kalkulus iii mgg 1
DESCRIPTION
kalkulusTRANSCRIPT
![Page 1: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/1.jpg)
Bab I
Matriks dan OperasinyaMatriks dan Operasinya
![Page 2: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/2.jpg)
• Diketahui data hasil penjulan tiket
penerbangan tujuan Medan dan Surabaya,
dari sebuah agen tiket di Bandung selama
empat hari berturut-turut disajikan dalam
tabel berikut.
![Page 3: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/3.jpg)
• Pada saat Anda membaca tabel tersebut maka
hal pertama yang Anda perhatikan adalah kota
tujuan, kemudian banyaknya tiket yang habis
terjual untuk masing-masing kota setiap
harinya.
• Data pada tabel tersebut, dapat Anda• Data pada tabel tersebut, dapat Anda
sederhanakan dengan cara menghilangkan
semua keterangan (judul baris dan kolom)
pada tabel, dan mengganti tabel dengan
kurung siku menjadi bentuk seperti berikut.
![Page 4: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/4.jpg)
• Berdasarkan bentuk tersebut, dapat Anda
lihat bahwa data yang terbentuk terdiri ataslihat bahwa data yang terbentuk terdiri atas
bilangan-bilangan yang tersusun dalam baris
dan kolom. Susunan bilangan seperti inilah
yang dinamakan sebagai matriks.
![Page 5: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/5.jpg)
Definisi Matriks
• Definisi Matriks
• Matriks adalah sekelompok bilangan yang
disusun menurut baris dan kolom dalam tanda
kurung dan berbentuk seperti sebuah kurung dan berbentuk seperti sebuah
persegipanjang.
• Tanda kurung yang digunakan dalam sebuah
matriks dapat berupa tanda kurung biasa “( )”
atau tanda kurung siku “[ ]”.
![Page 6: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/6.jpg)
• Suatu matriks tersusun atas baris dan kolom,
jika matriks tersusun atas m baris dan n kolom
maka dikatakan matriks tersebut berukuran
(berordo ) m x n. Penulisan matriks biasanya
menggunakan huruf besar A, B, C dan
seterusnya, sedangkan penulisan matriksseterusnya, sedangkan penulisan matriks
beserta ukurannya (matriks dengan m baris
dan n kolom ) adalah Amxn, Bmxn dan
seterusnya.
![Page 7: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/7.jpg)
Bentuk umum
• Bentuk umum dari Amxn adalah :
• aij disebut elemen dari A yang terletak pada
baris i dan kolom j.
![Page 8: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/8.jpg)
![Page 9: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/9.jpg)
Contoh
![Page 10: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/10.jpg)
![Page 11: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/11.jpg)
• Pada matriks A tersebut, kita dapat menuliskan
elemen-elemennya sebagai berikut.
– Elemen-elemen pada baris pertama adalah 34 dan 8.
– Elemen-elemen pada baris kedua adalah 34 dan 6.
– Elemen-elemen pada baris ketiga adalah 51 dan 12.
– Elemen-elemen pada baris keempat adalah 51 dan 13.– Elemen-elemen pada baris keempat adalah 51 dan 13.
– Elemen-elemen pada kolom pertama adalah 34, 34,
51, dan 51.
– Elemen-elemen pada kolom kedua adalah 8, 6, 12,
dan 13.
![Page 12: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/12.jpg)
![Page 13: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/13.jpg)
Latihan
• Diketahui matriks
• Tentukan:
a. Banyaknya baris pada matriks H,
b. Banyaknya kolom pada matriks H,
c. Ordo matriks H,
d. Tentukan h32 dan h14,
e. Banyaknya elemen pada matriks H.
![Page 14: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/14.jpg)
Jenis-Jenis Matriks
• Matriks baris adalah matriks yang terdiri dari
satu baris.
Misalnya: P = [5 2], Q = [10 9 8]
• Matriks kolom adalah matriks yang terdiri• Matriks kolom adalah matriks yang terdiri
dari satu kolom.
Misalnya:
![Page 15: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/15.jpg)
• Matriks nol adalah matriks yang semua
elemennya nol.
• Misalnya:
• Matriks persegi adalah matriks yang banyak
baris sama dengan banyak kolom.
• Misalnya:
![Page 16: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/16.jpg)
• Karena sifatnya yang demikian ini, dalam
matriks bujur sangkar dikenal istilah elemen
diagonal yang berjumlah n untuk matriks
bujur sangkar yang berukuran nxn, yaitu : a11,
a22, …, ann.
![Page 17: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/17.jpg)
• Pada suatu matriks persegi ada yang
dinamakan sebagai diagonal utama dan
diagonal sekunder. Perhatikan matriks berikut.
![Page 18: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/18.jpg)
• Matriks Diagonal
• Matriks diagonal adalah matriks yang elemen
bukan diagonalnya bernilai nol.
• Dalam hal ini tidak disyaratkan bahwa elemen
diagonal harus tak nol.
![Page 19: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/19.jpg)
• Matriks identitas adalah matriks yang
elemen-elemen diagonal utamanya sama
dengan 1, sedangkan elemen-elemen lainnya
sama dengan 0.
• Misalnya:
![Page 20: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/20.jpg)
• Matriks Skalar adalah matriks yang elemen-
elemen diagonal utamanya sama, sedangkan
elemen di luar elemen diagonalnya bernilai
nol.
• Misalnya:
![Page 21: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/21.jpg)
• Matriks segitiga atas adalah matriks persegi
yang elemen-elemen di bawah diagonal
utamanya bernilai nol.
• Misalnya:
![Page 22: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/22.jpg)
• Matriks segitiga bawah adalah matriks
persegi yang elemen-elemen di atas diagonal
utamanya bernilai nol.
• Misalnya:
![Page 23: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/23.jpg)
• Matriks A adalah matriks segitiga bawah, matriks B adalah matriks segitiga atasmatriks B adalah matriks segitiga atassedangkan matriks C merupakan matrikssegitiga bawah dan juga matriks segitigaatas.
![Page 24: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/24.jpg)
• Transpos matriks A atau (At) adalah sebuah
matriks yang disusun dengan cara menuliskan
baris ke-i matriks A menjadi kolom ke-i dan
sebaliknya, menuliskan kolom ke-j matriks A
menjadi baris ke-j.
• Misalnya:• Misalnya:
![Page 25: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/25.jpg)
• Suatu matriks dikatakan sama jika keduanyamempunyai ukuran yang sama dan anggota-anggotanya yang berpadanan sama. Dalamnotasi matriks, jika A = [aij] dan B = [bij] mempunyai ukuran yang sama maka A = B jika danhanya jika (A)ij = (B)ij, atau setara aij = bij untukhanya jika (A)ij = (B)ij, atau setara aij = bij untuksemua i dan j.
• Contoh : A = B
=
=
987
654
321
B;
987
654
321
A
![Page 26: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/26.jpg)
• Matriks Simetri
• Matriks simetri adalah suatu matriks kuadrat atau
bujursangkar yang sama dengan matriks
transposenya atau A = AT.
• Sebagai contoh :
=
=
157
530
702
157
530
702TAmakaA
![Page 27: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/27.jpg)
• Matriks Anti Simetri
• Matriks anti simetri adalah matriksbujursangkar yang sama dengan negatiftransposenya atau A = - AT.
−− 210210
−
−−
=−
−
−−=
032
301
210
032
301
210TAmakaA
![Page 28: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/28.jpg)
• Matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi
• Suatu matriks dikatakan memiliki bentuk eselon baristereduksi jika memenuhi syarat– syarat berikut :
1. Untuk semua baris yang elemen – elemennya tak–nol , maka bilangan pertama pada baris tersebut haruslah = 1 ( disebut satu utama ).
2. Untuk sembarang dua baris yang berurutan, maka satuutama yang terletak pada baris yang lebih bawah harusutama yang terletak pada baris yang lebih bawah harusterletak lebih ke kanan daripada satu utama pada barisyang lebih atas.
3. Jika suatu baris semua elemennya adalah nol, maka baristersebut diletakkan pada bagian bawah matriks.
4. Kolom yang memiliki satu utama harus memiliki elemennol ditempat lainnya.
![Page 29: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/29.jpg)
�Matriks A , B dan C adalah matriks – matriksdalam bentuk eselon baris tereduksi dan notasi dalam bentuk eselon baris tereduksi dan notasi 1 menyatakan satu utamanya. Contoh berikut menyatakan matriks – matriks yang bukandalam bentuk eselon baris tereduksi.
![Page 30: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/30.jpg)
� Matriks D bukan dalam bentuk eselon baris tereduksi karenaelemen d12 bernilai 1 sehingga tidak memenuhi syarat ke – 4 ( harusnya = 0 ), sedangkan matriks E tidak memenuhi karenaharusnya = 0 ), sedangkan matriks E tidak memenuhi karenabaris kedua yang merupakan baris nol letaknya mendahului barisketiga yang merupakan baris tak nol, sehingga syarat ketiga tidakterpenuhi.
� Jika suatu matriks hanya memenuhi syarat 1–3 saja, makadikatakan matriks tersebut memiliki bentuk eselon baris.
![Page 31: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/31.jpg)
Latihan� Diketahui matriks
� Tentukanlah:� Tentukanlah:� a. banyaknya baris dan kolom� b. elemen-elemen pada setiap baris� c. elemen-elemen pada setiap kolom� d. letak elemen-elemen berikut� (i) 2 (iii) 4� (ii) 3 (iv) 5
![Page 32: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/32.jpg)
� Sebutkanlah jenis dari setiap matriks berikut ini!
![Page 33: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/33.jpg)
� Tentukanlah transpos dari setiap matriks berikut!
![Page 34: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/34.jpg)
� Tentukanlah x, jika At = B.
![Page 35: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/35.jpg)
OperasiOperasi HitungHitung MatriksMatriksDan sifat-sifatnya
![Page 36: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/36.jpg)
PenjumlahanPenjumlahan dandan PenguranganPenguranganMatriksMatriks� Jumlah matriks A dan B, ditulis A + B
adalah suatu matriks baru C yang elemen-elemennya diperoleh denganmenjumlahkan elemen-elemen yang menjumlahkan elemen-elemen yang seletak dari matriks A dan B. Dengandemikian, syarat agar dua matriks ataulebih dapat dijumlahkan adalah ordomatriks-matriks itu harus sama.
![Page 37: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/37.jpg)
� Operasi penjumlahan dapat dilakukanpada dua buah matriks yang memilikiukuran yang sama.
� Aturan penjumlahan
� Dengan menjumlahkan elemen – elemenyang bersesuaian pada kedua matriksyang bersesuaian pada kedua matriks
� Contoh:
±±
±±=
±
hdgc
fbea
hg
fe
dc
ba
![Page 38: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/38.jpg)
ContohContoh
� Diketahui
−−
−=A
042
032
421
=
=
−−=
d
aD
dc
baC
B
33
02
315
042
![Page 39: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/39.jpg)
PERKALIAN BILANGAN REAL DENGAN MATRIKS
� Kita telah mengetahui bahwa penjumlahan
bilangan real (skalar) secara berulang dapat
dinyatakan sebagai suatu perkalian.
�Misalnya, a + a = 2a, a + a + a = 3a, dan�Misalnya, a + a = 2a, a + a + a = 3a, dan
seterusnya. Hal tersebut berlaku juga pada
operasi matriks. Misalkan diketahui matriks:
−=
41
52A
![Page 40: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/40.jpg)
� Oleh karena itu
AAA 241
522
82
104=
−⋅=
−=+
4182
−
−
![Page 41: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/41.jpg)
� Jadi, perkalian matriks A dengan suatu bilangan
asli k adalah penjumlahan berulang matriks A
sebanyak k kali. Dengan kata lain, pengertian ini
dapat ditulis sebagai berikut. Jika k bilangan real
dan A matriks berordo m × n maka kA
didefinisikan dengan
![Page 42: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/42.jpg)
CONTOH
� Diketahui
−=
−
−=
143
752
325
231BdanA
� Hitung :
� 2A + 5B
� 3A – 2B
−− 143325
![Page 43: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/43.jpg)
SIFATSIFATSIFATSIFAT----SIFATSIFATSIFATSIFAT PERKALIANPERKALIANPERKALIANPERKALIAN SKALARSKALARSKALARSKALAR
� Jika A dan B adalah matriks-matriks berordo m × n, sedangkan k1 dan k2
adalah skalar, berlaku sifat-sifat berikut.
� a. k (A + B) = k A + k B� a. k1(A + B) = k1A + k1B
� b. (k1 + k2)A = k1A + k2A
� c. k1(k2A) = (k1k2)A
![Page 44: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/44.jpg)
Perkalian Antar Matriks
� Operasi perkalian matriks dapat dilakukan pada duabuah matriks ( A dan B) jika jumlah kolom matriks A = jumlah baris matriks B.
� Aturan perkalian
Misalkan A dan B maka A B = C� Misalkan Amxn dan Bnxk maka Amxn Bnxk = Cmxk
dimana elemen – elemen dari C( cij) merupakanpenjumlahan dari perkalian elemen–elemen A barisi dengan elemen–elemen B kolom j
� Contoh :
![Page 45: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/45.jpg)
� maka A2x3 B3x2 = C2x2 =
![Page 46: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/46.jpg)
Contoh
� Diketahui matriks-matriks berikut :
![Page 47: Kalkulus III Mgg 1](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/55cf9ab7550346d033a3092f/html5/thumbnails/47.jpg)
Sifat Operasi Matriks
� A+B = B+A
� A+ ( B+C ) = ( A+B) + C
� AB ≠ BA
� A ( BC ) = ( AB ) C� A ( BC ) = ( AB ) C
� ( At )t = A
� ( AB )t = BtAt