konverzija između geodetskih i kartezijanskih koordinata
TRANSCRIPT
Konverzija između geodetskih i kartezijanskih koordinata
Posmatramo transformaciju koordinata tačke P iz ECEF koordinatnog sistema (x,y,z) u
elipsoidalne koordinate (, , h) i obratno. Centar elipsoida odgovara koordinatnom početku
ECEF koordinatnog sistema, i mala poluosa (osa rotacije) se poklapa sa z-osom. (slika)
Transformacije je moguće lakše izvršiti definisanjem rastojanja N duž normale od tačke P do
elipse meridijana, između P’ i z-ose. Važi da je
2
1/2 1/22 2 2 2 2 2cos sin 1 sin
a aN
a b e
(1)
N nazivamo radijusom zakrivljenosti osnovne vertikale.
2
2 1b
ea
Elipsoidalne u kartezijanske
Sa slike 1, kartezijanske koordinate (x,y,z) tačke sa elipsoidalnim koordinatama (, , h) su date
kao
2
cos cos
cos sin
1 sin
x N h
y N h
z N e h
(2)
Kartezijanske u elipsoidalne
Prikazaćemo iterativnu proceduru za dobijanje elipsoidalnih koordinata od iz kartezijanskih
koordinata. Longitudu dobijamo kao
tan .y
x (3)
Nešto je teže izračunati geodetsku latitudu i geodetsku visinu. Definišimo
2 2 cosp x y N h
iz (2). Dakle,
cos
ph N
. (4)
Takođe iz (2),
21 sinz e N h
i
21 tanz N
ep N h
Dakle,
2
tan
1
z
Np e
N h
. (5)
1. Primer Paolo Alto Aerodrom ima jednu pistu. Lokacije koje određuju početak i kraj piste broj
30 (rwy30) su merene GPS-om. Merene WGS84 XYZ koordinate (u metrima) su
2694685.473
rwy30Start 4293642.366
3857878.924
2694892.460
rwy30End 4293083.225
3858353.437
Smatra se da su ove koordinate preciznosti 1 cm.
Utvrditi geodetsku latitudu, longitudu i visinu iznad WGS 84 elipsoida pozicije rwy30Start.
Latitudu i longitudu prikazati u stepenima i visinu u metrima. Poziciju izračunati u četiri iteracije.
1 1 4293642.366tan tan -122.112339
2694685.473
y
x
6378137.0a m
2 22 0.006694е f f
1/ 298,257223563=0.003353f
2 2 5069190.720963p x y
1tan 37.272743z
p
1. iteracija
1/2
2 2 6385981.419142m
1 sin
aN
e
-15744.032847mcos
ph N
1
2
tan 37.458836
1
z
Np e
N h
2. iteracija
1/2
2 2 6386048.559181m
1 sin
aN
e
7.645659mcos
ph N
1
2
tan 37.458375
1
z
Np e
N h
treća iteracija
1/2
2 2 6386048.392720m
1 sin
aN
e
-31.552767 mcos
ph N
1
2
tan 37.458376
1
z
Np e
N h
četvrta iteracija
1/2
2 2 6386048.393133m
1 sin
aN
e
-31.455464mcos
ph N
1
2
tan 37.458376
1
z
Np e
N h
Transformacije između kartezijanskih koordinatnih sistema
Često je potrebno izraziti koordinate satelita u različitim kartezijanskih koordinatnih sistema:
inercijalnog, orbitalnog i ECEF. Dva kartezijanska koordinatna sistema sa zajedničkim
koordinatnim početkom mogu se međusobno preklopiti sa sa tri rotacije oko svake od osa bilog
kog od koordinatnih sistema.
Neka T
P p p px y z x predstavlja vektor pozicije izražen u kartezijanskom koordinatnom
sistemu (slika). Razmotrimo drugi kartezijanski koordinatni sistem dobijen rotiranjem
rotiranjem ovog koordinatnog sistema oko z ose (3. osa) za ugao . Vektor pozicije Px je
prikazan u novom koordinatnom sistemu kao T
P P P Px y z x
3
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
P P P
x x R x
3 R je matrica rotacije. Dobili bi smo sličan izraz ukoliko bi smo rotirali originalni koordinatni
sistem oko x ose (1. osa) ili y ose (2. osa). Odgovarajuće matrice rotacije su
1
1 0 0
0 cos sin
0 sin cos
R i 2
cos 0 sin
0 1 0
sin 0 cos
R .
y
y’
x’
x
z
y’p
yp xp
x’p
P
zp = z’p
Svaka od ovih elementarnih matrica rotacije je ortogonalna matrica: vektori kolone (i vektori
vrste) su jedinične dužine i međusobno su ortogonalni (skalarni proizvod svake dve kolone u
matrici je 0). Primetimo da važi
1 , 1, 2,3T
i i i i R R R .
Ukoliko je koordinatni sistem rotiran dva ili više puta, odgovarajuća matrica rotacije se dobija
kao proizvod elementarnih matrica rotacije. Primetimo da važi
, 1, 2,3i i i i i i R R R R R
Posmatrajmo sekvencu rotacija. Vektor pozicije x je dobijen kao x nakon prve rotacije, x
nakon druge rotacije i x nakon treće rotacije. Ose koordinatnih sistema su na sličan način
označene. Rotacija oko z ose za ugao , praćena rotacijom oko y’ ose za ugao , praćena
rotacijom oko x’’ ose za ugao će rezultovati sledećom matricom rotacije
cos cos cos sin sin
sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin cos
cos sin cos sin sin cos sin sin cos cos cos
R
i
1 2 3P P P x Rx R R R x .
ECEF u ENU koordinatni sistem
Definisaćemo ENU (East, North, Up) koordinatni sistem na poziciji prijemnika. Ose ENU
koordinatnog sistema su usmerene tako da jedna osa je usmerena prema istoku, druga osa
prema severu, dok je treća osa umerena na gore (slika). pretpostavimo da je pozicija prijemnika
u ECEF XYZ koordinatnom sistemu data vektorom 0x , elipsoidne koordinate prijemnika su
(,,h). Neka je pozicija satelita u ECEF kordinatnom sistemu data sa .sx Vektor prijemnik-
satelit u ECEF koordinatnom sistemu će biti 0s x x . Cilj nam je da ovaj vektor prikažemo u ENU
koordinatnom sistemu da bismo odredili azimut i zentini ugao satelita.
Da bi smo utvrdili transformaciju iz ECEF u ENU, treba da utvrdimo rotacije osa ECEF
koordinatnog sistema kojm će se ta dva sistema poklopiti (slika). Prva rotacija je oko z ose za
ugao +90. Druga rotacija je oko x ose (koja je sada paralelna sa E-osom nakon prve rotacije)
za ugao 90-. Odgovarajuća transformacija vektora pozicije (0s x x ) iz ECEF u ENU je dobijena
elementarnom rotacijom matrica na sledeći način. Koristimo indeks L (lokalni) unesto ENU.
1 2
sin cos 0
90 90 sin cos sin sin cos
cos cos cos cos sin
L
R R R
Neka je T
L L L Lx y zx prikaz vektora 0s x x u ENU koordinatnom sistemu, tada važi
0L L s x R x x
z
x
P
E
U N
P
East North
Up
az
Matrica transformacije LR je ortogonalna. Svaki vektor vrsta je jedinični vektor ose ENU
koordinatnog sistema izražen u ECEF koordinatnom sistemu. Jedinični vektori duž east, north i
up ose (e, n i u respektivno) glase
sin sin cos cos cos
cos , sin sin i cos cos
0 cos sin
e n u .
Sad možemo da odredimo azimut (az) i zenitni ugao () satelita definisan u ENU koordinatnom
sistemu. Azimut se meri od severa i pozitivan u smeru kazaljke na satu (0-360). Zenitni ugao
se meri od lokalnoe vertikale (0-90). Elevacija (el) se meri odlokalne horizontale (pozitivna na
gore), 90el .
2 2 2
tan
sin cos
E
N
U
E N U
xaz
x
xel
x x x
pozicija satelita u odnosu na korisnika je određena azimutom i elevacijom.
Izračunavanje položaja na osnovu almanaha satelita
319488 soat Referenta epoha almanaha
-20.6223201752 10e Ekscentricitet orbitalne ravni 0.9755183041 radi Inklinacija orbitalne ravni
-80.7886042771 10 rad/s Intenzitet promene longitude rastućeg čvora 1/25153.650879 ma Koren velike poluose orbitalne ravni
0 2.447403804 rad Longituda rastućeg čvora na početku GPS nedelje
2.935032179 rad Argument perigeja
0 1.099870217 radM Srednja anomalija satelita
2
26560117.382617 ma a Izračunavanje velike poluose
14 3 24
0 33
3.986005 10 m /s 1.458559 10 rad/s
26560117.382617 mn
a
Broj obrtaja satelita
356340s 319488s 36852 sk oat t t Vreme koje je proteklo od referentnog vremena
0 0
41.099870217 rad 1.458559 10 rad/s 36852 s 6.475069rad
k kM M n t
Srednja anomalija
sink k kM E e E Keplerova jednačina za ekscentričnu anomaliju (rešava se iterativno)
==============================================================================
Njutnova metoda, poznata i kao Njutn-Rapsonova metoda, je metoda za nalaženje korena
(odnosno nula) realne funkcije 0f x .
Njutn-Rapsonova metoda jedne nezavisne promenljive se realzuje na sledeći način:
Neka je data realna funkcija f i njen izvod f’ i početno rešenje x0 nule funkcije f. Bolja
aproksimacija korena x1 se nalazi kao
0
1 0
0'
f xx x
f x
Geometrijski (x1,0) je presek tangente na funkciju f u tački (x0,f(x0)) sa x-osom.
Proces se ponavlja
1'
n
n n
n
f xx x
f x
sve dok se ne dobije dovoljno tačna vrednost.
==============================================================================
sink k k kf E E e E M , 1 cosk k kf E e E , 0
k kE M
1. iteracija
0
1 0
0
-0.0011868165574206.475069 6.476263111366706 rad
0.993891
k k
k k
k k
f EE E
f E
2. iteracija
1
2 1
1
8.478755475493927e-010 6.476263111366706 6.476263110513620rad
0.993892435828015
k k
k k
k k
f EE E
f E
3. iteracija
2
3 2
2
0.06.476263110513620 6.476263110513620 rad
0.993892435826996
k k
k k
k k
f EE E
f E
2
5 -2
atan2 1 sin ,cos
atan2 1 3.872824 10 sin 6.476263110513620,cos 6.476263110513620 0.622320 10
atan2 0.191876695964767,0.993757434190472 0.190734896236734 rad
k k ke E E e
Stvarna anomalija
-2.935032179 0.190734896236734 2.744297282763266radk k Argument latitude
Radijus satelita
-2 7
1 cos 26560117.382617
1 0.6223201752 10 cos6.476263110513620 2.671253213535881 10 m
k kr a e E m
Položaj satelita u orbitalnoj ravni
7 7
7 7
cos 2.671253213535881 10 m cos 2.744297282763266 2.463191587702551 10 m
sin 2.671253213535881 10 m sin 2.744297282763266 1.033576766910498 10 m
k k k
k k k
x r
y r
Korigovana longituda uzlaznog čvora
0
-8 5
5
2.447403804 rad 0.7886042771 10 rad/s 7.2921151467 10 rad/s
36852 s 7.2921151467 10 rad/s 319488 s 23.537609926198975rad
k e k e oat t
ECEF koordinate satelita
7
7 6
cos cos sin
2.463191587702551 10 m cos 23.537609926198975
1.033576766910498 10 m cos0.9755183041 sin 23.537609926198975 6.393309716861754 10 m
k k k k kx x y i
7
7 7
sin cos cos
2.463191587702551 10 m sin 23.537609926198975
1.033576766910498 10 m cos0.9755183041 cos 23.537609926198975 2.476564635212350 10 m
k k k k ky x y i
7 6sin 1.033576766910498 10 m sin 0.9755183041 8.557939483117463 10 mk kz y i
Izračunavanje položaja satelita na osnovu efemerisa
oet Referenta epoha efemerisa
e Ekscentricitet orbitalne ravni
0i Inklinacija orbitalne ravni
Intenzitet promene longitude rastućeg čvora i Intenzitet promene inklinacije u vremenu
a Koren velike poluose orbitalne ravni
0 Longituda rastućeg čvora na početku GPS nedelje
n Korekcija srednjeg broja obrtaja Argument perigeja
0M Srednja anomalija satelita
,uc usC C Amplitude članova hamonijske korekcije argumenta latitude
,rc rsC C Amplitude članova hamonijske korekcije radijusa
,ic isC C Amplitude članova hamonijske korekcije inklinacije
2
a a Izračunavanje velike poluose
0 3n
a
Broj obrtaja satelita
k oet t t Vreme koje je proteklo od referentnog vremena
0n n n Korigovani broj obrtaja satelita
0k kM M n t Srednja anomalija
sink k kM E e E Keplerova jednačina za ekscentričnu
anomaliju (rešava se iterativno)
2atan2 1 sin ,cosk k ke E E e Stvarna anomalija
k k Argument latitude
Poremećaji drugog harmonika
sin 2 cos2k us k uc ku C C Korekcija argumenta latitude
cos2 sin 2k rc k rs kr C C Korekcija radijusa
cos2 sin 2k ic k is ki C C Korekcija inklinacije
k k ku u Korigovani argument latitude
1 cosk k kr a e E r Korigovani radijus
0k k ki i i it Korigovana inklinacija
Položaj satelita u orbitalnoj ravni
cos
sin
k k k
k k k
x r u
y r u
ECEF koordinate satelita
cos cos sink k k k k kx x y i
sin cos cosk k k k k ky x y i
sink k kz y i