CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

I. LÝ THUYẾT

1) Quy tắc xác định cực trịQuy tắc 1

Nếu đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua thì đạt cực đại tại ;

Nếu đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua thì đạt cực tiểu tại .

Quy tắc 2:

đạt cực đại tại ;

đạt cực tiểu tại .

2) Các bước xác định cực trị:

B0: Tìm TXĐ

B1: Tính đạo hàm

B2: Cho đạo hàm bằng 0. Giải ra nghiệm.

B3: Xét dấu đạo hàm hoặc lập BBT để kết luận cực đại, cực tiểu.

II. VÍ DỤ

Ví dụ 1. Sử dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số .

Giải.

* TXĐ = R

* Đạo hàm: , hoặc .

Bảng biến thiên:

+∞

-∞

f x( )

f ' x( ) ++ _ 00

-23

3

3

+∞3-1-∞x

Kết luận:

Hàm số đạt cực đại tại , giá trị

cực đại tương ứng là ;

Hàm số đạt cực tiểu tại , giá trị

cực tiểu tương ứng là .

Hoàn toàn tương tự như xét sự biến thiên

Ví dụ 2. Sử dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số .

Giải.

* TXĐ D = R. Ta có

* Đạo hàm ( ).

BBT

+∞

-∞

y

y' ++ _0

0

1

+∞0-1-∞x

Kết luận:

Hàm số đạt cực đại tại , giá trị cực

đại tương ứng là

Hàm số đạt cực tiểu tại , giá trị cực

tiểu tương ứng là .

Ví dụ 3. Sử dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số .

Giải.

* TXĐ D = R.

* Đạo hàm: , hoặc .

* Đạo hàm cấp 2: ,

hàm số đạt cực đại tại , giá trị cực đại tương ứng là

;

hàm số đạt cực tiểu tại , giá trị cực tiểu tương ứng là .

TÌM m ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ

I. VÍ DỤ

Ví dụ 1. Tìm để hàm số có cực đại, cực tiểu.

Giải.

Ta có .

có cực đại, cực tiểu thì y’ phải có 2 nghiệm phân biệt.

. (1)

Khi đó là tam thức bậc hai có . có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi

. (2)

Kết hợp với và ta có những giá trị của thỏa mãn yêu cầu bài toán là

.

Ví dụ 2. [ĐHD12] Tìm để hàm số có hai điểm cực trị ,

sao cho .

Giải. Ta có

,

là tam thức bậc hai có . Do đó hàm số có hai điểm cực trị

khi và chỉ khi

có hai nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt

. (1)

, là các nghiệm của nên theo định lý Vi-ét, ta có .

Do đó

.

Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 3. [ĐHB07] Tìm để hàm số có cực đại, cực tiểu và

các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ .Giải. Ta có

,

là tam thức bậc hai có . Do đó: có cực đại cực tiểu có

hai nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt . (1)

Khi đó có các nghiệm là: tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là

và . Ta có

;

.

và cách đều gốc tọa độ khi và chỉ khi

.

Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 4. [ĐHB12] Tìm để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và sao cho tam giác có diện tích bằng .Giải. Ta có

, .

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi . (1)

Khi đó, các điểm cực trị của đồ thị hàm số là , . Ta có:

. (2)

Ta thấy . (3)

Từ (2) và (3) suy ra .

Do đó: (thỏa mãn (1)).Ví dụ 5. Xác định tọa độ các điểm cực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực

trị của đồ thị hàm số .

Giải. Ta có

.

Vì có nên có hai nghiệm phân biệt, suy ra có hai nghiệm

phân biệt. Do đó có hai điểm cực trị. Ta thấy các nghiệm của là

. đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua nên là điểm cực đại, đổi dấu từ âm sang

dương khi đi qua nên là điểm cực đại.

Thực hiện phép chia cho ta được

.

Suy ra:

(vì )

tọa độ điểm cực đại của là .

Tương tự, tọa độ điểm cực tiểu của là .

Ta thấy tọa độ các điểm cực trị của cùng thỏa mãn phương trình nên phương

trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số là .

Nhận xét. Trong ví dụ trên thay vì chia cho , ta thực hiện phép chia cho đơn giản

hơn mà vẫn đạt được mục đích của phương pháp. Sở dĩ có thể làm được như thế là vì và

có cùng tập nghiệm.

Ví dụ 6. [ĐHA02] Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

.

Giải. Ta có

.

Tam thức bậc hai có nên có hai nghiệm phân biệt và đổi

dấu tiên tiếp khi đi qua hai nghiệm này. Do đó hàm đã cho có cực đại, cực tiểu.

Thực hiện phép chia cho ta có . Giả sử là điểm cực trị

nào đó của hàm số, ta có

(do ).

Vậy phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số là .

Nhận xét. Trong ví dụ này, ta có thể tính được tọa độ các điểm cực trị một cách dể dàng. Do đó, có thể áp dụng phương trình đường

A. Bài tập

Bài 1. Cho . Tìm để các hàm số có cực trị và các điểm cực trị

đều âm.

Bài 2. Cho .

1) Chứng tỏ rằng với mọi , luôn có các điểm cực đại, cực tiểu. Gọi , là hoành độ

các điểm cực trị của , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

2) Tìm để các điểm cực đại, cực tiểu của cách đều trục tung.

Bài 3. Cho .

1) Tìm để hàm số có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu.

2) Tìm để có các điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng bằng .

Bài 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số

1) ;

2) ;

3) .Bài 5. Tìm để các hàm số sau đây có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số

1) ;

2) .

Bài 6. Tìm để đồ thị hàm số

1) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm và đường thẳng đi qua

các điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng ;

2) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng

;

3) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực đại,

cực tiểu vuông góc với đường thẳng ;

4) có các điểm cực đại cực tiểu sao cho các điểm cực đại

cực tiểu và điểm thẳng hang;

5) có các điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng

;

6) có các điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng

.

B. Đáp số

Bài 1 . Bài 2 1) , đạt được ; 2) . Bài 3 1)

; 2) . Bài 4 Error: Reference source not found ; Error: Reference source

not found ; Error: Reference source not found . Bài 5 Error:

Reference source not found Hàm số có cực đại, cực tiểu , phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là . Error: Reference source not found

Hàm số có cực đại, cực tiểu , phương trình đường thẳng đi qua các

điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là .

Bài 6 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) vô nghiệm.

§3. Cực trị của hàm bậc bốn trùng phương

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Xét hàm ( ). Ta có .

Trường hợp 1: . Khi đó vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất có

nghiệm duy nhất và đổi dấu đúng một lần khi đi qua chỉ có một cực trị.

Trường hợp 2: . Khi đó có hai nghiệm phân biệt khác có ba nghiệm

và đổi dấu liên tiếp khi đi qua ba nghiệm này ba cực trị.

2. Một số kết quả cụ thể:

có một cực trị ;

có ba cực trị ;

có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu ;

có đúng một cực trị và cực trị là cực đại ;

có hai cực tiểu và một cực đại ;

có một cực tiểu và hai cực đại .

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. [ĐHB02] Tìm m để hàm số có điểm cực trị.

Giải. Để hàm số có ba điểm cực trị thì trước hết hàm số phải là hàm bậc , tức là . Ta có

.

Hàm số có điểm cực trị khi và chỉ khi

có nghiệm phân biệt có nghiệm phân biệt khác

.

Ví dụ 2. Tìm để hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.

Giải. Ta xét hai trường hợp sau đây:

. Khi đó hàm số chỉ có cực tiểu ( ) mà

không có cực đại thỏa mãn yêu cầu bài toán.

. Khi đó hàm số đã cho là hàm bậc có

.

Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại có đúng một nghiệm và đổi dấu từ âm sang

dương khi đi qua nghiệm này .

Kết hợp những giá trị tìm được, ta có .

Ví dụ 3. [ĐHB11] Cho hàm số . Tìm để đồ thị hàm số có ba điểm

cực trị , , sao cho ; trong đó là gốc tọa độ, là điểm cực trị thuộc trục tung, và là hai điểm cực trị còn lại.

Giải. Ta có

.

Hàm số có điểm cực trị khi và chỉ khi

có nghiệm phân biệt có nghiệm phân biệt khác

.

Khi đó, ta có

,

(vai trò của , trong bài toán là như nhau nên cung có thể giả sử

, ).

Ta có

; .

Do đó

( ) (thỏa mãn ).

Vậy .

Ví dụ 4. [ĐHA12] Tìm để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo

thành ba đỉnh của một tam giác vuông.

Giải. Ta có

.

Đồ thị hàm số có điểm cực trị khi và chỉ khi

có nghiệm phân biệt có nghiệm phân biệt khác

.

Khi đó, ta có

.

Suy ra các điểm cực trị của đồ thị hàm số là

, , .

Ta thấy , và đối xứng nhau qua nên tam giác cân tại . Do đó tam giác chỉ có thể vuông tại .

Ta có

, .

Tam giác vuông khi và chỉ khi

, kết hợp với điều kiện ta có .

C. Bài tập

Bài 1. Tìm để hàm số chỉ có đúng một cực trị.

Bài 2. Cho hàm số ( là tham số). Tìm để

1) Đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác vuông.

2) Đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều.

3) Đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác có diện tích bằng đơn vị diện tích.

Bài 3. [DHA04] Cho hàm số . Tìm để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng

thời các điểm cực đại và cực tiểu của lập thành một tam giác vuông cân.

Bài 4. Cho hàm số . Tìm để đồ thị hàm số có các điểm cực đại,

cực tiểu , , sao cho ba điểm này cùng với cùng thuộc một đường tròn.

D. Đáp số

Bài 1 . Bài 2 1) ; 2) ; 3) . Bài 3 . Bài 4 .