Il monocordo, un semplice dispositivo sperimentale usato dal-l'autore per studiare il moto di una corda sollecitata da un ar-chetto, è costituito da una sola corda conduttrice di elettricità,montata tra due ponti massicci fissati su una base. Il moto del-la corda prodotto da un campo magnetico generato da un ma-gnetino mobile produce un segnale di uscita che può essere

amplificato e visualizzato sullo schermo di un oscilloscopio (siveda lo schema in basso). Con i due interruttori nella posizio-ne superiore il sistema visualizza la velocità della corda, mentrecon i due interruttori in basso, il sistema visualizza lo spo-stamento della corda. L'archetto può essere mosso a mano, ocomandato da un pendolo o costituito da un arco rotante.

RESISTORE _L-

MAGNETEMOBILE

ARCHETTO

ANCORAGGIOCAPOTASTO DELLA CORDA

CAVICCHIOD'INTONAZIONE

PREAMPLIFICATORE AMPLIFICATORE

CORDA

PONTICELLO

CONDENSATOR7OSCILLOSCOPIO

TEMPO

da. Quando sia la corda sia il diapa-son venivano posti in moto a frequen-za opportuna, Helmholtz poté osservareuna « figura di Lissajous », un oscillo-gramma che visualizzava la posizionedel frammento di amido durante il pe-riodo di vibrazione del diapason. Esa-minando con lo stesso metodo il motodi altri punti egli ottenne sperimental-mente gli elementi necessari per unadescrizione matematica del moto dellacorda nel suo complesso.

Helmholtz scrisse che « durante granparte di ogni vibrazione la corda vienetrascinata dall'arco. Poi, improvvisa-mente, essa si stacca e rimbalza, quin-di viene ricatturata da altre parti del-l'arco e di nuovo trascinata ». Si ha inaltri termini un processo di « adesionee scivolamento » cioè la corda aderisceall'archetto per un certo tempo e poiscivola indietro. Rappresentando grafi-camente la posizione del frammento diamido in funzione del tempo, egli sco-pri che qualsiasi fenomeno da lui sco-perto poteva essere rappresentato dalinee rette tranne uno. In un periododi vibrazione, indipendentemente dalpunto della corda osservato e dal pun-to su cui agisce l'archetto, la curvaera fatta a zig-zag (si veda la figurain questa pagina). I due periodi ditempo della vibrazione stavano semprenello stesso rapporto dei due tratti incui veniva divisa la corda dal puntodi osservazione.

Si può imparare qualcosa osservandosemplicemente la corda più bassa diuno strumento mentre viene vigorosa-mente suonata con l'arco (si veda lafigura a pagina 84). Apparentemente lacorda si allarga in un nastro cui fan-no da profilo da un'estremità all'altradue curve regolari. (In effetti la posi-zione attorno alla quale vibra la cordaviene lievemente spostata verso unadelle estremità dalla forza media eser-citata dall'arco nella sua direzione dimoto.) Helmholtz scoprì matematica-mente che i profili sono delle parabole;a causa della loro piccola curvatura,esse sono però indistinguibili da archidi cerchio. Sarebbe tuttavia errato sup-porre che la corda abbia questa formain qualsiasi istante: Helmholtz trovòche la corda, in un istante qualsiasi, hala stessa forma che avrebbe se venissespostata lateralmente dal dito in qual-che punto dell'arco di cerchio; essa hauna forma rettilinea bruscamente pie-gata in un punto. Il punto angoloso sisposta da un bordo all'altro del profiloapparente una sola volta in ogni vibra-zione; per la corda «a vuoto » la di unviolino, per esempio, ciò si verifica 440volte in un secondo. Se Helmholtz fossestato in grado di osservare la corda conuno stroboscopio, il profilo sarebbe

scomparso ed egli avrebbe visto la cor-da come una linea retta bruscamentepiegata. Quando l'arco si sposta dallo« spingere » verso il « tirare », il motosi trasforma da antiorario in orario.

La velocità laterale della corda inun punto qualsiasi ha due valori chesi alternano, di diverso modulo e disegno opposto. Il risultato è che unatipica curva di spostamento a zig-zagpresenta una corrispondente curva divelocità di forma rettangolare. Il rap-porto tra le due velocità che si alter-nano coincide con quello dei due trat-ti in cui viene divisa la corda dal pun-to di osservazione.

Le corde sollecitate dall'archetto so-no caratterizzate da due semplici aspet-ti fisici. Il primo è che l'attrito « ra-dente » è minore dell'attrito « statico »e che il passaggio dall'uno all'altro èquasi discontinuamente brusco. Il se-condo è che una corda flessibile in ten-sione può vibrare in modi diversi, cioètutta insieme o dividendosi in parti diuguale lunghezza, divise da punti chenon vibrano e che si chiamano «no-di ». Ne consegue che la durata di unasingola vibrazione nel primo modo, o

modo fondamentale, coincide quasi esat-tamente con la durata di due vibrazioninel secondo modo, di tre nel terzo, ecosì via. Senza perturbazioni esterne,quindi, una corda è, per sua stessa na-tura, capace di sostenere un'onda «pe-riodica », cioè una serie ripetuta di vi-brazioni dello stesso tipo, la cui formad'onda è quella caratteristica del pro-cesso « adesione-scivolamento ». Sullacorda possono coesistere una moltitu-dine di armoniche a seconda delle ca-ratteristiche dell'attrito.

La discontinuità oscillatoria di Helm-holtz è l'orologio che determina esat-tamente gli istanti di cattura e di rilasciodella corda da parte dell'arco. Vi è unachiara spiegazione in base alla quale lacorda viene vista come una molla so-spinta lateralmente in modo periodicofino al limite massimo dell'attrito sta-tico. La molla allora scatta indietro fin-ché viene nuovamente catturata. Que-sto punto di vista non può però spiega-re il motivo per cui la frequenza di ri-petizione si mantiene costante nell'am-pio intervallo delle forze, o «pressioni»,applicate dalla mano all'archetto. Laspiegazione corretta deve essere data in

La fisica delle corde di violinoCosa accade quando si suona con l'archetto una corda di violino?I moderni concetti circuitali e un nuovo metodo elettromagneticodi osservazione hanno ridestato un certo interesse su questo tema

di John C. Schelleng

I

l punto nevralgico del violino o diqualsiasi altro strumento della stes-sa famiglia, il centro vitale di ogni

impulso acustico, che costituisce la vitastessa della musica, è la corda suonatacon l'archetto. La corda — il suo com-portamento sotto l'azione delle dita edell'arco, la sua piacevole risposta e iproblemi stessi che il suonatore è chia-mato a risolvere — ha una funzione diprimaria importanza nel definire l'iden-tità musicale di questa famiglia di stru-menti. Concettualmente, una corda èl'elemento più semplice, nonostante lasua manifattura richieda una meticolo-sa cura; deve essere flessibile, uniforme

e robusta. Nonostante questa semplicitàil suo comportamento sotto l'azione del-l'arco presenta molti interrogativi tut-tora insoluti. La fisica elementare delsuo comportamento può tuttavia esseredi estrema importanza per il suonatore.

Tra i molti articoli pubblicati daHermann von Helmholtz, che vannodalla fisiologia, all'anatomia, alla fisica,alle belle arti, ce n'è uno dedicato alcomportamento delle corde di violino(On the Action of the Strings of a Vio-lin) pubblicato negli atti della GlasgowPhilosophical Society nel 1860. Fino aquel momento si sapeva molto poco suciò che accade in pratica quando si

suona una corda di violino. Il proce-dimento di Helmholtz costituisce unbuon esempio di come si possa chiari-re un problema, a quel tempo apparen-temente insolubile, con un esperimentoben congegnato e con l'ausilio dellamatematica. Oggi la sua apparecchia-tura sarebbe chiamata oscilloscopio; perlui si trattava di un « microscopio avibrazioni ». Attraverso siffatto stru-mento egli osservò un grano di amidofissato a una corda nera posta in vibra-zione mediante l'archetto. Il micro-scopio era montato su un grosso diapa-son in modo da vibrare lentamente pa-rallelamente alla lunghezza della cor-

TEMPO

Lo spostamento di una corda sollecitata con l'archetto dalla sua posizione media vienerappresentato in funzione del tempo nella prima delle tre curve di questa figura. Lecurve caratteristiche a zig-zag sono state ottenute suonando la corda nei pressi di unaestremità e osservandola al centro (a), nei pressi del ponte (b) e nei pressi del capotasto(c). In tutti i casi i due periodi di tempo in cui si spezza la vibrazione stanno nellostesso rapporto dei due tratti in cui viene divisa la corda dal punto di osservazione. Lacurva rettangolare relativa alla velocità della corda (d) corrisponde alla curva (c).

82 83

2

La forma di una corda sollecitata con l'archetto si apre in un nastro cui fanno da pro-filo da un'estremità all'altra due curve regolari paraboliche (linee in colore). Comescopri Hermann von Helmholtz, la forma effettiva della corda è tuttavia in qualsiasiistante quella di una retta bruscamente piegata in un punto (linea in nero). Il puntoangoloso percorre il profilo curvilineo una sola volta in ogni vibrazione. Il suo sensodi rotazione in questa particolare serie di diagrammi corrisponde a un moto del-l'arco verso l'alto ; invertendo il senso di moto dell'arco si inverte il senso di rota-zione del punto angoloso. Questo moto caratteristico è un caso di onda stazionaria.

L'esperimento dell'« archetto trascinato », realizzato durante lericerche dell'autore, conferma parzialmente il quadro dinamicodi Idelmholtz sul comportamento di una corda sollecitata da unarco. Un arco leggero, sospeso per il suo estremo più pesantemediante un lungo filo, si appoggia su una delle corde in pros-simità del ponticello, con lo strumento disposto orizzontalmente.Un secondo arco fa vibrare decisamente la corda. In questo

caso l'archetto sospeso si muove (dopo un breve periodo di sci-volamento) nella stessa direzione dell'archetto motore. La di-rezione nella quale si muove l'archetto sospeso indica la di-rezione di moto della corda durante l'intervallo più lungo diogni vibrazione. Quando l'archetto sospeso viene sistemato vicinoall'estremità opposta della corda (capotasto), l'archetto trascinatosi muove in direzione opposta a quella dell'archetto motore.

ARCHETTO TRASCINATO

ARCHETTO TRASCINATO

PONTICELLO

""."."---------ARCHETTO MOTORE

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I'101

11111':;

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termini dinamici: una siffatta spiega-zione viene suggerita dalla constata-zione che l'intervallo di tempo n:tcessa-rio perché la perturbazione percorradue volte la lunghezza della corda fles-sibile è costante. La periodicità vienechiaramente messa in evidenza colpen-do con un bastone un lungo filo dabiancheria, teso, in prossimità di unsuo estremo. Si vede chiaramente unadiscontinuità muoversi verso l'estremi-tà piú lontana sulla quale viene riflessa.Al suo ritorno si sente attraverso il ba-stone (sempre appoggiato al filo) unimpulso molto simile alla forza di at-trito momentanea agente sulla corda.Un semplice esperimento conferma lavalidità di questa interpretazione delcomportamento di una corda suonatacon l'archetto (si veda la figura nellapagina a fronte).

corda sono elettricamente conduttrici.Se viene posto vicino alla corda un pic-colo magnete, la presenza di un con-duttore mobile in un campo magneti-co costituisce un sistema a induzioneelettromagnetica, il cui segnale di usci-ta può essere visualizzato semplice-mente inserendo la corda nel circuitodi entrata di un opportuno amplifica-tore collegato a un oscilloscopio. Laforza elettromotrice è proporzionalealla velocità della corda. La corda puòessere montata sullo strumento in esa-me o su un monocordo, che è un sem-plice dispositivo costituito da due pon-ti pesanti su una base fissa muniti diun sistema per tendere la corda e di unsostegno per il magnete (si veda la fi-gura a pagina 82). Nel mio esperimen-to furono usati due metodi di sollecita-zione con l'archetto oltre a quello ma-

nuale; un arco rotante progettato daF.A. Saunders nelle sue ricerche sulcomportamento dei violini e delle cor-de e un normale arco comandato da unpendolo da 50 libbre.

Un circuito elettrico collegato al mo-nocordo (o allo strumento) permette divisualizzare la velocità o lo spostamen-to della corda sotto forma di oscillo-grammi. Il primo oscillogramma nellafigura in basso della pagina seguentemostra, per esempio, la velocità in cor-rispondenza dell'arco in una corda mol-to flessibile. Nel periodo lungo la ve-locità sta al di sopra della linea di ze-ro che corrisponde alla velocità dell'ar-co (se si trascurano le lievi oscillazionisecondarie). Nel breve periodo di sci-volamento vi è un'alta velocità nega-tiva quando la corda scatta all'indietroper aderire poi nuovamente all'arco.

In questo esperimento l'arco si tro-va vicino al ponticello e la forma del-la curva è simile a quella prevista dal-la costruzione di Helmholtz. Lo zig-zagdel secondo oscillogramma mostra lastessa vibrazione in funzione dello spo-stamento anziché della velocità.

La semplicità della strumentazionenon è il solo vantaggio nel visualizza-re la velocità anziché lo spostamento.In questo modo si possono evidenziarechiaramente dettagli ad alta frequenzaa prima vista inimmaginabili.

Quando il circuito è realizzato inmodo da indicare lo spostamento inprossimità del ponticello, esso indica an-che la forza vibrazionale trasversaleesercitata dalla corda. Il « suono dellacorda » da solo, depurato dagli effettialteranti della cassa dello strumento,può essere prodotto mettendo un ma-

Helmholtz riteneva che la velocitàdi una corda durante lo scatto in-

dietro fosse costante. Mezzo secolo piùtardi C.V. Raman scopri che nella mag-gior parte dei casi questo è vero soloapprossimativamente. La scoperta diRaman ebbe luogo durante un ingegno-so studio del comportamento meccanicodel violino relativo sia agli esperimentisia alla teoria. Il suo punto di partenzaper quanto riguarda la corda suonatacon l'archetto era di descrivere il motoin funzione delle onde progressive di ve-locità trasversale che inducono le on-de stazionarie del sistema di Helmholtz.La stessa onda può essere descritta infunzione del suo spostamento lateraleo della sua velocità laterale. Uno deivantaggi introdotti dal considerare lavelocità è costituito dal fatto che que-ste onde possono essere rappresentatecome linee rette.

La forma dell'onda Raman nei casiche interessano la musica (Raman netrattò molti altri tipi che non la ri-guardano) è ancora a zig-zag, ma diffe-risce dalle curve di spostamento citatesopra nel senso che, mentre gli « zig »sono lenti, gli « zag » sono istantanei(si veda la figura a pagina 86 in alto).Quando una tale onda viene riflessadall'estremità fissa della corda, essaappare esattamente come prima conl'eccezione che la sua direzione di pro-pagazione è opposta. Quando la vibra-zione avviene nel modo fondamentale,la lunghezza della corda è pari alla me-tà della distanza tra gli zag.

Negli ultimi anni, stimolato dai con-cetti circuitali e da un metodo elettro-magnetico di osservazione del moto diuna corda, si è risvegliato un certo in-teresse per la fisica delle corde suonatecon l'archetto sia negli Stati Uniti chein Europa. Più della metà delle cordecomunemente usate negli strumenti a

84 85

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Le onde di Raman furono introdotte da C. V. Raman per descrivere il moto di unacorda suonata con l'archetto. La forma di una siffatta onda progressiva di velocità tra-sversale differisce dalla corrispondente onda stazionaria di Helmholtz relativa allo spo-stamento della corda nel senso che gli « zig » sono lenti, mentre gli « zag » sono istanta-nei. Quando si compongono le onde di Raman di verso opposto (in (1lto), l'onda risultan-te (in basso) mostra che le due velocità esistenti alternativamente in qualsiasi punto del-la corda dipendono dalla posizione della discontinuità tra « scivolamento » e « adesione ».

Il moto di una corda molto flessibile sull'arco è rappresentato in questi due oscillogram-mi, i quali mostrano la velocità della corda (in alto), e lo spostamento della corda (inbasso) per la stessa vibrazione. L'arco in questo caso era disposto a una distanza dalponticello pari a circa un ventesimo della lunghezza totale della corda. In questo espe-rimento la forma delle curve è simile a quella prevista dalla costruzione di Helmholtz.

gnete per ciascuna delle corde in pros-simità del ponticello. L'uscita dai quat-tro magneti in serie attraversa l'integra-tore e viene quindi amplificata e regi-strata; questa disposizione somma leforze esercitate da tutte le corde. Lariproduzione del suono registrato forni-sce quindi l'effetto delle sole corde.(La registrazione non è necessaria sesi usa un violino muto che non irradialcun suono.)

Il risultato in definitiva rassomigliaa uno strumento a corde suonate conl'archetto, ma di classe inferiore. Se ilsistema trasduce fedelmente la forzaesercitata sul ponticello in pressione so-nora irradiata, lo spettro sonoro risul-tante con una data velocità dell'arcovarierà con la frequenza in modo in-versamente proporzionale, nel sensoche l'effetto più intenso si ha in corri-spondenza alla nota più bassa.

Nel suonare con l'archetto uno stru-

mento a corde, esistono dei limiti al-la velocità dell'arco, alla sua distanza dalponticello e alla forza perpendicolare ap-plicata; questi limiti non devono esseresuperati in una generica situazione mu-sicale. Per un suonatore esperto si trat-ta solitamente di scegliere quasi senzarendersene conto tra comuni schemidi azione, ma nei casi più critici egliè probabilmente ben consapevole deilimiti impostigli. Per fortuna questiparametri meccanici possono variareampiamente: la distanza tra arco eponte, per esempio, può variare da unvalore minimo a cinque volte tale va-lore; la velocità e la forza possono ar-rivare fino a 100 volte il loro valore mi-nimo. Data una coppia qualsiasi di que-sti parametri, per poter ottenere unanota accettabile il terzo deve cadereall'interno di un intervallo che dipen-de dalle costanti fisiche della corda edella cassa dello strumento. Per notesostenute questi intervalli sono ampi,anche se ovviamente non sono egual-mente desiderabili tutte le zone di undato intervallo. Per esempio, date po-sizione e velocità, la più alta forzaammissibile può essere comunemente10 volte il valore minimo. La prima do-manda è: quali sono i processi che de-terminano l'esistenza di questi limiti?

Per poter spiegare i limiti della for-za esercitata dall'arco è utile tener pre-sente che la forza di attrito nel puntodi contatto tra arco e corda varia neltempo. Sebbene non sia al momentoattuale possibile visualizzare questa for-za con un oscilloscopio, è possibile pre-sentare un quadro qualitativo sempli-ficato della base fisica che riguarda l'ar-gomento. Per far ciò si suppone: 1)che si possano applicare le leggi ele-mentari dell'attrito statico e dinamico;

2) che il ponticello si comporti comeun'alta « resistenza » meccanica (analo-ga alla resistenza di un circuito elet-trico); 3) che siano noti la massa, latensione e il moto della corda sul-l'arco. Assimilando un'onda completaal percorso di un mobile su un cerchiosi possono sostituire ai tempi gli archida O a 360 gradi e successivamente perla seconda oscillazione da 360, 720 gra-di e cosí via.

Supponendo che la forza agente sul-la corda abbia sempre la direzione delmoto dell'arco, i punti di massima for-za dell'arco si hanno nei momenti cor-rispondenti a zero, 360, 720 gradi e co-sí via; i punti di minimo cadranno quin-di a 180, 450, 900 gradi e cosí via (si vedala figura a destra). L'oscillazione ciclicadella forza tra questi due livelli è ciò chesi richiede per mettere in vibrazione lostrumento. Nel piccolo intervallo at-torno a 180 gradi si ha scivolamento.Nelle transizioni da adesione a scivo-lamento vi è un istante in cui si eser-cita la massima forza d'attrito richiestadalla forza d'arco. Le ricerche hannomostrato che in realtà l'« attrito stati-co» non è del tutto statico: la veloci-tà, anche se piccola, è finita e l'at-trito in pratica cambia continuamentecon la velocità nei pressi della velocitànulla con uno stretto massimo corri-spondente all'attrito statico. Molto pro-babilmente si ha la stessa curva nel pas-saggio dallo scivolamento all'adesione.Il risultato sono le curve dette a «orec-chie di coniglio » tipiche di tali forzedi attrito. Tali curve differiscono sensi-bilmente nei dettagli nel passare da unanota all'altra a causa della complessitàdell'azione della cassa.

Si consideri la situazione in cui laforza d'arco ha un valore tipicamenteintermedio. Dal valore a zero gradi inpoi, con la corda aderente all'arco, laforza cala verso il minimo, che è de-terminato dall'attrito dinamico. Poi,nel momento in cui l'adesione sembradel tutto sicura, interviene la disconti-nuità e supera l'attrito statico. La di-scontinuità deve solo fornire la diffe-renza tra l'attrito statico e quello di-namico; essa è in grado di dare uncontributo maggiore di quello qui ri-chiesto, forse molto maggiore. Tutta-via, al crescere della forza d'arco, siraggiunge il momento in cui la discon-tinuità fallisce in questa prova di in-tensità e la vibrazione diventa unaoscillazione irregolare. In tale istantesi è superato il massimo valore ammis-sibile per la forza d'arco.

Quando la forza d'arco diminuiscefino a un minimo si ha un diverso tipodi insuccesso. In questo caso le «orec-chie » della curva della forza di attritocadono allo stesso livello della forza

0 0 1800

3600

« Le orecchie di coniglio » caratterizzano la forma delle curve che rappresentano laforza di attrito esercitata da un arco per mettere in vibrazione una corda. Un'orecchiasi forma sulla curva della forza d'attrito quando la discontinuità arriva dal capotasto,supera l'attrito statico e comincia lo scivolamento; l'altra orecchia si forma quando ladiscontinuità ritorna dal ponticello e comincia l'adesione. La curva superiore rappresen-ta la forza d'attrito quando la pressione dell'arco ha un caratteristico valore a metà sua -da tra i limiti superiore e inferiore consentiti; la curva centrale si applica al caso dellimite inferiore. Per chiarezza sono state omesse le piccolissime oscillazioni secondariedei lembi laterali di entrambe le curve (a sinistra e a destra). La curva in basso è la cur-va di velocità della corda corrispondente alla curva della forza d'attrito riportata in alto.

86

87

POSIZIONE RELATIVA DELL'ARCHETTO

0,01 0,02 0,04 0,06 0,1

0,2

MASSIMA

-V.......

BRILLANTE,

FORZA DELL'ARCHETTO

RAUCO

MINIMA FORZA

SUL PONTICELLO

-......

DELL'ARCHETTONORMALE

MODI SUPERIORI

SUL TASTO

_ 10

Il rotolamento della corda sotto l'azione dell'arco, durante un lungo intervallo di ade-sione, produce caratteristiche « increspature » nella curva di velocità della corda. Perricavare questo oscillogramma la corda la di un violoncello venne sollecitata con unaforza d'arco pari a 4,5 volte quella minima. Il periodo immediatamente successivoalla cattura della corda da parte dell'arco (la parte di curva subito a destra di ogniimpulso principale) mostra principalmente il decadimento dell'impulso formato allacattura quando si riflette nel tratto corto della corda. Il periodo precedente al rilasciomostra le riflessioni ritardate nel tratto lungo, dall'ultimo rilascio e dai precedenti.

Un nuovo zig-zag comincia a formarsi nella curva oscillografica dello spostamento di unacorda quando la forza dell'archetto è lasciata cadere al di sotto del minimo valore. Nelcaso che questa condizione instabile venga lasciata libera di svilupparsi, la nota fonda-mentale scompare per essere sostituita ben presto dalla armonica dell'ottava superiore.

massima al valore zero gradi, e conla piú piccola diminuzione addizio-nale l'attrito statico (come indicatodalle « orecchie ») diventa insufficien-te a tenere la corda vicino al livel-lo a zero gradi. Il risultato è una cur-va di spostamento della corda insta-bile nella quale comincia a formarsi unnuovo zig-zag (si veda la figura in al-to in questa pagina). Se si lascia cre-scere questo nuovo zig-zag la nota fon-damentale verrà sostituita dalla nota diottava; in altre parole non si riesce aottenere la minima forza d'arco.

Nel meccanismo del suonare è ri-levante il fatto che la massima forza

1

0,0010,7 1,4 26

d'arco, che dipende principalmente dal-la corda e dai coefficienti di attrito, èinversamente proporzionale alla pri-ma potenza della distanza tra l'arcoe il ponticello, mentre la minima forzad'arco, che dipende anche dalla cas-sa dello strumento, è (almeno appros-simativamente) inversamente propor-zionale al quadrato di tale distanza. Legrandezze necessarie per il calcolo diquesti limiti sono note sufficientemen-te per spiegare come la corda reagiscaalle forze d'arco. Per note alte con unadata velocità d'arco si possono visualiz-zare su un diagramma logaritmico gliandamenti rettilinei della massima e

minima forza d'arco in funzione delladistanza dell'arco dal ponticello espres-sa in centimetri come frazione dellalunghezza totale della corda (si veda lafigura in basso in questa pagina). Il ri-sultato più importante è che la massi-ma e la minima forza d'arco sono ugua-li quando l'arco viene posto in un certopunto vicinissimo al ponticello, men-tre sono differenti quando si allontanada tale posizione. È l'esistenza di que-sto spazio tra i limiti che fornisce allaforza d'arco l'ampia tolleranza che ren-de possibile suonare il violino.

Le forze verso sinistra tra queste ret-te sono praticamente troppo alte; ilmodo normale di suonare viene con-finato all'area verso destra. Molto lon-tano dal ponticello il volume del suonoè minimo, il contenuto delle armonichesuperiori è minimo e il timbro presentaquella dolcezza che i compositori cer-cano scrivendo sul tasto, oppure « arcosulla tastiera ». Al di là della massi-ma forza d'arco il risultato non èmusicale, mentre, appena al di sottodel minimo, si perde la piena nota fon-damentale, producendo quella che ètalvolta chiamata nota di superficie.Più l'arco è vicino al ponticello, minorediventa il rapporto tra la forza d'arcomassima e quella minima e più fermadeve essere la mano del suonatore. Ilsuonatore esperto apprezza questa posi-zione che può creare note di alta quali-tà; il principiante trova prudente suona-re più vicino alla tastiera. Ancor più vi-cino al ponticello la forza d'arco crescein modo proibitivo e la pienezza dellanota fondamentale scompare fino a ri-dursi a poco più di un corteo di armoni-che alte: questo è il suono irreale cheil compositore indica con le parole sulponticello. Nella regione che dà suo-ni normali il contenuto relativo di ar-moniche aumenta — la nota diventa piùbrillante — sia mentre l'arco si spostaverso il ponticello sia mentre la forzad'arco aumenta verso il massimo.

Un siffatto diagramma deve essereconsiderato qualitativo, in special mo-do la curva della forza minima, chevaria grandemente da nota a nota perla complessità della risposta della cas-sa armonica dello strumento. Sebbenela schematizzazione di Helmholtz siaabbastanza vicina alla realtà dei fattida fornire una utile base per molti cal-coli di prima approssimazione comequelli sopra descritti, essa non è total-mente credibile sotto altri aspetti. Incontrasto con quanto essa predice, ilcontenuto delle armoniche aumentacon la forza d'arco, modificandosi cosiil timbro e l'intensità del suono. Se l'in-tensità del suono dipendesse solo dallaradice quadratica media della forza vi-

brazionale esercitata sul ponticello, l'ef-fetto non sarebbe molto vistoso, maquando le armoniche vengono emessecon maggiore intensità della nota fonda-mentale o vengono percepite dall'orec-chio con maggiore sensibilità, l'effettoassume una certa importanza. Resta ilfatto che i migliori mezzi che ha ilsuonatore per controllare il volume so-no la velocità e la posizione dell'arco.La conclusione che la pressione sonorasia direttamente proporzionale alla ve-locità dell'arco e inversamente propor-zionale alla distanza arco-ponticellonon è lungi dall'essere vera.

Le note suonate con l'arco si posso-no produrre in modi diversi, ma forsenella maggior parte dei casi l'arco so-spinge la corda lateralmente fin quan-do il suo spostamento non può più es-sere sostenuto dall'attrito statico. Lascomparsa dell'attrito, come la cessa-zione dello strappo, instaura due di-scontinuità di Helmholtz viaggianti insenso opposto, una sola delle quali,quella verso il ponticello, può diventaresostenuta. Fin quando la velocità del-l'arco ha il predominio sulla forza d'ar-co, tuttavia, la condizione è descritta co-me « rauca » e ci possono essere moltefalse partenze prima che si raggiungal'equilibrio. L'abilità all'inizio è di riu-scire a ottenere l'equilibrio di un tem-po cosí breve o a un livello sonoro cosíbasso da evitare un effetto sgradevole.Un attacco silenzioso si può realizzarefacendo in modo che l'arco già in mo-to faccia un « atterraggio morbido »sulla corda, entrando in tal modo nellaregione di suono normale attraverso laregione denominata « modi superiori ».Almeno in teoria, le forze d'arco e lavelocità possono essere equilibrate sindall'inizio.

Nella precedente trattazione dellaforza d'attrito tra l'arco e la corda èstato trascurato per semplicità un in-teressante fenomeno, cioè il ruolo del-le « orecchie » della curva della forzadi attrito nel creare tra l'arco e le estre-mità della corda delle riflessioni sono-re alcune delle quali possono persistereper molti periodi di vibrazione. Que-sti effetti vengono ignorati nella trat-tazione classica del comportamento del-l'arco, ma sono importanti negli oscil-logrammi di velocità della corda. Siconsideri una curva che rappresenta ilmoto della corda sotto l'azione del-l'arco, quando durante il lungo inter-vallo di adesione ci si potrebbe aspet-tare che la corda segua la velocità co-stante dell'arco (si veda la figura in que-sta pagina). È infatti vero che non si hascivolamento, ma, ciononostante, lacorda può muoversi rotolando sull'ar-co con i limiti dovuti alla resistenzadella corda alla torsione. L'increspa-

tura nel rotolamento implica una cor-rispondente increspatura nella forzaesercitata sulla corda.

Il termine « nota del lupo » viene co-munemente usato per indicare un suo-no sgradevole che compare in modocospicuo in corrispondenza a una certafrequenza negli strumenti a corde suo-nate con l'archetto. Spesso la sua origi-ne è oscura. Esistono molte varietà dinote del lupo, ma la più dannosa dellaspecie ha il suo habitat nel violoncello(e talvolta nel violino o nella viola) unaottava e qualche semitono al di sopradella nota più bassa. L'origine di que-sta nota è chiara: la cassa di qualsiasistrumento ha una moltitudine di ri-sonanze e la nota del lupo (se esiste)si forma in corrispondenza alla più in-tensa di esse. Perché una corda suona-ta con l'arco si comporti nel modopiù opportuno le sue estremità devo-no essere fissate su un supporto la cuirigidità sia proporzionata alla massadella corda. Suonando una delle cor-de più pesanti a una frequenza coinci-dente con quella di risonanza della cas-sa si favorisce perciò il disturbo, chesi manifesta in modi differenti, il piùcaratteristico dei quali è la produzionedi due note, entrambe vibrazioni for-zate, abbastanza vicine da generare unostridente battimento. Poiché le due no-te sono poste a cavalcioni del piccodi risonanza, esse richiedono una for-za d'arco minore rispetto a una solanota alla frequenza di risonanza (si ve-da la figura in alto nella pagina se-guente).

Nelle rigide corde del piano, costitui-te da spessi fili di acciaio, le frequenzedegli armonici superiori non sono esat-tamente multipli interi della frequenza

del suono fondamentale, ma sono lie-vemente più acute. Ciò non costituisceuno svantaggio: il lieve clangore chequesto fatto dà al suono della cordacolpita col martello è molto apprez-zato. Quale effetto produce la rigiditàsu una corda suonata con l'arco? Chia-ramente sarà diverso da quello del pia-no. Il meccanismo dell'archetto produ-ce una successione di vibrazioni quasiidentiche. Dal punto di vista matema-tico è un modo diverso per dire che lavibrazione è costituita da componentiarmoniche le cui frequenze sono multi-pli interi esatti della frequenza piùbassa.

Vi può davvero essere un effetto sul-la corda suonata con l'arco. Anche seviene limitata l'anarmonicità, si restrin-ge il possibile campo di vibrazione. Ci siaspetta un deterioramento della qualitàdel suono per la riduzione delle armoni-che superiori, per la difficoltà di intona-zione e per la necessità di forze d'arcoabnormi. Prima del 1700, quando di-vennero disponibili le corde arrotolate,tutte le corde di violino erano fatte diminugia, ma la corda di minugia so/ (lapiù bassa) era insoddisfacente e il moti-vo non è difficile da scoprire. Nel suona-re con l'archetto la frequenza fondamen-tale è vicina a quella del più basso mo-do di vibrazione naturale; nella cordasol, però, una frequenza sette voltemaggiore di quella cade a metà stradatra il sesto e il settimo modo vibrazio-nale e si trova quindi completamentesenza risonanza. Indipendentementedalla forza d'arco, la settima armonicadeve essere trascurabile. Questa diffi-coltà nella produzione delle armonichepuò essere illustrata da una curva chemostra la velocità in corrispondenza

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14DISTANZA TRA PONTICELLO E ARCHETTO (CENTIMETRI)

La regione normale nella quale si suona uno strumento musicale a corde sollecitate daarchetto viene indicata in questo grafico per note tenute con una velocità d'arco costan-te; sono riportati gli andamenti logaritmicamente rettilinei della massima e minimaforza d'arco in funzione della distanza tra l'arco e il ponticello espressa come frazio-ne della lunghezza totale della corda. Come si vede dal grafico, la massima e la minimaforza d'arco tendono a diventare uguali (in alto a sinistra) quando l'arco viene messoin un punto molto vicino al ponticello, mentre sono differenti quando l'arco si allon-tana da esso (in basso a destra). Lo spazio compreso tra questi due limiti, indicato incolore, rende conto dell'ampia tolleranza delle forze d'arco consentite. Sul tasto signi-fica « arco sulla tastiera »; sul ponticello significa « arco vicino al ponticello ». Il se-condo gruppo di coordinate (scala in basso; scala a destra) suggerisce le condizio-ni normali per una tipica corda la di violoncello suonata alla velocità di 20 cm/s.

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<La nota del lupo », un suono sgradevole che può comparire intensamente a una par.ticolare frequenza in uno strumento a corde suonate con l'archetto (specialmente nelvioloncello), viene prodotto dai battimenti » di due o più note generate dalle vibra-zioni (forzate » di una corda e addensate attorno alle frequenze naturali di risonanzadella cassa armonica dello strumento. Questo oscillogramma, che illustra il moto diuna corda per una nota del lupo complessa ottenuta dalla corda do di un violoncello, ciè stato dato da I. M. Forth e J. M. Buchanan dell'Università di S. Andrea in Scozia.

L'effetto della rigidità in una corda sollecitata con l'archetto è un deterioramento del-la qualità del suono dovuto in parte alla maggiore difficoltà di produrre armoniche su-periori. Questo fatto è provato da questi tre oscillogrammi, che mostrano la velocità diuna corda rigida per tre forze d'arco: minima (in alto), intermedia (al centro) e alta.

dell'arco in una corda rigida (si vedala figura in basso in questa pagina).Quando tale corda viene sollecitata conuna forza d'arco minima, il suo com-portamento non mostra quasi la mini-ma rassomiglianza con quello di unacorda flessibile.

Il lieve aumento di frequenza dellan-esima armonica, prodotto dalla rigidi-tà, è direttamente proporzionale al qua-drato di n e a una quantità chiamatacoefficiente di anarmonicità. Se si cam-bia una corda montata in una data posi-zione di un dato strumento, mantenen-do costanti la lunghezza e la frequenza,l'intercambiabilità impone che vengamantenuta inalterata anche la tensione.Se consideriamo ora una serie di cordeomogenee di materiali differenti, ilcoefficiente di anarmonicità risulta es-sere proporzionale al modulo di ela-sticità diviso per il quadrato della den-sità. Per l'acciaio questo rapporto è dicirca il 50 per cento maggiore che perla minugia: per l'alluminio è quasi cin-que volte maggiore che per la minugia.Per l'argento, invece, il rapporto è cir-ca un terzo di quello per la minugia.Una corda di acciaio per piano che halo stesso suono della corda di acciaiomi di un violino ha un coefficiente dianarmonicità 20 volte maggiore. Se sitrascurano le differenze di tensione trale quattro corde di un violino (in effet-ti la tensione è nettamente maggioreper la corda alta che per le altre),l'anarmonicità di corde omogenee del-lo stesso materiale, essendo inversa-mente proporzionale alla quarta poten-za della frequenza, aumenta di un fat-tore maggiore di 100 nel passare dallacorda più alta alla più bassa.

Da calcoli e misure eseguiti su pa-recchi tipi di corde in commercio, al-cune delle quali arrotolate, si vede che,quando il coefficiente di anarmonicitàè minore o uguale a 0,1, la rigidità nonpresenta svantaggi nell'uso dell'archet-to. Nella corda di acciaio mi del violinoil valore è di circa 0,04. Per una cordadi violoncello do di ottima qualità, co-stituita da un avvolgimento metallicosu un filo di acciaio, si ha all'incirca lostesso valore.

Come accade per molte cose analo-ghe apparentemente semplici, vi è an-cora molto da scoprire sulle corde sol-lecitate dall'archetto, probabilmente discarso interesse per chi suona ma nonper lo studioso di questi problemi. Peresempio, la torsione produce qualcheimportante effetto acustico? Che im-portanza ha la « resistenza negativa »nello scivolamento e come si comportaesattamente la resina? Di quanto diffe-riscono i successivi periodi di vibrazio-ne e questa leggera variazione ha qual-che significato musicale?

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