2013 SSRM 5/29/2013

1

Magnetism of Fine Particles

Hysteresis Loops Magnetic DomainsEnergetics of a Ferrimagnetic ParticleS f M ti A i t

Fe3O4

Sources of Magnetic AnisotropyHysteresis in Single domain and Multidomain particlesDomain Calculations and MicromagnetismNéel SD Theory of Thermal Activated Magnetization

13x13 m

Magnetism of Fine Particles

ROCK = assemblage of fine grained ferrimagnetic/antiferromagnetic  minerals dispersed within a matrix of diamagnetic/paramagnetic mineralsminerals dispersed within a matrix of diamagnetic/paramagnetic minerals

Ferromagnetism, Ferrimagnetism is based on exchange forces between spin  magnetic moments of 3d electrons

Exchange forces are so great (103 T) that spins spontaneously aligned when Bapplied = 0 and T< Tc

In the lab (and nature) weak fields (B<< T) are all that are needed to magnetize or demagnetize samples

In some cases, very small fields (B~Bearth <10‐5 T) are all that are needed to change magnetization

Hysteresis Loop

Hysteresis ParametersSaturation Magnetization :     Ms, JsSaturation Remanence:     Mrs Jrsrs,  rsCoercivity:   HcCoercivity of Remanence:  HcrInitial Susceptibility:  k0

Composition dependent: MsConcentration dependent: Ms, k0Grain size/microstructure: Mrs, k0, Hc,Hcr

Dunlop and Özdemir, 2007

Ms Mrs, k0, Hc, Hcr0 as TTc

Coercivity 

UnitsHc (A/M)Bc= 0Hc (Tesla)

Typical Coercivities in Rocks (1>100 mT)

Soft (low) components: < 10 mTHard (high) components: >100 mT

0.5

1.0Multi-Domain Loopd=3 mm

0.5

1.0Single-Domain Loopd=50 nm 0.10

0.15High Coercivity (>500 mT)

Fe2O2

-1.0

-0.5

0.0

-400 -200 0 200 400

M/M

sat

0H(mT) -1.0

-0.5

0.0

-400 -200 0 200 400M

/Msa

t

0H(mT)

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

-4000 -2000 0 2000 4000

Magne

tization 

0H (mT)Magnetite

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2

Magnetic Domains and Particle Size

Examples of SSD, SPM, and MD hysteresis loops for magnetite.

Vibrating Sample Magnetometer (VSM)

Domain state size

Single Domain (SSD) 50 nm (biogenic)

Superparamagnetic (SPM ) 10 nm (biogenic)

Multidomain (MD) 3 mm diameter sphere of single crystal

Magnetic DomainsFerrimagnetic materials are usually composed of small regions of uniform magnetization called magnetic domains separated by narrow (<1000 nm) transition regions of rapidly varying spin orientation called domain walls.  Domains are small (1‐100’s micrometers), but much larger than atomic distances

The Origin of Domains (Kittel 1949)

m

m

J MM

The Origin of Domains (Kittel, 1949)

Single domain (SD) state is uniformly magnetized to Ms (A).  In this configuration, uncompensated surface magnetic poles will form (M0)

Formation of surface or volume magnetic charges are  an additional source of magnetic field (the demagnetizing field). The energy associated with the surface pole distribution is called the magnetostatic energy. 

Kittel, C., Physical Theory of Ferromagnetic Domains, Rev. Mod. Phys, 21, 541‐583, 1949

Magnetic Domain Walls

Inside a domain wall, the spin moments rotate in direction from 

1012‐1015 spins

103 spins 2007

M ltid i (MD) i t if l ti d

one domain to the other domain. 

DW

Dunlop

 and

 Özdem

ir,

Bloch Wall: 180° spin rotation within plan of wall

Multidomain (MD) grains are not uniformly magnetized. While inside each domain the magnetization is Ms, the entire grain has a net magnetization M<<Ms

Magnetic grains seek a spin structure that minimizes its total energy for a given volume, shape, magnetic field, and temperature

Fe3O4

Domains imaged with Magnetic Force Microscopy

0m M

13x13 m

+,‐magnetic charges (poles) around edges of grains and inclusionPokhil and Moskowitz, 1997

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3

Magnetization process in SD GrainsRotation of MomentsResponse of a random assemblage of uniaxial single domain (SD) particles during hysteresis cycle

Tauxe, 2008

Single Domain BehaviorSD particles produced by magnetotactic bacterium strain MV‐1 d ~ 30‐100 nm

Frankel and Moskowitz, 2003

a) Demagnetized stateb) In the presence of a saturating  field, c) Field lowered to +3 mTd) Remanent state, e) back field of ‐3 mT, 

Magnetization process in MD grainsTranslation of domain walls 

Inset shows detail of domain walls moving by small increments called Barkhausen jumps. 

(Domain wall observations from Halgedahl and Fuller, J. Geophys. Res., 88, 6505‐6522, 1983)

Tauxe, 2008

Single grain of  TM60

Halgedahl, S. Bitter patterns vs. hysteresis behavior in small particles of hematite.JGR, 100, 353‐364. 1995

Single grain of Hematite

Barkhausen jumps

TM60

Energetics of Ferrimagnetic ParticleWhat drives domain formation?

Exchange Energy (eex)l f hb

1 2

2

22 cos

ex ee J s se J S Coupling of nearest‐neighbor spins

Short‐range effectsPermits only a gradual change in spin orientation is small to minimize eex

2 cosex e

e J S

Anisotropy Energy (ea)Coupling of spins to crystallographic directions O2‐

O2‐

e‐Coupling of spins to crystallographic directionsEasy axis of MagnetizationCrystal structure or shape dependent 

Magnetocrystalline anisotropyShape anisotropy O2‐

O2‐

O2‐

e‐e‐

Low energy High energy

3d orbitals

Energetics of a Ferrimagnetic ParticleWhat drives domain formation?

Magnetostatic Energy (em)Coupling of all spins due to long‐range dipole‐dipole interactions M ti fi ld d d b 1 di l ff t ll th di lMagnetic field produced by 1 dipole affects all other dipoles

High energy Low energy

External Field Energy (eh)Coupling of spins to external field 

h ae m B

B   m B   m

‐mB          +mBLow energy       High energy   

2013 SSRM 5/29/2013

4

Energetics of a Ferrimagnetic ParticleWhat drives domain formation?

Magnetoelastic Energy (ems): Coupling of spins to local stress directionsMagnetoelastic anisotropySt i dif MStrain can modify MMagnetic field can produce crystal strains as M rotatesMagnetostriction is the spontaneous deformation of crystal as M changes

Sources of Strain

MagnetostrictionNonuniform magnetization due to domain formationInternal stress due to crystal

Cullity, 1972

Internal stress due to crystal defectsExternal tectonic  stress

Magnetic Domains (micromagnetic structure): Represents an equilibrium between short‐range and long‐range forces

Fe3O4

0t i t

e e e

13x13 m(110) Fe3O4

Fe3O4

3 4

(100) Titanomagnetite

http://www.ifwdresden.de/institutes/imw/sections/24/members/schaefer/magnetic‐domains/5

(100)‐oriented silicon iron crystal

Magnetic AnisotropyInfluence of:

crystal structure magnetocrystalline anisotropygrain shape shape anisotropystress stress anisotropystress stress anisotropyexchange coupling between two phases

Magnetic anisotropy strongly affects the shape of hysteresis loops and controls the coercivity and remanence. Anisotropy is also of considerable practical importance because it is exploited in the design of most magnetic materials of commercial importance.

Without anisotropy there would be no remanence or magnetic memory

Anisotropy produces an energy barrier that an applied field must do work against to rotate M away from easy axis of magnetization

Magnetocrystalline anisotropyDirection cosines

[001]

2 2 2

1 2 31

 1997

M

12

3

[100] [010]

Dunlop

 and

 Özdem

ir,

1

2

3

sin cossin sincos

[h.l.k] directionsCube edge:         [100], [010], [001]Face diagonal:    [110],[011],[101]Body diagonal:   [111][100]      1=1, 2= 3=0

[111] 1= 2= 3 32 =1  =1/3 (57.1)[110]      1=2, 3=0 22 =1  =1/2 (45)

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5

Magnetocrystalline anisotropy

Cubic Anisotropy Energy:

K1,K2=magnetocrystalline anisotropy constantsdetermined from experiments (e g M H curves)

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 3 1 3 2 1 2 3v v( )

kE K K

determined from experiments (e.g. M‐H curves)v=volume

EK  (K2=0) EK  (K20)

EK[100] 1=1, 2=3=0 0 0

EK[111] 1= 2= 3=1/3

K1/3 K1/3 + K2/27

EK[110] = =0 K1/4 K1/4EK[110] 1=2, 3=0=1/2

K1/4 K1/4

Easy direction

Hard direction

examples

K1<0 EK[111] < EK[110] < EK[100] [111] [100] Fe3O4, Ni

K1>0 EK[100] < EK[100] < EK[111] [100] [111]  TM60, Fe

Magnetocrystalline anisotropyAnisotropy Energy (Barrier): Amount of energy needed to rotated Ms from one easy axis to another easy axis (Depends on path)

1.  Ek = EK[hard]  – EK[easy]2.  Ek = EK[medium] – EK[easy]

K1<0

K1 (J/m3) Path 1 Path 2

Fe3O4,  Ti‐poor TM

‐1.3x104 ‐K1/3  ‐K1/12

TM60 0.21x104 K1/3 K1/4

Uniaxial Anisotropy:  One easy axis of magnetization2iK

K1>0

2vsinK ue K

The energy is highest when the system is magnetized along a “hard” direction and lowest when magnetized along an “easy” direction. 

Energy surfaces for magnetic anisotropy. 

Ku>0

Harrison and Feinberg, 2009; Muxworthy, 2002

Cubic Magnetite (T>121 K)

Magnetocrystalline Anisotropy

4

K 0[100] easy axis

Temperature dependence of  2.5 T SIRM  along [001] at 300 K

-1

-6

-11

Magnetite

Fletcher and O'Reilly (1974)Syono (1965)Kakol and Honig (1989)Aragon (1992)

K 1 (kJ m

‐3)

K1=0

[111] easy axis

TiTv

Isotropic  point: Temperature where K1 =0 as it switches sign. For magnetite, Ti=130 K

-16100 200 300 400 500 600 700 800

Temperature (K)Verwey Transition and Isotropic  point

Özdemir and Dunlop, 1999

Magnetocrystalline anisotropyMonoclinic Magnetite (T<121 K)

c‐axis : easy axisa‐axis: hard axis

Ka Magnetocrystalline anisotropy in monoclinic phase >10 x higher

KbKaaKbb K1

Özdemir and Dunlop, 1999Muxworthy, 2002

monoclinic phase  >10 x higher than in cubic phase

2013 SSRM 5/29/2013

6

kol et a

l., 1991

Titanomagnetites

X=0.6Tc=465

K1 >0: [100] easy axisKak

Sahu and Moskowitz 1995Sahu and Moskowitz, 1995

4Jm

‐3)

m‐3)

Temperature Dependence of K1 and K2 anisotropy constants (T<300 K)

Titanomagnetites

K 1(104

Jm‐3)

K 1(104

Jm‐3) K 2

(104

K 2(104

Jm

TM0

TM05

TM19

TM28 TM55

TM41TM36

Kakol et al., 1991

Magnetocrystalline AnisotropyPhysical Origins

Single‐ion Anisotropy

Interaction of  3d electrons with the crystalline electric fields

Tetrahedral coord.A‐Sites

Octahedralcoord.B‐sites

yCoupling between spin and orbital momentsDifferent ions (Fe3+,Fe2+) in different coordination Total K=Sum of individual  single‐ion anisotropies (+ or ‐)Analogous to Néel theory for M‐T curves 

For exampleK(T)=KA(Fe3+)+KA(Fe2+)+KB(Fe3+)+KB (Fe2+)Can produce Isotropic points (K=0)

O2

‐

O2

‐O2

‐

O2

‐

O2

‐

e‐e‐

3d orbitals

Pair Model (Dipolar) Anisotropy

occurs in non‐cubic symmetriesdipoles coupled by ferromagnetic exchangeResults in a uniaxial (sin2) anisotropy

O’Reilly, 1984

Morin Transition: Spin‐flop transition

Hematite: Fe2O3

Magnetocrystalline single‐ion anisotropy dominates at low‐TEmin for spins along c‐axismin

positive

negative

Spin‐flop

O’Reilly, 1984; Özdemir et al, 2008

Competing anisotropies in corundum structure 

Dipolar anisotropy   dominates at high‐TEmin  for spins in basal plane

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7

Mineral T (K) type First orderK1, Ku,Ka,Kb

Second OrderK2,Kaa,Kbb

Magnetocrystalline Anisotropy Constants for Common Magnetic Minerals

‐Fe 293 cubic +48 ‐1

Magnetite 293 cubic ‐13.5 ‐2.8

Magnetic 4.2 monoclinic +255 (a)+37 (b)

+18 (aa)+24 (bb)

TM55 293 cubic +1 +1

TM55 77 cubic +125 +0.8

Maghemite 293 cubic ‐4 65Maghemite 293 cubic ‐4.65

Greigite 293 cubic +20‐30

Pyrrhotite 293 uniaxial ~10‐30

Hematite 293 hexagonal ~0.1 (basal plane)

Data from various sources

Units for K (kJ/m)

MsMagnetostrictive Deformation 

for Magnetite

Stress Anisotropy and Magnetostriction

Magnetostriction: Spontaneous change in dimensions  (ℓ/ℓ) of a magnetic crystal when it is magnetized

= magnetostriction constant (= ℓ/ℓ , strain)

Ms

<001><0

<111>>0

>0 :  expansion in direction of Ms<0:   contraction in direction of Ms

Stress‐Induced Anisotropy:  Stressing or straining a magnetic material in the presence of an applied field can produce a change in magnetization

Fabian and Heider, 1996

Magnetoelastic Anisotropy: Strain dependence of magnetocrystalline anisotropy For cubic symmetry ( and for a crystal that can deform freely)

'1 1

2 2911 12 100 44 1114 2

K K K

K c c c

111 , 100:  magnetostriction constantsc11,c12,c44 : elastic constants (N/m2)

Stress Anisotropy and Magnetostriction

2 2 2 2 2 23 2100 1 1 2 2 3 3 111 1 2 1 2 2 3 2 3 3 1 3 12 3( ) 3 ( )

Cubic Symmetry:  Saturation magnetostriction () in a direction i when M changes from 0 to Ms

i: direction cosines of strain;   i: direction cosine of magnetization

Stress‐Induced Anisotropy: A uniaxial stress () can produce a unique easy axis of magnetization if the stress is sufficient to overcome all other anisotropies. 

Isotropic Case:  For a random polycrystalline materials=polycrystalline magnetostriction constant

2 23 i iK 100 111  s

325 5100 111s

Magnetostriction constants at 293 K(units =10‐6)

2 232 sin sins ue K Fe 21 ‐21 ‐7

Fe3O4 ‐19.5 +72.6 +35.8

TM60 +142.5 +95.4 +114

‐Fe2O3 ‐8.9

‐Fe2O3 8

Fe7S8 <10

= angle between M and stress

Easy axis when =0  and s>0 Tensional stress >0Compressive stress <0

Dunlop

 and

 Özdem

ir, 1997

Magnetostriction Constants in Titanomagnetites

Magnetostriction constants increase with Ti‐substitutionTi‐rich (x>0.5) titanomagnetites have high magnetostriction constants at low temperature

Moskowitz, 1992

Al‐substituted TM60

Özdemir and Moskowitz, 1993Klerk et al., 1977

2013 SSRM 5/29/2013

8

985

Mpa)

Titanomagnetites

Stress Anisotropy and Magnetostriction Magnetite 

K/K1~0.1

Halged

ahl, 1985

Appe

l and

 Soffel, 19

Stress (M

 1988

Uniaxial stress can modify domain patterns in large MD particles

K/K1~1

Stress needed for magnetoelastic anisotropy energy (E) to equal magnetocrystalline anisotropy energy (EK) as a function of Ti composition (x) 

Compressive strength for magnetite ~ 100 MPa 

Moskowitz et a

l.,

Stress induced domain patterns in Ti‐rich titanomagnetite  (Fe2.2Al0,1Mg0.1Ti0.6O4)

Scale bar =10 m

Temperature Dependence of Anisotropy Constants 

Magnetostriction constants decrease with increasing temperature less rapidly than K1

Magnetoelastic anisotropy may thus be an important factor in remanence acquisition to higher T than magnetocrystalline anisotropy.

( 1)/2

1

1

( ) ( )(0) (0)

s

s

K T M TK M

Theoretical predictions: 

l=4 for cubicl=2 for non cubic

Dunlop and Özdemir, 2007

For magnetite Theory (l=4):  K1(T) ~Ms

10

Experimental: K1(T) ~Ms8‐9

Experimental:  (T)~Ms2‐3

Ha

Shape AnisotropyInternal Demagnetizing Field (HD)

Apparent surface pole

M

Apparent surface pole distribution produces an internal field antiparallelto Magnetization

Uniformly magnetized ellipsoid:  N DH M

N = demagnetizing factor (geometric factor)Nx+Ny+Nz=1 (or=4 in cgs units)

Sphere:  Nx=Ny=Nz3N=1N=1/3

Demagnetizing Energy

Ha0mE m HM

Internal Field:  N

i a D

i a

H = H +HH = H M

0 0 0

21

m i aE Nm vME NM

m H m H m M

M H 2120 0m aE v vNM M H

Magnetostatic EnergyZeeman Energy

2013 SSRM 5/29/2013

9

Shape Anisotropy

Long‐thin Needle Shaped Grain (elongated along z‐direction)

Nx=Ny=NN =N 0 N l d it f

Nx+Ny+Nz=1

M

MsMs

Nz=N0N=1/2

N pole density on surface

Axial                                               Transverse

N0 N=1/2

Magnetostatic Energy

2 21 1( )E t N M M21( ) 0E i l N M

Ms

2 21 12 40 0( )mE transverse vN M vM 21

2 0( ) 0mE axial vN M

Easy direction                                   Hard direction

Energy Barrier to moment rotation

2 20 0/ /( )

2 2m s sE N N vM NvM

Demagnetizing Factor

xx xy xz x

yx yy yz y

N N N MN N N N M

N N N M

DH M

zx zy zz zN N N M

Shape N

Sphere N= 1/3

Needle‐shaped grainProlate ellipsoid (a>>c,b)

N=1/2N = 0

Thin film, Thin Disk N = 0N=1

N transverse MN axial or in‐plane M

Demagnetizing Factors for Prolate and Oblate Spheroids

mir, 1997

1

,

2 1

x y z

z a x y b

N N N

N N N N N N

N N

Prolate Spheroid a

b

Dunlop

 and

 Özde

2 11 / 2(1 )

1 / 2(1 3 )

a

a

c a

N NN N

N N N N

N=1/2 N=0Typical value used in calculations:

Elongation= 1.5 (axial ratio, q=0.67)Na=0.232, N=0.15

2 212 0

212 0

( ) v ( )sind a b a s

u s

E N N N M

K NM

General Case: M at angle  to z‐axis

Initial (low‐field) SusceptibilityAC fields ~ 10‐100 μT

Magnetic SusceptibilityInternal Demagnetizing field

Observed Susceptibility (0):

He

i eH H NM Inside grain

Observed Susceptibility (0):

0

( )(1 )

(1 )

i i i e

i e i

i

e i

M H H NMH M N

MH N

Intrinsic (“true”)  susceptibility (i)measures the response of M to the internal field 

Strongly magnetic materials (High Ms):  Nχi>>1

01

(1 )i

iN N

Weakly dependent on grain shape/domain stateConcentration dependent

2013 SSRM 5/29/2013

10

Shape Anisotropy

Shape Anisotropy constant:  20

12u sK NM

demir, 2007

General Case 2v sina uE K Emax = Ku

To force M over anisotropy barrier an external field must be applied such that EH>Ea

What field do we need to flip M into opposite direction (from =0 to =180)?

Tauxe, 2008; Dun

lop and Özd

Equate Ea with equivalent field that keeps M aligned along easy axis

HaMs

e.a.

Ha Ms

<<1

Shape Anisotropy

20 cos sinT h a s a uE E E vM H vK

Anisotropy  Field (Coercivity)

00 2Ts a u

dE vM H vKd

Solution: Set the derivative to zero and find Ha

212

2 2120

1 sin cos 1[1 ]T s a u

forE vM H vK

0

2 ua

s

K s

dKHM

H NM

Example: long thin needle of magnetiteN=1/2, Ms=480 kA/m

HK= 240 kA/m 0HK=0.3 T (300 mT)

0.5

1.0Single-Domain Loopd=50 nm

0 KKu=7.2x104 J/m3  (>K1)

Important source of anisotropy for materials with high Ms

Hematite (Ms=2kA/m, 0HK=1.2 mT)

-1.0

-0.5

0.0

-400 -200 0 200 400

M/M

sat

0H(mT)

Hysteresis in Single Domain ParticlesStoner‐Wohlfarth Model (1948)

Non‐interacting particlesCoherent rotation without thermal effectsU i i l i

v=volumeMs=saturation magnetizationKu=anisotropy constantH0=applied field

Uniaxial anisotropy

Total magnetic energy of particle consists of field interaction energy (EH) and the uniaxial  shape anisotropy energy (Ea)

aH EEE ),(

0 0v cos( )H sE M H 0 02vsin

H s

a uE K 2

021 )( sabu MNNK

Stoner EC and Wohlfarth EP (1948) A mechanism of magnetic hysteresis in heterogeneous alloys. Philosophical Transactions of the Royal Society of London A 240: 599–642.

Hysteresis in Single Domain Particles

What’s the orientation of M for a given value of H0?What’s the flipping field or what value of H0 do you need to apply to switch the magnetization y pp y gand overcome the anisotropy barrier?

To solve this problem, need to solve the following energy minimization conditions for H

0),(

0),(

2

2

E

E

For φ=0 (applied field aligned with easy axis), the solution is s

uk M

KH

0

2

the solution is  sM0

HK is the microscopic coercive force (or the anisotropy field). It is a critical field above which one of the energy minima (θ=0) becomes unstable and the particle moment undergoes an irreversible rotation to the other stable minima (θ=π)

2013 SSRM 5/29/2013

11

s

uk M

KH

0

2

(a) H0 aligned with easy axis (φ=0)

Hk = (Nb‐Na)MsMr/Ms=1.0

Ha Ms

(b)  H0 perpendicular to easy axis (φ=π/2)Reversible magnetizationMr/Ms=0, Hc=0i=Ms/HK

(c) for all φ (randomly oriented array of SD particles)M /M =0 5

Ha

Ms

Mr/Ms=0.5Hc= 0.479 HK(φ=0) = 0.479 (Nb‐Na)Ms

Magnetocrystalline anisotropy

K1< 0, [111] easy axis Mr/Ms=0.87K1>0,  [100] easy axis Mr/Ms=0.83

Ha

Dunlop and Ozdemir, 1997

Magnetization curves from Stoner‐Wohlfarth Model for various angles between the direction of magnetic field and easy axis

Microscopic Coercive Force for other 

Jiles, 1991

0

20.479 uk

s

KHM

0.479( )k b a sH N N M

0

30.479ks

HM

types of Anisotropy

General uniaxial

Shape anisotropy

Magnetoelastic anisotropy0 s

SD particles  have ideal hysteresis properties  for paleomagnetic and technological applications

High stability against remagnetizationHigh remanence (Mr/Ms=0.5)

TEM image of a magnetic separate from a plagioclase crystal. (Tarduno et al., 2005)

Theoretical SD valuesRandom assembly of uniaxial particles

0

20.479 uc

KHM

Stoner‐Wohlfarth Model (1948)

0

0

20.524

0.5 1.09

s

ucr

s

r cr

s c

MKHM

M HM H

0.5

1.0Single-Domain Loopd=50 nm

Biogenic SD magnetite: 

Dunlop and Özdemir, 1997

-1.0

-0.5

0.0

-400 -200 0 200 400

M/M

sat

0H(mT)

Mr/Ms = 0.48Hr/Hc = 1.12

freeze‐dried cells of magnetotactic bacterium strain MV‐1

Magnetization process in MD grain Wall Energy is a function of position in a crystal due to the crystal defects

Demagnetizing field is strong enough to derive walls backs

Wall translation Domain rotation Domain nucleation

Nucleation, displacement, denucleation of DW with changing field 

enough to derive walls backs towards M~0 

O’Reilly, 1984

Remanent state (Mr) is near zero with low Hc.Hysteresis Parameters for MD grains

Mr/Ms <0.1Hc(MD) << Hc(SD)

2013 SSRM 5/29/2013

12

0.0

0.5

1.0

M/M

sat

MD Loopd=3 mm

single crystal sphere

0.0

0.5

1.0

M/M

sat

Single-Domain Loopd=50 nm

Hysteresis in MD grain 

-1.0

-0.5

-400 -200 0 200 400

0H(mT)

-1.0

-0.5

-400 -200 0 200 400

0H(mT)

Idealized MD hysteresis  loop for magnetite

Balance between H0 and Hd

0 0H NM

Slope =1/N=2.7Sphere: 1/N=3

Dunlop and Özdemir. 1997

0

0

0

1

HMM

dMdH N

Domain Calculations 

Wall Width (δw) and Wall Energy (w)

Bloch wall (180° spin rotation)Infinite medium (i.e., no crystal surfaces no surface poles)Infinite medium (i.e., no crystal surfaces no surface poles)

Exchange energy (Eex) between neighboring spins

Make angle between spins very small to keep Eex smallSpread spin rotation out over a large distance

Wants to make a wide wall δ=w

Anisotrop energ (E )

Domain wall

Anisotropy energy (Ea)

Spins no longer poin ng along easy axis when φ≠0Spread spin rotation over a short distance to avoid non easy directions

Wants to make a thin wall

Tauxe, 2008

Domain Calculations

The total wall energy will be the sum of exchange and anisotropy energies. A simple functional dependence on wall width (δ) is

KA

δw

γmin Ea

Eex

aw K

A= exchange constant ( Tc)Ka= general anisotropy constant

Minimum energy and equilibrium wall width is obtained by the condition

0 w

waw KAAK ,2

aK

More exact solution for uniaxial anisotropy 

awaw K

AAK ,2

Exchange Constant (A)S=spin numbersz= no. of nearest neighborsa=lattice constantJe= exchange integral

2

3ezJ SAa

See  slides at end for more details

Some numbers for magnetite

Constants Wall width and EnergyA = 1.3x10‐11 J/m K1= 13 k J/m3

δw = 100 nm  w= 2.6 mJ/m2

More accurate estimate of anisotropy energy through wall (Stacy and Banerjee, 1975)K=0.115K1+0.021K2K=1.6 kJ/m3

δw = 280 nm w= 0.93 mJ/m2

Experimental MeasurementsOzdemir  et al., 1993;Moskowitz et al., 1988, Foss et al., 1998

w=0.9 mJ/m2

δw = 180 nmδw = 200 nm

MFM image  and magnetic profile of a 180° domain wall in (110) single crystal magnetite. 

Half‐width = Domain widthDomain wall width ~ 200 nm (Foss et al., 1998) 

2013 SSRM 5/29/2013

13

Domain Formation

Subdivision into finer and finer domains to reduce magnetostatic energy cannot go on indefinitely

High MSenergy

Smaller MSenergy

Smaller MS energyHigher wall energy No Ms energy

Wall energy

Domain Formation

Magnetostatic energy (long range effect)Wall energy (short‐range effect)

Domain walls require energy, so the more domains the higher the wall energy

7 domain grain of Fe3O4

Closure domains

Minimum Energy state:  ET =EH + Eex  +EK + ED +E

EH= external field energyEex= exchange energyEK= magnetocrystalline energyED= magnetostatic energyE=  magnetoelastic energy

0TE 13x13 m

Single Domain  (SD) – Two Domain (TD) Transition  Size

What grain size (d) is the TD state (b) lower energy than the SD state (a)?

NSD is the demagnetizing factorNSD= 1/3 for a sphere or cube

SD State 20

2v

m SD s

SD m

E N M

E E

)(21 areawallEE wSDTD MD State

SDTD transition occurs at d0 when ESD=ETD

a2

00

sSD

w

MNa

d

, where a=6 for a sphere and a=4 for a cube

Some numbers for magnetite (at room temperature)

w= 1 mJ/m3, Ms=480 kA/m, NSD=1/3  d0 ~ 40 nm

more exact calculations give d0~ 80 nm

Effect on d0

elongated grains (N small)

increases

High Ms decreases

High T, low Ms increases

Image of SD BehaviorTop: chain of SD magnetite particles in Magnetospirillummagnetotacticum.

Bottom: Off‐axis Electron HolographicImage of particles (magnetosomes)

The contours provide a map of the localmagnetic field in the cell. 

The confinement of the magnetic flux within the magnetosomes shows that all the magnetite crystals SD magnetized approximately parallel to the axis of the chain

Dunin‐Borkowski et al, 1998, 2001

magnetosome (50 nm) displaying SD dipole‐like external magnetic field and uniformly magnetized interior

Harrison and Fienberg, 2009

Domain ModelsKittel Model: Semi‐Infinite Plate Model (Kittel, 1949)regular array of uniformly‐spaced, 180° DWs separating domains magnetized perpendicular to the plate surfaceUniaxial Anisotropy

Total  energy  = the sum of ED of the n domains d i D

and Ew of the n‐1 walls:n domainsn‐1 domain walls

2102

1/221/20

1( ) ( 1)

02

T SD s w

T SD seq

w

E LWDN M LW nn

dE N Mn Ddn

op and

 Özdem

ir, 1997

ED= demagnetizing energyw=  Bloch wall energyVolume=LDW, D=nd

Dunlo

slope=1/2

SD transition size (n=1)

2013 SSRM 5/29/2013

14

Domain CalculationsMagnetiteSD‐TD transition (d0)  40 nmWall width (w )            200 nm

SD‐TD calculation assumes infinitely thin wallsWall calculation assumes no surfaces

No surface polesNo magnetostatic energy

In small particles (near d0), walls have finite thicknesses and produce surface poles due to rotation of spins within wall

Additional source of magnetostaticAdditional source of magnetostatic energy due to wall

To reduce this source of energy, wall width needs to be thinner

w

Theoretical Calculations for SD‐TD transitions in Magnetite and other Magnetic Minerals 

(Dunlop and Özdemir, 1997) 

Estimated critical sizes for SD‐TD behavior in magnetite as a function of particle elongation (Butler and Banerjee, 1975)

Theoretical Domain States for Magnetite

Bazylinski, 2000

nm) Single Domain

Two Domain

Metastable SD

1000

magnetosomes

part

icle

leng

ht (n

Superparamagentic

MV1 MS1

MC1MV4MV2

GS15

100

10

MSR1

AMB1

Confirmation of SD calculationsMagnetite particles produced by magnetotactic bacteria  (MTB) fall within SD size range

Different strains of MTB

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

axial ratio (width/lenght)

10

SD Behavior (strain MV‐1) 

Mr/Ms=0.5

SD (50 nm) magnetosome displaying dipole‐like external magnetic field and uniformly magnetized interior (Harrison and Fienberg, 2009)

Micromagnetic ModelingSubdivision of grain into  LxMxN cells

In each cellMagnetization vector:  M(x,y,z)fixed magnitude, variable direction (.)2 unknowns representing direction ofM(.)

ex K D s(E E E E E )T HvE dv

2 unknowns representing direction of M(.)

Total Energy 

M(.) is varied independently  in each cell until a local energy minima (LEM states)  is found for a given set of constraints

Williams and Wright, 1999

g

Numerical solutionsLength scaleCell size () ~ exchange length (ℓex)

0

1 ~ 10nmexs

AM

Fe3O4:

2013 SSRM 5/29/2013

15

Micromagnetic EnergyEnergy Equation Material  property

Zeeman energy H0 = External field

Demagnetizing N = Demagnetizing factor0 0H sE M H m

21E M Nenergy

Exchange energy A= exchange constant

Magnetocrystallineenergy

Ku= Uniaxial constK1= Cubic const

Magnetoelastic energy

202d sE M N m

2( )exE A m 2

2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3 1

sin

( )K u

K

E K

E K

2(cos 1)E K 3 sK

energy 2

For constant T < TcM(x,y,z) has fixed magnitude and only changes direction inside particlem(x,y,z)= is a unit vector in the local direction of magnetization

cos sin( , , )( , , ) sin sin

coss

M x y zm x y zM

Micromagnetic ModelingMore complicated spin states  can be produced as constraints on magnetization directions are relaxed from 1‐D to 3‐D rotations  producing more ways for flux reductions  to be achieved

Local Energy MinimaLEM states

Flo er stateFlower stateMagnetostatic energy highExchange & anisotropy energy low

Vortex stateMagnetostatic energy lowExchange & anisotropy energy high

Williams and Wright, 1999

Micromagnetic Modeling

Flower + 

Vortex

Energy density of a magnetite cube as a function of edge length d for an initial SD configuration at room temperature .

Increasing grain size  SD structure  collapses to  a vortex structure at d0max = 96nm. Decreasing  size vortex state becomes SD  at d0min =64nm. 

;Muxworthy et al., 2003

Exsolution and magnetic interactions between magnetite crystals

Magnetite‐Ulvospinel intergrowthFe (blue), Ti (red)

Off‐axis Electron Holography

3‐particlesupervortex

3‐particle flux‐coupled  “AF” configuration

Magnetic field lines link neighboring magnetite crystals across intervening nonferrimagnetic ulvospinel

Isolated crystals have vortex (c) and SD (d) structuresInteracting crystals produce super‐vortex or flux‐coupled configurations

Harrison et al., 2002

2013 SSRM 5/29/2013

16

Closure domainsClosure domains

Micromagnetism

Micromagnetic model (2‐D) for 5 micron cube of magnetite showing edge closure domains (Xu et al., 1994)

MFM image of magnetite grain (image is 8x8 microns, Pokhil and Moskowitz, 1997)

Pseudo Single Domain (PSD) Behavior

PSD properties

Found in particle sizes above the SD size range but p gexhibit SD‐like properties

HC> “expected for MD grainsMR> “expected for MD grains

PSD particles have micromagnetic states intermediate between SD and MD

Carton describing the failure of classical domain theory to describe the grain size dependence of remanence above d0 for magnetite(Banerjee, 1977)

Room temperature saturationRoom temperature saturation remanence (Mrs) and Coercivity (Hc) as a function of grain size for magnetite (Dunlop and Özdemir 2007)

Rather than the rather abrupt decrease at the SD threshold predicted theoretically,p y,gradual decreases in properties are observed over several decades of grain diameter

Hysteresis parameters for dispersions of magnetite particles with different grain sizes (Dunlop and Özdemir, 1997)

SD

Day Plot

MDMr/Ms Hr/Hc

SD 0.5 1‐2

PSD 0.1‐0.5 2‐3

Diagnostic values  for SD and (large) MD grains

PSD

MD <0.1 >3‐4

Ku, uniaxial Mr/Ms=0.5K1< 0, [111] easy axis Mr/Ms=0.87K1>0,  [100] easy axis Mr/Ms=0.83

Theoretical SD values

2013 SSRM 5/29/2013

17

PSD Models

Theoretical stable size range for 1D  local energy minima (LEM) states in magnetite. The ground state equilibrium size range is in black (Moon and Merrill, 1985)

(a) Nucleation failure in saturation remanence. 

black (Moon and Merrill, 1985)

Metastable SD state

(b) back‐field nucleation of domain wall

(c‐e) domain wall displacement in increasing negative field

(Halgedahl and Fuller, 1980)

R li t TRM i t ft

LEM States

Replicate TRM experiments often produced different numbers of domains in the same particle.

Halgedahl, S.L., 1991. Magnetic domain patterns observed on synthetic Ti‐rich titanomagnetite as a function of temperature and in states of thermoremanent magnetization. J. Geophy. Res, 96: 3943–3972.

Micromagnetic Simulation of Hysteresis

0.1 m cube of magnetiteA. Initial state is a negative 

Flower state (F)B. Flower state (F) jumps to

BB. Flower state (F)  jumps to 

vortex state (V)

Vortex state is LEM state for successive hysteresis cycles

C. Reversible spin rotation in outer most cells of vortex (MD‐like process)

F

DC

D

D. Discontinuous vortex reversal of vortex core (SD‐like process)

V

FA

Williams and Dunlop, (1995)

Magnetic Relaxation and Blocking

• Natural Remanent Magnetization• Néel SD Theory of Thermal Activated Magnetization

• Relaxation times and Magnetic Blocking• Superparamagnetism

2013 SSRM 5/29/2013

18

Pioneers of Rock MagnetismL. Néel

1949 Théorie du traênage magnétique des ferromagnétiques en grains fins avec applications aux terres cuites. Annales de Géophysique 5: 99–136.1950 Some theoretical aspects of rock magnetism. Phil. 

L. Néel (1905‐2000)

Mag. Suppl., 4, 191‐243.

Fundamental study of the magnetism of single‐domain grains Explain quantitatively the experimental results of E. Thellier on baked clays and lavas

Developed theory of magnetic relaxation and the effect of thermal fluctuations on magnetization

thermoremanent magnetization (total and partial)thermoremanent magnetization (total and partial)isothermal remanence & viscous remanenceDemagnetization by heating in zero field and by alternating fields

Discovered superparamagnetism and calculated the lower limit of magnetic stability of single‐domain iron (~16 nm) EMILE THELLIER (1904‐1987)

Magnetic RelaxationHysteresis (isothermal effect): field assisted magnetization transition over anisotropy barrier

Magnetic relaxation (thermal fluctuations) : time‐assisted magnetization transition over anisotropy  Du

nlop

 and

 Özdem

ir, 1997

barrier

Example 1:  Apply large Ha then reduce Ha=0

When Ha=0, E1=E2Equal energy, unequally populated states

N number of identical particles with uniaxial anisotropy

E ample 2 D ti l th l H <H

n+=N n‐=0

E1 E2Example 2: Demagnetize sample, then apply Ha<Hc1 2

n+=N/2 n‐=N/2

E1 E2

HaInitially both states have E1=E2 and equally populatedWhen Ha is applied, E1<E2Unequal energy, equally populated sates

Magnetic states will approach (relax) towards equilibrium state

Magnetic Relaxation

Thermal activation (random thermal vibrations) can lead to over barrier transitions

nt magne

tization

/0( ) t

r rM t M e

Remanent magnetization of an assembly of SD grains will decay with time (Ha=0) towards equilibrium state where Mr=0

= relaxation timet/ << 1,  Mr(t)= Mr0t/ >>1,   Mr(t)0

Mr(t), reman

en

Paleomagnetic record carried by magnetic grains represent non‐equilibrium states, but the approach to equilibrium  can be slow enough (> 1Ga) that even geologic time is sufficient to reach equilibrium)

Dunlop and Özdemir, 1997

Thermal activation

At low T magnetic moment of particle trapped in one of the potential wells

Particle magnetic moment is “blocked”

Easy Axis

Particle magnetic moment is “blocked”

At higher T, thermal energy can flip 

Low T

g , gy pmagnetic moment between the wells

Results in rapid fluctuation of momentParticle moment becomes “unblocked”

High T

2013 SSRM 5/29/2013

19

Magnetic RelaxationN‐n particles

N=total number of particlesN=+ 

Probability of a thermal vibration of amplitude E occurring in a given time interval (dt) will have a relaxation time for transition between state 2 state 1:

2112

n particles

state 2  state 1:

212 1

0

1 exp Ef kT

0= frequency factor (~109 Hz)2

sn NM MN

Rate Equation:  

21 12

dn N n ndt

/0

12 21

12 21

12 21

( ) ( )

1 1 1

teq eq

eq s

M t M M M e

M M

Solution:Meq is the thermal equilibrium magnetization at t=∞ for a given temperature and field

Dunlop and Özdemir, 1997

Magnetic Relaxation

/0( ) ( ) t

eq eqM t M M M e

General Equation

Magnetization versus time for (a) saturation remanence in zero field, (b) zero initial magnetization in a field, (c) magnetization l d i ti ll l fi ld (f T 2008)

(a) zero‐field decayHa=0, M0=Mr, t=0

Meq=0, t

(b) demagnetized stateM0=0, t=0MMeq , t

placed in an antiparallel field  (from Tauxe, 2008)

(c) Antiparallel fieldH=‐Ha, M‐Meq , t

Equilibrium MagnetizationTwo‐state particle (spin up or spin down)

E1= ‐0vMsH0

H0

121 2

0 0

1 1exp eEf kT f

21 12E E

E2= +0vMsH00

H0=0           H00

12 21

12 21

tanh( )

t h

eq s s se eM M M Me e

EM M

212 1

0 0

1 1exp eEf kT f

v=particle volume

0 0

tanh

tanh

eq s

seq s

M MkT

vM HM M

kT

Thermal equilibrium magnetizationH0=0, Meq=0

One SD grain has no M=0 state for Ha=0 except when T>TcEnsemble of SD grains can have M=0 states

Néel SD Theory of Thermal Activated MagnetizationTheory that provides theoretical basis for understanding time‐dependent magnetization and stable magnetization

Single domain particles with uniaxial anisotropyIdentical non interacting particlesIdentical, non‐interacting particles

Reversals between states in which moments are either parallel (=0, state 1) or antiparallel (=,state 2) to a  weak Ha

20 0

2 20max

cos( ) sin

1 /2

s u

K s a K

E vM H K v

E H M H H

max

12 max

21 max

2( 0)( )

K s a K

E E EE E E

Dunlop and Özdemir, 1997

2013 SSRM 5/29/2013

20

Néel SD Theory of Thermal Activated Magnetization

0

0

2

0

10 : exp2

10 : exp 1

s Ka

as K

vM HHf kT

HvM HH

Néel Relaxation Times

0

0 : exp 12a

K

Hf kT H

sKsus

uK NMHNMK

MK

H ,2

,2 0

0

Relaxation time is a strong function of temperature, applied field (Ha), volume, and shape (HK) of the grains.

12 21 21 12E E

One of the energy barriers becomes much larger than the other

State favored by Ha “drains” the less favored state and MeqMs

Néel Relaxation Times0

0 0

1 10 : exp exp2

s K ua

vM H vKHf kT f kT

vKu/kT (sec)

25 100

60 1017  (~ 4.5 Ga)

Example: SD Fe3O4, HK= 20 mT, v=/6D3

D (nm) ( )

A small change in volume (T=const) can increase relaxation times by a factor of 1015!

v3v,   100 s109 yrsd1.4d  (40% increase in d)

Laboratory time

Geologic time

D (nm) (sec)

28 100

33 1017 

t=0, H=Hsat t=t1, H=0

2013 SSRM 5/29/2013

21

Superparamagnetism

HHH=0

Unblocked particles that respond to a field are known as superparamagnetic

Relaxation Times

Relaxation time in magnetite ellipsoids as a function of grain width in nanometers (all length to width ratios of 1.3:1.)

Tauxe 2008

SuperparamagnetismIf volume is small enough or temperature high enough, thermal fluctuations will be sufficient to overcome the anisotropy barrier and flip the magnetization, even when Ha=0

Superparamagnetism (SPM): For a group of SPM particles each with magnetic moment, M, the net magnetization in H0=0 (T>0 K) will average to zero  or follow the equilibrium magnetization (H00)

This means that Hc=0 and Mr=0, but Ms0.

The size below which the anisotropy barrier to magnetization changes can easily be surmounted by thermal energy on a specified (usually laboratory) timescale is called the superparamagnetic (SPM) threshold dtimescale is called the superparamagnetic (SPM) threshold ds

ds d0

SPMUnstable 

magnetizationStable SD Non‐uniform 

magnetization

~20 nm                      ~80 nmFe3O4 (T=300K)

Superparamagnetism Critical relaxation time (s)Relaxation time leads to the concept of blockingPaleomagnetic recorders must have relaxation times on the order of geologic time

<s unstable magnetization (SPM)

00

, v v , constant2v ln( ), 100

s s

s s ss K

TkT f s

M H

magnetization decays with time

>s   stable, remanent magnetization

Estimated critical sizes for SD‐TD behavior in magnetite as a function of particle elongation  (Butler and Banerjee, 1975)

vs

M=MeqMr=0

Mr=0.5MsMr

unstable stable

Blocking volume (very sharp transition)

2013 SSRM 5/29/2013

22

Blocking and Superparamagnetism

SD grain size population f(v,HK)Néel Diagram

00

2vH ln( )K ss

kT fM

H0=0,  Constant T depends on v and HK

Butle

r, 1992

Increase time, sweep out more area and unblock remanence

Blocking Temperature

Relaxation time:  Strong function of temperature and timescale of observations

01 1KvM H vK 0( ) ( )K T NM T0

0 0

1 1exp exp2

s K uvM H vKf kT f kT

KU is a function of temperature

0( ) ( ),2u sK T NM T

0

0

v ( ) ( )2 ln( )

s KB

M T H TTk f t

Blocking Temperature (v=constant)

T >TB unstable magnetization (SPM)magnetization decays with time

T < TB stable, remanent magnetization

Important: Stable SD with  > 1Ga at 300 K can be SPM at elevated temperatures close to the Curie temperature

STABLE Blocked

T T T1 3 4

All points to the left of any curve H(t,he,T) correspond to grains with t<. e

Néel Diagram

SUPERPARA-MAGNETIC Unblocked

Tempe

rature

or tim

e

H(t,h,T)

g

Likewise, all points to the right have t>.

Coercivity (HK)

volum

00

2vH ln( )K ss

kT fM

Grains with small v and Hc will be superparamagnetic. As temperature, or time, isincreased, more and more grains with larger v and HK will become progressivelyunblocked, until at T=TB when all grains become unblocked.

K

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

-400 -200 0 200 400

M/M

sat

SuperparamagneticLoopd=10 nm

Ms

MrT> Tc: Thermal energy dominateskT > Exchange energy

T<TC: Exchange energy dominatesKv<<kT

T<TBk

kT > Kv

0H(mT)

TB Tc

Kv> kT

Blocking Temperature: critical temperature (Tb<Tc) where remanence is lost (T>Tb,  t <tb)

Between Tb and Tc, grains are ferrimagnetically ordered but are superparamagnetic (remanence decays quickly to zero)

2013 SSRM 5/29/2013

23

Superparamagnetism

0.03

Unblocked and Superparamagnetic0.04

Blocked and Stable SD

Two‐state particle:  Meq= Mstanh ()All orientations:       Meq=MsL()

0 0svM HkT

-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01

0.02

-600 -400 -200 0 200 400 600

M (A

m2 /k

g)

p p gT=300 K

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

-600 -400 -200 0 200 400 600M

(Am

2 /kg)

H ( T)

Blocked and Stable SDT=25 K

kT>Kuv

Mr/Ms ~0.5Hc~100 mT

Mr=0Hc=0

H (mT) H (mT)Temperature Dependence of Hysteresis (submarine basaltic glass) SPM grains are ferromagnetically (ferrimagnetically) 

ordered (exchanged coupled)  below Tc

The remanence (time‐averaged magnetization) for a group of SPM particles  is zero ( disordered)

2 10-4

Blocking and Superparamagnetism

T>TB ,  is frequency independent indicating thermodynamic equilibrium, (superparamagnetic state)

Superparamagnetic behavior depends on the time scale of observation (the choice for )

viscous

5 10-5

1 10-4

xdc10 Hz110 Hz1 kHz10 Khz

in-p

hase

sus

cept

ibili

ty

Blocking Temperature

(superparamagnetic state).

T <TB,  is frequency‐dependent,indicating a nonequilibrium state (blocked state). 

Since TB depends on the measurement frequency, the peak occurs at different temperatures for different 

SPM

SSD

0 100

0 50 100 150 200Temperature (K)

magnetite, <d> 8 nm

Blocking Temperature

Blocking temperature increases with frequency of measurement

pfrequencies.

SummaryHysteresis and Domain State

0.0

0.5

1.0

M/M

sat

Multi-Domain Loopd=3 mm

0.0

0.5

1.0

M/M

sat

Single-Domain Loopd=50 nm

0.0

0.5

1.0

M/M

sat

SuperparamagneticLoopd=10 nm

Low Hc

-1.0

-0.5

-400 -200 0 200 400

0H(mT)

-1.0

-0.5

-400 -200 0 200 400

0H(mT)

-1.0

-0.5

-400 -200 0 200 400

0H(mT)

Multidomain behaviorDomain wall translation

Single Domain BehaviorMoment rotation over anisotropy barrier

SuperparamagnetismThermal fluctuations can flip the magnetization

Relaxation time

Low Hc and Mr

High Hc and Mr

Hc=0Mr=0

Ha Ms Ha Ms

Tauxe, 2008

0

2001 exp 1

2s K

fb K

HVM Hk T H

Relaxation time

0= frequency factor (~109 Hz)0

2 uK

s

KHM

Ku= anisotropy “constant”Crystalline, shape or stress contributions

Flipping field

SPM

SD

Unstable Stable

MD

PSD

civi

ty H

c

The magnetic behavior can be subdivided on the basis of grain size into 

SPM superparamagnetic SD single domain  PSD pseudo single domain

Particle diameter d

d0ds

Coe

rc

0 03 0 08 20 mMagnetite

PSD pseudo‐single domain MD multidomain 

The maximum coercivity for a given material occurs within its SD range. 

For larger grain sizes, coercivity decreases as the grain subdivides 0.03 0.08 20 m

0.03 15 ?Hematite

decreases as the grain subdivides into domains. 

For smaller grain sizes, coercivity again decreases, but this time due to the randomizing effects of thermal energy.

2013 SSRM 5/29/2013

24

Blocking Parameters and Types of Remanence

Magnetic Relaxation and Blocking

T(emperature) Thermoremanent magnetization (TRM)

v(olume) Chemical remanent magnetization (CRM)

t(ime) Viscous remanent magnetization (VRM)

H(field) Isothermal remanent magnetization (IRM)

0

0

2

0

0

10 : exp2

10 : exp 12

s Ka

as Ka

K

vM HHf kT

HvM HHf kT H

Progressive Demagnetization Techniques

Néel Theory2

0

0

1 exp 12

as K

K

HvM Hf kT H

0 K

Low stability component(s) (short , low Hcr and Tb): “easily” removed first by demagnetization (secondary components)

High stability component (long  , high Hcr and Tb):  most resistant to demagnetization (usually primary component )

( )Characteristic Remanent Magnetization (ChRM): The highest‐stability component of NRM that is isolated by partial demagnetization

Main methodsUse magnetic fields: Alternating magnetic field(AF) demagnetizationUse temperature: Thermal demagnetization 

Thermal DemagnetizationHeating samples to elevated temperatures (T<Tc)Cooling to room‐temperature in zero magnetic field

All grains TB<Tdemag become unblocked)B demag

Grains with short relaxation times (low TB) are likely to pick up secondary NRMs (unstable NRM)

These grains get demagnetized first before grains with long relaxation times (stable NRM)

Thermal Demagnetization Furnaces

Mu‐metal shielding to reduce external fields to near zero during heating and cooling

Heating areaCooling area

2013 SSRM 5/29/2013

25

Alternating Field Demagnetization

mir, 1997Room‐temperature method

No heating involved, no chemical alteration

Dunlop

 and

 Özdem

2

0

0

1 exp 12

AFs K

K

HvM Hf kT H

If an AF field of peak value 10 mT is applied  and amplitude is smoothly reduced to zero grains withamplitude is smoothly reduced to zero, grains with 0<Hc<10 mT are randomized

Process is repeated to higher and higher AF fields 

Low coercivity  components =  unstable NRM (low reliability)

AF Demagnetization Mu‐metal shields to attenuate DC field (e.g. Earth’s magnetic field) Solenoid for 

Ac field

Alt ti fi ld ti d i ith H HAlternating fields remagnetized grains with Hc < HAF

Half are magnetized “up” and half “down” = zero net moment

Typical AF demagnetizes have peak fields 100‐200 mT

The motion of the blocking curves under the influence of h do not

When the field is not zero, theblocking curves are asymptotic tothe particular value of HAF

AF Demagnetization

T

SUPERPARA-MAGNETIC Unblocked

hh1 2

STABLE Blocked

under the influence of h do not reproduce the motion due to temperature or time. 

Particles of small v and large Hc may require very large  AC fields to become unblocked.

However, the same grains can be 

V

HK

unblocked by mild heating.

AF demagnetization is often effective in removing secondary NRM and isolating ChRM in rocks with (titano)magnetite as the dominant ferrimagnetic mineral. 

Secondary NRM carried by MD grains (hc <20 mT)ChRM   carried by SD or PSD grains with higher hc .

Extra Slides

2013 SSRM 5/29/2013

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TM60

Effects of Stress on Domain Structure

TM0

10mMoskowitz et al., 1988

13x13 m

Pokhil and Moskowitz, 1997

(100) TM60

Stress can override the intrinsic magnetocrystalline anisotropy  and produce a (local) uniaxial anisotropy

Anisotropy Energy  > Magnetostatic Energy

Example Response of domain structure in Al‐substituted TM62 to compressive stress

Complex patterns (A) shrink (15 5

Lamellar domains  (B) (nearly parallel to compressive axis) on the left of the picture were driven out by 15.5 Mpa and re‐formed almost normal to the stress by 25.5 MPa.

L ll d i (C) t t

Complex patterns (A) shrink  (15.5 Mpa) and disappear  by 22.5 Mpa)

A

B C

Lamellar domains (C) rotate away from compressive axis at 15.5 Mpa and some expand by 25.5 Mpa

Appel and Soffel, 1985

MD Hysteresis: Domain nucleation and translation

The switching behavior of a magnetite particle imaged during the descending and H0during the descending and ascending branches of a hysteresis cycle between ±500 Oe along the in‐plane [110] direction (vertical).

The sequence of images begins with remanent state (a) after application and removal of +500 Oe field.

0

10x10‐m particle patterned from 250 nm thick magnetite film grown on (110) Mg0  (Pan et al., 2002)Magnetic Force Microscopy (MFM)

Bloch WallsAnisotropy energy

2

( )

( ) sin ( ) :uniaxialK

u

E g

g K

The wall energy is given by the sum of the exchange and anisotropy energies, integrated over the thickness of the wall

Bloch wall energy

2

wall ( )ex KdE E A g dxdx

Need to  solve for (x)  (spin rotation function)=0, x‐ =, x+

Bloch  wall lying in the yz plane, with the direction of magnetization rotating about the x‐axis while remaining parallel to the yz plane. x =  position in the wall = direction of the local magnetization

Cullity, 1972

2013 SSRM 5/29/2013

27

Torque resulting from the exchange energy 

Torque resulting from the 

Domain Wall StructureMinimize wall energy wall 0ex KE E

q ganisotropy energy

At equilibrium, these torques must be equal and opposite, giving zero net torque

Multiplying by d/dx and integrating over x,

Exchange and anisotropy energies are equal everywhere in the wall

Where the anisotropy energy is the highest, the rate of change of magnetization angle d/dx is the greatest

Cullity, 1972

Domain Wall Structure

Uniaxial Anisotropy

Solution

Cullity, 1972

Bloch Walls

ln tan2

cos tanh

u

u

AxK

K z

Solution (Landau and Lifshitz, 1933)

cos tanh zA

wAK

Effective wall thickness = Wall thickness with a constant value of d/dx equal to that at the center of the wall.

Thickness of the domain wall is formally infinite. 

Cullity, 1972

Variation of magnetization direction through a 180° domain wall. Dashed line shows definition of wall width.

w

Domain Wall Energy2

wall ( )ex KdE E A g dxdx

Since the two terms are everywhere equal wall 2 ( )g dx

0 0

( )

( )2 ( )( )wall

ddx Ag

gA d A g dg

For uniaxial anisotropy: 

00

( ) sin

sin ( cos )

4

u

wall u u

wall u

g K

AK d AK

AK

Cullity, 1972

2013 SSRM 5/29/2013

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SD‐Non SD Transition Sizes

Dunlop and Özdemir, 2007

Domain ModelsLandau‐Lifshitz  Model: Closure Domain ModelDemagnetizing energy =0

Total  energy  = the sum of Wall Energy and the Magnetoelastic Energy

1/2 1/21/2 1/2111 449 4 wcn D d D

D

ahl, 1987

111 44

,4 9eq eq

w

n D d Dc

d

D=nd

Halged

d (m)

Experimental Results: MagnetiteÖzdemir and Dunlop, 1993

Closure domains along  in (110) magnetite single crystal(Özdemir et al.1995)

D1/2 (m)1/2

From slope, W=0.91x10‐3 J/m3

2w AK

From w , determine exchange constantA=1.28x10‐11 J/M

Experimental Results: Magnetite

contain fewer domains than equilibrium theorypredicts.

deq~D1/2

SD transition sizen=1, d~0.1 m

Dunlop and Özdemir, 2007

Micromagnetic Simulation of Hysteresis

0.1 m cube of magnetiteA. Initial state is a negative 

Flower state (F)B. Flower state (F) jumps to

BB. Flower state (F)  jumps to 

vortex state (V)

Vortex state is LEM state for successive hysteresis cycles

C. Reversible spin rotation in outer most cells of vortex (MD‐like process)

F

DC

D

D. Discontinuous vortex reversal of vortex core (SD‐like process)

V

FA

Williams and Dunlop, (1995)

2013 SSRM 5/29/2013

29

Micromagnetic Models: Complex  Shapes 

SEM image of a magnetite dendrite in archaeological

Octahedron Dendrite Six independent octahedra

Large Octahedron:  ramp‐like (MD) loop , Mr/Ms=0.07Dendrite, Small Octahedra:       SD‐like loops, Mr/Ms=0.83

dendrite in archaeological copper slag from Israel. Shaar, et al., 2009.

Averaged hysteresis curves formed from fields applied along the [100], [110], and [111] directions for the three octahedral model structures

All three structures: Hc~15 mT

Williams et al., 2009