kompetencia matematika amat1002 diak mf 2felev

MATEMATIKAIKOMPETENCIATERÜLET„A”

Matematika10. évfolyamTANULÓK KÖNYVE 2. FÉLÉV

A kiadvány KHF/4365-12/2008. engedélyszámon 2008.08.28. időponttóltankönyvi engedélyt kapott

Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterv

A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési terv Humánerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3.1.1. központi program (Pedagógusok és oktatási szakértők felkészítése a kompetencia alapú képzés és oktatás

feladataira) keretében készült, a suliNova oktatási programcsomag részeként létrejött tanulói információhordozó. A kiadvány sikeres használatához szükséges a teljes oktatási programcsomag

ismerete és használata. A teljes programcsomag elérhető: www.educatio.hu címen.

Matematika szakmai vezető: Oláh Vera

Szakmai tanácsadó: Csatár Katalin, Somfai Zsuzsa

Alkotószerkesztő: Ratkó Istvánné, Oláh Judit, Vidra Gábor

Grafika: Csákvári Ágnes, dr. Fried Katalin, Lénárt István, Vidra Gábor

Lektor: Pálmay Lóránt

Felelős szerkesztő: Teszár Edit

H-AMAT1002

© Szerzők:

Csákvári Ágnes, Gidófalvi Zsuzsa, Lénárt István, Lövey Éva, Vidra Gábor

Educatio Kht. 2008.

Tömeg: 770 grammTerjedelem: 33,73 (A/5 ív)

A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban közreműködő szakértők:Tantárgypedagógiai szakértő: Kónya István

Tudományos-szakmai szakértő: dr.Marosváry ErikaTechnológiai szakértő: Zarubay Attila

tartalom

8. modul: Hasonlóság és alkalmazásai (Vidra Gábor és Lénárt István) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9. modul: Hegyesszögek szögfüggvényei (Vidra Gábor és Lénárt István) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5710. modul: Gráfok (Lövey Éva) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9111. modul: Kombinatorika és valószínűségszámítás (Lövey Éva, Gidófalvi Zsuzsa) . . . . . . . . . . . . . 11712. modul: Forgásszög szögfüggvényei (Csákvári Ágnes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14713. modul: Statisztika (Lövey Éva, Gidófalvi Zsuzsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19914. modul: Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek (Vidra Gábor) . . . . . . . . . . . . . 217Mellékletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

A könyvben kidolgozott MINTAPÉLDÁK segítenek a tananyag megértésében.

A FELADATOK szintjét a sorszám előtti házikó mutatja:

alapszintű feladatok:

középszintű feladatok:

emelt szintű feladatok:

Ahol nincs ilyen jelzés, azt a példát mindenkinek ajánljuk.

8. MODULhAsONLÓság És ALKALMAzásAi

Készítette: Vidra Gábor és Lénárt István

6 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE

I. Egybevágóságok (ismétlés)

A geometriai transzformáció: a sík vagy a tér pontjaihoz valamilyen utasítással hozzáren-

deljük a sík vagy a tér pontjait. Ezért geometriai transzformációknak nevezzük a

ponta pont függvényeket, amelyeket síkon is és térben is értelmezhetünk. A függvény az

értelmezési tartomány minden pontjához pontosan egy elemet rendel, ezért a geometriai

transzformációról két dolgot biztosan tudunk:

• a sík, illetve a tér minden pontjának van képe, és

• egy pontnak pontosan egy képe van.

Az előző évben négy geometriai transzformációt vizsgáltunk: tengelyes tükrözést, középpon-

tos tükrözést, pont körüli forgatást, eltolást. Vannak más geometriai transzformációk is, pél-

dául térkép készítésekor (többé-kevésbé) gömbfelületet síkká alakítunk, vagy fényképeken a

térbeli alakzatok síkra való vetítését és kicsinyítését–nagyítását találjuk, vagy amikor árnyék

képződik, a térbeli alakzatokhoz síkbelit rendelhetünk.

A tavaly tárgyalt geometriai transzformációk néhány tulajdonsága:

• távolságtartás: bármely két pont távolsága megegyezik képeik távolságával

( ''BAAB = );

• párhuzamosságtartás: párhuzamos egyenespár képe is párhuzamos egyenespár;

• szögtartás: bármely két egyenes hajlásszöge megegyezik képeik hajlásszögével;

• körüljárási irány tartás vagy fordítás: megőrzi, illetve megfordítja az alakzatok körül-

járási irányát;

• illeszkedéstartás: ha két görbe metszi egymást, akkor a görbék képei is metszik egy-

mást (a metszéspontok képe a képgörbék metszéspontja);

• egyenestartás: egyenes képe egyenes.

Mi továbbra is elsősorban síkbeli transzformációkkal foglalkozunk.

Egybevágóságoknak nevezzük a távolságtartó geometriai transzformációkat.

8. modul: HASONLÓSÁG ÉS ALKALMAZÁSAI 7

Feladatok

1. Add meg, hogy melyik ábra a geometriai transzformációk mely tulajdonságát (vagy

tulajdonságait) szemlélteti!

a) b) c)

d) e)

2. Jelöld be a táblázatba +/– jelöléssel, hogy melyik transzformációnak milyen tulajdonsá-

gai vannak!

Tulajdonság tengelyes

tükrözés

középpontos

tükrözés

forgatás eltolás

távolságtartó

szögtartó

egyenestartó

párhuzamosságtartó

illeszkedéstartó

körüljárási irányt tartó

körüljárási irányt fordító

3. Milyen alakzatokat alkot a derékszögű háromszög és tükörképe együtt, ha a háromszö-

get tükrözzük az

a) átfogójára;

b) átfogójának felezőpontjára;

c) egyik befogójára;

d) egyik befogójának felezőpontjára?


4. Szerkessz derékszögű háromszöget, ha köré írt körének sugara 4 cm, egyik befogója

5 cm! Tükrözd a háromszöget beírt körének középpontjára! Milyen síkidom a két alak-

zat metszete?

5. Rajzolj egy háromszöget, és szerkeszd meg a magasságpontját! Tükrözd a magasság-

pontot az oldalak egyeneseire, és szerkeszd meg a képpontok által meghatározott há-

romszög köré írható kört! Mit tapasztalsz?

6. Tükrözd a szög e és f szárát a P pontra! Jelölje R az f és az e’ egyenesek, Q az e és f’

egyenesek metszéspontját. Mi a kapcsolat P és a QR szakasz között?

7. Az alábbi ábrán egy térkép részlete szerepel. A gátőr azt a feladatot kapta, hogy vigyen

a vizsgáló állomásra vízmintát a folyóból. Milyen irányba induljon el a gátőr, ha a lehe-

tő legrövidebb úton akar eljutni a vizsgáló állomásra a folyó érintésével? Szerkeszd

meg az utat!

8. Tomi azt a feladatot kapta édesapjától, hogy ellenőrizze a villany-

pásztor működését mindkét megjelölt, egyenes szakaszon. A házuk

egy meredek hegyoldal tövében áll, azon az oldalon nincsen kerítés.

Szerkeszd meg Tomi útját úgy, hogy a legkevesebbet kelljen men-

nie!


9. Tervezd meg a következő logó négyzetét,

ha adott a két szögszár és az S pont! Eze-

ket te rajzold meg magadnak az ábrának

megfelelően.

10. Szerkessz négyzetet az alábbi körszeletbe úgy, hogy egyik csúcsa a megadott P pont

legyen, és egy-egy csúcsa legyen a d átmérőn, illetve a köríven (a negyedik csúcsa

mindegy, hová esik). Készíts vázlatot a feladat megoldásához!

A háromszögek egybevágóságára négy alapesetet tanul-

tunk. Két háromszög egybevágó, ha

• oldalaik páronként egyenlők ( ';';' ccbbaa === );

• két oldaluk és az általuk közbezárt szög páronként

egyenlő ( ';';' γγ === bbaa );

• két oldaluk és a nagyobbikkal szemközti szög páron-

ként egyenlő ( ';';' ββ === bbaa );

• egy oldaluk és a rajtuk fekvő két szög páronként egyenlő ( ';';' ββγγ === aa ).

Két síkidomot egybevágónak nevezünk, ha véges sok egybevágósági

transzformáció egymást követő alkalmazásával egymásba vihetők.


Feladatok

11. Adott az ABC háromszög, és az A pont tükörképe: A’. Szerkeszd meg a tükörtengelyt

és a háromszög képét!

12. Add meg azoknak az egybevágósági transzformációknak a sorozatát, amelyekkel az

ABC háromszög átvihető az A’B’C’ háromszögbe!

13. Igazak-e a következő állítások:

a) Két háromszög egybevágó, ha súlyvonalaik páronként egyenlők.

b) Két háromszög egybevágó, ha megfelelő szögeik páronként egyenlők.

c) Két egyenlőszárú háromszög egybevágó, ha alapjuk és az egyik szárhoz tartozó

magasságuk páronként egyenlők.

d) Két négyszög egybevágó, ha megfelelő oldalaik hossza páronként egyenlő.

e) Két négyszög egybevágó, ha három megfelelő oldaluk hossza és a három közötti

két-két szög is páronként egyenlő.


14. Keress a képen egybevágó háromszöge-

ket, négyszögeket!

15. A szabályos háromszög oldalainak negyedelő pontjait

az ábra szerint összekötöttük. Igazold, hogy a kelet-

kező háromszög is szabályos!

16. Igaz-e, hogy a háromszögben egy adott csúcshoz tartozó súlyvonal egyenese egyenlő

távolságban van a másik két csúcstól?

17. Az ABC derékszögű háromszög átfogójára és egyik be-

fogójára négyzeteket állítunk, majd berajzoljuk az áb-

rán látható CQ és AP szakaszokat. Igazold, hogy ezek

hossza egyenlő!


II. A hasonlósági transzformáció Az egybevágó alakzatok megfelelő méretei megegyeznek, az alakzatok pontosan fedésbe

hozhatók. A hasonló alakzatoknak a lényege az, hogy „formájukban”, alakjukban megegyez-

zenek. Azért vigyázni kell a dimenziókkal: egy bölény a barlang falán megszólalásig hason-

líthat egy élő bölényre, de mégsem mondhatjuk, hogy a kettő hasonló (például mert egyik

két-, a másik háromdimenziós). A matematikában a hasonlóság szigorú fogalom, a nagyítás-

hoz-kicsinyítéshez kötődik. Gyakorlati haszna szinte felsorolhatatlan.

A geometriai transzformációknak több fajtáját ismerjük. Az egybevágóságok mellett hasonló-

ság, vetítések stb. is szerepet kapnak sok gyakorlati alkalmazásban.

Például a tengelyes tükrözést így definiáltuk:

Adott a síkon egy t egyenes (tengely). Rendeljük t pontjaihoz önmagukat. A sík bármely más

P pontjához rendeljük úgy a P’ pontot, hogy a PP’ szakasz felezőmerőlegese a t egyenes le-

gyen. Az így meghatározott geometriai transzformációt tengelyes tükrözésnek nevezzük.

A geometriai transzformációk használatára példa a térké-

pek készítése. A feladat egy gömbsüveg síkban történő

ábrázolása lehetőleg úgy, hogy megmaradjanak a távol-

ságok arányai, a szögek nagysága. Ezt úgy érik el, hogy a

földfelszínt kisebb szeletekre bontják (mint a narancs

héjának kis darabja), és ezek a szeletek inkább a síkhoz

hasonlítanak, mint a gömb felszínéhez. Ezután mintegy

„kivasalják” a terepet, vagyis merőlegesen levetítik a

gömbsüveget levágó síkra. A képen ennek a modelljét látjuk a gömbkészlet segítségével.


A középpontos hasonlósági transzformáció

Nagyításhoz (kicsinyítéshez) meg kell adni egy pontot a síkon, és egy pozitív számot, amit a

hasonlóság arányának hívunk. Az egybevágóságokhoz hasonlóan nem adjuk meg, hogy mit

nagyítunk, ellenben azt meg kell mondani minden pont esetén, hogy mi lesz az adott pontnak

a képe. A középpontos hasonlóság definíciója a következő:

Pont transzformálása

Egyenes, háromszög transzformálása

A geometriai transzformációk definíciójában pontok képéről beszélünk, ezért minden síkido-

mot mint ponthalmazt transzformálunk. A síkidomok transzformációja tehát pontjaik transz-

formálásával történik.

Adott a síkon egy O pont (középpont) és egy k pozitív szám. Rendeljük O-hoz

önmagát. A sík bármely más P pontjához rendeljük úgy az OP félegyenes P’ pontját,

hogy OP ’ = k · OP legyen.


Találkozhatunk olyan matematikai szakirodalommal, ahol a hasonlóság arányszáma lehet

negatív is. Ilyenkor k arányú középpontos hasonlóság és a hasonlóság középpontjára vonat-

kozó tükrözés egymásutánját hajtjuk végre.

Mintapélda1 Az ábrán az ABC háromszöget a P pontból nagyítottuk. Megszerkesztettük a táblázatban sze-

replő nevezetes vonalakat. Megmértük a táblázatban szereplő adatokat, és meghatároztuk ol-

dalaik, magasságaik, súlyvonalaik, kerületük és területük arányát. Eredményeinket táblázatba

foglaltuk:

=a 3,1 cm =b 3,8 cm =as 2,7 cm =K 9,3 cm =am 2,35 cm =T 3,6 cm2

='a 6,2 cm ='b 7,6 cm ='as 5,4 cm ='K 18,6 cm ='am 4,7 cm ='T 14,4 cm2

=aa' 2 =

bb' 2 =

a

a

ss ' 2 =

KK ' 2 =

a

a

mm '

2 =TT ' 4


Általánosságban elmondhatjuk:

A középpontos hasonlóság tulajdonságait már megismertük a fenti példák kapcsán. Foglaljuk

össze azokat!

A középpontos hasonlóság tulajdonságai: aránytartó, szögtartó, egyenestartó, párhuza-

mosságtartó, illeszkedéstartó, körüljárási irányt tartó, nem távolságtartó (kivéve a |k|=1 ese-

tet). Az egyenes képe vele párhuzamos egyenes.

Az aránytartás azt jelenti, hogy bármely AB és CD szakaszra igaz az AB : CD = A’B’ : C’D’

kapcsolat (bármely két szakasz hosszának aránya megegyezik képeik hosszának arányával).

Szemléletesen fogalmazva, az aránytartó geometriai transzformáció megőrzi a szakaszok

hosszainak arányát.

A középpontos hasonlóság fixpontja a középpont, fix egyenese nincs, invariáns egyenesei a

középponton áthaladó egyenesek.

Az olyan síkidomokhoz, amelyek „egyforma alakúak”, vagyis megfelelő szakaszaik aránya és

szögeik egyenlők, mindig található hasonlóság, amely őket egymásba viszi.

Ha egy síkidomot k-szorosára nagyítunk vagy kicsinyítünk, akkor minden tá-

volságadata k-szorosára, területe pedig k 2-szeresére változik.

Hasonlóságnak nevezzük azokat a geometriai transzformációkat, amelyek

középpontos hasonlóság és egybevágóság véges sok egymás utáni végrehaj-

tásával keletkeznek.


Mintapélda2 A tortát 6 egybevágó körcikkre osztottuk. Mindegyik körcikkre

szeretnénk olyan kört rajzolni, amelyik érinti a körcikk sugarait

és határoló ívét egyaránt. Hogyan lehet ezt megszerkeszteni?

Megoldás:

A feladat általánosan megoldható: adott egy körcikk; szerkessz

olyan kört, amely érinti a sugarakat és a körcikk határolóívét is!

Első lépés a vázlatkészítés: a kész megoldást elemezve meghatá-

rozzuk a szerkesztés elvi hátterét és a szerkesztés menetét.

A feladat az O pont megszerkesztése. Segítségül hívjuk

a hasonlóságot: a feladat egyik feltételét nem vesszük

figyelembe. Szerkesztünk egy olyan kört, amely érinti a

sugarakat, de nem feltétlenül érinti a körívet, és megha-

tározzuk, hogyan nagyítsuk a kellő mértékre. A kis kör

középpontját könnyű megszerkeszteni: rajta van a kör-

cikk szimmetriatengelyén, és a sugár merőleges az érin-

Két síkidomot hasonlónak nevezünk, ha található olyan hasonlóság, amely azo-

kat egymásba viszi. A hasonlóság jele: ~ (például ABC ~ PQR ).


tőre (ezért kijelölünk egy tetszőleges P pontot, abból merőlegest szerkesztünk a szögszár-

ra, és a t egyenessel alkotott metszéspont adja a középpontot). Nagyításkor e és f párhu-

zamosak maradnak, ezért F-ből e-vel párhuzamost húzva kapjuk az E pontot, amiből a

szögszárra merőlegest állítva kapjuk az O pontot. OF adja a kör sugarát.

Feladatok

18. Válaszolj a következő kérdésekre: mit kell megadni, amikor definiáljuk a következő

transzformációkat:

• tengelyes tükrözés, • középpontos tükrözés, • eltolás, • pont körüli forgatás, • hasonlósági transzformáció? Meg kell-e adni azt, hogy mit transzformálunk? Miért?

19. Egy ötszöget egy pontból nagyítottunk, és az a oldala 2,5 cm-ről 4,5 cm-re változott.

Mekkorák az új ötszög oldalai, ha az eredeti ötszög másik négy oldala: 6,3=b cm,

4=c cm, 2,5=d cm, 2,4=e cm. Hányszorosára változott az ötszög kerülete és területe?

20. A festők előre kinyújtott karjukban tartott ceruzával méregetik az arányokat. Mekkorá-

nak méri az 1,2 méteres magasságot a festő, ha a modell tőle 4 méterre van, és a ceru-

zával a szemétől 50 cm-re mér?

21. Egy fényképész a múzeumban egy 150 cm magas képről szeretne fotót készíteni úgy,

hogy az egész kép látható legyen a fotón. A fényképezőgépében 35 mm magas a film,

amin a kép keletkezik, és a film az objektívtől 100 mm-re található. Milyen messze te-

gye a fényképezőgép állványát a képtől? Készíts vázlatot a feladat megoldásához!

22. A történetírók szerint Thalész árnyékuk segítségével

mérte meg a piramisokat úgy, hogy leszúrt egy botot

a földbe, és kifigyelte azt a pillanatot, amikor azonos

hosszúságú a bot és az árnyéka. Ekkor a piramis ár-

nyéka egyenlő a magasságával.


Peti a testmagasságát akarja hasonló módszerrel megmérni. Leszúr egy botot a földbe,

aminek 42 cm-es darabja áll ki. Az árnyék hossza 26 cm. A saját árnyéka 109 cm

hosszú. Milyen magas Peti?

23. Mekkora átmérőjű körlapot kell a szemünk elé tartani 50 cm-re, hogy a napot eltakar-

ja? A szükséges adatok: a Nap–Föld távolság kb. 8105,1 ⋅ km, a Nap átmérője 610394,1 ⋅ km.

24. Az ábrán egy téglalapot nagyítottunk (pontosabban

a téglalap AB oldalának nagyított képe, A’B’ látha-

tó). Másold át a füzetedbe az ábrát, keresd meg a

nagyítás centrumát (középpontját), és egészítsd ki a

rajzot!

25. Adott a síkon az ABCDE ötszög. Másold át a füzetedbe,

és nagyítsd az A pontból a háromszorosára!

26. A kék kört egy C centrumból 2-szeresére nagyítottuk. Másold át a füzetedbe, és keresd

meg a nagyítás középpontját!

a) b)


27. Másold át a füzetedbe az ábrákat, és kicsinyítsd 0,5-szeresére az egyenest és a kört

tartalmazó alakzatot a P pontból!

a) b)

28. Másold át a füzetedbe az ábrákat, és nagyítsd 1,5-szeresére az egyenest és a kört tar-

talmazó alakzatot a P pontból!

a) b)

29. Rajzolj egy általános ABC háromszöget, és szerkeszd meg az S súlypontját. Nagyítsd

abból a háromszöget 2-szeresére, majd a kapott háromszöget tükrözd a súlypontjára!

A keletkező háromszögnek milyen vonalai lesznek az ABC háromszög súlyvonalainak

egyenesei, és milyen pontjai az A, B, C pontok?

30. Az ABC háromszöget nagyítsd az A csúcsából 2-szeresére, és a kapott

háromszöget tükrözd az A csúcsra! Jelölje a keletkező csúcsokat B’ és

C’, BC’ és B’C metszéspontját D. Az A pont milyen nevezetes pontja

lesz a DB’C’ háromszögnek?


31. Rajzolj egy ABC háromszöget. Szerkessz négyzetet, amelynek egyik oldala a három-

szög AB oldalán legyen, és egy-egy csúcsa van a BC és AC oldalakon!

32. Szerkessz egy 60°-os középponti szögű körcikket, és szerkessz bele négyzetet, amely-

nek két csúcsa a határolóíven, egy-egy csúcsa a két sugáron helyezkedik el!

33. Vegyél fel egy szöget és a szögtartományban egy P pontot. Szerkessz olyan kört,

amely érinti szögszárakat, és áthalad a P ponton!

34. Egy ablak tetejét félkör alakúra képezték ki. Szeretnének bele négyzet alakú vésést

készíteni. Hogyan szerkesszék meg azt a négyzetet, amelynek két csúcsa a körszelet

határoló ívén, másik két csúcsa a határoló egyenesén található?


III. Párhuzamos szelők tétele

A tapasztalatok alapján felírható két tétel (amelyeket természetesen be is lehet bizonyítani):

Ez igaz a szög csúcsától a metszéspontokig terjedő szakaszokra is, és a metszéspontok közötti

szakaszokra egyaránt.

Párhuzamos szelőkkel sokszor találkozunk a hétköznapokban is:

Jól szemléltethető a tétel olyan ábrával, ahol a két száron nem egyforma léptékeket haszná-

lunk:

Párhuzamos szelők tétele: ha egy sík két egyenesét párhuzamos egyene-

sekkel metsszük, akkor az egyik egyenesen keletkezett szakaszok aránya

megegyezik a másik egyenesen keletkezett szakaszok arányával.


pqp

aba

xy +

=+

=

A párhuzamos szelők tétele csak megszorítással fordítható meg.

Ha p

qpa

ba +=

+ , akkor yx || .

Mintapélda3 Keressük meg a megfelelő arányokat, és töltsük ki a táblázat hiányzó részeit!

a b p q x y

10 15 25 18

Megoldás:

A párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele miatt fennálló egyenlőségek értelmében

aba

xy += , ahová behelyettesítve az ismert értékeket

102518

=x

, ahonnan

2,725

1018=

⋅=x egység. Szintén fennáll az

pqp

aba +=

+ egyenlőség, behelyettesítve

pp 25

1025 +

= . Ebből adódik, hogy 7,163

5015250

≈==p egység.

Párhuzamos szelőszakaszok tétele: Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel

metsszük, a szárak által kimetszett szakaszok aránya megegyezik a párhuzamosok

által a szögszárakból lemetszett megfelelő szakaszok (szeletek) arányával.

Párhuzamos szelők tételének megfordítása: Ha egy szög szárain a szög csú-

csából kiindulva azonos arányú szakaszokat mérünk fel, akkor a szakaszok meg-

felelő végpontjait összekötő egyenesek párhuzamosak egymással.


Mintapélda4 Osszunk fel egy adott AB szakaszt 2:5 arányú részekre!

Megoldás:

A párhuzamos szelők tételét hívjuk segítségül: mérjünk fel egy segédegyenesre A-tól

kezdve 2 + 5 egységnyi segédszakaszokat.A Q végpontot összekötjük B-vel, és a máso-

dik osztóponton át párhuzamost szerkesztünk ezzel a szakasszal. Így az

5 : 2 =AP : PB is teljesül.

Mintapélda5 Az ABCD rombusz BC oldalának H harmadoló pontját

összekötjük a D csúccsal, és a DH egyenes és AB egye-

nes metszéspontját P-vel jelöljük. Mekkora a BP szakasz

hossza, ha a rombusz oldala 12 cm?

Megoldás:

HB a BC = AD szakasz harmada, a párhuzamos szelőszakaszok tétele szerint BP is

harmada az AP szakasznak.

xx 312 =+ , innen 6=x .

A keresett távolság tehát 6 cm.

Feladatok

35. A párhuzamos szelők tétele ismét olyan tétel, amely megszorításokkal megfordítható.

Fogalmazzuk meg „akkor és csak akkor”, valamint „szükséges és elégséges” kifejezé-

sek használatával!


36. Keresd meg a megfelelő arányokat, és számítsd ki a táblázat hiányzó részeit!

37. A faház tetejének háromszög alakú homlokzatát 25 cm széles deszkával szeretnénk

befedni, egymás alatti csíkozással. Összesen mennyi deszkára van szükség, ha a hom-

lokzat magassága 175 cm, és az alapzat szélessége 3,5 méter?

38. A létrát milyen hosszú lánc fogja össze a létra magasságának alulról mért harmadánál,

ha a talajon a két szárának távolsága 81 cm?

39. Rajzolj egy 7 cm hosszúságú szakaszt, és oszd fel a következő arányú részekre:

a) 2:7; b) 3:5; c) 75% : 25%; d) 40% : 60%; e) 45% : 55% !

40. Az ABCD téglalapban AB=12, BC=8 egység, az AC átló harmadoló pontjai P és Q.

Mekkora a DPBQ négyszög területe?

Szögfelezőtétel

A háromszögben a szögfelező a szemközti oldalt két részre bontja. A tapasztalatokból leszűr-

hetjük, hogy ezek hossza kapcsolatos a szomszédos oldalak hosszával.

A szögfelezőtétel bizonyításához felhasználjuk a párhuzamos szelők tételét.

a b p q x y

10 15 25 18

2 5 7 6

12 14 8,4 16

11,2 3 4,2 12

5 14,4 6 16,8

4 12 20

16 12 9 42

6 10 15 32

A háromszögben a belső szögfelező a szemközti oldalt a szomszédos oldalak ará-

nyában osztja. Ezt az összefüggést szögfelezőtételnek hívjuk.


Mintapélda6 Egy háromszögben a c oldalhoz tartozó szögfelező c1 és c2 részekre osztja a c oldalt. c1 hosz-

száról tudjuk, hogy a c hosszának 30%-a, c2 hossza 1,4 cm. A két másik oldal különbsége

1 cm. Mekkora a háromszög kerülete?

Megoldás:

A kerület kiszámításához először meghatározzuk az oldalakat. c2 a c 70%-a, vagyis

4,17,02 =⋅= cc , ahonnan c = 2 cm, c1 = 0,6 cm. A másik két oldal a és 1+= ab .

A szögfelezőtétel szerint 2

1

cc

ba= , így

7,03,0

1=

+aa . Így )1(3,07,0 +⋅= aa , ahonnan

75,0=a cm és 75,1=b cm.

Ellenőrzésként megvizsgáljuk, hogy van-e ilyen háromszög. Az oldalakra teljesül a há-

romszög-egyenlőtlenség, bármelyik két oldal összege nagyobb a harmadik oldalnál.

A kerület 5,475,175,02 =++ cm.

Feladatok

41. Számítsd ki a táblázat hiányzó részeit!

42. Egy háromszögben a c oldalhoz tartozó szögfelező c1 és c2 részekre osztja a c oldalt. c1

hosszáról tudjuk, hogy a c hosszának 43,75%-a, c2 pedig 6,75 cm. A két másik oldal

különbsége 2 cm. Mekkora a háromszög kerülete?

43. Egy háromszögben a c oldalhoz tartozó szögfelező c1 és c2 részekre osztja a c oldalt. c1

hossza 760 , c hossza 20 egység, a másik két oldal összege 28 egység. Mekkora a há-

romszög kerülete? Speciális-e a háromszög?

a b c1 c2 c

8 cm 1 dm 135 mm

4 cm 5 cm 6 cm

5 cm 4 cm 3 cm

3 cm 8 cm 15 mm

12 cm 86, 4 mm 18 cm

2,5 dm 11, 25 cm 3 dm


IV. Háromszögek hasonlósága A testek és síkidomok hasonlósága adja a hasonlóság gyakorlati hasznát: kicsinyítve vagy

nagyítva megalkothatjuk a tárgyak modelljeit, és azon kísérleteket hajthatunk végre (például

szélcsatornában hajómodelleken, vagy kilengési teszteket megépítendő toronyházak modellje-

in). Hasonlóság nélkül nem lenne fényképezés, kivetítés a rendezvényeken és nem értenénk

meg azt sem, hogyan keringenek a bolygók a naprendszerben, vagy éppen az elektron az

atommag körül. A síkidomok hasonlóságának vizsgálatát a háromszögek hasonlóságának

vizsgálatával kezdjük.

Tudjuk, hogy hasonló síkidomok megfelelő szakaszainak aránya egyenlő. A háromszögek

esetén ez megfordítható állítás: ha a háromszögek megfelelő oldalainak aránya egyenlő, akkor

hasonlóak.

A háromszögek hasonlóságának alapesetei

Ezek a megállapítások a hasonlósági transzfor-

máció definíciójával igazolhatók.

Két háromszög hasonló, ha

• megfelelő oldalainak aránya megegyezik ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ==

cc

bb

aa ''' ;

• két-két szögük páronként egyenlő ( )','pl. ββαα == ;

• két-két oldal aránya és az általuk közbezárt szög megegyezik

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ == '''például γγés

bb

aa ;

• két-két oldal aránya és a hosszabbikkal szemközti szög megegyezik

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ==> '''eseténpéldául ββés

bb

aaab ;


Természetesen az arányok át is rendezhetők, így az bb

aa ''= arány felírható a következő for-

mákban is: '' baba ⋅=⋅ , illetve ''

ba

ba= .

Háromszögek hasonlóságának igazolásához az esetek többségében valamelyik alapeset

teljesülését látjuk be.

Mintapélda7 Igazoljuk, hogy ha egy háromszöget „elvágunk” az egyik oldalával párhuzamos egyenessel, a

keletkező kisebb háromszög az eredetihez hasonló!

Megoldás:

'ββ = , mert egyállású szögek, α szögük közös, ezért a

két háromszög szögei megegyeznek. Teljesül a három-

szögek hasonlóságának egyik alapesete, ezért a két há-

romszög hasonló.

Mintapélda8 Az ábrán a kör O középpontjából kiinduló g egyenes párhuzamos az AB húrral, e a kör B

pontbeli érintője, M a húr felezőpontja. Igazoljuk, hogy OBM háromszög hasonló a TOB há-

romszöghöz!

Megoldás:

A húr felezőmerőlegese OM, ezért M-nél derékszög van. A

sugár merőleges az érintőre az érintési pontban, így az OBT

szög is derékszög.

βα = , mert váltószögek. A két háromszögnek van két

egyenlő szögpárja, teljesül a háromszögek hasonlóságának

egyik alapesete. A két háromszög tehát hasonló.


Feladatok

44. Az ABC háromszög oldalfelező pontjai P, Q és R. Milyen

hasonló háromszögeket találunk az ábrán? A hasonlóságnak

melyik alapesete teljesül?

45. P és R harmadoló pontok. Igazold, hogy ABC ~ PBR !

46. Keress hasonló háromszögeket az ábrán! P az ABC szabályos

háromszög köré írható kör egy tetszőleges pontja

( )CPBPAP ≠≠≠ ,, .

47. Az ABC háromszög köréírt körének C csúcsbeli érintője az e

egyenes. A BC oldallal párhuzamos, A csúcsból kiinduló fél-

egyenes e-t a P pontban metszi. Igazold, hogy ABC ~

PCA !

48. Igazold, hogy a hegyesszögű háromszögben a magasságvonalak talppontjai által meg-

határozott (ún. talpponti) háromszögnek az oldalai az eredeti háromszögből ahhoz ha-

sonló háromszögeket vágnak le!


Mintapélda9 Egy trapéz két alapja 16 és 10 cm. Milyen arányban

osztják egymást az átlók?

Megoldás: Az átlók metszéspontjánál két olyan há-

romszög keletkezik, amelyeknek egyik oldala a trapéz alapja. Ezek a háromszögek hasonlóak,

mert szögeik egyenlők (P-nél csúcsszögek, 'αα = váltószögek): APB ~ CPD . A hasonló-

ság miatt a megfelelő oldalak aránya egyenlő: xy

=1016 . x és y éppen egy átló két darabja, és az

arány mindkét átlóra fennáll. Egyszerűsítve a törtet, a keresett arány tehát 8 : 5.

Az eredményt jegyezzük meg: a trapézban az átlók az alapok arányában osztják egymást.

Sokszor okozhat problémákat az arány felírásakor, hogy melyek a háromszögekben az egy-

másnak megfelelő oldalak. Jegyezzük meg, hogy az egymásnak megfelelő oldalak mindig

az egyenlő szögekkel szemben vannak.

Mintapélda10 A trapéz kiegészítő háromszöge a szárak egyenese és a rövidebb alap által határolt három-

szög. Mekkorák a kiegészítő háromszög oldalai, ha az alapok hossza 12 cm és 4 cm, a száraké

8 cm és 3 cm?

Megoldás:

A szögek egyenlősége miatt ABE ~ DCE . A meg-

felelő oldalak aránya y

yx

x +=

+=

384

12 .

Az x-et tartalmazó arányok egyenlőségéből x

x+=

83 ,

xx += 83 , ahonnan 4=x , hasonlóan 5,1=y . A kiegészítő háromszög oldalai tehát 1,5 cm, 4

cm és 4 cm.


Feladatok

49. Rajzolj egy szimmetrikus trapézt, amelynek alapjai 5 cm és 7 cm, magassága 3 cm!

a) Húzd be az átlókat, és számítsd ki azok hosszát!

b) Keress hasonló háromszögeket, és indokold a hasonlóságot!

c) Számítsd ki, hogy mekkora darabokra osztják az átlók egymást!

d) Húzz az alapokkal párhuzamos szakaszt az átlók met-

széspontján keresztül az ábrának megfelelően! Mek-

kora ennek a szakasznak a hossza? Megegyezik-e ez

a szakasz a trapéz középvonalával? A szakaszt mek-

kora darabokra osztja az átlók metszéspontja?

50. Egy trapéz két alapja 12 cm és 5 cm. Milyen hosszúságú szakaszokra osztják egymást

az átlók, ha azok hossza 8 cm és 11 cm?

51. Egy szimmetrikus trapéz alapjai a és b. Mekkora darabokra osztja az átlók metszés-

pontja a d átlókat, ha

a) a = 10 cm, b = 6 cm, d = 12 cm;

b) a = 12 cm, b = 6 cm, d = 10 cm.

52. Egy trapéz két alapjának hossza a és c. Húzzunk az átlók metszéspontján keresztül

párhuzamost az alapokkal, és számítsuk ki, mekkora darabokra osztja ezt a szakaszt az

átlók metszéspontja, ha

a) a = 12 cm, c = 6 cm; ; b) a = 10 cm, c = 7 cm; c) a = 120 mm, c = 85 mm ?

53. Mekkorák a trapéz kiegészítő háromszögének oldalai, ha a trapéz oldalai a hosszabbik

alappal kezdve rendre

a) 10 cm, 6 cm, 3 cm, 4 cm; b) 11 cm, 5,4 cm, 6 cm, 3,5 cm; c) a, b, c, d ?

54. Egy trapéz alapjai 15 cm és 20 cm, szárai 8 cm és 10 cm.

a) Mekkorák a kiegészítő háromszög oldalai?

b) Mekkora annak az átlók metszéspontján átmenő, alapokkal párhuzamos szakasz-

nak a hossza, melynek végpontjai a szárakon helyezkednek el?


55. Egy piramis magasságát úgy határozzuk meg, hogy

segítségül hívjuk társunkat: a piramis és közöttünk oda állít-

juk, ahol a sisakja legfelső pontja éppen egyvonalban látszik

a piramis tetejével. A piramis tőlünk 2,4 km távolságban van,

a társunk 5,52 méterre. A szemünk 162 cm magasan, társunk

sisakjának legfelső pontja 192 cm magasan van a talaj fölött.

Milyen magas a piramis?

A háromszög súlyvonalai

Rajzoljuk be az a, b és c oldalú háromszög sa és sb

súlyvonalait az ábrának megfelelően. P és R oldal-

felező pontok, ezért PR középvonal. A középvonal-

ról két dolgot tudunk:

• párhuzamos az általa nem metszett oldallal,

és ebből az következik, hogy ABRP trapéz;

• fele a vele párhuzamos oldalnak, vagyis

2cPR = .

A trapézban az átlók az alapok arányában osztják egymást, ami most éppen 1 : 2 arány. S te-

hát harmadoló pontja mindkét súlyvonalnak. Hasonlóan belátható, hogy a c oldalhoz tartozó

súlyvonal is éppen az Sb P-hez közelebbi harmadoló pontján, vagyis S-en megy keresztül. Két

állítást is igazoltunk:

Ezzel kiegészültek a háromszögek nevezetes vonalaira vonatkozó ismereteink. Ismételjük át a

nevezetes vonalakat!

A háromszögben a súlyvonalak egy pontban metszik egymást (súlypont).

A súlypont harmadolja a súlyvonalakat (a csúcs felé eső rész a hosszabb).


Magasságvonalak: a háromszög csúcsaiból a szemközti oldalakra bo-

csátott merőleges egyenesek; egy pontban, a magasságpontban metszik

egymást.

Oldalfelező merőleges egyenesek: az oldalfelező pontokon átmenő,

az adott oldalra merőleges egyenesek; egy pontban, a háromszög köré

írt kör középpontjában metszik egymást.

Szögfelezők: a szögeket felező egyenesek; egy pontban, a háromszög

beleírható körének középpontjában metszik egymást; a belső szögfele-

zők a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztják (szög-

felezőtétel).

Súlyvonalak: a csúcsokat a szemközti oldal felezőpontjával összekötő

egyenesek. Egy pontban, a súlypontban metszik egymást, ami harma-

dolja a súlyvonalakat (a csúcsoktól távolabbi harmadoló pontban).

Érdekesség: MOS – a magasságpont, a köré írható kör középpontja és a súlypont egy egyenes-

re, az ún. Euler-egyenesre esnek.

Mintapélda11 Egy konvex ABCD négyszögben az AB és AD oldalak A-hoz közelebbi harmadolópontjából és

BC és CD oldalak felezőpontjából alkottunk négyszöget.

a) Lássuk be, hogy ez a négyszög trapéz!

b) Mekkora a párhuzamos oldalak aránya?

c) Milyen arányban osztja egymást a PR és az SQ szakasz?

Megoldás:

a) Rajzoljuk meg a BD átlót! Ekkor az ASP és ADB há-

romszögekre teljesül, hogy 2-2 megfelelő oldal ará-

nya megegyezik, és a köztük levő szög egyenlő.

ASP ~ ADB , amiből AP || DB.

Hasonlóan igazolható, hogy RQ || DB, és a kettőből kapjuk: SP || RQ, vagyis SPRQ

trapéz (van egy párhuzamos oldalpárja).


b) Az arány meghatározásához abból indulunk ki, hogy hasonlóság esetén a megfelelő

távolságok aránya egyenlő. Ezért 3

DBSP = , és 2

DBRQ = .

Innen 322

32

3 =⋅==DB

DBDB

DB

RQSP . A trapéz két alapjának aránya 2:3.

c) A trapézban az átlók az alapok arányában osztják egymást, ezért PR és SQ 2:3

arányban osztja egymást.

Mintapélda12 Az ABC háromszögbe olyan félkört írunk, amelynek átmérője AB-vel párhuzamos, és érinti az

AB oldalt.

a) Szerkesszük meg a félkört!

b) Mekkora a kör sugara, ha a háromszög AB oldala 20 cm, C-ből induló magassága 12 cm?

Megoldás:

a) A szerkesztéshez segéd-

félkört szerkesztünk,

mely érinti az AB oldalt,

és átmérője párhuzamos

vele. Ezt az A csúcsból

nagyítjuk: az AR egyenest

felhasználva kapjuk az E

pontot.

b) DE és AB párhuzamossága miatt DEC ~ ABC (szögeik egyenlők). A megfelelő

távolságok aránya egyenlő, így mrcrcmmrrmcrm

mr

c⋅=−⇒⋅=−⇒

−= 22)(

2.

45,544240

20241220

2)2( ==

+⋅

=+⋅

=⇒+=⋅cm

mcrrcmmc cm.

A félkör sugara 5,45 cm.


Feladatok

56. Igazold, hogy egy konvex négyszög oldalfelező pontjait összekötve mindig paralelog-

ramma keletkezik!

57. Az ABCD négyszögben P és Q oldalfelező, R és S negyedelő

pontok (lásd az ábrát). Határozd meg PQ és RS arányát!

58. Az ABCD négyszögben P és Q harmadoló, R és S negyedelő

pontok, az ábrának megfelelően.

a) Határozd meg PQ és RS arányát!

b) Határozd meg, hogy SQ és RP milyen arányban osztja

egymást!

59. Egy derékszögű háromszögben a két befogó hossza 6 cm és 8 cm.

a) Szerkessz a háromszögbe olyan félkört, amelynek átmérője párhuzamos az átfogó-

val, átmérőjének két végpontja egy-egy befogón van, és a körív érinti az átfogót!

b) Mekkora a kör sugara?

60. Egy hegyesszögű háromszög egyik oldala 15 cm, a hozzátartozó magasság 26 cm.

Mekkora annak a félkörnek a sugara, amelynek átmérője az adott oldallal párhuza-

mos, végpontjai a két másik oldalon helyezkednek el, és a körív érinti a 15 cm-es ol-

dalt?

61. Az ABC derékszögű háromszögben a két befogó hossza 15 cm és 8 cm. Az ABC há-

romszögbe olyan egyenlőszárú derékszögű háromszöget szerkesztünk, amelynek átfo-

gója párhuzamos az ABC háromszög átfogójával, átfogójának két végpontja az ABC

háromszög egy-egy befogóján van, és a derékszögű csúcsa az ABC háromszög átfogó-

ján helyezkedik el! Mekkora az egyenlőszárú derékszögű háromszög befogója?


62. Az ABC derékszögű háromszögben a két befogó hossza 28 cm és 45 cm. Az ABC há-

romszögbe olyan szabályos háromszöget szerkesztünk, amelynek egyik oldala párhu-

zamos az ABC háromszög átfogójával, két csúcsa az ABC különböző befogóin, és egy

csúcsa az ABC háromszög átfogóján helyezkedik el! Mekkora a szabályos háromszög

oldala?

63. Az ábrán látható paralelogrammában PB = 6 cm.

Mekkora a BR szakasz hossza, ha a paralelog-

ramma oldalai 20 cm és 35 cm?

64. Mekkora a beleírható és a köréírható kör sugara az a alapú, egyenlőszárú háromszög-

ben, ha a háromszög oldalai a) a = 12 cm; b = 10 cm; b) a = 20 cm; b = 16 cm;

c) a és b ?

65. Az ábra szerinti ABC derékszögű háromszögben AC = 45,

CB = 60. Mekkora az EFB, a BED és a CDB háromszögek te-

rülete?

66. Az ABCD paralelogramma AD oldalának A-hoz legközelebbi ötödölő pontja P. Az AC

átló hányad részét metszi le a BP egyenes?

67. Egy ABC derékszögű háromszögbe (AB az átfogó) olyan téglalapot írunk, melynek

egyik csúcsa a C, ezzel átellenes csúcsa AB-re esik, és egy-egy oldala a BC és AC ol-

dalakon fekszik. Mekkorák a téglalap oldalai, ha egyik oldala kétszerese a másiknak,

és a) BC = 3 cm, AC = 4 cm; b) BC = a, AC = b ?

68. Az ABC háromszög c oldalának egy tetszőleges pontja P. Az AC egyenest a B-ből ki-

induló, CP-vel párhuzamos egyenes R-ben, a BC egyenest az A-ból kiinduló, CP-vel

párhuzamos egyenes Q-ban metszi. Mekkora a CP szakasz hossza, ha

a) AQ = 10 cm, BR = 14 cm; b) AQ = p egység, BR = q egység?


V. Síkidomok hasonlósága

A definíció szerint két síkidom akkor hasonló, ha van olyan hasonlóság, amely azokat egy-

másba viszi. A háromszögek hasonlóságához elég,

hogy a megfelelő oldalak aránya egyenlő legyen,

de a sokszögek hasonlóságához ez általában nem

elegendő. Például az ábrán látható két deltoid

megfelelő oldalainak aránya kettő, és természete-

sen nem hasonlók.

Négyszögek körében a megfelelő szögek egyenlősége sem biztosítja a két négyszög hasonló-

ságát (például négyzet és téglalap). Bonyolultabb síkidomok hasonlóságára nincs is általáno-

san használható szabály.

Két azonos oldalszámú szabályos sokszög mindig hasonló.

Feladatok

69. Igaz vagy hamis a következő kijelentések logikai értéke:

a) Minden kör hasonló egymáshoz.

b) Minden rombusz hasonló egymással, mert minden rombuszban egyenlőek az olda-

lak.

c) Minden négyzet hasonló egymáshoz.

Két sokszög akkor hasonló, ha megfelelő oldalaik aránya és megfelelő szögeik egyenlők.


d) Ha egy trapézban párhuzamost húzunk az alapokkal, akkor az két, hasonló trapézra

bontja a trapézt.

e) Ha egy deltoid oldalai 5 cm, 5 cm, 3 cm, 3 cm, akkor az hasonló ahhoz a deltoid-

hoz, amelynek oldalai 15 cm, 15 cm, 9 cm, 9 cm.

f) Ha egy trapézban párhuzamost húzunk az alapokkal, akkor a keletkező kisebbik tra-

péz az eredetihez hasonló.

g) Két rombusz hasonló, ha van azonos nagyságú szögük.

h) Két négyszög hasonló, ha megfelelő szögeik páronként egyenlők.

70. Egy térképen két település távolsága 5,2 cm. Mekkora a valóságban ez a távolság, ha a

térkép méteraránya 1:25000 ?

71. Egy ötszög oldalainak aránya 6:8:9:12:15, egy hozzá hasonló ötszög kerülete 150 cm.

Mekkorák az oldalai?

72. Egy négyszög oldalainak aránya 5:6:7:8. Határozd meg annak a hozzá hasonló négy-

szögnek az oldalait, melynek a)legkisebb oldala 20 cm; b) kerülete 416 cm!

73. Egy egyenlőszárú háromszög alapja 15 cm, egy hozzá hasonló háromszög megfelelő

oldala 25 cm. Határozd meg a két háromszög oldalait, ha a kisebb háromszög kerülete

37 cm!

74. Két hasonló sokszög leghosszabb oldala 10 cm, illetve 25 cm, kerületeik különbsége

33 cm. Mekkora a két háromszög kerülete?

75. Egy paralelogrammát úgy vágunk el az egyik oldallal párhuzamos egyenessel, hogy az

egyik keletkező paralelogramma az eredetihez hasonló legyen. Hol kell meghúzni az

egyenest, ha a paralelogramma oldalai a) b = 6 cm és a = 10 cm; b) a és b?


76. Egy paralelogrammát úgy vágunk el az egyik oldallal párhuzamos egyenessel, hogy az

egyik keletkező paralelogramma az eredetihez hasonló legyen. A másik paralelog-

ramma is hasonló az eredetihez?

77. Egy A4-es oldal méretei 210 mm×297 mm. Hogyan kell kétfelé vágni a lapot, hogy a

keletkező két lap közül az egyik hasonló legyen az eredetihez? Hasonló-e ekkor a má-

sik is az eredeti A4-es laphoz?

Hasonló síkidomok területe, hasonló testek térfogata

A hasonlóság sokszor használt gyakorlati alkalmazása a model-

lek, makettek készítése. A nagyon nagy vagy a nagyon kicsi

dolgok hétköznapi méretű modelljei nemcsak segítenek elkép-

zelni a tárgyak alakját, kapcsolatát, tulajdonságait, hanem labo-

ratóriumi tesztek során méréseket is végeznek rajtuk. A tesztek

eredményei alapján alakítják ki például a járművek alakját (kis légellenállási tényező), vagy

módosíthatják az épületek terveit (például torony kilengése, híd teherbírása). A következők-

ben azt vizsgáljuk, hogy hasonlóság esetén hogyan változik a felszín és a térfogat.

A sokszögeket mindig felbonthatjuk háromszögekre, így elég vizsgálni, hogy hasonlóság al-

kalmazásakor a háromszögek területével mi történik. k-arányú hasonlóság esetén a távolság-

adatok mindegyike, így az oldal és a hozzá tartozó magasság is k-szorosra változik. A három-

szög területének változása: ( ) ( ) TkmakmkakT ⋅=⋅

⋅=⋅⋅⋅

= 22

22' , vagyis a háromszög terü-

lete k2-szeresére változik. Ez általában igaz minden síkidomra.

Ha kocka éleit k-szorosára nagyítjuk vagy kicsinyítjük, térfogata =⋅⋅⋅⋅⋅= akakakV '

Vkak ⋅=⋅= 333 összefüggés szerint alakul. Ez nem csak a kockákra igaz, hanem az összes

testre.

Hasonló síkidomok területének aránya megegyezik a hasonlóság arányának négyzetével:

T ’ = k2 · T . Hasonló testek térfogatának aránya megegyezik a hasonlóság arányának köbével. A felszínek aránya ebben az esetben is k2.

V ’ = k3 · V , A ’ = k2 · A .


Feladatok

78. Mekkora a háromszög egyik középvonala által levágott kisebb háromszög és az eredeti

háromszög területének aránya?

79. Egy kockát 1,5-szeresére nagyítunk, az új kocka egy lapjának területe 144 cm2. Mek-

kora volt az eredeti kocka térfogata?

80. Egy könyv ábráit feles kicsinyítéssel tervezik (a kicsinyített ábrán valamennyire eltűn-

nek a rajzi hibák). A megrajzolt ábraterület 120 cm2. Mekkora terjedelmet jelent ez a

megjelent könyvben?

81. Egy derékszögű háromszög befogóinak aránya 12 : 5, átfogója 6,5 cm. Hányszorosára

nagyítottuk a háromszöget, ha területe 120 cm2 lett?

82. Egy háromszögben az egyik oldalt a hozzá tartozó magasság 54 cm és 21 cm-es ré-

szekre osztja. A magassággal párhuzamosan húzzunk olyan egyenest, amelyik a há-

romszög területét felezi. Mekkora részekre osztja ez az egyenes az oldalt?

83. Hány százalékkal változott kicsinyítéskor annak a síkidomnak a területe, amelynek a

kerülete 25%-kal csökkent?

84. Egy háromszög kerülete a tervrajzon 32 cm. A valóságban ez a kerület 2,08 méter.

Hányszorosa a valódi háromszög területe a tervrajzon szereplő háromszög területé-

nek?

85. Egy ABCD trapéz párhuzamos oldalai AB = 20 cm és CD = 14 cm hosszúak. Milyen

hosszú az EF szakasz, ha az alapokkal párhuzamos, és az ABEF trapéz területe a tra-

péz területének negyedrésze?


VI. A hasonlóság alkalmazása

Két pozitív szám mértani (geometriai) közepe: ( ) babaG ⋅=, . A következőkben olyan

tételekkel és feladatokkal foglalkozunk, amelyekben előfordul a mértani közép. Látni fogjuk,

hogy a mértani középnek sok geometriai alkalmazása van, ezért a számtani közép mellett ezt

is gyakran használjuk. A hétköznapi gyakorlat során egyéb közepekkel is találkozunk.

Érintő- és szelőszakaszok tétele

A körhöz egy adott külső pontból két, egyenlő érintőszakasz húzható (e), de szelőből végtelen

sok. Elmondható az is, hogy az érintőszakasz hossza a szelőnek a ponttól a körrel való met-

széspontjáig terjedő két szakasza (PA és PB) között van.

A szelő- és érintőszakaszok tétele szigorúbban fogalmaz:

Megjegyzés:

Ebből az is következik, hogy ha egy külső ponton át szelőt húzunk a körhöz, akkor a ponttól a metszéspontig terjedő szakaszok szorzata nem függ a szelő választásától (az érintő hosszának négyzete). Ezt úgy szokás mondani, hogy egy külső pontból a körhöz húzott szelők metszeteinek szorzata egyenlő (ez az ún. szelőtétel).

Mintapélda13 A Pitagorasz-tétel alkalmazása nélkül számítsuk ki, hogy milyen hosszú érintő húzható egy

5 cm sugarú körhöz a középpontjától 12 cm távolságból!

Megoldás:

A vázlat felrajzolása után az érintő és szelőszakaszok tételét

alkalmazva 9,10119717 ≈=⋅=e cm.

Egy külső pontból a körhöz húzott érintőszakasz a pontból húzott szelőnek

és a szelő ponttól körig tartó darabjának mértani közepe: 21 sse ⋅= .


Magasságtétel, befogótétel

Egy derékszögű háromszögben a és b a két

befogót, c az átfogót jelöli. Az átfogóhoz tar-

tozó m magasság az átfogót c1 és c2 szaka-

szokra bontja. Keressük meg az összes hason-

ló háromszöget, és írjuk fel a megfelelő olda-

lak arányát!

Szögeik egyenlősége miatt (derékszög, közös szögek) BTC ~ CTA ~ BCA . A megfele-

lő oldalak az egyenlő szögekkel szemben találhatók, ezeket táblázatba foglaljuk.

Szög α β °= 90γ

BCA a b c

BTC c1 m a

CTA m c2 b

A BTC és a CTA háromszögek hasonlóságából felírható az arány: 2

1

cm

mc

= , ahonnan

212 ccm ⋅= . Gyökvonás után adódik a magasságtétel: 21 ccm ⋅= .

BCA és BTC háromszögek hasonlóságából felírható az arány: ac

ca=

1

, ahonnan 12 cca ⋅= .

Gyökvonás után adódik a befogótétel: 1cca ⋅= . Hasonlóan belátható: 2ccb ⋅= .

A derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót két olyan

szeletre bontja, amelyek mértani közepe a magasság: 21 ccm ⋅= .

A derékszögű háromszögben a befogó megegyezik az átfogónak és az

adott befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepével:

1cca ⋅= , illetve 2ccb ⋅= .


Feladatok

86. Egy tér közepén található szobortól 13 méterre a szobor α szögben látszik. A szobor

átellenes oldalán található egy olyan pont a szobortól 8 méterre, amelyből α−°90

szögben látszik. Milyen magas a szobor?

87. A derékszögű háromszög átfogója 12 egység, a magasság az átfogót 1:2 arányban oszt-

ja. Mekkorák a befogók és az átfogóhoz tartozó magasság?

88. Mekkora a derékszögű háromszög területe és befogói, ha az átfogóhoz tartozó magas-

ság az átfogót 6 és 10 egység hosszú szakaszokra bontja?

89. A derékszögű háromszögben az egyik befogó 8 cm, ennek vetülete az átfogóra 5 cm.

Mekkora az átfogó és a másik befogó?

90. Egy derékszögű háromszög két befogója 20 cm és 21 cm. Mekkora szeletekre osztja az

átfogót az átfogóhoz tartozó magasság?

91. Egy derékszögű háromszög befogóinak aránya 12:5, átfogója 18,2 dm. Mekkora ré-

szekre bontja az átfogót a derékszögű csúcshoz tartozó magasság?

92. Egy derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót két olyan

szeletre bontja, amely a magasságnál 2 cm-rel rövidebb, illetve 6 cm-rel hosszabb.

Mekkora a háromszög kerülete?

93. Az ábra jelöléseit felhasználva töltsd ki a táblázat hiányzó

részeit! E érintési pont.

AB BP AP PE

12 cm 10 cm

4,6 cm 6,6 cm

60 cm 30 cm

4 dm 25 cm

6 m 11 m

9,2 cm 16,3 cm


94. Egy háromszög alapú gúla magasságát négy egyenlő részre osztjuk, és az osztóponto-

kon keresztül elmetsszük az alaplappal párhuzamos síkokkal. Mekkora a legnagyobb

rész és a teljes gúla térfogatának aránya?

95. Egy 5 cm sugarú kör középpontjától milyen távolságban van az a pont, ahonnan 12 cm

hosszúságú érintők húzhatók a körhöz?

96. Egy 4,5 cm sugarú kör átmérőjét meghosszabbítjuk a körön túl. Ezen az egyenesen a

középponttól milyen távolságban lesz az a pont, ahonnan 15,6 cm hosszúságú érintők

húzhatók a körhöz?

Két kör közös érintői

A körhöz egy külső pontból húzott érintőinek megszerkesztését

már tanultuk: a Thalész-kör segítségével végezzük, kihasználva

azt, hogy a kör minden pontjából az átmérő derékszögben látszik,

és hogy az érintő merőleges az érintési pontba húzott sugárra.

Két kör közös érintőit „pumpálás”, illetve „leeresztés” segítségével találhatjuk meg. A kész

ábrákból indulunk ki, és visszavezetjük a szerkesztést egy külső pontból húzott érintő meg-

szerkesztésére.

Az A középpontú, ra sugarú és a B középpon-

tú, rb sugarú körök közös belső érintőinek

megszerkesztését úgy végezzük, hogy az

egyik (például a B középpontú) kör közép-

pontja körül rajzolunk egy ba rr + sugarú

kört. Ehhez húzunk érintőt a másik kör kö-

zéppontjából (A). Az így kapott f egyenest az

ábra szerint ra távolsággal eltolva, a közös

belső érintőket kapjuk. Természetesen két közös belső érintő van, az ábrán csak az egyiket

tüntettük fel.


Az A középpontú, ra sugarú és a B középpontú,

rb sugarú körök közös külső érintőinek meg-

szerkesztését úgy végezzük, hogy az egyik

(például a B középpontú) kör középpontja kö-

rül rajzolunk egy ab rr − sugarú kört. Ehhez

húzunk érintőt a másik kör középpontjából (A).

Az így kapott f egyenest az ábra szerint ra távolsággal eltolva a közös külső érintőket kapjuk.

Természetesen két közös külső érintő van, az ábrán csak az egyiket tüntettük fel.

Mintapélda14 Két kör sugara 5 és 8 cm, középpontjuk távolsága 20 cm. A középpontokat összekötő egyenes

mely pontjaiból húzhatók közös érintők a körökhöz?

Megoldás:

A belső érintő, a rá merőleges sugarak és a

középpontokat összekötő szakasz (ún.

centrális) által alkotott két háromszög de-

rékszögű, és a P-nél levő csúcsszögek mi-

att egyenlőek a szögeik, ARP ~ BQP .

A megfelelő oldalak aránya miatt

xx−

=208

5 , a nevezőkkel végigszorozva ( ) xx 8205 =− , ahonnan 7,713

100≈=x cm.

Tehát az AB szakaszon az A-tól 7,7 cm-re van az a pont, amelyből a két körhöz közös

belső érintők húzhatók.

A külső érintők esetében szintén

a szögek egyenlősége miatt

ARP ~ BQP . A megfelelő

oldalak aránya miatt x

x+

=208

5 ,

a nevezőkkel végigszorozva

( ) xx 8205 =+ , ahonnan

3,333

100≈=x cm.


Tehát az AB egyenesén az A-tól 33,3 cm-re és a B-től 53,3 cm-re van az a pont, amely-

ből a két körhöz közös külső érintők húzhatók.

Feladatok

97. Milyen hosszúságúak a két kör közös külső és belső érintőinek az érintési pontok közé

eső szakaszai, ha a körök sugara és a középpontok távolsága

a) 51 =r cm, 82 =r cm, a = 20 cm; b) 5,41 =r cm, 92 =r cm, a =18 cm;

c) r1, r2 és a ?

98. Gergő megfigyelte, hogy ha egy 2 cm és 5 cm sugarú golyót rak a felfelé táguló hely-

zetű tölcsérbe, akkor mindkettő beleszorul, pont összeérnek, és a tölcsér teteje éppen

egy szintbe kerül a nagyobb sugarú golyó legfelső pontjával. Mekkora a tölcsér alap-

körének átmérője?

Háromszögek egybevágósága és hasonlósága síkon és gömbön

Két sokszöget egybevágónak tekintünk, ha megfelelő oldalaik hossza és megfelelő szögeik

nagysága egyenlő (síkon és gömbön egyaránt).

Ezek szerint két háromszög egybevágóságához hat-hat adat, vagyis összesen tizenkét adat

ellenőrzése szükséges. Lehetne-e ebből „lealkudni” valamennyit? Lehetne-e úgy megválasz-

tani az adatokat, hogy kevesebb adat ellenőrzése is elég legyen az egybevágósághoz?

Belátható, hogy három-három adattal, vagyis összesen hat adattal már boldogulhatunk – ha jól

választjuk meg az adatokat!

Vizsgáljunk meg néhány esetet!


• Három oldal (síkon és gömbön ugyanúgy):

Megrajzoljuk az egyik oldalt. Két végpontjából a másik két oldal hosszával köröket rajzo-

lunk. Ahol a körök metszik egymást, ott kapjuk a háromszög harmadik csúcsát. Ha az ada-

tokból lehet háromszöget szerkeszteni, akkor két tükörképi háromszöget kapunk. Ezek

szerint: Ha két háromszögben a három-három oldal rendre megegyezik, akkor a két há-

romszög egybevágó.

• Két oldal és a közbezárt szög (síkon és gömbön ugyanúgy):

Megrajzoljuk az egyik oldalt. Egyik végpontjából felmérjük a szögnek megfelelő félegye-

nest. A közös csúcsból a félegyenesen felmérjük a másik oldalt. Ennek az oldalnak másik

végpontja a háromszög harmadik csúcsa. Itt is két, tükörképi háromszöget szerkeszthe-

tünk. Ezek szerint ez a három-három adat is elég az egybevágósághoz.

• Egy oldal és a rajta fekvő két szög (síkon és gömbön ugyanúgy):

Megrajzoljuk az oldalt, két végpontjából az oldal azonos oldalán (vagy, ha jobban tetszik:

az oldal azonos partján) felmérjük a két szögnek megfelelő félegyeneseket. Ahol metszik

egymást, ott a háromszög harmadik csúcsa. Itt is két tükörképi háromszög lehetséges. Ez a

három-három adat is elég az egybevágósághoz.

• Két szög és egyikükkel szemben fekvő oldal (tehát NEM az az oldal, amelyen mind a

két szög rajta van!)

Síkon

Mivel a háromszög szögösszege mindig 180°, ezért megszerkeszthetjük a harmadik szö-

get, és ezzel a feladatot visszavezettük az „egy oldal és a rajta fekvő két szög” esetére.

Ezért ez a három-három adat is elég az egybevágósághoz.

Gömbön

Itt a szögösszeg nem 180°, sőt nem is állandó. Ezért a harmadik szöget nem tudjuk úgy

meghatározni, mint a síkon. Ettől még elképzelhető lenne, hogy van valamilyen más mód-

szer, amivel a gömbháromszöget megszerkeszthetnénk, tehát ennyi adat is elég lenne az

egybevágósághoz. Tekintsük a következő példát:


Egy gömbkétszög egyik oldalának tetszőleges pontjában, de nem

az oldalfelező pontjában, merőlegest rajzolunk, így két gömbhá-

romszögre bontjuk a gömbkétszöget. A két háromszög megegye-

zik egy-egy derékszögben, egy-egy α szögben, és az a közös ol-

dalban – de ez a két háromszög nem egybevágó (ugyanis a har-

madik szögek nem derékszögek, és egymást 180°-ra egészítik ki). Ez a három adat tehát a

gömbön nem elég az egybevágósághoz.

• Két oldal és az egyikkel szemben fekvő szög (tehát NEM a közrezárt szög; síkon és

gömbön ugyanúgy)

Megrajzoljuk azt az oldalt, amelyiken fekszik az adott szög.

Az egyik végpontjából megszerkesztjük a szögnek megfelelő

félegyenest, és a másik végpontból körzővel a másik oldal

hosszának megfelelő sugárral kört rajzolunk. Ekkor két esetet

kaphatunk:

a) Ha a hosszabb oldallal szemközti szög volt megadva, ak-

kor a körív egyértelműen kimetszi a félegyenesből a harmadik csúcsot.

b) Ha a rövidebb oldallal szemközti szög volt megadva, akkor a körív két helyen metszi a

félegyenest, a harmadik csúcs nem egyértelmű. Két háromszöget kapunk, és ezek nem

egybevágók.

Ez a három-három adat tehát nem minden esetben elég az egybevágósághoz, csak ha a

hosszabb oldallal szemközti szög adott.


• Három szög

Síkon két eset van.

1. Ha a három szög összege nem 180 fok, akkor nincs megfelelő háromszög.

2. Ha a szögösszeg éppen 180 fok, akkor végtelen sok, különböző háromszög lehetséges,

amelyekben a megfelelő szögek azonosak, de a megfelelő oldalak különböznek. Ezek-

nek a háromszögeknek nagyon sok érdekes, közös tulajdonságuk van, de nem egybe-

vágóak.

Az alábbi háromszögek mindegyikében a három szög α, β és γ, de a háromszögek olda-

lai nem egyforma hosszúságúak.

Ha két síkháromszög szögei rendre megegyeznek, akkor a két háromszög hasonló.

Ha két háromszög egybevágó, akkor hasonló is; de a síkon végtelen sok olyan három-

szög van, amelyek hasonlóak, de nem egybevágóak.

Gömbön

Itt teljesen más a helyzet! Adott három gömbi szög, α, β és γ.

Megpróbálunk ebből a három szögből gömbháromszöget összeállítani.

Itt a β és γ szögek által meghatározott háromszög harmadik, piros-zöld szögébe az α szög

azért nem illik bele, mert túl kicsi.

Megpróbáljuk ezért közelebb tolni egymáshoz a β és γ szö-

get, a kék vonal mentén.

Itt a harmadik szög azért nem illik a háromszögbe, mert túl

nagy.


Kell lenni tehát valahol a két helyzet között egyetlenegy

olyan helyzetnek, amikor a három szög együtt éppen egy

gömbháromszöget ad:

Mindez annyit jelent, hogy a gömbön a három darab szög egyértelműen meghatározza a

gömbháromszöget, nem úgy, mint a síkon!

Gömbön nincs értelme a háromszögek hasonlóságáról beszélni, mert két gömbháromszög

csak akkor hasonló, ha egybevágó is.

Más szóval: hasonló, de nem egybevágó gömbháromszögek nem léteznek.

Feladatok

99. Hasonlóak-e a szabályos háromszögek – síkon és gömbön?

100. Rajzoljuk fel egy háromszög három magasságvonalát! Állítsunk merőlegeseket a magas-

ságvonalakra a háromszög csúcspontjaiban! Így újabb, nagyobb háromszöget kapunk.

Mit mondhatunk az eredeti háromszög és a nagyobb háromszög viszonyáról?


Kislexikon Középpontos hasonlóság

Adott a síkon egy O pont (középpont), és egy k pozitív valós szám. Rendeljük O-hoz önma-

gát. A sík bármely más P pontjához rendeljük úgy az OP félegyenes P’ pontját, hogy

OPkOP ⋅=' . (Találkozhatunk olyan esettel is, amikor k negatív. Ilyenkor P’ az OP egyenes

O-ból kiinduló, P-t nem tartalmazó félegyenesén van.) Az így meghatározott geometriai

transzformációt középpontos hasonlóságnak nevezzük.

A középpontos hasonlóság aránytartó, szögtartó, egyenestartó, párhuzamosságtartó, illesz-

kedéstartó, körüljárási irány tartó, nem távolságtartó (kivéve a |k|=1 esetet).

A középpontos hasonlóság fixpontja a középpont, fix egyenese nincs, invariáns egyenesei a

középponton áthaladó egyenesek.

Hasonlóságnak nevezzük azokat a geometriai transzformációkat, amelyek középpontos ha-

sonlóság és egybevágóság véges sokszor történő egymás utáni végrehajtásával keletkeznek.

Két síkidomot hasonlónak nevezünk, ha található olyan hasonlóság, amely azokat egymásba

viszi. A hasonlóság jele: ~ (például ABC ~ DEF ).

Két sokszög akkor hasonló, ha megfelelő oldalaik aránya és megfelelő szögeik egyenlők.

Két azonos oldalszámú szabályos sokszög mindig hasonló.

A háromszögek hasonlóságának alapesetei

Két háromszög hasonló, ha…

• megfelelő oldalainak aránya megegyezik

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ==

cc

bb

aa ''' ;

• megfelelő szögeik egyenlők ( )';';' γγββαα === ;

• két-két oldal aránya és az általuk közbezárt szög megegyezik

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ == 'és''például γγ

bb

aa ;

• két-két oldal aránya és a hosszabbikkal szemközti szög megegyezik

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ <== ba

bb

aa ,'és''például ββ .


Hasonló síkidomok területének aránya megegyezik a hasonlóság arányának négyzetével.

TkT ⋅= 2' .

Hasonló testek térfogatának aránya megegyezik a hasonlóság arányának köbével. A testek

felszínének aránya ebben az esetben is k2.

VkV ⋅= 3' , AkA ⋅= 2' .


Tételek és bizonyítások

Párhuzamos szelők tétele

Ha a szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, az egyik egyenesen keletkezett szaka-

szok aránya megegyezik a másik egyenesen keletkezett szakaszok arányával.

pq

ab= ;

pqp

aba +=

+

Bizonyítás:

1. Ha az egyik száron egyenlők a szakaszok (a), akkor p

eltolással fedésbe hozható q-val, vagyis p és q aránya

most is egyenlő az e egyenes szakaszainak arányával (1).

2. Ha az e egyenesre nem egyenlő szakaszokat mértünk

fel, de a és b aránya racionális szám, akkor található

olyan kis rész, ami „közös egység” (s): annak n-szerese

a, k-szorosa b (n és k egészek).

sna ⋅= és skb ⋅= , így nk

snsk

ab

=⋅⋅

= .

Ekkor 1. miatt a p és q szakaszoknál egyenlő részek

keletkeznek (s’), így teljesül az, hogy 'snp ⋅= és

'skq ⋅= , így p és q aránya nk

snsk

pq

=⋅⋅

='' , vagyis az

arány ugyanannyi, mint a és b szakasz esetében.

3. Ha a és b aránya nem racionális, az állítás akkor is igazolható.


Párhuzamos szelőszakaszok tétele

Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, a szárak által kimetszett szakaszok

aránya megegyezik a párhuzamosok által a szögszárakból lemetszett szakaszok arányával.

pqp

aba

xy +

=+

=

Bizonyítás:

Húzzunk a P-n keresztül párhuzamost az f szögszár-

ral. PRST négyszög paralelogramma, ezért RS = x. A

Q csúcsú szögre felírhatjuk a párhuzamos szelők téte-

lét, hiszen OSPR || szakaszokkal metszettük:

xy

RSQS

aba

==+ .

A párhuzamos szelők tételének megfordítása

Ha egy szög szárain a szög csúcsából kiindulva azonos arányú szakaszokat mérünk fel, akkor

a szakaszok végpontjait összekötő egyenesek párhuzamosak egymással.

Ha p

qpa

ab +=

+ , akkor yx || .

Bizonyítás:

A bizonyítást indirekt módszerrel végezzük. Tegyük fel, hogy q

qpa

ab +=

+ , ekkor persze

pq

ab= is teljesül. Tegyük fel továbbá, hogy az állítás ellentéte teljesül, vagyis

pq

ab= , de x és

y nem párhuzamosak.

Ekkor található olyan z egyenes, amely párhuzamos az x

egyenessel. Így a párhuzamos szelők tétele miatt teljesül,

hogy pq

ab '= . Ezt összevetve a kiindulási feltétellel

qq =' adódik, ami ellentmond azzal, hogy q és q’ nem

azonos. Az eredeti állítás tagadása ellentmondáshoz vezetett, ezért az eredeti állítás teljesül.


Szögfelezőtétel

A háromszögben a belső szögfelező a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában oszt-

ja.

Bizonyítás:

Húzzunk az A csúcson keresztül párhuzamost a szögfelező-

vel, és hosszabbítsuk meg az a oldalt! Ekkor PCA és CAQ

szögek váltószögpár, PCB és AQC egyállású szögek, nagy-

ságuk 2γ . Ezért ACQ egyenlőszárú háromszög, tehát x = b.

A B csúcsú szögre felírva a párhuzamos szelők tételét:

ba

xa

qp

== .

A háromszög súlyvonalai

A háromszögben a súlyvonalak egy pontban metszik egymást (súlypont). A súlypont harma-

dolja a súlyvonalakat (a csúcs felé eső rész a hosszabb).

Bizonyítás:

A P és R oldalfelező pontok, ezért PR kö-

zépvonal. A középvonal párhuzamos a meg-

felelő oldallal, ezért RPS és SBA szögek

váltószögek, egyenlők. PSR és ASB csúcs-

szögek, egyenlők egymással, így PRS és

BAS háromszögek hasonlók. A hasonlóság

aránya 1:2, mert a középvonal fele a vele párhuzamos oldalnak, 2cPR = . A megfelelő

oldalpárok PS és SB, valamint RS és SA, ezek aránya szintén 1:2, vagyis S harmadolja a két

említett súlyvonalat.

Hasonlóan belátható, hogy a c oldalhoz tartozó súlyvonal is éppen sb P-hez közelebbi harma-

doló pontján, vagyis S-en megy keresztül, ezért a három súlyvonal egy pontban metszi egy-

mást.


Érintő- és szelőszakaszok tétele

Egy külső pontból a körhöz húzott érintőszakasz mértani közepe a pontból húzott szelőnek a

ponttól a körig terjedő két darabja között.

Bizonyítás:

E-nél és A-nál egyenlők a jelölt szögek, mert a BE íven nyug-

vó kerületi szögek. P-nél közös szög található, így PBE ~

PEA . A megfelelő oldalak arányából PEPB

APPE

= , ahonnan

PBAPPE ⋅=2 , gyökvonás után PBAPPE ⋅= .

Magasságtétel

A derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót két olyan szeletre

bontja, amelyek mértani közepe a magasság.

Bizonyítás:

Szögeik egyenlősége miatt (derékszög, merőle-

ges szárú hegyesszögek) BTC ~ CTA . A

megfelelő oldalak arányából: 2

1

cm

mc

= , ahonnan

212 ccm ⋅= . Gyökvonás után 21 ccm ⋅= .

Befogótétel

A derékszögű háromszögben a befogó megegyezik az átfogónak és az adott befogó átfogóra

eső merőleges vetületének mértani közepével.

Bizonyítás:

(L. az előző ábrát.) Szögeik egyenlősége miatt (derékszög, közös szögek) CBT ~ ABC . A

megfelelő oldalak arányából: ac

ca=

1

, ahonnan 12 cca ⋅= . Gyökvonás után 1cca ⋅= . Ha-

sonlóan belátható: 2ccb ⋅= .

9. MODULhEgYEsszÖgEK szÖgFüggVÉNYEi

Készítette: Vidra Gábor és Lénárt István


I. Hegyesszögek szögfüggvényeinek definíciói

Ha egy háromszöget nagyítunk vagy

kicsinyítünk, a szögei nem változnak.

Az aránytartás következtében a meg-

felelő oldalak aránya szintén állandó.

Ebből arra következtethetünk, hogy a

háromszögben a szögek és az oldalak aránya között kapcsolat van. A trigonometria (három-

szögtan) foglalkozik a háromszögek adatainak, a szögek és oldalak kapcsolatával.

A szögek és távolságok kapcsolatát már az ókorban is tanulmányozták és használták Kína,

India területén csakúgy, mint Egyiptomban az építkezéseknél. Kr. e. 3–400 körül már hasz-

náltak húrtáblázatokat, sőt szinusztáblázatokat is. Az első évszázadban hegyesszögekhez tar-

tozó húrok hosszát foglalták táblázatba, félfokonként, és ismerték a két szög összegének és

különbségének szögfüggvényeire vonatkozó képleteket (ma az emelt szintű érettségi tananya-

ga).

A trigonometria alapja a szögfüggvények definíciói. A hegyesszögek szögfüggvényeit derék-

szögű háromszögben értelmezzük, és ezeket a definíciókat később kiterjesztjük más szögekre

is (nem hegyesszögekre).

A hegyesszögek szinusza

Egy aluljáróból 17 méter hosszú, egyenes rámpa vezet fel a járda szintjére, és a rámpa egyen-

letesen, 26,5°-ban emelkedik a vízszinteshez képest. Ezekből az adatokból meghatározható,

hogy milyen mélyen van az aluljáró. Segítségül hívjuk a valóság modelljét: jelen esetben az

eredetihez hasonló derékszögű háromszöget.

Szerkesszünk egy 26,5°-os derékszögű háromszöget például

5 cm-es átfogóval. A két háromszög szögei páronként egyen-

lők, ezért a két háromszög hasonló, tehát a megfelelő oldalaik

aránya egyenlő. Ha lemérjük az ABC háromszög 26,5°-os

9. modul: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI 59

szöggel szemközti befogóját, akkor 2,2≈a cm-t kapunk. A keresett oldal hosszát x-szel jelöl-

ve: 517ax

= , innen 5,75

172,2≈

⋅≈x méter.

Segítségül bármilyen 26,5°-os derékszögű háromszöget hívhattunk volna, mert a szöggel

szemközti befogó és az átfogó aránya a hasonlóság miatt állandó. Ezt a hányadost a hegyes-

szög szinuszának nevezzük, és jelen esetben 4 tizedesjegyre közelítő értéke 4462,0≈ .

A szöggel szemközti befogó, az átfogó és a

hegyesszög között a szinusz szögfüggvény

teremti meg a kapcsolatot. A 26,5°-os szög

szinusza közelítőleg 0,4462. Ez a szorzó-

szám adja meg, hogy egy ehhez hasonló háromszögben az átfogót mennyivel kell megszoroz-

ni, hogy megkapjuk a szöggel szemközti befogót: 17

5,26sin x=° , ahonnan

59,75,26sin17 ≈°⋅=x méter.

...4

7848,13

3386,12

8924,01

4462,05,26sin ====≈°

A szögek szögfüggvényeinek értékét legegyszerűbben zsebszámológép segítségével tudjuk

meghatározni. Számológépet használunk akkor is, amikor azt kell meghatároznunk, hogy egy

adott szögfüggvényértékhez mekkora szög tartozik.

Jelenleg sokféle tudományos számológépet találunk a piacon. Leggyakoribbak a normál és a

DAL típusúak. A normál típusúaknál előbb a számokat visszük be, majd a műveleteket választ-

juk ki a megfelelő gombokkal. A DAL típusú kalkulátoroknál a képleteket olyan módon visszük

Egy α hegyesszög szinusza az α szögű derékszögű háromszögben az

α szöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosa.


be a gépbe, ahogyan azt a papírra leírjuk (például kezel törteket, és a szorzásjelet sem kell be-

vinni, ha zárójeles kifejezést szorzunk).

A DAL típusú számológépeknél a műveletet előre jelezzük: sin 26,5° =

A normál típusúaknál a szögfüggvény értékét így határozzuk meg: 26,5 sin

„Visszakereséshez” ugyanezeket a billentyűket használjuk: a 2ndF vagy Shift billentyűvel elér-

hető második (sin-1) funkciójukat:

DAL gépen: , normál típusú gépen: .

A szögek mértékegységei között a számológépen található DRG vagy RAD gombbal váltha-

tunk. Amennyiben D üzemmódot jelöl a kijelző, a megadott adatokat a számológép foknak ér-

telmezi. R esetében radiánnak, G esetén újfoknak.

A hegyesszögek koszinusza

A szög szinusza a derékszögű háromszögben a szöggel

szemközti befogót és az átfogót kapcsolja össze. Hasonlóan

egy szög koszinusza összekapcsolja a szög melletti befogót

az átfogóval.

Az 57 méter magas pisai ferde torony árnyéka 5 méter délben. Ezekből az adatokból a koszi-

nusz szögfüggvény segítségével kiszámíthatjuk, hogy mekkora szöget zár be a talajjal a to-

rony. A szemléltetés kedvéért kicsit még jobban eldöntöttük a tornyot.

.575cos =α

Zsebszámológéppel számolva: .85°≈α

Egy α hegyesszög koszinusza az α szögű derékszögű háromszögben

az α szög melletti befogó és az átfogó hányadosa.


A hegyesszögek tangense, kotangense

Egy permetező repülőgép olyan helyen áll, ahol gyorsí-

tás után a fákig 81 méter szabad út áll rendelkezésre a

felszálláshoz. A 81 méter alatt 10 méter magasra kell

emelkednie. A pilótának felszálláskor az emelkedés

szögét be kell állítania. Mekkora a kérdéses szög?

A feladatban a derékszögű háromszög két befogója és a

hegyesszög közötti kapcsolatot a tangens szögfüggvény

teremti meg: 8110tg =α , ahonnan °≈ 04,7α . Ha a befo-

gók arányát fordítva írjuk fel, a szög kotangensét kap-

juk.

Egy α hegyesszög tangense az α szögű derékszögű háromszögben az

α szöggel szemközti és az α melletti befogó hányadosa.

Egy α hegyesszög kotangense az α szögű derékszögű háromszögben

az α szög melletti és az α szöggel szemközti befogó hányadosa.


Összefoglalva: a hegyesszögek szögfüggvényeinek definíciói de-

rékszögű háromszögben:

ca

==átfogó

befogószemköztiszöggelsinα

cb

==átfogó

befogómelletti szögcosα

ba

==befogó melletti szög

befogó szemközti szöggeltgα ab

==befogó szemközti szöggel

befogó melletti szögctgα

A szögfüggvények értékeit általában négy tizedesjegyre kerekítjük, a fokokban meg-

adott szögeket egy tizedesjegyre.

Régebben szinusz- és koszinusz-táblázatokból határozták meg a szögfüggvények értékét (a

függvénytáblázatban is találunk ilyen jellegű táblázatokat), ma számológépet (kalkulátort)

használunk. Vegyük észre, hogy a szögfüggvényértékeknek nincs mértékegysége, hiszen

két távolság hányadosaként értelmeztük azokat.

Mintapélda1

Határozzuk meg zsebszámológéppel 52°12’ szögfüggvényeit!

Megoldás:

Egyes számológépeken nem kell átváltani a 12’-et fokká, külön billentyű található a fok-

perces adatbevitelre (DMS vagy °’” jelzéssel). Akinek nem ilyen a számológépe, előtte át

kell váltani a 12’-et fokká: °=°= 2,0'12;2,06012 , és 52,2°-ot kell beütnie a gépbe.

A számológép kiadja az eredményt: 0,790155.

4 tizedesjegyre kerekítve 7902,0'1252sin =° .

Hasonlóan, a többi szögfüggvényérték: 6129,0'1252cos =° ; 2892,1'1252tg =° .

A számológépen nincsen gomb, amivel ki tudnánk számolni '1252ctg ° értékét. A definí-

ciókból azonban kiderül, hogy egy szög tangense és kotangense egymás reciproka, ezért

7757,0'1252tg

1'1252ctg =°

=° .


Megjegyzések:

DAL típusú számológépeken a művelet nyomógombja után a számok begépelése és az egyen-

lőségjel használata adja a szöget.

Amennyiben a szöget ívmértékben (radiánban) adják meg, a RAD billentyűvel állíthatjuk át a

számológépet ívmértékre.

Mintapélda2

Az emelkedő előtti közlekedési táblára 12%-ot írtak. Ez azt jelenti, hogy a

vízszintes irányú haladáshoz képest a lejtő emelkedése 12%. Hány fokos a

lejtő emelkedési szöge?

Megoldás:

Az adatok felhasználásával vázlatot készítünk. Kérdés:

α nagysága. A megadott oldalak és α között a kapcso-

latot a tangens szögfüggvény teremti meg:

12,012,0tg =⋅

=x

xα .

Visszakeresve: a szög 6,8428°, kerekítve 6,8°.

Mintapélda3

Szerkessz olyan hegyesszöget, amelynek koszinusza 31 !

Megoldás:

Egy szög koszinusza a szög melletti befogó és az átfogó hányadosa, ezért e

két távolság aránya 1:3. A megoldás az ABC derékszögű háromszög meg-

szerkesztésére vezethető vissza, melynek egyik befogója 1 egység, átfogója

pedig 3 egység hosszú. A szerkesztés egyik lehetséges módja:

1. AC = 1 egység felvétele;

2. AC-re C-ben merőlegest állítunk (e);

3. az A középpontú, 3 egység sugarú kör kimetszi e-ből a B csúcsot.


Mintapélda4

Számítsd ki az 55°-os szög kotangensét! Mekkora szögnek a kotangense 2,5?

Megoldás:

A definíciókból leolvasható, hogy egy szög tangense és kotangense egymás reciproka:

αα

tg1ctg = . Ez azért fontos, mert a számológépen nincsen gomb a szög kotangensének

kiszámítására. 55° kotangensét úgy határozzuk meg, hogy kiszámítjuk a tangensét, és an-

nak vesszük a reciprokát: 4281,155 tg =° . Ennek a számnak a reciproka =°

=°55tg155ctg

7002,0= .

5,2ctg =α megoldását is úgy kezdjük, hogy a szög kotangense helyett a tangensét számít-

juk ki, amiből már számológéppel a szöget ki tudjuk számítani: 4,05,2

1ctg

1tg ===α

α .

Számológéppel °= 8,21α adódik.

Mintapélda5

A négyzet alapú Nagy Piramis magassága 146 méter, alapjának

hossza 230 méter. Mekkora szöget zárnak be az oldallapok a

talajjal?

Megoldás:

A vázlat mutatja az alaplap és az oldallap szögét és azt a

derékszögű háromszöget, amelynek segítségével a kere-

sett szög kiszámítható. A két befogót a tangens szögfügg-

vény kapcsolja össze: °≈⇒= 8,51115146 tg αα .

Feladatok

1. Határozd meg a következő szögek összes szögfüggvényét számológép segítségével!

Figyelj a helyes kerekítésre!

a) 10°; b) 30°; c) 45°; d) 70°; e) 20°; f) 60°;

g) 82,6°; h) 67,54°; i) 12°6’; j) 77°77’.


2. Mekkora az ismeretlen hegyesszög, ha

a) 1234,0sin =α ; b) 3420,0sin =α ; c) 6820,0cos =α ; d) 0872,0cos =α ;

e) 3891,0tg =α ; f) 1445,2tg =α ; g) 3245,0ctg =α ; h) 1102,3ctg =α ?

3. Igaz-e, hogy egy hegyesszög szinusza és koszinusza mindig 1-nél kisebb szám? Indo-

kold a választ! Elmondható-e ugyanez a hegyesszögek tangensére és kotangensére?

4. Szerkessz hegyesszöget, amelynek

a) szinusza 0,8; b) szinusza 21 ; c) koszinusza 0,3; d) koszinusza

83 ;

e) tangense 2; f) tangense 34 ; g) kotangense 1,6; h) kotangense

125 !

5. Adott a derékszögű háromszög két befogója: 3,4=a cm, 4,5=b cm. Mekkorák a há-

romszög szögei?

6. A derékszögű háromszög 26 cm-es befogóján 32°-os szög nyugszik. Mekkora a három-

szög köré írt körének sugara?

7. Derékszögű háromszög 4 centiméteres magassága az átfogóból egy 3 centiméteres sza-

kaszt vág le. Mekkorák a háromszög oldalai és szögei?

8. Egy szimmetrikus trapéz hosszabbik alapja 18 cm, a rajta fekvő szögek 45°-osak, a szá-

rak hossza 5 cm. Mekkora a trapéz kerülete és területe?

9. a) Egy lejtő hossza 122 méter, hajlásszöge 7°35’. Milyen magasra visz a lejtő?

b) Egy lejtő hossza a, hajlásszögeα . Milyen magasra visz a lejtő?

10. Egyenlőszárú háromszög alapja 10 cm, az alaphoz tartozó magasság szintén 10 cm.

Mekkorák a háromszög szögei?


11. Mekkora a faltól a tető gerincéig tartó tetőgerendák hossza, ha az egyenlőszárú három-

szög keresztmetszetű tető szélessége 7 méter, és a gerendák hajlásszöge a vízszintes-

hez képest 35° ?

12. Egyenlőszárú háromszögben a szárak hajlásszöge 70°, az alap 10,8 cm. Mekkora a

háromszög kerülete és területe?

13. Egy létra lábainak távolsága a talajon 86 cm, és 15°-ig hajtottuk szét a lábait. Hány

fokú a létra, ha a fokok 45 cm-enként követik egymást? Milyen magasan van a teteje a

talajtól számítva, ha szétnyitják?

14. Egy téglalap oldalai 10 cm és 15 cm. Mekkora szöget zárnak be az oldalak az átlóval?

15. Egy ablak méretei: 80 cm×150 cm. Mekkora szöget zárnak be az ablakra ragasztott,

átlósan haladó egyenes ragasztószalag-csíkok egymással?

16. Akadálymentesítéshez egy lépcsőre rámpát terveznek. A lépcsők magassága 20 cm,

hosszuk 30 cm, és 5 lépcső visz fel a járdáról a bejárathoz (a 6. a bejárat szintje). Mi-

lyen hosszú legyen a rámpa? Mekkora szöget zár be a járdával?

17. Az Eiffel-torony magassága 326 m, kilengése a legnagyobb szélben sem haladja meg a

12 cm-t. Mekkora a torony tetejének a függőlegessel bezárt szöge, ha a kilengés 12 cm?

18. Az Eiffel-toronytól a talajon, a toronytól 150 méterre áll egy autó. Mekkora szögben

látszik a torony emeleteiről, ha az emeletek 54 m, 115 m és 274 m magasan találhatók?

19. Egy forgáskúp alapkörének sugara 10 cm, testmagassága 25 cm. Mekkora a kúp nyí-

lásszöge?

20. Egy piramisról tudjuk, hogy alapja egy 130 m, illetve 150 m oldalhosszúságú téglalap,

magassága 18 m. Mekkora szöget zárnak be az oldallapok az alaplappal?


21. Mekkora szögben látszik egy 7 cm-es húr az 5 cm sugarú kör O középpontjából, és

milyen távol van az O-tól? Mennyi a megfelelő körívhez tartozó körcikk területe és

ívhossza?

22. Mekkora szögben látszik egy 10 cm-es húr a 8 cm sugarú kör O középpontjából, és

milyen távol van az O-tól? Mennyi a megfelelő körívhez tartozó körcikk területe és

ívhossza?

23. Egy 6,9 cm sugarú körben mekkora szögben látszik az átmérő egyik végpontjából az a

8 cm hosszú húr, amely az átmérő másik végpontjából indul ki?

24. Egy rombusz egyik átlója 10,2 cm, oldala 6,8 cm. Mekkorák a szögei?

25. Egy rombusz átlói 16 cm és 12,6 cm. Mekkora az oldala, területe és a szögei?

26. Egy szimmetrikus trapéz alapjai 6 cm és 10 cm, szárai 5 cm hosszúak. Mekkorák a

trapéz szögei?

27. Egy szimmetrikus trapéz alapjai 16 cm és 10 cm, szárai 8 cm hosszúak. Mekkorák a

trapéz szögei?

28. Egy trapéz hosszabbik alapja 21 cm, az ezen fekvő szögek 32°és 44°-osak. A 44°-os

szög melletti szár hossza 6 cm. Mekkora a trapéz kerülete és területe?


II. Összefüggések a hegyesszögek szögfüggvényei között

Összefüggés egy szög tangense és kotangense között

Egy szög szögfüggvényei között kapcsolatok vannak.

Például – amint már láttuk – a derékszögű háromszögben ba

=α tg

és ab

=α ctg .

Más alakban felírva az összefüggést: 1tgctg =⋅ αα .

Pótszögek szögfüggvényei

Legyen a derékszögű háromszög két hegyesszöge α és β . Írjuk fel az α és β szögek szög-

függvényeit, és keressünk egyenlőket közöttük!

ca

=αsin cb

=α cos ba

=α tg ab

=α ctg

cb

=βsin ca

=β cos ab

=β tg ba

=β ctg

Derékszögű háromszögben a két hegyesszög összege 90°, ezért β felírható αβ −°= 90

alakban. α -t és β -t egymás pótszögének nevezzük.

Egy hegyesszög tangense és kotangense egymás reciproka:

Egy szög és pótszögének szögfüggvényei között a következő

összefüggések találhatók:

sin α = cos (90°– α); cos α = sin (90°– α);

tg α = ctg (90°– α); ctg α = tg (90°– α).


Pitagoraszi azonosság

Láttuk, hogy egy szög tangense és kotangense között egyszerű kapcsolat áll fenn: egymás

reciprokai. Vizsgáljuk meg, mi lehet a kapcsolat egy szög szinusza és koszinusza között!

Legyen a 60°-os derékszögű háromszög átfogója 2 egység. Írjuk fel a

háromszög másik két oldalának hosszát!

Mivel az ABC háromszög „fél egyenlő oldalú”, ezért 1=AC , a BC

befogó Pitagorasz tétele szerint 322 =−= ACABBC .

2360sin =° ,

2160cos =° , négyzetük összege 1

41

4360cos60sin 22 =+=°+° .

A kapott összefüggés minden hegyesszögre igaz.

Ezt az összefüggést négyzetes összefüggésnek vagy pitagoraszi trigonometrikus azonos-

ságnak hívjuk.

Az ábra szerint abban a derékszögű háromszögben, amelynek

átfogója 1 egység, az oldalak hossza αsin és αcos . Ebből

könnyen igazolható a négyzetes összefüggés, bármely he-

gyesszögre.

Egy szög szinuszának és koszinuszának négyzetösszege 1.


A tangens és kotangens szögfüggvények kapcsolata a szinusz és koszinusz szögfüggvényekkel

A szögfüggvények értelmezésénél láttuk, hogy ca

=αsin és cb

=αcos . Ezeket egymással

elosztva a következőre jutunk: ba

bc

ca

cbca

=⋅==αα

cossin , ami éppenα tangense, és a számlálót

és a nevezőt felcserélveα kotangensét kapjuk. Fennáll a következő két azonosság:

Ezeknek az azonosságoknak nagy jelentőségük lesz később, amikor a szögfüggvények értel-

mezését kiterjesztjük nem hegyesszögekre is.

Mintapélda6

Mennyi a következő kifejezések pontos értéke?

a) °−°⋅°+° 40cosctg1001tg50sin

Megoldás:

50° és 40° egymás pótszögei. A pótszögek szögfüggvényeire vonatkozó összefüggések

szerint °=° 40cos50sin , ezért különbségük 0. 1ctgtg =⋅ αα , ezért 1ctg1001tg =°⋅° .

A kifejezés értéke 1.

b) °+°⋅°−° 40cos40cos05sin250sin 22

Megoldás:

Az ( ) 222 2 bababa +−=− nevezetes azonosság szerint

°+°⋅°−° 40cos40cos05sin250sin 22 = ( ) 0040cos50sin 22 ==°−° .

c) ( ) αααα cossin2cossin 2 −+

Megoldás:

A nevezetes azonosság segítségével átalakítható a kifejezés:

( ) αααα cossin2cossin 2 −+ = αααααα cossin2cossin2cossin 22 −++ =

αα 22 cossin += = 1.


Mintapélda7

Mutassuk meg, hogy minden α hegyesszögre fennáll a következő összefüggés:

αα

22 ctg1

sin1

+= .

Megoldás:

A bal oldalt átalakítjuk a tanult összefüggések alkalmazásával: ααα 2

22

sincos1ctg1 +=+ =

=αα

αα22

22

sin1

sincossin

=+ , vagyis teljesül az egyenlőség.

Feladatok

30. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét számológép használata nélkül!

a) °+−° 30cos230sin 22 ; b) °−°− 75cos75sin1 22 ; c) 3

sin6

sin1 22 ππ−− ;

d) °+° 27cos63cos 22 ; e) °−° 70cos20sin ; f) 25

sin103sin 22 ++

ππ .

31. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét számológép használata nélkül:

a) ( ) ( )22 10cos10sin10cos10sin °−°+°+° ;

b) °⋅°+°⋅° 25cos65sin65cos25sin ;

c) °+°°⋅−°− 58cos58cos32sin232cos1 22 .

32. Igazak-e minden α hegyesszögre a következő egyenlőségek:

a) αα

22 tg1

cos1

+= ; b) α

αα 2cos1

sincos

1−

= ;

c) ( ) 1sincos90ctg =⋅−°

ααα ; d) ( )( )

αααα 2

2

sin1cos1cos1tg

−−+

= .

33. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét:

a) ( ) ( ) ααααα 2cos2cossincossin +−⋅+ ; b) ( )ααα

sincos90tg −−° ;

c) αααα 2224 coscossinsin +⋅+ ; d) ( )( )( )( )αα

αααcos1cos1

sin1sin1tg 2

−+−+ .


III. Nevezetes szögek szögfüggvényei

Korábban megtanultuk, hogy az a oldalú szabályos háromszög magassága 2

3a , és az a ol-

dalú négyzet átlója 2a . Ezekkel az ismeretekkel meghatározhatjuk nevezetes szögek, a 30°,

45° és 60° szögfüggvényeinek pontos értékeit.

30° és 60° szögfüggvényei

°====° 60cos21

2230sin

aa

a

a

.

°===° 60sin232

3

30cosa

a

.

°===⋅==° 60ctg33

31

32

21

23

230tga

a

.

°==°

=° 60tg330tg130ctg .

A számításban kihasználtuk a hegyesszögek szögfüggvényeinek definícióját, a pótszögek

szögfüggvényeire vonatkozó összefüggéseket, és gyöktelenítettünk is.

45° szögfüggvényei

°====° 45cos22

21

245sin

aa .

°===° ctg45154tgaa .


A nevezetes szögek szögfüggvényeit táblázatba is foglalhatjuk. A szögeket gyakran (például

fizikai feladatokban) ívmértékben (radiánban) adják meg.

Mintapélda8

a) Mennyi a következő kifejezés pontos értéke:

°+°+°⋅+°−°−°+° 70sin18cos30tg360cos420cos18sin54tg 22 ?

Megoldás:

Alkalmazzuk az eddig tanult azonosságokat és a nevezetes szögek szögfüggvényeit!

Érdemes átcsoportosítani a kifejezést, hogy jobban lássuk az összetartozó értékeket:

= 0333

21411 +⋅+⋅−+ = 3 .

b) Milyen szög szinuszával egyenlő a következő kifejezés: 6

ctg6

cos3

cos4

tg ππππ⋅⋅⋅ ?

Megoldás:

6ctg

6cos

3cos

4tg ππππ

⋅⋅⋅ = 23

433

23

211 ==⋅⋅⋅ . Ez

3π szinusza.

α αsin αcos αtg αctg

30° 6π

21

23

33 3

45° 4π

22

22 1 1

60° 3π

23 2

1 3 33


Feladatok

34. 30°-os derékszögű háromszögben az átfogó hossza 36 ⋅ . Mekkora a két befogó pon-

tos hossza?

35. 30°-os derékszögű háromszögben az átfogó hossza 1210 ⋅ . Mekkora a két befogó

pontos hossza?

36. 30°-os derékszögű háromszögben az átfogó hossza 3⋅a . Mekkora a két befogó pon-

tos hossza?

37. Mekkora az AB, BC és CD szakasz hossza,

ha EB = 12 cm?

38. Az AD oszlop teteje a talajon az A-tól 6 méterre levő B pontból 45°-os szögben látszik.

Az AB irányban addig távolodunk az oszloptól a talajon, amíg azt 30°-os szögben nem

látjuk. Milyen messze vagyunk az oszloptól?

39. Határozd meg a következő kifejezések pontos értékét!

a) °+°+° 45tg30sin360cos2 ; b) °+°−° 30sin5ctg460sin 22 ;

c) °+°

°−30sin60sin

45tg2 ; d) ( ) °⋅°+° 30tg30cos60sin ;

e) ( )[ ] °⋅−°+° 60tg160sin60cos 2 .

40. Egy 10 cm sugarú körben milyen messze vannak egymástól a 120°-os és a 90°-os kö-

zépponti szöghöz tartozó, egymással párhuzamos húrok végpontjai, ha a kör közép-

pontja a) a húrok között helyezkedik el; b) nem a húrok között helyezkedik el?

41. Egy négyzet alapú gúla alaplapjának és oldallapjának hajlásszöge 60°. Mekkora az

oldalél és az alaplap hajlásszöge?


42. Egy négyzet alapú gúla alaplapjának és oldallapjának hajlásszöge 45°. Mekkora az

oldalél és az alaplap hajlásszöge?

43. Egy 10 cm sugarú kör húrja a középponttól 5 cm-re található. Számítsd ki a húrhoz

tartozó körszelet kerületét és területét!

44. Egy 12 cm sugarú kör húrja a középponttól 26 cm-re található. Számítsd ki a húrhoz

tartozó körszelet kerületét és területét!

45. Egy 20 cm hosszúságú húr a kör középpontjától 310 cm-re található. Számítsd ki a

húrhoz tartozó körszelet kerületét és területét!


IV. A szögfüggvények alkalmazásai A szögfüggvényeket széles körben alkalmazzák mind a természettudományok, mind a hét-

köznapi élet területein. A következőkben erre látunk példákat, feladatokat.

Mintapélda9

Határozd meg a háromszög területét, ha két oldala 7 cm

és 10 cm, a köztük levő szög 28°-os!

Megoldás:

magasságtartozóoldalhozoldal21

⋅⋅=T

Az AB oldalhoz tartozó magasságot az ACT derékszögű háromszögből számítjuk ki:

728sin m

=° , ahonnan °= 28sin7m .

43,1628sin71021

≈°⋅⋅⋅=T cm2.

A kapott összefüggés általánosan is igaz, mindenféle háromszögre: a háromszög területe

kifejezhető úgy is, hogy összeszorozzuk két oldalát a közbezárt szög szinuszával, és a

szorzatot kettővel osztjuk.

Ha az a és b oldalak által közbezárt szöget γ -val jelöljük, akkor γ⋅= sinbma , és így

γ⋅⋅⋅=⋅⋅= sin21

21 bamaT a .

A háromszög trigonometrikus területképlete:


Mintapélda10

Fejezzük ki a hegyesszögű háromszög köré írt kör sugarát egy oldalának és egy szögének

segítségével!

Megoldás:

A köré írt kör középpontja az oldalfelező merőlegesek met-

széspontja, és egyenlő távol van a csúcsoktól. Legyen α az A

csúcsnál levő szög. BOC szög a kerületi és középponti szögek

tétele miattα kétszerese, amit felez a BOC háromszög magas-

sága.

BOT derékszögű háromszögbenRa

R

a

22sin ==α . Ebből a köré

írt kör sugara αsin2 ⋅

=aR . Ez az összefüggés bármelyik oldalra és a vele szemközti szög-

re felírható. Átrendezve ezt az egyenlőtlenséget, αsin2Ra = , vagyis az R sugarú körben

egy a húr hossza az átmérő és a húrhoz tartozó kerületi szög szinuszának szorzatával

egyenlő.

Feladatok

46. Határozd meg a háromszög területét, ha a szokásos jelölésekkel …

a) 156=a cm, 6,2=b m, °= 68γ ; b) 42=a cm, 7,32=b cm, °= 39γ .

47. Mekkora az r sugarú körben az α középponti szöghöz tartozó körszelet kerülete és

területe, ha

a) 5=r cm; °= 70α ; b) 3,12=r dm; °= 38α ; c) 3,0=r cm; °= 52α ?

48. Mekkora az r sugarú körben az α középponti szöghöz tartozó körszelet kerülete és

területe?

49. Egy l hosszúságú húr x távolságra van a kör középpontjától. Mekkora a húr által lemet-

szett kisebb körszelet kerülete és területe, ha

a) l = 7 cm; x = 2,5 cm; b) l = 12 cm; x = 2 cm; c) l = 10,9 cm; x = 21 cm?


50. Milyen hosszúak a szabályos ötszög átlói, ha köréírható körének sugara

a) 12 cm; b) 18,3 dm?

51. Milyen hosszúak a szabályos ötszög átlói, ha oldalának hossza

a) 8 cm; b) 11,8 cm?

52. A szabályos ötszög 5 átlója egy kisebb ötszöget zár közre. Mekkora ennek az ötszög-

nek az oldalhossza, ha az eredeti ötszög minden oldala a) 20 cm; b) 12, 8 m; c) a ?

Mintapélda11

Egy kör kerületét a beleírt szabályos hatszög, illetve a beleírt szabályos hatvanszög kerületé-

vel közelítjük. Hány százalékos hibával közelítünk az egyes esetekben?

Megoldás:

A hiba az eltérés és a kör kerületének aránya százalékban kifejezve. A kör kerülete πr2 ,

π -t vegyük 3,141592654-nek (gépi adat). A beleírt hatszög kerülete r6 , a hiba

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

ππ

rrr

262100 = %51,431100

261100 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

ππrr .

A beleírt hatvanszög egy oldala °⋅⋅=°

⋅⋅ 3sin260

180sin2 rr . A hiba

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ °−⋅

ππ

rrr

23sin1202100 = %05,03sin601100 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ °−⋅

π.

Mintapélda12

Határozd meg a szabályos tízszög kerületét és területét, ha 10 cm sugarú kör írható köré!

Megoldás:

A tízszög 10 darab egybevágó háromszögre bontható a csúcsaiba hú-

zott sugarakkal. Két szomszédos sugár által bezárt szög 36°. A terület

kiszámítható a trigonometrikus területképlet segítségével:

9,2932

36sin102

≈°

⋅=rT cm2.

A kerület meghatározásához előbb kiszámítjuk x hosszát:

1,318sin ≈°⋅= rx cm, 6220 ≈= xK cm.


Feladatok

53. Az r sugarú kör területéből mekkora területű rész marad ki, ha n oldalú szabályos sok-

szöget írunk bele, és a) 20=r cm; 8=n ; b) 15=r cm; 10=n ;

c) 5,2=r dm; 12=n ? Oldd meg a feladatot általánosan is!

54. A kör területének hány százaléka marad ki, ha bele n oldalú szabályos sokszöget írunk,

és a) n = 6; b) n = 8; c) n = 10; d) n = 16 ?

55. Mekkora annak a 12 cm oldalhosszúságú szabályos sokszögnek a területe, amelynek

oldalszáma a) 5; b) 8; c) 12?

56. Közelítsük a kör kerületét a beleírt 20 oldalú, szabályos sokszög kerületével! Hány

százalékos hibát vétünk?

57. Közelítsük a kör területét a beleírt 30 oldalú, szabályos sokszög területével! Hány szá-

zalékos hibát vétünk?

58. Az ókorban a kör kerületét, végső soron π pontos értékét a köré írt és a beleírt, azonos

oldalszámú szabályos sokszög kerületének átlagával közelítették.

a) Keresd meg azt a k(n,r) összefüggést, amely az r sugarú körbe írt n oldalú szabá-

lyos sokszög kerületét adja meg!

b) Keresd meg azt a K(n,r) összefüggést, amely az r sugarú kör köré írt n oldalú sza-

bályos sokszög kerületét adja meg!

c) Minél nagyobb n értéke, 2

)1,()1,( nKnk + átlag annál jobban megközelíti az 1 egy-

ség sugarú kör kerületét, azaz π2 pontos értékét. Milyen n értékétől kezdve köze-

líti meg a tört értéke a 6,28318 értéket úgy, hogy az első 3 tizedesjegy értéke meg-

felelő?


59. Számítsd ki α szögfüggvényeinek pontos értékét: a) °=15α ; b) °= 5,22α !

60. Mekkora szöget zárnak be a belső és a külső érintők annál a két körnél, amelyek suga-

ra 8 cm és 3 cm, és középpontjaik távolsága 16 cm?

61. Mekkora szöget zárnak be a belső és a külső érintők annál a két körnél, amelyek suga-

ra 8 cm és 12 cm, és középpontjaik távolsága 30 cm?

Mintapélda13

Határozd meg az a(– 3; – 5) és b(4; 1) vektorok hajlásszögét!

Megoldás:

Keressünk olyan derékszögű háromszögeket a koordináta-

rendszerben, amelyek segítenek a számításban! Az ábráról

leolvasható, hogy a keresett szög βα +°+ 90 .

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

°≈⇒=

°≈⇒=

3153tg

1441tg

αβ

αα a keresett hajlásszög 135°.

Feladatok

62. Határozd meg az a és b vektorok hajlásszögét, ha a) a(1; 4) és b(5; 2);

b) a(– 2; – 5) és b(3; 2); c) a(– 6; – 2) és b(5; 1); d) a(2; –5) és b(– 4; 2).

63. Határozd meg az ABC háromszög szögeit, ha )4;2(),5;3(),2;5( −− CBA !

64. Egy labdát 30°-os szögben felfelé dobnak el, vo = 14 m/s kezdősebességgel. Határozd

meg vo kezdősebesség-vektor vízszintes és függőleges komponensének nagyságát!

65. A szánkó 170 centiméteres kötelét a földtől 22 cm magasságban rögzítették a szánkó-

hoz, és a kötél végét a földtől 1,20 méter magasan húzzuk, 120 N erővel. Mekkora a

húzóerő vízszintes és függőleges komponense?


66. A vízszintes talajon egy pálcát ferdén, α szögben dugtak a földbe

úgy, hogy y hosszúságú darabja látszik ki. Mekkora a pálca árnyé-

ka, ha a rajz szerinti elrendezésben a fénysugarak a függőlegessel

β szöget zárnak be, és

a) 2=y m; °=°= 12;30 βα ; b) 120=y cm; °=°= 8;27 βα .

67. Egy 22° hajlásszögű lejtőn nyugvó pontszerű test súlya 40 N. Számítsd ki, hogy meny-

nyi a súlyerőből eredő nyomóerő és gyorsító erő! A nyomóerő merőleges a felületre, a

gyorsító erő a lejtővel párhuzamos.

68. Egy 48° hajlásszögű lejtőn nyugvó pontszerű test súlya 120 N. Számítsd ki, hogy

mennyi a súlyerőből eredő nyomóerő és gyorsító erő! A nyomóerő merőleges a felü-

letre, a gyorsító erő a lejtővel párhuzamos.

69. Egy derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót x és y hosz-

szúságú szeletekre bontja. Mekkorák a háromszög hegyesszögei és oldalai, ha

a) x = 8 cm, y = 12 cm; b) x = 3 dm; y = 40 cm; c) x = 12,3 m; y = 5,4 m.

70. Egy derékszögű háromszögben a befogójának az átfogóra eső merőleges vetülete p.

Mekkorák a háromszög hegyesszögei és kerülete, ha

a) a = 10 cm; p = 8 cm; b) a = 20,4 cm; p = 18,2 cm?

71. Mekkora a szimmetrikus trapéz átlóinak hajlásszöge, ha alapjai 20 cm és 14 cm, szárai

7 cm hosszúak?

72. Mekkora a szimmetrikus trapéz átlóinak hajlásszöge, ha alapjai 14 cm és 8 cm, szárai 5

cm hosszúak?

73. A földtől 50 cm magasan lóg egy 2 m hosszú láncra erősített hinta. Milyen magasan

van a hinta a földtől akkor, amikor a lánca a függőlegessel 18°-ot zár be?


74. a) Egy 76° nyílásszögű spotlámpát egy gerendára rögzítettek 260 cm magasan, és pon-

tosan függőlegesen lefelé irányítottak. Mekkora a padlón megvilágított terület?

b) Milyen magasan legyen a lámpa, ha azt szeretnénk, hogy legfeljebb egy 8 m2-es

területet világítson be?

75. Egy félgömb alakú domb szélétől 16 méterre a domb a vízszintes talajhoz képest 17°-

os szögben látszik. Mekkora a gömb sugara?

76. Mekkora annak a körnek a sugara, amelyhez a körtől 15 cm távolságra levő külső

pontból húzható érintők hajlásszöge 46°?

77. Mekkora az a és b befogójú derékszögű háromszögben a beleírható és a köré írható kör

sugara, ha a) a = 30 cm, b = 40 cm; b) a = 18 cm; b = 26 cm.

78. Egy egyenlőszárú háromszög kerülete 42 cm, a szárak hajlásszöge 25°. Mekkorák a

háromszög oldalai és területe?

79. Egy egyenlőszárú háromszög kerülete 120 cm, az alap és a szár hajlásszöge 72°. Mek-

korák a háromszög oldalai és területe?

80. Az alexandriai világítótorony az ókor hét nagy csodájának egyike volt. Egy arab utazó,

Abou-Haggag Al-Andaloussi a tenger egy pontjáról a torony tetejét 4,46°-os szögben,

egy 37 méterrel lejjebb eső részét 3,05°-os szögben látta. Milyen magas volt a torony,

és milyen messziről nézte az utazó a tornyot?

81. Egy hegy tetején álló 8 méter magas kilátó alját egy pontról a vízszinteshez képest

15,9°-os, a tetejét 16,4°-os szögben látjuk. Milyen magas a hegy?

82. Egy 6 m magas oszlopon álló szobor alját 36,9°-os, tetejét 51,3°-os szögben látjuk.

Milyen magas a szobor?


83. Egy villanyoszlop tetején a jelzőbóját 3,43°-os szögben látjuk. 190 métert közeledve a

villanyoszlop felé, ez a szög 8,81°-ra változik. Milyen magasan van a jelzőbója?

84. Egy 6 m magasan elhelyezkedő ablakból egy fa alja 11,3°-os depressziószögben, a

teteje 28°-os emelkedési szögben látszik. Milyen magas a fa? (A depressziószög a

megfigyelőtől egy nála alacsonyabban fekvő pontra irányuló látósugárnak a vízszin-

tessel bezárt szöge.)

85. Egy hangya a földtől 63,2 cm magasságban az asztalról a szemközti szekrény alját 12°-

os depressziószögben, tetejét 18,3°-os emelkedési szögben látja. Milyen magas a

szekrény?

86. 3,8 m magasban, egy ablakból határozzuk meg egy autó hosszát, amelynek hosszten-

gelye épp merőleges az ablak síkjára. Az autó eleje 20,8°-os, a hátulja 54,6°-os dep-

ressziószögben látszik. Milyen hosszú az autó?

87. Az autópálya egyenes szakasza felett merőlegesen átívelő felüljáróról nézzük a 2800 m

hosszú torlódást. A legelső autót 12,40°-os, a legutolsót 0,26°-os depressziószögben

látjuk. Milyen magas a felüljáró?

Néhány szó a gömbi trigonometriáról (olvasmány)

Láttuk, hogy síkon hogyan értelmezhetjük a szinusz- és koszinuszfüggvényeket.

Számítógép és rárajzolható gömbi modellek segítségével könnyen elképzelhetjük és megszer-

keszthetjük a gömbi ábrákat. Trigonometrikus számításokat pedig még jobb zsebszámológép-

pel is gyerekjáték elvégezni, akár nyolc-tíz tizedes jegy pontossággal is.

Az alábbiakban, ízelítőül, egyetlen tételt mutatunk be a gömbi trigonometriából: a gömbi

Pitagorasz-tételt.

Ehhez szükséges tisztáznunk valamit, ami első pillantásra ellentmondásosnak tűnik.


Mindeddig élesen megkülönböztettük a gömbi távol-

ságot a gömbi szögtől. A gömbi távolságot gömbi

távolságegységekben, gömbi lépésekben mértük, és a

főkör hosszát 360 gömbi lépésnek tekintettük. A

gömbi szöget gömbi szögegységekben, gömbi fokok-

ban mértük, és a teljesszöget 360 foknak tekintettük.

Az ábra sötét gumidarabja a két fogpiszkáló között

körülbelül 80 gömbi lépés hosszúságú főkördarabnak, gömbi szakasznak felel meg.

Ha a gömbnek nemcsak a felületét, hanem belsejével

együtt az egész gömböt tekintjük, akkor beláthatjuk,

hogy a gömbi távolságot a háromdimenziós térben sík-

beli szögként is felfoghatjuk. Annyit kell csak tennünk,

hogy a gömbi főkördarab két végpontját összekötjük a

gömb középpontjával, térbeli egyenes szakaszok segít-

ségével. Az alábbi ábrán az előző gömbi szakasz a két

fogpiszkáló félegyenesei által bezárt, körülbelül 80

fokos síkbeli szögnek felel meg.

Ezek szerint a gömbi távolságot nemcsak gömbfelületi vonalként, de térbeli szögként is fel-

foghatjuk. Ezért nemcsak gömbi lépésekben, de a szögmérésnél megszokott fokokban is mér-

hetjük. Ebből következik, hogy adott gömbi szakasz szinuszát vagy koszinuszát is értelmez-

hetjük.

A síkbeli Pitagorasz-tétel megfelelőjét keressük a gömbön.

Első gondunk az, hogy a gömbháromszögnek nem csak egy,

hanem két vagy három derékszöge is lehet.

Hogyan választhatjuk ki ilyen esetben a három oldal közül

az „átfogót”? Egyetlen értelmes megoldás lehetséges. Ha a

háromszögben egynél több derékszög van, válasszuk ki az

egyik derékszöget, és a vele szembeni háromszögoldalt tekintsük „átfogónak”, a másik kettőt

„befogónak”. Erre az átfogóra és ezekre a befogókra kell teljesülnie a gömbi Pitagorasz-


tételnek. Természetesen, ha másik derékszöget választunk ki a háromszögben, és újra osztjuk

az „átfogó” és „befogó” szerepeket, akkor a gömbi Pitagorasz-tételnek most is teljesülnie kell!

A gömbi Pitagorasz-tétel így hangzik: Ha a gömbhárom-

szögben találtunk egy derékszöget, a vele szembeni oldalt

átfogónak nevezzük, és gömbi hosszúságát c-vel jelöljük. A

másik két oldalt befogóknak tekintjük, és gömbi hosszúsá-

gukat a-val és b-vel jelöljük. a-t, b-t és c-t most síkbeli

szögekként fogjuk fel, teljesül a következő egyenlőség:

Ezt a tételt sokféleképpen bizonyíthatjuk, de itt ezzel nem foglalkozunk.

Feladatok:

88. Hogyan teljesül a gömbi Pitagorasz-tétel a kétszer vagy

háromszor derékszögű háromszögekre?

89. Bizonyítsuk be a gömbi Pitagorasz-tétel segítségével, hogy

az a gömbháromszög, amelynek két szára 45 gömbi lépés,

alapja pedig 60 gömbi lépés, nemcsak egyenlőszárú, hanem

derékszögű is!

cos a cos b = cos c


Kislexikon Egy α hegyesszög szinusza az α szögű derékszögű háromszögben az α szöggel szemközti

befogó és az átfogó hányadosa.

Egy α hegyesszög koszinusza az α szögű derékszögű háromszögben az α szög melletti

befogó és az átfogó hányadosa.

Egy α hegyesszög tangense az α szögű derékszögű háromszögben az α szöggel szemközti

befogó és az α melletti befogó hányadosa.

Egy α hegyesszög kotangense az α szögű derékszögű háromszögben az α melletti befogó

és az α szöggel szemközti befogó hányadosa.

Nevezetes szögek szögfüggvényei

α αsin αcos αtg αctg

30° 6π

21

23

33 3

45° 4π

22

22 1 1

60° 3π

23

21 3

33


Tételek és bizonyítások

Összefüggés egy szög tangense és kotangense között

A derékszögű háromszögben ba

=α tg és ab

=α ctg definíciókból

leolvasható, hogy egy szög tangense és kotangense egymás

reciproka: α

αtg

1ctg = , más alakban felírva 1tgctg =⋅ αα .

Pótszögek szögfüggvényei

Egy derékszögű háromszög hegyesszögei α és β . Írjuk fel α és β szögek szögfüggvényeit,

és keressünk egyenlőket közöttük!

ca

=αsin cb

=α cos ba

=α tg ab

=α ctg

cb

=βsin ca

=β cos ab

=β tg ba

=β ctg

A két hegyesszög összege 90° (egymás pótszögei), ezért β felírható αβ −°= 90 alakban.

Az így kapott összefüggéseket a pótszögek szögfüggvényeinek nevezzük.

)90cos(sin αα −°= ; )90sin( cos αα −°= ; )90(ctg tg αα −°= ; )90(tg ctg αα −°= .

Pitagoraszi azonosság

a és b befogójú, c átfogójú derékszögű háromszögben (a-val szemközti szög: α )

1cossincos

sin2

2

2

22

2

2

2

222

2

22

2

22

==+

=+=+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=

cc

cba

cb

ca

cbca

ααα

α

Ugyanis a Pitagorasz-tétel szerint 222 cba =+ , ezért 1cossin 22 =+ αα .

Ezt az összefüggést négyzetes összefüggésnek is hívjuk.

Az összefüggésből az adódik, hogy αα 2cos1sin −= , illetve αα 2sin1cos −= .


A tangens és kotangens szögfüggvények kapcsolata szinusz és koszinusz szögfüggvé-

nyekkel

A szögfüggvények értelmezésénél láttuk, hogy ca

=αsin és cb

=αcos . Ezeket egymással

elosztva a következőre jutunk: ba

bc

ca

cbca

=⋅==αα

cossin , ami éppenα tangense, és a számlálót

és a nevezőt felcserélveα kotangensét kapjuk. Fennáll a következő két azonosság:

ααα

cossintg = és

ααα

sincosctg = .

Nevezetes szögek szögfüggvényei

A speciális háromszögeknél megtanultuk, hogy az a oldalú szabályos háromszög magassága

23a , és az a oldalú négyzet átlója 2a . Ezekkel az ismeretekkel meghatározhatjuk a neve-

zetes szögek, a 30°, 45° és 60° szögfüggvényeinek pontos értékeit.

30° és a 60° szögfüggvényei

°====° 60cos21

2230sin

aa

a

a

°===° 60sin232

3

30cosa

a

°===⋅==° 60ctg33

31

32

21

23

230tga

a

°==°

=° 60tg330130ctg

tg

A számításnál kihasználtuk a hegyesszögek szögfüggvényeinek definícióját, a szögfüggvé-

nyekre vonatkozó összefüggéseket, és gyöktelenítettünk is.


45° szögfüggvényei

°====° 45cos22

21

245sin

aa

°===° ctg45154tgaa

10. MODULgráFOK

Készítette: Lövey Éva


I. Gráfok mindenhol

A gráfelmélet a matematika viszonylag új ága. Történetét Euler svájci matematikus 1736-ban

megjelent dolgozatától számítják, amely a königsbergi hidak néven ismert problémával

foglalkozik.

A königsbergi hidak problémája

Az 1730-as években Königsberg (ma Kalinyingrád, Oroszország) város polgárai azzal a

kérdéssel fordultak Eulerhez, a kor neves matematikusához, hogy vajon át lehet-e menni a

várost átszelő Pregel folyó két szigetére épült hét hídon úgy, hogy minden hídon csak egyszer

áthaladva visszatérjünk a kiindulópontra?

Euler a problémát úgy oldotta meg, hogy készített egy rajzot, amelyben a városrészeket

pontokkal szemléltette, az ezeket összekötő hidakat pedig vonalakkal.

Az így elkészített alakzatot gráfnak nevezzük. A gráfelméletben a pontokat csúcsoknak, az

őket összekötő vonalakat pedig éleknek nevezzük.

A város térképe A térkép sematikus rajza

Euler vázlata a városról:

10. modul: GRÁFOK 93

Euler nyomán tehát így fogalmazhatjuk át a problémát: Bejárhatjuk-e a gráfot úgy, hogy

ugyanabba a csúcsba érkezzünk vissza, ahonnan elindultunk, és minden élen csak egyszer

haladjunk végig? (A feladat megoldására majd visszatérünk.)

Gráfelmélettel több híres magyar matematikus is foglalkozott és foglalkozik napjainkban is.

Csak néhányat említve a nevek közül: Erdős Pál, Gallai Tibor, König Dénes, Lovász László,

Pósa Lajos, Rényi Alfréd és T. Sós Vera. Erdős Pálról még a későbbiekben szó lesz.

Mintapélda1

Tekintsük most azt a gráfot, amelyet Euler rajzolt a königsbergi probléma megfejtéséhez.

A csúcsokat A,B,C és D betűkkel jelöltük, és számoljuk meg, hogy az egyes csúcsokból hány

él fut ki!

Számoljuk meg azt is, hány élt tartalmaz a gráf, majd vessük össze a csúcsok fokszámainak

összegével!

Megoldás: A csúcsokból kiinduló élek számát a függvényekhez

hasonlóan jelöljük a matematikában, azaz az A

csúcsból 5 él fut ki, tehát ( ) 5=Af .

Hasonlóan az összes élre:

( )( )( ) .3

,3,3

===

DfCfBf

A gráf éleinek száma 7.

Észrevehetjük, hogy ( ) ( ) ( ) ( ) 14=+++ DfCfBfAf , ami éppen kétszer annyi, mint a

csúcsok fokszáma összege. Véletlen-e ez az egybeesés?

Könnyen beláthatjuk, hogy nem! Egy csúcs fokszáma azt jelzi, hogy hány él indul ki belőle.

Ha tekintjük azt az élt, amelyik az A és C csúcsokat köti össze, azt beleszámoltuk az A csúcs

és a C csúcs fokszámába is, ebből adódik a kétszeres szorzat.

Egy gráfban a csúcsok fokszáma a csúcsba futó élek száma.


Megállapíthatjuk tehát:

Mintapélda2

Jancsi és Juliska elaludt egy fa alatt, és amikor felébredtek, nem találták édesapjukat. Fától

fáig futottak és keresték őt, majd a fáradtságtól újra elnyomta őket az álom. Kóborlásuk alatt

végig kavicsokat szórtak el az úton. Meg tudjuk-e mondani, hogy melyik fától indultak, és hol

lehetnek most? Két különböző rajzunk van a történtekről:

Megoldás: Ha egy fához csak odaszaladtak, majd onnan el is mentek, a fát jelző csúcsnál két él jelenik

meg. Az ilyen csúcsok fokszáma 2 vagy 4, vagy annyiszor kettő, ahányszor a fánál jártak. Az

indulási és érkezési helyet onnan ismerjük fel, hogy az adott csúcsok fokszáma páratlan,

hiszen nem ugyanannyiszor indultak el onnan, mint ahányszor megérkeztek.

Tehát az első esetben az indulás és érkezés helye az A vagy az F fa lehet.

A második esetben minden csúcs fokszáma páros. Tehát nem tudjuk megmondani, hol

lehetnek most, de az biztos, hogy ugyanott, ahonnan elindultak.

Bármely gráfban a csúcsok fokszámának összege az élek számának kétszerese.


Mintapélda3

Mutassuk meg, hogy a königsbergiek hiába próbálkoznak a hidak bejárásával!

Megoldás: Az első mintapéldában megállapítottuk, hogy a csúcsok fokszáma 5;3;3;3. Azt is

megállapítottuk az előző mintapélda kapcsán, hogy ha egy gráf egy valóban bejárt útvonalat

jelöl, vagy minden csúcs fokszáma páros, vagy pontosan 2 páratlan fokszámú csúcsa van, az

indulásé és az érkezésé. A königsbergiek Eulerhez intézett kérdésére a válasz: a hidak tehát

nem járhatók be a kérdésben szerepeltetett feltételeknek megfelelően, mert a Königsbergi

hidak gráfjában 4 olyan csúcs van, melynek fokszáma páratlan.

Feladatok:

1. Egy házaspár elhatározza, hogy

taxival fogja végigjárni a város

bizonyos utcáit.

Meg tudják-e ezt tenni úgy, hogy

minden útszakaszon csak egyszer

menjenek végig?

Hova rendeljék a taxit, azaz honnan

érdemes indulni?

Tervezz meg egy utat a feltételeknek

megfelelően!

2. A paraffinmolekula általános képlete CnH2n+2, tehát n számú szén és 2n+2 számú

hidrogénatomból állnak. Tudjuk, hogy molekuláris modelljükben a szénatomot

jelképező csomópontok fokszáma 4, a hidrogénatomoké 1. Rajzold fel azt a gráfot,

amely az n = 1 (etán), n = 2 (metán) és az n = 3 (propán) molekuláris modelljét adja!

3. Hat kosárlabda csapat, A, B, C, D, E, és F körmérkőzést

játszik egymással. A lejátszott mérkőzéseket az egyes

csapatok közötti élek jelölik.

a) Hány fordulós lesz a körmérkőzés?

b) Hányadik fordulónál tartanak éppen most?

d) Ennek a fordulónak melyik mérkőzése van még hátra?

e) Írd fel, milyen mérkőzések lesznek az utolsó

fordulóban!


4. A térkép Budapest metróháló-

zatát mutatja a négyes metró

megépülése után. Az egyes

állomásokat rácspontoknak

tekintve add meg a rácspontok

fokszámát!

Add meg a legkisebb, illetve

legnagyobb fokszámú állo-

mások nevét! Mi jellemzi

ezeket az állomásokat?

5. Rajzolj olyan hatpontú gráfot,

melyben a pontok fokszáma:

a) 1; 2; 2; 2; 3; 4,

b) 1; 1; 2; 2; 3; 5,

c) 5; 5; 5; 5; 5; 5,

d) 1; 2; 2; 3; 3; 4.

6. Egy tárgyalás kezdetén 5 ember van a teremben. Akik nem ismerik egymást,

névjegykártyát cserélnek.

a) Mutasd meg, hogy páros azoknak az embereknek a száma, akiknél a végén páratlan

számú idegen névjegykártya van!

b) Próbáld ezt igazolni akkor is, ha nem tudjuk, hány ember gyűlt össze a teremben!

7. Öt diák utazik együtt egy vasúti fülkében. Nevezzük őket Aladárnak, Bélának, Cilinek,

Dénesnek és Elemérnek. Így nyilatkoznak:

Aladár: A fülkében ülők közül 4 embert ismerek.

Béla: A fülkében ülők közül 3 embert ismerek.

Cili: A fülkében ülők közül 2 embert ismerek.

Dénes. A fülkében ülők közül 1 embert ismerek.

Elemér: A fülkében ülők közül nem ismerek senkit.

Feltételezve, hogy senki nem számolja bele saját magát az ismerősei közé, és az

ismeretségek kölcsönösek, igaz lehet-e a fenti állítás-sorozat?

8. Hány olyan 5 csúcsú, egyszerű gráf van, amelyben minden csúcs legalább harmadfokú?


9. A gráf minden egyes csúcspontja egy-egy országot jelöl. Két országot akkor köt össze

él, ha azok határosak egymással. Add meg, melyik betű melyik országot jelöli, ha tudod,

hogy A = Magyarország és B = Moldova.

A

B

C

D

EF

G

H

I


II. A pletyka terjedése

Mintapélda4

A térképen Budapest éjszakai járatait

tüntették fel (a 2005-ös menetrend

szerint). Ha az állomásokat

csúcspontoknak, a buszjáratok két

megálló közti részét pedig éleknek

tekintjük, gráfot kapunk.

Állapítsuk meg, el lehet-e jutni

éjszakai járattal a III. kerületi Bécsi

úttól a XV. kerületi Erdőkerülő

utcáig. (A kiindulási és a célállomást

piros körrel jelöltük.)

Megoldás:

Az út megtehető, ha az 1É (kék)

járatról átszállunk a 173É (zöld)

járatra.

Ha gondosan vizsgálgatjuk a

térképet, megállapíthatjuk, hogy a gráf bármely csúcspontjából el lehet jutni a gráf bármely

másik csúcspontjába. Ilyenkor azt mondjuk, a gráf összefüggő.

Mintapélda5

Válaszd ki az alábbi gráfok közül az összefüggőeket!

b) c) a)


Megoldás:

Az a) és b) jelű gráfok összefüggőek, míg a c) jelű nem, hiszen például a fölső pontból éleken

haladva nem tudunk eljutni az alsó pontba.

Mintapélda6

Mutassuk meg, hogy a b) jelű gráf összefüggő, azaz mutassuk meg, mely csúcspontokon

keresztül lehet eljutni az egyes pontokhoz!

Megoldás:

Elegendő megmutatni, hogy el lehet jutni A-ból B-be, mert ezt az utat visszafelé megtéve

lehet eljutni B-ből A-ba. Hasonlóan a többi pontpárra is csak egy megoldást írtunk le.

A→B: A-E-B

A→C: A-C

A→D: A-D

A→E: A-E

A→F: A-E-F

B→C: B-E-C

B→D: B-E-D

B→E: B-E

B→F: B-E-F

C→D: C-E-D

C→E: C-E

C→F: C-E-F

D→E: D-E

D→F: D-E-F

E→F: E-F

Tehát a b) jelű gráf összefüggő.

Mintapélda7

Egy munkahelyen 12 ember dolgozik: A, B ,C, D ,E,

F, G, H, I, J, K és L. L valahol meghallott egy

rosszindulatú pletykát A-ról. A pletykát mindenki

továbbadja 5 perc alatt annak, akivel barátkozik.

A következő gráf azt mutatja, hogy ki kivel van

baráti kapcsolatban.

a) Eljuthat-e a pletyka A-hoz?

b) Hány különböző úton juthat el a pletyka

hozzá?

c) Hány perc múlva juthat el hozzá a rossz hír?

d) Valaki a társaságból nem adta tovább a pletykát, így A-hoz nem jutott el a hír.

Ki lehetett az?

A

B

C

D

E

F

A B

C

D

E

F G H

I

J

K

L


Megoldás:

a) Igen, megtudhatja többféleképpen is, hiszen L elmondja például C-nek, C J-nek, J B-

nek, B H-nak, H F-nek, majd F elújságolja A-nak.

b) A következő három kérdésre sokkal könnyebben válaszolhatunk, ha a gráfot

másképpen, azaz „ügyesebben” rajzoljuk meg. Semmi sem kényszerít arra, hogy a

csúcspontokat egy körön helyezzük el. Csak arra kell ügyelnünk, hogy pontosan azok a

pontok legyenek élekkel összeköt-

ve, mint az előző gráfon. A rajzot

célszerű a legmagasabb fokszámú

pont felrajzolásával kezdeni. Ilyen-

kor az eredetivel izomorf gráfot

hozunk létre.

Ezen a gráfon ellenőrizhetően

ugyanazok a csúcspontok vannak összekötve, mint az előzőn. Feladatunk szempontjából

azonban sokkal praktikusabb, a válasz könnyen leolvasható.

L-ből A-ba csak úgy juthatunk el, ha B-n keresztülmegyünk. L-ből B-be három úton juthatunk,

B-ből A-ba szintén három úton, így L-től A-ig a pletyka 9 úton juthat el. Ezek a következők:

L-C-J-B-H-F-A; L-C-J-B-D-A; L-C-J-B-I-G-A;

L-E-B-H-F-A; L-E-B-D-A; L-E-B-I-G-A;

L-K-B-H-F-A; L-K-B-D-A; L-K-B-I-G-A.

c) A felsorolásból látszik, hogy eljuthat A-hoz a pletyka 20, 25 vagy 30 perc alatt.

d) Ügyesebb ábránkból könnyen megállapíthatjuk, hogy egyedül B van abban a

helyzetben, hogy megállíthatja a pletykát.

Mintapélda8

Gondolom, sokaknak ismerős a

következő ábra. Ez az iwiw

ismeretségi hálón elérhető

szolgáltatás. Térképnek hívják. A

kékkel jelölt téglalapban szereplő

embert ismerősei veszik körül.

Az ismeretség tényét a nevük

közé húzott él jelzi. Látszik,

A

F

G

B

C

L E

D

H

I

J

K


hogy az ismerőseink közti kapcsolat is gyakori, sok az ismeretségek által alkotott kapcsolati

háromszög.

Add meg a kékkel jelzett felhasználó csúcspontjának fokszámát!

Megoldás:

Az éleket megszámolni szinte lehetetlen, de mivel tudjuk, hogy a kék felhasználó ismerősei

vannak a gráfon, elég megszámolni a gráf csúcspontjait, és abból levonni a kék csúcspontot.

Tehát a kékkel jelzett felhasználó rácspontjának fokszáma 29 – 1 = 28.

Feladatok:

10. a) A nyomtatott nagybetűk közül melyiket tudjuk lerajzolni a ceruza felemelése nélkül

úgy, hogy egyik vonalon se menjünk át kétszer?

b) Hány olyan betű van ezek között, amit úgy tudunk megrajzolni, hogy ugyanoda

érkezünk vissza, ahonnan elindultunk?

ABCDEFGHIJKLMNORPSTUVZ

11. Válaszd ki az alábbi rajzok közül, melyiket lehet a ceruza felemelése nélkül egyetlen

vonallal lerajzolni úgy, hogy egy vonalon se haladj kétszer:

12. Egy öttagú társaságban igaz, hogy mindenki pontosan két embert ismer a társaságból.

Igaz-e, hogy ennek ellenére egy információ bárkitől bárkihez eljuttatható? (Az

ismeretséget kölcsönösnek tételezzük fel.)

13. Hat szigetet hat híd köt össze. Rajzold meg a hidakat úgy, hogy

a) minden szigetről minden szigetre el lehessen jutni.

b) legyen olyan sziget, ahonnan sehova sem lehet jutni.

c) minden szigeten legyen legalább két híd, de ne lehessen minden szigetre eljutni

egyikről sem.


14. Egy diákkonferencián megkérdezték a résztvevőket, kinek hány iskolatársa van jelen.

A diákok mindegyike válaszolt. Öten mondták azt, hogy 4 iskolatársuk van ott,

nyolcan mondtak 3-at, hárman 2-t és négyen 1-et. Minden iskolából jött egy

kísérőtanár is, más tanár viszont nem volt jelen.

Készíts a feladat alapján gráfot, melyben olyan diákokat kötsz össze, akik egy

iskolából érkeztek. Összefüggő lesz-e a kapott gráf?

Hány diák és hány tanár vett részt az összejövetelen?


III. Családfa és egyéb fák

Mintapélda9

Igaz-e, hogy dédapáink nagyapjai és nagyapáink dédapjai ugyanazon személyek?

Megoldás:

Rajzoljuk meg a rokonsági kapcsolatokat ábrázoló gráfot!

A gráf legalsó pontja a legifjabb leszármazott, a fölötte levő szinten a szülők, nagyszülők, és

így tovább. A gráf egyes csúcspontjai feketék, illetve pirosak attól függően, hogy férfit, vagy

nőt jelképeznek. A nagyapák dédapáit kékkel karikáztuk be, a dédapák nagyapjait zöld

háromszög keretezi. Látható, hogy a két jelölés nem mindig ugyanazokat az ősöket jelöli,

tehát a kérdésre a válasz nemleges.

Az ilyen elrendezésű gráfokat fagráfoknak szokták nevezni.

Hogy rámutassunk, miért is ez az elnevezés, tekintsük egymás mellett egy családfa, egy

fa és egy fagráf ábráját.

Egy fagráf bármely két pontja között pontosan egy út vezet.


A fagráfra jó példa a számítógép könyvtárának elrendezése is. Itt még a gyökér elnevezés is

előfordul, ami szintén mutatja az elnevezés jogosságát: A számítógép könyvtárában az egyes

elemek elérhetőségét egy fagráffal tudjuk a legszemléletesebben ábrázolni:

A családfákon általában minden csúcsba (minden emberhez) csak egy úton juthatunk el

valamely másik emberhez, mert a rokonok közti házasság általában nem szokás.

Ha egy régi királyi család családfáját tekintenénk, ott láthatnánk, hogy két unokatestvér is

összeházasodott néha, így az ábra a következőképpen módosulna:

Az ifjú gróftól a kékkel bekarikázott úrig két különböző úton ( a piroson és a

zöldön) is eljuthatunk. Ilyenkor a gráf nem fa.

Fagráfot alkot általában a víz és csatornahálózat is, valamint az elektromos

hálózat. Hátránya a fagráfnak, hogy bármely él sérülése esetén akadnak

olyan csomópontok, amelyek között nem lesz út, a gráf már nem lesz

összefüggő.

Ha az emberi erek hálózatából csak az artériás vagy csak a vénás erek

hálóját tekintjük, ugyancsak fagráfhoz jutunk. Így ha az ér egy ponton

elzáródik, az óhatatlanul több vagy kevesebb sejt pusztulásával jár.


Mintapélda10

Készítsük el az összes lehetséges 6 csúcsú fagráfot!

Megoldás:

6 pontú gráfot már 5 él segítségével összefüggővé tudunk tenni. Minden további él

elhelyezése esetén lesz két olyan pont, melyek között több út is vezet. Ha a gráfnak 5 éle van,

akkor csúcspontjainak fokszámát összeadva 10-et kapunk. Minden csúcs fokszáma legalább

1, hiszen nem lehet izolált pont, ugyanis bármely két pont között pontosan 1 út vezet, tehát

minden pontba vezet él.

A 10-et 6 darab pozitív egész szám összegeként így állíthatjuk elő:

111223 112222111223111133 111124111115++++++++++++++++++++++++++++++

A fenti 6 ábra ezeknek felel meg.

Megjegyzés: Megfigyelhetjük, hogy a 6 csúcspontú fagráfokban 5 él van.

Egy budapesti autóstérképen keressük meg a Nagykörút és a Wesselényi utca környékét!

Ha a mellékelt térképvázlatot nézzük, látható, hogy a budapesti belváros utcáin nem lehet

mindkét irányba haladni. Ha az Akácfa utca és a Dob utca sarkától a Dob utca és Kis Diófa

utca sarkáig akarunk eljutni, az egyirányú utcák miatt kerülőt kell tennünk.

Ha gráfon akarjuk ábrázolni ezt a környéket, az utcasarkok lesznek a csúcspontok, a köztük


levő utcákat azonban irányított élekkel kell

ábrázolni. Látható, hogy az Erzsébet körúton és a

Király utca egy szakaszán mindkét irányban lehet

haladni, ezt a gráfon is tudjuk érzékeltetni.

Az olyan gráfokat, melyekben az élek irányítást is

kapnak, irányított gráfoknak nevezik.

Irányított gráfokat gyakran használnak a vállalatok

üzleti kapcsolatainak ábrázolására is.

Mintapélda11

Az ábra nyilai üzleti tranzakciókat

mutatnak különböző cégek között. Ha a

nyíl az A pontból a C-be mutat, az azt

jelenti, hogy A ad megrendelést a C cégnek.

Elemezzük az ábrát, és válaszoljunk a

következő kérdésekre:

a) Hány céggel áll üzleti kapcsolatban a G

cég?

b) Hány céggel áll üzleti kapcsolatban az F

cég?

c) Melyik cég adja a legtöbb megrendelést? (Találjuk ki, milyen jellegű tevékenységet

folytathat.)

d) Milyen jellegű tevékenységet folytathat az I cég?

Megoldás:

a) A G cég 3 másik céggel van üzleti kapcsolatban.

b) Az F cég nem áll kapcsolatban a fenti cégek egyikével sem (izolált pont).

c) Az A és a D cég adja a legtöbb megrendelést, lehet, hogy kiskereskedelemmel

foglalkoznak, beszállítóik vannak, ezért tőlük nem rendel senki.

d) Az I cég lehet például egy termelő cég, melytől a többi cég rendel. Egyetlen másik cégtől

rendel, ez a C, ami esetleg valamilyen alkatrészt gyárt.


Mintapélda12

6 csapat körmérkőzést játszik. Az egymás elleni mérkőzések eredményeit egy táblára

jegyezték, de sajnos valaki letörölte a csapatok nevét az első oszlopból. Szerencsére Sanyi egy

papírdarabkára rajzolt gráfon rögzítette, ki győzött le kit.

Segíts újra beírni a csapatok nevét a táblázatba!

Megoldás:

A táblázatban 4 döntetlen mérkőzés van, a gráfon 4 oda-vissza nyíl, így csak ez jelentheti a

döntetlen mérkőzést. Egy olyan csapat van, amely pontosan 3-szor nyer, de egy olyan csapat

sincs, aki pontosan 3-szor veszített, ezért meg kell nézni, melyik irányú nyílból van valamely

csapatnál pontosan 3. Ez a csapat az E jelű lesz. A gráfon az látszik, hogy a Balra csapata az,

amelyiknek 3 azonos típusú nyila van, és ez a Balra csapat csúcsából indul ki, tehát a nyíl a

győztestől a legyőzött felé mutat. Tehát E = Balra. 3 döntetlent csak egy csapat ért el, a C jelű,

ez a gráf szerint a Hova. C = Hova. 4-szer csak egy csapat győzött, tehát F = Jobbra. Egy

olyan csapat van, amely négyszer vesztett, tehát B = Előre. Egy olyan csapat van, amelyik

kétszer győzött, tehát A = Sajtok. D csapat tehát csak a Tovább nevű csapat lehet.

A helyesen kitöltött táblázat:

csapatok A B C D E F pontszámSajtok A 3:1 0:0 2:1 0:1 1:2 5 Előre B 1:3 1:1 0:2 0:1 0:3 1 Hova C 0:0 1:1 1:1 2:1 3:4 5 Tovább D 1:2 2:0 1:1 2:2 1:2 4 Balra E 1:0 1:0 1:2 2:2 1:0 7 Jobbra F 2:1 3:0 4:3 2:1 0:1 8

csapatok A B C D E F pontszám A 3:1 0:0 2:1 0:1 1:2 5 B 1:3 1:1 0:2 0:1 0:3 1 C 0:0 1:1 1:1 2:1 3:4 5 D 1:2 2:0 1:1 2:2 1:2 4 E 1:0 1:0 1:2 2:2 1:0 7 F 2:1 3:0 4:3 2:1 0:1 8


Feladatok:

15. a) Készítsd el az összes lehetséges 4 csúcsú fagráfot!

b) Készítsd el az összes lehetséges 5 csúcsú fagráfot!

16. Válaszd ki az alábbi gráfok közül, melyek fák, és melyek nem azok!

17. Az ábrán szereplő karikákban – a gráf csúcsaiban – ismeretlen számok vannak, de az

irányított gráfban a piros nyilakról tudjuk, hogy a nagyobb szám felé mutatnak. Meg

tudod-e rajzolni mindegyik kék nyíl hegyét úgy, hogy a nagyobb szám felé mutasson?


IV. A 3 ház – 3 kút problémától a nyomtatott áramkörökig

Olvasmány:

Erdős Pálról (1913–1996) – a gráfelmélettel is foglalkozó világhírű matematikusról –

érdemes megemlíteni, hogy élete folyamán nemcsak a matematikai problémák megoldásában,

hanem érdekes problémák felvetésben is jeleskedett. Kiterjedt kapcsolatban állt a világ sok

tudósával (nem kizárólag matematikusokkal), és nagy dicsőségnek számított (számít) az, ha

valaki közösen publikálhatott vele. Annyira, hogy nemcsak azt tartják számon, ha valaki

közvetlenül vele írt közös tudományos munkát, hanem azt is, ha olyan emberrel dolgozhattak

együtt, aki vele kapcsolatban állt.

A kapcsolat „közeliségét” az „Erdős-szám” jelzi. Vagyis Erdős Pál Erdős-száma 0, valakinek

az Erdős-száma 1, ha írt Erdőssel közös cikket, valakinek az Erdős-száma 2, ha nem írt

Erdőssel közös cikket, de írt közös cikket egy olyan szerzővel, akinek az Erdős-száma 1.

Valakinek az Erdős száma 3, ha nem írt közös cikket sem Erdőssel, sem 1 Erdős-számú

szerzővel, de írt közös cikket valamely 2 Erdős-számúval ... és így tovább. Próbáljuk ezt a

kapcsolatot gráfokon szemléltetni. Erdős Pál Rényi Alfréddal és T. Sós Verával közösen írt

egy cikket. Eszerint Rényi Alfréd és T. Sós Vera Erdős száma 1. T. Sós Vera közösen írt

tankönyvet Laczkovich Miklóssal, de Laczkovich Miklós nem írt közös munkát Erdős Pállal,

így az ő Erdős száma 2. (Az említettek mind nemzetközileg elismert matematikusok.)

Természetesen Erdős Pál nem csak Rényi Alfréddal és T. Sós Verával írt közös cikket, tehát

sok százra tehető azon tudósok száma, akiknek Erdős száma 1. Ez azt jelenti, ha egy gráfon

szeretnénk ábrázolni a tudósok tudományos kapcsolatait, abból a csúcsból, amelyik Erdős Pált

jelképezi, több száz él indulna ki.

Azt mondjuk, a gráf Erdős Pált jelképező pontjától Laczkovics Miklósig a legrövidebb út

hossza 2, mivel két élen át haladva jutunk el oda.

Erdős Pál

Réni Alfréd

T. Sós Vera Laczkovich Miklós


Mintapélda13

Egy bútorgyár szerződést köt egy külföldi fagazdasággal nagy

mennyiségű fa szállítására. A szállítás nem sürgős, egyetlen

szempont, hogy olcsó legyen. A gráf mutatja a lehetséges

szállítási módokat. (A fekete vasúti, a kék vízi, a barna közúti

szállítást jelez.) Az éleken feltüntetett számok azt mutatják,

hányszor tízezer forintba kerül a szállítás. Tervezzük meg a

szállítás legolcsóbb módját!

Megoldás:

Számoljuk meg, hány különböző úton juthatunk el a fatelepről a gyárba, és közben adjuk

össze az egyes utak éleinek összköltségét:

fatelep–A–B–gyár: 14653 =++ ,

fatelep–B–gyár: 1569 =+ ,

fatelep–C–B–gyár: 13634 =++ ,

fatelep–C–D–gyár: 11254 =++ .

Látható, hogy az utolsó útvonal a legolcsóbb, vízi úton C-ig, majd vasúton D-ig, onnan pedig

közúton a gyárig.

Mintapélda14

Köss össze három házat három kúttal úgy, hogy az útvonalak ne keresztezzék egymást!


Megoldás:

Akárhogy próbálkozunk, 8 utat még meg tudunk építeni úgy, hogy

ne legyen kereszteződés, de a kilencediket nem sikerül. Ennek oka

az, hogy akárhogy próbáljuk megépíteni az első nyolc utat,

keletkezik egy kör, mely elválasztja egymástól azt a kutat és házat,

melyek még nincsenek összekötve.

Amikor egy gráf olyan, hogy minden élét be tudjuk rajzolni úgy,

hogy az élek között nincs metszésvonal, akkor a gráfot síkba rajzolhatónak nevezzük.

A három ház – három kút gráf nem síkba rajzolható.

Ez egy érdekes fejtörő, amit sokszor feladtak már az idők folyamán, de miért is olyan

lényeges probléma ez a valós életben? Hiszen mi gondot okoz, ha néhány út keresztezi

egymást? Azon túl, hogy nagy forgalmú utak kereszteződése mindig lassítja a

keresztülhaladást, és balesetveszély forrása is, de az igazi ok a nyomtatott áramkörök

világában kereshető.

A nyomtatott áramkörök környezetünkben mindenütt megtalálhatóak. Nélkülük nem lehetne

mobiltelefonod, MP3-lejátszód, számítógéped. Még az automata mosógépekben, a televízió-

ban és a rádióban is megtalálhatók. A mai számítógépeddel azonos tudású számítógépet

nyomtatott áramkörök nélkül csak teremnyi méretekben lehetne elképzelni.

A nyomtatott áramkörök lényege az, hogy az áramkörök megépítésekor kusza vezeték-

dzsungelek helyett egy szigetelő lapra vezető anyaggal (általában rézzel) rajzolt csíkok

vezetik az áramot. Így már érthető, miért is nem keresztezhetik egymást ezek a vonalak.


A kék ábra azt mutatja, hogy a bonyolult kapcsolási rajzot hogyan készítik el. A jobb oldalon

látható két kép a megvalósítást mutatja. A nyomtatott áramkör egyik oldalán a sárga szigetelő

rétegen futnak a szürke vékony vezető csíkok, a másik oldalán pedig rögzítik az összekötendő

áramköri elemeket. Ha a mérnökök azt tapasztalják, hogy a megtervezett áramköri gráf nem

síkba rajzolható, kénytelenek többrétegű nyomtatott áramköröket tervezni.

Mintapélda15

Síkba rajzolható-e ez a gráf?

Megoldás:

Ahhoz, hogy át tudjuk rajzolni a gráfot, érdemes nevet adni az egyes csúcspontoknak, és

akkor könnyebben kísérletezünk az átrendezéssel.


Feladatok:

18. Az alábbi irányított gráfon T-vel a termelőt, V-vel pedig a vevőt jelöltük. Az egyes

nyilakon szereplő értékek pedig azt mutatják, hány százalékos árréssel dolgoznak az

egyes kereskedők. (Azaz a vételi ár hány százalékával magasabb áron adják tovább a

terméket.) A, B és C nagykereskedőket, D, E és

F pedig a kiskereskedőket jelöli.

a) Állapítsd meg, mikor jár a legjobban és

mikor a legrosszabbul a vevő.

b) Számítsd ki mindkét esetben, mennyibe

kerül a termelő által 1000 €-ért eladott áru a

vevőnek, ha a kiskereskedő a haszonkulcsán

kívül még a 20%-os ÁFÁ-t (forgalmi adó) is az árhoz számítja!

19. Az ábrán látható gráf azt mutatja, hogy egy jó hírt milyen

gyorsan tudnak meg az egyes emberek, azaz ki kinek hány

perc alatt mondja el. A hír forrása E, és tudni szeretnénk,

mikor tudja meg először a hírt D. (A jó hírt a legtöbben

szívesen továbbadják, így előfordulhat, hogy egy-egy ember

több ízben is „megtudja”.)

20. Döntsd el az alábbi gráfról, hogy síkba rajzolható-e, vagy

sem:


21. Egy király végakaratában meghagyta három fiának, osszák föl az országot, de úgy,

hogy valamennyien egymás szomszédjai maradjanak, tehát legyen közös határuk.

(Igyekezzetek azonos nagyságú területekre osztani a kör alakú királyságot!)

Oszd fel az országot a királyfiaknak úgy, hogy a király kívánsága teljesüljön, ha a

királynak

a) három fia van,

b) négy fia van,

c) öt fia van.

22. Tekintsük azt a gráfot, amelynek csúcspontjai egy kocka csúcspontjai, és két csúcs

között akkor van él, ha az a kocka éle.

a) Hány csúcsa és éle van a gráfnak?

b) Állapítsd meg a csúcsok fokszámát!

c) Rajzolj meg egy ilyen gráfot a füzetedbe!

d) Meg tudod-e rajzolni ezt a gráfot a síkban úgy, hogy az élek ne keresztezzék

egymást?

23. Egy kocka hálóját látod a rajzon. Színezd ki a hálót a

legkevesebb színnel úgy, hogy a hálót összehajtva se

legyen a szomszédos lapoknak azonos színe!

24. Egy lakóparkba 5 nagyobb házat terveznek, valamint a következő épületeket:

bolt, zöldséges, újságos pavilon, papírbolt, cukrászda, orvosi rendelő, gyógyszertár,

óvoda, iskola.

A tervezés fontos feltétele, hogy az utak ne keresztezzék egymást, és legyen közvetlen

útja:

– az 1. lakóháznak az újságoshoz, a bolthoz és a 3. lakóházhoz;

– a 2. lakóháznak a zöldségeshez, a cukrászdához és az 5. lakóházhoz;

– a 4. lakóháznak a rendelőhöz, a gyógyszertárhoz és a 3. lakóházhoz,

– (az egyszer már szereplő utat nem említjük meg újra);

– az 5. lakóháznak szintén a rendelőhöz és a gyógyszertárhoz;

– a papírboltnak a 3. lakóházhoz, az óvodához és az iskolához;

– a cukrászdának az óvodához és az iskolához;


– a zöldségesnek a bolthoz és az újságoshoz;

– a rendelőnek a patikához;

– az óvodának az iskolához;

– a boltnak az újságoshoz.

a) Tervezd meg, hogyan helyezkedjenek el az egyes épületek és az utak!

b) Be tudja-e járni a postás ennek a lakóparknak az összes épületét úgy, hogy egyetlen

úton se haladjon többször?


Kislexikon A gráfelméletben a pontokat csúcsoknak, az őket összekötő vonalakat pedig éleknek

nevezzük.

Egy gráfban a csúcsok fokszáma a csúcsba futó élek száma.

Bármely gráfban a csúcsok fokszámának összege az élek számának kétszerese.

Ha egy gráf bármely csúcspontjából el lehet jutni a gráf bármely másik csúcspontjába, azt

mondjuk, a gráf összefüggő.

Az olyan gráfot nevezzük fagráfnak melynek bármely két pontja között pontosan egy út

vezet.

Az olyan gráfokat, melyekben az élek irányítást is kapnak, irányított gráfoknak nevezik.

Amikor egy gráf olyan, hogy minden élét be tudjuk rajzolni úgy, hogy az élek között nincs

metszésvonal, akkor a gráfot síkba rajzolhatónak nevezzük.

11. MODULKOMbiNATOriKA És valószínűség-száMíTás

Készítette: Lövey Éva (Gidófalvi Zsuzsa moduljának felhasználásával)


I. A valószínűség bevezetése

Mintapélda1

Egy 10 Ft-os érmét 1000-szer dobtunk fel, és az alábbi táblázatba beleírtuk, hogy bizonyos

dobásszámok esetén hányszor fordult elő a fej dobása.

Dobások száma 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Fejek száma 44 94 139 191 241 289 340 399 450 507

Relatív gyakoriság 0,44 0,47 0,463 0,478 0,482 0,482 0,486 0,499 0,5 0,507

A fejek dobásának relatív gyakoriságát ábrázoljuk diagramon!

Fejek dobásának relatív gyakorisága

0,40,420,440,460,480,5

0,520,540,560,580,6

0 200 400 600 800 1000 1200

Dobások száma

Láthatjuk, hogy elég nagy dobásszám esetén, a fej dobásának relatív gyakorisága egy

bizonyos állandó érték körül ingadozik. Ez az állandó a fej dobásának valószínűsége.

A pénzérme dobásakor a két egyenlő esélyű kimenetel miatt ez az állandó érték éppen 21 .

Imént egy valószínűségi kísérletet hajtottunk végre, több ízben megismételtük, azonos

körülmények között. Lejegyeztük a kísérlet kimeneteleit (fej vagy írás).

A valószínűségszámításban egy kísérlet lehetséges kimenetelét eseménynek nevezzük.

11. modul: KOMBINATORIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 119

Mintapélda2

Játsszunk egy gyufásdobozzal! A doboz egyes lapjaira írjunk számokat 1-től 6-ig úgy, hogy a

két legkisebb lapra kerüljön az 1 és a 2, a közepes méretűre a 3 és a 4, a legnagyobb lapokra

pedig az 5-6 számok. Az asztal szélére helyezve – alulról – pöcköljük 50-szer a skatulyát, és

jegyezzük fel a lehetséges eseményeket a munkafüzet végén található mellékletben a 11.1. és

11.2 táblázatokba.

Összesítsétek a táblán az összes dobáseredményt, minden 50 újabb dobáseredmény

feljegyzése után számítsatok relatív gyakoriságot!

Az eredményt jegyezzétek fel a munkafüzet végén található mellékletben a 11.3 táblázatba!

Egyfajta műveletet ismételtünk meg sokszor, mégis két különböző valószínűségi kísérletet

végeztünk, amikor különböző szempontok szerint vizsgáltuk a lehetséges kimeneteleket. Az

első táblázatba lejegyzett kísérletben az események: 1. lapra esik, 2. lapra esik, és így tovább,

a második táblázatba lejegyzett kísérletben az események: legkisebb lapra esik, középső lapra

esik, legnagyobb lapra esik.

Láthatjuk, hogy gyakrabban esik a doboz a legnagyobb lapjára, mint a legkisebbre. Ennek az

eseménynek a relatív gyakorisága nagyobb. Mondhatjuk, hogy nagyobb annak a

valószínűsége, hogy a megpöckölt gyufásdoboz a legnagyobb lapjára esik, mint az, hogy a

legkisebbre.

A valószínűség fogalma:

Megjegyzés: A relatív gyakoriságot szokás százalékban is megadni.

Az A esemény valószínűségére a P(A) jelölést szoktuk használni (probability = valószínűség).

Persze nem mondhatjuk, hogy most már tudjuk, milyen valószínűséggel esik a gyufásdoboz

valamelyik oldalára. Láthattuk, hogy a relatív gyakoriság hol nőtt, hol csökkent, amikor újabb

és újabb kísérletek eredményét is beszámítottuk. Ahogy növeljük a kísérletek számát, úgy lesz

megbízhatóbb becslésünk a valószínűség értékére.

Ha n kísérletből az A esemény k-szor következik be, akkor a nk hányados

az A esemény relatív gyakorisága. Az a P szám, amely körül egy esemény

relatív gyakorisága ingadozik, az esemény valószínűsége.


Feladatok:

1. Valaki egy forró nyári délután 1 órát tölt a Visszhangdombnál

Tihanyban, megfigyeli az előtte elhaladó embereket, jegyezget, majd

ennek alapján a következő grafikont készíti:

a) Állapítsd meg, ebben a valószínűségi kísérletben melyek voltak az események?

b) Melyik eseménynek volt a legnagyobb relatív gyakorisága, és ez mekkora?

c) Becsüld meg a legkisebb relatív gyakoriságú esemény valószínűségét a kísérlet

eredménye alapján!

2. Migrénes (erős fejfájásos) betegek számára készített fájdalomcsillapító gyógyszer

kipróbálásakor 200 beteg közül 100 betegnek hatóanyag nélküli tablettát (placebó)

adtak, másik száznak viszont az új, hatóanyaggal rendelkező tablettát. (A betegek nem

tudták, melyik fajta tablettából kaptak.) Beszámoltak annak hatásáról. Ennek alapján a

következő táblázat készült:

Enyhült a fájdalom Nem enyhült a fájdalom

Gyógyszert kapott 79 21

Placebót kapott 38 62

a) Az elvégzett kísérletek alapján mi a valószínűsége annak, hogy az új gyógyszer hat?

b) Az orvos megvizsgált egy olyan beteget, akinek nem hatott a bevett tabletta. Mi a

valószínűsége annak, hogy ez a beteg placebót kapott?

3. 1995-ben Budapesten a tűzoltók 7553 alkalommal vonultak ki. A riasztások közül 3711-et

tűzeset miatt, 2151-et káreset miatt kaptak, a maradék 1691 viszont vaklárma vagy téves

jelzés volt. Ha idén is hasonlóak az arányok, mi a valószínűsége annak, hogy

a) egy riasztás alkalmával tűzesethez vonulnak?

b) Készíts sávdiagramot, melyen ábrázolod az egyes riasztási okok relatív gyakoriságát!

Fagyi nélkül 196

jégkrém 23 tölcséres 408


II. Elemi események

A kettes mintapéldában szereplő gyufásdobozt egyszer megpöckölve, a kísérlet lehetséges

kimenetelei: az 1, 2, 3, 4, 5 vagy 6-tal jelölt lapjára esik.

Esemény például, hogy a doboz a legkisebb lapjára esik. Ezt az eseményt tudjuk még két

további eseményre bontani (1-es vagy 2-es lapjára esik).

Az elemi események olyan kimenetelek, amelyek tovább már nem bonthatók.

A pöckölés során az 1-es, 2-es, 3-as, 4-es, 5-ös, 6-os dobást elemi eseményeknek hívjuk.

Pénzérme feldobásánál elemi események: a fej vagy az írás bekövetkezése. Az, hogy dobások

egy sorozatában egymás után ötször fejet dobunk, összetett esemény.

Mintapélda3

Dobjunk fel egy szabályos (hatlapú) dobókockát. Vizsgáljuk annak az eseménynek a

valószínűségét, hogy

a) A: 5-tel osztható számot dobunk

b) B: páros számot dobunk

c) C: 1-et vagy 3-at dobunk.

Megoldás:

Egy olyan kísérletnél, amikor egy szabályos dobókockát feldobunk, az elemi események: a

dobókocka 1-et, 2-t, 3-t, 4-et, 5-öt vagy 6-ot mutat. A tapasztalatunk azt mutatja, ezek közül

egyiknek sem nagyobb a valószínűsége, mint bármelyik másiknak. Ha elvégeznénk több

millió kísérletet, várható, hogy az egyes kimenetelek relatív gyakorisága közel egyenlő lenne,

így a valószínűségük is egyenlő. Mivel a relatív gyakoriság 0 és 1 közötti szám, ez a hat

valószínűség csak úgy lehet egyenlő, ha mind 61 .

a) Öttel osztható szám csak egy van a dobókockán, az 5-ös, így ennek a valószínűsége 61 .

b) A kockán levő számok fele páros, fele páratlan. Elvárható, hogy sok kísérlet elvégzése

esetén közel ugyanannyi páros szám jöjjön ki, mint páratlan, közel azonos lesz a relatív

gyakoriságuk, így ennek a valószínűsége 21 .

c) Sok dobás esetén ennek a bizonyos két számnak a gyakorisága körülbelül feleakkora lesz,


mint a másik négy számé, így ennek az eseménynek a relatív gyakorisága az 31 körül mozog,

valószínűsége is 31 .

Észrevehetjük, hogy ez a három esemény lefedi az összes lehetőséget, ami egy kockadobás

esetén előfordulhat, mint kimenetel:

Ha 1-est dobunk, a C esemény valósul meg,

ha 2-est dobunk, a B esemény valósul meg,

ha 3-ast dobunk, a C esemény valósul meg,

ha 4-est dobunk, a B esemény valósul meg,

ha 5-öst dobunk, az A esemény valósul meg,

ha 6-ost dobunk, a B esemény valósul meg.

Azt is megállapíthatjuk, a kísérlet minden lehetséges kimenetele esetén a három esemény

közül csak egyetlenegy valósul meg. Ilyenkor azt mondjuk, hogy ez a három esemény (most

A, B és C ) teljes eseményteret alkot.

A dobások kimenetelének vizsgálatakor úgy is felvehettünk volna teljes eseményteret, hogy

az események a kockával dobott számok lettek volna:

A1: 1-est dobunk

A2: 2-est dobunk

A3: 3-ast dobunk

A4: 4-est dobunk

A5: 5-öst dobunk

A6: 6-ost dobunk

Ezekre is érvényes, hogy a kísérlet bármely kimenetele esetén valamely esemény megvalósul,

és az is, hogy minden kimenetel csak egy esemény megvalósulására jellemző, tehát teljes

eseményteret alkotnak.

Erre az eseménytérre az is jellemző, hogy az összes benne szereplő esemény valószínűsége

egyenlő. Ilyenkor az eseményteret klasszikus valószínűségi mezőnek nevezzük.

Nagyon fontos megkülönböztetnünk ezt az esetet, amikor a teljes eseménytér ilyen véges

számú, azonos valószínűségű eseményekből áll, ugyanis ilyenkor alkalmazható a való-

színűség kiszámítására egy igen praktikus képlet:


Egy A esemény valószínűségét kiszámíthatjuk a következő módon: Legyen N az azonos

valószínűségű elemi események száma, melyek az eseményterünket alkotják (továbbiakban:

összes esetek száma), k pedig azon elemi események száma, amelyek az A esemény

összetevői (röviden: kedvező esetek száma). Ilyenkor

A fenti számítási módot a valószínűségszámítás Laplace-féle modelljének nevezzük, és egy

időben ezt tekintették a valószínűség definíciójának. Számunkra is nagyon hasznos, ha

ügyelünk arra, hogy amikor az összes esetet, illetve ezek közül a kedvező eseteket felsoroljuk

és megszámláljuk, mindig azonos valószínűségű eseményekből álljanak az „esetek”.

Pierre-Simon Laplace francia matematikus, csillagász és fizikus 1749–1827 között élt. 1812-ben jelent meg a Théorie analitique des probalitités (A valószínűség analitikai elmélete) című műve, amely a valószínűségszámítást a matematika önálló ágaként tárgyalja. Ebben a műben jelent meg a valószínűség klasszikus modellje, amely akkor alkalmazható, ha véges sok elemi esemény van, és azok bekövetkezése egyformán valószínű. „Ha egy esemény valószínűségét akarjuk meghatározni, akkor meg kell keresnünk az összes olyan esetet, amelyek azt az eseményt eredményezik. Ezek a kedvező esetek. A valószínűséget a kedvező esetek és az összes eset számának hányadosa adja meg.” (Laplace )

Mintapélda4

Legyen a kísérlet az, hogy az ötös lottó sorsolásán kihúzzák az első

nyerőszámot. (Az ötös lottón 90 szám közül sorsolnak ki öt számot.)

Klasszikus valószínűségi mezőt alkot-e az alábbi három esemény?

(Az elsőnek kihúzott szám az n.)

A: Egy és harminc közötti számot húznak először ( 30szám1 ≤≤ )

( )NkAP ==

száma eset összesszáma esetek kedvező


B: Harminc és hatvan közötti számot húznak először ( 60szám30 ≤≤ )

C: Hatvan és kilencven közötti számot húznak először ( 90szám60 ≤≤ ).

Megoldás:

Első ránézésre úgy tűnik, minden rendben van, és mindhárom esemény bekövetkezésének

valószínűsége 31 . Ha jobban megnézzük, a három esemény még eseményteret sem alkot,

hiszen a 30-as vagy a 60-as szám kihúzása esetén két esemény is bekövetkezik. A valószí-

nűségek sem egyenlők, hiszen ( ) ( )9031

== CPBP , míg ( )31

9030

==AP .

Mintapélda5

Mi annak a valószínűsége, hogy két érmét feldobva mindkettővel fejet dobunk?

Írjuk fel az összes lehetséges kimeneteleket, majd két érmét 20-szor feldobva jegyezzük fel a

kimeneteleket a modul mellékletének 11.4 táblázatába!

A három esemény relatív gyakorisága különbözik, a három esemény teljes eseményteret alkot

ugyan, de nem klasszikus valószínűségi mezőt. Fel tudnánk-e bontani olyan elemi esemé-

nyekre a kísérlet kimeneteleit, hogy alkalmazható legyen a ( )NkAP = képletünk?

Képzeljük most el, hogy a két érménk különböző (mondjuk 10 és 20 forintos). A lehetséges

kimenetelek most

10 Ft 20 Ft azaz F F FF F I FI I F IF I I II

Ezek már valóban azonos valószínűségű események. Ezek száma 4, a számunkra egy a

kedvező, így a Laplace-féle képletet alkalmazva a valószínűség 41 .


Mintapélda6

A magyar kártya 32 lapból áll. A lapoknak 4 különböző színe

lehet: piros, tök, zöld és makk. Minden színből 8 van, ász,

király, felső, alsó, X, IX, VIII és VII jelzésekkel.

Mi a valószínűsége annak, hogy egy csomag magyar kártyából

egy lapot kihúzva az éppen VIII-as lesz?

Megoldás:

A kártya mind a 32 lapját azonos valószínűséggel húzzuk, így minden egyes lap kihúzásának

valószínűsége 321 . Így használhatjuk a ( )

NkAP ==

számaeset összesszámaesetek kedvező képletet, ahol

most a kedvező esetek száma k = 4, hiszen 4 darab VIII-as jelzésű van a pakliban: a zöld, a

piros, a makk és a tök nyolcas. Az összes eset száma N = 32, tehát 81

324==P .

Feladatok

4. a) Írd be a munkafüzet végén található melléklet 11.5 táblázatába, hogy a következő

eseményeket milyen elemi események alkotják, ha szabályos dobókockával végezzük a

kísérletet!

b) A munkafüzet végén található melléklet 11.6 táblázatába írd fel azokat az esemé-

nyeket, amelyeket az alábbi elemi események alkotnak, ha szabályos dobókockával

végezzük a kísérletet!

5. Egy piros és egy fekete dobókockával dobva tudjuk, hogy a dobott számok összege 5.

Bontsd ezt föl elemi eseményekre!

6. Egy piros és egy fekete dobókockával dobva tudjuk, hogy a dobott számok összege 4.

Bontsd föl az összetett eseményt azonos valószínűségű elemi eseményekre!

Mekkora lesz így az egyes események valószínűsége?


7. Egy dobókockával dobunk. A kísérlet lehetséges kimeneteleit a következő eseményekre

bontottuk fel:

A1: Négyest vagy hatost dobunk.

A2: Prímszámot dobunk.

A3:

a) Add meg a harmadik eseményt úgy, hogy a három esemény együtt teljes

eseményteret alkosson!

b) Melyik eseménynek mekkora lesz a valószínűsége?

8. Mi a valószínűsége annak, hogy magyar kártyából egy lapot húzva az

a) a tök alsó;

b) valamelyik ász;

c) valamelyik római számmal jelzett kártya lesz?

9. A kísérlet az, hogy a magyar kártyából egy lapot húzunk. Adj meg olyan eseményt,

amelynek a valószínűsége

a) 41 ; b)

81 ; c)

21 ; d)

43 .

10. Az alábbi kísérleteknél határozd meg az eseményteret alkotó elemi eseményeket!

a) Három pénzérmét dobunk fel, és figyeljük mindegyik érmén, hogy fejet vagy írást

dobunk.

b) Négy pénzérmét dobunk fel, és figyeljük mindegyik érmén, hogy fejet vagy írást

dobunk.

c) Ani, Ildi, Panni és Zsuzsi között 2 jutalmat: egy CD-t és egy könyvet osztunk ki

úgy, hogy egy lány csak egy ajándékot kaphat.

d) Ani, Ildi, Panni és Zsuzsi között egy CD-t és egy könyvet osztunk ki úgy, hogy

egy lány több ajándékot is kaphat.

11. Két dobókockával dobunk egyszerre, és figyeljük a dobott pontok összegét. Írd fel az

alábbi eseményeket alkotó elemi események halmazát!

A: A dobott pontok összege 6.

B: A dobott pontok összege legfeljebb 6.

C: A dobott pontok összege legalább 6.


12. Egy kör alakú céltáblára egyszer lövünk, és figyeljük a lövés helyét. Színezd be a

céltáblán az alábbi eseményeknek megfelelő

ponthalmazokat !

A: Legfeljebb 7-est lőttünk.

B: Legalább 8-ast lőttünk.

C: 10-est lőttünk.

D: Legalább 5-öst és legfeljebb 9-est lőttünk.

13. Az számkártyák közül

véletlenszerűen kihúzunk kettőt, és a kihúzás sorrendjében egymás mellé helyezzük.

Írd fel az alábbi eseményeket alkotó elemi események halmazát!

A: A kapott kétjegyű szám osztható 3-mal.

B: A kapott kétjegyű szám osztható 6-tal.

C: A kapott kétjegyű szám legfeljebb 30 lesz.

14. Két szabályos dobókockát egymástól függetlenül feldobva mi a valószínűsége annak,

hogy a dobott számok mindegyike prímszám lesz?

15. Dobjunk fel egy sárga, egy piros és egy zöld dobókockát egymástól függetlenül. Mi a

valószínűsége annak, hogy a dobott számok mindegyike prímszám lesz?

16. Három dobókockával dobva a dobott számokat összeadjuk. Mennyi a valószínűsége

annak, hogy legalább 17 lesz az összeg?


III. Biztos vagy lehetetlen?

Mintapélda7

Van három számkártyánk a 0; 2; 8 számjegyekkel. Keverjük össze, majd helyezzük le mind a

hármat egymás mellé.

a) Mi a valószínűsége annak, hogy az így keletkezett szám páros lesz?

b) Mi a valószínűsége annak, hogy páratlan számot rakunk ki?

c) Mi a valószínűsége annak, hogy kétjegyű számot raktunk ki?

d) Mi a valószínűsége annak, hogy a keletkezett szám háromjegyű lesz?

Megoldás:

Először írjuk fel, milyen számok keletkezhettek:

0 2 8 0 8 2 2 0 8 2 8 0 8 0 2 8 2 0

E számok mindegyike azonos valószínűséggel keletkezhetett, tehát a továbbiakban

számolhatunk a számaeset összes

számaesetek kedvező=P képletünkkel.

a) Már a számok felírása nélkül is látható, hogy biztosan páros szám keletkezik. Az összes

esetek száma N = 6. A kedvező esetek száma szintén hat, hiszen az összes keletkező szám

páros lesz. A keresett valószínűség tehát 166==P . Ennél nagyobb valószínűség nem lehet,

hiszen az események bekövetkezésének relatív gyakorisága nem lehet 1-nél nagyobb.

A biztos esemény valószínűsége 1.

b) Erről az esetről láthatjuk, hogy a bekövetkezése lehetetlen. Az összes esetek száma itt is 6,

a kedvező eseteké viszont 0. A keresett valószínűség tehát 060==P . Ennél kisebb

valószínűség nem lehet, mivel az események bekövetkezésének relatív gyakorisága sohasem

vesz fel negatív értéket. A lehetetlen esemény valószínűsége 0.

c) Kétjegyű számot akkor kaptunk, amikor a kirakott szám 0-val kezdődött. Láthatjuk, hogy

ez a 6 esetből kétszer fordult elő, így a keresett valószínűség 31

62==P .

d) Háromjegyű számot kapunk az összes többi esetben, azaz négyszer, így a valószínűség

32

64==P . Láthatjuk, hogy ezt a kísérletet vizsgálva két eset következhet be: Vagy kétjegyű,

vagy háromjegyű szám keletkezik, és ezek egyszerre nem következhetnek be. Ilyenkor azt


mondjuk, a két esemény egymás komplementere. Azt is megfigyelhetjük, hogy ilyenkor a

két esemény bekövetkezésének valószínűsége mindig olyan lesz, hogy összegük 1.

Egy kísérletnél a lehetséges kimeneteleket vizsgálva egy biztos esemény komplementere

mindig egy lehetetlen esemény lesz.

Az A esemény komplementer eseményét így jelöljük: A .

Foglaljuk össze az eddig tapasztaltakat:

Mintapélda8

Válasszuk ki az alábbi események közül azokat, amelyek lehetetlen események, és azokat,

amelyek biztos események!

A: Idén júliusban valamelyik nap Magyarországon esni fog az eső.

B: Egy pénzérmével 10-szer egymás után fejet dobunk.

C: Egy szabályos dobókockával 7-tel osztható számot dobunk.

D: Ha 30-szor feldobunk egy érmét, legalább 1 fej is lesz a dobások között.

E: Ha két egész számot összeszorzunk, az eredmény egész szám lesz.

F: Ha két egész számot elosztunk egymással, az eredmény racionális lesz.

Megoldás:

A: Nagyon valószínű esemény, de nem biztos. Előfordulhat olyan szélsőséges időjárás, hogy

nincs eső az egész országban a hónap folyamán.

B: Ennek az eseménynek a valószínűsége igen kicsi, de nem nulla. Egészen pontosan 10

21⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ,

azaz körülbelül egy ezred, azaz 0,1%.


A lehetetlen esemény valószínűsége 0.

Ha két esemény bekövetkezése kizárja egymást, de a két esemény közül

az egyik mindig bekövetkezik, akkor ez a két esemény egymás

komplementere.

Komplementer események valószínűségének összege 1.

( ) ( ) 1=+ APAP


C: Ez egy lehetetlen esemény.

D: Ha fogadásról van szó, egészen nyugodtan tippelhetünk rá, hiszen igen magas a

valószínűsége, mégsem 1. A komplementer esemény az lenne, hogy nincs a 30 dobás között

fej, azaz 30-szor egymás után írást dobunk. Ennek valószínűsége 30

21⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ , így annak

valószínűsége, hogy van közte fej: ( ) 79999999990,0103,91211 10

30

≈⋅−≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= −P , ami igen

közel van az 1-hez, de mégsem annyi.

E: Ez biztos esemény.

F: Nem lehetünk biztosak benne, mert ha az osztó 0, az osztást nem lehet elvégezni.

Feladatok

17. Írj 3 biztos és 3 lehetetlen eseményt, ha a kísérlet az, hogy a magyar kártyából 5 lapot

osztanak neked.

18. Egy kockával dobunk, határozzuk meg az alábbi események komplementer eseményét!

C: A dobott szám páros.

D: A dobott szám legalább 5.

E: A dobott szám kisebb, mint 3.

F: A dobott szám prímszám.

19. Két kockával dobunk egy alkalommal. Add meg a lehetséges kimenetelekhez a

komplementer eseményt!

a) Mindkét kockával egyest dobunk.

b) Legalább az egyik kockával egyest dobunk.

c) A dobott számok összege 10.

d) A dobott számok összege legalább 10.

f) A dobott számok összege legfeljebb 11.

20. Dobjunk fel két szabályos dobókockát egymástól függetlenül. Mi a valószínűsége

annak, hogy a kapott számok összege 9-nél kisebb lesz?


21. Van 5 számkártyánk:

1 2 5 6 8Letesszük ezeket egymás mellé. A keletkező számra vonatkoznak a kérdések.

Fogalmazd meg az események komplementer eseményét! Számítsd ki mindkét

esemény valószínűségét!

a) A: 5-tel osztható számot kapunk.

b) B: 3-mal osztható számot kapunk.

c) C: A keletkezett ötjegyű számban a számjegyek nem növekvő sorrendben követik

egymást.

22. Zárás előtt egy cukrászdában már csak háromféle rétes maradt: meggyes, túrós, almás.

Bemegy egy vevő, aki négy szelet rétest szeretne vásárolni. Az eladóra bízza, hogy

milyen rétest ad neki.

a) Milyen kimenetelek lehetségesek?

b) Mely események lehetségesek az alábbiak közül, melyik biztos és melyik

lehetetlen?

A: Mindegyik fajtából kapott.

B: Valamelyik fajtából legalább két szeletet kapott.

C: Mindegyik rétes, amit kapott, különbözőféle.

D: Két szelet meggyes rétest kapott.

23. 5-féle dobótestünk van: tetraéder, kocka, oktaéder, dodekaéder és ikozaéder.

Minden test oldallapjaira 1, 2, … stb. pöttyöt helyezünk el. Ezekkel a testekkel végzett

kísérletek alapján töltsd ki a munkafüzet végén található melléklet 11.7 táblázatát! Mi a

valószínűsége az alábbi eseményeknek?


IV. Összetett események és azok valószínűsége

Mintapélda9

Legyen A az az esemény, hogy a dobókockával legfeljebb 4-est dobunk, B pedig az, hogy a

dobókockával legalább 4-est dobunk.

Mi lehet vajon az az esemény, amikor az A vagy B bekövetkezik?

Ezt röviden A+B-vel jelöljük.

Megoldás:

A+B ={ legfeljebb 4-est vagy legalább 4-est dobunk }

A+B = {1, 2, 3, 4} + {4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Észrevehetjük az A+B esemény és a két halmaz uniója közötti kapcsolatot:

Mintapélda10

Mi lehet az az esemény, amikor A és B egyszerre következik be?

Ezt röviden A·B –vel jelöljük.

Megoldás:

A·B ={ legalább 4-est dobunk és legfeljebb 4-est dobunk } = {4-est dobtunk}

Tetszőleges A és B esemény összege az az esemény, amely pontosan akkor következik be, amikor legalább az egyik bekövetkezik. Jelölése: A+B. (Az események összegét szokás AUB-vel is jelölni.)


Észrevehetjük a két esemény szorzata és a két halmaz metszete közötti kapcsolatot:

Mikor mondjuk, hogy két esemény kizárja egymást?

Legyen A esemény az, hogy egy kockával 3-nál kisebb számot dobunk, B esemény pedig az,

hogy egy kockával 4-nél nagyobb számot dobunk. Az együttes bekövetkezésük, azaz BA ⋅

esemény bekövetkezése lehetetlen, ennek valószínűsége 0.

Tetszőleges A és B esemény szorzata az az esemény, amely pontosan akkor következik be, amikor A és B is bekövetkezik. Jelölése: A·B (Az események szorzatát szokás A∩B-vel is jelölni.)

Tetszőleges A és B esemény egymást kizárják, ha egyszerre nem következhetnek be, azaz A·B = {lehetetlen esemény }. ( ) 0=⋅ BAP


Mintapélda11

Egy tálban három különböző gyümölcs van: alma, körte, szilva. Jelentse A azt az eseményt,

hogy az alma kukacos, B azt, hogy a körte kukacos, C azt, hogy a szilva kukacos. Írjuk fel az

A, B, C eseményekkel és a műveletekkel a következőket:

a) mind a három gyümölcs kukacos,

b) egyik gyümölcs sem kukacos,

c) legalább az egyik gyümölcs kukacos,

d) pontosan egy gyümölcs kukacos,

e) van olyan gyümölcs, amelyik nem kukacos.

Megoldás:

a) Mind a három gyümölcs akkor lehet egyszerre kukacos, ha mind a három esemény

egyszerre következik be.

{mind a három gyümölcs kukacos} = A·B·C.

b) Egyik gyümölcs sem kukacos akkor, ha mind a három esemény komplementere

egyszerre bekövetkezik.

{egyik gyümölcs sem kukacos} = A · B ⋅C .

c) Legalább egy gyümölcs kukacos úgy lehetséges, ha vagy az alma kukacos, vagy a

körte kukacos vagy a szilva kukacos.

{egy gyümölcs kukacos} = A+B+C.

d) Pontosan egy gyümölcs akkor kukacos, ha az alma kukacos és a másik kettő nem,

vagy a körte kukacos és a másik kettő nem, vagy a szilva kukacos és a másik kettő

nem.{pontosan egy gyümölcs kukacos} =A· B ·C + A ·B·C + A · B ·C.

e) Van olyan gyümölcs, amelyik nem kukacos, ez úgy lehetséges, ha vagy az alma

vagy a körte vagy a szilva nem kukacos.

{van olyan gyümölcs, amely nem kukacos} = A + B +C .

Mintapélda12

A kutatók felfedezték, hogy a tanulók bizonyos tanulási zavarai között összefüggés van. Az

összes tanulónak körülbelül 4%-a hiperaktív, azaz túlzott aktivitása, mozgékonysága miatt

nehezen kezelhető. A tanulók körülbelül 6%-ának számolási zavara (diszkalkuliája) van, azaz

speciális fejlesztésre szorul a matematika terén.


Azt is észrevették, hogy a diszkalkuliás gyerekek között több a hiperaktív, körülbelül 30%.

a) Mi a valószínűsége annak, hogy egy tanuló egyszerre hiperaktív és diszkalkuliás legyen?

b) Mi a valószínűsége annak, hogy egy hiperaktív gyerek diszkalkuliás legyen?

c) Mi a valószínűsége annak, hogy egy tanuló ezek közül egyik tanulási nehézséggel sem

küzd?

A: a tanuló diszkalkuliás.

B: a tanuló hiperaktív.

( ) 060,AP = .

( ) 040,BP = .

Ábrázoljuk halmazábrán a két csoporthoz tartozást!

Hogy könnyebben számoljunk, tegyük fel, hogy 100 000 diák alkotja az alaphalmazunkat, így

az egyes halmazok számosságát tüntetjük fel az ábrában.

80013000040006 =⋅=∩== A,BABA .

Először a két halmaz metszetébe érdemes beírni a számot.

a) ( ) ?=⋅ BAP

Nézzük meg, mi lesz a valószínűsége ennek? A metszethalmaz számossága segít a

valószínűség megállapításában: ( ) 0180000100

8001000100

BA,BAP ==

∩=⋅ , azaz körülbelül 2%.

b) Most csak a hiperaktív gyerekek számával kell osztani a hiperaktív és diszkalkuliás

gyerekek számát: 45040001800 ,P == .

c) ( ) 9180000100

80091 ,BAP ==+ , azaz körülbelül 92%.


Mintapélda13

Egy útvesztőt látunk felülnézetben. Petike beszaladt, és

mindig úgy választ irányt, hogy távolodjon a bejárattól.

Nővére és szülei a három kijáratnál várják.

a) Hányféleképpen juthat ki Petike az útvesztőből?

b) Mi a valószínűsége, hogy Peti az A jelű kijáratnál

várakozó édesanyja kezei közé szalad?

Megoldás:

a) Az útvesztő elágazási pontjaihoz odaírtuk, hogy

hányféleképpen lehet eljutni az egyes elágazásokhoz.

A gráfról leolvasható, hogy az A pontba 6, B-be és C-be

3-3 különböző úton juthat, míg az útvesztőből összesen 12-féleképpen

lehet kiszabadulni.

b) Ha a fenti utakon való áthaladás valószínűsége mind egyenlő lenne,

akkor annak valószínűsége, hogy Peti A-ba jut, 21 volna. De az egyes

utak valószínűsége nem egyenlő. Most a gráfon azokat a

valószínűségeket tüntetjük fel, melyekkel az egyes utakat választja. A

piros vonal azokat az éleket mutatja, melyeket 31 valószínűséggel

választ, a zöld élek pedig melyeket 21 valószínűséggel, a fekete élek

pedig azok, melyeket 1 valószínűséggel választ az egyes

csomópontokban. Az A pontba hat úton juthat el. Ezek valószínűsége

rendre:

balra-balra-balra-jobbra: 1811

31

31

21

=⋅⋅⋅ ;

balra-balra-le: 181

31

31

21

=⋅⋅ ;

balra-balra-jobbra-balra: 1811

31

31

21

=⋅⋅⋅ ;

balra-le-balra: 611

31

21

=⋅⋅ ;


balra-jobbra-balra-balra: 1211

21

31

21

=⋅⋅⋅ ;

jobbra-balra-balra-balra:811

21

21

21

=⋅⋅⋅ .

A fenti utakat egyszerre nem járhatjuk be, tehát a rajtuk való áthaladás valószínűsége

összeadódik. Az A kijáratba érkezés valószínűsége tehát:

( ) 5402413

81

121

61

1813 ,AP ≈=+++⋅= .

Megjegyzés: Igaz ugyan, hogy az egyes utakon való haladás valószínűsége különböző, de az

egyes csomópontokból a cél felé induló utakra Petike egyenlő valószínűséggel lép rá. (Például

ha a csomópontból 2 út indul, úgy mindkét útra 21 valószínűséggel lép.)

Feladatok

24. Találomra felírunk egy kétjegyű számot. Jelentse A azt az eseményt, hogy a szám

páratlan, B azt, hogy a szám osztható 3-mal, a C azt, hogy a szám osztható 4-gyel.

I. Mit jelentenek az alábbi események?

II. Add meg az A, B, C, A , B , C események valószínűségét is!

a) A+B, b) A·B, c) A ·B , d) A+ B ,

e) A·C, f) A ·C, g) A· C .

25. Egy kör alakú céltáblára lövünk. Jelentse A, B és C azt az eseményt, hogy a lövés a kör

kiszínezett részére esik.

Rajzold le az alábbi eseményeket: A+B, A+C, A·B, A·C.


26. Egy dobókockával dobunk. Állapítsd meg az A és a B események valószínűségét,

valamint az BA ⋅ esemény valószínűségét is!

a) A: páros számot dobunk; B: 3-nál nagyobb számot dobunk.

b) A: legalább 3-ast dobunk; B: legfeljebb 3-ast dobunk.

c) A: legfeljebb 2-est dobunk; B: 2-esnél nagyobbat dobunk.

d) A: hatost dobunk; B: legalább 4-est dobunk.

e) A: 3-mal osztható számot dobunk; B: 6-nál nagyobb számot dobunk.

27. Az előző feladat jelöléseit használva add meg minden esetben az A+B esemény

valószínűségét is!

28. A 25. feladat jelöléseit használva válaszd ki azokat az eseteket, amikor

( ) ( ) ( )BPAPBAP +=+ !

29. Az előző feladatok tapasztalatait felhasználva válaszolj:

Azokban az esetekben, amikor ( ) ( ) ( )BPAPBAP +=+ , mekkora lesz ( )BAP ⋅ ?

30. A 32 lapos magyar kártyából húzunk egy lapot. Állapítsd meg az A és a B események

valószínűségét, valamint az BA ⋅ és A + B események valószínűségét is!

a) A: a húzott lap makk lesz; B: a húzott lap nem piros lesz.

b) A: a húzott lapon római szám van; B: a húzott lap piros.

c) A: a húzott lap alsó; B: a húzott lap tök vagy makk.

d) A: a húzott lap a makk felső; B: a kihúzott lapon nincs római szám.

31. Egy urnában 3 zöld, 5 sárga és 2 kék golyó van. Véletlenszerűen

kihúzunk egyet. Állapítsd meg az A, B, A+B, BA ⋅ , BA ⋅ , BA +

események valószínűségét!

a) A: a kihúzott golyó kék; B: a kihúzott golyó sárga.

b) A: a kihúzott golyó piros; B: a kihúzott golyó nem zöld.

c) A: a kihúzott golyó nem fekete; B: a kihúzott golyó zöld.


32. Egy osztályból véletlenszerűen kiválasztunk egy tanulót. A jelentse azt az eseményt,

hogy a kiválasztott tanuló fiú, B azt, hogy a kiválasztott tanuló franciát tanul, C azt,

hogy a kiválasztott tanuló OKTV matematika versenyt nyert.

Tudjuk, hogy az osztálylétszám 30, ebből 20 fiú. 10 tanuló tanul franciát, köztük 3 fiú

van: Péter, Balázs és Miklós. Matematika OKTV versenyt egyedül Pali nyert az

osztályból.

a) Írd le a következő eseményeket:

A·( B+C );, A ·B·C.

b) Add meg ezeknek az eseményeknek a valószínűségét!

33. Számítsd ki a 13. mintapélda ábrája alapján, milyen valószínűséggel jut Peti a C

kijárathoz!


V. Valószínűségek kiszámítása kombinatorikai módszerekkel

Mintapélda14

3 kötetes könyvet a polcra visszatéve mi a valószínűsége annak, hogy jó sorrendben kerültek a

helyükre?

Megoldás:

Az összes esetet három elem ismétlés nélküli permutációi adják meg.

Összes eset: 1⋅2⋅ 3 =3!

Kedvező eset csak 1 lehet, amikor jó sorrendben kerültek a könyvek a helyükre.

A keresett valószínűség = számaeset összes

számaesetek kedvező = 3·2·1

1 = 61 .

Mintapélda15

Mi a valószínűsége annak, hogy ha az A, A, B, L, N, O, T betűkártyákat találomra egymás

mellé helyezzük, akkor a BALATON szót kapjuk?

Megoldás:

Az összes esetet ismétléses permutációval határozhatjuk meg, hét elem közül az egyik kétszer

ismétlődik, a többiek ezektől és egymástól különbözőek.

Összes eset: !2!7 =3 4·5·6·7 = 2520.

Kedvező eset csak egy lehet, amikor a betűk megfelelő sorrendbe kerülnek egymás mellé.

A keresett valószínűség = számaeset összes

számaesetek kedvező = 0004002520

1 ,≈ .

Mintapélda16

Kovács úr ügyel a biztonságra. Kertkapuján lakat és zár is van, a bejárati ajtót felső és alsó

zárral is biztosította. A kulcsok mind különbözőek. Kislánya ezt a négy kulcsot feltette egy

karikára. Mi a valószínűsége annak, hogy a kulcsok a karikán úgy következnek, hogy amikor

betette a lakatba a megfelelő kulcsot, akkor a karikán jobbra a kapukulcs, majd a bejárati ajtó

fölső és alsó zárának kulcsa következik ebben a sorrendben?


Megoldás:

Az összes lehetőség kiszámításakor a ciklikus permutáció képletét kell alkalmaznunk.

n különböző dolgot (n – 1)! sorrendben lehet elhelyezni, ha a sorbarendezendő dolgok egy

körön helyezkednek el. A kulcsoknak az ábrán szereplő elhelyezései azonos sorrendnek

tekintendők:

A kulcsok a karikán 3! különböző sorrendben lehetnek, a kedvező esetek száma csak 1, így

annak valószínűsége, hogy a kulcsok sorrendje ideális lesz: 17061

31 ,!

P ≈== .

Feladatok

34. Egy automatából négyféle innivaló: tej, kávé, kakaó, tea és 10-féle szendvics: 2-féle

sonkás, 2-féle szalámis, 2-féle kolbászos, 2-féle vegetáriánus, 1 tepertőkrémes és 1 to-

jáskrémes választható. Peti reggelizni szeretne. Mi a valószínűsége annak, hogy talá-

lomra megnyomva egy ital és egy szendvics gombot, kakaót és vegetáriánus szendvi-

cset fog kapni?

35. Mi a valószínűsége annak, hogy ha az É, H, S, Ú, V, T betűket találomra egymás mellé

helyezzük, akkor a HÚSVÉT szót kapjuk?

36. Hat osztálytárs moziba megy. Zolinak nagyon tetszik Katóka, de ezt nem meri

bevallani. Mi a valószínűsége annak, hogy az egymás mellé szóló hat jegyet

véletlenszerűen kiosztva, Zoli és Katóka egymás mellé kerülnek?

37. Hét golyóra rendre felírjuk az 1, 3, 4, 4, 4, 5, 7 számjegyeket. A golyókat egy dobozba

tesszük, és jól megkeverjük. A golyókat a dobozból egyesével kivesszük, és a rajta

levő számjegyeket balról jobbra haladva egymás mellé leírjuk. Mi a valószínűsége

annak, hogy olyan hétjegyű számot kapunk, amely 5-re végződik?


38. Hét jó barát, négy lány és három fiú vacsorázni mennek. Az étteremben egy téglalap

alakú asztal egyik oldalán egymás mellett foglalnak helyet. Mi a valószínűsége annak,

hogy

a) azonos neműek nem kerülnek egymás mellé,

b) a három fiú egymás mellé kerül?

39. Egy kör alakú asztal körül 8 szék van. Négy házaspár véletlenszerűen foglal helyet az

asztal körül (minden lehetséges elhelyezkedés egyenlően valószínű). Mi annak a

valószínűsége, hogy

a) a házaspárok egymás mellé kerülnek,

b) azonos neműek nem kerülnek egymás mellé?

(Két elhelyezést akkor és csak akkor tekintünk különbözőnek, ha a társaságnak van

legalább egy olyan tagja, akinek vagy a bal oldali vagy a jobb oldali szomszédja a két

ülésrendben különböző.)

40. Egy urnában hat piros, két sárga és két fehér golyó van. Úgy húzunk az urnából, hogy

a kihúzott golyót nem tesszük vissza.

a) Mi a valószínűsége annak, hogy először két piros golyót húzunk?

b) Mi a valószínűsége annak, hogy először két sárga golyót húzunk?

c) Mi a valószínűsége annak, hogy a hat piros golyó kihúzása a végére marad?

41. Van öt számkártyánk, melyeken a 0; 1; 2; 3; 4 számjegyek szerepelnek.

Véletlenszerűen lerakjuk az öt számkártyát egymás mellé.

a) Mi a valószínűsége annak, hogy négyjegyű számot rakunk ki? (Lásd a 7. minta-

példát!)

b) Mi a valószínűsége annak, hogy ötjegyű számot rakunk ki?

c) Mi a valószínűsége annak, hogy hárommal osztható számot rakunk ki?

d) Mi a valószínűsége annak, hogy néggyel osztható számot rakunk ki?

42. Négy barátnő, Anna, Bori, Cili és Dóri egy padon ülnek.

a) Mi a valószínűsége annak, hogy Anna a pad szélén ül?

b) Mi a valószínűsége annak, hogy Anna és Dóri a pad szélén ülnek?

c) Mi a valószínűsége annak, hogy a padon – balról jobbra nézve – éppen névsor

szerint ülnek?


43. András számon tartja, hogy a barátai milyen sorrendben köszöntik fel a névnapján.

Tavaly Márton köszöntötte őt először, majd Imre, Panni, Feri és Sári következtek.

Ebben az évben is felhívták őt mind az öten.

a) Mi a valószínűsége annak, hogy idén is Márton köszöntötte őt először?

b) Mi a valószínűsége annak, hogy idén pont ellenkező sorrendben hívják fel, mint

tavaly?

44. Két egyforma sorsolási kereket kell elkészíteni egy vetélkedő előtt. Bálint és Géza

elvállalták, hogy hazaviszik és kifestik piros, zöld, sárga és fekete színekre a négy

mezőt. Másnap az iskolában összehasonlítják a két korongot. Mi a valószínűsége,

hogy egyforma lett a két korong, ha

a) a mezők beosztása olyan, mint az A ábrán?

b) a mezők beosztása olyan, mint a B ábrán?

c) ha a mezők beosztása olyan, mint a C ábrán?

45. Tombolán 17 műsoros CD-t, 2 db MP3 lejátszót és egy hifitornyot sorsolnak ki.

Természetesen a három főnyeremény sorsolását a végére hagyják, de a CD lemezeket

(7 Vangelis, 5 Pink Floyd, 5 LGT) véletlen sorrendben adják át a nyerteseknek. Mi a

valószínűsége annak, hogy

a) az első 5 kisorsolt CD mind Vangelis?

b) a végére marad mind a 7 Vangelis CD?

46. Egy pakli magyar kártyát jól megkevernek, majd kihúznak belőle 1 lapot. Mi a

valószínűsége, hogy

a) ez a lap nem a tök ász lesz?

B CA


b) ez a lap nem lesz zöld?

c) ez a lap nem lesz ász?

47. Egy pakli magyar kártyából kiválogatják a makkokat, majd ezeket jól összekeverve

leteszik egymás mellé. Mi a valószínűsége annak, hogy

a) a lapok növekvő sorrendben követik egymást (VII, VIII, IX, X, alsó, felső, király,

ász)?

b) az első négy lap figura (valamilyen sorrendben az alsó, felső, király ász)?

48.

Ezeket a számkártyákat véletlenszerűen elhelyezve az

alábbi szorzásba,

a) mi a valószínűsége annak, hogy úgy rakjuk le őket,

hogy a lehető legnagyobb szorzat keletkezzen? (Mi ez a

szorzat?)

b) mi a valószínűsége annak, hogy úgy rakjuk le őket, hogy páros szám keletkezzen?

49.

A fenti számkártyákat megkeverjük, majd véletlenszerűen lerakjuk egymás mellé. Mi a

valószínűsége annak, hogy

a) hattal osztható szám keletkezik?

b) hússzal osztható szám keletkezik?

1 2 3 4 5

٠

0 0 1 2 5 7


Kislexikon

Ha n kísérletből az A esemény k-szor következik be, akkor a nk hányados az A esemény

relatív gyakorisága. Az a P szám, amely körül egy esemény relatív gyakorisága ingadozik, az

esemény valószínűsége.

Az elemi események egy kísérlet lehetséges kimenetelei, amelyek tovább már nem

bonthatók.

Ha egy kísérlet lehetséges kimeneteleit olyan eseményekként írjuk fel, hogy a kísérlet

minden lehetséges kimenetele esetén az események közül pontosan egy valósul meg, azt

mondjuk, hogy ezek az események teljes eseményteret alkotnak.

Ha egy eseménytérben az összes benne szereplő esemény valószínűsége egyenlő, akkor az

eseményteret klasszikus valószínűségi mezőnek nevezzük.

A valószínűségszámítás klasszikus Laplace-féle modellje: Egy A esemény valószínűségét kiszámíthatjuk a következő módon: Legyen N az azonos

valószínűségű elemi események száma, melyek az eseményterünket alkotják (továbbiakban:

összes esetek száma), k pedig azon elemi események száma, amelyek az A esemény

összetevői (röviden: kedvező esetek száma). Ilyenkor

( )NkAP ==

száma eset összesszáma esetek kedvező .


A lehetetlen esemény valószínűsége 0.

Ha két esemény bekövetkezése kizárja egymást, de a két esemény közül az egyik mindig

bekövetkezik, akkor ez a két esemény egymás komplementere.

Komplementer események valószínűségének összege 1.

( ) ( ) 1=+ APAP


Tetszőleges A és B esemény összege az az esemény, amely pontosan akkor következik be,

amikor legalább az egyik bekövetkezik.

Jelölése: A+B. (Az események összegét szokás AUB-vel is jelölni.)

Tetszőleges A és B esemény szorzata az az esemény, amely pontosan akkor következik be,

amikor A és B is bekövetkezik.

Jelölése: A·B (Az események szorzatát szokás A∩B-vel is jelölni.)

Tetszőleges A és B esemény egymást kizárják, ha egyszerre nem következhetnek be, azaz

A·B = {lehetetlen esemény }.

( ) 0=⋅ BAP .

12. MODULFOrgásszÖg szÖgFüggVÉNYEi

Készítette: Csákvári Ágnes


I. FORGÁSSZÖGEK 1. Matematika: A szög1 (olvasmány, részletek) A szög fogalmát valószínűleg a babiloni csillagászok vezették be. Egyedülállóan sikeres innováció volt: a forma vált így mérhetővé, és ezzel megragadható lett a számok nyelvén. Hogy minden háromszögben két derékszögnyi a szögek összege, azt már jóval Eukleidész előtt tudták a hozzáértők. Mára ez nevenincs közhely, s nem gondolunk arra, hogy egyike a tiszta matematika legelső igazi tételeinek. Szerényen állít valamit, aminek érvényességi köre messze túl mutat a tapasztalaton. Egyáltalán nem álmélkodunk el rajta. Korán, talán túl korán közlik velünk az iskolában. Részévé válik annak, ahogy a világot látni véljük. Az elmúlt száz év során ugyanis kiderült: csak emberi léptékre érvényes, a kozmosz és a kvantummechanika geometriája nem euklideszi. MÉRÉS A szögnek – mint minden mennyiségnek – a méréséhez két dologra van szükség: mérési eljárásra és egységre. A babiloniak a szöget egy olyan körív hosszával mérték, amelynek középpontja a szög csúcsa. Az egység ezután tetszőlegesen választható mint a szöget mérő kör kerületének arányos része. Ennél azóta sincs jobb módszer. A babiloniak több mint háromezer éve osztották 360 egyenlő részre a szöget mérő kört: az így adódó ív jelöli ki az egységnyi nagyságú, 1°-os szöget. A bűvös 360-as szám a babiloni számrendszerből és kozmológiából ered. Amikor szöget mérünk, vagy például 90°-os szögről beszélünk, akkor a Biblia előtti korok csillagászainak, írnokainak eszközeit és nyelvét használjuk, még az ékírásos időkből. Mivel teljesen önkényes, a fok éppen olyan jó egység, mint bármi más. Van azonban két gyakorlati előnye. Egyrészt a csillagászatban gyakori fellépő kicsiny szögek mérőszáma így „emberi” nagyságrendű, másrészt az elemi geometriában megjelenő „nevezetes” szögek mértéke szép egész szám. Használatát a hagyományokhoz való ragaszkodáson túl az is indokolja, hogy több mint ezer éve az arab matematikusok erre az egységre készítették el az első trigonometriai táblázatokat. A szögmérés babiloni egységének nem volt igazi „konkurenciája”, itt nem burjánzott el az egységeknek az a dzsungele, mint a hosszúság vagy a súly mérésekor. Közrejátszhatott ebben az is, hogy szöget nem a piactéren vagy a vásárokban mértek, ez megmaradt a már akkor is a nemzetközi „tudományos-műszaki elit” feladatának. A szöggel mérhető mennyiségek nem voltak, és később sem lettek közvetlenül pénzre válthatók, nem úgy, mint a már említett hosszúság vagy a súlymérés esetében. AZ ÍVMÉRTÉK A középiskolában találkozunk a szögmérés egy másik egységével, a tudományosan hangzó radiánnal. A definíció világos: 1 radián az a szög, amelyet a méréshez felhasznált kör sugarával (sugár = rádiusz) egyenlő nagyságú ív mér.

1 Élet és Tudomány 1999. 22. szám. Diákoldal. Szerző: Pataki János

12. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI TANULÓK KÖNYVE 149

Az új egység bevezetésének következménye az, hogy ha egységnyi sugarú kört használunk a méréshez, és így a hosszúságmérés egységére vezetjük vissza a szögmérés egységét, akkor valóban a szögszárak által kimetszett körív hossza a szög mértéke, az ív közvetlenül méri a szöget. A radián bevezetése mintegy szinkronizálja a hosszúság és a szög mérését: egy fontos elv érvényesül az új egység bevezetésekor. Az egyik első következmény, hogy néhány összefüggés leegyszerűsödik: az r sugarú körből

az α) radián nagyságú középponti szög r⋅α) nagyságú ívet és 2rα21

⋅) területű

körcikket metsz ki. AZ ISKOLÁBAN Az új egység használatát különböző átváltási feladatokkal szokás gyakorolni, a jobb kalkulátorok pedig már automatikusan hajtják végre a megfelelő konverziókat. Ilyenkor jellemző hiba, ha a felhasználó elfeledkezik a gép beállításáról – vagy ami rosszabb, nem törődik vele –, és például radiánban „felejtett” gépével akarja kiszámítani, mennyi cos 60°. Jó esetben meglepődik a gép által közölt – 0,954… értéken – félreértés ne essék: nem ezért érdemes (kell) tudni, hogy például cos 60° = 0,5 –, de még mielőtt elemcserére vagy szervizre gondolna, érdemes ellenőrizni a beállításokat. A két egység egyidejű használatával első ránézésre zavarba ejtő egyenlőségeket kapunk, mint

például 60° = 3π .

Ez az egyenlőség természetesen nem a mérőszámok, a 60,

illetve a 3π ≈ 1,047 egyenlőségét mondja; nem is mondhat-

ja. Azt fejezi ki, hogy a két különböző egység felhasz- nálásával mért szögek egyenlők. Hasonló ez a 13 = 1101 „egyenlőséghez”, ahol a bal és a jobb oldalon ugyanannak a számnak a tízes, illetve a kettes számrendszerbeli alakja áll. Az egyenlőség értelmezéséhez itt a számok jelentését is ismerni kell.

FOK VAGY RADIÁN? Mikor melyik egységet érdemes használni? A legfontosabb tanács: ne mindkettőt egyszerre! Egy háromszög keresett szögének nagyságára éppoly jó válasz a 48°, mint a ≈ 0,838 radián. Ha táblázatot használunk, akkor érdemes fokokban kifejeznünk a szöget, az újabb kalkulátorok azonban mindkét egységben használhatók. Igazság szerint az ilyen feladatokban teljesen mindegy, hogy melyik egységet választjuk. Illetlenség azonban egy feladat megoldása közben váltani, vagy más egységben közölni az eredményt, mint ahogyan az adatokat kaptuk például a feladat kitűzésekor. A körben adódó számítási feladatokban a szükséges formulák egyszerűbbek, ha ívmértéket használunk. A körív hosszára vonatkozó összefüggés például fokokban

rio

⋅°⋅

=180

πα .


Vegyük észre, hogy a formula úgy kapható meg a már említett ri ⋅α= ) eredményből, hogy a szög fokokban megadott mérőszámát radiánba konvertáljuk:

°⋅°

=→° απαα180

) .

2. Szögek mérése Ahogy az a bevezető olvasmányból is kiderült, a szög nagyságát kétféleképpen határozhatjuk meg. Mindkét esetben egy teljes kört hívunk segítségül. I. A kör középpontjából kiinduló két félegyenes egy szögtartományt, a középponti szöget

határozza meg. Ezt a szöget fokokban mérjük. A teljes szög 360°-nak felel meg. 1° a teljes kör 360-ad része.

II. A másik esetben nem a középponti szöget mérjük,

hanem annak a körívnek a sugárhoz való viszonyát, amelyet a körből a szögszárak metszenek ki. Ez az ívmérték. A mérőszám meghatározásához felhasználjuk, hogy a körív nagysága és a középponti szög nagysága egyenesen arányos. Ezt az arányossági tényezőt nevezzük radiánnak. 1 radián jelenti azt a középponti szöget, amelynél a körív hossza éppen

a sugárral egyenlő. Jele: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=α

ri) .

Tehát az ívmérték azt mutatja meg, hogy egy adott középponti szöghöz tartozó körív hossza hányszorosa a sugárnak. A teljes szöghöz (360°) tartozó körív (teljes kör) a sugár π2 -szerese. (Ebből adódik a kör kerülete: π= r2K .)

Tehát π= 2360o rad ⇒ 1 rad = oo

3,572

360≈

π.

Ez a meghatározás kapcsolatot teremt a fokban mért adatok és a valós számok halmaza között. Megjegyzés: a mértékegységül szolgáló rad szócskát nem szoktuk kiírni, mivel az ívmérték hosszúságok arányát jelenti, egy valós számot. Például: 180° és a 180 nem ugyanazt a szöget jelöli, ugyanis 180° = 3,141592….. radián, míg 180 radián ≈ 10313,25°.


Mintapélda1 Hányszorosa a sugárnak a 47°-hoz tartozó körív?

Megoldás:

Tudjuk: 180° esetén az ív a sugár π-szerese.

Ebből: 1° esetén az ív a sugár 180π -szorosa.

47° esetén az ív a sugár 180

47 π⋅ -szorosa ≈ 0,82-szerese.

Tetszőleges α szög esetén 180

o π⋅α=α) .

Mintapélda2 Tudjuk, hogy a sugárnak 1,2-szerese a körív hossza. Hány fokos középponti szöghöz tartozik ez az ívhossz? Megoldás:

Tudjuk: 2,1=α) . 180° esetén az ív a sugár π-szerese.

Ebből: π

o180 esetén az ív a sugár 1-szerese.

π

⋅o1802,1 ≈ 68,75° a középponti szög.

Tetszőleges α) radián esetén π

⋅α=αo

o 180) . Amikor számológéppel számoljuk ki a szög mérték fokban, akkor általában tizedestört alakot kapunk. A csillagászatban, asztrológiában előfordulhat, hogy tizedesjegyek helyett inkább perc és másodperc alak kellene. Van olyan számológép, amely gombnyomásra elvégzi az átváltást, de ha a sajátunkon nincs, nekünk kell átváltani.

Mintapélda3 a) Adjuk meg a 31,28° fok perc másodperc alakját!

Megoldás:

31,28°=31°+0,28°.

Tudjuk: 1°=60’.

Ebből: 0,28°=0,28⋅60’=16,8’.

Általában addig folytatjuk az átalakítást, amíg el nem fogynak a tizedesjegyek.

16,8’=16’+0,8’.

Tudjuk: 1’=60”. (mivel 1°=60’=3600”.)

Ebből: 0,8’=0,8⋅60’’=48”.

A kapott eredményeket visszahelyettesítve kapjuk: 31,28°=31°16’48”.


b) Amennyiben a feladat perc másodperc formátumban adta meg az adatot, de például a

számológép miatt tizedestört alakra lenne szükség, a következő eljárás segít:

Váltsuk át tizedestörtté a 71°45’13” szöget!

Megoldás:

Felhasználjuk: o

6011 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=′ valamint

o

360011 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=′′ ,

°=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+°=′′′° 7036,71

360013

604271312471

oo

.

Feladatok

1. Váltsd át radiánba a következő, fokban megadott szögeket! Hozd a legegyszerűbb

alakba az eredményt:

a) 30°; b) 150°; c) 240°; d) 315°; e) 132°.

2.Váltsd át fokba a következő, radiánban megadott szögeket!

a) 4π ; b)

23π ; c)

72π ; d) 0,2967; e) 2,3736; f) 1.

3. Alakítsd át a következő, fokban és percben megadott szögeket tizedestörtté!

a) 36°13’52”; b) 121°36’; c) 201°10’2”.

4. Add meg a következő szögeket fokban, percben, s ha szükséges, másodpercben!

a) 47,5°; b) 93,12°; c) 134,73°.

3. Forgásszögek A továbbiakban rögzítsük a középponti szög egyik szárát. Ez lesz a nyugvó szögszár, a másik pedig a forgó szögszár. Forgassuk ezt a szögszárat a kör középpontja körül. A forgatás nagyságát a forgó szögszár által súrolt tartomány határozza meg. A forgatás iránya pedig a szög előjelét határozza meg: ha az óramutató járásának irányával ellentétes irányba forgatunk, akkor a szög pozitív előjelű, ha pedig megegyező irányba, akkor a szög negatív előjelet kap.


Például: + 60° − 60° Mintapélda4 Ábrázoljuk a következő szögeket!

a) 576°; b) −1224°.

576° = 360°+216° −1224° = −(144°+3⋅360°)

5. Ábrázold a következő szögeket! (Használhatsz szögmérőt is.)

a) 75°; b) 130°; c) 194°; d) 220°; e) 295°; f) 315°;

g) 540°; h) 2715°; i) −30°; j) −140°; k) −517°.

A forgó szögszárra illesztett vektor hossza, mint sugár, rögzített szög

mellett egyenesen arányos a körív nagyságával. A forgó szögszárra

helyezett egységvektor végpontja forgatás közben egy körön mozog. Ezek

után helyezzük el azt a szöget és az egységvektor végpontja által

meghatározott kört a koordináta-rendszerben úgy, hogy a kör középpontja

essen egybe az origóval, a nyugvó szögszár pedig az x tengelyt meghatározó i egység-

vektorral. A forgó szögszárat jelöljük e-vel.

Megjegyzés: Az x tengely pontjait az i egységvektor

számszorosaival, az y tengely pontjait pedig a j vektor

számszorosaival skálázzuk.


Mintapélda5 Állapítsuk meg, hogy az ábrán látható szög forgó szára melyik síknegyedben található, és becsüljük meg a nagyságát! (Szögmérővel ellenőrizhető a becslés.)

Megoldás: 2. síknegyed, kb. 110°. A szög segítségével a forgó szögszáron felvett v vektor végpontját kétféleképpen is jellemezhetjük:

1. Az origótól való távolsággal valamint a szögszár és az x tengely pozitív felével bezárt pozitív előjelű szöggel.

2. A V pont koordinátáival, amelyek függenek a szögtől.

6. Hány fokos szöget kapsz, ha az α = 143°-os szög mozgószárát pozitív irányba még

kétszer teljes körrel elforgatod? És ha 12-szer?

7. Tükrözd az α = 143°-os szög forgószárát az x, az y tengelyre és az origóra. Hány

fokosak a kapott szögek? Tükrözd ugyanígy a 37°-os szöget is. Mit tapasztalsz?


II. Forgásszögek szinusza, koszinusza

8. Mérd meg 2 tizedesjegy pontossággal a következő forgásszögekhez tartozó OE

vektorok koordinátáit!

a) b)

c) d)

Az egyes esetekben milyenek a koordináták előjelei?

A síkbeli i, j koordináta-rendszerben egy e egységvektor irányszögének nevezzük annak az elforgatásnak a szögét, amely i-t e-be viszi át. (Ez az elforgatás irányától függően pozitív vagy negatív is lehet.)


Látható, hogy sem a szög szinusza, sem a szög koszinusza nem lehet –1-nél kisebb, illetve +1-nél nagyobb. Most megmutatjuk, hogy ez a definíció hogyan kapcsolódik a korábbi, derékszögű háromszögben megadott definícióhoz. I. síknegyedben:

Ebben a derékszögű háromszögben:

yy==

1sinα és xx

==1

cosα .

A többi síknegyed esetén felhasználjuk a korábbi szögek tükrözésével szerzett tapasztalatokat. II. síknegyedben:

αα −= o180' ; ( )ααα −°== 180sin'sinsin ;

( )ααα −°−=−= 180cos'coscos .

Tetszőleges forgásszög koszinuszán az adott irányszögű egységvektor x koordinátáját (abszcisszáját) értjük.

Tetszőleges forgásszög szinuszán az adott irányszögű egységvektor y koordinátáját (ordinátáját) értjük.


III. síknegyedben:

o180' −= αα ; ( )°−−=−= 180sin'sinsin ααα ; ( )°−−=−= 180cos'coscos ααα .

IV. síknegyedben:

αα −= o360' ; ( )ααα −°−=−= 360sin'sinsin ;

( )ααα −°== 360cos'coscos . Minden szög szinusza, ill. koszinusza visszavezethető egy első síknegyedbeli megfelelő szög

szinuszára, ill. koszinuszára.

Az egyes szögek szögfüggvényeinek előjeleit jól szemléltethetjük az egységsugarú körrel:

cos α sin α

cos 90° = cos 270° = 0. sin 0° = sin 180° = 0.

9. Határozd meg az egységvektor koordinátáit két tizedesjegy pontossággal, ha adott a

vektor irányszöge!

a) 37°; b) 142°; c) 198° ; d) 345°.

Használd a számológépet!


Mintapélda6 Eddig 0° és 360° közötti szögeket vizsgáltunk. Most megnézzük a negatív és a 360°-nál

nagyobb szögeket!

Számítsuk ki a szögek szinuszát, ill. koszinuszát!

1. sin 3218° = sin (338° + 8⋅360°) = sin 338° = − 0,3746;

2. cos (− 63°) = cos (− 63° + 360°) = cos 297° = 0,454;

3. sin (− 829°) = sin (251° − 3⋅360°) = sin 251° = − 0,9455.

10. Határozd meg zsebszámológép segítségével négy tizedesjegy pontosan a keresett

szögfüggvények értékeit!

a) sin 36°; cos 54°; b) sin (− 98°); cos (− 68°); c) sin 5261°; cos 2183°; d) sin 144°36’12”; cos (− 52°23’48”); e) sin (− 681°39’); cos 536° 13’; f) sin 211,73°; cos 147,82°; g) sin (− 26,2°); cos (− 11,6°). 11. Határozd meg zsebszámológép segítségével négy tizedesjegy pontosan a keresett

szögfüggvények értékeit!

a) 5

2sin π ; 3

10cos π ;

b) 45sin ; 30cos ; c) 56,0sin ; 18,1cos ;

d) 3sin− ; 1,0cos− ;

e) π321sin ; π

12112cos .

Mintapélda7 Végezzük el a kijelölt műveleteket! Ahol lehet, pontos értékkel számoljunk!

a) sin 23° + sin 337°;

b) cos 337° + cos 23°.

Megoldás: a) sin 23° + sin 337° = sin 23° – sin (360°−337°) = = sin 23° − sin 23° = 0.


b) cos 337° + cos 23° = cos (360° − 337°) + cos 23° = = cos 23° + cos 23° = 2 · cos 23° ≈ 1,841.

12. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket, majd számold ki a pontos érté-

küket!

a) cos 111° − cos 249°;

b) sin 47° + sin 317°;

c) cos 157° + cos 203°;

d) sin 348° − sin 168°;

e) 2

3sinsin2

sin πππ++ ;

f) ;3

5coscos3

cos πππ−+

g) ;127sin53sin

o

o

h) ;325cos215cos

o

o

i) ;2

3sincos2

sin πππ⋅⋅

j) 2

3sincos2

cos πππ⋅⋅ .

Mintapélda8 Tedd ki a megfelelő (<, =, >) relációs jelet!

cos 48° cos 76°

Megoldás: A szögek koszinusz értékei a szögekhez tartozó egység-

vektorok x koordinátái. A megfelelő egységvektorok végpont-

jának x tengelyre vetítése után már leolvasható a megfelelő

relációs jel: cos 48° > cos 76°.


Mintapélda9 Tedd ki a megfelelő (<, =, >) relációs jelet!

sin 36° sin 153°

Megoldás:

A szögek szinusz értékei a szögekhez tartozó egységvektorok

y koordinátái. A megfelelő egységvektorok végpontjának

y tengelyre vetítése után már leolvasható a megfelelő relációs

jel:

sin 36° > sin 153°.

13. Tedd ki a megfelelő (<, =, >) relációs jelet!

a) sin 33° sin 46°;

b) cos 100° cos 146°;

c) sin 211° sin 256°;

d) cos 294° cos 357°.

14. Tedd ki a megfelelő (<, =, >) relációs jelet!

a) cos 26° cos 157°;

b) sin 253° sin 53°;

c) cos 15° cos 296°;

d) sin 318° sin 218°.

Mintapélda10 Eddig adott szögek szinuszát, ill. koszinuszát határoztuk meg. Most megfordítjuk a kérdést: az a feladat, hogy egy szög szinusza (koszinusza) ismeretében keressük meg, mely szög(ek)é lehet! Az ilyen feladatokat visszakeresésnek is szokták nevezni. Mely szögekre teljesül a sin α = 0,7 egyenlőség, ha 0° ≤ α ≤ 360°?


Megoldás: Készítsünk ábrát! Vegyük fel az egységkört! A szögek

szinuszát az irányszögükhöz tartozó egységvektor

y koordinátájával értelmezzük. A 0,7-es ordinátához két

egységvektort is tudunk találni, hiszen a 0,7-en átha-

ladó, az x tengellyel párhuzamos egyenes két pontban is

metszi az egységsugarú kört. A két metszésponthoz

tartozó irányszög:

α1 = 44,4°;

α2 = 180° − 44,4° = 135,6°.

Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldása Mintapélda11 Mely szögekre teljesül a 9272,0sin −=α egyenlőség? Megoldás:

A számológép segítségével α = −68°. Keressük meg a 0° és 360° közötti megfelelőjét, valamint az összes megoldást is! α’ = |α| = 68°; α1 = 360° − α’ = 360° − 68° = 292°; α2 = 180° + α’ = 180° + 68° = 248°. Természetesen α1’ = 292° + 360°; α1” = 292° + 2 · 360°;

stb. is megoldása a feladatnak:

Általános alakban felírva: α1 = 292° + k⋅360°, k ∈ Z; α2 = 248° + l⋅360°, l ∈ Z. Mivel ezek egymástól független megoldások, különböző betűket használunk.


Mintapélda12 Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!

a) − 2 · sin( x + 52° ) + 0,5 = 0;

b) 31 · cos ( 36° − x ) − 0,25 = 0.

Megoldás:

a) − 2 · sin( x + 52° ) + 0,5 = 0,

− 2 · sin( x + 52° ) = −0,5,

sin( x + 52° ) = 0,25.

Innen a zsebszámológép segítségével kapjuk, hogy x + 52° = 14,5°. A forgásszögek ismeretében ez két eset vizsgálatát jelenti: I. x1 + 52° = 14,5° + k · 360°, x1 = −37,5° + k · 360° = 322,5° + k · 360°, k ∈ Z.

II. x2 + 52° = 165,5° + l · 360°, x2 = 113,5° + l · 360°, l ∈ Z.

b) 31 · cos ( 36° − x ) − 0,25 = 0,

31 · cos ( 36° − x ) = 0,25,

cos ( 36° − x ) = 0,75.

Zsebszámológép használatával: 36° − x = 41,4°. Innen két esetet kell megvizsgálni: I. 36° − x1 = 41,4° + m · 360°, x1 = 77,4° + m′ · 360°, m ∈ Z és m′ ∈ Z.

II. 36° − x2 = 318,6° + n · 360°, x2 = 354,6° + n′ ⋅ 360°, n ∈ Z és n′ ∈ Z.

15. Oldd meg a következő egyenleteket!

a) 0,5 sin x – 0,1743 = 0; b) – cos x + 0,5628 = 1;

c) sin ( x + 15° ) = 0,3452; d) 2 cos ( x – 20° ) = 1,4264.


a) cos α – 3 = – 2; b) sin β +21 = –

21 ;


c) 2 sin γ = 1; d) 32 cos δ = –

31 ;

e) cos (φ + 6π ) = 0; f) sin (ψ –

3π ) = 0.


a) 3 sin ( – x + 48° ) = 2,5681; b) 0,2 cos ( x – 12° ) = 0, 1358.


a) cos ( α – 6π ) +

21 = 0; b) 2 sin ( β +

4π ) = 22 ;

c) 21 cos γ +

51 =

52 ; d) 3 sin δ – 3 = 2 3 .


a) | cos x | = 23 ; b) sin2x +

41 = 1.

Mintapélda13 Egy 10 cm2 területű háromszög 5 cm-es oldalán 72°-os szög nyugszik. Milyen hosszú a háromszögnek ezt a szöget határoló másik oldala? Megoldás:

T = 2

bmb ⋅,

10 = 2

5 bm⋅, innen 4 = mb.

Az ABB’ derékszögű háromszögben a szinusz szögfüggvényt felírva:

sin 72° = c

mb , innen c = °

=° 72sin

472sinbm

.

c ≈ 4,2 cm.

Felhasználva, hogy mb = c · sin α, kapjuk a háromszög területének egy másik – ko-

rábban már említett – lehetséges kiszámítási módját: T = 22

α⋅⋅=

⋅ sincbmb b .


A hegyesszögű háromszög területét megkapjuk, ha vesszük két oldalának és a közbezárt szögük szinuszának a szorzatát, és ezt a szorzatot elosztjuk kettővel. A mintapéldában szereplő módon igazolható az összefüggés bármely két oldalra és az általuk bezárt szögre. A fenti összefüggés érvényes derékszögű, illetve tompaszögű háromszög esetén is. Derékszögű háromszögben: γ = 90° , ezért sin γ = 1 értéket formálisan beírhatjuk a háromszög területképletébe:

T = 22

902

1 γ⋅⋅=

°⋅⋅=

⋅⋅ sinbasinbaba .

Tompaszögű háromszögben:

sin γ’ =b

ma ,

sin γ’ = sin ( 180° − γ ) = sin γ, innen ma = b · sin γ’ = b · sin γ,

T = 2sin

2γ⋅⋅

=⋅ bama a .

Mintapélda14 Mekkorák az egyenlőszárú háromszög szögei és a kerülete, ha területe 23 egységnégyzet, és szárai 8 egység hosszúak? Megoldás:

b = 8; T = 23. α = ? β = γ = ? (A háromszög egyenlőszárú.) K = ?

T = 2sin8

2sin 2 αα ⋅

=⋅⋅bb ,

T = 222

β⋅⋅=

α⋅⋅=

γ⋅⋅ sincasincbsinba .


46 = 64 · sin α,

sin α = 0,7187 és 0° < α < 180°.

I. α1 = 46°, II. α2 = 180° − 46° = 134°,

β1 = (180° − 46°) : 2 = 67°, β2 = (180° − 46°) : 2 = 23°,

γ1 = 67°. γ2 = 23°.

Tehát a megadott adatokhoz egy hegyesszögű és egy tompaszögű háromszög is tartozik. A kerület meghatározásának egyik lehetséges módja:

ba22

sin =α .

I. sin 23° = 16

1a , innen II. sin 67° = 16

2a , innen

6,25 = a1. 14,73 = a2.

K1 = a1 + 2b = 6,25 + 16 = 22,25. K2 = a2 + 2b = 14,73 + 16 = 30,73.

20. Számítsd ki a háromszög területét, ha két oldala 30 cm és 4,2 dm hosszú, és 29°-os

szöget zárnak be egymással!

21. Számítsd ki a háromszög területét, ha két oldala 23 dm és 1,5 m hosszú, és 108°-os

szöget zárnak be egymással!

22. Számítsd ki a háromszög hiányzó adatát – az ábrán látható jelöléseket használva –, ha

ismert, hogy

a) T = 18 cm2; c = 5,2 cm; a = 7,4 cm, β = ?; b = ?

b) T = 35 dm2; b = c = 8 dm, K = ?


23. Számítsd ki a paralelogramma területét, ha két oldala 7 dm és 1,3 m, és a közbezárt

szögük 113°!

24. Egy rombusz kerülete 36 cm, területe 52 cm2. Mekkorák az

oldalai és a szögei?

25. Számítsd ki a paralelogramma területét, ha két

átlója 6 cm és 10 cm, és a közbezárt szögük 52°!

A paralelogramma területe kiszámítható két, egy csúcsból kiinduló oldalának és a közbezárt szögük szinuszának szorzatával. Tp = a · b · sin α.


Szinusz- és koszinuszfüggvény A forgásszögekkel való ismereteink megszerzése után már minden szöghöz egyértelműen hozzárendelhető annak szinusza és koszinusza. A hozzárendelésnél valós számokhoz valós számokat rendelünk, ezért a szöget radiánban kell megadni. Az így nyert két függvény:

f(x) = sin x, illetve g(x) = cos x. Az eddigi tapasztalatok alapján ezeknek a függvényeknek néhány tulajdonságát már ismerjük: 1. A függvényértékek [−1; +1 ] intervallumban találhatóak. A –1-et is és a +1-et is végtelen sok helyen veszi fel. 2. A függvényértékek 2π szerint ismétlődnek, tehát a függvények periodikusok, és periódusuk 2π. Példák periodikus függvényekre: 1. Törtrész függvény:

É.T.: R,

f ( x ) = { x },

periódus: p = 1.

2. Konstans függvény:

É.T.: R,

f ( x ) = 2,

periódus: minden valós szám megfelelő, de nincs közöttük

legkisebb.

Az f(x) függvényt periodikusnak nevezzük, ha létezik olyan pozitív p érték, amelyre a függvény értelmezési tartományának minden x értékére x + p is az értelmezési tartományhoz tartozik, és f (x) = f (x + p). Ha a függvénynek van legkisebb pozitív periódusa, akkor ezt szoktuk figyelembe venni.


3. A valós életben például a szívritmus görbe (EKG): Mintapélda15 Ábrázoljuk és jellemezzük az f( x ) = sin x függvényt! Megoldás:

Készítsünk értéktáblázatot!

x −2π −2

3π −π −2π 0

6π

4π

3π

2π π

67π

45π

34π

23π 2π

sin x 0 1 0 −1 0 21

22

23

1 0 −21

−22 −

23 −1 0

Jellemzés: É.T.: R. É.K.: [−1; 1]. Zérushely: sin x = 0,

x = k · π, k ∈ Z. Periódus: 2 π. Monotonitás:

szigorúan monoton növekvő: π+π

≤≤π+π

− lxl 22

22

, l ∈ Z,

szigorúan monoton csökkenő: π+π

≤≤π+π mxm 2

232

2 , m ∈ Z.

Szélsőérték:

maximumhely: x = π+π n22

; n ∈ Z,

maximumérték: sin x = 1,


minimumhely: x = π+π s22

3 ; s ∈ Z,

minimumérték: sin x = −1.

Paritás: páratlan, mert sin x = − sin (− x). Alulról nézve konkáv: 2aπ ≤ x ≤ π + 2aπ; a ∈ Z intervallumon. Alulról nézve konvex: π + 2bπ ≤ x ≤ 2π + 2π; b ∈ Z intervallumon.

Mintapélda16 Ábrázoljuk és jellemezzük az f ( x ) = cos x függvényt! Megoldás:

Készítsünk értéktáblázatot!

x −2π −2

3π −π −2π 0

6π

4π

3π

2π

32π

43π

65π π

23π 2π

cos x 1 0 −1 0 1 23

22

21 0 −

21

−22 −

23 −1 0 1

Jellemzés: É.T.: R. É.K.: [ –1; 1 ]. Zérushely: cos x = 0;

x = 2π + k · π, k ∈ Z.

Periódus: 2 π. Monotonitás: szigorúan monoton csökkenő: 2lπ ≤ x ≤ π + 2lπ; l ∈ Z, szigorúan monoton növekvő: π + 2mπ ≤ x ≤ 2π + 2mπ; m ∈ Z. Szélsőérték:

maximumhely: x = 2nπ; n ∈ Z, maximumérték: cos x = 1, minimumhely: x = π + 2 s π; s ∈ Z, minimumérték: cos x = −1.

Paritás: páros, mert cos x = cos (−x).

Alulról nézve konkáv: ππππ axa 22

22

+≤≤+− ; a ∈ Z.

Alulról nézve konvex: π+π

≤≤π+π bxb 2

232

2; b ∈ Z.


A valós életben e függvények transzformáltjaival találkozhatunk: Rezgőmozgás:

A hang terjedése: A kék, illetve a piros fény terjedése:

A szinusz és koszinuszfüggvény ábrázolása függvénytranszformációkkal Kérdések: 1. Hogyan változik az f (x) = sin x függvény hozzárendelési utasítása, ha grafikonját eltoljuk

a v(0; −2) vektorral?

2. Hogyan változik az f (x) = cos x függvény hozzárendelési utasítása, ha grafikonját eltoljuk

a v(3π

− ; 0) vektorral?

3. Milyen transzformációval vihető át az f (x) = sin x függvény grafikonja a g(x) = cos x

függvény grafikonjába?


4. Milyen transzformációval vihető át az f (x) = cos x függvény grafikonja a g(x) = sin x

függvény grafikonjába?

5. Mennyivel kell eltolni és milyen irányban az f (x) = sin x függvény grafikonját, hogy a

függvényértékek ne legyenek pozitívak?

6. Hol vannak az f ( x ) = cos x + 1 függvény zérushelyei?

7. Mik lesznek a szinusz- és a koszinuszfüggvény szélsőértékei, ha grafikonját az y tengely

mentén 41 -szeresére zsugorítjuk?

8. Mik lesznek a szinusz-, ill. koszinuszfüggvény szélsőértékei, ha grafikonját az y tengely

mentén (−2)-szeresére nyújtjuk?

9. Milyen transzformációval kapjuk meg az f (x) = sin x függvény grafikonjából a

g (x) = sin (−x) függvény grafikonját?

10. Milyen transzformációs lépések találhatók az f( x ) = 21

2cos −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

πx függvény grafi-

konjának elkészítésekor?

11. Mekkora a periódusa az f (x) = sin 3x függvénynek?

12. Hogyan változtatod meg az f (x) = cos x függvény hozzárendelési utasítását, hogy a

függvény periódusa a kétszeresére nőjön?

13. Milyen paritású az f (x) = cos (−x) függvény?

14. Milyen értékeket vehet fel az f (x) = | sin x | függvény?

Mintapélda17

Ábrázoljuk és jellemezzük az f ( x ) = 232

1−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+− xsin függvényt!

Megoldás: Transzformációs lépések:

1. a ( x ) = sin x,

2. b ( x ) = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

3sin πx , ← a függvény grafikonjának eltolása az x tengely

mentén a v ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− 0;

3π vektorral,

3. c ( x ) = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

3sin

21 πx , ← b függvény grafikonjának y tengely menti

21 -szeres

zsugorítása,


4. d ( x ) = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

3sin

21 πx , ← c függvény grafikonjának tükrözése az x tengelyre,

5. f ( x ) = 23

sin21

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

πx . ← d függvény grafikonjának eltolása az y tengely men-

tén a v(0; −2) vektorral.

Jellemzés:

É.T.: R.

É.K.: az ábráról is leolvasható, de algebrai úton is levezethető.

Megjegyzés: Az É.K. az y tengely menti 21 -szeres zsugorítás és az y tengely menti –2-vel

való eltolás miatt változik, melyet a lépések sorrendjében levezethetünk:

−1 ≤ sin α ≤ 1 / · ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

21 ,

21 ≥ −

21 sin α ≥ −

21 / −2,

−23 ≥ −

21 sin α −2 ≥ −

25 .

Az értékkészlet: ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−

23

25 ; .

Zérushely: Egy jó ábráról szintén leolvasható. Most nézzük az algebrai levezetését:

023

sin21

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

πx ,

43

sin −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

πx , és mivel egy szög szinusza csak –1 és +1 közötti szám lehet ⇒

nincs zérushelye.

Periódus: 2π.

Monotonitás:


Megjegyzés: Az ábráról olvassuk le a megfelelő intervallumokat. Célszerű először a

[0; 2π] intervallumon megkeresni a megfelelő szakaszokat, majd utána kibővíteni a

periódussal. Igyekezzünk egybefüggő szakaszokat találni. Ha „túllóg” a [0; 2π] –n, akkor

az utána lévő részt vegyük figyelembe.

A szakaszok helyét az x tengelyre történő tükrözés (a −21 szorzó miatt) és az x tengely

menti −3π -mal történő eltolás befolyásolja.

Szigorúan monoton növő: ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π+

ππ+

π k;k 26

726

; k∈Z intervallumokban;

Szigorúan monoton csökkenő: ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π+

ππ+

π l;l 26

1326

7 ; l∈Z intervallumokban.

Szélsőérték:

Megjegyzés: Egy jó ábráról leolvashatók a szélsőértékhelyek, de algebrai úton is

levezethetők.

A szélsőérték-helyeket az x tengelyre történő tükrözés (a −21 szorzó miatt) és az x tengely

menti −3π -mal történő eltolás határozza meg.

Minimumhely: 252

3sin

21

−=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

πx ,

13

sin =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

πx ,

x + 3π =

2π + 2mπ ; m ∈ Z,

x = 6π + 2mπ.

Minimumérték: 25

− .

Maximumhely: 232

3sin

21

−=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

πx ,

x + 3π =

23π + 2nπ ; n ∈ Z,

x = 6

7π + 2nπ.


Maximumérték: 23

− .

Paritás: nem páros, nem páratlan.

Megjegyzés: a grafikon nem szimmetrikus sem az origóra, sem az y tengelyre, ez

algebrailag is bebizonyítható. Ehhez a definíciókat használjuk fel:

A függvény páros, ha az értelmezési tartomány minden x elemére –x is eleme az

értelmezési tartománynak, és f ( x ) = f ( −x ), illetve páratlan, ha f ( x ) = − f ( −x ).

Állítsuk elő f (–x )-et!

f (–x ) = 23

sin21

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

πx ,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

3sin

3sin ππ xx nem teljesül, mert

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

3sin

3sin

3sin πππ xxx , ezért a függvény nem páros.

– f (–x ) = 23

sin21

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

πx , ezért a függvény nem páratlan.

Alulról nézve konkáv a ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π+

ππ+

π a;a 23

523

2 , a ∈ Z intervallumokon.

Alulról nézve konvex a ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π+

ππ+

π− b;b 2

322

3 , b ∈ Z intervallumokon.

Megjegyzés: A grafikonról mindez leolvasható.

Mintapélda18 Ábrázoljuk az alábbi függvények grafikonjait, és állapítsuk meg a periódusukat,

zérushelyüket és szélsőértékhelyüket!

a) f ( x ) = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − x

23sin π ;

b) g ( x ) = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

23cos πx !

Megoldás:

a) A grafikon elkészítéséhez alakítsuk át a hozzárendelési utasítást!

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

23sin

23sin

23sin πππ xxx .


Ábrázolás menete:

1. d ( x ) = sin x,

2. e ( x ) = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

23sin πx , ← d grafikonjának eltolása az x tengely mentén

23π -vel,

3. f ( x ) = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

23sin πx , ← e grafikonjának tükrözése az x tengelyre.

Periódus: 2π.

Zérushely: 02

3sin =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

πx ,

x − 2

3π = kπ; k ∈ Z,

x = 2

3π + kπ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′+= ππ k

2; k′ ∈ Z.

Szélsőérték-helyek: Minimumhely:

12

3sin −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

πx ,

12

3sin =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

πx ,

x − 2

3π = 2π + 2lπ; l ∈ Z.

x = 2 π + 2lπ = 2 l’ π; l’ ∈ Z. Maximumhely:

12

3sin =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

πx ,

12

3sin −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

πx ,

x − 2

3π = 2

3π + 2mπ; m ∈ Z,

x = 3π + 2mπ = π + 2 ( m + 1 ) π = π + 2 m’ π; m’∈Z.


b) A trigonometrikus függvények grafikonjának elkészítésekor az x változó együtthatójának

1-nek kell lennie, ezért az argumentumban kiemelést végzünk:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

63cos

23cos ππ xx .

Periódus: 3

2π .

Zérushely: 02

3cos =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

πx ,

3x − 2π =

2π + kπ; k ∈ Z,

3x = π + kπ = k’ π; k’ ∈ Z,

3πkx ′= .

Szélsőérték-helyek:

Minimumhely:

12

3cos −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

πx ,

3x − 2π = π + 2lπ ; l ∈ Z,

3x = 2

3π + 2lπ,

x = 2π +

32π l.

Maximumhely:

12

3cos =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

πx ,

3x − 2π = 2mπ ; m ∈ Z,

3x = 2π + 2mπ,

x = 6π +

32π m.


Tapasztalat: Ha x együtthatója nem 1, akkor az együtthatót kiemelhetjük:

( ) ( )0coscos ≠⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+ a

abxabax .

A függvény grafikonjának ábrázolása ebben az esetben 3 lépésből áll:

1) d(x) = cos x.

1) x tengely menti zsugorítás / nyújtás. A függvény periódusa a1 -szorosára változik, azaz

aπ2

lesz. Tehát e( x ) = cos (3x).

2) x tengely menti ab nagyságú,

ab előjelével ellentétes irányú eltolás.

Tehát ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

63cos πxxf .

Megjegyzés: A szinusz- és a koszinuszfüggvény grafikonja ilyen hullámok

ismétlődéséből épül fel. Egy hullám „hossza” 2π. Az x szorzótényezője – ha az

abszolútértékben 1-nél nagyobb – szemléletesen azt mutatja meg, hogy hány db ilyen hullám

fér bele egy 2π hosszú intervallumba. Ilyenkor a hullám „összenyomódik”.

Ha a szorzótényező abszolútértékben 1-nél kisebb, például 21 , akkor egy 2π hosszúságú

intervallumba a hullámnak csak a fele fér el. 32 esetén: . Ekkor a

hullám „széthúzódik”.

Minden esetben a hullám „hossza” éppen a szorzótényező reciprokszorosára változik.


Mintapélda19

Készítsük el a következő függvények grafikonját:

a) cos2 x; b) cos x2; c) xsin ; d) xsin .

Megoldás:

a)

b)

c)

d)


26. Készítsd el a következő függvények grafikonját, és jellemezd a függvényeket!

a) f ( x ) = sin x + 2; b) g ( x ) = cos x − 21 ; c) h ( x ) = sin ( x − 2π );

d) k ( x ) = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

45cos πx ; e) l ( x ) =

23 · sin x; f) m ( x ) = −2 · cos x.

27. Készítsd el a következő függvények grafikonját! Állapítsd meg a függvények paritását!

a) a ( x ) = sin | x |; b) b ( x ) = | sin x |.


III. Forgásszögek tangense, kotangense Emlékeztető: α hegyesszög esetén:

tg α = αα

==cossin

befogómellettiszögbefogószemköztiszöggel

ba ,

ctg α = αα

==sincos

befogószemköztiszöggelbefogómellettiszög

ab .

Tetszőleges α szögre már definiáltuk a szögek szinuszát és koszinuszát, így hányadosuk segítségével a tangensüket és a kotangensüket is értelmezhetjük, ha a nevezőben szereplő kifejezés helyettesítési értéke 0-tól különböző. A sin α és cos α értéket korábban az α irányszögű egységvektor y, illetve x koordinátájaként definiáltuk. Megmutatjuk, hogy a tgα és a ctgα fenti definíciójának milyen geometriai tartal-ma van: 1) tg α (tangens alfa) annak a pontnak az ordinátája, amelyet az α irányszögű egységvektor egyenesének és az egységsugarú kör (0; 1) pontjához húzott érintőjének metszéspontjaként kapunk meg. 2) ctg α (kotangens alfa) annak a pontnak az abszcisszája, amelyet az α irányszögű egységvektor egyenesének és az egységsugarú kör (1; 0) pontjához húzott érintőjének metszéspontjaként kapunk. Az 1) geometriai tartalom következik a tg α definíciójából:

Ha x ∈ R és x ≠ 2π + kπ ( k ∈ Z ), akkor

tg x = xx

cossin .

Ha x ∈ R és x ≠ nπ ( n∈ Z ), akkor

ctg x = xx

sincos .

12. modul: FORGÁSSZÖG SZÖGFÜGGVÉNYEI 181

Az OAB, illetve az OPQ háromszögek hasonlók, hiszen mindkettő derékszögű, és egyik szögük közös, ezért a megfelelő oldalaik aránya megegyezik:

1cossin αα

=PQ

→ PQ=αα

cossin ,

tg α = PQ. Az első síknegyedre tehát érvényes az összefüggés; a többi síknegyedre hasonlóan igazolható.

A 2) geometriai tartalom következik a ctg α definíciójából: Vegyük észre, hogy az OAB derékszögű háromszögben OA = sin α, és AB = cos α. Az OAB, illetve az OPQ háromszögek hasonlók, hiszen mindkettő derékszögű, és egyik szögük közös, ezért a megfelelő oldalaik aránya megegyezik:

xPQαα cossin

= → PQ=αα

sincos ,

ctg α = PQ. Az első síknegyedre érvényes az összefüggés, a többi síknegyedre hasonlóan igazolható.

Látszik, hogy a 2π + kπ, k ∈ Z nagyságú szögeknek a tangense, az nπ, n ∈ Z nagyságú

szögeknek pedig a kotangense nem értelmezett, hiszen ekkor az egységvektor egyenese és a megfelelő érintő párhuzamosak. tg α esetén ctg α esetén


Megfigyelések: Megfigyelések: 1. Az f(x) = tg x függvény a III. síknegyedben, azaz 180° és 270° közötti szögekre ugyanazt

az értéket veszi fel, mint az I. síknegyedben. Ez az állítás a g(x) = ctg x függvényre is érvényes. (0° < α < 180° és α + 180° tangense ugyanaz.)

2. Az f(x) = tg x függvény a IV. síknegyedben, azaz 180° és 270° közötti szögekre ugyanazt

az értéket veszi fel, mint az II. síknegyedben. Ez az állítás a g ( x ) = ctg x függvényre is érvényes.

3. Az 1. és a 2. megállapításból következik, hogy az f(x) = tg x és a g(x) = ctg x függvények

periodikusak, és periódusuk π. Ez algebrai úton is belátható:

( ) ( )( ) α

αα

παπαπα tg

cossin

cossin

=−−

=++

=+tg .

4. Az f ( x ) = tg x függvény páratlan, mert ( ) ( )( ) α

αα

ααα tgtg −=

−=

−−

=−cossin

cossin .

Hasonlóan a g ( x ) = ctg x függvény is páratlan. A fentiek alapján töltsétek ki a következő oldalon lévő táblázatot!

Ha egy szög nem 90°-os vagy attól nem tér el 180° valamely egész számú többszörösével, akkor a tangense létezik és egyértelműen meghatározható.

Vagyis az R \ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∈+ Zkk ,

2ππ halmazon létesíthető egyértelmű hozzárendelés:

f ( x ) = tg x. Ezt tangensfüggvénynek nevezzük.

Ha egy szög nem 180° vagy annak egész számú többszöröse, akkor létezik és egyértelműen meghatározható a kotangense is. Vagyis az R \ { nπ, n∈Z } halmazon létesíthető egyértelmű hozzárendelés: az f ( x ) = ctg x. Ezt kotangensfüggvénynek nevezzük.


Nevezetes szögek szögfüggvényei 0° és 360° között: Fedezzetek fel minél több szimmetriát a táblázatban az értékekre, illetve az előjelekre vonatkozóan. Segítségképpen néhány értéket előre beírtunk.


28. A nevezetes szögek szögfüggvényeit felhasználva határozd meg a következő kifeje- zések pontos értékét!

a) sin245° – cos230°; b) °+°

°−45cos135sin

2252 tg ;

c) °−°°−°

225ctg45tg120sin150cos 2

; d) tg 840° + cos 240° – sin 1050°;

e) cos 3π · sin

4π · tg

611π ; f) 2 tg 60° + ctg 135° – 3 tg 45° + 2 cos 120°.

29. Számold ki a következő értékeket!

a) tg 203°; b) ctg ( –514°); c) tg 5,64; d) ctg 102°42’15”.

30. Add meg azokat a szögeket, amelyeknek tangense a) –3; b) 2 3 !


a) tg x = –1,2; b) ctg x = 11; c) tg ( x + 16° ) = –3; d) tg x = 37 .


a) tg 3x = 2 3 ; b) tg 2x = –3; c) 32

5ctg =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

πx ; d) 116

tg −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − xπ .


Mintapélda20 Ábrázoljuk az f ( x ) = tg x, illetve a g ( x ) = ctg x függvények grafikonját, és jellemezzük a függvényeket! Megoldás: f(x) = tg x g(x) = ctg x

Jellemzés:

É.T: R \ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∈+ Zkk ;

2ππ ; R \ { a π; a ∈ Z};

É.K: R; R; Zérushely: tg x = 0, ctg x = 0,

x = l π; l ∈ Z. x = 2π + b π; b ∈ Z.

Periódus: π. π. Monotonitás: szigorúan monoton növő a szigorúan monoton csökkenő a

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ ++− ππππ mm

2;

2; m ∈ Z ] c π ; π + c π [; c ∈ Z

intervallumokon. intervallumokon. Szélsőérték: nincs. nincs. Paritás: páratlan. páratlan.


Konvexitás:

az ⎢⎣⎡

⎢⎣⎡ + πππ nn

2; ; n ∈ Z ⎥⎦

⎤⎥⎦⎤ + πππ dd

2; ; d ∈ Z

intervallumokon. intervallumokon. Konkávitás:

⎥⎦⎤

⎥⎦⎤ ++ ππππ rr ;

2, r ∈ Z ⎢⎣

⎡⎢⎣⎡ ++ ππππ ee ;

2, e ∈ Z

intervallumokon. intervallumokon.

33. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket!

a) f ( x ) = 2 tg x; b) g ( x ) = – tg x; c) h ( x ) = tg ( –x ); d) k ( x ) = tg x + 2;

e) l ( x ) = tg ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−3

x ; f) m ( x ) = tg ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+2

2x ; g) n ( x ) = | tg x |.


IV. Szögfüggvények közötti összefüggések általánosítása I. A tangens és a kotangens függvények értelmezése:

tg x = xx

cossin , ha x ≠

2π + k π; k ∈ Z.

ctg x =xx

sincos , ha x ≠ l π; l ∈ Z.

Ezek következménye: ,

innen ctg x = xtg

1 , illetve tg x = xctg

1 , azaz ugyanazon szög tangense és kotangense

egymás reciproka, ha x ≠ n · 2π ; n ∈ Z.

II. Pitagoraszi (négyzetes) trigonometrikus azonosság: .

Megmutatjuk, hogy bármekkora szög esetén teljesül ez az összefüggés. Két esetet

különböztetünk meg:

1) α = k2π ; k ∈ Z

Ekkor vagy |sin α| = 1 és |cos α| = 0 vagy |cos α| = 1 és |sin α| = 0.

Behelyettesítve a fenti összefüggésbe kapjuk:

sin2α + cos2α = |sin α|2 + |cos α|2 = 12 + 02 = 1.

2) α ≠ k2π ; k ∈ Z.

Minden esetben létrejön egy derékszögű háromszög, melynek

befogói sin α, illetve cos α hosszúak, átfogója pedig |e| = 1

nagyságú.

Írjuk fel a Pitagorasz-tételt felhasználva, hogy |sin α|2 = sin2α és

|cos α|2 = cos2α:

|sin α|2 + |cos α|2 = |e|2,

sin2α + cos2α = 12 = 1.

III. Pótszög-összefüggések:

tg x · ctg x = 1

sin2α + cos2α = 1

sin α = cos ( 2π – α ), tg α = ctg (

2π – α ); x ≠

2π + k π k ∈ Z,

cos α = sin ( 2π – α ), ctg α = tg (

2π – α ); x ≠ nπ n ∈ Z.


1) Az f(x) = cos x függvény ábrázolásakor tapasztaltuk, hogyha f grafikonját eltoljuk az x

tengely mentén +2π -vel, akkor éppen a g(x) = sin x függvény grafikonját kapjuk:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= xxxx

2cos

2cos

2cossin πππ .

mivel a koszinuszfüggvény páros

2) Ha az f(x) = sin x függvény grafikonját eltoljuk az x tengely mentén +2π -vel, akkor

g(x) = – cos x függvény grafikonját kapjuk.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=− xxxx

2sin

2sin

2sincos πππ ,

mivel a szinuszfüggvény páratlan

cos x = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − x

2sin π .

3) tg x = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= xx

x

xx

2ctg

2sin

2cos

cossin π

π

π

, Z∈+≠ kkx ;2

ππ .

4) ctg x = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= xx

x

xx

2tg

2cos

2sin

sincos π

π

π

, Z; ∈≠ nnx π .


Mintapélda21 Számítsuk ki a szög értékének meghatározása nélkül a másik három szögfüggvény értékét, és szerkesszük is meg a keresett szögeket, ha tudjuk, hogy

a) sin x = 32

− ; b) tg x = 83 !

Megoldás:

a) sin x = 32

− .

cos x értékének meghatározásához a Pitagoraszi összefüggést használjuk fel:

sin2x + cos2x = 1, 2

32⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− + cos2x = 1,

92 + cos2x = 1,

cos2x = 97 ,

cos x = 37

± .

tg x és ctg x értékek kiszámításhoz a tg x = xx

cossin , illetve ctg x =

xtg1 összefüggéseket

alkalmazzuk:

sin x = 32

−

cos x = 37 , cos x =

37

− ,

tg x = 72

3732

−=−

, tg x = 72

37

32

=−

−,

ctg x = 27

tg1

−=x

, ctg x = 27

tg1

=x

.

Szerkesztés vázlata:

Ha sin α = 32 , akkor


Megjegyzés: Az egységet tetszőlegesen vehetjük fel.

Mivel sin x = 32

− , ezért az egységkörön ábrázolva:

b) tg x =

83 .

Közvetlenül ctg x értékét tudjuk kiszámítani:

ctg x = 38

tg1

=x

.

Szerkesztés: Ha x hegyesszög, akkor tg x = 83 .

Innen a Pitagorasz-tétel alkalmazásával sin x és cos x már meghatározható.

Ha x tetszőleges forgásszög, akkor tg x = 83 értéket az egységkörön ábrázolhatjuk:

Innen a Pitagorasz-tétel alkalmazásával sin x és cos x már meghatározható.


34. Számítsd ki a szög nagyságának meghatározása nélkül a másik három szögfüggvény

értékét, és szerkeszd is meg a keresett szögeket:

a) sin x = 72 ; b) cos x =

51

− ; c) tg x = 79 ; d) ctg x = 3,8!


V. Kiegészítő anyag Mintapélda22 Mely x-ekre teljesül?

a) sin x ≥ 21

− ; b) tg 2x > 33 ; c) | cos x | <

22 ; d) ctg2x ≥ 1?

Megoldás:

Mindegyik feladatnál először egy perióduson belül keressük meg a megoldást. Ez általában a szinusz- és koszinuszfüggvény esetén a [ 0; 2π ], tangens és kotangens függvény esetén pedig a [ 0; 2π ] intervallumot jelenti. Csak ezután általánosítunk.

a) sin x ≥ 21

−

ππππ kxk 26

726

+≤≤+− ; k ∈ Z.


b) tg 2x > 33

π+π

≤≤π+π mxm

22

6; m ∈ Z.

24212ππππ mxm ′+≤≤′+ ; m′ ∈ Z.

c) | cos x | < 22

Az ábráról is leolvasható, de az abszolútérték definícióját felhasználva is kiderül, hogy azokat

az x értékeket keressük, amelyekre 22cos

22

<<− x .

A keresett intervallumok:

ππππ nxn 24

324

+<<+ , n∈ Z illetve ππππ kxk 24

724

5+<<+ , k ∈ Z.

Mivel |cos x| periódusa π, ezért e két megoldási tartomány összefoglalható:

ππππ pxp +<<+4

34

, p∈ Z.


d) ctg2x ≥ 1

Az ábráról leolvasható, hogy olyan x-eket keresünk, melyekre

ctg x ≥ 1 vagy ctg x ≤ –1.

A keresett intervallumok:

π+π

≤<π rxr4

, r ∈ Z, illetve ( )π+<≤π+π 14

3 sxs ; s ∈ Z.

35. Oldd meg a következő egyenlőtlenségeket!

a) sin x ≤ 23 ; b) cos x <

21

− ; c) tg x ≤ 3 .

Mintapélda23 Oldjuk meg a következő egyenleteket:

a) cos 3x = cos ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − x

67π ; b) sin ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

82 πx = sin x; c) tg x = tg ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − x2

4π .

Megoldás:

A megoldás során felhasználjuk, hogy cos x = cos (2π – x) és sin x = sin (π – x).

a) cos 3x = cos ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − x

67π


I. 6

7π – x = 3 x + 2kπ k ∈ Z II. 6

7π – x = 2π – 3 x + n · 2π ; n ∈ Z,

67π – 2kπ = 4x, 2x =

65π + 2nπ = ( )12

67

++− nππ ,

224

7 ππ k− = x. x = 125π + nπ = ( )1

127

++− nππ .

b) sin ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

82 πx = sin x

I. 2x +

8π = x + 2mπ; m ∈ Z, II. 2x +

8π = π – x + 2nπ; n ∈ Z,

x = –8π + 2mπ. 3x =

87π + 2nπ,

x = 247π +

32 nπ.

c) tg x = tg ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − x2

4π ,

4π – 2x = x + rπ; r ∈ Z,

–3x = –4π + rπ,

x = 312ππ r− .


a) sin x = sin 75°; b) cos 2x = cos ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

4πx ;

c) sin 2x = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

65πx ; d) cos (3x + 60°) = cos (x + 24°);

e) tg 4x = tg (36° + x); f) ctg πx = ctg ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

43 ππx .


Kislexikon Radián: megmutatja, hogy egy adott középponti szöghöz tartozó körív hossza hányszorosa a kör sugarának; 180° = π radián. Átváltások:

fok → radián: 180

o π⋅α=α) ,

radián → fok: π

⋅α=αo

o 180) .

Pótszög: a szöget 90°-ra egészíti ki. Kiegészítő szög: a szöget 180°-ra egészíti ki. Irányszög: A síkbeli i, j koordináta-rendszerben egy e egységvektor irányszögének annak az elforgatásnak a szögét nevezzük, amely i-t az e-be viszi át. (Ez az elforgatás irányától függően pozitív vagy negatív is lehet.) Forgásszög koszinusza: Tetszőleges forgásszög koszinuszán az adott irányszögű egységvektor x koordinátáját (abszcisszáját) értjük. Jele: cos α. Forgásszög szinusza: tetszőleges forgásszög szinuszán az adott irányszögű egységvektor y koordinátáját (ordinátáját) értjük. Jele: sin α. Háromszög területe:

T = 222

α⋅⋅=

β⋅⋅=

γ⋅⋅ sincbsincasinba .

Egy háromszög területe két oldalának és a közbezárt szögük szinusza szorzatának a fele. Paralelogramma területe: A paralelogramma területe kiszámítható két, egy csúcsból kiinduló oldalának és a közbezárt szögük szinuszának szorzatával. Tp = a · b · sin γ. Az f(x) függvényt periodikusnak nevezzük, ha létezik olyan pozitív p érték, amelyre a függvény értelmezési tartományának minden x értékére p + x is az értelmezési tartományhoz tartozik, és f(x) = f(x + kp). Ha a függvénynek van legkisebb pozitív periódusa, akkor ezt szoktuk figyelembe venni. Forgásszög tangense:

Definíció: tg α = αα

cossin , α ≠

2π + kπ, (k ∈ Z).

Geometriai tartalom: tg α (tangens alfa) annak a pontnak az ordinátája, amelyet az α irányszögű egységvektor egyenesének és az egységsugarú kör (1 ;0) pontjához húzott érintőjének metszéspontjaként kapunk meg.


Forgásszög kotangense:

Definíció: ctg α = αα

sincos , α ≠ kπ, (k ∈ Z).

Geometriai tartalom: ctg α (kotangens alfa) annak a pontnak az abszcisszája, amelyet az α irányszögű egységvektor egyenesének és az egységsugarú kör (0; 1) pontjához húzott érintőjének metszéspontjaként kapunk meg.

Tangensfüggvény: az R \ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∈+ Zkk ,

2ππ értelmezési tartományon érvényes f(x) = tg x

hozzárendelési utasítással megadott függvény. Kotangensfüggvény: R \ {nπ, n∈Z} értelmezési tartományon érvényes f(x) = ctg x hozzá- rendelési utasítással megadott függvény. Szögfüggvények közötti összefüggések általánosítása:

1) tg α = αα

cossin ; ctg α =

αα

sincos → tg α · ctg α = 1,

ctg α = αtg

1 ,

tg α = αctg

1 a megfelelő értelmezési tartományon.

2) Pitagoraszi összefüggés: sin2α + cos2α = 1.

13. MODULsTATiszTiKA

Készítette: Lövey Éva (Gidófalvi Zsuzsa moduljának felhasználásával)


I. Statisztikai mutatók, diagramok

A mai világban való eligazodáshoz nagyon fontos a statisztika. Kilencedik osztályban már

részletesen foglalkoztunk ezzel a témakörrel. Megismerkedtünk bizonyos statisztikai

alapfogalmakkal: statisztikai sokaság, statisztikai ismérv, gyakoriság, relatív gyakoriság.

Most, tizedik osztályban ezeket átismételjük, a statisztika ugyanis átvezet a valószínűség

fogalmának megismeréséhez is.

A gazdaság és a társadalom nagyon sok összetevőből áll, azonban általában csak néhány

számadatból próbálunk választ kapni kérdéseinkre. Ezek a számadatok igen változatosak

lehetnek. Közvetlen környezetünkben is találhatunk példákat ,,árulkodó” számokra:

lakóhelyünkön a lakosok száma, nemek szerinti megoszlása, foglalkoztatottak és

munkanélküliek aránya, iskolába járó tanulók száma és közülük a középiskolások megoszlása

a különböző iskolatípusok között stb.

A tömegesen előforduló jelenségek és folyamatok számbavételével, az így nyert adatok

vizsgálatával, elemzésével foglalkozik a statisztika. A statisztikus először adatokat gyűjt a

vizsgálat tárgyát képező egyedekről meghatározott szempontok alapján.

Mintapélda1

A következő diagram a június havi napi középhőmérsékleteket tartalmazza.

Június havi napi középhőmérsékletek

0

5

10

15

20

25

30

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.

Készítsük el a napi középhőmérsékletek gyakorisági diagramját!

13. modul: STATISZTIKA 201

Számoljuk ki a június havi átlaghőmérsékletet!

a) Határozzuk meg, hogy hány olyan nap volt, amikor a középhőmérséklet magasabb volt az

átlagnál, és hány napon volt alacsonyabb?

b) Határozzuk meg a napi középhőmérsékletek móduszát és mediánját, értelmezzük ezeket!

Megoldás:

a) Összegyűjtöttük, hogy melyik hőmérséklet hányszor fordul elő:

Hőmérséklet 16 18 19 20 21 22 23 24 25

Gyakoriság 2 5 5 2 2 7 3 3 1

A középhőmérsékletek gyakorisági diagramja

0

1

2

3

4

5

6

7

8

16 18 19 20 21 22 23 24 25

Június havi átlaghőmérséklet:

302524·323·322·721·220·219·518·516·2 ++++++++ = 20,6

⋅

3 °C.

a) Az átlagnál magasabb volt a középhőmérséklet: 16 napon,

az átlagnál alacsonyabb volt a középhőmérséklet: 14 napon.

b) A középhőmérsékletek módusza, azaz a leggyakrabban előforduló hőmérséklet: 22 °C.

A középhőmérsékletek mediánja, azaz a statisztikai sokaság középső eleme: 21 °C.


Mintapélda2 Egy 35 fős osztályból véletlenszerűen választottunk ki 15 tanulót. A tanulók cipőméretét és

kedvenc színét tartalmazza a következő táblázat.

Cipőméret Szín Cipőméret Szín Cipőméret Szín

1. 35 Sárga 6. 41 Fehér 11. 37 Fekete

2. 36 Piros 7. 37 Sárga 12. 35 Fekete

3. 38 Kék 8. 36 Piros 13. 37 Sárga

4. 35 Sárga 9. 35 Zöld 14. 38 Rózsaszín

5. 39 Zöld 10. 38 Sárga 15. 42 Fehér

Mennyiségi ismérv, azaz olyan szempont, amelynek alapján számadattal jellemezhetjük a

sokaságot: a cipőméret.

Minőségi ismérv, azaz olyan szempont, amely alapján szöveggel jellemezhetjük a sokaságot:

a kedvenc szín.

A mennyiségi és a minőségi ismérv alapján a statisztikai sokaságra vonatkozóan különböző

statisztikai mutatókat lehet meghatározni. Határozzuk meg ezeket!

Megoldás:

Mennyiségi ismérv:

Legkisebb cipőméret: 35.

Legnagyobb cipőméret: 42

A cipőméretek gyakorisága, relatív gyakorisága:

Cipőméret 35 36 37 38 39 41 42 Gyakoriság 4 2 3 3 1 1 1 Relatív gyakoriság 0,27 0,13 0,2 0,2 0,07 0,07 0,07

A cipőméretek módusza, azaz a leggyakoribb cipőméret: 35.

A cipőméretek mediánja, azaz a statisztikai sokaság középső eleme: 37.


Az átlagos cipőméret:

≈++++++

15424139383373362354 ···· 37,3.

Minőségi ismérv:

Színek gyakorisága, relatív gyakorisága:

Kedvenc szín Fehér Fekete Kék Piros Rózsaszín Sárga Zöld Gyakoriság 2 2 1 2 1 5 2 Relatív gyakoriság 0,13 0,13 0,07 0,13 0,07 0,3 0,13 A kedvenc színek módusza, azaz a leggyakrabban előforduló szín: a sárga.

Megjegyzés:

Ha a statisztikai sokaság számokból áll, akkor mind a három középérték meghatározható

(átlag, módusz, medián).

Ha a statisztikai sokaság minősített adatokból áll, és nem rendezhető sorba, akkor csak a

módusz határozható meg.

A statisztikai adatok szemléltetésére különböző grafikonokat, diagramokat használunk. Az áb-

rázolandó adathalmaz jellege határozza meg, hogy milyen típusú diagramot alkalmazunk.

Az oszlopdiagramnál az adatokat, mint téglalapokat jelenítjük meg. A téglalapok magassága

arányos az adat nagyságával (az oszlopok szélessége ugyanakkora, a negatív adatokat szokás

lefelé rajzolni).

A kördiagram segítségével általában a rész és egész arányát ábrázoljuk. A teljes kör

jelképezi a 100%-ot, és az egyes részek arányát ábrázoló körcikkhez tartozó középponti szög

arányos a relatív gyakorisággal.

Mintapélda3 A 12. évfolyam tanulói magyarból próbaérettségit írtak. Minden tanuló egy kódszámot kapott,

amely az 1, 2, 3, 4 és 5 számjegyekből mindegyiket pontosan egyszer tartalmazta valamilyen

sorrendben.

a) Hány tanuló írta meg a dolgozatot, ha az összes képezhető kódszámot mind kiosztották?


b) Az alábbi kördiagram a dolgozatok eredményét szemlélteti:

Adjuk meg, hogy hány tanuló érte el a szereplő érdemjegyeket! A választ foglaljuk táblázatba,

majd a táblázat adatait szemléltessük oszlopdiagramon is!

Megoldás:

a) Képezzük az összes lehetséges kódszámot! A kód első jegyét 5 szám közül, a másodikat

már csak a maradék 4, a harmadikat 3, a negyediket a megmaradt 2 számból választhatjuk ki,

végül az utolsó jegy így már meghatározott.

Az összes kódok száma: 5·4·3·2·1 = 120. Tehát 120 tanuló írta meg a dolgozatot.

b) A 120-at kell felosztani a középponti szögek arányában.

Jegyek 2 3 4 5

Fok 45 o 105 o 150 o 60 o

Fő 15 35 50 20

Készítsük el az oszlopdiagramot!

0

10

20

30

40

50

60

2 3 4 5

érdemjegyek

fő


Feladatok

1. Egy debreceni középiskolában 700 diák tanul öt megyéből. A megyénkénti eloszlást

tartalmazza a táblázat.

Megye Diákok száma

Szabolcs-Szatmár-Bereg 175

Hajdú-Bihar 441

Békés 42

Borsod-Abaúj-Zemplén 28

Jász-Nagykun-Szolnok 14

Összesen: 700

a) Állapítsd meg, hogy az egyes megyékből a tanulók hány százaléka jár a

középiskolába!

b) Ábrázold oszlopdiagramon, hogy megyénként hány fő jár az iskolába! (Ez lesz a

gyakoriság.) A százalékos megoszlást ábrázoljuk kördiagramon! (Ez lesz a relatív

gyakoriság.)

c) Vajon tudnak-e minden vidéki tanulónak kollégiumi férőhelyet biztosítani, ha az

iskola a várostól 318 kollégiumi férőhelyet kapott? Feltételezzük, hogy minden olyan

tanuló kér kollégiumot, aki nem debreceni. A Hajdú-Bihar megyei diákok 70%-a

debreceni.

2. Magyarázd meg, hogyan lehet igaz mindkét újság híre!

Miután értékelted Pesszimista újság és Optimista újság híreit, készítsd el az Objektív

újság grafikonját! A möhönce árának valódi alakulását az alábbi táblázat mutatja:

Év 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Ár (Ft) 1000 1100 1200 1300 1400 1500


3. Egy önkormányzat az alábbi grafikonnal büszkélkedett arról, hogy milyen mértékben

nőtt náluk a szelektív hulladékgyűjtés. Ha nem figyelsz a grafikon függőleges tenge-

lyére, hányszoros növekedést tippeltél volna?


4. Három telefontársaság (Király, Csúcs és Szuper) is harcol egy térségben a piacvezető

címért, ugyanis az emberek ahhoz a társasághoz fordulnak a legszívesebben, amelynél a

legtöbb előfizető van. Az egyik társaság prospektusában a következő diagramot

jelentette meg:

Mire tippelsz, melyik lehet ez a társaság?

A kördiagram az alábbi táblázat alapján készült:

Király Csúcs Szuper Előfizetések száma 300 000 300 000 300 000

Milyen eszközökkel élt a grafikon készítője, hogy a társasága a legsikeresebbnek

látszódjon?

5. A grafikon. a 2005. évi kémia érettségi vizsgán elért pontszámokat mutatja Hány diák

érettségizett kémiából 2005-ben?

Hány pont volt a vizsgadolgozatok átlaga?

Előfizetések aránya az egyes szolgáltatóknál

KirályCsúcsSzuper


6. A grafikon a 2005-ös kémia érettségin a 4040 vizsgázó által elért százalékokat mutatja.

Állapítsd meg az adatsokaság móduszát és mediánját, és értelmezd ezeket a statisztikai

jellemzőket!


II. A szóródás mérőszámai

Mintapélda4

Adott két számsokaság, határozzuk meg ezek móduszát, mediánját és átlagát!

I.: 10, 10, 12, 13, 13, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18.

II.: 6, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 16, 16, 18, 21, 22.

Megoldás:

Mindkét adatsokaságban a leggyakrabban előforduló szám a 16, ez a módusz.

Mindkét adatsokaság számait növekvő sorrendben írtuk fel, és a 15 áll a középső helyen, ez a

medián.

Mindkét sokaság átlaga: ≈13

187 14,38 .

Látjuk, hogy egy sokaság mindhárom középértéke megegyezhet egy tőle különböző soka-

ságéval!

Ha az átlagot tekintjük, kérdés, hogy az átlag mennyire jellemző a sokaságra, vagyis célszerű

megnézni az átlagolandó értékek eltéréseit. az átlagtól.

Egy átlag annál jobban jellemzi a sokaságot, minél kisebbek az eltérések az átlagolandó

értékek és az átlag között. Ha az átlagolandó értékek az átlag körül tömörülnek, akkor azt

mondjuk, hogy a szóródás kicsi, tehát az átlag jól jellemzi a statisztikai sokaságot.

Az átlag érzékeny a sokaság legnagyobb és legkisebb elemére, a medián viszont nem. Ha a

sokaság számokból áll, akkor meghatározható a sokaságnak mind a három középértéke.

Ha a statisztikai sokaság rendezhető adatokból áll, akkor van a sokaságnak módusza és

mediánja is.

Az előzőekben láthattuk, hogy a leggyakrabban használatos középértékek – a módusz, a

medián és az átlag – más-más jellegű információt nyújtanak a sokaságról, de önmagában

egyik sem kielégítő. Gyakran felmerül az a kérdés, hogy egy adott középértéknek mennyire

nagy az egyes elemektől való eltérése. Ennek megadására újabb mérőszámokat kell

bevezetnünk.

A szóródás jellemzésére használt mutatószámok:

– terjedelem,

– átlagos abszolút eltérés,

– átlagos négyzetes eltérés.

Az átlagolandó értékeknek az átlagtól való eltérését szóródásnak nevezzük.


Terjedelem

Mintapélda5

Az alábbi táblázat magyarországi városokban mért csapadék mennyiségét mutatja havi

bontásban. (A csapadék mennyiségét mm-ben mérik.) Ezeknél a városoknál lényegesen eltér

az éves csapadékösszeg, kivéve Szentgotthárdot és Bakonybélt. Az ott élő embereknek mégis

nagyon különböző benyomásuk lehetett az éves időjárásról. Találjunk erre magyarázatot!

I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. IX. X. XI. XII. Év Kecskemét 26 29 32 45 56 55 48 45 46 48 50 37 517Békéscsaba 31 30 35 49 59 69 56 51 44 50 49 40 563Nyíregyháza 29 30 32 44 61 70 64 68 46 51 50 38 583Pécs 41 46 41 58 66 69 64 55 47 64 71 45 667Szentgotthárd 39 36 42 59 76 103 104 95 82 69 62 50 817Bakonybél 46 50 60 68 85 79 83 83 78 72 66 57 827

Megoldás:

Ábrázoljuk a lehullott csapadék mennyiségét ebben a két városban!

A szentgotthárdiak valószínűleg arról panaszkodtak, hogy a tél nagyon száraz, a nyár viszont

igen esős volt. Bakonybélben is több csapadék esett nyáron, mint télen, de a helyzet nem volt

annyira szélsőséges, az adatok terjedelme nem olyan nagy.

Bakonybélben a legtöbb csapadék 85 mm volt, a legszárazabb hónapban 46 mm. A két

szélsőséges csapadékmennyiség közötti eltérés mindössze 39 mm. Ugyanezek az adatok

Szentgotthárdnál: 104 mm, illetve 36 mm, az eltérés pedig 68 mm.

A lehullott csapadék

0

20

40

60

80

100

120

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

hónapok

mm Szentgotthárd

Bakonybél


Mintapéldánkban a minta terjedelme:

Szentgotthárdon: 104 mm – 36 mm = 68 mm

Bakonybélben: 85 mm – 46 mm = 39 mm.

Átlagos abszolút eltérés

Mintapélda6

Egy filmfesztiválon a tízfős zsűri minden tagja minden egyes filmet 1-től 10-ig terjedő

pontszámmal díjazott. A megbeszélésen kiderült, hogy az első helyezést a pontszámok alapján

két film is elnyerheti, mert pontozásuk így alakult:

Összesen

„Szépfilm” 10 3 10 10 10 9 1 2 8 10 73

„Jófilm” 8 8 1 8 7 8 8 7 8 10 73

Egy újságíró utóbb megszerezte ezt az összesítést, és így kommentálta az információt: „A két

film átlagos megítélése a pontszámok alapján azonosnak mondható, de a „Szépfilm” sokkal

inkább megosztotta a zsűrit.

Jellemezzük ezt a megosztottságot egy számadattal!

Egy adatsokaság terjedelme az adatsokaságban előforduló legnagyobb és legkisebb adat közti különbség. Kiszámítási módja: Terjedelem = előforduló legnagyobb érték – előforduló legkisebb érték


Megoldás:

A két filmnek ítélt pontok terjedelme egyaránt

9 pont, tehát ezzel nem jellemezhetjük az adat-

sokaságokat. A pontok átlaga mindkét filmnél 7,3

pont, ezért ez sem alkalmas az összehasonlításra.

Nézzük meg, az egyes pontozók által adott pont-

számok hogyan térnek el az átlagtól:

Látjuk, hogy az eltérések általában a „Szépfilmnél”

nagyobbak. A különbségek átlagát nem érdemes

vennünk, mert az átlag pontosan „arról híres”, hogy

a tőle való eltérések összege nulla. Vegyük inkább

az átlagtól való abszolút eltérések átlagát!

A „Szépfilm”-nél:

18,310

7,27,03,53,67,17,27,27,23,47,2=

+++++++++ .

Ez elég sok, azt jelenti, hogy a pontozók átlagosan 3 ponttal térnek el az átlagos pontszámtól.

Ugyanez a számítás a „Jófilm”-nél egészen más értéket ad:

38110

72703070703070367070 ,,,,,,,,,,,=

+++++++++ .

A szóródás jellemzésére olyan mutatószámot kell keresnünk, amely nemcsak egyes szélső,

kiugró értékeket, hanem minden átlagolandó értéket figyelembe vesz. Ez az érték az átlagos

abszolút eltérés, amit úgy számítunk ki, hogy minden adatnak tekintjük az átlagtól való

eltérésének abszolútértékét, ezeket az eltéréseket összeadjuk, és a kapott összeget

elosztjuk az adatok számával.

„Szépfilm” „Jófilm”

pontszám eltérés az átlagtól pontszám eltérés az

átlagtól

10 2,7 8 0,7 3 -4,3 8 0,7 10 2,7 1 -6,3 10 2,7 8 0,7 10 2,7 7 -0,3 9 1,7 8 0,7 1 -6,3 8 0,7 2 -5,3 7 -0,3 8 0,7 8 0,7 10 2,7 10 2,7

Ezek átlaga: 0

Ezek átlaga: 0

Ha a sokaság elemei a1, a2,…an, akkor a sokaságnak egy A számtól vett átlagos abszolút eltérését az

nAa...AaAa n −++−+− 21 képlettel számíthatjuk ki.

„A” általában az adatsokaság átlaga (számtani közepe).


Az átlagos négyzetes eltérés

Az átlagos abszolút eltérésnél jobban jellemzi a sokaság szerkezetét az átlagos négyzetes

eltérés. Ennek értékét úgy határozhatjuk meg, hogy tekintjük a sokaság minden adatának

eltérését az átlagtól, majd ezeket az eltéréseket egyenként négyzetre emeljük, és a kapott

négyzeteket összeadjuk. Végül ezt a négyzetösszeget osztjuk az adatok számával.

Mintapélda7 Matematikadolgozatot írt 45 tanuló. A dolgozatok érdemjegyeit a javítás sorrendjében

tartalmazza a következő adatsor:

1, 1, 3, 4, 2, 5, 3, 3, 4, 2, 1, 3, 5, 4, 4, 3, 2, 2, 1, 3, 3, 2, 5, 2, 3, 3, 2, 4, 3, 3, 2, 3, 4, 2, 3, 4, 4, 2,

3, 2, 3, 2, 4, 4, 1

Jellemezzük ezt az adatsokaságot!

Megoldás:

A rendezés utáni adatsor:

1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4,

4, 4, 4, 4, 5, 5, 5

Gyakorisági táblázat:

Érdemjegy 1 2 3 4 5 Gyakoriság 5 12 15 10 3

Gyakorisági diagram:

Matematika dolgozatok érdemjegyei

5

12

15

10

3

02468

10121416

1 2 3 4 5

érdemjegyek

dolg

ozat

ok s

zám

a

Átlag: 87245

5341031521215 ,≈⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ . A legtöbben közepes dolgozatot írtak, módu-

sza: 3. Ha megkeressük, hogy melyik szám áll a sorbarendezett osztályzatok közül a 23. he-

lyen, ott a hármast találjuk, tehát a medián: 3.

A statisztikusok leggyakrabban az adatoknak a számtani középtől való úgynevezett négyzetes

közepét számítják ki, s ezzel jellemzik a szóródást. Példánkban ez a következő:


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 087145

8725387241087231587221287215 22222

,,,,,,≈

−⋅+−⋅+−⋅+−⋅+−⋅ .

Az ilyen módon kiszámított szóródási mutatót szórásnak, négyzetét átlagos négyzetes

eltérésnek, szórásnégyzetnek nevezzük.

Feladatok

7. Hasonlítsd össze az 5. mintapéldában az egyes városokban mért csapadékértékeknél a

terjedelmet!

8. Számítsd ki a 4. mintapéldában szereplő mindkét adatsokaságnál

a) az átlagtól való eltérést;

b) az átlagtól való abszolút eltérést!

c) Melyik sokaságot jellemzi jobban az átlaga?

9. Számítsd ki az 5. mintapélda adatai alapján a havi csapadékmennyiségek átlagát, átlagos

abszolút eltérését Kecskeméten, és értelmezd az eredményedet!

10. Számítsd ki az 5. mintapélda adatai alapján a havi csapadékmennyiségek átlagát és

szórását Pécsett!

11. Határozd meg a 4. mintapéldában az I. sokaság szórásnégyzetét és szórását! 12. Egy tanulócsoportban a fiúk és a lányok tanulmányi eredményei matematikából a

következők:

Fiúk: 4, 4, 3, 3, 4, 3, 2, 5.

Lányok: 5, 4, 4, 3, 2, 3, 4, 5, 1, 4 .

Számítsd ki a fiúk és a lányok tanulmányi átlagát, az osztályzatok szóródásának

terjedelmét, az átlagos abszolút eltérést és a szórást!

13. Három számról tudjuk, hogy átlaguk 8, terjedelmük 11, szórásuk pedig 3

62 . Meg

tudod-e mondani, melyik ez a három szám?


Kislexikon Szóródás: az átlagolandó értékeknek az átlagtól való eltérése. Terjedelem: az adatsokaságban előforduló legnagyobb és legkisebb érték különbsége. Átlagos abszolút eltérés: Ha a sokaság elemei a1, a2,…an, akkor a sokaságnak egy A számtól

vett átlagos abszolút eltérését az n

AaAaAa n −++−+− ...21 képlettel számíthatjuk ki.

(A általában az adatsokaság átlaga.) Átlagos négyzetes eltérés, szórásnégyzet: Ha a sokaság elemei a1, a2,…an, akkor a

sokaságnak az A átlagtól vett átlagos négyzetes eltérését az

nAaAaAa n

222

21 )(...)()( −++−+− képlettel számíthatjuk ki.

Szórás: a szórásnégyzet négyzetgyöke.

14. MODULszáMTANi És MÉrTANi KÖzÉp, NEVEzETEs egyenlőtlenségek

Készítette: Vidra Gábor


I. Közepek Sok adat (számsokaság) jellemzői között szerepel a legnagyobb és a legkisebb adat, a minta

terjedelme (a legnagyobb és a legkisebb elem különbsége), a középmennyiségek (különböző

átlagok, közepek) és az adatok középmennyiségek körüli elhelyezkedésére, szétszórtságára

jellemző szórás.

Eddigi tanulmányaink során megismerkedtünk néhány középértékkel a statisztika témakö-

rében:

• Számtani közép vagy átlag:

• Módusz: a számsokaság leggyakoribb adata.

• Medián: páratlan számú adat esetén a rendezett minta középső eleme, páros számú

adat esetén a két középső átlaga.

A számtani közép tehát azonos a köznapi értelemben használt átlag fogalmával. Több szám

esetén a két száméhoz hasonlóan számoljuk ki a számtani közepüket: a számok összegét el-

osztjuk a számok darabszámával:

naaaA n+++

=...21 , ahol a1 , a2 , …, an valós számok.

A számtani közép azonban nem minden esetben jellemzi megfelelően az adatokat. Vizsgáljuk

meg a következő példát.

Mintapélda1

Egy cégnél 8 ember 90 ezer, 1 ember 140 ezer és 1 ember 500 ezer forintot keres havonta.

Mennyi az átlagkereset?

Megoldás:

13600010

500000140000900008=

++⋅ .

a és b valós számok számtani közepe 2

baA += , vagyis két szám át-

lagát (összegük felét) a két szám számtani közepének nevezzük.

14. modul: SZÁMTANI ÉS MÉRTANI KÖZÉP… 219

Ez aligha vigasztalja azokat, akik csak 90 ezer forintot keresnek. Érdemes lenne kiegészíteni a

szórás nagyságával:

( ) ( ) ( ) 24612210

500000136000140000136000900001360008 222

≈−+−+−⋅

=σ .

A szórás nagyságrendje is mutatja az adatok elhelyezkedését. Kiegészíthetjük azzal a meg-

jegyzéssel is, hogy a dolgozók 80%-ának a fizetése az átlagkereset alatt van. Jól szemlélteti a

problémát a keresetekből készített oszlopdiagram is.

Tapasztalataink szerint az átlagot a kiugró adatok elrontják, ezért szükség van további, az

adatsokaságot jellemző, átlag jellegű adatokra (közepekre). Ilyen például a mértani közép.

A medián, módusz, számtani és mértani közép mellett egyéb középértékeket is ismerünk:

• Harmonikus közép (H): 2

111 baH

+= (a, b > 0), az algebrai átalakításokat elvé-

gezveba

abH+

=2 .

A harmonikus közép jól használható például átlagsebesség vagy áramkörökkel kapcsolatos számításoknál.

• Négyzetes közép: 2

22 baN += (a ,b valós számok) A négyzetes közepet olyan

adatok jellemzésére szoktuk használni, amelyek átlaga nulla.

A mértani közép értelmezhető több szám esetén is, de erre most nem térünk ki. A számtani

közepet A-val jelöljük (aritmetikai közép), a mértani közepet G-vel (geometriai közép).

a és b pozitív számok mértani közepe: baG ⋅= , vagyis két pozitív szám

szorzatának négyzetgyökét a két szám mértani közepének nevezzük.


A mértani közép az aranymetszéssel is kapcsolatba

hozható. Egy szakaszt akkor osztunk fel az arany-

metszés szabálya szerint, ha a hosszabb és a rövi-

debb szakasz hosszának aránya ugyanannyi, mint az

egész és a nagyobb szakasz hosszának az aránya:

)(222 xaxaxaxaa

xaxa

+=⇒+=⇒+

= .

Innen ( )xaxa +⋅= , azaz észrevehetjük, hogy a hosszabb szakasz éppen a rövidebb és az

egész szakasz hosszának mértani középarányosa.

Mintapélda2

Számítsuk ki két szám, 2 és 8 számtani és mértani közepét, és ábrázoljuk a közepeket a szám-

egyenesen!

Megoldás:

52

82=

+=A , 41682 ==⋅=G .

Mintapélda3

Adott egy téglalap, amelynek oldalai 24 és 6 egység. Mekkora a vele egyenlő területű négyzet

oldala?

Megoldás:

A téglalap területe: 144246 =⋅=T .

A négyzet területe: 2xT = , 12=x .

Éppen 246 ⋅=x , vagyis a négyzet oldala a téglalap oldalainak mértani közepe.


Mintapélda4

Határozzuk meg azt a két pozitív számot, amelyek számtani közepe 10, mértani közepe 8.

Megoldás:

Jelöljük x és y-nal a keresett számokat!

A számtani közép: 102

=+ yx , innen 20=+ yx .

A mértani közép: 8=⋅ yx , innen 64=⋅ yx .

Ebből adódik a 64200 2 +−= xx másodfokú egyenlet, amelyet megoldva 161 =x és

42 =x . y értékei: 416201 =−=y , 164202 =−=y .

Ellenőrzés után a feladatot a válasz leírásával zárjuk: a keresett számok 4 és 16.

A mértani középpel már többször találkoztunk geometriai problémák

esetében is, például a hasonlóságnál tanultuk a következőket:

• Magasságtétel: a derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó

magasság az átfogót két olyan szeletre bontja, amelyek mértani közepe a magasság.

• Befogótétel: a derékszögű háromszögben a befogó megegyezik az átfogónak és az

adott befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepével.

• Érintő- és szelőszakaszok tétele: egy külső pontból a körhöz húzott érintőszakasz

mértani közép a pontból húzott szelő és a szelőnek a ponttól a körig terjedő darabja

között.

21 ccm ⋅=

1cca ⋅=

21 sse ⋅=


Mintapélda5

Az ABC háromszög BC oldalának C-n túli meghosz-

szabbításán levő D pontra igaz, hogy az ABC szög

egyenlő a CAD szöggel. Bizonyítsuk be, hogy AD

mértani közepe a CD és BD szakaszoknak!

Megoldás:

Először igazoljuk, hogy az ACD háromszög

hasonló a BAD háromszöghöz.

Mindkét háromszög egyik szöge β (ABD, valamint DAC szögek), s mindkét három-

szögnek van egy βα + nagyságú szöge (ACD és BAD szögek).

Felírva a megfelelő oldalak arányát:

ADCD

BDAD

= , amit átrendezve BDCDAD ⋅= , vagyis az állítást igazoltuk.

Feladatok

1. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! (A: számtani közép, G: mértani közép.)

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

a 100 15 12 120

b 125 20 14 208

A 8 168 20 7,5 1 25

G 15 100 16 6 0,6 15

2. Egy busz a menetidejének első harmadát 60 km/h, fennmaradó részét 90 km/h sebes-

séggel tette meg. Mekkora volt az átlagsebessége?

3. Egy autó az út harmadát 60 km/h, kétharmadát 90 km/h sebességgel tette meg. Mekkora

volt az átlagsebessége?

4. Az alábbi feladat Arkhimédész Lemmák c. könyvében

található: fejezd ki a holdkés területét r-rel! (A holdkés

az ókorban használt vágóeszköz volt.)


5. Egy derékszögű háromszögben az átfogót a hozzá tartozó magasság 10 és 16 cm-es da-

rabokra osztja. Mekkora a háromszög területe és befogói?

6. Egy derékszögű háromszögben az átfogót a hozzá tartozó magasság 3 cm és 5 cm nagy-

ságú részekre osztja. Mekkora a háromszög területe és kerülete?

7. Egy derékszögű háromszögben a befogók aránya 1,5. Az átfogóhoz tartozó magasság 10

cm. Mekkora részekre osztja az átfogót a hozzá tartozó magasság?

8. Mekkora a derékszögű háromszög köré írható kör sugara, ha a befogók aránya 3 : 4, és

az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót két olyan szeletre bontja, amelyek különbsége

4 cm?

9. Az ábra jelöléseit felhasználva igazold, hogy zyx ⋅=2 !

10. Egy körhöz egy adott pontból húzunk egy szelőt, és kiszámítjuk a szelőszakaszok

szorzatát. Húzható-e még egy olyan szelő a körhöz, amelyre a szelőszakaszok szorzata

ugyanennyi?

11. Az ABC háromszög A csúcsból kiinduló szögfelezőjének a köré írt körrel alkotott met-

széspontja P, BC oldallal alkotott metszéspontja Q. Mutasd meg, hogy BP mértani kö-

zepe az AP és az QP szakasznak!

12. Bizonyítsd be, hogy a kör PR húrja mértani közepe a P-ből induló átmérőnek, és a

húrnak erre az átmérőre bocsátott merőleges vetületének!

13. Igazold Pitagorasz tételét a befogótételek felhasználásával!

14. Igazold, hogy a körben egy P belső ponton átmenő húrokat P két olyan szakaszra bont-

ja, amelyek mértani közepe minden P-n átmenő húr esetén egyenlő.


II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

Mintapélda6

Számítsuk ki a következő számok számtani és mértani közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen

a számokat és a közepeket! Milyen összefüggést találunk két szám számtani és mértani köze-

pe között?

a) 4 és 25; b) 10 és 40; c) 5 és 16; d) 31 és

514 ; e) 7,2 és 7,2.

Megoldás:

Azt tapasztaltuk, hogy a számtani közép nem kisebb a mértani középnél, és mindkét közép a

két szám által meghatározott intervallumba esik.

a b A G

a) 4 25 14,5 10

b) 10 40 25 20

c) 5 16 10,5 8,94

d) 31

5

14 57,1

3047

≈ 0,97

e) 7,2 7,2 7,2 7,2

Két pozitív szám mértani közepe nem nagyobb, mint a két szám számta-

ni közepe:

2baba +

≤⋅ .

Egyenlőség akkor és csakis akkor áll fenn, ha a két szám egyenlő.

ha a = b


Két pozitív szám (a és b) számtani és mértani közepét ábrán is szemléltethetjük.

Rajzoljuk meg az a+b hosszúságú szakasz Thalész-körét. Az ábra jelöléseivel: 2

bar += , és a

PQR derékszögű háromszögben a magasságtétel szerint bam ⋅= ,

vagyis a kör sugara a és b számtani közepe, az m-mel jelölt szakasz a és b mértani közepe.

Mivel az m hosszúságú szakasz a kör sugaránál nem lehet hosszabb, érvényes az rm ≤

egyenlőtlenség, vagyis 2

baba +≤⋅ . Az egyenlőség akkor teljesül, ha rm = , vagyis a két

szakasz egyenlő hosszú: ba = .

A számtani és a mértani közép közötti összefüggést a gyakorlatban változó mennyiségek

esetén becslésre (egyenlőtlenség felírására) és szélsőérték-feladatok megoldására használ-

juk. Ehhez az kell, hogy vagy az összeg, vagy a szorzat állandó legyen.

Mintapélda7

Bizonyítsuk be, hogy az x

xxf 1)( += (x > 0) függvény 2-nél kisebb értéket nem vesz fel.

Megoldás:

A számtani és a mértani közép közötti összefüggés

szerint: 112

1

=⋅≥+

xxx

x, innen 21

≥+x

x .

Ezt az állítást gyakran így fogalmazzuk meg:

egy pozitív szám és reciprokának összege legalább 2.


Mintapélda8

120 méter hosszú kerítéssel legfeljebb mekkora területű téglalap alakú telket lehet körülkerí-

teni?

Megoldás:

Legyen a és b a két oldal. Ekkor a kerület ( ) 1202 =+ ba , vagyis 60=+ ba . Teljesül

az összeg állandóságának feltétele, ezért becsülhetünk a számtani és mértani közép

közötti összefüggéssel: 900302

≤⋅⇒≤⋅⇒+

≤⋅ babababa .

Tehát legfeljebb 900 m2 területű telket lehet körbekeríteni.

A legnagyobb érték 900, ami 30== ba esetében, vagyis négyzet alakú teleknél le-

hetséges.

Megjegyzés: A feladat megoldható másodfokú függvény szélsőértékének vizsgálatával is. Az

60=+ ba összefüggésből ab −= 60 . A téglalap területe 260 aaabT −== . A teljes négy-

zetet tartalmazó kifejezéssé átalakítást alkalmazva ( ) ( )[ ]=−−−=−−= 9003060 22 aaaT

( ) 90030 2 +−−= a . A másodfokú függvény minimuma az M(30;900) pontban, azaz az

a = 30 m. Tehát a maximális terület 900 m2. Természetesen a = 30 m esetén b = 30 m adódik.

Mintapélda9

Legalább mennyi kerítésre van szükség egy 120 m2-es, téglalap alakú telek körbekerítéséhez?

Megoldás:

Legyen a és b a két oldal hossza. A kerítés hossza a kerület, vagyis 2(a+b). A számtani

és mértani közép közötti összefüggést felírva

KKKbababababa ≤⇒≤⇒≤⋅⇒+≤⋅⇒+

≤⋅ 82,4312044)(242

Tehát legalább körülbelül 44 méter kerítés kell.

Megjegyzés:

1. A kerítés 11120 ≈== ba m oldalhosszú négyzet esetén a legkisebb.

2. Ebben a feladatban a függvényvizsgálat középiskolában nem szereplő matematikai

ismereteket igényel.


Mintapélda10

Mekkora a maximális területe annak a téglalapnak, amelynek kerülete 40 cm? Mekkorák ek-

kor a téglalap oldalai?

Megoldás:

A feladat hasonlít az egyik előző mintapéldára, de most megoldjuk két másik módszerrel

is. Jelölje x és y a két oldalt!

1. megoldás:

x és y pozitív számok, ezért 100102

≤⋅⇒≤⋅⇒+

≤⋅ yxyxyxyx . Tehát

legfeljebb 100 cm2 lehet a terület. Egyenlőség (legnagyobb érték) abban az esetben for-

dul elő, ha 10== yx cm.

Egyéb megoldások:

A kerületből ( ) 402 =+ yx , ahonnan 20=+ yx , xy −= 20 . Ezt a területbe helyette-

sítve ( ) xxxxT 2020 2 +−=−⋅= . A feladat nem más, mint megkeresni, hogy milyen x

esetén lesz a másodfokú kifejezés értéke a legnagyobb. Ez két módszerrel: nevezetes

azonosság vagy függvényvizsgálat felhasználásával is meghatározható.

2. megoldás:

Alakítsuk át a terület képletét úgy, hogy teljes négyzet szerepeljen benne:

( ) ( )[ ] ( )2222 10100100102020 −−=−−−=−−=+−= xxxxxxT . Ez a kifejezés 10=x

esetén veszi fel a legnagyobb értékét, ami 100.

3. megoldás:

Határozzuk meg a kifejezés zérushelyeit, és vázoljuk

fel a másodfokú kifejezéshez tartozó parabolát!

A zérushelyeket a 0202 =+− xx egyenlet megoldá-

sával kapjuk: 0 és 20. A parabola szimmetriája miatt

a legnagyobb értékét a két zérushely között, éppen középen, azaz a 2200+ helyen veszi

fel, vagyis 10=x esetén.

Tehát a maximális terület 100 cm2, és 10 cm oldalú négyzet esetén teljesül.

Megjegyzés: a szélsőérték vizsgálata differenciálszámítással is történhet. Ez az emelt szintű

érettségi anyaga.


Mintapélda11

Szerkessz 8 cm oldalhosszúságú szabályos háromszöget! Mekkorák az oldalai a háromszögbe

írható téglalapok közül annak, amelynek területe a lehető legnagyobb? A kiszámítás után

szerkeszd meg a háromszögbe a kapott téglalapot!

Megoldás:

Jelölje x és y a téglalap oldalait az ábra szerint, a tégla-

lap területe yxT ⋅= , ahol 80 << x . Az ADE derék-

szögű háromszög egyik szöge 60°, ezért

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⇒⋅=

2433 xyAEDE .

( )xxxxxxT −=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅= 8

23

2334

243 2 másod-

fokú kifejezés maximális értékét a két zérushely (0 és 8) számtani közepénél veszi fel,

vagyis 4=x esetén. Ekkor 322443 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=y . A terület: 38=T .

Megszerkesztése könnyű, mert az AB oldal negyedelő pontjait kell megszerkeszteni.

Feladatok

15. Szerkeszd meg a következő hosszúságú szakaszok számtani és mértani közepét!

a) 4 cm és 6 cm; b) 3 cm és 9 cm; c) 5 cm és 8 cm.

16. Egy derékszögű háromszög befogóinak összege 5 cm. Legfeljebb mekkora lehet a te-

rülete, és a legnagyobb terület esetén mekkorák a háromszög oldalai?

17. Egy derékszögű háromszög befogóinak összege 40 cm. Legfeljebb mekkora lehet a

területe, és a legnagyobb terület esetén mekkorák a háromszög oldalai?


18. Egy rakétát függőlegesen felfelé lövünk ki sm400 =v kezdősebességgel. Milyen ma-

gasra repül a rakéta, ha repülési magasságát az 20 2

tgtvy −⋅= képlet alapján határoz-

hatjuk meg (t az indulástól számított idő). Mikorra állítsuk a robbanást meghatározó

időzítőt, ha a pálya legmagasabb pontján kell robbantani? ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ = 2s

m10g .

19. Egy rakétát függőlegesen felfelé lövünk ki sm300 =v kezdősebességgel. Milyen ma-

gasra repül a rakéta, ha repülési magasságát az 20 2

tgtvy −⋅= képlet alapján határoz-

hatjuk meg (t az indulástól számított idő). Mikorra állítsuk a robbanást meghatározó

időzítőt, ha a pálya legmagasabb pontján kell robbantani? ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ = 2s

m10g .

20. Igazoljuk, hogy 0>a esetén fennáll a 1

222

2

+

+≤

aa egyenlőtlenség!

21. Igazoljuk, hogy 0>a esetén fennáll a 2

322

2

+

+≤

a

a egyenlőtlenség!

22. Igazold, hogy pozitív x, y, a és b számok esetén teljesülnek a következő egyenlőtlensé-

gek: a) 2

22 yxyx +≤⋅ ; b)

22 ba

baab +

≤+

; c) 22

22 baba +≤

+ .

23. Határozd meg az x

xxf 5)( += ( )0>x függvény minimális értékét! Milyen x esetén

minimális a függvény értéke?


24. a) Egy 20 cm hosszúságú szakaszt két részre osztunk, és mindkét részre írunk egy

négyzetet. Mekkora részekre kell osztani a szakaszt, hogy a négyzetek területének ösz-

szege a lehető legkisebb legyen?

b) Oldd meg a feladatot általánosan is, amikor a szakasz hossza a egység!

25. Egy 40 cm hosszúságú szakaszt két részre osztunk, és mindkét részre írunk egy szabá-

lyos háromszöget. Mekkora részekre kell osztani a szakaszt, hogy a háromszögek terü-

letének összege a lehető legkisebb legyen? Oldd meg a feladatot általánosan is, amikor

a szakasz hossza a egység!

26. A 600 m2 területű, téglalap alakú telkeknek

a) legalább mekkora lehet az átlója?

b) legalább mekkora lehet a kerülete?

27. 300 méteres kerítéssel 3 oldalról akarunk egy téglalap alakú telket körbe keríteni. Adj

becslést a telek legnagyobb területére!

28. 450 méteres kerítéssel 3 oldalról akarunk egy téglalap alakú telket körbe keríteni. Adj

becslést a telek legnagyobb területére!

29. Mekkorák a szabályos háromszögbe írható maximális területű téglalap oldalai, ha a

háromszög oldala … a) 24 cm; b) a.


Kislexikon

a és b pozitív számok számtani közepe (átlaga) 2

baA += , mértani közepe baG ⋅= .

Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség: két pozitív szám mértani közepe nem

nagyobb, mint számtani közepe. A számtani és a mértani közép akkor és csakis akkor egyen-

lő, ha a két szám egyenlő.

2baab +

≤ .

A számtani és a mértani közép mellett használjuk a következő közepeket is:

• Harmonikus közép (H):

2

111 baH

+= , az algebrai átalakításokat elvégezve

baabH+

=2 .

• Négyzetes közép (N):

2

22 baN += .

Az egyenlőtlenségek közötti kapcsolat: NAGH ≤≤≤ .

MELLÉKLETEK

11.1 táblázat

Melyik lapra esik gyakoriság

1.

2.

3.

4.

5.

6.

11.2 táblázat

Milyen lapra esik gyakoriság

Legnagyobb

Középső méretű

Legkisebb

matematika „a” 10. évfolyam • 11. modul melléklete 1.

11.3 táblázat

n 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750

Annak gyako-risága, hogy n

dobásból a 4-es lapra esik

Relatív gyakoriság

n 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750




n 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750




n 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750




11.4 táblázat

esemény gyakoriság relatív gyakoriság


11.5 táblázat

Esemény Elemi esemény

Dobókockával páros számot dobunk.

Dobókockával páratlan számot dobunk.

Dobókockával prímszámot dobunk.

Dobókockával legalább 3-ast dobunk.

Dobókockával legfeljebb 2-est dobunk.

Dobókockával 4-est dobunk.

Dobókockával páros prímszámot dobunk.

Dobókockával 3-mal osztható számot dobunk.

11.6 táblázat

Esemény Elemi esemény

A = {1, 2, 3, 4}

B = { 4, 5, 6 }

C = { 4, 6 }

D = { 1 }

E = { 1, 4, 6 }

F = { 2, 4, 6 }

G = { 1, 3, 5 }

H = { 2, 3, 5 }


11.7 táblázat

Események Tetraéder Kocka Oktaéder Dodekaéder Ikozaéder

6-os dobásaÖsszetett szám dobásaNem prím-szám dobásaLegalább ötös dobása4-gyel nem osztható páros szám dobásaLegalább 7-est dobunk


kompetencia matematika amat1002 diak mf 2felev

Documents