kal kulu sssssssss

8/17/2019 Kal Kulu Sssssssss

1/40

ATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur senantiasa kita panjatkan kehadirat Allah SWT. Karenarahmatnyalah kita masih diberi kehidupan yang sejahtera. Shalawat serta salam semoga tetap

tercurahkan kepada jungjungan besar kita Habibana Wanabiyana Muhammad SAW, karenabinmbingannyalah kita bisa berjalan pada jalan yang diridoi Allah SWT.

an saya mengucapkan terima kasih kepada kedua orang tua yang senantiasa memberikandukungan nya serta do!anya.an tak lupa juga saya ucapkan terima kasih kepada osenkalkulus.yang telah memberikan arahannya sehingga makalah ini bisa diselesaikan pada waktuyang telah ditetukan.

Mudah"mudahan dengan telah selesainya makalah ini dapat berman#aat kususnya bagi sayasendiri dan umunya bagi mahasiswa dan mahasiswi yang sedang mencari pendidikan di

perguruan tinggi $ndonesia. an mudah"mudahan dapat memberikan pengaruh yang positi# sehingga generasi penerus bangsa ini menjadi ebih paham dan bermoral dan juga menjadimanusia yang berguna bagi bangsa dan negara.Terima kasih.

A%TA& $S$

KATA PENGANTAR DAFTAR ISIBAB I PENDAHULUAN

A. 'atar (elakang Masalah(. &umusan Masalah

BAB II PEMBAHASAN A. )engertian Kalkulus


2/40


3/40

kalkulus atau ahli matematika,dan merupaka lapangan para ahli ekonomi sepenuhnya.karenapara ahli kalkulus hanya mempelajari hal"hal seperti0 aspek kehidupan kaum buruh yang brasaldari daerah pedeasaan atau kota dalam industri,atau pengaruh industri terhadap daerah lainnya.

B. Rumusan masalahMakalah ini memiliki berbagai masalah yang perlu diselesaikan dalam rumusan masalahadalah sebagai berikut

1. apa yang dimaksud dengan pengertian kalkulus2. apa yang dimaksud dengan prinsip"prinsip dasar kalkulus0a. turunanb. $ntegral3. apa yang dimaksud dengan bentuk"bentuk kalkulusa. manipulasi digitb. generalisasi

4. apa yang dimaksud dengan pengembangan kalkulusa. kalkulus dalam dunia pendidikanb. kalkulus dalam dunia popular

. Tu!uan MasalahMakalah diatas tadi mempunyai tujuan sebagai berikut0

1. untuk mengetahui pengertian kalkulus2. untuk mengetahui prinsip"prinsip dasar kalkulus03. untuk mengetahui bentuk"bentuk kalkulus

4. untuk mengetahui pengembangan kalkulus

BAB II PEMBAHASAN

A. Pengert"an KalkulusKalkulus -(ahasa 'atin0 calculus, artinya 5batu kecil5 untuk menghitung adalah cabang ilmu

matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmumengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah

ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memilikiaplikasi yang luas dalam bidang"bidang sains, ekonomi, dan teknik6 serta dapat memecahkan


4/40

berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus di#erensial dan kalkulus integral yang salingberhubungan melalui teorema dasar kalkulus. )elajaran kalkulus adalah pintu gerbang menujupelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari #ungsi dan limit, yang

secara umum dinamakan analisis matematika.Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode 7aman, yaitu 7amankuno, 7aman pertengahan, dan 7aman modern. )ada periode 7aman kuno, beberapa pemikirantentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis.)erhitungan olume dan luas yang merupakan #ungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusurikembali pada )apirus Moskwa Mesir -c. 1899 SM di mana orang Mesir menghitung olumepiramida terpancung, Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakanheuristik yang menyerupai kalkulus integral.

)ada 7aman pertengahan, matematikawan $ndia, Aryabhata, menggunakan konsep keciltakterhingga pada tahun 4:: dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk

persamaan di#erensial dasar. )ersamaan ini kemudian mengantar (h;skara $$ pada abad ke"12untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat keciltakterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari 5Teorema &olle5.Sekitar tahun 1999,matematikawan $rak $bn al"Haytham -Alha7en menjadi orang pertama yang menurunkan rumusperhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, diamengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yangsangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral. )ada abad ke"12, seorang )ersiaShara# al"in al"Tusi menemukan turunan dari #ungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalamkalkulus di#erensial.

B. Pr"ns"# Dasar Kalkuluse#inisi limit0 kita katakan bahwa limit #-


5/40

Turunan dari suatu #ungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari #ungsi tersebut terhadapariabelnya. )roses menemukan turunan dari suatu #ungsi disebut sebagai pendi#erensialanataupun di#erensiasi.Secara matematis, turunan #ungsi C-


6/40


7/40

Kalkulus adalah ilmu yang sangat berguna berman#aat, dengan mempelajari kalkulusbanyak man#aat selain mahir menghitung, lebih teliti yang akan kita dapatkan . @leh karena itu,sudah sepantasnyalah mulai saat ini kita mengubah perspekti# kita terhadap kalkulus. Kita ubahpandangan kita yang menganggap kalkulus adalah pelajaran yang sulit dan hanya membuat

kepala pusing dengan menganggap kalkulus adalah pelajaran yang mengasyikan danmenyenangkan.Seperti yang telah dijelaskan dalam pembahasan, man#aat lain selain mahir menghitung, lebihteliti dari mempelajari kalkulus antara lain0 menambah pemahaman dalam menjalani hidup, lebihberhati"hati dalam memutuskan suatu hal -adil, meningkatkan minat baca, meningkatkansemangat belajar, jadi lebih dewasa, mempererat silaturahmi antar indiidu dan masih banyaklagi yang lainnya

a. Kalkulus dalam dunia pendidikan)ara siswa matematika sering menolak persamaan 9,:::G dengan 1 oleh karena berbagaialasan, mulai dari penampilan kedua angka yang berbeda sampai dengan ketidakpercayaan

terhadap konsep limit dan ketidaksetujuan terhadap si#at"si#at in#initesimal. Terdapat banyak#aktor yang berkontribusi pada kebingungan ini0

a )ara siswa sering percaya terhadap nosi bahwa sebuah bilangan hanya dapat diwakili oleh satudan hanya satu cara dengan menggunakan sebuah bilangan desimal. Keberadaan dua bilangandesimal yang berbeda namun mewakili bilangan sama seolah"olah seperti paradoks, terlebih lagidiperkuat oleh tampilan bilangan 1 yang kelihatannya sudah sangat dimengerti.

b (eberapa siswa menginterpretasikan 9,:::G-atau notasi yang sama sebagai untaian : yangsangat banyak, namun terhingga dengan panjang yang tidak ditentukan. /ika mereka menerimasebuah untaian : yang takhingga, mereka masih mengharapkan keberadaan : terakhir di

ketakterhinggaanc $ntuisi dan pengajaran yang rancu membuat siswa berpikir bahwa limit barisan sebagai sejenis

proses takhingga daripada sebagai sebuah nilai yang pasti oleh karena sebuah barisan tidakperlu memiliki limitnya. Siswa"siswa yang menerima perbedaaan antara barisan bilangandengan limitnya kemungkinan akan menginterpretasikan 9,:::Gsebagai sebuah barisandaripada limit barisan itu sendiri.

d (eberapa siswa menganggap 9,:::G memiliki nilai yang pasti yang lebih kecil daripada 1dengan perbedaan yang sangat kecil takhingga dengan nilai bukan nol.

e (eberapa siswa percaya bahwa nilai deret konergen hanyalah pendekatan, bahwa .

)emikiran"pemikiran ini merupakan pemikiran yang salah dalam konteks bilangan real standar,walaupun mungkin beberapa pemikirin ini absah dalam sistem bilangan yang lainnya.Kebanyakan penjelasan"penjelasan ini ditemukan oleh )ro#esor aid Tall yang mempelajarikarakteristik pengajaran dan pengenalan yang menyebabkan beberapa kesalahpahaman yangdia temui pada murid"murid uniersitasnya. Setelah menanyai murid"muridnya untuk mengetahuimengapa mayoritas besar pada awalnya menolak persamaan ini, ia menemukan bahwa siswaterus membayangkan 9,:::G sebagai sebuah barisan bilangan yang semakin mendekati 1 danbukanlah nilai yang pasti, karena Uanda belum menentukan seberapa banyak tempat desimalyang adaU atau Uia merupakan bilangan desimal yang memungkinkan yang paling dekat dengan

1.


8/40

b. Kalkulus dalam dunia popular engan berkembangnya internet, debat mengenai 9,:::G telah keluar dari ruangan kelas danmerupakan hal yang umum terlihat dalam newsgroup dan #orum internet, termasuk pula banyakyang sebenarnya tidak berhubungan dengan matematika. alam newsgroup sci.math,

perdebatan mengenai 9,:::G merupakan olahraga yang populer, dan ia merupakan salah satupertanyaan yang dijawab dalam %AV situs tersebut.I38J (agian %AV secara singkat mencakuppembuktian menggunakan 13, perkalian dengan 19, dan limit, serta juga menyinggung barisan*auchy.Kolom surat kabar The Straight ope edisi 2993 mendiskusikan 9,:::G ia 13 dan limit, danmengenai miskonspesi ini berkata,Hewan primata yang lebih rendah di antara kita masih sajamenolak, mengatakan ,:::X tidaklah benar"benar mewakili sebuah bilangan, namun proses.Yntuk menemukan sebuah bilangan kita harus menghentikan proses tersebut, dengan begitu hal,:::X E 1 ini runtuh. @mong kosong.)ermasalahan 9,:::G juga tampaknya merupakan topik yang populer dalam tujuh tahun

pertama #orum (attle.net (li77ard ntertainment, sehingga perusahaan tersebut mengeluarkansebuah siaran pers pada April Mop tahun 2994 bahwa 9,:::G adalah0Kami sangat senang mengakhiri subjek diskusi ini untuk selamanya. Kami telah menyaksikankepiluan dan kepedulian terhadap masalah apakah ,:::X iya atau tidak sama dengan 1, dankami bangga bahwa pembuktian berikut akhirnya dan secara konklusi# mengalamatkan isu iniuntuk para pelanggan kami.

BAB III PENUTUP

A. Kes"m#ulana. Kalkulus adalah0 sebuah cabang ilmu dari Matematika yang sangat dibutuhkan untuk

pengembangan ilmu pengetahuan terutama bagi %isika dan Teknik -ngineering.b. )rinsip"prinsip dasar kalkulus adalah0 perkembangan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas

yang sangat kecil. @bjek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil.Sebuah bilangan d< yang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 9, namun lebih kecildaripada bilangan apapun pada deret 1, , B, ... dan bilangan real positi# apapun. Setiapperkalian dengan kecil tak terhingga -in#initesimal tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lainkecil tak terhingga tidak memenuhi properti Archimedes. ari sudut pandang ini, kalkulus adalahsekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil yang tak terhingga.

c. (entuk"bentuk kalkulus adalah0 alam ilmu kalkulus materi yang dapat kita pelajari antara lain01. i##erensial2. integraldan

3. di#erensial terapan


9/40

)ada dasarnya ketika kita mempelajari Kalkulus maka yang terbesit dalam hati atau terpikirkanoleh kita adalah angka"angka yang menjelma menjadi sebuah momok menyeramkan bagi kitadan tak jarang pula terpikirkan oleh kita

d. pengembangan kalkulus adalah0 Kalkulus adalah ilmu yang sangat berguna berman#aat,

dengan mempelajari kalkulus banyak man#aat selain mahir menghitung, lebih teliti yang akankita dapatkan . @leh karena itu, sudah sepantasnyalah mulai saat ini kita mengubah perspekti# kita terhadap kalkulus

DAFTAR PUSTAKA

http0www.space.comspacelwatchsunZcamZanimated.htmlhttp0www.w3.org1:::


10/40

2. Semua pihak yang telah membantu dalam penulisan tugas mata kuliah ini.

Semoga Allah SWT senantiasa memberikan balasan dari semua kebaikan denganpembalasan yang sebaik"baiknya, karena sesungguhnya Allah SWT adalah sebaik"baik

pemberi pembalasan. Tidak ada gading yang tak retak, penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangandan kelemahan dalam makalah ini. @leh karena itu saran, kritik dan koreksi sangatdiharapkan. Semoga Tugas Akhir ini berman#aat bagi kita semua dan merupakan amalanbaik bagi penulis. Amien.

Medan,28 esember2912

)enulis

BAB IPENDAHULUAN

+.+ Pem%ahasan Konsep limit mempunyai peranan yang sangat penting di dalam kalkulus danberbagai bidang matematika. @leh karena itu, konsep ini sangat perlu untuk dipahami.Meskipun pada awalnya konsep limit sukar untuk dipahami, tetapi dengan sedikit

bantuan cara numeris kemudian konsep ini bisa dimengerti. an kenyataannya, setelahdipraktekkan masalah hitung limit relatie mudah. Mengingat hal itu, maka pada bagianpertama (ab ini limit diterangkan secara intuitie -numeris.+., Tu!uan Makalah ini disusun agar dapat menjdi sumber pengetahuan serta menambahpengetahuan bagi para maha siswa khususnya yang berada di STM$K (Y$ A&MA


11/40

BABII

RELASI

,. RELASI DAN SIFATN*A,.+ Pengert"an Relas"

De0"n"s" + 1Has"l Kal" Kartes"an2 Hasil kali kartesian antara himpunan A dan himpunan (, ditulis A


12/40

Sebuah pasangan terurut menjadi anggota relasi &1, ditulis0 -1, a &1 atau 1

&1 a. an jika -2, a bukan anggota relasi &1, ditulis0-2,a &1 atau 2 &1 a.

De0"n"s" / 1Relas" %"ner atas satu h"m#unan A2 &elasi biner atas himpunan A adalah relasi biner dari A ke A.

&elasi yang demikian ini, seringkali muncul dalam kehidupan sehari"hari, di dalamkalkulus $, kita kenal relasi dari & ke &, dari bilangan riil ke bilangan riil.

3nt3h /Masing"masing relasi berikut adalah relasi biner atas bilangan bulat -^0&1 E -a, b\ a _ b, dan a, b ^L

&2 E -a, b\ a ` b, dan a, b ^L

&3 E -a, b\ aEb atau aE"b, dan a, b ^L

&4 E -a, b\ aEb, dan a, b ^L

&Q E -a, b\ a E bF1, dan a, b ^L

&] E -a, b\ a F b 3, dan a, b ^L

& E -a, b\ a\b, dan a, b ^, dan b9L

3nt3h 4Ea, b, cL

-E , aL, bL, cL, a, bL, a, cL, b,cL, a, b, cLL

,., eras" Relas" Karena relasi merupakan himpunan, maka operasi pada himpunan juga berlaku dalam relasi0

1. @perasi -intersection2. @perasi -union

3. @perasi -symmetric di##erence

4. @perasi " -di##erenceQ. @perasi komplemen -komplemen relatie terhadap *artesianproduct3nt3h 5/ika A E 1, 2, Q, ]L, &1 E -1, 1, -2, 2, -Q, Q, -], ], -2, QL dan&2 E -1, 1, -2, 2, -2, Q, -1, 2, -1, ], -Q, ]L, maka0&1 &2 E -1, 1, -2, 2, -2, QL


13/40

&1 &2 E -1, 1, -2, 2, -Q, Q, -], ], -2, Q, -1, 2, -1, ], -Q,]L

&1 &2 E -Q, Q, -], ], -1, 2, -1, ], -Q, ]L

&1 " &2 E -Q, Q, -], ]L-&1 &2 E A


14/40

Tentunya operasi komposisi ini tidak hanya berlaku pada relasi atas satu himpunansaja, melainkan dapat pula digunakan untuk relasi yang melibatkan dua himpunan. /ikaS relasi dari himpunan A ke himpunan (, dan & relasi dari himpunan ( ke himpunan *,maka &S, komposisi S diteruskan ke & adalah jika -a,b S, dan -b,c &,

maka -a, c &S.

3nt3h 6iberikan0 A E 1, 2, 3L, ( E a, bL, * E 7,


15/40

& E -1, 1L&8 E -1, 1, -1, 2, -3, 4, -4, 3L Manakah dari kedelapan relasi di atas yang masing"masing bersi#at0 re#leksi#, simetri,anti simetri, transiti#, dan yang bukan simetri sekaligus bukan antisimetri./awab0)ada relasi"relasi di atas yang bersi#at re#leksi# adalah0 &3, dan &Q. &1 tidak re#leksi# karena -3, 3 &1.

&elasi yang bersi#at simetri0 &2, &3, dan &.&elasi yang bersi#at antisimetri0 &4, &], dan &.&elasi yang bersi#at transiti#0 &Q, &], dan &.Yntuk melihat &3 tidak bersi#at transiti#, dapat menggunakan tabel berikut0

(a,b) (b,c) (a,c) Keterangan

(1,1) (1,2) (1,2) Anggota R3

(1,2) (2,2) (1,2) Anggota R3

(1,4) (4,1) (1,1) Anggota R3(2,1) (1,4) (2,4) Bukan Anggota R3

(2,2) (2,1) (2,1) Anggota R3

Yntuk melihat &Q bersi#at transiti#, lihat tabel berikut0&Q E -1, 1, -1, 2, -1, 3, -1, 4, -2,2, -2,3, -2,4, -3, 3, -3, 4,-4, 4L

(a,b) (b,c) (a,c) Keterangan

(1,1) (1,2) (1,2) Anggota R5(1,2) (2,2) (1,2) Anggota R5

(1,3) (3,3) (1,3) Anggota R5

(1,4) (4,1) (1,1) Anggota R5

(2,2) (2,4) (2,4) Bukan Anggota R3

(2,2) (2,1) (2,1) Anggota R3

(2,4)

(3,3)

(3,4)

(4,4)

,.4. Relas" Ek"8alen

Pengert"an Relas" Ek"8alen

De0"n"s" 4 1Relas" Ek"8alen2 Adalah relasi yang memenuhi si#at0 re#leksi#, simetri, dan transiti# 3nt3h +5&E-a, b\ aEb atau aE"b, a, b ^L

)ada relasi ini, jelas dipenuhi aEa, a ^, berarti -a, a & atau bersi#atre#leksi#.


16/40

Yntuk si#at simetri, terdapat dua kemungkinan0" /ika aEb, berarti -a, b &, a, b ^ maka bEa, berarti -b, a &

" /ika aE"b, berarti -a, b &, a, b ^ maka bE"a, berarti -b,a &,

Sehingga & bersi#at simetri.Yntuk si#at transiti#, mempunyai empat kemungkinan0" /ika aEb, dan bEc, maka aEc, berarti -a, c &, a,b,c ^

" /ika aEb, dan bE"c, maka aE"c, berarti -a, c &, a,b,c ^

" /ika aE"b, dan bEc, maka aE"c, berarti -a, c &, a,b,c ^

" /ika aE"b, dan bE"c, maka aEc, berarti -a, c &, a,b,c ^

Sehingga & bersi#at transiti#./adi, & relasi ekialen.

3nt3h +&E -a, b\ a"b ^, a, b &L

/elas kita dapatkan a"a E9 ^, berarti -a, a &, berarti & bersi#at re#leksi#

/ika a"b ^, maka b"a E "-a"b ^, berarti -b, a &, berarti & bersi#at simetri

/ika a"b ^ dan b"c ^, maka a"cE-a"b F -b"c, berarti a"c &, berarti &

bersi#at transiti#./adi, & relasi ekialen.

BAB IIIFUNGSI

/.+ Pengert"an Fungs" alam matematika dan banyak aplikasi lain #ungsi memainkan peranan penting.alam bab ini akan membahas #ungsi sebagai bentuk khusus darirelasi. Misalkan Adan B adalah himpunan tak kosong. %ungsi dari A ke B,

dapat dipandang sebagai aturan atau cara memasangkan setiap elemen A dengantepat satu elemen B. Himpunan A disebut daerah asal -domain dari f , danhimpunanB dinamakan daerah kawan -codomain dari f Kawan -image dari a A adalah b E f -a B, seperti diagram panah pada

+ambar ].1.aerah hasil -range dari f , dinotasikan sebagai &an-f , adalah himpunan semuaelemen B yang menjadi kawan elemen A. /adi, &an-f B.

#ungsi dapat pula dipandang sebagai himpunan bagian A B dan

ditulis pasangan berurut -a,f -a.

*ontoh ].1.


17/40

Misalkan A E 1, 2, 3L dan ( E a, b, cL, maka# E -1, a, -2, a, -3, cL adalah #ungsi, sedangkang E -1, a, -1, b, -3, cL bukan #ungsi karena g-1 E a, bL -tidak memasangkan elemen Atepat satu pada elemen (.)erhatikan bahwa dalam contoh ini &an-# E a, cL.

/., Fungs" Ke%al"kan 1Fungs" In8ers2. Sebuah #ungsi dikatakan dapat dibalik -iners bila

juga merupakan #ungsi.

*ontoh ].2. %ungsi f pada *ontoh ].1 tidak dapat dibalik karena .

/./ K3m#3s"s" Fungs" Misalkan dan adalah #ungsi, maka dapat ditunjukkan

bahwa komposisi dari f dan g , , adalah #ungsi dari A ke C . /ika a

A dan b E f -a B sedangkan c E g -b C , maka

- -a E g -f -a;

sehingga - -a E g -f -a E g -b E c . +ambar ].3 menyajikan komposisi #ungsi

dalam bentuk diagram panah

*ontoh ].3. Misalkan dengan f - x E x F 1 dan g -y

E y 2Tentukanlan dan .

/awab0- - x E g -f - x E g - x F 1 E - x F 12 E x 2 F 2 x F 1:

dan- - x E f -g - x E f - x 2 E x 2 F 1:

)ada umumnya, .

/.5 SIFAT 9 SIFAT FUNGSIA. Fungs" Sur!ekt"0 Suatu #ungsi # 0 A ( disebut #ungsi surjekti# atau #ungsi onto atau #ungsi kepada jikadan hanya jika daerah hasil #ungsi # sama dengan himpunan ( atau & # E (.


18/40

*ontoh dalam diagram panaH

A B

A 0 1,2,3,4L , ( 0 a,b,cL%ungsi # 0 A (

dinyatakan dalampasangan terurut 0 # E-1,a, -2,c, -3,b, -4,cL.Tampak bahwa daerahhasil #ungsi # adalah 0

a,b,cL dan E ( maka#ungsi # adalah #ungsisurjekti# atau #ungsi ontoatau #ungsi kepada.

%ungsi # 0 A ( disebut #ungsi into atau#ungsi ke dalam jika dan hanya jika

daerah hasil #ungsi # merupakanhimpunan bagian murni dari himpunan (atau ⊂ (.*ontoh 0


19/40

A 0

1,2,3,4L , ( 0 a,b,cL#s # 0 A ( dinyatakan

dalam pasangan terurut# 0 -1,a, -2,b, -3,a,-4,bL.Tampak bahwa daerahhasil #s # 0 0 a,bL dan

⊂

(, maka #ungsi #adalah #ungsi into atau#ungsi ke dalam.

B. Fungs" In!ekt"0 %ungsi # 0 a ( disebut #ungsi injekti#-#ungsi satu"satu jika dan hanya jikauntuk tiap a1, a2 ∈ A dan a1 ≠ a2 berlaku # -a1 ≠ # -a2.


20/40

*ontoh 0

A 0 1,2,3L , ( 0 a,b,cL# 0 A ( dinyatakan

dalam pasangan terurut# 0 -1,a, -2,b, -3,cL.Tampak bahwa tiapanggota A yang berbedamempunyai peta yang

berbeda di (%ungsi # adalah #ungsiinjekti# atau satu"satu.

. Fungs" B"!ekt"0

%ungsi # 0 A ( disebut #ungsi bijekti#

jika dan hanya jika #ungsi # sekaligusmerupakan #ungsi surjekti# dan #ungsiinjekti#.*ontoh 0


21/40

A B

%ungsi #

A 0

1,2,3L , ( 0 a,b,cL#s # 0 A (,

dinyatakan dalampasangan terurut # 0-1,a, -2,c, -3,bL.Tampak bahwa #ungsi #

adalah #ungsi surjekti#sekaligus #ungsi injekti#.#ungsi # adalah #ungsibijekti# ataukorespondensi satu"satu.


22/40

BAB I:LIMIT

4. Pengert"an L"m"t Terlebih dahulu diperhatikan #ungsi . +ra#ik diberikan

pada +ambar 3.1.1 di bawah ini

Apa yang terjadi dengan apabila x cukup dekat dengan 2N )erhatikan table

3.1.1 berikut.


23/40

Tabel 3.1.1

x x

3 12 1,5 5,25

2,!5 ",2!25 1,#5 6,$!25

2,!!1 ",!!4!!1 1,### 6,##6!!1

2,!!!1 ",!!!4!!!1 1,#### 6,###6!!!1

ari table terlihat bahwa apabila x cukup dekat dengan 2, maka mendekati .

Hal ini tidak mengherankan, karena apabila dihitung . alam hal ini

dikatakan bahwa limit f - x x mendekati 2 sama dengan , ditulis0

Selanjutnya, perhatikan #ungsi f yang ditentukan oleh rumus0

%ungsi f tersebut tidak terde#inisikan di x E 1 karena di titik ini f - x berbentuk .

Tetapi masih dapat dipertanyakan apa yang terjadi pada f - x bilamana x mendekati 1tetapi . Yntu

ari table 3.1.2 di bawah terlibat bahwa apabila x cukup dekat dengan 1, makanilai mendekati 2. /adi,


24/40

Tabel 3.1.2

x x

2 3 !,5 1,5

1,!5 2,!5 !,## 1,##

1,!!1 2,!!1 !,####"5 1,####"5

1,!!!!!!1

"

2,!!!!!!1" !,####### 1,#######

ari beberapa uraian di atas, berikut diberikan de#inisi limit.

Definisi 3.1.1 Limit f ( x) x mendekati c sama dengan L, ditulis%

jika untuk setiap x yang cukup dekat dengan c, tetapi , maka f ( x) mendekati L&

Secara matematis de#inisi di atas dapat ditulis sebagai berikut.

jika untuk setiap bilangan ε ' ! yang diberikan (berapapun kecilnya) terdapat

bilangan δ ' ! sehingga untuk setiap dengan berlaku &


25/40

atatan' )ada de#inisi limit di atas, #ungsi f tidak perlu terde#inisikan di c . 'imit f - x untuk x mendekati c mungkin ada walaupun f tidak terde#inisikan di c .

3nt3h /.+., (uktikan bahwa -2 x Q E 3.

Pen;elesa"an' \-2 x Q 3\ E \2 x 8\ E \2- x 4\ E \2\ \ x 4\ E 2\ x 4\iberikan bilangan ε > 9 sebarang. Apabila diambil δ E ε 2, maka untuk setiap x di

dalam domain f yang memenuhi 9 `\ x 4\ ` δ berlaku0\-2 x Q 3\ E 2 \ x 4\ ` 2 δ E 2.ε 2 E ε .f

3nt3h /.+./ (uktikan bahwa untuk c > 9, .

Pen;elesa"an'-3.1.1

itinjau x >9 dengan si#at . Menurut ketidaksamaan segitiga0

Hal ini berakibat0-3.1.2

Selanjutnya, dari -3.1.1 dan -3.1.2 diperoleh0<

untuk setiap x>9. iberikan bilangan ε > 9 sebarang. Apabiladiambil maka untuk setiap x>9 dengan berlaku0


26/40

/adi, untuk setiap ε > 9 terdapat δ >9 sehingga untuk setiap x>9dengan berlaku0

.=

Agar bisa lebih mendalami hitung limit, berikut diberikan si#at"si#at dasar limit.Teorema 3.1.4 Jika ada maka nilainya tunggal &

Bukt"' Misalkan dan . Akan ditunjukkan

bahwa .

iberikan sebarang, maka terdapat sehingga0

i. , untuk setiap dengan .

ii. , untuk setiap dengan .

Apabila diambil maka untuk setiap

dengan berlaku0

Hal ini berarti .f

3nt3h /.+.5 Tunjukkan bahwa tidak ada.

Pen;elesa"an' Yntuk ,


27/40

Sementara, untuk ,

Karena nilai limit tidak tunggal maka tidak ada.f

4., Tekn"k Al!a%ar Untuk Mengh"tung L"m"t Si#at"si#at dasar limit yang dinyatakan dalam beberapa teorema berikut ini sangatdiperlukan dalam hitung limit. -engan berbagai pertimbangan bukti teorema tidakdisertakan dalam buku ini.

KATA PENGANTAR engan naa A**A+ ang a.a /enga0. ag a.a /enyayang& /u an 0yukur

ka anatkan ke.arat A**A+ S7, karena ata0 ra.at an karuna-8A ka aat

enyee0akan tuga0 akaa. Kakuu0 9 yang engena :Sat *t ung0 , *t Kr an

*t Kanan;

akaa. n 0u0un untuk eenu. tuga0 ar atakua. Kakuu0 9 yang

gunakan 0ebaga er.tungan na ka aa atakua. n&

Seaa enyu0unan akaa. n, ka tea. eeroe. bantuan, bbngan,

etunuk 0erta 0aran-0aran ar berbaga .ak&


28/40

Ka 0angat enyaar ba.?a enyu0unan akaa. n a0. au. ar 0eurna&


29/40

1

Bab I

Pendahuuan

1&

*atar Beakang

Ka enyu0un akaa. n 0ebaga tuga0 ata kua. an 0ebaga eengka na

tenga. 0ee0ter n& engan enyu0un akaa. n ka .arakan aat eerua.

a.a00?a untuk ea.a, k.u0u0nya engena bab Sat t ung0, an t kr D

t kanan&

2& 7uuan

7uuan ar ebuatan akaa. n aaa. untuk engeta.u tentang 0at-0at t ung0,

an t kanan D kr&

3& Ruu0an a0aa.

a& Aa yang ak0u t kr D t kanan E

b& Aa 0aa 0at-0at t ung0 tu E

c& Aa 0at entng ar t ung0 E

2

Bab II

PE!BA"ASAN

A. #imi$ Kiri dan #imi$ Kanan

Sebeu kta ea0uk ater t kr an t kanan, er.atkan a.uu

ung0 f be0erta graknya aa gabar berkut %


30/40

/er.atkan Frak ung0

8a aat buat 0ebarang ekat ke 1 baana x buat cuku ekat ke !

ar sebelah kanan & 0n kta katakan ba.?a ung0 f eunya t kanan ! engan

na t , tu0

8a aat buat 0ebarang ekat ke - 1 baana x buat cuku ekat ke ! ar

sebelah kiri& 0n kta katakan ba.?a ung0 f eunya limit kiri ! engan na

t - 1, tu0

3

8a tak enekat 0uatu na anaun baana x buat enekat !& ar

ara. 0ebea. kr !, enekat -1, 0eangkan ar ara. 0ebea. kanan o,


31/40

enekat & Karena tnya ar ara. kr an ar ara. kanan berbea, aka kta

katakan ba.?a tak aa&

ar beberaa keterangan ata0 aatkan en0 0ebaga berkut%Definisi %

0akan ung0 f teren0 aa 0eang (c,b)& Limit kanan fungsi f di c adalah

L

0akan ung0 f teren0 aa 0eang (a,c)& Limit kiri fungsi f di c adalah

L

/er.atkan gabar berkut yang eer.atkan 0tua0 geoetr untuk t kanan an

untuk t kr

*t Kanan ung0 f c

*t Kr ung0 f c


32/40

4

7eorea %

1& *t 0ebua. ung0 katakan aa ka an .anya ka t kr an t kanannya aa 0erta

erta

2& Aaba 0aa. 0atu ar ketentuan-ketentuan ata0 tak terenu., aka t ar ung0

yang ber0angkutan tak teren0& engan ekan t 0ebua. ung0 katakan tak aa

ka t 0aa. 0atunya tak aa, atau t keua 00nya tak aa, atau t keua 00nya

aa teta tak 0aa&

&on$ohSoa %

1& 7entukan %

a& +tunga.

b& +tunga.


33/40

c& +tunga.

Ga?aban %

a& Karena aturan ung0 beruba. x H !, aka eru car t

kr an t kanan x H !

b& Karena aturan ung0 beruba. x H1, akaerucar

tkran t kanan xH1

Karena

7ak aa

5

c& Karena aturan ung0 $ida' berubah x H 2, aka $ida' (eru car t kr

an t kanan x H 2

2& 7entukankon0tanta c agar ung0


34/40

eunya t x H -1

Ga?aban %

Agar (x) eunya t xH-1, aka t kr .aru0 0aa engan t

kananagar t aa

3 I cH 1 c

3 1 H - c c

2 H - 2c

-1 H c

2& 7unukkan t kr an t kanan ar

6c) karena H

aka aa

B. Sifa$ ) Sifa$ #imi$ Fun*si1& Ketunggaan *t ung0


35/40

Gka 0uatu ung0 eunya t 0atu ttk, t tungganya& 9n berart tak ungkn

tera 0uatu t eunya ua ung0 yang berbea

Teorema 3

2& *t ung0 aa oera0 aabar

/aa ung0 f,g % R aat akukan oera0 aabar enua.an, 0e0., .a0 ka

an .a0 bag a0akan enyebutnya tak no& Gka eenu. 0yarat agar t

ung0 , fg, k.u0u0nya cf, c kon0tanta an ung0 uga eunya t a&

Teorema 4

0a ung0 f an g teren0 aa 0eang terbuka 9 yang euat a kecua ungkn

a 0enr& Gka aka

1)

Bukt%

"

/.

H │( (x) I g(x)) ( * I ) │ H ││(x) * │I │g(x) - ││ H

2)


36/40

Bukt %

$

/.

3)

K.u0u0nya, kon0tanta

4)

#

3& *t ung0 aabar

*t ung0 yang 0eer.ana 0ecara ang0ung aat buktkan engan enggunakan en0

t


37/40

1& kon0tanta 4)

2& 5)

3& kon0tanta

Teorema + dan ,

Gka

Gka

Conto.% engan enggunakan ruu0 (5) an (6) .tunga. na lim berkut

1&

Ga?ab %

2&

Ga?ab %

1!

&. Sifa$ Pen$in* dari #imi$ Fun*si

#imi$ niai mu$a' fun*si

Gka 0uatu ung0 eunya t 0atu ttk, aka na utak ung0nya eunya

t ttk tu, teta kebakaanya tak benar ag&

7eorea 2&6 (1) Gka


38/40

(2) Gka

&on$oh %

1& engan enggunakan 7eorea 2&6 tentukan t na utak,

Ga?ab%

2& Gka , 0ek aaka. an aa&

Ga?ab%

11

Jntuk enyee0akan t yang keua, aba. 0eang terbuka (!,2) yang euat 1

keuan er.atkan 0eang (!,1) untuk eng.tung t kr, an 0eang (1,2) untuk

eng.tung t kanan&

/aa 0eang (!,1) yatu untuk ! x 1 beraku H x an ,

0e.ngga 9n engakbatkan

/aa 0eang (1,2) yatu untuk 1 x 2 beraku H x an ,

0e.ngga 9n engakbatkan

Karena


39/40

12

Bab III

Penu$u( Kesim(uan

#imi$ Kiri dan #imi$ Kanan1& t kanan ! engan na t , tu0

2& *t kr ! engan na

t - 1, tu0

3& t ar ara. kr an ar ara. kanan berbea, aka kta

katakan ba.?a tak aa&

Sifa$)Sifa$ #imi$ Fun*si

1& Ketunggaan *t ung0

2& *t ung0 aa oera0 aabar

13*t ung0 aabar


40/40

kon0tanta

kon0tanta

Gka

Gka

Sifa$ Pen$in* dari #imi$ Fun*si

Gka

Gka

14

Daf$ar Pus$a'a

1& artono, Koko& 1###& Kakuu0& Gakarta % Lrangga

2& /urce, Rgon, Marberg& 2!!"& Kakuu0, G 1, L0 9N& Gakarta % Lrangga

3& /urce, L?n G& 1##!& Kakuu0 an Feoetr Anat0, G 1, L0 9M& Gakarta % Lrangga

4& Sun0& 2!!1& Kakuu0 1& aang % Jn0a

kal kulu sssssssss

Documents