1

Οι κωνικές τοµές ως κίνητρο µάθησης στα Μαθηµατικά

Κυριαζής Χρήστος

M.Sc. Μαθηµατικός

2o ΓΕΛ Αγίας Βαρβάρας

E-mail address: chriskyriazis@gmail.com

Πρωτοπαπάς Ελευθέριος

Ph.D., M.Sc. Μαθηµατικός

7o ΓΕΛ Περιστερίου

E-mail address: lprotopapas@hotmail.com

Περίληψη

Οι µαθητές συχνά αναρωτιούνται, αµφισβητούν και αµφιβάλλουν για τη χρησιµότητα

των µαθηµατικών στην καθηµερινή ζωή. Τα βιβλία και η διδακτέα ύλη στη

δευτεροβάθµια εκπαίδευση διαπραγµατεύονται τα µαθηµατικά κυρίως σε θεωρητικό

επίπεδο. Αναφορές σε πρακτικές εφαρµογές των µαθηµατικών στην καθηµερινότητα

είναι σπάνιες. Οι κωνικές τοµές είναι ένα κεφάλαιο που δίνει τη δυνατότητα σε

µαθητές και καθηγητές να συνδέσουν τα µαθηµατικά µε την καθηµερινή ζωή, καθώς

απαντώνται σε πλήθος χρησιµότατων εφαρµογών. Η εργασία αυτή θα δώσει µια

απάντηση στο συνηθισµένο ερώτηµα των µαθητών: «Που θα µας χρησιµεύσουν τα

µαθηµατικά;» µέσα από το κεφάλαιο των κωνικών τοµών.

Λέξεις-κλειδιά: Κωνικές τοµές, µαθηµατικά, εφαρµογές.

Εισαγωγή

H διδασκαλία των µαθηµατικών οφείλει να συνδέει τα µαθηµατικά µε τοµείς της

καθηµερινότητας, ώστε να καθιστά φανερή τη χρησιµότητα και την αναγκαιότητα

τους. H διαθεµατική προσέγγιση αναδεικνύει την αµεσότητα και εφαρµοσιµότητα

των µαθηµατικών στην καθηµερινότητα. Έτσι ο µαθητής αναπτύσσει προσωπική

άποψη για τα ζητήµατα της καθηµερινής ζωής και διαµορφώνει τη δική του

κοσµοθεωρία και κοσµοαντίληψη (Αλαχιώτης, 2002, Lawton κ.ά., 2000).

Η διαθεµατική προσέγγιση ξεκινά από τις µικρές τάξεις του ∆ηµοτικού, που

αναδεικνύεται η χρησιµότητα των µαθηµατικών µέσω των καθηµερινών

συναλλαγών. Συνεχίζοντας σε µεγαλύτερες τάξεις, η σύνδεση αυτή φθίνει, κάτω από

την πίεση της διδακτέας ύλης, και σπάνια αναδεικνύονται άλλες εφαρµογές των

µαθηµατικών στην καθηµερινότητα. Επιπλέον, οι µαθητές µέσω των σχολικών

προγραµµάτων φορτώνονται µε πολλές γνώσεις, που τους αποµακρύνουν από τον

ουσιαστικό σκοπό της µάθησης. Η εργασία αυτή στοχεύει στο να δώσει ένα χρήσιµο

εργαλείο στους διδάσκοντες, αλλά και χρήσιµες πληροφορίες για τους µαθητές όσον

αφορά την εφαρµοσιµότητα των µαθηµατικών στην καθηµερινή ζωή.

2

Ένα κεφάλαιο που εντάσσεται στα σχολικά µαθηµατικά και περιέχει γνώσεις που ο

άνθρωπος χρησιµοποιεί για τη βελτίωση των συνθηκών ζωής του είναι οι κωνικές

τοµές. Κωνικές τοµές είναι οι καµπύλες που προκύπτουν από την τοµή ενός κώνου µε

ένα επίπεδο (Εικόνα 1). Κωνικές τοµές είναι ο κύκλος, η παραβολή, η έλλειψη και η

υπερβολή.

Εικόνα 1: Οι κωνικές τοµές

H παραβολή

Παραβολή ονοµάζεται ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία

ισαπέχουν από ένα σηµείο και από µία ευθεία (Λυγάτσικας, 2013, Αδαµόπουλος κ.ά.,

2012). Πρόκειται για ένα σχήµα που παρουσιάζει αξονική συµµετρία ως προς το

φορέα του τµήµατος ΟΕ , όπου Ε είναι η εστία της παραβολής και Ο είναι η κορυφή

της. Στην ύλη των µαθηµατικών προσανατολισµού της Β΄ Λυκείου µελετούµε τις

παραβολές που έχουν κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συµµετρίας έναν από

τους άξονες x 'x και y 'y (Εικόνες 2).

3

Εικόνες 2: Παραβολές

Το σχήµα της παραβολής είναι έµπνευση για τον σχεδιασµό των γεφυρών, που

ονοµάζονται γέφυρες ανάρτηση (suspension bridges). Στις γέφυρες αυτές τα καλώδια

που έχουν ως άκρα τους τις πάνω κορυφές των πυλώνων έχουν σχήµα παραβολής

(Εικόνα 3). Από τα καλώδια αυτά ξεκινούν άλλα καλώδια κάθετα στο επίπεδο της

γέφυρας, που έχουν το ρόλο ανάρτησης. Το παραβολικό σχέδιο εξυπηρετεί (Brown &

Brown, 2001), διότι αφενός µεν χρειάζονται λιγότερα υλικά για την κατασκευή των

γεφυρών, αφετέρου δε η κατανοµή της αξονικής έντασης και συµπίεσης είναι πιο

οµαλή και αποτελεσµατική πάνω στη γέφυρα, οπότε είναι καλύτερη η αντίδρασή της

γέφυρας στις κακές καιρικές συνθήκες και στους σεισµούς.

Εικόνα 3α, 3β: Σχέδιο και φωτογραφία της γέφυρας Golden Gate

4

Επίσης, η παραβολή είναι έµπνευση στην κατασκευή κτιρίων είτε ως προς το σχήµα

τους, είτε στην κατασκευή τοξοτών παραθύρων, πορτών, αψίδων ή διαδρόµων

(Εικόνες 4α, 4β, 4γ).

Εικόνες 4α,4β, 4γ: Ξενοδοχείο Bellagio, κτίριο Casa Battlo , αρχοντικό Palau Guell

Επιπλέον, σε πολλές περιπτώσεις οι τροχιές αντικειµένων ακολουθούν παραβολική

τροχιά, όπως η τροχιά κάποιων µη περιοδικών κοµητών (Bortle, 1998), η τροχιά ενός

αντικειµένου που δεν ρίχνεται κατακόρυφα και η οριζόντια βολή (Serway, 1990).

Εικόνες 5: Παραβολικές τροχιές

Μια σηµαντική ιδιότητα της παραβολής είναι η ανακλαστική (Εικόνα 6), σύµφωνα µε

την οποία µια κάθετη ευθεία στην εφαπτοµένη µιας παραβολής στο σηµείο επαφής

Μ διχοτοµεί τη γωνία που σχηµατίζουν η ΜΕ και η ηµιευθεία Μt , που είναι

παράλληλη στο τµήµα ΟΕ, όπου Ε είναι η εστία της παραβολής (Λυγάτσικας, 2013,

Αδαµόπουλος κ.ά., 2012).

Εικόνα 6: Η ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής

5

Άµεσο αποτέλεσµα της ανακλαστικής ιδιότητας της παραβολής είναι ότι αν ένα

ηχητικό κύµα ή µια φωτεινή ακτίνα χτυπήσει στο «εσωτερικό της παραβολής» θα

περνάει από την εστία της παραβολής (Εικόνα 7α).

Εικόνες 7α, 7β: Εφαρµογές της ανακλαστικής ιδιότητας της παραβολής

Η ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής εφαρµόζεται στα δορυφορικά πιάτα, στα

ραντάρ, στα παραβολικά κάτοπτρα, σε ορισµένους ηλιακούς θερµοσίφωνες κ.τ.λ.

(Εικόνες 8α, 8β, 8γ). Στα δορυφορικά πιάτα και στα παραβολικά ραντάρ τα

εισερχόµενα κύµατα χτυπούν στην «τρισδιάστατη παραβολή» (ελλειπτικό

παραβολοειδές) και ανακλώνται στο ίδιο σηµείο (εστία), από το οποίο συλλέγουµε τις

πληροφορίες που θέλουµε (Εικόνα 7α). Στους ηλιακούς θερµοσίφωνες παραβολικού

σχήµατος από τις εστίες διέρχεται σωλήνας νερού. Όταν ο άξονας της παραβολής

είναι στραµµένος προς τον ήλιο, οι ακτίνες του ήλιου είναι παράλληλες µε τον άξονα,

οπότε λόγω της ανακλαστικής ιδιότητας ανακλώνται στο σωλήνα ζεσταίνοντας το

νερό. Παρόµοια είναι και λειτουργία του παραβολικού κατόπτρου.

Εικόνες 8α, 8β, 8γ: ∆ορυφορικό πιάτο, ραντάρ, παραβολικό κάτοπτρο

Αντίστοιχη εφαρµογή υπάρχει στα φώτα των αυτοκινήτων και στις θερµάστρες. Τα

αντικείµενα αυτά είναι κατασκευασµένα χρησιµοποιώντας παραβολικούς

ανακλαστήρες (Εικόνες 9α, 9β). Όταν τοποθετηθεί µια πηγή ενέργειας στην εστία της

παραβολής, αυτή ανακλάται στην επιφάνεια της παραβολής και αντικατοπτρίζονται

από το κάτοπτρο ως ακτίνες παράλληλες προς τον άξονα της παραβολής (Εικόνα 7β).

6

Εικόνες 9α, 9β: Φώτα αυτοκινήτων, θερµάστρα

H έλλειψη

Μια επίσης χαρακτηριστική τοµή ενός κώνου µε ένα επίπεδο είναι η έλλειψη. Αν Ε

και Ε' είναι δύο σηµεία ενός επιπέδου τότε ορίζουµε ως έλλειψη µε εστίες τα σηµεία

Ε και Ε' τον γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου των οποίων το άθροισµα

των αποστάσεων από τα σηµεία Ε, Ε' είναι σταθερό και µεγαλύτερο του ΕΕ'

(εστιακή απόσταση). Πρόκειται για ένα σχήµα που παρουσιάζει αξονική συµµετρία

ως προς το φορέα του τµήµατος ΕΕ' , ως προς τη µεσοκάθετο του ΕΕ' , καθώς και

κεντρική συµµετρία ως προς το µέσο του ΕΕ' , δηλαδή παρουσιάζει δύο αξονικές

συµµετρίες και µια κεντρική συµµετρία. (Λυγάτσικας, 2013, Αδαµόπουλος κ.ά.,

2012). Σε σχολικό επίπεδο αναφερόµαστε σε ελλείψεις µε άξονες συµµετρίας τους

x 'x και y 'y (Εικόνες 10).

Εικόνες 10: Ελλείψεις

Η πιο διάσηµη εφαρµογή της έλλειψης προκύπτει από τον πρώτο νόµο του Kepler, ο

οποίος αναφέρει (Bradley κ.ά., 2007, Γαβρίλης κ.ά., 2004): Η τροχιά των πλανητών

είναι ελλειπτική µε τον Ήλιο να βρίσκεται στη µια εστία της έλλειψης (Εικόνα 11).

7

Εικόνα 11: 1ος νόµος του Kepler

Επίσης, οι τροχιές των δορυφόρων που στέλνουµε στο διάστηµα είναι ελλειπτικές,

όπου στην µια εστία της έλλειψης βρίσκεται η Γη (Χατζηδηµητρίου, 2000), όπως

ελλειπτικές είναι και οι τροχιές των περιοδικών κοµητών στην µια εστία της οποίας

βρίσκεται ο Ήλιος (Εικόνα 12).

Εικόνα 12: Τροχιά περιοδικού κοµήτη

Η έλλειψη (όπως και η παραβολή) είναι σχεδιαστική έµπνευση για τους µηχανικούς

(Εικόνες 13).

Εικόνες 13α , 13β: Πλανητάριο Τycho Brahe, Lipstick building

8

H ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης (Λυγάτσικας, 2013, Αδαµόπουλος κ.ά., 2012),

αναφέρει ότι η κάθετη στην εφαπτοµένη µιας έλλειψης στο σηµείο επαφής Μ

διχοτοµεί την ΕΜΕ' , όπου Ε, Ε' είναι οι εστίες της έλλειψης (Εικόνα 14). Έτσι, ένα

ηχητικό κύµα ή µια φωτεινή ακτίνα που ξεκινούν από τη µια εστία της έλλειψης,

ανακλώµενα σε αυτήν, διέρχονται από την άλλη εστία.

Εικόνα 14: Ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης

Η ιδιότητα αυτή χρησιµοποιείται στην κατασκευή αιθουσών µε ιδιαίτερη ακουστική,

οι αίθουσες ψιθύρων (Whispering Galleries) (Raman, 1922). Αυτές είναι αίθουσες µε

ελλειπτική οροφή, στις οποίες αν κάποιος ψιθυρίσει στην µια εστία µπορεί να

ακουστεί στην άλλη εστία. Χαρακτηριστικά παραδείγµατα τέτοιων κτισµάτων είναι ο

καθεδρικός ναός τους Αγίου Παύλου στο Λονδίνο, δηµιούργηµα του αρχιτέκτονα Sir

Christopher Wren (Εικόνα 15α) και η αίθουσα των αγαλµάτων του Καπιτωλίου, στην

Ουάσιγκτον (Εικόνα 15β).

Εικόνες 15α, 15β: Καθεδρικός ναός Saint Paul, αίθουσα των αγαλµάτων

Μια διασκεδαστική εφαρµογή της ανακλαστικής ιδιότητας είναι το ελλειπτικό

τραπέζι του µπιλιάρδου (Εικόνα 16). Στο τραπέζι αυτό αν χτυπήσουµε µια µπάλα που

9

βρίσκεται στη µία εστία της έλλειψης αυτή θα χτυπήσει τη µπάλα που είναι

τοποθετηµένη στην άλλη εστία της έλλειψης.

Εικόνα 16: Ελλειπτικό τραπέζι µπιλιάρδου

Μια βασική εφαρµογή της ανακλαστικής ιδιότητας της έλλειψης συναντάται στην

ιατρική και είναι η µέθοδος της εξωσωµατικής λιθοθρυψίας, που χρησιµοποιείται για

το σπάσιµο της πέτρας που εµφανίζεται στα νεφρά (Λυγάτσικας, 2013, Αδαµόπουλος

κ.ά., 2012, Κωστακόπουλος, 2003). Κατά τη δηµιουργία των ούρων και όταν αυτά

είναι πυκνά και κορεσµένα, δηµιουργούνται κρύσταλλοι (ως αποτέλεσµα µιας

φυσικοχηµικής αντίδρασης), που σταδιακά µεγαλώνουν δηµιουργώντας πέτρα στα

νεφρά (Κωστακόπουλος, 2003).

Κατά τη µέθοδο της λιθοθρυψίας στη µια εστία της έλλειψης τοποθετείται µια πηγή

ενέργειας (ηλεκτροδιαλυτική ή ηλεκτροµαγνητική), ενώ στην άλλη εστία το νεφρό

του ασθενούς (Εικόνες 17). Σύµφωνα µε την ανακλαστική ιδιότητα τα κύµατα από

την συσκευή των υπερήχων ανακλούνται στα τοιχώµατα της έλλειψης και διέρχονται

από την άλλη εστία, βοµβαρδίζοντας το νεφρό. Το αποτέλεσµα είναι η διάσπαση της

πέτρας που έχει σχηµατιστεί στο νεφρό του ασθενούς και τα κοµµάτια αποβάλλονται

από τον οργανισµό µε τα ούρα, χωρίς να γίνει εγχείρηση.

Εικόνες 17: Λιθοθρυψία

H υπερβολή

10

Μια άλλη τοµή ενός κώνου µε ένα επίπεδο είναι η υπερβολή. Ως υπερβολή

χαρακτηρίζεται ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων των οποίων η διαφορά των

αποστάσεων από δύο σταθερά σηµεία , 'Ε Ε είναι σταθερή και µικρότερη από το

µήκος του 'ΕΕ (Λυγάτσικας, 2013, Αδαµόπουλος κ.ά., 2012). Πρόκειται για ένα

σχήµα που παρουσιάζει αξονική συµµετρία ως προς το φορέα του τµήµατος ΕΕ' , ως

προς τη µεσοκάθετο του ΕΕ' , καθώς και κεντρική συµµετρία ως προς το µέσο του

ΕΕ' , δηλαδή παρουσιάζει δύο αξονικές συµµετρίες και µια κεντρική συµµετρία. Σε

σχολικό επίπεδο αναφερόµαστε σε υπερβολές µε άξονες συµµετρίας τους x 'x και

y 'y (Εικόνες 18).

Εικόνες 18: Υπερβολές

Η αρχιτεκτονική και εν γένει η κατασκευή κτιρίων έχει χρησιµοποιήσει το σχήµα της

υπερβολής (Εικόνες 19α, 19β).

Εικόνες 19α, 19β: Sagrada Familia, Αεροδρόµιο Ντάλλας

Ειδικά στην περίπτωση του πύργου ψύξης ενός πυρηνικού αντιδραστήρα, οι

µηχανικοί επιλέγοντας αυτό το σχήµα χρησιµοποίησαν τα λιγότερα δυνατά υλικά

δηµιουργώντας µια πολύ ισχυρή κατασκευή µε ίσιους ατσάλινους δοκούς (Εικόνες

20).

11

Εικόνες 20: Πύργος ψύξης πυρηνικού αντιδραστήρα και ο σκελετός

Η υπερβολή εφαρµόζεται σε γρανάζια λοξού άξονα (Buckingham, 1998), τα οποία

χρησιµοποιούνται στα διαφορικά των αυτοκινήτων (Εικόνα 21).

Εικόνα 21: Γρανάζια λοξού άξονα

Επίσης όταν ένα αεροπλάνο σπάει το φράγµα του ήχου (Εικόνες 22α, 22β)

δηµιουργούνται ηχητικά κύµατα που έχουν το σχήµα του κώνου, ενώ ακούγεται ένας

ήχος σαν έκρηξη. Όταν τα ηχητικά κύµατα αγγίξουν το έδαφος δηµιουργούν

υπερβολές, που σηµαίνει ότι οι επιπτώσεις εµφανίζονται ταυτόχρονα σε όλα τα

σηµεία κάθε υπερβολής (McDonald κ.ά., 1969).

Εικόνες 22α, 22β: Σπάζοντας το φράγµα του ήχου

12

Και αυτή η κωνική τοµή, όπως και οι άλλες δύο έχει ως βασική της ιδιότητα την

ανακλαστική (Λυγάτσικας, 2013, Αδαµόπουλος κ.ά., 2012). Η εφαπτοµένη µιας

υπερβολής σε ένα σηµείο της Μ διχοτοµεί την Ε ΜΕ

^

' , όπου Ε Ε, ' είναι οι εστίες της

(Εικόνα 23).

Εικόνα 23: Ανακλαστική ιδιότητα της υπερβολής

Η πιο χαρακτηριστική εφαρµογή της ανακλαστικής ιδιότητας της υπερβολής, είναι η

κατασκευή των καθρεπτών που χρησιµοποιούνται στα κατοπτρικά τηλεσκόπια

(Γαβρίλης κ.ά., 2004). Το φως χτυπά πάνω στον καθρέπτη που έχει σχήµα

υπερβολής, όπου ανακλάται πάνω στην εστία της υπερβολής στην οποία έχουµε

τοποθετήσει ένα καθρέπτη που οδηγεί την εικόνα στον επονοµαζόµενο

προσοφθάλµιο φακό (Εικόνα 24).

Σχήµα 24: Λειτουργία κατοπτρικού τηλεσκοπίου

Συµπεράσµατα

Στην σύγχρονη εκπαιδευτική πραγµατικότητα, η διαθεµατικότητα είναι απαραίτητη.

Τα µαθηµατικά είναι µια επιστήµη µε πολλές εφαρµογές, που µπορούν να ενταχτούν

και να βοηθήσουν τη διδασκαλία, αλλά και να τονώσουν τη διάθεση ενασχόλησης µε

13

αυτά. Τέτοιες εφαρµογές είναι ζωτικής σηµασίας, γιατί από τον αφηρηµένο

χαρακτήρα των µαθηµατικών αναδεικνύουν το χειροπιαστό, το οικείο, το προσιτό.

Ενδεικτική βιβλιογραφία

Αδαµόπουλος Λ., κ.ά. (2012). Μαθηµατικά Β΄ τάξη Γενικού Λυκείου, Θετική και

Τεχνολογική κατεύθυνση. ΙΤΥΕ ∆ιόφαντος.

Αλαχιώτης Σ. (2002). Για ένα σύγχρονο εκπαιδευτικό σύστηµα. Επιθεώρηση

Εκπαιδευτικών θεµάτων. Νο 7, 7-18. Αθήνα. Παιδαγωγικό Ινστιτούτο.

Γαβρίλης Κ., κ.ά. (2004). Στοιχεία Αστρονοµίας και ∆ιαστηµικής Β΄ Τάξη Ενιαίου

Λυκείου. ΟΕ∆Β.

Λυγάτσικας Ζ. (2013). Κωνικές στην Ευκλείδεια Γεωµετρία. Liberal Books.

Κωστακόπουλος Ν. Α. (2003). Ουρολογία ΙΙ, Εκδόσεις Πασχαλίδης.

Χατζηδηµητρίου Ι. ∆. (2000). Θεωρητική Μηχανική, τόµος Α΄. Εκδ. Γιαχούδη-

Γιαπούλη.

Bortle Ε. J. (1998). The bright-comets chronicles (∆ιαθέσιµο on line:

http://www.icq.eps.harvard.edu/bortle.html, προσπελάστηκε στις 10/11/2015).

Bradley W. Carroll, Dale A. Ostlie. (2007) An Introduction to Modern Astrophysics.

Addison-Wesley Publishing Co.

Brown J. D. and Brown D. (2001). Bridges: Three thousand years of defying bature.

MBI Publishing company.

Buckingham E. (1998). Analytical Mechanics of Gears. Dover.

Lawton D., Cairns, J. & Gardner R. (2000). Education for citizenship. Cromwell

Press.

McDonald A. J. and Goforth T. T. (1969). Seismic effects of sonic booms: Empirical

results. Journal of Geophysical Research.

Raman V. C. (1922). On whispering galleries. Proc. Indian Ass. Cult. Sci. 7, 159.

Serway A. R. (1990). Physics for Scientists and Engineers, vol. 1, απόδοση στα

ελληνικά Ρεσβάνης Κ. Λ. Serway.