kalman tracking a partir del tdoa para sistemas...

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enenenen TDOA TDOA TDOA TDOA paraparaparapara SSSSistemas istemas istemas istemas Móviles CelularesMóviles CelularesMóviles CelularesMóviles Celulares

Tratamiento Estadístico de Señales Monografía final

Instituto de Ingeniería Eléctrica

Facultad de Ingeniería de la R.O.U.

Gabriel Perrett [email protected]

Tratamiento Estadístico de Señales: Kalman Tracking para peatones basado en TDoA para Sistemas Móviles Celulares

2

Índice

1 Introducción .................................................................................................................3

1.1 Introducción a las redes celulares ................................................................................................................................. 3 1.2 Objetivo y Motivación .................................................................................................................................................... 3 1.3 Introducción al problema .............................................................................................................................................. 3 1.4 Introducción al sistema TDoA........................................................................................................................................ 6

2 Kalman Tracker.............................................................................................................8

2.1 Introducción al filtro de Kalman.................................................................................................................................... 8 2.2 Modelado del sistema .................................................................................................................................................. 10 2.3 Implementación del filtro de Kalman .......................................................................................................................... 12

3 Modelado de las señales .............................................................................................13

3.1 Introducción ................................................................................................................................................................ 13 3.2 Modelado del canal ...................................................................................................................................................... 14 3.2.1 Atenuación........................................................................................................................................................................14 3.2.2 Dispersión en el Retardo....................................................................................................................................................15 3.2.3 Ruido de fondo .................................................................................................................................................................16 3.2.4 Interferencia entre Radiobases...........................................................................................................................................16 3.2.5 Efectos del ruido ...............................................................................................................................................................18 3.2.6 Tratamiento de los efectos del ruido...................................................................................................................................18

4 Simulaciones...............................................................................................................20

4.1 Introducción ................................................................................................................................................................ 20 4.2 Generación de las Trayectorias.................................................................................................................................... 20 4.3 Resultados de la Simulación ........................................................................................................................................ 21

5 Conclusiones...............................................................................................................26

A Anexo: Programas en Matlab......................................................................................28

A.1 Localización por Hipérbolas......................................................................................................................................... 28 A.2 Modelado de Ruidos..................................................................................................................................................... 28 A.3 Delay Spread................................................................................................................................................................ 29 A.4 Comparador ................................................................................................................................................................. 29 A.5 COST 231 ..................................................................................................................................................................... 29 A.6 Ruidos Filtrados........................................................................................................................................................... 30 A.7 SNR.............................................................................................................................................................................. 30 A.8 Trayectorias................................................................................................................................................................. 31 A.9 Filtro de Kalman .......................................................................................................................................................... 33

B Referencias.................................................................................................................35


3

1 Introducción

1.1 Introducción a las redes celulares El objetivo de esta sección es aportarle al lector una muy breve introducción a la red de acceso de un sistema de telefonía móvil celular con el objetivo de comprender mejor la solución del problema propuesto. La idea es un sistema de comunicaciones donde los terminales son móviles, la red de acceso es el espectro radioeléctrico y donde el punto de contacto entre el terminal y la red es la radiobase donde están instaladas las antenas para la comunicación inalámbrica. A continuación una ilustración de la situación.

Fig 1

El fenómeno que permite el seguimiento de los terminales es la multiplicidad de las radiobases (BS’s) con las cuales el UE (User Equipment, o terminal del usuario) puede intercambiar información desde un mismo punto de ubicación para recabar la información necesaria para determinar su ubicación, tal cual se explica en los próximos puntos.

1.2 Objetivo y Motivación El objetivo del trabajo consiste en presentar una solución al problema del tracking o seguimiento de usuarios móviles en una red celular basado en [1]. En particular, ciertos aspectos del trabajo se encaran enfocados a sistemas UMTS (Universal Mobile Telecommunications System), básicamente en cuanto a la banda de frecuencia considerada y a la modalidad de las mediciones. Se dice que UMTS es la elección natural a la hora de evolucionar de una estructura GSM hacia una nueva generación de sistemas móviles de comunicación, donde el sistema GSM representa hoy en día el 70% de la soluciones adoptadas por los diferentes operadores de redes celulares a nivel mundial [2]. Para entender las posibilidades de desarrollo del UMTS cabe mencionar que en Japón se lanzó el primero de estos sistemas y hoy en día grandes potencias de la unión europea proyectan incorporarlos a sus servicios de telefonía y datos móviles, países tales como Italia, Austria, Suecia o Inglaterra. Debido a esta posible masificación de este sistema es que surge como interesante desarrollar una aplicación del tratamiento estadístico de señales enfocado a los usuarios del sistema UMTS.

1.3 Introducción al problema La mencionada aplicación consiste en brindar un servicio de seguimiento a los usuarios de equipos de comunicaciones portátiles UMTS. Las posibles utilizaciones son variadas, desde sistemas de navegación, tanto para peatones como para vehículos terrestres, como para localización de usuarios extraviados o en situaciones de catástrofe aplicado a la ubicación de víctimas. Las soluciones existentes son variadas, no solo se diferencian en el tratamiento de las señales medidas, sino que también en cuales son esas señales, pero en este trabajo nos enfocaremos en el TDOA (Time Difference of Arrival), no sin antes al menos resumir cuales son algunas de las soluciones propuestas hasta ahora [3].


4

Tabla 1

Tipo de medida Ventajas Desventajas

RSS (Received Signal Strength)

Medidas de bajo costo. Computación sencilla.

Poca precisión en celdas

grandes.

AoA (Angle of Arrival)

Computación sencilla.

Antenas especiales. Poca precisión en celdas

grandes.

ToA (Time of Arrival)

Las medidas de tiempo ya son

requeridas en la operación tanto de sistemas TDMA como CDMA.

Computación sencilla.

Se necesita una red

sincronizada. El receptor debe conocer el

tiempo de transmisión. Medidas complejas.

TDoA (Time Difference of Arrival)

Las medidas de tiempo ya son

requeridas en la operación tanto de sistemas TDMA como CDMA.

El receptor no necesita conocer el tiempo de transmisión.

Se necesita una red

sincronizada. Medidas complejas. Cálculos complejos. (En

nuestro caso filtro de Kalman).

Aquí cabe mencionar una breve característica para comprender el funcionamiento de los sistemas anteriores. En primer lugar, los sistemas RSS, ToA y TDoA se basan en un principio común que consiste en medir la distancia del UE (User equipment) a diferentes BS’s (Base Stations o radiobases) para luego determinar su posición en base a las posiciones, asumidas como conocidas, de las BS’s. La diferencia entre ellos es el mecanismo que utilizan para calcular la distancia, el primero lo hace a partir de la potencia de señal recibida, es decir, en base a la potencia de salida de la radiobase y de la atenuación del canal obtiene la distancia a la misma, por otra parte, los otros dos sistemas calculan la distancia a partir del tiempo de transmisión, el cual lo relacionan con la velocidad de propagación y obtienen el dato deseado, ToA y TDoA difieren en que el primero calcula todo el tiempo de transmisión, y el segundo calcula las variaciones de los mismos, evitando así conocer con precisión el tiempo completo, lo cual es mucho más complejo. En la figura 1 se ejemplifican estos sistemas:

Fig 2

Sin embargo, los sistemas AoA difieren de los anteriores en el mecanismo por el cual determinan la ubicación del UE, ahora ya no se calcula la distancia a las BS, sino que lo que se mide es el ángulo formado entre el vector de LOS y una dirección de referencia prefijada. En la figura 2 se ejemplifica como a partir del ángulo de arribo a 3 BS’s diferentes se podría calcular la posición del terminal.


5

Fig 3

Sin embargo, sea cual sea el sistema a utilizar, la solución del problema no es nada trivial. El entorno de propagación en muchos casos resulta ser hostil, por lo que las medidas usualmente están acompañadas de incertidumbres de significativa importancia. Las fuentes de error son variadas, principalmente debidas a las no linealidades del fenómeno de propagación. Por ejemplo los multicaminos (Fig. 4) que provocan que al terminal arribe energía de una misma radiobase por distintas direcciones, esto se produce básicamente por fenómenos como la reflexión y la difracción que alteran la dirección de propagación original. Otra fuente de error es el propio ruido presente en cualquier medición, el espectro radioeléctrico es un canal compartido por una infinidad de usuarios donde sus comunicaciones se ven como ruido desde el punto de vista del sistema de tracking que se desea implementar. Por todo lo mencionado es que el cálculo de la ubicación del UE no es una simple operación matemática, sino que se debe acudir a herramientas mucho más complejas, en este caso el filtro adaptivo de Kalman.

Fig 4

Otro aspecto no menor en la precisión de los resultados es la geometría que gobierna la disposición de las radiobases en la red celular. La ubicación relativa de las mismas con respecto al UE condiciona la exactitud de los resultados. Este fenómeno de lo conoce como Geometric Dilution of Precision (GDOP), el cual queda claramente ejemplificado en la siguiente figura.

Fig 5


6

1.4 Introducción a la técnica TDoA Dentro de la técnica TDoA se distinguen dos opciones a la hora de resolver el problema. En primer lugar está lo que se conoce como sistemas network-based donde lo el UE transmite una señal que es recibida por varias radiobases, la diferencia en el tiempo se calcula en función del tiempo de arribo a cada BS’s. Pro otra parte existen los sistemas mobile-based donde el UE calcula la diferencia de las medidas del tiempo de arribo de la señal de las BS’s agrupadas de a pares. En ambos casos, la diferencia en el tiempo de arribo de dos radiobases define una hipérbola en el plano donde el UE va a estar ubicado. Luego, la intersección de dos de esta hipérbolas da como resultado la ubicación exacta (despreciando los errores en las medidas y los cálculos) del terminal. Claro está que este resultado no es nada trivial, por lo que a continuación se procederá a justificar lo afirmado. Sea la radiobase BS1 de coordenadas cartesianas ( )11, yx , y sea la radiobase BS2 de coordenadas ( )22 , yx .

Luego supongamos que el UE se encuentra ubicado en la posición ( )yx, , entonces la diferencia de distancias

entre el UE y cada una de las BS’s queda definida por la resta de las norma euclidiana de los vectores que unen el UE con cada una de las BS’s, es decir:

( ) ( ) ( ) ( )222

22

12

1 yyxxyyxxd −+−−−+−=∆ Eq. 1

Sin embargo, encontrar la naturaleza de la curva en el plano a partir de la expresión anterior no es nada sencillo, por lo que para visualizar el resultado se implemento una resolución numérica del problema mediante un programa en MatlabTM [4]. La idea principal del algoritmo es para cada coordenada x del plano minimizar el error en el cálculo de la Eq. 1 en función del valor de y iterando en todo el rango de valores posibles. Con esto se obtiene un conjunto de puntos ( )yx, que minimizan dicho error y que efectivamente representan una

aproximación de la hipérbola mencionada. Esto se resolvió para 2 pares de BS’s obteniéndose dos hipérbolas que se intersectan en el punto de localización del UE. Para el caso particular de la figura 6 la diferencia de distancias considerada fue -40, y lo que se obtuvo es lo que se muestra a continuación.

Fig 6

Si se desea ejecutar dicho algoritmo, el código en Matlab se encuentra disponible en el anexo de códigos A.1. Habiendo comprobado el resultado de las hipérbolas podemos continuar con el desarrollo teórico de la técnica TDoA. Como primer paso aclaremos un poco la notación:


7

ir : es la distancia entre el UE y la i-ésima BS.

11 rrr ii −= : es la diferencia de distancias del UE a la i-ésima BS y la de referencia respectivamente.

( )Tiii yxs ,= : es el vector de posición en coordenadas rectangulares de la i-ésima BS.

( )Tyxs ,= : es el vector de posición en coordenadas rectangulares del UE.

Combinando las ecuaciones anteriores podemos rescribir las distancias en función de las coordenadas:

( ) ( ) ( )22, yyxxyyxxssr iiiiii −+−=−−=−=

Eq. 2

( ) ( ) ( ) ( )222211 yyxxyyxxssssr iiiiii −+−−−+−=−−−=

Eq. 3

Para este sistema hiperbólico podemos considerar como referencia para el cálculo de las diferencias una BS cualquiera, por ejemplo la BS1. Luego la diferencia a la i-ésima BS y la de referencia está dada por la ecuación:

Nictrrr iii ,.....,2111 ==−= Eq. 4

Donde c es la velocidad de propagación de la señal en el entorno físico del estudio, parámetro que permite relacionar la diferencia de distancias con la diferencias en el tiempo de arribo de la señal. Un paso más es calcular el cuadrado de la distancia entre el UE y la i-ésima BS, similar a lo que se hizo en la Eq. 1, si llamamos

[ ]Tiii yxs = y [ ]Tyxs = a los vectores de posición de la BS y el UE respectivamente, lo que obtiene es:

2222 2 ssssssr Tiiii +−=−=

Eq. 5

Pero la ecuación anterior implica un problema, hay una relación no lineal entre las medidas del TDoA y la posición del UE, por lo que la solución no resulta sencilla. En este trabajo se presente una forma particular de resolver problema. De la ecuación 4 se puede despejar lo siguiente:

2111

21

2 2 rrrrr iii ++= Eq. 6

Luego, de las ecuaciones 2 y 3 se puede obtener un sistema lineal de N-1 ecuaciones donde se asume que se obtienen datos de N radiobases, esta forma de expresarlo facilita la resolución:

Ρ−= 1rusG Eq. 7


8

( ) ( )

( ) ( )11

11

12

21

1

21

12

12

12

221

21

22

11

1212

......21.......

xNxN

x

xN M

N

Mu

NNMs

MG

NN r

rr

rss

rss

yx

yyxx

yyxx

−−

− ∈Ρ∈

∈∈

−

−−

−−=

−−

−−

Eq. 8

La validez de la anterior expresión no resulta evidente de ver, por lo que a continuación se verificará la misma para la i-ésima ecuación del sistema a modo de justificar el resultado. Para ello sustituiremos los resultados de la ecuación 5 en la ecuación 6:

21

2

21

2111

21

22 222r

Tii

r

Tii ssssrrrssss

i

+−++=+−

[ ] ( )sssrrrssii

iG

TTii

u

ii 1112

12

12

21 −=−−−

Ρ

Eq. 9

Luego, desarrollando los productos del segundo miembro de la igualdad, gracias a cancelación de varios términos se llega a una expresión idéntica al primer miembro. En definitiva, el sistema de la ecuación 7 también depende de la medida de distancia

1r que a su vez es proporcional al ToA (Tiempo de arribo) entre

el UE y la BS de referencia el cual no tiene una dependencia lineal con las coordenadas del UE. Aquí es donde se presenta un nodo en el árbol de soluciones propuestas hasta ahora, desde pre-multiplicar la ecuación 7 por una matriz ortogonal a Ρ para eliminar el

1r , o hasta considerarlo como una variable más. En

nuestro caso la solución propuesta se basa en construir un Kalman Tracker (algoritmo de seguimiento) a partir del sistema lineal propuesto en el cual la incertidumbre de

1r queda absorbida por el error en las medidas,

como se verá más adelante.

2 Kalman Tracker

2.1 Introducción al filtro de Kalman El objetivo de esta sección es aplicar los resultados del filtro de Kalman para poder construir un sistema de seguimiento del terminal del usuario, lo que en definitiva se traduce como un algoritmo predictivo de la posición del UE. Para ello hagamos una breve introducción a los aspectos teóricos del filtro de Kalman para poder comprender con mayor facilidad el caso particular que estamos estudiando. En general un sistema al cual se desea aplicar este filtro debe poder expresarse mediante una representación en variables de estados, tal como se hace en los problemas de la Teoría de Control de la siguiente manera:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

+=+Φ=+kvkxkCkykwkxkkx 1

Eq. 10

Donde x es el vector de estados del sistema, Φ es la matriz de transición de estados que básicamente es quien modela el sistema físico que se está estudiando, w en general es lo que representa un ruido blanco afectando al sistema. El vector y es el vector de medidas que se relaciona con el de estados por medio de la

matriz C y finalmente v es el ruido presente en las medidas. El objetivo del filtro es ir estimando el vector de estados a partir del valor de los mismos en instantes anteriores en función de una matriz llamada Ganancia de Kalman que en general se nota

kK . Supongamos que el estimado del vector de estados en el instante k se

expresa como:


9

( ) 1−− += kTkk

Tk

Tkkk RCpCCpK

−−kk px ,ˆ

( ) [ ]−− −+= kkkkk xCyKxkx ˆˆˆ

( ) −−= kkkk pCKp 1

( ) kTkkk

kkk

Qkpp

xx

+ΦΦ=

Φ=−

+

−+

1

1 ˆˆ

( ) − →− knotación xkkx ˆ1/ˆ

Entonces la idea es corregir dicho estimado a partir de la nueva medida, la Ganancia de Kalman y un estimado de la nueva medida:

−+= −−

medidanuevaladeestimado

kkkkkk xCyKxx ˆˆˆ

Eq. 11

El objetivo es hallar la expresión de la ganancia que minimice la el error de los estimados. Eso se logra minimizando la traza de la matriz de covarianza del error, cuya expresión es:

( )( ){ }Tkkkkk xxxxEP ˆˆ −−= Eq. 12

La forma como se logra esto no es relevante para el cometido del trabajo, por lo que solo nos limitaremos a esquematizar el algoritmo y a exponer las expresiones centrales para la implementación del mismo. El próximo esquema permite visualizar el comportamiento recursivo del algoritmo:

se actualiza la ganancia

se avanza al siguiente se actualiza el paso valor de g

Medidas

se proyecta el se actualiza el error y los estados error Donde:

{ } { }TkkkTkkk wwEQyvvER ==

Eq. 13


10

2.2 Modelado del sistema Ahora es tiempo de aplicar lo anterior para nuestro caso particular. Para un sistema de movimiento continuo, la ecuación de transición de estados es lineal y su expresión es la siguiente:

( ) ( ) ( )kwksks k +Φ=+1 Eq. 14

Donde ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Tyx kvkvkykxks = es el vector de estados del sistema cuyas componentes son la posición y

velocidad del UE para un sistema de coordenadas cartesianas en 2 dimensiones. Donde además Φ es la matriz de transición de estados como se definió en la Eq. 10, ∆ es el intervalo de tiempo entre muestras sucesivas, y ( )kw es un vector de dispersión definido como un par de velocidades aleatorias cuya matriz de

covarianza es Q, y cuyo objetivo es representar las posibles variaciones en las velocidades.

∆

∆

=Φ

10000100

010001

Eq. 15

( ) ( ) ( )[ ]kwkwkw Yx00= Eq. 16

Luego, a partir de la Eq. 7 y 10 se pueden definir las ecuaciones que rigen las medidas del sistema:

( ) ( ) ( )kvkGskz += Eq. 17

( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )( )( )( )

( )( )

( )( )kvN

ks

y

x

G

NN

kz

N kv

kvkv

kvkvkykx

yyxx

yyxxyyxx

kz

kzkz

+

−−

−−−−

=

...

....

00........................0000

...

...3

2

11

1313

1212

3

2

Eq. 18

Donde G es una matriz constante y lineal y donde ( )kv representa el ruido presente en las mediciones debido

a las incertidumbres en las medidas del tiempo diferencial de arribo (TDoA) por parte del UE, lo que se puede expresar como:

( ) ( ) Ninckrkr iii ,...,2. 111 =+= Eq. 19

Donde ( ) 11 ii tckr = es la distancia obtenida a partir del valor de TDoA libre de error.

Lo anterior tiene sentido si podemos relacionar los términos del vector ( )kz con los ( )kri1 , de hecho, esto es

posible por medio de la ecuación 9, ya que los parámetros que los relacionan son las distancias de las BS’s al


11

origen de coordenadas (constantes y conocidas) y el 1r que será estimado más adelante. El siguiente paso es

relacionar el vector ( )kv con el ruido de las medidas de los TDoA’s. La demostración se basa en sustituir la

ecuación 19 en el primer miembro de la igualdad 7, y luego considerar la aproximación ii rcn <<1 para

simplificar algunos términos, es decir:

( )[ ] ( ) iiiiiii vsGcnrrcnrss +=+−+−− 1112

112

12

21

iiii

r

iiiii vsGcnrrrnccnrrssi

+=−−

−−−−

<<

11112

12

112

12

12

21

221

[ ] iiiiiiii vsGcnrrrcnrrss +=−−−−− 1111112

12

12

21

[ ] ( ) iiiiiiii vsGcnrrrcnrrrss +=−−−−−− 1111112

12

12

21

[ ] iiii

sG

iii vsGcnrrrrss

i

+=−−−− 1112

12

12

21

Por lo que demostramos en general para todas las ecuaciones del sistema de la Eq. 18 que se cumple:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )knN

kB

N

kv

N kn

knkn

kr

krkr

c

kv

kvkv

=

...

....

0000..............................00000000

...

...3

2

3

2

3

2

Eq. 20

Cuya matriz de correlación ( )kR se calcula a continuación:

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }( )

( )( )kB

T

kN

TTTT kBknknEkBckBkcnknkcBEkvkvEkR 2===

( ) ( ) ( ) ( )kBkNkBckR 2= Eq. 21

Donde ( )kN es la matriz de covarianza del error en las medidas de los TDoA, es decir, de la resta de las

medidas del tiempo de arribo de cada una de las radiobases. La solución propuesta en [1] es la siguiente:

( )

T

N

kN

−

−−

−

−−

=

1...001...............0...1010...011

.

0000...............000000000000

.

1...001...............0...1010...011

2

23

22

21

σ

σσ

σ


12

El resultado anterior es válido bajo la hipótesis de que los ruidos que afecta los TDoA son no correlacionados y me media nula. Sin embargo, en este caso, el modelo propuesto no coincide con el presentado en [1]. Si el lector se adelanta en la lectura y observa lo presentado en el punto 3.2.2 podrá observar que error propuesto se debe a la dispersión en el retardo de la señal durante el fenómeno de propagación. Esto se ha modelado como una función de la distancia y de una distribución LogNormal cuya media no es nula. Por lo que resulta imperante recalcular la matriz de correlación del ruido de las medidas del filtro de Kalman. Para fijar ideas trabajemos bajo la hipótesis de que el UE recibe señales de 4 radiobases simultáneamente, por lo tanto el vector de errores en los TDoA sería el siguiente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Tknknknknknknkn 141312 −−−= Eq. 22

Por lo que la matriz ( )kN de la expresión 21 sería:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

−−−−−−−−−−−−−−−

=2

1413141214

14132

131213

141213122

12

knknknknknknknknknknknknknknknknknknknknknknknknknknknknknkn

EkN

Eq. 23

Ahora cabe adelantar de 3.2.2 que la ecuación que modela a los ruidos de la expresión anterior es:

( ) ( ) iii ykdTkn ε1=

Eq. 24

Donde la variable aleatoria yi corresponde a una distribución LogNormal de media µ y varianza σ, T1 es una constante y di es la distancia entre el UE y la correspondiente BS emisora de la señal de interés. Luego, recordando la no correlación entre las medidas y la linealidad del operador “ Esperanza ”, la Eq. 23 queda de la forma:

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

−++−++−++−+−++−++−++−+−+

=εεεεεεεεεεεεε

εεεεεεεεεεεεε

εεεεεεεεεεεεε

µσµσµσµσµσµσµσµσµσ

1422

12

42

3413422

12

2412422

12

3413422

12

1322

12

32

2312322

12

2412422

12

2312322

12

1222

12

22

21

22

2

dddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd

TkN

Eq. 25

Obsérvese que al haber cambiado la hipótesis del ruido su matriz de correlación se alteró drásticamente, por lo que haber omitido esta corrección hubiera sido un error grave.

2.3 Implementación del filtro de Kalman Hasta ahora se han calculado todas las ecuaciones y matrices necesarias para la implementación del filtro de Kalman. Es tiempo entonces de combinar los resultados teóricos de la sección 2.1 con lo hallado en 2.2.

Las proyecciones del vector de estados y de la matriz de covarianza son de la forma:

( ) ( )( ) ( )

+ΦΦ=+Φ=+

−

−

Qkpkpksks

T1ˆ1ˆ

Eq. 26


13

Las actualizaciones de las medidas son las siguientes, donde :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( )

−=+=

−

−

kpGkKIkpkekKksks ˆˆ

Eq. 27

Y la ganancia de Kalman y el vector de error están definidos como:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−Ρ−=+=

−

−−−

ksGkkrkukekRGkGpGkpkK

medidanueva

TT

ˆ1

1

Eq. 28

Donde la matriz ( )kR se calcula según la ecuación 21 y para lo cual se deben conocer la distancia

entre cada BS y el UE, en nuestro caso, dicho valor no es conocido con certeza, pero se propone estimarlo mediante la siguiente expresión:

( ) Nikssr ii ,...,21ˆ22 =+−= −

Eq. 29

Lo mismo sucede con el término 21r para lo cual se propone utilizar la expresión anterior para i = 1.

Aquí cabe aclarar donde es que se está utilizando la potencia del filtro de Kalman. En la Eq. 28 aparece remarcada cual es la nueva medida que ingresa al filtro. Pero obsérvese que esta depende del término ( )kr1

que a los efectos del sistema es un valor desconocido por la naturaleza de las medidas de los TDoA, por lo que el objetivo es estimar dicho valor, lo que acarrea una cierta incertidumbre que es absorbida como error en las medidas que ingresan al filtro de Kalman. Es decir, Kalman permite resolver el desconocimiento exacto del ( )kr1 , lo que le permite al sistema posicionar al UE sin la necesidad de conocer el tiempo completo de

propagación de la señal desde la BS hasta el UE. Asimismo el filtro nos permite calcular la matriz de correlación del ruido de la Eq. 25, ya que la misma depende de términos ( )kri que son conocidos también

con una cierta incertidumbre que es suavizada por la dinámica del filtro.

3 Modelado de las señales

3.1 Introducción El objetivo de esta sección es lograr construir una estructura que simule lo que sucedería realmente en un posible sistema de tracking de móviles celulares. Como se mencionó en la sección 1.4, el parámetro que se necesita conocer a la hora de determinar la ubicación del UE es la diferencia de tiempos de propagación de una determinada señal que viaja desde la BS hasta el equipo del usuario, para diferentes BS. Esto evita conocer la totalidad del tiempo de viaje, lo que en definitiva simplifica la solución. El primer paso en el modelado es caracterizar la señal mencionada. Para ello se analizaron los datos contenidos en [8] y se concluyó que el canal de sincronización SCH (Synchronization Channel) sería una buena opción para obtener las medidas deseadas, no solo por contener la información de reloj de la red (usualmente basada en relojes de estrato 1), sino que también por contener la información de la radiobase que distribuye la señal. Además cabe mencionar que la ubicación de las BS se asume como dato conocido por el UE. La idea desarrollada para simplificar el modelado de un sistema de este tipo es pensar que todas la radiobases están perfectamente sincronizadas y que las mismas transmiten simultáneamente alguna señal de sincronización que las identifique. Luego, estas señales viajan hacia el UE y arriban desfasadas en el tiempo de acuerdo a la distancia existente el UE y las radiobases correspondientes, y gracias a esto es que se obtienen los TDoA correspondientes. Esta forma de pensar el sistema simplifica el modelado por el hecho de que se


14

consideran transmisiones en un solo sentido, esencialmente es como pensar un “ broadcasting ” de señales de sincronización y no una multiplicidad de enlaces entre el UE y las BS’s. Con esto se obtiene la fuente generadora de las medidas que ingresarán al filtro de Kalman. Sin embargo, es necesario también modelar los fenómenos que puedan alterar la certeza de los valores de los TDoA. A continuación se menciona cuales son los principales y como se resuelven a la hora de simular.

3.2 Modelado del canal Factores hay muchos y de los más diversos orígenes, pero no todos afectan de manera relevante los resultados de la propagación de la señal. A continuación se listan aquellos que serán considerados en el análisis:

Atenuación. Dispersión en el Retardo. Ruido de fondo. Interferencia entre Radiobases.

3.2.1 Atenuación Como es sabido, las señales electromagnéticas sufren atenuaciones al propagarse, lo que genera una pérdida de energía en función de la ubicación del receptor. Nuestro caso de estudio se modela como un entorno urbano por ser un medio natural de utilización de móviles celulares. Para cuantificar la atenuación existen diferentes modelos de acuerdo a la morfología del terreno, la frecuencia de la señal, etc. Para sistemas UMTS las portadoras rondan los 2000MHz de frecuencia, por lo que una posible solución resulta ser el modelo COST-HATA de COST 231, cuyas ecuaciones son las siguientes [9]:

( ) Cmkmd

mh

hamh

MHzfLb BASE

MOBILEBASE +

−+−−+= loglog55.69.44log82.13log9.333.46

Eq. 30

( )

−−

−= 8.0log56.17.0log1.1

MHzf

mh

MHzfha MOBILE

MOBILE

Eq. 31

Donde Cm vale 0dB para ciudades medianas y centros suburbanos, o vale 3dB para centros metropolitanos. No obstante, el modelo es válido para ciertos rangos de sus parámetros en donde ubicaremos los valores correspondientes a nuestro caso.

Tabla 2

Parámetro Rango de validez

f 1500…2000MHz

BASEh 30…200m

MOBILEh 1…10m

d 1…20km

Como complemento al modelo de atenuación considerado, es conveniente agregar un elemento más que modele lo que se conoce como fast fading. Básicamente consiste en variaciones rápidas de la atenuación en función de la distancia, lo que se produce debido a los multicamino, los cuales provocan que múltiples señales arriben a un mismo punto con diferentes fases, produciendo interferencias constructivas y destructivas aleatoriamente. La forma de modelar este fenómeno es adicionando una variable aleatoria de distribución de Rayleigh a la ecuación 30.

( ) ( ) Rayleighb LdLdL +=

Eq. 32


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( )RRayleigh KRayleighL →

Eq. 33

A continuación se presenta la ecuación 32 simulada en Matlab a modo de anticipar cuales serán las atenuaciones sufridas por las señales (el código correspondiente se encuentra en el anexo A.2).

Fig 7

3.2.2 Dispersión en el Retardo La dispersión en el retardo es el efecto más importante en la incertidumbre de las medidas de los TDoA. Este es provocado por el efecto de multicamino debido a la geometría del entorno. Básicamente, el hecho de que la onda viaje por caminos que se apartan de la línea vista provoca que la distancia recorrida sea levemente distinta a la existente entre la BS y el UE y por ende exista un error en el tiempo medido. En definitiva esta es la principal fuente de error en las medidas, ya que el “ ruido ” electromagnético se modelará como una pérdida de información, y no como un error en las medidas. Nuevamente en este caso no se cuenta con un modelo especialmente diseñado para el problema de ubicación de móviles en una red celular. Sin embargo en [6] se propone la siguiente ecuación para la dispersión por retardo:

ydTrmsετ 1=

( )σµ,Lognormy→ Eq. 34

Donde d es la distancia a la BS en km, 1T es el valor medio de rmsτ a 1km de distancia, ε es un exponente

cuyo valor pertenece al intervalo (0.5,1) e y es una variable aleatoria de distribución Log-normal. Para

visualizar mejor el resultado se implementó una simulación en Matlab que determina el retardo de la señal de un BS para cada punto del plano donde está ubicada. No obstante fue necesario definir ciertos parámetros para que la simulación fuese posible, el criterio que se utilizado fue tratar de lograr resultados los más similares posibles a los presentados en [6]. A continuación se presentan los valores de las constantes junto con la imagen de los resultados. Para ver el código en Matlab de la simulación ver A.3.

Rango del eje X: [-2500,2500]m con paso de 50m. Rango del eje Y: [-2500,2500]m con paso de 50m. Radiobase ubicada en el punto (-2000,1500). 1.21 =T chips.

Tchip = 250ns. 55.0=ε . y de distribución Log-normal con 0=µ y 08.0=σ .


16

Fig 8

3.2.3 Ruido de fondo Aquí, el único objetivo es considerar el ruido que se encuentra presente siempre en cualquier comunicación inalámbrica. El mismo se considerará como blanco aditivo de distribución gaussiana con media nula y una varianza

fondoσ a determinar.

( )fondofondo NRuido σ,0→

3.2.4 Interferencia entre Radiobases En muchas ocasiones las señales emitidas por radiobases ubicadas en celdas diferentes a donde está ubicado el UE no afecta de forma significativa la comunicación, sin embargo, en nuestro caso esta omisión no es correcta. Esto se debe a que el UE deberá mantener enlaces con múltiples BS de diferentes celdas para lograr la multiplicidad de medidas necesarias para el correcto funcionamiento del filtro de Kalman. El modelo propuesto en este trabajo para la interferencia consiste en pensar a las señales interferentes como ruido blanco gaussiano aditivo, pero filtrado según un pasabanda centrado en 2000MHZ y una banda aproximada de 5MHZ. A su vez, dicho ruido se verá atenuado según el modelo presentado en 3.2.1, por lo que su potencia será función de la distancia. Como potencia transmitida se considerará la misma que para todas las radiobases, pero será disminuida mediante un factor de correlación. El mismo intenta modelar la correlación que existe entre comunicaciones diferentes de un sistema basado en UMTS. Es decir, idealmente dicho factor sería nulo si no existiera correlación entre las diferentes señales, pero en la práctica no lo es debido a la seudo ortogonalidad de los diferentes canales.

( ) ( )dLPfdciaInterferen corr=

Eq. 35

Fig. 9

Filtro Pasabanda

Fc=2000MHz BW=5MHz

( )erferenciaN int,0 σ P


17

Este modelado se simuló previamente para analizar su viabilidad, y en particular se encontró que no era posible diseñar en la práctica un filtro con una banda plana tan pequeña a una frecuencia central tan alta, por lo que se tuvo que ampliar la misma y curvar la amplitud, caso contrario, el resultado obtenido hubiese tenido variaciones más abruptas. No obstante, esto no altera significativamente los resultados. En particular se implementó un filtro pasabanda de Yule-Walker, basado en el tutorial de Matlab. Y su respuesta en frecuencia fue la siguiente:

Fig 10

Luego, el siguiente paso fue verificar que este filtro se comportara correctamente a la hora de filtrar el ruido, para ello se procedió a filtrar una señal aleatoria de distribución gaussiana y estimar su densidad espectral de potencia. Esto se hizo a través de la transformada rápida de Fourier aplicada a la correlación de las muestras del ruido, y lo que se obtuvo fue:

Fig 11

Queda claro del último cuadro que la banda del ruido filtrado no es exactamente de 5MHz, esto se debe a que en la práctica no es posible construir un filtro de banda tan estrecha con una frecuencia central tan elevada, de todas formas los resultados obtenidos son razonables a la hora de simular el sistema. (Código en A.2). Por otra parte, en esta ocasión el modelado es un tanto particular. Como no es posible calcular la potencia instantánea de una señal a partir de las muestras, se optó por pensar que el valor de la señal aleatoria representa la potencia transmitida de ruido, y no la propia señal. Para ello se ajusto la varianza de la señal al valor de potencia de salida de las radiobases y se considero el valor absoluto de la señal por el hecho no menor de que la potencia es siempre positiva. Si se hubiera hecho caso omiso a este detalle podrían darse cancelaciones entre el ruido de fondo y el interferente que en principio no reflejaria el nivel de ruido en un determinado instante para una determinada posición. El mismo razonamiento se hizo para el ruido de fondo,


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la señal aleatoria representa la potencia del ruido, y lo que se hizo fue considerar el valor absoluto de las muestras y la varianza ajustada a la potencia del ruido. 3.2.5 Efectos del ruido Como ya se anticipó, el ruido de las comunicaciones no afecta directamente el valor de las medidas pues este solo se ve afectado por el delay spread, sin embargo, hay que modelar de alguna manera sus efectos. Lo que propone este trabajo es que el ruido provoque pérdidas de información, en particular, pérdidas en los mensajes de sincronización que proveen la información para calcular los TDoA. Para esto debe construirse algún criterio que permita decidir cuando se pierden los mensajes y cuando no. La idea propuesta es estimar el cociente entre la potencia de señal y la potencia de ruido recibida para cada instante de medida, para calcular la SNR en recepción y luego compararlo con algún valor umbral para decidir si la recepción de la señal de sincronización es posible. Luego, si la SNR estimada es superior al valor umbral se considera que la medida es válida. Si en cambio, no se logra alcanzar el umbral se procede a estimar la medida a partir de las anteriores. Para ello se pueden proponer diversos métodos, basados en extrapolar los resultados anteriores con algún polinomio a determinar, básicamente diferenciados en la cantidad de medidas anteriores consideradas y en el grado del mismo. En particular se proponen dos soluciones, la primera es conservar la medida anterior, es decir, una extrapolación de orden 0, otra técnica razonable es extrapolar la medida mediante una recta determinada por las dos medidas anteriores. Ambos métodos quedan determinados por las siguientes ecuaciones respectivamente.

[ ] [ ]1−=− kzkz Eq. 36

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) ( )( ) [ ] [ ]2121.

21211 −−−=−−

−−−−−−+−=− kzkzkk

kkkzkzkzkz

Eq. 37

Para poder comparar con el umbral es necesario estimar cual es la potencia de señal y de ruido en el UE. Para estimar a potencia de señal se propone que la misma se calcule como la potencia de salida de la BS atenuada según la ecuación 32. Y para estimar la del ruido lo que se expone es calcularla como la suma de la potencia del ruido de fondo (3.2.3) y la potencia de las señales interferentes (3.2.4). Resumiendo, un diagrama de bloques representativo del sistema anterior sería el siguiente:

Fig. 12

3.2.6 Tratamiento de los efectos del ruido El objetivo de esta sección es diseñar un sistema de tratamiento de los efectos del ruido, es decir, lograr un algoritmo que simule los efectos y que sea capaz de resolver las situaciones patológicas. Como primer punto hay que complementar el sistema de la figura 12. En esa instancia se trabaja para una única medida, la idea es que el mismo razonamiento se realice para todas las medidas de TDoA, y luego se exija que todas ellas satisfagan el umbral, caso contrario se descarta la medida. Aquí cabe hacer una aclaración, las medidas de los TDoA son diferentes a las medidas consideradas en el filtro de Kalman. Estas últimas se desprenden de las primeras según las ecuaciones 9 y 28, donde los

1ir están relacionados con los TDoA según la ecuación 4.

Entonces la idea es analizar los SNR de las señales de sincronización de cada BS y en base a eso descartar las

( )tp

( )tn ( )( )tntpSNR =

[ ]kz

[ ]−kz

Comparador

de Valor U

USNR >

USNR ≤


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medidas [ ]kz . Previo a la implementación del filtro de Kalman se simularon los resultados obtenidos en las

ºestimaciones de los SNR en cada punto de la región de interés, haciéndolo para cada TDoA participante en el tracking del UE. Al igual que en las simulaciones del filtro, se consideraron cuatro radiobases BS1, BS2, BS3 y BS4 ubicadas respectivamente en los puntos [-2000,2400], [1900,2200], [-2400,1800] y [1750,-2450], con las que se obtuvo lo siguiente:

Fig 13

En la imagen anterior queda claro que la calidad de la señal del i-ésimo TDoA es óptima cuando se está haciendo el seguimiento cerca de la i-esima BS, ya que lo que se considera como señal es la información del canal SCH de dicha radiobase. Mientras que las señales provenientes de las otras sufren una gran atenuación, y además están afectadas por la señal de la i-ésima BS que es vista como un ruido de gran potencia. Por esto es de esperar que la los efectos del ruido sean mucho más significativos cerca de las BS y el sistema se comporte mejor en los puntos intermedios entre las bases. Para asentar aun más este resultado se propone un análisis más que consiste en establecer un umbral de recepción con el que se determinará para cada punto si es posible obtener una medida fiable para el filtro, o si por el contrario esta debe descartarse. Al simular este sistema el resultado fue el de la figura 14, la escala de colores corresponde a la probabilidad de recibir correctamente todas las señales, la cual surge de interpolar para cada punto los valores de los términos más cercanos en la grilla:

Fig 14


20

Donde las zonas blancas corresponden a los puntos de detectabilidad positiva de la señal, y los oscuros a las negativas. Nuevamente se confirma que la zona de mejor recepción para los TDoA es la intermedia entre las radiobases. La imagen corresponde a una realización del proceso en particular, pero si la misma se repite en diversas ocasiones los resultados son los mismos. (Los códigos de las simulaciones se encuentran en A.4 para el comparador, y A.7 para las medidas de los SNR).

4 Simulaciones

4.1 Introducción Habiendo logrado un modelado del canal aceptable se procederá a implementar el algoritmo de seguimiento, es decir, se simulará el filtro de Kalman diseñado en la sección 2.3. Antes de presentar los resultados se procederá a hacer una breve explicación del escenario propuesto para la simulación. La idea es considerar un clúster de 10 celdas particionadas en sectores de 120º iluminados cada uno por una antena diferente lo que implica que la cantidad de BS’s que “ ve ” el UE depende de su ubicación en el clúster. Lo que queda ejemplificado a continuación:

Fig 15

En general se trabajará en la región donde hay 4 radiobases visibles para ser consistentes con los resultados presentados en [1]. La herramienta a utilizar para las simulaciones será el Matlab [4], entorno en el cual se programaron los algoritmos del filtro así como también se han generado las señales involucradas en el sistema. Básicamente lo que se hará será construir una trayectoria seudo aleatoria del UE acorde con una determinada velocidad de desplazamiento, luego, definiendo las ubicaciones de las BS se podrá calcular la distancia a cada una de ellas, y con ello se podrán obtener los tiempos de propagación de las señales (Eq. 4). A su vez, estos permitirán obtener las medidas exactas de los TDoA, a las cuales se les agregará el error correspondiente para poder simular el sistema junto con los efectos del ruido descritos en 3.2.5.

4.2 Generación de las Trayectorias Como se menciona en el título del trabajo, el estudio del tracking se realiza para el caso particular de peatones. Se considera que los mismos se desplazan aproximadamente a 1.5m/s o lo que es lo mismo a 5.4km/h. Para no trabajar con una trayectoria puramente arbitraria se optó por sucesiones de tramos de 80m aproximadamente donde al finalizar el mismo se opta por cambiar la dirección aleatoriamente, lo que en definitiva simula ser el desplazamiento de un peatón a través de las calles de un entorno urbano tipo. A su vez, en cada tramo se le agrega un componente aleatorio con una pequeña varianza para que el desplazamiento no sea completamente rectilíneo. Se proponen tres trayectorias diferentes, una de ellas ubicada en la zona intermedia de las radiobases, y las otras en zonas cercanas a alguna de las BS’s, la razón de la elección es poder comprobar los resultados obtenidos en la sección 3.2.6 a partir de la figura 14, es decir, verificar como varía la performance del sistema en función de la ubicación del UE conforme este se aleja de la zona intermedia acercándose a las BS’s. Como última observación hay que mencionar la frecuencia de muestreo de la trayectoria, la misma es de una muestra cada 0.27s, la misma tasa que se utilizará con las medidas en el filtro de Kalman. A continuación se muestran tres trayectorias resultantes de la simulación (ver código en A.8) las cuales serán utilizadas para realizar el seguimiento.


21

Fig 16

4.3 Resultados de la Simulación En esta sección se presentan los resultados de la simulación para cada una de las trayectorias. Se muestran las trayectorias obtenidas a partir del filtro de Kalman, así como también algunos valores que caracterizan la performance de los resultados (Ver código en A.9). Como primer paso se presentan los valores asignados a todos los parámetros de la simulación:

Tabla 3

Parámetro Descripción Valor

muestreo∆ Período de muestreo de las señales 0.27s

0P Potencia de salida de la Radiobase 40W

f Frecuencia central del sistema celular 2000MHz

Baseh Altura de las radiobases 35m

Mobileh Altura del UE 1.8m

mC Parámetro del modelo COST231-HATA 3dB

RK Parámetro de la distribución de Rayleigh 3

1T Dispersión del retardo de propagación a 1km de la BS 525ns

ε Exponente de la distancia en la dispersión por retardo 0.55 µ Parámetro µ de la distribución LogNormal 0

σ Parámetro σ de la distribución LogNormal 0.08

Fondoσ Varianza del ruido de fondo -100dBm

ciaInterferenσ Varianza de la interferencia generada por las BS’s 46dBm

corrf Factor de correlación entre canales 0.1

U Umbral del SNR en recepción 0.02

Velocidadσ Varianza de la dispersión en la velocidad 0.3


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Con los valores de la tabla 3 se simulo el comportamiento del filtro para las 3 trayectorias propuestas en la figura 16 y se compararon los resultados obtenidos. Los resultados se presentan más adelante no sin antes hacer mención a ciertos aspectos que vale la pena comentar que surgieron durante las simulaciones.

El vector de dispersión de velocidad propuesto en la ecuación 14 resulta esencial para el correcto funcionamiento del sistema, básicamente se vio que al omitirlo la dinámica del filtro se degradaba en el tiempo debido a que no se consideraban posibles fluctuaciones de estos estados.

El valor inicial de la posición si bien no influye significativamente luego de transcurrido un tiempo, puede desmejorar de forma importante las primeras iteraciones del filtro, por lo que una estimación aproximada al inicio resulta beneficiosa. En cuanto a las velocidades iniciales, como se enfoca el sistema a peatones resulta fácil su estimación.

Para determinar un valor inicial para la matriz R del filtro de Kalman, se optó por suponer que las distancias entre el UE y las BS’s es el radio de la celda del sistema. Y para estimar la covarianza del error inicial, simplemente se utilizó la matriz identidad.

Trayectoria 1

Fig 17

Tabla 4

Concepto Valor

Error medio en X 0.2931 m

Error medo en Y -0.1984 m

Varianza en X 9.1341 m2

Varianza en Y 2.3391 m2

Velocidad Media 1.7659 m/s

% medidas perdidas 4.2%

Fig. 17

Fig. 18 Fig. 19 Fig. 20 En la figura 17 se presenta la trayectoria obtenida gracias al filtro de Kalman comparada con la verdadera trayectoria del UE, y en la tabla 4 se listan los resultados más relevantes de la simulación. En particular se puede ver que el porcentaje de pérdidas de medidas es pequeño, por lo que la forma de solucionar dichas


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pérdidas (presentadas en 3.2.5) no influye de forma significativa en los resultados, dichas variantes se analizarán en las próximas situaciones. Para estimar los errores no se consideraron las primeras muestras donde el filtro aún no estaba en régimen pues modifican los resultados de forma poco relevante. Sin embargo, se aprecia que una vez la trayectoria estimada por el filtro converge a la original, la misma evoluciona correctamente, aún en las zonas donde la trayectoria cambia bruscamente, como podrían ser las esquinas, esto probablemente sea así gracias a que la velocidad de desplazamiento es pequeña en comparación con la tasa con que arriban las mediciones. Lo que se aprecia es una leve diferencia en los errores en la componente X e Y del desplazamiento. En principio el comportamiento del filtro es el mismo para ambos estados, pero lo que probablemente genere esta disparidad sea la trayectoria misma, que cuenta con un mayor desplazamiento en la dirección X. En la figura 18 se muestra la evolución del error en ambas coordenadas y corrobora la coherencia con los datos tabulados. Asimismo ocurre con la figura 19 donde se muestran las componentes de velocidad y la absoluta, los resultados muestran una velocidad media de 1.77 m/s donde la original propuesta era de 1.5 m/s, por lo que el resultado es satisfactorio, lo que permite ver el gráfico es el ruido en la misma, dado tanto por las características del filtro, como por el vector de dispersión presentado en la ecuación 16. Por último en la imagen 20 se muestra la evolución de las medidas del filtro de Kalman (Eq. 28) comparadas con las verdaderas medidas, una comparación que surge por el hecho de que las misma son estimadas a partir de los estados estimados por el filtro, y por ende acarrean un cierto grado de incertidumbre, la idea es poder visualizar que tan bien son estimadas. Asimismo resultará útil cuando el porcentaje de pérdidas sea importante y empiecen a cobrar relevancia las técnicas presentadas en 3.2.5. Trayectoria 2 En este caso se simula el tracking para una trayectoria que esta ubicada en una zona hostil para la comunicación. Es decir, una zona ubicada cerca de una de las BS’s, por lo que según las conclusiones obtenidas a partir de la Fig. 14 es de esperar que la performance no sea la mejor. Por lo tanto en este caso resulta de interés analizar los resultados de aplicar los diferentes métodos de tratamiento de las señales perdidas.

Tabla 5

Extrapolación de orden 0 Extrapolación de orden 1

Fig- 21

Fig- 21

Fig- 22

Fig- 23

Fig- 23

Fig- 24


24

Fig- 25

Fig- 25

Fig- 26

Tabla 6

Concepto Ext. Orden 0 Ext. Orden 1

Error medio en X 0.9269 m 2.5862 m

Error medo en Y -2.1384 m -2.8090 m

Varianza en X 21.9773 m2 41.8078 m2

Varianza en Y 32.9302 m2 77.9537 m2

Velocidad Media 1.8943 m/s 2.0478 m/s

% medidas perdidas 47.98% 48.22%

Analizando las imágenes de la tabla 5 se puede ver claramente que el sistema con mejor performance es aquel que utiliza la extrapolación de orden 0, probablemente por el hecho de que aproximar la curva por una recta no es adecuado cuando el porcentaje de pérdidas es alto. El error que se acumula en cada paso resulta ser mayor que cuando se conserva la medida anterior. De los datos tabulados se desprende que en media la varianza de los errores aumenta, pero si se analiza la figura 26 se ve además que el error no permanece acotado todo el tiempo, hay instantes donde la estimación de la medida se aleja de manera importante de los valores reales. En contraparte con esto, se puede ver (Fig. 25) que para el sistema de orden 0 la curva de medidas, si bien es escalonada en muchos puntos, nunca se aleja significativamente de los resultados verdaderos. Resultados análogos se concluyen con el error en la posición y la velocidad. Por otra parte, si se contrastan estos resultados con los obtenidos en la trayectoria 1 se corrobora lo que era de esperar, ha ocurrido una degradación en la performance. En primer lugar, el porcentaje de medidas perdidas multiplico por 10, lo que se tradujo en un aumento de un orden similar en los errores. También se incrementó el error en el cálculo de la velocidad media, pero esto no sorprende por el hecho que la trayectoria estimada es más sinuosa que la original, lo que se traduce como una mayor distancia recorrida en un mismo lapso de tiempo y por ende una mayor velocidad. Trayectoria 3 Esta trayectoria se encuentra ubicada en una zona que si bien no equidista de las BS’s, tampoco se encuentra muy cerca de ninguna de ellas. Por lo que es de esperar que el comportamiento del sistema también se ubique en un punto intermedio entre los dos casos anteriores. En efecto, se simuló y se comprobó lo que se esperaba. El porcentaje de pérdidas en las medidas disminuyó al 30.83% así como también los errores medios y medios cuadráticos. A continuación se muestra la trayectoria estimada y se omite el resto de los datos por no aportar mayor información.


25

Fig 27

Como último análisis se simuló un seguimiento de la trayectoria 1y de la 2, pero con un nuevo período de muestreo, en particular, un valor tres veces superior al anterior. Lo que se obtuvo fue lo siguiente.

Fig 28 Fig 29

De la imagen se desprende que para la primera trayectoria los resultados fueron satisfactorios, mientras que para la segunda no lo son tanto. Por lo que se presenta como una posibilidad de optimizar el sistema el hecho de ajustar el período de muestreo de las señales con el fin de reducir el costo computacional, y por ende reducir los costos necesarios para implementar el filtro de Kalman en el hardware del UE. Esta optimización escapa al alcance del trabajo pero queda planteada como una puerta abierta a la continuación del mismo.


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5 Conclusiones El trabajo se enfocó al estudio de seguimiento de equipos de usuarios móviles de redes celulares para trayectorias de peatones basados en los trabajos de Montse Nájar y Josep Vidal de la Universidad Politécnica de Catalunya [1]. Asimismo se realizó una introducción a la técnica TDoA de posicionamiento de equipos móviles y como este problema es resuelto mediante la utilización del filtro de Kalman. Sin embargo fue necesario complementar los resultados presentados en [1], así como también realizar ciertas modificaciones con el fin de mejorar lo ya existente. Una lista de dichos detalles es la siguiente:

Se demostró la totalidad de las ecuaciones presentadas en [1].

Se innovó en el modelado del ruido de las medidas habiéndose creado una nueva expresión para la matriz de correlación del ruido de las medidas. (Eq.25).

Se propuso una nueva versión del modelado de las señales involucradas en el sistema.

Se implemento un tratamiento nuevo de las señales, en particular se caracterizó el ruido que afecta a

las medidas como el generado a causa de la dispersión del retardo debido a los multicaminos.

Se propuso que el ruido electromagnético generara pérdidas de información, y se comprobó que el porcentaje de pérdidas es función de la ubicación relativa del UE con respecto a las BS’s, un fenómeno no considerado en el trabajo original.

Se plantearon dos soluciones posibles frente a la pérdida de datos, la extrapolación de orden 0 y la

extrapolación lineal.

Se diseñaron nuevas trayectorias con características aleatorias para evitar arbitrariedades en las mismas, pero con el objetivo de que fueran representativas de lo que podría llegar a ser el desplazamiento de un peatón en un entorno urbano.

Se planteó la disyuntiva de alterar el período de muestreo de las señales con el objetivo de optimizar

la performance del sistema en cuanto al costo computacional.

Por último, se implementaron diversos programas en Matlab con el fin de simular los resultados teóricos propuestos y se comprobó la eficacia de la técnica de seguimiento propuesta en [1].

En cuanto a las conclusiones mismas del trabajo, como primer punto a destacar es el correcto funcionamiento del filtro de Kalman a la hora de resolver el posicionamiento. Se demostró que resulta ser una técnica eficaz a la hora de evitar conocer el tiempo completo de propagación de las señales, logrando simplificar en gran medida la red celular. También es importante destacar que la simulación de las señales fue eficaz para poder comprobar como varían los resultados del seguimiento en función de la ubicación del UE. En particular se detectó que la media de los errores en ambas coordenadas de la posición del UE en ningún caso fue nula, y que a su vez depende fuertemente de la dirección de desplazamiento. Probablemente esto se deba a que el error considerado en las medidas tampoco es de media nula debido a su naturaleza. El efecto multicaminos produce retardos, pero no adelantamientos, lo que fue modelado con una distribución LogNormal cuya densidad tiene toda soporte positivo. En lo referente al modelado de las señales, un hecho importante a destacar es la forma en que se modeló la interferencia entre las radiobases. Como se mencionó en 3.2.4, existe la necesidad de calcular la potencia instantánea del ruido, por lo que resulta inviable hacerlo a partir del cálculo de la correlación de las muestras. La solución propuesta en este trabajo consiste en generar una señal aleatoria que representa la potencia del ruido, y no el propio ruido, esto permite tener un estimado de la potencia del ruido para cada posición y para cada instante de tiempo. En particular, para el ruido interferente de las radiobases, lo que se propuso fue generar un ruido blanco y filtrarlo según un pasabanda que fuera representativo de los canales de los sistemas UMTS, y luego a este ajustarle la varianza a un valor similar a la potencia de salida de la BS, a continuación a la señal se le aplicó el modelo de atenuación de canal (Eq. 32) y se lo modificó según una constante menor a la unidad que modela la seudo ortogonalidad entre los canales.


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Por otra parte, haciendo referencia a los efectos del ruido presentados en 3.2.5, fueron propuestas dos soluciones ante la pérdida de información y se comprobó que la extrapolación lineal no presenta ninguna ventaja frente a la de orden 0, no solo no produce mejoras, sino que en muchos casos degrada la performance a la vez que aumenta el costo computacional. Por ejemplo, si se implementase en hardware este sistema, se requeriría de mayor memoria volátil para almacenar temporalmente las medidas anteriores. Algunas mejoras a este trabajo propuestas para futuras realizaciones podrían ser las siguientes:

Enfocar el estudio de forma neta a algún sistema móvil celular.

Con lo anterior definir con precisión los parámetros utilizados en las simulaciones para el sistema particular, y gracias a ellos obtener tasas de pérdidas de señales más verídicas.

Estudiar diferentes geometrías de las radiobases, en particular como afecta a los resultados el número

de radiobases implicadas en el tracking; así como también realizar los estudios para diferentes entornos geográficos y demográficos, a saber, zonas densamente pobladas con planificación de redes en micro o pico celdas, zonas de baja población y redes en macroceldas, así como también zonas de abundante vegetación.

Lo anterior reflejarlo en los modelos de atenuación utilizados eligiendo los más adecuados para cada

entorno y determinar las viabilidades del sistema de tracking en cada unos de ellos.

Una mejora adicional sería considerar otros efectos despreciados en el modelado de las señales, como por ejemplo la dispersión angular de la energía transmitida por la radiobase, lo cual se podría hacer en base a los diagramas de radiación de las antenas de las BS’s.

Finalmente, pero no menos importante se observó que hay una cierta optimización posible del sistema en función del período de muestreo de las señales. Fundamentalmente si se piensa en la implementación en hardware, mayores períodos de muestreo redundarían en menores velocidades de procesamiento y por ende eso se reflejaría en minimizaciones de costos de fabricación de los equipos. Un estudio interesante sería optimizar el período de muestreo y en base a eso estimar el costo operacional del algoritmo. Es decir, poder calcular cual es el número de operaciones por segundo necesarias por parte del procesador que implemente el algoritmo. Luego, en base capacidades de procesamiento del hardware utilizado en los terminales del sistema, determinar la viabilidad comercial de un sistema de tracking de estas características. Todo esto con el objetivo final de decidir si un sistema como el presentado tiene posibilidades de introducirse al mercado de las telecomunicaciones.


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A Anexo: Programas en Matlab A.1 Localización por Hipérbolas

% ---------------------------- % ¦Visualización de Hipérolas¦ % ---------------------------- clear all close all delta_dist=-40; error=1; l_grilla=200; bs1=l_grilla*[0.2 0.2]; bs2=l_grilla*[0.7 0.8]; bs3=l_grilla*[0.15 0.9]; bs4=l_grilla*[0.9 0.2]; h1=waitbar(0,'Por favor espere...'); for i=1:l_grilla x1(i)=i; for j=1:l_grilla aux(j)=abs(sqrt( (x1(i)-bs1(1))^2 + (j-bs1(2))^2 )-sqrt( (x1(i)-bs2(1))^2 + (j-bs2(2))^2 )-delta_dist); end y1(i)=find(aux<=min(aux)); waitbar(i/l_grilla,h1); end close(h1); h2=waitbar(0,'Por favor espere...'); for i=1:l_grilla

x2(i)=i; for j=1:l_grilla aux(j)=abs(sqrt( (x2(i)-bs3(1))^2 + (j-bs3(2))^2 )-sqrt( (x2(i)-bs4(1))^2 + (j-bs4(2))^2 )-delta_dist); end y2(i)=find(aux<=min(aux)); waitbar(i/l_grilla,h2); end close(h2); figure(1) hold on plot(bs1(1),bs1(2),'xr') plot(bs2(1),bs2(2),'xg') plot(bs1(1),bs1(2),'or') plot(bs2(1),bs2(2),'og') plot(x1,y1,':') plot(bs3(1),bs3(2),'xk') plot(bs4(1),bs4(2),'xm') plot(bs3(1),bs3(2),'ok') plot(bs4(1),bs4(2),'om') plot(x2,y2,':') title('Hipérbolas de localización para una diferencia de distancias de -40')

A.2 Modelado de Ruidos

% ---------------------------- % ¦ Ajuste de Ruidos ¦ % ---------------------------- close all clear all % Estudio de la atenuación de COST231 b=input('Parámetro de la distribución de Rayleigh: '); for i=1:3500 y(i)=cost231(i,2000,50,2,b); end plot(y) title('Modelo de Atenuación COST-HATA') xlabel('distancia(m)') ylabel('L(dB)') % Construyo el filtro pasabanda f=[0 0.910 0.923 0.940 0.950 0.955 0.964 0.976 1]; H=[0 0 0.2 0.8 1 1 0.8 0.2 0]; fs=2*2030e6; fhz=f*fs/2; N=8; [Bh,Ah]=yulewalk(N,f,H); n=256; hh=freqz(Bh,Ah,n); hy=abs(hh); ff=fs/(2*n)*(0:n-1); figure plot(fhz,H,ff,hy); title('Diagrama de Bode del Filtro Pasabanda') legend('Real','Yule-Walker') xlabel('f(Hz)') ylabel('Amplitud') % Filtro un ruido blanco Gaussiano sigma=input('Varianza del Ruido: ') r_blanco=randn(1,100)*sigma;%ruido blanco

r_filt=filter(Bh,Ah,y);%filtrado pasabanda %correlaciones de las muestras h=waitbar(0,'Espere...') for k=1:length(r_blanco) cor_rb(k)=0; for n=k:length(r_blanco) cor_rb(k)=cor_rb(k)+r_blanco(n)*r_blanco(n-k+1); end waitbar(k/length(r_blanco)); end close(h); h=waitbar(0,'Espere...') for k=1:length(r_filt) cor_rf(k)=0; for n=k:length(r_filt) cor_rf(k)=cor_rf(k)+r_filt(n)*r_filt(n-k+1); end waitbar(k/length(r_filt)); end close(h); r_b_f=fft(fftshift(cor_rb))/length(cor_rb); %ruido blanco en el dominio de la frecuencia r_f_f=fft(fftshift(cor_rf))/length(cor_rf); %ruido blanco en el dominio de la frecuencia frec=[1:1:length(r_f_f)]*fs/length(r_f_f); frec2=[1:1:length(r_b_f)]*fs/length(r_b_f); save Ruidos Bh Ah r_blanco r_filt cor_rb cor_rf r_b_f r_f_f figure subplot(221) plot(r_blanco) title('Ruido Blanco en el Tiempo') xlabel('muestras')


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subplot(222) plot(r_filt(1:length(r_blanco)),'r') title('Ruido Filtrado en el Tiempo') xlabel('muestras') subplot(223) plot(frec2,abs(r_b_f))

title('Ruido Blanco en Frecuencia') xlabel('f(Hz)') subplot(224) plot(frec,abs(r_f_f),'r') title('Ruido Filtrado en Frecuencia') xlabel('f(Hz)')

A.3 Delay Spread

% ---------------------------- % ¦ Delay Spread ¦ % ---------------------------- clear all close all % Constantes dist=2500; paso=50; X=[-dist:paso:dist]; %Rango en el eje X Y=[-dist:paso:dist]; %Rango en el eje Y BS=[-2000 1500]; T1=2.1; epsilon=0.55; y=random('logn',0,0.08,length(X),length(Y)); %Matriz Aleatoria de Distribución LogNorm %Itero en la Grilla para calcular el Delay en cada punto del plano h=waitbar(0,'Por favor espere...');

for i=1:length(Y) for j=1:length(X) if (j==BS(1))&(i==BS(2)) else grilla(i,j)=T1*sqrt(((Y(i)-BS(2))/1000)^2+(((X(j)-BS(1))/1000)^2))^epsilon*y(i,j); end end waitbar(i/length(X),h); end close(h); pcolor(X,Y,grilla) shading interp title('Dispersión del Retardo en Tiempos de Chip') colorbar

A.4 Comparador

% ---------------------------- % ¦ Comparador ¦ % ---------------------------- function [test,s1,s2,s3,s4] = comparador(r1,r2,r3,r4,r_filt1,r_filt2,r_filt3,r_filt4,i) sigma_F=5e-14; Po=40; %potencia de salida de la BS fcorr=0.1;%factor de correlacion entre canales umbral=0.02; %valor umbral de la comparación f=2000; %f en MHz h_b=35; %altura de la BS en m h_m=1.8; %altura del movil en m B=3;%parámetro de la distribución de Rayleigh ru1=abs(randn(1)*sigma_F)+abs(fcorr*( r_filt2*10^(-cost231(r2,f,h_b,h_m,B)/10) + r_filt3*10^(-cost231(r3,f,h_b,h_m,B)/10) + r_filt4*10^(-cost231(r4,f,h_b,h_m,B)/10))); s1=abs(Po*10^(-cost231(r1,f,h_b,h_m,B)/10)/ru1); t1=abs(Po*10^(-cost231(r1,f,h_b,h_m,B)/10)/ru1) > umbral; ru2=abs(randn(1)*sigma_F)+abs(fcorr*( r_filt1*10^(-cost231(r1,f,h_b,h_m,B)/10) +

r_filt3*10^(-cost231(r3,f,h_b,h_m,B)/10) + r_filt4*10^(-cost231(r4,f,h_b,h_m,B)/10))); s2=abs(Po*10^(-cost231(r2,f,h_b,h_m,B)/10)/ru2); t2=abs(Po*10^(-cost231(r2,f,h_b,h_m,B)/10)/ru2) > umbral; ru3=abs(randn(1)*sigma_F)+abs(fcorr*( r_filt1*10^(-cost231(r1,f,h_b,h_m,B)/10) + r_filt2*10^(-cost231(r2,f,h_b,h_m,B)/10) + r_filt4*10^(-cost231(r4,f,h_b,h_m,B)/10))); s3=abs(Po*10^(-cost231(r3,f,h_b,h_m,B)/10)/ru3); t3=abs(Po*10^(-cost231(r3,f,h_b,h_m,B)/10)/ru3) > umbral; ru4=abs(randn(1)*sigma_F)+abs(fcorr*( r_filt1*10^(-cost231(r1,f,h_b,h_m,B)/10) + r_filt2*10^(-cost231(r2,f,h_b,h_m,B)/10) + r_filt3*10^(-cost231(r3,f,h_b,h_m,B)/10))); s4=abs(Po*10^(-cost231(r4,f,h_b,h_m,B)/10)/ru4); t4=abs(Po*10^(-cost231(r4,f,h_b,h_m,B)/10)/ru4) > umbral; test=t1*t2*t3*t4;

A.5 COST 231

% ---------------------------- % ¦ Evaluador de COST231 ¦ % ---------------------------- function Lb = cost231(d,f,h_base,h_mobile,B) % Esta función permite calcular la atenueción en decibeles de un canal

% según el modelo cost231. % -> d es la distancia en metros % -> f es la frecuencia en MHz % -> h_base es la altura de la BS en metros % -> h_mobile es la altura del UE en metros


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a=(1.1*log10(f)-0.7)*h_mobile-(1.56*log10(f)-0.8);

L=46.3+33.9*log10(f)-13.82*log10(h_base)-a+(44.9-6.55*log10(h_base))*log10(d/1000)+3; Lb=L+raylrnd(B);

A.6 Ruidos Filtrados

% ---------------------------- % ¦ Ruidos Filtrados ¦ % ---------------------------- close all clear all % Construyo el filtro pasabanda con fc=2000MHz y BW=5MHz f=[0 0.910 0.923 0.940 0.950 0.955 0.964 0.976 1]; H=[0 0 0.2 0.8 1 1 0.8 0.2 0]; fs=2*2030e6; fhz=f*fs/2; N=8; [Bh,Ah]=yulewalk(N,f,H); % Filtro un ruido blanco Gaussiano

sigma=1;%input('Varianza del Ruido: ') y1=randn(1,2001)*sigma; %ruido blanco y2=randn(1,2001)*sigma; %ruido blanco y3=randn(1,2001)*sigma; %ruido blanco y4=randn(1,2001)*sigma; %ruido blanco r_filt1=filter(Bh,Ah,y1)*45; %filtrado pasabanda del ruido r_filt2=filter(Bh,Ah,y2)*45; %filtrado pasabanda del ruido r_filt3=filter(Bh,Ah,y3)*45; %filtrado pasabanda del ruido r_filt4=filter(Bh,Ah,y4)*45; %filtrado pasabanda del ruido save R_filtrados r_filt1 r_filt2 r_filt3 r_filt4

A.7 SNR

% ---------------------------- % ¦ SNR ¦ % ---------------------------- close all clear all load Radiobases %constantes dist=1500; paso=50; X=[-dist:paso:dist]; %Rango en el eje X Y=[-dist:paso:dist]; %Rango en el eje Y sigma_F=5e-14; Po=40; %potencia de salida de la BS fcorr=0.1;%factor de correlacion entre canales umbral=0.02; %valor umbral de la comparación f=2000; %f en MHz h_b=35; %altura de la BS en m h_m=1.8;%altura del movil en m B=3;%parámetro de la distribución de Rayleigh % Construyo el filtro pasabanda fx=[0 0.910 0.923 0.940 0.950 0.955 0.964 0.976 1]; H=[0 0 0.2 0.8 1 1 0.8 0.2 0]; fs=2*2030e6; fhz=fx*fs/2; N=8; [Bh,Ah]=yulewalk(N,fx,H); % Filtro un ruido blanco Gaussiano sigma=1; yx1=randn(1,10201)*sigma;%ruido blanco yx2=randn(1,10201)*sigma; yx3=randn(1,10201)*sigma; yx4=randn(1,10201)*sigma; r_filtX1=filter(Bh,Ah,yx1)*45; %filtrado pasabanda del ruido r_filtX2=filter(Bh,Ah,yx2)*45; r_filtX3=filter(Bh,Ah,yx3)*45; r_filtX4=filter(Bh,Ah,yx4)*45; % Itero en la Grilla para calcular el SINR en cada punto del plano h=waitbar(0,'Por favor espere...'); for i=1:length(Y) for j=1:length(X)

if ((j==BS1(1))&(i==BS1(2)))|((j==BS2(1))&(i==BS2(2)))|((j==BS3(1))&(i==BS3(2)))|((j==BS4(1))&(i==BS4(2))) else r1x=sqrt( (BS1(1)-X(j))^2 + (BS1(2)-Y(i))^2 ); %distancia del UE a la BS1 r2x=sqrt( (BS2(1)-X(j))^2 + (BS2(2)-Y(i))^2 ); %distancia del UE a la BS2 r3x=sqrt( (BS3(1)-X(j))^2 + (BS3(2)-Y(i))^2 ); %distancia del UE a la BS3 r4x=sqrt( (BS4(1)-X(j))^2 + (BS4(2)-Y(i))^2 ); %distancia del UE a la BS4 ru1=randn(1)*sigma_F+fcorr*( r_filtX2((i-1)*length(X)+j)*10^(-cost231(r2x,f,h_b,h_m,B)/10) + r_filtX3((i-1)*length(X)+j)*10^(-cost231(r3x,f,h_b,h_m,B)/10) + r_filtX4((i-1)*length(X)+j)*10^(-cost231(r4x,f,h_b,h_m,B)/10)); grilla1(i,j)=abs(Po*10^(-cost231(r1x,f,h_b,h_m,B)/10)/ru1); ru2=randn(1)*sigma_F+fcorr*( r_filtX1((i-1)*length(X)+j)*10^(-cost231(r1x,f,h_b,h_m,B)/10) + r_filtX3((i-1)*length(X)+j)*10^(-cost231(r3x,f,h_b,h_m,B)/10) + r_filtX4((i-1)*length(X)+j)*10^(-cost231(r4x,f,h_b,h_m,B)/10)); grilla2(i,j)=abs(Po*10^(-cost231(r2x,f,h_b,h_m,B)/10)/ru2); ru3=randn(1)*sigma_F+fcorr*( r_filtX1((i-1)*length(X)+j)*10^(-cost231(r1x,f,h_b,h_m,B)/10) + r_filtX2((i-1)*length(X)+j)*10^(-cost231(r2x,f,h_b,h_m,B)/10) + r_filtX4((i-1)*length(X)+j)*10^(-cost231(r4x,f,h_b,h_m,B)/10)); grilla3(i,j)=abs(Po*10^(-cost231(r3x,f,h_b,h_m,B)/10)/ru3); ru4=randn(1)*sigma_F+fcorr*( r_filtX1((i-1)*length(X)+j)*10^(-cost231(r1x,f,h_b,h_m,B)/10) + r_filtX2((i-


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1)*length(X)+j)*10^(-cost231(r2x,f,h_b,h_m,B)/10) + r_filtX3((i-1)*length(X)+j)*10^(-cost231(r3x,f,h_b,h_m,B)/10)); grilla4(i,j)=abs(Po*10^(-cost231(r4x,f,h_b,h_m,B)/10)/ru4); grillaDig(i,j)=(grilla1(i,j)>umbral)&(grilla2(i,j)>umbral)&(grilla3(i,j)>umbral)&(grilla4(i,j)>umbral); end end waitbar(i/length(X),h); end close(h); figure subplot(221) pcolor(X,Y,10*log10(grilla1)) shading interp title('SINR en dB para la señal 1') colorbar subplot(222) pcolor(X,Y,10*log10(grilla2))

shading interp title('SINR en dB para la señal 2') colorbar subplot(223) pcolor(X,Y,10*log10(grilla3)) shading interp title('SINR en dB para la señal 3') colorbar subplot(224) pcolor(X,Y,10*log10(grilla4)) shading interp title('SINR en dB para la señal 4') colorbar figure pcolor(X,Y,grillaDig) shading interp colormap hot title('Detectabilidad de las señales') colorbar save Sinr grilla1 grilla2 grilla3 grilla4 grillaDig

A.8 Trayectorias

% ---------------------------- % ¦ Trayectorias ¦ % ---------------------------- clear all close all % Constantes cuads=10; %numero de cuadras ptos=200; %numero de muestras por cuadra c=3e8*0.7; %velocidad de propagacion % Construcción de Grilla y ubicación de las BS BS1=[-2000 2400]; %Ubico las BS's BS2=[1900 2200]; BS3=[-2400 -1800]; BS4=[1750 -2450]; % TRAYECTORIA 1 % ------------- %condicion inicial s1(:,1)=[0 0]'; h=waitbar(0,'Generando Trayectoria 1...'); aux=1; for i=1:cuads r1=rand; if r1<0.3 for j=1:ptos r2=rand; if r2<0.2 s1(1,aux+j)=s1(1,aux+j-1)+0.4*(1+rand-0.5); s1(2,aux+j)=s1(2,aux+j-1); else s1(1,aux+j)=s1(1,aux+j-1); s1(2,aux+j)=s1(2,aux+j-1)+0.4*(1+rand-0.5); end end end if r1>0.3 & r1<0.6 for j=1:ptos r2=rand; if r2>0.2 s1(1,aux+j)=s1(1,aux+j-1)-0.4*(1+rand-0.5); s1(2,aux+j)=s1(2,aux+j-1); else s1(1,aux+j)=s1(1,aux+j-1);

s1(2,aux+j)=s1(2,aux+j-1)+0.4*(1+rand-0.5); end end end if r1>0.6 for j=1:ptos r2=rand; if r2>0.2 s1(1,aux+j)=s1(1,aux+j-1)-0.4*(1+rand-0.5); s1(2,aux+j)=s1(2,aux+j-1); else s1(1,aux+j)=s1(1,aux+j-1); s1(2,aux+j)=s1(2,aux+j-1)-0.4*(1+rand-0.5); end end end aux=length(s1); waitbar(i/cuads,h); end close(h) % TRAYECTORIA 2 % ------------- %condicion inicial s2(:,1)=[-1600 1200]'; h=waitbar(0,'Generando Trayectoria 2...'); aux=1; for i=1:cuads r1=rand; if r1<0.3 for j=1:ptos r2=rand; if r2<0.2 s2(1,aux+j)=s2(1,aux+j-1)-0.4*(1+rand-0.5); s2(2,aux+j)=s2(2,aux+j-1); else s2(1,aux+j)=s2(1,aux+j-1); s2(2,aux+j)=s2(2,aux+j-1)+0.4*(1+rand-0.5); end end end if r1>0.3 & r1<0.6


32

for j=1:ptos r2=rand; if r2>0.2 s2(1,aux+j)=s2(1,aux+j-1)-0.4*(1+rand-0.5); s2(2,aux+j)=s2(2,aux+j-1); else s2(1,aux+j)=s2(1,aux+j-1); s2(2,aux+j)=s2(2,aux+j-1)+0.4*(1+rand-0.5); end end end if r1>0.6 for j=1:ptos r2=rand; if r2>0.2 s2(1,aux+j)=s2(1,aux+j-1)+0.4*(1+rand-0.5); s2(2,aux+j)=s2(2,aux+j-1); else s2(1,aux+j)=s2(1,aux+j-1); s2(2,aux+j)=s2(2,aux+j-1)+0.4*(1+rand-0.5); end end end aux=length(s2); waitbar(i/cuads,h); end close(h) % TRAYECTORIA 3 % ------------- %condicion inicial s3(:,1)=[1000 -1000]'; h=waitbar(0,'Generando Trayectoria 3...'); aux=1; for i=1:cuads r1=rand; if r1<0.3 for j=1:ptos r2=rand; if r2<0.2 s3(1,aux+j)=s3(1,aux+j-1)+0.4*(1+rand-0.5); s3(2,aux+j)=s3(2,aux+j-1); else s3(1,aux+j)=s3(1,aux+j-1); s3(2,aux+j)=s3(2,aux+j-1)+0.4*(1+rand-0.5); end end end if r1>0.3 & r1<0.6 for j=1:ptos r2=rand; if r2>0.2 s3(1,aux+j)=s3(1,aux+j-1)+0.4*(1+rand-0.5); s3(2,aux+j)=s3(2,aux+j-1); else s3(1,aux+j)=s3(1,aux+j-1); s3(2,aux+j)=s3(2,aux+j-1)-0.4*(1+rand-0.5); end end end if r1>0.6 for j=1:ptos r2=rand; if r2>0.2 s3(1,aux+j)=s3(1,aux+j-1)-0.4*(1+rand-0.5); s3(2,aux+j)=s3(2,aux+j-1);

else s3(1,aux+j)=s3(1,aux+j-1); s3(2,aux+j)=s3(2,aux+j-1)+0.4*(1+rand-0.5); end end end aux=length(s3); waitbar(i/cuads,h); end close(h) %Grafico los resultados obtenidos hold on plot(BS1(1),BS1(2),'ko',BS2(1),BS2(2),'mo',BS3(1),BS3(2),'co',BS4(1),BS4(2),'kd',s1(1,:),s1(2,:),'b',s2(1,:),s2(2,:),'r',s3(1,:),s3(2,:),'g') legend('BS_1','BS_2','BS_3','BS_4','Trayectoria_1','Trayectoria_2','Trayectoria_3') title('Trayectorias Propuestas') figure subplot(131) plot(s1(1,:),s1(2,:),'b') title('Trayectoria 1') subplot(132) plot(s2(1,:),s2(2,:),'r') title('Trayectoria 2') subplot(133) plot(s3(1,:),s3(2,:),'g') title('Trayectoria 3') %Calculo los vectores de diferencia de tiempos h=waitbar(0, 'Por favor espere...'); for i=1:length(s1) %trayectoria 1 dT1_2(i)=(sqrt((BS2(1)-s1(1,i))^2+(BS2(2)-s1(2,i))^2)-sqrt((BS1(1)-s1(1,i))^2+(BS1(2)-s1(2,i))^2))/c; dT1_3(i)=(sqrt((BS3(1)-s1(1,i))^2+(BS3(2)-s1(2,i))^2)-sqrt((BS1(1)-s1(1,i))^2+(BS1(2)-s1(2,i))^2))/c; dT1_4(i)=(sqrt((BS4(1)-s1(1,i))^2+(BS4(2)-s1(2,i))^2)-sqrt((BS1(1)-s1(1,i))^2+(BS1(2)-s1(2,i))^2))/c; %trayectoria 2 dT2_2(i)=(sqrt((BS2(1)-s2(1,i))^2+(BS2(2)-s2(2,i))^2)-sqrt((BS1(1)-s2(1,i))^2+(BS1(2)-s2(2,i))^2))/c; dT2_3(i)=(sqrt((BS3(1)-s2(1,i))^2+(BS3(2)-s2(2,i))^2)-sqrt((BS1(1)-s2(1,i))^2+(BS1(2)-s2(2,i))^2))/c; dT2_4(i)=(sqrt((BS4(1)-s2(1,i))^2+(BS4(2)-s2(2,i))^2)-sqrt((BS1(1)-s2(1,i))^2+(BS1(2)-s2(2,i))^2))/c; %trayectoria 3 dT3_2(i)=(sqrt((BS2(1)-s3(1,i))^2+(BS2(2)-s3(2,i))^2)-sqrt((BS1(1)-s3(1,i))^2+(BS1(2)-s3(2,i))^2))/c; dT3_3(i)=(sqrt((BS3(1)-s3(1,i))^2+(BS3(2)-s3(2,i))^2)-sqrt((BS1(1)-s3(1,i))^2+(BS1(2)-s3(2,i))^2))/c; dT3_4(i)=(sqrt((BS4(1)-s3(1,i))^2+(BS4(2)-s3(2,i))^2)-sqrt((BS1(1)-s3(1,i))^2+(BS1(2)-s3(2,i))^2))/c; waitbar(i/length(s1),h); end close(h); save Trayectoria1 s1 dT1_2 dT1_3 dT1_4 save Trayectoria2 s2 dT2_2 dT2_3 dT2_4 save Trayectoria3 s3 dT3_2 dT3_3 dT3_4 save Radiobases BS1 BS2 BS3 BS4 disp('Se almacenaron las trayectorias en los archivos Trayectorias 1 2 y 3')


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disp('Se almacenaron las radiobases en el archivo Radiobases')

A.9 Filtro de Kalman

% ---------------------------- % ¦ Kalman ¦ % ---------------------------- clear all close all %carga de archivos load Radiobases load Trayectoria1 load Trayectoria2 load Trayectoria3 load R_filtrados %constantes deltaT=0.27; %período de muestreo sigma_v=0.3; %varianza de la dispersión de la velocidad c=3e8*0.7; %velocidad de propagacion T1=2.1*250e-9; %constante del delay spread epsilon=0.55; %constante del delay spread muLN=0; %media de la distribucion LogNormal varLN=0.08; %varianza de la distribución LogNormal rC=2000; %radio estimado de la celda mediaLN=1.0033; %media de las muestras de la LogNormal sig2LN=1.0131; %media cuadrática de las muestras de la LogNormal % Creo las matrices constantes del filtro de Kalman % ------------------------------------------------- phi=[1 0 deltaT 0 0 1 0 deltaT 0 0 1 0 0 0 0 1]; G=[BS2(1)-BS1(1) BS2(2)-BS1(2) 0 0 BS3(1)-BS1(1) BS3(2)-BS1(2) 0 0 BS4(1)-BS1(1) BS4(2)-BS1(2) 0 0]; Q=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 sigma_v^2 0 0 0 0 sigma_v^2]; % TRAYECTORIA 1 % ------------ %condiciones iniciales %--------------------- s1_Km(:,1)=[-1600 1000 1.5 -1.5]'; %estado incial p_Km=eye(4); %covarianza inicial %condición inicial para R B=[rC 0 0;0 rC 0;0 0 rC]; Nd=sig2LN*rC^(2*epsilon)-2*mediaLN^2*rC^(2*epsilon); Nnd=sig2LN*rC^(2*epsilon)-mediaLN^2*rC^(2*epsilon); N=T1^2*[Nd Nnd Nnd;Nnd Nd Nnd;Nnd Nnd Nd]; R=c^2*B*N*B; %estimacion de la medida r1=sqrt( (BS1(1)-s1_Km(1,1))^2 + (BS1(2)-s1_Km(2,1))^2 ); %distancia del UE a la BS1 U(:,1)=1/2*[ (BS2(1)^2+BS2(2)^2)-(BS1(1)^2+BS1(2)^2) - (c*dT1_2(1))^2 (BS3(1)^2+BS3(2)^2)-(BS1(1)^2+BS1(2)^2) - (c*dT1_3(1))^2 (BS4(1)^2+BS4(2)^2)-(BS1(1)^2+BS1(2)^2) - (c*dT1_4(1))^2];

rho(:,1)=c*[dT1_2(1) dT1_3(1) dT1_4(1)]'; z1(:,1)=U(:,1)-r1*rho(:,1); y=random('logn',muLN,varLN,length(dT1_2),6); %Matriz Aleatoria de Distribución LogNorm %contadores de comparaciones test_OK=0; test_XX=0; %comienzo del ciclo iterativo %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%h=waitbar(0,'Ejecutando Filtro de Kalman...'); for i=1:length(dT1_2) %calculo las medidas reales r1x=sqrt( (BS1(1)-s1(1,i))^2 + (BS1(2)-s1(2,i))^2 ); %distancia del UE a la BS1 r2x=sqrt( (BS2(1)-s1(1,i))^2 + (BS2(2)-s1(2,i))^2 ); %distancia del UE a la BS2 r3x=sqrt( (BS3(1)-s1(1,i))^2 + (BS3(2)-s1(2,i))^2 ); %distancia del UE a la BS3 r4x=sqrt( (BS4(1)-s1(1,i))^2 + (BS4(2)-s1(2,i))^2 ); %distancia del UE a la BS4 Ux(:,i)=1/2*[ (BS2(1)^2+BS2(2)^2)-(BS1(1)^2+BS1(2)^2) - (r2x-r1x)^2 (BS3(1)^2+BS3(2)^2)-(BS1(1)^2+BS1(2)^2) - (r3x-r1x)^2 (BS4(1)^2+BS4(2)^2)-(BS1(1)^2+BS1(2)^2) - (r4x-r1x)^2]; rhox=[r2x-r1x r3x-r1x r4x-r1x]'; z1x(:,i)=Ux(:,i)-r1*rhox; %algoritmo de Kalman K=p_Km*G'*(G*p_Km*G'+R)^(-1); %calculo la ganancia e=z1(:,i)-G*s1_Km(:,i); %calculo el error s1_K(:,i)=s1_Km(:,i)+K*e; %actualizo los estados p_K=(eye(4)-K*G)*p_Km; %actualizo la covarianza s1_Km(:,i+1)=phi*s1_K(:,i)+sigma_v*[0 0 randn(1) randn(1)]'; p_Km=phi*p_K*phi'+Q;%proyecto la covarianza %estimacion de la medida r1=sqrt( (BS1(1)-s1_K(1,i))^2 + (BS1(2)-s1_K(2,i))^2 ); %distancia del UE a la BS1 r2=sqrt( (BS2(1)-s1_K(1,i))^2 + (BS2(2)-s1_K(2,i))^2 ); %distancia del UE a la BS2 r3=sqrt( (BS3(1)-s1_K(1,i))^2 + (BS3(2)-s1_K(2,i))^2 ); %distancia del UE a la BS3 r4=sqrt( (BS4(1)-s1_K(1,i))^2 + (BS4(2)-s1_K(2,i))^2 ); %distancia del UE a la BS4 U(:,i+1)=1/2*[ (BS2(1)^2+BS2(2)^2)-(BS1(1)^2+BS1(2)^2) - (c*dT1_2(i))^2 (BS3(1)^2+BS3(2)^2)-(BS1(1)^2+BS1(2)^2) - (c*dT1_3(i))^2 (BS4(1)^2+BS4(2)^2)-(BS1(1)^2+BS1(2)^2) - (c*dT1_4(i))^2]; rho(:,i+1)=c*[dT1_2(i) dT1_3(i) dT1_4(i)]'; B=[r2 0 0;0 r3 0;0 0 r4]; n=T1*[r2xêpsilon*y(i,1)-r1xêpsilon*y(i,2) r3xêpsilon*y(i,3)-r1xêpsilon*y(i,4) r4xêpsilon*y(i,5)-r1xêpsilon*y(i,6)]/1000;


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v(:,i+1)=c*B*n; %aquí convoco al comparador para determinar si la medida es válida [test g1(i) g2(i) g3(i) g4(i)]=comparador(r1x,r2x,r3x,r4x,r_filt1(i),r_filt2(i),r_filt3(i),r_filt4(i),i); if test==1 | i==1 test_OK=test_OK+1; z1(:,i+1)=U(:,i+1)-r1*rho(:,i+1)+v(:,i+1); %estimo la medida z a partir del TDoA else test_XX=test_XX+1; %z1(:,i+1)=z1(:,i); z1(:,i+1)=2*z1(:,i)-z1(:,i-1); end %estimacion de R N11=sig2LN*((r2/1000)^(2*epsilon)+(r1/1000)^(2*epsilon))-mediaLN^2*2*(r2*r1/1000000)êpsilon; N12=sig2LN*(r1/1000)^(2*epsilon)+mediaLN^2*((r3*r2/1000000)êpsilon-(r1/1000)êpsilon*((r3/1000)êpsilon+(r2/1000)êpsilon)); N13=sig2LN*(r1/1000)^(2*epsilon)+mediaLN^2*((r4*r2/1000000)êpsilon-(r1/1000)êpsilon*((r4/1000)êpsilon+(r2/1000)êpsilon)); N21=N12; N22=sig2LN*((r3/1000)^(2*epsilon)+(r1/1000)^(2*epsilon))-mediaLN^2*2*(r3*r1/1000000)êpsilon; N23=sig2LN*(r1/1000)^(2*epsilon)+mediaLN^2*((r4*r3/1000000)êpsilon-(r1/1000)êpsilon*((r4/1000)êpsilon+(r3/1000)êpsilon)); N31=N13; N32=N23; N33=sig2LN*((r4/1000)^(2*epsilon)+(r1/1000)^(2*epsilon))-mediaLN^2*2*(r4*r1/1000000)êpsilon; N=T1^2*[N11 N12 N13;N21 N22 23;N31 N32 N33]; R=c^2*B*N*B; %vectores de errores cometidos err_x(i)=s1_K(1,i)-s1(1,i); err_y(i)=s1_K(2,i)-s1(2,i); waitbar(i/length(dT1_2),h); end close(h); %fin del ciclo iterativo %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%análisis de los resultados

disp('Error medio en X: ') err_x_med=mean(err_x(200:length(err_x))) disp('Error medio en Y: ') err_y_med=mean(err_y(200:length(err_y))) disp('Error cuadrático en X: ') err_x_medC=mean(err_x(200:length(err_x)).^2) disp('Error cuadrático en Y: ') err_y_medC=mean(err_y(200:length(err_y)).^2) disp('Velocidad media: ') v_media=mean(sqrt(s1_K(3,200:length(s1_K)).^2+sqrt(s1_K(4,200:length(s1_K)).^2))) %velocidad media disp('Varianza de X:') var_x=err_x_medC-err_x_med^2 disp('Varianza en Y: ') var_y=err_y_medC-err_y_med^2 disp('Porcentaje de Pérdidas: ') pmp=test_XX/(test_XX+test_OK)*100 %porcentaje de medidas perdidas disp('Error medio de las medidas: ') err_z_med=mean(z1x(200:length(z1x))-z1(200:length(z1x))) disp('Error cuadrático de las medidas: ') err_zC=mean((z1x(200:length(z1x))-z1(200:length(z1x))).^2) disp('Varianza de las medidas: ') var_z=err_zC-err_z_med figure hold on plot(s1(1,:),s1(2,:)) plot(s1_K(1,:),s1_K(2,:),'r') legend('Trayectoria_R','Trayectoria_K') figure subplot(311) plot(s1_K(3,:),'g') title('Vx Kalman') subplot(312) plot(s1_K(4,:),'g') title('Vy Kalman') subplot(313) plot(sqrt(s1_K(3,:).^2+sqrt(s1_K(4,:).^2)),'c') title('V Kalman') figure subplot(121) hold on plot(z1(1,:),'r') plot(z1x(1,:),'g') legend('Medidas estimadas','Medidas Reales') subplot(122) hold on plot(z1(1,:),'r') plot(z1x(1,:),'g') legend('Medidas estimadas','Medidas Reales') figure subplot(211) plot(err_x) title('Error en X') subplot(212) plot(err_y) title('Error en Y') save Tkalman z1 s1_K


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B Referencias [1] Montse Nájar, Josep Vidal – “ Kalman Tracking based on TDOA for UMTS Mobile Location ”, (Dept. Of Signal Theory and Communications, Universitat Politécnica de Catalunya). [2] www.umts-forum.org. [3] Michael McGuire. Edward S. Rogers – “ Estimation of Mobile Terminal Position in Cellular Networks ”, (Department o Electrical & Computer Engineering, University of Toronto). [4] Matlab, The Languaje of Technical Computing, Version 5.3.0.10183 (R11). [5] Josep Vidal, Montse Nájar, Marga Cabrera, René Jativa - “ Positioning Accuracy when Tracking UMTS Mobiles in Delay & Angular Dispersive Channels ”, (Dept. Of Signal Theory and Communications, Universitat Politécnica de Catalunya). [6] Josep Vidal, Montse Nájar, Marga Cabrera, René Jativa – “ Positioning Limits for UMTS Mobiles in Delay and Angular Dispersive Channels ”, (Dept. Of Signal Theory and Communications, Universitat Politécnica de Catalunya). [7] T. Hesse, W. Schulz, G. Herdhardt – “ Properties of UMTS Baseband Signals in Time Domain and in Frecuency Domain (UMTS Air Interface) ”, University of Paderborn, Germany. [8] ETSI TR 125 991, “ Feasibility study on the mitigation of the effect of Common Pilot Channel (CPICH) interference at the user equipment “. (3GPP TR 25.991 version 5.1.0 Release 5). [9] Dieter J. Chichon, Thomas Kürner, “ COST 231 Final Report, Digital Mobile Radio Towards Future Generation Systems ”, Chapter 4 Propagation Prediction Models. [10] Siemens, BS-240/BS-241/BS-240XL. [11] Simon Haykin, “ Adaptive Filter Theory ”, Prentice Hall.

http://www.umts-forum.org/

kalman tracking a partir del tdoa para sistemas...

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