la didattica della matematica nel progetto percontare

La Didattica della Matematica nel Progetto

Anna Baccaglini-Frank

Università di Modena e Reggio Emilia

[email protected]

1 La Didattica della Matematica nel Progetto

PerContare

Obiettivi: 1) Fornire ai docenti indicazioni specifiche per una “buona didattica”

della matematica che fa uso di artefatti fisici e digitali.


PerContare

2) Mettere a disposizione di tutti i bambini, strumenti adeguati per la

costruzione delle competenze numeriche.

3) Favorire individuazione tempestiva degli alunni con difficoltà nei

confronti dei concetti aritmetici.

4) Attivare percorsi di potenziamento individualizzati basati anche su

nuovi software.

5) Prevenire l‟insorgere di difficoltà d‟apprendimento in matematica che

potrebbero essere eventualmente diagnosticate come discalculia

evolutiva.


PerContare

Tempi: 3 anni scolastici

2011- 2012; 2012- 2013, 2013- 2014

Regioni coinvolte Piemonte

Emilia Romagna

(classi pilota e di controlllo: I° - II° - III° elementare)

….altre 5 regioni

Partners ASPHI

Università Modena e Reggio Emilia

Compagnia San Paolo

Fondazione per la Scuola Compagnia San Paolo

Istituti scolastici e Uffici ScolasticiRegionali (destinatari dell‟iniziativa)


PerContare

Attività

1) “Buona didattica” della matematica:

• materiale didattico, formazione,

autoformazione, …

2) Prove collettive per l‟individuazione di

bambini con difficoltà (febbraio - maggio)

3) Potenziamento delle abilità numeriche

• materiali cartacei, artefatti, software

5

La Didattica della Matematica nel Progetto PerContare

Attività



autoformazione, …






PerContare

Alcuni artefatti fisici:

linee dei numeri

abaco

pascalina

cannucce


PerContare

b.abaco

mani


PerContare

Mak-Trace

software di Ivana Sacchi


PerContare

bee-bot


PerContare

Per capire le nostre scelte didattiche... Sviluppo dell’Intelligenza Numerica

INTELLIGERE (capire, pensare) IL MONDO IN TERMINI

NUMERICI

Abilità innata e condivisa da uomo e animali

Competenze elementari legate alla RAPPRESENTAZIONE NUMERICA

Processi preverbali

Processi di conteggio Lucangeli, 2010


PerContare

Numerosità Il numero di elementi che costituisce un insieme

DISCRIMINARE IL NUMERO DI OGGETTI DI INSIEMI PRESENTATI VISIVAMENTE

dalla nascita

Il neonato non sa determinare il numero di elementi di un insieme

• percepisce come differenti insiemi con numerosità distinte • distingue i cambiamenti di numerosità provocati dall’aggiunta/sottrazione di oggetti (possiede aspettative aritmetiche)

MA

Subitizing Processo specializzato di percezione visiva che consente

di determinare la numerosità di un insieme visivo di

oggetti (fino ad un massimo di circa 4) in modo

immediato, senza contare

COME?


PerContare Lucangeli, 2010

Lucangeli, 2010

Il Modulo Numerico (Butterworth, 1999)

CIRCUITI CEREBRALI SPECIALIZZATI PER CATEGORIZZARE

IL MONDO IN TERMINI DI NUMEROSITÁ

(piccoli insiemi di oggetti, fino a 4-5 elementi)

abilità matematiche di base (rappresentazione della numerosità)

geneticamente codificate e presenti fin dalla nascita: non è necessario apprenderle

Capacità più avanzate riconducibili all’istruzione:

STRUMENTI CONCETTUALI FORNITI DALLA CULTURA DI APPARTENENZA - 1, 2, 3…

- uno, due, tre… COMPETENZE

LINGUISTICO-SIMBOLICHE


PerContare

PROCESSI DI CONTEGGIO

dai 2 ai 6-8 anni Apprendimento basato sul concetto di NUMEROSITÁ

I PRINCIPI DEL “COME CONTARE” Gelman e Gallistel, 1978 CONOSCENZE INNATE basate sulla COMPETENZA NUMERICA VERBALE

CARDINALITÁ: l’ultima parola numero usata nel conteggio rappresenta la

numerosità dell’insieme 4 ANNI

CORRISPONDENZA BIUNIVOCA: a ogni elemento dell’insieme contato deve

corrispondere una sola parola-numero e viceversa 5 ANNI

ORDINE STABILE: produrre le parole-numero ordinate

in una sequenza fissa e inalterabile FINO A 100 A 6-8 ANNI



ABILITÁ DI CONTEGGIO Primo collegamento tra la competenza numerica innata e quella acquisita dall’interazione con l’ambiente

LETTURA e SCRITTURA DEI NUMERI

LETTURA evolve, prima della scrittura, gradualmente, da acquisizione del nome dei numeri a riconoscimento dei simboli arabici:

3-4 a.: identificazione errata

(non attribuisce il nome corretto e può confondere il segno grafico con lettere o altri numeri)

4-5 a.: lettura dei numeri più semplici e frequenti

5-6 a.: lettura corretta entro 10

SCRITTURA evolve gradualmente: - 3-4 a.: notazione con grado informativo nullo per osservatore

esterno, ma con significato personale per bambino (FORMATO PITTORICO-FIGURATIVO)

- 4-5 a.: notazione basata sulla corrispondenza biunivoca (SEGNI PIÚ O MENO ASTRATTI)

- 5-6 a.: notazione convenzionale (FORMATO NUMERALE)



Inoltre...

11 anni per femmine

12,5 anni per maschi

neuroni e dendriti mielina che

incapsula e

irrobustisce le

connessioni e le

rende più rapide

neuroni non usati

muoiono

e si rafforzano le

connessioni

esistenti

Se si creano le connessioni in tempo ci sarà una buona

base per la costruzione di nuove competenze

matematiche a partire da quelle esistenti


PerContare

Specificità : discrepanza tra livello intellettivo generale e abilità nel dominio specifico interessato dal disturbo

Carattere Evolutivo : il disturbo si esprime in modo diverso in relazione alle varie fasi evolutive del soggetto portatore

Carattere Neurobiologico : l’eziopatogenesi del disturbo è riconducibile sia all’influenza biologica che all’influenza ambientale

Comorbilità : normalmente si associano ai DSA altri disturbi della sfera relazionale e della personalità


PerContare

Per capire le nostre scelte didattiche... Che Cosa sono i DSA?


PerContare

Nel DSM-IV le difficoltà sintomatiche di un disturbo in matematica (di base) sono: • incapacità di comprendere i concetti di base di alcune operazioni;

• mancanza di comprensione di alcuni termini o segni;

• mancato riconoscimento dei simboli matematici;

• difficoltà ad attuare manipolazioni aritmetiche standard;

• difficoltà a comprendere quali numeri sono pertinenti al problema considerato;

• difficoltà ad allineare i numeri o ad inserire decimali nei calcoli;

• difficoltà nell’organizzazione spaziale dei calcoli;

• incapacità di apprendere in modo soddisfacente le tabelline.

Che Cosa sono i DSA? e la DE?

Secondo Butterworth è:

“a highly selective and specific deficit of a very basic capacity for understanding numbers, which leads to a range of difficulties in learning about number and arithmetic.”

“This proposal is based on the idea that we are born with a capacity specialized for recognizing and mentally manipulating numerosities (cardinal values) and that this capacity is likely to be embodied in specialized neural circuits.”

(Butterworth, 2004, Handbook of Mathematical Cognition)


PerContare


In seguito alla Consensus Conference del 2007 in Italia è:

Disturbo a patogenesi organica,

geneticamente determinato,

espressione di disfunzione cerebrale


PerContare


Le aree del cervello che sembrano essere coinvolte sono:

il lobo frontale sinistro

(per compiti complessi)

il giro angolare

il lobo parietale

il solco intraparietale destro

L‟apprendere nuovi fatti aritmetici coinvolge principalmente i lobi frontali e i solchi

intraparietali, ma l‟utilizzo di fatti precedentemente imparati coinvolge il giro

angolare sinistro, che si usa anche nel recupero di fatti dalla memoria.


PerContare


a. Sottotipo con deficit a carico del senso del numero o

della rappresentazione della quantità (Wilson e

Dehaene, 2007; Butterworth, Varma, Laurillard, 2011);

b. Sottotipo con deficit a carico della formazione e del

recupero di fatti numerici e aritmetici

(es. Fuchs, et al. 2010);

Lucangeli, 2013 25 La Didattica della Matematica nel Progetto

PerContare


c. Sottotipo con deficit a carico delle procedure di calcolo

(Raghubar et al., 2009; Mammarella, Lucangeli,

Cornoldi, 2010), specificando se su base

visuo-spaziale e interessamento/o con delle

procedure necessarie allo svolgimento dell‟operazione,

che potremmo indicare come discalculia procedurale.

d. Disturbo misto quando si evidenziano caratteristiche

compatibili con sottotipi diversi.


PerContare


c. Sottotipo con deficit a carico delle procedure di calcolo

(Raghubar et al., 2009; Mammarella, Lucangeli,

Cornoldi, 2010), specificando se su base

visuo-spaziale e interessamento/o con delle

procedure necessarie allo svolgimento dell‟operazione,

che potremmo indicare come discalculia procedurale.

d. Disturbo misto quando si evidenziano caratteristiche

compatibili con sottotipi diversi.


PerContare


Tutto questo che conseguenze ha

nel contesto scolastico?

Un‟adeguata stimolazione attraverso una buona

didattica può

• favorire i processi della plasticità cerebrale;

• alleviare alcune difficoltà causate dai DSA;

• prevenire il fenomeno degli studenti “falsi

positivi” alle prove per la diagnosi di DE aiutando

più del 20% della popolazione scolastica

(percentuale di studenti che manifestano

difficoltà in matematica entro la fine della scuola

elementare).

A che cosa può servire una “Buona Didattica”?


PerContare

La teoria della mediazione semiotica

e come usare alcuni artefatti in quest‟ottica;

Che aspetti tratteremo oggi?


PerContare

il nostro approccio ai problemi.

La Mediazione Semiotica (Bartolini Bussi & Mariotti, 2008)


PerContare

Una Teoria per la Costruzione di Significati Matematici


PerContare

Le Cannucce come Artefatti per la Mediazione Semiotica

32

1 elementare / 1 semestre

Prima conta dieci bastoncini, lega

un fascetto. Quando hai fatto

come conti?

1 da dieci e 1 da uno fa dieci

uno (+ —)


36 - 28

Cina – Prima Elementare


PerContare

Cina – Prima Elementare

36 - 28


PerContare

problema

36 – 28?

Valore posizionale

?


PerContare

problema

?

36 – 28?

Valore posizionale


PerContare

problema

Slego un fascetto e prendo i

bastoncini che mi servono

?

36 – 28?

Valore posizionale


PerContare

problema

Valore posizionale

?

36 - 28=

8..

con il “prestito” di una decina

36 – 28? Slego un fascetto e prendo i

bastoncini che mi servono


PerContare

problema

Legar

e

slegar

e

36 - 28=

8..


Valore posizionale

36 – 28?


PerContare

problema

Legare slegare

36 - 28=

8..


Valore posizionale

36 – 28?

Comporre Scomporre


PerContare

Compito

Attività Semiotica

Allievo(i)

cultura Sapere

Matematico Produzioni collettive

“Testi” matematici

Produzioni individuali

“Testi ”situati


PerContare

http://www.google.it/imgres?imgurl=http://marco2000.altervista.org/flatnux/sections/01_Alle_altre_sezioni/27_Libri/libri.gif&imgrefurl=http://marco2000.altervista.org/flatnux/index.php?mod=Libri&usg=__4EZEl1kpewukp8IjK-U-9BjD6eE=&h=756&w=1016&sz=27&hl=it&start=1&zoom=1&um=1&itbs=1&tbnid=IuEfB8p9jwt5kM:&tbnh=112&tbnw=150&prev=/images?q=libri&um=1&hl=it&sa=N&rls=com.microsoft:it:IE-SearchBox&rlz=1I7RNTN_it&tbs=isch:1


Compito

Attività Semiotica

Allievo(i)

cultura Sapere




“Testi ”situati

Schemi d’uso


PerContare



Compito

Attività Semiotica

Allievo(i)

cultura Sapere




“Testi ”situati

Schemi d’uso

SIGNIFICATI


PerContare



Compito

Attività Semiotica

Allievo(i)

cultura Sapere




“Testi ”situati

Ruolo dell’insegnante


PerContare



Processi di lungo termine

Produzione

individuale

di segni

Produzione

Collettiva

di segni

Discussione

Matematica

Attività con

l‟artefatto


PerContare

46

Una prima possibile consegna

Portare in classe circa cinquecento cannucce in un

sacchetto e spargerle su una superficie accessibile a tutti i

bambini (anche il pavimento). Chiedere:

“Secondo voi quante cannucce sono queste?”

Raccogliere, magari scrivendo alla lavagna, le diverse

risposte dei bambini e sottolineare le risposte in cui si è

stimata la quantità di cannucce sparse per poi dire:

“Bene, ora dobbiamo vedere chi si è avvicinato di più e

contare le cannucce per scoprire davvero quante sono.”

“Come possiamo fare?”


Le Cannucce

47

Che cosa aspettarsi

I bambini sanno contare ben oltre il dieci, ma

probabilmente pochi hanno sviluppato aspetti semantici dei

numeri oltre il dieci. Alcuni bambini risponderanno dicendo

“moltissime”, “tantissime” o dicendo i numeri “più grandi

che conoscono”. Potrebbero usare numeri come “cento”

“mille” o simili senza attribuire un preciso significato di

quantità, ma come sinonimi di “tantissimi”.


Le Cannucce

48

Significati matematici che si vogliono costruire

Si vuole arrivare al concetto di decina come

raggruppamento di dieci oggetti (eventualmente anche

astratti) e alla rappresentazione dei numeri secondo la

notazione decimale posizionale.

Come costruire i significati matematici

I bambini cercheranno diverse strategie per contare tutte le

cannucce. L‟insegnante dovrebbe sottolineare le diverse

tipologie di risposta (per esempio, chi tenta di contare

usando solo parole-numero, chi sposta mucchietti di

cannucce “contate” da una parte e magari ne tiene traccia

in qualche modo…). La Didattica della Matematica nel Progetto

PerContare

Le Cannucce

49

Trovandosi in difficoltà nel contare, i bambini saranno pronti

ad accogliere “suggerimenti”. L‟insegnante può scegliere di

spingere verso una particolare strategia risolutiva, magari

modificandone una proposta dai bambini.

Lavorando sull‟idea di “fare mucchietti” l‟insegnante può

dire:

“Allora teniamo bene insieme le cannucce di questi

gruppettini.”

È importante inoltre che nella soluzione definitiva i

gruppettini contengano lo stesso numero di cannucce

(altrimenti come si fa a sapere quante cannucce abbiamo

raccolto?) e arrivare ad avere gruppetti da dieci


Le Cannucce

50

(perché così sono più facili da contare – questo solo

perché il nostro sistema numerico è decimale derivante

probabilmente dal fatto che abbiamo 10 dita, ma è una

convenzione).

Si arriva dunque a rispondere alla domanda iniziale

costruendo molti fascetti-decina. L‟insegnante sottolinea

quanto sia più facile contare i fascetti piuttosto che contare

le cannucce una ad una come aveva proposto qualcuno

all‟inizio.

A questo punto (o prima) è bene esplicitare l‟analogia

fascetto-decina e dieci dita delle mani, per poi introdurre

formalmente il numero 10.

“Sapete come si scrive 10? È un numero diverso dagli altri

che abbiamo scritto finora…si scrive con due cifre: 1 e 0.”

“Ora scriviamo 10 nell’aria.” La Didattica della Matematica nel Progetto

PerContare

Le Cannucce


PerContare

Le Cannucce (uso dei fascetti nelle operazioni)

53

[riprendendo attività con le mani] chiedere:

Ho 6, aggiungo 5, quale numero trovo?


Le Cannucce

54

Proporre un nuovo artefatto come strumento utile per

questo tipo di attività: le cannucce in fascetti di 5.

Presentate a ciascuna coppia di bambini 20 cannucce

legate in fascetti da 5 cannucce l‟uno, uniti con un elastico

o fil di ferro facile da sciogliere e richiudere.


Le Cannucce

55

Proporre un nuovo artefatto come strumento utile per

questo tipo di attività: le cannucce in fascetti da 5.

Presentate a ciascuna coppia di bambini 20 cannucce

legate in fascetti da 5 cannucce l‟uno, uniti con un elastico

o fil di ferro facile da sciogliere e richiudere.

Che cosa sono? come li potete usare per rispondere alla domanda?


Le Cannucce

56

Usa i fascetti di cannucce per fare i seguenti calcoli, slegando meno fascetti che puoi: 7+4= 13+5= 5+12= 11+6= 10+8= 11+9= 10+10= 10+5= 11-1= 15-3= 12-5= 20-5=


Le Cannucce

57

“Posso usare il 5 per SCOMPORRE e COMPORRE

numeri. Per esempio posso pensare a 7 come un

fascetto di 5 e poi due, oppure posso pensare a 4

come un fascetto di 5 a cui manca una cannuccia.

Questo può essere utile in addizioni e sottrazioni

perché posso sempre pensare ai numeri come tanti

fascetti da cinque a cui aggiungo o tolgo 1, 2, 3, 4, o 5

cannucce”


Numeri Complementari con le Cannucce


PerContare

Awalé delle Cannucce

59

Un modo di rafforzare la nozione di decina può essere

il seguente gioco ispirato alla tradizione africana ed

indiana degli Awalé. Servono (per ogni gruppetto di

bambini)

• 10 bicchieri di plastica (meglio se trasparenti), quindi

in totale 50 se si formano 5 gruppetti;

• 50 cannucce, quindi in totale 250 se si formano 5

gruppetti;

• 10 elastici, quindi in totale 50 se si formano 5

gruppetti.



60

Si posizionano i bicchieri su 2 file contrapposte. In

ogni bicchiere si posizionano 5 cannucce. Le due

squadre in ciascun gruppetto si posizioneranno

una di fronte all'altra avendo davanti a sé 5

bicchieri, ognuno contenente 5 cannucce.

Il bambino potrà prendere, ad ogni suo turno di

gioco, solo le cannucce presenti nei bicchieri dalla

propria parte.



61

Turno di gioco: il bambino prende tutte le

cannucce che si trovano in uno dei 5 bicchieri che

ha di fronte e le distribuisce 1 per ogni bicchiere a

partire da quello subito alla destra di quello da

dove ha prelevato le cannucce. Il movimento

risulterà quindi in senso antiorario. Il movimento va

dalla propria metà a quella dell'avversario. Infatti la

“semina” distribuzione delle cannucce riguarda

anche la parte dei bicchieri da cui prende il proprio

avversario.



62

Ogni volta che il bambino collocando l'ultima

cannuccia “seminata” in un proprio bicchiere o in

quello dell'avversario comporrà una decina,

legherà il fascetto e lo deporrà alla sua destra nel

“granaio”.



63

Vince il bambino che alla fine della semina e

raccolta avrà composto più decine. Il gioco può

essere fatto da singoli bambini o da squadre.

Il gioco si ispira liberamente alla tradizione africana ed indiana degli

Awalé. Per informazioni si può consultare wikipedia alla seguente voce:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Awal%C3%A9



PerContare

Le Mani: Un “artefatto” sempre a “portata di mano”

65

Senza la capacità di associare la rappresentazione dei numeri alla rappresentazione neurale delle

dita e delle mani nelle loro posizioni normali, gli stessi numeri

non possono avere una rappresentazione normale nel

cervello.

(Butterworth, 1999 )


Perché è bene usare le mani?

Cosa dice la didattica della matematica?

66

No all’uso di un etichettamento rigido delle dita.

È bene usare le dita per la loro naturale struttura di 10 in tutto e 5 per mano.

Facilitano la scomposizione. È bene usare le dita perché

possono facilitare la concezione di addizione e

sottrazione come operazioni complementari.


67

No all’uso di un etichettamento rigido delle dita.

È bene usare le dita per la loro naturale struttura di 10 in tutto e 5 per mano.

Facilitano la scomposizione. È bene usare le dita perché

possono facilitare la concezione di addizione e

sottrazione come operazioni complementari.

Alzare o abbassare le dita in maniera sequenziale oppure simultanea influenza i processi cognitivi coinvolti.


Cosa dice la didattica della matematica?

Quindi...

68

Fin dall’inizio dell’anno favorire l’uso delle dita e consentirne l’uso fino a che i bambini non lo abbandonano da soli.

Lavorare sul calcolo a mente e chiedere ai bambini di aiutarsi con le dita (e poi di immaginarsele).

Ecco alcuni esempi di attività.


“ Disegna le tue mani mentre contano”.


PerContare

Alcune Attività

1) La maestra prende la linea dei numeri (1-10) grande e chiama un bambino alla volta a indicare un numero sulla linea. Gli altri bambini devono mostrare il numero corrispondente di dita.

2) I bambini mettono la loro linea dei numeri sul banco. La maestra tiene le mani dietro la schiena e mostra un numero (da 1 a 10). I bambini devono trovare il numero sulla linea dei numeri ed indicarlo senza dire niente ad alta voce. La maestra gira a controllare.


PerContare

3) Memory delle mani.

Disponete le carte “a faccia in giù” sul pavimento dell’aula e fate sedere i bambini in cerchio. A turno ogni bambino può girare due carte e se sono una “coppia” (cioè diverse rappresentazioni dello stesso numero) toglie la coppia dal pavimento e la tiene nel proprio mucchietto.

Se la classe è molto numerosa (come quasi tutte) conviene fare due o più copie delle carte da gioco e dividere i bambini in piccoli gruppi. Il gioco può anche essere messo a disposizione durante l’intervallo o nei momenti in cui i bambini possono scegliere quali giochi fare autonomamente.


PerContare


PerContare

Conta Mani di Classe


PerContare

74

Questa bambina ha costruito due volte la stessa mano

anziché una mano destra e una sinistra.

A parte questo, le mani di cartoncino, che chiamiamo

“contamani” sono realizzate correttamente, incluse le pieghe

tra le dita e i palmi.


Conta Mani Individuale

75

Esempi di domande in schede di lavoro:

a) Questa bambina ha rappresentato 8 con il contamani:

tutti i disegni rappresentano il numero 8? Se pensi ci sia

un errore cerchialo e correggilo.


Conta Mani

76

b) Questa bambina ha rappresentato 4 con il

contamani: tutti i disegni rappresentano il numero

4? Se pensi ci sia un errore cerchialo e correggilo


Conta Mani

77

c) Rappresenta il 6 in diversi modi.


Conta Mani

78

Chiedere ai bambini di rappresentare vari numeri

compresi tra 5 e 10, usando le seguenti modalità:

a) dicendo un numero a voce (per esempio

“sette”)

b) mostrando un numero sulla linea dei numeri di

classe, evidenziandolo con la finestra scorrevole.

Ciascun bambino dal posto deve posizionare il proprio

contamani in modo da rappresentare il numero scelto

dall‟insegnante (a turno si possono anche chiamare fuori

dei bambini che “diano i numeri”.


Conta Mani

79

Usare quest‟attività per riflettere su:

Qual è il modo più veloce di rappresentare questi

numeri con i contamani?

Far riflettere i bambini sulle strategie che hanno

usato.


Conta Mani

80

è utile lasciare alzate tutte le dita di una mano, cioè 5, per poi aggiustare soltanto le dita

dell’altra mano.


Discutiamo gli schemi emersi usando il Conta Mani

81


dell’altra mano.

In questo modo i numeri vengono scomposti, per esempio, così:

2 5

7

4 5

9

1 5

6



82


dell’altra mano.

Se il 10 è riconosciuto come configurazione “base” con le dita

tutte su, potrebbero emergere anche strategie come:

5-2 5

8

5-1 5

9



83

Quindi possiamo pensare ai numeri così:

e facilmente rappresentarli sulle dita così:


...e arriviamo all’ “istituzionalizzazione”

84

Qui si propone una variazione significativa rispetto

a quanto evidenziato in precedenza, che dovrebbe

corrispondere ad un‟evoluzione cognitiva.

Ora si sta facendo esplicitare ai bambini quella che

loro dovrebbero aver costruito e conquistato come

nuovo modo di pensare, più evoluto:

ora quali dita si alzano è importante per economia

di pensiero.



85

Non è sbagliato quello che i bambini facevano

prima e può darsi che alcuni vorranno usare modi

di pensare meno evoluti, ma

aiutare chi ha costruito nuovi modi di pensare più

economici ad esplicitarli può essere utile per il

resto della classe.

L‟aspetto metacognitivo di questo tipo di attività è

fondamentale e importante da curare durante tutto

l‟anno scolastico. La Didattica della Matematica nel Progetto

PerContare


86

Oggi ci siamo chiesti

Qual è il modo più veloce di rappresentare i

numeri con il contamani?

Dalla discussione con i nostri compagni è emerso

che possiamo rappresentare i numeri così:




PerContare


88

Abbiamo scoperto che se vogliamo contare con il

contamani, ad esempio 7, è utile lasciare alzate

tutte le dita di una mano, cioè 5, per poi aggiustare

le dita dell‟altra mano, in questo caso alzando 2

dita. Questo è utile in particolar modo per i numeri

5, 6, 7, 8, 9 e 10.

Questi numeri sono formati da:

6 5 E 1

7 5 E 2

8 5 E 3

9 5 E 4

10 5 E 5 La Didattica della Matematica nel Progetto

PerContare


89

Di solito partiamo con il contamani azzerato. E se

invece il contamani avesse tutte le dita alzate?



90

abbasso 9 abbasso 8 abbasso 7 abbasso 6 abbasso 5

abbasso 4 abbasso 3 abbasso 2 abbasso 1 non abbasso



91

Per essere veloci con il conta mani: 1 5 ABBASSO 4 E ABBASSO 5

2 5 ABBASSO 3 E ABBASSO 5



5 5 E 5 ABBASSO 5 oppure 10 ABBASSO 5





10 5 E 5 (NON ABBASSO) oppure 10



Mettendo le mani dietro la schiena la maestra

dice:

92

Ho tre dita sollevate, quante non sono sollevate?

Rappresentate la situazione sul vostro contamani per

rispondere

(poi la maestra fa vedere le sue mani)


Altri Giochi con le Dita


dice:

93

Ho le dita di una mano sollevate e ancora altre

quattro dita sollevate. Che numero è?

(Alla risposta la maestra fa vedere le sue mani)




dice:

94

(Alla risposta la maestra fa vedere le sue mani)

Ora ho 4, aggiungo 5, quale numero trovo?

Cosa fareste con il contamani?



Quando ci mettiamo in fila per uscire all’intervallo o alla fine delle lezioni chiedo ai bambini di indovinare il

numero che sto facendo con delle dita alzate e abbassate dietro la schiena,

come nelle attività proposte.


PerContare


Stamani un bambino mi ha detto che ieri sera ha giocato con la mamma

all'indovina numero (come abbiamo fatto noi ieri in classe).

Un altro che in macchina, venendo a scuola, ha calcolato le addizioni con il

papà.


PerContare



PerContare


98

Quanto fa 8 + 6?

Alla fine della lezione e nei giorni successivi, quando

possibile, fare domande del tipo:

e osservare l‟evoluzione del pensiero dei

bambini.


Le Cannucce e le Mani

99

A questo punto i bambini dovrebbero essere in

grado di rappresentare prima 8 con una mano

(prima 5 e poi 3, lasciando aperte 3 dita)

poi 6 con l‟altra mano (prima 5 e poi 1, lasciando

aperto 1) in modo da memorizzare i due 5 che

formano 10, poi sulle mani restano 3 e 1, che

formano 4, da cui 10 + 4= 14



100

Dopo l‟attività e qualche giorno di esercizio,

dovrebbero essere in grado di pensare:




101

Dopo l‟attività e qualche giorno di esercizio,

dovrebbero essere in grado di pensare: Per formare un fascetto da 10

(o aprire le due mani) prendo 2 dal 6 e me ne

rimangono 4, quindi ho un fascetto da 10 e altre quattro cannucce (o dita

sollevate) e quindi ho 10+4=14.


La Linea dei Numeri per l’Aritmetica


PerContare

I numeri e lo Spazio

Nel 1880 studi di Galton hanno indicato che molte persone

occidentali si rappresentano i numeri in un modo stabile su

uno spazio interno bidimensionale, organizzati lungo linee

dei numeri idiosincratiche.

Alcuni individui vi associano anche

una serie di caratteristiche visuo-

spaziali associate alle informazioni

numeriche, come il colore o la

brillantezza che variano a seconda

delle configurazioni della sequenza di

numeri.


PerContare


L‟idea di Galton ha trovato conferma in studi successivi in

cui venivano messi in relazione il processamento di numeri

e quello dello spazio (per esempio, Piazza, Pinel, &

Dehaene, 2006; Seron, Pesenti, Noël, Deloche, & Cornet,

1992).

Effetto SNARC

(Spatial Numerical Association of Response Codes): un

effetto del comportamento in esperimenti classici per

documentare “l‟effetto dello spazio” nella rappresentazione

dei numeri (Dehaene, Bossini, & Giraux,

1993).


PerContare

I numeri e lo Spazio Effetto SNARC

Il soggetto deve decidere se il numero è pari o dispari

usando la mano destra in un caso e sinistra nell‟altro.

Nel diagramma sono riportate le differenze dei tempi di

risposta tra la mano destra e sinistra (i valori maggiori di 0

indicano un vantaggio della mano sinistra).


PerContare

I numeri e lo Spazio Effetto SNARC

In generale si ha un vantaggio nel tempo di risposta della

mano destra per numeri grandi e nella sinistra per numeri

piccoli. L‟effetto si ha in compiti di confronto di numeri,

giudizio di parità/disparità, e ordinamento (de Hevia, et al.,

2008; Dehaene, et al., 1993; Hubbard, et al., 2005).


PerContare

I numeri e lo Spazio Compiti di Bisezione

Quando si chiede al soggetto di indicare il punto medio si

un segmento costituito di numeri piccoli, il soggetto sceglie

un punto a sinistra del vero punto medio se i numeri sono

piccoli e a destra del reale punto medio se i numeri sono

grandi (Calabria & Rossetti, 2005; Fischer, 2001).


PerContare

I numeri e lo Spazio Bias attentivo

Quando si presenta al soggetto un numero mentre fissa

uno schermo, automaticamente avviene uno shift di

attenzione verso la destra o la sinistra del numero (sullo

schermo) che porta a risposte più rapide a stimoli

presentati in queste zone.


PerContare



PerContare

2 3 4 1 5 6 8 7 9



PerContare


Questa è la forma a cui miriamo culturalmente (e

matematico), con la possibilità di estenderla ai numeri

negativi, ai razionali e agli irrazionali...


PerContare


Questa è la forma a cui miriamo culturalmente (e

matematico), con la possibilità di estenderla ai numeri

negativi, ai razionali e agli irrazionali...

3

2π

-1


PerContare

La linea dei numeri

...nella vita di uno studente...

La linea dei numeri permette di orientarsi e di

riuscire anche in compiti di seriazione crescente o

decrescente. Saper maneggiare la linea consente

di accedere rapidamente a molti compiti numerici e

aritmetici: contare, fare calcoli rapidi, ricordare le

tabelline,

sapere quale numero viene prima o dopo ecc.


PerContare

Per prepararsi all’idea, a inizio anno


PerContare

Un gioco a squadre

Per prepararsi all’idea, a inizio anno


PerContare

Costruzione della Linea Personale


PerContare

Costruzione della Linea con Finestra

Linea con Finestra

Si possono anche coprire la „P‟ e la „S‟ in modo da avere

soltanto una finestra scorrevole segna-posto. Ogni tanto

fare il seguente “gioco”: due bambini sono chiamati

davanti agli altri, un bambino dal posto dice un numero

(da 0 a 10) e il primo bambino (fuori) sposta la finestra

scorrevole sul numero, mentre l‟altro mostra il numero

con le dita. A rotazione ogni bambino della classe fa

ciascuna attività.


PerContare

Linea con Finestra

È possibile fare una versione “in piccolo” per

ciascun bambino di questa linea aggiungendo alla

linea personale di ogni bambino una graffetta un

po` allentata.


PerContare

1) Se ho nella finestra il numero 6 (cioè se parto dal numero 6) dove arrivo se

sposto la finestra in avanti di 2?





4) Come devo spostare la finestra se parto dal numero 2 e voglio arrivare al

numero 6?

5) Come devo spostare la finestra se parto dal numero 10 e voglio arrivare al

numero 6?


PerContare

Far emergere che precedente e successivo si

ottengono facendo un passo indietro o in avanti dal

numero da cui si parte; che quando ci si sposta

“indietro” (verso sinistra) si conta all‟indietro dal

numero di partenza; che quando ci si sposta in

“avanti” (verso destra) si conta in avanti dal numero

di partenza.


PerContare

Un’altra rappresentazione utile...le scale

Disponendo i numeri sulle

scale (nella scuola, in

cortile, sulle gradinate di un

campetto di atletica...) si

possono proporre “giochi”

di potenziamento per

bambini con difficoltà.


PerContare

Attività sulle scale

Mettiti sul gradino 5.


PerContare




PerContare


Se devi andare all‟8 devi

andare su o giù? e di

quanto?


PerContare


Se devi andare all‟8 devi

andare su o giù? e di

quanto?

Su. Di tre.


PerContare

Le scale in interventi di ri-educazione/potenziamento


PerContare

Dov’è il numero 4?




PerContare

Che numero è maggiore di 4? Ce n'è solo uno? Quanti

nella nostra linea?

[vedere come rispondono i bambini]

Come faccio a vederlo sulla mia linea? Perché sono

sicura/o?

[so che, per esempio, il 6 è maggiore del 4…strategie come:

6 oggetti (per esempio dita) sono più di 4; 6 viene dopo 4

contando…

vogliamo arrivare a: 6 è dopo il 4 sulla linea dei numeri, per

arrivare a 6 partendo dal 4 devo fare 2 passi verso destra;

tutti i numeri maggiori del 4 stanno alla sua destra sulla linea

dei numeri]


PerContare

Che numero è maggiore di …?

Quando si è stabilito che tutti i numeri maggiori di un certo

numero stanno alla sua destra sulla linea dei numeri, passare

alla domanda: Che numeri sono maggiori di …? (inclusa la

domanda: Che numeri sono maggiori di 0?)

[lasciare aperta la questione dei numeri dopo il 10 nel caso non

siano ancora stati affrontati, altrimenti dire che sono maggiori

dei numeri su questa linea tutti quelli a destra del 10, e quindi

fare gli esempi dei numeri conosciuti dai bambini]

3) Che numeri sono minori di 4?

[procedere come sopra, arrivando a concludere che tutti i

numeri minori di 4 sono quelli alla sua sinistra, o che vengono

prima sulla linea dei numeri] 133



PerContare

Attività con bee-bot

Si veda www.bee-bot.co.uk/ Qui è descritto

e venduto anche il software Focus on bee-

bot.


PerContare

http://www.bee-bot.co.uk/




descritte anche qui:

Disponibile in formato cartaceo o

come e-book:

http://www.amazon.it/Informatica-

percorso-formativo-insegnanti-

dellinfanzia/dp/8897899110/ref=sr_1

_9?ie=UTF8&qid=1352130620&sr=8-

9


PerContare


Si veda www.bee-bot.co.uk/ Qui è descritto

e venduto anche il software Focus on bee-

bot.

passo avanti (di lunghezza predefinita); passo indietro (della stessa lunghezza); rotazione in senso orario (di 90°); rotazione in senso anti orario (di 90°); pausa (di durata predefinita); cancella la sequenza in memoria.


PerContare





Costruzione di una griglia


PerContare


Bambini in prima elementare mentre

programmano bee-bot perché esegua percorsi su

una griglia che hanno costruito.


PerContare


Il mondo di bee-bot


PerContare


L‟insegnante sceglie la prospettiva “vista di bee-

bot”, e programma bee-bot affinché arrivi sul 3 (si

può fare questo in modo che bee-bot sia rivolto

verso il 4 oppure verso il 2) e chiede agli studenti:

“Su che numero è bee-bot se vede questo?”


PerContare


L‟insegnante sceglie la prospettiva “vista di bee-bot”, e

programma bee-bot affinché arrivi sul 7, e faccia due

giri a sinistra; esegue il percorso senza mostrare i

comandi ai bambini e chiede: “Se bee-bot vede

questo, su che numero è? Completa la

programmazione in modo che bee-bot arrivi al numero

2. Deve fare passi in avanti o indietro? Quanti?”


PerContare

Addizione sulla linea dei numeri procedura e concetto

Nel caso di difficoltà d‟apprendimento sembra sia

utile proporre una procedura rigida per far vivere

esperienze di successo a questi bambini.


PerContare

Comunque, per favorire lo sviluppo di un concetto

più completo è importante lavorare con diverse

rappresentazioni, esplicitandone similitudini e

differenze.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

+ -

Addizione/sottrazione sulla linea dei numeri una procedura rigida


PerContare

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

0

+ -

Addizione/sottrazione sulla linea dei numeri una procedura rigida Status “strano” dello 0:

rappresenta la “partenza”. Inizialmente non lo facciamo figurare tra gli addendi per la sua maggiore complessità cognitiva. Tuttavia usiamo il simbolo convenzionalmente corretto per non imporre improvvisamente una nuova rappresentazione al bambino in difficoltà.


PerContare

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

+ -

Addizione sulla linea dei numeri analisi funzionale di un software


PerContare

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

+ -

Compare un‟operazione e il segnaposto appare sul segno “strano”

(marcatore del via che un giorno significherà “0”). L‟utente può ora dare

come solo input un click sulla linea dei numeri che corrisponde al primo

addendo.

Versione 1 (massimo scaffolding)

3 + 4 =


PerContare

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

+ -

L‟utente ha cliccato sul 3 sulla linea dei numeri e il segnaposto ci si è

sistemato sopra. Se l‟utente sbaglia il sistema mette il segnaposto sul

numero sbagliato ma non consente di continuare e da` feedback

negativo (la faccia triste in basso a sinistra come in tutti i software di

Ivana), per poi costringere l‟utente a cominciare da capo. Il sistema deve

trovarsi in questa configurazione per poter continuare


3 + 4 =


PerContare

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

+ -

Quando l‟utente ha correttamente posizionato il segnaposto (e premuto

invio per confermare) compare il sotto la linea. L‟utente impara a

riconoscere questo come feedback positivo.


3 + 4 =


PerContare

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

+ -

Ora l‟utente deve posizionare il dito sul numero del segnaposto e

muoverlo sulla linea cliccando numeri sulla linea. Se l‟utente non mette

subito il dito sul numero con il segnaposto il sistema dà feedback

negativo.


3 + 4 =


PerContare

1 2 3 5 6 7 8 9 10

+ -

Ora l‟utente può dare come input soltanto posizioni per il secondo

addendo. Il dito segue i clicks dell‟utente fino alla conferma finale con

invio. A mano a mano che i numeri vengono cliccati si illuminano come

segue. Se l‟utente clicca su numeri che non siano ordinatamente i

successori del primo addendo, il sistema da` feedback negativo.


3 + 4 =

4


PerContare

1 2 3 6 7 8 9 10

+ -







3 + 4 =

4 5


PerContare

1 2 3 7 8 9 10

+ -







3 + 4 =

4 5 6


PerContare

1 2 3 8 9 10

+ -

Ora se l‟utente conferma con invio riceve feedback positivo e gli viene

proposto di digitare la risposta nel box con l‟operazione.


3 + 4 =

4 5 6 7


PerContare

1 2 3 8 9 10

+ -


3 + 4 = 7

4 5 6 7


PerContare

1 2 3 5 6 7 8 9 10

+ -


3 + 4 =

4

All‟inizio se l‟utente sbaglia la direzione e va a sinistra del 3 invece che a

destra, il sistema da‟ feedback negativo e lampeggia il + nell‟operazione

nel riquadro e il + con la freccia in alto a destra. Idem con il – nel caso

della sottrazione. 158


Alcune osservazioni

Secondo questa procedura l‟addizione NON è

simmetrica.

Se si propone 4+3= la procedura porta ad

interpretare l‟operazione non come relazione che a

due elementi ne associa un terzo, ma come

l‟operatore “+3” che opera sul 4.

Dunque si può “scoprire” che 4+3 (operatore “+3”

che opera su 4) porta allo stesso risultato che 3+4

(operatore “+4” che opera su 3) alla fine delle

procedure.


PerContare

Alcune osservazioni

La procedura proposta sulla linea dei numeri è

molto diversa dalla seguente procedura

realizzabile, per esempio, in un applicativo multi-

touch in via di sviluppo.


PerContare

I Problemi con Addizione e Sottrazione

Abbiamo creato alcune tipologie di consegna per

situazioni statiche e dinamiche, rielaborate dalla

tradizione cinese dei “problemi con variazione”.


PerContare


PerContare



PerContare

Al compleanno di Alice ci sono 28 bambini. I maschi sono 13 Quante sono le femmine al compleanno?

Al compleanno di Alice ci sono 13 maschi e 15 femmine. Quanti bambini ci sono al compleanno?

Al compleanno di Alice ci sono 28 bambini. Le femmine sono 15. Quanti maschi ci sono al compleanno?

Abbiamo creato alcune tipologie di consegna per

situazioni statiche e dinamiche, rielaborate dalla

tradizione cinese dei “problemi con variazione”.

L‟insegnante può agevolmente creare triplette a

partire dai problemi che trova nei suoi libri.



PerContare

Tipologia a: 3 problemi 3 rappresentazioni (uguali)

Tipologia b: associa testi a disegno (1 disegno 3 testi)

Tipologia c: 3 testi 1 rappresentazione 5 operazioni

Tipologia d: 1 rappresentazione scrivi 3 testi

Grazie!


PerContare

Per ulteriori informazioni visitare:

percontare.asphi.it

o contattare: [email protected]

la didattica della matematica nel progetto percontare

Documents