LA ASOCIATIVIDAD NUMÉRICA. UNA INTRODUCCIÓN

HÉCTOR HURTADO BOCANEGRAPensador Matemático

UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLAREAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA

26 de agosto 20141

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En el mundo globalizado que vivimos, de las Interacciones Atómicas y de tantos, avances Científicos y Tecnológicos; también, nos presenta serias amenazas de coexistencia, cómo:

ACTUALIDAD ( SIGLO XXI )

1. EL CALENTAMIENTO GLOBAL.

2. LA SOBREDIMENSIÓN DEL CONOCIMIENTO.

3. LA CONTAMINACIÓN AMBIENTAL. . . .

3

La ausencia de ESTRUCTURAS, que

proporcionen: ORDEN, LÓGICA, DIRECCIÓN y EXACTITUD, en el Conocimiento; para, generar Ciencia y Tecnología, eficientes y de calidad.

CAUSAS

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La idea central, de representar cualquier

situación o cosa, por medio de un Conjunto de Elementos o Objetos, es una UTOPÍA; sobretodo, cuando se requiere, que todos los Objetos estén INTERRELACIONADOS entre sí, unos a otros, porque, se generaría un Caos, un Conjunto Difuso y la Complejidad, estará presente en todo momento, sobre el Conjunto situación o cosa.

IDEAL MATEMÁTICO

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Es decir,

“LA TEORÍA DE LAS ASOCIACIONES”

SOLUCIÓN : “BACK TO BASIC “

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Se fundamenta, en las Actividades Humanas:1. LA ASOCIACIÓN.

2. LA PARTICIÓN.a través de: 3. LA ASOCIACIÓN MATEMÁTICA para, cubrir:

4. Las DEFICIENCIAS, dé: LA TEORÍA DE CONJUNTOS.

5. Los VACÍOS, entre las definiciones matemáticas, al ARTICULARLAS e INTEGRARLAS.y así, ingresar al ámbito globalizado, dé:las INTERACCIONES, ESTRUCTURAS, REDES, MALLAS, . . .

LA TEORÍA DE LAS ASOCIACIONES

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Es la ACTIVIDAD más antigua, realizada por los seres humanos, que consiste en AGRUPAR, UNIR o JUNTAR, dos a más Objetos, que inicialmente fueron cosas tangibles; para, generar nuevos Objetos diferentes, de los Objetos generadores y qué, posteriormente, a través de los siglos se consideraron también, las situaciones intangibles.

1. LA ASOCIACIÓN

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LENGUAJE

TECNOLOGÍA

INSTITUCIONES

CONOCIMIENTO

CIENCIA

FAMILIA

DESARROLLO HUMANO

*EMPRESAS*FÁBRICAS*BANCOS*SUPERMERCADOS*COLEGIOS*UNIVERSIDADES*OTROS . . .

9

a

m bc

l.

.

abc

m

l..

..

ab

cm

l ...

Alfabeto

Alfabeto

Alfabeto Alfabet

oma

S Í L A B Aa

bc

m

l ...{{m}, {a}}

12

pa

ma

10

M

P H3

FAMILIAPM (Mercado)

H2

H1

MP H

3

FAMILIA

H2

H1

12

PM

MP H

3

FAMILIA

H2

H1

PMM

P H3

FAMILIA

H2

H1

PMH3

PMH1

Mercado

Limpieza

Jardinería

P: PadreM: MadreH1: Hijo H2: Hijo H3: Hijo

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Es la ACTIVIDAD humana, que consiste en PARTIR, DIVIDIR, DESCOMPONER o TROZAR un Objeto tangible (Conjunto), en diversas PARTES; para, conocer la composición de los Objetos y qué, con el tiempo, se desarrolló en los Objetos intangibles.

2. LA PARTICIÓN

 

X X X

X X

X1

X1

X2

X1

X2

X3

X2

X1

X3

X4

X4

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En consecuencia, el Conjunto Particionado (TODO), es

la unión de las PARTES PARTICIONADAS; donde, las Partes Particionadas son mutuamente excluyentes, o sea, las Partes son separadas o disyuntas, dos a dos.

En la CIENCIA MATEMÁTICA, cuando un CONJUNTO es PARTICIONADO, significa que, en el Conjunto existe una RELACIÓN DE EQUIVALENCIA, es decir, una Relación Reflexiva, Simétrica y Transitiva, entre las PARTES o qué, el Conjunto es un Conjunto de Clases, o simplemente un CONJUNTO CLASE, por ser ésta una definición recursiva.

continuación

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Precisamente, la INTERACCIÓN entre las PARTES PARTICIONADAS (Clases), del Conjunto Particionado (Conjunto Clase), ha sido el interés de los Pensadores más destacados, en todos los tiempos; siendo, la TEORÍA DE LAS ASOCIACIONES, la que ha solucionado a través de los Modelos Matemáticos Asociativos (ESTRUCTURAS TOPOLÓGICAS DE CATEGORÍA).

X

X2

X1

X3

X4

X

X2

X1

X3

X4

X2

X1

X3

X4

X4 X1

X4 X1

X3 X2 X1∅ 𝒙

{X3}

X

x

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DEFINICIÓN: Sea, X un Conjunto Clase de Objetos.Por una ASOCIACIÓN MATEMÁTICA, sobre el Conjunto X; nosotros , entenderemos a cualquier W Xtal que, exista un PRODUCTO, entre las Clases de W.

NOTA: La ASOCIATIVIDAD, es la colección de todos los PRODUCTOS, que se producen en la Asociación Matemática, o sea, todas las INTERACCIONES que se realizan en un Conjunto Clase.

3. LA ASOCIACIÓN MATEMÁTICA

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ab

cm

l ...

Alfabeto

ma

p: {m} {a}

{{m}, {a}}

pa

{a}

{m}

p

{m} {a}

sonido

q: P M{P, M}

MP

q

PM

sonido

PM

MP H

3

FAMILIA

H2

H1

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{A}

BAC

X

r: A A{A}

AAr

sonido

A {B, C}

BAC

X

s: A {B, C}

{A, {B, C}}

ssonido BA C

t: B C{B, C}

t

{A} {{A}, {B, C}}

BAC

X

r

sonido

AA At

m: {A} {B, C}

{{A}, {B, C}}

n: {A} {{A},{B, C}}

{{A}, {{A},{B, C}}}

B Cn

m

r: A A{A}

t: B C{B, C}

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a) El ORDEN como se describen las Clases, en la Asociación Matemática no es conmutativo.

b) Ø. En la Teoría de las Asociaciones el Conjunto Vacío, es la Asociación Vacía y depende, del Conjunto Clase, donde se produce, o sea, si X es un Conjunto Clase, la Asociación Vacía, se denota:

y se origina, cuando una clase de X, tiene movimiento.

c) U. La Asociación Universal, en la Teoría de las Asociaciones, depende de la Estructura Asociativa; para, establecer un Orden entre las Clases, del Conjunto Clase. Si X es un Conjunto Clase, la Asociación Universal del Conjunto X se denota:

4. DEFICIENCIAS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS

{𝐴 ,𝐵 }≠ {𝐵 ,𝐴 }

∅ 𝒙

UX

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Estructuras AlgebraicasSEMIGRUPO

MONOIDEGRUPO

GRUPO ABELIANOANILLO

ANILLO CON IDENTIDADDOMINIO INTEGRAL

ANILLO DE DIVISIÓNCAMPO

MÓDULOESPACIO VECTORIAL

ÁLGEBRA

5. ESTRUCTURAS MATEMÁTICAS

TOPOLOGÍA

CATEGORÍA

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LA ASOCIATIVIDAD NUMÉRICA . UNA INTRODUCCIÓN.

EN LA EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR, HEMOS APRENDIDO LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN : N, Z, Q, I, R y C , QUE CORRESPONDEN AL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, IRRACIONALES, REALES y COMPLEJOS RESPECTIVAMENTE, A TRAVÉS DE UNA DIVERSIDAD DE AXIOMAS, QUE SE HA ACEPTADO; PORQUE, ASÍ LO DESCRIBE, LA CIENCIA MATEMÁTICA.

SIN EMBARGO, EN EL SIGLO XXI, LA TEORÍA DE LAS ASOCIACIONES; PERMITE, EXPLICAR EL ORIGEN, DE LOS SISTEMAS NUMÉRICOS Y EL DESARROLLO AXIOMÁTICO, EN FORMA MÁS SENCILLA. ADEMÁS, RECONOCIENDO LAS ESTRUCTURAS, QUE PRESENTA; PARA, DISEÑAR LAS REDES, EN LOS SISTEMAS NUMÉRICOS.

EN ESTA OCASIÓN, PRESENTARÉ ALGUNOS SISTEMAS NUMÉRICOS, DEJANDO A LOS ASISTENTES DE LA CONFERENCIA, LA TAREA DE COMPLETAR LOS SISTEMAS NUMÉRICOS, QUE FALTAN.

A) CONSIDEREMOS, EL CONJUNTO UNITARIO, CUYO DIAGRAMA ES: 1

1

QUE EN REALIDAD, ES EL CONJUNTO CLASE DE OBJETO: 1 Y QUÉ, CORRESPONDE A: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 SI ASOCIAMOS, CON LA OPERACIÓN SUMA (PRODUCTO), EN EL CONJUNTO CLASE, TENDREMOS: {{1},{1}} = = 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 DONDE, {{1},{1}}= 1 + 1 = 2 1 1

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PODEMOS CONSTRUIR, = 2 = 3

= 4 1 = 5 • • •

TAL QUE, EN EL CONJUNTO ASOCIADO , SE TIENE: = n , para n = 1, 2, 3, . . . ES DECIR, SE HA CONSTRUIDO EL CONJUNTO

N 1 2 3 4 5 6 7 • • •

DE LOS NÚMEROS NATURALES.

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O SEA, QUE EL CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES, ES: N = {1} , + EL CONJUNTO CLASE { 1 } Y LA OPERACIÓN: + ; DONDE, SI TENEMOS QUE , m , n N m + n = + = ( 1 + 1 + . . . + 1 ) + ( 1 + 1 + . . . + 1 ) “m” veces “n” veces = ( 1 + 1 + 1 + . . . + 1 + 1 ) “m + n” veces m + n = LUEGO, ( m + n ) ϵ N ES DECIR, LA OPERACIÓN: + , ES UNA OPERACIÓN BINARIA EN EL CONJUNTO DE

NÚMEROS NATURALES N; LA CUAL, ES UNA OPERACIÓN BINARIA ASOCIATIVA, POR LA CONSTRUCCIÓN ASOCIATIVA EN EL CONJUNTO CLASE: {1}

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AHORA BIEN, SI PARTICIONAMOS EL CONJUNTO N, SEGÚN EL DIAGRAMA: N 1

2 3 4 5 6 • • •

POR SER, EL OBJETO: 1 , EL OBJETO GENERADOR; TENDREMOS, QUE LA ESTRUCTURA ASOCIATIVA: E(N) = { , { 1 } , { 2, 3, 4, 5, 6, . . . } , } ES UNA TOPOLOGÍA, CON LA ESTRUCTURA ALGEBRAICA: SEMIGRUPO CUYA RED ES:

1 4 6 • • 3 5 • 2

B) SEA, { 0 } EL CONJUNTO UNITARIO, CUYO OBJETO ES : CERO .

LA ASOCIACIÓN, { N, { 0 } } DESCRIBE EL CONJUNTO:

0 1 2 3 4 5 6 • • •

= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, • • • } Y LA CARACTERÍSTICA, DE LA ASOCIATIVIDAD

N 0

TAL QUE, n + 0 = n , n N LUEGO, PRESERVA LA OPERACIÓN BINARIA, DÉ: N.

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LUEGO, EN LA PARTICIÓN DEL CONJUNTO

0 1 2 3 4 5 6 • • •

SE PRESENTA LA ESTRUCTURA ASOCIATIVA: E() = { , { 0 } , { {0} . { 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . } , } LA CUAL, ES UNA TOPOLOGÍA, DÉ: CATEGORÍA, CON UNA ESTRUCTURA ALGEBRAICA: MONOIDE , CUYA RED ES LA SIGUIENTE: 0 1 • 2 • 3 4 5 6 •

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C) DESDE QUE, 0 = n + n’ , SIENDO, n’ EL INVERSO ADITIVO DE n , SE CONSIDERO EL CONJUNTO: = { -1, -2, -3, -4, . . . } Y QUÉ, AL FORMAR LA ASOCIACIÓN: { , }

DONDE, LA ASOCIATIVIDAD, CORRESPONDE A LA OPERACIÓN SUMA(+), PRESENTADO EN EL DIAGRAMA:

0 1 2 -1 -2 3 4 -3 -4 5 6 -5 -6 • • • • • •

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DA LUGAR AL CONJUNTO Z, DENOMINADO EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS, O SEA,

0 z 1 2 -1 -2 3 4 -3 -4 5 6 -5 -6 • • • • • •

TAL QUE, Z = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, • • • } AHORA BIEN, LA PARTICIÓN EN Z

0 Z 1 2 -1 -2 3 4 -3 -4 5 6 -5 -6 • • • • • •

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DESCRIBE, LA ESTRUCTURA ASOCIATIVA: E(Z) = { , { 0 } , { { 0 } , } , { { 0 } , } , } LA CUAL, ES UNA ESTRUCTURA TOPOLÓGICA DE CATEGORÍA, CON LA ESTRUCTURA ALGEBRAICA: GRUPO ABELIANO; SIENDO, LA RED, EL SIGUIENTE DIAGRAMA:

0

QUE CONOCEMOS POR: ÁRBOL BINARIO O GRAPHO BINARIO. ASIMISMO, LA ESTRUCTURA ASOCIATIVA EN Z, CORRESPONDE A: E(Z)={ , {0},{{0},{ 1, 2, 3, 4, . . . }}, {{0},{ -1,-2,-3,-4, . . . }} , } SIENDO, LA RED, EL SIGUIENTE DIAGRAMA:

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4 3 5 2 6 1 • • • 0 • -1 • • -2 -6 -3 -5 -4 CON LO CUAL, EL ÁRBOL BINARIO, QUE ES UNA HERRAMIENTA MATEMÁTICA DE AMPLIA APLICACIÓN PROFESIONAL, TIENE COMO ORIGEN A LA TEORÍA DE LAS ASOCIACIONES Y QUÉ, LO EXPLICA POR MEDIO DEL MODELO TOPOLÓGICO DE CATEGORÍA.

El PENSAMIENTO MATEMÁTICO ASOCIATIVO, tiene origen en la Asociación, que es la actividad mas antigua, realizada por los seres humanos y qué, consiste en Agrupar dos o más Objetos tangibles; para, Generar un nuevo Objeto, diferente de los Objetos que lo constituyen.

Ésta Actividad Natural, realizada por los seres humanos, le permitió en el tiempo adaptarse al medio ambiente y sobrevivir; así como, hacerla suya, o sea, que toda Actividad o Pensamiento, deba realizarse de esta forma natural; porque, garantiza un buen resultado, aunque, se tenga que realizar incontable número de veces y por el hecho, de tener un Punto de Partida, en toda situación que se proponga realizar; es decir; la Experiencia y el Empirismo, nace con la Asociación y hoy, siglo XXI, la Asociación Matemática corrige la ausencia del Orden Estructural, a través de “La Teoría de las Asociaciones“, proporcionando los Modelos Topológicos de Categoría, para dar solución a la Complejidad en los problemas Sociales, en: la Educación, Organización, Familia, Investigación Científica, Acreditación, Ciencia, Tecnología, entre otros.

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