kratka ponovitev osnovnih konceptov...

Prof. dr. Jernej Klemenc

Kratka ponovitev osnovnih konceptov

Brief summary of basic concepts

2

Osnove statistike / Statistical basics

• Populacija je množica objektov pri katerih nas zanima neka lastnost.

• Vzorec je izbrana podmnožica objektov iz populacije. Število objektov v vzorcu je n in se označujejo takole: xi,

i=1,...,n.

• A population is a set of

objects, for which a certain

characteristics should be

estimated.

• A sample set is a selected

sub-set from the population.

The n objects from the

sample set is marked as

follows: xi, i=1,...,n.

• Vzorčna srednja vrednost / Empirical mean value:

• Empirična varianca / Empirical variance:

∑=

=n

i

ixn

x1

1

( )∑=

−−

=n

i

i xxn

S1

22

1

1

3


• Nek pojav opišemo tako, da merimo vrednosti značilne spremenljivke, ki ta proces opisuje.

• V primeru naključnega procesa, se vrednosti te spremenljivke naključno spreminjajo. Zato se takšno spremenljivko imenuje naključna spremenljivka.

• Primer naključne spreme-nljivke je čas delovanja izdelkov do okvare t:

• In general a technical

phenomenon is described

by measuring values of a

typical variable.

• In a random process the

values of the typical

variable are randomly

changing. Such variable is

then designated as a

random variable.

• An example of the random

variable is an operating

time to failure t of products:

4


• En način za opis naključnih spremenljivk je, da prostor, ki predstavlja zalogo vrednosti naključne spre-menljivke, razdelimo na končno število intervalov.

• Nato opazujemo pogostnost realizacije naključne spremenljivke v posameznih intervalih, ki jo lahko prikažemo v obliki histograma.

• One way to describe a

random variable is to divide

its domain of expected

realisations into a finite

number of intervals with a

fixed or variable width.

• Then a number of the

random-variable

realisations in each

individual interval is

counted and presented in a

form of a hystogram graph:

5


• Relativna frekvenca fi je relativni delež ni realizacij naključne spremenljivke v i-tem intervalu:

• Če razsežnost vzorca limitira v celotno populacijo in če širine intervalov ∆t

limitirajo proti ničli, tedaj relativna frekvenca preide v funkcijo gostote porazde-

litve verjetnosti (GPV)

f(x):

• A relative frequency fi is a

relative portion of random-

variable realisations ni in i-

th interval:

• If a number of samples n in

the sample-set approaches

infinity and if the interwal

widths ∆t approach zero

then the relative frequency

is transformed into a

probability density

function (PDF) f(x):

10; ≤≤== ii

i

i ppn

nf 1; =∑ ip

)(lim

0

xff i

xn

i

=

→∆∞→

6


• Gostota porazdelitve verjetnosti je zvezna funkcija f(x) in je mera verjetnosti realizacije zvezne naključne spremenljivke x:

• Za gostoto porazdelitve verjetnosti f(x) velja:

• The probability density

function is a continous

function f(x) that is used for

estimating the probability of

realisation of the random

variable x:

• Each probability density

function f(x) fulfills the

following relations:

1)(;0)(

)0(

=⋅≥ ∫+∞

∞−

dxxfxf

7


• Kumulativna funkcija

verjetnosti (KFV)

predstavlja verjetnost realizacije vrednosti naključne spremenljivke, ki je manjša od določene vrednosti x:

• Za diskretne naključne spremenljivke je kumula-tivna funkcija verjetnosti enaka vsoti relativnih frekvenc:

• A cumulative distribution

function (CDF) represents

the probability of realisation

of the random variable up

to a certain definite value xof the random variable:

• For discreete random

variables the cumulative

distribution function is equal

to a sum of relative

frequencies:

[ ]xXPxF ≤=)(

∑≤

=ij

ji fF

8


• Za zvezne naključne spremenljivke je kumula-tivna funkcija verjetnosti enaka integralu gostote porazdelitve verjetnosti:

• Za velike vrednosti naključne spremenljivke kumulativna funkcija verjetnosti limitira k 1,0:

• For continuous random

variables the cumulative

distribution function is equal

to an integral of the

probability density function:

• For large values of the

random variable the

cumulative distribution

function limits to 1,0:

∫∞−

=x

dxxfxF

)0(

')'()(

9


• Gaussova (normalna) porazdelitev verjetnosti / Gaussian (normal) probability distribution:

– Gostota porazdelitve verjetnosti / Probability density function:

– Kumulativna funkcija verjetnosti / Cumulative density function:

( )'

2

'exp

2

1)(

2

2

dxx

xF

x

∫∞−

⋅

−−⋅

⋅⋅=

σµ

πσ

σµ

π−

=

−⋅

⋅=Φ= ∫

xzdz

zzP

z

;'2

'exp

2

1)(

0

2

x0

f(x) 63,2% verjetnosti /63,2% probability

( ) 2

2

2

,;),(2

exp2

1)( SxN

xxf ←←=

⋅

−−⋅

⋅⋅= σµσµ

σµ

πσ

10


• Eksponentna porazdelitev verjetnosti / Exponential probability distribution:


– Kumulativna funkcija verjetnosti / Cumulative density function

[ ]x

xxxf1

,,0;exp)( ←∞<≤⋅−⋅= λλλλ

[ ]xxF ⋅−−= λexp1)(

11


• Weibullova porazdelitev verjetnosti / Weibull’s probability distribution:


– Kumulativna funkcija verjetnosti / Cumulative density function

∞<≤>

−⋅

⋅=−

θβθθθ

βββ

,0,0;exp)(

1

xxx

xf

−⋅−=β

θx

xF exp1)(

x0

f(x)

=1

=2 =4 4

12


• Verjetnost (ne)povezanih dogodkov: označimo s P(A)

verjetnost dogodka A in s P(B) verjetnost dogodka B.

• Če sta dogodka A in B med seboj neodvisna, tedaj je verjetnost za hkratni nastanek dogodkov A in B enaka:

• Če sta dogodka A in B med seboj odvisna, tedaj je verjetnost za hkratni nastanek dogodkov A in B enaka:

• Probability of (in)dependent

events: let P(A) represents

a probability of an event A

and P(B) a probability of an

event B.

• If A and B are independent

events then the probability

of their common realisation

is equal to:

• If A and B are two

dependent events then the

probability of their common

realisation is equal to:

( ) ( ) ( )BPAPBAP ⋅=∩

( ) ( ) ( ) ( ) ( )APABPBPBAPBAP ⋅=⋅=∩

13


• P(A|B) je verjetnost, da se bo zgodil dogodek A, če se je zgodil dogodek B. P(B|A)

je verjetnost, da se bo zgodil dogodek B, če se je zgodil dogodek A.

• Če sta dogodka A in B medsebojno izključujoča, velja:

• Skupna verjetnost nastanka dogodkov A ali B je enaka:

• Verjetnost komplementarn-ega dogodka AC je enaka:

• P(A|B) is a probability of the event A if the event B is realised. P(B|A) is a probability of the event B if the event A is realised.

• If the two events A and B

are mutually exclusive, the

probability of their common

occurence is as follows:

• A probability of occurence

of events A or B is equal to:

• A probability of compleme-

ntary even AC is equal to:

( ) 0=∩ BAP

( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP ∩−+=∪

( ) ( )APAP C −=1

14

Dinamična trdnost / Fatigue strength

• Za statične obremenitve

določamo natezno trdnosti z nateznim preizkusom.

• V splošnem so izdelki obremenjeni s spremenljivo oz. dinamično obremenit-

vijo:

• Če material obremenjujemo z dinamično obremenitvijo, se obnaša drugače kot pri statični obremenitvi.

• A material endurance for

static loading is determi-

ned with a tensile test.

• In general, however,

products are loaded with a

variable, i.e. a dynamic

load:

• Dynamically-loaded

material behaves differently

as static-loaded material.

(t)

t

a

m

max

min

(t)

R=min

max

15


• Zdržljivost materiala pri dinamičnih obremenitvah imenujemo dinamična

trdnost materiala.

• Za splošne inženirske aplikacije jo opišemo z Woehlerjevo (oz. S-N) krivuljo:

• A durability of material

exposed to dynamic

loading is designated as a

fatigue-strength.

• For general engineering

applications the fatigue

strength is described with a

Woehler (or S-N) curve:

FL(R=0)

R = 0R = -1

N – Število ciklov do porušitve / Number of load cycles to failure (log)

max (log)

Rp0,2

FL(R=-1)

NFLNLC

Malociklična trdnost / Low-cycle fatigue

Časovna trdnost / High-cycle fatigue

Trajna dinamična trdnost /Fatigue endurance domain

16


• Za določitev Woehlerjeve krivulje izvedemo preskuse dinamične trdnosti na več obremenitvenih nivojih σi v področju časovne trdnosti.

• Rezultat preskusa je število ciklov do porušitve Ni za dani nivo obremenjevanja σi.

• Časovno trdnost v Woehle-rjevi krivulji opišemo z naslednjo enačbo:

• To determine the Woehler

curve fatigue-life experi-

ments are carried out at

various stress levels σi in

the high-cycle fatigue

domain.

• A result of a single fatigue-

life experimenet is a

number of load cycles to

failure Ni for the given

stress level σi.

• The high-cycle fatigue

domain of the Woehler

curve is described as

follows:

( ) kNN−⋅= 1212 σσ

17


• Zaradi naključnih dejavni-kov, ki vplivajo na rezultate preskusov, ima dinamična zdržljivost materiala vedno določeni raztros:

• Due to the random factors

that influence the outcome

of the fatigue-life experime-

nts, there exist a scatter of

the fatigue strength:

Eksperimentalni podatki / Experimental data

Verjetnost porušitve / Probability of failure

0.025 0.5 0.975

N (log)

(log)

f(N| )

18

Osnove zanesljivosti / Reliability basics

• Zanesljivost tehniškega sistema je verjetnost, da sistem opravlja svojo funkcijo znotraj predvidenih toleranc pri danih pogojih okolja in obratovalnih razmerah.

• Zanesljivost izdelkov ocenjujemo s pomočjo cenilk in funkcij, ki temeljijo na času do okvare. Le-ta je naključna spremenljivka:

• Reliability is a probability

that a technical system

performs its function within

the defined tolerances for

the given environmental

and operating conditions.

• Reliability of products is

assessed using estimates

and functions of a time to

failure. The time to failure

is a random variable:

19


• Če funkcija f(t) predstavlja gostoto porazdelitve verje-tnosti časa do okvare, potem kumulativna funkcija verjetnosti časa do okvare F(t) predstavlja verjetnost, da se bo tehniški sistem okvaril do časa t:

• Ker je zanesljivost tehni-škega sistema R(t) verje-tnost delovanja sistema v času t, potem velja:

• If f(t) is a probability density

function of the time to

failure then the

corresponding cumulative

distribution function F(t)represents the probability of

failure of the technical

system up to time t:

• Since reliability of the

technical system R(t) is its

probability of operation up

to time t it folows that:

∫ ⋅=t

dttftF0

')'()(

∫∫∞

⋅=⋅−=−=t

t

dttfdttftFtR ')'(')'(1)(1)(0

20


• Iz prej zapisanih definicij sledijo še naslednje zveze:

• S pomočjo funkcij f(t) in R(t)

lahko zapišemo definiciji srednjega časa do

okvare:

• in variance časa do

okvare:

• From these definitions the

following relations can be

written:

• With a help of the functions

f(t) and R(t) one can define

a mean-time to failue:

• and a variance of the time

to failure:

dt

tdRtf

dT

tdFtf

)()(;

)()( −==

∫ ∫∞ ∞

⋅=⋅⋅=0 0

)()( dttRdttftMTTF

2

0

2 )()()( SdttfMTTFttVar →⋅⋅−= ∫∞

21


• Model zanesljivosti je definiran z izbrano funkcijo gostote porazdelitve časa do okvare f(t).

• Najpogosteje uporabljani modeli zanesljivosti so:

– Eksponentni model zanesljivosti;

– Weibullov model zanesljivosti;

– Normalni (Gaussov) model zanesljivosti.

• A reliability model is

defined with a selection of

the probability density

function of the time to

failure f(t).

• The most commonly used

reliability models are:

– Exponential reliability

model;

– Weibull‘s reliability

model;

– Normal (Gaussian)

reliability model.

22


• Intenzivnost okvar je verjetnost, da izdelek odpove v naslednjem časovnem trenutku dt pri pogoju, da je pri času t še deloval.

• V matematičnem smislu je intenzivnost okvar definirana kot kvocient funkcije gostote porazdelitve verjetnosti časa do okvare f(t) in funkcije zanesljivosti R(t):

• A hazard rate is a

probability that a failure

occurs in the next time

interval dt given the

condition that the product

was in the state of

operation at time t.

• In a mathematical sense

the hazard rate is a quotient

between the probability

density function of the time

to failure f(t) and the

reliability function R(t):

)(

)()(

tR

tft =λ

23


• Tipična oblika funkcije intenzivnosti okvar v življenjskem ciklu izdelka je v obliki črke U. Zato jo imenujemo krivulja banje:

• A typical form of a hazard

rate function in a product

life cycle is U-shape. For

this reason it is designated

a bathtub curve:

t

Področje konstantne okvarljivosti

T0

Otroške okvare

Starostne okvare

t

Domain of constant failure rateEarly failures

Ageing failures

24


• Krivulja banje ima tri področja:

– Področje otroških okvar, kjer je intenzivnost okvar padajoča;

– Področje konstantne okvarljivosti, kjer je intenzivnost okvar konstantna;

– Področje starostnih okvar, kjer je intenzivnost okvar naraščajoča.

• The bathtub curve has

three domains:

‒ Early failures domain

with a falling hazard

rate;

‒ Constant hazard rate

domain;

‒ Ageing failures domain

with an increasing

hazard rate.

25


• S preskušanjem novih izdelkov po koncu proizvodnje, lahko znatno omejimo področje otroških okvar.

• Ker kupec dobi izdelek, v katerem je bil velik delež otroških okvar že odkrit, je zanesljivost izdelka s kupčevega vidika boljša. Govorimo o t.i. pogojni

zanesljivosti:

• T0 je čas preskušanja za odkrivanje otroških okvar.

• By testing the products at

the end of a production line

(i.e. „burn-in testing“) the

early-failures domain can

be diminished.

• In this manner the buyer

receives the product with

most of the early failures

eliminated. Its impression of

reliability is better. We can

define a conditional

reliability:

• T0 is a period of burn-in

testing.

( ) ∫∞

⋅=→+

=0

)()(

1)(

)(

)(

0

0

0

00

T

dttRTR

TMTTFTR

TtRTtR

26


• Statični model

zanesljivosti omogoča razvojno oceno zaneslji-vosti izdelka na osnovi poznanih variabilnosti zdržljivosti materiala in variabilnosti obremenitev:

• A static reliability model

enables estimation of a

product‘s reliability on the

basis of known variability of

material‘s strength and

variability of product load

states:

27


• S statičnim modelom zanesljivosti izračunamo zanesljivost izdelka, kakor sledi:

• Using a static reliability

model the product‘s

reliability is calculated as

follows:

∫ ∫∞

⋅⋅

⋅=≤=

0 0

)()()Pr( dyyfdxxfYXR Y

y

X

∫ ∫∞ ∞

⋅⋅

⋅=>=

0

)()()Pr( dxxfdyyfXYR X

x

Y

28

Seznam literature / List of references

• Klemenc J.: Efektivnost izdelkov – učbenik. Ljubljana: UL-FS, 2017. (in Slovene language)

• RMS – Reliability, Maintainability and Supportability Handbook, 3rd edition. SAE International, 1995.

• Ebeling C.E.: An Introduction to Reliability and Maintainability Engineering, 2nd edition. Illinois: Waveland Press, 2010.

kratka ponovitev osnovnih konceptov...

Documents