cuc tri ham nhieu bien
TRANSCRIPT
![Page 1: Cuc Tri Ham Nhieu Bien](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081504/5571f3a849795947648e64b6/html5/thumbnails/1.jpg)
I. Cực trị hàm nhiều biến:
1. Định nghĩa:
Cực trị địa phương: Cho f(x,y) xác định trên D là tập mở chứa . Ta nói:
là điểm cực tiểu địa phương của f nếu
là điểm thấp nhất của f trong một lân cận nào đó của , nghĩa là
là điểm cực đại địa phương của f nếu
là điểm cao nhất của f trong một lân cận nào đó của , nghĩa là
![Page 2: Cuc Tri Ham Nhieu Bien](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081504/5571f3a849795947648e64b6/html5/thumbnails/2.jpg)
2. Cực trị toàn cục (Giá trị lớn nhất –Giá trị nhỏ nhất):
là điểm cực tiểu toàn cục của f trên D nếu
là điểm thấp nhất của f trên D, nghĩa là :
là điểm cực đại toàn cục của f trên D nếu
là điểm cao nhất của f trên D, nghĩa là :
2. Điều kiện cần: Nếu f có các đạo hàm riêng tại và f đạt cực trị địa phương tại thì
![Page 3: Cuc Tri Ham Nhieu Bien](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081504/5571f3a849795947648e64b6/html5/thumbnails/3.jpg)
Các điểm thỏa hệ phương trình (*) được gọi là điểm dừng của f.
3. Điều kiện đủ :
1. Dạng toàn phương:
Biểu thức được gọi là một dạng toàn phương của x,y .
Biểu thức
được gọi là một dạng toàn phương của x,y,z
![Page 4: Cuc Tri Ham Nhieu Bien](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081504/5571f3a849795947648e64b6/html5/thumbnails/4.jpg)
Định nghĩa tổng quát cho n biến: Một dạng toàn phương n
biến là biểu thức có dạng
Với dạng toàn phương , ta có ma trận
được gọi là ma trận của dạng toàn phương
và được gọi là nhân tử cấp k của dạng toàn
phương.
Dạng toàn phương được gọi là xác định dương
nếu
![Page 5: Cuc Tri Ham Nhieu Bien](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081504/5571f3a849795947648e64b6/html5/thumbnails/5.jpg)
Dạng toàn phương được gọi là xác định âm nếu
Dạng toàn phương xác định âm hay xác định dương được gọi là xác định dấu.
Nếu f có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong lân cận của thì vi phân cấp 2 của f là một dạng toàn phương theo
.
2. Định lý : Nếu f có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong một lân cận của khi đó
![Page 6: Cuc Tri Ham Nhieu Bien](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081504/5571f3a849795947648e64b6/html5/thumbnails/6.jpg)
Nếu là dạng toàn phương xác định
dương thì là điểm cực tiểu địa phương của f. Điều này tương đương với :
Tất cả Hk đều dương >>>>cực tiểu địa phương
Nếu là dạng toàn phương xác định
âm thì là điểm cực đại địa phương của f.
![Page 7: Cuc Tri Ham Nhieu Bien](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081504/5571f3a849795947648e64b6/html5/thumbnails/7.jpg)
Điều này tương đương với
4. Các ví dụ:
1.
Đạo hàm riêng : 3x²+3y²-15, 6xy-12
Điểm dừng : {[x=-1,y=-2],[x=1,y=2],[x=-2,y=-1],[x=2,y=1]}
Ma trận Hess
![Page 8: Cuc Tri Ham Nhieu Bien](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081504/5571f3a849795947648e64b6/html5/thumbnails/8.jpg)
Tại (2,1)?
Tại (-2,-1)?
Giá trị hàm số là {-28,-26,26,28}
2.
Điểm dừng M0(0,0) . Ma trận Hesse:
Tại M0 thì
3. ,
Điểm dừng: ,
![Page 9: Cuc Tri Ham Nhieu Bien](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081504/5571f3a849795947648e64b6/html5/thumbnails/9.jpg)
Ma trận Hess :
4. Điểm dừng {[x=1,y=0]}, ma trận Hess
?????
Tính vi phân cấp 2:
(điểm yên ngựa)
![Page 10: Cuc Tri Ham Nhieu Bien](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081504/5571f3a849795947648e64b6/html5/thumbnails/10.jpg)
II. Cực trị có điều kiện:
Định nghĩa: Cực trị của hàm với ràng buộc
được gọi là cực trị có điều kiện của f.
1. Phương pháp: Xét hàm Lagrange
Ta có:
được gọi là nhân tử Lagrange.
![Page 11: Cuc Tri Ham Nhieu Bien](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081504/5571f3a849795947648e64b6/html5/thumbnails/11.jpg)
Nếu là cực đại (cực tiểu ) của L thì
là cực đại (cực tiểu ) của f với điều kiện
Điểm dừng : giải hệ
Tính và xét dấu .
Điều này dẫn đến xét ma trận Hesse biên tại điểm dừng:
![Page 12: Cuc Tri Ham Nhieu Bien](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081504/5571f3a849795947648e64b6/html5/thumbnails/12.jpg)
Tính các nhân tử Hesse biên.
Nếu thì f đạt cực
tiểu tại với điều kiện
![Page 13: Cuc Tri Ham Nhieu Bien](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081504/5571f3a849795947648e64b6/html5/thumbnails/13.jpg)
Nếu thì f đạt cực đại tại với điều
kiện
Trường hợp :
Trường hợp :
Các ví dụ:
VD1: Tìm cực trị có điều kiện của với điều kiện
Hàm Lagrange:
Điểm dừng: {[x=-(4/5),y=-(3/5),λ=(5/2)], [x=(4/5),y=(3/5),λ=-(5/2)]}
![Page 14: Cuc Tri Ham Nhieu Bien](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081504/5571f3a849795947648e64b6/html5/thumbnails/14.jpg)
Ma trận Hesse biên :
Tính
Tại [x=-(4/5),y=-(3/5),λ=(5/2)]…..????
Tại [x=(4/5),y=(3/5),λ=-(5/2)]…..???
VD2: Tìm cực trị có điều kiện của với điều
kiện
![Page 15: Cuc Tri Ham Nhieu Bien](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081504/5571f3a849795947648e64b6/html5/thumbnails/15.jpg)
Hàm Lagrange:
Điểm dừng
[x=-1,y=1,z=1,λ=-1], [x=1,y=-1,z=1,λ=-1],
[x=1,y=1,z=-1,λ=-1], [x=3,y=3,z=3,λ=-9]
Ma trận Hesse:
Cực trị toàn cục:
2. Hàm lồi, lõm toàn cục: Cho là hàm số xác định trên D là một tập lồi. Ta nói
là hàm lồi ngặt toàn cục trên D nếu
![Page 16: Cuc Tri Ham Nhieu Bien](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081504/5571f3a849795947648e64b6/html5/thumbnails/16.jpg)
là hàm lõm ngặt toàn cục trên D nếu
Định lý:
Nếu thì f lồi ngặt toàn cục trên D.
Nếu thì f lõm ngặt toàn cục trên D.
Trường hợp hàm 1 biến:
a. f lồi ngặt toàn cục
b. . f lõm ngặt toàn cục
Trường hợp hàm n biến: Xét ma trận Hesse tại điểm M bất kỳ trong D.
![Page 17: Cuc Tri Ham Nhieu Bien](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081504/5571f3a849795947648e64b6/html5/thumbnails/17.jpg)
a. f lồi ngặt toàn cục trên D
b. f lõm ngặt toàn cục trên D.
3. Điều kiện đạt cực trị toàn cục:
Nếu là điểm dừng của f (nghĩa là ) . Khi đó:
Nếu f lồi ngặt toàn cục trên D thì f đạt cực tiểu toàn cục trên D tại
![Page 18: Cuc Tri Ham Nhieu Bien](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081504/5571f3a849795947648e64b6/html5/thumbnails/18.jpg)
Nếu f lõm ngặt toàn cục trên D thì f đạt cực đại toàn cục trên D tại
![Page 19: Cuc Tri Ham Nhieu Bien](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081504/5571f3a849795947648e64b6/html5/thumbnails/19.jpg)
4. Tóm tắt:
Hàm một biến Hàm nhiều biến
Đk cấp 1:
Điều kiện cấp 2:
Xét đạo hàm cấp hai:
f đạt cực tiểu toàn cục tại
f đạt cực đại toàn cục
Điểu kiện cấp 2: Xét ma trận Hesse tổng quát (tại điểm M bất kỳ trong D)
f đạt cực tiểu toàn cục tại
f đạt cực đại toàn cục tại
![Page 20: Cuc Tri Ham Nhieu Bien](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081504/5571f3a849795947648e64b6/html5/thumbnails/20.jpg)
tại
là cực đại toàn cục
của f với đk
là cực tiểu toàn cục
của f với đk
Trường hợp cực trị có điều kiện:
Xét hàm Lagrange
Tìm điểm dừng
Xét ma trận Hesse biên tại điểm
![Page 21: Cuc Tri Ham Nhieu Bien](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081504/5571f3a849795947648e64b6/html5/thumbnails/21.jpg)
bất kỳ