Univerzitet u Sarajevu Prirodno-matematiki fakultet Odsjek za fiziku Teorijska fizika

K V A N T N A T E O R I J A P O LJ A RIJEENI ZADACI, PRIMJERI I DODACI

DEJAN MILOEVI

Sarajevo, februar 2011

1

1.1 Normalne koordinate Zadatak. (a) Izvesti izraz za hamiltonijan linearnog lanca i izraziti ga pomou * normalnih koordinata bk i bk . (b) Rijeiti problem vlastitih vrijednosti za linearni lanac koristei normalne koordinate, & tj. izvesti rjeenje za qn ( t ) izraeno preko poetnih uslova qn ( 0) i q n (0 ) .* (c) Izraunati Poissonove zagrade za normalne koordinate bk i bk . Rjeenje. (a) Uvrstimo razvoje (1.75) i (1.77) za koordinatu i impuls u izraz (1.56) za hamiltonijan H = T + V . Kinetika energija je:

T=

m ( ik )( ik ) bk bk e i(k +k )t unk unk bk bk*e i(k k )t unk unk* 2 n k ,k

[

* k k * * k k bk bk e i ( k k )t u n *u n + bk bk e i ( k + k )t u n *u n * .

]

(1)

Drugi i trei lan u sumi se mogu pojednostaviti koristei relaciju ortonormiranosti (1.62), pomou koje moemo izvriti sumiranje po n. Ista procedura se moe primijeniti na ostala dva lana poto, prema jednaini (1.67), vrijede relacije:

un

k k n n

k u = un k * un = k , k , n

un

k * k * n n

u = k , k .

(2)

Na taj nain eliminiemo sumu po k u jednaini (1) i, koristei k = k , dobijamo: T= m ( k2 )[b k bk e 2ik t bk bk* bk*bk + b*k bk*e 2ik t ] . 2 k (3)

Potencijalna energija: V =

(q 2n

n +1

qn )

2

(4)

se moe transformisati na slian nain. Uvrtavajui razvoje za q n+1 i q n i koristei k k jednainu (1.70) da bismo izrazili un +1 preko un , nalazimo:

V =

[b 2n k ,k i ( k k ) t

k k

* k k k k b e i (k +k ) t ( e ik a 1)( e ika 1) un un + bk bk e i (k k ) t ( e ik a 1)( e ika 1) un un * ik a k k k k * 1)( e ika 1) un *un + bk bk*e i (k +k ) t ( e ik a 1)( e ika 1) un *un * .

+b b e* k k

(e

]

(5)

Kao i prije, dvije sume se mogu eliminisati ika ika 2 (e 1)(e 1) = 4 sin ( ka / 2) , dobijamo: m ka * * * * V = 4 sin 2 b b e 2 ik t + bk bk + bk bk + b k bk e 2 ik t . 2 k m 2 k k

i,

koristei (6)

[

]

Faktor ispred uglaste zagrade, prema disperzionoj relaciji (1.72), postaje k2 , pa je relacija (6) u saglasnosti sa njoj analognom relacijom (3). Prema tome, kinetika i potencijalna energija se mogu kombinovati tako da daju jednostavan rezultat:* * * H = T + V = m k2 ( bk bk + bk bk ) = 2 m k2 bk bk . k k

(7)

(b) Veza poetnih uslova i normalnih koordinata je data sa:2

k k * k * k & qn ( 0) = ( bk un + bk un * ) , qn ( 0) = ( i k )( bk un bk un * ) . k k

(8a,b)

Koeficijenti bk se mogu dobiti projektovanjem ovih razvoja na skup baznih funkcija. Za poetnu koordinatu dobijamo:

un

k* n n

k k k k * * * q ( 0) = bk un *un + bk un *un * = bk k ,k + bk k , k = bk + b k , n k n k

(

)

(9)

gdje smo koristili uslove ortogonalnosti (1.62) i (2). Za poetnu brzinu dobija se:

un

k* n n

* & q ( 0) = i k ( bk b k ) .

(10)

Na osnovu jednaina (9) i (10) dobijaju se koeficijenti razvoja bk , izraeni kao diskretna Fourierova transformacija poetnih uslova:

bk =

i 1 & unk* qn ( 0) + qn ( 0) . 2 n k

(11)

Informacija sadrana u poetnim uslovima (2N realnih brojeva) je sada kodirana kao skup od N kompleksnih brojeva bk . Rjeenje problema poetnih vrijednosti za vrijeme t je: * k k qn ( t ) = ( bk e ik t un + bk e ik t un * )k

1 i k k k k k k k k & qn ( 0)( e ik t un un* e ik t un *un ) . = qn ( 0)( e ik t un un* + e ik t un *un ) + k k n 2

(12)

Oznaavajui:k k Gnn ( t ) = e ik t un un* = k

1 N

e [k

i ka ( n n ) k t ]

,

(13)

jednaina (12) se moe prepisati kao:qn ( t ) = qn ( 0) Re Gnn ( t ) n

1

k

& qn ( 0) Im Gnn ( t ) ,

(14)

to vodi na jednainu (1.80). Relacija kompletnosti (1.63) vodi na uslov Gnn ( 0) = nn tako da jednaina (14) oito zadovoljava poetni uslov za t = 0 . (c) Pooptavanjem jednaine (11), veza izmeu normalnih koordinata bk i q n ili pn za proizvoljno vrijeme t se moe izraziti kao:bk = 1 i unk*eik t qn ( t ) + m pn ( t ) . 2 n k

(15)

Lako se moe provjeriti da desna strana gornje jednaine ne zavisi od vremena. Poissonova zagrada:

3

{b , b }k * k

PZ

b b * b b * = k k k k p n q n n q n p n

(16)

dobija se diferenciranjem jednaine (15) i koritenjem relacije ortonormiranosti:

{b , b }k * k

PZ

=

1 i i (k k ) t 1 1 i k k e + un *un = . 4 m 2 m k kk k k n

(17)

Na slian nain se moe pokazati da su ostale Poissonove zagrade jednake nuli:

{b , b }k k

PZ

* * = { bk , bk } PZ = 0 .

(18)

1.3 Baker-Campbell-Hausdorffova relacija$ $ Zadatak. Provjeriti slijedee relacije za operatore A i B : $ 1 $ $ $ $ $ $ $ $ (a) e A Be A = B + A, B + 2! A, A, B +L ,

(b)

$ $ $ $ $ $ A, B e A+ B = e A e B e [ ] $ $ $ $ $ $ ako je: A, B , A = A, B , B = 0 . 1 2

[ ] [ [ ]]

(1) (2) (3)

[[ ] ] [[ ] ]

Uputa: Umjesto da se vri provjera za svaki lan razvoja u Taylorov red, moe se primijeniti slijedei elegantniji pristup. Da bi se provjerila jednaina (1) uvodi se kontinuirani pomoni parametar x i analizira operatorska funkcija:$ $ $ $ U ( x ) = e xA Be xA .

(4)

$ U ( x ) zadovoljava integralnu jednainu ije se iterativno rjeenje, uzeto u taki x = 1 , podudara sa (1). Na slian nain se jednaina (2) moe pooptiti na:$ $ $ $ x A+ B $ e ( ) = e xA Q( x ) e xB .

(5)

$ Diferenciranjem po x dobija se diferencijalna jednaina za operatorsku funkciju Q( x ) koja se moe lako rijeiti, pod uslovom da vrijedi (3).$ Rjeenje. (a) Da bismo nali integralnu jednainu za operator U ( x ) diferencirat emo (4) po x: $ dU $ $ $$ $ $ $ $ $$ = Ae xA Be xA e xA Be xA A = A, U ( x ) . (6) dx

[

]

$ $ Rjeenje je fiksirano poetnim uslovom U ( 0) = B . Lako se moe provjeriti da je jednaini (6) ekvivalentna slijedea integralna jednaina Fredholmovog tipa:

$ $ $ $ U ( x ) = B + dy A, U ( y ) .0

x

[

]

(7)

Ova integralna jednaina se moe rijeiti iterativno, to se svodi na konstruisanje Neumannovog reda. Prva tri koraka daju:$ $ U ( 0) ( x ) = B ,4

(8)

$ $ $ $ $ $ $ U (1) ( x ) = B + dy A, U ( 0 ) ( y ) = B + A, B x , $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ U ( 2 ) ( x ) = B + dy A, U (1) ( y ) = B + A, B x + A, A, B0 0 x

x

[

]

[ ]

(9)1 2

[

]

[ ] [ [ ]]1 n!

x2 .

(10a)

Ova procedura se moe ponoviti n puta i dobija se: $ $ $ $ $ $ $ U ( n ) ( x ) = B + A, B x +L+ A, K , A, B

[ ]

[ [ [ ]]]

xn .

(10)

U limesu n to vodi na jednainu (1) ako stavimo da je x = 1 .$ (b) Diferencijalna jednaina za operator Q( x ) se dobija diferenciranjem (5) po parametru x: $ $ $ $ $ dQ xB $ $ $ $ x A+ B $ $$ $ $ $ A + B e ( ) = Ae xA Q( x ) e xB + e xA e + e xA Q( x ) Be xB , (11) dx $ $ $ dQ xB $ $ $ $ $$ $ $ Be xA Q( x ) e xB = e xA e + e xA Q( x ) Be xB . (12) dx

(

)

Mnoenjem (12) slijeva sa e xA i zdesna sa e xB , dobijamo diferencijalnu jednainu:$ dQ $ $ $ $ $$ = e xA Be xA Q QB . dx

$

$

(13)

Sada moemo iskoristiti operatorski identitet (1). Poto su viestruki komutatori koji $ ukljuuju operator A jednaki nuli prema uslovu (3), jednaina (11) postaje: $ dQ $ $ $ $$ $ $ $ $ $ $ = B x A, B Q QB = x A, B Q + B, Q . dx

(

[ ])]

[ ] [ ]

(14)

$ $ Ako operator Q komutira sa B ta jednaina se svodi na jednostavnu diferencijalnu jednainu: $ dQ $ $ $ $ (15) = x A, B Q gdje je Q( 0) = 1 . dx

[

Rjeenje ima oblik:

$ $ 1 x 2 A, B $ Q( x ) = e 2 [ ] .

(16)

Ovo rjeenje takoe opravdava pretpostavku koju smo napravili pri prelazu sa (14) na $ $ $ $ $ (15) poto operator Q komutira sa B ako je A, B , B = 0 , a to je zadovoljeno prema

[[ ] ]

uslovu (3). Ako stavimo x = 1 dobijamo rezultat (2). Napomena: Ako uslov (3) nije zadovoljen, onda (2) sadri beskonani red viestrukih komutatora. Opti rezultat ima oblik:* $ $ 1 1 $ $ 1 $ $ $ $ $ 2 $ $ $ $ $ $ $ e A e B = exp A + B + 2! A, B + 3! 1 A, B , B + 1 A, A, B + 4! A, A, B , B +L .(17) 2

{

[

] ( [[

] ] [ [

]])

[[ [ ]] ] }

Ovaj rezultat potie od matematiara Campbella, Bakera i Hausdorffa. Originalni radovi su: J. E. Campbell, Proc. Lond. Math. Soc. 29, 14 (1898); H. F. Baker, Proc. Lond. Math. Soc. Ser. 3, 24 (1904); F. Hausdorff, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-Naturwiss. Klasse 58, 19 (1906).5

*

PRIMJER 2.1 Simetrizirani tenzor energije-impulsa Teorema Noether vodi na jednainu neprekidnosti, tj. na zakone ouvanja u diferencijal-nom obliku. Tako dobijene gustoe i struje nisu jednoznano odreene jer je mogue dodati odreene lanove (etvero-dimenzionalne divergencije) a da se ne utie na jednainu neprekidnosti. Ilustrujmo to na primjeru kanonskog tenzora energijeimpulsa . Definiimo modifikovani tenzor pomou

T = + ,indeksa:

(1)

gdje je tenzor za koji jedino zahtjevamo da je antisimetrian u odnosu na prva dva

= . Ovaj uslov osigurava da zakon ouvanja ostaje nepromijenjen:

(2)

T = + = + 1 ( + ) = = 0 . (3) 2(4)

Pored toga, transformacija (1) ne mijenja ukupnu energiju i impuls: ~ P = d 3 x T0 = d 3 x( 0 + 0 00 + k 0 k ) = d 3 x 0 = P .

Ovdje je 00 jednako nuli na osnovu (2) i pretpostavili smo da 0 k opada dovoljno brzo na velikim rastojanjima da osigura da se povrinski integral koji se pojavljuje primjenom Gaussovog teorema moe zanemariti. Dodatna sloboda izbora, sadrana u jednaini (1), omoguava nam da konstruiemo modifikovani tenzor energije-impulsa T koji je simetrian u odnosu na permutaciju indeksa [J. Belinfante, Physica 6, 887 (1939)]: T = T . (5)

Ovako konstruisani tenzor energije-impulsa moe se iskoristiti da se nae jednostavnija formulacija zakona ouvanja ugaonog momenta. Definisaemo modifikovani tenzor ugaonog momenta ~ M = T x T x , (6) koji ne sadri dodatni lan dat jednainom (2.69). Tada moemo odmah izvesti slijedei ~ diferencijalni zakon ouvanja za M : ~ M = T x + g T T x g T = T T = 0 . (7) ~ Tenzor M treba da se slae sa kanonskim tenzorom momenta impulsa M do na

(

)

(

)

etvero-divergenciju: ~ M = M + , gdje mora biti antisimetrian po prva dva indeksa

(8) (9) (10)

= .Analogno kao za (4) pokazuje se da se veliina koja ostaje ouvana ne mijenja: ~ ~ M = d 3 x M 0 = d 3 x M 0 = M .

6

Konstruisaemo sada transformacionu funkciju . Uvrtavajui eksplicitne ~ izraze za M i M u (8) dobijamo

(

+ x + x = x x +

)

(

Izaberimo sada funkcije

L (I )rs s + . ( r ) (11) na takav nain da se izraz (11) pojednostavi:

)

= x x .

(12)

Na osnovu (2) slijedi da je uslov antisimetrije (9) zadovoljen. Tada jednaina (11) poprima oblik (13) ( )x ( )x (x x ) = L (I )rs s .

( r )

tj.

=

L (I )rs s . ( r )

(14)

Veliine I su antisimetrine po , : I = I . Relacija (14) omoguava da se odredi samo onaj dio koji je antisimetrian u odnosu na . Opte rjeenje (14) je:

=

1 L (I )rs s + a , 2 r

(

)

(15)

gdje je a proizvoljno i simetrino po , :a = a .

(16)

Ova sloboda se moe iskoristiti da se zadovolji poetni zahtjev (2). Biramo

=

gdje dodani lan oito zadovoljava uslov (16). Koristei (I )rs = (I )rs i mijenjajui mjesta prvih lanova na desnoj strani u (17), lako se moe provjeriti da je zadovoljena zahtjevana antisimetrija u odnosu na zamjenu :

L 1 (I )rs + L (I )rs + L (I )rs s , 2 ( r ) ( r ) ( r )

(17)

=

1 L (I )rs + L (I )rs + L (I )rs s = , 2 r r r

(

)

(

)

(

)

(18)

Dakle, iako kanonski tenzor energije-impulsa u optem sluaju (izuzetak je skalarno polje) nije simetrian, on se moe simetrizirati dodavanjem divergencije od (17). To ima dodatnu prednost jer vodi na modifikovani tenzor ugaonog momenta koji ima jednostavan oblik (6). Simetrizirani oblik tenzora energije-impulsa, T , se obino smatra "fundamentalnijim" nego kanonski tenzor . Napomenimo da je takoe mogue izvesti T direktno iz varijacionog principa.

7

VJEBA 2.2 Poincarova algebra za klasina polja Zadatak. Dokazati relacije (2.96a-c). Uputa: Koristiti Hamiltonove jednaine i jednainu neprekidnosti za gustou impulsa. Rjeenje. (a) Da bi se izraunala Poissonova zagrada

{P , P }

PZ

P P P P = d 3 x , s ( x ) s ( x ) s ( x ) s ( x )

(1)

moraju se nai funkcionalni izvodi etvero-impulsa & P = d 3 x ( x ) ( x ) g L ( x ), ( x ) .

[

r

r

0

(

)]

(2)

Za = i 0 , koristei parcijalnu integraciju, dobija se

Pi 3 = d x r (x) i r (x) = i s (x ) . s ( x ) s ( x ) P0 H & = = s (x ) . s ( x ) s (x )

(3)

U sluaju i = 0 , P se podudara sa hamiltonijanom H i Hamiltonova jednaina vodi na (4)

Jednaine (3) i (4) se mogu kombinovati. Na analogan nain se mogu nai izvodi konjugovanog polja, to daje P P = s ( x ) , = s (x ) . (5) s (x ) s ( x ) Poissonova zagrada (1) je tada

{P , P }

PZ

= d 3 x( s s s s ) .

(6)

Pri analizi ove jednaine moramo razlikovati prostorne i vremenske izvode. Ako su obadva indeksa prostorna, = i, = j , onda se (6) moe transformisati u povrinski lan, za koji, kao i obino, pretpostavljamo da iezava (tei nuli):

{P , P }i

j PZ

= d 3 x i ( s j s ) s i j s j ( s i s ) + s j i s = 0.

= d 3 x( i s j s i s j s )

[

]

(7)

U sluaju mijeanih indeksa, = i, = 0 , Poissonova zagrada se moe transformisati u izvod po vremenu od ouvane veliine Pi :

{Pi , P0 }PZ

& & & & = d 3 x s i s s i s = d 3 x s i s + s i s = 0 d 3 x s i s = 0 Pi = 0.

(

)

(

)

(8) Poto je P0 = H , rezultat (8) se upravo slae sa jednainom kretanja (2.27) za Pi . Dakle, mogli smo i preskoiti detalje izvoenja. (b)

{M

M P M P , P }PZ = d 3 x . s (x ) s (x ) s (x ) s (x )

(9)

Za sluaj prostornih indeksa, funkcionalni izvodi tenzora ugaonog momenta (2.70) se svode na8

M nl = x n l s + xl n s + r (I nl )rs , s M nl = x n l s xl n s + (I nl )sr r . s

(10a) (10b)

Za sluaj mijeanih indeksa prostora i vremena dobija se dodatni lan kada se izvri deriviranje po s :

r L L L L 3 d xL , ,& xn = xn k ( k ) xn = 0 ( 0 ) xn ( n ) , gdje smo iskoristili Euler-Lagrangeovu jednainu. To vodi na

(

)

(11)

M n 0 L = x n 0 s + x0 n s + r (I n 0 )rs + , s ( n s ) M n 0 = x n 0 s x0 n s + (I n 0 )sr r . s

(12a) (12b)

Da bi se nala Poissonova zagrada (9) treba analizirati etiri sluaja. Njihovo izvoenje zahtjeva viestruko koritenje parcijalne integracije. Da bismo skratili zapis izostaviemo indekse r , s . Sluaj 1. {M nl , Pi }PZ = d 3 x[( x n l + xl n + I nl ) i + i (x n l xl n + I nl )] (13) = d 3 x( l g in + n g il ) = g il Pn g in Pl . Sluaj 2. {M nl , P0 }PZ = d 3 x (x n l xl n + I nl )& + & (x n l xl n + I nl ) = 0 M nl = 0 .

[

]

(14)

Sluaj 3. Moglo bi se pomisliti da je Poissonova zagrada od M n 0 i P0 = H jednaka nuli, kao u (14), jer je vremenski izvod jednak nuli. Meutim, to nije sasvim tano zato to M n 0 sadri eksplicitnu vremensku zavisnost koja se mora uzeti u obzir prilikom deriviranja: (15) {M n 0 , P0 }PZ = d M n 0 M n 0 = M n 0 . x 0 x 0 dx0 Ovdje / x 0 djeluje samo na vremensku koordinatu koja je eksplicitno sadrana u M n0 , to vodi na

{M n0 , P0 }PZ

=

d 3 x ( n )x0 = d 3 x n = Pn . x 0

(16)

Isti rezultat se moe dobiti i eksplicitnim proraunom koristei (12). Sluaj 4. Za preostalu Poissonovu zagradu dobija se

9

& {M n 0 , Pi }PZ = d 3 x x n + x0 n + I n0 + Ln ( i ) + ( i )(xn& x0 n + I n0 ) ( ) L & i . = d 3 x 0 ( i )x n g in + n

(

)

(17)

Zadnji lan pod integralom moe se izraziti preko gustoe impulsa L i = in + g ni L . n

( )

(18)

Koristei taj rezultat i 0i = i , (17) postaje

{M

n0

& , Pi } PZ = d 3 x gin ( L ) 0 0i x n + ni .

[

]

(19)

Na osnovu jednaine neprekidnosti za struju impulsa 0 0i + k ki = 0 , zadnja dva lana u (19) mogu se kombinovati u jedan lan divergencije koji ne daje doprinos integralu:

{M

n0

, Pi } PZ = gin P0 + d 3 x ( k ki ) x n + ni = g in P0 + d 3 x k ( ki x n ) = g in P0 . (20)

[

]

Ovo je zadnji specijalni sluaj koji je bio neophodan za dokaz (2.96b). (c) Jednaina (2.96c) se moe dokazati na analogan nain. Npr., sluaj prostornih komponenti ugaonog momenta se analizira koristei (10). Nakon vie parcijalnih integracija, Poissonova zagrada postaje

{M

M ij M kl M ij M kl 3 , M kl }PZ = d 3 x ij = d x g ik ( x j l + xl j ) (21) + g il (x j k x k j ) + g jk ( xi l xl i ) + g jl ( xi k x k i ) + I ij I kl I ij I kl ,

[

]

to vodi na (2.96c) pod uslovom da vrijedi Lieva algebra (2.65) za infinitezimalne generatore Poincarove grupe. Mijeane kombinacije prostornih i vremenskih indeksa se mogu analizirati na slian nain.

10

3.1 Normiranje Fockovih stanja Zadatak. Pokazati da je faktor normiranja za stanja u Fockovom prostoru dat sa: 1 . C n1 ,n2 ,K = n1!n 2 !L

(1)

Rjeenje. Da pretpostavljeni izraz (1) zaista predstavlja traeni faktor normiranja dokazaemo matematikom indukcijom. Jednaina (1) je trivijalna za stanje bez estica (vakuum). Za jednoestino stanje odmah dobijamo

0,K,1i ,K 0,K,1i ,K = 0 ai ai+ 0 = 0 ai+ ai + 1 0 = 0 0 = 1 .

(2)

Pretpostaviemo da je (1) ispravan faktor normiranja za opte vieestino stanje n1 , n2 ,K i izraunati faktor normiranja za "slijedee vie" stanjen1 , K , ni + 1, K n1 , K , ni + 1, K = C n1Kni +1K parnjakom a i+ . Naredna komutacija daje2

n +1 n 0 K (a i ) i K (a1 ) 1 a1+

( )

n1

K a i+

( )

ni +1

K 0 . (3)

Zatim dodatni anihilacioni operator ai komutiramo nadesno dok se ne sretne sa svojim ai (ai+ ) in +1

= (ai+ a i + 1)(a i+ ) i = ai+ (ai+ ai + 1 + 1)(a i+ ) in

n 1

= L = (ai+ ) i (ni + 1 + a i+ ai ) .n

(4)

Zadnji lan u sumi ne daje doprinos poto se operator ai moe prenijeti dalje nadesno

da bi konano anihilirao vakuum ai 0 = 0 . Tako smo doli do uslova1 = (ni + 1) C n1Kni +1K2

0 K (ai ) i K (a1 ) 1 (a1+ ) K (ai+ ) K 0 = (ni + 1) C n1Kni +1K C n1Kni Kn n n1 ni

2

2

. (5)

Birajui fazni faktor + 1 , dobijamo da kvadratni korijen toga rezultata potvruje konstantu normiranja (1). PRIMJER 3.2 Sistem estica u meusobnoj interakciji: Hartree-Fockova aproksimacija Do sada smo se u ovom poglavlju uglavnom bavili sistemima slobodnih estica. Ovdje emo opisati sistem fermiona koji su meusobno povezani dvoestinom interakcijom. Hamiltonijan takvog sistema se moe izraziti pomou operatora polja kao H =H +H , (1)0 1

gdje je slobodni hamiltonijan H = d 3 x + ( x , t )D ( x , t ) .0

x

(2)

Tu je D x slobodni Schrdingerov operator (3.12) koji moe da sadri vanjski potencijal V ( x ) (npr. Coulombovo polje atomskog jezgra). Dvoestini hamiltonijan interakcije je dat sa (3) H 1 = 1 d 3 x d 3 x + ( x , t ) + ( x , t )U ( x , x ) ( x , t ) ( x , t ) . 2 Funkcija U ( x, x ) opisuje potencijal interakcije, za koji se pretpostavlja da je realan i simetrian, tj. U ( x, x ) = U ( x , x ) . (4) Kao primjer, naveemo meusobnu Coulombovu interakciju sistema elektrona11

U ( x , x ) =

e2 . x x

(5)

Faktor

u (3) je uveden da bi se izbjeglo dvostruko uraunavanje energije interakcije. Naimo sada jednainu kretanja za operator polja ( x, t ) . Njen opti oblik je dat Heisenbergovom jednainom ih ( x, t ) = ( x, t ), H . (6)1 2

0

[

]

Komutator se sastoji od dva dijela. Slino kao i u (3.60), slobodni doprinos je 1 ( x ), H = d 3 x (x ), + (x )D ( x ) = D (x ) .

[

0

]

[

x

]

x

(7)

Koristei jednakost (3.58a) moemo pisati interakcioni lan na takav nain da se moe primijeniti pravilo kvantiziranja (3.55): ( x ), H = 1 d 3 x d 3 x U ( x , x ) (x ), + ( x ) + ( x ) ( x ) ( x )

[

1

] 2 1 2 1 2

[ ] = d x d x U ( x , x ){ ( x ) ( x )[ ( x ), ( x ) (x )] + [ ( x ), (x ) (x )] ( x ) ( x )} = d x d x U ( x , x ){ ( x ) ( x )[{ ( x ), ( x )} ( x ) ( x ){ ( x ), ( x )}] + [{ ( x ), ( x )} ( x ) (x ){ ( x ), (x )}] (x ) ( x )} = d x d x U ( x , x )[ ( ) ( x-x ) ( x ) ( x ) ( ) ( x-x )] ( x ) ( x ) 3 3 + + + + 3 3 + + + + + +1 2 1 2 3 3 3

+

+

3

=

3 + d x[U ( x , x ) + U ( x, x )] (x) (x) (x) .

(8)

Koristei uslove simetrije (4) ovaj komutator se moe napisati kao (x ), H = 1 d 3 x + (x ) ( x )U ( x , x ) ( x ) .

[

1

] 2

(9) (10)

Jednaina kretanja za operator polja tako postaje ih 0 ( x ) D x ( x ) 1 d 3 x + ( x ) ( x )U ( x , x ) ( x ) = 0 . 2

Ovo je nelinearna parcijalna integro-diferencijalna jednaina. Komplikovana struktura ove jednaine onemoguava nalaenje njenog egzaktnog rjeenja, tako da se moramo posluiti aproksimativnim metodima. Osnovni problem je u injenici da objekti ( x, t ) nisu obine kompleksne funkcije (to bi omoguilo primjenu standardnih tehnika integriranja), ve komplikovani nekomutirajui operatori u Hilbertovom prostoru. Da bismo predstavili (10) u obliku koji je lake rijeiti, pokuaemo da zamijenimo operatore polja sa klasinim funkcijama. Bez gubitka optosti moemo razviti operator polja po kompletnoj ortonormiranoj bazi jednoestinih funkcija i ( x ) kao u (3.15): ( x, t ) = ai (t ) i ( x ) ,i

(11)

to vodi na standardne antikomutacione relacije (3.61). Izraen preko operatora stvaranja i unitavanja na hamiltonijan sada ima komplikovaniju strukturu. "Slobodni" dio je H = d a + (t )a (t ) , (12)0 ij i j i, j

1

Koristiemo skraeni zapis ( x , t ) ( x ) , pretpostavljajui da je vrijeme isto za sve operatore.12

gdje je d ij = d 3 x i* ( x )D x j ( x ) . Interakcioni lan je dat sa j H 1 = u ijkl ai+ (t )a + (t )a k (t )al (t ) ,i , j , k ,l

(13) (14) (15)

gdje je u ijkl = d 3 x d 3 x i* ( x ) * ( x )U ( x , x ) k ( x ) l ( x ) . j

Hamiltonijan interakcije (14) je takav davremenski razvoj Heisenbergovog operatora $ a i ( t ) nije vie dat jednostavnim faznim faktorom kao u (3.24). Formalno rjeenje Heisenbergove jednaine ai (t ) = e iHt / h ai (0 )e iHt / h

(16)

ukazuje na to da je operatorski karakter od ai sloeniji uslijed interakcije. Samo za slobodni hamiltonijan H sa dijagonalnom matricom veze d = , jednaina (16)0ij i ij

vodi na jednostavnu vremensku zavisnost (3.24). To se lako moe provjeriti koritenjem operatorskog identiteta (1), izvedenog u vjebi 1.3. Komutator H , ai koji ukljuuje

[

]

operator ai (t ) , koji u trenutku t = 0 startuje kao isto stanje jednoestinog operatora ponitavanja, u kasnijem trenucima e se razviti u komplikovanu superpoziciju operatora stvaranja i ponitavanja! Prema tome, nema razloga da oekujemo da se sistem sa interakcijom moe egzaktno opisati pomou jednog n-estinog vektora stanja kao to je

j totalni hamiltonijan sadri, meutim, proizvod lanova oblika ai a + al . Kao posljedica,

= n1 , n2 , K = a1+

( ) (a )n1

+ n2 2

L0 .

(17)

Izraeno u koordinatnom prostoru, ovo znai da se tana talasna funkcija sistema sa interakcijom ne moe u potpunosti opisati pomou jedne Slaterove determinante kao (3.68). Kao to je to ilustrovano na slici 3.1, tano osnovno stanje jednog viefermionskog sistema sadri mjeavinu pobuenja estica-upljina opisanu operatorima tipa ai+ a j i njihovih viih stepena. (a) (b) (c)

F

F

Slika 3.1. (a) Osnovno stanje sistema fermiona koji meusobno interaguju moe se aproksimativno opisati pomou jednoestinih nivoa i , koji su zauzeti do Femi nivoa F. Meutim, pravi vektori stanja sadre beskonanu mjeavinu doprinosa koji su13

tipa jedna-estica-jedna-upljina (b), dvije-estice-dvije-upljine (c) itd. Ovi doprinosi su zanemareni u Hartree-Fockovoj aproksimaciji. Da bismo doli do aproksimativnog opisa naeg sistema zanemarit emo ove mjeavine i pretpostaviti da se vremenski razvoj (16) moe zamijeniti jednostavnom relacijom a i (t ) = e i i t / h a i .

(18)

Nadalje, pretpostavit emo da se vektor stanja moe predstaviti pomou istog proizvoda kao u (17) (Slaterova determinanta). Cilj naeg prorauna e biti da izaberemo jednoestinu bazu i ( x ) u (11) na takav nain da greka uvedena ovim aproksimacijama bude to je mogue manja. U tu svrhu formiraemo matrine elemente jednaine kretanja (10) za operatore polja, uzete izmeu n-estinog vektora stanja i (n 1) -estinog vektora al : al+ O = 0 . (19)

$ Ovdje smo koristili simbolinu notaciju O = 0 za operatorsku jednainu (10). Naravno, jednaina (10) u principu treba da vrijedi uopte, a ne samo za specijalni sluaj matrinog elementa (19). Meutim, to je nemogue postii sa stanjima konstruisanim sa jednainom (17). Uslov (19) vodi na jednainu koja se moe iskoristiti da se odrede bazne funkcije i ( x ) . Da bismo izveli tu jednainu moramo izraunati matrine elemente za tri lana u (10). Za lan sa izvodom po vremenu smjena (18) vodi na

al+ ih 0 = i i ( x ) al+ ai .i

(20)

Poto se pretpostavlja da ima oblik (17), matrini element (20) e biti nula osim ako su indeksi l i i upareni. Za i = l dobijamo

al+ ih 0 = nl l l ( x ) .Za lan bez interakcije u (10) je

(21) (22)

al+ Dx (x ) = nl Dx l ( x ) .Interakcioni lan vodi na neto komplikovaniji rezultat al+ d 3 x + ( x ) ( x )U ( x , x ) ( x ) i , j ,k

= d 3 x U ( x , x ) i* ( x ) j ( x ) k ( x ) al+ ai+ a j a k .

(23)

Kao i ranije, indeksi se trebaju raspariti. To se moe ostvariti na dva razliita naina: al+ ai+ a j a k = lj ik a l+ ai+ al ai + lk ij al+ ai+ ai al = lj ik nl ni + li nl + lk ij nl ni li nl = nl ni ( lk ij lj ik ).

(24)

Uvrtavanjem (21), (22) i (24) u (19) i uklanjanjem zajednikog faktora nl , dobija se

D x l ( x ) + d 3 x ni i* ( x ) i ( x )U ( x , x ) l ( x ) i* ( x ) l ( x )U ( x , x ) i ( x ) = l l ( x ) .i

[

]

(25) Ovo je poznata Hartree-Fockova jednaina. Ona se moe napisati u neto kompaktnijoj formi preko matrice gustoe14

( x , x ) = ni i* ( x ) i ( x ) = * ( x, x )i

(26)

i funkcije gustoe koja je dijagonalni dio matrice gustoe

( x ) = ( x , x ) = ni i* ( x ) i ( x ) .i

(27)

Hartree-Fockova jednaina u toj notaciji ima oblikD x l ( x ) + d 3 x ( x )U ( x , x ) l ( x ) d 3 x ( x ,x )U ( x , x ) l ( x ) = l l ( x ) . (28)

Hartree-Fockova jednaina ima dva odvojena lana interakcije. Direktni lan izgleda upravo onako kako bismo oekivali: estica na orbitali l osjea potencijal koji potie od raspodjele gustoe ( x ) svih estica u sistemu (to ukljuuje i samointerakciju i = l ). Prema Fermi-Diracovoj statistici (antisimetrija u odnosu na zamjenu estica) pojavljuje se i jedan dodatni izmjenski lan sa negativnim predznakom. Taj lan ima komplikovaniju strukturu nego direktni lan. On je nelokalan i zavisi od vrijednosti l ( x ) za sve vrijednosti od x pa se ne moe interpretirati kao interakcija pod uticajem potencijala. Kao dodatni efekat zapazimo da izmjenski lan sadri dio koji ponitava samointerakciju. Za razliku od operatorske jednaine (10), relacija (28) je sistem spregnutih nelinearnih integro-diferencijalnih jednaina za obine kompleksne funkcije. Taj problem se moe uspjeno rijeiti koritenjem iterativnih numerikih metoda. Polazi se od skupa poetnih rjeenja l(0 ) ( x ) , koja su pogoena manje ili vie tano, i konstruiu gustoe. Zatim se (25) rjeava numerikom integracijom, to vodi na poboljano rjeenje l(1) ( x ) . Ta procedura se ponavlja dok se ne postigne konvergencija. Projektovanjem Hartree-Fockove jednaine (25) pomou (13) i (15), dobija se* d kl + ni (u kiil u kili ) = l d 3 x k ( x ) l ( x ) .i

d

3

* x k ( x )K , koristei

(29)

Analogno, projektovanje kompleksno konjugovane jednaine od (25) sa d 3 x K l ( x ) vodi na * * d lk + ni (u kiil u kili ) = k d 3 x k ( x ) l ( x ) .i

(30)

* Poto je d lk = d kl , oduzimanjem ovih dviju jednaina zakljuujemo da jednoestine talasne funkcije za razliite vlastite vrijednosti ostaju ortogonalne takoer u sistemu sa interakcijom, to nam doputa da nametnemo uslov

d

3

* x k ( x ) l ( x ) = kl .

(31)

Jednoestine energije i ne odgovaraju direktno opservablama. Totalna energija nestinog sistema slijedi iz (1)--(3), (17), i (24): 1 E = H = ni d ii + ni n j (u ijji u ijij ) . (32) 2 i i Totalna energija je prema tome jednaka sumi kinteike i potencijalne energije svih estica, pri emu se uzima u obzir interakcija izmjene. Takoer je mogue nai izraz za E preko jednoestinih energija i . Koristei (29) moemo eliminisati dijagonalne elemente d ii , tako da dobijamo15

1 (33) ni n j (uijji uijij ) . 2 i i Ovaj rezultat je sasvim oekivan: ukupna energija je zbir svih jednoestinih energija zauzetih orbitala. Energiju interakcije estica treba oduzeti od te vrijednosti. To je neophodno jer bi se inae energija interakcije uzela u obzir dva puta poto je ona sadrana u energiji obadva uesnika interakcije. Hartree-Fockov metod je jedan od kamena temeljaca vieestine teorije koji omoguava proraun razliitih osobina sistema u oblastima kao to su atomska, nuklearna i fizika vrstog stanja. Meutim, esto njegova preciznost nije dovoljna i potrebno je, umjesto proizvoda stanja (Slaterova determinanta) (17), koristiti smjenu koja uzima u obzir korelacije estica. Napomena: Izvoenje Hartree-Fockove jednaine koje polazi od jednaine kretanja za Heisenbergove operatore polja nije uobiajeno. Obino se koristi Schrdingerova slika i primjenjuje se varijacioni princip za minimizaciju energije, tj. Oekivane vrijednosti hamiltonijana, u odnosu na probne vektore stanja tipa (17): E = ni i H ij d 3 x i* ( x ) j ( x ) = 0 .

(

)

(34)

Variranje se vri u odnosu na jednoestine bazne orbitale l* ( x ) , a Lagrangeovi parametri ij su uvedeni da osiguraju ortonormiranost skupa i . Ovaj varijacioni princip vodi na istu Hartree-Fockovu jednainu (22)

16

VJEBA: 4.1 Komutacione relacije za operatore stvaranja i ponitavanjar p r Zadatak. Izvesti komutacione relacije za Fourierove koeficijente a p i a + u razvoju r r r r r r r p p (1) (4.27) operatora polja: (x , t ) = d 3 p a p u p (x , t ) + a + u * ( x , t ) .

r r Rjeenje. (a) Proraun a p , a p .

[

]

[

]

Poet emo uvrtavanjem (4.28a), uz definiciju (4.24), u komutator: r t r r t r [a r , a r ] = i 2 d 3 xd 3 x u *r (x, t ) (x, t ), u *r (x , t ) (x , t ) .p p

r r Funkcije u p (x , t ) su kompleksni brojevi i komutiraju sa operatorima polja r t r r t r r r u * ( x , t ) 0 ( x , t ), u * ( x , t ) 0 ( x , t ) p p

[

p

0

p

0

]

(2)

[

]

r r r r & & & r r r r r r r r &p = u * ( x , t )u * (x , t ) ( x , t ), (x , t ) u * ( x , t )u * ( x , t ) (x , t ), ( x , t ) p p p r r r r r r r r & r r r r &p &p &p u * ( x , t )u * (x , t ) ( x , t ), (x , t ) + u * ( x , t )u * (x , t ) ( x , t ), (x , t ) . p

(3)

[

]

Uvrtavajui komutacione relacije (4.5), dobijamo da su prvi i zadnji lan na desnoj strani jednaki nuli, a preostali komutatori se reduciraju na delta funkciju: r r r r r r r r &p &p r r a p , a p = i d 3 x u * ( x , t )u * ( x , t ) u * (x , t )u * ( x , t ) p p (4) r t r r r r r = i d 3 xu * (x , t ) 0 u * ( x , t ) = (u p , u * ). p p p

[[

]

[

]

Na osnovu relacije ortogonalnosti (4.26) ovaj izraz je jednak nuli, tako da je r r a p , a p = 0 .

]

(5)

Analogno se moe nai komutator za operatore stvaranja. Na osnovu (4.28) dovoljno je r r uzeti kompleksno konjugavane funkcije od u p (x , t ) . Rezultat je

] (b) Proraun [a+ r p

[a

r p , a + = 0 .

(6)

r p

r p , a + .

]

Kao i ranije, koristei (4.28) dobijamo t r r t r r r r r r p a p , a + = i 2 d 3 xd 3 x u * (x , t ) 0 ( x , t ), u p ( x , t ) 0 ( x , t ) . p

[

]

[

]

(7)

Uvrtavajui (4.24) nalazimo: r t r r t r r r u * ( x , t ) 0 ( x , t ), u p ( x , t ) 0 ( x , t ) p

[

] [ ]

r r r r & & & r r r r r r r &r = u * ( x , t )u p (x , t ) ( x , t ), (x , t ) u * ( x , t )u p ( x , t ) (x , t ), ( x , t ) (8) p p r r r r & r r r r r r r &p &p &r u * ( x , t )u p (x , t ) ( x , t ), (x , t ) + u * ( x , t )u p (x , t ) ( x , t ), (x , t ) . Ponovo su prvi i etvrti lan jednaki nuli, a preostali komutatori se svode na delta funkciju r t r r r r r r r p (9) a p , a + = i d 3 xu * ( x , t ) 0 u p ( x , t ) = (u p , u p ) . p r r r r p a p , a + = (3 ) ( p p ) . (10) Na osnovu (4.25) je onda:

[

]

[

]

Jednaine (5), (6) i (10) su komutacione relacije za operatore stvaranja i ponitavanja, koje smo ranije oznaili sa (4.17).

17

VJEBA: 4.2 Komutacione relacije za operator ugaonog momenta r Zadatak. (a) Pokazati da kvantizirani operator ugaonog momenta J polja sa spinom nula zadovoljava standardne komutacione relacije: J i , J j = i ijk J k . (1)

[

]

ijk je potpuno antisimetrini trodimenzionalni jedinini tenzor (Levi-Civita tenzor). (b) Pokaite da vrijede slijedee komutacione relacije za operatore impulsa i ugaonog momenta: Pi , J j = i ijk Pk . (2)

[

]

Rjeenje. (a) Opti izraz za tenzor ugaonog momenta izveli smo na osnovu teorema Noether u (2.70): L (xi j x j i ) r + (I ij )rs s . (3) M ij = d 3 x ( 0 r )

[

]

U sluaju skalarnog polja generatori Lorentzovih transformacija (I ij )rs nestaju i ostaje nam orbitalni ugaoni moment r r r r (4) J = L = d 3 x ( x ) x (x ) .

(

)

Predznak (koji ne slijedi iz Teorema Noether) je izabran u skladu sa standardnom definicijom ugaonog momenta. Predznaci od (4) i (2.72) se slau. Kvantiziranje se postie zamjenom i u (4). Meutim, treba imati na umu da ta zamjena uvodi proizvoljan izbor redoslijeda operatora u proizvodu operatora i . To bi se moglo izbjei simetriziranjem proizvoda operatora. Analizirajmo komutator r r r r (5) L , L = d 3 xd 3 x (x ) x (x ), (x ) x (x ) ,

[

i

j

]

[ (

)

i

(

)

j

]

koji emo izraunati za ista vremena x0 = x0 . Primijeniemo istovremene komutacione r r r r relacije (4.5): ( x , t ), ( x , t ) = i (3 ) ( x x ) . Komutator u (5) moe se predstaviti kao suma etiri lana. Dva su jednaka nuli zbog [ ( x ), ( x )] = ( x ), ( x ) = 0 . Ostaje nam r r r r Li , L j = d 3 xd 3 x (x ) x i (x ), (x ) x j (x) r r r r + (x) x j (x ), (x) x i (x ) (6) r r r r r r = d 3 xd 3 x (x ) x i i (3 ) (x x ) x j (x) r r r r r r + (x) x j ( i ) (3 ) (x x ) x i (x ) .

[

]

[

]

{ ( )[ ( )[ ]( { ( )( )

(

) (

](

}

)

[

]

)

)

}

Parcijalnom integracijom dobija se r r r r r r r r r r Li , L j = i d 3 xd 3 x (3) ( x x ) x i ( x ) x j ( x ) x j ( x ) x i ( x ) r r r r r r r r = i d 3 x (x ) x i x j (x ) (x ) x j x i (x ) . (7)

[

]

{ (

)(

{(

)

)

(

(

) )(

)

(

}

)

(

)

}

r r Rezultat (7) moe se povezati sa djelovanjem operatora na vektor koordinate x . To je ista algebra koja je odgovorna za komutator ugaonog momenta u obinoj kvantnoj mehanici: r r r r r r r r r r x i x j x j x i = x j i xi j = ijk x k . (8)

(

)(

) (

)(

)

(

)

(b) Ako koristimo operator impulsa (ponovo u nesimetriziranom obliku)

18

r r P = d 3 x ( x ) ( x ) ,

(9)

proraun se moe izvriti na analogan nain kao u (a). Komutator je r r Pi , L j = d 3 xd 3 x ( x ) i ( x ), ( x ) x j (x ) r r r r = d 3 xd 3 x (x ) i (x ), ( x ) x j ( x ) + ( x ) (x ), x j ( x ) i ( x ) r r r r = i d 3 x ( i (x )) x j ( x ) x j ( x ) i ( x ) r r r r = i d 3 x (x ) i x j x j i ( x ) = i ijk Pk .

[

]

{

{ [{ (

[

(

) (

)

](

(

) }

((

)

)

]

)

)

[

}

(

)

]

}(10)

Na kraju izvoenja dva puta smo izvrili parcijalnu integraciju i iskoristili identitet: r r r r i x j x j i = ijk k . (11)

(

) (

)

VJEBA: 4.3 Naboj stanja Zadatak. ta se deava sa nabojem stanja ako se na njega djeluje operatorom polja +? Rjeenje. Pretpostavit emo da je vlastito stanje operatora naboja Q sa vlastitom vrijednou q. elimo odrediti kako Q djeluje na stanje + . Koristei razvoje+ r p r r r Q = d 3 p a + a p bp bp

(

)

(1)

i

r r p p r r + = d 3 p a + u * + b p u p ,+ + r r r r r p r p r r p p p r r r r r r Q + = d 3 pd 3 p a + a p a + b p b p a + u * + a + a p b p b p b p b p u p .

(

)

(2)

za proizvod operatora Q i + dobijamo

[(

)

(

) ]

(3)

Ovaj izraz se moe povezati sa proizvodom + Q . Operatore stvaranja i ponitavanja r koji imaju indeks p treba komutirati nalijevo koristei (4.59): r r + r r r r r p p r p p r r p Q + = d 3 pd 3 p a + a + a p + a + (3 ) ( p p ) a + b p b p u * (4) r r + r r r r r r r r + b p a + a p b p b p b p + (3) ( p p )b p u p . p

(

[(

) ]

)

Delta funkcije ponite integrale, a preostali lanovi se odgovaraju operatoru + Q :

r r p p r r Q + = +Q + d 3 p a +u * + bp u p = +Q + + = + Q + 1 . Dakle, ako je vlastito stanje operatora naboja, tada je to i stanje + : Q + = + Q + 1 = (q + 1) + .

(

)

(

)

(5)

(

)

(6)

Operator polja + poveava naboj stanja za jedan. Slino se moe pokazati da operator smanjuje naboj za jedan. Taj rezultat se moe napisati kao [Q,(x )] = (x ) , [Q, (x )] = + +

(x ) .19

(7)

VJEBA: 4.4 Komutacione relacije za operatore polja i generatore Zadatak. Provjeriti ispravnost komutacionih relacija (4.81), (4.91) i (4.94) za naelektrisano skalarno kvantizirano polje. Rjeenje. Lagranijan slobodnog naelektrisanog Klein-Gordonovog polja je dat sa (4.54). Prostorno-vremenske komponente operatora impulsa, izraene preko operatora polja , + , = 0 + i + = 0 , su Pk = d 3 x k + + k + , r r P0 = d 3 x + + + + m 2 + .

( (

)

(1a) (1b)

)

Analogno, tenzor ugaonog momenta je M nl = d 3 x xl n + + n + x n l + + l + , r r M n 0 = d 3 x x0 n + + n + xn + + + + m2 + .

[ (

(

) ( ) (

)]

(2a) (2b)

)

Prema kanonskim pravilima kvantizacije (4.58), pri proraunu komutatora (x ) sa tim operatorima, doprinos e dati samo lanovi tipa , i + , + . Pojavljuju se delta

[ ] [

]

funkcije koje ponitavaju integraciju, tako da odmah dobijamo traene rezultate ( x ), P = i ,

[ ] [(x), P ] = i = i , [(x), M ] = i(x x ), [(x), M ] = i(x x ) = i(x x ) .k k

(3a) (3b) (3c) (3d) (4) (5a) (5b)

+

0

0

nl

l

n

n

l

+

n0

0

n

n

0

0

n

n

Operator naboja je dat sa (2.83): Q = i d 3 x ( x ) (x ) + ( x ) + ( x ) .

[

]

To vodi na komutacione relacije (vidjeti prethodnu vjebu) ( x ), Q = i d 3 x (x ), ( x ) ( x ) = ( x ) ,

[ ] [ ] [ (x ), Q] = i d x[ (x ), (x)] (x) = (x ) .+3

+

+

+

+

Izbor redoslijeda operatora (npr. normalno ureenje) ne utie na komutacione relacije (3) i (5).VJEBA: 4.5 Funkcija 1 ( x y ) za istovremene argumente Zadatak. Izraunati propagatorsku funkciju 1 ( x y ) za specijalni sluaj jednakih vremenskih argumenata x0 = y 0 , tj. za prostornu separaciju. Rjeenje. Za x0 = y 0 , (4.122) se pojednostavljuje r r r r r d 3 p cos( p ( x y )) i 1 (0, x y ) = , (1) r (2 )3 p2 + m2 r Izraziemo vektor p u sfernim koordinatama, uzimajui polarnu osu u smjeru r r r r = x y:20

r r i 1 (0, x y ) =

(2 )3

1

2

d d sin dp0 0 0

p 2 cos( pr cos ) p2 + m2

.

(2)

Integriranje po odmah daje faktor 2 . Integral po rijeit emo smjenom z = pr cos :r r i 1 (0, x y ) = =

(2 )2 0pr

1

p 2 dp p2 + m2

d sin cos( pr cos )0

(2 )2 0

1

1 1 p sin pr pr dz pr cos z = 2 2 r dp p 2 + m 2 . p2 + m2 0

p 2 dp

(3)

Nazivnik ovoga integrala se moe eliminisati pomou transformacije p = m sht ,dp = p 2 + m2 dt , to vodi na m r r i1 (0, x y ) = dt sht sin ( mr sht ) . 2 2 r 0

(4)

Ovo je integralna reprezentacija modifikovane Besselove funkcije (MacDonaldove funkcije) K 1 (mr ) . Dakle, na specijalni sluaj invarijantne funkcije je

r r i1 (0, x y ) =

r r m r r K1 (m x y ) . 2 x y2

(5)

4.6 Dodatak: funkcije U prethodnim odjeljcima konstruisali smo vie vanih funkcija, polazei od skalarnog polja. Sada emo predstaviti kompletan skup tih funkcija i izvesti njihove meusobne veze. Cijelu familiju funkcija oznait emo slovom , pri emu emo pojedine lanove razlikovati dodatnim indeksom. Tabela 4.1 sadri listu esto koritenih funkcija (u literaturi se moe nai vie razliitih konvencija koje se razlikuju u nazivima i u multiplikativnim faktorima). Tabela 4.1. Pregled invarijantnih komutacionih funkcija i propagatora za skalarno polje.

Simbol ( x ) (+ ) (x ) ( ) (x ) 1 (x ) F (x )

Naziv Pauli-Jordanova funkcija pozitivno frekventna funkcija negativno frekventna funkcija antikomutatorska funkcija Feynmanov propagator retardirani propagator advansirani propagator Dysonov propagator propagator glavne vrijednosti

Kontura CC (+ )C ( )1 2

Veza -

( + 1 ) 1 2 ( 1 )-

R (x )

C1 CFCR

1 2

D (x )(x )

A (x )

CACDC

( (x0 ) + 1 ) ( x0 ) ( x0 ) 1 2 ( ( x 0 ) 1 ) 1 ( ) 2 x0

21

Ove funkcije se mogu klasificirati prema rezultatu koji se dobija djelovanjem KleinGordonovog operatora na njih. Funkcije , (+ ) , ( ) , 1 zadovoljavaju homogenu KleinGordonovu jednainu

(

+ m2 ) ( x ) = 0 .

(4.140)

Za razliku od toga, funkcije F , R , A , D , su Greenove funkcije, tj one su rjeenja nehomogene Klein-Gordonove jednaine sa delta funkcijom kao izvornim lanom

(

+ m 2 ) F ( x ) = ( 4) ( x ) .

(4.141)

Ove dvije klase funkcija emo zvati komutacione funkcije i propagatorske funkcije.Komutacione funkcije U odjeljku 4.4 ve smo se upoznali sa najvanijom funkcijom toga tipa - PauliJordanovom funkcijom, koja je definisana kao komutator dva skalarna operatora polja: i ( x y ) = ( x ) , + ( y ) . (4.142) Trodimenzionalna Fourierova reprezentacija Pauli-Jordanove funkcije je (pri tome je r p0 = p p 2 + m2 ):( x ) = i ( x ) = d3p 1 ( eipx eipx ) , ( 2 ) 3 2 p

(4.143) (4.144)

rr d 3 p ipx sin p x 0 . 3 e p ( 2 ) etverodimenzionalna Fourierova reprezentacija je

d 4 p ipx ( p0 ) ( p 2 m2 ) , ( x ) = i 3 e ( 2 ) gdje ( p0 ) = sgn( p0 ) oznaava predznak p0 .Im p0 Im p0 Im p0

(4.145)

Re p0

C

C( )

C( +)

Re p0

Re p0

C1

( a)

( b)

( c)

Slika 4.4. Konture integriranja koje definiu komutacione funkcije

Postoji jo jedan nain da se predstavi ( x ) preko etverodomenzionalnog integrala u impulsnom prostoru. Obadva lana u (4.143) se mogu interpretirati kao rezidui integrala po dp0 koji imaju polove u takama p0 = p . Pri tome se treba integrirati po zatvorenoj konturi koja obuhvata obadva pola (slika 4.4a). Ovo se moe potvrditi koristei teorem rezidua za p0 integraciju:22

C

dp0 e ip0 x0 dp0 e ip0 x0 i i p x 0 i x e p 0 . e 2 2 = 2 2 = 2 i Re s p = + Re s p = = p p 0 0 2 p m 2 p0 p 2 p C

(

)

r r Poreenjem sa (4.143), uz zamjenu p p u drugom lanu, dobijamo

(4.146) (4.147)

(x ) =

d 4 p e ip x . (2 )4 p 2 m 2 C

Pauli-Jordanova funkcija sastoji se od dva dijela, jednog sa pozitivnom a drugog sa negativnom frekvencijom:

( x ) = (+ ) ( x ) + ( ) ( x ) .

(4.148)

Ti dijelovi odgovaraju, respektivno,prvom i drugom reziduu u integralu (4.136). Mogu se dobiti koristei konture C (+ ) i C ( ) koje zaokruuju jedan od polova kao to je to predstavljeno na slici 4.4b. Funkcije ( ) ( x ) se mogu predstaviti u invarijantnom obliku (4.147) koristei identitete (vidjeti (4.101)) 1 ( p0 m p ) = ( p0 ) p 2 m 2 , (4.149) 2 p

(

)

to vodi na

( ) (x ) = mi

(2 )

d4p3

e ip x ( p 0 ) ( p 2 m 2 ) .

(4.150)

Slijedei tip komutacionih funkcija moe se konstruisati zaokruujui dva pola u suprotnim smjerovima koristei konturu C1 koja ima oblik osmice (vidjeti sliku 4.4c): Trodimenzionalna Fourierova reprezentacija tako definisane funkcije 1 ( x ) je (esto se ta funkcija definie sa dodatnim faktorom i kao realna funkcija) r r d 4 p e ip x d3p 1 d 3 p ipx cos p x0 e ip x + e ip x = i e 1 (x ) = = i . 4 2 2 p (2 )3 2 p (2 )3 C1 (2 ) p m (4.152) Alternativna reprezentacija te funkcije slijedi iz (4.150):

1 ( x ) = (+ ) (x ) ( ) (x ) .

(4.151)

(

)

1 ( x ) = i

(2 )

d4p3

e ipx p 2 m 2 .

(

)

(4.153)

Mi smo se sreli sa funkcijom i1 ( x y ) u (4.121) kada smo je identificirali sa antikomutatorom operatora polja (x ) i + ( y ) . Na osnovu njihovih integralnih reprezentacija lako se moe pokazati da se komutacione funkcije pri transformacijama refleksije i kompleksne konjugacije mijenjaju na slijedei nain:

( ) ( x ) = (m ) ( x ) , ( x ) = ( x ) , 1 ( x ) = 1 (x ) , ( )* ( x ) = (m ) ( x ) , * ( x ) = ( x ) (realna), *1 ( x ) = 1 ( x ) (imaginarna). (4.154)

23

Propagatorske funkcije Sve funkcije koje smo razmotrili u prethodnom odjeljku zadovoljavaju homogenu Klein-Gordonovu jednainu. To slijedi iz etverodimenzionalnih Fourierovih reprezentacija (4.145), (4.150 i (4.153) zbog p 2 m 2 p 2 m 2 = 0 . S druge strane, Greenove funkcije se mogu konstruisati rjeavajui Fourierov integral (4.147) pomou otvorenih kontura integriranja koje se proteu u beskonanost. Primjenom operatora + m 2 , polovi se ponitavaju i ostaje samo integral od do . Poto je podintegralna funkcija exp( ip 0 x 0 ) ovo se svodi na delta funkciju. Najvaniji primjer ove klase funkcija je Feynmanov propagator (vidjeti odjeljak 4.5): i (x y ) = 0 T ( x ) + ( y ) 0 , (4.155)

(

)(

)

F

(

)

F (x ) =

CF

(2 )

d p4

4

e , p 2 m2Im p0 Im p0

ip x

(4.156)

gdje je Feynmanova kontura otvorena i protee se u beskonanost (slika 4.5a). Im p0

CF

CR

Re p0

Re p0

C

Re p0

CD

CA

( a)

( b)

( c)

Slika 4.5. Konture integriranja koje definiu propagatorske funkcije Poto je podintegralna funkcija holomorfna, integral po p0 se moe zatvoriti dodajui polukrunicu u beskonanosti. Tu je bitan predznak vremenske koordinate x 0 : kontura se zatvara u gornjoj (donjoj) poluravni ako je x 0 negativno (pozitivno). Na takav nain proirena kontura integriranja obuhvata samo jedan od dva pola. Ona se moe neprekidno deformisati bez promjene vrijednosti integrala, tako da je topoloki ekvivalentna ili konturi C (+ ) ili konturi C ( ) sa slike 4.4b. To oito vodi na relaciju F (x ) = ( x 0 )(+ ) ( x ) ( x 0 )( ) ( x ) .

(4.157)

Prema tome, Feynmanov propagator odgovara sumi pozitivno frekventne PauliJordanove funkcije za pozitivne vremenske argumente i negativno frekventne PauliJordanove funkcije za negativne vremenske argumente, kombinovane sa negativnim relativnim predznakom. Ova konstrukcija Feynmanovog propagatora osigurava korektnu primjenu uslova kauzalnosti pri prouavanju propagacije perturbacija. Ovdje se, prema Stckelbergu i Feynmanu, antiestice tretiraju kao estice sa negativnom frekvencijom (energijom) koje se kreu unazad u vremenu. Alternativne propagatorske funkcije se mogu definisati pomou otvorenih kontura integriranja C A i C R sa slike 4.5b, koje prolaze pored oba pola sa iste strane. Zatvaranje tih kontura vodi na Pauli-Jordanovu funkciju ( x ) sa slike 4.4a. Ako vremenska koordinata ima suprotan predznak, integral je jednak nuli zato to nijedan pol nije obuhvaen. Tako imamo24

R ( x ) = ( x0 )(x ) , A ( x ) = ( x 0 )( x ) .

(4.158a) (4.158b)

Ovo su retardirana i advansirana (avanzirana) Greenova funkcija Klein-Gordonove jednaine. Funkcija R ( A ) je razliita od nule samo za pozitivni (negativni) vremenski argument. Na osnovu (4.158) dobijamo da se Pauli-Jordanova funkcija ( x ) moe napisati kao razlika izmeu retardiranog i advansiranog propagatora:

( x ) = R ( x ) A ( x ) .

(4.159)

To je sasvim prirodno poto poreenjem slika 4.4a i 4.5b vidimo da spajanjem kontura C R i C A u beskonanosti, dobijamo konturu integriranja C. Radi kompletnosti izlaganja spomenimo da antikauzalni propagator (poznat takoer i kao Dysonov propagator) D ( x ) , koji okruuje polove na suprotan nain u odnosu na Feynmanov propagator (vidjeti sliku 4.5a): D ( x ) = ( x 0 )( ) ( x ) ( x 0 )(+ ) ( x ) .

(4.160)

Konano, propagator glavne vrijednosti (x ) dobija se ako se integriranje po p 0 vri po realnoj osi kroz polove u p 0 = p , kao to je to prikazano na slici 4.5c. Integriranje po tim singularitetima se interpretira kao glavna vrijednost integrala: aritmetika sredina dva integrala du kontura koje obilaze pol slijeva ili zdesna. To daje 1 (4.161) ( x ) = ( R ( x ) + A ( x )) . 2 Prema (4.158) propagator glavne vrijednosti je na jednostavan nain povezan sa PauliJordanovom funkcijom: 1 (4.162) (x ) = ( x 0 )(x ) , 2 Veza sa Feynmanovim propagatorom je data sa 1 (4.163) F (x ) = (x ) + 1 (x ) . 2 Slijedea korisna veza izmeu komutacionih i propagatorskih funkcija je

1 ( x ) = F ( x ) D ( x ) .

(4.164)

Sve funkcije se mogu izraziti preko dvije nezavisne bazne funkcije (zato to podintegralna funkcija Fourierovog integrala ima dva pola). Pogodan izbor tih baznih funkcija je ( x ) i 1 ( x ) . Zadnja kolona u tabeli 4.1 pokazuje nam kako se onda mogu nai druge funkcije. Oito je da sve propagatorske funkcije sadre proizvod funkcija ( x ) sa jedininom step funkcijom od vremena [ (x0 ) ili 1 ( x0 ) ]. Upravo ta step funkcija daje 2 doprinos delta funkciji kada se primijeni Klein-Gordonov operator. Npr. KleinGordonov operator djeluje na Feynmanov propagator na slijedei nain:

(

+ m2 ) F ( x ) = ( + m2 )

r 1 ( ( x0 ) ( x ) + 1 ( x ) ) = 02 2 + m2 1 ( x0 ) ( x ) 2 2 1 = ( 0 ( x0 ) ) ( x ) + 2 ( x0 ) ( 0 ( x ) ) + ( x0 ) ( + m 2 ) ( x ) . 2

(

)

(4.165)

25

Doprinos zadnjeg lana jednak je nuli jer su 1 ( x ) i ( x ) rjeenja homogene KleinGordonove jednaine. Prvi lan, koji sadri izvod delta funkcije, ekvivalentan je ( x0 )( 0 ( x )) . Ovaj izraz treba posmatrati kao pooptenu funkciju i on ima smisla samo kada se mnoi sa (dovoljno glatkom) test funkcijom f (x0 ) i integrira po x0 . Tada, primjenom parcijalne integracije dobijamo

dx ( (x ))(x ) f (x ) = dx (x )( (x )) f (x ) dx (x )(x )( f )0 0 0 0 0 0

= 0 ( x ) x0 =0

r f (0, x ) 0 f x0 =0 = 0 ( x ) x0 =0 f ,

0

0

0

0

0

(4.166)

r jer je (0, x ) = 0 prema (4.104). Primjenom drugog graninog uslova [vidjeti (4.105)] r 0 (x ) x0 =0 = (3 ) (x ) jednaina (4.165) postaje

(

+ m 2 ) F ( x ) = ( 4) ( x ) ,

(4.167)

kao to smo i oekivali. Funkcije ( x ) i 1 ( x ) , pa prema tome i cijela familija funkcija, su izraene preko Fourierovih integrala koji se mogu predstaviti u eksplicitnom obliku. Naalost, odgovarajui izrazi u prostoru koordinata su glomazni i nisu pogodni za praktine proraune. Obino je mnogo pogodnije raditi u impulsnom prostoru. Bez obzira na to, naveemo izraze za te funkcije u prostoru koordinata: 1 m (x ) = ( x0 ) x 2 + (x0 ) x 2 J 1 m x 2 , (4.168a) 2 2 4 x

( )

( )x

(

)

i1 ( x ) =

m 4 x2

x 2 N1 m x 2 +

( )

(

)

m 22 2

x 2 K1 m x 2 .

(

)

(

)

(4.168b)

Ovi izrazi sadre Besselovu funkciju J 1 , Neumannovu funkciju N1 i MacDonaldovu funkciju K1 (to je Hankelova funkcija imaginarnog argumenta; sve funkcije su prvog reda). Za velike vrijednosti argumenta z funkcije J 1 (z ) i N1 ( z ) su oscilatorne, dok je K 1 ( z ) eksponencijalno opadajua. Na osnovu (4.168) zakljuujemo da je PauliJordanova funkcija ( x ) jednaka nuli za rastojanja prostornog tipa ( x 2 < 0 ). U odjeljku 4.4 ova osobina garantovala je uslov mikrokauzalnosti. Za razliku od toga, funkcija 1 (x ) , a takoer i Feynmanov propagator F (x ) se proteu u podruje prostornog tipa, opadajui na skali Comptonove talasne duine 1 / m . Sve funkcije su singularne na svjetlosnom konusu. Uzimajui u obzir singularnost Besselovih funkcija sa argumentom nula, dobijamo funkcionalnu zavisnost u blizini svjetlosnog konusa:

(x )

m2 1 (x0 ) x 2 + (x0 ) x 2 , 2 8

( )

( )

(4.169a) (4.169b)

m x2 m2 1 . i 1 ( x ) + ln 2 2x 2 4 2

etiri razliita tipa singularnosti se pojavljuju na svjetlosnom konusu: x 2 , x 2 , 1 / x 2 i ln x 2 .

( ) ( )

26

VJEBA 5.1 Simetrizirani Diracov lagranijan Zadatak. Pokazati da simetrizirani lagranijan (5.28) vodi na iste jednaine kretanja i iste zakone ouvanja kao nesimetrizirani izraz (5.3). Rjeenje. Poto su L i L jednaki do na etverodivergenciju: i (1) L = L + L , L = ( ) , 2 i bez direktnog izvoenja vidimo da (5.28) vodi na poznatu Diracovu jednainu. Razlika lagranijana L doprinosi samo povrinskom lanu u integralu akcije i ne pojavljuje se u Euler-Lagrangeovim jednainama. Da bismo analizirali zakone ouvanja trebaju nam kanonski konjugovana polja: L i + L i = = +. (2) = i + = + & & 2 2

Tenzor energije-impulsa jet t i i = + + + g 0 L = + g 0 m , 0 2 2

(3)

tako da je, na osnovu (5.14),i 2 Dakle, nema razlika u energiji polja

0 = 0 0 = ( + ) + i 2

i g 0 ( ) . 2

(4)

(5) r i 3 + r = d x ( ) = 0 . 2 Na isti nain se dobija da se prostorne komponente impulsa (n = 1,2,3) razlikuju samo za povrinski lan koji tei nuli i (6) Pn = d 3 x n ( + ) = 0 . 2 Poopteni tenzor ugaonog momenta je M = L + S , (7) gdje je Razlika tenzora prostornog orbitalnog ugaonog momenta ( = n, = l ) je opet jednaka nuli: i i Lnl = d 3 x l ( + ) xn + n ( + ) xl 2 2 (9) i i + i i + 3 + + = d x l ( xn ) + gln + n ( xl ) g nl = 0 . 2 2 2 2 Meutim, mijeane prostorno-vremenske komponente su razliite od nule: L = d 3 x ( x x ) = L + d 3 x ( 0 x 0 x ) = L + L . 0 0

P0 = d 3 x 00 = d 3 x 0 ( + ) + 0 ( 0 ) + ( )i 2

i r 2

r

(8)

27

i k 3 + d x l x 0 + k xl 2 (10) i i k k 3 3 = d x k xl g kl = d x l 0 . 2 2 Da bismo izraunali doprinos spina S u (7), treba nam hermitski konjugovana jednaina od (5.18): 1 + (11) + ( x ) = + ( x ) + + (x )I , 2 koja, prema (5.20), vodi na 1 + + (12) S = d 3 x( I + + I + ) = d 3 x( + + + ). 4 Prostorne komponente zadovoljavaju jednainu

L0l = d 3 x( 0l x0 00 xl ) =

[ (

)

(

) ]

[ (

)

]

+ nl

i i + + = ( n l l n ) = l+ n n l+ = nl . 2 2

+

(

)

(13)

to vodi na1 3 + d x nl = S nl . 2 S druge strane, mijeane komponente su identiki jednake nuli jer je S nl =

(14)

0+l = ( 0 l l 0 ) = 0l , 2 tako da je S 0 l = S 0 l + S 0 l = 0 .

i

+

(15)

(16)

Prema tome, dobili smo da se razlike za spinski i orbitalni ugaoni moment meusobno ponitavaju: 1 i (17) M 0l = L0l + S 0l = d 3 x l d 3 x + i 0 l = 0 . 2 2VJEBA 5.2 Simetrizirani operator struje Zadatak. Pokazati da se normalno ureeni operator struje Diracovog polja moe takoer dobiti simetrizirajui proizvod operatora polja prema: = e : := e , . (1) j 2 r Rjeenje. Uvrstit emo razvoj po ravnim talasima (5.3.1) operatora polja (x, t ) u (1):

[

]

e e e d 3 p d 3 p , = ( ) = 2 2 s ,s (2 )3 / 2 (2 )3 / 2 2

[

]

(

)

m2

u u b + b bb + e i ( p p )x + v v d d + d + d e i ( p p )x

[

(

+ u v b + d + d + b + e i ( p+ p ) x + v u d b bd e i ( p+ p )x .28

(

)

)

(

(

)

p p

)

]

(2)

Pri tome je E p = p i uveli smo skraene oznake b b ( p, s ) , b b( p , s ) itd. Na

osnovu antikomutacionih relacija (5.3.3) jednaina (2) se svodi nae d 3 p d 3 p , = e 2 (2 )3 / 2 (2 )3 / 2 s , s

[

]

m2

p p

[u

u b + be i ( p p ) x v v d + d e i ( p p ) x

+ u v b + d + e i ( p+ p ) x + v u d be i ( p+ p ) x + R .

]

(3)

Operatori stvaranja stoje lijevo od operatora ponitavanja, tj. prva etiri lana u (3) $ $ predstavljaju razvoj po ravnim talasima normalno ureenog operatora struje e: : . Ostatak u jednaini (3)

r r r r R = u u (3) ( p p ) ss + v v (3) ( p p ) ss

(4)

je jednak nuli, to se moe pokazati ako se izvri sumiranje po spinskim indeksima u (3). Koristei relaciju kompletnosti za jedinine spinore u i v, dobijamo e s

(2 )3 p

d3p m

(u

u v v ) = e

(2 )3 p (2 )3 pd3p m

d3p m

( ) [u ( p, s )u ( p, s ) v ( p, s )v ( p, s )] s 1444444 24444444 4 3 =

= e

Tr ( ) = 0 ,

(5)

jer je trag gama matrica jednak nuli. Time smo provjerili da su dva oblika operatora struje data jednainom (1) ekvivalentna.VJEBA 5.3 Operator impulsar Zadatak. Izraziti operator impulsa P Diracovog polja pomou ravnih talasa i operatora stvaranja i ponitavanja.

Rjeenje. Uvrtavanjem razvoja po ravnim talasima (5.3.1) u izraz za operator impulsa r $ P dobija se

r r d 3 p d 3 p m2 + P = i d 3 x + (x ) ( x ) = i d 3 x b ( p, s )u + ( p, s )e ip x 3/ 2 3/ 2 (2 ) (2 ) s ,s p p (1) r + d ( p, s )v + ( p, s )e ip x i p b( p , s )u ( p , s )e ip x d + ( p , s )v( p , s )e ip x .

[

] [

]

Nakon mnoenja ovo se svodi na r r d 3 p d 3 p m p + 3 P = d x b ( p, s )b( p , s )u + ( p, s )u( p, s)e i ( p p)x 3 (2 ) s ,s p p

[

b + ( p, s )d + ( p , s )u + ( p, s )v( p , s )e i ( p + p ) x + d ( p, s )b( p , s )v + ( p, s )u ( p , s )e i ( p + p ) x (2) d ( p, s )d + ( p , s )v + ( p, s )v( p , s )e i ( p p ) x .

]

Integral po d 3 x daje delta funkciju koja ponitava integral po d 3 p tako da je

29

r r m p + 2 i t 3 P = d p b ( p, s )b( p, s )u + ( p, s )u ( p, s ) + b + ( p, s )d + ( p, s )u + ( p, s )v( p, s )e ps , s

p

[

2 i t d ( p, s )b( p, s )v + ( p, s )u ( p, s )e p d ( p, s )d + ( p, s )v + ( p, s )v( p, s ) .

]

(3)

Koristei relaciju ortogonalnosti za jedinine spinore u i v: u + ( p, s ) u ( p, s ) = v + ( p, s ) v ( p , s ) =

p

m + + u ( p, s ) v ( p, s ) = v ( p, s ) v ( p, s ) = 0.

ss ,

(4)

dobijamo: r r p m p + 3 ss P = d p b ( p, s )b( p, s ) d ( p, s )d + ( p, s ) m s , s p r = d 3 p p b + ( p, s )b( p, s ) + d + ( p, s )d ( p, s ) .

[

]

[

]

(5)

s

Pri tome je koritena osobina simetrije da su svi smjerovi u prostoru ravnopravni tako r da je antikomutatorski lan sa d 3 p p jednak nuli.VJEBA 5.4 Stanja spiralnosti Zadatak. Izvesti izraz za operator projekcije spina estice na smjer njenog kretanja. Koristiti razvoj operatora polja po stanjima spiralnosti (heliciteta). Rjeenje. Jedinini spinori u ( p, s ) i v( p, s ) koji se pojavljuju u razvoju (5.3.1) su vlastite funkcije operatora 5 s : /

5 s u ( p , s ) = u ( p , s ) , 5 s v ( p , s ) = v ( p , s ) . / /

(1a,b)

Tu je s proizvoljni jedinini vektor prostornog tipa, s 2 = 1 , koji je ortogonalan na vektor etveroimpulsa p, tj. p s = 0 [vidjeti relacije (1.5.23) i (1.5.27)]. U sistemu r r mirovanja estice s ima samo prostorne komponente, tj. s = (0, s ) , pri emu s definie r r smjer spina. U optem sluaju p 0 spinori u (1) nisu vlastite funkcije operatora spina r r = 5 0 . Vlastita stanja spiralnosti predstavljaju jedan vaan specijalni sluaj. Ona su definisana tako da je vektor spina u sistemu mirovanja usmjeren u smjeru impulsa, r r r s = p / p . Primjena Lorentzovog busta, koji prevodi sistem mirovanja u sistem u r r kojem estica ima impuls p , prevodi s u etverovektor ije komponente su [vidjeti (1.5.31)] r r p Ep p (2) sp = , r . m m p

(

)

Ovaj etverovektor spiralnosti zadovoljava relaciju r r p p 5s = r / , / p m r r 2 r to se moe lako provjeriti koristei ( p ) = p 2 :

(3)

30

r r p p r r / = 5 0 p m

r r 1 r r 2 p 1 p Ep r r 2 r 5 0 r ( p ) r ( E p 0 p ) = 5 ( 0 ) r p m p m pm r r p r p Ep r r = 5 0 r / = 5 ( 0 s0 s ) = 5 s . m p m

(4)

Jedinini spinori u i v su vlastita stanja od p : / ( p m)u( p, s ) = 0 , ( p + m)v( p, s ) = 0 . / / Koristei (3) i (5) na osnovu (1) dobijamo r r r p r p S r u ( p , s ) = u ( p , s ) , S r v ( p, s ) = m v ( p , s ) . p p

(5)

(6a,b)

Ova jednostavna relacija se moe primijeniti samo na stanja spiralnosti i ne vrijedi za proizvoljne etverovektore spina s. Operator projekcije spina estice na smjer kretanja ima jednostavan oblik ako se izrazi preko stanja spiralnosti. Analogno izvoenjima za operator impulsa, ovdje dobijamo: r r p 1 1 m r r r $ $ $ S r = d 3 x + ( x , t ) ( x , t ) = d 3 p p 2 s , s p 2 r r r r + $ ( p, s )b( p, s)u + ( p, s ) p u( p, s) + d ( p, s ) d + ( p, s) v + ( p, s ) p v( p, s) +L (7) $ $ $ b r r p p 1 $ $ $ $ $ $ $ $ = d 3 p b + ( p, s)b( p, s) b + ( p, s)b( p, s) d ( p, s) d + ( p, s) + d ( p, s) d + ( p, s) . 2 Oduzimajui fiktivni "totalni spin Diracovog mora", dobijamo da je operator opservable projekcije spina r r p 1 3 S r = d p b + ( p , s ) b ( p , s ) + d + ( p , s ) d ( p , s ) b + ( p , s ) b ( p , s ) d + ( p , s ) d ( p , s ) . p 2

[

]

(8) $ + ( p, s)b( p, s) i d + ( p, s) d ( p, s) igraju ulogu operatora broja estica i $ $ $ Operatori b antiestica sa pozitivnom (negativnom) spiralnou. Redefinicija antiestinih spinora uzima u obzir injenicu da nedostajua estica sa negativnom spiralnou odgovara antiestici sa pozitivnom spiralnou i vice versa.VJEBA 5.5 Opte komutacione relacije i mikrokauzalnost

Zadatak. (a) Izraunati antikomutatore operatora slobodnog Diracovog polja ( x ) i ( y ) za proizvoljne prostorno-vremenske take x i y.(b) Pokazati da operatori koji opisuju opservable zadovoljavaju uslov mikrokauzalnosti, tj. da komutiraju za rastojanja prostornog tipa. (c) ta e biti sa mikrokauzalnou ako se pokuaju primijeniti bozonska pravila kvantiziranja na Diracovo polje? Rjeenje. (a) Antikomutator polja (x ) i ( y ) za proizvoljna vremena x0 i y 0 , izraen preko razvoja po ravnim talasima, je31

(2 )3 / 2 (2 )3 / 2 p p s ,s {( p , s )u ( p , s )e ip x + d + ( p , s )v ( p , s )e ip x , b + ( p, s )u ( p, s )e ip y + d ( p, s )v ( p, s )e ip y }. b(1) Doprinos daju samo komutatori koji ukljuuju b, b + i d + , d , tako da je:

{

( x ), ( y )} =

d 3 p

d3p

m2

{ } { ip ( x y )

}

{

( x ), ( y )} =

(2 )

d3p m3

p

[u ( p, s )u ( p, s )es

+ v ( p, s )v ( p, s )e ip( x y ) .

]

(2)

Sumiranje po jedininim spinorima daje projekcione operatore (5.87), tako da je

{

d3p 1 ( x ), ( y ) = ( p + m ) e ip( x y ) ( p + m ) e ip( x y ) / 3 (2 ) 2 p /

}

[

](3)

d3p 1 = (i + m ) e ip( x y ) e ip( x y ) = (i + m ) i ( x y ) iS ( x y ) . / / 3 2 p (2 )

[

]

( x y ) oznaava Lorentz invarijantnu Pauli-Jordanovu funkciju koju smo uveli u odjeljku 4.4. Ona je jednaka nuli izvan svjetlosnog konusa, tj. za intervale prostornog tipa. Specijalni sluaj relacije (3) su istovremena pravila kvantiziranja, to se moe pokazati koristei (4.104), (4.106) i (4.107): r r ( x ), ( y ) = ( 0 0 i i + i m ) ( x y ) x = y = 0 (3) ( x y ) . (4)

{

}

x0 = y 0

0

0

Mnoenjem sa dobijamo da se ova jednaina podudara sa (5.29a). Preostali antikomutatori su jednaki nuli zato to ukljuuju pogrenu kombinaciju operatora stvaranja i ponitavanja: { (x ), ( y )} = (x ), ( y ) = 0 . (5)0

{

}

(b) Opservable se konstruiu kao bilinearne kombinacije operatora polja O( x ) = ( x )O ( x ) ( x ) ,

(6)

gdje je O ( x ) Diracova matrica kompleksnih brojeva (koja moe da sadri i diferenci jalne operatore). Kao primjer naveemo Diracov operator struje za koji je O = e .

Komutator dva operatora koji opisuju opservable, za dvije razliite take prostoravremena, je: (7) O(x ), O( y ) = O ( x )O ( y ) ( x ) ( x ), ( y ) ( y ) .

[

]

Koristei identitete A, BC = A, B C + B A, C i A, BC = A, B C B A, C , komutator u (7) moemo prepisati kao (x ) (x ), ( y ) ( y ) = (x ) (x ), ( y ) ( y ) ( y ){ (x ), ( y )} (8) + (x ), ( y ) ( y ) ( y ) (x ), ( y ) (x ) . Koristei (3) i (5) dobijamo da je (x ) (x ), ( y ) ( y ) = iS ( x y ) (x ) ( y ) iS ( y x ) ( y ) ( x ) . (9)

[

] [ ][{ [{

[

[ ] [} }

] { }{

]

{ }}]

[

]

]

[

]

Poto za ( x y ) , pa, prema tome, i za S (x y ) znamo da su jednaki nuli za intervale prostornog tipa, to je uslov mikrokauzalnosti zadovoljen:32

[O(x ), O( y )] = 0

za

( x y )2 < 0 .

(10)

(c) Za razliku od Klein-Gordonovog polja (vidjeti odjeljak 4.4) uslov mikrokauzalnosti se ne moe koristiti da se izvede zakljuak o pogrenom receptu kvantiziranja. Ako ponovimo izvoenja iz dijela (a), ali za komutatore umjesto antikomutatora, dobijamo

[

d 3 p d 3 p ( x ), ( y ) = (2 )3 / 2 (2 )3 / 2

]

m

+ d + ( p , s ), d ( p, s ) v ( p , s )v ( p, s )e ip x ip y + mijeani lanovi . Bozonski uslov kvantizacije imao bi oblik r r b( p , s ), b + ( p, s ) = d + ( p , s ), d ( p, s ) = (3 ) ( p p ) ss .

[

]

s , s

p p

{[b( p, s), b

+

( p, s )]u ( p , s )u ( p, s )e ipx +ip y

}

(11) (12)

[

] [

]

Dakle, relativni predznak lanova u (11) ostaje nepromijenjen i komutator se ponovo reducira na (2). Tako smo nali da kada koristimo bozonska pravila kvantiziranja komutator polja (x ), ( y ) = iS (x y ) (13)

[

]

postaje nula za intervale prostornog tipa na isti nain kao to smo to vidjeli pri primjeni antikomutatora (3) kada smo koristili kvantizaciju za fermione. Izvoenje teorema o vezi spina i statistike za Diracova polja se prema tome moe bazirati samo na uslovu da je energija pozitivna, kao to smo to objasnili u odjeljku 5.3.

33

VJEBA 6.1 Lagranijan Maxwellovog polja Zadatak. Izvesti najoptiji oblik lagranijana bezmasenog polja sa spinom 1, koji vodi na jednaine polja (6.11). Pokazati da se dobijeni rezultat slae sa L0 = 1 F F j A do na etverodivergenciju. 4 Rjeenje. Lagranijan L je Lorentzov skalar koji treba konstruisati pomou vektora polja A i njihovih izvoda. Poto pretpostavljamo da su jednaine za polja A linearne, L treba da sadri lanove drugog reda. Pretpostavit emo slijedei opti oblik:L = A

(

)

2

+ A ( A ) + A ( A ) + A A + j A .

(

Izostavljen je lan tipa

( A ) A

)

(

)

(1)

zato to se slae sa prvim lanom do na

divergenciju. Interakcija sa strujom j moe se odrediti na osnovu jednaine polja (6.11). Variranjem akcije u odnosu na polje A vodi na Euler-Lagrangeovu jednainu

L L = 0. A A

(

)

(2)

Uvrtavanjem izvoda L = 2 A + j , A

(3) (4)

L = 2 g ( A ) + 2 A + 2 A , A

(

)

u (2) dobijamo

A + 1 j = g ( A ) + A + A = ( + ) ( A ) + 2Zahtjevamo da se ova jednaina slae sa jednainom poljaA A = j .

[

]

A .

(5) (6)

(

)

To se moe postii izborom = 0 , = / 2 , + = / 2 . Naravno, na taj nain L je odreen samo do na konstantni faktor . Vrijednost se moe fiksirati koristei interakcioni lan. Potencijalna energija naboja q pod uticajem potencijala A0 je V = qA0 i ulazi u lagranijan sa negativnim predznakom ( L = T V ) . Na osnovu toga zakljuujemo da je = 1 . Opti izraz za lagranijan je tadaL = A

(

)

2

1 2

( A )( A ) + (

1 2

) A ( A ) j A .

(

)

(7)

Poreenjem sa izrazom dobijamo

L = LDirac + Le.m. + Lint = i m 1 F F e A 4L L0 = A ( A ) A ( A ) ,

(

)

(8) (9)

[(

)

(

)

]

gdje je proizvoljni parametar. Poto se lan u uglastim zagradama moe napisati kao [ ] = ( A A ) A A ( A A ) A A = ( A A A A ) (10) to je etverodivergencija koja ne doprinosi integralu akcije, to se, bez gubitka na optosti, moe izabrati da je = 0 .34

VJEBA 6.2 Interakcija Maxwellovog i Diracovog polja Zadatak. Kvantna elektrodinamika opisuje interakciju Maxwellovog polja i elektrinog naboja Diracovog polja preko Diracove struje j = e . Izvesti odgovarajuu

klasinu jednainu kretanja. Pokazati da je etverovektor energije-impulsa ukupnog sistema gauge invarijantan i da su energija i impuls ouvani. Rjeenje. Lagranijan sistema je

L = LDirac + Le.m. + Lint = i m 1 F F e A . 4Odatle dobijamo slijedei sistem spregnutih jednaina kretanja za polja , i A :

(

)

(1)

[ i(

+ ieA m = 0 ,

i ieA + m = 0 ,A ( A) = e .

[ (

) ]

(2a) (2b) (2c)

s

) ]

Lagranijan (1) i jednaine polja (2) su invarijantne u odnosu na lokalne gauge transformacije (3a) A ( x ) = A ( x ) + ( x ) ,

( x ) = exp[ ie ( x ) ] ( x ) , ( x ) = exp[ ie( x ) ] ( x ) .

(3b)

To je ostvareno pomou recepta minimalne veze, zamjenom parcijalnih izvoda sa "gauge-kovarijantnim" izvodima: D = + ieA . Kanonski tenzor energijeimpulsa koji se dobija na osnovu (1) je = + e.m. + int , Dirac gdje je = i g ( i m) , Dirac e.m. = F A + g int = g e A .1 4

(4) (5a) (5b) (5c) (6a) (6b) (6c)

F F ,

Primjenom gauge transformacije (3) dobijamo slijedee dodatne lanove = e g e , Dirac e.m. = F , int = g e .

Suma ovih doprinosa se svodi na = e F = (e + F ) ( F ) = ( F ) ,

(7)

gdje je u zadnjem koraku koriena jednaina (2c). etverovektor energije-impulsa je gauge invarijantan jer se njegova promjena redukuje na povrinski integral: P = d 3 x 0 = d 3 x ( F 0 ) = d 3 xi ( E i ) = 0 . (8)

Koristei jednaine polja (2), etverodivergenciju od doprinosa tenzoru jaine elektromagnetnog polja moemo pisati kao35

Dirac = ( e ) A ,

(9a) (9b) (9c)

e.m. = (e )( A ) , int = (e ) A + (e )( A ) .

Ouvanje energije-impulsa u kombinovanom sistemu slijedi na osnovu sume tri doprinosa + e.m. + int = = 0 . Dirac

(10)

To takoer vrijedi za simetrizirani tenzor energije-impulsa T .

36

VJEBA 7.1 Gustoa energije fotonskog polja u Lorentzovom gaugeu Zadatak. Pokazati da su izrazi (7.17) i (7.18) za gustou energije fotonskog polja u Lorentzovom gaugeu meusobno ekvivalentni. Rjeenje. Pokazaemo da se izrazi za 00 i 00 slau do na divergenciju. Za (7.17) je: r2 r 2 2 2 00 = 2 0 A 0 A + A A = 0 A 0 + 0 A A 0 + i A j i A j . (1)

(

) ( ) (

)

S druge strane, za (7.18) vrijedi: r r r r r r2 2 2 00 = E 2 + B 2 = 0 A A 0 + A r2 r r r 2 = 0 A + 2 0 A A 0 + A 0 + i A j i A j i A j j Ai .

( )

( )(

(

) ( ) ) ( )) ( )2

(2)

Razlika je data sa:r r r X 00 00 = 0 A A 0 + A 0

( )(

2 1 1 i A j j Ai + 0 A 0 . 2 2

(

)

(3)

Koristei Lorentzov uslov r r A = 0 A0 + A = 0 prva dva lana u (3) svode se na r r r r r r r r r r r 0 A A 0 + A 0 A 0 = 0 A A 0 0 A A 0 + A 0 A 0 A 0 2 A 0 r r r r = 0 A A 0 + A 0 A 0 + A 0 0 0 2 A 0 .

(4)

( )((

) (

)(

)

[( ) ] ( ) [( ) ( ) ]

[( ) ] ( )

(5)

Prvi lan predstavlja trodimenzionalnu divergenciju, a drugi lan je jednak nuli jer vektorski potencijal u Lorentzovom gaugeu zadovoljava talasnu jednainu: r (6) 0 0 2 A = 0 .

)

Trei i etvrti lan u (3) se mogu kombinovati u 2 2 2 1 1 1 1 1 i A j j Ai + ( 0 A 0 ) = i Ai ( j A j ) A j ( j Ai ) ( i Ai ) + ( 0 A 0 ) . (7) 2 2 2 2 2 lan koji ne sadri trodimenzionalnu divergenciju je ponovo jednak nuli na osnovu Lorentzovog uslova. Prema tome, dva izraza za gustou energije se slau do na divergenciju, tako da vode na istu ukupnu energiju.

[

]

VJEBA 7.2 Gauge transformacije i pseudofotonska stanja Zadatak. Pokazati da su oekivane vrijednosti A (x ) za stanja c

i T , data sa (1)

(7.58), povezane relacijom c A ( x ) c = T A ( x ) + ( x ) T = T A ( x ) T + ( x ) . Izvesti izraz za funkciju ( x ) .Rjeenje. Stanje c je definisano sa

c = Rc T , gdje jer r r r r r Rc = 1 + d 3 k c k L+ + d 3 k d 3 k c k , k L+ L+ + L k k k37

(2)

()

( )

(3)

i

Lkr = a kr 0 a kr 3 . Treba da izraunamo r r c r A (x ) T 1 + d 3 k c * k Lkr + L A (x ) 1 + d 3 k c k L+ + L T . k

[

()

]

[

()

]

(4)

Da bismo pojednostavili ovaj izraz trebamo komutirati operator Lkr nadesno tako da r djeluje na stanje . Analogno trebamo L+ komutirati nalijevo. Tada moemoTk

r r koristiti relacije Lkr T = 0 i T L+ = 0 . Oito je da su komutatori Lkr , A A , L+ k k r i A linearne kombinacije operatora stvaranja i kompleksni brojevi jer su i Lk r , L+ = 0 , oito da lanovi vieg reda u (4) ne ponitavanja fotona. Poto je takoer L r

[

][

]

[

k

k

]

daju doprinos. Prema tome, ostaje nam r r c A (x ) c = T A ( x ) T + T d 3 k c k A ( x ), L+ T k r + T d 3 k c * k Lkr , A (x ) T .

( )[

]

( )[

]

(5)

Komutatori u (5) se mogu lako izraunati koristei Fourierov razvoj operatora polja (7.26) i kanonske komutacione relacije (7.32). Na osnovu r r r r r r + a kr , L+ = a kr , a k+0 a kr 3 = (3) k k ( g 0 g 3 ) = (3 ) k k ( 0 + 3 ) (6) k

[

] [+ r k

]

(

)

(

)

je

[A (x), L ] =

d 3k 2 k (2 )3

3 r r e ik x k , a kr , L+ = k

=0

( )[

]

e ik x 2 k (2 )3

(k , ) r=0,3

(7)

i analogno

[L , A (x)] = r k

e ik x 2 k (2 )3

=0,3

k , .

(r )

(8)

Suma po polarizacijama se moe prepisati koristei eksplicitni oblik vektora polarizacije (6.60), (6.63) (za k 2 = 0 ) r r r k n(k n ) 1 = k , = k ,0 + k ,3 = n + k . ,3 k n k n =0

( ) ( ) ( )d 3k 2 k (2 )3

(9)

Dakle, suma je proporcionalna etverovektoru impulsa k . Dodatni lan u (5) je tada

T T

r r 1 k c k e ik x + c * k e ik x . k n

[( )

() ]

(10)

gradijent po koordinati od neke funkcije (x ) . Time je dokazana jednaina (1), pri emu je realna gauge funkcija r r d 3k 1 ( x ) = i c k e ik x c * k e ik x . (11) 3 2 k (2 ) k n

Poto podintegralna funkcija sadri faktor k , jednaina (10) se moe napisati kao

[( )

() ]

Poto je k 2 = 0 , jednaina (11) je kompatibilna sa Lorentzovim uslovom A = 0 jer je

( x ) = 0 . Gauge funkcija (11) ne zavisi od viih lanova razvoja (4) sa

38

r r koeficijentima c k , k itd. Takvi lanovi dat e doprinos ako se posmatraju gauge transformacije sloenijih funkcija, kao to je proizvod tipa A ( x )A ( y ) .

( )

VJEBA 7.3 Opta komutaciona pravila za elektromagnetno polje Zadatak. Izraunati komutator A (x ), A ( y ) slobodnog elektromagnetnog polja u

[

]

Lorentzovom gaugeu za proizvoljne prostorno-vremenske take x i y. Pokazati da je taj komutator jednak nuli izvan svjetlosnog konusa. Rjeenje. Uvrtavanjem Fourierovog razvoja (7.26) operatora A , na osnovu komutacionih relacija za operatore stvaranja i ponitavanja fotona (7.32), dobija se 3 3 r r ( x ), A ( y ) = d k 1 ( g ) k , k , e ik ( x y ) e ik ( x y ) . A (1) (2 )3 2 k =0

[

]

( ) ( )[ e ik ( x y ) .

]

Koristei relaciju kompletnosti (6.65) za etiri vektora polarizacije, nalazimo da je d [A (x), A ( y )] = g (2k)3

1 2 k

3

[e

ik ( x y )

]

(2)

Ovaj integral je invarijantna Pauli-Jordan-Schwingerova funkcija koju smo uveli u odjeljku 4.4. Poto je polje bezmaseno, koristiemo oznaku D( x y ) umjesto ( x y ) : d 3k 1 d 4k ik ( x y ) ik ( x y ) iD( x y ) = e e = (k 0 ) (k 2 )e ik ( x y ) , 3 3 (2 ) 2 k (2 ) r gdje je k 0 = k = k . Prema tome, na komutator je dat sa [A (x), A ( y )] = ig

[

]

(3)

D( x y ) .

(4)

Funkcija D(x ) ima jednostavan oblik i u koordinatnom prostoru. Jednaina (3) se moe napisati kao D( x ) = D (+ ) (x ) + D ( ) ( x ) = 2 Re D (+ ) ( x ) . Fourierov integral u D (+ ) (x ) moe se rijeiti u polarnim kordinatama:D (+ ) ( x ) = i d 3k i

(5)1

(6) 1 1 ik ( r t ) ik ( r + t ) = 2 dk e e , 8 r 0 r r gdje je r x , t x0 i k k = k . Da bi se osigurala konvergencija integrala po k

(2 )3 2 k

1

e i ( k t k x ) =rr

(2 )2

dk0

k 2 i k t ikr cos e 1 d cos e 2 k

[

]

uvodi se faktor odsijecanja exp( k ) , pri emu se na kraju prorauna uzima limes 0 . Na osnovu (6) je tadaD ( + ) ( x ) = i 1 1 1 1 + , 2 8 r r t + i r + t i

(7)

tako da je komutatorska funkcija

39

D( x ) = 2 Re D (+ ) ( x ) =

i i 1 1 + Re 2 4 r r t + i r + t i

1 1 = 2 . 2 2 2 2 4 r (r t ) + (r + t ) + U limesu 0 prepoznajemo jednu od reprezentacija delta funkcije: 1 , (x ) = lim 2 0 + x 2 tako da je 1 1 D(x ) = [ (r t ) (r + t )] . 4 rD(x ) =

(8)

(9)

(10)

Koristei identitet (x 2 ) = [ (r t ) + (r + t )]/ (2r ) , (10) se moe pojednostaviti na1 (11) (t ) x 2 . 2 Ovo se, za m = 0 , slae sa rezultatom (4.168a) za funkciju iz dodatka 4.6. Prema tome, nali smo da operatori A ( x ) i A ( y ) komutiraju gotovo svugdje. Samo na

( )

svjetlosnom konusu ( x y ) komutator e biti razliit od nule, to odgovara injenici da se komunikacija izmeu taaka moe ostvariti prenosom elektromagnetnog signala. Zapazite da je u sluaju m 0 funkcija (x y ) konana takoer i unutar svjetlosnog2 2

konusa (x y ) > 0 , zato to estice koje imaju masu mogu putovati brzinama manjim od brzine svjetlosti.

DODATAK: Jednostavno pravilo za izvoenje izraza za Feynmanov propagator Sistematsko izvoenje rezultata tipa (7.65): DF (k ) = g / k 2 + i , na osnovu

(

)

vakuumske oekivane vrijednosti vremenski ureenog proizvoda operatora polja, moe biti komplikovano za 1 . Meutim, postoji jednostavniji nain da se Feynmanov propagator izrauna direktno na osnovu lagranijana teorije. Taj nain je sadran u slijedeem pravilu: Feynmanov propagator u impulsnom prostoru dobija se invertovanjem Fourierove transformacije diferencijalnog operatora sadranog u lagranijanu. Provjeriemo to prvo za sluaj lagranijana Klein-Gordonovog polja 1 1 1 (1) L = m 2 2 D ( x ) , 2 2 2 gdje je diferencijalni operator s r D(x ) = m 2 . (2) r s Ako izvrimo zamjenu ik i ik , dobijamo multiplikativni operator u impulsnom prostoru D(k ) = k 2 m 2 . Feynmanov propagator u impulsnom prostoru dobija se invertovanjem:40

(3)

1 , (4) k m 2 + i gdje su polovi pomjereni na uobiajeni nain dodavanjem malog negativnog imaginarnog dijela masi da bi se zadovoljio uslov kauzalnosti. Feynmanov propagator za Diracovo polje S F (k ) , koji smo razmotrili u odjeljku 5.4, moe se dobiti na isti nain. U sluaju Maxwellovog lagranijana (7.2), sa lanom koji fiksira gauge: 2 1 1 (5) L = F F A , 4 2 diferencijalni operator je dat sa s r s r s r D ( x ) = g + . (6) F (k ) = D 1 (k ) =2

(

)

U impulsnom prostoru je

D (k ) = g k 2 + (1 ) k k .Da bismo konstruisali inverznu matricu, pretpostavit emo da ona ima oblik D 1 (k ) = A(k 2 ) g + B (k 2 ) k k .

(7) (8) (9) (10a) (10b)

Zahtjevajui da je

D (k ) D 1 (k ) = g ,i poredei koeficijente, dobijamo uslove k 2 A(k 2 ) = 1 ,

k 2 B(k 2 ) = ( 1)A(k 2 ) .

Bez gauge-fiksirajueg lana (tj. za = 0 ) matrica D (k ) se ne moe invertovati (zato to je determinanta jednaka nuli) i Feynmanov propagator se ne moe konstruisati. Ako je 0 rjeenje sistema jednaina (10) jeA k2 =

( )

1 1 1 , B k2 = 2 k2 k

( )

( )

2

,

(11)

to, nakon odgovarajueg pomjeranja polova, vodi na DF (k ) =

g 1 k k + . (k 2 + i )2 k 2 + i

(12)

Rezultat (12) predstavlja pooptenje formule (7.65) za 1 . Pored Feynmanovog gaugea ( = 1 ), u literaturi se esto koristi i gauge sa (Landauov gauge). Propagator u tom gaugeu DF (k ) = k k g k 2 / k 2 + i dimenzije: k DF (k ) = 0 .

(

)(

)

2

je transverzalan u etiri

41

8.1. Comptonovo rasijanje Kod Comptonovog rasijanja u poetnom stanju imamo jedan elektron sa impulsom i spinom p,s i jedan foton sa impulsom i polarizacijom k , , dok su iste estice u konanom stanju karakterizirane sa p , s i k , . Poto su (8.95b) i (8.95c) identini, S-matrini element je S = 0 b a S (2 ) a + b + 0fi ps k k ps

=2

( ie )2!

2

d

4

x1 d 4 x 2 0 b ps a k : ( ) ( x1 ) ( x1 ) ( x 2 ) (+ ) ( x 2 ) :

( ( + + : A ) ( x1 )A(+ ) ( x 2 ) + A+ ) ( x1 )A( ) ( x 2 ) : a k b ps 0=2

( ie )22!

4 4 d x1 d x2

1 2 12

(2 )

d 3 q13/ 2

m E q1

(2 )

d 3 q23/ 2

m E q2

(2 ) (2 )3/ 2 1

d 3 k1

1/ 2

(2 ) (2 2 ) * [ (k1 , 1 )e ik x (k 2 , 2 )e ik x + (k1 , 1 )e ik x * (k 2 , 2 )e ik x3/ 2 1/ 21 1 2 1 1 2

d 3k2

u (q1 , 1 )e iq1 x1 iS F ( x1 x 2 ) u (q 2 , 2 )e iq2 x22

+ + + 0 b ps a k : bq+1 1 bq2 2 a k11 a k 22 : a k b ps 0

2

+ + + 0 b ps a k : bq+1 1 bq2 2 a k11 a k 22 : a k b ps 0 .

]

(1)

Vakuumske oekivane vrijednosti elektronskih i fotonskih operatora redukuju se na po jedan lan, tako da je S-matrini element za Comptonovo rasijanje:S fi =

( ie )2 d 4 x d 4 x m m 1 u ( p , s )e ip x iS F (x1 x 2 ) u ( p, s )e ip x 1 2 6 E p E p 2 k 2 k (2 ) * [ (k , )e ik x (k , )e ik x + (k , )e ik x * (k , )e ik x ]. (2)1 1 2 1 2

2

Integriranje u (2) se moe izvriti koristei Feynmannov propagator za elektrone u impulsnom prostoru: S F (q ) = 1 / ( p m + i ) , to vodi na: /S fi =

( ie)2 m m 1 (2 )4 (4 ) ( p + k p k ) 6 E p E p 2 k 2 k (2 ) * [u ( p , s ) iS F ( p + k ) u ( p, s ) (k , ) (k , ) + u ( p , s ) iS F ( p k ) u ( p, s ) (k , ) * (k , )].

p q = p k p p

k

Kao i kod elektron-elektron rasijanja prisutni su i izmjenski i direktni lan, koji se sada sabiraju sa pozitivnim relativnim predznakom jer fotoni zadovoljavaju Bose statistiku. Odgovarajui Feynmanovi dijagrami su prikazani na priloenoj slici. Za razliku od elektron-elektron rasijanja dva lana se ne pojavljuju zbog (anti)simetrije poetnih i konanih stanja u odnosu na izmjenu identinih estica. Umjesto toga oni dolaze od proizvoda fotonskih operatora polja A ( x1 ) i A (x 2 ) koji se moe dekomponovati na dva naina u proizvod operatora stvaranja i ponitavanja.

k

k

q= p+kp

k

42

8.2. Mollerovo (elektron-elektron) rasijanje /

Razmotrimo proces u kome se dva elektrona sa poetnim impulsima i spinovima p1 , s1 i p 2 , s 2 rasijavaju u konano stanje sa p1 , s1 i p2 , s2 . Takav proces se naziva Mllerovo rasijanje. Prema jednaini (8.95d) S-matrini element za taj proces drugoga reda je dat sa 2 b S (2 ) b + b + 0 = ( ie ) d 4 x d 4 x 0 b b S fi = 0 b p2 s2 p1s1 p1s1 p2 s 2 1 2 p s p1s1 2 2 2! : ( ) ( x ) (+ ) ( x ) ( ) ( x ) (+ ) ( x ) : A ( x )A ( x ) b + b + 0 . (1)1

1

2

2

1

2

p1s1

p2 s 2

U jednaini (1) smo, u skladu sa slikom 8.2, uvrstili odgovarajue operatore polja (+ ) za upadne i ( ) za rasijane elektrone. Koristei razvoj po ravnim talasima (8.90) dobijamo S fi

( ie ) =2!

2 4 4 d x1 d x2

2 ( )1 2 3 4

d 3q13/ 2

m Eq1

( 2 )

d 3q23/ 2

m Eq2

( 2 )

d 3 q33/ 2

m Eq3

( 2 )

d 3q43/ 2

m Eq4 (2)

u ( q1 , 1 ) eiq1 x1 u ( q2 , 2 ) e iq2 x1 u ( q3 , 3 ) eiq3 x2 u ( q4 , 4 ) e iq4 x2 + + iDF ( x1 x2 ) 0 bp2 s2 bp1s1 :bq+11 bq2 2 bq+3 3 bq4 4 :bp1s1 bp2 s2 0 .

Vakuumska oekivana vrijednost operatora stvaranja i ponitavanja se izraunava tako to se operatori b + komutiraju nalijevo, a operatori b nadesno. Uzimajui u obzir r r r 3 ( 3) r + + relacije: bp1s1 bq+11 = bq+11 bp1s1 + s11 ( p1 q1 ) , bq4 4 bp1s1 = bp1s1 bq4 4 + s1 4 ( ) ( p1 q4 ) , dobija se: 0b p2 s2

+ + bp1s1 :bq+11 bq2 2 bq+3 3 bq4 4 :bp1s1 bp2 s2 0

+ + = 0 bp2 s2 bp1s1 bq+11 bq+3 3 bq2 2 bq4 4 bp1s1 bp2 s2 0 + + = 0 bp2 s2 bq+11 bp1s1 bq+3 3 bq2 2 bp1s1 bq4 4 bp2 s2 0 r r 3 + + 0 bp2 s2 bq+11 bp1s1 bq+3 3 bq2 2 bp2 s2 0 s1 4 ( ) ( p1 q4 ) r r 3 + + + 0 bp2 s2 bq+3 3 bq2 2 bp1s1 bq4 4 bp2 s2 0 s11 ( ) ( p1 q1 ) r r r r 3 3 + 0 bp2 s2 bq+3 3 bq2 2 bp2 s2 0 s11 ( ) ( p1 q1 ) s1 4 ( ) ( p1 q4 ) .

(3)

Antikomutiranjem operatora b i b + , dobijamo lanove tipa 0 b + = 0 i b 0 = 0 , apreostaju lanovi sa delta funkcijom, koji daju: 0 b b :b + b b + b :b + b + 0r r r r r r r r 3 3 3 = s2 1 ( p2 q1 ) s1 3 ( ) ( p1 q3 ) s1 2 ( ) ( p1 q2 ) s2 4 ( ) ( p2 q4 ) r r r r r r r r 3 3 3 3 + s2 1 ( ) ( p2 q1 ) s1 3 ( ) ( p1 q3 ) s2 2 ( ) ( p2 q2 ) s1 4 ( ) ( p1 q4 ) r r r r r r r r 3 3 3 3 + s2 3 ( ) ( p2 q3 ) s1 2 ( ) ( p1 q2 ) s2 4 ( ) ( p2 q4 ) s11 ( ) ( p1 q1 ) r r r r r r r r 3 3 3 3 s2 3 ( ) ( p2 q3 ) s2 2 ( ) ( p2 q2 ) s11 ( ) ( p1 q1 ) s1 4 ( ) ( p1 q4 ) .( 3) p2 s2 p1s1 q1 1 q2 2 q3 3 q4 4 p1s1 p2 s2

(4)

Dakle, postoje etiri naina da se vanjske fermionske linije Feynmanovih dijagrama pridrue stanjima rasijanih estica. To je ilustrovano na slijedeoj slici:43

p2

p1

p1

p2

p2

p1

p1

p2

, x1p2

, x2 + , x1p1p1

, x2 _ , x1p2

, x2 _ , x1p2 p2

, x2p1

p1

Podintegralne funkcije u (2) dolaze u parovima koji se razlikuju samo po izmjeni redoslijeda varijabli x1 i x2 , tako da je njihov doprinos jednak. Tako se poniti permutacioni faktor 1/2! u (2). Konani rezultat za S-matrini element je:S fi

( ie )2 d 4 x d 4 x = (2 )6 1 2

e i ( p2 p2 ) x2 e i ( p1 p1 ) x1 u ( p 2 , s 2 ) u ( p 2 , s 2 ) u ( p