krigeado y teoría del muestreo: aplicaciones en metrología óptica y

Qu es el krigeadoKrigeado como convolucin

AplicacionesConclusiones

Krigeado y teora del muestreoAplicaciones en metrologa ptica y en ubicacin ptima de sensores

Luis Miguel Snchez Brea

Departamento de pticaGrupo Complutense de ptica AplicadaUniversidad Complutense de Madrid

Facultad de Ciencias Fsicas, 2013

Luis Miguel Snchez Brea Krigeado y teora del muestreo 1 / 41



ndice

1 Qu es el krigeadoEstimacin de magnitudes con dependencia espacialVariogramaKrigeado ordinario

2 Krigeado como convolucinKrigeado como convolucinTeora del muestreoKrigeado como generalizacin al teorema de ShannonClculo de la incertidumbreMedidas irregularmente distribuidas

3 AplicacionesDifractometraProcesado de imgenesTomografaOptimizacin en la ubicacin de sensores




Magnitudes con dependencia espacialVariogramaKrigeado ordinario

Magnitudes con dependencia espacial

Medir en el espacio: sensores

No podemos podemos poner tantos como queremos: interpolar

Es necesario informacin adicional: correlacin espacial

cual es la temperatura en Mstoles?





Proceso de medida

Campo de medida S . Se ubican N sensores en xi , i = 1, ...,N

Se obtienen los datos experimentales Z1(x1), Z2(x2), ZN(xN)Deseo conocer el valor en todo el campo de medida: Z (x)Z (x) = f (Zi ; otros parmetros)

Si conozco el proceso, ajuste a una funcin conocida: p. ej.

Z (x , y) = a J0(b

(x x0)2 + (y y0)2)

Si no lo conozco:Ajuste polinmico, splines, etc.

Interpolacin dependiente de la distanciaLuis Miguel Snchez Brea Krigeado y teora del muestreo 4 / 41




Estimacin de la incertidumbre

Al estimar el valor de una magnitud en un punto

es necesario conocer la incertidumbre en la estimacin!

La incertidumbre debera depender de:

Nmero de dispositivos de medida y de sus localizaciones.

Resolucin de los dispositivos de medida

Ruido: uctuaciones aleatorias de la cantidad medida

Correlacin espacial: la incertidumbre debe ser menor cerca de lossensores

El krigeado es la solucin





Qu es el krigeado

Familia de mtodos de estimacin lineal y ptima en el sentido delos mnimos cuadrados 1.Z (x) =

Ni=0 i (x) Zi

Considera el valor de las mediciones, la correlacin espacial, laprecisin de los dispositivos de medida y el ruido aleatorio.

Utiliza el variograma para medir la correlacin espacial.

Determina la incertidumbre asociada a la estimacin.

El krigeado (kriging) se desarroll originalmente para minera yciencias de la tierra2.

Estimaciones con medidas muy ruidosas, irregularmente distribuidasy, normalmente, pocos datos

Geoestadstica, climatologa, demografa, anlisis de epidemias, etc.Ms de 8000 referencias. Muchos artculos de aplicaciones.

1Christensen, R., "Linear Models for Multivariate, Time Series, and Spatial Data", Springer-Verlag (1985).

2Krige, D.G., "A statistical approach to some basic mine valuation problems on the witwatersrand", J. Chem.

Metall. Min. Soc. Afr. (1951), 119-139.





Denicin del variograma

Para realizar la interpolacin, el Krigeado considera la correlacin espacialmediante el variograma

2(h) =[Z (x + h) Z (x)] 2

=

1

|N(h)|

N(h)(Zi Zj)2

Zi , Zj : datos experimentales en posiciones xi y xjN(h) es el nmero de pares (xi , xj) cuya distancia es h

Asumimos que Z (x) es istropa (la correlacin espacial solo dependede la distancia) - no es necesario pero simplica la computacin.

Est relacionado con la covariancia C (h). Cuando Z (x) esestacionaria de segundo orden: (h) = C (0) C (h).

En el origen se mide las uctuaciones aleatorias3: s =(0).

3Sanchez-Brea, L. M. and Bernabeu, E., On the standard deviation in charge-coupled device cameras: A

variogram-based technique for nonuniform images, J. Elect. Imaging (2002), 121-126





Tipos de variograma

La forma del variograma es muy importante para la interpretacin de losdatos y para la estabilidad del algoritmo

Variograma constante- (h) = s2

- Fenmeno aleatorio

- Sin correlacin espacial

Variograma esfrico

- (h) =

s2 + B(3h2a

h3

2a3

)B

h ah > a

- Fenmenos continuos pero no diferenciables

- Comportamiento lineal en el origen

Variograma potencial- (h) = s2 + A2

hp- Fenmenos no estacionarios

- 0 < p 2

Variograma gaussiano- (h) = s2 + A2

{1 exp

[ 12

(hB

)2]}- Fenmenos continuos y diferenciables

- Comportamiento cuadrtico en el origen

El variograma se debe conocer a priori o extraer de los datosexperimentales





Variograma tpico





Ecuaciones del krigeadoEstimacin

Seal con variacin espacial + ruido: Z (x) = Z0(x) + e(x)

Se asume linealidad: Z (x) =Ni=1i (x)Zi i (x)?

Se asume insegadez (unbiadness):N

i=0 i (x) = 1

Se minimiza el error: 2k(x) = E{

[Z (x) Z0(x)]2}

- Lagrange

Clculo de los pesos: T (x) = [ + 1H g ]T 1

(x) = [1(x), , N(x)] = [(x x1), , (x xN)]Ti,j = (xi xj)H =

(1T11

)1g =

(1 1T1

)Incertidumbre: 2k(x) =

T1 gT H g





Modicaciones al krigeado

La incertidumbre no coincide con la denicin estndar en x = 0:

2 = I 2 +s2

N

Falta incluir la precisin de aparatos de medida

Modicaciones realizadas:4:

= (0)/2i,j i,j = i,j (0) i,j Ii Ij

Si ubicamos N sensores en x = 0 entonces:

2(x) = I 2 +s2

N+ 2 [ (|x|) (0)]

4Sanchez-Brea, L. M. and Bernabeu, E., "Determination of the optimum sampling frequency of noisy images

by spatial statistics", Applied Optics (2005), 32763283.





Ejemplo del krigeadosin ruido

Baja frecuencia de muestreo Alta frecuencia de muestreo

En comparacin con la longitud de correlacin del variograma





Ejemplo del krigeadoSeales 1D

Estimacin Error




Krigeado como convolucinTeora del muestreoKrigeado como generalizacin al teorema de ShannonClculo de la incertidumbreMedidas irregularmente distribuidas

Krigeado por convolucin

Problemas con el tiempo de computacin: se requieren inversas dematrices con tamao igual al nmero de puntos: Inviable paraprocesado de imgenes

Para mediciones regularmente distribuidas el krigeado se comportacomo una convolucin: ~k(x) = (x) (x x~k)

Z (x) =Ni=1i (x)Zi , Z (x) = (x) (x)

Kernel de convolucin (x)Datos medidos (x) =

~k (x x~k)Z~k .

Posiciones de sensoresx~k = (x0 + ~kx)





Kernel de convolucin

Estimacin: (x)

1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

x (arb. u.)

(x

)

Incertidumbre: DM(x)

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x (arb. u.)

DM

(x

)

Los kernels de convolucin dependen del variograma: longitud decorrelacin, nivel de ruido, rango de la medida, etc.





Ejemplo del krigeado - seales 2D





Teorema de Shannon

Funciones innitamente muestreadas de forma regular

Seales de banda limitada (sin ruido)

Si la frecuencia de muestreo es mayor que 2 veces la frecuencia de laseal sampling > 2signal

Reconstruccin perfecta

Z (x) = (x) (x)

funcin de muestreo(x) =

i (x x0 + ix)Zikernel de convolucin (x) = sinc(2x/x)





Estimacin con krigeado de seales sinusoidales

Seal sinusoidal: Zi = sin(2x) + r1 + r2,

r1 distribucin de probabilidad aditiva gaussiana con media 0 y

desviacin estndar s. Representa uctuaciones aleatorias de la

cantidad medida.

r2 distribucin de probabilidad aditiva uniforme entre [Ai ,Ai ].Representa la resolucin de dispositivos de medida con desviacin

estndar Ii = Ai/3.

Se vara la frecuencia del muestreo y la amplitud del ruido

Se calcula el error mximo proporcionado por el krigeado, , (sincontar los bordes)





Incertidumbre estimada por krigeado





Determinacin de DM(x) y NEQ(x)

Incertidumbre - sin dependencia espacial: 2 = I 2 + s2

N,

Se asume una funcin similar: 2k(x) = I2 + s

2

NEQ(x)

Determinacin de NEQ : NEQ(x) =s2

2k

(x)I2 ,

Incertidumbre Krigeado ordinario - 1 medidas:2k(x) = I

2 + 2 (|x|) (0),

Para solamente una medicin: DM(x) = (0)2(x)(0) .

Funcin de Medida Distribuida: aumento de la informacin en

localizaciones cercanas a la medida. DM(0) = 1.Decrece con la distancia, considerando que tambin lo hace la

correlacin espacial.

Para una distribucin de sensores - linealidad:

2C (x) = I2 + s

2

DM(x)

(x) ,





Clculo analtico I

Seal sinusoidal f (x) = A sin(2x/p)

Se calcula el variograma:(h) = s2 + A2sin2(h/p) s2 + h2/[p/(A)]2

Se calcula DM(x): DM(x) = 11+22(Ahsp )

2

Se calcula NEQ(x): NEQ(x) =

2sp

Ax sinh(

2spAx

)cosh

(2sp

Ax

)cos[2( xx0x )]

Separacin entre sensores: x .

Se calcula la incertidumbre:

2(x) = I 2 +2s2

cosh(

2NSNR

)cos[2(xx0)]

NSNR sinh

(2NSNR

)Bajo muestreo: 2(x) I 2 + s2 + 2

(AN

)sin2 [ (x x0)]

Alto muestreo: 2(x) I 2 +2AsN





Calculo Analtico II

Frecuencia de muestreo para un nivel de incertidumbre umbral max :5

2max = I2 +2s2 SNRN coth

(N2SNR

)N = lc/x SNR = A/s

max (/N , s)

5Sanchez-Brea, L.M. and Siegmann, L.M., "Analytical determination of the uncertainty and the optimum

sampling frequency for one-dimensional images with noise.", Appl Opt (2008), 63506356.





Correccin de las ecuaciones

Para variogramas estacionarios: MD(x) 9 0 cuando x .

Para zonas lejanas: C () = I 2 + (s2 + 2A2)/N

Se modican las ecuaciones de la incertidumbre:2CN(x) = I

2 + s2

NEQNORMALIZADO(x)+NEQRESIDUAL,

NEQNORMALIZADO (x) = DMN (x)

(x)

NEQRESIDUAL =(0)()

DMN (x) =DM(x)DM()

1DM()

2CN(0) I 2 + s2

N

2CN() = I 2 + s2 + A2,





Ejemplos

Eliminacin del sensor central

NEQ(x) (x)





Ejemplos

10 sensores en el centro

NEQ(x) (x)





Ejemplos

Medidas irregularmente distribuidas

NEQ(x) (x)





Ejemplos

Extrapolacin en los bordes

NEQ(x) (x)




DifractometraProcesado de imgenesTomografaOptimizacin en la ubicacin de sensores

Aplicaciones: por n

Estimacin de mnimos de difraccin

Filtrado de ruido en imgenes

Aplicacin en tomografa

Ubicacin ptima de sensores





Estimacin de mnimos de difraccin

Difractometra por hilos nos6

D sin() = n?

Mnimos de difraccin Zona de alto contraste

6Bernabeu, E. and Serroukh, I. and Sanchez-Brea, L. M., "Geometrical model for wire optical diraction

selected by experimental statistical analysis", Optical Engineering (1999), 13191325.





Filtrado de imgenes: shadow moir

Eliminacin de ruido de cmaras CCD7

7Sanchez-Brea, L. M. and Bernabeu, E., "Determination of the optimum sampling frequency of noisy images

by spatial statistics", Applied Optics (2005), 32763283.





Aplicacin a tcnicas tomogrcas I

Tcnicas tomogrcas para determinar la respuesta espacial de detectoresacoplados a antenas pticas en el visible8

Tcnica experimental

8Rico-Gara, J.M. and Sanchez-Brea, L.M. and Alda, J., "Application of tomographic techniques to the

spatial-response mapping of antenna-coupled detectors in the visible", Applied optics (2008), 768775.





Aplicacin a tcnicas tomogrcas II

Tcnicas tomogrcas para determinar la respuesta espacial de detectoresacoplados a antenas pticas en el visible

Resultado con Golay

Resultado con KrigingLuis Miguel Snchez Brea Krigeado y teora del muestreo 33 / 41




Particle swarm optimization (PSO)

Mtodo computacional que optimiza un problema de forma iterativaa partir de una medida de la calidad a partir de una funcin objetivoSe puede calcular a priori el nmero de sensores requerido para uncampo determinadoSe utiliza la incertidumbre para direccionar a los sensoresObjetivo: La incertidumbre debe ser lo ms uniforme posibleLa velocidad con el kriging por convolucin aumenta grandemente





Ejemplo de optimizacin de ubicacin de sensores I

7 sensores 15 sensores


flecha2.aviMedia File (video/avi)

flecha1.aviMedia File (video/avi)




Ejemplo de optimizacin de ubicacin de sensores II

poco a poco


anillo.aviMedia File (video/avi)




Ejemplo de optimizacin de ubicacin de sensores III

7 sensores 14 sensores 34 sensores


hexagono1.aviMedia File (video/avi)





Conclusiones

Se ha comparado Kriging, una tcnica de estimacin de magnitudescon dependencia espacial con la teora del muestreo para el caso desensores regularmente distribuidos.

Se ha obtenido una versin por convolucin del kriging: mejoramucho la velocidad de computacin y el signicado del proceso demedida con dependencia espacial.

En lugar de la funcin sinc(x), el kernel de convolucin (x) ltra elruido y considera la correlacin espacial.

Adicionalmente es posible obtener la incertidumbre en la medida

Como una convolucin. El kernel de convolucin es la funcin

MD(x).

Se ha generalizado la tcnica para sensores irregularmentedistribuidos.

Se ha aplicado a diversos problemas en el rea de ptica:difractometra, reconstruccin de imgenes y ubicacin de sensores.




Referencias I

Bernabeu, E., Serroukh, I., and Sanchez-Brea, L. M. (1999).

Geometrical model for wire optical diraction selected by experimental statistical analysis.Optical Engineering, 38(8):13191325.

Bevington, P. and Robinson, D. (1992).

Data reduction and error analysis for the physical sciences.McGraw-Hill New York.

BIPM, I., IFCC, I., and IUPAC, I. (1995).

Oiml. guide to the expression of uncertainty in measurement.International Organization for Standardization, Geneva. ISBN, pages 9267.

Chils, J. and Delner, P. (1999).

Geostatistics: modeling spatial uncertainty.Wiley series in probability and statistics (Applied probability and statistics section).

Christensen, R. (1985).

Linear Models for Multivariate, Time Series, and Spatial Data.Springer-Verlag, Berlin.

Cressie, N. (1993).

Statistics for Spatial Data, revised edition, volume 928.Wiley, New York.

Cressie, N. A. C. (1986).

Kriging nonstationary data.J. Am. Stat. Assoc., 81(395):625634.




Referencias II

Krige, D. (1951).

A statistical approach to some basic mine valuation problems on the witwatersrand.J. Chem. Metall. Min. Soc. Afr., 52:119139.

Leung, W., Bones, P., and Lane, R. (2001).

Statistical interpolation of sampled images.Optical Engineering, 40(4):547553.

Mainy, D., Nectoux, J., and Renard, D. (1996).

New developments in data processing of noisy images.Materials Characterization, 36(4):327334.

Rico-Garca, J., Sanchez-Brea, L., and Alda, J. (2008).

Application of tomographic techniques to the spatial-response mapping of antenna-coupled detectors in thevisible.Applied optics, 47(6):768775.

Sanchez-Brea, L. and Bernabeu, L. (2006).

Uncertainty estimation by convolution using spatial statistics.IEEE Trans Image Process, 15(10):31313137.

Sanchez-Brea, L. and Siegmann, L. (2008).

Analytical determination of the uncertainty and the optimum sampling frequency for one-dimensionalimages with noise.Appl Opt, 47(34):63506356.




Referencias III

Sanchez-Brea, L., Torcal-Milla, L., and Bernabeu, E. (2007).

Variogram-based method for contrast measurement.Appl Opt, 46(22):50275033.

Sanchez-Brea, L. M. and Bernabeu, E. (2002).

On the standard deviation in charge-coupled device cameras: A variogram-based technique for nonuniformimages.Journal of Electronic Imaging, 11(2):121126.

Sanchez-Brea, L. M. and Bernabeu, E. (2005a).

Determination of the optimum sampling frequency of noisy images by spatial statistics.Applied Optics, 44(16):32763283.

Sanchez-Brea, L. M. and Bernabeu, E. (2005b).

Eect of noise in the estimation of magnitudes with spatial dependence: A spatial statistics technique basedon kriging.Noise and Fluctuations, 780:811814.

Sanchez-Brea, L. M. and Bernabeu, E. (2005c).

Estimation of the standard deviation in three-dimensional microscopy by spatial statistics.Journal of Microscopy-oxford, 218:193197.


Qu es el krigeadoEstimacin de magnitudes con dependencia espacialVariogramaKrigeado ordinario

Krigeado como convolucinKrigeado como convolucinTeora del muestreoKrigeado como generalizacin al teorema de ShannonClculo de la incertidumbreMedidas irregularmente distribuidas

AplicacionesDifractometraProcesado de imgenesTomografaOptimizacin en la ubicacin de sensores

krigeado y teoría del muestreo: aplicaciones en metrología óptica y

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