que la Inisma fuerza da a los mismos cuerpos combina­dos como una un idad.

La Illasa no debe confundirse con el peso. Masa y peso son dos cantidades diferen­tes. El peso de un cuerpo es igual a la magnilud de la fuerza gra\~tac i ona l ejercida sobre el cue rpo y varía con su ubicació n (vea la sección 5.5). Por ejemplo, ulla persona que pese 180 libras en la Tierra pesa sólo unas 30 libras en la Luna. Por o tra pane, la masa de un cuerpo es igual en todas partes: UlI o~jelO que tenga una masa de 2 kg en la Tie rra también liene una masa de 2 kg en la Luna.

5.4 Segunda ley de Newton

La primera ley de NeWlOTl explica lo que le oculTe a un cuerpo cuando n inguna fuerza ac­túa sobre é l; permanece e n reposo o se mueve en línea recL:'1 con rapidez constan te. La se­gunda ley de Newton responde a la pregunta de qué es lo que ocurre a un cuerpo que l.iene una fuerza resultante diferenle d e ccm ac tmmdo sobre é l.

Imaginemos que el estudiante reali za un expe rimento donde emplua un bloque d e hie­lo sobre una superficie horizonta l sin fr icc ión . Cuando ej erce alguna fuerla horizoTllal F sobre e l bloque, t:sle se mueve con a lguna aceleración a . Si aplica una fuerza dos veces mayor, e llcuelllra que la aceleración del bloque se duplica. Si aumenta la fuerla apl icada a 3F , la aceleración se trip lica, y así suces ivamenle. De estas observaciones concluimos que la aceleración d e un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza que actúa sobre é l.

La ace leración d e un cuerpo también depende de su masa. como se indica en la sección precedente. Podemos entender esto si conside ramos el siguiente experimento. Si se aplica lIna fue rza F a un bloque de hielo sobre una supe rficie sin fr icción , el bloque expeJ"imenm alguna acelerilción a . Si la masa del bloque se duplica, la misTllil fuerza aplicada prodl lce una aceleración a / 2; si la masa se triplica. la misma fuerza aplicada produce una acele ra-

ción a / 3, y así sucesivamente, Según es ta observación, concluimos que la m agnitud d e la acele ración d e un objeto es inve rsame n te pro porciona l a su masa .

Estas observaciones se resume n en la segund a ley de Newton:

Cuando se ve desde un marco de refe rencia inercial, la aceleración .de un objeto c"di­rectamellle proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él, e inversamente proporcio­nal a su masa.

Por lo tanto, podemos relacionar masa, acele ració n y fuena por medio de l siguicme enunciado matemáti co de la segunda ley de Newton: I

(5.2)

EI1 los enunciados textual y Illalemático de la segunda ley de Newton , hemos indicado que la ace leración se debe a la /u('rza neta l F que actúa sobre un objeto. La fue rza neta sobrc un obje to es la sUllla veClOl;a l d e todas las fuenas que actúan sobre el objetO. Al resolve r un problema con e l uso de la segunda ley de Newton, es imperativo determinar la fuerza neta correcta sobre un objeto. Puede habe r nUlllerosas fuerzas actuando sobre un objeto, pero sólo ha)' una aceleración.

Observe que la ecuación 5.2 es una expresión vectorial y por lo lanto es equivalente a tres ecuaciones de componemcs:

Pregunta rápida 5.2

'V F = n/a L.J ¡ ¡ (5.3)

Un cuerpo no expe¡;menta aceleración . ¿Cuál de lo si-

guiente no fJU.ede ser verdadero para el cuerpo? (a) Una sola fuerza actúa sobre e l cuer-po. (b) Ninguna fuerz:a actúa sobre el cuerpo. (e) Actúan fuerzas sobre el cuerpo, pero se cancelan.

Pregunta rápida 5.3 Un cuerpo experimenta una fuerza neta y en respuesta exhibe aceleración. ¿Cuál de los siguientes enunciados siemjm es verdadero? (a) El cuerpo se .mueve en la dirección de la fuerza. (b) La aceleración es en la misma direc-

ción que la velocidad. (e) La aceleración está en la misma dirección que la fuerza. (d) La velocidad del cuerpo aumenta.

Pregunta rápida 5.4 Usted empuja un objeto, inicialmente en reposo, sobre

un piso sin fricción con una fuerza con~tante durante un intervalo de tiempo at,lo que resulta en una rapidez final de u para el cuerpo. Se repite el experimento, pero con una fuerza que es el doble de grande. ¿Qué intervalo de tiempo se requiere ahora para

alcanzar la misma rapidez final VI (a) 4 ót (b) 2 Ót (e) Ót (d) ót/ 2 (e) Ót/ 4.

Unidad de fuerza

La un idad de fue rza del SI es el newton, que se define como la ruerza que , al actuar sobre un cuerpo de masa 1 kg, produce una aceleración de 1 m/ s2. De esta definición )' la segun­da ley de :\{'wtoll, \'cmos que el neWlon se puede expresar e n lénninos de las siguie llles uni­dades fu ndamenta les de mas..'1., longitud y ti empo:

I N ~ I kg·m / s2 (5.4)

La ('cuaóón [l.:! es \~..ílida s610 cuando la rapidel del cuerpo es Illucho meno r que la rapidez de la hll. Tratamo.., la situación rdativist¡¡ en el capítulo 17 del \'olUlllcn 11.

5.4 • Segunda ley de Newton 117

.A iADVERTENCIA!

5.2 La fuerza es la causa de cambios en movimiento

La fllc l-La no rausa movi mien to. Po­de mos tener movimiento en ausen­cia de fUerLa5, como se desClibc en la primera ley de NeWlon. Fuerl.a es la causa de cambios en mo\'imien­lO, como se mide PUl' la acelcración.

e('JnOal,u lor

eyunda ley de Newton t é COI S

... ¡ADVERTENCIA!

5.3 ma No es una fuerza L.a ecuación 5.2 1/0 dice que cl pro­duce lila sea una fuerza. Todas las fuerzas sobre un objeto se Slllllan vet:torialmclllt' para generar la fuena neta en el lado izquitTdo de la ecuación. Esta fue rLa neta se iguala entonces al producto de la !llasa del objeto y la ace leración que resulta de la fllena neta. No in­cluya una "fnena lIla

K en su análisis de las fucrzas sobre un objeto.

newtc n

118 CAP. 5 • l as leyes del movimiento

Tabla 5.1

Unidadt's dt> m<1.O;<1. <1C:«.'I("raC'Íon y fut' rla3

Sistema de Unidades Masa Aceleración Fuerza

SI N ~ kg mis' Sistema inglés de ingenieña

kg slug lb :: slug' pie/s2

1.

.• I i\" o:: 0 .225 lb.

En e l sistema inglés de ingeniería , la unidad de fuerza es la libra, que se define como la fu e rza que, cuando actúa sobre una masa de 1 slug,2 produce una aceleración de I pie/s2:

I lb = I slug· piel s' (5.5)

Una aproximación convenicl1lc es que IN """ ~ lb. Las unidades de masa, ace leración y fuerza se resumen en la tabla 5. 1.

11111 J' s., Un dlKocle hocII8rque ecelera

Un disco de hockey que tiene una masa de 0.30 kg se desli za sobre la superficie horizontal sin fricc ión de una pista de hie lo. Dos bastones de hockcy golpean simuháncamelllc al disco, ejerciendo sobre éste las fuerzas que se ilustran en la figu ra 5.4. La fuerza F 1 tiene una magnilud de 5.0 N, Y la fuerza F2 tiene una magn itud de 8.0 N. Dete rmine la magnitud )' direc­ción de la aceleración del disco.

Solución ConcefJluolice este problema al eSludiar la figura 5.4. Debido a que podemos detenninar tilla fuerza nem y buscamos una acelerdción, rlasificamos este problema como uno que se puede resolver con la segunda ley de Newtoll . Para analizar el problema, descomponemos los vccLOres de fuerr2 en componen­tes. La fuerza ne ta que actúa sobre el disco en la dirección xes

LFx = I~x + ~x:: "i cos( - 200) + F2 cos60°

~ (5.0 N) (0.940) + (8.0 N) (0.500) ~ 8.7 N

La fu erza ne ta que aClúa sobre el disco en la dirección yes

L F, ~ F" + f ;y ~ 1) sen (-20°) + f:' sen 60°

~ (5.0 N)(- 0.342) + (8.0 N) (0.866) ~ 5.2 N

Ahonl usarnos la segunda ley de Newton en forma de componen': te para hallar los componentes xc y de la ace lerdción del disco:

:i.Fx 8.7 N Gx ~ ----;;;: ~ 0.30 kg 29111/ s2

};F, 5.2 N ~J = --y = -=--==-,--

m 0.30 kg

La ace lerdción tiene una magnitud de

y su dirección relativa al eje x es

Panl finaliza r el problema, podemos gráficamellle adicionar los vcc tores de la figura 5.4 para verificar lo razonable de nuestra respuesta. Debido a que la acelerdción veclOrial es a lo largo de la dirección de la fuerza resulta llle, un dibujo que mues tre la fuerza resultante nos ayuda a ve rificar la validez de la respuesL.1.. (¡ Inténtelo!)

¿Qué pasarfa si? Suponga que tres bastones de hockey gol­pean simultáneamente al disco, con dos de ellos ejerciendo las fuerzas que se muestran en la figura 5.4. El resultado de las tres fuerzas es que el disco de hockey no muestra aceleración. ¿Cuá­les deben ser los componentes de la tercera fuerza?

Respuesta Si ha)' aceleración cero, la fuel7.a neta que actúa sobre el disco debe ser cero. Por lo tanto, las tres fuen.as deben cancelarse . Hemos hallado los componentes de la combina­ción de las dos primeras fuerr..as . Los componentes de la ter­cera fue r-la deben ser de igual magnilud }' de signo contrario paril que todos los componellles sumen cero. En consecuencia, F3x = -8.; N, Fs) = -5.2 N.

5.0 N 8.0 N

I--'--,---x

Figura 5.4 (Ejem plo 5.1) Un disco de hockey que se mueve en

8 = tan - 1( ::) = tan - I

( ~~) = 30° una superficie si n fricción acelera e n la dirección de la fuer7..a J _________ '_C_s_ul __ ta _nt_e_F_t_+ __ F_,_. __________________________________ _

2 El slugcs la unidad de mas.a dt'1 sislema inglés de ingen ie ría y su similar en SI es el kilogramo. Como la mayor parle de los cálcul os en nueslro cswdio de meC<Ínica clásica es en unidades del SI. el slug Ta­

ras veces se usa en eSle lex to.

5.5 La fuerza gravitacional y peso

Estamos conscientes de que todos los cuerpos son atraídos a la Tierra. L'1 fue rza de atrac­ció n ejerc ida por la Tie rra sobre un cuerpo se llama fuerza gravitacional F g; está diri­gida hacia el centro de la ,};ierra.3 y su magnitud se denomina peso del cue rpo.

En la sección 2.6. vimos que un cuerpo en ca ída libre experimenta ulla aceleración g hacia e l centro de la Tierra. Al ap licar la segunda le)' de NewLO n ¡ F = ma a un cue rpo en caída libre de masa m, con a = g y ~F = F Ir' obtenernos

Fg = mg (5.6)

Por lo tanto, el peso de un o hjc to , estando definido como la magnilUd de F g' es igual a mg. Debido a que depende de g, el peso varía con la ubicación geográflca. Como gdism inu­

)'e con una distancia creciclllc desde e l centro de la T ierra, los objeLOs pesan me llas a ma}'(}­res altitudes que al n ivel del m ar. Por c:je mplo, una ca rga d e 1 000 kg de ladrillos empicados e n la construcción del ed ificio Empi re Sl.:'lte de Nueva York pesaba 9 800 N al ni vel de la ca­ll e. pero pesaba 1 N me nos cuando rue elevado desde el nivel d e la banqueta hasta lo alto del edificio. Como otro ejemplEl , suponga que un estudiante tiene una masa de 70.0 kg . El peso del estudialHe en un lugar dond e g = 9.80 m / s2 es Fg = mg = 686 N (unas 150 li bras). En lo alto de una l11o nl aiia, sin embargo, donde g = 9. 77 m/s2 , el peso del estudiante es de sólo 684 N. Por lo lanto, si se dt:sea perder peso sin ponerst: a dicta , sub¡l a una mon l¡:uia o pésese a 30 000 pies durallle un vuelo e n avión.

Co m o e l peso es proporcional a la masa, podemos comparar las m asas de d os obje tos al medir sus pesos en ull a báscula de reSO rte. En un lugar dado (en el que dos o bjetos está n sometidos al mismo valor de g), la razó n entre los pesos de los d os objelOs es ig ual a la ra­zón entre sus masas.

La ec uación 5.6 cuantifica la ruerza gravitacional sobre el objeto, pe ro o bsén:ese que esta ecuació n no rt:qu iere que t:1 obje to eS lé e n movimie nto. Incluso para un o bjeto esta­cionario, o un obje to sobre e l cual actüen varias rue rzas, la ecuación 5.6 se puede usar pa­ra ca lcula r la magnitud de la ruerza g ra\'itae ional. Esto resulta en un sutil cambio e n la intc rp ,·etaeión de 11/ en 1<1 ecuación. La masa In de la ec uación 5.6 está desem peliando el pape l para dete rm inar la inte nsidad de la atracció n gravitac iona l entre el obje to }' la Tie­rra. És te es un papel por comple to dife re nte al desc rito antes para masa, el de m edir la resistencia a cambios en movimie nto e n respuesta a una rue rza ex te rna. Por_lo tanto, ll a­mam os 'fIl e n este tipo de ecuación a la masa gravitacional. A pesar d e q ue es ta cantidad es d ife rente en comportamiento desde masa inerc ial. es una de las concl usiones experi­m e lltales en la dinámica de Newton q ue la masa g ravitacional )' la masa ine rcia l ti enen e l mismo valor.

, Pregunta rápida 5.5 Una pelota de béisbol de masa m es lanzada hacia arriba

con alguna rapidez inicial. Una fuerza gravitacional es ejerc ida sobre la pelota (a) en

todos los puntos en su movimiento (b) en lodos los puntos en su movimiento exeeplO

en el pumo más aIlo (e) en ningún puma en su movimiento.

Pregunta rápida 5.6 Suponga que usted está hablando por un teléfono inter­

planetario a su amigo que vive en la Luna. Él le dice que acaba de ganar un Newton de

oro en un concurso. Emocionada, le dice que usted entró a la versión terrícola del mis­

mo concurso y también ganó un NewlOn de oro. ¿Quién es más rico? (a) Usted, (b) su J amigo, (e) usted y su amigo son igualmente ricos. l

3 Este en \lnciado hace caso omiso de que la distribución de mas.1 de la Tie .... a no es p~rfeClamcntc esf~rica.

5.5 • la fue rza gravitacional y peso 119

... ¡ADVERTENCIA!

5.4 "Peso de un cuerpo" Estamos fa milia rilados con la [rase "el peso de UIl objeto." No obstan­le , el pt:so no es una propit:dad in­hert:lllc de un ol~jeto sino que más bien es una medida ele la fuerza g .. avitaciona l e nu'e el objeto}' nues­tro planela. En consecuencia , el pe­so es una p ropiedad de un sistema de elementos: el ol~jelO r la Tier ra.

... ¡ADVERTENCIA!

5.5 Kilogramo no es una unidad de peso

Es posible que ha>'a visto Ir¡ "con­versión n de 1 kg = 2.2 lb. A pesar de exp .. esiones popula .. e~ de pesos t:xpresados t:n kilogramos , el kilo­gramo no es Ulla unidad de peso. es IUl" unidad de masa. El en unciado de cOlwc rsió n no es una igualdad: es una eqlllvalenria que es válida sólo sobre la supe rfi cie terrestre .

La unidad de supeni\'encia fija a la C'spalda del astronau ta Ed\\'in Aldrin pesaba 300 IibrdS C'1l la Tierra; du ran­le su capacitación ulilizó un rnoddo de 50 libras. Aun cuando esto efecti­\'am CTlIC simuló el peso reducido que la unidad tendría en la Luna , no si­muló corrcnamente la masa constan­\t •. Er,l tan dificil acelerar la unidad ('1ui l.á al saltar o dar vuelta de p .. on­to) cn la Luna como Cilla Ticrra.

120 CAP 5 • Las leyes del movimiento

!,lImpio concapluld 11.2 ¿Cuánto pesa usted en un elevador? __ _

Es probable que usted haYd tenido la expe ri encia de estar de pie en un elevador que acelera hacia arriba cllando sllbe a un piso supe rio r. En este caso, usted se siente tll ,ís pesado. De he­eho, si ustcd está de pie en una báscula de ba ilo en ese momcn­to, la báscula mide una fuerza que li ene Hna magnitud que es mayor que el peso de usted. Por lo tan to, ti ene evi dencia tangi­ble )' medida que lo lleva a pensar que es más pesado en esta si­tuac ión . ¿J::'s más pesado?

Solución Ao. su peso no ha cam biado. Pan. dar la aceleración hacia arriba, el piso o la b;:íscula deben eje rcer en sus pies una fllerza hacia arriba que sea mayor en magnitud que el peso de lIsted . Es esta fue l-la ma)'or que usted siente, lo que se interpre­ta como sentirse más pesado. La báscula indica esta fu erza hacia arriba, no el peso de usted, y po r tanto su lec tura au­menta.

Tercera ley de Newton

5.6 Tercera ley de Newton

Si usted pres iona co n un dedo contra una esqu ina de este libro de texLO, e l libro le devuelve el empujón y le hace una pequeña hue lla en la pie l. Si usted p resio na más, el li bro hace lo mismo)' la hue ll a en su piel es un poco mayo r. Este sencillo expe rimento ilustra un princi­pio general de importa ncia crítica conocido como tercera ley de Newton:

Si dos objetos interactúan, la fuerza F 12 ejercida por el objeto 1 sobre e l obje to 2 es igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza F21 ejercida por e l objeto 2 sobre e l

objeto 1:

15.7)

Cuando sea impon.allle designar fue rz..'ls como inte racc io nes entre dos obj etos. usa remos esta nomción de subínd ices. d onde F.,b significa "la fuerza ejercida /Jor a Job" b." La te rcera ley, que se ilustrd en la figura S.5a, es equiva lcm c a expresa r que las fuerzas siempre se presen­tan e n pares, o que no puede existir una fue rza aislada individual. La fuer-za que e l obje­LO I ejerce sobre el obje to 2 puede llamarse f uerut de acción y la fu cl-la del objeto 2 sobre el objeto 1, juma de rearrión. En realidad , cua lq uiera de las dos puede ll amarse ruerza de ac· ció n o de rC<lcció n. La fuerza de acción es igual en magnitud a la fuerza de reacción y opuesta en dirección. En todos los casos, las fuerzas de acción y reacción actúan so­bre objetos diferentes y deben ser del mismo tipo. Por ejemplo, la fue rza que actúa sobre un proyectil en caída libre es la fue l-la gravitac iona l eje rcida por la T ie rra sobre el proyectil Fg == F'l p (E == Tierra. p == proyecLi I), y la magn itud de esta fu erza es mg. La reacción a esm fuerza es la fu erza gravitacional ejercida por el proyectil sobre la Tierra F pT = - F Tp. La fuelLa de reacció n F pT debe acelc l,-)f la T ierra hacia el proyectil exac tamente como la fuerza de ac­ción FTp acelera e l proyec til hacia la Tierrd, Sin embargo, como la Tien~d. tiene u na masa tan grande, su ace leración debida a esta fue rza de reacción es tan pequeña que es insign ificante .

la) lb)

Figura 5,5 Tercera ley de j\'ew(on. (a) L.'l fucr7.a F12 ejercida por el o bjclo l sobre el o bjeto 2 es igual e n magn ilud r o pnC.<ita en din~cción a la fuerla F21 ejercida po r el objelo 2 sobre c l o bjeto l . (b) Ll fue rza FI1IL ejercid a por e l martillo sobre e l clavo. es igual c:n

magnit ud )' opuesta a la fuerza F.,u eje rcida por el cl avo sobre e l marti llo.

(a)

Figl:lra 5.6 (a) Cuando nll monitor (\1.: computadora est<Í en reposo sobre una mesa. las . fut' 17 .• ls que act(¡an sobre el monitor sonia fuen:a normal n )' la fuc¡7.a graúLacional Fg. La

reacción ¡¡ n es la fuerza F mlll t.:jercida por el monitor sohre la mesa. l..a reacción a F¡l"es la fue rza FUI r ejercida por el monitor sohre la Tierrd. (b) Diagrama de cuerpo libre para elmo­nilOr.

(b)

O tro ejemplo de la tercera ley de :'\:ewton se ilustlJ. en la figura 5.5b. La fuerza F lIlc ejer­cida por el martillo sobre el clavo (la acción) es igual en magnitud}' opuesta a la fuerza F cm ejercida por el clavo sobre el manillo ( la reacción). Esta últilna fuerza detiene el movimien­to hacia delan te dclmani llo cuando golpea al c1am.

El estudialHe experimelHa la terce ra ky directamente si con el pUi10 golpea una pared o patea un balón de fútbol con el pie deslludo. Pucde sentir 1<1 fuerza dcvuelta sobre su pu­ño o pie. Debe ser capaz de idelHific¡.¡r las fllerzas de acc ión r reacción en estos casos.

L\ Tierra ejerce una fuerza gn\\iLacional Fg sobre cualquier objeto. Si el obje to es un monitor de computadora en re poso sobre una mesa, como e n la Hgu r¡.¡ 5.6a, la fuerza de rt!acc ión a F K = F Tm es la fuena ejercida por el monitor sobre la Tierra F mT = ~FTIl1' El monilOr no acelera porque es sostenido por la mesa. La mesa ejerce sobre el monitor una fu e rza hacia arriba n = Fmnp llamada fuerza normal." Ésta es la fuerza que impide que el monilOr caiga por la mesa; puede ten e r cua lCiuie r valor necesario, hasta el pumo de rom per la mesa. De la segunda le), de :'\ewlOn, vemos que , como el monitOr tiene aceleración cero, se ded uce que LF = n ~ !IIg = 0, o n = mg. La fUt'rza nonnal equil ibl-a la fuerza gravi t<1c io­nal sobre el mon iwr, de modo que la fuerza neta sobre el monitor es cero. La reacción a n

es la fuerza eje rcida por clllluni to r h:l.cia ab,-~o sob¡'c la mesa, F mm = - F mm = - no

Nótese que las fuerzas que aClúan sobre el monitor son F.d' n, como se mueSlra en la fi­gura 5.Gb. Las dos fuerzas de l'cacción FmT )' F m,u son ~jcrcidas sobre objctos que no son el monitOr. Recue rde, las dos fuerzas e n un par d e acción-reacción siempre actúan sobre dos obje tos diferentes.

La figura 5.6 ilustra U11 pa.¡;o sumamente imporulnte ¡.¡ I resolver problemas que com­prendan fuerzas . La figura 5.6a muestra muchas de las fuerzas en la situación -las que ac· túan sobre el monitor, IIna actuando sobre la mesa, y una actllando sobre la Tierra. La fi gura 5.6b, en contraste, muestra sólo las fuerLas que actúan sobre un objelo. el monitor. É~­te es un dibl~o de gran importancia llamado diagrama de cuerpo libre_ Cuando se anali­cc un cuerpo sometido a fue rz¡\S, estamos interesados en la fuerLa neL.'\ que actúa sobre el cuerpo, que modelamos como una partícula. Entonces, un diagrama de cuerpo libre 11 0S

a}'uda a ais lar sólo aquellas fuerzas sobre d cuerpo}' eliminar las otras fuerzas de nuestro amí li sis. El diagrama de cuerpo li b re se puede'simpli fi ca r aún más al represelllar el cue rpo (por ejemplo el monitor) como tina panícula, COI1 só lo trazar un punro.

,\ 'Ol"l/Ia! en ('~tl' contexto ~iKnifica ImjJl>lIf! indm:

5 S • Tercera ley de Newton 121

... ¡ADVERTENCIA!

5.6 n no siempre es igual amg

En la situación que se ilustra en la figura :;.6 y en muchas otras. en· cont ramos que 11 = mg (la fue rza normal tiene la misma magnitud que la fuerza gra\~tacional ) . Sin embargo. esto no (,J cieno gcnerdl. mente. Si un ol~jdo est<Í sohre un plano incl inado, si ha)' fuerzas apli­cadas con componentes vertica les, o si hay un~ aceleración vertica l dd ~ i ~ tema , elHon<.:es 11 '* 11/[(. Siempl'l' apl ique la segunda ley de Newton para hallar la relación entre 11 y mg.

Definición de fuerza normal

... ¡ADVERTENCIA!

5.7 Tercera ley de Newton

Éste cs U I1 concepto tan importante ya vcces mal comprendido que lo l"e peLimos aquí en una Adve rten­cia. Las fuerzas de acción y reac­ción de la terce ra ley de :-.icwton actúan sobre objetos difern¡les. Dos fuerzas que actúen sobre el mismo objeto, incluso si son iguales en magnitud y opuestas en di rección, 1/0 pUl'dm ser un par de acción­n~¡¡cción,

122 e W 5 . las leyes del movimiento

.6. ¡ADVERTENCIA!

5.8 Diagramas de cuerpo libre

El paso If/(h il1lp011anle para resolver un problema con el uso de las leyes de Newton cs tl<lLar u ri dibtDO apropiado: el diagrama de cuerpo li bre. Ao;egürcse de trazar sólo las fue rzas que aClúan sobre d obje lo que se esu1 aislando. Asegúrese de traza r lodas las fue l-las que aClll .. l n sobrc el objc to, incluyendo cuales­quie ra fu erzas de cam po, por ejem­plo la fue rza gravitacional.

I

Pregunta rápida 5.7 Si una mosca choca con e l parabrisas de un autobús que

se mueve con rapidez, ¿cuál objeto expe rimenta una fuerza de impacto con mayor mag-n itud? (a) la mosca (b) el autobús (e) la misma fuef7.a es expe rimentada por ambos.

Pregunta rápida 5.8 Si una mosca choca con e l parabrisas de un au tobús que

se mueve con rapidez, ¿cuál obje to experimenta la mayor acele ración? (a) la mosca (b ) e l au tobús (e) la misma acele ración es expe rimentada por ambos.

Pregunta rápida 5.9 De lo siguiente, ¿cuál es la fuerza de reacc ión a la fue rza

gravitacio nal que ac túa sobre e l cue rpo de usted cuando se sienta en una si ll a? (a) La fuerza no rmal ejercida por la silla (b) La fuerza que uSled eje rce hacia abajo sobre e l asiem o de la silla (c) Ninguna de estaS fuerz~.

Pregunta rápida 5.10 En un d iagnuna de cuerpo libre para un obje to indivi-

dua l, usted traza (a ) las fuerzas que actúan sobre el obje to y las fuerzas que e l objeto

eje rce sobre otros obje tos, o (b) sólo las fuerzas que actúan sobre el obje to.

~pIo conceptual 5.3 Me empujas y te empujo

UIl hombre alto y U Il niño pequello es tán de pic frente a rrente sobre hielo sin fricción . Unen sus ma llos y empl!j~Ul una contra Otra para separarse ellos.

la menor masa, expe ri menta la mayor aceleración. Ambas per· sa ll as ace le ran durante el mismo lapso, pero la mayor acelera­ción del niño en estc intervalo de ti empo resulta en que se muc\~a desde la inte racción con la mayor rapidez.

(A) ¿Quién se mueve (on m¡ís rapideú

Solución Esta situación es semejan te a lo que vimos en las pre­guntas rápidas 5. i )' 5.8. Según la tercera le)' de ~ewton , la fue r­za ejercida por el hombre sobre el ni llo y la qlle ej e rce el ni ño sobre el hombre son un par de acción-reacc ión, y por lo ta lllO deben tene r igual magni tud . (Una báscula de ba il O pues ta en­tre las manos del hombre y el niúo indicaría 10 mismo, si n im­porta r en qué lado sea colocada.) Por lo tanto, el nillo, al tener

(8 ) ¿Quién se mueve más lejos mientras sus manos eSlán en cOlllacLO?

Solución Debido a que el nitlo tiene la mayor aceleración y, por lo lalllO, la mayor \;e locidad promedio, él se mueve más le­jos du rante el inten'<l.lo de tiempo en el que las manos están en contacLO.

l ,os escalado res én reposo 1:51:l.n en cqu iliblio y p..,ra su St.'1,'lllidad dependen de h s fLJCrt~LS de tracción en c llerda~ ,

5.7 Algunas aplicaciones de las leyes de Newton

En esta sección apli camos las leyes de NewlOll a obje tos q ue están en equilibrio (a = O) o q ue acele ran a lo largo de una rCC la b<tio la acc ión de fuerzas externas consta ntes. Recuerde que cuando aplicamos las leyes de Newton a un objeto, estamos inter esados sólo en fuerzas externas que actúan sobre e l objeto. Suponemos que los o bj e tos se pueden mo­dela r como partículas, de mod o que no tenemos que preocuparnos por el movimie nto rota­cional. Po r ahora, tambié n desp reciamos los e fectos d e fricción en los problemas qll e co mprendan movimiento; esto equi\'<l. le a decir que las supe rficies so n sin j rirción. ( Incorpo­ramos la fue rza de fr icción en problemas en la sección 5.8).

Por lo genera l despreciamos la masa de cualq uier cue rda, hilo o cable que in te rvengan . En esta aproximació n , la magnitud de la fue rí'..a ejercida en cualquie r p untO a lo largo de una cuerda es la misma en lodos los pu ntos de la cue rda. En enunciados de problemas, los términos sinó n imos ligero}' de ma,\fl despreriabú> se usan para indicar que d ebe hacerse caso omiso de una m asa ,, 1 trab~ja r los problemas. Cuando una cuerda unida a un obj e to tira de éste, la cuerda ejerce una fuerza T sobre el o~jeto, y la magnitud T de esa fue rza se denomi­na tensión en la cue rda. Debido a q lle es la magnitud de una cantidad vec toria l, la tnICción es una cant idad escala r.

I

5 7 • Algunas aplicaciones de las leyes de Newton 123

Objetos en equilibrio

Si la aceleración de un objeto que se puede modelar como partícula es cero, la partícula es· t.á e n equilibrio. Considere una lámpara suspendida de una cadena ligera sujeta al techo, como se \'e en la figura 5.ia. El diagrama de cuerpo libre para la lámpara (figura 5.7b) IllUeSlra que las fuerzas que aClúan sobre la lámpara son la fuerza F K gravitacional hacia ab<~o y la fuerza T hacia arriba ejercida por la cadena. Si ap licamos la segunda ley a la lám· para, tomando nma que a = 0, vcmos que como no hay ruerzas en la dirección x, ~Fx = O no da información útil. La condición '2F, = mo] = O da

o

De nuevo, nótese que T y F g no !iOll un par de acción-reacción porque actúan en el mismo objeto, la hímpara. La fuerza de reacción a T es T' , la fuerza hacia abajo ejercida por la lám­para sobre la cadcna, como se ve en la figura 5.7c. El techo ejerce sobre la cadena una fuer­za T ' que es igual en magnitud a la magnitud de T'y apun ta en la dirección opuesta.

Objetos que experimentan una fuerza neta

Si un obje to que se puede modelar como una partícula experi menta una aceleración, en­tonces debe haber una fuerza neta diferente de cero que actúe sobre el objelO. Considere una caja que es jalada a la derecha sobre una superficie horizontal, sin fri cción, como en la figura 5.8a. Supongamos que a l estudiante se le pide hallar la aceleración de la caja y la fuerza que el piso ejerce sobre e lt a. Primero, nótese que la fuerza hori zontal T que se aplica a la caja actúa por medio de la cuerda. La magnitud de T es igual a la tensión en la cuerda. Las fucrzas que actúan sobre la G~a están ilustradas en el diagrama de cuerpo libre de la fi­gura 5.8b. Además de la fuel-la T, e l diagrama de cuerpo libre para la caja incluye la fuerl'..a gravitacional F g Y la fu e rza normal n eje rc ida por e l piso sobre la caja.

Ahora podemos aplicar a la Gya la segunda ley de Newton en forma de compo nente. La ünica fuerza que actúa en la direcció n x es T . Aplicar 21'~ = l!I(lx al movimiento horizon­ta l da

~F=T = ma "i.¿ x x o T

(Lx = -;;;

No ha)' aceleración en la direcc ión y. Ap licar 'i..F,. = ma)' con ''J' = Oda

o 11 = fg

Esto es. la fuerla nOfmalliene la m isma magnitud que la fue rza gravitacional, pero actúa en la dirección opuesta.

Si T es una f\lerza constante, eJ'llonces la aceleración (Ix = T/ m también es constante . Por lo tantO, las ecuaciones de acelcnLCión constante de cinemática del capítulo 2 se pue­den usar para obtener la posición x)' ve locidad Vx de la caja como funciones del ti empo~

Como llx = T/ m = constalHe , las ecuaciones 2.9 y 2.12 se pueden escribir como

v . ..¡ = ( T) vxi + - t In

En la silllación que se acaba de describir, la Ill"agnitud de la fuerza normal n es igual a la magnitud de F g> pero éste no es siempre el caso. Por ejemplo, suponga que un libro se en­

cuentra sobre una mesa y una persol1<1 lo e mptua hacia ab~~o con una fuerza F. como e n la figura 5.9. Como el li bro está en reposo)' por lo tanto no acelera , ¿";. = O, lo que da 11 - "g - F = O, o 11 = I~ + f: En esta situación, la fuerza normal es ma)'(fI' que la fuerza de grave­dad. Otros ejemplos en los que 11 '* FJI. se presentan más adelante .

T" = T

1"

(e)

Figura 5.7 (a) Una lámpara suspen­dida de un lecho por una cadena de masa despreciable. (b) Las fue rzas que actúan sobre la lámpara son la fuel-la gra\itacional FgY la fuerla T t.;,jcrcida por la cadena. (e ) Las fuer­zas que ~lClúa n sobre la cadena son la fuerza T ' ej ercida por la lámpara y Ja fuerza 1'" ej ercida por el lecho.

(a)

J'

Lx

(b )

Figura 5.8 (a) Una caja es jalada a la derecha sobre una supt!rficic sin fricción. (b) Diagr.una de cuerpo li­bre que representa las fuerzas exter­nas que actúan sobn: la caja.

124 CAP á • Las leyes del movimiento

F

Figura 5.9 Cuando un objelo empu­j a hacia abajo sobre Olro objelo con una fuerza F, la fuerza normal n es maro r que la fuerza grm'itaciona l: n = ¡'~+ I':

SUGERENCIAS PARA LA SOLUCiÓN DE PROBLEMAS

Aplicación de las leyes de Newton

Se recomienda el siguiente procedimiento para resolver problemas donde inter­vengan las leyes de NewLOn:

• Trazar un diagrama senci llo y claro del sistema para ayudar a conceptualizarel pro­blema,

• Clasificarel problema: Si cualquier componente de aceleración es cero, la partícula está en equilibrio en esta dirección y "2 F= O. Si no es así, la partícula experimenta una aceleración, el problema es de no equilibrio en esta d irección, y IF= mo ..

• Analice el p roble ma y aísle el objeto cuyo movimiento se analiza. Trace un d iagm­ma de cuerpo libre para este objeto. Para sistemas que contengan más de un obje­to, trace diagramas de cuerpo libre sep"rados para cada objeto. No incluya, en e l diagrama de cuerpo libre fuerzas ejercidas por el objeto sobre su en torno.

• Establezca ejes de coordenadas .convenientes para cada objeto y encuentre los componentes de las fuerzas a lo largo de estOs ejes. Aplique la segunda ley de Ne\\'­ton, I F = m3., en forma de componente. Veri fique sus dimensiones para asegurar­se que todos los ténninos tengan unidades de fuerza.

• Despej e las incógnitas de las ecuaciones de componentes. Recuerde que debe te­ner tan tas ecuaciones independientes como incógnitas tenga para obte ner una so­lución completa.

• Finalice al asegurarse que los resultados son consistentes con el diagrama de cuer­po li bre. También ve rifique las pred icciones de sus soluciones para valores extre­mos de las variables. Al hacerlo así, el estud ian te puede con frecuencia detectar errores en sus resultados.

~pIo 5.4 Un semáforo en reposo

Un semáforo que pesa 122 N cuelga de un cable un ido a Otros dos cables sluetos a un SOpOl'le , como en la figura 5.1 Da. Los ca­bles supe riores forman ángulos de 37.00 y 53.00 con la horizon­tal. Estos cables superiores no son tan fuertes como el cable ve rtical, y se romperán si la lensión en ellos excede de 100 N. ¿Permanecerá el semáforo colgando en esta situación, o se romperá lIll O de los cables?

(a) (b )

Solución eo'ICejJlu(tlice1ntM' el problema al inspeccionar el di bltio de la figura 5. lOa. Supongamos que los cables no se rompen. de modo que no hay aceleración de ningún Lipo en este pro­blcma en ninguna dirección. Esto nos pennitc clnsijicar el proble­ma como uno de equilibli o. Como la acelemción del sistema es cero, sabemos que la fuerza ll eta sobre el sem;i[oro y la fuer,,",,, neL.'\ sobre el nudo son ambos cero. Para onaliuJr el problema,

y

37.00 , \ 53.00 _---"'=-L-+---'--___ x

(e)

Figura 5.10 ( ~~jemplo 5.4) (a ) Semáforo sl'spendido por cables . (b) Diagrama de cuerpo li bre pa ra el sc rn afo ro . (e ) Diagrama de cuerpo libre pa ra el nudo donde se Hilen los tres eahles.

construimos dos diagramas de cuerpo libre: uno para el semá­foro, mosll:ado en la figura 5.1 Ob, Y lino para el nudo que sos­tiene juntos los tres cables, como en la figura 5. lOe. Este nudo es un objeto conveniente para escoger porque todas las fue rzas de interés actlÍan a lo largo de líneas que pasan por el nudo.

COII rderencia a la figura 5.1 Ob, aplicamos la condición de equi librio en la dirección J, 'ir; = O ...... T3 - rg = o, ESlo lleva a '/3 = Fg = 122 r-.:. Enlonces, la fuel7.a hacia arriba T:I ejercida por el cable "cnical sobre el semáforo equilibra la fuerza gravi­Laciona!.

A continuación, escogemos los ejes de coordenadas que se ilustran en la figura 5, 10c }' descomponemos las fuerzas que ac­túan sobre el nudo en sus componentes:

Fuerza Componen te x Componente y

T¡ - '1'1 cos37.0" TI sen 37,W

T :t '/2 cos 53.0° 7"2 sen 53.0°

T ;\ O -1221\

Conocer que el nudo está en equilibrio (a = O) nos permite es­cribiJ'

( 1) ~): .. = -"Ji cos ~ 7.0° + '12 cos 53.0° = O

(2) L/'~. = TJsen 37.00 + 72 sen 53.0° + ( - 122 N) = O

De ( 1) vemos que los componelHes horizontales de TI y T 2 de­ben se r iguales en magnitud , y de (2) vemos que la sUllla de los componen tes \"e nicales de T J }' T2 deben e(luilibrar la fuer/A Tj

5,7 • Algunas aplicaciones de las leyes de Newton 125

hacia abajo, que es igual en magnitud al peso del semáforo. De la ecuación ( 1) despejamos 72 en términos de TI para obtener

(3) 7, ~ T¡( cos 37.0.) ~ 1. 331'¡ cos 53.0

Este valor de '/2 se sustituye t n (2) para obtener

TI sen 37.0° + ( 1.33 TI )(sen 53.0°) - 122 N O

T] = 73.4 N

72 = 1.33 TI = 97.4 N

Estos dos vaJores son menores a 100 N (apenas, pard "2), de modo que los cables no se rompen. Fillalicnrw.I' este proble ma al imaginar un cambio en el sistema, como en el siguiente ¿Q ué pasaría si?

¿Qué pasaría si? Suponga Que los dos ángulos de la f igura 5.10a son iguales, ¿Cuál seria la relación entre T1 y T2?

Respuesta Podemos deci r, de la simetría del problema, que las dos tensiones TI y T'l serían iguales entre ellas. Matemática­mente, si los ángulos iguales se llaman (j, la ecuación (3) se cOIwierte en

T. _ '1' ( cos 8) _ '1' :t - ] - ] cos O

que t.llnbién nos di ce que las tensiones son iguales. Sin cono­cer el valor específico de O. no podemos hallar los valores de TI y T'2. No obstante, las tensiones serán igua les entre ellas, sin im­porlar el valor de O.

Ejemplo conc:epWal 5.5 Fuerzas entre furgones en un tren

Los furgones de un tren es tán conect;Jdos po r aro/JüuJores, que est¡in bajo tensión cuando la locomotora tira del tren. Al mo­vernos por el tren desde la locomotora hasta el último furgón , ¿la te nsión en los acopladores aumenta, disminuye, o es igua l cuando el tren adquiere rapidez? Cuando el maquinista aplica los frenos. los acopladores esüín b~io compresión. ¿Cómo varía esta fuel7a de compresión desde la locomotora hasta el último furgón? (Suponga que se aplican sólo los fre nos de las ruedas de la ¡ocomoto .. !.)

Solución Cuando el u'en adquinc rapidez, la ltnsión dismi­nuye desde la locomotOra hasta el final del tre n. El acoplador

~pIo 5.6 Un auto sin control

Un auto de masa m est..í sobre 1<1 superfi cie helada de un cami­no inclinado a un ángulo O. <:01110 en la figu ra 5.lla.

(A) Encuelllre la aceleración <Id auto, suponiendo que el ca­mino es 1>in fl·¡cción.

Solución ÜJnrl'/Jlualice la situación utili7.ando la f-igur,-t 5.lla. De nueS(f¡\ experie ncia diaria, sabemos que un auto sobre un plano inclinado helado va a acelerar hacia abajo. (Hará 10 mismo que un au to cuyos fren os no funcionen.) ESlO nos per­mite clmijimr la si tuación como un problema de no equilibrio, es decir, uno en el que un objeto acelera. La figura 5. 11 b muestra el diagnuna de cuerpo libre para el auto, que podemos usar para fmaliz.a/' el problema. Las únicas fuerzas que actúan sobre el auto son la fuerza normal n eje rcida por el plano incli­nado. que actúa perpendicular al plano, r la fuerza gra\itacio-

entre la locorllotora }' el primer furgón debe aplicar suficiente fuerza para acelerar el resto de los furgones. Cuando avanza­mos a lo largo del tren , cada acoplador está acelerando menos mas,) tras de sí. El úlLimo acoplador tiene que acelerar sólo al último furgón , y por lo talllO está b¡tio la tracc ión más pequeri.a.

Cuando se aplican los frenos , la fuerza disminuye otra vez del frente hacia el final del tren. El acoplador que conecta la locomotora al primer furgón debe aplicar una gran fuena para reducir la velocidad del resto de Jos furgones, pero el Ctlt.imo acoplador debe aplicar una fuerLa suficienlcmentc g rande para. reducir la velocidad Júlo del último furgón,

nal F , = IIIg, que aC lúa verticalmente hacia abajo. Para proble­mas ionde aparecen planos inclinados, e~ com·enicnte escoger los ejes de coordenadas CO II x a lo largo del plano inclinado y)' perpendicular al mismo, como en la figura 5.1Ib, (Es posible resolver el problema con los ejes horizomal }' \·ertical como ~es­tánd,¡!"', Corno práctica, el estud iante puede intentarlo.) En­tonces, sust.ituimos la fuen~a gra\'ilacional por un componente de magni tud IIIgsen O a lo largo del ~je x positivo y tino de mag­nitud mg cos O a lo largo del eje)' negatiyo.

Ahora aplicarnos la segunda le}' de Ne\\''lon en forma de componente, observando que a)' = O:

( 1) ~>~ = mgsCIl O = mfl.~

(2) LI'.~ = n - I1Ig cos O = O

126 CAP 5 • las leyes del movimiento

y

F¡.: - mg

(a) lb)

Figura 5.11 (Ejemplo 5.6) (a) Un auto de masa "' que se desliza por un Cilmino inclinado y sin rricciún. (b) Diagrama de cuerpo lihre pard el amo. Nótese que su acelerdció n a lo largo del camillo inclinado es Kscn O.

Al despejar ax de ( 1), \'emos que la acele ración a lo largo del plano es causada por el componente de F K dirigido hacia abajo en el plano:

(3) fi x = g sen(J

Para Jilltlliulr esta parte, nótese que este componente de ace le· ración es independieme de la mas¡1 del auto. Depende sólo del ángulo de inclinación}' de g.

De (2) concluimos que el compo nellle de F g perpendicular al plano inclina}lo es equilibrado por la fuerza normal ; esto es, n = mg cos O. Este es otro ejemplo de tina situación donde la fuerza normal no es igual en magnitud al peso del objeto.

(8) Suponga que el aUlO se suelLa desde el reposo en lo a l­to del camino indinado, y la distancia desde la defensa delante­ra del aUlO hasta el extremo del camino es d. ¿Cuánto tarda la defensa delantera del auto en llegar al extremo del camino, y cuál es la rapidez del auto cuando ll ega ahí?

Solución Concepluatiaal imaginar que el auto se desliza cuesL:'1 abajo}' que usted maneja un cronómetro para medir todo el in­ter\'310 de tiempo hasta que ll ega al extremo del camino. Esta parte del problema pertcnece a cinemática en lugar de dimími­ca,}' la ecuación (3) muestra quc la aceleración flx es conSL:'1 nte. Por lo L:'1nto, se debe clasificar este problema como llllO de ulla partícula que experimenta aceleración co'nstante . Aplique la

.. 2 2 l ' l· I . . ecuaClon .1 ,xf= X, + Vxjt + 20:.;1*, para alla lzore mO\'1I111el1-to del au lO. Al definir la posición inicial de la defensa delamera como Xi = O}' su posición final como .t¡ = d, Y reconocer que V XI

= O, obtenemos

(4) , = _I2d = 'V -;;:

_/2d -V~

Si usamos la ecuación 2. 13, con V;xi = O, encon tramos que

(5) v'f=~2",d= ~2gdsen8

Para fina/iulr esta parte del problema, ve mos de las ecuaciones (4) )' (5) que el ti empo t en el que e l auto ll ega al final del ca­mino y su rapidez final Vxj son independiemes de la masa del auto, como fue su aceleración . Nótese que hemos combinado tccnicas del capítulo 2 con nuevas técnicas del prescllle capí­lulo en este ejemplo. A medida que aprendamos más }' más téc­nicas en capítulos poste riores, es te proceso de combinar infor­ma'ción pro\'cnieme de \¡<Arias partes del li bro, se presemad con mayor frecuencia. En eslOS casos, use la estrategia general para la solución de problemas para ayudarse a identificar qué técnicas necesitará.

¿Qué pa .. rfa .I? (A) ¿En qué problema resuelto previamente se convierte éste si (1 = 90°1 (8) ¿En qué problema se convierte este si (1 = 01

Respuesta (A) Im abri ne que O se va a 90°, como en la figura , 5.11 . El plano inclinado se convi ene en vertical y ¡el auto es un objeto en caída libre! La ecuación (3) se convien e en

tlx = g sen () = g sen 90' = g

que es en realidad la aceleración en caída libre. (Encontra­mos (Ix = gen lllga r de ax = - g porque hemos escogido x po­sitivo como hacia abajo en la fi gura 5.J 1). ~ó t ese también que

/

la condición n = mg cos () nos da 11 = mg cos 90" = O. Esto es consistente con el hecho de que el alUO esta cayendo hacia aba­jo junio ,il plano vertical, pero no hay fuerza de interacción en­tre el auto}' el plano. Las ecuaciones (4) )' (5) nos dan

I ~ ~ 2<1 g sen 90°

~ ~ y v./ ~ ~2gd sen 900 ~ ~2gd, que g

son consistentes con un o~jeto en ca ída.

(B) Imagine que (J se va a O en la figura 5. 11. En este caso, el plano inclinado se com~ertc e n horizontal , y d aulO est¡i sobre una supcrficit! horizontal. LI ecuación (3) st! convierte en

llijemplo 5.7 Un bloque empuja a otro

Dos bloques de masas m) y m'!. , con mI > m'b se pOllen en con­tacto enlre sí sobre una superficie horizontal , sin fricción, co­mo en la figura 5. 12a. S<: aplica una fuerza F hori7.0nL:'11 consmntc a 1111 como se IlIuestra. (A) Encuentre la magnitud de la ace leración del sistema.

Solución COllceptuahÚ' la situación al usa r la figura 5.12a)' \'er que ambos bloques deben expe ri mentar la misma aceleración porque es tán en contacto e ntre sí y permanecen e n contacto en todo e l movimiento. Clasifiwmos eslO como un problema de la segunda ley de :\'ewton, porque tenemos una fuerza aplicada a un sistema y estamos buscando una acelenl.Ción. Para analizar el problema, Plimero resolvemos la combinación de dos blo­ques como un sistema. Como F es la única fuerza horizontal ex­terna que acu"ta sobre el sist~ma, tenemos

LFAsislema) F = (mi + 11I'l)a.x

F (1 )

Para finalizar esta pane, obscn'c que la aceleración será la Illi sma que la de un objeto solo con una masa equivalente a las masas combinadas dc los dos bloques de la figura 5. 12a y sujeto el la misma fuerza .

F

y

Lx F

'/1/1

(b)

P~l - P" f _ o 111<)

m~g

(e)

. Figura 5.12 ( ~je mplo 5.7) Se aplica ulla ruerza a un b loque de ma­sa mI> que cmplua a un segundo bloque cit, masa I/I<.!. (b) Diagrama de cuerpo libre para mI. (c) Diagrama de cuerpo libre para "I<.!.

5,7 • Algunas aplicaciones de las leyes de Newton 127

(Lx = g sen () = g sen O = O

que es consistente con el hecho de que e l autO está e n reposo, en equilibrio. Nótese también que la condición 11 = mg cos 8 nos da 11 = mg cos O = mg, que es consistente con nuesU'a ex­peClaÜ\rd.

Las ecuaciones (4) y (5) nos dan I = ~ J2d _:c" ·V~ , uxf = 2gd sen O = O. Estos resultados concuerdan con el he­cho de que el auto no acelera, de modo que nunca alcanza una velocidad final direre nte de cero, }' LOma una cantidad infinita de tiempo para alcanza r el extremo final de la "colina".

(B) Determ ine b magnitud de la fuerza de contacto entre los dos bloques.

Solución Co1/(('ptllaliceal observar que la fuerza de conmClO es interna al sistema de dos bloques. Por 10 tanto, no podemos ha­llar esta fuerza al modelar todo el sistema (los dos bloques) co­mo una sola partícula. Ahont debemos tratar cada UIlO de los dos bloques individualmente al clasifimr cada uno como una partícula sometida a una fucf7 ... 1. neta. Para mlllli:.ar la situación, primero construimos UTl di'lgrama de cuerpo libre pant cada bloque, como se \'e ell las figurds 5.l2b )' 5. 12(, donde la fuerza de contacto se denota con P. De la figunt 5.12c vemos que la ünica fuerza horizontal que a({úa sobre 111'1 es la fuerza de con­laClO P I'l (la ruerza ejercida por mi sobre '''2), que está diligida a la derecha. Si aplicamos la segunda ley de Nt::wton a ni';! ten­dremos

(2)

Si en (2) sustituimos el valor de la ace leración llx dada por (l) tendremos

(3)

Para jinalit.ar el problema. ve mos de este resuh .. ulo que la fuer­za de con tactO Pl2 es menor que la ruerza aplicada F Esto es consistente con el hecho de que la ruerza necesaria para acele­.-al' sólo el bloque 2 debe ser menor que la fuerza necesaria pa­ra producir la misma acele ración para e l sistema de dos bloques.

Para finalhar más, es instruc ti vo verificar esta expresión pa­ra PI'l al considerar las fuerias que actúan sobre m" mostradas en la figu ra 5.l2b. L1S fue rzas horiLOntales que actúan sobre m1

son la fuerza apl icada F a la derecha y la fuerza de cOlHacto P 21 a la i.lquierda (la fuerza ejercida por 111'!. sobre mI)' De la tercera ley de Newton, P~I es la reacción a P 12' de modo que P21 = P12.

La aplicación de le! segunda le}' de :"Jewton a "'t da

(4) L/~ = F - P'21 = F - Pl 2 = mlOx

A1 sustitúir en (4) el \'alor de ox de ( 1), obtenemos

Esto concuerda con C~ ), como debe se r.

128 CAP 5 • Las leyes del movimiento

¿Qué pasaria si? Imagine que la fuerza F en la figura 5.12 se aplica hacia la izquierda sobre el bloque derecho de masa m2'

¿Es la magnitud de la fuerza P l2 igual a la que era cuando la fuerza se aplicó hacia la derecha sobre mI?

~pIo 5.8 Pesar un pez en un elevador

Una persona pesa un pez de masa m en una báscula de resone IInida al tccho de un elevador, como se ilustra en la figu ra 5.1 3. Demuestre que si el elevador acelera hacia arriba o hacia ab¡~o ,

la báscula de resone da tina lectura que es dife rente del peso del pez.

Solución Conceplualice al obse rvar que la lectum en la báscu­la está relacionada con la extensión del resorte de la báscula, que está relac ionada con la fuerza sobre el ex tremo del resorte como en la fi gura 5.2. Imagine que ulla cue¡;da cuelga del ex­tremo del resorte, de modo que la magnil\ld de la fuerza ejerci­da sobre el resone es igual a la tensión T de la cuerda. Por lo lanto, buscamos T La fuerza T tir.a hacia abajo sobre e l resorte }' hacia arriba sobre el pe/. En consecuencia, podemos dasificar este problema como uno de análisis de fuerzas y aceleración asoc iado con el pez por medio de la segunda ley de :\Iewton. Para O1lOliz.ar e l problema, inspeccionamos los diagramas d e cuerpo li bre parll el pez en la figura 5. 13 }' obse rvarnos que las fuerzas externas que actúan sobre el pez son la fuerza gl'avüa-

T

mg

Respuesta Con la fucn.a aplicada hacia la izquierda sobre m2 .

la fuerza constan te debe acelerdl' mi . En la situación origina l, la fuerza de cOlllacto acelera '''2. Como mI > ""1, esto requie re de más fllcrla, de modo que la magnitud de PI2 es mayor que en la si tuación original.

cional hacia abajo F g = mg y la fuerza T eje rcida por la bá"cula. Si el elevador está ya sea en reposo o moviéndose a velocidad constante, el pez 110 acelera , }' por 10 talllO "i f ; = T - Fg = O o T = I-g = mg. (Recuerde que el cscalar mges el peso del pez.)

Si el elevador se mueve con una acele ración a respecto a un observador que se encuentra de pie ruera del elevado r en un marco ine rcial (vea la figura 5.13), la segunda le)' de Ne\ .... -ton aplicada al pez da la fuerza neta sobre el pez:

( 1) Lf).= '{ - mg = mal

donde hemos escogido hacia a rriba como la direcc ión }' positi­\'a. Por lo tanto. concl uimos de (1) que la lectura T de la bascu­la es mayor que el peso del pez si a es hacia arriba, de modo que (1) es positiva, y que la lectura es menor que mgsi a es hacia abajo, de modo que ay es negativa.

Por ejemplo. si el' peso del fez es 40.0 N Y a es hacia arriba. de modo que ({ J = + 2.00 mis, la lectura de la báscula de (l) es

, f

mg

T

Figura 5.13 (E;jcmplo 5.8 ) Peso aparente cont ra peso real. (a) Cuando el t:levador acelera hacia arriba. la báscula de resone indica un valor mayor que el peso del pez. (b) Cuando el ele\'ador acelera hacia abajo. la b¡Íscula de rc<¡orte indica un \,<Ilor menor que el peso del pez.

(2) " ( a" ) 7 :: 11/(J)' + mg = mg g + 1

(a,) (2.00 mi s' F - + 1 ~ (40.0 N) 9 g g 9.80 111 / 5-

4B,2N

Si a es hacia abajo de modo que ay = -2.00 m/s~, entonces (2) da

T ~ f (-"1. + 1) ~ (40,0:-1) ( - 2,00 ml,:' + 1) g g 9.80 l11 / s·

3LBN

5 7 • Algunas aplicaciones de las leyes de Newton 129

Para finaliUlr este problema, tome este consejo: si us ted compra un pez en un ele\'ador, aseglÍ rese que el pez sea pesado cuando el elevador esté en reposo o ¡acelere hacia abajo! Ade­mas, nótese que de la información dada aquí, no podemos de­terminar la dirección de mo\;miclllo del elevador.

¿Qué pasaría si? Suponga que se rompe el cable del elevador, de modo que el elevador y su contenido están en caída libre. ¿Qué le pasa a la lectura de la escala?

Respuesta Si el elevador cae libremente, su aceleración es al = - f{. Vemos de '2) que la lectura T de la báscula es cero en este caso; esto es, e l pez pareN' no lene r peso.

E,Jemplo 11.9 La máquina de Atwood ____ ~ ___________ _

Cuando dos objetos de masa des igual cuelgan venicalmente so­bre una polea sin fricción y Illasa insignificante. como en la fl­gura 5.14a, el arreglo se llama máquina dI' Atw{)O(l. El aparato se usa a veces en el laboralorio para medir la aceleración en ca ída libre. Determine la magnitud de la acelenlCión de los dos obje­toS y la tensión en la cuerda de peso ligero.

Solución COl/ceptllaba la situación ilustrada en la figura 5.1 4a: cuando un objeto que se mueve hac ia arriba. el ot.ro

at

(a)

T T

(h) Figura 5.14 (Ejemplo 5.9). Máquina de J\ twood. (a) Dos objetos (III'J > mi ) (ol}ectados por lIlla cuerda sin lIlasa y no extensible colocada sobre una polea si n fricción. (b ) Diagramas de cuerpo li­bre pal-d los dos objetos.

objetO se mueve hacia abajo. Como los objetos est<in conecta­dos por una cuerda que no es extens ible. sus aceleraciones deben se r de igual magnitud . Los objetos de la máquina de Atwood están sometidos a la fuerza gravitac ional , así como a las fuerLas ejercidas por las cuerdas conecladas a ellos , es de­ci r, podemos rfasifiwT éste como un problema de segunda ley de Newton. Para analiU/T la situación. los diagramas de cuerpo li bre para los dos objetos se muestran en la figura 5.14b. Dos fuerzas anúan sobre cada objeto: la ruerza hacia arriba T ejer­cida por la cuerda y la fuerza gravitacional hacia abajo. En problemas como éste, en los que la polea se mode la como sin masa y sin fricción, la tensión en la cuerda en ambos lados de la polea es la misma. Si la polca tiene Illasa y/ o está some­tida a fricció n, las tensiones en cualquier lado no son iguales y la si tuación req uiere técnicas que aprenderemos en el capí­tulo ID.

Debemos tene r sumo cuidado con signos en problemas Cl)­

mo éste. En la figura 5. 14a, nÓtese que si el o~jeto l acelera ha­cia a rriba , elHonces el objetO 2 acelera hacia abajo. Entonces, pa ra consistencia con signos, si defi nimos la dirección hacia arriba como positiva para el objeto 1, debemos defin ir la di­rección hacia abajo como positiva para el objetO 2. Con esta convención de signos, ambos objetos aceleran en la misma di­rección. como se define por la elección de signo. Además. de acuerdo con esta convención de signos, el componente )' de la fuerza neLa ejercida sobre el obje to 1 es T - mlg, y el compo­nente J de la ruerza neta ejercida sobre el objeto 2 es "1<2g - 7: r\ótese que hemos escogido los signos de las fuerlas para ser consistentes con las opciones de signos para arriba y abajo para cada objeto. Si suponemos que '112 > m" entonces "'1 debe ace­lera r hac ia arriba, miell tras CJuc "''2 debe ace lerar hacia abajo.

Cuando se aplica la scgunda ley de ~ewton al oqjeto 1, ob­tenemos

análogamente, para el objeto 2 cnCOnlramos

(2)

Cuando (2) se sUllla a (1), Tsc cancela y tenemos

130 CAP, 5 • Las leyes del movimiento

La aceleración dada por (3) se puede interpretar como la ra­zón entre la magnitud de la fuer7.3 no balanceada sobre el siste­ma (mz - m])g, y la masa LOtal del sistem<l (/111 + m'2), como se esperaba de la segunda ley de Newlon.

Cuando (3) se sustituye en (1), oblenemos

(4)

Fúwlizamoseste problema con la siguiente ¿Qué pasaría si?

¿Qué pasaria si? (A) Describa el movimiento del sistema si los objetos tienen masas iguales, es decir, m, = m 2'

(B) Describa el movimiento del sistema si una de las masas es mucho mayor que la otra, m , » m2'

Respuesta (A) Si tenemos la misma masa en ambos lados, el sis­lema está equilibrado}' no debe ace lerar. ~·ta(emálicamente, ve­mos que si mI = m"2> la ecuación (3) nos da fl" = O. (B) En el caso en que Ulla masa sea infinitamente más grande que la otra, podemos pasar por alto el efecLO de la masa más pequeña. Emonces, la llIasa más grande debe simplemente caer como si la masa más pequeila 110 estmiera ahí. Vernos que si m] » "lz , la ecuación (3) nos da a )' = -g.

tJ~;;¡¡!!!]S.¡:;1 O Aceleradón de dos objetos conectados ~r una cuerda

Una pelota de masa m[ y un bloque de masa 11/2 están unidos por una cuerda ligera que pasa sobre una po lea sin fricción de masa despreciable, como en la figura 5. 15a. El bloque está so­bre un plano incl inado sin fricción de ángulo O. Encuentre la magnitud de la aceleración de los dos objetos y la tensión de la cuerda.

Solución lÁJlIceptualice el moyimie lllo de la figura 5.15. Si m'2 se mueve hacia abajo por el p lano, 11/] se mueve hacia arriba. Como los ol~jeLOs están conectados por una cuerda (que supo­nemos no se estira), sus aceleraciones tienen la misma magni­tud. Podemos identificar ruel-las sobre cada 1I1l0 de los dos objetos}' buscamos ulla aceleración, de modo que clasificamoJ éste como un problema de segunda ley de !\CWIOII. Para anali­zar e l problema. considere los d iagramas de cuerpo libre de las figuras 5.15b }' 5.15c. Si se ap liC<1 la segunda ley de NC\\'LOn en forma de componentes a la pelota. escogiendo la dirección ha­cia arriba como positiva, da:

(1)

l\'ó tese que para que la pelma acelere hacia a rriba, es necesario que T> m]g. En (2), sustituirnos (l~ con (J porque la aceleración tiene sólo un componente y.

Para el bloque es convenien te escoger el eje x' positivo a lo largo del plano, como en la figura 5.1 5c. Para consistencia con

at 8

(a)

nuestra elección para la pelota, escogemos que la d irección po­si tiva sea hac ia abajo del plano. Aplicando la segunda ley de NewLO n en forma de componentes al bloque dará

EIl (3) sustituimos flx ' con (l porque los dos obje tos lÍenen ace­leraciones de igual magn itud a. Las ecuaciones (1) Y (4) no dan inronmt<.ión en relación con la ace leración. Sin embargo, si despejamos T de (2) y luego sustituimos este va lor por Ten (3) )' despejamos a, obtenernos

(!; ) 0 =

Cuando esta expresión para a se sustituye en (2), encontramos

(6) m¡v..,g(sen e + 1)

mI + 171z

Para ¡iT/alhll/' el problema, observamos que el bloque acele­ra hacia abajo del plano sólo si 1Tlz sen 8> In] . Si 11/] > 111'2 sen (J,

entonces la aceleración es hacia arriba del p lano para el bloque

y

T

x

(b )

, ,

f

~gsen6

/~ , , x ,

, , I m2g

(e)

Figura 5.15 (Ejemplo 5. 10) (a) Dos Objetos conectados po r una cuerda ligerd que pasa sobre una polea sin rricciÓn. (b) Diagrama de cllt: rpo libre para la pelota. (c) Dia­grama de cuepo l ibre para el bloque. (El plano inclin;.¡c1o es sin fricci6n).

y hacia abajo para la pelo ta . Tambien observt: que el resultado para la aceleración (5) se puede interp retar como la magnitud dc la fU CI-la ncta que aC lúa sobre el sistema d ividida entre la masa LOta.1 del sistema; eslO es consistente con la segunda ley de :\cwton.

¿Qué pasaría al? (A) ¿Qué pasaría en esta situación si el án­gulo 8 = 90°1

(8) ¿Qué pasaría si la masa m , = 01

5.8 Fuerzas de fricción

~8 . Fuerzas de fricción 131

Respuesta (A) Si 0= 90", el plano incl inado se convie rte en "enica l y no ha)' imeracción entre Sil superficie r m2. Entonces, este problema se com~erte en la máquina de Atwood del ejem­plo 5.9. Hacer que 8 -4 90° en las ecuaciones (5) y (6) hace que ¿staS se reduzcan a las ecuaciones (3) y (4) del ejemplo 5.9. (B) Si mi = O, entonces '112 simplemcllle se desliza por el plano sin inleractuar con mi por medio de la cuerda. Entonces, este problema se convierte en el problema del aUlO que se desliza en el ejemplo 5.6. Permitiendo que 1111 -4 O en la ecuación (5) hace que ésta se reduzca a la ecuación (3) del ejemplo 5.6.

Cuando un o bjeto es tá e ll movimiento, ya sea sobre una superficie o en un medio viscoso como es e l aire o el agua, hay resistencia al movimiemo pOI·que el obj etO interacu.'ia con su entorno. Esta resistencia se denomina fuerza de fricción_ Las fuerzas de fri cción son muy importantes en n ueStra \;da dia ria. Nos permiten caminar o correr, y son necesa rias para el movimiento de vehículos con ruedas.

Imagine q ue usted está trabajando en su jardín y ha llenado un bote de basura con pas­to corLado. Tram c lllonces de arrastrar e l bo te por la superficie de su pat io de concre to, co­mo en la figura 5.16a. Ésta es una supe rfICie mtl, no una superficie idealizada sin fricc ió n. Si aplicamos una fue rza ho rizontal ex terna F al bote de basurd, actuando h acia la derecha, el bote permanece estacionario si F es pequeii.a. La fuerza que se opone a F e impide que el bote se mueva a la izquierda s(;! llama fuerza de fricción estática f5. Mientras el bo te de basura no se mueva, h = F Por lo tanto, si F allmellla. fs mmbién allmema. De l mismo mo­do, si F d isminuye, es también disminuye. Expe ri menLOs dcmuestra n quc la fuerza de fric­ción surge de la na tu ralcZ<.\ de las d os superficies: debido a su rugosidad, se hace contaclO

Fuerza de fricción estática

mg mg

(a) (h )

In

kn~ -----------------

O~--------------~--------L------- F

1---- Región estática --~'+I ~, -- Región cinética _

(e)

Figura activa 5.16 La dirección de la fuer/.a de rri cción f entre un bote de basura y una superficie nlgo~a es opuesta a la dirección de la rllena apli cada F. Como aJllba..~ superficies so n rugosas. se hace contacto sólo en unos pocos puntos. como se "e en la imagen M am· pliada ~. (a) Para pequeñas fuerzas aplicadas, la magnitud de la rueri'a de fricción est,ítica es igual a la magnitud de la fucrza aplica­da. (b) Cuando la Illagnitud de la rue'-la aplicarla cxcede la magni. tud de la fuerla máxima de fricción estática. el bot!' de basura queda librc. La fuerlil aplicada es aho ra mi~ grande que la fue r?a de rricción citlctica y el bote de basura acclCI<l. iI la deredld. (e) Grafica de fuerza de fricción contra fuerza aplicada. Nótesc que

h.máx> /i..

En el vínculo Active Figures en http://www.pse6.com. usted puede variar la carga del bote de basura y practicar deslizarlo sobre superfIcies de rugosidad variable. Nótese el efecto sobre el movimiento del bote de basura y el eorrespondientA comportamiento de la gr¡jlica en (e).

132 CAP 5 • Las leyes del movimIento

Fuerza de fricción cinética

• ¡ADVERTENCIA!

5.9 El signo igual se usa en situaciones limitadas

En la ecuación 5.8, el signo igual se usa sólo en el ca~o en el que las su­perficie~ están a punto de quedar li­bres y empezar a desliú"lrse. No caiga en la trampa común de usar h = JJ. I l1

en walq¡úersituación ne cst,ítica.

• ¡ADVERTENCIA!

5.10 Ecuaciol1es de fricción

Las ecuaciones 5.8)' 5.9 110 S01/ vec­toriales. 5011 relaciones entre las magnitudes de los \"éClOres 'l uc re­prcseman las fuerzas de fricción y normales. Como la$ fuerzas de fric­ción y normales son perpendicula­res entre sí. los \'eClOres no pueden estar relacionados por una COnSl<l11-

te multiplicadora.

sólo e n unos pocos lugares do nde los picos del mate ria l se tocan, como se ve e n la visla am­plificada de la superficie en la figura 5.16a.

En estos lugares, la fuerza de fricción aparece en parte po rque un pico físicamente blo­quea el mO\'imie mo de un pico de la supe rficie opuesta. }' e n parle por e nlace químico ("soldaduras de puntos") de picos o puestos cuando enu'an t::n cOlllacto. Si las superficies son rugosas, es probable que ocurra un rebOte. lo cual complica más el aná lisis. Aun cuan~ do los detalles de fricción son bast.<lnte complejos ¡.¡ nivel atómico, esta fuerza finalmente comprende \lna inte racción e¡¿ctrica entre áLOmos O moléculas .

Si aumelllamos la magnitud de F, como en la fi gura 5.16b, el ba le de basura acaba por desli !.arse . Cuando el bote de basura está a punlo de desIi7 .. a rse • .Á ti ene su máxinlO valor !s.máx, como se ve en la figura 5.16c. Cuando Frebasaj¡,máX' e l bote de basura se mlleye y acele ra a la derecha. Cua ndo d bote de basura está en movimienro, la fuerza de fricció n es mcno r que h,m;íx (figura 5.16c) . La fuerza de fricción para un o bjeto en movimienro se lla­ma fue rza de fricción ciné tica f}¡- La fuerza nela F - !Ie en la dirección x p roduce una ace· lcració n a la d e recha , de acue rdo con la segunda ley de NewLOn. Si F = Jk, la aceleración es ce ro , r el bote de basura se mueve a la derecha con r<tpidez cons ta n te. Si se re mueve la fuer­za aplicada, la fuerza de fr icc ión que actúa a la izquierda dará una acelerac ión del bote de basura en la dirección -X)' finalmente lo lleva a l re poso , d e nuevO consis tente con la se­gunda le)' de Newton.

Experimt'lHalmcnte, enContramos que. a una buena aproximació n, !s.I!1¡ix y Jk son pro­porcionales a la magn ilUd de la fuer!.a normal. Las siguientes leyes e mpíricas d e fricción re­sume n las observaciones experi menwlcs:

•

•

La magnilUd de la fue r!.a de fricc ió n estática elllre dos superficies cualesquiera e n con­Lac to pueden tene r los valores

(5.8)

donde la constantc adimcnsional J.L l" se ll ama coe ficiente de fricción es tá tica )' n es la magniuld de la fuerza normal eje rcida por una supe r ficie sobre otra. L"l igualdad de la ecuac ión (5.8) se cu mple cuando las superficies están a puntO de desliza rse, esto es, cuandoh = !un;i'X;;;;: J.l.¡ ·n. Esta situación recibe el nombre de lIIovúniento·inmillfJn/p, La

desigualdad se cumple cuando las superficies no cstán a pumo de desli zarse.

La magn itud de la fuerza de rricción cinélica que actúa entre dos superficics es

(5.9)

donde J.l.1e es el coe ficie nte de fricción ciné tica. Aun cuando el coeflcielHe de rricción ciné tica puede variar con la rapidez, por lo gene ral despreciare mos cualquiera de estas variaciones en este texto.

Tabla 5.2

p.,

Acero sobre acero 0.74

Aluminio sobre acero 0.6 1

Cobre sobre acero 0.53

Caucho sobre concreto 1.0

Madera sobre madera 0.2fH).5

Vidrio sobre vidrio 0.94

Madera encerada sobre n ieve húmeda 0.14

Madera encerada sobre nieve seca

Me lal sobre metal (lubricados) 0.15

Hielo sobre hielo 0.1

Teflón sobre tcflón 0.04

Uniones sinoviales en seres humanos 0.01

Tocios los ,"¡¡lores son aproximados. En algull os rasos, el cocfidenll' de fricción puede exceder dt' 1.0

p.,

0.57

0.47

0.36

0.8

0.2

0.4

0. 1

0.04

0.06

0.03

0.04

0.003

• Los valores d e ¡J,k y ¡J,J dependen de la nalUraleza de las supe rficies, pe ro J.lk es genera l­mente menor que 1L5' Valores típ icos va n de unos 0.03 a 1.0. La tabla 5.2 es una lista de algunos valores re portados.

• La direcc ión de la fuerza de fricción sobre un objeto es para lela a la superficie con la q ue e l obje to está en con tacto y opuesta al movimiento rea l (fricción cinética) o el mo­vimiento inminente (fricción está tica) del oqjeto con respecto a la super fi cie.

• Los coeficientes de fricció n son casi independientes d e l área ele contacto en tre las su­perficies. Podríamos esperar que poner un o~jeto sobre un costado con mayor área po­dría aument.ar la fuerza de fricción. Si bien esto proporciona más puntos en comacto, como en la fi gura 5.15a, el peso del objeto se extiende sobre un área mayor, de modo que los pun tos individuales 11 0 están tan estrechamcme presionados. Estos e fectos ap ro­xirnadamell le se compensan entres sí, de modo q ue la fuerza de fricc ión es indepcn­die llle del :i rea .

Pregunta rápida 5.11 Usted presiona, con su mano, un libro de texLO de ¡¡si­

ca contra una pared vertical. ¿Cuál es la dirección d e la fue rza de fricción ejercida por

la pared sobre e l libro? (a) hacia abajo (b ) hacia a rriba (e) sale de la pared (d) entra

en la pared .

Pregunta rápida 5.12 Una caja está localizada en el centro de un camión de

plataforma. El camión acelera al este , y la caj a se mueve con él, sin desli zarse en abso lu­to. ¿Cuá l es la dirección d e la fuerza de fricción ejercida por el camió n sobre la caj a? (a ) al oeste (b) al este (e) No existe fuerza d e fricción porque la caja n o se desliza.

Pregunta rápida 5.13 Usted pone su libro de ¡¡sica sobre una tabla, levanta

un extremo de la tabla de modo que e l ángulo del plano aumenta. Fina lmente, e l libro empieza a desli zarse sobre la tabla. Si usted mantiene el ángulo de la tabla en este va­

lor, el libro (a) se mueve con rapidez constante (b ) aumenta su rapidez (c) desminuye su rapidez (d ) ninguna de éstas .

Pregunta rápida 5.14 Usted está jugando con su hija en la nieve. Ella se sien­

ta sobre un lrineo y le pide que la empuje sobre un campo h orizontal y plano. Usted ti ene la opción de (a ) empujarla desde atrás, al aplicar una fue rza hacia abajo sobre los

hombros d e e lla a 300 abajo de la horizontal (figura 5. 17a) , o bien , (b) ata r una cue rda

al frem e de l tl;neo y tirar d e éste con una fuerza a 300 aniba d e la horizontal (fi gura

5. 17b) . ¿Cuál sería más fácil pa ra usted y por qué?

(a) (b)

FIgura 5.17 (Pregunta rápida 5. 14) Un padre empuja a su hija sobre un trineo, ya sea (a) empujando hacia abajo sobre sus hombros, o (b) tirando de una cuerda.

5 8 • Fuerzas de fricción 133

~ ¡ADVERTENCIA!

5_11 La dirección de la fuerza de fricción

A \'t:ccs se hace un enunciado inco­rrecto ace rca de la fuerza d e fric­ción CnLre un obje to}' una superficie: ··la fuerza de fricción sobre un objeto es opuesta a su movimiento o a su mOlimiento in· minente", en lugar de la frase co­rrecta "la fuerza de fl;cc ión sobre un objeto es opuesta a su movi lllitnlO, o 1ll0\'illl iel1lo inmi­nente. respeto (l III sl1perfid~. " Piense atenmmen te acerca de la pregunta rápida 5.1 2.

134 CAP 5 • Las leyes del movimiento

lijempIo cOllceptwolll. 11 ¿Por qué acel.ra"'e;;.;l..;t;.;rt;.;neo= ? ..... _____ ~ ___ ~_~~ _______ _

Un caballo tira de un lrineo a lo largo de un camino plano )' cubierto de nieve. haciendo que el tJineo acele re, como se ve en la figura 5. IHa. L'1 lerCt:ra le)' de l\ewLOn dice que el lrineo eje rce Hil a fue ri'a de igua l magnitud }' dirección opuesta sobre e l cahallo. En ÚS41 de esto, ¿cómo puede ace lerar el trineo? ¿no se cance lan las fu erzas? ¿B_tio qu~ <.:ond iciones se mueve el siste­ma (caballo más trineo) con \'eloc idad constante?

Solución Recue rde que las fuerzas descritas en la tercera ley de \lewlol1 actúan sobre obje lOs dijf'rf"ntp5: el caballo ejer<.:e una fuerza sobre el Ilineo, y e l trineo ejerce una' fue rza de igual magnitud y en dirección opuesta sobre el caballo. De bido a que estamos itlteresados sólo en el movimiento del trinco, no consi­deramos las fuerzas que éste ejerce sobre el caballo. AJ de tenn i­nar el mo\'imienlo de un oqjelO, el leclor debe smnar sólo las

(a)

fuerzas so bre ese o bjeto. (Éste es el principio que ha)' detrás de dibttiar un diagrama de cuerpo libre). Las fl lerzas horizontales ejercidas sobre el trineo son la fuerza hacia delante T eje rcida por el caballo y la fuerza hacia atnis de fri cción flrineo el1lre el trineo y la nieve (vea 1ft figura 5. ISb). Cuando la fuerza hacia de lante sobre el II; neo rebasa la fue rza hacia atrás, el trineo acelera a la derecha.

L'1S fuerzas horizontales eje rcidas sobre el trineo son la fuerza hacia delante fcab."I11u ejercida por la Tierra y la fuerza de lensión hacia a¡r¡ís T ejercida por el trineo (fi gura S.ISc). La resu ltante de estas dos fuerzas hace que el caballo acelere.

La fuerza que ace lera al siSlema (caballo más lrineo) es la fuerza neta fcaballo - fl l'in~' Cuando fcaballo se equ il ibra con f!rineo' el sistema se mueve con velocidad constante.

~)---. T

(b ) (e)

Fig ura 5,1 8 (I·JemploconcePluaI5.11 )

EJemplD 15.12 Det.rmlnadón .xpertm.ntal d. Ita Y PI<

El siguie m e es un méLOdo sencillo de medir coeficie ntes de fricció n: Suponga que un bloque se coloca sobre una s\lper fi cie rllgosa inclinada con respecto a la horizontal. COIll O se ve e n la figura 5.19. El ángulo de incli nac ión se aumenta hasta que el bloque empieza a mo\·erse. Demucstre que al medi r e l ángulo crítico Oc para el cual apenas se presen ta cste deslizamiento, po­demos obtener M¡.

Solucíón Si rOIl(e/Jlu(lliu(lno,~ de l diagrama de cuerpo libre de la f-igura ::'. 19, vemos que podemos rlflsijiral' éste como un pro­blema de segunda ley de i\:ewton. Para flllfl[C.OT el problema, nótese que las únicas fucr l.as que actúan sobre el bloque son la fUCJ'za gravitacional /II g. la fuerza normal n . y la fuerza de fric­ción eslüt ica f5' Estas fucrlas se equil ibra n cuanrto el bloque no se mucye. Cuando escogemos que x sea paralela ¡d plano y que )' sea perpendicular al plano, la segunda ley de Newton apli cada al bloque pa ra esta situación equ ili b rada da

(1 ) 2>~ = mg sen e - Is = l1Ulx = o

(2) Lr;-= n-II/KcosO= ,,~< = O

mg al sust imir mg = ni cos e de (2) en ( 1) Podcmos eliminar para hallar

1, = mg Stll () = ( __ n_)sen () = n tan e (OS ()

(3)

Cuando el plano inclinado aumenta hasta que cl bloque est;:l a punto de deslizarse , la flle rza de fri cción estática ha alcanzado su máximo \'alor M ~n. El angu lo O en esta situación es el ángulo critico ()" y (3) se co lwiertc.: t'n

)'

n ( x

mgsen8

mgcos8

Fig ura 5.19 (Ejemplo 5. 12) L'lS fuerzas externas ~jerddas sobre un hloque apegado sobre un p lano indinado son la fue l7.a gra\~ta_cional

mg. la fuel-l<l nonn al n, y la ruerza de fricción f . Por comodidad , la ruerza gravitaciol1al se descompone cn un cÚllIponelllc a lo largo del plano mg st' n (J }' un componente pcrpcndiclllar al plallO mgcos O.

Por ejemplo, si e l bloque apenas se desli z,a en me = 20.0°, en­tonces e ncolllramos que mI = tan 20.0° = 0.364.

Para jinl1liwr el problema, nÓlese que una vez que el blo­que empieza a moverse e n O ~ O" acelera hacia abajo del p lano )' la fllena de fricción es fi = Jil! rl. No obstante. si () se reduce a un valor me nor que On puede ser posible hal lar. un ángulo Oc' ta l que el bloque b<u e por el plano con ulla rap idez constalHe «(1). = O). En este caso , lIsar (1)}' (2) coll hsusti m ida porJk dar.í.

J.Lk = tan Be' donde Oe' < 6,. .

pIo 5.13 El dIsco de hocke deslizante

en disco de hockey sobre un lago congelado recibe una ra pi ­dez inicia l de 20.0 mi s. Si el disco siempre permanece sobre el hielo}' se desliza 115 m antes de llegar al reposo, cletennine el coeficie lllc de fricción ci nética entre el disco y el hielo.

Solución Conrr/Jluolire el problema al imaginar que el disco de la figura 5.20 se desl iza a la derecha y finalmente ll ega al repo­so. Para clasificar el problema, nótese que tenemos fuerzas iden­tificadas en la figura 5.20, pero que las variables cinem;íticas están en el texto del problema. Entonces. debemos combinar las técnicas del capítulo 2 con las de este capítulo. (Suponemos que la rucrza de rricción es COllst.1.llle, lo cllal resultará en una aceleración horizontal constante). Para allali';.ar la situac ión, nótese que las fuerzas que aClllan sobre el disco después que es­tá en movimiento se muestran en la figura 5.20. Pl"i mero, halla­mos la accleración algebraicamente en términos del coefic iente de fricción cinética, usando la segunda le}' de Newton. Si cono­cemos la aceleración del disco y la distancÍ<l que recorre, pode­Ill OS en tonces usar las ecuaciones de cinemática para hallar el ""llor numérico del coe fi cicllle de fricción cinélica.

n Mo\imiclllo

+ f,

mg

Fig ura 5 .20 ( ~jcmplo S.l ~~) Oespués que d disco recibe Ulla ,·cloci­dad inicial a la derecha. la.., únicas filCl"l.<ls eX lcrnas que actúan so­

bre CI son la rllC'l"la gnwitacional mg, la fuerza normal n , y la fucoa de fricción cinética fh.

5,8 . Fuerzas de fricción 135

Si definimos a la derecha y hacia arriba como nuestras direccio­nes pos itivas. aplicamos la segunda Ic}' de Newlon en forma de com ponentes al disco y obtenemos

(2) L/~ = n - mg = O (ay ~ O)

Pero IIr = J.Lk11, Y de (2) vemos que n = tJ.g. Por lo t.1n to, ( 1) se comierte en

El signo negativo signi fi ca que la aceleración es a la izquierda e n la figura 5.20; como la velocidad del disco es a la derec ha, esto significa que el disco est.' reduciendo su velocidad. La ace­leración es independielllc de la masa del disco }' es constan te, po rque suponemos que Ilk permanece constante.

Como la aceleración es constante , podemos usar la ecua­" ? 13 ., - '+ 9 ( - ) " - O - O' CLon _. ,v¡¡;] - v¡¡;i _(j¡¡; XI x,, con x, - y VI - .

o _--,v"x,-, -_ 1', ~ 2¡;x{

(20.0 m/s)~ ¡.L. ~ --==':';:;""---

2(9.80 m/ s')( 11 5 m) 0 .117

Para finalizar el problema, nótese que tJ.~ es adimensional , co­mo debe se r. }' que liene un \'llor pequeño, consistente con un objeto que se deslice sobre hielo.

flemplo 5.14 Aceler.dón de dos Objetos c:onec:t.dos cuando h., fricción ~nte

U n bloque de masa 1111, sobre una superfi cie rugosa horizontal , está conec tado a una pelota de masa m';l mediante una cuerda li gera a una po lea ligera}' sin fricció n, como se \'e en la figura 5.2 13. Una fuerza de magnitud Fa un ;ingulo f) con la horizon­tal se aplica al bloque. como se muestra . El coeficiente de fric­ción cinética entre el bloque y la supe rficie es tJ.k. Determ ine la magn itud de la aceleración de los dos objetos.

Solución Conrp/Jtllalire el problema al imab..-jnar lo que ocurre cuando F se aplica al hloque. Si se supone que F no es suficien­teme nte g ra nde para le\<1nlar el bloque, éste se desl izaní a la dcn.:cha y la pelota subid. Podemos idell tificar ruerzas y busca­mos una acele rac ión , de modo que r!rL'jificol1loX éSle como un prohlema de segunda ley de l\CWWIl, uno que incluye la fue rza de fricción. Para al/alizar ti problenl<l , comenl.amos por traz .. ar

I diagramas de cuerpo libre para los dos objetos, como se \'e en las figuras 5.2 1b r 5.21c. A contin uación , aplicamos la segunda ley de Ncwton en forma de c011l pOn elllCs a cada uno de los ob­jetOs y llsamos la ecuación 5.9, J;. = tJ. /c Il. Entonces podemos despejar la aceleración en términos de los parámelros dados.

La fuerza aplicada F tiene componentes x e J que son Feos O)' Fsen (), respectivamente. Al aplicar la segunda le}' de

:\'ewton a ambos objelOs }' suponer que el mo\'imicnto del blo­que es a la derecha , obtcnemos

:\'Iovimicnto del bloque: (1) LFx= Fcos(J -.h - '/' = !IIl (1 x = !lila

(2) 2:1'; = ti + Fsen () - 1JI¡¡.f= 1II1(1y = O

Movimiento de la pelota LFx = 1112(1 . ..: = O

(3) 2:r:v = T - m~g = m~(/.y = 111 2°

Como los dos objetos es tán conectados. podemos igualar las magniwdes del componente x de la aceleración del bloque}' el componente )' de la aceleración de la pelota. De la ecuación 5.9 sabemos que /Ir = tJ.h'l. Y de (2) sabemos que 11 = mlg - Fsen O (en este caso n no es igual a 1Il1g); por lo ta nto,

Esto es, la fue rza de fri c(Íón se reduce debido al componente pos itivo J de F. Sustituir (4) }' el valor de Tde (3) e n ( 1) da

136 CAP 5 • Las leyes del movimiento

y

Lx T

T

a t (a) (b) (e)

Figura 5.21 (Ejemplo 5.14) (a) La rue.-..~a externa F aplicada como se muestra puede hacer que el bloque acelere <i la derecha. (b) y (e) Diagramas de cuerpo libre que suponen que e l b loque acelera a la derec ha y la pelota acelera hacia .uTiba. La magnitud de la fuerza de fricción cinéLica en este caso esrn dada por fi = J.Lh" = J.L ¡,( II/tg - Fsen O).

Feos () - J.Lk(m¡g- F scn O) - 111<z(a + g) m¡a

Al despejar a, obtenemos

(5) a= F(cos 8 + " . sen O) - 15(11'2 + ".m,)

mI + ""iQ

Para finaluar el problema, nótese que la acelerac ión del bloque puede se r a la derecha o a la izqu ierda':) dependiendo

.:. La ecuacion 5 muestra que cuando /L¡,m¡ > n~b hay un intcr.'alo de \'alores de Fpara los cuales no ocurre movimiento a un ángulo O dado.

Si la llama de un aulO rueda y no palina en la super fi cie de un camino, entonces la máxima fuerza de fricción que el camino puede ejercer sobre la llanta. es la fuerza de fricción estática J.Ll n. Uno debe usar fuerza de fricció n estática en esw situación porque en e[ punto de contacLO entre la llanta y el camino. no hay de rrape de una superficie sobre la Olra si la llanta no pa­tina. No obs tallle, si la llanta empieza a patinar, la fuerza de fricción ejercida sobre ella se reduce a la fuerza de fricción cinética J1.k". EnLOllces, para maximizar la fue rza de fricción }' minimizar la dislallcia de frenado, las ruedas deben mantener su movimiento puro de rodamiento y no patinar. Un beneficio ad icional de mantener la rotación de las ruedas es que el cOl1(ro l direccional no se pierde, como ocurre cuando patinan. Oesafonunadameme, en situaciones de emergencia, por lo ge· Ileral los conductores presionan el pedal de freno con tanta fuerza como pueden, con 10 cual "bloque'\ll los frenos.~ Esto impide la rotación de las ruedas, se produce un derrape y se re­duce la fuerza de fricción del valor estático al cinético. Para resolvcr este problema. los ingenieros de aut.OOlOlOres han in· \'cnwdo sistemas de antibloqueo dc frenos (ABS, por sus siglas en inglés). La finalidad del ABS es ayudar a conductores (cuya tendencia es bloquear las '·uedas en una emergencia) par ... mantener mejor con trol de sus vehículos y reducir al mínimo la diswncia de frenado. El sistema brevemellle afl oja los frenos cuando una rueda esr¡l a puma de dejar de girar, lo cual man-

del signo del numerador en (5). Si el movimiento es a la izo quierda, enLonces debemos invertir e l signo de fi en (1) por· que: la fuerza de fri cción cinética debe oponerse al movimiento del bloque con respeno a la superficie. En este caso, el valor de fI es igual que en (5), con los dos signos más del numerador cambiados a signos menos.

Éste es el capítulo final en el que explicitamente mostrare· mos los pasos de la estrategia general para la solución de pro­blemas en IOdos los ejemplos trabajados. Los mencionaremos de manera explícita en ejem plos ocasionales en furu ros capítu· [os, pero el leClor debe usar los pasos en la solución de todos los problemas .

tiene contacto de rodamiento entre la llanta y el pavimento. Cuando los frenos se sueltan momentáneamente, la distancia de frenado es mayor a lo que sería si los frenos estuvieran apli­cados en fo rma continua. Sin embargo, mediante el LISO del cOlllrol cornpmarizado, el üempo de "no frenado'" se mantiene a un mínimo y. en consecuencia, la distancia de frenado es IllU·

cho menor de la que sería si las llantas fueran a patinar, Elaboremos un modelo del frenado de u n auto al exami nar

da lOS reales. En una edición de AUloWfek,6 se midió la opera­ción de frenado de un To)'ota Corolla. Estos datos correspon· den a la fuerza de frenado adq uirida por un conductor profesional, altamen te ca lincado. Comenzamos por suponer aceleración const.an te. (¿Por qué necesitamos hacer esta suposi­ción?) La re\~sw indicó la rapidez inicial}' distancia de frenado en unidades diferentes al SI, que mostramos en las secciones iz­quierda y media de la tabla 5.3. Después de convertir estos valo­res al SI, usamos vI = v? + 2ax para determinar la acc­leración a diferentes magnitudes de rapidez, most radas en la sección derecha. ÉslaS no varían en mucho, por lo que nuestra suposición de aceleración constiUlIe es razonab le.

Tomamos un \'a lor promedio de aceleración de -8.4 m js2. que es aproximadamente O.86g. Entonces calculamos el coel1· ciente de fr icción desde ""2:. F = J.L.\mg = ma, que da J.Ll = 0.86 pa·

6 Rc\risla A IIlol\'fl'N, 48:22·23, 1998.

Tabla 503

n,llos p.lra un To~ 01.1 Corulla

Rapidez inicial Distancia de frenado Aceleración

(mi/ h) (m/ s) (p;e) (m ) (m / s')

30 13.4 34 10.4 -8.53

50 25.8 143 43.5 -8.24

80 35.8 251 75.5 -8.38

Tabla 5.4

Disl¡U\cía de rrenadu nm ~ sin dC'slilamit.'nto

Rapidez inicial (mi/ h)

30

50

80

Rapidez (mi s) 40

50

Distancia de frenado

Sin derrape (m) Con derrape (m)

10.4

43.5

75.5

100

13.9

55.5

98.9

--Cond uctor aficio nado

--Cond uClo r profesional

--ABS, conductor aficionado

Distan cia desde el punto de aplicación de frenos (m)

5. e • Fuerzas de fricción 137

Figura 5 .22 Esta g rá fi ca de la rapidez de un vehículo cOlllra la distancia. desde cJ luga r eH cJ que se aplicaron los frenos, muest.ra que tlIl ~ istema :.mlibloqueo de frenos (ABS) se apro­xima a la operació ll dc un condu clor p rofesional altamente califi cado.

ra el Toyota . Esto es !llenor que el va lor para hule sobre concrc- tre las ruedas}' el pavimento. Esto se aproxima a la t.écn ica de to que se da e n la tabla 5.2. ¿Puede el lector dar alguna razón un conductor profesional capal de mantener las llantas en el para esw? punto de máxima fuerza de fricción. Estimemos la operac ión

Ahora eS limamos la distancia de frenado del autO si las Ila n- del ABS al suponer que la magnitud de la aceleración no es lan laS estmiera n derrapando. Dc la tabla 5.2 vemos que la difere n· buena como la alcanzada por e l conductor profesional, sino cia elllre los coeficicllles de fricóón está li ca }' cinética para que se reduce e n 5%. hul t: contra concretO es alrededor de 0.2. Supongamos que La figura 5.22 es una gráfica de la rapidez del ve hícu lo con-nuestros coeficie ntes difieren en esta misma can tidad , de modo tra distancia desde donde los frenos se apli caron (a una rapidez que J.Lk = 0.66. Esto nos permite estimar las distancias de frena· ini cial de 80.0 mi/h = 35.8 mi s) para los tres casos de conduc-do cuando las llantas están bloqueadas y el aulO patina en el pa· tor aficionado, conductor profesional , y operación estimada \imcl1lo, COIllO se ve en la tercera columna de la tabla 5.4. Los con ABS (conduclor allcionado) . Esto muestra que es necesaria I resulLados ilustran la \'en laja de no permitir quc las rucdas pali- una dislallcia de frenado marcadamente más cona sin bloquear

~lell las llantas, en comparación con el de rrape. Además, se alcanza

Debido a que un sistema ABS mantiene las ruedas en rota- un valor satisfactorio de distancia de frenado cuando la compu-

ción , S~lantiene el coefic iente más "_I'_O_d_C_f_ri_C_C_iO_·,_,_e_s_,a_·'_ic_a_ c_n_o __ ta_d_o_ra_,_ABS_. __ n_,a_'_ll_ie_"_e_l_a_r_o_,,_.'C_i_ó_n_d_e_I_._' _II_a_n_ta_,. ________ J

138 CAP 5 • las leyes del movimiento

RESUMEN

Un marco de referencia inercial es aquel que pode mos ide ntifica r, )' en e l que un o~jeto que no interactúa con otros o bjetos cxpe rimc ma ace leración cero. Cualquier marco que se mueve con velocidad constante con respecto a un marco ine rcial tambié n es un marco ¡ner· cia l. La primera ley d e Newton ex presa que es posible hallar lal marco, o b ien , lo que es lo mismo. e n ausencia de u na fuecl'<l ex te rna. cuando sea vislO desde un m a rco ine rci al, un o~jeto en reposo pe rmancce en re poso y un objelO en movimien to uniforme en línea recta mantie ne ese m ovimiento.

La segunda ley de Newton c.::x presa que la acele ración d e un objeLO es direc tamelHc propo rcional a la fu erza ne ta que aClüa sobre é l, e inve rsamente proporcional a su masa. La fuerza nela que actúa sobre un objeto es igual al producto de su masa y su ace le ración: L F == ma. Si el o bjeto eSl.í cstacionario o se lJIuevc COIl velocidad constan te, e lHo nces el olF jeLO c.::st,í e n equilibrio )' los \'eC lOres fue rza deben cancelarse e mre sí.

La fuerza gravitacional eje rcida sobre un objetO es igual al productO de su masa (una cantidad escalar) )' la aceleración e n c;a ída li bre: Fg == mg. El peso de un o bje to es la magni· tud de la fuerza gravitacional que actúa sobre e l objeto.

La tercera ley de Newton indica que si dos o~jCLOS interactúan, la ruerza ej ercida por el o~je to 1 sobre e l 2 es igual en magnitud y opuesta e n dirección a la fue rza eje rcida po r el o bjeto 2 sobre cl l . Entonces, una rucr1..a aislada no puede existi r e n la naturaleza.

La máxima fu erza d e fricción estática f~.máx e n tre un objeto}' una superfi cie es pro· porcional a la ruerza normal que aClúa sobre e l objeto. En general. Js:S I-L ~n, donde MI es el coeficiente de fricción estática y 11 es la magnitud d e la fue rza normal. Cuando un o bjeto se d esli za sobre una super fi cie, la dirección de la fuerza de fricción cinética f lr es opues ta a la dirección de mO\"Íllli e nto d el objelO CO Il respecto a la superfic ie y también es propor· cional a la lllag nilUd d e la fuerza no rmal. La magnitud de esta fuer ;ta es tá dada por !h = J.L .ltIl, donde I-LI! es e l coeficiente de fricción cinética.

PREGUNTAS

l. Una pelot.'1 está sostenida en la mano de una persona. (a) Irlenti· fiqu e todas las fuerzas ex ternas que actúan sobre la pelota y la reacción de cada una. (b) Si la pelota se deja caer, ¿que fuerza es eje rcida sobre e ll a micnmts cae? IdelHififl'lc la fuerza de reacción en este caso. (Desprecie la resistencia del aire ) .

2. Si un auto se desplaza hacia el oeste con una rapidez constante de 20 mi s, ¿cuál es la fuerla resultante que actúa sobre él?

3. ¿Que está Illal en el enunciado "Como el auto está en reposo, no hay fuerzas que actúen sobre él "? ¿Cómo corrt=giría el leCtor esta or.tción?

4. En la película 1I J-Iapprned Orle Nig/¡f [ücun;{) una noche ] (Ccr lumbia Pinures, 1934), Clark Cable está de pie dentro de un au· lobús frente a Claudelle Colben, que est.'Í sentada. De pronlO. el autobús arranca hacia dclame )' Clark c<le en las piernas de Clau­dettt:. ¿Por qué ocurrió est.o?

5. Una pasajera sentada en la parte trasera de un autobús dice que ella se lesioll<Í cuando el conductor aplicó fuertemente los fre· nos, con lo que una malet.'1 salió despedida hacia e lla desde el

frente del \'ehículo. Si usted fuera eljuez en este caso, ¿q ué dispo· sición haría? ¿Po r qué?

6. Una explor.tdora espacial se mue\'c en una nave lejos de cual­quier planeta o es trell,1. Ella observa una gran roca, lOlllada como espécimen de un planeta extraño, que flota alrededor de' la cabi­na de la nave. ¿Debe ella cmptúal'la suavemente o patearla hacia la bodega ele la nave? ¿Por qué?

7. ena pelota de hule se dt.:ja caer sobre el piso. ¿Qué fuer7A hace que la pdola rebmc?

8. Cuando u n halón de fútbol est;:\ en el ai re, ¿cuáles son los pares de acción-reacción cuando la pelota está siendo pateada)' cuan­do eHá en \'lI clo?

9. El alcalde de una ciudad decide despedir algunos empleados mu­nicipales porque éstos no corrigen las nexiones ob\·; as de los ca· bies que sostienen a los se m<Íforos. Si usted fuera abog'Hlo. ¿que defensa daría en nombre de los empleados? :Quién piensa usted que ganar<Í el caso en el jU7gado?

10. Un levantador de pesas está de pie sobre una báscula y sobre ésta sube y b,ya una mancuerna. ¿Qué ocurre con la lectura de la bás­cula cuando C$tn se hact=? ¿Qué pasaría si él es tan fuene que lrm­

ZfI la mancuerna hacia arriba? ¿Cómo \'arÍa ahora la lect\ll,l de la lúscula?

11. Suponga que un camión ca rgado de arena acele ra a lo largo de una can etera. Si la l'uertA impulsora sobre el camión permanece conStante, ~qllé ocurre ,} la acele ración del camión si su remol­que tiene una fuga de arena a un ritmo constan te por un agujero en su fo ndo:

12. Cuando un cohete es disparado desde su plat.aforma de lanza­miento, Sil rapidez y acele ració n aumentan con el tiempo (uando sus moto res continúan cn opeI<lc ión. Explique por qu~ ocurre esto aún cuando el emplue de los motore.~ permanel.ca cons­tante.

13. ¿Qué fuerla hace que se mue\<l un aUlOmó\'il? ¿U n avión de héli­ces? ¿Un bote de remos?

14. Idelltifique los pares de acción-reacción el1 las siguicnles situacio­nes: un hombre da un paso; una IXlla de nieve (ae sobre la espal­da de una niña: un jugador rle béisbol atrapa una pelota; una corriellle de \'iento golpea una ventana.

15. En un concurso de gigantes de la Liga Nacional de Fútbol. equi­pos de los Rams y los 49as compiten en un Liro de cuerda, tiran­do en direcciones opuestaS de ulla gruesa cuerda. Los Rams ejercen ulla fuerza de 9 200 r-.: )' eSl<-1n ganando, haciendo que el centro ele la cuerda se mueve uniformemente hacia ellos. ::: Es pa­sible saber la tensión en la cuerda con la información dada: :Es ma}'or o menor a 9 200 ;\!? :COll ruánta fuerza cst.in tiraudo de la cuerda los 4gers? ¿Cambiaría su respue~ta si los 4ge rs esuwieran ganando o si el wncur:-o fuem part;jo? El equipo más fucne gana al tjercer ulIa fuerza mayor ¿sobre qué? Explique sus respuestas.

16. Veinte personas participan en un concurso de tirar de una cuer· da. Los dos equipos de diez personas eSlán tan equita tivamente formados que ningún equipo gana. Después del juego obse rvan que un alllo está amsGHlo en el Iodo. Atan la cuerda del concurso a una defensa del auto, y todos Liran de la cuerda. El pesado n:­hículo apenas avanza dos centímetros cuando la cuerda se rom­

pe, ¿Por que:: se rompió la cuerda en esta situación y no cuando las mismas vci me personas tiraron de ella en el cOl\curso?

17. "Cuando la locomotora de la li gura Q5.17 at.raves() la pared de la estación de fe rrocarril. la fuerza ejercida por la IOC01l10101<1 sobre la pared era mayor que la fue rn quc la pared pudo ~jcrcer so­bre la locomotora." ¿Es verdadero estc enunciado o necesita co­rrecc ión? Explique su re~pllcsta,

18. Un atlela Sl!icta una cuerda li¡.;-era que pasa sobre una polca de baja ¡¡'icción unida al tccho de un gimnasio. Un saco de arena precisamellle igual en peso al atleta cst"í unido al Olro extremo de la cuerda, La arena y el atleta están inicialmente en reposo. El atleta sube por la cuerda, unas \'eces acelerando}' otras veces re­duciendo velocidad. ¿Qué le pas.1 al saco de arena? Explique.

19. Si las I'llerzas de acción y re<lcción son siempre iguales en magni­tud )' opucstas 1.:11 dirección entre ellas, entonces ¿el vector de

l'uel71.1 neta sobre cualquier o~jeto no necesariamente sUlIla cero? Explique su respuesta.

20. ¿Pucne un objeto ejercer una fuel7.a sobres sí mismo? Discuta su respllcsla.

21. Si listen elllpl~a una pesada c;:tia que cst,¡ en repuso, IlSted debe ejercer algu na fueria para in icial' el mO\'imiento de la c;tia. Sin embargo, Ulla vez que e::sta se desliza, se puede aplicar una fuerza pequcila para mantener ese movimiento. ¿Por qué?

22. El conduelor de un camión \,Icío q ue corre a gran rapidel pisa fllcrtemelHe los frenos hast.a detenerse en una distancia d. (a) Si

Preguntas 139

Figura QS.17

el camión lleva una carga del doble de su ma:-;a, ~cu,il sería la "di'i­t.ancia de desli7amiento" del camión? (b) Si la rapidel inicial del camión se redl~era a la mitad, ¿Cutí! sería la distanci<t de desliza­miento del camión?

23. Supong-dlllos que elleClor conduce un <luto clásico. ¿I'or qué de­be evitar pi~ar fuertemente los I'renos cuando desea de tenerse en 1<1 distancia más corta posible? (l\ l lIcho~ autOS tienen frenos ami­bloqueo que e\itan este prohlema).

24. A un libro se le da un breve empujón para hacer que se deslice por un plano inclinado rugoso. Se detiene y se desli;ra c!t: regreso al punto de partida. ¿Toma el mi~mn tiempo en suhir que en ba­jar? ¿Qué pasaría si el plano es sin fricción?

25. Una caja gnlllde S~: coloca sohre la plataf(lrI11a de un camión pero sin amarrarla. (a) Cuando el camión acelera hacia delante, la c¡~a permanece en reposo relativo al camión, ¿Qué fuerza hace que la caja acelere hacia ddante? (b) Si el conductor pisa fuerlemente el freno, ~qué podría ocurrir a la caja:

26. Describa unos CllantOs ejemplos en los que la fuerza de friC('i{¡n t::jcrcida sobre un objeto t:sté en la dirección de mO\imicnto del O~jclO.

140 CAP. 5 • Las leyes del movimiento

PROBLEMAS

1, 2, :1 = sencillo, intermedio, difícil = solución guiada con sugerencias disponibles en http://www.pse6.com

t:l = use computadora para resolver el problema = problemas numéricos y simbólicos por pares

Secciones 5.1 a la 5.6

1. Una fuerza F aplicada a un cue rpo de masa m1 produce una ace­leración de 3.00 mi s!!. La misma fuerLa aplicada a un segundo cuerpo de m,l~a l1i2 produce una aceleración de 1.00 m/ s2. (a ) ¿Cu,íl es el V"dlor de la razón m1 / m;!? (b) Si II/¡ Y 111'2 se combi­nan , encuentre la aceleración de ambas b¡yo la acción de la fuer­za .....

2. El cañón all1.iaéreo de mayor calihre ope rado por la fuerza aérea alemana durante la Segunda Guerra Mundial fue un Flak 40 de 12.8 Clll. Es~ arma disparaba un obús de 25.8 kg con una rapidCl de 880 mi s en la boca del canón. ¿Qué fuerza de propulsión enl necesaria para alcanzar esa rapidez dentro del canón de 6.00 111

de largo?

3. Un objeto de 3.00 kg experimenta una aceleración dada por a = (2:00 i + 5.00] ) m / s2• Encuentre La fuerza resu]¡¡¡ntc que ac­túe sobre ese objeto y la magnitud de la fueo:! resultante.

4. La fuerla gnl\'itacional sobre una pelota de beisbol es - ri j. Un !,irrher lanza la pelola con una velocidad de vi al acelcrarla de ma­nera uni forme al frente, horizontalmente, durante un intervalo II I = l - O = t. Si la pelot.a inicia desde el reposo, (a) ¿qué distan­cia acelera antes de ser soltada? (b) ¿Qué fuerza ejerce el pitcher sobre la pelOta?

5. f,6 Para modelar una nave espadal. un IIIOlor cohe te de j ugue­te se sujeta firmemente a un disco gnmde de hule que puede des­lizarse con fricción insignificante sobre una superficie horizon tal, tomada.. como el plano xy. El disco de 4.00 kg tiene una velocidad de 300i mi s en un insta me. Ocho segundos después, su veloci­dad es (8001 + 10.oj ) mi s. Si se supone que el motor cohete ejerce una fuerza horizontal cOnstalHe, encuentre (a) los compo­nentes de la fuer7.a y (b ) su magnitud.

6. L1 rapidez promedio de una molécula oe nitrógeno en aire es al­rededor de 6.70 X 102 m/ s,}' su masa es 4.68 X 10- 26 kg. (a) Si tarda 3.00 X 10- 13 s para que una molécu la ele nitrógeno choque con una pared }' rebote con la misma rapide? pero moviendose en dirección opuesta, ¿cuál es la aceleración promedio de la mo­lécula durante este intervalo de tiempo? (b) ¿Qué fuerza prome­dio ejerce la molécul<t sobre la pared?

7. Cn electrón de masa 9.11 X 10- :11 kg tiene una rapidel. inicial de 3.00 X 10·'> mi s. Se desplaza en Ifnea recta, y su rapide7 aumenta a 7.00 X 105 mi s en lIna d istancia de 5.00 cm. Suponiendo que Sil aceleración es constante, (a) determine la fuerza ejercida so­bre el electrón y (b) compare esta fuer7a con el peso del elec­trón, que rlt:spreciamos.

8. Una mujer pesa 120 lb. Determine (a ) su peso t:n newtons ( ~) )' (b) su masa en kilogramos (kg).

9. Si un hombre pesa 900 N sobre la Tierra, ¿Cll<lI sería Sil peso en Júpiter, donde la acder.ación debida a la gr<'l\'cdad es 2;) .9 m/ s2?

10. La diferencia en u'c ma.'ill y peso fue descubierta después que .lean Richer tmnsportaba relojes de péndulo de Paris a la Guaya­na fra ncesa en 1671. Él encontró que se atrasaban sistemática­mentc. El efecto se invertía cuando los relojes regresaban a Pa­rls. ¿CuálHo peso pe rdería personalmente el lector al viajar de Paris, donde g = 9.809 :J rn / s2, a Cayenne, donde K = 9. 7808 m/ s2? [Consider.tremos la forma en que la aceleración en caída libre influye el periodo de un péndulo en la secc ión 15.5.]

11. nos fuerzas FJ y F2 actúan sobre un objelo de 5.00 kg. Si rl = 20.0 N }' F2 = 1.;.01\, encuentre la aceleración en (a) y (b) de la figura P5.11.

12.

~o.oo ,. (a)

F I

Figura PS.11

}--'----_ F,

(b)

Además de su peso, un oqjeto de 2.80 kg cs sometido a otra fucr­I.a constantc . El objeto inicia desde el reposo y en 1.20 s exper i­mc!lta un dcsplazamiento de (4.20i - 3.30]) , donde la dirección de j es la dirección venical hac ia arriba. Dete rmine la otra fuena.

13. Usted está de pie sobre el asiento de una silla y luego salta de dl<l. (a) DtmlTltc el tiempo que está en el aire y cae al piso, la Tie­rra se mueve hacia arriba con usted ¿con una aceleración de qué orden de magnitud? En su solució n explique su lógica. ~'I odele la Tierra como un cuerpo perfcctameme sól ido. (b) La Tierra sube una distancia, ¿de qué orden de magnitud?

l-l. Tres fu~rzas ql~e actlÍan sobre ~l n cuerpo están dadas por f ¡ = (- 2.00 i + 2.00j ) N. F2 = (5.00 i - 3.00j ) N. }' F~ = (- 45.0 i) N. El cuerpo expcriment..1 una aceleración de magnitud 3.75 mis\!. (a) ¿Cuál es la dirección de la acelerac ión? (b) ¿Cuál t.:s la masa dd ohjeto? (e) Si el cuerpo está inic ial mentt.: en reposo. ¿cuál es su rapidez después de 10.0 s? (d) ¿Cuáles son los componentes de velocidad del cuerpo después de 10.0 s?

15. Un bloque de 15.0 lb descansa sobre el piso. (a) ¿Qué fuc I7a ejer­ce el piso sobre el hloque? (b) Si una cuerda se ata al bloque)" pa­sa \·enicalmctHc sobre una polcCl , }' el otro eXlremo se ala a un peso de 10.0 lb que pende libremente, ¿cuál es la fuerla ejercida por d piso sobre el bloque de 1:;.0 lb? (e ) Si sustituimos el peso de 10.0 lh de la parte (b) con un peso de 20.0 lb. ¿cuál es la fuer­la <.jcrcida po r el piso sobre el bloque de 1 f).O lb?

Sección 5.7 Algunas aplicaciones de las leyes de Newton

lb. Un cuerpo de 3.110 kg se Blue"c en nn plano. con sus eoorelena­das x e y dadas por x = 5i! - 1 )' .1' = ~p + 2, donde x e J son en metros y t es en segundos. EnCIlCl1lre la ma!-\"Ilimd de la fuerza ne­ta que actúa sobre este objeto en t = 2.00 s.

17. La distancia entre dos postes de teléfonos es de 50.0 m. Cuando un pájaro de 1.00 kg se posa sobre el alam bre Telefónico al centro el1lre los postes. el alambre se curn. 0.200 m. Trace un diagrama de cuerpo libre del pájaro. ¿CU<l m3 tensión produce el pájaru en el a lambre? Haga caso omiso del peso cid alambre.

18. Una bolsa de cemento que pesa 325 N pende de tres alam bres. como se sugiere en la figura P5.18. Dos de los alambres fonnan ángulos 61 = 60.0° Y fh. = 25.0° con la horizoOlal. Si el sistema es­tá en equilibrio, e ncuentre las tensiones TI , 72 Y T3 en los alam­bres.

Figura P5.18 Problemas 18 y 19.

19. Una bolsa de cemelllo de peso Fg cuelga de tres alambres como se ve en la figura P5.18. Dos de los alambres forman ángulos 01 y O<.! con la horizontal. Si el sistema esrá en equilibrio, muestre que la tensión en el alambre de la izq uierda es

Ti = Fgcos8<¿/sen (O l +~)

:W. Usted esjuez en un concurso infantil de \'olar papalotes (o come­tas). donde do~ nitios gananin premios por los papalotcs que ti­ren con más }' menos fuerza de sus cuerdas. Para medir las tensiones sobre las cuerdas. uqed pide al maestro de fisica un gancho de pesas, algunos pesos con mlluras y UIl transponado r, >' usa el siguiente protocolo. ilust rado en la figura P5.20: espe rílf que una nilia controle bien su papalote , colgar el gancho sohre la cuerda del papalotc a unos 30 cm de la mano de ella. poner peso hasla que esa sección de la cue rda esté horilontal. registrar la masa nt!ccsaria.}' registrar el ángulo entre la horizontal y la cue r­da que corre hast<l el papalote. (a) Explique dJlno funciona este método. Cuando usted elabore su explicación . imagine que los padres de los nhios lt! hacen pn:guutas sohre su método. que dios podrían hacer falsas supo~iciOll cs acerca de la capacidad de ustt!d sin concretar c\'idencia. ~ quc la explicación de ustcd es una oportunidad para darles ronnam'a en su técnica de cvalua-

Problemas 141

ción . (b) Encw::nlre la tensión en la cueroa si la masa es de 132 g }' el ángulo de la cuerda del papalote es 46.3°.

/

Figura PS.20

21. Los sistemas que se mueStran en la figura P5.21 están en equili­brio. Si las básculas de resorte están calibradas en ncwlons, ¿cuál es la lccturd de ellas? (Desprecie las masas de las polcas y cucrdas. )' suponga que el plano inclinado de la parte (e) es sin fricción. )

(a)

5.00 kg

30.00

5.00 kg 5.00 kg (e)

(b)

Figura PS,21

22. Trace un diagrdma de cuerpo libre de Ull hloque que se desli7a hada ab,~o en un plano si n fricción y que ticne inclinación de 8 = 15.0° (figura P5.22). El bloque inicia desde el reposo en la parte superior}' la longilUd del plano cs 2.00 tll. EnClLcntrt: (a)

142 CAP 5 • Las leyes del movimiento

la aceleración del hloque }' (b) la rapideL cuando llegue al final del plano.

Figura PS.22 Prob lemas 22 )' 25.

~J. Se ObSt;IYd que un cuerpo de 1.00 kg tie ne una aceleración

24.

de 10.0 mi s\! en dirección 30.0° al none del este (figura P5.23) . La fuerLa F2 que actúa sobre el cuerpo tiene una magnitud de 5.00 N Y eski dirigida al none. Determine la magnitud y direcci6n de la fuerza F1 que actúa sob re el objelo.

F 1 1--, \~~~ __ ~ ,y.--- \30.0'

F,

Figura P5.23

Un cuerpo de 5.00 kg colocado sobre una mesa horizontal, si n fricción, está unido a una cuerda que pasa sobre una polea y lue­go está sluelo a UTl cuerpo colgante de 9.00 kg, como se \'e en la figura P5.24. Trace diagramas de cuerpo libre de ambos objetos. Encuentre la aceleración de los dos objetos}' la tensión de la cue rda.

:;.00 kg

Figura P5.24 Prohlemas 24 y -13.

2.;. Un bloCJll c recibe una velocidad inicial de 5.00 mi s hacia arriba de un plano inclinado de 20.0· sin fri cci6n (figura P5.22). ¿Hasta qué allUra del plano inclinado ~ube el bloque antes de de­tenerse?

20. Dos objetos eSiáo collwados a una cuerda ligera que pasa sob,·. una polea sin fricción, como se \'C en la figurd P5.26. Trace dia· gramas de cuerpo libre de ambos objetos. Si el plano inclinado es sin fricción y si mI = 2.00 kg, II/:! = 6.00 kg,}' O == 55.0· , encuen· tre (a) las acelemcioncs de los objetos, (b) la tensión de la cuer­da, y (c) la rapidez de cada objeto de 2.00 s después de ser sollado desde el reposo.

Figura P5.26

'!. •. Una grúa remolcadora tira de un auto que está atascado en el lo­do con una fuerz¡.¡ de 2500 N, como se \'e en la figura P5.27. El ca ble remolcador est~i bajo tensión}' por lo tanto tira hacia abajo y a la izquierda sobre el perno de su extremo supe rior. El perno ligero es mantenido en cquilibdo por fuerzas ejercid<ls por las dos barras A }' B. Cada barr<l es un poste: esto es, cada uno es una barrd cuyo peso es pequcJ10 en comparac ión con las fucrLas que ejerce, r lo consigue sólo por medio de pernos bisagra en sus extremos. Cada poste ejerce una fllena dirigida paralela a su Ion· gitud. Determine la fuerza de tensión o compresión en carla pos· te. Proceda como sigue: haga un cálculo en cuanto a la fo rma (emplU<lr o jalar) ac túa cada fuer}'a sobre el perno superior. Tra· ce un diagrama de cuerpo libre del perno. Use la condición de equilib ri o del perno para traducir el diagrama de cuerpo libre en ecuaciones. De I<lS ecuaciones calcule las fuerlas ejercidas por los postes A r n. Si usted obtiene una respuesta positi\<t, correc ta· mente calculó la di recci(m de la fuerza. Una respuesta negativa significa que la dirección debe invertirse, pero el \<t lor absoluto w rrectamentc da la magnitud de la fllerl3. Si un poste tira sobre el perno, es una tensión. Si emplUa. el poste está en compresión. Identifique si cada poste está en lensión o en compresión.

Figura P5.27

:!H. Dos o~jetos de masas 3.00 }' 5.00 kg t!stán unidos por una cuerda ligera , que p<lsa sobre una polea lige ra y si fricció n, para fo rmar una máquina de Atwood, como se \'e en la figu l<l 5. 14a. Determi­ne (a) la tensión de la cuerda, (b) la aceleración de cada objelo y (c) la distanc ia que cada objeto se moverá en el primer segundo de movimienlO si inician desde el reposo.

29. En la figura 1)5.29, el hombre y la plataforma pesan 950 N en to­lal. l.a polea puede modelarse sin fricción. Determine cu;"imo tie· ne el hombre que tirar de la cuerda para le\,¡mtarse a sí mismo uniformemelllC hacia arriba del sucio. (~Es esto imposihle? Si es así. explique por qué.)

Figura P5.29

\ti. En la máquina de Atwood que ,~c iluslr.! en la figu ra 5.14a, 11/1 o::

2.00 kg)' "t<¿ = i.OO kg. l.as masas de la polea r la cue rda son des­preciables. La polea gira ~in rl'icción y la cuerda no se eSlir~1. El o~eto más ligero se suelta con un brusco cmpl~jón que lo pont! en mo\'imielHo a Vi = 2.40 mi s hacia abajo. (a) ¿Cuánto descen­derá 1/11 ab:\io de su nivel inicial? (b ) Encuerllre la velocidad de mI después de 1.80 segundos.

:>1 En el sistema que se ilustra t:n la figura P5.31. una fuer/.a horizon­tal F x aCIlIa sobre el objetO de 8.00 kg. La superficie horil.Onlal es sin rricciÓn. (a) ¿Para qué \-.-tlores de I'~ acclel~\ haci a a rriba el ob­jelO de 2.00 kg:? (1)) ~ Para qué "llores de I'~ e .. cero la tensión en la cuerda? (e) Hag'¡ una grá lica de la aceleración del ohjclO de 8.00 kK contra Fx' Incluya valores de Fxde - 100 ~ h<lsta + 100 N.

Figura P5.31

Un plano sin fricción mide 10.0 m d~' largo \. está inclin<ldo a ~.;:,.O o . Un trineo sube desde la b<lsC del plallo con una 1~lpide7. in i· cial de .;; .00 mi s hacia alTiha dd plano. Cuando llega al pUllto en el flue momentáneamente se detiene. un segundo trinco se suel­t3 desde lo <lito del plano con lIna rapidez inicial 111, Ambos lfi­neos llegan a la base del plano en el mismo momento. (a) Determine 1<1 distan cia que el primer lrinco reeorrifJ had<l arriba por 1"1 plano. (b) Determine la rapidez inicial del segundo trinco.

Problemas 143

H en hombre de 72 kg está de pie sobre un<l báscula en un eleva­dor. In iciando desde el rcposo, el elt:\'ador asciende y <llcanza su máxima rapidez de 1.20 mi s en 0.800 s. Se clesplaLa COll su rapi­dCí' constame durame los sigu icmes 5.00 s. El ele\'<ldor eIllO!lCCS experimenta una aceleración ulliforme en la dirección )' llegativ<l durAlHe 1.50 s }' se detiene. ¿Qué registra la báscula (a) antcs que el elevador empiece a mo\"crst!: (b) dllrante los primeros 0.800 s? (e) mielHras el clc\-ador se desplace a ra pido constante? (d) du­rante el tiempo en que eSlá reduciendo su velocidad?

l 'n objeto de mas..l mI sobre una mesa horiLOlltal sin fricción está unido a Ull objeto de m,lsa m-¿ por medio de una polca TlIIL)' ligera PI}' una polca P,¿ligera y fija, como se \·e en la figura P5.34. (a) Si al r (/2 son las aceleraciones de mI y 11/2, re~pccti\-,Il11Cnte , ~cuál es la re lación entre estas acelerac iones? Exprese (b) las tensiones de las cuerdas y (e) las aceleraciones III r (I'! en términos de las masas "'1 y m'2 )' g.

Figura P5,34

Sección 5.8 Fuerzas de fricción

La persona de la figura P5.35 pesa 1 iD librds. Vistas desde el fren­fe , caela muleta forma un ángulo de 22.0° con la vertical. La mi­lad del peso de la persona está sostenido por las muletas. I.a otra mitan cSl¡i sostenida por fuerzas verticales del suelo sobre sus pies. Si se supone que la persona se mueve con velocidad cons-

Figura P5.35

144 CAP 5 • Las leyes del movimiento

tante)' la fuerza ejercida por el suelo sobre las muletas actúa a lo I:ugo de éstas, determine (a) el mínimo coeficiente de fri cción posible etHre las muIeras)' el suelo)' (b) la magnitud de la fuerza de compresión en cada muleta.

36. Un bloque de 25.0 kg está inicialmellle en reposo sobre una su­perficie horizonlal. Se requiere una fuerza horizontal de 75.0 N pard poner el bloque en moyimiento. Después que está en ma. \~miento, es necesaria una fuerza horizontal de 60.0 N para mantenerlo con rapidez constanlC. Encuentre los coeficientes de fricción estática y cinética a partir de esta infonnación.

37. en auto vi.ya a 50.0 mi/h en una ca rretera horizontal. (a) Si el coeficiente de fricción estática entre la carretera y las llantas en un día lluvioso es 0.100, ¿cu:íI es la distancia mínima en la que el aUlO se delendrá? (b) ¿Cuál es la distancia de frenado cuando la superficie está seca}' J1.J = 0.600:

:~K Antes de 1960 se pensaba que el tll,íximo coeficiente de fricción estática que se podía alcanzar para las llamas de un amomó"il era menos de 1. Entonces, hacia 1962, tres compailías independien­temente perfeccionaron lIanta.s ele carreras con coeficientes de 1.6. Desde entonces, han mejorado las llantas, como se ilustnl en este problema. Según el Libro de Récords Guinncss. el tiempo más cono en el que un auto con motor de pistones inicialmcnte en reposo ha cubierto una distancia de un cuano de milla es 4.96 s. Este récord fue establecido por Shirley !\"fuldowney en sep­tiembre de 1989. (a) Suponga que, como en la figura P5.38 , las ruedas (raseras levantaron las ruedas delallleras del paúmento. .;Qué valor mínimo de ¡..t , es necesario para a1call7ar este tiempo record? (b) Suponga que Muldowllcy fuera capaz de duplicar la

'potencia de su motor, manteniendo otras cosas iguales. ¿Cómo afectaría este cambio al tiempo transcurrido?

Figura P5.38

:I~I. Pard. satisfacer un requisito del sen~cio postal de Estados Unidos. el calzado debe tener un coeficiente de fricción estática de 0.5 o más en una superficie especificada de loseta. Ln tlpico call1:\<lo atlético tiene un coeficiente de 0.800. En Ulla emergencia, ¿cuál es el inlcrvalo de tiempo mínimo en el que una persona que ini­cia desde el reposo puede avanzar 3.00 m en una superficie de lo­seta si US<l (a) cal;~ado que satisface el mínimo del servicio postal o (b) un típico ca lzado atlético?

Ir Una ml~cr en un aeropuerto remolca su maleta de 20.0 kg con rapidez constante al jalar de una correa a un ángulo {J sobre la hori/onlal (figura P:").40). Ella tira de la cOl'rea con una fuerl.a de 35.0:'\l, Y la fuerza de fricción sobre la maleta es 20.0;\. Trace un diagrama de cuerpo libre de la maleta. (a) ¿Qué ,íngulo forma la correa con la horizontal? (b) ¿Qué fuerza normal ejerce el sucio sobre la maleta?

Figura P5.40

11 Un bloque de 3.00 kg inicia desde el reposo en lo alto de un plano inclinado de 30.0" y se desliza una distancia de 2.00 m hacia ab~jo del plano en 1.50 s. Encuentre (a) la magnitud de la aceleración del bloque, (b) el coeficiente de fri cción cinética en­tre el bloque)' el plano, (e) la fuena de fricción que actúa sobre el bloque,)' (d ) la rapidez del bloque después que se ha deslizado 2.00 m.

'. Un COI1\'ertible Che\'rolet COJ"\'eue puede frenar hasta detenerse desde \lila rapidez de 60.0 mi/h en una distancia de 123 pies en un camino plano. ¿Cuál es la distancia de frenado en un camino con pendiente descendellle a un ángulo de lO.O"?

Un peso colgante de 9.00 kg cst.á unido medianTe una cucrda so­bre una polca a un bloque de 5.00 kg que se desliza sohre una mesa plana (figura P5.24 ). Si el coeficiente de fricción cinética es 0.200, encuClllre la tensión en la cuerda.

Tres oqjelOs están conectados sohre la mesa como se muestra en la figura P5.44. La mesa es rugosa y tiene un coeficiente de fric­ción cinética de 0.350 . Los o~jelOs tienen masas de 4.00, 1.00, )' 2.00 kg, como se muestra,}' las poleas son sin fricción. Trace dia­gramas de cuerpo libre de cada lino de los objeLOs. (a) Detenni­ne la aceleración de cada objeto}' sus direcciones. (b ) Determine las tensiones de las dos cuerdas.

1.00 kg

Figura P5.44

Dos bloques conectados por una cuerda de masa despreciable son jalados por una fuerza ho rizontal F (figura P5.45 ). Suponga que ¡: = 68.0 N. mI = 12.0 kg, 1I1<z = 18.0 kg, Y el coeficiente de fricción cinética elllre cada bloque y la superficie es 0.100.

(a) Trace un d iagrama de cuerpo librt: para cada bloque. (b) De· tennine la tensión T)' la magnitud de la aceleración del sistema.

Figura P5.45

L'n bloque de masa 3.00 kg es empujado hacia arriba contra una pared por una fuerza P que forma un ¡íngulo de 50.0° con la ho­rizontal, como se ve en la figurd P5.46. El coeficiente de fricción eSlálica entre el bloque )' la pared es 0.250. Determine los posi­bles '-dimes para la magnitud de P que permitan que el bloque permanezca estaÓonario.

Figura P5.46

Usted y un amigo van a pasear en trineo. Por curiosidad. mida el ángulo constante 8 que la pendiente cubierta dc nievc forma con la horizont."ll. A continuación, use el siguicme método para deter­mi nar el coefic iente de fricción J.L* entre la nicn: y el trineo. Dé al trineo un rápido empl!ión para que suba por la pendiente ale· jándose de usted. Espere que se deslice de nue\"O hacia abajo, midiendo el tiempo del movimiento. Resulta q\le el trinco tarda el doble en bajar de lo que ta rda en llegar al punto m,Í5 alto en el \'iaje redondo. En términos de O. ¿cuál es el coeficiellle de fric· ción?

4R. La tabla folocada entre otras dos tablas en la figurd P5.48 pesa 95.5 N. Si el coeficiente de fricción entre la..~ tablas es 0.663, ¿cuál debe ser la magnitud de las fllerl.as de compresión (supuestas ho­rizontales) que actúan sobre ambos lados de la tabla dd centro pan. evitar que c<liga?

Figura P5.48

en bloque que pcsa 75.0 N descansa sobre un plano inclinado a 25.0" con la horizontal. Se aplica \lila fuerza F al objeto a 40.0° con la horizollL"lI , empujan cl olo hac ia arriba en el plano. Los coeficientes de fricción estática y cinética entre el bloque }' el pla­no SOTl, respectivamente , 0.36:\ }' 0. 156. (a) ¿Cm.í.I es el valor míni­mo de F que evitará ql!e el bloque se deslice cuesta ab¡~o? (b) Cual es el valor mínimo de F que iniciará el movimiento del blo-

Problemas 145

que hacia arriba del plano? (e) ¿Qué \'alor de FrnO\'erá el bloque hacia arriba del plano con velocidad constante?

Problema de repaso. Un lado del lecho de un edificio está incli­nado hacia arriba a 37.0°. Un estudiante lanza un disco Frisbee™ sobre el techo. El disco golpea con una rapide7 de 15.0 mi s), no rehota. pero se desliza hacia arriba del plano. El coeficiellle de fricc ión cinélica entre el pláslico }' el techo es 0.400. El disco se desliza 10.0 m hacia arriba del techo hasta su puntO máximo, donde inicia una caída libre , siguiendo una trayectoria pa l-.. bólica con resistencia despreciable de aire. Determine la m¡í­xima allllra que el d isco alcanza por encima del punlo donde pe­gó en el techo.

Problemas adicionales

51. en niiío ingenioso llamado Pat desea alcanzar una manl.ana que está en un <Írbol sin tener que trepa r por éste. Sentado en una ),i­lla unida a una cuerda que pasa sobre una polea sin fricción (fi­gUl'a P5.51) , Pat tira del extrelllo flojo de la cuerda con tal fuerza que la bá~cllla indica 250 N. El peso real de Pat es J\20 N,)' la silla pesa 160:\1. (a) Trace diagramas de cuerpo libre pard Pa l.)' la si­lla considerados como sis{cma.~ separados. ~' ou'o diagrdma para él y la silla considerados como un sistema. (b) ~If ueslre que la ace­lerdción del sistema es hacia mTiba)' encuentre su magnitud. (c) Encuentre la fuerza que Pal ejerce sobre la silla.

Figura P5.51

52. Una fuer7.a dependiente delliempo, F = (8.00; - 4.00tj), donde I está en segundos, es ejercida sobre un objeto de 2.00 kg inicial­mente en reposo. (a) ¿En qué tiempo ),e mo\'er,í el ol~jeto con una rApideL de 15.0 mi s? (b) ¿A qué distancia est,i el objeto des­de su posición inicial cuando su rapidel es 15.0 mi s? (c) ¿Cmil es el desplaLamicll1(¡ total que el objelO ha recorrido en este tiempo?

53. Para evitar que una caja resbale por un plano inclinado. el estu­diante A la emplya en dirección pardlela al plano inclinado lo su­ficiente pan¡ sostenerla estacionaria. En una situación idéntica el eSllldiante B empuja horiLontalmellte sobre la c~ja. Considere co­mo conocidos la masa 111 de la caja, el coeficiellle de fricción está-

146 CAP 5 • Las leyes del movimiento

tica m, entre c<tia y plano inclinado, )' el angula de inclinación 8. (a) Determine la fueoa que ¡\ tiene que ejercer. (b) Determine la fuerza que B tiene que eje rce r. (e) Si 1!1 = 2.00 kg, (J = 25.0°, )' ¡.tj = 0.160. ¿qui~n tiene el [rab<tio más fácil ? (d ) ¿Qué pasaría si Ps = 0.380? ¿El trabajo de quién es más fácil:

Tres bloques eSGí.n en contacto elHrc sí sobre una superficie hod­I.o ntal~· sin fricción. como en la figura P5.54. Una fuerla horizon­tal F se apl ica a mi. Tome 1/11 = 2.00 kg, 11/2 = 3.00 kg, J.!3 = 4.00 kg,}' F = 18.0 N. Trace un diagrama separado de cuerpo librc pa­ra C<l da bloque}' encuentre (,1) la acc1crac ióll de los hloques, (b) la fucl-la resultonlp sobre cada ullO. y (e) las magnitudes de las rUerL...1S de con tacto entre ellos. (d ) Usted est;. trab.:1jando en un proyecto de constmcción. L'n compailero de trabajo está clavan­do canón de yeso en un lado del tabique ligero, }' usted está en el lado opuesto dando ~apoyo~ al inclinarse CO lllra la pared con 1;1 espalda emptuando contra el muro. C'1.da gol pe hace que su es­palda le duela. El supervisor le ayuda al poner UH pesado bloque de madela entre la pared y la espalda. Con el LISO dc la siluación analizada en las panes (a), (b ) }' (e) COIllO modelo. explique có­mo runciona esto para hacerle más cómodo el trabajo.

F

Figura P5.54

.'l5. Un objeto de Illasa ¡\/ se mamit:ne en su lug-dr mcdiante una fuerza F aplicada y un sistema dc poleas, como se mucstra en ]¡t

figura P5.55. Las poleas son sin masa}' sin fricc ión. Encuentre (a) la tcnsión ell cada sección de cuerda, TI> T'b "/~, T-l)' ', ':, y (b) la magnitud de F. SUgr'lwcia: Trace un diagrama de cue rpo libre pa­ra cada polea.

Figura P5.55

56. Vil cla\'adist<l. de masa 70.0 kg salla de un trampol ín de 10.0 m so­bre el agua. Si su mo,~miento hacia abajo se detiene 2.00 s des­pués que entra al agua, ¿qué fuel"i'<l. promedio hacia arriba ejerció el agua sobre ti?

Una caja de peso F-g es emPluada por una (llena P sobre un piso horiLOll t<l 1. (a) Si el coeficiente de rdcción estática es j.1. ., y P está dirigida a un ángulo O abajo de la honzolllal , demuestre que el valor míni mo de Pque mo,'erd lti c<ya está dado por

_ 1'-'::"-' ~f;,-, ,:..":..c,-O_ p = 1- j.1. , lan O

(b) Encuentre el ' ·a lo r mínimo (le P que pueda producir movi­miento cuando j.1.j = 0.400, Fg = 100 :-.l , )' 8 = O°. 15.00. 30.0°. 4.=>.0° Y 60.0°.

58. Problema de repaso. Un bloque de masa 111 = 2.00 kg se suel ta desde el reposo en h = 0.500 m arriba de la superficie de ulla la­

bIa, ell lo allO de un plano incl inado de (1 = 30.0e como se mues­trA en la figura P5.58. El plano incli nado sin fricc ión está fijo sobre una mesa de altura H = 2.00 m. (a) Determine la acelera­ción del bloque cllando se deslice hacia ab,uo por el plano . (b) ¿Cuál es la velocidad del bloque cuando sale del plano? (c) ~A

qué di stancia de la mesa caerá el hloque al piso: (d ) ¿Cuánw liempo ha w<mscurri rlo desde qut! el bloque se suelta y cu,indo és­te cae el piso? (e) ¿Afena la masa del bloque a cualquiera de los dilcu los diados anteriormente?

59. Un lostador de 1.30 kg no está conectado a la toma de corriente. El coeficiente de friccicín estática entre el tostador )' un tope de mostrador e~ 0.350. Para hacer que el tostador empiece a 1000·er­se. en un descuido usted tira de su cordón eléctrico. (a) Para que la tensión del cordón sea tall pequ61a como es posible. ¿usted debe tirar a qué ángulo sobre la horizonta l? (b) Con este ángulo, ¿qué tan grande debe se r la tensión?

fiO. Materiales como el hule de llantas de aUlomó,'iles }' Suelas de za­patos se prueban en su coeficiellle de fricción estáticti con un aparato llamado probador James. El par de superficies para las que ¡.tI ha de medirse se marcan como B )' C cn la figura P5.tiO. La muestra e se ulle ti un pie D en el exlre lllO in ferior de un bra-1.0 de pivote E. que rorma un ángu lo (1 con la ,·enical. El ex tremo superior del brazo está unido con bisagra en F a una varilla verti­cal G, que ~e desliz<I lihrelllen te t! 1l una guía H rija al bastidor del apara to y sostiene una ca rga I de masa %.4 kg. El perno de bisa­gra en F es talllbi~n el eje de ulla rueda que puede rodar vertical· ll1elH(' sobre el marco . Todas las partes m(¡viles tienen masas despreciables ell comparación a la carga de 36.4 kg. Los pivoles

son casi sin fricción . l.a super ficie B de prueba está unida a una plataforma roda me A. El operddor lemamelllc mucve la platafor­ma a la izquierda de la figura hasta que la muestra e de pronto reshale sobre la superficie B. En el pumo crítico donde el movi­miento deslizante está listo para iniciarse , d operador toma nota del ángulo O) del braw pivote. (a) Haga un diagrama de cuerpo libre del perno en F. Está' en equilibrio b~o tres fuerlas: la fuerla gra\'itacional sobre la carga 1, una fuerza horilOnlal normal ejer­cida por el marco, }' una fuerza de compresión dirigida hacia arri­ba a lo largo del braLO E. (b) Trace un diagrama de cuerpo libre del pie D y la muestra e, considerados como un siSlema. (e) De­termine la fuerza normal que la superficie de prueba B ejerce sobre la mueSlra parJ. cualquier ángulo (J. (d) Muestre que 115 =

tan (JJ' (e) EIlransportador del probador puede regist rar ángulos ele hasta 50.2°. ¿Cu,í l es el máximo coeficiente de fricción que puede medir?

e

Figura P5.60

fi1. ¿Qué fuerza hori7.0lIlal debe ser aplicada al carro que se iluslra en la figura P5.6l para que los bloques permanezcan estaciona­rios con res pecIo al c¡¡rl'O~ Suponga que todas las superficies, rue­das y polea son sin fricción. (Sugmmcia: Nótese que la fuerza ejercida por la clll;:rda acclcrd a Ind

F _

Figura P5.61 Problemas 61 >' 6~.

ti:!. Q A un esu\(iiame se le pide medir la aceleración dc un carro en un plano inclinado "sin fricción" como en la ligura 5. 11 , usan­do para ello una pista de aire, nil cronómetro)' una cinta de me­dir. La ahura del plano inclin<tdo se mide y es 1.7i4 Clll . y la longitud total del plano inclinado se mide y es d = 127.1 cm. Por lo tanto, el ángulo de inclinación (J se determina a partir de la re-

Problemas 147

lación (J = 1.77-1/ 127.1. El carro se suelta desde el reposo en la

parle superior del plano, y su posición x a lo largo del plano se mide como función del tiempo. donde x = O se refiere a la posi­ción il{icial del carro. Para valores x de 10.0 cm, 20.0 cm, 35.0 cm. 50.0 cm, 75.0 cm y 100 cm, los tiempos medidos en los que se alcanzan estas posiciones (promedio sobre cinco corridas) son 1.02 s, 1.53 s, 2.01 s, 2.64 s, 3.30 s y 3.75 s, respeCli\"dlllellte. Cons­truya una gráfica de x contra (2, )' efeClúe un ajuste lineal de mí­nimos cuadrados a los datos. Dercnnine la aceler,lción del carro desde la pendiente de esta gráfica. y compárcJa con el \<tlor que se obtendría usando a' = gsen 0, donde g = 9.80 mI s:!.

ti:!. Inicialmente el sistema de objelOs que se muestran en la figUl<t P5.6 1 se mantiene si n movimicnto. Todas las superficies, polea y ruedas son sin fricción. Sea cero la fuerza F y suponga que In";! se puede mover sólo \'erticalmentc. En el instante después de soltar los objetos, encuentre (<1) la tracción Ten la cuerda, (b) la acele­ración de In,!, (e) la acderación de M, y (d ) la aceleración de /JII·

( JVo(a: La polea acelerajulllo con el carro.)

ti 1. Un bloque de masa 5.00 kg se apoya sobre la parle supe rior de un segundo bloque reclangular de ma.<,a 15.0 kg, que a Sil ,·cz está sobre una mesa horilOntal. Los coeficientes de fricción cntre los dos bloques son /-Lo = 0.300 Y JJ.A = O. l OO. Los codiciellles de fric­ción entre el bloque inferior y la mesa rugosa son 11, = 0.500 Y ¡.J.A = 0.400. Usted aplica una fUe¡-la horizontal constante al blo­que inferior. apenas suliciclllC para hacer que este bloque empie­ce a desliJarse desde entre el bloque superior) la mesa. (a) Trace un diagrama de cuerpo libre de cada bloque, nombrando las fuerzas en cada uno. (b) Determine la magnitud de cada fuerla sobre cada bloque en el instante cuando uSled ha empezado a clllPlti¡¡r pero el movimiento no se ha iniciado todavía. En par­tindar ¿qué fuerza debe aplicar usted? (c) Determine la acelera­ción que usted mide para cada bloque.

tú Un planeador sobre una vía hori7.0111al de aire esjaladu por una cllerda a un ángulo (J. L'l c\lerda lensa corre sobre una polea)' es­tá unida a un objeto colgan te de masa 0.:")00 como en la figura (>5.6:,. (a) ~ I ucstre que la velocidad l lx del planeador y la rapidez Uy del objeto colgante eSl<in relacionadas por l/x = IlJIJ, donde

Figura P5.65

148 CAP 5 • las leyes del movimiento

II = z(z2 - /4}) - 1 2. (b) El planeador se suel la desde el reposo. Demuestre que en ese inSlanle la aceleración (1" de l planeador }' la aceleración t11 del objcto colgallle están relacionadas por (1" = !1t1\" (e) EnC\lc~ tre la tellsión de la cuerda en el inslantc en que el i)laneador se suelta para /10 = 80.0 cm y (j = 30.0°.

fi6. Se usan mecanismos de levd en numerosas máquinas. Por ejem­plo, las levas abren y cie rran las \-;l lndas del motor de un aUlO para permitir la admisión de \'apor de gasolina a cad¡.¡ ci li nd ro y permitir la salida de gases de escape. El princi pio se ilustra en la figura P5.66, que muestra lI na \'a rilla (también llamada balancín) rle masa In que apoya sobre una CUIla de masa M. La CUIla desli­lame duplica la función de UI1 disco excéntrico gi ratorio sobre un árbol de levas de un aUlO. Suponga que no har fricc ión ctllre la curia )' la base , entre el ba lancín }' la ClUla, o Cnlrc la varilla y la guía cn la que se desliza. Cuando la cuúa es empl.~ada a la iz­quierda por la fuerza r: la varilla se mueve hacia arriba}' hace algo, por ejemplo abrir una válvula. Al variar la forma de 1<1 cu­Ila. el movimiento de la vari lla seguidora puede hacerse muy complejo , pero supong-<i que la CUIla forma un ángulo conSl.Llllte de (} = 15.0°. Suponga que usted desea que la CUIla Y la v<llill<l arranquen desde el reposo y se muevan con aceleración constan­Le. <.:on la varilla moviéndose hacia arriba LOO II1Ill en 8.00 ms. Tome 111 = 0.250 kg )' M = 0.500 kg. ¿Qué fuerza F debe St:r apli­cada a la cuila?

'"

Figura PS.66

lo Cualq uier disposilivo que permita aumentar la ¡lleo .. 'l que se ejer­ce es una clase de máquina. Algunas máquinas, como la palanca o el plano incl inado. son muy si mples. Algunas máqui nas ni siqui l..".. ra parecen máquinas. Un ejemplo es el sigui ente: un ílUto queda atascado en el lodo. y el conductor no puede lirar de él para sa­c<l d o, pero cuenta con un cahle largo que conecta tenso entre la defensa de!atHera del a ll lO y un :i rbol ; luego tira del cable en su punto medio. 10 cual ejí:fce una fue rzaf. Cada mitad cid cable es dcspblada un pequello ángulo (j de la reCla entre los extremos dd cablt:. (a) Deduzca una expresión para la fuerza ~je rcida so­bre el aULO. (b) E\'alúe la lI'accio n dd cable pa l-d el GISO do nde 8 = ¡.OOo ~'f= 100 N.

¡¡ti. Dos hloques de m<lsa 3.50 kg )' 8.00 kg están conectados por una cuerda 1!in masa que pa..~a sobre una po lca sin fricción (figura P5.6H). Los planos inclinados son sin fricción. Encuentre (a) la magnit lld de la aceleración de cada bloque }' (b) la tensión de la cuerda.

Fig ura P5.68

n!l. Una camioneta acelera cuesta abaj o (ligurJ. P5.69), pasando del reposo a 30.0 mi s en 6.00 s. Durante la acelerdción, un j uguete (111 = 0. 100 kg) cuelga de una cuerda del techo de la camioneta. La <lceleración es tal que la cuerda permanece perpend icular al techo. OeLermine (al el ,íngulo 8y (bl la tensión de la cuerda.

Figura PS.69

70. En la figura P5.58 el plano inclinado liene masa M y está sltietO a ulla mesa horizontal cstacionítria. El bloque de masa 111 está pues­la cerca del fondo de l plano y se suelta con un rápido empujón que lo hace deslizarse hacia arriba. Se detiene cerca de la pane alta dd plano, como se \'e en la figura , )' luego se desli za de nuevo hacia a b;~o, siempre sin fricción. Encuentre la fuerza que la mesa ejerce sobre el plano inclinado en todo este movim iclllo.

71 Un m<lgo tira de un mantel que cst;.t b,~o un [¡¡rro de 200 g pues­la a 30.0 cm dd borde del mantel. El mantel c;jerce una fuerza de fricc ión de 0.100 N sobre el tarro, y el mantel se li r<l con una ace­le r.lció n constante de :tOO m/s~. ¿Cuánto se mueve el t.'l rro con respcclO a la mesa horizolllal antes que el mantel esté complcta­mente fuera de bajo e1WlTo? NÓlCSC que el man tel debe moverse más de 30 cm con respecto a la mesa durante el proceso.

n. Q Un objeto de 8.40 kg se desli/<I hacia abajo de un plano incli­nado lijo }' ~in fricción. Use una computadora para determinar r tahlll ar la fuerza normal c;jel'c ida sobn: d objelo y su aceleración para IIml ~eric de ángulos de indinaciún (medidos desde la hori­zontal) que van de 0° a 90° en incrcmelHos de Y. Haga una gr:ill­ca de la fucr/a normal )' la acelerdción como fl lllcioncs del ,ingulo de inclinación. En los casos límiLC de 0° y 90g

, -:SOI1 sus re­sultados consislentes con el comportamiento conocido~

73. t;n móv;1 se forma al SOSlener n ,mo ma,·;posa., metáhcas de igual masa 111 de una cuerda de longitud L Los punlos de sopone están igualmente separados una distancia e, como se ve en la n­gurd P5.73. La cuerda fo rma un ángulo 81 con el lecho en cada punto extremo. La sección cemral de la cuerda es horizontal. (a) Encuentre la tensión en cada sección de cuerda en lénninos de O], m}' g. (b) Hállese el ángulo~, en términos de 0\. que las sec­ciones de cuerda Cl1IfC las mariposas exteriores y las maliposas in­teriores forman con la horizonlal. (e) Demuestre que la distancia f) entre los puntOS extremos de la cuerda es

L D = -:-(2 cos 01 + 2 cos [ lan -I{~ ta n 91)] + 1)

o

I~' -------- D ------~' I

) 8, e

m

e, 8,

----r------- --~- ---e e

e

,n

m

Figura P5.73

Respuestas a las preguntas rápidas

m

L= óf

5.1 (d ). La opción (a) es ve rdadera. La primera le}' de Ncwlon nos dice que el mú\imiento no requiere fuerza: un objeto en movi­miento continúa moviéndose a velocidad constallle en ausencia de fuerzas externas. La opción (b) también es ve rdadera. Un obje to estacionario puede tener varias fuerzas actuando sobre él. pero si el vector suma de todas estas fuerzas exte rnas es cero, no hay fuerla neta y el obje to permanece estacionario .

5.2 (a). Si actúa una sola fuerza, esta [llena consti tuye la fuerza ne­ta y hay una acelerac ión según la segunda le}' de NewLOn.

5.3 (e). La segunda ley de Newton relaciona sólo la fueln y la acc­ler.Kión. La direcció n de mo\imiento es parte de la vtlocidad d e un objctO, }' la fLlerla determina la dirección de la aceleración , no la de la velocidad.

5.4 (d). Con el doble de fllena, el objeto va a experimentar el do­ble de aceleración. Como la fucrza es constante, la aceleración

Respuestas a las preguntas rápidas 149

es constante,}' la rapidez del obje to (que inicia desde el reposo) está dada por v = ato Con el doble de aceleración , el objeto lle­gará a la rapidez ven la mitad del tiempo.

5.5 (a). La fuerza gr.nitacional actúa sobre la pelota en todos los pun tos en su trayectoria.

5.6 (b). Como el valor de ges menor en la Luna que en la Tierra, más masa de oro se necesita para representar 1 newton de peso en la Luna. Por lo tanto, su amigo en la Luna es más rico. por un factor de 6.

5.7 (e). De acuerdo con la tercera ley de Newton, la mosca )' e l autobús experimentan fuerzas que son iguaJes en magnitud , pero opuestas en dirección.

5.8 (a). Como la mosca tiene una masa tan pequeña, la segunda ley de Newton nos dice que experimenta una aceleración muy grande. La enorme masa del autobús significa que éste resiste más efectivamente cualquier cambio en su movimiento y exhibe una pequeña ace leración.

5.9 (e). La fuerla de reacción a su peso es una fuerl.a gra,itacional hacia arriba en la Tierra debida a usted.

5. 10 (b). Recuerde la frase "cuerpo libre.~ USled traza un cuerpo (un objeto), libre de lOdos los otros que puedan interactuar. }' traza sólo las fuerlas ejercidas sobre ese obje to.

5. t i la fuerza de fricción actúa opuesta a la fuerza gra\itacional so­bre el libro para mantenerlo en equilibrio. Debido a que la fuena gr<l.vilacional es hacia abajo, la fuerza de fricción debe ser hacia arriba.

5.12 (b). La caja acelera al este. Como la única fuerza horizo ntal que actúa sobre e lla es la fuerla de fricción estática entre su superfi­cie inferior y la plataforma del camión, esa fuena tam bién debe estar dirigida al este.

5. 13 (b) . Al ángulo al que el libro se libera, el componen te de la fuerza gravitacional paralelo a la tabla es aproximadamelllc igual a la máxima fuena estática de fricción. Como el coeficien­le cinetico de fricción es menor que el coeficiente estático, a es­le ángu lo, el componente dc la fuerJ.a gravitacional paralelo a la tabla es mayor que la fuerza cinética de fricción. Entonces, hay una fuerza neta hac ia abajo paralela a la tabla)' el libro acelera.

5.14 (b). Cuando se tire de la cuerda, hay un componente de la fuer­za de usted aplicada que es hacia arri ba. Esto reduce la fuerza nonnal entre el trinco y la nieve. A su vez, esto reduce la fuer­za de fricción entre cllrineo y la nieve, haciendo más fácil que se mueva. Si usted empuja desde alrás. con f\lcna un compo­nente hacia abaj o, la fuerza normal es mayor, la fuerza de fric­ción es mayor, y c1trineo es más dificil de moverse.