La conservazione della quantità di moto

Caterina Petrucci&

Luca Grimaldi

2

I principio della dinamicaUn corpo libero che ad un certo istante ha una velocità , mantiene indefinitamente (fino a che resta libero) il suo stato di moto rettilineo ed uniforme ( si mantiene costante).v

v

II principio della dinamica: dt

pdF

è una formulazione più generale rispetto a amdt

vdmF

in meccanica relativistica.

vmp

quantità di moto:

perché resta inalterata

3

Forze impulsive: hanno effetto per un tempo molto piccolo rispetto a quello su cui viene osservato il fenomeno

l’impulso che la forza trasmette al corpo tra gli istanti t1 e t2 è uguale alla variazione che la quantità di moto del corpo subisce nello stesso intervallo di tempo.

teorema dell’impulso: 12

t

tt,t vmvmpdt

dt

pdI

2

1

21

impulso della forza: 2

1

21

t

tt,t dtFI

4

III principio della dinamica

2112 FF

Le forze che agiscono su un corpo derivano dall’interazione di questo con altri corpi.

Se un corpo 1 esercita su un corpo 2 una forza anche il corpo 2 esercita su 1 una forza

21F

di uguale intensità e verso opposto.

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Sistema isolato: insieme di corpi sui quali non agiscono forze esterne (forze non di mutua interazione) oppure queste hanno risultante nulla o trascurabile rispetto a quelle interne.

Conservazione della quantità di moto

i

i

jiij

jij

i

0dt

pd

FF

Fdt

pd

in un sistema meccanicamente isolato laquantità di moto totale si conserva

6

APPLICAZIONI

In alcuni casi (tipicamente quando sono in gioco forze impulsive) il principio di conservazione della quantità di moto consente di dedurre alcune proprietà del moto senza conoscere il dettaglio delle interazioni in gioco.

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Vvw

Sistemi di riferimento

'OOOPP'Ocon

dt

P'Odw

dt

OPdv

sistema del centro di massa

i

iii

i 0wmq

tetancos

V2

m

iabilevar

w2

mv

2

m 2CM

ii

i

2i

i

i

2i

i

per un sistema isolato di corpi vale il teorema di Koening:

ii

iii

CM m

vmVV

wmqvmp

quantità di moto:

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ESEMPI DI APPLICAZIONE

Carrello su binario liscioAll’inizio m+M in moto con v. Quindi m acquista w rispetto al carrello, opposta a v.

Quanto vale V ?

Uomo e carrello interagiscono con forze di attrito delle quali non conosciamo nessun dettaglio.

wMm

mvV

MVVwmvMm

binariairispettovelocità

V > v per compensare la spintadovuta alla variazione del moto dell’uomo.

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Esplosioni: eventi in cui da un corpo monolitico si separano, a causa di forze interne, uno o più frammenti

se v1 è la velocità con cui il proiettile esce dalla canna del fucile, la velocità di rinculo v2 è data dalla relazione:

2

1

1

2

m

m

v

v

cioè i corpi si respingono con velocità inversamente proporzionali alle loro

masse.

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Indichiamo con M(t) la massa e con V(t) la velocità del razzo ad un certo istante t.

Il gas viene espulso a velocità w costante rispetto al razzo, e pari a (–w+V) rispetto al suolo, in quantità –dM (dM è negativa) per ogni intervallo di tempo dt.

All’istante t+dt la massa del razzo sarà M+dM e la sua velocità V+dV.

Motore a razzo

Il sistema razzo – gas espulso è isolato vale il principio di conservazione della quantità di moto

razzoespulsogasgasrazzo

sistema

dVVdMMwVdMMV

trascurando il prodotto di due differenziali si ottiene: wdMMdV

Integrando tra l’istante in cui la massa del razzo è M0 e la sua velocità V0 si ricava:

M

MlnwVV 0

0

L’espulsione del gas prodotto dalla combustione crea una reazione di spintasul razzo che ne fa aumentare la velocità.

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URTO: interazione di durata tanto breve da rendere ininfluente il contestuale effetto di eventuali forze esterne rispetto all’evoluzione del fenomeno, cioè nella quale intervengano soltanto forze di tipo impulsivo.

le esplosioni possono essere considerate urti in cui tutte le velocità iniziali sono nulle.

i

2i

i v2

m

Urto centrale: urto tra due corpi con velocità iniziali dirette lungo la congiungente i loro centri.

Esempio di due sfere che si urtano rotolando sul piano di un

biliardo attrito trascurabile (in realtà è necessario perché le sfere rotolino) peso compensato dalla reazione vincolare del piano il sistema è isolato.

e gli urti sono detti elastici. In questi urti i corpi rimbalzano senza subire deformazioni permanenti e senza generare calore.

Se le forze di interazione sono conservative si mantiene costante

12

le due incognite v’1 e v’2 si ricavano dalle due equazioni di

conservazione:

2'2

22'1

122

221

1

'22

'112211

)v(2

m)v(

2

mv

2

mv

2

m

vmvmvmvm

il moto risulta completamente definito.

URTI ELASTICI

13

URTI ELASTICI CENTRALI

sono monodimensionali

2'2

22'1

122

221

1

'22

'112211

)v(2

m)v(

2

mv

2

mv

2

m

vmvmvmvm

21

11212'2

21

22121'1

mm

vm2v)mm(v

mm

vm2v)mm(v

Urto elastico centrale di due biglie di massa uguale:

m1= m2

1'2

2'1

vv

vv

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Urto elastico centrale di una biglia contro una ferma (v1>0, v2=0):

m1 > m2

0v

0v'2

'1

m1 < m2

0v

0v'2

'1

in particolare se m1 >> m2

1'2

1'1

v2v

vv

in particolare se m1 << m2

0v

vv'2

1'1

15

v v v

v v v1 1 2

1

2

1

2

2

2

' '

' '( ) ( )

URTI ELASTICI NON CENTRALI

m1 = m2, v2= 0

m1 << m2

in ogni caso nel sistema del centro di massa:

prima dopo

q -q q’ -q’

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Urti totalmente anelastici

21

2211

mm

vmvmv

si ha la massima dissipazione di energia cinetica

poiché, essendo wi’=0 nel sistema del centro di massa 2CM

ii

i

2'i

i V2

mv

2

m

il moto dopo l’urto è completamente definito con

i

2i

i v2

mquando non si conserva urti

anelastici

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conservazione quantità di moto relazione

di Einstein

Il sistema S vede il sistema S’ muoversi con velocità di modulo V << c

il corpo è fermo sia prima sia dopo l’assorbimento dei due pacchetti d’onda di energia E=h

il corpo si muove con la stessa velocità (v=V) sia prima sia dopo l’assorbimento dei due pacchetti d’onda

i due pacchetti d’onda presentano una componente longitudinale dell’impulso pari a Ev/2c2

è valida la conservazione della quantità di moto totale: q + Ev/c2 =q’

q = q’-q = v·m = Ev/c2

c

hhkconkp

impulso di un fotone:

se un corpo assorbe un’energia E la sua massa

aumenta di m = m’-m = E/c2

kV

18

grandezze cinematiche relativistiche

20

0 cmE

2

22

0202

0

cineticaenergia

ccv

0cv c2

v1cmv

2

mcmEEE

energia di riposo:

energia non relativistica:

2

2

2

20 cm

cv

1

cmE

2

2

0

cv

1

mm

20

2

2

200c cm

cv

1

cmEEE

energia:

massa:

energia cinetica:

p mvm v

v

c

0

2

21

quantità di moto:

19

Effetto Compton

2

20'2

0

2

0'

c

v1

cmhcmh

c

v1

vmkk

conservazione della quantità di moto

conservazione dell’energia

tre equazioni scalari nelle quattro incognite ’, v, e tipicamente si assume come parametro e si ricavano ’, v e .

cos1cm

h'

0