МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

«Сибирский государственный университет геосистем и технологий»

Кафедра высшей математики

СБОРНИК ЗАДАЧ

«ИНТЕГРАЛ»

Сборник задач для контроля самостоятельной работы

студентов 1 и 2 курсов СГУГиТ

Сборник задач составили:

доцент кафедры высшей математики Мартынов Геннадий Павлович,

старший преподаватель кафедры высшей математики Комиссарова Наталья Васильевна

Новосибирск, 2018

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГЕОСИСТЕМ И ТЕХНОЛОГИЙ»

(СГУГиТ)

Г.П. Мартынов, Н.В. Комиссарова

СБОРНИК ЗАДАЧ

«ИНТЕГРАЛ»

Сборник задач для контроля самостоятельной работы

студентов 1 и 2 курсов СГУГиТ

Новосибирск

СГУГиТ

2018

УДК 517 (075.8)

М 294

Рецензент: кандидат педагогических наук, доцент, НГТУ А.Н. Буров

Мартынов, Г.П.

М 294 Сборник задач «Интеграл» [Электронный ресурс]: сборник за-

дач/ Г.П. Мартынов, Н.В. Комиссарова. – Новосибирск: СГУГиТ, 2018. – 32 с.

Сборник задач составлен доцентом кафедры высшей математики Сибирского

государственного университета геосистем и технологий Г.П. Мартыновым и

старшим преподавателем кафедры высшей математики Новосибирского государ-

ственного технического университета Н.В. Комиссаровой. Сборник предназначен

для контроля самостоятельной работы по теме «Интегральное исчисление функ-

ции одной и нескольких переменных» студентов 1 и 2 курсов всех специальностей

и направлений обучения в СГУГиТ. Он содержит задания для контроля самостоя-

тельной работы студентов по 30 вариантов и примеры решения типовых задач, а

также библиографический список рекомендуемой литературы.

УДК 517 (075.8)

Мартынов Г.П., Комиссарова Н.В., 2018

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Задания для контроля самостоятельной работы студентов …….………….4

1.1.Основные требования к оформлению работы………………………………..4

1.2. Типовые задачи………………………………………………………………..5

2. Примеры решения типовых задач ……………………………………………21

Библиографический список рекомендуемой литературы………………………….32

4

1. Задания для контроля самостоятельной работы студентов

1.1. Основные требования к оформлению работы

Отчетная работа студента по теме «Интеграл» состоит из 7 задач (по 30

вариантов для каждой задачи). Номер варианта, сроки выполнения задания и

срок защиты типового расчёта устанавливаются для студентов преподавателем,

ведущим в группе практические занятия по математике.

Расчётно-пояснительный текст работы выполняется на отдельных лис-

тах формата А-4 чернилами или пастой любого цвета, кроме красного. При вы-

полнении чертежей должны быть использованы необходимые чертёжные инст-

рументы и принадлежности. Чертежи выполняются так, чтобы основная часть

чертежа находилась в центре листа. После окончания работы все листы бро-

шюруются.

Каждая новая задача типового расчёта должна начинаться с новой стра-

ницы, сами же задачи должны располагаться в порядке следования номеров;

решению задачи должно предшествовать условие, которое формулируется не в

общем виде, как в задании, а уже применительно к варианту, по которому рабо-

тает студент. Решение должно сопровождаться подробными выкладками и не-

обходимыми пояснениями. В конце задачи должен быть чёткий ответ.

При невыполнении требований по оформлению работы преподаватель

вправе отказать студенту в приеме работы на проверку и потребовать правиль-

ного оформления работы!

5

1.2. Типовые задачи

Задача 1. Найти неопределенные интегралы. Результаты в пунктах a и b прове-

рить дифференцированием:

Вариант Неопределенные интегралы

1

a).

dxx

x

2510

4

; b). dxxx )1ln( 22 ; c). x

dx

cos43;

d).

3 2

33 xx

dx; e). dx

xx

xxx

23

23

2

22

2

a). dxex x43 ; b). xdxсоsx 22

; c). x

dx2sin51

;

d).

111 3 xx

dx; e). dx

xx

xxx

34

45 23

3

a).

dxx

x4

3

1; b). dxxx 1ln 2 ; c). dx

x

x6

3

cos

sin;

d).

4 3

4

4

1

xx

dxx; e). dx

xxx

xx

23

3

2

14

4

a). dxx

x

13

2

; b). arctgxdxx5 ; c). xx

dx

cossin23;

d).

3 2

1212 xx

dx; e). dx

xx

xxx

23

1333

24

5

a).

dxx

x

2sin54

2cos; b). xdxx 23 ln ; c).

dx

xx

x

cos1sin

sin1 ;

d). xx

dx3

; e).

dxxxx

xxx

144

12832

23

6

a). dxxe x 45

5 ; b). xdxxarctg 2 ; c). xx

dx22 sin3cos2

;

d).

6 53

6 1

xxx

dxx; e). dx

xxx

xxx

44

89323

34

6

7

a).

dxx

xln1; b). xdxx 22 sin ; c).

5sin3cos4 xx

dx ;

d).

3

2

1

1

x

dxxx; e). dx

xx

xxx

23

23 2

8

a).

dxx

xarcctg2

2

91

3; b). dxex x22 ; c).

xx

dx

cos7sin48;

d).

65

3

221

2

xx

dxx; e).

dx

xx

x

65

62

3

9

a).

dxx

x

162; b). xdxx 24 ln ; c).

xx

dx22 sin2cos3

;

d). 14 3x

dxx; e). dx

xx

xxx

23

23 7122

10

a).

dxx

x

3

3ln; b). xdxñîsx 42 ; c).

xx

dx

cos33sin2;

d). 4 11 xx

dx; e). dx

xxx

xxx

23

23

2

342

11

a).

dxx

x2

4

41

2arcsin; b). dxex x35 ; c). dx

x

x

sin

cos5

;

d).

3 51

5

x

dxx; e). dx

xx

xxxx

24

234

5

2082

12

a). xx

dx2ln1

; b). xdxx 4sin2 ; c). 1sin6cos5 xx

dx;

d).

44 3 xxx

dx; e).

dx

xxx

xxx

22

232

23

13

a). dxe

ex

x

1

; b). xdxx 22 cos ; c). 5cos2cos

sin2 xx

xdx;

d).

3 2

6 11

x

dxxx; e).

dx

xx

x

65

22

3

14 a).

dxx

x8

3

1; b). xdxx 2arccos ; c). xdxx 42 cossin ;

7

d).

21

414 x

dxx; e). dx

xx

xxxx

3

234 2592

15

a).

dxx

x3 ln31; b). xdxxarctg2 ; c).

xx

dx

sin4cos3;

d). 3 4

3

11 x

dxx; e). dx

xxx

xxx

23

23

2

342

16

a). xdxe x 3cos3sin ; b). xdxx 25 4 ln ; c). 3sin2cos6 xx

dx ;

d). 112x

xdx; e). dx

xx

xxx

23

23

2

42

17

a).

dxx

x4161

; b). xdxx 6sin2 ; c). 2cos3 x

dx;

d).

6 531

1

xx

dxx; e). dx

xx

xxx

23

45 23

18

a). dxxx

2ln

5; b).

dxexx

22 ; c). 1sin2cos5 xx

dx;

d). 1133 x

dx; e). dx

xxx

xx

44

89323

3

19

a). dxex

exx

x

33

2

; b). xdxxarctg4 ; c). dxxx

4cos

4sin 22

;

d). xx

dx

23 2; e). dx

xxx

xxx

23

23

2

752

20

a). dxx

e xtg

3cos2

3

; b). dxxx )1(ln1 2 ; c). dxx

x6

3

sin

cos;

d).

2

1

xx

dxx; e). dx

xx

xxx

23

24 2

21

a). 5 ln51 xx

dx; b). xdxx 2ln ; c).

xx

dx22 cos5sin2

;

d). 3 11 x

dx; e). dx

xxx

xxx

23

23

2

353

8

22

a). dxx

x 6

2

1; b). xdxx 2sin2 ; c).

xx

dx

cos1sin;

d).

55 2 xxx

dx; e). dx

xx

xxx

54

12742

23

23

a).

dxx

xarctg2

3

41

2; b). xdxx 4arccos ; c). xdx3cos6 ;

d).

dxxx

x3 2

3

; e). dxxx

xxx

5

2083

23

24

a). dxx

e xctg

2sin 2

2

; b). xdxx 23 ln ; c). x

dx

cos53;

d).

dxx

x

14 3; e). dx

xx

xxxx

3

2823

234

25

a). xx

dx2ln1

; b). xdxxarctg3 ; c). 2cossin2 xx

dx ;

d).

36 5

6

4

1

xx

dxx; e). dx

xx

xxx

23

23 722

26

a).

dxx

x2

2

91

3arccos; b). dxex x52 ; c). dx

x

x4cos

2sin;

d).

dx

xxx

x3

3

; e). dxxx

xxx

54

832

23

27

a).

dxx

x41

; b). dxxx )2(ln2 24; c).

xx

dx22 sin2cos9

;

d).

4 33 23 xxx

dx; e).

dx

xx

x

23

12

3

28

a).

dxx

x

2

2ln 3

; b). dxex x23 ; c).

dxx

x2cos41

2sin;

d). dxx

x

3 11

11; e). dx

xx

xxx

2

232

23

9

29

a).

dxe

ex

x

22

2

1; b). arctgxdxx3 ; c). xdxx 310 cossin ;

d).

dxxx

x3 2

; e). dxxxx

xx

23

3

2

104

30

a).

dxx

x3 5cos32

5sin; b). dxxx )1ln(4 ; c).

xx

dx22 sin2cos7

;

d).

dx

x

x

1

13

; e).

dx

xx

x

2

22

3

Вариант Неопределенные интегралы

Задача 2. Вычислить приближенное значение определенного интеграла с по-

мощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все

вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

Вариант Определенный

интеграл Вариант

Определенный

интеграл

1 2

0

3sin2

dxx 16 dxxx 1

0

235

2 dxx 1

0

34 17 2

0

3sin1,01

dxx

3 2

0

2sin1,05,0

dxx 18 dxxx 1

0

232

4 dxxx 1

0

234 19

0

cos2 dxx

5 dxx 1

0

3 13 20 dxx 1

0

32

6 2

0

3cos2

dxx 21 dxxx 1

0

2321

7 dxxx 1

0

321 22 2

0

2sin2

dxx

10

8 dxx 1

0

321 23 1

0

34 dxxx

9 2

0

sin2

dxx 24 dxx 1

0

3 4

10 dxxx 1

0

33 25 dxx 1

0

35

11 dxx 1

0

3 43 26

0

sin2 dxx

12

0

2cos2 dxx 27 dxx

1

0

3 1

13 dxx 1

0

35 28 2

0

)2sin(2

dxx

14 dxx 1

0

3 2 29 dxxx 1

0

32

15 2

0

2sin1,01

dxx 30 3

0

2 )3(sin2

dxx

Вариант Определенный

интеграл Вариант

Определенный

интеграл

Задача 3. Вычислить:

Вариант Задание

1 площадь области, ограниченной линиями xxy 22 , xy .

2 площадь фигуры, ограниченной линиями: 4 yx , y = x, x = 4.

3 длину дуги ty 3cos3 , tx 3sin3 , при 2

0 t .

4 площадь фигуры, ограниченной линиями xxy 42 , y = x + 4.

11

5 площадь фигуры, ограниченной линией )cos1(5 r .

6 объем тела образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, огра-

ниченной линиями 2xy , xy .

7 площадь фигуры, ограниченной линиями 4 yx ,.y = 0, x = 1,

x = 4.

8 длину дуги 32 xy от точки А (2; 0) до точки В (6;8).

9 площадь фигуры, ограниченной линиями 2xy , 24 xy , 2x .

10 объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, огра-

ниченной линиями xy sin , xy cos , x = 0.

11 площадь области, ограниченной линиями y2 = 2 x – 1, y = x – 2.

12 длину дуги ty 3cos3 , tx 3sin3 , при 2

0 t .

13 площадь фигуры, ограниченной линиями 13 2 xy , 73 xy .

14 объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, огра-

ниченной линиями 213 xy , yx 1 и осью Oy.

15 площадь области, ограниченной линиями 5 yx , y = x + 6.

16 длину дуги cos12 r .

17 площадь области, ограниченной линиями xy 2 , xey , x = 3.

18 объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, огра-

ниченной линиями 2xy , xy .

19 площадь области, ограниченной линиями y2 = 2 x + 7, y = x + 2.

12

20 длину дуги 3xy от точки А (0; 0) до точки В (5; 55 ).

21 площадь фигуры, ограниченной линиями xy 42 , x + 3у = 0.

22 площадь фигуры, ограниченной линией 2sin4r .

23 площадь фигуры, ограниченной линиями 723 2 xxy ,

13 xy .

24 объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, огра-

ниченной линиями 2xy , )1/(2 2xy .

25 площадь фигуры, ограниченной линиями xxy 63 2 , y = x.

26 длину дуги 2sin3r .

27 площадь фигуры, ограниченной линией 3sin2r .

28 длину одной арки циклоиды ttx sin5 , ty cos15 .

29 площадь фигуры, ограниченной линиями: 732 xxy ,

12 xy .

30 длину дуги 3xy от точки А (1; 1) до точки В (3; 33 ).

Вариант Задание

Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями:

Вариант Линии

1 ,0222 yyx 0422 yyx 3xy xy 3

2 0422 xyx 0822 xyx 3xy 0y

13

3 0622 yyx 0822 yyx 3xy xy 3

4 0222 xyx 0822 xyx xy 0y

5 0822 yyx 01022 yyx 3xy xy 3

6 0422 xyx 0822 xyx xy 0y

7 0422 yyx 0622 yyx xy 0x

8 0222 xyx 01022 xyx 0y xy 3

9 0622 yyx 01022 yyx xy 0x

10 0222 xyx 0422 xyx 3xy xy 3

11 0222 xyx 0622 xyx 3xy xy 3

12 0222 yyx 0422 yyx 0x xy 3

13 0622 yyx 0422 yyx 0x xy 3

14 0222 xyx 0822 xyx 3xy xy 3

15 0222 yyx 0622 yyx 0x 3xy

16 0222 xyx 0422 xyx 3xy 0y

17 0222 yyx 01022 yyx xy 3 3xy

18 0222 xyx 0622 xyx 3xy 0y

19 01022 yyx 0y4yx 22 xy 3 3xy

20 0222 xyx 0622 xyx 0y xy

14

21 0222 yyx 0422 yyx 0x xy

22 0222 xyx 0422 xyx 0y xy 3

23 0622 yyx 0822 yyx 0x xy

24 0422 xyx 0822 xyx xy 3 xy

25 0422 yyx 0822 yyx 0x xy

26 0422 xyx 0822 xyx xy 3 3xy

27 0222 xyx 0822 xyx 0x 3xy

28 0622 xyx 0822 xyx 0y xy

29 0222 yyx 0822 yyx 0y 3xy

30 0422 yyx 0622 yyx xy 3 0x

Вариант Линии

Задача 5. Изменить порядок интегрирования:

Вариант Интеграл

1

0

1

01

2

0

2

,,yy

dxyxfdydxyxfdy

2

2

1

0

2

1

0

0

2

,,yy

dxyxfdydxyxfdy

3

2

1

2

0

1

0 0

2

,,yy

dxyxfdydxyxfdy

15

4

2

1

2

0

1

0 0

,,yy

dxyxfdydxyxfdy

5

0

1

01

2

0

2

,,2 xx

dyyxfdxdyyxfdx

6 1

21

arccos

0

21

0

arcsin

0

,,yy

dxyxfdydxyxfdy

7

0

1 0

1

2

2

0

,,yy

dxyxfdydxyxfdy

8

e y

y

dxyxfdydxyxfdy1

ln

1

1

0

0

,,

9

0

1 0

1

2

2

0

22

,,xx

dyyxfdxdyyxfdx

10

0

3

0

24

3

2

0

4 22

,,xx

dyyxfdxdyyxfdx

11

e

xx

dyyxfdxdyyxfdx1

1

ln

1

0

1

1

,,2

12

2

1

2

0

1

0 0

,,

3 yy

dxyxfdydxyxfdy

13 2

4

cos

0

4

0

sin

0

,,

yy

dxyxfdydxyxfdy

14

0

1

01

2

0

2 3

,,xx

dyyxfdxdyyxfdx

15 e

y

y

dxyxfdydxyxfdy1

1

ln

1

0 0

,,

16

2

1

0

2

1

0

0

,,yy

dxyxfdydxyxfdy

17

2

1

0

2

1

0

0

2

,,yy

dxyxfdydxyxfdy

18

2

1

2

0

1

0 0

,,

2 yy

dxyxfdydxyxfdy

16

19

2

3

0

4

3

0

0

24 22

,,xx

dyyxfdxdyyxfdx

20

0

1

01

2

0

2 3

,,yy

dxyxfdydxyxfdy

21 e

y

y

dxyxfdydxyxfdy1

1

ln

1

0 0

,,

22

2

1

2

0

1

0 0

22

,,xx

dyyxfdxdyyxfdx

23 2

4

cos

0

4

0

sin

0

,,

xx

dyyxfdxdyyxfdx

24

0

1

01

2

0

2

,,2 yy

dxyxfdydxyxfdy

25

2

1

2

0

1

0 0

),(),(

2 xx

dyyxfdxdyyxfdx

26

2

3

4

0

3

0

42

0

22

,,xx

dyyxfdxdyyxfdx

27

2

1

0

2

1

0

0

,,xx

dyyxfdxdyyxfdx

28

2

1

2

0

1

0 0

2

,,xx

dyyxfdxdyyxfdx

29

2

1

2

0

1

0 0

2

,,yy

dxyxfdydxyxfdy

30

2

1

2

0

1

0 0

,,xx

dyyxfdxdyyxfdx

Вариант Интеграл

17

Задача 6. Найти объем тела, ограниченного данными поверхностями с помо-

щью двойного интеграла:

Вариант Поверхности

1 1822 yx yx 3 yz11

5 0x 0z

2 2

2

1xz 623 yx 0x 0y 0z

3 6 yx yx 3 xz5

4 0z

4 xy 216 xy 2 2 zx 0z

5 222 yx xy xz 15 0y 0z

6 29 xz 632 yx 0y 0z

7 2 yx xy yz 12 0z

8 822 yx xy 2 xz11

15 0y 0z

9 yx 217 yx 22 2

1 zy 0z

10 4 yx xy 2 yz 3 0z

11 222 yx yx yz 15 0x 0z

12 8 yx xy 4 yz 3 0z

13 5022 yx yx 5 yz11

6 0x 0z

14 6 yx xy 3 yz 4 0z

18

15 1822 yx xy 3 xz11

15 0y 0z

16 yx 37 yx 32 3 zy 0z

17 2 yx yx xz5

12 0z

18 yx 216 yx 2 2 zy 0z

19 822 yx yx 2 yz11

30 0x 0z

20 yx 220 yx 25 2

1 zy 0z

21 4 yx yx 2 xz5

3 0z

22 5022 yx xy 5 xz11

3 0y 0z

23 yx 219 yx 24 2 zy 0z

24 222 yx yx yz 30 0x 0z

25 2 yx yx xz 12 0z

26 1822 yx yx 3 yz11

10 0x 0z

27 xy 217 xy 22 2

1 zx 0z

28 822 yx xy 2 xz11

30 0y 0z

29 6 yx yx 3 xz 4 0z

30 24 xz 623 yx 0x 0y 0z

Вариант Поверхности

19

Задача 7. Найти объем тела, ограниченного данными поверхностями, переходя

в сферические или цилиндрические координаты:

Вариант Поверхности

1 229 yxz 22

2

9yxz

2 22

2

15yxz 22

2

17yxz

3 226 yxz 2262 yxz

4 222 yxz xz 22

5 22916 yxz

222 yxz

6 223 yxz

2210 yxz

7 2263 yxz 226 yxz

8 22 yxz yz 22

9 22

2

21yxz 22

2

23yxz

10 2216 yxz

226 yxz

11 22 yxz )(26 22 yxz

12 222 yxz yz 42

13 221 yxz 22

2

3yxz

14 226 yxz 22

2

3yxz

15 2222 yxz 224 yxz

20

16 22 yxz xz 42

17 22144 yxz

2218 yxz

18 22

2

3yxz 22

2

5yxz

19 222 yxz )(

2

3 22 yxz

20 22 yxz )(23 22 yxz

21 2236 yxz

229 yxz

22 229 yxz

2222 yxz

23 22

9

4yxz

22 yxz

24 2212 yxz

2228 yxz

25 2264 yxz

2212 yxz

26 22

2

9yxz 22

2

11yxz

27 224 yxz

223 yxz

28 222 yxz

228 yxz

29 229 yxz

228 yxz

30 223 yxz

224 yxz

Вариант Поверхности

21

2. Примеры решения типовых задач

Пример 2.1. Найти интеграл dxx

x 3

ln. Результат проверить дифференцирова-

нием.

Решение

Применим метод интегрирования по частям и воспользуемся формулой

интегрирования по частям. Так как в данном примере подынтегральная функ-

ция II класса, положим

xU ln , 3x

dxdV .

Первое из этих равенств, продифференцируем, а второе – проинтегриру-

ем. Находим

x

dxdxxdU

ln и 23 2

1

xx

dxdVV ,

а постоянную С здесь брать не обязательно.

Получаем:

x

dx

xx

x

xV

x

dxdV

x

dxdUxU

dUVVUdVU

dxx

x22

23

3 2

1ln

2

1

2

1;

;lnln

22232 4

ln21

4

1

2

ln

22

ln

x

xCC

xx

x

x

dx

x

x .

Сделаем проверку, дифференцируя полученный результат по x:

22

22

2

)ln21(ln21

4

1

4

ln21

x

xxxx

x

xC

344

2 lnln422

4

12)ln21(2

4

1

x

x

x

xxxx

x

xxxx

.

22

Получилась подынтегральная функция, т.е. интеграл найден правильно.

Ответ: 23 4

ln21ln

x

xCdx

x

x .

Пример 2.2. Вычислить приближенное значение определенного интеграла

1

0

3 234 dxx с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на

10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного

знака.

Решение

По формуле Симпсона при n = 10, a = 0, b = 1 имеем:

975318642100

1

0

4230

1)( yyyyyyyyyyydxxf ,

где 3 234)(iii

xxfy , ixi

1,0 , i = 0, 1, 2, …, 10.

Вычисляем

587,14)0( 3

0 fy , 134)1( 3

10 fy

583,1)1,0(34)1,0( 3 2

1 fy , 571,1)2,0(34)2,0( 3 2

2 fy ,

551,1)3,0(34)3,0( 3 2

3 fy , 522,1)4,0(34)4,0( 3 2

4 fy ,

481,1)5,0(34)5,0( 3 2

5 fy , 429,1)6,0(34)6,0( 3 2

6 fy ,

363,1)7,0(34)7,0( 3 2

7 fy , 276,1)8,0(34)8,0( 3 2

8 fy ,

162,1)9,0(34)9,0( 3 2

9 fy .

140,7нечетн 798,5четн

Тогда 425,1743,4230

1140,74798,521587,1

30

134

1

0

3 2 dxx .

23

Ответ: 425,1341

0

3 2 dxx .

Пример 2.3. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями

xy

xy

2

4 2

.

Решение

Для нахождения площади использу-

ем формулу нахождения площади в декар-

товых координатах. Построим фигуру

(рис. 2.1) на плоскости Oxy:

24 xy – парабола симметричная отно-

сительно оси Oy ветви вниз,

xy 2 – прямая.

Находим точки пересечения функций

xx 24 2 ,

022 2 xxx , 012 2 xx , 01 2 xx ,

11 x , 22 x ;

Фигура (рис. 2.1) ограниченна сверху 24 xyв , снизу xyн 2 , слева и спра-

ва прямыми: 1нх и 2вх , поэтому

2

1

232

1

2

2

1-

2

232224

xxxdxxxdxxxdxyyS

в

н

x

x

нв

2 5,42

138

2

1

3

122

3

84 ед

.

Ответ: 2 5,4 едS .

Пример 2.4. Вычислить площадь области внутри астроиды

tx

ty3

3

sin3

cos3.

Рис.2.1

24

Решение

Уравнение кривой (рис. 2.2) задано в параметрическом виде; она симмет-

рична относительно осей Oх и Oу. Поэтому

3

0

144 ydxSS .

Полагая:

tx 3sin3 , tdttdx cossin9 2

и находя новые пределы интег-

рирования:

;2

,1sin,sin33,3

;0,0sin,sin30,0

3

3

tttx

tttx

имеем:

2

0

2

0

3

0

2423

1sincos108cossin9cos3444

tdttdttttydxSS

2

0

2

0 2

2cos1

4

2sin108coscossin108

2

22

dttt

tdttt

)2(sin2

1 2cos 2cos2sin

2

272sin

2

27 2

0

2

0

22 tddtttdtttdt

2

0

2

0

2

0 3

2sin

4

274sin

44

27

4

27)2(sin

2

1 2sin

2

27

2

4cos1

2

27 3

2

ttttdtdt

t

233 8

270sin

12

270sin

16

27sin

12

272sin

16

27

24

27ед

.

Ответ: 2

8

27едS .

Пример 2.5. Найти длину дуги кривой xx

y ln2

1

4

2

, при 21 х .

Решение

Рис. 2.2

25

Дуга задана в декартовой системе координат в явном виде

xx

y ln2

1

4

2

, пределы интегрирования заданы 21 х . Используем формулу

длины кривой в декартовых координатах, составим интеграл:

2

1

2

1

222

1

2

2 1

4

11

2

1

21)'(1 dx

x

xdx

x

xdxyL

2

1

22

1

242

1

242 1

2

112

2

1124

2

1dx

x

xdx

x

xxdx

x

xxx

2ln2

1

4

3

2

12ln2

2

1ln

22

12

1

2

x

x.

Ответ: едL 2ln2

1

4

3 .

Пример 2.6. Найти длину дуги одной арки циклоиды

tay

ttax

cos1

sin.

Решение

Кривая (рис. 2.3) задана в

параметрическом виде. Использу-

ем формулу:

22

tytx

22

sincos1 tata

ttta 222 sincoscos21

2

sin4cos12 222 tata .

Когда x пробегает интервал [0, 2πa], параметр t пробегает отрезок [0, 2π].

at

adtt

adtt

adttytxL 82

cos42

sin22

sin4

2

0

2

0

2

0

22

2

0

22

.

Ответ: едaL 8 .

Рис. 2.3

26

Пример 2.7. Найти объем тела, получен-

ного вращением вокруг оси Oх фигуры,

которая ограничена параболами: 23 ху ,

12 ху .

Решение

Построим фигуру (рис. 2.4) на плос-

кости Оxy, она ограничена параболами:

23 ху , 12 ху . Найдем точки пересе-

чения кривых:

22 13 222 ххх 1 12 хх . Тогда 21

VVV ,

где

1

1

22

13 dxxV ,

1

1

22

21 dxxV . Здесь использована формула нахож-

дения объема тела вращения.

имеем

симметриисилу в 3

1

1

22

1 dxxV 1

0

42

1

0

22 69232 dxxxdxx

5

1292

5292

1

0

5

3 x

xx5

72

5

362

;

1

0

351

0

24

1

0

22

1

1

22

23

2

52122121 x

xxdxxxdxxdxxV

15

56

15

282

15

1510321

3

2

5

12

;

3 3

32

15

160

15

56216

15

56

5

72едV

.

Ответ: 3

3

32едV

.

Пример 2.8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: xyx 22 ,

xyx 222 , 0y , xy 3 .

Решение

Рис. 2.4

27

Построим фигуру (рис. 2.5), огра-

ниченную данными линиями:

xyx 22 , 022 yхx ,

4

1

2

1 2

2

ух – окружность с центром

в точке

0;

2

1, радиусом

2

1;

xyx 222 , 02 22 yхx ,

11 22 ух – окружность с центром в

точке 0;1 , радиусом 1;

0y – ось Oх; xy 3 – прямая.

Найдем уравнения границ, подставив в уравнения окружностей и уравне-

ния прямых формулы перехода в полярную систему координат:

.

sin

cos

rI

ry

rx

xyx 22 cossincos 2222 rrr cos2 rr cosr ;

xyx 222 cos2sincos 2222 rrr cos22 rr cos2r ;

0y 0sin r 0sin 0 ;

xy 3 cos3sin rr 3

.

D :

cos2cos

30

r

.

Тогда по формуле площади в полярных координатах имеем:

Рис. 2.5

28

3

0

2

3

0

22

3

0

cos2

cos

2cos2

cos

3

0

cos2

3 coscos4

2

1

2

dddr

drrdSD

0

2

10

3

2sin

2

1

34

32sin

2

1

4

32cos1

2

1

2

3 3

0

3

0

d

16

33

42

3

4

3

2

1

4

кв. ед.

Ответ: 16

33

4

S кв. ед.

Пример 2.9. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:

0

4

4

2

0

24

2

0

,,2 хх

dуyxfdхdyyxfdx .

Решение

Строим область интегрирования D (рис. 2.6); она состоит из двух областей

1D и

2D :

024

20

21

yx

xD

и

04

422

yх

xD .

Первоначальное направление про-

хождения области D вдоль оси Оy.

Область 1

D ограничена окружностью

24 2 ху и прямыми: ,0у

,0х 2х .

22 4224 хуху 42422222 ухху – окруж-

ность с центром в точке О (0; –2) и радиусом 2.

Область 2D ограничена прямыми: 4 ху , ,0у 2х , 4x .

Рис. 2.6

29

Теперь входим в область D вдоль оси Оx; находим ун и ув значения на гра-

нице области D : это будут ,0у 2у . Тогда левой границей области будет

окружность 24 2 ху , выразив из этого уравнения х, получим

уух 42 , правая граница ,4 ху дает 4 ух , тогда область

D :

44

02

2 ухуу

у;

и в итоге получаем:

4

4

0

2

0

4

4

2

0

24

2

0 22

,,,

y

yyхх

dxyxfdydуyxfdхdyyxfdx .

Ответ:

4

4

0

2

0

4

4

2

0

24

2

0 22

,,,

y

yyхх

dxyxfdydуyxfdхdyyxfdx .

Пример 2.10. Найти объем тела, ограниченного поверхностями yx 2 ,

yx 2 , 4 zy , 0z с помощью двойного интеграла.

Решение

Тело ограничено параболическими цилиндрами yx 2 , yx 2 и плос-

костями: yz 4 , 0z .

Рис. 2.7

Рис. 2.8

30

Построим тело (рис. 2.7) и его проекцию (рис. 2.8) на плоскость Oху.

Зададим неравенствами область D:

yxy

y

22

40.

dyxydxydyVy

y

y

y

2

2

4

0

2

2

4

0

)4()4( dyyyy 22)4(4

0

4

0

2

5

2

34

0

2

3

2

1

5

2

3

822)4(22 yydyyy

2

5

2

3

45

24

3

822

2210

128

5

64

3

6422

куб.ед.

Ответ: 2210

128V куб.ед.

Пример 2.11. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

228 yxz и 222 yxz , переходя в сферические или цилиндрические ко-

ординаты.

Решение

Имеем: 228 yxz – верхняя часть сферы радиуса 8R с центром

в начале координат, 222 yxz – конус с осью симметрии Oz и вершиной в на-

чале координат.

Рис. 2.9

Рис. 2.10

31

Построим тело (рис. 2.9) и его проекцию (рис. 2.10) на плоскость Oху.

Найдём линию пересечения поверхностей:

222

228

yxz

yxz

222

222 8

yxz

yxz 82 2 z 2z ( т. к. 0z )

422 yx – проекция тела на плоскость Oxy.

Поэтому согласно свойствам тройного интеграла:

U

dVV ,

где область U ограничена сверху 228 yxz , снизу 22 yxz .

Область U проектируется на плоскость Oxy в область D – круг радиуса 2.

Поэтому перейдем в тройном интеграле к цилиндрическим координатам, ис-

пользуя формулы:

228 yxz 28 rz ,

22 yxz rz .

Пределы изменения φ, r : 20 , 20 r , так как D – полный круг ра-

диуса 2 с центром в начале координат.

Зададим неравенствами область U:

28

20

20

rzr

r

.

Тогда

2

0

22

2

0

2

0

82

0

2

0

82

0

82

2

drrrrddrzrdrdzdrddVVr

r

r

rU

.

Рассмотрим отдельно интеграл

3222 83

188

2

18 rrdrdrrr ,

тогда

2

0

3

332

0

2

0

332

3

28

3

14

3

1

38

3

1dd

rrV

32

123

3212

3

16

3

168

3

8 2

0

2

0

d куб.ед.

Ответ: 123

32

V куб.ед.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мартынов, Г.П. Учебно-методический комплекс дисциплины «Мате-

матика» для экологов и картографов [Электронный ресурс]: учебно-

методический комплекс / Г.П. Мартынов. – М.: ИНФОРМРЕГИСТР, 2014. –

1,61 МБ. Режим доступа: http//www.lib/ssga.ru/

2. Мартынов, Г.П. Рабочая программа дисциплины «Математика» [Элек-

тронный ресурс]: методический документ / Г.П. Мартынов. –Москва,

«ИНФОРМИО», 2016 – 18 с. // Свидетельство о публикации в СМИ

«ИНФОРМИО» от 04.07.2016, серия А № 001511/2016 / www.informio.ru.

3. Мартынов, Г.П. «Фонд оценочных средств дисциплины «Математика»

[Электронный ресурс]: методическая разработка / Г.П. Мартынов. – Москва,

«ИНФОРМИО», 2016 – 14 с. // Свидетельство о публикации в СМИ

«ИНФОРМИО» от 15.11.2016, серия А № 002150/2016 / www.informio.ru.

4. Мартынов, Г.П. Организация самостоятельной работы студентов на-

правления подготовки «Картография и геоинформатика» при изучении дисцип-

лины «Математика» [Электронный ресурс]: методическая разработка / Г.П.

Мартынов. – Москва, «ИНФОРМИО», 2016 – 7 с. // Свидетельство о публика-

ции в СМИ «ИНФОРМИО» от 26.07.2016, серия А № 001637/2016 /

www.informio.ru.

5. Мартынов, Г.П. Математика для картографов и экологов–II [Текст]:

учебное пособие / Г.П. Мартынов. – Новосибирск: СГУГиТ, 2017. – 155 с.

6. Вербная, В.П. Математика для дистанционного обучения: учебное по-

собие, издание 2-ое, стереотипное (Рекомендовано СибРУМЦ) / В.П. Вербная,

Г.П. Мартынов, Е.С. Плюснина. – Новосибирск: СГУГиТ, 2016. – 278 с.

7. Вербная, В.П. Математика для дистанционного изучения [Электрон-

ный ресурс]: учебное пособие для вузов (Рекомендовано СибРУМЦ) / В.П.

Вербная, Г.П. Мартынов, Е.С. Плюснина. – М.: ИНФОРМРЕГИСТР, 2013. –

230 с. Режим доступа: http//www.lib/ssga.ru/