kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení...
TRANSCRIPT
![Page 1: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/1.jpg)
Kinematika = studium pohybu mechanických těles
bez uvážení sil
![Page 2: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/2.jpg)
Kinematické řetězce
Kinematické dvojice
![Page 3: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/3.jpg)
Kinematické řetězce
Kinematické dvojice
![Page 4: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/4.jpg)
Kinematické řetězce
Kinematické dvojice
![Page 5: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/5.jpg)
Kinematické řetězce
Kinematické dvojice
![Page 6: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/6.jpg)
Kinematické řetězce
Illustation of a 3R manipulator
![Page 7: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/7.jpg)
Kinematické řetězce
Illustration of a spherical wrist kinematics
![Page 8: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/8.jpg)
Stanford arm
![Page 9: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/9.jpg)
Stanford arm
![Page 10: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/10.jpg)
Pohyb tělesa
![Page 11: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/11.jpg)
Geometrické vektory
Aritmetické vektory
11
1
1
1
00
0
0
0
z
y
x
z
y
x
q
q
q
q
q
q
![Page 12: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/12.jpg)
Posuvný pohyb
000 rdp
![Page 13: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/13.jpg)
Posuvný pohyb
(rychlosti)
000 rdp
![Page 14: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/14.jpg)
Rotační pohyb
![Page 15: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/15.jpg)
Rotační pohyb
1z11y11x10z00y00x0 kjikji pppppp
1z11y11x1z0
1z11y11x10z00y00x0
1z11y11x1y0
1z11y11x10z00y00x0
1z11y11x1x0
1z11y11x10z00y00x0
kkjkik
kjikkjik
kjjjij
kjijkjij
kijiii
kjiikjii
000
00
000
00
000
00
)()(
)()(
)()(
pppp
pppppp
pppp
pppppp
pppp
pppppp
![Page 16: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/16.jpg)
Rotační pohyb
1
1
1
010101
010101
010101
0
0
0
z
y
x
z
y
x
p
p
p
p
p
p
kkkjki
jkjjji
ikijii
1010 pRp
1z11y11x1z0
1z11y11x1y0
1z11y11x1x0
kkjkik
kjjjij
kijiii
000
000
000
pppp
pppp
pppp
![Page 17: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/17.jpg)
Rotační pohyb
0101 pRp
0
0
0
101010
101010
101010
1
1
1
z
y
x
z
y
x
p
p
p
p
p
p
kkkjki
jkjjji
ikijii
![Page 18: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/18.jpg)
Rotační pohyb(význam řádků a sloupců)
1
1
1
010101
010101
010101
0
0
0
z
y
x
z
y
x
p
p
p
p
p
p
kkkjki
jkjjji
ikijii
1010 pRp
i10 j10 k10
i01
j01
k01
![Page 19: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/19.jpg)
Rotační pohyb
0101 pRp 1010 pRp
TRR 1
T
T
10011
10
01101
01
0110101101
1001010010
RRR
RRR
ERRpRRp
ERRpRRp
Orthogonální matice
![Page 20: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/20.jpg)
Rotační pohyb
1)det(
1)det()det()det()det()det()det(
1)det()det(
22
R
ERRRRRR
RRRR
ERRRR
TTT
TT
TT
1)det( R Orthogonální matice
SO(3)
![Page 21: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/21.jpg)
Rotační pohyb
1
1
1
010101
010101
010101
0
0
0
z
y
x
z
y
x
p
p
p
p
p
p
kkkjki
jkjjji
ikijii
![Page 22: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/22.jpg)
PříkladRotační pohyb
cossinsincos 001001 jijjii
![Page 23: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/23.jpg)
Příklad
0
cos
sin
0
0
000
0sincos
0cossin
0
0
100
0cossin
0sincos
)()( 1011010
0
l
l
ll
dt
d
tdt
d
dt
dt
pRpRp
v
Rotační pohyb
1iv lω
![Page 24: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/24.jpg)
Sférický pohyb
Euler
![Page 25: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/25.jpg)
Sférický pohyb
nutace
rotace
precese
![Page 26: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/26.jpg)
Roll Pitch Yaw
Sférický pohyb
![Page 27: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/27.jpg)
Sférický pohyb
![Page 28: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/28.jpg)
Existuje 12 kombinací nezávislých trojic rotací kolem souřadných os
1. XYZ
2. XZY
3. YXZ
4. YZX
5. ZXY
6. ZYX
Asymetrické
1. XYX
2. XZX
3. YXY
4. YZY
5. ZXZ
6. ZYZ
Symetrické
Rotace jsou možné kolem lokálních os a kolem globálních os
Celkem je tak možných 24 kombinací
![Page 29: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/29.jpg)
Rotace kolem globálních os
Postupná rotace kvádru kolem os Z (30o) X(30o) Y(90o)
B
o
Z
o
X
o
YG pRRRp )30()30()90(
pozor na pořadí násobení
![Page 30: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/30.jpg)
Transformace z prostoru Eulerových úhlů do prostoru SO(3)
není one to one
)()()()()()( zyzzyz RRRRRR
např. pro symetrickou rotaci ZYZ platí
pro asymetrickou rotaci ZYX platí
)()()()()()( zyzxyz RRRRRR
)()()()()()( zyzxyz RRRRRR
a)
b)
c)
![Page 31: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/31.jpg)
Transformace z prostoru Eulerových úhlů do prostoru SO(3)
není one to one
100
0)cos()sin(
0)sin()cos(
)()()(
zyz RRR
např. pro symetrickou rotaci ZYZ platí při
pro asymetrickou rotaci ZYX platí při
0
2/
001
)sin()cos(0
)cos()sin(0
)()()(
xyz RRR
![Page 32: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/32.jpg)
Obecný pohyb
kompozice posuvného a
sférického pohybu
![Page 33: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/33.jpg)
Homogenní transformace
nástroj kinematiky, (počítačové grafiky,
počítačového vidění ..)
![Page 34: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/34.jpg)
![Page 35: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/35.jpg)
Denavit - Hartenberg
![Page 36: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/36.jpg)
![Page 37: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/37.jpg)
![Page 38: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/38.jpg)
![Page 39: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/39.jpg)
![Page 40: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/40.jpg)
![Page 41: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/41.jpg)
Euler
![Page 42: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/42.jpg)
Y3
Euler
![Page 43: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/43.jpg)
Roll Pitch Yaw
![Page 44: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/44.jpg)
Roll Pitch Yaw
![Page 45: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/45.jpg)
žádaná poloha a
orientace nástroje
žádaná poloha a
orientace
koncového členu
manipulátoru
![Page 46: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/46.jpg)
![Page 47: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/47.jpg)
Řešení inverzní úlohy dekompozicí rameno-zápěstí
pro Eulerovo a RPY zápěstí
![Page 48: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/48.jpg)
10001000
0
0
0
1000
6363
z
y
x
r
z
y
x
r
p
p
p
p
p
p
RRR
z
y
x
z
y
x
p
p
p
qqqp
qqqp
qqqp
),,(
),,(
),,(
321
321
321
Kloubové souřadnice
ramene
![Page 49: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/49.jpg)
![Page 50: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/50.jpg)
11*10*1
1*
11
6666
0
nR
L00E
pLRp0ER
0
LE
0
pR rrrr
10001000
0
0
1000
66
z
yr
x
z
yr
x
n
n
n
lp
p
p
RER
![Page 51: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/51.jpg)
111
66
0
nR
0
LE
0
pR rr
1
0
0
1
11
11
111
66
66
6
6
1
66
0
RR
0
nLRR
0
LE
0
nR
0
LEE
0
nR
0
LE
0
nR
0
pR
z
y
x
rr
rr
r
TTr
rr
n
n
n
l
![Page 52: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/52.jpg)
10001000
0
0
0
1000
6363
z
y
x
r
z
y
x
r
p
p
p
p
p
p
RRR
)
),tan(
),tan(
2223
222
1
zyx
zyx
yx
pppq
pppAq
ppAq
![Page 53: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/53.jpg)
)
),tan(
),tan(
2223
222
1
zyx
zyx
yx
pppq
pppAq
ppAq
zzz
yyy
xxx
aon
aon
aon
csscs
ssccscsscccs
sccssccssccc
36R
![Page 54: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/54.jpg)
00 ayax
))1,Atan(
nebo
))1,Atan(
2
2
zz
zz
aa
aa
0sin
0sin
zzz
yyy
xxx
aon
aon
aon
csscs
ssccscsscccs
sccssccssccc
36R
pozn. Atan(x,y)……Atan(cos,sin)
Atan2(y,x)…..Atan2(sin,cos)
![Page 55: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/55.jpg)
0sin
0sin
),Atan(
),Atan(
zz
yx
on
aa
),Atan(
),Atan(
zz
yx
on
aa
zzz
yyy
xxx
aon
aon
aon
csscs
ssccscsscccs
sccssccssccc
36R
![Page 56: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/56.jpg)
00 ayax
1
0
0
00
0)()(
0)()(
00
zz
yy
xx
on
on
on
c
cs
sc
c
ssccscsscccs
sccssccssccc
o180;0;1cos;0sin
zzz
yyy
xxx
aon
aon
aon
csscs
ssccscsscccs
sccssccssccc
36R
![Page 57: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/57.jpg)
1
0
0
100
0)()(
0)()(
00
0
0
zz
yy
xx
on
on
on
cs
sc
c
ccscsccccs
cssccssccc
),-Atan( yx nn
-1
![Page 58: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/58.jpg)
Orientace Yaw Pitch Roll
![Page 59: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/59.jpg)
ΦfiiΘthΨpsi
Rz=[cos(psi) -sin(psi) 0
sin(psi) cos(psi) 0
0 0 1]
Orientace Yaw Pitch Roll
Ry=[cos(th) 0 sin(th)
0 1 0
-sin(th) 0 cos(th)]
Rx=[1 0 0
0 cos(fii) -sin(fii)
0 sin(fii) cos(fii)]
Ror=Rz*Ry*Rx
=
[c(psi)*c(th), -s(psi)*c(fii)+c(psi)*s(th)*s(fii), s(psi)*s(fii)+c(psi)*s(th)*c(fii)]
[ s(psi)*c(th), c(psi)*c(fii)+s(psi)*s(th)*s(fii), -c(psi)*s(fii)+s(psi)*s(th)*c(fii)]
[ -s(th), c(th)*s(fii), c(th)*c(fii) ]
![Page 60: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/60.jpg)
ΦfiiΘthΨpsi
Orientace Yaw Pitch Roll
0.9254 0.0180 0.3785
Ror = 0.1632 0.8826 -0.4410
-0.3420 0.4698 0.8138
inverze s kladným znaménkem cos(Θ)
th=atan2(-Ror(3,1),sqrt(1-Ror(3,1)^2)) = 20o
psi=atan2(Ror(2,1),Ror(1,1)) = 10o
fii=atan2(Ror(3,2),Ror(3,3)) = 30oa)
![Page 61: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/61.jpg)
ΦfiiΘthΨpsi
Orientace Yaw Pitch Roll
inverze se záporným znaménkem cos(Θ)
th=atan2(-Ror(3,1),-sqrt(1-Ror(3,1)^2)) = 160o
psi=atan2(-Ror(2,1),-Ror(1,1)) = -170o
fii=atan2(-Ror(3,2),-Ror(3,3)) = -150o
0.9254 0.0180 0.3785
Ror = 0.1632 0.8826 -0.4410
-0.3420 0.4698 0.8138
c)
![Page 62: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/62.jpg)
ΦfiiΘthΨpsi
Orientace Yaw Pitch Roll
0.9254 0.0180 0.3785
Ror = 0.1632 0.8826 -0.4410
-0.3420 0.4698 0.8138
b)
Numerický výpočet případu b)
psi=190/180*pi;
the=160/180*pi;
fii=-150/180*pi;
R321 =
0.9254 0.0180 0.3785
0.1632 0.8826 -0.4410
-0.3420 0.4698 0.8138
R1z=[cos(psi) -sin(psi) 0;
sin(psi) cos(psi) 0;
0 0 1];
R2y=[cos(the) 0 sin(the);
0 1 0;
-sin(the) 0 cos(the)];
R3x=[1 0 0; 0 cos(fii) -sin(fii) ;
0 sin(fii) cos(fii)];
R321=R1z*R2y*R3x
![Page 63: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/63.jpg)
![Page 64: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/64.jpg)
Kinematika úhlových rychlostí
0z0y0x qqq kjiq
0
0
0
)(0
xy
xz
yz
qS
)()( 00 qSS q
polosymetrická
matice
![Page 65: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/65.jpg)
Kinematika úhlových rychlostí
bac
bac )(S
Vyjádření
vektorového součinu
pomocí PSM
111
000
)(
)(
baSc
baSc
pozor na bázi
![Page 66: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/66.jpg)
Kinematika úhlových rychlostí
001101
1101
101
000
)(
)(
)(
bRaSR
baSR
cR
baSc
T
101001
0001
001
111
)(
)(
)(
bRaSR
baSR
cR
baSc
T
T
T
010011
011010
)()(
)()(
RaSRaS
RaSRaS
T
T
![Page 67: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/67.jpg)
Kinematika úhlových rychlostí
Předpokládejme nyní, že soustava 1 koná vzhledem k soustavě 0 sférický
pohyb charakterizovaný vektorem otáčivé rychlosti ω. Je-li v soustavě 1
pevný bod jehož poloha je charakterizována vektorem p je posuvná rychlost
tohoto bodu dána vektorovým součinem pωv
1010
1010000 )()( pRp
pRωSpωSvdt
d
dt
d
)(
)()(
101
010110101001
ωSR
RRωSRRωSR
T
dt
d
![Page 68: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/68.jpg)
Kinematika úhlových rychlostí
Předpokládejme nyní, že máme 3 soustavy očíslované indexy 0,1,2.
Soustava 0 je pevná. Soustava 1 koná vzhledem k soustavě 0 sférický
pohyb charakterizovaný vektorem otáčivé rychlosti ω1. Soustava 2 koná
vzhledem k soustavě 1 sférický pohyb charakterizovaný vektorem
otáčivé rychlosti ω2. Zajímá nás vyjádření otáčivé rychlosti ωc celkového
sférického pohybu který vykonává soustava 2 vzhledem k soustavě 0.
120102 RRR
dt
d
dt
d
dt
d 120112
0102 RRR
RR
![Page 69: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/69.jpg)
Kinematika úhlových rychlostí
120102 RRR
dt
d
dt
d
dt
d 120112
0102 RRR
RR
02200210
1201200210
12010121010210
122101120110020
)()(
)()(
)()(
)()()(
RωSRωS
RRωSRωS
RRRωSRRωS
RωSRRRωSRωS
T
c
)()()( 20100 ωSωSωS c
20100 ωωω c
![Page 70: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/70.jpg)
Kinematika úhlových rychlostí
)()()( 20100 ωSωSωS c
20100 ωωω c
1,1,032022101100
0,3020100
...
...
nnnc
nc
ωRωRωRωω
ωωωωω
umožňuje efektivní výpočet kinetické
energie soustavy
![Page 71: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/71.jpg)
Eulerovy kinematické rovnice YPR(úhlové rychlosti v základní soustavě)
ri a0 jk
00000 ra ijkω
0
0
1
)()(
0
1
0
)(
1
0
0
0 yzz RRRω
![Page 72: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/72.jpg)
0
0
1
)()(
0
1
0
)(
1
0
0
0 yzz RRRω
psid*[0 0 1]'+thd*Rz*[0 1 0]'+fiid*Rz*Ry*[1 0 0] '
ans =
[ -thd*sin(psi)+fiid*cos(psi)*cos(th)]
[ thd*cos(psi)+fiid*sin(psi)*cos(th)]
[ psid-fiid*sin(th)]
[ wx0]
[ wy0]
[ wz0]
Eulerovy kinematické rovnice YPR(úhlové rychlosti v základní soustavě)
![Page 73: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/73.jpg)
[wx0]=[ -thd*sin(psi)+fiid*cos(psi)*cos(th)]
[wy0]=[ thd*cos(psi)+fiid*sin(psi)*cos(th)]
[wz0]=[ psid-fiid*sin(th) ]
Eulerovy kinematické rovnice YPR(úhlové rychlosti v základní soustavě)
)sin(01
)cos()sin()cos(0
)cos()cos()sin(0
0
0
0
z
y
x
Jacobian
![Page 74: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/74.jpg)
Eulerovy kinematické rovnice YPR(úhlové rychlosti v základní soustavě)
3
)sin(01
)cos()sin()cos(0
)cos()cos()sin(0
)(
rankJrank
opro 90
2
)sin(01
0)cos(0
0)sin(0
)(
rankJrank
opro 90
!!!!!!
![Page 75: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/75.jpg)
Eulerovy kinematické rovnice YPR(úhlové rychlosti v základní soustavě)
syms wx0 wy0 wz0 psi th fii real
%vypocet rychlosti uhlu RPY z uhlovych rychlosti otaceni v zemske soustave
W0=[wx0 wy0 wz0]'
J=[0 -sin(psi) cos(psi)*cos(th);
0 cos(psi) sin(psi)*cos(th);
1 0 -sin(th)]
EU=inv(J)*W0 %eulerovy uhly [psi th fii]
% ans =
[ (cos(psi)*sin(th)*wx0+sin(psi)*sin(th)*wy0+wz0*cos(th))/cos(th)]
[ -sin(psi)*wx0+cos(psi)*wy0 ]
[ (cos(psi)*wx0+sin(psi)*wy0)/cos(th) ]
Nechtˇ je letadlo v poloze psi=fii=0 a th≈90o. Nyní otáčíme letadlo pouze kolem
zemské osy X0 rychlostí wx0. Pak se Euler. úhly psii a fii mění velmi rychle.
![Page 76: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/76.jpg)
ri a0 jk
rrarrr ijkω 0
0
0
1
0
1
0
)(
1
0
0
)()(11
xxyr RRRω
Eulerovy kinematické rovnice YPR(úhlové rychlosti v soustavě robota)
![Page 77: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/77.jpg)
0
0
1
0
1
0
)(
1
0
0
)()(11
xxyr RRRω
psid*inv(Ry*Rx)*[0 0 1]'+thd*inv(Rx)*[0 1 0]'+fiid*[1 0 0]'
ans =
[ -psid*sin(th)+fiid]
[ psid*cos(th)*sin(fii)+thd*cos(fii)]
[ -thd*sin(fii)+psid*cos(th)*cos(fii)]
Eulerovy kinematické rovnice YPR(úhlové rychlosti v soustavě robota)
![Page 78: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/78.jpg)
[wxr]=[ -psid*sin(th)+fiid ]
[wyr]=[ psid*cos(th)*sin(fii)+thd*cos(fii) ]
[wzr]=[ -thd*sin(fii)+psid*cos(th)*cos(fii) ]
Eulerovy kinematické rovnice YPR(úhlové rychlosti v soustavě robota)
![Page 79: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/79.jpg)
Eulerovy kinematické rovnice YPR(výpočet rychlosti Euler úhlů z údajů „gyroskopů“)
bAx
A=[-sin(th) 0 1;
cos(th)*sin(fii) cos(fii) 0;
cos(th)*cos(fii) -sin(fii) 0]
x = [psid thd fiid]’
b = [wx wy wz]'
x = inv(A)*b
x =
[ (sin(fii)*wy+wz*cos(fii))/cos(th)]
[ cos(fii)*wy-sin(fii)*wz]
[ (wx*cos(th)+sin(th)*sin(fii)*wy+sin(th)*cos(fii)*wz)/cos(th)]
rychlost E
úhlů
údaje
gyroskopů
viz předchozí
slide
![Page 80: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/80.jpg)
Eulerovy kinematické rovnice YPR(výpočet rychlosti Euler úhlů z údajů „gyroskopů“)
x = [psid thd fiid]’
x =
[ (sin(fii)*wy+wz*cos(fii))/cos(th) ]
[ cos(fii)*wy-sin(fii)*wz ]
[ (wx*cos(th)+sin(th)*sin(fii)*wy+sin(th)*cos(fii)*wz)/cos(th)]
cos
cossinsinsincos
sincos
cos
cossin
zyx
zy
zy
![Page 81: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/81.jpg)
Gimbal lock
![Page 82: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/82.jpg)
Gimbal lock
![Page 83: Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení silrobotika/prednasky/2014_Kinematika.pdf · Kinematika = studium pohybu mechanických těles bez uvážení sil. Kinematické](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050512/5f9c9c9cf2be5f1d2c16b28c/html5/thumbnails/83.jpg)