kursi i matematikes elementare.pdf

UNIVERSITETI I PRISHITNES

Dr. Sci. MINIR EFENDIJA & Mr. Sci. RAMADAN LIMANI

KURSI I MATEMATIKES ELEMENTARE

ZBATIME TE NDRYSHME

Prishtine, 2008

Recenzente:

Dr.sci. Qamil Haxhibeqiri, prof. i rregullt i FSHMN ne UP

Dr.sci. Muhib Lohaj, prof. i asocuar i FSHMN ne UP

Keshilli Botues i Universitetit te Prishitnees lejoi botimin dhe perdorimine ketij teksti me Vendimin nr. ???????? te dates ????????.

Te gjitha te drejtat jane te rezervuara. Nuk lejohet shumeshimime cdo mjet apo forme, pa lejen e autorieve.

Parathenie

Ky tekst eshte rezultat i ligjeratave dhe ushtrimeve te mbajtura per vite tetera ne kuader te kursit po me te njejtin emer per studentet e Departamentitte Matematikes, kurse kursit te Matematikes elementare per studentet eDepartamentit te Fizikes dhe Departamentit te Kimise ne FSHMN ne Univer-sitetin e Prishtines. Deri me tani, ne nje forme ose tjeter, studentet siguroninpjeset kryesore te ketij teksti, qofte ne formen e materialit te fotokopjuar apone formen elektronike. Tani, ne kete tekst, lexuesi do ta kete tere materialin enevojshem per te pregatitur provimin nga Kursi i matematikes elementaredhe per te krijuar bazen elementare te matematikes, e cila baze studenteve dotu mundesonte qe provimet e tjera qe jane ne korelacion me matematiken, tekuptohen me lehte dhe me shpejt.

Per dallim nga materiali i meparshem i Kursit te matematikes ele-mentare, i cili kishte pak shembuj te aplikimit te matematikes ne fushat etjera, ky tekst eshte pasuruar me shembuj te shumte nga ekonomia, zika dhekimia. Ne kete menyre, lexuesi do te bindet vete se sa e rendesishme eshte bazaelementare e matematikes per te kuptuar, shpjeguar apo interpretuar problemete ndryshme jetesore. Pervetesimi i materialit te ketij teksti nga ana e lexuesit,do ti siguronte atij nje ecje te sigurt drejt hulumtimit shkencor, si ne matem-atike ashtu edhe ne disciplinat e tjera te cilat matematiken e perdorin si mjetndihmes.

Eshte shume e kuptueshme qe do te ishte e pamundur qe ne kete tekstte perfshihej i tere materiali nga matematika, i cili lexuesit do ti sigurontenje baze te sigurte te matematikes, por ne jemi munduar qe te permbledhimgjerat me te domosdoshme pa u ndalur ne hollesira te shumta, pa te cilat do teishte e pamundur qe me sukses te percilleshin kurset e tjera nga matematika.Po ashtu jemi shume te vetedijshem qe ne kete tekst jane pervjedhur gabime,prandaj, cdo verejtje, sugjerim apo korrigjim te ndonje gabimi nga lexuesit enderuar do te ishte shume e mireseardhur dhe do te ndikonte ne ngritjen ekualitetit te tekstit me rastin e ndonje ribotimi eventual. Verejtjet eventuale,sugjerimet apo komentet mund ti dergoni ne njerin prej e-mail adresave teautoreve: [email protected], ose ne [email protected].

iv Parathenie

Me kete rast autoret falendorjne ngrohtesisht recenzentet e tekstit: dr.sc.Qamil Haxhibeqiri, prof. i rregullt, dr.sc. Ramadan Zejnullahu, prof. i rregulltdhe dr.sc. Muhib Lohaj, prof. i asocuar, te cilet me kujdes te vecante e lexuandoreshkrimin dhe dhane verejtje shume te qelluara, te cilat ndikuan ne kualitetine tekstit.

Prishtine, qershor 2010Autoret:1. Dr.sc. Minir Efendija, prof. i rregullt2. Mr.sc. Ramadan Limani, ligj.

Permbajtja

Parathenie iii

1 BASHKESITE 11.1 DISA SIMBOLE DHE RELACIONE

LOGJIKE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 KUPTIMI I BASHKESISE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Relacionet mes bashkesive . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Veprimet me bashkesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 DETYRA PER USHTRIME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 FUNKSIONET (PASQYRIMET) 132.1 NDRYSHORET (VARIABLAT) DHE

KONSTANTET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 KUPTIMI I FUNKSIONIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 DISA FUNKSIONE TE RENDESISHME . . . . . . . . . . . . . 182.4 KOMPOZIMI I FUNKSIONEVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5 FUNKSIONET CIFT E TEK DHE

FUNKSIONET PERIODIKE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5.1 Funksionet cift e tek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5.2 Funksionet periodike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6 FUNKSIONET INVERSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.7 DISA FUNKSIONE KARAKTERISTIKE . . . . . . . . . . . . . 23

2.7.1 Vlera absolute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.7.2 Funksioni signum (i shenjes) . . . . . . . . . . . . . . . . 252.7.3 Pjesa e plote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.7.4 Funksioni karakteristik i bashkesise A . . . . . . . . . . . 26

2.8 FUNKSIONET MONOTONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.9 LLOJET E FUNKSIONEVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.9.1 Funksioni konstant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.9.2 Funksionet polinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.9.3 Funksionet racionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.9.4 Funksionet transcendente (joalgjebrike) . . . . . . . . . . 28

2.10 FUNKSIONI LINEAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

vi PERMBAJTJA

2.11 ZBATIMI NE EKONOMIKSDHE BIZNES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.11.1 Vija buxhetore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.11.2 Analiza B-E (Break-Even) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.11.3 Zbatime te tjera ne ekonomiks . . . . . . . . . . . . . . . 39


3 POLINOMET DHE SHPREHJETRACIONALE ALGJEBRIKE 513.1 FUQIZIMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2 RRENJEZIMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3 KUPTIMI I POLINOMIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3.1 Mbledhja dhe zbritja e polinomeve . . . . . . . . . . . . . 573.3.2 Shumezimi i polinomeve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3.3 Pjesetimi i polinomeve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3.4 Faktorizimi i polinomeve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.4 THJESHTIMI I SHPREHJEVERACIONALE ALGJEBRIKE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.4.1 Thyesat algjebrike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.4.2 Thjeshtimi i shprehjeve racionale algjebrike . . . . . . . . 65


4 SISTEMET E EKUACIONEVE LINEARE 794.1 EKUACIONET LINEARE ME NJE

TE PANJOHUR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2 ZBATIMET E EKUACIONEVE LINEARE ME NJE TE PAN-

JOHUR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.3 SISTEMET E EKUACIONEVE LINEARE . . . . . . . . . . . . 844.4 ZBATIMET E SISTEMEVE TE

EKUACIONEVE LINEARE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.5 PABARAZIMET LINEARE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.5.1 Pabarazimet lineare me nje te panjohur . . . . . . . . . . 914.5.2 Pabarazimet lineare me dy te panjohura . . . . . . . . . . 95

4.6 ZBATIMET NE EKONOMIKSDHE BIZNES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.6.1 Analiza Kerkesa - Oferta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.6.2 Ekuilibri ne modelin e te ardhurave nacionale . . . . . . . 984.6.3 Analiza B-E (metoda grake) . . . . . . . . . . . . . . . . 99


5 EKUACIONI KUADRATIK DHE FUNKSIONI y = ax2+bx+c1135.1 EKUACIONI KUADRATIK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.1.1 Rregullat e Vietit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.1.2 Shembuj tekstual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.1.3 Ekuacionet bikuadratike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.2 FUNKSIONI KUADRATIK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

PERMBAJTJA vii

5.2.1 Shenja e trinomit kuadratik . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.3 ZBATIMET NE EKONOMIKS

DHE BIZNES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.3.1 Analiza Kerkesa - Oferta. Modeli jolinear . . . . . . . . . 1325.3.2 Detyra lidhur me te hyrat, koston e protin . . . . . . . . 136


6 EKUACIONET, INEKUACIONET DHE FUNKSIONET EKS-PONENCIALE 1436.1 EKUACIONET EKSPONENCIALE . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.2 PABARAZIMET EKSPONENCIALE . . . . . . . . . . . . . . . 1476.3 FUNKSIONET EKSPONENCIALE . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.4 ZBATIMET NE EKONOMIKS

DHE BIZNES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.5 DETYRA PER USHTRIME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

7 FUNKSIONET, EKUACIONET DHE INEKUACIONET LOG-ARITMIKE 1637.1 FUNKSIONET LOGARITMIKE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1637.2 EKUACIONET DHE INEKUACIONET

LOGARITMIKE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1707.3 ZBATIMET NE EKONOMIKS

DHE BIZNES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.4 DETYRA PER USHTRIME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

8 PROGRESIONI ARITMETIK DHE AI GJEOMETRIK 1838.1 DISA KUPTIME MBI VARGJET . . . . . . . . . . . . . . . . . 1838.2 VARGU (PROGRESIONI) ARITMETIK . . . . . . . . . . . . . 1928.3 DETYRA PER USHTRIME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1988.4 VARGU (PROGRESIONI) GJEOMETRIK . . . . . . . . . . . . 2018.5 DETYRA PER USHTRIME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2158.6 DETYRA PER USHTRIME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

Indeksi 221

Literatura 225

viii PERMBAJTJA

1BASHKESITE

1.1 DISA SIMBOLE DHE RELACIONELOGJIKE

x = y tregon se vlera e x eshte e njejte me vleren e y.n

i=1

xi x1 + x2 + ...+ xn.n

i=1

xi x1 x2 xn.

zevendeson shprehjen per cdo. zevendeson shprehjen ekziston. zevendeson shprehjen nuk ekziston. zevendeson shprehjen (lidhesen) ose. zevendeson shprehjen (lidhesen) dhe.: ose | zevendeson shprehjen ashtu qe.Ne qofte se m dhe n jane numra te plote, atehere m, ..., n shenon te gjithe

numrat e plote ne mes te m e n, ndersa m,m+ 1, ... shenon te gjithe numrate plote qe jane me te medhenje ose te barabarte me m.

Shembuj 1.1.1 1. 22 =16 = 4.

2. Per cdo numer x, x2 x x.3. numer i plote x : x > a numer te plote a < 0,zevendeson shprehjen:

ekziston numer i plote x i tille qe x > a per cdo numer a me te vogel sezero.

2 BASHKESITE

4.4

i=1

i = 1 + 2 + +3 + 4 = 10

5.4

i=1

i = 1 2 3 4 = 24.

Ne vazhdim marrim disa relacione logjike.

Supozojme se a e b shenojne dy shprehje (p.sh. a : x < 5, b : x < 10).

a rrjedh b ose a b zevendeson shprehjen nese a eshte e sakte atehereedhe b eshte e sakte.

Ne qofte se a b dhe b a, atehere thuhet se a eshte ekuivalent me bose a atehere dhe vetem atehere b. Ne kete rast merret shenimi a b.

Relacioni (pra edhe ) eshte tranzitiv. D.m.th, ne qofte se a b dheb c, atehere a c.

1.2 KUPTIMI I BASHKESISE

Nocioni i bashkesise ne matematike paraqet nje nocion themelor, prandaj nukmund te perkuzohet. Kjo ndodh per faktin se disa bashkesi permbajne aso ob-jekte (elemente) te cilet per nga natyra jane te lloj-llojshem. Keshtu, per te qenesa me i qarte kuptimi i bashkesise per nxenesin, studentin, etj., duhet te merrenshembuj te ndryshem te bashkesive. Bashkesite zakonisht shenohen me shkronjate medha te alfabetit latin si A, B, C, ... apo ndonjehere ndodh qe te shenohenedhe ne ndonje menyre tjeter si p.sh. , , ...; a, b, c, ...; P(A),L(A), C[a,b],etj. Objektet qe e formojne bashkesine i quajme elemente te bashkesise. Atozakonisht shenohen me shkronja te vogla te alfabetit latin si a, b, c, x, y, ... apondonjehere edhe me simbole tjera. Elementet jane te ndara me presje dhe janete mberthyera me kllapa gjarperore. Faktin se elementi x i takon (nuk i takon)bashkesise A simbolikisht e shkruajme x A (x A). Dallojme bashkesine ecila nuk permban asnje element, te cilen e quajme bashkesi boshe (te zbrazte)dhe simbolikisht e shkruajme me ndonjerin prej simboleve ose { }, ndersa nedo te preferojme simbolin e pare. Per nga numri i elementeve te bashkesisedallojme bashkesi te fundme dhe te pafundme. Nga keto te fundit dallojmebashkesi te numerueshme (elementet e te cilave mund ti shkruajme ne trajtevargu) dhe te panumerueshme.

{x X | x ka vetine P}, shenon bashkesine e elementeve te X te ciletposedojne vetine P.

Shembuj 1.2.1 1. 2 {2}, por 2 = {2}.2. {M,N} = {N,M}.3. {x | x eshte zanore e alfabetit shqip} = {a, e, e, i, o, u, y}.4. A = {x | x eshte qytet i Kosoves} ({bashkesia e te gjitha qyteteve te

Kosoves}).

1.2 KUPTIMI I BASHKESISE 3

5. B = {x | x eshte lum i Europes} ({bashkesia e te gjithe lumenjeve teEuropes}).

6. C = {x | x eshte banor i botes} ({bashkesia e te gjithe banoreve te botes}.

1.2.1 Relacionet mes bashkesive

Supozojme se X dhe Y jane dy bashkesi.

Ne qofte se cdo element i bashkesise X eshte element edhe i bashkesise Y,atehere thuhet se X eshte nenbashkesi e bashkesise Y dhe shenohet X Y. Pra:

X Y atehere dhe vetem atehere kur x X rrjedh se x Y.Nese dy bashkesi X dhe Y permbajne elementet e njejta, atehere do te themi

se ato dy bashkesi jane te barabarta dhe simbolikisht do te shkruajme X = Y.Nga kuptimi i nenbashkesise dhe barazimit te dy bashkesive shihet qarte se dybashkesi jane te barabarta atehere dhe vetem atehere, nese X Y dhe Y X.

Ne qofte se X Y por X = Y, atehere thuhet se X eshte nenbashkesirigoroze e bashkesise Y dhe shenohet X Y.

Ne qofte se X Y, atehere Y eshte mbibashkesi e bashkesie X, qe mund teshenohet si Y X.

Shembuj 1.2.2 1. {2, 4} {1, 2, 3, 4}2. {1, 2, 3} {1, 2, 3}3. {1, 3}

={1, 2, 3}.

Me cardA do te shenojme numrin e elementeve (numrin kardinal) tebashkesise A. P.sh. card {2, 4} = 2, card {a, b, c} = 3.

Shembuj 1.2.3 Nuk eshte veshtire te konstatohet se nga cilat elemente perbe-het secila nga bashkesite:

A = {a, b, c} , B = {a, b, c, {a} , {b} , } , C ={+, 0,, 1

2,Deti Adriatik

}D = {b, b, b, c, c, a, a, a, a} , E = {x|x N x2 10} .

Lehte mund te shihet se A B dhe A = D, prej nga konkludojme se tebashkesite nuk ka rendesi renditja e elementeve dhe perseritja e ndonje elementi.

1.2.2 Veprimet me bashkesi

Unioni i dy bashkesive

U = X Y = {x : x X ose x Y } shenon unionin e bashkesive X dhe Y.(fig. 1.1(a).)

Pra, bashkesia U permban elementet qe gjenden ne te pakten njeren nga atobashkesi.

4 BASHKESITE

Vetite:

X = X,XX X = X,XX B = Y X,X,Y, (ligji komutativ)

(X Y ) Z = X (Y Z),X,Y,Z, (ligji asociativ)X Y = X Y = Y,X,Y

X Y = X Z Y Z,X,Y,Z.

Prerja e dy bashkesive

P = X Y = {x : x X dhe x Y } shenon prerjen e bashkesive X dhe Y.(fig. 1.1(a).)

Pra, P eshte bashkesia e te gjithe elementeve qe gjenden njekohesisht ne Xdhe Y.

Vetite:

X = ,XX X = X,XX Y = Y X,X,Y (ligji komutativ)(X Y ) Z = X (Y Z),X,Y,Z (ligji asociativ (i shoqerimit))X Y = X Y = X,X,YX Y = X Z Y Z,X,Y,ZX (Y Z) = (X Y ) (X Z) (ligji distributiv i prerjes ndaj unionit)X (Y Z) = (X Y ) (X Z) (ligji distributiv i unionit ndaj prerjes)

Veprimet union dhe prerje mund te perkuzohen edhe per nje numer te cfare-doshem te bashkesive Ai(i I), ku I eshte bashkesi e cfaredoshme indeksesh,ne kete menyre:

iI

Xi = {x|i0 I x Xi0} , respektivisht iI

Xi = {x|x Xi, i I} .

Nese I = N (N eshte bashkesia e numrave natyrale), atehere:

iI

Xi =i=1

Xi respektivisht iI

Xi =i=1

Xi.

Tani, ligjet distributive mund te pergjithesohen si vijon:

X ( iI

Xi) = iI

(X Xi), perkatesishtX (

iIXi) =

iI(X Xi).


Ndryshimi (diferenca) e dy bashkesive

Z = X \ Y = {x : x X dhe x Y } shenon ndryshimin (diferencen) nemes te bashkesive X dhe Y. (fig. 1.1(a).)

Pra, ajo paraqet bashkesine, elementet e se ciles gjenden ne X por jo ne Y.

Vetite:

X\ = X,XX\X = ,X; X\Y = ,X YX\Y = Y \X,(X\Y )\C = X\(Y \C), X,Y,C,Nese X Y,Z\X Z\Y.X\

Ne qofte se Y permbahet ne X, X \ Y quhet komplement (plotes) i Y neX dhe shenohet CX Y ose Y

c (g. 1.1(b)). Ne te shumten e rasteve bashkesiauniversale X ne menyre implicite nenkuptohet, dhe ne kete rast komplementishenohet me Y c X \ Y.

Eshte i sakte relacioni

Z Y X = CXZ CXY.

X Y

X YX \ Y

X Y

(a)

X

Y

(b)

CX Y

Fig. 1.1

Shembuj 1.2.41. {2, 3, 4} {2, 5} = {2};2. {2, 3, 4} {2, 5} = {2, 3, 4, 5};3. {2, 3, 4} \ {2, 5} = {3, 4}.

Shembulli 1.2.1 Le te jene X1 = {2, 3} dhe X2 = {4, 1, 3}. Te llogariten:(a) X1 X2;(b) X1 X2;(c) X1 \X2;

6 BASHKESITE

Zgjidhjen e ben lexuesi.Veprimet e sipershenuara me bashkesi mund te ilustrohen me diagramet e

Vennit.

Ligjet e DeMorganit

1. (X Y )c = Xc Y c

2. (X Y )c = Xc Y c.

Theksojme se ligjet e DeMorganit mund te pergjithesohen per nje numer tecfaredoshem bashkesish:

( iI

Xi)c = iI

Xci , ( iI

Xi)c = iI

Xci ,

Prodhimi kartezian (i drejtperdrejt) i dy bashkesive.

Simbolet e formes (a, b) quhen dyshe te renditura. Quhen te renditura sepseeshte me rendesi se cili element ndodhet ne vendin e pare e cili ne te dytin.Barazimi ndermjet dysheve te renditura perkuzohet si vijon:

(a, b) = (c, d) a = c b = d.

Ne menyre te ngjashme merret perkuzimin e barazimit te dy nsheve terenditura. D.m.th. (a1, a2, ..., an) = (b1, b2, ..., bn) atehere dhe vetem atehere,nese ai = bi (i = 1, 2, ..., n). Tani, mund te japim perkuzimin e prodhimitkartezian.

AB = {(a, b)|a A b B} .

Vetite:

A = ,AAB = B A,A = B(AB) C = A (B C),A,B,CA (B C) = (AB) (A C)A (B C) = (AB) (A C).

Produktin kartezian mund ta ilustrojme edhe me ndihmen e nje sistemi koordi-nativ kenddrejte, sic tregon shembulli ne vijim.

Shembulli 1.2.2 Le te jene X = {1, 2, 3} dhe y = {b, c}. Te gjendet bashkesiaZ = X Y dhe te paraqitet ajo ne sistemin koordinativ kenddrejte.Zgjidhje: Shohim se Z = XY = {(1, b), (1, c), (2, b), (2, c), (3, b), (3, c)}. (g.


1.2.)

y

x1 2 3

b

c

Fig. 1.2

Verejtje. Ne baze te perkuzimit te produktit kartezian, konstatuam se vetiaasociative nuk vlen. Por nese ke dyshja e rendituar ((a, b), c) i largojme kllapate brendshme, atehere do te marrim treshen e rendituar (a, b, c), qe d.m.th. sene kete rast do vlente ligji asociativ.

Duke patur parasysh verejtjen e mesiperme, produkti kartezian mund tepergjithesohet edhe per n bashkesi Ai, i = 1, 2, ..., n ne kete enyre:

ni=1

Ai = A1 A2 ...An = {(x1, x2, ...xn)|xi Ai, i = 1, 2, ..., n} .

Shembulli 1.2.3 Le te jene X1 = {1, 3.2}, X2 = {5, 6}. Te gjenden bashkesiteX1 X2 dhe X2 X1.

Zgjidhjen e ben lexuesi.Verejtje dhe shembuj

Eshte e qarte se (a1, a2, a3) paraqet treshe te renditur. Verejme p.sh. se:(3, 2, 5) = {3, 2, 5} (sepse (3, 2, 5) shenon treshen e renditur, por {3, 2, 5}

shenon bashkesine tri elementeshe).(3, 2, 5) = (2, 3, 5) (por {3, 2, 5} = {2, 3, 5}).nshet e renditura nuk eshte e domosdoshme qe te formohen vetem nga

numrat. Nje cift i renditur i ngjyrave (p.sh. (Kuq, Gjelbert) eshte dyshe erenditur).

RR perbehet nga te gjitha ciftet e renditura te numrave reale.Shembulli 1.2.4 Le te jete X = {K(uq), V (erdhe)} dhe Y = {Zh(urma),Q(etesia)}. Atehere:

(K,Zh) X Y.(K,V ) X Y.X Y = {(K,Zh), (K,Q), (V,Zh), (V,Q)}.

8 BASHKESITE

Veprimet e mesiperme paraqesin veprimet binare me bashkesi. Por ne bashke-sine e te gjitha bashkesive te mundshme (bashkesine universale) perkuzohenedhe veprime unare. Nje nga ato veprime eshte edhe bashkesia partitive ose epjeseve te nje bashkesie te dhene.

Bashkesia partitive e nje bashkesie

Le te jete A nje bashkesi e cfaredsohme. Bashkesia P(A) = {X|X A}quhet bashkesi partitive e bashkesise A.

Vetite:

A B = P(A) P(B), P(A B) = P(A) P(B).Nese cardA = n, atehere lehte vertetohet (me induksion) se cardP(A) = 2n.

Shembulli 1.2.5 Eshte dhene bashkesia A = {a, b, c}. Te caktohet P(A).Zgjidhje: Bashkesia partitive e Ase eshte:

P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, b}}.

Disa shembuj te rendesishem te bashkesive

1. N = {1, 2, 3, ..., n, ...},quhet bashkesia e numrave natyrale.

2. Z = {...,n, ...,2,1, 0, 1, 2, 3, ..., n, ...},quhet bashkesia e numrave te plote.

3. Q ={pq

: p Z dhe q N},

d.m.th. bashkesia e te gjitha thyesave pozitive e negative, quhet bashkesia enumrave racionale.

Eshte e qarte se N Z Q.4. Me kalkulator shihet se

2 = 1.4142.... Lehte tregohet se

2 Q, d.m.th.

nuk mund te shprehet si thyese e dy numrave te plote (ku emeruesi eshte indryshem nga zero). Bashkesia e numrave te tille formon bashkesine e numraveirracionale. Ate e shenojme me Ir dhe vlen barazimi Q Ir = .

5. R = Q Ir,d.m.th. unioni i bashkesise se numrave racionale dhe bashkesise se numraveirracionale, quhet bashkesia e numrave reale.

Tregohet se cdo numri reale i pergjigjet nje pike ne boshtin numerik dheanasjelltas. Prandaj bashkesia R mund te identikohet me boshtin numerik,dhe per kete pranohet shenimi R = (,+).


Intervalet (nenbashkesite e bashkesise se numrave reale)

Le te jene a, b R dhe a < b.[a, b] = {x R : a x b}, quhet interval i mbyllur ose segment me skajet

a dhe b.

(a, b) = {x R : a < x < b}, quhet interval i hapur me skajet a dhe b.(a, b] = {x R : a < x b} dhe [a, b) = {x R : a 0} shenon bashkesine e te gjithe numrave reale pozitiv.Kur ne vend te zeros marrim numrin e cfaredoshem real a, marrim edhe keto

nenbashkesi te rendesishme te bashkesise R:

(a,+] = {x R : a < x < +} shenon bashkesine e te gjithe numravereale me te medhenje se a;

(, a] = {x R : < x < a} shenon bashkesine e te gjithe numravereale me te vegjel ose te barabarte me a.

Lexuesi le ti paraqes gjeometrikisht intervalet e mesiperme ne boshtin nu-merik.

Shembulli 1.2.6 Jane dhene bashkesite:

A = {x : x R x (3, 7)};B = {x : x R x [1, 5)};C = {x : x R x (2, 8)};D = {x : x R x (2, 4)};E = {x : x R x (0, 2)}.

Te gjenden:

A B,A C,A D,A E,A B, A C, A D, A E,A\B,A\C,A\D,A\E,B\A,C\A,D\A,E\A.

Udhezim: Bashkesite e dhena te paraqiten ne boshtin numerike pastaj tekryhen veprimet e kerkuara.

10 BASHKESITE

Shembulli 1.2.7 Te gjendet C = A B = [a, b] [c, d] dhe te vizatohet kjobashkesi ne sistemin koordinativ Oxy.Zgjidhje: Shohim se C = [a, b] [c, d] = {(x, y) | x [a, b], y [c, d]}. (g.1.3.)

x

y

x

y (x, y)

C = AB

a b

c

d

Fig. 1.3

1.3 DETYRA PER USHTRIME

1. A jane te barabarta bashkesite:

(a) A = {1, 2, 3, 4} dhe B = {2, 1, 4, 3}?(b) A = {1, 2, 3} dhe B = {1, 1, 1, 2, 3, 4, 3}?

Rez. (a) Po, (b) Jo.

2. Te paraqiten elementet e bashkesive:

(a) A = {x | x N, 3 < x < 12};(b) B = {x | x N,x cift, x < 15};(c) C = {x | x N, x+ 4 = 3}.

Rez. (a) A = {4, 5.6.7, 8, 9, 10, 11}; (b) B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}; C = .3. Jane dhene bashkesite:

X = {4, 2}, Y = {x | x+ 3 = 5}, Z = {x | x N, x cift, x < 5}.Cila prej tyre eshte e barabarte me bashkesine B = {2, 4}?Rez. X = Z = B.

4. Te paraqiten elementet e bashkesise:

A = {x | x N, 2 x 7.2},B = {x | x N, x tek, x 11}.

Rez. A = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}.

1.3 DETYRA PER USHTRIME 11

5. Te gjendet bashkesia e muajve te vitit qe kane me pak se 28 dite.

Rez. .6. Te shkruhet bashkesia e numrave qe formojne numrin e telefonit 229 868.

Rez. {2, 6, 8}.7. Le te jene dhene bashkesite A = {x, 1, 2, 3, 4}, B = {a, b, 2, y}, C ={1, 6}. Te tregohet se vlene:

(a) A \ (B C) = (A \B) (A \ C),(b) A \ (B C) = (A \B) (A \ C).

8. Jane dhene bashkesite:

A = {1, 4, 6}, B = {1, 3, 5}, C = {1, 2, 3, 4, 5, 6},D = {3, 1, 5}, E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Te tregohet se pohimet ne vazhdim jane te sakta apo te pasakta. Pergji-gjuni me 1 per pohimin e sakte, kurse me 0 per pohimin e pasakte.

(1) 2 A; (6) C E;(2) 1 B; (7) B = D;(3) A

=C; (8) A = D;

(4) B E; (9) A;(5) A

=E; (10) A D.

Rez. (1) 0, (2) 1, (3) 1, (4) 1, (5) 1, (6) 1, (7) 1, (8) 0, (9) 1, (10) 0.

9. Jane dhene bashkesite:

A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 4, 5, 6}, C = {2, 3, 4}, D = {7, 8, 9}.Te gjenden bashkesite:

(1) A B; (4) A D; (7) A (C D);(2) B C; (5) C D; (8) B C) A;(3) A D; (6) (C B) A; (9) A (C D);

Rez. (1) {1, 2, 3, 4, 5, 6}, (2) {2, 3, 4, 5, 6}, (3) {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9}, (4) , (5), (6) {2, 3, 4}, (7) {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9}, (8) {1, 2, 3, 4, 5, 6}, (9) {2, 3, 4}.

12 BASHKESITE

10. Le te jete U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} bashkesi universale dhe

A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {3, 4, 5, 6}.

Te gjenden:

(a) Ac; (b) (A C)c; (c) B \ C; (c) (A B)c.

Rez.(a) Ac = {5, 6, 7, 89}, (b) (A C)c = {1, 2, 5, 6, 7, 8, 9}, (c) B \ C ={2, 8}, (c) (A C)c{5, 7, 9}.

11. Le te jene A,B,C bashkesi te cfaredoshme. Te vertetohen barazimet:

A A = A; A A = A;A B = B A; A B = B A;(A B) C = A (B C); (A B) C = A (B C);(A B) C = (A C) (B C);(A B) C = (A C) (B C);A = A; A = ; A \ = A, A \A = .

12. Jane dhene bashkesite: A = {1, 2, 3, 4}, B = {b, c}. Te njehsohen: (a)AB, (b) BA, (c) BB. A mund te konstatohet se AB = BA?

Rez. (a) A B = {((1, b), (1, c), (2, b), (2, c), (3, b), (3, c), (4, b), (4, c)}, (b)B A = {(b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}, (c) B B ={(b, b), (b, c), (c, b), (c, c)}, AB = B A.

13. Ne boshtin numerik te paraqiten intervalet (, 1), (2, 3), [4,+).14. Te gjendet A = [2, 3] [1, 2] dhe te vizatohet kjo bashkesi ne sistemin

koordinativ Oxy.

15. Te shkruhet bashkesia partitive per bashkesite: (a) X = {1, a} dhe (b)Y = {0, 2, {3}}.

Rez. (a) P(X) = {, {1}, {a}, {1, a},(b) P(Y ) = {, {0}, {2}, {{3}}, {0, 2}, {0, {3}}, {2, {3}}, {0, 2, {3}}}.

2FUNKSIONET(PASQYRIMET)

2.1 NDRYSHORET (VARIABLAT) DHEKONSTANTET

Ne ekonomiks si dhe ne jeten e perditshme hasim ne madhesi si kostoja, te hyrat,cmimet, timi, prodhimi, temperatura, syprina e siperfaqes me dimensionet 12me 12, etj., te cilat maten me vlera numerike. Disa nga ato gjithmone mbesinte njejta e disa ndryshojne. Ato madhesi qe mbeten te njejta quhen konstante,ndersa ato madhesi te cilat ndryshojne quhen ndryshore ose variabla. P.sh.prodhimi, timi, cmimet jane ndryshore, ndersa masa e siperfaqes se dhomesme dimensionet 12m me 12m eshte 144m2, d.m.th. eshte konstante.

Cilat nga madhesite vijuese jane variabla e cilat ndryshore?

1. Temperatura jashte shtepise.

Kjo eshte ndryshore. Temperatura jashte shtepise ndryshon ne varesi ngakoha.

2. Prodhimi.

Kjo eshte ndryshore sepse varet nga furnizimi me material, rryma, uji, etj.

3. Vellimi i kuadrit me dimensione te dhena.

Kjo eshte konstante, sepse ajo nuk ndryshon.

4. Intenziteti i zhurmes ne sallen e mesimit.Kjo eshte ndryshore. Intenziteti i zhurmes ndryshon ne varesi nga numri i

studenteve qe bisedojne ndermjet veti dhe nga menyra si ata bisedojne.

2.2 KUPTIMI I FUNKSIONIT

Kuptimi i funksionit eshte nder kuptimet me te rendesishme ne matematike.

14 FUNKSIONET (PASQYRIMET)

Shenojme me X bashkesine e studenteve te Universitetit te Prishtines, kurseme Y bashkesine e mbiemrave te tyre. Ne mes te elementeve te bashkesise X dheatyre te Y ekziston nje lidhje plotesisht e caktuar: secilit element te bashkesiseX, d.m.th. secilit student, i pergjigjet element plotesisht i caktuar i bashkesiseY - mbiemri i tij. Kete lidhje ne mes te bashkesive X e Y si dhe ne pergjithesilidhjet e ngjashme i perkuzojme ne kete menyre:

Perkufizimi 2.2.1 Le te jene X dhe Y bashkesi te dhena dhe joboshe. Rreg-ullen (ligjin) f sipas se ciles cdo elementi x X i pergjigjet nje dhe vetemnje element y Y e quajme funksion (pasqyrim) nga X ne Y.

Ne kete rast vejme y = f(x) dhe faktin qe f pasqyron X ne Y e shenojme

me f : X Y ose X f Y. y = f(x) quhet vlera e funksionit ne piken xose fytyra e elementit x sipas f. Elementi x quhet origjinali, ndersa y fytyra(perfytyra). Ndryshe x quhet edhe argument ose variabel e pavarur, kurse yvariabel e varur.

Bashkesine X e quajme domena e funksionit f kurse ate Y - kodom-ena e funksionit f . Domenin e funksionit f zakonisht e shenojme me D(f).Bashkesine {f(x)|x D(f)} e quajme bashkesi te vlerave ose rang te funk-sionit f dhe e shenojme me R(f) ose (f). Pra:

R(f) = {f(x) | x D(f)}.Theksojme se rangu (bashkesia e vlerave) i funksionit ne rastin e pergjithshemeshte nenbashkesi e kodomenes.

Funksionin, domena dhe kodomena e te cilit eshte bashkesia X R e quajmefunksion real.

Sic ilustrohet ne guren ne g. 2.1, funksioni f eshte rregulla qe pasqyron

xx1 x2 yy1 y2

y

x

y1 (x1, y1)

y2 (x2, y2)

x1 x2

Fig. 2.1cdo pike te nje intervali te nje drejteze (domena) ne ndonje pike te nje intervalite drejtezes tjeter (kodomena). Duke e vendosur domenen ne boshtin Ox dhekodomenen ne ate Oy, merret nje grak dydimensional ne te cilin shoqerimi mesx e y eshte marr si bashkesi e cifteve sic jane (x1, y1) dhe (x2, y2). Keshtu:

Grafik te funksionit f :X Y, shenohet me Gf , quajme bashkesine:Gf = {(x, f(x)) : x D(f)}.

2.2 KUPTIMI I FUNKSIONIT 15

Shembuj 2.2.1 1. Nese kthehemi ne shembullin e dhene ne llim shohim sene mes te bashkesive X e Y ekziston varesia funksionale sepse cdo studenti ipergjigjet mbiemri i tij.

2. Me X shenojme te gjithe artikujt qe gjenden ne vitrinen e nje librarije dheme Y bashkesine e cmimeve te tyre. Cdo artikulli x i korespondon nje elementnga Y (cmimi i tij). Ketu behet fjale per funksionin i cili p.sh. artikullit x ishoqeron cmimin f(x).

3. Me X shenojme bashkesine e faqeve te nje libri dhe me N, si zakonisht,bashkesine e numrave natyrale. Seciles faqe i shoqerohet nje numer natyral.Prandaj, edhe ne kete rast verejme se ekziston varesia funksionale ne mes teelementeve te X dhe N.

4. Le te jete X = Y = N. Numrit 1 i shoqerojme numrin 2, numrit 2 numrin4 dhe ne pergjithesi numrit n i shoqerojme ate 2n. Keshtu tojme funksioninf : N N : n 2n, n N.

Pasqyrimet mund te jipen ne menyre analitike, tabelare apo tekstuale. Mjaf-ton te dihen domena, kodomena dhe rregulla (ligji) me ndihmen e se ciles cdoelementi te domenes i shoqerohet nje dhe vetem nje element i kodomenes.

Shembulli 2.2.1 Jane dhene bashkesite X = {a, b, c}, Y = {0, 1, 2} dherregullat f : X Y , g : X Y , h : Y X dhe j : Y X ashtu qe:

f(a) = 1, f(b) = 0, f(c) = 2, g(a) = 0, g(b) = 0, g(c) = 2h(0) = a, h(0) = b, h(2) = c, h(0) = b, j(0) = 1, j(1) = a, j(2) = b.

Lehte shihet se rregullat f dhe g jane pasqyrime, ndersa rregullat h dhej nuk jane. Te behen korrigjimet e nevojshme ne menyre qe edhe rregullat h, jte behen pasqyrime.

Shembulli 2.2.2 Le te jete X = {a, b, c}, Y = {u, v, , t} dhe rregullat f, g, hle te jepen me diagramet e me poshteme (g. 2.2):

b

a

c

v

u

t

fX Y

b

a

c

v

u

t

gX Y

b

a

c

v

u

t

hX Y

Fig. 2.2

Verejme se f nuk eshte funksion nga X ne Y, sepse elementit c X ishoqerohen dy elemente te ndryshme , t Y ;


g nuk eshte funksion nga X ne Y sepse nuk pasqyron te gjithe elementet ebashkesise X (elementi b X nuk ka fytyre);

h eshte funksion nga X ne Y.

Shembulli 2.2.3 Te gjendet domena e funksioneve f : I R, ku I R, teperkuzuara me:

(a) f(x) = x2 + x+ 1; (b) f(0) =x+ 1; f(x) =

14 x2 .

Zgjidhje: (a) Domena eshte D(f) = (,+).(b) Ne kete rast duhet qe x + 1 0, d.m.th. x 10. Pra, D(f) =

[1,+).(c) 4 x2 = 0. Pra, D(f) = (,2) (2, 2) (2,+) = R\{2, 2}.

Shembulli 2.2.4 Le te jete f :N N funksion i dhene me f(x) = x + 5. Tegjendet rangu i funksionit f.Zgjidhje: Meqenese D(f) = N, atehere:

R(f) = f(N) = {y = x+ 5 | x N} == {y = x+ 5 | x = 1, 2, 3, } = {6, 7, 8, 8, 9, }.

Shembulli 2.2.5 Ne qofte se f : R R dhe f(x) = x3 6x2 + 11x 6, tellogariten f(1), f(0), f(1), f(2), f(3) dhe f(4).Zgjidhje: Kemi:

f(1) = (1)3 6(1)2 + 11(1) 6 = 24,f(0) = 6f(1) = 13 6 12 + 11 1 6 = 0.

Shembulli 2.2.6 Te llogariten f(0), f(34), f(x), f( 1

x) dhe

1f(x)

dhe

f(x) =

1 + x2, ne qofte se f : R R.Zgjidhje: Kemi:

f(0) =

1 + 02 =1 = 1,

f

(1

4

)=

1 + (1

4)2 =

1 +

916

=

2516

=54,

f(x) =

1 + (x)2 =

1 + x2 = f(x),

f( 1

x

)=

1 +

( 1x

)2 =1 + 1x2

=1 + x2

|x| ,

1f(x)

=1

1 + x2=

11 + x2

1 + x21 + x2

=1 + x2

1 + x2.

2.2 KUPTIMI I FUNKSIONIT 17

Shembulli 2.2.7 Le te jete f(x) + f(y) = f(z). Te caktohet z ne qofte se:

(a) f(x) = ax, (a = 0), (b) f(x) = 1x, (x = 0).

Zgjidhje: (a) Nga f(x) + f(y) = f(z) marrim

ax+ ay = az = z = ax+ aya

= x+ y, a = 0.

(b) Nga f(x) + f(y) = f(z) rrjedh

1x

+1y

=1z

= y + xxy

=1z

= z = xyx+ y

, (x, y = 0, x = y).

Shembulli 2.2.8 Le te jene f, g, h:R R funksione te dhena mef(x) =

x

2, g(x) = x+ 1, h(x) = x 1.

Te njehsohet: f(g(x)), g(f(x)), g(h(x)), f(g(h(x))).Zgjidhje: Kemi:

f(g(x)) = f(x+ 1) =x+ 1

2,

g(f(x)) = g(x2)=

x

2+ 1,

g(h(x)) = g(x 1) = x 1 + 1 = x,f(g(h(x))) = f(g(x 1)) = f(x) = x

2.

Shembulli 2.2.9 Ne qofte se f(x+ 1) = 7x 2, te njehsohet f(x).Zgjidhje: Vejme x+ 1 = t. Atehere, x = t 1 prandaj

f(t) = 7(t 1) 2 = 7t 7 2 = 7t 9..Perfundimisht, f(x) = 7x 9.

Ne modelet ekonomike, domenet e funksioneve merren te jene nenbashkesi tebashkesiseR+ = [0,+), sepse ndryshret ne to jane numra jonegativ. Prandaj,shumica e modeleve ekonomike vizatohen ne kuadrantin e pare. Kur nuk thuhetndryshe domena dhe rangu perfshijne ata numra per te cilet funksioni ka kuptimekonomik.

Shembulli 2.2.10 Kostoja totale di-tore C eshte funksion i prodhimit ditorQ :

C = 150 + 7Q.Firma me se shumti mund te prodhoj100 njesi ne dite. Te caktohet domenadhe rangu i funksionit.Zgjidhja: Duke marr parasysh se Qmerr vlerat ne mes te 0 dhe 100, shohimse D(C) = {Q | 0 Q 100} =[0, 100). Fig.2.3

C

Q

C = 150 + 7Q

B(0, 850)

C(0, 150)

A(100, 0)O


Graku i funksionit C eshte drejtez (g. 2.3). dhe funksioni arrin vleren mevogel 150 (per Q = 0) dhe vleren me te madhe 850 (per Q = 100). Shohim seR(C) = [150, 850].

Nga perkuzimi i pasqyrimit rrjedh se dy pasqyrime f : X Y dheg : Z K jane te barabarta dhe shkruajme f = g nese X = Z, Y = Kdhe f(x) = g(x) per cdo x X = Z.

Shembulli 2.2.11 Jane dhene rregullat f : Z N, g : Q Z, h : N Nte perkuzuara me barazimet perkatese: f(x) = x2 1, g(x) = g

(pq

)= p,

h(n) = 2n 1. Cilat nga rregullat e mesiperme jane pasqyrime e cilat jo?Zgjidhje: Rregulla f nuk eshte pasqyrim, sepse f(1) = (1)2 1 = 0,ndersa 0 N; ndersa rregullat g dhe h jane pasqyrime.

Shembulli 2.2.12 Jane dhene pasqyrimet f : R R dhe g : Z Z teperkuzuara me f(x) = x2 + 1 dhe g(x) = x2 + 1. A jane te barabarta ketody pasqyrime ?

Zgjidhje:Meqe Df = Dg, ku Df eshte domena e funksionit f , perfundojmese pasqyrimet nuk jane te barabarta.

Per te thjeshtuar shenimet, nganjehere veprohet si me poshte.Supozojme se f :X R dhe g:X R. Atehere:

f > gf gf = gf gf < g

nenkupton se vlen:

f(x) > g(x)f(x) g(x)f(x) = g(x)f(x) g(x)f(x) < g(x),

per cdo x X.

Po ashtu:

(f + g):X R, perkuzohet me (f + g)(x) = f(x) + g(x), x X(fg):X R, perkuzohet me (f + g)(x) = f(x) g(x), x X.

2.3 DISA FUNKSIONE TE RENDESISHME

Perkufizimi 2.3.1 Funksioni f : X X, i tille qe f(a) = a per cdo a Xquhet pasqyrim identik i bashkesise A dhe simbolikisht shenohet me 1A.

Perkufizimi 2.3.2 Funksioni f : X Y i tille qe per a = b rrjedh qef(a) = f(b) per cdo a, b X quhet pasqyrim injektiv ose njenje (11).

Pra, pasqyrimi f : X Y i cili origjinaleve te ndryshme u shoqeronperfytyra te ndryshme quhet pasqyrim injektiv.

Qartazi, f : X Y eshte injektiv ne qofte se

2.3 DISA FUNKSIONE TE RENDESISHME 19

f(a) = f(b) = a = b.Theksojme se drejteza paralele me boshtin Ox e pret grakun e funksionit

injektiv ne vetem nje pike.

Perkufizimi 2.3.3 Pasqyrimi f : X Y i tille qe per cdo b Y , ekzistona X i tille qe f(a) = b quhet pasqyrim surjektiv ose mbi

Eshte e qarte se pasqyrimi f : X Y eshte mbi nese rangu i tij R(f) = Y .Shembulli 2.3.1 Le te jete f(x) = x2. Atehere:

f :R R+, eshte surjektiv, por jo edhe injektiv. f :R+ R+, eshte surjektiv, injektiv, pa edhe bijektiv. f :R R, nuk eshte surjektiv e as injektiv.

Perkufizimi 2.3.4 Pasqyrimi f : X Y i cili eshte njekohesisht injektiv dhesurjektiv quhet pasqyrim bijektiv.

Shembulli 2.3.2 Cilat nga funksionet

(a) f :X X, nese X = {1, 2, 3, 4} dhe f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 2, f(4) = 4;(b) f :N Q, f(n) = n

2n+ 1,

jane injektive, surjektive, bijektive?Zgjidhje: (a) f nuk eshte injektiv, sepse:

1 = 3 por f(1) = 2 = f(3).Funksioni f nuk eshte as surjektiv, sepse per 1 X nuk ekziston asnje

element x X i tille qe f(x) = 1. Rrjedhimisht, f nuk eshte bijektiv.(b) Le te jene n1, n2 N. Kemi:

f(n1) = f(n2) = n12n1 + 1 =n2

2n2 + 1= n1(2n2 + 1) = n2(2n1 + 1)= 2n1n2 + n1 = 2n1n2 + n2= n1 = n2,

qe tregon se funksioni f eshte injektiv.Funksioni f nuk eshte surjektiv, sepse p.sh. per 0 Q nuk ekziston x N

i tille qe f(n) = 0.

Shembulli 2.3.3 Te tregohet se funksioni f :R R, i dhene me f(x) = 2x+1eshte injektiv, surjekti e bijektiv.Zgjidhje: Le te jene x1, x2 R, x1 = x2. Kemi:

f(x1) = f(x2) = 2x1 + 1 = 2x2 + 1 = 2x1 = 2x2 = x1 = x2,


qe tregon se funksioni f eshte injektiv.Le te jete y R(f) = R. Kemi:

y = 2x+ 1 = 2x = y 1 = x = y12 .Pra, per y R(f) x D(f) : f(x) = 2 y 1

2+1 = y, qe tregon se funksioni

i dhene eshte surjrktiv.Meqenese f eshte injektiv dhe surjektiv, atehere f eshte bijektiv.

2.4 KOMPOZIMI I FUNKSIONEVE

Le te jene dhene pasqyrimet f : X Y dhe g : Y Z.Perkufizimi 2.4.1 Pasqyrimin h : X Z te perkufizuar me formulenh(x) = g(f(x)) e quajme kompozim te pasqyrimit f me pasqyrimin gdhe simbolikisht e shkruajme h = g f .

g(f(x))

h = g f

f(x)

gf

x

X Y Z

Fig. 2.4Nga perkuzimi i mesiperm shihet se jo cdo here ekziston kompozimi i dy

pasqyrimeve. Kusht i nevojshem dhe i mjaftueshem qe te ekzistoje kompozimii dy pasqyrimeve eshte qe kodomena e te parit te jete e barabarte me domenene te dytit.

Shembulli 2.4.1 Marrim funksionet f :R\{1} R++ dhe g:R++ R teperkuzuara me f(x) = (x+ 1)2 dhe g(y) = log y. Atehere:

(g f)(x) = g(f(x)) = g((x+ 12) = log(x+ 1)2.Mirepo, nese f(x) = x2, atehere g f nuk eshte i perkuzuar per x = 0 (pse?).

Per kompozimin e pasqyrimeve vlen vetem vetia asociative (e shoqerimit).Me te vertete, nese jane dhene pasqyrimet f : A B, g : B C dheh : C D, atehere per cdo x A kemi:

((h g) f)(x) = (h g)(f(x)) = h(g(f(x))) dhe (h (g f))(x) == (h(g f)(x)) = h(g(f(x))),

qe d.m.th. (h g) f = h (g f).

2.5 FUNKSIONET CIFT E TEK DHEFUNKSIONET PERIODIKE 21

Shembulli 2.4.2 Le te jene: f :R R funksion i perkuzuar me baraziminf(x) = x2, g:R R+ me g(y) = 1 + y, dhe h:R+ R i perkuzuar meh(z) =

z. Atehere:

(h g)(y) = 1 + y dhe (g f)(x) = 1 + x2.Prandaj,

[h (g f)](x) = h((g f)(x)) = h(1 + x2) =

1 + x2,

si dhe

[(h g) f ](x) = (h g)(f(x)) = (h g)(x2) =

1 + x2 .

2.5 FUNKSIONET CIFT E TEK DHEFUNKSIONET PERIODIKE

2.5.1 Funksionet cift e tek

Perkufizimi 2.5.1 Funksioni f :S R, S R, quhet cift (tek) ne qofte se:

(x D(f) = S, x D(f) = S) vlen f(x) = f(x), (f(x) = f(x));

Shembulli 1.3.16. Funksionet f :R R te dhena me f(x) = x2, f(x) =cosx, f(x) = |x|, jane funksione cifte. Funksionet f(x) = x, f(x) = sgn x 1,f(x) = sinx, jane funksione teke. Funksioni f(x) = sinx + cosx nuk eshte cifte as tek.

Le te theksojme se graku i funksionit cift eshte simetrik ndaj boshtit Oy,ndersa i funksionit tek eshte simetrik ndaj qendres se sistemit koordinativ.

2.5.2 Funksionet periodike

Perkufizimi 2.5.2 Funksioni f :S R quhet periodik, ne qofte se ekzistonnumri pozitiv i tille qe x+ S dhe f(x+ ) = f(x), x S.

Duket qarte se ne kete rast, edhe cdo numer k (k Z) e ka kete veti.Numri me i vogel , nese ekziston, i cili e ka vetine e pershkruar me siper quhetperiode e funksionit.

Shembulli 1.3.17 Funksionet f(x) = sinx, f(x) = cosx kane perioden 2ndersa funksionet f(x) = tg x, f(x) = ctg x kane perioden .

Le te theksojme se funksionin periodik mjafton ta shqyrtojme ne segmentinme gjatesi sa perioda, sepse jashte tij ai perseritet.

1signum (lat) - shenja


2.6 FUNKSIONET INVERSE

Le te jete f :X Y funksion bijektiv.

Perkufizimi 2.6.1 Pasqyrimin f1:Y X, te pekufizuar me:f1(f(x)) = x, (d.m.th. nese y = f(x), atehere x = f1(y)),

e quajme pasqyrim invers i funksionit f.

Ne qofte se f nuk eshte funksion bijektiv, atehere f1 nuk eshte mire iperkuzuar, qe tregon se funksioni i dhene nuk ka funksion invers.

Shembulli 2.6.1 Le te jete f :R+ R+ funksion i perkuzuar me baraziminf(x) = x2. Funksioni f1:R+ R+ ekziston dhe f1(y) = y. Per teverikuar kete verejme se f1(f(x)) =

x2 = |x| = x, sepse x 0.

Lexuesi le te vereje se pasqyrimi f :R R si dhe f :R+ R, nuk kanefunksion invers.

Shembulli 2.6.2 Pasqyrimi f : R R i dhene me f(x) = 2x + 3 eshtebijektiv, prandaj ekziston pasqyrimi invers f1 : R R dhe f1(x) = x 3

2.

Vejme ne dukje se graku i funksionit f eshte simetrik me ate te funksionitf1, ne lidhje me drejtezen y = x. (g. 2.5.)

f1

f

y = x

O x

y

Fig. 2.5

Po ashtu, verejme se:

f1 f = 1(pasqyrimi identik) Nese f1 eshte invers i f, atehere f eshte invers i f1, d.m.th. (f1)1 =

f.

Teorema 2.6.1 Supozojme se f :X Y, g:Y Z jane funksione bijektive.Atehere, kompozimi g f eshte funksion bijektiv dhe (g f)1 = f1 g1.

2.7 DISA FUNKSIONE KARAKTERISTIKE 23

Vertetimi. Se kompozimi g f eshte bijeksion, tregohet lehte. Per cdo z Zvlen:

(g f) (f1 g1)(z) = (g f f1 g1)(z) = (g (f f1) g1)(z)= (g 1Y g1)(z) = (g g1)(z) = 1Z(z) = z,

qe tregon se (g f) (f1 g1) = 1. Prandaj, (g f)1 = f1 g1.

2.7 DISA FUNKSIONE KARAKTERISTIKE

2.7.1 Vlera absolute

Perkufizimi 2.7.1 Vlera absolute eshte pasqyrimi | | : R R i perkufi-zuar me barazimin

|x| ={x, nese x 0x, nese x < 0.

Graku i funksionit f(x) = |x| eshte paraqitur ne guren 2.6.P.sh. | 5 |= 5, sepse 5 > 0, | 7| = (7) = 7, sepse 7 < 0, |17 = 17,sepse

17 > 0.

Nga perkuzimi i mesiperm merren keto veti te vleres absolute:

| x |=| x | . (1)

|x| 0 dhe |x| = 0 x = 0. (2)x |x| dhe x |x|. (3)

Nga (3) shohim se vlen|x| x |x|. (4)

Po ashtu, nga perkuzimi i sipershenuar marrim:

(y x y) (x y x y) |x| y, (5)

per cdo y 0.

Teorema 2.7.1 Ne qofte se a, b R, atehere:

1) ||a|| = |a| 0;2) |a+ b| |a|+ |b|;3) ||a| |b|| |a b|;4) |a b| = |a| |b|;5)

ab = |a||b| , b = 0.


Le te jene a, b R. Largesa ose distanca ne mes te pikave a e b, shenohetme d(a, b) dhe perkuzohet me barazimin:

d(a, b) = |a b|.P.sh. gjatesia e intervalit [5, 11] eshte d(5, 11) =| 5 11 |=| 16 |= 16.

Verejtje. Per cdo a R, a 0, vlen:

| x | a x [a, a];| x | > a x (, a) (a,+).

Shembuj 2.7.1 Te zgjidhet ekuacioni:1. | x |= 3.

Zgjidhje: Sipas perkuzimit kemi | x |= x,per x 0 dhe | x |= x,per x < 0.Prandaj, | x |= 3 x = 3 x = 3, d.m.th. B = {3, 3}.

2. | x |= 2.Zgjidhje: Ekuacioni nuk ka zgjidhje, sepse |x| 0 per do numer real x (vetia1).

3. | x | +3 = 8, (Zgj. B={-5, 5}).4. | 2x+ 1 |= 3, (Zgj. B={-2, 1}).

Shembuj 2.7.2 Te gjendet bashkesia e zgjidhjeve te pabarazimit:

1. | x |< 5 (Zgj. x (5, 5)).2. | x | 1 (Zgj. x (,1] [1,+)).3. | x 2 | 3.

Zgjidhje:| x 2 | 3 3 x 2 3 2 3 x 3 + 2 1 x 5 x

[1, 5].4. | x+ 1 |> 2, (Zgj. x (,3) (3,+)).5. | 5 2x |< 3.

Zgjidhje: | 5 2x | 3| 2x 5 | 3 3 2x 5 3 2 2x 8 1 x 4 x [1, 4].

Studenti per secilen detyre te sipershenuar, te paraqes zgjidhjen ne boshtinnumerik.

y

xO 11

1

Fig. 2.6

y

xO

1

1

Fig. 2.7

2.7 DISA FUNKSIONE KARAKTERISTIKE 25

2.7.2 Funksioni signum (i shenjes)

Perkufizimi 2.7.2 Funksioni signum (i shenjes), shenohet me sgn , eshtepasqyrimi sgn : R R i dhene me barazimin

sgnx =

{ 1, nese x > 00, nese x = 01, nese x < 0.

Graku i ketij funksioni eshte dhene ne guren 2.7.

Vetite:

a) sgn (sgnx) = sgnx,

b) sgnx =|x|x

=x

|x| , per x = 0,

c) sgn (xy) = sgnx sgn y dhe sgn(x

y

)=

sgnxsgn y

, y = 0.

2.7.3 Pjesa e plote

Perkufizimi 2.7.3 Pasqyrimi [ ] : R R, i perkufizuar me barazimin

[x] = k k x < k + 1, k Z (1)

quhet pjesa e plote.

P.sh. [0.34] = [0.56] = [0.999999]0, [0.34] = [1 2] = 1, [23] =[3.11] = [3.677] = [3.999] = 3, [0.34] = [0.689] = 1, [2.344] = [2.999] =3, etj.

Graku i funksionit f(x) = [x] eshte dhene ne g. 2.8.y

xO

12

2

2

2 31

1

1

Fig. 2.8


2.7.4 Funksioni karakteristik i bashkesise A

Le te jete dhene bashkesia e cfaredoshme A U , ku U eshte bashkesiauniversale (me e madhja e mundshme).

Perkufizimi 2.7.4 funksioni A : U R i perkufizuar me barazimin

A(x) ={

1, nese x A0, nese x A,

quhet funksioni karakteristik i bashkesise A.

Nese A = Q R, ndersa U = R, atehere funksioni Q : R R i tilleqe:

Q(x) ={

1, nese x Q0, nese x Q,

quhet funksioni i Dirihles (Dirichlet).

Per kete funksion nuk ekziston graku, edhe pse mund te caktojme pakushume pika te tij. Ky funksion eshte i nje rendesie te vecante ne analizenmatematike.

2.8 FUNKSIONET MONOTONE

Perkufizimi 2.8.1 Per funksionin f :X R, ku X R thuhet se eshte:

(rigorozisht) rritesjozvogeluesjorrites(rigorozisht) zvogelues

nese nga x < y rrjedh

f(x) < f(y)f(x) f(y)f(x) f(y)f(x) > f(y)

,

ku x, y D(f).Funksionet e tilla i quajme funksione monotone.Ne g. 2.9 shihet si duken funksioni jozvogelues dhe ai zvogelues.

y

xO

fjozvogelues

fzvogelues

x

y

O

Fig. 2.9

2.9 LLOJET E FUNKSIONEVE 27

Ne g. 2.10 shihet si duken funksioni rrites dhe ai jorrites.

y

frrites

xO

y

xO

fjorrites

Fig. 2.10

2.9 LLOJET E FUNKSIONEVE

2.9.1 Funksioni konstant

Funksioni f :S R quhet konstant, ne qofte se f(x) = c, x S, c R.Shihet se rangu i funksionit konstant pemban vetem nje element. Graku ifunksionit konstant eshte drejteza paralele me boshtin Ox, e larguar nga qendrae sistemit koordinativ per distancen |c|

P.sh., funksioni f : R R, i dhene me barazimin f(x) = 5 eshte funksionkonstant.

2.9.2 Funksionet polinomiale

Funksioni konstant eshte rast i vecante i te ashtuquajturave funksioneve poli-nomiale. Funksioni polinomial i ndryshores x ka formen:

y = a0 + a1x+ a2x2 + + anxn.Vejme ne dukje se a0 = a0x0, a1x = a1x1. Varesisht nga vlera e nit (qe

paraqet shkallen me te larte te xit), merren keto raste:Rasti n = 0 : y = a0, funksioni konstantRasti n = 1 : y = a0 + a1x, funksioni linearRasti n = 2 : y = a0 + a2x+ a3x2, funksioni kuadratikRasti n = 3 : y = a0 + a3x2 + a3x3, funksioni kubik,

etj. Ne vazhdim do te asim me gjeresisht sidomos per funksionin linear e atekuadratik.


2.9.3 Funksionet racionale

Funksioni si:y = f(x) =

x 1x3 2x+ 1 ,

ku y paraqitet si thyese e dy funksioneve polinomiale, quhet funksion racional.Rast i vecante i funksionit racional, qe ka zbatime ne ekonomiks, eshte funk-

sioniy =

a

x, ose xy = a, a R.

Verejme se prodhimi i ndryshoreve eshte konstante kse. Ne ekonomiks funk-sioni i tille paraqet rastin e vecante te funksionit te kerkeses, me cmimin Pdhe sasine Q. Ne kete rast PQ = a, a konstante (me rritjen e sasise, cmimizvogelohet dhe anasjelltas, me zvogelimin e sasise ne treg, ngritet cmimi). (g.2.11.)

Q

P1

a

P Q = a

O

Fig. 2.11

AFC

Q1

C

AFC Q = C

O

Fig. 2.12Zbatim tjeter merret te lakorja e kostos mesatare fikse (AFC). Nese me Qshenojme sasine e prodhuar, (AFC)Q (= kostoja totale) do te jete nje konstante(me rritjen e sasise se prodhimit, zvogelohet kostoja mesatare kse) g. 2.12.

2.9.4 Funksionet transcendente (joalgjebrike)

Funksioni i paraqitur permes polinomeve ose rrenjeve te tyre quhet funksion al-gjebrik. P.sh., funksioni y = f(x) =

x4 + 1 nuk eshte racional, por algjebrik.

Funksionet e tilla i quajme funksione irracionale. Funksioni si y = ax, a R,ku ndryshorja e pavarue eshte ne eksponent, eshte funksion transcendent.Po ashtu, edhe funksionet logaritmike (te cilet do te shqyrtohen me vone) si dhefunksionet trigonometrike e inverse trigonometrike jane funksione trancendente.

Klasikimi i funksioneve shihet nga skema:

2.10 FUNKSIONI LINEAR 29

F U N K S I O N E T A l gj e b r i k e T r a n s c e n d e n t e

R a c i o n a l e I r a c i o n a l e

Racionale te plota Racionale thyesore

(polinomiale)

Ne vazhdim, per shkak te redesise se madhe qe ka ne ekonomiks dhe biznes,marrim kuptimet themelore ne lidhje me funksionin linear.

2.10 FUNKSIONI LINEAR

Me siper u dha kuptimi i funksionit f :X Y, te dhene me barazimin y =f(x). Barazimi i fundit eshte shprehje analitike qe tregon lidhjen qe ekzistonndermjet ndryshoreve (variablave) x dhe y. Lidhjen ndermjet variablave mundta paraqesim me nje shprehje matematike. P.sh.:

y = a+mx

eshte nje shembull i lidhjes ndermjet variablave x dhe y. Shprehja ka po ashtua dhe m. Ato jane konstante te cilat ndihmojne per te perkuzuar lidhjenndermjet ndryshoreve.

Ne kete shprehje variabla y varet nga x, a, dhe m. y eshte variabele varur.

Nga ana tjeter, vlera e x nuk varet nga y, a dhe m. Pra, x eshtevariabel e pavarur.

Shembulli ne vijim ilustron menyren si mund te jepen keto shprehje.

Ne nje shitore te picave mesojme se pica e thjeshte (e thate) pa shtesakushton 3 euro dhe per cdo shtese cmimi i rritet per 0.75 cent. Cmimi total ipices (y) varet nga numri i shtesave (x) qe i kerkon bleesi. Prandaj, cmimi ipices eshte variabel e varur, ndersa numri i shtesave eshte ndryshore e pavarur.Ne kete shembull cmimi dhe numri i shtesave mund te ndryshojne, prandaj atojane variabla. Cmimi total i pices po ashtu varet edhe nga cmimi i pices se thatedhe cmimi i shtesave (qe ne kete rast eshte i njejte). Lidhja ndermjet cmimit tepices dhe numrit te shtesave mund te paraqitet ne kete forme:

y = a+mx. (1)

Nese ne dime se x (numri i shtesave) ndersa y (cmimi total), cka paraqesin adhe m? Ne shembullin tone, a eshte cmimi i pices se thate pa shtesa dhe m


eshte cmimi i seciles shtese. Ato jane konstante. Me fjale tjera, ato jane vlerate ksuara te cilat qartesojne lidhjen ndermjet x dhe y.

Nga skica ne vijim shihet se si cmimi total i pices eshte i lidhur me numrine shtesave.

y =cmimi total i pices m =cmimi per shtese

y = a+mx

a =cmimi i pices se thate x =numri i shtesave

Ne qofte formojme nje tabele qe pasyron lidhjet e vecanta te x dhe y, nedo te shohim kombinimet e x dhe y qe plotesojne (1). P.sh., ne qofte se pica ethate (a) kushton 3 euro dhe cmimi i seciles shtese (b) eshte 0.75 euro, gjejme:

y = 3 + 0.75x.

Nga relacioni:

y = a+mx

formojme tabelen:

y a m xcmimi nal pica e thate cmimi i cdo shtese numri i shtesave

3 3 0.75 03.75 3 0.75 14.50 3 0.75 25.25 3 0.75 36 3 0.75 4

Nga tabela shihet se ciftet e renditura (0, 3), (1, 3.75), (2, 4.50), (3, 5.25),(4, 6), plotesojne shprehjen e dhene. Pra, graku i funksionit te dhene eshtebashkesia:

Gf = {(x, y) | y = 3 + 0.75x} = {(0, 3), (1, 3.75), (2, 4.50), (3, 5.25), (4, 6), }

e cila, ne te vertete eshte bashkesi e pafundme e cifteve te renditura. I paraqesim


ato pika ne sistemin koordinativ te Dekartit Oxy :

y

x1 2 3 4

1

4.5

3.75

5.25

2

3

y = 3 + 0.75x

Fig. 2.13

dhe shohim se graku i funksionit y = 3 + 0.75x paraqet drejtez (ne kete rastgjysmedrejtezen (pse?)) me llim ne piken (0, 3). (g. 2.13.)

Perkufizimi 2.10.1 Funksionin f :R R, te dhene me barazimin:y = f(x) = a+mx,

ku a,m jane konstante, x R, e quajme funksion linear.Graku i funksionit linear ne sistemin koordinativ te Dekartit, paraqet drej-

tez. Koecienti m ne barazimin (1) quhet pjerrtesia (koeficienti i drejtimit)e drejtezes. Supozojme se vlera e ndryshores x rritet nga x1 ne x2, (x1 < x2).Atehere, ndryshorja y nderron nga y1 ne y2. Vejme x = x2 x1,y = y2 y1(shih g. 2.16).

Theksojme se numri R eshte zero e funksionit linear nese f() = 0.Pra:

a+mx = 0 = x = am

, m = 0,eshte zero e funksionit linear.

Pika A( am

, 0) eshte pikeprerje me boshtin e abshisave dhe quhet xprerja,ndersa pika B(0, a) eshte pikeprerja me boshtin Oy dhe quhet yprerje.Shembulli 2.10.1 Te paraqiten grakisht funksionet:

(a) y = x, (b) y = x, (c) y 12x, (c) y 1

2x+ 2,

(d) y =12x 3, (dh) y = x+ 2, (e) y = 2x+ 3,

(f) y 3x+ 15.


Zgjidhje: Dime se graku i funksionit linear eshte drejtez.(a) Mjafton te caktojme dy pika te drejtezes. Formojme tabelen:

x 0 1y=x 0 1

Pra, pikat O(0, 0) dhe A(1, 1) i takojne drejtezes.(g. 2.14.)(b) e (c). Zgjidhjen e ben lexuesi.(c) Lehte shihet se xprerja eshte pika A(6, 0), ndersa yprerja eshte pika

B(0,3). Graku i funksionit eshte dhene ne g. 2.15.y

x

A(1, 1)

O

Fig. 2.14

y

x

B(0,3)

A(6, 0)O

Fig. 2.15

Detyrat tjera i zgjidh lexuesi.Pjerrtesia m eshte heresi ndermjet y (ecjes vertikale) dhe x (ecjes hori-

zontale), d.m.th. (g. 2.16)

m =yx

=ecja vertikale

ecja horizontale.

y

x

x

y ngritja vert.

}

ecja horiz.

x1 x2

y1

y2

Fig. 2.16

Shembulli 2.10.2 Te vizatohen drejtezat:


(a) y = 1, (b) y = 3, (c) x = 2, (c) x = 3.dhe te caktohet pjerrtesia e tyre.Zgjidhje: Dime se pjerrtesia e drejtezes y = a+mx eshte parametri m.

(a) y = 1.Graku eshte dhene ne g. 2.17. Marrim pikat A(1, 1), B(2, 1) qe i takojne

drejtezes. Kemi:

m =yx

=y1 y1x2 x1

01 0,

qe tregon se pjerrtesia eshte e barabarte me zero. Theksojme se graku i funk-sionit y = a eshte drejteza paralele me boshtin Ox, e larguar nga ajo per dis-tancen |a|.

(b) Zgjidhjen e ben studenti.(c) Graku eshte dhene ne g. 2. 18. Marrim dy pika te drejtezes, p.sh.

A(2, 1), B(2, 2). Shohim se m =2 12 2 = ., d.m.th. pjerrtesia eshte .

Theksojme se graku i funksionit x = b eshte drejteza paralele me boshtin Oy,e larguar nga ajo per distancen |b|.

(c) Zgjidhjen e ben studenti.y

x

y = 1 A(1, 1)

O

B(2, 1)

Fig. 2.17

y

x

x = 2

B(2, 2)

A(2, 1)

O

Fig. 2.18

Shembulli 2.10.3 Nje shitore e akulloreve shet konin me nje luge akullore per0.6. Per cdo luge me teper paguhet nga 0.5. Nese klienti ben porosine persluge akullore, ku 0 s 4, ndersa p eshte cmimi, atehere lidhja ndermjetndryshoreve p e s jepet me barazimin:

p = 0.6 + 0.5 s.Cila eshte ndryshore e pavarur dhe cila eshte e varur?Zgjidhje: (1) Ndryshore e varur eshte eshte cmimi nal i konit (p).

(2) Ndryshorja e pavarur eshte numri i lugeve shtese (s).

Shembulli 2.10.4 Vizatojme ne te njejtin sistem koordinativ drejtezat meekuacionet:

1) y = 1, 2) y =13x+ 1, 3) y = x+ 1, 4) y = 3x+ 1.


dhe shohim si ndryshon variabla y kur ndryshorja x e rritet per nje njesi.

Nga barazimi (1) dhe g. 3.19 shihet se:

Drejteza e pare e ka pjerrtesine zero (m=0) dhe graku i saj eshte drejtezqe kalon neper piken (0, 1) dhe eshte paralele me boshtin e abshisave;

Drejteza e dyte e ka pjerrtesine m = 12, dhe per kete madhesi rritet variabla

y kur x rritet per 1.

Drejteza e trete e ka pjerrtesine m = 1, dhe per kete madhesi rritet variablay kur x rritet per 1.

Drejteza e katert e ka pjerrtesine m = 3, dhe per kete madhesi rritetvariabla y kur x rritet per 1.

Shembull. Te vizatohen drejtezat:

1) y = 1 13x, 2) y = x+ 2, 3) y = 4x+ 2, 4) y = 3x+ 6.

Zgjidhjen e bene lexuesi.y

x

y = 1

y = x + 1

}1

}3

} 13y = 13x + 1

y = 3x + 1

1

1

2

2

4

3

Fig. 2.19

2.11 ZBATIMI NE EKONOMIKSDHE BIZNES

Funksioni linear ka zbatim te gjere ne Ekonomiks dhe Biznes. Marrim nevazhdim disa zbatime te tij.

2.11 ZBATIMI NE EKONOMIKSDHE BIZNES 35

2.11.1 Vija buxhetore

Me grakun e funksionit linear mund te shqyrtohen kombinimet e ndyshme tedy mallrave te blera me buxhetn B. Ne qofte se me x e y shenojme njesite etyre, ndersa me px e py cmimet e tyre, perkatesisht, atehere shkruajme

px x+ py y = B (1)Ekuacioni (1) quhet vije buxhetore. Nese buxheti ose px e py ndryshojne,drejteza (1) cvendoset paralelisht, perkatesisht i ndryshon koecienti i drejtimit(pjerrtesia). Rritja e buxhetit implikon cvendosjen paralele te drejtezes nga edjathta. Nderrimi ne komponenten py ka efekt vetem ne yprerjen e jo edhe nexprerjen.

Ne qofte se ciftet (x, y) ne vend te (1) plotesojne pabaraziminpx x+ py y B,

ose ndonje sistem pabarazimesh, atehere bashkesine e zgjidhjeve (x, y) e quajmefushe buxhetore.

Shembulli 2.11.1 Nje grua shpenzon 150 per dy mallra x dhe y me cmimetpx = 5 dhe py = 2.

(a) Te vizatohet vija buxhetore;Te shikohet cfare ndodh me vijen buxhetore nese:

(b) buxheti i saj zvogelohet per 20%;(c) px zvogelohet pergjysme;(c) py rritet per 50 cent.

Zgjidhje: (a) Duke vene ne (1) px = 5, py = 2, B = 150, marrim:5x+ 2y = 150,

osey = 2.5x+ 75.(vija e plote ne g. 2.20.)

y

x(24, 0)

(0, 60)

(30, 0)

(0, 75)

10

10

Fig. 2.20

y

x(30, 0)

(0, 75)

(60, 0)10

10

Fig. 2.21

(b) Ne qofte se buxheti zvogelohet per 20%, buxheti i ri do te jete


150 0.2 150 = 120.Tash, vija buxhetore merr trajten:

5x+ 2y = 120, ose y = 2.5x+ 60.(vija e nderprere ne g. 2.20.)Verejme se zvogelimi i buxhetit sjelle cvendosjen paralele te vijes buxhetore nete majt.

(c) Kur px zvogelohet pergjysme, marrim2.5x+ 2y = 150, ose y = 1.25x+ 75.(vija e nderprere ne g. 2.21.)

yprerja mbetet e njejte por pjerrtesia ndryshon dhe behet me e madhe.(c) Kur py rritet per 5cent, marrim

5x+ 2.5y = 150, ose y = 2x+ 60.(vija e nderprere ne g. 2.22.)y

x

(0, 60)

(30, 0)

(0, 75)

10

10

Fig. 2.22

y

x(30, 0)

(0, 18)

(0, 24)

(40, 0)

(0, 24)

10

5

Fig. 2.23

Shembulli 2.11.2 Kompania me buxhetin prej 120 mund te prodhoj dymallra te ndryshme x dhe y me cmime 3 dhe 5, perkatesisht. Te paraqitetgrakisht efekti i:

(a) reduktimit prej 25% te buxhetit;(b) dyshimit te cmimit te x;(c) i reduktimit prej 20% te cmimit te y.

Zgjidhje: Nga kushtet e detyres shohim se vija buxhetore ka formen:3x+ 5y = 120.

Shohim se xprerja eshte pika Q(40, 0), ndersa yprerja eshte pika P (0, 24),graku i se ciles eshte dhene ne g. 2.23.

(a) Meqenese buxheti zvogelohet per 25%, marrim ekuacionin:3x+ 5y = 120 0.25 120 = 90.

Shohim se xprerja eshte pika Q(30, 0), ndersa yprerja eshte pika P (0, 18).Graku i vijes se re buxhetore eshte dhene ne g. 2.23. (vija e nderprere.)

(b) Vija buxhetore merr formen6x+ 5y = 120.


xprerja eshte pika Q(20, 0), ndersa yprerja eshte pika P (0, 24). Efekti shihetne g. 2.24.

(c) Kemi

3x+ (5 0.20 5)y = 120 ose 3x+ 4y = 120.

xprerja eshte pika Q(40, 0), ndersa yprerja eshte pika P (0, 30). Efekti shihetne g. 2.25.

y

x(20, 0)

(0, 24)

(40, 0)

(0, 24)

10

5

Fig. 2.24

y

x(30, 0)

(0, 30)

(0, 24)

(40, 0)

(0, 24)

10

5

Fig. 2.25

Shembulli 2.11.3 Buxhetin mujor prej 90 Ardita e harxhon per bileta teatridhe ne CD. Supozojme se cmimi i seciles CD eshte px = 15 dhe cmimi i biletesse teatrit eshte 10.

(a) Te perkuzohet fusha buxhetore dhe te paraqitet ajo grakisht.

(b) Buxhetit prej 90 i jane shtuar edhe vlera e dy biletave te teatrit, tecilat Ardita patjeter duhet ti pranoj. Te perkuzohet fusha e saj buxhetore dhete ilustrohet grakisht.

Zgjidhje: Meqenese x e y paraqet numrin e CD-ve dhe te biletave, perkatesisht,bashkesia

B = {(x, y) | 15x+ 10y 90, x, y R+}

paraqet fushen buxhetore (g. 2.26).

(b) Meqenese Ardita duhet te merr patjeter dy bileta, atehere duhet te vlejey 2. Ne kete rast buxheti mujor eshte rritur per cmimin e dy biletave, d.m.th.per 20. Prandaj, duhet te plotesohet edhe pabarazimi 15x + 10y 110. Ne


kete rast fusha buxhetore do te jete (g. 2.27)y

x6

9

Fig. 2.26O

y

x6

11

2

Fig. 2.27O

B = {(x, y) | y 2, 15x+ 10y 90, x, y R+}.

2.11.2 Analiza B-E (Break-Even)

Ne planikimin e biznesit te ri eshte e rendesishme te dihet sa njesi duhet teprodhohen dhe shiten qe biznesi te jete protabil. Per shkak te kostos kse,kostoja totale e prodhimit te nje numri te vogel njesish do te jete me e madhese te hyrat e tuara nga shitja e tyre. Pra, niveli i vogel i prodhimit implikonhumbje. Niveli me i larte i prodhimit bene qe te hyrat e tejkalojne koston dheprodhimi realizon prot.

Niveli i prodhimit per te cilin kostoja totale eshte e barabarte me te hyrattotale, quhet niveli B-E (Break-Even) ose pika B-E.

Ky eshte niveli i prodhimit kur prodhuesi nuk ka tim e as humbje.

Shembulli 2.11.4 Prodhuesi shet nje mall 110 per nje njesi. Kostoja kseper te eshte 7,500 ndersa kostoja e ndryshueshme eshte 60 per njesi. Sa njesiduhet te shes prodhuesi qe te arrihet niveli B-E?Zgjidhje: Me x shenojme numrin e njesive te shitura te prodhimit. Te hyrattotale jane

R(x) = 110x,ndersa kostoja totale eshte

C(x) = 7, 500 + 60x.Per te gjete nivelin B-E, marrim:

Te hyrat = Kostoja110x = 7, 500 + 60x50x = 7, 500


x = 150.

Pra, prodhuesi duhet te shes 150 njesi qe te arrihet niveli B-E. Me shitjen e njenumri me te vogel te njesive, prodhuesi peson humbje, ndersa me shitjen e meshume se 150 njesive, prodhuesi ka tim. Skema ne vijim ilustron shembullin edhene.

x150

Pika B-E Fitim

O

Humbje

Shembulli 2.11.5 Cmimi i tavolines se kompjuterit eshte 70. Kostoja ksee prodhimit eshte 8, 000, ndersa kostoja e prodhimit per njesi eshte 30. Sanjesi duhet te shes prodhuesi qe te arrihet niveli B-E?Zgjidhje: Kemi:

R(x) = 70x, C(x) = 8, 000 + 30xR(x) = C(x)70x = 8, 000 + 30x40x = 8, 000

x =8, 00040

= 200

Prodhuesi duhet te shese 200 tavolina qe te arrihet niveli B-E. Skema ne vijimilustron shembullin e dhene.

x200

Pika B-E Fitim

O

Humbje

2.11.3 Zbatime te tjera ne ekonomiks

Shembulli 2.11.6 Nga llimi i vitit, cmimi i benzines pa plumb eshte ngriturne menyre konstante 0.02 per liter per cdo muaj. Me nje qershor, cmimi ibenzines ka arritur vleren 1.03 per nje liter.

(a) Te shprehet cmimi i benzines ne funksion te kohes (muajve).

(b) Sa ka qene cmimi i benzines ne llim te vitit?

(c) Sa do te jete cmimi i benzines me nje tetor?

Zgjidhje: (a) Meqenese ngritja e cmimit eshte konstante, 2 cent per nje literper cdo muaj, atehere funksioni qe e pershkruan levizjen e cmimit do te jetelinear. Pra:

f(x) = m x+ n, (1)graku i te cilit eshte nje drejtez, ndersa x {0, 1, 2, ..., 11} , me crast vlerax = 0 i pergjigjet muajit janar, kurse x = 11 i pergjigjet muajit dhjetor. Ngate dhenat ne detyre, kemi: per x = 5, f(5) = 103 cent kurse per x = 6,


f(6) = 105 cent. Kjo do te thote se drejteza e dhene me ekuacionin (1) kalonneper pikat P1(5, 103) dhe P2(6, 105). Duke shfrytezuar ekuacionin e drejtezesneper dy pika P1(x1, y1) dhe P2(x2, y2) :

y y1 = y2 y1x2 x1 (x x1),

kemi:

f(x) 103 = 105 1036 5 (x 5),

ose f(x) = 2x+ 93.

(b) Meqenese x = 0 i pergjigjet muajit janar, atehere cmimi i benzines nellim te vitit ka qene f(0) = 2 0 + 93 = 93 cent per nje liter.

(c) Ngjashem, si ne rastin (b), muajit tetor i pergjigjet vlera x = 9, prandajcmimi i benzines ne muajin tetor do te jete f(9) = 2 9 + 93 = 18 + 93 = 111cent.

Shembulli 2.11.7 Cmimi per te vizituar nje muze te historise eshte si vijon:grupet me me pak se 50 vizitore paguajne nga 1.5 per person, kurse grupetme se paku 50 vizitore paguajne nga 1 euro per person.

(a) Sa euro duhet paguar grupi me xvizitore?

(b) Te vizatohet graku i kostos ne funksion te xit (numrit te vizitoreve).

(c) Sa euro do te kursente grupi me 49 vizitore, nese grupi e rekruton (emerr) edhe nje anetare me teper, ndoshta te painteresuar?

Zgjidhje: (a) Nese me x shenojme numrin e vizitoreve, kurse me C(x) kostone vizites ne funksion te xit, atehere kemi:

C(x) ={

1.5x, nese 0 x < 50x, nese x 50


(b) Graku i funksionit C(x) eshte dhene ne g. 2.28.

xO 20 5010

10

75P (50, 75)

C(x)

Fig. 2.28

(c) C(49) C(50) = 49 1.5 50 1 = 73.5 50 = 23.5 euro.

Shembulli 2.11.8 Duhet ndertuar nje rezervoar ne forme paralelopipedi mebaze siperfaqe katrore, me vellim 250 m3. Materiali per pjesen e siperm dhete poshtme (bazat) kushton 2 euro per 1m2, kurse per muret anesore kushton1 euro per 1m2. Te shprehet kostoja e materialit per ndertimin e rezervoaritne funksion te gjatesise se bazes se tij.

Zgjidhje: Le te jete x gjatesia e brinjes se bazes katrore te rezervoarit, kursey lartesia e tij. Duke shfrytezuar formulen per syprinen e paralelopipedit mebrinjet a, b dhe c, S = 2(ab+ bc+ ca), kemi:

C(x) = 2 x2 2 + 4 x y 1 = 4x2 + 4xy.Meqenese vellimi i paralelopipedit eshte V = abc, atehere nga kushti 250 =

x2 y marrim se y = 250x2

. Kete vlere te yit e zevendesiojme ne C(x), dhemarrim:

C(x) = 4x2 + 4x 250x2

= 4(x2 +

250x

).

Formula e fundit paraqet koston e materialit per ndertimin e rezervoarit tekerkuar. Ne vecanti, nese x = 4m, atehere kostoja do te jete:

C(4) = 4(42 +

2504

)= 64 + 250 = 314.

Shembulli 2.11.9 Duhet ndertuar nje pakete ne forme paralelopipedi, e ciladuhet te jete e hapur nga siper, baza e se ciles eshte siperfaqe katrore, per njecmim prej 48 euro. Cmimi i mureve anesore te paketes kushton 3 euro per 1m2,kurse per bazen eshte 4 euro per 1m2. Te shprehet vellimi i paketes ne funksionte gjatesise se bazes se saj.


Zgjidhje: Sipas te dhenave, vellimi i paketes eshte V = x2 y, kurse kostojae materialit eshte:

C(x) = x2 4 + 4xy 3 = 4x2 + 12xy euro.

Meqense kostoja totale eshte 48 euro, atehere nga barazimi 48 = 4x2 + 12xy

marrim se y =12 x2

3x. Vleren e fundit te y-it e zevendesojme ne formulen

per vellim dhe marrim:

V = x2 y = x2 12 x2

3x=

x(12 x2)3

m3.

Shembulli 2.11.10 Ne nje qytet ndodhen dy banka B1 dhe B2 te cilat uofrojne sherbime qytetareve. Per posedimin e nje gjirollogarie ne banken B1duhet paguar 4 euro ne vit plus 10 cent per cdo kontrollim te gjendjes ne formene printuar. Ne banken B2 duhet paguar 3 euro ne vit plus 15 cent per cdoprintim te gjendjes. Gjeni kushtet (kriteret) per te perfunduar se cila bankeeshte me e favorshme per klientin.

C(x)

PO 2510

400

P (25, 650)

30

300

100

650

C1(x)

C2(x)

Fig. 2.29

Zgjidhje: Se cila banke eshte me e favorshme, varet nga numri i printimevete gjendjes brenda nje viti. Le te jete x numri i printimeve te gjendjes brendanje viti. Atehere, kostoja vjetore ne banken B1 do te jete C1(x) = 400+ 10x,kurse ne banken B2 do te jete C2(x) = 300 + 15x. Nga barazimi C1(x) =C2(x), marrim se x = 25. Kjo do te thote se nese percaktohemi qe 25 here


te printojme gjendjen, atehere kostoja vjetore ne te dy bankat do te jete enjejte dhe e barabarte me C1(25) = 400 + 10 25 = 650 cent, sikurse edheC2(25) = 300 + 14 25 = 300 + 350 = 650 cent. Graket e funksioneve C1(x)dhe C2(x) jane paraqitur ne g. 2.29. Keshtu, kushtet (kriteret) e zgjedhjesse bankes jane:

1. Nese percaktohemi qe numri i printimeve te gjendjes te jete me i vogel se25, banka B1 eshte me e favorshme;

2. Nese percaktohemi qe numri i printimeve te gjendjes te jete me i madhse 25, banka B2 eshte me e favorshme dhe

3. Nese percaktohemi qe numri i printimeve te gjendjes te jete i barabarteme 25, te dy bankat jane njesoj te favorshme, (shih g. 2.29).

Shembulli 2.11.11 Anetaresimi vjetor ne nje klub privat A te tenisit kushton1000 euro dhe i mundeson lojtarit qe te shfrytezoje fushat e tenisit me nje cmimprej 3 euro per nje ore. Klubi tjeter B i ofron keto kushte: 800 euro anetaresimivjetor plus 4 euro per cdo ore te shfrytezimit te fushave te tenisit. Cili nga ketoklube eshte me i favorshem per klientin?

Zgjidhje: Eshte e qarte se kostoja totale vjetore, ne te dy klubet, varet nganumri i oreve te shfrytezimit te fushave te tenisit brenda vitit. Le te jete xnumri i oreve qe lojtari planikon te shfrytezoje fushat e tenisit brenda vitit.Atehere, kostoja totale vjetore ne klubet A e B do te jete:

C1(x) = 1000 + 3xC2(x) = 8000 + 4x,

respektivisht. Duke i barazuar kostot, marrim se x = 200. Meqenese per0 x < 200, C1(x) > C2(x); per x = 200, C1(200) = C2(200) = 1600,kurse per x > 200, C1(x) < C2(x), pefundojme se:

1. Nese lojtari i planikon me pak se 200 ore per te shfrytezuar fushat etenisit brenda vitit, atehere klubi B eshte me i favorshem;

2. Nese lojtari i planikon 200 ore per te shfrytezuar fushat e tenisit brendavitit, atehere te dy klubet A dhe B jane njesoj te favorshme dhe

3. Nese lojtari i planikon me teper se 200 ore per te shfrytezuar fushat etenisit brenda vitit, atehere klubi A eshte me i favorshem.

Shembulli 2.11.12 Kompania A per huazimin e veturave (RENT A CAR), engarkon klientin me 14 euro per 24 ore plus 15 cent per cdo kilometer te kaluar.Kompania tjeter B e ngarkon klientin me 20 euro per 24 ore plus 5 cent percdo kilometer te kaluar. Cila nga keto dy kompani eshte me e favorshme perklientin?

Zgjidhje: Se cilen kompani do ta zgjedh klienti, varet nga numri i kilometraveqe ai planikon per ti kaluar brenda 24 oreve. Le te jete x numri i kilometrave


te rrugetimit qe klienti planikon per ti kaluar brenda 24 oreve. Nese meC1(x) dhe C2(x) shenojme kostot totale per 24 ore, nese vetura huazohet ngakompania A dhe B, respektivisht, atehere:

C1(x) = 14 + 0.15xC2(x) = 20 + 0.05x,

respektivisht. Graket e ketyre funksioneve jane paraqitur ne g. 2.30.

xO 20

23

14

6010

10

20

P (60, 23)

C2(x)

C1(x)

C(x)

Fig. 2.30

Duke i barazuar keto dy barazime, marrim se x = 60. Meqenese per 0 x < 60, C1(x) < C2(x); per x = 60, C1(60) = C2(60) = 23, kurse perx > 60, C1(x) > C2(x), pefundojme se:

1. Per nje rrugetim me te shkurter se 60 km, do te zgjedhim kompanine A;

2. Per nje rrugetim te barabarte me 60 km, do te zgjedhim cilendo kompani,kurse

3. Per nje rrugetim me te gjate se 60 km, do te zgjedhim kompanine B(shih g. 2.30).

Shembulli 2.11.13 Nese per pagimin e takses vjetore per nje shtepi jane ofruardy mundesi:

1. 100 euro plus 8% e vleres se shtepise dhe

2. 1900 euro plus 2% e vleres se shtepise,

atehere cilen nga keto dy oferta do ta zgjedhnit?

Zgjidhje: Le te jete x euro vlera e shtepise. Nese me C1(x) dhe C2(x)sheojme kostot perkatese per mundesite 1 dhe 2, atehere kemi:

C1(x) = 100 + 0.08xC2(x) = 1900 + 0.02x,


respektivisht. Graket e ketyre funksioneve jane paraqitur ne g. 2.31.

30000

1900

1500

500

100

2500P (30000, 2500)

C1(x)

C2(x)

10000O

S(x)

x

Fig. 2.31

Pas barazimit te kostove (C1(x) = C2(x)), marrim se x = 30000. Meqeneseper x < 30000, kostoja C1(x) < C2(x); per x = 30000, C1(30000) =C2(30000) = 2500, kurse per x > 30000, C1(x) > C2(x), perfundojme sivijon:

1. Nese vlera e shtepise eshte me e vogel se 30000 euro, do ta zgjedhimoferten e pare;

2. Nese vlera e shtepise eshte e barabarte me 30000 euro, do ta zgjedhimcilendo oferte dhe

3. Nese vlera e shtepise eshte me e madhe se 30000 euro, do ta zgjedhimoferten e dyte (shih g. 2.31).

Shembulli 2.11.14 Funksionet e ofertes dhe kerkeses per nje artikull jane:S(p) = 4p+ 200 dhe D(p) = 3p+ 480, respektivisht, ku p paraqet cmimin(p.sh. ne euro) te nje ekzemplari te artikullit.

(a) Te gjendet cmimi ekuilibrues dhe numri perkates i njesive te kerkuaradhe te ofruara tregut.

(b) Te vizatohen graket e funksioneve S(p) dhe D(p).

(c) Te jepet interpretimi ekonomik i shmangies (largeses) se grakeve.

(c) Te interpretohet ofrimi (pikeprerja) i grakeve te dy funksioneve.


Zgjidhje: (a) Cmimi ekuilibrues gjendet nga ekuacioni S(p) = D(p), prej ngamarrim se 4p+200 = 3p+480. Zgjidhja e ekuacionit te fundit eshte p = 40.Pra, per cmimin p = 40 euro, oferta eshte e barabarte me kerkesen dhe ne keterast tregu eshte stabil. Numri i njesive te kerkuara eshte i barabarte me numrine njesive te ofruara: D(40) = S(40) = 4 40 + 200 = 360 (shih g. 2.32)

D(p)

S(p)

D(p), S(p)

pO 40 160

480

P (40, 360)360

100

200

Fig. 2.32

(b) Fig. 2.32.

(c) Derisa cmimi i artikullit eshte dukshem me i ulte se 40 euro, ne tregdo te kemi mungese te artikullit (kerkesa do te jete dukshem me e madhe seoferta); kurse kur cmimi i artikullit ngritet dhe behet dukshem me i larte se 40euro, ne ate rast kerkesa do te jete dukshem me e ulte se sa oferta. Nese cmimii artikullit behet 160 euro, atehere kerkesa per ate artikull eshte zero.

(c) Graket i ofrohen njeri-tjetrit,kur cmimi i arikullit sillet rreth 40, dhene kete rast tregu eshte dukshem stabil.

Shembulli 2.11.15 Nje shkolle private ka nisur fushaten per rritjen e fondeve

te shkolles. Zyrtaret e shkolles vleresojne se fushata do te zgjase f(x) =10x

150 xjave per te arritur x% te qellimit te tyre.

(a) Sa jave do te zgjase fushata ne menyre qe te arrihet 50% e qellimit?

(b) Sa jave do te zgjase fushata ne menyre qe qellimi i zyrtareve te arrihet100%?


Zgjidhje: (a) Se pari caktojme domenen e funksionit per kete problem praktik:

(1) x = 150, (2) f(x) 0 dhe (3) 0 x 100.Ne rastin tone x = 50, prandaj fushata duhet te zgjase

f(50) =10 50

150 50 =10 50100

= 5 jave.

(b) Ne menyre te ngjashme, marrim se f(100) = 20, qe do te thote sefushata per rritjen e fondeve te shkolles duhet te zgjase 20 jave, ne menyre qeobjektivi i parapare te realizohet 100%.

2.12 DETYRA PER USHTRIME

1. Te gjendet domena dhe rangu (bashkesia e vlerave) e funksioneve:(a) f(x) = x2; (b) f(x) = x3.

Rez. (a) D(f) = (, ); R(f) = [0, ); (b) D(f) = (, ); R(f) =(, )

2. Te gjendet domena e funksionit f(x) =x 1 +6 x.

Rez. D(f) = [1, 6].

3. Eshte dhene funksioni: f(x) =x+ 1x 1 . Te llogariten f(2x), 2f(x), f(x

2),

[f(x)]2.

Rez.

f(2x) =2x+ 12x 1 ; 2f(x) = 2

x+ 1x 1 ;

f(x2) =x2 + 1x2 1 ; [f(x)]

2 =(x+ 1x 1

)2.

4. Eshte dhene funksioni: f(x) =x+ 1x3 1 . Te llogariten f(1), f(a+1), (a =

0) f(a) + 1 (a = 1).

Rez. f(1) = 0, f(a+ 1) = a+ 2a3 + 3a2 + 3a

(a = 0), f(a) + 1 = a3+aa31 .

5. Ne qofte se (x) = x2, (x) = 2x, te llogariten [(x)] dhe [(x)].

Rez. [(x)] = 22x, [(x)] = 2x2.

6. Te llogariten:(a) |3|; (b) |53|; (c) |219|; (c) | 2|; (d) |2 1|.Rez. (a) 3, (b) 53, (c) 19 2, (c) 2 , (d) 2 1,


7. Ne boshtin numerik te paraqiten pikat per te cilat

(a) |x| 12; (b) |x 1| < 3; (c) |x 1| 3; (c) |2 3x| 4.

Rez. (a) x [ 12 , 12 ]; (b)x (2, 4); (c)x (,2][4,+); (c) |23x| 4 |3x 2| 4 4 3x 2 4 4 + 2 3x 4 + 2 2 3x 6 23 x 2 x [ 23 , 2].

8. Ne nje depo 28 qese me miell paketohen ne nje kuti kartoni. Numri iqeseve te paketuara me miell jepet me shprehjen

y = 28x,

ku x shenon numrin e kutive te kartonit. Cila eshte ndryshore e pavarure cila e varur?

Rez. Ndryshore e pavarur eshte numri i kutijave te kartonit,

9. Le te jete f :R R funksion i dhene me formulen y = f(x) = 2x 3.Te njehsohen f(1), f(1), f(0), f(f(0)), f(2 f(1)), f(f(x)), f(f(x)).Rez. f(1) = 1, f(1) = 5, f(0) = 3, f(f(0)) = 9, f(2 f(1)) =3, f(f(x)) = 4x 9, f(f(x)) = 4x 9.

10. Jane dhene pasqyrimet f : R R, f(x) = 3x1, g : R R, g(x) = x2dhe h : R R+, h(x) = x2. Caktoni llojin e pasqyrimit per secilin prejtyre.

Rez. Pasqyrimi f eshte bijektiv, g nuk eshte as injektiv dhe as surjektiv,ndersa h eshte surjektiv, por nuk eshte injektiv.

11. Jane dhene pasqyrimet f : R R+\{0}, f(x) = 2x dhe g : R+\{0} R+ \ {0}, g(x) = x2. Tregoni se f dhe g jane bijeksione.

Zgjidhje. Le te jene x1, x2 R dhe x1 = x2. Atehere, 2x1 = 2x2 , qed.m.th. se f(x1) = f(x2), prandaj pasqyrimi f eshte injektiv.

Per cdo y R+ \ {0}, ekziston numri x = log2 y R i tille qef(x) = f(log2 y) = 2log2 y = y. D.m.th. pasqyrimi f eshte surjektiv.Rrjedhimisht f eshte pasqyrim bijektiv.

Ngjashem tregohet se edhe pasqyrimi g eshte bijektiv.

12. Ne qofte se shpenzimet per prodhimin e dy mallrave me cmimet 2 e 3euro, perkatesisht jane 90 euro, te paraqitet grakisht:

(a) vija buxhetore;

(b) vija buxhetore kur shpenzimet rriten per 50%;

(c) vija buxhetore kur cmimi i artikullit te pare rritet per 50%.


13. Per nxemjen e nje furrenalte shpenzohen xtonelata qymy dhe ytonelatagas. Cmimi i nje tonelate qymyr eshte px = 100, kurse cmimi i njetonelate gas eshte py = 400. Shpenzimet (buxheti) per nxemjen e furresjane B = 8000.

(a) Te vizatohet vija buxhetore;

(b) Te vizatohet vija buxhetore kur buxheti rritet per 50%;

(c) Te vizatohet vija buxhetore kur px dyshohet;

(c) Te vizatohet vija buxhetore kur py zvogelohet per 37.5%.

Rez, (a) Ekuacioni i vijes buxhetore: y = 0.25x + 20; (b) Ekuacionii vijes buxhetore: y = 0.25x + 30; (c) Ekuacioni i vijes buxhetore: y =0.5x+ 20; (c) Ekuacioni i vijes buxhetore: y = 0.4x+ 32.

14. Buxhetin mujor prej 90 Zana e harxhon ne bileta teatri dhe ne CD.Supozojme se cmimi i seciles CD eshte px = 10 dhe cmimi i biletes seteatrit eshte py = 15.


(b) Buxhetit prej 90 i jane shtuar edhe vlera e dy biletave, te cilat Zanapatjeter duhet ti pranoj. Te perkuzohet fusha buxhetore dhe te ilustrohetgrakisht.

15. Buxhetin mujor prej 60 Besiani e harxhon ne bileta teatri dhe ne CD.Supozojme se cmimi i seciles CD eshte px = 12 dhe cmimi i biletes seteatrit eshte py = 15.


(b) Buxhetit prej 60 i jane shtuar edhe vlera e dy biletave, te cilatBesiani patjeter duhet ti pranoj. Te perkuzohet fusha buxhetore dhe teilustrohet grakisht.

16. Cmini i kalkulatorit eshte 10 . Kostoja totale e prodhimit per xnjesieshte C(x) 1, 200 + 2.50x. Te gjendet pika B-E.Rez. x = 160.

3POLINOMET DHESHPREHJETRACIONALEALGJEBRIKE

Para se te japim kuptimin e polinomit te rikujtojme fuqizimin dhe rrenjezimin.

3.1 FUQIZIMI

Sikurse veprimi i shumezimit qe e shkurton (thjeshton) mbledhjen, ashtu edhefuqia eshte perkuzuar per ta thjeshtesuar veprimin e shumezimit.

Perkufizimi 3.1.1 Prodhimi

a a a nhere

= an, a R, n N

quhet fuqi. Numri a quhet baza e fuqise, ndersa n quhet eksponenti ifuqise.

Verejtje. Kuptimi i fuqise mund te zgjerohet edhe per eksponenta nga bashke-sia e numrave te plote, racionale, atyre reale apo komplekse. Ne kete kurs ne dote perkuzojme vetem fuqite me eksponent nga bashkesia e numrave natyrale,te plote dhe atyre racionale. Per perkuzimin e fuqive me eksponenta numrairracionale (apo atyre komplekse) shfrytezohet nje aparat me i larte (sostikuar)matematik. Ne do ti marrim apriori si te njohura nga qe vlejne te njejtat vetiedhe per ato fuqi.

52POLINOMET DHE SHPREHJET

RACIONALE ALGJEBRIKE

Vetite:

1. an am = am+n2.

an

am= anm

3. an =1an

,1

an= an, a0 = 1, a = 0

4. (ab)n = anbn

5.(ab

)n=

an

bn, b = 0

6. (am)n = amn

per cdo m,n R. Rendesia e fuqive ne matematike eshte tejet e madhe, prandajedhe vetite e tyre duhet te pervetesohen ne teresi. Nga verejtja qe e permendemme larte dhe vetia 3, shihet qarte se fuqite mund te perkuzohen edhe meeksponenta numra te plote (jo vetem per numra natyrale).

Shembulli 3.1.1 Te thjeshtohen shprehjet

(a)210 415 67184 1610 , (b)

0.00023 0.00410 0.000150.000810 0.0032

Zgjidhje: (a) Vlen:

210 415 67184 1610 =

210 (22)15 (3 2)7(2 32)4 (24)10 =

210 230 37 2724 (32)4 240

=247 37244 38 =

247

244 3

7

38= 24744 3

7

37 3 = 23 1

3=

23

3=

83.

Shembulli ne rastin (b) njehsohet ngjashem vetem se duhet pasur parasyshfaktin se p.sh. 0.001 = 103, 0.0003 = 3 104, 0.00018 = 18 105 e keshtume radhe.

Shembulli 3.1.2 Te shkruhet numri:

(23)4 163 + (42)3 (82)2,ne forme te fuqise.Zgjidhje: Kemi:

(23)4 163 + (42)3 (82)2 = 212 212 212 212 = 2 212 = 213.Shembulli 3.1.3 Te shkruhet numri:

5 83 6 162 + 3 45,ne forme te fuqise.

Zgjidhjen e bene lexuesi (Rez. 212).

3.1 FUQIZIMI 53

Shembulli 3.1.4 Te llogariten:(a) 2

12 2 13 2 16 ; (b) [8 23 (32) 25 ] 14 .

Zgjidhje:

(a) 212 2 13 2 16 = 2frac12+ 13+ 16 = 2 3+2+16 = 2 66 = 1;

(b) [823 (32) 25 ] 14 = [(23) 23 (25) 25 ] 14 = [23 23 25 25 ] 14 = [22 22] 14 = [24] 14 = 2.

(b) Rez. 25 32.

(c)81x4y3(z2)1

27x7(y3)2(71)2=

34 x4 y3 z233 x7 y6 z2 = 3

43 x7+4 y3+6 z2+2 =

= 3x3y3z4;

(c) E zgjidhe lexuesi.

Shembulli 3.1.5 Te thjeshtohet shprehja

A =x3y2(x1y3)4x(y3)2

(x2y3)2(xy3)2

dhe te llogaritet vlera e saj per x = 4, y =12.

Zgjidhje: Kemi:

A =x3y2(x1y3)4x(y3)2

(x2y3)2(xy3)2=

x3y2(x1)4(y3)4x(y3)2

(x2)2(y3)2x2(y3)2=

x3y2x4y12xy6

x4y6x2y6=

x34+1y2126

x4+2y66=

x0y20

x6y12= x6y8.

Per x = 4, y =12

marrim

A = 46(12)8 = 1

46 (21)8 = 1

46 28 = 2

8

212=

116

.

Shembulli 3.1.6 Te thjeshtohet shprehja( x+ x2x2 x1 + 1 +

1 + x1

x2 + 2x1 + 1

) 1 + x

1

1 x1 .Zgjidhje: Kemi:( x+ x2

x2 x1 + 1 +1 + x1

x2 + 2x1 + 1

) 1 + x

1

1 x1 =

=( x+ 1x2

1x2 1x + 1

+1 + 1x

1x2 +

2x + 1

) 1 +

1x

1 1x=( x3+1

x2

1x+x2x2

+x+1x

1+2x+x2

x2

)

x+1x

x1x

=

=[ x3 + 11 x+ x2 +

x(x+ 1)(x+ 1)2

] x+ 1x 1 =

[ (x+ 1)(x2 x+ 1)1 x+ x2 +

x

x+ 1

]

x+ 1x 1 =

x2 + 3x+ 1x 1 .



Shembulli 3.1.7 Te llogaritet3n+1 3n13n1 + 3n2

.

Zgjidhje:

3n+1 3n13n1 + 3n2

=3 3n 13 3n13 3n + 19 3n

=3n(3 13 )3n( 13 +

19 )

=8349

=8 94 3 = 6.

Shembulli 3.1.8 Te llogaritet( 23 )

3 (2.5)0 + 24(0.4)2 ( 45 )1

.

Zgjidhje:

(23 )3 (2.5)0 + 24

(0.4)2 ( 45 )1=

( 32 )3 1 + 124

( 410 )2 54=

278 +

116

254 54

=1116

.

3.2 RRENJEZIMI

Le te jete a R dhe n N.Perkufizimi 3.2.1 Rrenje te nte te numrit real a quajme numrin real bper te cilin bn = a.Simbolikisht shkruajme n

a = b. Numri a quhet radikanti, ndersa numri n

quhet treguesi (eksponenti) i rrenjes.

Vetite:

1. na nb = n

a b;

2. n

a

b=

na

nb;

3. na m

b = nm

am bn

4. b na = n

bn a.

Tani mund ta perkuzojme edhe fuqine me eksponent numer racional si

nam

def= amn . (1)

Duke pasur parasysh relacionin (1), mund te pergjithesohet perkuzimi irrenjezimit edhe per eksponenta numra te plote, racionale, reale apo edhe kom-pleks. Ne kete kurs do te kemi te bejme vetem me eksponent deri te num-rat racionale. Pjesa tjeter punohet ne lenden e algjebres. Vlen te permendetrendesia e realcionit (1) e cila na mundeson qe rrenjen ta kthejme ne fuqi dheti zbatojme vetite e fuqive dhe ne fund rezultatin e tuar ta kthejme prap neforme te rrenjes.

Duhet pasur parasysh se rrenja e nte e nje numri real (kompleks) kagjithesej nvlera (shih rrenjezimi i numrit kompleks ne ndonje tekst), por ne

3.2 RRENJEZIMI 55

do te kuzohemi vetem ne vlerat algjebrike te tyre. P.sh. edhe pse4 i ka dy

vlera 2 dhe 2, sepse 22 = (2)2 = 4, vlera algjebrike e saj eshte 4 = 2,38 = 2, 3

8 = 2. Mbani menda2 = |a|, 4

a4 = |a|, 3

a3 = a, 5

a5 = a,

jane vlerat algjebrike te tyre. Dhe ne pergjithesi:

2na2n = |a|, 2n+1

a2n+1 = a.

Shembulli 3.2.1 Te njehsohen:

(a)36 + 4

49 5

32 + 3

1 31;

(b)

169 3

127

+ 364

25 +

(3)2;

(c)(25

36+ 38)+ (9 327 532).

Zgjidhje: (a)36+ 4

49 532+ 31 31 = 6+ 4 7 5

25 +1 (1) =

34 2 + 1 + 1 = 34.

(b)

169 3

127

+ 364

25+

(3)2 =

169

31

327

+ 343

52+|3| =

43 1

3+ 4 5 + 3 = 3.

(c)(25

36+ 38)+(9 327 532) = (25

36+ 3

(2)3)+3 3(3)3 5

(2)5 = 56 2 + 18 = 101

6.


(a)8 32; (b) 3

6 2

8; (c)

xm+2

xm2;

(c) (313 + 2

13 ) (3 23 6 13 + 2 23 ).

Zgjidhje: Kemi:

(a)8 32 =

8 32 =

23 25 =

28 =

(24)2 = 16;

(b) 36 2

8 = 6

6 8 = 6

48 = 6

16 3 = 6

16

3 = 6 4

3

= 243.

(c)xm+2

xm2 =

xm+2 xm2 =

xm+2+m2 =

x2m =

=|xm|2 = |xm|.

(c) zgjidhjen e ben lexuesi.




(a) 30.5 3

1.25 3

1610

; (b)7128 53281 364 .

Zgjidhje:

(a) 30.5 3

1.25 3

1610

=3

510 3

125100

3

1610

=

= 3

510 125100

1610

= 3

12 54 85

= 1.

(b)7128 53281 364 =

727 5

25

9 343

=2 29 4 =

19.

3.3 KUPTIMI I PO

kursi i matematikes elementare.pdf

Documents