Konstruisanje popločavanja u 𝔼2

Marina Vasiljević, treći razred

Matematička gimnazija, Beograd

marina.vasiljevic@petlja.org

Mentor:

Dr Bojan Bašić

Popločavanje je prekrivanje ravni ili prostora geometrijskim figurama čije se unutrašnjosti ne

preklapaju. Takve figure nazivamo pločicama ili teselima od latinske reči tessella koja

označava parče kamena ili stakla od koga se slaže mozaik. Posebno su zanimljiva

popločavanja kod kojih su sve pločice podudarne tako da imamo grupu izometrija koje jednu

pločicu preslikavaju na sve ostale. Jedan od primera takvog popločavanja su kristalne rešetke,

zbog čega se takve grupe nazivaju kristalografskim grupama. Na slikama gore vidimo primere

nekih popločavanja.

Osna simetrija

Centralna simetrija

Rotacija za 60°

Rotacija za 90°

Rotacija za 120°

Voronojev dijagram

Dat je početni skup tačaka u ravni (slika levo). Svakoj

početnoj tački pridružujemo sve tačke ravni koje su bliže

njoj nego bilo kojoj drugoj početnoj tački. Tako dobijenu

podelu ravni na oblasti nazivamo Voronojevim dijagramom

a pojedine oblasti Voronojevim ćelijama.

Ako sa 𝑆 označimo početni skup tačaka, Voronojeva ćelija

za tačku 𝑎 ∈ 𝑆 je

𝑉𝑆(𝑎) = {𝑥 ∈ 𝔼2 | ∀𝑏 ∈ 𝑆 ∖ 𝑎 𝑑(𝑥, 𝑎) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑏)}

Kristalografska grupa je skup izometrija (rotacija, translacija, simetrija, klizajućih refleksija)

kojima se jedna konačna pločica preslikava u sve pločice popločavanja.

U ravni postoji 17 različitih tipova kristalografskih grupa.

Konačnu oblast koja zajedno sa svojim slikama unutar te

grupe popločava celu ravan i nikoje dve slike se među sobom

ne seku, naziva se fundamentalna oblast. Na slikama iznad

su istaknute i fundamentalne oblasti (jednakostranični i

jednakokraki tupougli trougao)

Na slikama desno prikazane su različite fundamentalne

oblasti za istu kristalografksu grupu, koju generišu dve

translacije, za vektore 𝑣𝑥 1,0 i 𝑣𝑦(0,2).

Na prvoј slici ispod prikazano je delovanje grupe p6 na datu

figuru.

Na drugoj slici je prikazano popločavanje fundamentalnom

oblašću gde figura preseca više slika fundamentalne oblasti.

Na trećoj slici je prikazano popločavanje fundamentalnom

oblašću gde figura cela pripada jednoj fundamentalnoj

oblasti.

Svaka konačna figura koja nema preseka sa svojim slikama

može da se dopuni do fundamentalne oblasti, a cilj ovog rada

je konstruisanje takve fundamentalne oblasti za zadatu figuru.

Na slikama iznad vidimo primere delovanja kristalografske grupe na određene figure. Prvu

grupu (p31m) generišu osne simetrije i rotacije oko temena jednakostraničnog trougla a drugu

(p6) rotacije oko težišta jednakostrančnog trougla za 60° i oko temena za 120° stepeni kao i

centralne simetrije nad stranicama tog trougla.

Na slikama ispod vidimo označene izometrije i popločavanje.

Dirihleov domen

Voronojevi dijagrami daju jedan metod konstruisanja fundamentalnog

domena kristalografske grupe 𝐺 tako što као skup 𝑆 uzmemo orbitu (skup

svih slika) neke tačke 𝑋 . Tada Voronojev dijagram predstavlja

popločavanje ravni pod dejstvom grupe 𝐺, a svaka ćelija dijagrama je

fundamentalna oblast. Takva fundamentalna oblast naziva se Dirihleov

domen i definiše se kao

𝐷𝐺(𝑋) = {𝑌 ∈ 𝔼2 | ∀𝑔 ∈ 𝐺 ∖ {𝐼} (𝑑(𝑌, 𝑋) ≤ 𝑑 𝑌, 𝑔 𝑋 }

Na slikama desno vidimo različite Dirihleove domene za ranije pominjanu

grupu p6 i različito izabranu početnu tačku 𝑋.

Glavni teorijski rezultat ovog rada je konstrukcija uopštenog Dirihleovog

domena

Uopšteni Dirihleov domen za više tačaka

Slično Dirihleovom domenu za jednu tačku, možemo konstruisati domen za dve početne tačke. Tada

nam je 𝑂𝐺({𝑋, 𝑌}) skup tačaka koje se mogu dobiti izometrijama od jedne od te dve tačke.

Posmatrajmo Voronojev dijagram nad svim tačkama orbite 𝑂𝐺 {𝑋, 𝑌} . Unija Voronojevih ćelija za

tačku 𝑋 i za tačku 𝑌 predstavlja fundamentalni domen grupe 𝐺 . Na sličan način definišemo Uopšten

Dirihleov domen za konačan skup tačaka 𝑆 kao

𝐷𝐺(𝑆) = {𝑥 ∈ 𝔼2 | ∀𝑔 ∈ 𝐺 ∖ {𝐼} (𝑑(𝑋, 𝑆) ≤ 𝑑 𝑋, 𝑔 𝑆 }

Uopšteni Dirihleov domen za poligon

Uopšteni Dirihleov domen za poligon definišemo slično kao i za konačan

skup kao

𝐷𝐺(𝑃) = {𝑋 ∈ 𝔼^2 | (∀𝑔 ∈ 𝐺 ∖ {𝐼}) (𝑑(𝑋, 𝑃) ≤ 𝑑(𝑋, 𝑔(𝑃))}

pri čemu je 𝑑 𝑋, 𝑃 = inf𝑌 ∈𝑃

𝑑(𝑋, 𝑌)

Konstrukcija pomoću Voronojevog dijagrama u tom slučaju se može izvesti

kao granična vrednost kada biramo sve veći broj tačaka.

Neka je 𝑆0 skup temena poligona 𝑃 , a 𝑆𝑛 skup u kome se pored temena

poligona nalazi i po 𝑛 tačaka na jednakim rastojanjima sa svake od

stranica poligona. Tada važi

𝐷𝐺(𝑃) = limn→∞

𝐷𝐺(𝑆𝑛)

Na prvoj slici desno je dat primer za 𝐷𝐺 𝑆0 . On jeste fundamentalni

domen ali primetimo da ne obuhvata ceo poligon 𝑃.

Na drugoj slici prikazan je prikazan 𝐷𝐺 𝑆1 , gde su uključena i središta

stranica i taj fundamentalni domen bolje pokriva početni poligon.

Na trećoj slici prikazan je 𝐷𝐺 𝑆50 koji možemo smatrati aproksimacijom

za 𝐷𝐺 𝑃 .

Računarska implementacija

Na osnovu prethodno opisanih metoda konstrukcije fundamentalnih domena implementirani su

odgovarajući algoritmi kao i aplikacija koja omogućava interaktivnu konstruktciju fundamentalnog

domena za izabranu kristalografsku grupu.

Na slikama ispod prikazan je rad aplikacije kada korisnik dodaje tačku po tačku putem klika na mišu i

na taj način oblikuje fundamentalnu oblast.