kvantna fizika i primjene - uniri
TRANSCRIPT
ODJEL ZA FIZIKU SVEUČILIŠTE U RIJECI
Preddiplomski studij Fizika
Ak. god. 2019./2020.
1
KVANTNA FIZIKA I PRIMJENE
Drugi kolokvij 22.05.2020.
1. U ovom zadatku, vrijednosti spina izražene su u jedinicama od ħ. Promotrite sustav koji se sastoji od dvije
neinteragirajuće čestice: za česticu 1 spin je 1, a čestica 2 ima spin 1/2. Mjerenje je pokazalo sljedeće rezultate:
1 2
11;
2z ys s= − =
Ovdje su S1 , S2 operatori spina čestice 1 i 2, a S1z , S2y operatori projekcije spina na os z za prvu česticu i os y za
drugu česticu. Njihove svojstvene vrijednosti su s1z , s2y . Kolika je vjerojatnost da za ukupni spin sustava
izmjerimo vrijednost s = 1/2?
2. Čestica se giba u sferno-simetričnom potencijalu prikazanom na slici. U području r ≤ 0 valna funkcija je
jednaka nuli.
(a) Riješite Schrödingerovu jednadžbu za ovaj problem i nađite valne funkcije ako je energija E < U0 .
(b) Nađite jednadžbu iz koje se mogu izračunati energije. Jednadžba se ne može riješiti analitički pa je dovoljno
da je napišete u što jasnijem obliku.
(c) Napišite uvjet dobiven pod (b) za l = 0. Možete li grafički naći rješenja ove jednadžbe?
Uputa: kovergentna rješenja jednadžbe
( )2 2 22 1 0x y xy x l l y + − + + =
nazivaju se modificirane sferne Besselove funkcije druge vrste, y = kl(λx). U dodatku se nalaze neke osnovne
informacije o ovim funkcijama.
3. (a) Provjerite zadovoljava li vektorski potencijal
1
2= − A r B
uvjet · A = 0, gdje je B konstantno magnetsko polje.
(b) Neka je A vektorski potencijal zadan pod (a). Pokažite da je član
q
m− A p
koji se pojavljuje u hamilotonijanu za česticu u EM polju jednak izrazu za interakciju magnetskog momenta μL
zbog orbitalnog angularnog momenta s magnetskim poljem B
2 2
L
q q
m m− = − = − μ B L B B L
gdje je q naboj, a m masa čestice.
(c) (NIJE OBAVEZNO) Je li tvrdnja pod (b) točna ako je B = B(r, t)? Pretpostavimo da smo našli potencijal za
kojeg je · A = 0. Je li operator −μL · B uopće hermitski?
4. (a) Nađite svojstvene funkcije operatora L2 i Lz u impulsnoj reprezentciji, dakle, kao valne funkcije iz
impulsnog prostora.
(b) Pokažite da je prosječna vrijednost impulsa 0 =p
u stanju kojem ima oštro definirane svojstvene vrijednosti L2 i Lz , odnosno, l i m.
ODJEL ZA FIZIKU SVEUČILIŠTE U RIJECI
Preddiplomski studij Fizika
Ak. god. 2019./2020.
2
Uputa: pod (a), prisjetite se da su u impulsnoj reprezentaciji, operator položaja r i impulsa p jednaki
( )
( )
| |
| |
i
= −
=
pp r p
p p p p
gdje je p' = (∂/∂p'x , ∂/∂p'y , ∂/∂p'z).
aS yetbe’
ISy 47 = 5 I+) * = |=?
Voitue dtauype vee Cano poucch rveibra | S54(AQ=/2%=4, a=) | P2= 5May = 3) =
Lo - i _ 4=
actymeny (4 I= 2 ) 2,= 5)
Naptiturc ole velbre 22xLLWU0 potuoch Z —proprhcye
;.
al Ma 41) m= 52 +e | Mg =A wn =-5>y2 ) (z
Ja tedtca 0 CleSsl- Gerdeucun koefrepeine’
E< UU,
Ryesewe Schrdidus aesvepeduadbe 4 cba produc) [ekilo
= RC) Ye(oeGi)Treva nents ladyolu Sclrodugew jeduadiby u4 paduc), Oc(2) te refayo Spay iO” bul Uyriug «
U padurqu © ladyelu Selus aliug 2onQ peetuccliba ghku
d_ ~ 2d e(era) 2dye r- dr ref RTKR =o
2 2mMEI< = Ge
Rietewe ore pecaluadithe alac’
Fo = Ate(kr)ade at de sfere Bemba fuutia tea @. ZQ foo
de(kv) —oCULe Je zadior Ger jet (corres rh wralue fuutuse.
U feducla @Z) tadyola Sludilugers pluie glare’
- &erd)fae Ss fR- RR =D
ie 25 (ue) >0Ue Pouyri $= Avr
oa (eduadie tote2 1Sod ts doaare” alg? - ) adv AF
© a lee} 2“ee. dg~
ex & °coduohie y
cel 4 2° a" - { p+ e(Rtn) § R= 0
PyeSerye. ove pedrodvhe Bo, oye °F3e ) R09 alanR= ke(ar)
gdje je Ke mechifiaioua sfauia Retilaa furlwye, ducevote .
Cs) Rade’ ay oh
A Je ( Ki) = 2, te(av)AK juicet\= BAK (An)
Ora sotow peduadih’ wa|netic ohio mege to ACK le fe
Lt ( ane Ke (Lt) _K Je(ete) KOI(At)Date, jeduadile ie hee re debwoy eumguye gat
he Je Cen) ke (A) — K Ke (Al) jeCe’) =0(c) ta €=o je
clo (Kle) = sin (Kye) . I wos(l<be) _ gm (Kite)
ken ) Jo (Kv. ” Ev, (Ky, )e
—/tekK, (Ar = Ss oe
— 5 k (Ayye GC) ao
Unhwo 4 Aayet aleboivers pad! (>)
A jel kev, ke(evs) - IK KelAte) Je (Keo ) =o—~Ae
Ate)en (BEwe) - ciCle ve)
U<4)* \ ”— {<>
ae ari(er) (+ a).x(5 ((fn)_aeva tp—Nh, sin (Kt) = K WS (Eve)
rh tan (KL) = IKSkea poe ¢ che vue
|
“4 = KK
—
oe
‘Da dcbyeuo le Quo jedus Wereuye ULoVauLro wok’ ayet
pror > =) .
BH\t amUey fic(5) ?4u
>(4|
2-4
C=) ft xs >. & on fe i XxX; B}dK
7K ig ke ( .) gb ISG
B |€ cou terihuc pofe~—5 > —->
Nay pure pees VKA =B
(GeA). =|
|ofik
=2 Sie aX2 Sik oe (> (- 2) Creu, Xe s.)gt
_ geCA) | Pen Ai] = 2g,
> z 3-A=zO
AL ax2. on Z_ Fin :) 2aPe “¢ )2_ eckor= O bye
A= BAA2. Ae Pe (- 5) > KN Xs Ba Pe
c a2 2 Bele “a K
Vue-2 Ap--2 BeW .
P 2MC
Cc) Ovo wre b)€o ohavere |Aico conn © Fy toda LU B , eduone JB hecomutilagu opceruto. Odavdye Ail uye epudte”Veshe tele wih" o aperakvour
wD{ —_ —-(Mkt Bi)
(oy fe henMar -
_s| ~ :CP I Lily = D> Syne <8" *y Pr lap >tk
abaq, | xX Pic|= Ay Pen Pic “y = ob Se[UtRQALLO
D_ Sie cB 4 [py +wh? Six§a CBI apy‘leye q Sais =O
Preinwa howe
C8 )1 Le Ap) = ZS <PPe Inp
(4p ayscpy. 2 ein{ aipl ce Pel >SOR 1X) p)
¢&too© cB PIB) = Pe RIBS pl cele"a _.& S"
|
<P (xy [op)=- L apn PCP )TuranKe (LLB = D> eye Pr CE) Sp ab (B)
is q
4-4
Cquuyeuuns ar trdelcre Ky } dA ik. 7 - Ee riey
CELLEIY = DEED PL (-(- 3) oy VE)¢&
z,’ ~o/= iky Pe (# dp;Ye)Debyous Nave Sule! Kea 40 %Q X tepereataugy a fey
SaLo4 P Dou ene. U Sfewouy srraus boowderaTa.
Cr 8, 4) > (Pp, E6)Dale) aurest lo ‘kithuws'kaoeladtets je bdeuhore (aotlod Fo teprrenttouyc . Preruo, Howe
y Sen’ hanuwou ce”
Ur i debe sioprhere cfuudye U2 CoA Lay oly ae.Inifen’ odusye LQ Pp -prov,
ry". e(tu)t,]Q e
L2\,"= mn Yo
b Stay’ PSTVO tu i) ege ° Stvo tePity peau Vy tlussA
suseB € Fu wte
MD IQS Stern Vamaucy He Secu’ laurccruc” sadaAA (menue Auou pre rhou , (ULoaes dobyea defiHae pao:Qo aa pau a" UCPA AY ZR prouyouce e~ rp’
4-2
£pr= £ wl Pl euSitJar Yo" (0,4) s Ye"(84) - (sur ly |
>> > ous tulequed ne Wet] ony e akZa pon
hye oxy”" — Jae BYE= SRD
me<p) =O
4-2