ka i 10 anna helga jónsdóttir sigrún helga lund · 2012. 2. 13. · anna helga og sigrún helga...

ÁlyktunartölfræðiKa�i 10

Anna Helga JónsdóttirSigrún Helga Lund

Háskóli Íslands

13. febrúar 2012

Anna Helga og Sigrún Helga (HÍ) Ályktunartölfræði 13. febrúar 2012 1 / 24

Helstu atriði:

1 Metlar

2 Öryggisbil

3 Tilgátupróf


Metlar

Hvert erum við komin...

1 Metlar

2 Öryggisbil

3 Tilgátupróf


Metlar

Metill

Metill

Metill er lýsistærð sem gefur mat á stika líkindadrei�ngar.

Metlar á stikum normaldrei�ngar, poisson drei�ngar ogtvíkostadrei�ngar.

µ, σ, λ og p.

Útkomu metlanna köllum við möt

Þau táknum við með µ̂, σ̂, λ̂ og p̂.


Metlar

Metill á meðaltali slembistærðar

Metill á meðaltal slembistærðar

Metillinn sem við notum til að meta meðaltal slembistærðar er

X̄ =n∑

i=1

Xi

n

þar sem n er heildarfjöldi mælinga.

Dæmi

Við höfum mælingar 2.5,−0.3, 0.8, 1.7, 4.0, 5.2, 3.5, 2.7, 3.8, 3.5 á óháðumog einsdreifðum slembistærðum.

Hvert er mat okkar á µ?


Metlar

Metill á dreifni slembistærðar

Metill á dreifni slembistærðar

Metillinn sem við notum til að meta dreifni slembistærðar er

S2 =n∑

i=1

(Xi − X̄)2

n− 1

þar sem X̄ er metill á meðaltal mælinganna og n er heildarfjöldi mælinga.

Dæmi

Við höfum mælingar 2.5,−0.3, 0.8, 1.7, 4.0, 5.2, 3.5, 2.7, 3.8, 3.5 á óháðumog einsdreifðum slembistærðum.

Hvert er mat okkar á σ?


Metlar

Metill á hlutfall slembistærðar

Metill á hlutfalli slembistærðar

Metillinn sem við notum til að meta hlutfall slembistærðar er

P =X

n

þar sem X er fjöldi heppnaðra tilrauna og n er heildarfjöldi tilrauna.

Dæmi

Við höfum mælingar 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1 á óháðum og einsdreifðumslembistærðum.

Hvert er mat okkar á p?


Öryggisbil


1 Metlar

2 Öryggisbil

3 Tilgátupróf


Öryggisbil

Öryggi

Y�rleitt eru engar líkur á því að matið okkar sé nákvæmlega rétta gildið ástikanum.

Öryggisbil (con�dence interval)

1 - α öryggisbil er talnabil sem inniheldur sanna gildi stikans með örygginu1 - α.

Öryggi (con�dence level)

Öryggi er það hlutfall tilvika þar sem öryggisbilið inniheldur raunverulegtgildi stikans, þegar tilraunin er endurtekin mjög oft.


Öryggisbil

Öryggismörk

Öryggismörk eða vikmörk

Öryggismörk (con�dence limits) eru endapunktar öryggisbilsins. Efraöryggismarkið er efri endapunktur bilsins (stærsta gildið sem er tekið ábilinu), en neðra öryggismarkið er neðri endapunkturinn (minnsta gildiðsem er tekið á bilinu).

Villulíkur

Villulíkur (type I error), táknaðar α, eru það hlutfall tilvika, þar semöryggisbil metilsins inniheldur ekki raunverulega gildið á stikanum sem hannmetur, ef tilraunin er endurtekin mjög oft.


Tilgátupróf


1 Metlar

2 Öryggisbil

3 Tilgátupróf


Tilgátupróf

Hugmyndafræði tilgátuprófa

Hugmyndafræði tilgátuprófa

Fundin er ein tilgáta sem lýsir því sem við viljum sýna fram á og önnur semlýsir hlutlausu tilviki.

Fundin er lýsistærð sem hefur þekkta líkindadrei�ngu í hlutlausa tilvikinu.Þessi lýsistærð er prófstærðin okkar.

Skilgreint er hvaða gildi á prófstærðinni eru �ósennileg� miðað viðlíkindadrei�nguna í hlutlausa tilvikinu.

Ef matið sem fengið er �okkast sem �ósennilegt� þá höfnum við tilgátunnium hlutlausa ástandið og fullyrðum tilgátuna sem við viljum sýna fram á.

Ef matið er ekki �ósennilegt� er ekkert fullyrt.


Tilgátupróf

Tilgátur

Núlltilgáta

Núlltilgáta (null hypothesis) er fullyrðing sem sett er fram, sem getur veriðafsönnuð með fyrirliggjandi gögnum. Hún verður hins vegar aldrei sönnuð.Hún er y�rleitt táknuð með H0.

Gagntilgáta

Gagntilgáta (alternative hypothesis) er sú fullyrðing sem við viljumstaðfesta með rannsókninni. Hún er eingöngu sönnuð, en ekki afsönnuð.Hún er ýmist táknuð með H1 eða Ha.


Tilgátupróf

Áttanir tilgátuprófa

Tvíhliða próf

Ef gögnin leyfa, þá fullyrðir tvíhliða tilgátupróf (two-sided test) að einneða �eiri stikar þýðisins eða þýðanna séu jafnir hvor öðrum eða einhverjuákveðnu gildi.

Einhliða próf

Til eru tvær gerðir einhliða tilgátuprófa (one sided test):Þau sem fullyrða að einn stiki gagnanna sé stærri en annar stiki eðaeitthvað ákveðið gildi, ef gögnin leyfa.Þau sem fullyrða að einn stiki gagnanna sé minni en annar stiki eðaeitthvað ákveðið gildi, ef gögnin leyfa.


Tilgátupróf

Prófstærðir

Prófstærð

Prófstærð (test statistic) er lýsistærð sem má nota til að hrekjanúlltilgátu, ef gögnin leyfa.

Höfnun núlltilgátu

Við höfnum núllgátu ef prófstærðin okkar hefur ósennilegt gildi miðað viðþá líkindadrei�ngu sem hún ætti að hafa ef núlltilgátan væri sönn.


Tilgátupróf

Höfnunarsvæði og α-stig

α-stig

α stig tilgátuprófs eru hæstu ásættanlegu líkur þess að fá ósennilegt gildiþegar núlltilgátan er í raun sönn.

Höfnunarsvæði tilgátuprófa

Höfnunarsvæði tilgátuprófa (rejection areas) eru þau bil sem innihaldaöll þau gildi á prófstærðum sem við höfnum núlltilgátunni fyrir og einungisþau gildi.Ef prófstærðin fellur á höfnunarsvæði tilgátuprófsins þá höfnum viðnúlltilgátunni.Ef hún fellur ekki á höfnunarsvæðið, höfnum við ekki núlltilgátunni.


Tilgátupróf

Höfnunarsvæði tvíhliða prófs

α 2α 2

Höfnunarsvæði tvíhliða prófs

Mynd: Höfnunarsvæði tvíhliða prófs


Tilgátupróf

Höfnunarsvæði einhliða prófs

α

Höfnunarsvæði einhliða < prófs

α

Höfnunarsvæði einhliða > prófs


Tilgátupróf

Höfnunarsvæði og α-stig, framhald.

Líkurnar á því að prófstærð falli á höfnunarsvæði þegar núlltilgátan er sönneru nákvæmlega α-stig tilgátuprófsins.

Til að skilgreina höfnunarsvæði þurfum við að ákveða:

Hver er stefna tilgátuprófsins? (einhliða/tvíhliða próf)

Hvað er ásættanlegt α-stig tilgátuprófsins?


Tilgátupróf

p-gildi

p-gildi

p-gildi eru líkurnar á því að fá jafn ósennilega niðurstöðu eða ósennilegri ogfengin er ef núlltilgátan er sönn. Hafna skal H0 sé p-gildið minna en α. Sép-gildið stærra en α er ekki hægt að hafna núlltilgátunni.

Styrkur

Styrkur (power) tilgátuprófs er líkurnar á því að hafna núlltilgátu sem er íraun ósönn. Hann er oft táknaður með 1 − β


Tilgátupróf

Villur af gerð I og II

Villa af gerð I

Villa af gerð I er sú villa að hafna núlltilgátu sem var í raun sönn.Líkurnar á villu af gerð I eru α-stig prófsins.

Villa af gerð II

Villa af gerð II er sú villa að hafna ekki núlltilgátu sem var í raun ósönn.Líkurnar á villu af gerð II eru β, þar sem 1 − β er styrkur prófsins.

H0 er sönn H0 er röngHafna H0 Villa af gerð I Rétt ályktun

Líkur: α Líkur: 1 − β

Hafna ekki H0 Rétt ályktun Villa af gerð IILíkur: 1-α Líkur: β


Tilgátupróf

Tilgátupró� ekki hafnað

Það geta margvíslegar ástæður legið að baki því að tilgátupró� er ekkihafnað:

Fjöldi mælinga var of lítill og þar af leiðandi hafði pró�ð lítinn styrk.

Núlltilgátan er í raun sönn.

Líkanið okkar hæ�r ekki gögnunum - þær forsendur sem við gerum ráðfyrir að gögnin uppfylli standast ekki.

Við megum aldrei fullyrða hvert ofangreinda atriða var ástæðan!Við megum þó færa rök fyrir því að ein ofangreindra ástæða sé súsennilegasta.


Tilgátupróf

Framkvæmd tilgátuprófa

Framkvæmd tilgátuprófa

1 Ákveða hvaða tilgátupróf er viðeigandi fyrir gögnin okkar.

2 Ákveða hæstu ásættanlegu villulíkur.

3 Setja fram núlltilgátu og ákveða um leið áttun prófsins(einhliða/tvíhliða).

4 Reikna prófstærðina sem svarar til tilgátuprófsins.

5a Kanna hvort prófstærðin falli á höfnunarsvæði tilgátuprófsins.

5b Kanna p-gildi tilgátuprófsins.

6 Draga ályktun.


Tilgátupróf

Samband öryggisbila og tilgátuprófa

Ef gildið á α er það sama fyrir bæði öryggisbilið og tilgátupró�ð ereftirfarandi jafngilt:

Við höfnum núlltilgátunni um að tiltekin lýsistærð hljóti ákveðið gildi.

Öryggisbilið sem við reiknum fyrir lýsistærðina inniheldur ekki þaðgildi.

Dæmi

Ef við framkvæmum tilgátupróf með 5% villulíkur og reiknum 95%öryggisbil:

Við höfnum núlltilgátunni að lýsistærðin sé jöfn tölunni 1 ef talan 1lendir ekki í öryggisbilinu.

Talan 1 lendir ekki í öryggisbilinu ef við höfnum núlltilgátunni aðlýsistærðin sé jöfn tölunni 1.


ka i 10 anna helga jónsdóttir sigrún helga lund · 2012. 2. 13. · anna helga og sigrún helga...

Documents