1

Marika Toivola ja Tiina Härkönen

AVOIN MATEMATIIKKA 9 lk.

Osio 3: Kerrataan ja sovelletaan

Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY 3.0 -lisenssillä.

2

Osio 3: Kerrataan ja sovelletaan

1.Desimaaliluvut .................................................................................... 3

2.Tekijöihin jako .................................................................................. 10

3.Polynomit .......................................................................................... 16

4.Polynomin esittäminen tulona .......................................................... 22

5.Toisen asteen polynomifunktio ........................................................ 29

6.Vaillinaiset toisen asteen yhtälöt I .................................................... 36

7.Vaillinaiset toisen asteen yhtälöt II .................................................. 43

8.Murtolauseke* .................................................................................. 48

9.Monomin jakaminen monomilla* .................................................... 55

10.Polynomin jakaminen monomilla ja polynomilla* ........................ 63

11.Murto- ja verrantomuotoisen yhtälön ratkaiseminen ..................... 70

12.Suoraan ja kääntäen verrannollisuus .............................................. 78

13.Potenssit ja juuret ............................................................................ 86

14.Prosentti- ja promillelaskentaa ....................................................... 96

15.Muutos- ja vertailuprosentti ......................................................... 103

16.Prosenttilausekkeet ....................................................................... 107

17.Binomin neliö ja neliöiden erotus* .............................................. 112

18.Vektorin käsite* ............................................................................ 119

19.Vektoreiden yhteenlasku* ............................................................ 125

20.Kertaustehtäviä ............................................................................. 129

3

1. Desimaaliluvut

Kun murtoluku muutetaan desimaaliluvuksi, saadaan joko päättyvä desimaaluku tai päätty-

mätön jaksollinen desimaaliluku, jossa sama desimaalien sarja toistuu loputtomiin. Päättymät-

tömät jaksolliset desimaaliluvut esitetään siten, että desimaaliluvun jakso kirjoitetaan näky-

viin vähintään kaksi kertaa ja luvun loppuun laitetaan kolme pistettä. Vaihtoehtoisesti jakso

voidaan kirjoittaa vain kerran ja laittaa sen päälle viiva.

...1313,2 tai 13,2

Jokainen päättyvä desimaaliluku tai päättymätön jaksollinen desimaaliluku voidaan muuntaa

murtoluvuksi. Sen sijaan jaksottomat päättymättömät desimaaliluvut ovat irrationaalilukuja,

joita ei voi kirjoittaa murtolukumuodossa.

Kun desimaaliluvuilla suoritetaan laskutoimituksia, on vastausten tarkkuuteen kiinnitettävä

erityistä huomiota. Luvun merkitseviksi numeroiksi katsotaan kaikki muut paitsi desimaalilu-

vun alussa ja kokonaisluvun lopussa olevat nollat. Joissakin tapauksissa kokonaisluvun lopus-

sakin olevat nollat voivat olla merkitseviä, mikä ilmenee asiayhteydestä.

Esimerkki 1.

Esitetään desimaaliluvut yläviivan avulla.

a) 8,0...88,0

b) 54,0...5454,0

c) 1231,.1,123123.. Luvun ensimmäinen ykkönen ei kuulu jaksoon.

4

Esimerkki 2.

Muutetaan desimaaliluvut murtoluvuiksi.

a) 10

77,0

b) 4

1

100

2525,0

25(

c) 20

18

100

5805,8

5(

d) 1,414213562… Jaksotonta päättymätöntä desimaalilukua ei voida esittää murtolukuna.

Esimerkki 3.

Muunnetaan luku x = 1,123123… murtoluvuksi.

Koska desimaalien sarja toistuu loputtomiin, ei desimaaleja voida tarkastella sellaisenaan. De-

simaaliluvun jaksossa on kolme lukua 123. Jos desimaaliluku kerrotaan 1000:lla, on uuden

luvun desimaaliosa samanlainen kuin alkuperäisen luvun desimaaliosa.

1000x = 1123,123123…

Kun vähennetään luvut 1000x ja x toisistaan, päästään lukujen desimaaliosista kokonaan

eroon.

Vastaus: Luku 1,123123... on murtolukuna 333

374.

Esimerkki 4.

Tutkitaan eri lukujen merkitsevien numeroiden lukumäärää.

a) Kokonaisluvussa 40 000 on yksi merkitsevä numero.

b) Desimaaliluvussa 0,140 on kolme merkitsevää numeroa.

c) Desimaaliluvussa 0,02 on yksi merkitsevä numero.

5

d) Desimaaliluvussa 79,10 on neljä merkitsevää numeroa.

e) Kokonaisluvussa 7001 on neljä merkitsevää numeroa.

f) Kokonaisluvussa 310 on kaksi tai kolme merkitsevää numeroa riippuen siitä, onko luku

pyöristetty.

6

Tehtäviä

1.

Onko luku rationaaliluku?

a) 89

b) 1,414213562…

c) 6,45

d) 1,123123…

e) 2,11…

2.

Pyöristä yhden desimaalin tarkkuuteen.

a) 0,651

b) 2,445

c) 3,05

d) 100,12

3.

Ilmoita luvut kahden desimaalin tarkkuudella.

a) 2,7892

b) 0,1250

c) 800,0048

d) 45,123

4.

Laske ja kiinnitä huomiota vastauksen tarkkuuteen.

a) 5000 g + 0,5 g

b) 0,002 mm + 0,5 mm + 0,00009 mm

c) 2,123 kg + 1,6 kg + 0,0003 kg + 7,08 kg

d) 12 cm - 3 cm + 190 cm - 8,5 cm

5.

Laske ja anna vastaukset oikealla tarkkuudella.

a) 30,405,0 b) 6,1012101

c) 04,13890006,0210

d) 5,2

80245

6.

Montako merkitsevää numeroa luvuissa on?

a) 50 001

b) 10 000

c) 0,0004

d) 19,200

7.

Keksi luku, jossa merkitseviä numeroita on

a) kaksi

7

b) kolme

c) neljä.

8.

Ilmoita desimaalimuodossa.

a) 4

1

b) 4

3

c) 5

2

d) 5

3

9.

Ilmoita murtoluvut desimaalilukuina.

a) 20

13

b) 8

31

10. Laske ilman laskinta.

a) 108,9035,1

b) 1,192,06,10040,74

c) 78,865,9

d) 67,410

11. Käteismaksut pyöristetään lähimpään viiteen senttiin eli 0,05 euroon. Pyöristä annetut hinnat.

a) 50,28 €

b) 2,52 €

c) 32,27 €

d) 5,53 €

12. Esitä murtolukuna sievennetyssä muodossa.

a) 0,12

b) 0,6

c) 0,45

d) 0,22

13. Esitä murtolukuna sievennetyssä muodossa.

a) 0,202

b) 0,625

8

c) 0,84

d) 0,175

14. Esitä murtolukuna.

a) 0,745

b) 0,056

c) 0,15

d) 0,046

15. Ilmoita prosenttiosuudet murtolukuina.

a) 80 %

b) 32 %

c) 55 %

d) 98 %

16. Kirjoita lukujen käänteisluvut desimaalimuodossa kolmen desimaalin tarkkuudella.

a) 6

b) 11

c) 16

d) 40

17.

Täydennä lause. Desimaaliluku on muotoa ..., 321 aaan , missä n on ____________ ja ai:t

muodostavat ______________.

18. Kirjoita desimaalimuodossa ilman viivamerkintää.

a) 014,4

b) 5120,0

c) 50,2

d) 43457,0

19. Kirjoita yläviivan avulla.

a) 5,2525…

b) 0,031515…

c) 5,01630163…

d) 7,051414…

20. Kirjoita desimaalilukuna käyttäen viivamerkintää.

a) 9

2

b) 11

5

9

c) 9

5

d) 33

17

21. Laske lausekkeiden arvot kahden desimaalin tarkkuudella.

a) 75,040,2

13,295,046,3

b) 256,355,233

(pääsykoetehtävä teknikkokoulutukseen, kevät 1990)

22. Esitä murtolukuna.

a) 0,25454…

b) 0,055…

c) 1,1818…

d) 4,833…

23. Esitä murtolukuna.

a) 3,0

b) 60,0

c) 27,0

d) 54,0

24. Esitä murtolukuna.

a) 1,0

b) 6,0

c) 303,0

d) 15,0

25. Mikä on se murtoluku, jonka desimaaliesitys on 5,212121…? (pääsykoetehtävä insinöörikou-

lutukseen, kevät 1991)

26.

Montako prosenttia suurempi on luku 2,0 kuin luku 0,2?

10

2. Tekijöihin jako

Tekijä on yhteisnimitys kertolaskun kertojalle ja kerrottavalle. Kun luku esitetään tulona, sa-

notaan sen olevan jaettu tekijöihin. Tekijöihin jakoa voidaan jatkaa aina alkutekijöihin asti,

jolloin luku esitetään alkulukujen tulona.

Alkuluku on luku, joka on jaollinen ainoastaan luvulla 1 ja itsellään. Alkuluvulla itsellään on

siis tasan kaksi tekijää. Jos luku ei ole alkuluku, sanotaan sitä yhdistetyksi luvuksi. Jokainen

kokonaisluku ( 2 ) voidaan esittää ainoastaan yhdellä tavalla alkulukujen tulona. Yleensä

alkutekijät asetetaan suuruusjärjestykseen ja samat alkutekijät kootaan yhteen potenssiksi.

Esimerkki 1.

Jaetaan luku 140 tekijöihin ja edelleen alkutekijöihin.

Esimerkki 2.

Määritetään lukujen 140 ja 180 suurin yhteinen tekijä sekä pienin yhteinen jaettava.

Jaetaan luvut ensiksi alkutekijöihinsä.

75252721014140 2

5325233252921018180 22

Suurin yhteinen tekijä on 20522

Pienin yhteinen jaettava on 12607532 22

Lukujen a ja b suurin yhteinen tekijä on suurin sellainen luonnollinen luku, jolla molemmat

luvuista ovat jaollisia. Se saadaan jakamalla luvut alkutekijöihinsä ja muodostamalla luku-

jen yhteisten tekijöiden tulo.

Lukujen a ja b pienin yhteinen jaettava on pienin luonnollinen luku, joka on jaollinen sekä

luvulla a että b. Se saadaan jakamalla luvut alkutekijöihinsä ja muodostamalla lukujen kaik-

kien tekijöiden tulo.

11

Huom! Pienimmässä yhteisessä jaettavassa yhteiset tekijät huomioidaan ainoastaan kerran.

Jakamalla murtoluvun nimittäjä ja osoittaja alkutekijöihin, nähdään millainen desimaaliluku

on kyseessä. Päättyvä desimaaliluku saadaan silloin, kun murtoluvun nimittäjän alkutekijöinä

on murtoluvun supistetussa muodossa vain kakkosia tai viitosia. Jos nimittäjän alkutekijöinä

on muita lukuja, on kyseessä päättymätön jaksollinen desimaaliluku.

Esimerkki 3.

Tutkitaan alkutekijöiden avulla minkälaiset desimaaliluvut ovat kyseessä.

12

Tehtäviä

27. Onko luku jaollinen kahdella?

a) 15

b) 800

c) 79

d) 32

e) 44

28. Luvut jaetaan kolmella, mikä on jakojäännös?

a) 300

b) 100

c) 23

d) 55

e) 78

29. Päättele puuttuva tekijä

a) 6_2

b) 255_

c) 72_8

d) 4411_

30. Keksi kaksi lukua, jotka ovat jaollisia

a) kolmella

b) kuudella

c) kahdeksalla

d) sadalla.

31. Poimi luvuista kaikki viidellä jaolliset luvut:

12, 15, 25, 30, 36, 58, 60, 85, 100

32. Määritä luku, kun sen tekijät ovat

a) 42122 b) 173

c) 225 .

33. Luettele kahdeksan ensimmäistä alkulukua.

34. Määritä luku, kun sen alkutekijät ovat

a) 32 b) 753

13

c) 1132 2

35. Poimi luvuista kaikki kolmella jaolliset luvut:

9, 36, 102, 451, 822, 1000, 300, 4002

36. Päättele puuttuva tekijä

a) 75_5

b) 633_ 2

c) 2250_52 3

d) 198116_

37. Esitä luku 264 tulona, jonka toinen tekijä on

a) 2

b) 4

c) 12

d) 44

38. Määritä kaikki ne positiiviset luvut, joilla luvut ovat jaollisia.

a) 12

b) 21

c) 32

d) 40

39. Jaa luvut alkutekijöihin

a) 120

b) 150.

40. a) Mikä ero on alkuluvulla ja yhdistetyllä luvulla?

b) Miksi luku 1 ei ole alkuluku?

41. Onko luku yhdistetty luku?

a) 15

b) 11

c) 199

d) 245

e) 107

42. Poimi luvuista kaikki alkuluvut: 55, 79, 98, 100, 101, 102, 150, 151, 240, 241, 242.

14

43. Jaa alkutekijöihin oma

a) ikäsi

b) pituutesi.

44. Mitä eri tekijöitä voidaan ottaa seuraavista luvuista?

a) 14

b) 28

c) 49

d) 50

45. Anna esimerkki luvusta, jolla on eri tekijöitä ainoastaan

a) kaksi

b) kolme

c) neljä.

46.

Eräät luvut jaettuna alkutekijöihin ovat 32 ja 53 .

a) Mitkä ovat nämä luvut?

c) Mikä on lukujen suurin yhteinen tekijä?

d) Mikä on lukujen pienin yhteinen jaettava?

47. Jaa luvut 100 ja 165 alkutekijöihin ja määritä lukujen

a) suurin yhteinen tekijä

b) pienin yhteinen jaettava.

48. Jaa luvut 1350 ja 520 alkutekijöihin ja määritä lukujen

a) suurin yhteinen tekijä

b) pienin yhteinen jaettava.

49. Päättele jakamalla sekä nimittäjä että osoittaja alkutekijöihin, onko kyseessä päättymätön de-

simaaliluku.

a) 12

1

b) 12

3

c) 140

7

d) 180

25

50.

15

Murtoluku halutaan ilmoittaa desimaalimuodossa. Havaitaan, että nimittäjässä on tekijöinä

muitakin alkulukuja kuin kaksi ja viisi. Onko kyseessä päättymätön jaksollinen desimaaliluku

vai jaksoton päättymätön desimaaliluku? Perustele vastauksesi.

51.

Eräät luvut jaettuna alkutekijöihin ovat 26 32 ja 7323 .

a) Mitkä ovat nämä luvut?

b) Mikä on lukujen suurin yhteinen tekijä?

c) Mikä on lukujen pienin yhteinen jaettava?

52. Määritä lukujen 84 ja 120

a) pienin yhteinen jaettava

b) suurin yhteinen tekijä.

53. Linja-autoasemalta lähtevät bussilinjat A sekä B 12 ja 30 minuutin välein. Bussit lähtevät sa-

maan aikaan kello 7.00. Milloin ne lähtevät seuraavan kerran samaan aikaan?

16

3. Polynomit

Polynomin termit järjestetään yleensä siten, että kirjainosien eksponentit pienenevät vasem-

malta oikealle. Termiä, jossa ei ole muuttujaa, sanotaan vakioksi ja se kirjoitetaan viimeiseksi.

Jos polynomissa on useita eri muuttujia, ne esitetään aakkosjärjestyksessä.

Esimerkki 1.

a) Polynomi 52 3 xx on trinomi ja sen asteluku on 3.

b) Polynomi y2 on monomi ja sen asteluku on 1.

c) Polynomi xyx 24 on binomi ja sen asteluku on 2.

Polynomin termit ovat samanmuotoisia, jos niillä on sama kirjainosa. Vain keskenään sa-

manmuotoiset termit voidaan yhdistää yhteen- ja vähennyslaskussa.

Kahta polynomia, joiden summa on nolla, sanotaan toistensa vastapolynomeiksi. Polynomin

vastapolynomi saadaan vaihtamalla polynomin jokaisen termin etumerkki.

Esimerkki 2.

Kertoimen ja muuttujaosan tuloa sanotaan termiksi.

Kun termejä lasketaan yhteen, muodostuu polynomi. Polynomia, jossa on vain yksi termi

sanotaan monomiksi, kaksitermistä binomiksi ja kolmitermistä trinomiksi. Polynomin aste-

luvulla tarkoitetaan sen asteluvultaan korkeimman termin astelukua.

17

Lasketaan polynomien 332 2 xx ja 15 x erotus.

Polynomien kertolaskussa kerrotaan termit keskenään etumerkkeineen. Välivaiheita kannattaa

merkitä näkyviin riittävästi.

Esimerkki 3.

Lasketaan monomien 23x ja 44x tulo.

Esimerkki 4.

Lasketaan monomin x3 ja binomin 12 x tulo.

Esimerkki 5.

Lasketaan polynomien 12 x ja 14 x tulo.

18

19

Tehtäviä

54. Ovatko vakiot keskenään samanmuotoisia?

55. Järjestä polynomit.

a) 27 xx

b) 22 55 ab

c) 423 243 uuua

d) 375 bb

56. Keksi itse jokin

a) binomi

b) monomi

c) trinomi.

57.

Laske trinomin 12)( 23 xxxP arvo, kun

a) x = 1

b) x = -1

c) x = 2

d) x = -3

58.

Tarkastellaan polynomia 3752 24 bbb .

a) Luettele polynomin termit.

b) Mitkä ovat termien asteluvut?

c) Mikä on polynomin aste?

59. Sievennä.

a) 45 xx

b) )2(2 xy

c) )(24 aab

60.

Laske binomin 13),( 3 ababaP arvo, kun

a) a = 1 ja b = -1.

b) a = -2 ja b = 3.

61. Poista sulkeet.

a) )(8 ba

b) )(2 ba

c) )43(5 ba

d) )56(2 ba

20

62. Sievennä.

a) 5a – 2a

b) 2b + 3b – 2

c) 8c – (-c + 5)

d) (4d + 6) + (-3d – 3)

63. Muodosta polynomien vastapolynomit.

a) 10a –11

b) 782 aa

c) )19( 2 aa

64. Sievennä.

a) ))(43( baba

b) )82)(( baba

c) )5)(3( aa

d) )2)(7( ab

65. Kerro keskenään binomit

a) x – 2 ja x + 6

b) 2x + 1 ja x - 1

c) 7 - x ja 3 + x

d) x – 1 ja x + 2.

66.

Muodosta ja sievennä binomien 12 x ja 23 x

a) summa

b) erotus

c) tulo

67. Sievennä suorakulmion pinta-alan lauseke, kun sen sivujen pituudet ovat

a) x ja 2x

b) 2x ja 12 x

c) 22 x ja 1x

d) 23 x ja 12 x

68.

Millä a:n arvolla binomin 35)( aaP arvo on

a) 12

b) –3 ?

21

69. Sievennä.

a) )]1([1 aa

b) )()33(22 22 aaaa

70.

Laske P(3) – P(1), kun 12)( 2 xxxP .

71. Poista sulkeet ja sievennä.

a) 2)( ba

b) 2)3( x

c) 2)5( y

72.

Sievennä )132)(42( 23 xxxx .

73. Muodosta ja sievennä kappaleiden tilavuuden lausekkeet.

74.

Muodosta ja sievennä monomien 23ab ja 25ab

a) erotuksen kuutio

b) kuutioiden erotus.

75.

Sievennä funktion )2)(45()4)(23()( 22 xxxxxxxf lauseke ja laske funktion

arvo pisteissä 0, 2 ja 4. (yo syksy 1996)

22

4. Polynomin esittäminen tulona

Polynomien sieventäminen edellyttää usein tekijöihin jakoa, jolloin polynomi kirjoitetaan

kahden tai useamman polynomin tulona. Polynomin ilmaiseminen tulona on erinomainen apu

ratkaistaessa tietyn tyyppisiä toisen asteen yhtälöitä. Tällöin ratkaisut löytyvät tuttujen en-

simmäisen asteen yhtälöiden ratkaisuina.

Tekijöihin jako on käänteinen toiminta sulkeiden poistamiselle lausekkeesta.

Esimerkki 1.

Jaetaan binomi 23 xx tekijöihin.

Esimerkki 2.

Jaetaan trinomi bbaba 264 223 tekijöihin.

Jos jokaisessa polynomin termissä on sama tekijä, se voidaan erottaa yhteiseksi tekijäksi

käyttämällä osittelulakia

ab + ac = a (b + c).

23

Esimerkki 3.

Esitetään polynomi 1243 yxxy tulomuodossa.

Tekijöihin jakoa voidaan havainnollistaa pinta-alamallin

avulla. Jaetaan suorakulmion muotoinen alue neljään osaan ja

sijoitetaan näistä kuhunkin yksi polynomin neljästä termistä.

Tämän jälkeen tutkitaan mitä yhteistä on vierekkäisillä ja

päällekkäisillä pinta-aloilla. Suorakulmion ala saadaan sivu-

jen tulona, joka vastaa polynomin tekijöihin jakoa.

24

Tehtäviä

76. Millä monomi 3a on kerrottava, että tuloksi saadaan

a) 6a

b) 23a

c) 312a

d) 630a ?

77. Mikä luku sopii x:n paikalle?

a) babax 44)(

b) babax 93)3(

c) dcxdc 1025)25(

d) dcxdc 4218)73(

78. Muodosta kuvion pinta-alan lauseke ja esitä se kahdessa eri muodossa.

79. Ilmoita yhteinen tekijä.

a) 5x ja 3x

b) 2a ja 4b

c) 7y ja –8y

d) 3 ja 18c

80. Täydennä.

a) ...)(...222 yx

b) ...)(...363 ba

c) ...)(...286 yx

d) ...)(...224 a

81. Millä binomi 2x + y on kerrottava, että tuloksi saadaan

a) 10x + 5y

b) –8x - 4y

c) xyx 22

25

d) 222 xyyx ?

82. Jaa tekijöihin.

a) 10x + 5y

b) –8x - 4y

c) xyx 22

d) 222 xyyx

83. Jaa tekijöihin.

a) aa 2

b) aa 22 2

c) aa 33 2

84. Jaa tekijöihin.

a) 105 x

b) 155 x

c) 156 x

d) x714

85. Sovella osittelulakia.

a) 108 y

b) 93 y

c) 2211 y

d) 2415 2 y

86. Jaa tekijöihin.

a) yx 96

b) yx 55

c) 128 a

d) ba 105

87. Muodosta kuvion pinta-alan lauseke ja esitä se kahdessa eri muodossa.

88.

26

Jaa tekijöihin.

a) xyx 2

b) 2aab

c) bab 24

d) xx 24 2

89. Jaa tekijöihin.

a) xx 153 2

b) xx 64 2

c) yy 93 2

d) 2128 yy

90. Esitä tulomuodossa.

a) abc + a

b) xyz – zab

c) abcd – cd

d) xx 2

91. Jaa tekijöihin.

a) 2aa

b) tt 42

c) dd 23 3

d) mnm 46 2

92. Muodosta kuvion pinta-alan lauseke ja esitä se kahdessa eri muodossa.

93. Muodosta kuvion pinta-alan lauseke ja esitä se kahdessa eri muodossa.

27

94. Täydennä puuttuvat termit.

a) ) (22 xzyx

b) ) (222 yxyxyx

95. Jaa tekijöihin.

a) 3065 xyxy

b) 2464 xyxy

c) 1535 yxxy

d) yxyx 7766

96. Jaa tekijöihin.

a) bybxayax

b) byaybxax

c) abbxaxx 2

d) abbxaxx 2

97. Poista lausekkeista sulkeet. Keksitkö säännöt, miten saat muutettua toisen asteen polynomin

tulomuotoon? Kiinnitä huomiota myös etumerkkeihin.

a) )5)(2( xx

b) )2)(6( xx

a) )4)(2( xx

98. Kirjoita lausekkeet tulomuodossa edellisen tehtävän päättelytapoja käyttäen.

a) 1272 xx

b) 1282 xx

c) 1242 xx

d) 1032 xx

99. Mikä on puuttuva binomi?

a) ) )(3(1582 xxx

28

b) ) )(3(21102 xxx

c) ) )(3(122 xxx

d) ) )(3(62 xxx

100.

Jaa tekijöihin.

a) 1072 xx

b) 652 xx

c) 232 xx

d) 122 xx

29

5. Toisen asteen polynomifunktio

Esimerkki 1.

Yksinkertaisin toisen asteen polynomifunktio on muotoa 2)( xxf . Lasketaan muutamia

käyrän 2xy pisteitä, sijoitetaan ne koordinaatistoon ja yhdistetään kuvaajaksi. Tätä paraa-

belia kutsutaan perusparaabeliksi.

Huom! Pisteitä ei saa yhdistää toisiinsa janoilla eli suorilla viivoilla. Tällöinhän olisi kyseessä

monesta eri ensimmäisen asteen yhtälöstä muodostuva paloittain määritelty funktio. Ensim-

mäisen asteen funktion kuvaaja on suora, mutta korkeamman asteen funktioiden kuvaajat ovat

aina käyräviivaisia.

Käyrä 2xy on symmetrinen y-akselin suhteen. Paraabelin ja sen symmetria-akselin leikka-

uspistettä kutsutaan huipuksi. Kohtia, jossa kuvaaja leikkaa x-akselin, sanotaan paraabelin

nollakohdiksi.

Esimerkki 2.

Toisen asteen polynomifunktio on muotoa

cbxaxxf 2)( ,

missä a, b ja c ovat vakioita ja 0a .

Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on paraabeli.

30

Tutkitaan muotoa 2)( axxf olevien funktioiden kuvaajia. Piirretään muutama käyrä koor-

dinaatistoon vaihdellen kertoimen a arvoa.

Toisen asteen muuttujan kerroin ei vaikuta symmetria-akselin tai käyrän huippupisteen sijain-

tiin, mutta sillä on selvä vaikutus paraabelin leveyteen. Paraabelin 2xy kuvaaja on puo-

lestaan paraabelin 2xy peilaus x-akselin suhteen.

Jos polynomifunktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, funktio saa pienimmän arvonsa

paraabelin huipussa, mutta funktion suurinta arvoa ei voida määrittää. Sen sijaan jos kuvaaja

31

on alaspäin aukeava paraabeli, funktio saa suurimman arvonsa paraabelin huipussa, mutta

funktion pienintä arvoa ei voida määrittää.

Esimerkki 3.

Esimerkin 2 funktioiden 22)( xxf , ,)( 2xxf 2

2

1)( xxf pienin arvo on 0, mutta suurinta

arvoa ei voida määrittää. Sen sijaan funktion 2)( xxf suurin arvo on 0, mutta pienintä ar-

voa ei voida määrittää.

32

Tehtäviä

101.

Mitkä ovat paraabelin yhtälöitä?

a) xxy 93 2

b) 73,025,0 2 xy

c) )3( xxy

d) )2( 2 xxxy

102.

Keksi itse jokin polynomifunktio, joka on

a) ensimmäistä astetta

b) toista astetta.

103.

Päättele, mihin suuntaan paraabelit aukeavat.

a) 232 xxy

b) )1(2 xxy

c) 234 xy

d) )31)(5( xxy

104.

Funktio on 23)( xxf . Laske

a) f(2)

b) f(-2)

c) f(5)

d) f(-6)

105.

Funktio on 4)( 2 xxxf . Laske funktion arvo kohdassa

a) x = 0

b) x = 2

c) x = -1

d) x = -2

106.

Montako nollakohtaa on kuvan paraabelilla?

107.

Mitä funktiolla tarkoitetaan?

33

108.

Piirrä funktioiden kuvaajat koordinaatistoon taulukoimalla arvoja.

a) 2)( xxf

b) 2)( 2 xxf

109.

Piirrä funktion 2)( 2 xxxf kuvaaja, kun x saa arvoja väliltä –3 ja 3.

110.

Päättele funktion kuvaajaparaabelin huipun koordinaatit.

a) 2)( xxf

b) 29)( xxf

c) 213)( xxf

d) 2101)( xxf

111.

Mihin suuntaan edellisten tehtävän paraabelit aukeavat? Määritä myös funktion suurin ja pie-

nin arvo.

112.

Määritä funktion kuvaajan perusteella sen suurin ja pienin arvo.

113.

Ovatko termit paraabelin nollakohta ja paraabelin huippu synonyymejä?

114.

Piirrä ylöspäin aukeava paraabeli, jonka huippu on pisteessä (4, -2) ja joka on yhtenevä pe-

rusparaabelin kanssa.

115.

Yhdistä yhtälö ja sen kuvaaja.

a) 3 xy

b) 24xy

c) 23xy

34

d) 2 xy

116.

Piirrä funktion 123

1)( 2 xxxf kuvaajaparaabeli ja määritä sen huipun koordinaatit.

117.

Montako nollakohtaa voi olla toisen asteen polynomifunktiolla?

118.

Piirrä käyrä 2xy , kun x saa arvoja nollasta kolmeen. Keksitkö mikä yhtälö on kyseessä?

119.

Valitse kuvaajille oikeat yhtälöt, kun x saa positiivisia arvoja.

A: 2 xy

B: 2 xy

C: xy 2

D: 22xy

E: 22xy

35

F: x

y2

120.

Piirrä koordinaatistoon paraabeli 2xy ja suora xy . Ratkaise kuvaajan avulla yhtälöpari

.

2

xy

xy

121.

Muppe-koiran aitausta varten on varattu verkkoa 50 m ja aitauksesta halutaan tehdä suora-

kulmainen. Tutki kuvaajaa apuna käyttäen miten aitaus kannattaa tehdä, jotta Mupella olisi

mahdollisimman paljon liikkumatilaa.

36

6. Vaillinaiset toisen asteen yhtälöt I

Vaillinaisille toisen asteen yhtälöille on olemassa ratkaisutavat yhtälön tyypistä riippuen. Tut-

kitaan aluksi muotoa 02 cax olevia yhtälöitä. Piirretään muutama funktion cxxf 2)(

kuvaaja samaan koordinaatistoon vaihdellen vakion c arvoa.

Funktioiden kuvaajat ovat yhtenevät ja niiden symmetria-akselina on y-akseli. Vakio c ilmai-

see kohdan, jossa paraabelin huippu sijaitsee. Yhtälön 02 cax ratkaisut nähdään kuvaa-

jasta nollakohtina, joissa kuvaaja leikkaa x-akselin. Nollakohtien määrä riippuu siitä, onko

funktiossa esiintyvä vakio c positiivinen vai negatiivinen.

Huom! Edellinen pätee ainoastaan ylöspäin aukeaviin paraabeleihin. Miten ratkaisujen määrä

riippuu vakiosta c, jos a on negatiivinen?

Toisen asteen yhtälön yleinen normaalimuoto on

02 cbxax .

Jos yhtälössä esiintyy kaikki termit, sanotaan sitä täydelliseksi toisen asteen yhtälöksi.

Jos termi bx tai vakiotermi c puuttuu, on kyseessä vaillinainen toisen asteen yhtälö.

37

Huom! Neliöjuurta otettaessa on huomioitava sekä positiivinen että negatiivinen tapaus, sillä

negatiivinen kantaluku toiseen potenssiin korotettuna, on myös positiivinen.

Esimerkki 1.

Ratkaistaan yhtälö 092 x ja hahmotellaan yhtälön määräämän paraabelin kuvaaja.

Vastaus: x = 3 tai x = -3

Esimerkki 2.

Ratkaistaan yhtälö 042 2 x ja hahmotellaan yhtälön määräämän paraabelin kuvaaja.

38

Vastaus: Yhtälöllä ei ole ratkaisua.

39

Tehtäviä

122.

Tutki, onko x = -2 yhtälön ratkaisu.

a) 052 2 x

b) 022 x

c) 082 2 x

d) 042 x

123.

Ratkaise yhtälöt.

a) 42 x

b) 162 x

c) 12 x

d) 92 x

124.

Ratkaise yhtälöt.

a) 252 x

b) 362 x

c) 812 x

d) 1002 x

125.

Ratkaise yhtälöt.

a) 32 x

b) 62 x

c) 42 x

d) 72 x

126.

Ratkaise yhtälöt.

a) 183 2 x

b) 164 2 x

c) 819 2 x

d) 8002 2 x

127.

Hahmottele toisen asteen polynomifunktion kuvaaja, jonka nollakohdat ovat x = 3 ja x = -3 ja

huipun x-koordinaatti on 0.

128.

Päättele huipun koordinaatit, kun paraabelin yhtälö on

a) 12 xy

40

b) 82 xy

c) 142 xy

d) 1002 xy

129.

Muodosta yhtälö ja ratkaise sen avulla neliön sivun pituus x, kun neliön pinta-ala on

a) 25,0 m2

b) 16,0 cm2

c) 49 mm2.

130.

Anna esimerkki

a) täydellisestä toisen asteen yhtälöstä

b) vaillinaisesta toisen asteen yhtälöstä.

131.

Yhtälöä ei ole ratkaistu oikein. Korjaa virhe.

2

2

4

2: 42

162

0162

2

2

x

x

x

x

x

132.

Ratkaise funktioiden nollakohdat ja piirrä funktioiden kuvaajat.

a) 2)( xxf

b) 1)( 2 xxf

c) 164)( 2 xxf

d) 49)( 2 xxf

133.

Ratkaise yhtälöt.

a) 1002 22 xx

b) 1005 22 xx

c) 112512 22 xx

134.

Päättele piirtämättä, mikä on y-koordinaatin arvo pisteessä, jossa funktion kuvaaja leikkaa y-

akselin?

a) 7)( 2 xxf

b) 4)( 2 xxf

c) 2

1)( 2 xxf

41

d) 63)( 2 xxf

135.

Ratkaise edellisten tehtävän funktioiden nollakohdat.

136.

Keksi jokin vaillinainen toisen asteen yhtälö, jolla

a) on kaksi ratkaisua

b) on yksi ratkaisu

c) ei ole ratkaisua.

137.

Ratkaise yhtälö hrV 2 muuttujan r suhteen, kun V > 0 ja h > 0.

138.

Neliön muotoisen pöydän pinta-ala on 15 m2. Ratkaise pöydän yhden sivun pituus x, muodos-

tamalla ensin yhtälö.

139.

Mikä on oltava ympyrän säteen, jotta sen pinta-ala on 19,6 cm?

140.

Mikä on neliön lävistäjän pituus, jos neliön pinta-ala on 1700 cm2?

141.

Ratkaise yhtälöt.

a) 2

2

x

x

b) x

x 4

3

c) 10

5

2

9 x

x

142.

Ratkaise yhtälö 02 cax muuttujan x suhteen, kun a > 0 ja c > 0.

143.

Suoran ympyrälieriön tilavuus on 360,0 cm3 ja korkeus 15,0 cm. Laske pohjaympyrän säteen

pituus.

144.

Kun erään luvun x neliön vastaluvusta vähennetään luku 1, saadaan tulokseksi luku –37.

Muodosta yhtälö ja ratkaise sen avulla, mikä on luku x.

145.

Ratkaise yhtälöt.

42

a) ax 2

b) ax 24

43

7. Vaillinaiset toisen asteen yhtälöt II

Piirretään kaksi muotoa bxxxf 2)( olevaa vaillinaista toisen asteen polynomifunktiota

samaan koordinaatistoon.

Funktioiden kuvaajat ovat yhtenevät. Ensimmäisen asteen termin kertoimella b on selvästi

yhteys funktion toiseen nollakohtaan ja paraabelin symmetria-akselin sijaintiin.

Muotoa bxaxy 2 olevat yhtälöt ratkeavat kätevimmin tekijöihin jaon kautta.

Esimerkki 1.

Ratkaistaan yhtälö 062 2 xx ja hahmotellaan yhtälön määrään paraabelin kuvaaja.

44

Sovelletaan tulon nollasääntöä.

Vastaus: x = 0 tai x = -3

Esimerkki 2.

Ratkaistaan yhtälö 025 2 xx ja hahmotellaan yhtälön määräämän paraabelin kuvaaja.

Sovelletaan tulon nollasääntöä.

Vastaus: x = 0 tai 5

2x

45

Tehtäviä

146.

Selitä parillesi omin sanoin, mikä on tulon nollasääntö.

147.

Tutki, onko x = 9 yhtälön ratkaisu.

a) 092 xx

b) 033 2 xx

c) 0546 2 xx

148.

Tutki, onko x = -3 yhtälön ratkaisu.

a) xx 22

b) 0124 2 xx

c) 0515 xx

149.

Ratkaise yhtälö ab = 0.

150.

Ratkaise yhtälöt käyttäen tulon nollasääntöä.

a) 0)2( xx

b) 0)3(5 xx

c) 0)5)(1( xx

d) 0)42( xx

151.

Ratkaise yhtälöt.

d) 0)1( xx

e) 0)1(4 xx

f) 0)44( xx

g) 0)5(2 xx

152.

Ratkaise yhtälöt.

a) 02 xx

b) 022 2 xx

c) 066 2 xx

d) 088 2 xx

153.

Ratkaise funktioiden nollakohdat.

a) xxxf 2)(

b) xxxf 24)( 2

c) xxxf 39)( 2

46

d) xxxf 25)(

154.

Ratkaise funktioiden nollakohdat ja hahmottele funktioiden kuvaajat.

a) xxxf 84)( 2

b) xxxf 66)( 2

155.

Minkä suoran suhteen esimerkin 1 funktio on symmetrinen?

156.

Ratkaise yhtälön juuret.

a) xx 55 2

b) xx 2

c) xx 42 2

157.

Kun eräs luku x korotetaan ensin neliöön ja sitten siihen lisätään luku x kerrottuna luvulla 4,

saadaan summaksi nolla. Muodosta yhtälö ja ratkaise sen avulla luku x.

158.

Millä x:n arvoilla funktio 42)( 2 xxxf saa arvon 4?

159.

Ratkaise yhtälöt.

a) 0510 2 xx

b) 0510 2 x

c) 0510 x

160.

Keksi vaillinainen toisen asteen yhtälö, jonka ratkaisut ovat x = 0 ja x = -5.

161.

Mitkä ovat murtolausekkeiden määrittelyjoukot?

a) xx

x

164 2

b) 255

12

x

x

162.

Ratkaise yhtälöt käyttäen tulon nollasääntöä.

a) 0)2)(3( xxx

b) 0)1)(62(7 xxx

c) 0)9)(6( xx

d) 0)1)(82( xxx

47

163.

Kun eräs luku x korotetaan neliöön ja siitä vähennetään luku x kerrottuna luvulla 7, saadaan

erotukseksi nolla. Muodosta yhtälö ja ratkaise sen avulla luku x.

164.

Ratkaise yhtälö )13)(36()12)(13( xxxx . (yo kevät 1997)

165.

Kun kappale heitetään suoraan ylöspäin, on sen korkeus h lähtötasosta mitattuna

2

02

1gttvh , missä 0v on alkunopeus, t on aika ja g putoamiskiihtyvyys.

a) Katso taulukko-osiosta putoamiskiihtyvyyden arvo.

b) Pallo heitetään ylöspäin alkunopeudella 8,0 m/s. Laske ajanhetki t, jolloin pallon korkeus

on 0 m.

166.

Ratkaise yhtälöt.

a) 03 xx

b) 04 24 xx

167.

Ratkaise yhtälöt.

a) 01002 xx

b) 01002 x

c) 0100 22 xx (yo syksy 1992)

168.

Ratkaise täydelliset toisen asteen yhtälöt. (Vihje: Katso ratkaisukaava taulukko-osiosta.)

a) 022 xx

b) 0222 xx

169.

Ratkaise yhtälö.

a) 3x + 4 = 5 – 6x

b) 01712 2 xx

170.

Lukion jazzyhtyeen konsertin tuotto 192 euroa on jaettava tasan yhtyeen jäsenille. Jos jäseniä

olisi 2 enemmän, jokainen saisi 8 euroa vähemmän. Montako jäsentä yhtyessä on? (yo kevät

2000)

48

8. Murtolauseke*

Murtolauseke muodostuu siis jaettaessa polynomi toisella polynomilla. Murtolausekkeet käyt-

täytyvät samoin kuin murtoluvut ja niille on voimassa samat laskusäännöt. Osoittajassa ja ni-

mittäjässä on vain yksittäisten lukuarvojen sijasta polynomit. Murtoluku on mahdoton, jos sen

nimittäjässä on luku nolla, sillä nollalla ei voi jakaa. Samasta syystä murtolauseke on määri-

telty muualla, paitsi nimittäjän nollakohdissa.

Esimerkki 1.

a) 15

13

15

1325

5

1

3

2

5

1

3

2)3)5

b) 15

35

5353

)3)5yxyxyx

Jos P ja Q ovat polynomeja ( 0Q ), niin lauseketta, joka on muotoa tai joka voidaan

muuntaa muotoon

Q

P

sanotaan murtolausekkeeksi.

49

c) 155353

xyyxyx

d) y

x

y

xyx

3

55

35:

3

Esimerkki 2.

Millä x:n arvoilla murtolauseke 84

43

x

x on määritelty?

Ratkaisu:

Murtolauseke on määritelty muualla paitsi nimittäjän nollakohdissa. Selvitetään nimittäjän

nollakohta.

2

4

8

(-4)|: 84

084

x

x

x

x

Vastaus: Murtolauseke on määritelty, kun 2x .

50

Tehtäviä

171.

Muunna sekaluvuksi.

a) 3

8

b) 5

12

c) 6

100

d) 3

14

172.

Laske.

a) 5

3

7

2

b) 3

21

5

4

c) 22

7

d) 3

2

2

3

173.

Laske.

a) 25

4

b) 3

4

3

1

c) 2

1:

5

2

d) 3:7

3

174.

Laske.

a) 2

1

5

1

b) 2

1

5

1

c) 2

1

5

1

d) 2

1:

5

1

51

175.

Laske.

a) 7

35

7

111

b) 3

13

4

17

c) 4

328

d) 4

11

5

36

176.

Laske.

a) aa

25

b) ba

11

c) 32

ba

d) bb

3

2

7

177.

Onko murtolauseke määritelty kohdassa x = 1?

a) 3

12 x

b) 1

5

x

c) x

x

2

1

d) 22 xx

x

178.

Laske.

a) 65

xx

b) 5

3

3

2 xx

c) yx

43

d) b

a

y

x

179.

Laske lausekkeen arvo, kun x = 7.

52

a) 4

2 x

b) 2

8x

c) 5

3x

d) x

x

2

180.

Millä x:n arvolla murtolauseke on määritelty?

a) x

x

b) 1

2

x

x

c) x

x

2

1

d) 3

5

x

181.

Laske.

a) 26

ba

b) 53

aa

c) 136

1 ab

d) x

46

182.

Muodosta ja sievennä murtolausekkeiden 6

a ja

3

2a

a) summa

b) erotus

c) tulo

d) osamäärä.

183.

Sievennä.

a) x

x 3:

2

b) 4

5:

1

y

53

c) xy

5:

8

d) 3:9

x

184.

Muodosta ja sievennä luvun a ja sen käänteisluvun

a) summa

b) erotus

c) tulo

d) osamäärä.

185.

Millä x:n arvolla murtolauseke on määritelty?

a) 5

32 2

x

xx

b) 2)1(

12

x

x

c) 22

4

x

x

d) 82

5

x

186.

Radioaktiivisen aineen ytimistä puolet hajoaa tietyn pituisen ajan kuluessa toisten aineiden

ytimiksi. Tätä aikaa sanotaan puoliintumisajaksi. Maaperästä irtoavan radonkaasun, radon-

222:n, puoliintumisaika on 3,8 vuorokautta. Radon-222:ta on aluksi 1000 g, paljonko sitä on

a) 3,8 vuorokauden kuluttua

b) 7,6 vuorokauden kuluttua

c) 38 vuorokauden kuluttua?

187.

Nuotti Aika-arvo

1

2

1

4

1

8

1

16

1

Laske taulukon tietojen perusteella nuottien yhteenlasketut aika-arvot.

54

a)

b)

c)

d)

188.

Nuotin perässä oleva piste pidentää aika-arvoa puolella nuotin omasta aika-arvosta. Laske

nuottien aika-arvot.

a)

b)

c)

d)

189.

Sievennä.

a) 22

12

a

a

a

a

b) 1

3

1

15

a

a

a

a

190.

Määritä ne positiiviset, yksinkertaisimpaan muotoon supistetut murtoluvut, joiden osoittajan

ja nimittäjän summa on 10. (yo syksy 1992)

191.

Laske murtoluvuilla ilman laskinta ja anna tulokset murtolukumuodossa supistettuina.

a) 3

1

2

3

6

5

b)

3

12

4

13

1

4

12

(pääsykoetehtävä teknikkokoulutukseen, kevät 1991)

192.

Lausu y

x mahdollisimman yksinkertaisena murtolukuna, kun

2

3

3

2x ja

24

25

3

4y (yo

syksy 1974)

193.

Määritä yx

11 , kun 52 yx ja 13xy . (yo syksy 1995)

55

9. Monomin jakaminen monomilla*

Kuten murtoluku, myös murtolauseke pyritään esittämään mahdollisimman yksinkertaisessa

muodossa. Murtolauseke voidaan sieventää, jos osoittajalla ja nimittäjällä on yhteinen tekijä.

Sievimmässä muodossaan murtolauseke on silloin, kun ainoa osoittajan ja nimittäjän yhteinen

tekijä on ykkönen.

Esimerkki 1.

Sievennetään murtolauseke 2

34 yx käyttäen apuna pinta-alamallia.

Suuren suorakulmion pinta-ala on yx 34 . Toisaalta suorakul-

mio muodostuu pienistä xy-suorakulmioista, joita on 12 kappalet-

ta, tässä niistä otetaan puolet

xyxyyx

62

12

2

34

.

Esimerkki 2.

Sievennetään murtolauseke yx

yx3

32

12

4.

Tapa I

Monomi jaetaan monomilla siten, että kertoimet jaetaan keskenään ja samankantaiset muuttu-

jat keskenään. Samankantaisten potenssien arvo tulee sille murtoviivan puolelle, jossa on alun

perin korkeampi potenssi.

56

Tapa II

Yleensä monomi jaetaan monomilla supistamalla osoittajan ja nimittäjän yhteisillä tekijöillä

ilman kertoimien ja kirjainosien erottamista.

57

Tehtäviä

194.

Sievennä.

a) 5

10

b) 4

2

c) 11

11

d) 3

15

195.

Sievennä.

a) 18

3

b) 8

12

c) 16

12

d) 9

9

196.

Ilmoita yksinkertaisemmassa muodossa.

a) 6

12a

b) 4

8b

c) 6

18c

d) 7

28d

197.

Keksi sellainen monomien jakolasku, jonka osamääräksi tulee

a) 6

b) –3a

198.

Sievennä.

a) x

x8

b) y

y

2

18

58

c) x

x

4

20

d) y

y

4

8

199.

Laske.

y

x

y

x

y

x

6

5

9

2

3

5

200.

Kirjoita potenssimuodossa.

a) x

1

b) 4

1

x

c) 2

1

x

d) 8

1

x

201.

Sievennä.

a) x

x 2

b) 3

5

x

x

c) 4x

x

d) 8

7

x

x

202.

Sievennä.

a) 4

54 x

b) a

a

3

32

c) x

xx

3

62

d) x

x

10

35

203.

Sievennä.

59

a) 5

40x

b) a

a

3

9

c) y5

15

d) 2

5

3

6

b

b

204.

Sievennä.

a) x

x

2

5

b) y

x

3

3

c) y

y

2

6

d) y

xy

4

205.

Ilmoita yksinkertaisemmassa muodossa.

a) 2

3

x

x

b) 5

3

y

y

c) n

nn 6

d) 2

3

k

kk

206.

Päättele puuttuva monomi.

a) 4

4

?x

b) 22?

xx

c) xx

53

?2

207.

Sievennä.

a) 2

22

x

xx

60

b) 3

2

3

6

yy

y

c) 3

2 6

tt

d) m

mm

3

2

208.

Ilmoita yksinkertaisemmassa muodossa.

a) 4

3

x

x

b) 6

3

y

y

c) n

nn 41

d) 2

23

k

kk

209.

Laske.

a) 2,0

8,0 a

b) 07,0

9,4 b

c) 8,12

64 2c

210.

Päättele puuttuva monomi.

a) aab

2?

20

b) aba

3?

6 2

c) 0?

15

a

211.

Sievennä.

a) 52

84

5

20

ba

ba

b) u

vu

12

6 76

c) 22

2

12

36

mn

mn

61

212.

Laske suorakulmion kannan pituus, kun korkeus on x2 ja pinta-ala 318x .

213.

Sievennä.

a) x

x

10

30 3

b) xy

xy

5

15 2

c) yx

yx2

4

10

100

214.

Kolmion pinta-ala on 212a ja korkeus 3a. Laske kolmion kannan pituus.

215.

Laske suorakulmion korkeus, kun tiedetään sen pinta-ala ja toisen sivun pituus.

216.

Laske.

a) 14

9:

7

3 xx

b) 2

2

4

5

2

3:

y

x

y

x

c) y

xzxyz

6:3

d) xy

z

y

xyz

10

3:

5

4 2

2

217.

Sievennä.

a) ba

ab2

22 )3(

b) 22

32

)2(

)(

abc

bca

218.

62

Ympyrän pinta-ala on 2464 ba . Määritä ympyrän säde.

63

10. Polynomin jakaminen monomilla ja polynomilla*

Kun polynomeja kerrotaan keskenään, on kaikki sulkeiden sisällä olevat termit kerrottava

erikseen. Vastaavasti polynomin jakolaskussa on jokainen termi tultava jaetuksi erikseen.

Esimerkki 1.

Suoritetaan jakolasku x

xx

4

416 2 .

Tapa I

Jaetaan polynomin xx 416 2 jokainen termi erikseen monomilla 4x.

144

4

4

16

4

416 22

xx

x

x

x

x

xx

Tapa II

Jakolasku voidaan suorittaa myös siten, että jaettava muunnetaan ensin tulomuotoon ja sen

jälkeen supistetaan osoittajan ja nimittäjän yhteisillä termeillä.

Huom! Jos jaettavana on tulomuotoinen polynomi, saa ainoastaan kertojan tai kerrottavan

jakaa. Jos jakolasku tehtäisiin molempiin tekijöihin, tulisi jakolasku suoritettua kahdesti.

64

Jos polynomi jaetaan polynomilla, jossa on vähintään kaksi termiä, ei esimerkin 1 ensimmäis-

tä ratkaisutapaa voida käyttää. Tällaisen murtolausekkeen sieventäminen vaatii aina osoittajan

ja nimittäjän jakamista sellaisiin tulomuotoisiin osiin, jotka voidaan supistaa pois.

Yleisin virhe polynomeja sisältävien murtolausekkeiden sieventämisessä on summamuotoi-

sesta polynomista yksittäisten termien poistaminen. Tällöin jakolaskua ei ole suoritettu jokai-

seen jaettavan termiin. SUMMASTA EI SAA SUPISTAA!

Esimerkki 2.

Kun polynomi jaetaan polynomilla, on lausekkeet muutettava ensin tulomuotoon.

Huom! Jos nimittäjän yhteiseksi tekijäksi olisi valittu –2, olisi välittömästi saatu nimittäjälle

ja osoittajalle yhteinen tekijä.

65

Tehtäviä

219.

Sievennä.

a) 10

)12(10 x

b) 8

)6(8 x

c) 3

)24(3

x

220.

Sievennä.

a) )1(5

)1(4

x

x

b) )1(5

)1(10

x

x

c) )1)(1(

)1)(1(

xx

xx

221.

Sievennä.

a) 5

mm 5cm 30

b) 10

m 50km 10

c) 6

g 60kg 12

222.

Sievennä.

a) 3

63 x

b) 2

64 x

c) 2

108 yx

d) 3

69 y

223.

Sievennä.

a) 3:)36( x

b) )2(:)108( x

66

224.

Kirjoita yksinkertaisemmassa muodossa.

a) 4

)(4 ba

b) 6

612 a

c) 2

48 yx

225.

Sievennä.

a) x

xx

4

48 2

b) a

aa

3

1215 2

c) b

bab

3

186

226.

Etsi yhteiset tekijät ja sievennä.

a) 124

93

x

x

b) x

x

2

46

c) 3

93

x

x

d) y

byay

227.

Sievennä.

a) 63

84

x

x

b) x

x

48

36

c) 54

108

y

y

d) 42

84

y

y

228.

Sievennä.

a) yx

xy

2

67

b) yx

xy

c) yx

xy

229.

Sievennä.

a) a

a

4

44

b) bb

b

62

6

c) ba

ba

45

45

230.

Päättele puuttuva monomi P(a).

a) 2)(

105 2

aaP

aa

b) 1413)(

413 223

aaaP

aaa

c) 1)(

35

aaP

aa

231.

Mikä virhe on sievennyksessä?

232.

Kirjoita yksinkertaisemmassa muodossa.

a) 4a – 4 : 1

b) (4a – 4) : 4

c) (4a – 4) : (a – 1)

233.

Keksi sellainen polynomien jakolasku, josta osamääräksi tulee a + b.

234.

Päättele puuttuva polynomi P(a).

a) 742

)( 2 aaP

b) 12

)( 2 aa

aP

c) 158

)( 23 aaaP

68

235.

Etsi yhteiset tekijät ja sievennä.

a) ba

ba

22

b) ba

ba

1515

55

c) ba

aba

5

236.

Sievennä.

a) 4)(

)(5

ba

ba

b) 3)(2

)(

ba

ba

237.

Laske ja anna vastaus sievennetyssä muodossa.

a) 4

3

2

4

3

2

)(14

6

a

b

bc

ab

b) a

b

ca

b

3

)2(:

5

8 2

2

3

238.

Laske.

a) xzyzxy

321

b) 222

245

xyzzxyyzx

239.

Sievennä yx

yxyxyxyx2

3524232

2

41082 .

240.

Kun eräs trinomi jaetaan monomilla 3a saadaan osamääräksi 1310 3 bab . Mikä on tämä

trinomi?

241.

Sievennä lauseke 32

7

2

)(333

aba

ba

ba

a

ja laske sen arvo, kun a = 2 ja b = -1. (pääsykoetehtä-

vä insinöörikoulutukseen, kevät 1997)

242.

69

Sievennä lauseke (a2b

2 - a

4b

6) : (ab - a

2b

3) yksinkertaisimpaan muotoonsa ja laske sitten sen

tarkka arvo, kun a = 1010

ja b = 10-10

. (yo syksy 1986)

70

11. Murto- ja verrantomuotoisen yhtälön ratkaiseminen

Yhtälöt, joissa esiintyy murtolauseke saadaan yleensä helpoiten ratkaistua ristiin kertomalla.

Ristiin kertominen on sallittua ainoastaan yhtäsuuruusmerkin yli ja silloinkin ainoastaan, kun

yhtälön molemmat puolet ovat joko tulo- tai osamäärämuodossa. Yhteen- ja vähennyslaskuja

saa siis ainoastaan esiintyä osoittajassa, nimittäjässä tai sulkeiden sisällä.

Murtoyhtälön nimittäjän nollakohdat eivät kelpaa murtoyhtälön ratkaisuiksi, sillä nollalla ei

voi jakaa. Tämän vuoksi ennen vastauksen antamista on tarkistettava, kelpaako saatu arvo

ratkaisuksi.

Esimerkki 1.

Ratkaistaan verrantomuotoinen yhtälö 5

1

3

xx.

Murtolausekkeista päästään eroon ristiin kertomalla.

Vastaus: 2

3x

Esimerkki 2.

Ratkaistaan murtoyhtälö 1

4

2

3

xx.

Verrantomuotoisessa yhtälössä kaksi murtolauseketta on merkitty yhtä suuriksi.

Murtoyhtälö on yhtälö, jossa tuntematon esiintyy nimittäjässä.

71

Nimittäjien nollakohdat ovat x = 2 ja x = 1, joten yhtälö on määritelty, kun 2x ja 1x .

Kerrotaan lausekkeet ristiin.

Tämä kelpaa ratkaisuksi, sillä kumpikaan nimittäjistä ei saa tällöin arvoa nolla.

Vastaus: x = 5

Esimerkki 3.

Ratkaistaan yhtälö 02

13

xx.

Nimittäjien nollakohdat ovat x = 0 ja x = 2, joten yhtälö on määritelty, kun 0x ja 2x .

Esimerkki 4.

Ratkaistaan yhtälö 522

18

x.

Nimittäjän nollakohta on x = 0, joten yhtälö on määritelty, kun 0x .

72

Tämä kelpaa ratkaisuksi.

Vastaus: x = 3

73

Tehtäviä

243.

Mitä tarkoitetaan yhtälöllä.

244.

Onko x = 1 yhtälön ratkaisu?

a) 02

1

x

x

b) 033

x

x

c) 01

22

x

x

d) 055

x

x

245.

Mitkä yhtälöistä ovat murtoyhtälöitä?

a) 2

1

5

1

x

b) 3

1 x

x

x

c) 61

4

x

d) x

18

246.

Mitkä ovat edellisen tehtävän yhtälöiden määrittelyjoukot?

247.

Ratkaise yhtälöt.

a) 34

x

b) 82

y

c) 39

z

d) 48

x

e) 130

y

248.

Ratkaise.

a) 26

x

74

b) 2

8

x

c) 53

x

d) 3

9

x

249.

Mitkä edellisten tehtävän yhtälöistä on murtoyhtälöitä?

250.

Ratkaise yhtälöt.

a) 2

1

10

x

b) 42

3 x

c) 5

25

4

2

x

251.

Piirrä käyrä x

y1

koordinaatistoon.

252.

Ratkaise yhtälöt.

a) 42

3

x

x

b) 61

1

x

x

c) 112

4

x

x

d) 02

13

xx

253.

Ratkaise murtoyhtälöt.

a) 12

24

1

)12(2

xx

x

x

x

b) 042

105

x

x

254.

75

Millä x:n arvolla lauseke 123

85

x

x on suoraan verrannollinen lukuun

3

1?

255.

Ratkaise yhtälöstä x.

a) 3

22

x

x

b) 15

31

xx

256.

Ratkaise yhtälön juuri.

a) 5)2

3(2 x

b) xx

)25

(5

257.

Mikä on yhtälön 22

15

3

52

x

xx ratkaisu?

258.

Keksi murtoyhtälö,

a) jonka ratkaisu on x = -2

b) jolla ei ole ratkaisua.

259.

Ratkaise yhtälö 1

)1)(1(3

x

xxx .

260.

Ratkaise yhtälö.

xxx

256

261.

Ratkaise yhtälö muuttujan F suhteen.

9

)32(5

FC

262.

Sievennä murtolauseke 1

:1 2

2

x

x

x

x ja ratkaise murtolausekkeen nollakohdat.

263.

Ratkaise yhtälöstä 12

12

tt

vva

76

a) v2

b) t1.

264.

Kun erääseen lukuun lisätään 12 ja summa jaetaan kolmella, saadaan alkuperäisen luvun puo-

likas. Kirjoita yhtälö ja ratkaise sen avulla mikä luku on kyseessä.

265.

Millä x:n arvolla lauseke 2

42

x

x on kääntäen verrannollinen lukuun

3

2?

266.

Ratkaise yhtälö xxx

2

3

1

2

1

.

267.

Kun kerrotaan erään luvun käänteisluku luvulla 3 saadaan tulokseksi 2

1. Muodosta yhtälö ja

ratkaise sen avulla mikä luku on.

268.

Ratkaise x yhtälöstä 3

dcx

bax, kun

a) 5 ,0 ,3 ,2 dcba

b) 5 ,4 ,2 ,1 dcba (yo kevät 1999)

269.

Ratkaise yhtälö kysytyn muuttujan suhteen.

baf

111 ?b

270.

Ratkaise a yhtälöstä .7

2

360

a

a (pääsykoetehtävä insinöörikoulutukseen, kevät 1995)

271.

Sovitaan, että merkintä cba tarkoittaa samaa kuin lauseke cb

ba

. Mikä on tällöin 432 ?

Ratkaise yhtälö 246 x . (yo syksy 1996)

272.

Ratkaise yhtälö .3

3 x

x

x

x

(yo kevät 1993)

77

273.

Ratkaise T1 yhtälöstä 0

1

211 p

T

TTp

. (pääsykoetehtävä insinöörikoulutukseen, kevät 1993)

274.

Laske suureen m arvo kaavasta t

mghp , kun p = 700, t = 45, g = 9,81 ja h = 4,5. (yo syksy

1997)

78

12. Suoraan ja kääntäen verrannollisuus

Verrantoa voidaan hyödyntää useiden ongelmien ratkaisemisessa. Ennen kahden suureen ver-

rannon muodostamista on pääteltävä, onko kysymyksessä suoraan- vai kääntäen verrannolli-

suus. Suoraan verrannolliset suureet muuttuvat samassa suhteessa ja niitä voidaan havainnol-

listaa origon kautta kulkevalla suoralla.

Kääntäen verrannolliset suureet muuttuvat niin, että toisen kasvaessa toinen pienenee. Suu-

reiden tulo pysyy kuitenkin suureiden muuttuessa aina samana.

Huom! Sijoitettaessa suureen arvoja verrantoon on tärkeää, että ne sijoitetaan laatuineen. Täl-

laisella suurelaskennalla on se etu, että tuloksen laadusta voidaan jo päätellä, onko tulos oi-

kein.

Esimerkki 1.

Susannelta kului viiden kilometrin matkan rullaluistelemiseen 12 min. Kauanko häneltä kesti

23 km matkan luisteleminen? Oletetaan hänen luistelevan samalla nopeudella.

Ratkaisu:

Verrannon muodostamisessa voidaan käyttää hyväksi asetelmaa. Merkitään kysyttyä aikaa

x:llä ja päätellään kasvaako vai pieneneekö käytetty aika matkan kasvaessa.

Jos suureet x ja y ovat suoran verrannolliset, toteuttavat niiden lukuparit (x1, y1) ja

(x2, y2) verrannon 2

2

1

1

x

y

x

y . Tämä voidaan kirjoittaa myös muodossa

2

1

2

1

x

x

y

y .

Jos suureet x ja y ovat kääntäen verrannolliset, toteuttavat niiden lukuparit

(x1, y1) ja (x2, y2) yhtälön 2211 yxyx .

Tämä voidaan kirjoittaa myös muodossa 1

2

2

1

y

y

x

x .

79

Koska nuolet ovat samansuuntaisia, on kyseessä suoraan verrannolliset suureet. Kun verranto

muodostetaan asetelman pohjalta, on yhtälön molemmilla puolilla olevien nuolien oltava sa-

mansuuntaiset.

Ratkaistaan yhtälö suorittamalla aluksi ristiin kertominen.

Vastaus: Susanne luistelee 23 km 55 minuutissa.

Esimerkki 2.

Jos Susanne luistelee nopeudella 20 km/h, matka kotoa mummolaan kestää 45 min. Paljon-

ko aikaa sääsyy, jos hänen nopeutensa olisi 25 km/h?

Ratkaisu:

Ratkaistaan aluksi kauanko aikaa kuluu matkaan nopeudella 25 km/h. Merkitään matkaan ku-

luvaa aikaa x:llä ja laaditaan asetelma nopeuksista ja ajoista. Mitä suuremmalla nopeudella

mennään, sitä vähemmän aikaa kuluu samanmittaiseen matkaan. Laskuissa on käytettävä sa-

moja yksiköitä, joten muutetaan aika tunneiksi.

Koska nuolet ovat erisuuntaisia on kyseessä kääntäen verrannolliset suureet. Jotta asetelmasta

voitaisiin muodostaa verranto, on toinen nuolista ”käännettävä” samansuuntaiseksi.

Ratkaistaan yhtälö suorittamalla aluksi ristiin kertominen.

80

Aikojen erotukseksi saadaan min 9min36min45 .

Vastaus: Nopeudella 25 km/h matka kestää 9 minuuttia vähemmän.

81

Tehtäviä

275.

Riippuvatko suoraan verrannolliset suureet lineaarisesti toisistaan?

276.

Mitkä suorista kuvaavat suoraan verrannollisia suureita.

277.

Täydennä taulukko niin, että a ja b ovat suoraan verrannollisia.

a)

a b

1 2

2

3

4

5

b)

a b

1

2

5 15

6

10

c)

a b

2

4 5

10

15

25

278.

Jäljennä taulukot vihkoosi ja täydennä ne niin, että a ja b ovat kääntäen verrannollisia.

82

a)

a b

40 2

20

10

5

b)

a b

1 12

1

4

3

c)

a b

8

16 16

64

32

279.

Kartan mittakaava on 1 : 10 000. Laske matka luonnossa, kun se on kartalla 3,5 cm.

280.

Stella teki töitä 12 tuntia ja sai palkkaa 72 €. Vera työskenteli puolestaan 20 tuntia palkalla

120 €. Osoita laskemalla ovatko työaika ja palkka suoraan tai kääntäen verrannollisia?

281.

Lentokoneen nopeus oli menomatkalla 600 km/h, jolloin matka kesti 2,5 tuntia. Paluumatkalla

vastatuulesta johtuen nopeus oli 500 km/h. Kauanko paluumatka kesti?

282.

Virva on kesätöissä Englannissa. Neljältä tunnilta hän saa palkkaa £24. Paljonko Virva tienaa

a) yhdeltä tunnilta

b) kymmeneltä tunnilta?

283.

Leenan mummo neuloo villapaidan kahdessa viikossa, jos hän neuloo sitä neljä tuntia päiväs-

sä. Missä ajassa Leenan paita olisi valmis, jos mummo jaksaisi ahertaa kuusi tuntia päivässä?

284.

Kilogramma makeisia maksaa 9,50 €. Laske hinta, kun makeisia ostetaan

a) 250 g

b) 500 g

c) 1,4 kg

d) 4 kg.

285.

3 litraan mehukeittoa tarvitaan 90 ml perunajauhoja. Paljonko perunajauhoja tarvitaan 1 lit-

raan mehukeittoa?

83

286.

Termoskannusta saadaan kahdeksan mukillista kaakaota, kun mukin tilavuus on 1,5 dl. Mon-

tako 2 desilitran mukillista termoskannusta saadaan?

287.

Kartan mittakaava on 1 : 30 000. Kahden suunnistusrastin välimatka kartalla on 3,7 cm.

Kuinka pitkä rastien välimatka on maastossa?

288.

Kaksi kiloa kastanjoita maksaa 5,90 €. Paljonko maksaa viisi kiloa kastanjoita?

289.

Vuokra-asunnon pinta-ala on 80 m2 ja kuukausivuokra 530 €. Kuinka suuri olisi vuokra 32

m2:n suuruisessa asunnossa, jos vuokra olisi suoraan verrannollinen lattiapinta-alaan?

290.

Mikä seuraavista kuvaajista kuvaa

a) suoraan verrannollisuutta

b) kääntäen verrannollisuutta

291.

Piirrä esimerkin 2 tilanteesta kuvaaja ja totea sen avulla, että esimerkissä on kyse suoraan ver-

rannollisuudesta.

292.

Millainen riippuvuus murtoluvun suuruudella on

a) osoittajan suuruuteen

e) nimittäjän suuruuteen?

293.

Mitkä seuraavista ovat suoraan verrannollisia suureita?

a) ihmisen vyötärönympärys ja massa

b) ympyrän säde ja pinta-ala

c) paino grammoina ja nauloina

d) Suomen aika ja Englannin aika

294.

Tynnyrissä, jonka korkeus on 150 cm on 1200 litraa vettä. Paljonko tynnyrissä on vettä, jos

veden korkeus vajoaa 60 cm?

84

295.

Miten ovat verrannollisia

a) matka ja aika, jos nopeus on vakio

b) nopeus ja matka, jos aika on vakio

c) nopeus ja aika, jos matka on vakio?

296.

Miten ovat verrannollisia lieriön

a) pohjan säde ja kehän pituus

b) pohjan halkaisija ja korkeus?

297.

Nopeus ja aika ovat kääntäen verrannollisia suureita. Jos nopeus pienenee 15 %, montako

prosenttia matkaan käytetty aika kasvaa?

298.

Osoita, että yhtälö 2

2

1

1

x

y

x

y voidaan muuttaa muotoon

2

1

2

1

x

x

y

y .

299.

Osoita, että yhtälö 2211 yxyx voidaan muuttaa muotoon 1

2

2

1

y

y

x

x .

300.

Kerro sanallisesti miten y riippuu x:stä.

a) xy

b) xy 3

c) x

y1

d) 23xy

e) 2

6

xy

f) 3

3

1xy

301.

Tiheys lasketaan kaavalla V

m , missä ρ on tiheys, m massa ja V tilavuus. Miten ovat ver-

rannollisia

a) m ja V, jos ρ on vakio

b) m ja ρ, jos V on vakio

c) ρ ja V, jos m on vakio?

302.

85

Junalta kuluu kahden aseman väliseen matkaan aikaa 1 h 15 min nopeudella 100 km/h. Aikaa

säästyisi vartti, jos juna kulkisi nopeudella 125 km/h. Osoita laskemalla ovatko nopeus ja aika

suoraan tai kääntäen verrannollisia?

303.

Maalia kuluu 60 m2:n maalaamiseen yhdeksän litraa. Paljonko maalia tarvitaan litran tark-

kuudella, jos maalattavana on

a) 45 m2

b) 145 m2?

304.

Havainnollista edellisen tehtävän tarvittavan maalin riippuvuutta pinta-alasta koordinaatistos-

sa.

305.

Työmatkaan kului aamuruuhkassa 30 minuuttia. Paluumatka tehtiin 22 minuutissa nopeudella

80 km/h. Millä nopeudella työmatka tehtiin aamulla? (yo syksy 1994)

86

13. Potenssit ja juuret

Potenssi on kertolaskun lyhennetty merkintätapa silloin, kun samaa lukua kerrotaan itsellään

useamman kerran.

Potenssin kantaluvun kanssa on oltava tarkkana. Jos sulkeita ei käytetä, eksponentti vaikuttaa

vain siihen lukuun, joka on suoraan eksponentin alla.

Suuret ja pienet luvut merkitään yleensä havainnollisuuden vuoksi kymmenpotenssimuodossa na 10 , missä kerroin a on yhden ja kymmenen välillä.

Jos positiivisen kantaluvun eksponenttina on murtoluku, voidaan sama merkitä myös juuri-

merkinnän avulla.

Huom! Jos indeksi on luku 2, sitä ei merkitä näkyviin.

Jos eksponenttina on nolla, on potenssin arvo aina 1. Kantalukuna ei kuitenkaan saa olla

nolla.

0kun ,10 aa

Olkoon n positiivinen kokonaisluku ja a > 0. Tällöin nn aa

1

.

Potenssin negatiivinen eksponentti tarkoittaa kantaluvun käänteisluvun vastaavaa positii-

vista potenssia.

n

n

aa

1

ja

nn

a

b

b

a

, kun 0a

87

Potenssien laskusäännöt löytyvät kirjan taulukko-osiosta. Näitä tarvitaan etenkin sellaisten

potenssilausekkeiden sieventämisessä, jotka sisältävät muuttujia. Laskusäännöt ovat voimassa

sekä positiivisille että negatiivisille eksponenteille. Jos laskusääntöjä sovelletaan silloin, kun

eksponenttina on murtoluku, on kantaluvun oltava positiivinen.

Esimerkki 1.

Esitetään luvut ilman kymmenenpotenssia.

a) 000 6106 4 b) 000 320102,3 5

c) 0004,0109 4

d) 000058,0108,5 5

Esimerkki 2.

Sievennetään potenssin laskusääntöjä käyttäen.

a) 120 b) 74343 5555

c) 729

2

9

666

6

d) 63232 44)4(

Esimerkki 3.

Sievennetään negatiiviset potenssit.

a)

b) 6

6

5

15

c)

22

3

4

4

3

Esimerkki 4.

Sievennetään murtopotenssit.

a) 366 koska ,63636 22

1

“Neliöjuuri luvusta 36 on 6.”

b) 2166 koska ,6216216 333

1

“Kuutiojuuri luvusta 216 on 6.”

2

1

2

12

1

1

88

Esimerkki 5.

Sievennetään juurilausekkeet.

a) 10310910990

b) 10100520520

c) 242

8

2

8

89

Tehtäviä

306.

Onko potenssin arvo positiivinen vai negatiivinen, jos potenssin kantaluku on negatiivinen ja

eksponentti on

a) parillinen

b) pariton?

307.

Merkitse ja sievennä potenssi, jonka

a) kantaluku on 3x ja eksponentti 2

b) kantaluku on xy ja eksponentti 3

c) kantaluku on –2a ja eksponentti 3

d) kantaluku on –3b ja eksponentti 2.

308.

Laske.

a) (-3)2

b) -32

c) (-3)3

d) –(-3)3

309.

Kirjoita potenssimerkintää käyttäen.

a) mm

b) mmm

c) 10101010-

d) 100)(100)(100-

310.

Merkitse ja laske luvun

a) 7 neliö

b) 100 kuutio

c) 36 neliöjuuri

d) 27 kuutiojuuri.

311.

Kirjoita ilman kymmenpotenssia ja laske

a) 01234 107101102102104

b) 125 106104106

c) 036 101107105

d) 320 109101101

e) 41 106103

f) 31023,1

312.

Montako numeroa luvuissa on?

a) 349

b) 258

90

c) 436

d) 541

313.

Kirjoita kymenpotenssimuodossa

a) 52 100 000 000

b) 0,000 000 03

c) –100 000 000

d) –0,000 000 009

314.

Laske päässä.

a) 1

b) 4

c) 25

d) 100

e) 49

f) 81

315.

Kirjoita tulona.

a) 4)2( x

b) 42x

c) 4)2( x

d) 42x

316.

Kirjoita kymmenpotenssimuodossa.

a) 42 300

b) 54 000 000

c) 0,12

d) 0,000025

317.

Milloin kymmenpotenssimuodot muodostetaan siten, että kertojaksi voi tulla myös suurempia

lukuja kuin kymmenen tai pienempiä kuin ykkönen?

318.

Sievennä.

a) 53 bbb

b) 433 ccba

c) 2

4

b

bb

d) 4

32

ca

ccba

91

319.

Esitä juurimuodossa.

a) 2

1

8

b) 3

1

7

c) 2

1

)2( x

d) 2

1

2 x

e) 3

1

4x

f) 3

1

)4( x

320.

Esitä luvun 5 potenssina.

a) 5

b) 3 5

c) 4 5

d) 5

1

321.

Laske

a) 169

b) 169

c) 64100

d) 64100

322.

Merkitse yhtenä potenssina.

a) 3

7

3

3

b) 2

4

5

5

c) 2

54

8

88

d) 2

2

a

a

323.

Sievennä.

a) 4

52 1

xxx

92

b) x

xx14

c) 5

6

11x

xx

d) 5

342

x

xxx

324.

Kirjoita kymmenpotenssimuodossa.

a) tuhat

b) miljardi

c) miljoona

d) biljoona

e) kymmenesosa

f) biljoonasosa

g) sadasosa

h) tuhannesosa

325.

Esitä luvut potenssimuodossa.

a) 5

1

b) 8

1

c) a

1

d) 2

1

b

326.

Mikä luvun 3 potenssi on yhtä suuri kuin luku 95?

327.

Mikä on luvun 5250

likiarvo kahden numeron tarkkuudella? Montako numeroa luvussa 5250

on?

328.

Taulukossa on potenssien 5x arvoja.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5x 5 25 125 625 3125 15625 78125 390625 1953125 9765625

Päättele vastaukset taulukon avulla. Älä käytä laskinta.

a) 625125

b) 7812525

c) 15625

9765625

d) 23125

93

329.

Mikä luku sopii x:n paikalle?

a) x44

45

8

b) 2

1

2

25

x

c) 42)2( xx

d) 1000024x

330.

Sievennä ilman laskinta.

a) 19

23

102

104

b) 21

25

102

10

c) 4

7

)101(

105

d) 1

6

10

102

331.

Sievennä ottamalla juuren alta pois kaikki mahdolliset luvut.

a) 8

b) 18

c) 50

d) 80

332.

Muuta yksinkertaisempaan muotoon ilman laskinta.

a) 123

b) 218

c) 105

d) 82

333.

Siirrä kaikki luvut saman juurimerkin alle.

a) 26

b) 52

c) 44

d) 55

94

334.

Millä x:n arvoilla lausekkeet on määritelty?

a) 4x

b) 12 x

c) x3

d) 42 x

335.

Laske.

a)

4

2

1

b) 410

c)

5

10

1

d) 3

13

336.

Muuta luvun a potensseiksi, kun a on positiivinen luku.

a) a

1

b) aa

1

c) a

a12

d) a

a13

337.

Tuhansia vuosia sitten käytetyn kaavan mukaan ympyrän ala on likimain 2)halkaisija

9

8( .

Mikä luvun likiarvo sijoitettuna kaavaan 2rA antaa saman tuloksen? Vastaus kolmen

desimaalin tarkkuudella. (yo syksy 1995)

95

Nuorten ylivelkaantuminen

Iso osa ylivelkaantuneista on alle 30-vuotiaita. Lähes joka toisella 29-34 –vuotiaalla suoma-

laisella on kulutusluottoja.

Usein nuorten ylivelkaantumisen syynä on ajattelemattomuus sekä luotonsaannin helppous.

Etukäteen säästäminen ei tunnu olevan muodikasta, vaan eletään ”nyt kaikki mulle heti” -

aikakautta. Lainoja ja luottoja suorastaan tyrkytetään. Nuorten kompastuskiviksi koituvat eri-

tyisesti pienissä erissä otettavat kulutusluotot, joita otetaan yhtä aikaa monesta eri paikasta.

Tällöin velkojen kokonaissumma korkoineen voi paisua yllättävän suureksi.

Pikavipit ovat ihmisen hädänalaisen tilan hyväksikäyttöä. Velkojen antajat eivät tee hyvänte-

keväisyyttä. Mitä pienemmillä kuukausierillä lainaa maksetaan pois, sitä kalliimmaksi lainan

ottaminen tulee. Esimerkiksi postimyyntiliikkeet tarjoavat helposti saatavia pieniä luottoja,

joiden vuosikorot voivat lähennellä peräti 30 prosenttia. Moni ei tule ajatelleeksi sitä, kuinka

kalliiksi ostokset lopulta tulevat, vaan sokaistuvat kuukausittain maksettavan laskun pienuu-

teen. Jos lainaa ottaa, kannattaa aina maksaa sitä kuukausittain enemmän pois kuin mitä lai-

nanantaja minimissään velvoittaa. Usein minimit on asetettu niin pieniksi, ettei laina lyhene

juuri lainkaan, vaan kaikki menevät lainan korkoihin.

Luottotietoja tallettava Asiakastieto Oy pitää yllä mustaa listaa, jolle joutuu, kun mikä tahansa

lasku tai lyhennys on ollut maksamatta kuukausia ja sitä on karhuttu pariin otteeseen. Vel-

kasumman suuruus ei ratkaise rekisteriin joutumista. Noin kolmannes maksuhäiriömerkintään

johtavista tapauksista koskee puhelinlaskuja, kuudesosa tili- ja kertaluottoja. Muistutuskirjei-

den jälkeen velkoja siirtää perinnän perintätoimistolle, ja pahimmassa tapauksessa perintä

etenee tuomioistuimen kautta ulosottoon. Ulosottoon menneiden kännykkävelkojen keskiarvo

on 500 euroa. Velan loppusumma kasvaa jokaisessa perintävaiheessa.

Jos yksityishenkilöä uhkaa luottotietomerkintä, hänelle lähetetään ns. ensirekisteröinti-

ilmoitus. Maksuhäiriömerkintä ei poistu välittömästi, vaikka velan maksaisikin. Nimi mustal-

la listalla säilyy kaksi vuotta esimerkiksi laskunsa laiminlyöneellä ja viisi vuotta ulosotossa

varattomaksi todetulla. Ikävä tosiasia on, että maksuvaikeuksista syntyy usein kierre, jossa

häiriöt kasaantuvat samoille henkilöille. Tilastojen mukaan aikaisemmin maksuhäiriöitä saa-

neista henkilöistä 42% saa uusia merkintöjä kahden vuoden aikana.

Luottotiedoissa olevia merkintöjä oikeasti katsotaan ja merkintä voi estää esimerkiksi asun-

non vuokraamisen tai työpaikan saamisen. Merkintä luottotiedoissa varoittaa palveluntarjo-

ajaa, ettei tähän nuoreen kannata luottaa. Monet palvelujen tarjoajat, esimerkiksi hammaslää-

kärit, velottavat mausuhäiriömerkinnän omaavilta maksun etukäteen. Vaikka maksuhäiriöisel-

le myönnettäisiin pankista lainaa, on hänen lainansa korot varmasti korkeat, koska pankki kat-

soo ottavansa suuren riskin myöntäessään hänelle lainaa.

Jos maksumuistutuskirje tipahtaa postiluukusta, kannattaa heti ottaa yhteyttä suoraan velko-

jaan, mikäli ei pysty maksamaan laskua. Usein neuvottelulla saa sovittua maksun uudelleen-

järjestämisestä. Jos ei pysty selviytymään veloistaan, on mahdollisuus ottaa yhteyttä velka-

neuvojaan. Velkaneuvonta on maksutonta kuntien, seurakuntien ja eri järjestöjen toimintaa.

96

14. Prosentti- ja promillelaskentaa

Suhteelliset osuudet ilmaistaan yleensä sadasosina eli prosentteina. Osuudet saadaan tällöin

havainnollisiksi ja vertailukelpoisiksi.

Jos prosenttiluvut tulevat kovin pieniksi, voidaan suhteet ilmaista myös promilleina, 10 pro-

millea = 1 prosentti. Promilleina ilmaistaan veren alkoholipitoisuutta, jalometalliseosten pitoi-

suuksia jne.

Perusarvoksi kutsutaan sitä lukua, josta prosentti otetaan. Perusarvon valinnassa pitää olla

tarkkana. Perusarvona on yleensä alkuperäinen arvo, esim. vanha hinta, johon vertailu kohdis-

tuu. Kemian seoslaskuissa perusarvona on koko seoksen määrä.

Edellisessä määritelmässä luku b kuvaa perusarvoa. Mitä voit sanoa perusarvosta seuraavassa

määritelmässä?

Esimerkki 1.

Henkilön veren alkoholipitoisuus on 3 ‰. Tämä tarkoittaa puhtaan alkoholin osuutta ihmisen

verimäärää kohden. Lasketaan, paljonko henkilön veressä on puhdasta alkoholia, kun hänessä

on verta 4700 grammaa.

g 14,1 g 4700003,0

Prosentti on sadasosa 01,0100

1% 1

Promille on tuhannesosa 001,01000

1‰ 1

Prosenttiosuus b

a sadasosiksi muutettuna kertoo, kuinka monta prosenttia luku a on luvusta

b.

Kun lasketaan, kuinka paljon on p % luvusta a, niin p % ilmaistaan desimaalilukuna, jolla

kerrotaan luku a.

97

Vastaus: Veressä on 14,2 g alkoholia.

Esimerkki 2.

200 grammaa 15-prosenttista ja 100 grammaa 40-prosenttista rikkihappoa sekoitetaan keske-

nään. Lasketaan kuinka moniprosenttista rikkihappoa saadaan.

% 23...2333,0 100 200

4,0 10015,0 200

gg

gg

Vastaus: Saadaan 23 prosenttista rikkihappoa.

Esimerkki 3.

Asiassa on 500 grammaa 25-prosenttista suolahappoa. Lasketaan, paljonko astiaan on lisättä-

vä vettä, jotta saataisiin 15-prosenttitsa suolahappoa.

Merkitään lisättävän veden määrää x:llä, tällöin saadaan yhtälö

15,0 500

25,0 500

xg

g.

Ratkaistaan yhtälö normaaleja yhtälön ratkaisutapoja soveltaen.

Vastaus: Astiaan on lisättävä 330 g vettä.

98

Tehtäviä

338.

Kirjoita desimaalilukuna.

a) 14 %

b) 2,3 %

c) 150 %

d) 39 %

339.

Kirjoita desimaalilukuna.

a) 5300 ‰

b) 83 ‰

c) 2,3 ‰

d) 160 ‰

340.

Kirjoita desimaaliluvut promillelukuina.

a) 0,3

b) 0,009

c) 1,2

d) 0,0007

341.

Montako prosenttia on

a) luku 3 on luvusta 5

b) luku 6 on luvusta 80

c) luku 12 on luvusta 13?

342.

Montako promillea on

a) luku 2 on luvusta 500

b) luku 5 on luvusta 8000

c) luku 0,5 on luvusta 19?

343.

Montako promillea on

a) 1 %

b) 0,5 %

c) 0,3 %

d) 15 %?

344.

Montako prosenttia on

a) 1 ‰

b) 12 ‰

c) 50 ‰

d) 100 ‰

345.

99

Paljonko syntyy kuorijätettä 5,0 kilogrammasta perunoita, jos kuorimishävikki on 20 %?

346.

Hintoja alennettiin 25 %. Laske tuotteiden uudet hinnat, kun alkuperäiset hinnat olivat

a) 55 €

b) 12,50 €

c) 37,20 €.

347.

Montako prosenttia patongissa on suolaa, kun 1500 gramman patonkitaikina-annoksessa on

suolaa 20 grammaa?

348.

Gorgonzola-juuston suolapitoisuus on 1,5 %. Paljonko suolaa on 400 grammassa kyseistä

juustoa?

349.

Ihmisestä on vettä 55 %, rasvaa 21 % ja proteiineja 12 %. Montako kiloa sinussa on kyseisiä

aineita?

350.

Tarvitset illallista varten kalaa 150 grammaa henkilöä kohden. Paljonko ostat kalaa 50 henki-

lölle, jos sen painohäviö on 40 %?

351.

Keksi prosenttilaskentaan liittyvä sanallinen tehtävä, jonka ratkaisu saadaan yhtälöstä

15406,0 x .

352.

Mikä on koko luku, jos 25 % jostakin luvusta on

a) 3

b) 6,4

c) 50

d) 123?

353.

Kuivaamoon viety puutavara painoi 4500 kg. Montako prosenttia puutavarassa oli vettä, kun

kuivauksen jälkeen puutavaran massa oli 4100 kg?

354.

Kultasormus painoi 20 g ja siinä oli leima 750 ‰. Paljonko puhdasta kultaa sormus sisälsi?

355.

Mistä luvusta

a) 23 on 100 %

b) 0,28 on 2 %

c) 12 on 5 %

d) 44 on 25 %

100

e) 18 on 80 %?

356.

Henkilö jäi kiinni rattijuopumuksesta. Hänen humalatilansa oli 2,4 promillea. Laske, paljonko

henkilön veressä oli puhdasta alkoholia, jos hänessä on verta noin 4,7 litraa.

357.

Mikä on täytekakun myyntikateprosentti, jos täytekakun myyntihinta on 25 € ja raaka-aineet

siihen maksavat 12 €?

358.

Kokki valmisti sokeriliuosta sekoittamalla 50 grammaa sokeria 500 grammaan vettä. Laske-

taan, montako prosenttia sokeriliuoksessa oli sokeria?

359.

Koulussa oli 148 tyttöä. Paljonko oppilaita oli kaikkiaan, kun poikia oli 25 % vähemmän kuin

tyttöjä?

360.

Kuinka paljon vettä on haihdutettava 15 kilogrammasta 10 prosenttista suolaliuosta, jotta saa-

taisiin 14 prosenttinen liuos?

361.

100 grammaan vettä lisätään 20 g 80-prosenttista rikkihappoa. Kuinka moniprosenttista liuos

on?

362.

Asiassa on 400 grammaa 40-prosenttista suolaliuosta. Paljonko astiaan on lisättävä 10-

prosenttista suolaliuosta, että saataisiin 20-prosenttista suolaliuosta?

363.

Kultaseppä sulatti yhteen 300 grammaa metalliseosta, jonka kultapitoisuus oli 700 ‰ ja 500

grammaa metalliseosta, jonka kultapitoisuus oli 600 ‰. Paljonko lopullinen seos sisälsi kul-

taa?

364.

Humalatilan mittana käytetään kehossa olevan nesteen alkoholipitoisuutta promilleina. Yleen-

sä määritys tehdään verestä. Ihmisen painosta noin 70 % on nestettä. 55 kg painava henkilö

juo puoli pulloa väkevää viiniä, joka sisältää noin 60 g alkoholia. Kuinka korkeaksi veren al-

koholipitoisuus voi nousta promilleina?

365.

Röntgensäteily vähenee suojaliiveissä puoleen jokaisessa 0,50 mm paksuisessa suojakerrok-

sessa. Kuinka monta 0,50 mm kerrosta liivissä täytyy olla, jotta alkuperäisestä säteilystä pää-

see läpi alle 10 %? (pääsykoetehtävä insinöörikoulutukseen, Tampere 12.1996)

366.

101

Tietokilpailussa vastaukset soitetaan palvelunumeroon. puhelun hinta on 0,65 €/min + paikal-

lispuhelumaksu. Kilpailun palkintojen yhteisarvo on 26700 € Oletetaan, että kilpailun järjestä-

jä saa itselleen 75 % edellä mainitusta maksusta 0,65 €/min ja että yksi puhelu kestää keski-

määrin 3 minuuttia. Kuinka monta soittoa järjestäjän on saatava palkintojen arvon keräämi-

seen? (yo syksy 1998)

367.

Suolavesi painaa 930 kg ja siinä on 6,0 % suolaa. Suolapitoisuus on pienennettävä 3,5 %:iin

vettä lisäämällä. Kuinka paljon vettä on lisättävä? (pääsykoetehtävä teknikkokoulutukseen,

syksy 1994)

102

Indeksit

Indeksi on suhdeluku, joka kuvaa muutosta ajan kuluessa. Indeksiluvut voidaan ajatella pro-

senttiluvuiksi, joista on jätetty prosenttimerkki pois. Sana "indeksi" on alunperin latinaa ja

tarkoittaa osoittajaa, osoitinta, ilmaisinta, luetteloa tai rekisteriä. Indeksiä käytetään kuvaa-

maan esimerkiksi hintojen, kustannusten ja määrien kehitystä ajassa. Peruskaudeksi valitaan

usein se ajankohta, josta tarkastelu aloitetaan. Kun indekseillä kuvataan esimerkiksi koulun

oppilasmäärän muutosta vuosittain, verrataan jokaisen vuoden oppilasmäärää valittuun perus-

arvoon. Kuten prosenttilaskennassakin muutoksen alkukohteena oleva luku otetaan 100 pro-

senttisesti, on peruskauden indeksi 100. Jos peruskaudeksi valitaan esimerkiksi vuoden 2012

oppilasmäärä, merkitään se 2012 = 100.

Alkuperäisiin lukuihin verrattuna indeksiluvussa tulee selvemmin esille erojen suhteellinen

suuruus. Sen sijaan esimerkiksi koulun oppilasmääriä kuvaavien indeksilukujen perusteella ei

voida päätellä onko kyseessä iso vai pieni koulu. Indeksiluvuista nähdään suoraan, montako

prosenttia oppilasmäärä on kasvanut tai vähentynyt siitä ajankohdasta, joka valittiin perus-

vuodeksi. Indeksiluvuista ei sitä vastoin nähdä prosentuaalista nousua suoraan, jos kumpi-

kaan luvuista ei ole perusarvo. Tällöin ratkaisu kuitenkin löytyy tuttua prosenttilaskennan ta-

paa “Montako prosenttia jokin luku on suurempi kuin jokin toinen luku?” soveltamalla. Alku-

peräisiä tietoja tarvitaan, jos halutaan ymmärtää kunkin indeksein tarkasteltavan asian merki-

tys. Kansantalouden kehitystä seurataan monilla erilaisilla indeksisarjoilla. Tärkeitä indek-

sisarjoja on muun muassa hintojen muutoksia havainnollistavat kuluttajaindeksi ja elinkus-

tannusindeksi sekä asioiden kehitystä havainnollistava ansiotasoindeksi.

Jos kyseessä on samaan muuttujaan liittyvistä perättäisistä havainnoista, indeksiä kutsutaan

yksinkertaiseksi indeksiksi. Monet hintaindeksit ovat ryhmäindeksejä eli ne on yhdistetty use-

an hyödykkeen hintatiedoista. Esimerkiksi Tilastokeskuksen laatimaa kuluttajahintaindeksiä

laskettaessa otetaan huomioon kunkin hyödykkeen arvioitu osuus keskimääräisen kotitalou-

den kaikista kokonaismenoista. Osuus ilmaistaan niin sanotun painokertoimen avulla. Yksin-

kertaiset indeksit ovat käyttökelpoisia sinänsä, mutta yhteiskunnan kannalta tärkeimmät in-

deksit ovat ryhmäindeksejä, koska ne kuvaavat yleistä hintatasoa tai tuotantomäärien kehitys-

tä. Esimerkiksi kuluttajahintaindeksiä laskettaessa mukana ovat mm. elintarvikkeiden, vaat-

teiden, asumisen, terveydenhoidon, liikkumisen ja koulutuksen hinnat.

Suomessa kuluttajahintaindeksiä on laskettu vuodesta 1921 lähtien. Kuluttajahintaindeksi,

jonka perusajankohdaksi on valittu vuosi 2000, sisältää noin 490 tavaraa ja palvelua sekä näi-

hin liittyen yli 50 000 hintaa. Tietoja kerätään yhteensä 100 kunnasta ja noin 3 500 liikkeestä.

Kuluttajaindeksi seuraa keskimääräisen kotitalouden kulutusmenoja ja se lasketaan menetel-

mällä, jossa eri hyödykkeiden hinnat painotetaan niiden kulutusosuuksilla. Kuluttajahintain-

deksi on virallinen hintojen nousun eli inflaation mittari. Inflaatio eli rahan arvon heikkene-

minen tarkoittaa sitä, että hinnat nousevat ja samalla rahamäärällä saa entistä vähemmän tava-

roita ja palveluja. Deflaatio eli rahan arvon vahvistuminen tarkoittaa sitä, että hinnat laskevat

ja samalla rahamäärällä saa entistä enemmän tavaroita ja palveluja.

Kuluttajahintaindeksin laskentaperusteet uusitaan viiden vuoden välein. Tämän vuoksi se so-

pii hyvin lyhyen aikavälin tarkasteluihin. Esimerkiksi eläkkeet, palkat tai asuntojen vuokrat

voidaan sitoa kuluttajahintaindeksiin. Elinkustannusindeksien sarjaa sitä vastoin ylläpidetään

jatkuvasti, siksi sitä kannattaa käyttää pidempiaikaisten sopimusten indeksiehdoissa.

103

15. Muutos- ja vertailuprosentti

Esimerkki 1.

Taulukkoon on koottu erään peruskoulun oppilasmäärät vuosina 1999-2003. Miten oppilas-

määrät ovat muuttuneet vuodesta 1999?

vuosi 1999 2000 2001 2002 2003

oppilasmäärä 420 443 411 430 448

Muutoksia on helppo havainnollistaa prosenttilukujen avulla. Valitaan tarkastelun lähtökoh-

daksi vuoden 1999 oppilasmäärä 420 ja lasketaan jokaisen vuoden oppilasmäärän suhde vuo-

den 1999 oppilasmäärään.

vuosi oppilasmäärä suhde vuoden 1999 oppilasmäärään

1999 420 % 1001

420

420

2000 443 % 5,105055,1

420

443

2001 411 % 9,97979,0

420

411

2002 430 % 4,102024,1

420

430

2003 448 % 7,106067,1

420

448

Taulukosta nähdään, että vuonna 2000 oppilasmäärä kasvoi 5,5 %, vuonna 2001 oppilasmäärä

oli pienentynyt 2,1 % vuoden 1999 oppilasmäärästä jne.

Indeksiluvut kuvaavat prosentuaalista muutosta valittuun vertailuajankohtaan. Indeksiluvut

ovat periaatteessa prosenttilukuja, jotka merkitään ilman prosenttimerkintää. Mitkä ovat edel-

lisen esimerkin oppilasmäärien indeksiluvut vuosittain ja miten perusvuoden valinta merki-

tään? Indeksilukuja tarkasteltaessa pitää muistaa, että niistä nähdään suoraan prosentuaalinen

muutos ainoastaan perusvuoteen verrattuna. Jos halutaan vertailla muita indeksiarvoja keske-

nään, on laskettava lukujen välinen muutosprosentti.

104

Muutoksiin liittyy myös prosenttiyksikkö, joka tarkoittaa kahden prosenttiluvun erotusta.

Esimerkki 2.

Kuluttajahintaindeksi perusvuotena on käytetty vuotta 1995. Montako prosenttia kuluttajahin-

nat nousivat

a) vuodesta 1995 vuoteen 1996

b) vuodesta 1995 vuoteen 2000

c) vuodesta 1999 vuoteen 2002?

vuosi kuluttajahintaindeksi

1995 100

1996 100,6

1997 101,8

1998 103,2

1999 104,4

2000 108,0

2001 110,8

2002 112,5

(Lähde: Tilastokeskus)

Ratkaisu:

a) Jos muutosta verrataan perusajankohtaan, nähdään indeksiluvusta suoraan prosentuaalinen

nousu. Koska vuoden 1996 indeksiluku on 100,6, ovat kuluttajahinnat nousseet 0,6 %.

b) Koska vuoden 2000 indeksiluku on 108,0, ovat kuluttajahinnat nousseet 8,0 %.

c) Vuoden 1999 indeksiluku on 104,4 ja vuoden 2002 indeksiluku on 112,5. Nyt indeksilu-

vusta ei nähdä prosentuaalista nousua suoraan, koska ei verrata perusarvoon. Vastausta

haetaan kysymykseen: ”Montako prosenttia luku 112,5 on suurempi kuin 104,4?”

% 8,707759,04,104

4,1045,112

Vastaus: Vuosina 1995-1996 kuluttajahinnat nousivat 0,6 %, vuosina 1995-2000 nousua oli

8,0 % ja vuosina 1999-2002 nousua oli 7,8 %.

105

Tehtäviä

368.

Mihinkä liittyvät muutokset ainoastaan nähdään indeksin arvoista suoraan?

369.

Mikä tulee aina perusvuoden indeksiluvuksi?

370.

Mikä on viimeisin kuluttajahintaindeksin perusvuosi?

371.

Montako prosenttia

a) luku 5 on pienempi kuin luku 8

b) luku 8 on suurempi kuin luku 5?

372.

Montako prosenttia saat alennusta, jos joudut maksamaan 64 euron housuista 19,20 euroa?

373.

Erään puolueen kannatus nousi 20 prosentista 30 prosenttiin. Paljonko kannatus kasvoi

a) prosenttiyksikköinä

b) prosentteina?

374.

Montako prosenttia

a) painavampi on 85 kg kuin 68 kg

b) kevyempi on 68 kg kuin 85 kg?

375.

Perintö- ja lahjaveroasteikko (vuonna 2002)

perinnön verotettava

arvo [€]

vero alarajalla [€] vero alarajan ylittävästä

osasta [%]

3 400 – 17 000 85 10

17 000 – 50 000 1 445 13

50 000 - 5 735 16

Rintaperilliset (vanhemmat, puolisot, lapset ja lapsenlapset) maksavat perintöveroa taulukon

mukaisesti. Vero on kaksinkertainen sivuperillisille (esim. sisarukset ja sisarusten lapset) ja

muille vero on kolminkertainen. Paljonko perintöveroa joutuu maksamaan

a) Elli, jolle mummo on testamentannut 39 000 €

b) Jyri, jolle isä on lahjoittanut 3 000 €

c) Jenny, jolle isän pikkuserkku on testamentannut 62 000 €:n arvoisen asunnon?

376.

Mikä luku on 5 % pienempi kuin luku 600?

377.

106

Mikä luku on 7 % suurempi kuin 800?

378.

Hinta nousi 21 eurosta 25 euroon. Montako prosenttia hinta kasvoi?

379.

Suklaalevyn hinta nousee 1,50 eurosta 2,10 euroon ja television hinta 790 eurosta 950 euroon.

Kumpi hinta nousee suhteellisesti enemmän?

380.

Palkka nousi 2450 eurosta 2990 euroon. Montako prosenttia oli palkankorotus?

381.

Amandan kehon rasvaprosentti putosi 33 prosentista 24 prosenttiin. Paljonko rasvaprosentin

lasku oli

a) prosenttiyksikköinä?

b) prosentteina?

382.

Määritä sellaisen neliön sivun pituus, jonka pinta-ala kasvaa 32,0 m2, kun sivu kasvaa 50,0 %.

(pääsykoetehtävä insinöörikoulutukseen, kevät 1996)

383.

Koulutuslinjalle hyväksytyistä 207 opiskelijasta oli naisopiskelijoita 25 % enemmän kuin

miesopiskelijoita. Määritä nais- ja miesopiskelijoiden määrät muodostamalla sopiva yhtälö ja

ratkaisemalla tämä. (yo kevät 2004)

107

16. Prosenttilausekkeet

Tutkittaessa miten jokin prosentuaalinen muutos vaikuttaa yleisesti, ei voida valita muutosten

kohteeksi yksittäistä lukuarvoa. Tällöin muutokset on kohdistettava muuttujaan, jonka paikal-

le voidaan halutessa sijoittaa mikä tahansa lukuarvo. Prosenttilaskuissa vakiintunut käytäntö

on merkitä muuttujia aakkosten alkupään kirjaimilla a, b, ....

Jos laskut sisältävät esimerkiksi kaksi eri muuttujaa, on pyrittävä löytämään jokin yhteys eri

muuttujien välille. Näin päästään eroon toisesta muuttujasta.

Esimerkki 1.

Kirjoita tuotteen uusi hinta lausekkeena, kun vanhaa hintaa a

a) korotetaan 32 %

b) alennetaan 12 %.

Ratkaisu:

a) Hinta kasvaa 132 %:iin eli tulee 1,32-kertaiseksi. Uusi hinta on 1,32a.

b) Hinta alenee 88 %:iin eli tulee 0,88-kertaiseksi. Uusi hinta on 0,88a.

Esimerkki 2.

Lukuun lisätään ensin 15 % ja sitten siitä vähennetään 35 %. Montako prosenttia saatu luku

on alkuperäisestä luvusta?

Ratkaisu:

Ensimmäinen muutos:

100 % + 15 % = 115 % eli saadaan prosenttikerroin 1,15.

Toinen muutos:

100 % - 35 % = 65 % eli saadaan prosenttikerroin 0,65.

108

Koska lukua ei ole annettu, merkitään sitä muuttujalla a.

Muutetaan lukua vaadittujen prosenttien verran:

Lasketaan lopuksi, montako prosenttia tämä on alkuperäisestä luvusta

% 757475,00,7475

a

a

Vastaus: Luku on 75 % alkuperäisestä luvusta.

Esimerkki 3.

Aurinkokuivatuksella haihdutetaan tomaatista vettä. Tuoreen tomaatin vesipitoisuus on 80 %

ja aurinkokuivatetun tomaatin 25 %. Montako prosenttia vedestä on haihdutettava?

Ratkaisu:

Merkitään tuoreen tomaatin massaa a:lla ja kuivatetun tomaatin massaa b:llä. Lasketaan mui-

den aineiden määrät vähentämällä 100 %:sta veden osuus ja taulukoidaan molempien tomaat-

tien veden ja muiden aineiden osuudet.

tuore aurinkokuivattu

tomaatin massa a b

veden massa 0,80a 0,25b

muita aineita 0,20a 0,75b

Haihdutuksessa ainoastaan veden määrä vähenee. Muiden aineiden määrä pysyy samana. Tä-

män tiedon perusteella voimme muodostaa muita aineita koskevan yhtälön ja ratkaista sen a:n

suhteen.

Jäljellä olevan veden osuus alkuperäisestä vedestä on

109

Vettä on siis haihtunut % 92...9166,0...08333,01 .

Vastaus: Tomaatin vedestä on haihdutettava 92 %.

110

Tehtäviä

384.

Mikä on uusi hinta, kun hintaa x

a) alennetaan 15 %

b) alennetaan 45 %

c) korotetaan 12,5 %

d) korotetaan 60 %?

385.

Paljonko on

a) yksi prosentti luvusta a

b) p prosenttia luvusta a?

386.

Montako prosenttia

a) luku a on luvusta b

b) luku a on suurempi kuin b

c) luku b on pienempi kuin a?

387.

Mikä luku on p prosenttia

a) suurempi kuin luku a

b) pienempi kuin luku b?

388.

Montako prosenttia luku

a) 0,25a on luvusta a

b) 1,13a on luvusta a

c) a on luvusta 1,04a

d) 0,66a on luvusta 4a?

389.

Montako prosenttia luku

a) 0,852a on lukua a pienempi

b) 0,14a on lukua 0,58a pienempi

c) 1,23a on lukua a suurempi

d) 1,45a on lukua 0,7a suurempi?

390.

Miten mehun litrahinta muuttuu, jos uuteen pulloon mahtuu

a) mehua 20 % enemmän ja hintaa nostetaan 10 %

b) mehua 20 % vähemmän ja hintaa lasketaan 10 %?

391.

Bensiinin hinta nousi 20 %. Ossi päätti vähentää mopoilua 20 %, koska kuvitteli tällöin polt-

toainekulujen pysyvän samana. Miten Ossin polttoainemenot tällöin muuttuivat?

111

392.

Paljonko mopoilua pitäisi edellisessä tehtävässä vähentää, jotta polttoainemenot pysyisivät

samana bensiinin hinnannousun jälkeenkin?

393.

Suomen EU-äänestyksessä annettiin KYLLÄ-ääniä 57 % ja EI-ääniä 43 % äänestysprosentin

ollessa 71 %. Montako prosenttia KYLLÄ-äänien määrä oli äänioikeutettujen määrästä?

394.

Autoilija, jolla on 70 % bonus (eli alennus vakuutusmaksuista), maksoi liikennevakuutusmak-

sua 107,10 € vuodessa. Kuinka paljon hän olisi joutunut maksamaan, ellei hänellä olisi ollut

lainkaan bonuksia? (yo syksy 1994)

395.

Karamellipakkausta muutettiin siten, että sisältöä vähennettiin neljänneksellä. Samalla pakka-

uksen hintaa alennettiin kolmanneksella. Kuinka monta prosenttia karamellien kilohinta täl-

löin aleni? (yo syksy 1987)

396.

Tuotteen hintaa korotetaan kolmesti p %, mikä nostaa hinnan kaksinkertaisesti. Määritä koro-

tusprosentti p. (yo syksy 1998)

397.

Rusinoita saadaan viinirypäleistä kuivattamalla. Kuinka monta prosenttia rypäleiden vedestä

haihtuu kuivatuksessa, kun rypäleiden vesipitoisuus on 82 painoprosenttia ja rusinoiden 24

painoprosenttia? (yo kevät 1997)

398.

Eräällä laivalinjalla matkustajamäärä väheni 23 % edellisvuodesta. Kuinka monta prosenttia

matkustajamäärän pitäisi kasvaa, jotta päästäisiin entiseen määrään? (yo kevät 1995)

112

17. Binomin neliö ja neliöiden erotus*

Jos jokin binomi eli polynomi, jossa on kaksi termiä, korotetaan toiseen potenssiin, muodos-

tuu binomin neliö. Binomin neliö voidaan ratkaista polynomien kertolaskun avulla eli kerto-

malla kantaluku itsellään.

Helpommalla kuitenkin päästään käyttämällä binomin neliöiden laskukaavaa.

Sovelletaan polynomien kertolaskua tilanteeseen, jossa kahden termin summa kerrotaan vas-

taavien termien erotuksella. Tulos voidaan päätellä myös käyttämällä neliöiden erotuksen las-

kukaavaa.

Huom! Vastaavaa kaavaa neliöiden summalle ei ole.

Esimerkki 1.

Binomien neliöiden laskukaavat ovat

222 2)( bababa ja

222 2)( bababa .

Kahden neliön erotus on yhtä suuri kuin termien neliöjuurien summa kerrottuna niiden ero-

tuksella.

))((22 bababa

113

Kirjoitetaan binomien neliöt auki käyttäen laskukaavoja.

a) 96332)3( 2222 xxxxx

b) 22222 4129)2(232)3()23( yxyxyyxxyx

Muista huomioida koko kantaluku!

Esimerkki 2.

Jaetaan binomit tekijöihin tarkastelemalla ensiksi minkä termien neliöt ovat kyseessä.

Binomin neliön laskukaavaa voidaan soveltaa myös toisinpäin eli toisen asteen polynomien

termien perusteella voidaan päätellä, saadaanko se jonkin binomin neliöstä.

Esimerkki 3.

Onko polynomi 169 2 xx jonkin binomin neliö?

Ratkaisu:

Polynomin ensimmäinen ja viimeinen termi ovat positiivisia. Ensimmäinen termi on 3x:n ne-

liö ja viimeinen luvun 1 neliö.

Tutkitaan mikä olisi keskimmäisen termin oltava, jotta kyseessä olisi binomin neliö.

xxx 6132192 2 .

Se, onko binomissa kyseessä vähennys- vai yhteenlasku, selviää keskimmäisen termin etu-

merkistä.

114

Vastaus: Polynomi 169 2 xx on binomin 13 x neliö.

115

Tehtäviä

399.

Sievennä

a) 44 xx

b) )4)(4( xx

c) )4(4 xx

400.

Poista sulkeet.

a) )1)(1( xx

b) )33)(33( xx

c) )4)(4( xx

d) )25)(25( xx

401.

Poista sulkeet.

a) 2)1( x

b) 2)4( x

c) 2)6( x

d) 2)2( x

402.

Poista sulkeet.

a) 2)15( x

b) 2)2( x

c) 2)42( x

d) 2)( yx

403.

Poista sulkeet.

a) 26x

b) 212 x

c) 25x

d) 223 x

404.

Minkä binomin neliö on kyseessä?

a) 442 xx

b) 25102 xx

c) 9124 2 xx

d) 169 2 xx

405.

116

Esitä kuvion pinta-alan lauseke kolmessa eri muodossa.

406.

Poista sulkeet.

a)

2

1

yx

b)

2

3

1

x

c)

2

11

yx

d)

2

4

3

2

1

x

407.

Sievennä.

a) 22 )()( yxyx

b) 22 )()( yxyx

408.

Kirjoita lauseke )()( 222 yxyx yksinkertaisemmassa muodossa.

409.

Poista sulkeet ja sievennä.

a) 22 xx

b) 11 xx

c) 88 xx

d) xyyx

410.

Onko trinomi 964 2 xx jonkin binomin neliö?

411.

Osoita, että 22))(( bababa .

117

412.

Jaa tekijöihin.

a) 499 2 x

b) 22 x

c) 24 xx

d) 364 2 x

413.

Ratkaise yhtälöt hyödyntämällä tekijöihinjakoa.

a) 0252 x

b) 0273 2 x

c) 0102 2 xx

d) 0155 2 xx

414.

Kirjoita tulomuodossa.

a) 92 x

b) 1004 2 x

c) 116 2 x

d) 2x

415.

Jaa tekijöihin ja ratkaise lausekkeen nollakohdat.

a) 252 x

b) 29 x

c) 162 y

d) 2100 y

416.

Sievennä murtolausekkeet.

a) 22 ba

ba

b) 2

42

x

x

417.

Kirjoita ilman sulkeita.

a) )2)(2( aa

b) )13)(13( aa

c) )22)(22( aa

d) )87)(87( aa

418.

Sievennä lauseke 22 )10()10( xx .

419.

118

Jaa tekijöihin.

a) 22)( cba

b) 22 )()( acba

420.

Selitä kuvaajaa apuna käyttäen, miksi kahden neliön summaa ei voi jakaa tekijöihin.

421.

Sievennä lauseke (x--2

- y--2

) : (y - x) ja laske sen arvo, kun x = 3/4 ja y = - 2/3. (yo kevät

1986)

119

18. Vektorin käsite*

Vektoreilla eli nuolilla kuvataan suureita, joihin liittyy suuruuden lisäksi myös suunta. Nuolen

pituus kuvaa suureen suuruutta ja nuolen kärki osoittaa suunnan. Vektorisuureita ovat esimer-

kiksi nopeus ja voima. Jos auto ajaa tietyllä nopeudella, voidaan aina ilmoittaa mihin suun-

taan se on ajamassa. Nopeutta ei voi olla olemassa ilman suuntaa. Skalaarisuureilla puoles-

taan on ainoastaan suuruus ja ne ilmoitetaan mittaluvun sekä yksikön avulla. Skalaarisuureita

ovat esimerkiksi massa, aika ja pinta-ala. Vektoreita käytetään erityisen paljon fysiikassa.

Jos kahta pistettä A ja B yhdistävälle janalle AB annetaan suunta eli sovitaan, että toinen pis-

teistä on janan alkupiste ja toinen sen loppupiste eli kärki, saadaan suuntajana. Vektoriksi kut-

sutaan mitä tahansa edellisen suuntajanan pituista ja suuntaista nuolta.

Vektorit voidaan nimetä kahdella eri tavalla: Jos vektorin nimeämiseen käytetään alku- ja

loppupistettä, merkittään nämä isoilla kirjaimilla, joiden päällä on nuoli. Nuoli piirretään va-

semmalta oikealle, jolloin loogisesti ensiksi mainitaan alkupiste ja seuraavaksi loppupiste.

Vakiintunut käytäntö on myös nimetä vektorit pienellä kirjaimella, jonka päällä on joko nuoli

tai pelkkä viiva. Vektorin pituus ilmaistaan joko laittamalla vektorisymboli itseisarvomerk-

keihin tai jättämällä symbolista nuoli tai viiva pois.

Vektorit voivat olla yhdensuuntaisia tai erisuuntaisia. Yhdensuuntaiset vektorit voivat lisäksi

olla samansuuntaisia tai vastakkaissuuntaisia. Kaksi vektoria ovat samat, kun ne ovat yhtä

pitkät ja samansuuntaiset. Vektorit, jotka ovat yhtä pitkät ja vastakkaissuuntaiset, ovat toisten-

sa vastavektoreita. Jos vektorin alkupiste ja loppupiste yhtyvät, kutsutaan vektoria nollavekto-

riksi ja sitä merkitään 0 . Nollavektorin pituus on nolla ja sen suunta on määrittelemätön.

120

Vektoreita kuvataan yleensä koordinaatistossa. Samoin kun pituudessa tutkitaan, montako

kertaa tietty mitta sisältyy tutkittavaan kohteeseen, on vektoriesityksenkin pohjauduttava jo-

honkin mittaan. Koordinaatistossa vektoriesitys perustuu yksikkövektoreihin i ja j , joiden

pituudet ovat 1. Yksikkövektori i on x-akselin suuntainen ja j y-akselin suuntainen. Molem-

pien vektoreiden kärjet osoittavat akseleiden positiiviseen suuntaan.

Vektori voidaan kertoa reaaliluvulla, jolloin saadaan alkuperäisen vektorin kanssa yhdensuun-

tainen vektori. Jos vektori kerrotaan negatiivisella luvulla, muodostuu alkuperäisen vektorin

kanssa vastakkaissuuntainen vektori eli vastavektori.

121

Esimerkki 1.

Piirrä vektori

BA , kun A = (2, 4) ja B = (-2, 1) ja määritä vektorin pituus.

Ratkaisu:

Sijoitetaan pisteet koordinaatistoon. Vektorin nimestä voidaan tulkita, että vektorin alkupiste

on B ja loppupiste A.

Vektorin pituus 52534BA 22

Esimerkki 2.

Sievennetään vektorilausekkeet.

a) baabaaba 43443)(4

b) bababababa 4233)()(3

Huom! Yhdensuuntaisten vektoreiden laskeminen yhteen ja vähentäminen toisistaan vastaa

reaaliluvuilla laskemista. Erisuuntaisten vektoreiden yhdistämisessä on oltava tarkkana, sillä

tällöin on huomioitava myös vektoreiden suunnat. Tähän perehdytään seuraavassa kappalees-

sa.

122

Tehtäviä

422.

Jos vektori nimetään pienellä kirjaimella, miksi kirjaimen päällä oleva nuoli voidaan korvata

pelkällä viivalla?

423.

Onko suuntajana myös vektori?

424.

Nimeä kuvan vektorit.

425.

Nimeä edellisen tehtävän vektoreiden kärjet.

426.

Mitkä seuraavista kuvaavat vektorin pituutta?

a) AB

b) a

c)

AB-

d) a

427.

Onko kyseessä vektori- vai skalaarisuure?

a) lämpötila

b) kiihtyvyys

c) tilavuus

d) energia

e) voima

428.

Muodosta vektoreiden vastavektorit.

a) a

b) a

c)

AB

d)

AB

e)

CD

429.

Piirrä samaan koordinaatistoon seuraavat vektorit.

123

a) alkupiste on (-5, 0) ja loppupiste on (1, 4)

b) alkupiste on (5, 3) ja loppupiste on (1, 3)

c) alkupiste on (-1, 1) ja loppupiste on (-4, -1)

d) alkupiste on (-3, 5) ja loppupiste on (4, 5)

e) alkupiste on (-1, 1) ja loppupiste on (4, -1).

430.

Tarkastellaan edellisen tehtävän vektoreita. Mitkä niistä ovat

a) vektorin a kanssa vastakkaissuuntaisia

b) vektorin b kanssa vastakkaissuuntaisia

c) vektorin e kanssa erisuuntaisia

d) vektorin c kanssa samansuuntaisia

e) vektorin a kanssa yhdensuuntaisia?

431.

Laske edellisen tehtävän vektoreiden pituudet.

432.

Esitä yksinkertaisemmassa muodossa.

a) )( a

b) ))(( a

c) )))((( a

433.

Onko väite totta?

a) Vektori ja sen vastavektori ovat yhtä pitkät.

b) Yhdensuuntaiset vektorit tarkoittaa samaa kuin samansuuntaiset vektorit.

c) Yhdensuuntaiset vektorit voivat olla vastakkaissuuntaisia.

d) Vektorin alkupistettä sanotaan myös vektorin kärjeksi.

434.

Laske vektoreiden pituudet.

435.

Sievennä vektorilausekkeet.

a) aba 3)(3

b) )()(2 baba

c) bba 2)2(5

436.

Sievennä.

a) )(3)(2 abba

124

b) )(4)(2 baba

c) )2(2 ba

125

19. Vektoreiden yhteenlasku*

Vektoreille merkitsevää ovat ainoastaan niiden pituus

ja suunta, ei se, missä ne ovat. Siksi vektoreiden

paikkaa voidaan vaihtaa kunhan niiden pituus ja suun-

ta säilytetään. Vektoreita lasketaan yhteen siten, että

vektorit asetetaan peräkkäin suuntansa ja suuruutensa

säilyttäen. Summavektori on lyhyin reitti ensimmäi-

sen vektorin alkupisteestä viimeisen vektorin loppu-

pisteeseen. Vektorit voidaan asettaa peräkkäin missä järjestyksessä tahansa, sillä vektorien

yhteenlasku noudattaa vaihdantalakia.

Kun tarkastellaan vektoreiden avulla esimerkiksi nopeuksia, on tehtävä aluksi suuntasopimus.

Laskuissa varustetaan valittuun suuntaan osoittavan vektorisuureen arvo plusmerkillä ja vas-

takkaiseen suuntaan osoittavan miinusmerkillä. Suuntasopimus tehdään yleensä siten, että

laskut voidaan suorittaa positiivisilla luvuilla.

Kiihtyvyys on vektorisuure, joka suoraviivaisessa liikkeessä on samansuuntainen tai vastak-

kaissuuntainen nopeuteen nähden. Nopeuttaan lisäävän traktorin kiihtyvyys on nopeuden

suuntainen, mutta hidastuvan traktorin kiihtyvyys on nopeudelle vastakkainen.

Vektorien a ja b summa ba on se vektori, joka alkaa a :n alkupisteestä ja päätyy b :n

loppupisteeseen, kun a ja b on asetettu suuntansa ja suuruutensa säilyttäen peräkkäin.

126

Esimerkki 1.

Laiva seilaa kohti länttä nopeudella 60 km/h. Yllättäen siihen vaikuttaa etelätuuli, jonka no-

peus on 20 km/h. Mikä on laivan uusi kulkusuunta ja nopeus?

Ratkaisu:

Tilannetta voidaan havainnollistaa vektoreilla. Valitaan positiivisiksi suunnat etelästä pohjoi-

seen ja idästä länteen. Vektoreiden pituudet kuvaavat nopeuden suuruutta.

Nämä kaksi vektoria vaikuttavat siis laivan nopeuteen ja kulkusuuntaan. Yhteisvaikutus saa-

daan laskemalla vektorit yhteen.

Kuvan punainen vektori kuvaa kysyttyä nopeutta, sen pituus saadaan selville Pythagoraan

lauseen avulla

h

km 63)

h

km 60()

h

km 20( 22

ja kulma α tangentin avulla

18

h

km 60

h

km 20

tan

Vastaus: Laivan uusi nopeus on 63 km/h ja suunta muuttuu alkuperäisestä 18 kohti pohjois-

ta.

127

Tehtäviä

437.

Piirrä vihkoosi kuvan vektoreiden summavektori.

438.

Osoita vektoreiden avulla, ettei sillä ole väliä, missä järjestyksessä vektoreiden summavektori

muodostetaan.

439.

Mikä on edellisen tehtävän summavektorin pituus desimaalin tarkkuudella?

440.

Lentokone lentää pohjoiseen nopeudella 300 km/h. Siihen vaikuttaa voimakas tuulenpuuska

lännestä, jonka nopeus on 80 km/h. Mikä on lentokoneen uusi nopeus ja kulkusuunta?

441.

Kylpylässä on renkaan muotoinen uimarata, jonka pituus on 80 m. Uimaradassa veden vir-

taamisnopeus on 0,4 m/s. Jos tyynessä vedessä Anna Uimarin uintinopeus on 0,8 m/s, kauan-

ko kestää uimaradan uiminen

a) myötävirtaan

b) vastavirtaan?

442.

Helikopterin nopeus tyynellä ilmalla on 160 km/h. Helikopterin on määrä lentää 55 km poh-

joiseen. Kuinka kauan matka kestää, kun pohjoistuulen voimakkuus on 10 m/s.

443.

Keksitkö, miten vektoreita voidaan vähentää toisistaan?

444.

Keksitkö selitystä sille, miksi hidastuvuus on yleensä laskuissa negatiivinen?

445.

Mitä voit sanoa jarruttavan auton nopeus- ja kiihtyvyysvektorien suunnista toisiinsa nähden?

446.

128

Kappaleeseen vaikuttavat voimat 1F , 2F ja3F . Piirrä voimavektorien summa.

447.

Perustele, miksi summa ba saadaan myös vektoreiden a ja b muodostaman suunnikkaan

lävistäjänä.

448.

Muodosta vektorien avulla lauseke, jonka vastauksena saat vektorin a . Määritä a myös piir-

tämällä.

449.

Laske vektorin pituus, kun ja . (yo syksy 1994)

ba 32 jia 34 jib 2

129

20. Kertaustehtäviä

Desimaaliluvut

450.

Esitä desimaalilukuna.

a) 10

8

b) 9

2

c) 3

15

d) 6

510

451.

Esitä murtolukuna sievennetyssä muodossa.

a) 0,15

b) 0,8

c) 5,12

d) 7,55

452.

Esitä murtolukuna.

a) 8,0

b) 63,0

453.

Suomen valtion budjetti on ollut useita vuosia noin 30 miljardia euroa. Jos tämä rahasumma

jaettaisiin tasan kaikille suomalaisille, kuinka paljon kukin saisi? Suomen väkiluku on noin

viisi miljoonaa. (yo kevät 2002)

Tekijöihin jako

454.

Jaa luvut 256 ja 216 alkutekijöihin ja määritä lukujen

a) pienin yhteinen jaettava

b) suurin yhteinen tekijä.

455.

Määritä lukujen 45 ja 54

a) alkutekijät

b) suurin yhteinen tekijä

c) pienin yhteinen jaettava.

130

Polynomit

456.

Montako termiä on

a) binomissa

b) trinomissa

c) monomissa?

457.

Vähennä binomista ba 416 2

a) monomi b7

b) binomi 98 2 a

c) trinomi 562 ba

458.

Sievennä.

a) aa

b) 22 bb

c) cc 64

d) 23 cdd

459.

Sievennä.

a) )2)(1( aa

b) )3)(5( bb

c) )2)(6( cc

460.

Sievennä lausekkeet.

a) baaba 2

b) 3322 )3(2 bababa

(pääsykoetehtävä teknikkokoulutukseen, kevät 1996)

Polynomin esittäminen tulona

461.

Mikä on osittelulaki?

462.

Jaa tekijöihin.

a) 42 a

b) aa 2

c) yxy 3

d) yx 48 2

463.

131

Esitä tulomuodossa.

a) ay + by

b) 8xy + 4y

c) xx 42

d) 23 54 xxx

Toisen asteen polynomifunktio

464.

Päättele huipun koordinaatit, kun paraabelin yhtälö on

a) 2xy

b) 12 xy

c) 42 xy

d) 92 xy

465.

Määritä x-koordinaatin arvo, jossa edellisen tehtävän paraabelit leikkaavat x-akselin.

466.

Piirrä samaan koordinaatistoon paraabelit 2xy ja 42 xy .

Vaillinaiset toisen asteen yhtälöt I

467.

Mihin suuntaan paraabelit aukeavat?

a) 125 2 xxy

b) xxy 24

c) 88 2 xy

d) 439 2 xxy

468.

Mitkä edellisten tehtävän yhtälöistä ovat vaillinaisia toisen asteen yhtälöitä?

469.

Ratkaise yhtälöt.

a) 0492 x

b) 0100010 2 x

c) 012 x

470.

Millä x:n arvoilla funktio 35)( 2 xxxf saa arvon 3?

Vaillinaiset toisen asteen yhtälöt II

132

471.

Ratkaise.

a) 02 xx

b) 0510 2 xx

c) xx 24 2

472.

Toisen asteen yhtälön yleinen muoto on 02 cbxax . Mikä vaikutus arvoilla a, b ja c on

funktion kuvaajaan?

473.

Ratkaise tulon nollasäännön avulla yhtälö xx 36 2 .

474.

Kun eräs luku x korotetaan ensin neliöön ja sitten siitä vähennetään luku x kerrottuna luvulla

6, saadaan erotukseksi nolla. Muodosta yhtälö ja ratkaise sen avulla luku x.

Murto- ja verrantomuotoisen yhtälön ratkaiseminen

475.

Laske.

a) 4

1

4

3

b) 6

2

6

4

c) 6

4

3

2

d) 15

2

5

1

476.

Laske.

a) aa

32

b) bb

69

c) 13

b

d) aa

5

2

11

477.

Laske.

133

a) 5

4

3

b) 7

4

9

6

c) 3

2:

7

4

d) 10

9:8

478.

Onko murtolauseke määritelty kohdassa x = 0?

a) 2

2x

b) x

x6

c) x

x

8

52

d) xx

x

2

479.

Ratkaise edellisen tehtävän murtolausekkeiden nollakohdat.

480.

Sievennä.

a) 1

44

x

x

b) 1

122

2

a

aa

481.

Murtolukuja ei pidä laskea yhteen seuraavasti: 42

3

42

3

aa. Millä a:n arvolla kuitenkin

saadaan oikea tulos? (yo syksy 1993)

482.

Ratkaise yhtälö

31086

xx

.

(Tarkka arvo ja likiarvo kolmen desimaalin tarkkuudella.) (yo kevät 1992)

Suoraan ja kääntäen verrannollisuus

483.

Päättele onko x:n ja y:n välillä säännöllistä riippuvuutta.

134

484.

Kartan mittakaava on 1 : 10 000. Kuinka pitkä matka on luonnossa, kun se kartalla on 5,0 cm?

485.

150 eurolla saa 1085 Norjan kruunua. Montako euroa saa 520 kruunulla?

486.

Auton jarrutusmatka on suoraan verrannollinen nopeuden neliöön. Jos auto vaatii soratiellä

pysähtyäkseen nopeudesta 20 km/h 2,7 m, kuinka pitkä on jarrutusmatka nopeudesta 80

km/h?

487.

Suureiden o, p, q ja r välillä on voimassa verranto r

q

p

o . Millainen riippuvuussuhde on

a) o:n ja q:n välillä

b) p:n ja q:n välillä

Potenssit ja juuret

488.

Sievennä.

a) a

a

2

10 2

b) 3

2

2

8

a

a

c) ab

ba

6

12 4

d) 5

47

6

2

ab

ba

489.

Minä vuonna täyttää 1983 syntynyt henkilö yhden gigasekunnin (= 109 sekuntia)? Laskussa ei

tarvitse ottaa huomioon karkausvuosia. (yo kevät 2002)

Prosentti- ja promillelaskentaa

135

490.

Hintoja korotettiin 15 %. Laske tuotteiden uudet hinnat, kun alkuperäiset hinnat olivat

a) 40 €

b) 20,50 €

c) 151,40 €.

491.

Pyry valmistaa mansikkahilloa sekoittamalla 2 kg mansikoita 800 g sokeria. Mikä on hillon

sokeripitoisuus?

492.

Tarvitset 4,0 kg 20-prosenttista sokeriliuosta. Paljonko laitat siihen

a) vettä

b) sokeria?

493.

Autossa on 10 litraa 27 % pakkasnestettä. Siitä haihtuu 1 litra vettä. Moniko prosenttista pak-

kasneste on tämän jälkeen? (pääsykoetehtävä teknikkokoulutukseen, kevät 1995)

494.

Kuution sisälle asetetaan mahdollisimman suuri pallo. Montako prosenttia laatikon tilavuu-

desta jää tyhjäksi?

495.

Kameran valmistaja ilmoitti erään kameran lyhimmäksi valotusajaksi . Tarkistusmitta-

uksessa osoittautui todelliseksi valotusajaksi . Määritä virheprosentti. (yo kevät 1985)

Muutos- ja vertailuprosentti

496.

Montako prosenttiyksikköä työttömyysaste muuttuu, kun se vähenee 5,8 prosentista 4,1 pro-

senttiin?

497.

Mehun sokeripitoisuutta vähennetään 2,5 prosentista 2,0 prosenttiin. Paljonko vähennys on

prosentteina?

498.

Marko painaa 75 kg ja Annika 58 kg. Kuinka monta prosenttia painavampi on Marko kuin

Annika?

Prosenttilausekkeet

499.

s 500

1

s 435

1

136

Erään lainan vuotuinen korko nousi 11 prosentista 12,5 prosenttiin. Kuinka monta prosenttia

lainan korkokulut tällöin nousivat? (yo kevät 1990)

500.

Vuonna 1981 oli maamme korkeakouluissa jokaista opettajaa kohti keskimäärin 13 opiskeli-

jaa. Vuoteen 1991 mennessä oli opiskelijoiden määrä kasvanut 37,3 % ja opettajien määrä

20,6 %. Kuinka monta opiskelijaa oli vuonna 1991 jokaista opettajaa kohti? (yo kevät 1994)

501.

Seuramatkan hinnasta lennon osuus on 50 %. Lennon hinnasta 30 % on polttoainekustannuk-

sia. Polttoaine kallistuu 10 %. Kuinka monen prosentin nousun tämä aiheuttaa matkan koko-

naishintaan? (yo kevät 1991)

502.

Desinfiointiliuosta sisältävän astian kyljessä on ohje: Väkevyys 40 % - laimenna ennen käyt-

töä 5-prosenttiseksi liuokseksi. Missä suhteessa liuosta ja vettä on sekoitettava ja kuinka pal-

jon näitä on kaadettava 10 litran sankoon, että sanko tulisi täyteen 5-prosenttista liuosta? (yo

syksy 1997)

503.

Pankkilainaa hoidetaan kuukausittain maksamalla korkoa ja tuhannen markan lyhennys.

Syyskuussa 1997 lainan hoitokulut ovat 1308 mk. Vuotuinen korkoprosentti on 8,59. Milloin

laina on kokonaan maksettu? (yo syksy 1997)

137

Harjoituskoe

1.

Ratkaise yhtälö 0164 2 x .

2.

Ratkaise yhtälö 042 2 xx .

3.

Sievennä.

a) aba 82

b) )4)(4( xx

c) 2)3( x

4.

Ratkaise yhtälö ).1(2)9(2 xxx

5.

Ratkaise yhtälö .

6.

Sievennä murtolauseke 2

2

44

22

yxy

xyx

. Millä x:n ja y:n arvoilla murtolauseke on määritelty?

xx

4

1

3

138

Harjoituskokeen ratkaisut

1.

Vastaus: 2x tai 2x

2.

Vastaus: 0x tai 2x

3.

a)

b) Kyseessä on summan ja erotuksen tulo, joka voidaan kirjoittaa neliöiden erotuksena:

c) Kyseessä on binomin neliö:

4.

Kerrotaan yhtälön )1(2)9(2 xxx sulkeet auki.

Vastaus: x = 3 tai x = -3

5.

babaabaaba 4168282 2

16)4)(4( 2 xxx

96)3( 22 xxx

139

Murtoyhtälö on määritelty, kun 1x ja .

Vastaus: 4x

6.

Esitetään sekä osoittajassa että nimittäjässä olevat polynomit tuloina ja supistetaan yhteisillä

tekijöillä.

Murtolauseke on määritelty muualla paitsi nimittäjän nollakohdissa. Sovelletaan tulon nolla-

sääntöä sievennetyssä muodossa olevaan murtolausekkeeseen. Nimittäjä on nolla, jos

Vastaus: Murtolauseke on määritelty, kun 0y ja yx .

xx

4

1

3

0x

140

Vastaukset

1.

a) on

b) ei

c) on

d) on

e) on

2.

a) 0,7

b) 2,4

c) 3,1

d) 100

3.

a) 2,79

b) 0,13

c) 800,00

d) 45,12

4.

a) 5000 g

b) 0,5 mm

c) 10,8 kg

d) 191 cm

5.

a) 0,22

b) 13000

c) 150

d) 14000

6.

a) viisi

b) yksi

c) yksi

d) viisi

7.

-

8.

a) 0,25

b) 0,75

c) 0,4

d) 0,6

9.

a) 0,65

141

b) 1,375

10. a) 20

b) 180

c) 0,87

d) 5

11. a) 50,30 €

b) 2,50 €

c) 32,25 €

d) 5,55 €

12.

a) 25

3

b) 5

3

c) 20

9

d) 50

11

13.

a) 500

101

b) 8

5

c) 25

21

d) 40

7

14.

a) 200

149

b) 125

7

c) 20

3

d) 500

23

15.

a) 5

4

142

b) 25

8

c) 20

11

d) 50

49

16. a) 0,167

b) 0,091

c) 0,063

d) 0,025

17. kokonaisosa, desimaaliosan

18. a) 4,014014…

b) 0,0512512…

c) 2,055…

d) 0,57434434…

19.

a) 25,5

b) 1503,0

c) 0163,5

d) 1405,7

20.

a) 2,0

b) 45,0

c) 5,0

d) 51,0

21. a) 0,46

b) 1,75

22.

a) 55

14

b) 36

2

c) 66

78

143

d) 12

58

23.

a) 3

1

b) 15

1

c) 11

3

d) 11

6

24.

a) 9

1

b) 3

2

c) 333

101

d) 33

5

25.

33

172

26. 11 %

27. a) ei

b) on

c) ei

d) on

e) on

28. a) 0

b) 1

c) 2

d) 1

e) 0

29. a) 3

b) 5

c) 9

144

d) 4

30. -

31. 15, 25, 30, 60, 85, 100

32. a) 1008

b) 51

c) 110

33. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

34. a) 6

b) 105

c) 198

35. 9, 36, 102, 822, 300, 4002

36. a) 15

b) 7

c) 9

d) 3

37.

a) 1322

b) 664

c) 2212 d) 644

38. a) 1, 2, 3, 4, 6, 12

b) 1, 3, 7, 21

c) 1, 2, 4, 8, 16, 32

d) 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

39.

a) 5323

b) 2532

40. a) Yhdistetty luku voidaan jakaa tekijöihin, alkulukua ei.

b) Alkuluvulla on kaksi tekijää ja luvulla yksi on ainoastaan yksi tekijä.

145

41. a) on

b) ei

c) ei

d) on

e) ei

42. 79, 101, 151, 241

43. -

44. a) 1, 2, 7, 14

b) 1, 2, 4, 7, 14, 28

c) 1, 7, 49

d) 1, 2, 5, 10, 25, 50

45. -

46. a) 6 ja 15

b) 3

c) 30

47.

alkutekijät ovat 22 52 , 1153

a) 5

b) 3300

48.

alkutekijät ovat 23 532 ja 13523

a) 10

b) 70200

49. a) kyllä

b) ei

c) ei

d) kyllä

50. Kyseessä on päättymätön jaksollinen desimaaliluku. Jaksoton päättymätön desimaaliluku ei

voi olla murtolukumuodossa.

51. a) 576 ja 168

b) 24

146

c) 4032

52. a) 840

b) 12

53.

Lukujen 3212 2 ja 53230 pienin yhteinen jaettava on 605322 . Bussit lähtevät

samaan aikaan 60 min lähdön jälkeen eli 8.00.

54. kyllä

55.

a) 72 xx b) 55 22 ba

c) uuau 342 234

d) 753 bb

56. -

57. a) 4

b) 2

c) 17

d) -8

58. a) 2b

4, -5b

2, 7b, 3

b) 4, 2, 1, 0

c) 4

59.

a) 220x

b) xy4

c) ba 28

60. a) 5

b) 11

61.

a) ba 88

b) ba 22

c) ba 2015

d) ba 1012

62.

147

a) 3a

b) 5b – 2

c) 9c –5

d) d + 3

63. a) –10a + 11

b) 782 aa

c) 19 2 aa

64.

a) 22 43 baba

b) 22 8102 baba

c) 1522 aa

d) 1427 baba

65.

a) 1242 xx

b) 12 2 xx

c) 2142 xx

d) 22 xx

66.

a) 15 x

b) 3 x

c) 26 2 xx

67.

a) xx 22

b) 232 2 xx

c) 22 2 x

d) 276 2 xx

68. a) a = 3

b) a = 0

69. a) 0

b) 522 aa

70. 12

71.

a) 22 2 baba

b) 962 xx

148

c) 25102 yy

72.

414142 24 xxx

73.

a)

b)

c)

74.

a) 6332322 512)8()53( baababab

b) 3363633232 15212527)5()3( bababaabab

75.

0

81478147

)8147()8147(

)841052()821234(

)2)(45()4)(23()(

2323

2323

223223

22

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxxxxxx

xxxxxxxf

Funktio on vakiofunktio 0, joten sen kaikki arvot ovat nollia.

Vastaus: 0)( xf ja arvot kohdissa 0, 2 ja 4 ovat nollia.

76. a) 2

b) a

c) 24a

d) 510a

77. a) 4

b) -3

c) 5

d) -6

78. 3a + 15 = 3(a + 5)

79. a) x

b) 2

c) y

d) 3

80.

a) )(2 yx

38222 xxxx

xxxxxx 2115)15()2( 23

yxyyxyxyy 4433)1()43( 22

149

b) )2(3 ba

c) )43(2 yx

d) )12(2 a

81. a) 5

b) –4

c) x

d) xy

82. a) 5(2x + y)

b) –4(2x + y)

c) x (2x + y)

d) xy(2x + y)

83. a) a(a + 1)

b) 2a(a + 1)

c) –3a(a - 1)

84.

a) )2(5 x

b) )3(5 x

c) )52(3 x

d) )2(7 x

85.

a) )54(2 y

b) )3(3 y

c) )2(11 y

d) )85(3 2 y

86.

a) )32(3 yx

b) )(5 yx

c) )32(4 a

d) )2(5 ba

87. ac + bc = c(a + b)

88.

a) )2( yx

b) )( aba

c) )12(2 ab

d) )12(2 xx

150

89.

a) )5(3 xx

b) )32(2 xx

c) )3(3 yy

d) )32(4 yy

90. a) a(bc + 1)

b) z(xy - ab)

c) cd(ab - 1)

d) x(x + 1)

91.

a) )1( aa

b) )4( tt

c) )23( 2 dd

d) )23(2 nmm

92. 3 + 3x + y + xy = (1 + x)(3 + y)

93. ac + bc + ad + bd = (a + b)(c + d)

94.

a) zy

b) yx

95.

a) )6)(5( yx

b) )6)(4( yx

c) )3)(5( xy

d) )(13 yx

96.

a) )( yx )( ba

b) )( ba )( yx

c) )( ax )( bx

d) )( ax )( bx

97.

a) 1072 xx

b) 1282 xx

c) 822 xx

98.

151

a) )4)(3( xx b) )2)(6( xx

c) )6)(2( xx

d) )2)(5( xx

99.

a) 5x b) 7x

c) 4x

d) 2x

100.

a) )5)(2( xx

b) )3)(2( xx

c) )2)(1( xx

d) )3)(4( xx

101.

a, b, c

102.

-

103.

a) ylöspäin

b) alaspäin

c) ylöspäin

d) alaspäin

104.

a) 12

a) 12

b) 75

c) 108

105.

a) 4

b) 6

c) 6

d) 10

106.

a) kaksi

b) nolla

c) yksi

d) kaksi

107.

152

Funktio on sääntö, joka liittää jokaiseen muuttujan x arvoon täsmälleen yhden funktion arvon

f(x).

108.

109.

110.

a) (0, 0)

b) (0, 0)

c) (0, 0)

d) (0, 0)

111.

a) ylöspäin, funktion suurinta arvoa ei voi määrittää, pienin arvo on 0

b) alaspäin, funktion pienintä arvoa ei voi määrittää, suurin arvo on 0

c) ylöspäin, funktion suurinta arvoa ei voi määrittää, pienin arvo on 0

d) alaspäin, funktion pienintä arvoa ei voi määrittää, suurin arvo on 0

112.

a) suurinta arvoa ei voi määrittää, pienin arvo on –3

b) suurin arvo on 3, pienintä arvoa ei voi määrittää

113.

ei

114.

-

115.

153

a) C

b) A

c) D

d) B

116.

(3, -2)

117.

0, 1 tai 2

118.

Kyseessä on ympyrän pinta-alan yhtälö.

119.

a) F

b) D

c) A

120.

x = 0 ja y = 0 tai x = 1 ja y = 1

121.

Yhtälö suorakulmion alalle on 225

2

250xxx

xy

.

Lasketaan muutamia x:n ja y:n arvoja ja piirretään pisteiden avulla kuvaaja.

154

Kuvaajasta nähdään millä x:n arvolla saavutetaan suurin y:n arvo. Tämä saavutetaan kun x =

12,5 m, jolloin toisenkin sivun pituudeksi tulee sama.

Vastaus: Suurin pinta-ala on neliön muotoisella aitauksella, jonka sivun pituus on 12,5 m.

122.

a) ei

b) ei

c) ei

d) on

123.

a) 2x

b) 4x

c) 1x

d) 3x

124.

a) 5x

b) 6x

c) 9x

d) 10x

125.

a) 3x

b) 6x

c) ei ratkaisua

d) 7x

126.

a) 3x

b) 2x

c) 3x

d) 20x

127.

155

128.

a) (0, 1)

b) (0, 8)

c) (0, -14)

d) (0, -100)

129.

a) 5,0 m

b) 4,0 cm

c) 7,0 mm

130.

-

131.

-

132.

a) x = 0

b) 1x

c) 2x

d) 7x

133.

a) 10x

b) 5x

c) 4x

134.

a) 7y

b) 4y

c) 2

1y

d) 6y

135.

a) 7x

b) ei nollakohtia

c) 2

1x

156

d) ei nollakohtia

136.

-

137.

h

Vr

138.

15,152 xx

139.

2,5 cm

140.

58 cm

141.

a) 2x

b) 12x

c) 3x

142.

a

cx

143.

2,76 cm

144.

3712 x , 6x

145.

a) ax

b) 2

ax

146.

-

147.

a) on

b) ei

c) on

148.

157

a) ei

b) on

c) on

149.

a = 0 tai b = 0

150.

a) x = 0 tai x = 2

b) x = 0 tai x = -3

c) x = 1 tai x = 5

d) x = 0 tai x = 2

151.

a) x = 0 tai x = -1

b) x = 0 tai x = 1

c) x = 0 tai x = -1

d) x = 0 tai x = 5

152.

a) x = 0 tai x = 1

b) x = 0 tai x = 1

c) x = 0 tai x = 1

d) x = 0 tai x = 1

153.

a) x = 0 tai x = -1

b) 2

1 tai0 xx

c) 3

1 tai0 xx

d) 5

1 tai0 xx

154.

a) x = 0 tai x = -2

b) x = 0 tai x = 1

155.

2

3x

156.

a) x = 0 tai x = 1

b) x = 0 tai x = -1

c) x = 0 tai x = -2

157.

042 xx , 0x tai 4x

158

158.

x = 0 tai x = -2

159.

a) 0x tai 2

1x

b) 2

1x

c) 2

1x

160.

-

161.

a) 0x ja 4x

b) määritelty kaikilla x:n arvoilla

162.

a) x = 0, x = -3, x = 2

b) x = 0, x = 3, x =1

c) x = -6, x = 9

d) x = 0, x = 4, x =1

163.

072 xx , 0x tai 7x

164.

0)24)(13(

0)3612)(13(

0)13)(36()12)(13(

)13)(36()12)(13(

xx

xxx

xxxx

xxxx

013 x tai 024 x

Vastaus: 2

1x tai

3

1x

165.

a) 2s

m 81,9

b) t = 0 s tai t = 1,6 s

166.

a) x = 0 tai x = 1 tai x = -1

b) x = 0 tai x = 2 tai x = -2

167.

a) x = 0 tai x = 100

159

b) x = 10 tai x = -10

c) x = 0

168.

a) x = 1 tai x = -2

b) 31x

169.

a) 9

1x

b) 3

1x tai

4

1x

170.

Olkoon jäsenten lukumäärä x, saadaan yhtälö

0384168

)2(8192)2(192

)2(|82

192192

2

xx

xxxx

xxxx

oltava 2,0 xx

x = 6 tai x = -8, joista ainoastaan positiivinen ratkaisu kelpaa lukumääräksi.

Vastaus: Jäseniä on 6.

171.

a) 3

22

b) 5

22

c) 3

216

d) 3

24

172.

a) 35

31

b) 15

72

c) 2

11

d) 6

5

173.

a) 5

31

160

b) 9

4

c) 5

4

d) 7

1

174.

a) 10

3

b) 10

7

c) 10

1

d) 5

2

175.

a) 7

416

b) 12

710

c) 4

15

d) 20

75

176.

a) a

7

b) ab

ab

c) 6

23 ba

d) b2

1

177.

a) on

b) ei

c) on

d) ei

178.

161

a) 30

11x

b) 15

x

c) xy

xy 43

d) by

aybx

179.

a) 4

9

b) 2

1

c) 5

21

d) 2

1

180.

a) 0x

b) 1x

c) 0x

d) 3x

181.

a) 12

ab

b) 15

2a

c) 18

ab

d) x

24

182.

a) 6

5

3

2

6

aaa

b) 23

2

6

aaa

c) 93

2

6

2aaa

d) 4

1

3

2:

6

aa

183.

162

a) 6

2x

b) y5

4

c) y

x

5

8

d) 27

x

184.

a) a

a

aa

11 2

b) a

a

aa

11 2

c) 11

aa

d) 21: a

aa

185.

a) 5x

b) 1x

c) 1x

d) 4x

186.

a) 500 g

b) 250 g

c) 1 g

187.

a) 2

3

b) 1

c) 16

5

d)

188.

a) 32

3

b) 4

3

c) 16

3

16

9

163

d) 8

3

189.

a) 2

1

a

a

b) 1

46

a

a

190.

Positiiviset murtoluvut, joiden summa on 10 ovat 1

9 sekä

2

8,

3

7,

4

6,

5

5,

6

4,

7

3,

8

2,

9

1. Näistä kaikki

muut voidaan supistaa, paitsi 3

7 ja

7

3,

9

1.

191.

a) 3

1

b) 31

23

192.

5

3

y

x

193.

413

5211))

xy

yx

xy

xy

xy

x

xy

y

yx

xy

194.

a) 2

b) 2

1

c) –1

d) -5

195.

a) 6

1

b) 2

3

c) 4

3

d) -1

196.

164

a) 2a

b) 2b

c) 3c

d) 4d

197.

-

198.

a) 8

b) 9

c) 5

d) 2

199.

y

x

18

11

200.

a) 1x

b) 4x

c) 2x

d) 8x

201.

a) x

b) 2x

c) 3

3 1

xx

d) x

x11

202.

a) 5x

b) 2

c) 4x

d) 2

3

203.

a) 8x

b) 3

c) y

3

d) 32b

204.

165

a) 2

5

b) y

x

c) –3

d) x4

205.

a) x

b) 2

1

y

c) 6n

d) 2k

206.

a) 44x

b) 32x

c) 315x

207.

a) x2

b) 2

3

y

c) t

6

d) 3

2m

208.

a) 7x

b) 3y

c) 2n

d) k

1

209.

a) 4a

b) 70b

c) 25c

210.

a) b10

b) ab2

c) ei ratkaisua

166

211.

a) 324 ba

b) 2

75vu

c) 133 mm

212. 29x

213.

a) 23x

b) y3

c) 210x

214.

8a

215.

a) 3a

b) 5

c) 2c

216.

a) 3

2

b) 2

3

3

2

y

x

c) 2

2y

d) z

x

3

8 2

217.

a) 39b

b) c

ba

4

4

218.

ba 28

219.

a) 2x - 1

b) –x + 6

c) –4x - 2

167

220.

a) 5

4

b) 2

c) 1

221.

a) 6 cm + 1 mm

b) 1 km – 5 m

c) 2 kg + 10 g

222.

a) 2x

b) 32 x

c) yx 54

d) 23 y

223.

a) 2x + 1

b) 4x + 5

224.

a) a + b

b) 2a + 1

c) 4x + 2y

225.

a) 12 x

b) 5a - 4

c) 2a + 6

226.

a) 4

3

b) x

x 23

c) 3

d) ba

227.

a) 3

4

b) 4

3

c) 2

d) 2

228.

168

a) ei sievene

b) 1

c) -1

229.

a) a – 1

b) 4

3

c) ei sievene

230.

a) 5a

b) a

c) ei ratkaisua

231.

termejä –3a ei voi supistaa

232.

a) 4a – 1

b) a –1

c) 4

233.

-

234.

a) 148 2 a

b) aa 22 3

c) 8408 23 aa

235.

a) 2

b) 3

1

c) ei sievene

236.

a) 3)(

5

ba

b) 2)(2

1

ba

237.

a) 23

5

7

2

ca

b

b) ac

b

5

6

169

238.

a) xyz

zyx 32

b) 222

542

zyx

yzxzxy

239. 232 2541 yxyxxy

240.

aabba 3930 32

241.

b

a9, 18

242.

2

2

22

2

4222

32

6422

1)1(

)1)(1(

)1(

)1(abab

ab

ababab

abab

baba

baab

baba

Lasketaan sitten lausekkeen arvo:

10102101010102 101)101(1)10101(1010)1( abab

243.

Yhtälössä kaksi lauseketta on merkitty yhtä suuriksi.

244.

a) on

b) on

c) ei

d) ei

245.

b, c ja d

246.

a) kaikki reaaliluvut

b) 0x

c) 1x

d) 0x

247.

a) 12x

b) 16y

c) 27z

170

d) 32x

e) ei ratkaisua

248.

a) x = 12

b) x = 4

c) x = 15

d) x = 3

249.

b ja d

250.

a) x = 5

b) x = 6

c) x = 10

251.

252.

a) 3

5x

b) 0x

c) 6

1x

d) 3x

253.

a) ratkaisuksi kelpaavat kaikki muut luvut paitsi x = -1

b) ei ratkaisua

254.

3x

255.

a) x = -6

b) 2

1x

256.

171

a) x = 1

b) x = 5

257.

7

81x

258.

-

259.

ei ratkaisua

260.

x = 20

261.

5

1609

CF

262.

x

x 1, ei nollakohtia

263.

a)

b)

264.

24

265.

x = -14

266.

5

22x

267.

2

13

x, x = 6

268.

Sijoitetaan yhtälöön muuttujien arvot.

a)

1122 )( vttav

a

atvvt

212

1

172

6

122

1532

35

32

x

x

x

x

2:

)5(

b)

11

21

11

13

1311

15122

)54(32

1

3

54

2

354

2

x

x

xx

xx

x

x

x

x

Vastaus: a) x = -6 ja b)11

21x

269.

fa

afb

270.

a = 80

271.

11

1

43

32432

246 x

24

6

x

x Kerrotaan ristiin.

3

24

3

14

143

682

826

)4(26

x

x

x

xx

xx

xx

Vastaus: 1432 ja 3

24x

272.

173

2

3x

273.

10

02

1pp

pTT

274.

m = 710

275.

kyllä

276.

suorat n ja k

277.

a)

a b

1 2

2 4

3 6

4 8

5 10

b)

a b

1 3

2 6

5 15

6 18

10 30

c)

a b

2 2,5

4 5

8 10

12 15

20 25

278.

a)

a b

40 2

20 4

10 8

5 16

b)

a b

174

1 12

12 1

3 4

4 3

c)

a b

8 32

16 16

4 64

32 8

279.

350 m

280.

suoraan verrannollisia

281.

3 h

282.

a) £6

b) £60

283.

8 päivässä

284.

a) 2,40 €

b) 4,75 €

c) 13,30 €

d) 38 €

285.

30 ml

286.

6

287.

1,1 km

288.

14,75 €

289.

212 €

290.

a) D

175

b) C

291.

-

292.

a) suoraan verrannollisuus

b) kääntäen verrannollisuus

293.

b ja c

294.

720 litraa

295.

a) suoraan

b) suoraan

c) kääntäen

296.

a) suoraan

b) ei mitenkään

297.

18 %

298.

-

299.

-

300.

a) suoraan verrannollinen

b) suoraan verrannollinen

c) kääntäen verrannollinen

d) suoraan verrannollinen neliöön

e) kääntäen verrannollinen neliöön

f) suoraan verrannollinen kuutioon

301.

a) suoraan

b) suoraan

c) kääntäen

302.

kääntäen verrannollisia

303.

176

a) 7 litraa

b) 22 litraa

304.

-

305.

59 km/h

306.

a) positiivinen

b) negatiivinen

307.

a) 22 9)3( xx

b) 333)( yxxy

c) 33 8)2( aa

d) 22 9)3( bb

308.

a) 9

b) –9

c) –27

d) 27

309.

a) 2m

b) 3m

c) 410-

d) 3(-100)

310.

a) 49

b) 1000000

c) 6

d) 3

311.

a) 42217

b) 600460

c) 5007001

d) 1,019

e) 0,3006

f) 0,00123

312.

a) 24

b) 18

177

c) 22

d) 29

313.

a) 101021,5

b) 8103

c) 810

d) 9109

314.

a) 1

b) 2

c) 5

d) 10

e) ei voi laskea

f) 9

315.

a) xxxx 2222

b) xxxx 2

c) )2()2()2(2 xxxx

d) xxxx 2

316.

a) 41023,4

b) 7104,5

c) 1102,1

d) 5105,2

317.

Jos halutaan käyttää kerrannaisyksiköiden etuliitteitä.

318.

a) 9b

b) 73cab

c) 3b

d) bc

319.

a) 8

b) 3 7

c) x2

d) x2

e) 34 x

f) 3 4x

178

320.

a) 2

1

5

b) 3

1

5

c) 4

1

5

d) 2

1

5

321.

a) 5

b) 7

c) 6

d) 8

322.

a) 34

d) 52

e) 87

f) 1

323.

a) x3

b) x4

c) 2

1

x

d) x4

324.

a) 310

b) 910

c) 610

d) 1210

e) 110

f) 1210

g) 210

h) 310

325.

a) 15

b) 18

c) 1a

d) 2b

326.

310

179

327.

Likiarvo on 174105,5 ja luvussa on 175 numeroa.

328.

a) 78125

b) 1953125

c) 625

d) 9765625

329.

a) 3

b) 4

c) 2 tai -2

d) 5

330.

a) 20000

b) 5000

c) 5000

d) -200000

331.

a) 22

b) 23

c) 25

d) 54

332.

a) 6

b) 6

c) 25

d) 4

333.

a) 72

b) 20

c) 64

d) 125

334.

a) 4x

b) 2

1x

c) 3x

d) kaikilla x:n arvoilla

335.

180

a) 16

1

b) –10000

c) –0,00001

d) 3

1

336.

a) 2

1

a

b) 2

3

a

c) 2

3

a

d) 2

5

a

337.

Kaavassa 2rA on r ympyrän säde. Ympyrän halkaisija on tällöin 2r, jolloin saadaan

22222 )9

16()

9

16()2

9

8()halkaisija

9

8( rrr .

Kaavassa lukua vastaa 160,3)9

16( 2 .

338.

a) 0,14

b) 0,023

c) 1,5

d) 0,39

339.

a) 5,3

b) 0,083

c) 0,0023

d) 0,16

340.

a) 300 ‰

b) 9 ‰

c) 1200 ‰

d) 0,7 ‰

341.

a) 60 %

b) 7,5 %

c) 92,3 %

342.

a) 4 ‰

b) 0,625 ‰

181

c) 26,3 ‰

343.

a) 10

b) 5

c) 3

d) 150

344.

a) 0,1

b) 1,2

c) 5,0

d) 10

345.

1,0 kg

346.

a) 41,25 €

b) 9,40 €

c) 27,90 €

347.

1,3 %

348.

6 g

349.

-

350.

12,5 kg

351.

-

352.

a) 12

b) 24,6

c) 200

d) 492

353.

9 %

354.

15 g

355.

182

a) 23

b) 14

c) 240

d) 176

e) 22,5

356.

11,3 g

357.

52 %

358.

10 %

359.

259

360.

4,3 kg

361.

9 %

362.

800 g

363.

Kultaa on yhteensä ggg 510 5006,0 3007,0 ja seosta on yhteensä

ggg 800 500 300 . Kullan osuus on ‰ 6386375,0 800

510

g

g.

364.

Ihmisessä olevan nesteen määrä kg 5,38kg 5570,0 .

Alkoholin osuus ‰ 6,1...001558,0kg 5,38

kg 060,0 .

365.

neljä kerrosta

366.

Yhdellä puhelulla saadaan keskimäärin rahaa € 95,1€ 65,03 , josta kilpailun järjestäjä saa

€ 1,4625€ 95,175,0 .

Palkintokustannukset tulevat katetuksi, kun soittoja on

18256€ 4625,1

€ 26700

Soittoja tarvitaan noin 18300 kappaletta.

Vastaus: 18300 kappaletta

183

367.

Alkuperäisessä suolavedessä on suolaa kg 55,8kg 930100

6 .

Merkitään lisättävää vesimäärää x:llä. Suolapitoisuus uudessa suolavedessä on 3,5 % ja suo-

lan määrä säilyy samana, joten

kg 660kg 664

kg 9303,5

100kg 8,55

3,5

100kg 8,55kg 930

kg 8,55)kg 930(100

5,3

x

x

x

x

Vastaus: Vettä on lisättävä 660 kg.

368.

perusajankohtaan

369.

100

370.

Kuluttajahintaindeksin laskentaperusteet uusitaan viiden vuoden välein.

371.

a) 37,5 %

b) 0,6 %

372.

70 %

373.

a) 10 prosenttiyksikköä

b) 50 %

374.

a) 25 %

b) 20 %

375.

a) 4305 €

b) ei yhtään

c) 7655 €

376.

570

377.

184

856

378.

19 %

379.

suklaalevyn hinta

380.

22 %

381.

a) 9 prosenttiyksikköä

b) 27 %

382.

5,1 m

383.

Jos miesten lukumäärä on x, niin naisten lukumäärä on 1,25x. Saadaan yhtälö x + 1,25x = 207,

josta saadaan ratkaisuksi x = 92. Miehiä on siis 92 ja naisia 115.

384.

a) 0,85x

b) 0,55x

c) 1,125x

d) 1,60x

385.

a) a100

1

b) ap

100

386.

a) % 100b

a

b) % 100

b

ba

c) % 100

a

ba

387.

a) ap

a 100

b) ap

a 100

185

388.

a) 25 %

b) 113 %

c) 96,2 %

d) 16,5 %

389.

a) 14,8 %

b) 75,9 %

c) 23 %

d) 107 %

390.

a) laskee 8,3 %

b) nousee 13 %

391.

pienenivät 4 %

392.

17 %

393.

40 %

394.

357 €

395.

11,1 %

396.

Olkoon tuotteen hinta a. Jos tuotteen hinta yhdellä korotuksella tulee n-kertaiseksi, niin kol-

men korotuksen jälkeen se on n3-kertainen.

26,12

2

2

3

3

3

n

n

aan

Vastaus: p = 26

397.

Olkoon rypäleiden paino y ja rusinoiden paino x. Rypäleissä on vettä 0,82y ja muita aineita

0,18y, jotka säilyy kuivatuksessa.

xx

y

xy

237,076,0

18,0

18,076,0

Haihtuneen veden määrä on x – y = 0,763x, joka on rypäleiden vesimäärästä

% 9309382,0

7632,0

x

x

186

Vastaus: 93 %

398.

Jos edellisvuoden matkustajamäärä on a, on nykyinen matkustajamäärä 0,77a. Seuraavan

vuoden matkustajamäärän pitäisi olla taas a, jolloin matkustajamäärän pitää kasvaa 0,23a.

Kasvu prosentteina tämän vuoden matkustajamäärästä on silloin

2987,077,0

23,0

77,0

23,0

a

a.

Vastaus: 30 %

399.

a) 162 x

b) 1682 xx

c) 1682 xx

400.

a) 122 xx

b) 9189 2 xx

c) 1682 xx

d) 42025 2 xx

401.

a) 122 xx

b) 1682 xx

c) 36122 xx

d) 242 xx

402.

a) 11025 2 xx

b) 422 xx

c) 16164 2 xx

d) 22 2 yxyx

403.

a) 36122 xx

b) 144 2 xx

c) 25102 xx

d) 4129 2 xx

404.

a) )2( x

b) )5( x

c) )32( x

d) )13( x

187

405.

96)3(3)3( 22 aaaaa

406.

a) 2

2 12

yy

xx

b) 9

1

3

22 x

x

c) 22

121

yxyx

d) 16

9

4

3

4

1 2xx

407.

a) 4xy

b) –4xy

408.

2xy

409.

a) 42 x

b) 12 x

c) 642 x

d) 22 yx

410.

ei

411. 2222))(( babababababa

412.

a) 7373 xx

b) 22 xx

c) xxxx 22

d) 6262 xx

413.

a) 5x

b) 3x

c) 0x tai 5x

d) 0x tai 3x

414.

a) )3)(3( xx

188

b) )102)(102( xx

c) )14)(14( xx

d) 22 xx

415.

a) x = 5 tai x = -5

b) x = 3 tai x = -3

c) x = 4 tai x = -4

d) x = 10 tai x = -10

416.

a) ba

1

b) 2x

417.

a) 42 a

b) 19 2 a

c) 24 2 a

d) 6449 2 a

418.

40x

419.

a) ))(( cbacba

b) )2)(( cbacb

420.

-

421.

22

2222

22

22

22 )(:)(:)(:11

)(:)(

yx

xy

xyyx

xyxyxy

yx

xyxy

yxxyyx

Sijoitetaan sitten x:n ja y:n paikalle annetut arvot:

3

1

3

2

4

3

3

2

4

3

2222

yx

xy

422.

Koska vektorimerkinnästä ei voida päätellä vektorin suuntaa.

189

423.

kyllä

424.

a)

AB

b)

DC

a)

EF

b)

GH

425.

a) B

b) C

c) F

d) H

426.

c ja d

427.

a) skalaarisuure

b) vektorisuure

c) skalaarisuure

d) skalaarisuure

e) vektorisuure

428.

a) a

b) a

c)

ABtai

BA

d)

AB

e)

CD tai

DC

429.

190

430.

a) c ja e

b) d

c) b ja d

d) e

e) c ja e

431.

a) 52

b) 4

c) 13

d) 7

e) 13

432.

a) a

b) - a

c) )( a

433.

a) kyllä

b) ei

c) kyllä

d) ei

434.

4on pituusn :a

18on pituusn :b

13on pituusn :c

435.

a) b3

b) ba 3

c) ba 85

436.

a) ba 5

b) ba 66

c) ba 42

437.

191

438.

-

439.

9,8

440.

310 km/h, suunta on 15 astetta pohjoisesta itään

441.

a) 67 s

b) 200 s

442.

27 min

443.

lisäämällä vastavektori

444.

Nopeuden suunta valitaan positiiviseksi ja hidastuvan auton kiihtyvyys on nopeuden suunnal-

le vastakkainen.

445.

Ne ovat vastakkaissuuntaisia.

446.

447.

-

448.

abba

192

449.

13

450.

a) 0,8

b) 0,22…

c) 5,33…

d) 10,833…

451.

a) 20

3

b) 5

4

c) 25

35

d) 20

117

452.

a) 9

8

b) 88

56

453.

6000 €

454.

alkutekijät ovat 82 ja 33 32

a) 6912

b) 8

455.

a) alkutekijät 23545 ja 33254

b) Suurin yhteinen tekijä saadaan muodostamalla lukujen yhteisten alkutekijöiden tulo. Tässä

tapauksessa yhteisiä tekijöitä on ainoastaan yksi, joka on luku 932 , joten se on suurin

yhteinen tekijä.

c) Pienin yhteinen jaettava saadaan muodostamalla lukujen kaikkien alkutekijöiden tulo.

270532 3 .

456.

193

a) kaksi

b) kolme

c) yksi

457.

a) ba 1116 2

b) 948 2 ba

c) 51017 2 ba

458.

a) 2a

b) 32b

c) 224c

d) 24 cd

459.

a) 232 aa

b) 1522 bb

c) 1242 cc

460.

a) –3b

b) 335 ba

461.

Jos jokaisessa polynomin termissä on sama tekijä, se voidaan erottaa yhteiseksi tekijäksi käyt-

tämällä osittelulakia ab + ac = a (b + c).

462.

a) )2(2 a b) )1( aa

c) )3( xy

d) )2(4 2 yx

463.

a) )( bay

b) )12(4 xy

c) )4( xx

d) )54( 2 xxx

464.

a) (0, 0)

b) (0, -1)

c) (0, 4)

d) (0, -9)

465.

194

a) x = 0

b) x = -1 tai x = 1

c) ei leikkauspisteitä

d) x = -3 tai x = 3

466.

-

467.

a) ylöspäin

b) alaspäin

c) alaspäin

d) ylöspäin

468.

b ja c

469.

a) 7x

b) 10x

c) ei ratkaisua

470.

x = 0 tai x = 5

471.

a) x = 0 tai x = 1

b) x = 0 tai 2

1x

c) x = 0 tai 2

1x

472.

Kerroin a vaikuttaa paraabelin kaarevuuteen, kertoimella b on selvästi yhteys kuvaajan toi-

seen nollakohtaan ja c ilmaisee kohdan, jossa kuvaaja leikkaa y-akselin.

473.

x = 0 tai 2

1x

474.

062 xx , 0x tai 6x

475.

a) 1

b) 3

1

c) 3

4

195

d) 15

1

476.

a) a

5

b) b

3

c) b

b3

d) a2

1

477.

a) 4

33

b) 21

8

c) 7

6

d) 9

88

478.

a) on

b) ei

c) ei

d) ei

479.

a) x = 0

b) x = 6

c) 2

5x

d) ei nollakohtia

480.

a) 4

b) 1

1

a

a

481.

12a

482.

196

895,3)31024(

)31024(34

24| 31086

x

xx-

xx

483.

a) ei

b) kyllä, kääntäen verrannollisuus

c) kyllä, suoraan verrannollisuus

d) ei

484.

500 m

485.

71,90 €

486.

43 m

487.

a) suoraan verrannollisuus

e) kääntäen verrannollisuus

488.

a) 5a

b) a

4

c) 32a

d) b

a

3

6

489.

Jos henkilö on syntynyt ennen huhtikuun puoliväliä, vuonna 2014, muutoin vuonna 2015.

490.

a) 46 €

b) 23,60 €

c) 174,10 €

491.

29 %

492.

a) 3,2 kg

b) 0,8 kg

493.

197

10 litraa liuosta sisältää pakkasnestettä määrän l 2,7l 10100

27 .

Merkitään uuden liuoksen pitoisuutta x:llä. Haihtumisen jälkeen liuosta on 9 l, jolloin saadaan

yhtälö

30l 9

100l 2,7x

l 2,7l 9100

x

Vastaus: 30 %:sta

494.

48 %

495.

15 %

496.

1,7 prosenttiyksikköä

497.

20 %

498.

23 %

499.

Olkoon lainan määrä 100a. Kun vuotuinen korko on 11 %, on koron määrä 11a ja koron 12,5

% mukainen koron määrä on 12,5a. Koron nousu prosentteina on tällöin

% 6,1311

115,12

a

aa

Vastaus: 13,6 %

500.

noin 15

501.

Olkoon matkan hinta 100a. Lennon osuus on tällöin 50a ja siitä polttoainekustannuksia on

15a, joka on % 5,1100

15

a

a

Vastaus: 1,5 %

502.

Merkitään 40 % liuoksen määrää a:lla. Liuoksessa on tällöin desinfiointiainetta 0,40a.

Merkitään 5 % liuoksen määrää x:llä.

Desinfiointiaineen määrä säilyy laimennettaessa, joten

aaa

x

ax

805,0

40,0

05,0

40,0

40,005,0

198

Vettä on lisättävä aaa 78 . siis sekoitussuhde on 1:7.

10 litraan tarvitaan kahdeksasosa eli 1,25 l liuosta ja 7/8 eli 8,75 l vettä.

Vastaus: Sekoitussuhde on 1 osa liuosta ja 7 osaa vettä. Sankoon tarvitaan liuosta 1,25 l ja

vettä 8,75 l.

503.

Kuukausikorko on % 7158,012

% 59,8p .

Syyskuussa korkoihin meni (mk) 30810001308 .

Merkitään pääomaa syyskuun alussa x:llä.

Korko 308 mk on kuukausikoron verran x:stä, jolloin saadaan yhtälö

(mk) 43030007158,0

308

308007158,0

x

x

Koska lainaa lyhennetään 1000 km kuukaudessa, on lyhennyksiä (syyskuun lyhennys mukaan

lukien) jäljellä 44. Laina on maksettu 43 kuukauden (= 3 vuotta ja 7 kuukautta) kuluttua eli

vuoden 2001 huhtikuussa.

Vastaus: vuoden 2001 huhtikuussa (Edellä jää viimeiseksi eräksi vain noin 30 mk + korot.

käytännössä laina maksettaneen loppuun jo edellisessä kuussa.)

199

Taulukko-osio

Reaalilukujen laskulait

baababba , vaihdantalaki

cabbcacbacba , liitäntälaki

acabcba osittelulaki

0)( aa luvun a vas-

taluku –a

11

aa luvun a käänteisluku

a

1

)0( a

a itseisarvo

Graafinen tulkinta: a = luvun a vastinpisteiden

etäisyys nollasta

Murtolukujen laskutoimitukset

0 missä , kkb

ka

b

a laventaminen (→) ja supistaminen (←)

bd

bcad

d

c

b

a yhteenlasku (lavennus samannimisiksi)

bd

bcad

d

c

b

a vähennyslasku (lavennus samannimisiksi)

bd

ac

d

c

b

a kertolasku

bc

ad

d

c

b

a: jakolasku

Potenssi

aaaan ... n tekijää, a = kantaluku, n = eksponentti

10 a a ≠ 0, 00 ei ole määritelty

p

p

aa

1

a ≠ 0

200

pp

a

b

b

a

a ≠ 0

Laskusääntöjä

nmnm aaa samankantaisten potenssien tulo

nm

n

m

aa

a samankantaisten potenssien osamäärä

nnnbaab tulon potenssi

n

nn

b

a

b

a

osamäärän potenssi

mnmnnm aaa potenssin potenssi

Polynomin jakaminen tekijöihin

)( cbaacab

yhteinen tekijä

))(()()( dcbadcbdcabdbcadac ryhmittely

222

222

)(2

)(2

bababa

bababa

muistikaavat

))((22 bababa

Neliöjuuri

Jos 0b ja niin ,a 2 abb (pätee myös toisinpäin).

Laskusääntöjä

aa 2

aa 2

b

a

b

a

baab

201

Lukujonot

Aritmeettinen lukujono

d = a2 – a1 erotusluku

dnaan )1(1 yleinen termi

Geometrinen lukujono

1

2

a

aq suhdeluku

1

1

n

n qaa yleinen termi

Toisen asteen yhtälö

Normaalimuoto 1 ,02 acbxax

Ratkaisukaava: a

acbbx

2

42

Paraabelin aukamissuunta ja muoto:

. Jos a > 0, paraabeli aukeaa ylöspäin.

a. Jos a < 0, paraabeli aukeaa alaspäin.

b. Jos a on pieni, paraabeli on leveä.

c. Jos a on suuri, paraabeli on kapea.

Vaillinaiset toisen asteen yhtälöt

Yhtälön 02 cax ratkaisujen määrä riippuu vakiosta c:

c < 0: kaksi ratkaisua, ratkaisut toistensa vastalukuja

c = 0: ainoa ratkaisu x = 0

c > 0: ei ratkaisua

Yhtälön 02 bxax ratkaisut:

aina kaksi ratkaisua, toinen on aina x = 0

Suorakulmaisen kolmion trigonometria

222 cba (Pythagoraan lause)

202

abA2

1

Trigonometriset funktiot

c

asin ,

c

bcos ,

b

atan

Suora

Pisteiden 11, yx ja 22 , yx kautta kulkevan suoran kulmakerroin:

12

12tanxx

yyk

Suora on

nouseva, jos k > 0

laskeva, jos k < 0

x-akselin suuntainen, jos k = 0

y-akselin suuntainen, jos k:ta ei voida määrittää.

Tarkastellaan suoria s1 ja s2, joiden kulmakertoimet ovat k1 ja k2.

Suorat ovat yhdensuuntaiset eli 21 ss , jos 21 kk tai suorat ovat y-akselin

suuntaiset.

Suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli 21 ss , jos 121 kk tai toi-

nen suora on x-akselin ja toinen y-akselin suuntainen.

Suoran yhtälön yleinen muoto:

0 cbyax

Suoran yhtälön ratkaistu muoto:

bkxy , missä k on kulmakerroin ja b vakiotermi (suoran ja y-akselin leikkauspisteen y-

koordinaatti).

x- akselin suuntaisen suoran yhtälö:

ty , missä t on suoran ja y-akselin leikkauspisteen y-koordinaatti

y-akselin suuntaisen suoran yhtälö:

ux , missä u on suoran ja x-akselin leikkauspisteen x-koordinaatti

203

Tasokuvioita

Neliö

ad

aA

2

2

Suorakulmio

22 bad

abA

Neljäkäs

ahA

Suunnikas

sinabahA

Puolisuunnikas

sin)(2

1

2

1sbahbaA

204

Kolmio

sin2

1

2

1abahA

Ympyrä

drp

drA

2

4

1 22

Sektori

rb

2360

(kaaren pituus)

2360

2 brrA

Avaruuskappaleita

Kuutio

3

26

3 ,2

sV

sA

sdsa

Suorakulmainen särmiö

abcV

bcacabA

cbad

2

222

Suora ympyräkartio

205

hrV

rsAv

2

3

1

Suora ympyrälieriö

hrV

hrrrAA

rhA

vkok

v

2

2 )(22

2

Pallo

3

2

3

4

4

rV

rA

π:n likiarvo 500 ensimmäisen desimaalin tarkkuudella

3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510

58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679

82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128

48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196

44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091

45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273

72456 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436

78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094

33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548

07446 23799 62749 56735 188857 52724 89122 79381 83011 94912

Tilastomatematiikka

Keskilukuja

keskiarvo n

xxxxx n

...321

painotettu keskiarvo n

nn

qqq

xqxqxqx

...

...

21

2211 , missä q1,q2,...,qn ovat painokertoi-

mia

Moodi eli tyyppiarvo tarkoittaa yleisintä, useimmin esiintyvää muuttujan arvoa.

206

Mediaani tarkoittaa keskimmäistä arvoa (tai kahden keskimmäisen arvon keskiarvoa), kun

aineisto on järjestetty suuruusjärjestykseen.

Hajontalukuja

Keskihajonta ilmoittaa, kuinka kaukana muuttujan arvot ovat keskimäärin keskiarvosta.

Vaihteluväli kertoo millä välillä havainnot vaihtelevat.

Vaihteluvälin pituus on muuttujan suurimman ja pienimmän arvon erotus.

Todennäköisyyslaskenta

Klassinen todennäköisyys lukumääräapausten kaikkien t

lukumäärä tapaustensuotuisten)( AP

Vastatapahtuman todennäköisyys )(1) tapahduei ()( APAPAP

Yhteenlaskusääntö

Kun A ja B erillisiä tapauksia )()() tai( BPAPBAP

Kun A ja B eivät ole erillisiä ) ja ()()() tai( BAPBPAPBAP

Kertolaskusääntö

Kun A ja B ovat riippumattomia )()( ja BPAPBAP

Kun A ja B ovat riippuvia (yleinen kertosääntö)

nut)on tapahtuA kun P(B,P(A)B)sitten jaA P(ensin

207

SI-järjestelmä

Kerrannaisyksiköiden etuliitteet

Nimi Tunnus Kerroin Nimi Tunnus Kerroin

eksa E 1018

desi d 10-1

peta P 1015

sentti c 10-2

tera T 1012

milli m 10-3

giga G 109 mikro μ 10

-6

mega M 106 nano n 10

-9

kilo k 103 piko p 10

-12

hehto h 102 femto f 10

-15

deka da 101 atto a 10

-18

Lisäyksiköitä

Suure Yksikkö Tunnus Vastaavuus

aika minuutti min 1 min = 60 s

tunti h 1 h = 60 min

vuorokausi d 1 d = 24 h

vuosi a 1 a ≈ 365 d

tasokulma aste ˚ 1˚ = 60′

minuutti ′ 1′ = 60″

sekunti ″

tilavuus litra l 1 l = 1 dm3

massa tonni t 1 t = 1000 kg

atomimassayksikkö u 1 u = 1,6605402·10-27

kg

pituus tähtitieteellinen yksikkö AU 1 AU = 0,1495979·1012

m

parsek pc 1 pc = 30,85678·1015

m

Muuntokertoimia

Pituus 1″ = 1 in = 1 tuuma = 25,40 mm

1′ = 1 ft = 1 jalka = 0,3048 m

1 yd = 1 jaardi = 0,9144 m

1 mi = 1 maili = 1,609344 km

1 mpk = 1 M = 1 meripeninkulma = 1852 m

1 vv = 1 valovuosi = 9,46055·1015

m

1 AU = tähtitieteellinen yksikkö = 149,5979·109 m

Massa 1 ka = 1 karaatti = 0,2 g

1 u = 1,6605402·10-27

kg

1 lb = 1 naula = 0,4536 kg

1 oz = 1 unssi =28,35 g

Tasokulma 1˚ = 2π/360 rad

208

Pinta-ala 1 b = 1 barn = 10-28

m2

1 acre = 1 eekkeri = 4,0469·103 m

2

Tilavuus 1 l = 1 dm3 = 0,001 m

3

1 bbl = 1 barreli = 0,1589873 m3

1 gal = 1 gallona (UK) = 4,546092 l

1 gal = 1 gallona (US) = 3,785412 l

Nopeus 1 solmu = 1 mpk/h = 1,852 km/h = 0,5144 m/s

Luonnonvakioita

Nimi Tunnus Lukuarvo ja yksikkö

putoamiskiihtyvyys g 9,80665 m/s2

valon nopeus c 2,99792458·108 m/s

elektronin massa me 9,1093897·10-31

kg

protonin massa mp 1,6726231·10-27

kg

neutronin massa mn 1,6749286·10-27

kg