kelas x bab 5
TRANSCRIPT
![Page 1: Kelas x bab 5](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051400/55cdc728bb61eb51758b463c/html5/thumbnails/1.jpg)
PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT
Oleh : Sherli Pitrah DewiSMA NEGERI 1 BANGKINANG KOTA
![Page 2: Kelas x bab 5](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051400/55cdc728bb61eb51758b463c/html5/thumbnails/2.jpg)
1. Pengertian Penyelesaian Sistem Persamaan
Pasangan x = x0, y = y0 atau (x0, y0) dikatakan penyelesaian suatu sistem persamaan linear dua variabel apabila pasangan tersebut memenuhi sistem persamaan itu. Memenuhi artinya jika disubstitusikan, maka nilai ruas kiri = nilai ruas kanan.
![Page 3: Kelas x bab 5](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051400/55cdc728bb61eb51758b463c/html5/thumbnails/3.jpg)
Sistem persamaan linear dua variabel dapat diselesaikan dengan beberapa cara. Mengubah sistem persamaan linear dua variabel menjadi persamaan satu variabel dapat dilakukan dengan menggunakan metode eliminasi, metode substitusi, atau metode gabungan eliminasi-substitusi. Cara lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel adalah dengan metode grafik.
![Page 4: Kelas x bab 5](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051400/55cdc728bb61eb51758b463c/html5/thumbnails/4.jpg)
2. Metode Substitusi
Langkah-langkah menyelesaikan sistem persamaan menggunakan metode substitusi adalah sebagai berikut :1. Tulis salah satu persamaan menjadi y = ... atau x
= ...2. Substitusikan ke persamaan kedua, kemudian
selesaikan.3. Substitusikan nilai yang diperoleh pada langkah
(2) untuk mendapatkan nilai variabel yang lain.
![Page 5: Kelas x bab 5](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051400/55cdc728bb61eb51758b463c/html5/thumbnails/5.jpg)
Contoh Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan berikut menggunakan metode substitusi!• x ‒ 4y = 13• 2x + 3y = ‒71. Tulis salah satu persamaan menjadi y = ... atau x = ...
x ‒ 4y = 13 ↔ x = 4y + 132. Substitusikan ke persamaan kedua, kemudian selesaikan.Substitusikan x = 4y + 13 ke 2x + 3y = ‒7maka diperoleh 2(4y + 13) + 3y = ‒7
8y + 26 + 3y = ‒7 11y = ‒33 y =-3
3. Substitusikan nilai yang diperoleh pada langkah (2) untuk mendapatkan nilai variabel yang lain.Substitusikan y = ‒3 ke x = 4y + 13,maka diperoleh x = 4(‒3) + 13 = 1Jadi nilai x = 1 dan y = ‒3.
![Page 6: Kelas x bab 5](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051400/55cdc728bb61eb51758b463c/html5/thumbnails/6.jpg)
3. Metode eliminasi
Mengubah sistem persamaan linear dua variabel menjadi sebuah persamaan linear satu variabel dapat juga dilakukan dengan mengeliminir (menghilangkan) satu variabel untuk menentukan nilai variabel yang lainnya.
Langkah-langkah menyelesaikan sistem persamaan menggunakan metode eliminasi adalah sebagai berikut.1. Perhatikan koefisien x (atau y). Jika sama, kurangi persamaan
yang satu oleh persamaan yang lain. Jika angkanya sama tetapi tandanya berbeda, jumlahkan kedua persamaan itu.
2. Jika koefisiennya berbeda, samakan koefisiennya dengan mengalikan kedua persamaan dengan bilangan yang sesuai, kemudian jumlahkan atau kurangkan seperti pada langkah 1.
![Page 7: Kelas x bab 5](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051400/55cdc728bb61eb51758b463c/html5/thumbnails/7.jpg)
Contoh Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan berikut menggunakan metode eliminasi!
5x = ‒3y + 2 2y = 3x ‒ 5
diubah menjadi 5x + 3y = 2 3x ‒ 2y = 5
Mengeliminasi variabel y
Mengeliminasi variabel x
Jadi x = 1 dan y = ‒1.
![Page 8: Kelas x bab 5](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051400/55cdc728bb61eb51758b463c/html5/thumbnails/8.jpg)
4. Metode eliminasi-substitusi (gabungan)
Dalam metode ini, nilai variabel pertama dicari dengan metode eliminasi, sedangkan nilai variabel kedua diperoleh dengan metode substitusi. Tentukan himpunan penyelesaian dari
![Page 9: Kelas x bab 5](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051400/55cdc728bb61eb51758b463c/html5/thumbnails/9.jpg)
5. Metode grafik
Misalkan grafik persamaan dari ax + by = c dan px + qy = r digambarkan sebagai berikut.
Dalam metode grafik, penyelesaian sistem persamaan linear duavariabel adalah titik potong kedua garis dari persamaan-persamaanlinear. Pada gambar disamping, yaitu A(xo, yo)
![Page 10: Kelas x bab 5](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051400/55cdc728bb61eb51758b463c/html5/thumbnails/10.jpg)
Contoh Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikut ini dengan metode grafik
Pada gambar grafik, garis 2x + 3y = 12 dan‒x + y = ‒1 berpotongan pada x = 3 dan y = 2. Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah {(3,2)}.
![Page 11: Kelas x bab 5](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051400/55cdc728bb61eb51758b463c/html5/thumbnails/11.jpg)
Sistem persamaan linear tersebut jika digambarkan dengan dua garis lurus dalam satu bidang Cartesius akan memiliki 3 kemungkinan, yaitu:
Kedua garis berpotongan, sehingga mempunyai satu penyelesaian
Kedua garis sejajar, sehingga tidak mempunyai penyelesaian
Kedua garis berimpit, sehingga mempunyai tak hingga penyelesaian
![Page 12: Kelas x bab 5](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051400/55cdc728bb61eb51758b463c/html5/thumbnails/12.jpg)
B. Sistem Persamaan Linear Tiga Peubah
Bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel dengan variabel x, y, z adalah:
dengan ai, bi, ci, di bilangan real; i = 1, 2, 3.
Apabila nilai-nilai yang memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel adalah x0, y0, dan z0, maka himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear di atas adalah { ( x0, y0, z0) }.Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel yaitu dengan metode gabungan eliminasi-substitusi
![Page 13: Kelas x bab 5](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051400/55cdc728bb61eb51758b463c/html5/thumbnails/13.jpg)
Contoh
Tentukan nilai x, y, dan z yang memenuhi sistem persamaan:
![Page 14: Kelas x bab 5](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051400/55cdc728bb61eb51758b463c/html5/thumbnails/14.jpg)
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 1, y = 0, dan z = ‒2
![Page 15: Kelas x bab 5](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051400/55cdc728bb61eb51758b463c/html5/thumbnails/15.jpg)
C. Sistem Persamaan Linear dan KuadratBentuk umum sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel dengan variabel x dan y adalah:
dengan a, b, p, q, dan r bilangan real.
Dalam menyelesaikan sistem persamaan ini dapat digunakan dua cara yaitu metode substitusi dan metode grafik
![Page 16: Kelas x bab 5](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051400/55cdc728bb61eb51758b463c/html5/thumbnails/16.jpg)
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari:
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(‒4, 0), (3, 7)}
![Page 17: Kelas x bab 5](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051400/55cdc728bb61eb51758b463c/html5/thumbnails/17.jpg)
Apabila contoh sebelumnya diselesaikan menggunakan metode grafik, maka akan diperoleh grafik yang saling berpotongan antara garis y = x + 4 dengan parabola y = x2 + 2x ‒ 8, seperti gambar di bawah ini
![Page 18: Kelas x bab 5](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051400/55cdc728bb61eb51758b463c/html5/thumbnails/18.jpg)
Dari beberapa contoh di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel:y = ax + by = px2 + qx + r
yang setelah diproses substitusi menjadi px2 + (q ‒ a)x + (r ‒ b) = 0
1. Memiliki dua penyelesaian jika diskriminan px2 + (q ‒ a)x + (r ‒ b) = 0 lebih dari nol. (D > 0) kurva memotong di dua titik.
2. Memiliki satu penyelesaian jika diskriminan px2 + (q ‒ a)x + (r ‒ b) = 0 sama dengan nol. (D = 0) garis dan parabola saling menyinggung .
3. Tidak memiliki penyelesaian jika diskriminan px2 + (q ‒ a)x + (r ‒ b) = 0 kurang dari nol. (D < 0) garis dan parabola tidak saling menyentuh
![Page 19: Kelas x bab 5](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051400/55cdc728bb61eb51758b463c/html5/thumbnails/19.jpg)
D. Sistem Persamaan Kuadrat
Bentuk umum sistem persamaan kuadrat dengan variabel x dan y adalah:
dengan a, b, c, p, q, dan r bilangan real
Dalam menyelesaikan sistem persamaan ini dapat digunakan metode-metode yang telah kita pelajari sebelumnya.
![Page 20: Kelas x bab 5](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051400/55cdc728bb61eb51758b463c/html5/thumbnails/20.jpg)
Perhatikan gambar di bawah! Misalkan parabola 1 dan parabola 2merupakan parabola-parabola dari sistem persamaan kuadrat:
Memiliki satu penyelesaian, jika (1) dan (2) saling menyinggung dan diskriminannya sama dengan nol (D = 0)
![Page 21: Kelas x bab 5](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051400/55cdc728bb61eb51758b463c/html5/thumbnails/21.jpg)
Memiliki dua penyelesaian, jika (1) dan (2) saling berpotongan dan diskriminannya lebih dari nol (D > 0)
Memiliki tak hingga penyelesaian, jika (1) dan (2) saling berimpit
![Page 22: Kelas x bab 5](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051400/55cdc728bb61eb51758b463c/html5/thumbnails/22.jpg)
Tidak memiliki penyelesaian, jika (1) dan (2) tidak saling berpotongan dan diskriminannya lebih kecil dari nol. (D < 0)
![Page 23: Kelas x bab 5](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051400/55cdc728bb61eb51758b463c/html5/thumbnails/23.jpg)
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan:
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(0, 0), (6, 12)}.
![Page 24: Kelas x bab 5](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051400/55cdc728bb61eb51758b463c/html5/thumbnails/24.jpg)
E. Sistem Persamaan Bentuk Aljabar Berderajat Dua dengan Dua variabel
Bentuk umum dari sistem-sistem persamaan tersebut di antaranya:
dengan a, b, c, d, e, f, p, q, r, s, t dan u bilangan real
Langkah pertama untuk menyelesaikan sistem persamaan ini adalah dengan mengubah sistem persamaan itu menjadi persamaan satu variabel, lalu diselesaikan dengan metode substitusi, eliminasi, gabungan ataupun grafik.
![Page 25: Kelas x bab 5](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051400/55cdc728bb61eb51758b463c/html5/thumbnails/25.jpg)
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan:
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(4, 3) (‒ 3, ‒4)}.
![Page 26: Kelas x bab 5](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051400/55cdc728bb61eb51758b463c/html5/thumbnails/26.jpg)
F. Penerapan Konsep Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat dalam Pemecahan Masalah
Konsep sistem persamaan linear dan kuadrat banyak diterapkan dalam memecahkan suatu masalah. Masalah tersebut biasanya ditampilkan dalam bentuk soal cerita. Sehingga langkah pertama untuk menyelesaikannya adalah menerjemahkan kalimat-kalimat pada soal cerita menjadi model matematika yang menggunakan sistem persamaan.
![Page 27: Kelas x bab 5](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051400/55cdc728bb61eb51758b463c/html5/thumbnails/27.jpg)
Contoh
Dengan uang sebesar Rp 27.000,00, Rani telah membeli 2 buku, 3 pulpen, dan 4 penggaris di sebuah toko. Di toko yang sama, Riko telah membeli 1 buku, 2 pulpen, dan 1 penggaris dengan uang sebesar Rp 13.000,00. Begitupun Rini, dengan uang sebesar Rp 13.000,00, dia telahmembeli 2 buku dan sebuah pensil. Tentukanlah harga sebuah buku, pulpen, dan penggaris!
Pembahasan
Misalkan: harga sebuah buku = x rupiah harga sebuah pulpen = y rupiah harga sebuah penggaris = z rupiah
![Page 28: Kelas x bab 5](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051400/55cdc728bb61eb51758b463c/html5/thumbnails/28.jpg)
Model matematika dari persoalan di atas adalah :
Mengeliminasi z dari (1) dan (2)
Mengeliminasi x dari (3) dan (4)
![Page 29: Kelas x bab 5](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051400/55cdc728bb61eb51758b463c/html5/thumbnails/29.jpg)
Substitusikan y = 3.000
Substitusikan x = 5.000 dan y = 3.000 ke x + 2y + z = 13.000
Jadi, harga sebuah buku, pulpen, dan penggaris berturut-turut adalah Rp5.000,00; Rp3.000,00; dan Rp2.000,00.