kalkulus lanjutan silabus
DESCRIPTION
Kalkulus Lanjutan SilabusTRANSCRIPT
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 11
Kalkulus Lanjut (slide 1)
Dosen PengampuDosen Pengampu
Dra. Harmastuti M.KomDra. Harmastuti M.Kom
by.tuti & Kris 2
Jurusan Matematika
Fakultas Sains Terapan ISTA
Kompetensi Matakuliah:
Setelah mengikuti matakuliah Kalkulus Lanjut mahasiswa diharapkan mampu : memahami konsep-konsep dasar Kalkulus lanjut dan dapat menerapkan pada permasalahan di bidang statistika atau bidang lain secara tepat.
Program Studi : StatistikaSKS : 3Semester : III
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 33
Rencana PerkuliahanRencana Perkuliahan((Pertemuan PertamaPertemuan Pertama))
Pendahuluan : Pendahuluan : Menginformasikan TentangMenginformasikan Tentang
KontrakKontrak PembelajaranPembelajaran
GBPPGBPP; Cara Penilaian; Cara Penilaian, , Model TugasModel Tugas
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 44
SilabusSilabusMateri yang akan dibahas dalam satu semester sbb:Materi yang akan dibahas dalam satu semester sbb:
Fungsi perubah ganda, Fungsi perubah ganda, limit dan kontinuitas fungsi perubah limit dan kontinuitas fungsi perubah ganda.ganda.
Definisi derivatif parsial tingkat satu dan tingkat yang lebih Definisi derivatif parsial tingkat satu dan tingkat yang lebih tinggi. tinggi. Deferensial Total, derivatif total, aplikasi derivatif Deferensial Total, derivatif total, aplikasi derivatif parsial derivatif fungsi komposit. parsial derivatif fungsi komposit.
Theorema Taylor, deret Taylor dan Maclaurin, Transformasi Theorema Taylor, deret Taylor dan Maclaurin, Transformasi koordinat, determinan jacobi, koordinat lengkung. koordinat, determinan jacobi, koordinat lengkung.
Vektor: sifat-sifat perkalian titik(dot ) vector, perkalian Vektor: sifat-sifat perkalian titik(dot ) vector, perkalian silang(cross) vekto,r fungsi vector, derivatif vektor, gradient , silang(cross) vekto,r fungsi vector, derivatif vektor, gradient , curl. Tafsiran geometri derivatif vector. Bidang singgung dan curl. Tafsiran geometri derivatif vector. Bidang singgung dan garis normal permukaan, Derivatif berarah. Titik garis normal permukaan, Derivatif berarah. Titik Ekstrim( Masimum dan minimum). Pelipat lagrangeEkstrim( Masimum dan minimum). Pelipat lagrange
Integral : vector , garis.teorema Green, divergensi dan stokes. Integral : vector , garis.teorema Green, divergensi dan stokes.
Deret Fourier, Deret Fourier, Integral Fourier, fungsi gamma dan fungsi betaIntegral Fourier, fungsi gamma dan fungsi beta
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 55
Buku PustakaBuku Pustaka
Wajib :Wajib :
1. Gerald L. Bradley, Karl J.Smith 1995, 1. Gerald L. Bradley, Karl J.Smith 1995, Calculus , Calculus , Prentice hall Englewood Prentice hall Englewood Cliffs , New JerseyCliffs , New Jersey
2.Kreyszic, 1988 : ‘ 2.Kreyszic, 1988 : ‘ Advanced Engineering Mathematics’Advanced Engineering Mathematics’, 6th ed, John , 6th ed, John Wiley & Sons,Wiley & Sons,
New York.New York.
3.Spiegel M. R. 1990,’ 3.Spiegel M. R. 1990,’ Kalkulus lanjutan’Kalkulus lanjutan’ , edisi terjemahan Penerbit , edisi terjemahan Penerbit Erlangga.Erlangga.
Pilihan :Pilihan :
1. Leithol, L 1991 : 1. Leithol, L 1991 : ‘Kalkulus dan ilmu Ukur Analit’‘Kalkulus dan ilmu Ukur Analit’, Erllangga, Erllangga
2. Purcell, E.J. & Dale Varberg, 1999:‘ 2. Purcell, E.J. & Dale Varberg, 1999:‘ Kalkulus dan Geometri AnalitikKalkulus dan Geometri Analitik ‘ ‘ , jilid 2 ed terjemahan , Erlangga, Jakarta., jilid 2 ed terjemahan , Erlangga, Jakarta.
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 66
Apa itu kalkulus LanjutApa itu kalkulus Lanjut ? ?
Kalkulus lanjut adalah matematika yang Kalkulus lanjut adalah matematika yang
membahas fungsi lebih dari satu variabel (multi membahas fungsi lebih dari satu variabel (multi
variabel) baik dalam menentukan nilai fungsi, variabel) baik dalam menentukan nilai fungsi,
limit, kontinu, derivatif, integral, deret beserta limit, kontinu, derivatif, integral, deret beserta
aplikasinya. Untuk mempela- jarinya diharapkan aplikasinya. Untuk mempela- jarinya diharapkan
sudah pernah mengambil matakuliah kalkulus 2.sudah pernah mengambil matakuliah kalkulus 2.
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 77
Materi yang dibahas pada pertemuan Materi yang dibahas pada pertemuan 11
1.1. Fungsi dua perubahFungsi dua perubah
2.2. Limit dan kontinuitasLimit dan kontinuitas
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 88
Fungsi dua perubahFungsi dua perubah
Diketahui D daerah di dalam R Diketahui D daerah di dalam R 2 2 pada bidang pada bidang XOY.XOY.
Fungsi Fungsi ff : D : D . didefinisikan z = . didefinisikan z = ff(x,y) (x,y)
untuk setiap (x,y)untuk setiap (x,y) D disebut fungsi dua D disebut fungsi dua
perubah(variable), dengan x dan y perubah perubah(variable), dengan x dan y perubah
bebas. bebas.
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 99
Ilustrasi GrafisIlustrasi Grafis
ff : D : D , , (x,y)(x,y)D dan z = D dan z = ff(x,y)(x,y) pada bidang S.pada bidang S.
X
Z
Y
(x,y)
Z=f(x,y) S
a bc
d
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1010
Contoh. 1.1Contoh. 1.1
FungsiFungsi f f didefinisikandidefinisikan : :
z = z = ff(x,y) = . (x,y) = .
nilai fungsi nilai fungsi ff, di titik(2,1) adalah , di titik(2,1) adalah f f (2,1) = (2,1) =
yang diperoleh dengan mensubtitusikan titik (2,1) ke fungsi yang yang diperoleh dengan mensubtitusikan titik (2,1) ke fungsi yang didefinisikandidefinisikan
22 yxy2x
xy
9
2
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1111
Contoh 1.2.Contoh 1.2.
Dengan cara yang sama Dengan cara yang sama
untuk z = untuk z = ff(x,y) = x(x,y) = x22 + y + y22
nilai fungsi z dititik (1,-1) adalah nilai fungsi z dititik (1,-1) adalah ff(1,-1) = 2(1,-1) = 2
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1212
Contoh 1.3.Contoh 1.3.
Luasan yang terbentuk untuk fungsí dengan Luasan yang terbentuk untuk fungsí dengan
persamaanpersamaan
z = z = ff(x,y) = x(x,y) = x22 + y + y22
menyajikan paraboloida dengan titik puncak (0,0,0) adalah sbb:menyajikan paraboloida dengan titik puncak (0,0,0) adalah sbb:
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1313
2. Limit dan kontinuitas2. Limit dan kontinuitasa. Limit :a. Limit : Definisi- 1.1Definisi- 1.1. Fungsi . Fungsi ff dikatakan mempunyai limit L untuk dikatakan mempunyai limit L untuk
(x,y) (x,y) (x (x00 ,y ,y00) yang ditulis ) yang ditulis
jika untuk setiap jika untuk setiap >0 terdapat >0 terdapat >0. sehingga untuk setiap >0. sehingga untuk setiap (x,y) yang memenuhi(x,y) yang memenuhi
0 < 0 < (1.1) (1.1)
maka maka | | ff(x,y) - L | < (x,y) - L | < ..
Dalam hal ini, ketaksamaan (1,1) merupakan kitaran Dalam hal ini, ketaksamaan (1,1) merupakan kitaran terbuka dengan pusat (xterbuka dengan pusat (x00,y,y00) dan berjari-jari) dan berjari-jari ..
L)
0y,
0x()y,x()y,x(flim
δ2)0y(y2)0x(x
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1414
Contoh 1.4.Contoh 1.4.
Tentukan nilai limit Tentukan nilai limit ff(x,y) = x(x,y) = x22 + y + y22 untuk untuk (x,y) mendekati di titik (2,1)(x,y) mendekati di titik (2,1)
Jawab :Jawab :
5
)yx(lim
)y,x(lim
22
)1,2()y,x(
)1,2()y,x(
f
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1515
Limit dan kontinuitasLimit dan kontinuitasb. Kontinub. Kontinu : :Definisi- 1.2Definisi- 1.2.. Fungsi Fungsi ff dikatakan kontinu di titik dikatakan kontinu di titik (x(x00 ,y ,y00)) , jika , jika
1. 1. f f (x(x00 ,y ,y00) ) ada dan ada dan
2.2.
3.3. apabila salah satu sifat tidak dipenuhi maka apabila salah satu sifat tidak dipenuhi maka ff dikatakan dikatakan
tidak kontinu di titik tidak kontinu di titik (x(x00 ,y ,y00))
ada),y,x(lim)0y,0(xy)(x,
f
)y,(x)
0y,
0(xy)(x,y)(x,lim 00ff
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1616
Contoh 1.5.Contoh 1.5.
Selidiki apakah fungsiSelidiki apakah fungsi ff(x,y) = x(x,y) = x22 + y + y22 kontinu di titik (2,1)kontinu di titik (2,1)
Jawab : SJawab : Subtitusikan nilai x dan y untuk titik (2,1) ke sifat –sifat kontinu yaituubtitusikan nilai x dan y untuk titik (2,1) ke sifat –sifat kontinu yaitu
1. 1. ff(2,1) = 5 < (2,1) = 5 < ada ada
2. 52. 5
3. 3. = 5= 5
karena ketiga sifat kontinu dipenuhi maka fungsi karena ketiga sifat kontinu dipenuhi maka fungsi ff kontinu di titik (2,1) kontinu di titik (2,1)
)yx(lim)y,x(lim 22
)1,2()y,x()1,2()y,x(
f
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1717
Soal Latihan Soal Latihan
1. a. Jika f(x,y) = 6 – 2x – 2y tentukan nilai f(1,1) dan (1,2) serta gambar luasan yang terjadi.
b. Diberikan fungsi f(x,y) = sin (3x + 2y), tentukan nilai f(x,y) pada saat (x,y) = (0 , /2). c. Diberikan fungsi
2y2x
yx2
y)f(x,
tentukan nilai f(x,y) pada saat (x,y) = (4,3).
d. Diberikan fungsi xsine yy)f(x, tentukan nilai f(x,y) pada saat (x,y)= (/4, /3).
2. Gambarlah luasan
a. f(x,y) = 2y – x2 – y2
b. Gambarkan daerah R pada bidang XY yang dibatasi oleh X2 + Y2 = a2 ; X 2 +Y2 = b2 ; X = 0 dan Y = 0 dimana 0< a <b.
c. Gambarkan luasan f(x,y) = 2y – x2 – y2
a. Fungsi Dua Perubah dan Menggambar Luasana. Fungsi Dua Perubah dan Menggambar Luasan
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1818
b.Limit Fungsi Dua Perubahb.Limit Fungsi Dua Perubah
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1919
c.Kontinuitasc.Kontinuitas
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 2020
ResumeResume
1. Apabila D daerah di dalam 2 atau bidang XOY, fungsi f : D didefinisikan z = f (x,y)
untuk setiap (x,y) D disebut fungsi dua variabel, dengan x dan y variabel independen.
2. Fungsi f dikatakan mempunyai limit L untuk (x,y) (x0 ,y0) yang ditulis
L)
0y,
0x()y,x()y,x(flim
jika untuk setiap >0 terdapat >0. sehingga untuk setiap (x,y) yang memenuhi
0 < δ2)0y(y2)0x(x (1.1)
maka | f (x,y) - L | <
Dalam hal ini, ketaksamaan (1,1) merupakan kitaran terbuka dengan pusat (x0,y0) dan berjari-jari .
3. Fungsi f dikatakan kontinu di titik (x0 ,y0) , jika f(x0 ,y0) ada dan
)y,f(x)
0y,
0(xy)(x,y)(x,f lim 00
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 2121
Derivatif Parsial Derivatif Parsial
Pada slide ke2 dibahas Derivatif ParsialPada slide ke2 dibahas Derivatif Parsial untuk untuk fungsi dua perubah atau lebihfungsi dua perubah atau lebih
2222 by.tuti & Krisby.tuti & Kris
The endThe end
Selamat Mempelajari danSelamat Mempelajari dan MendalamiMendalami Mata Kuliah Kalkulus Mata Kuliah Kalkulus
Lanjut Lanjut Semoga BermanfaatSemoga Bermanfaat