/ 2

Noten que la componente azul (E) y la componente verde (B) hacen el mismo movimiento (una

oscilacion con frecuencia w). Lo unico que cambia es la relacion de fase entre ellas que hace que:

1) La onda se propague de manera lineal en la suma vectorial de ambas componentes si la diferencia de

fase es cero.2) Que la onda se propague haciendo un circulo,

alternando su proyección sobre ambas componentes si la diferencia de fase es un cuarto

de ciclo.

La fase cambia cualitativamente el resultado de la suma

0

La fase cambia cualitativamente el resultado de la suma

Y si la diferencia de fase es pequeña? Es decir, es mayor que cero pero mucho menor que un cuarto de ciclo.

0

/ 8

2 2,n v

1 1,n v

E(x,t)

El campo eléctrico ejerce una fuerza sobre un Electrón en el medio (puede

ser gas, liquido, sólido…

Cual es el resultado de esta fuerza

E(t)=E0cos(wt)

El modelo mas sencillo (y muy explicativo) del

electrón en un átomo. Es … un resorte con frecuencia natural w0

0

2 20

eq EAm w w

Polarizador, un artilugio que convierte luz de una

superposición de estados de polarizacion en un estado definido (digamos lineal)..

Dos polarizadores perpendiculares, del otro

lado no se ve nada.

Polarizadores como filtros – proyectando la luz sobre un eje

Etienne-Louis Malus

Una ley a la que tener nombre (y categoria de ley) le queda grande.

20 cos ( )I I

Otra paradoja de tapas, luces y filtros.

Cuanto vale la intensidad?

Y ahora???

0 El ultimo pucho: Un batido polarizado y la actividad optica.

Luz en el vacio (o en un material isotropo) Luego de un rato la fase sigue siendo igual, la polarizaion lineal …

La luz entra en un medio donde la velocidad de

propagación en x es distinta de y. Si w es el mismo esto

quiere decir que kx es distinto de ky.

Supongamos, solo como ejemplo que la velocidad en

y es muy rapido (ky pequenio)

Que sucede?

wv

k T

x yk k

Polarización lineal (o circular, o eliptica). La

relacion de fase se mantiene en un medio en el que las distintas componentes de la luz

viajan a igual velocidad.

x yk k

La relacion de fase cambia (exactamente igual que lo que sucedia en batidos), con uina

componente adelatnadose a la otra, cuando propagan a

velocidades distintas. Según la diferencia de estas velocidades, cada tanta distancia, le saca una

vuelta entera. Asi se puede calcular que distancia, dado kx y ky tiene que recorrer la luz (cual

es el ancho del celofan!) para que la luz pase de linear a

circular o viceversa.

2 21 2 1 2 1 22 osI A A A A c w w t

Aprendimos a sumar cosenos de distintas frecuencias (batidos) Aprendimos a sumar cosenos de igual

frecuencia correspondiente a ondas que recorren caminos distintos (interferencia)

1 1 2 2cos cosA wt A wt

2 21 2 1 2 2 12 osI A A A A c

cos( ) cos( 2 ) cos( 3 ) cos( 4 )...wt wt wt wtR A

x yk k

DIFRACCION

• Interferencia de muchas fuentes. Estas múltiples fuentes reflejan los “puntos de paso de luz” de un material y por ende su estructura.

• La probabilidad de que muchas fuentes se sincronicen (en caminos no idénticos) disminuye con el numero de fuentes. El pico se vuelve mas angosto, sin que aumenten los máximos laterales.

• Sumar fases es como sumar ángulos.

• En general se combina un problema de interferencia con un problema de difracción. El ejercicio difícil es poder reconstruir la estructura a partir de la difracción en distintos ángulos.

El problema inverso y el problema directo. Como siempre. Si uno sabe como emite algo en función de su forma, viendo un espectro de emisión se puede conocer la forma de algo desconocido. Muy resumidamente, ahí vamos…

Calcular el campo de varias fuentes, equiespaciadas a

quien sabe que distancia, con algún ángulo y fase relativa y

bla bla bla.es un asunto olvidable, pero, visto al revés,

de que se trata?

DIFRACCION

• Difracción corresponde a interferencia de muchas fuentes. Estas múltiples fuentes reflejan los “puntos de paso de luz” de un material y por ende su estructura.

• La probabilidad de que muchas fuentes se sincronicen (en caminos no idénticos) disminuye con el numero de fuentes. El pico se vuelve mas angosto en ausencia de máximos laterales.

• Sumar fases es como sumar ángulos.

• En general se combina un problema de interferencia con un problema de difracción. El ejercicio difícil es poder reconstruir la estructura a partir de la difracción en distintos ángulos.

cos( ) cos( 2 ) cos( 3 ) cos( 4 ) cos( 5 ) ...R A wt wt wt wt wt

A

2 ( )2

Ar

sen

r 2

n Siempre por el teorema de la pizzajunto al de las mitades

( )2 2

nR r sen

( )2

( )2

nsen

R Asen

cos( ) cos( 2 ) cos( 3 ) cos( 4 ) cos( 5 ) ...R A wt wt wt wt wt

2

2( )

2

( )2

nsen

I Asen

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.350

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

2

n

Cual es el sentido “geometrico”?

Si cada “porcion”es 2pi/n, n porciones suman?

2

n

DIFRACCION

• Difracción corresponde a interferencia de muchas fuentes. Estas múltiples fuentes reflejan los “puntos de paso de luz” de un material y por ende su estructura.

• La probabilidad de que muchas fuentes se sincronicen (en caminos no idénticos) disminuye con el numero de fuentes. El pico se vuelve mas angosto en ausencia de máximos laterales.

• Sumar fases es como sumar ángulos.

• En general se combina un problema de interferencia con un problema de difracción. El ejercicio difícil es poder reconstruir la estructura a partir de la difracción en distintos ángulos.

D1

Dos últimos comentarios difractantes. Un problema de composiciones arbitrariamente complicado.

El penúltimo ejemplo: dos rendijas de difracción que interfieren.

D2

D1

Difraccion Interferencia

11/D

21/D

INTERFERENCIA: El algoritmo paso por paso..

I) Con senos y cosenos 1+1 no es siempre dos. A veces es cero y otras un numero entre cero y dos. El resultado de esta suma depende de la relación de fase.

II) En un sistema de dos fuentes (o dos rendijas a través de las cuales pasa una única fuente) la relación de fase es una función del espacio. Por ejemplo, del ángulo de emisión. (y de la diferencia

de fase inicial)

III) En algunos puntos las dos fuentes están en fase, ya sea cuando recorren el mismo camino o cuando la diferencia de camino es un múltiplo entero de la longitud de onda. Por esto el resultados genérico es una función de d/λ. Cuando esta cantidad es pi (medio ciclo) hay un minimo. Cuando

es 2pi, maximo.

IV) d es una función de la geometría del problema. En el problema de dos rendijas es Dsen(θ), donde D es la separación entre las dos fuentes.

V) Si la distancia entre las dos fuentes es demasiado pequeña, mucho mas pequeña que la longitud de onda, no hay manera (siempre y cuando las dos fuentes emitan en el mismo medio, con la

misma velocidad) de que una le saque una longitud de onda entera a la otra. Por lo tanto existe un unico máximo, cuando los caminos son iguales.

VI) Toda esta logica puede utilizarse, de manera “ingenieril” para emitir en la direccion que uno quiera. Un ejercicio interesante es pensar que sucede en tal caso con el balance de energia.

1 1 2 2cos cosA wt A wt

12 R

RA

2 21 2 1 2 2 12 osI A A A A c

El primer ladrillo.

Termino de interferencia, puede ser debido a un desfasaje original o a un camino recorrido distinto.

Es maximo cuando el desfasaje es 2pi (modulo 2pi) y minimo cuando el desfasaje vale pi (moudlo 2pi)

Si las dos amplitudes son iguales, en el minimo la amplitud resultante vale cero.

1 2 1 2( ) ( ) 2i

dk d d

En un problema tipico de interferencia, el desfasaje es la diferencia de distancia recorrida en unidades de longitud

de onda. Si esto es medio, la interferenica es “destructiva”, si esto es uno (o cero) la interferencia es

constructiva.

INTERFERENCIA: El algoritmo paso por paso..

I) Con senos y cosenos 1+1 no es siempre dos. A veces es cero y otras un numero entre cero y dos. El resultado de esta suma depende de la relación de fase.

II) En un sistema de dos fuentes (o dos rendijas a través de las cuales pasa una única fuente) la relación de fase es una función del espacio. Por ejemplo, del ángulo de emisión. (y de la

diferencia de fase inicial)

III) En algunos puntos las dos fuentes están en fase, ya sea cuando recorren el mismo camino o cuando la diferencia de camino es un múltiplo entero de la longitud de onda. Por esto el

resultados genérico es una función de d/λ. Cuando esta cantidad es pi (medio ciclo) hay un minimo. Cuando es 2pi, maximo.

IV) d es una función de la geometría del problema. En el problema de dos rendijas es Dsen(θ), donde D es la separación entre las dos fuentes.

V) Si la distancia entre las dos fuentes es demasiado pequeña, mucho mas pequeña que la longitud de onda, no hay manera (siempre y cuando las dos fuentes emitan en el mismo medio, con la

misma velocidad) de que una le saque una longitud de onda entera a la otra. Por lo tanto existe un unico máximo, cuando los caminos son iguales.

VI) Toda esta logica puede utilizarse, de manera “ingenieril” para emitir en la direccion que uno quiera. Un ejercicio interesante es pensar que sucede en tal caso con el balance de energia.

El esqueleto del ejercicio típico de interferencia (y difracción)

1 1, A

1 1, A

1 2 1 2( ) ( ) 2i

dk d d

2d

( )d d sen

90

( )2d sen

INTERFERENCIA: El algoritmo paso por paso..

I) Con senos y cosenos 1+1 no es siempre dos. A veces es cero y otras un numero entre cero y dos. El resultado de esta suma depende de la relación de fase.

II) En un sistema de dos fuentes (o dos rendijas a través de las cuales pasa una única fuente) la relación de fase es una función del espacio. Por ejemplo, del ángulo de emisión. (y de la

diferencia de fase inicial)

III) En algunos puntos las dos fuentes están en fase, ya sea cuando recorren el mismo camino o cuando la diferencia de camino es un múltiplo entero de la longitud de onda. Por esto el

resultados genérico es una función de d/λ. Cuando esta cantidad es pi (medio ciclo) hay un minimo. Cuando es 2pi, maximo.

IV) d es una función de la geometría del problema. En el problema de dos rendijas es Dsen(θ), donde D es la separación entre las dos fuentes.

V) Si la distancia entre las dos fuentes es demasiado pequeña, mucho mas pequeña que la longitud de onda, no hay manera (siempre y cuando las dos fuentes emitan en el mismo medio, con la

misma velocidad) de que una le saque una longitud de onda entera a la otra. Por lo tanto existe un unico máximo, cuando los caminos son iguales.

VI) Toda esta logica puede utilizarse, de manera “ingenieril” para emitir en la direccion que uno quiera. Un ejercicio interesante es pensar que sucede en tal caso con el balance de energia.

( )

msen

d

Aguita de colores

d

( )

msen

d

Aguita de colores

d

( )

msen

d

Aguita de colores

d

Cuando d es mayor que la longitud de onda, para ningun angulo llegan a separarse en un ciclo

completo con lo que el unico maximo esta en el centro.

INTERFERENCIA: El algoritmo paso por paso..

I) Con senos y cosenos 1+1 no es siempre dos. A veces es cero y otras un numero entre cero y dos. El resultado de esta suma depende de la relación de fase.

II) En un sistema de dos fuentes (o dos rendijas a través de las cuales pasa una única fuente) la relación de fase es una función del espacio. Por ejemplo, del ángulo de emisión. (y de la

diferencia de fase inicial)

III) En algunos puntos las dos fuentes están en fase, ya sea cuando recorren el mismo camino o cuando la diferencia de camino es un múltiplo entero de la longitud de onda. Por esto el

resultados genérico es una función de d/λ. Cuando esta cantidad es pi (medio ciclo) hay un minimo. Cuando es 2pi, maximo.

IV) d es una función de la geometría del problema. En el problema de dos rendijas es Dsen(θ), donde D es la separación entre las dos fuentes.

V) Si la distancia entre las dos fuentes es demasiado pequeña, mucho mas pequeña que la longitud de onda, no hay manera (siempre y cuando las dos fuentes emitan en el mismo medio, con la

misma velocidad) de que una le saque una longitud de onda entera a la otra. Por lo tanto existe un unico máximo, cuando los caminos son iguales.

VI) Toda esta logica puede utilizarse, de manera “ingenieril” para emitir en la direccion que uno quiera. Un ejercicio interesante es pensar que sucede en tal caso con el balance de energia.

SUPONGAMOS QUE POR ALGUN MOTIVO LAS FUENTES HAN DE QUEDAR ALINEADAS EN EL EJE X, EXISTE ALGUNA OTRA

SOLUCION?

SUMA ESPECTRAL, COMPOSICION DE LUZ DE DISTINTOS COLORES, DE SONIDOS DE ALTURAS DISTINAS

• En tal caso la relación de fase no se mantiene constante. Las ondas van a velocidades distintas con lo que no se mantienen los patrones de interferencia. Dos casos canónicos son bastante ilustrativos.

• Si las frecuencias son “casi iguales”(casi respecto de que?) durante un rato largo estarán en fase. Cuando una onda se adelante en medio ciclo – fuera de fase. Se da una oscilación (un batido) de la amplitud.

• Si una frecuencia es un múltiplo de la otra comparten un periodo común. Se dice entonces que son armónicos (Manuel). Estas combinaciones producen sonidos acordes, agradables. La estructura de armónicos define el timbre de un instrumento.

• La relación de amplitud entre distintas frecuencias permite transmitir información. En el ejemplo de batidos aparece la incerteza, cuanto mas pequeña es la diferencia entre frecuencias, la modulacion es muy lenta. Axioma invencible, al ancho en frecuencia y en tiempo, se multiplican en una constante.

Que sucede en el caso en el que las amplitudes no son iguales.

12 R

RA 1 1 2 2cos cosA A w t A w t

2 21 2 1 2 1 22 osI A A A A c w w t

La amplitud (y su cuadrado, la intensidad) queda modulado por una envolvente que nunca se anula. Así se transmite en AM, información por

ondas de radio. Que implica esto respecto de la sintonía y el

sintonizador, cual es “la frecuencia” de radio continental?

SUMA ESPECTRAL, COMPOSICION DE LUZ DE DISTINTOS COLORES, DE SONIDOS DE ALTURAS DISTINAS

• En tal caso la relación de fase no se mantiene constante. Las ondas van a velocidades distintas con lo que no se mantienen los patrones de interferencia. Dos casos canónicos son bastante ilustrativos.

• Si las frecuencias son “casi iguales”(casi respecto de que?) durante un rato largo estarán en fase luego de un largo rato – cuando una onda avance en medio ciclo – fuera de fase. Se da una oscilación (un batido) de la amplitud. la misma relación de fase que ira cambiando lentamente.

• Si una frecuencia es un múltiplo de la otra comparten un periodo común. Se dice entonces que son armónicos (Manuel). Estas combinaciones producen sonidos acordes, agradables. La estructura de armónicos define el timbre de un instrumento.

• La relación de amplitud entre distintas frecuencias permite transmitir información. En el ejemplo de batidos aparece la incerteza, cuanto mas pequeña es la diferencia entre frecuencias, la modulacion es muy lenta. Axioma invencible, al ancho en frecuencia y en tiempo, se multiplican en una constante.

t

f

Una “nota”

El espectrograma de un violín, un instrumento con gran contenido armónico.

Controlando la amplitud de armónicos de una cuerda

Una observación relativamente simple dentro de un problema complejo. Una oscilación que es periódica en periodo T,

También lo es en 2*T y en 3*T. Pensar en la resonancia de una hamaca (si empujo en fase en uno de cada N ciclos, también

funciona)

SUMA ESPECTRAL, COMPOSICION DE LUZ DE DISTINTOS COLORES, DE SONIDOS DE ALTURAS DISTINAS

• En tal caso la relación de fase no se mantiene constante. Las ondas van a velocidades distintas con lo que no se mantienen los patrones de interferencia. Dos casos canónicos son bastante ilustrativos.

• Si las frecuencias son “casi iguales”(casi respecto de que?) durante un rato largo estarán en fase luego de un largo rato – cuando una onda avance en medio ciclo – fuera de fase. Se da una oscilación (un batido) de la amplitud. la misma relación de fase que ira cambiando lentamente.

• Si una frecuencia es un múltiplo de la otra comparten un periodo común. Se dice entonces que son armónicos (Manuel). Estas combinaciones producen sonidos acordes, agradables. La estructura de armónicos define el timbre de un instrumento.

• La relación de amplitud entre distintas frecuencias permite transmitir información. En el ejemplo de batidos aparece la incerteza, cuanto mas pequeña es la diferencia entre frecuencias, la modulacion es muy lenta. Axioma invencible, al ancho en frecuencia y en tiempo, se multiplican en una constante.

Un violin, de tal madera, a tal distancia… Esta informacion no puede obtenerse de una emision a una sola frecuencia. Todas las emirosas tienen un ancho no nulo. Un Pinzon Tono puro.

Que distingue el “do”de un

piano, el de una guitarra y el de un

canario? El timbre.

Que es “el azul”?

2 21 2 1 2 1 22 osI A A A A c w w t

Que sucede en el caso en el que las amplitudes no son iguales.

12 R

RA 1 1 2 2cos cosA A w t A w t

w1 w2

La representación espectral. Para dar forma (para mandar información) no basta con emitir en una frecuencia

pura. Cambiando la amplitud de w2, por ejemplo, se puede modular la

amplitud de la señal. Con que resolución temporal?

2

w

Una de las enésimas

manifestaciones del principio de incerteza. Para tener

mucha resolución temporal (para generar fluctuaciones muy rápidas) hace falta un ancho de frecuencias muy grande. Si se dispone de una banda de frecuencias

pequeña, la resolución temporal es pobre.

EL ESPECTRO DE COLOR

La luz rara vez es monocromática. El espectro de luz emitido depende de las frecuencia a la que oscilan las fuentes, generando una perturbación del

campo eléctrico que se propaga.

• Solo una porción de este espectro es visible. Hacia las mas altas energias esta el ultravioleta, los rayos X, etc…

• Lo mismo sucede con las ondas auditivas, si bien el ancho espectral del oido es bastante mas esepctacular que el del ojo.

• Ciertos materiales absorben algunas frecuencias (de resonancia) y son transparentes a otras. Esto se usa arto seguido para metodos de imágenes. (La transparencia del hueso y la piel a los rayos X…)

• Algunos materiales interactuan de manera un poco mas compleja con el espectro. Emitiendo en una frecuencia distinta de la que reciben (fluorecen).

El universo mas antiugo

El sol mas alla del visible

EL ESPECTRO DE COLOR

La luz rara vez es monocromática. El espectro de luz emitido depende de las frecuencia a la que oscilan las fuentes, generando una perturbación del

campo eléctrico que se propaga.

• Solo una porción de este espectro es visible. Hacia las mas altas energias esta el ultravioleta, los rayos X, etc…

• Lo mismo sucede con las ondas auditivas, si bien el ancho espectral del oido es bastante mas esepctacular que el del ojo.

• Ciertos materiales absorben algunas frecuencias (de resonancia) y son transparentes a otras. Esto se usa arto seguido para metodos de imágenes. (La transparencia del hueso y la piel a los rayos X…)

• Algunos materiales interactuan de manera un poco mas compleja con el espectro. Emitiendo en una frecuencia distinta de la que reciben (fluorecen).

2 2,n v

1 1,n v

Porque la luz parece viajar a

distintas velocidades en

distintos medios?

Porque mas rápido en el

vacío?

Estas cuentas están en Feynman I (31)

E(x,t)

El campo eléctrico ejerce una fuerza sobre un Electrón en el medio (puede

ser gas, liquido, sólido…

Cual es el resultado de esta fuerza

E(t)=E0cos(wt)

El modelo mas sencillo (y muy explicativo) del

electrón en un átomo. Es … un resorte con frecuencia natural w0

0

2 20

eq EAm w w

2

2 20 0

12

eNqn

e m w w

La cuenta no hecha. Al moverse

las cargas del medio generan un

campo que interfiere con el de

la fuente.

Introducción a la fluorescencia

1. ExcitaciónPérdida de energía.Emisión a menor energía (mayor long. de onda)

Cuando S1’ NO esta en el visible y S1 si,

da la impresión de que el sustrato

emite luz espontáneamente

.

Espejo Dicroico

FiltroEmisión

FiltroExcitación

GFP

Microscopia de Fluorescencia: Sencilla y contundente

LA PERCEPCCION DEL COLOR

• La retina (la cámara) humana, así como la de una gran cantidad de animales esta compuesta de un cromóforo relativamente insensible a la frecuencia. Este cromóforo interactúa con otra proteína y esta interacción esta “afinada” a tres colores.

• Estos colores se componen generando una sensación de continuo, de la misma manera que podemos llenar los puntos de un plano con dos direcciones.

• La percepción de color es constructiva e ilusoria. El ojo (así como el oído) no es una cámara pasiva. Construye de manera activa en un proceso de inferencia moldeado por el aprendizaje. Esto se hace evidente en las múltiples ilusiones.

Gladiolas y Rosas, y su espectro: Lo que percibimos de un color no es”un “tono puro”

Evans 1948

El espectro de pintura (verde) sintetica. El caracter “metalico”

de las discontinuidades abruptas.

L cones

M cones

S cones0

0.5

1

380 460 540 620 700 780

LMS

Con

e S

ensi

tivity

Wavelength (nm)

Estimates of Human Cone Sensitivty

La mecánica del algebra de colores

Hacia el holismo y los circuitos

ESTE CIRCUITO SUMA Y RESTA, ES DECIR COMBINA, LOS 3

DETECTORES GENERANDO UN CONTINUO DE COLOR

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

y c

hro

mati

city

x chromaticity

xy Representation

Opsina

Retinal (Cromoforo)

Hacia lo pequeño

LA PERCEPCCION DEL COLOR

• La retina (la cámara) humana, así como la de una gran cantidad de animales esta compuesta de un cromóforo relativamente insensible a la frecuencia. Este cromóforo interactúa con otra proteína y esta interacción esta “afinada” a tres colores.

• Estos colores se componen generando una sensación de continuo, de la misma manera que podemos llenar los puntos de un plano con dos direcciones.

• La percepción de color es constructiva e ilusoria. El ojo (así como el oído) no es una cámara pasiva. Construye de manera activa en un proceso de inferencia moldeado por el aprendizaje. Esto se hace evidente en las múltiples ilusiones.

Un año y medio antes de la luz

ANTES DE LA LUZ

Materia, Fuerza, Energía, Tiempo, Espacio, Movimiento y todas sus relaciones.

dxMov

dt (Ni siquiera esta es del todo evidente…)

ANTES DE LA LUZ

Materia, Fuerza, Energía, Tiempo, Espacio, Movimiento y todas sus relaciones.

dxMov

dt

( )( )

d Mov Ff Matdt

dUF dx

Fuerza + Materia Movimiento (Aceleracion, desplazamiento,

frenarse, oscilar…)Flujo de Emergía

Fa m

1 22

GM MF

r

+ -

1 22

Cq qF

r

Un invitado especial: El azar

dxMov

dt

( )( )

d Mov Ff Matdt

dUF dx

Un mundo cualitativamente distinto, regido por las mismas reglas.

La quietud cuesta

T

Convergencia al equilibrio(irreversibilidad, entropía)

F

V- V+

fFvarrastre

La emergencia de un fenómeno (arrastre) que

parece contradecir la regla de base (inercia)

Fuerza + Materia Movimiento (Aceleracion, oscilar…)

Fuerza + Movimiento Materia (Viscoso, solido, liquido,

conductor…)

100 200 300-50

0

50

1

2

3

4

5

6

7

kTfD En estricta relación con un

fenómeno considerado disconexo: la difusión

UN RESUMEN POSIBLE: La física como una metodología de síntesis y modelado. Una manera de pensar y entender los datos (deducción, inducción y ABDUCCION):

El valor de una teoría: Es compacta, es predictiva y es sintética.

Relaciona observaciones de mundos distintos (como la astronomía, los cometas, las orbitas, los fluidos y la caída de manzanas) en un mismo marco. Tan potente ha sido este desarrollo que hoy parece evidente que son de hecho casi lo mismo.

Nosotros, de un vistazo, percibimos tres copas en una mesa; Funes, todos los vástagos y racimos y frutos que comprende una parra. Sabía las formas de las nubes australes del amanecer del treinta de abril de mil ochocientos ochenta y dos y podía compararlas en el recuerdo con las vetas de un libro en pasta española que sólo había mirado una vez y con las líneas de la espuma que un remo levantó en el Río Negro la víspera de la acción del Quebracho.

Había aprendido sin esfuerzo el inglés, el francés, el portugués, el latín. Sospecho, sin embargo, que no era muy capaz de pensar. Pensar es olvidar diferencias, es generalizar, abstraer. En el abarrotado mundo de Funes no había sino detalles, casi inmediatos.