![Page 1: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/1.jpg)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«Сибирский государственный университет геосистем и технологий»
Кафедра высшей математики
СБОРНИК ЗАДАЧ
«ИНТЕГРАЛ»
Сборник задач для контроля самостоятельной работы
студентов 1 и 2 курсов СГУГиТ
Сборник задач составили:
доцент кафедры высшей математики Мартынов Геннадий Павлович,
старший преподаватель кафедры высшей математики Комиссарова Наталья Васильевна
Новосибирск, 2018
![Page 2: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/2.jpg)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ГЕОСИСТЕМ И ТЕХНОЛОГИЙ»
(СГУГиТ)
Г.П. Мартынов, Н.В. Комиссарова
СБОРНИК ЗАДАЧ
«ИНТЕГРАЛ»
Сборник задач для контроля самостоятельной работы
студентов 1 и 2 курсов СГУГиТ
Новосибирск
СГУГиТ
2018
![Page 3: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/3.jpg)
УДК 517 (075.8)
М 294
Рецензент: кандидат педагогических наук, доцент, НГТУ А.Н. Буров
Мартынов, Г.П.
М 294 Сборник задач «Интеграл» [Электронный ресурс]: сборник за-
дач/ Г.П. Мартынов, Н.В. Комиссарова. – Новосибирск: СГУГиТ, 2018. – 32 с.
Сборник задач составлен доцентом кафедры высшей математики Сибирского
государственного университета геосистем и технологий Г.П. Мартыновым и
старшим преподавателем кафедры высшей математики Новосибирского государ-
ственного технического университета Н.В. Комиссаровой. Сборник предназначен
для контроля самостоятельной работы по теме «Интегральное исчисление функ-
ции одной и нескольких переменных» студентов 1 и 2 курсов всех специальностей
и направлений обучения в СГУГиТ. Он содержит задания для контроля самостоя-
тельной работы студентов по 30 вариантов и примеры решения типовых задач, а
также библиографический список рекомендуемой литературы.
УДК 517 (075.8)
Мартынов Г.П., Комиссарова Н.В., 2018
![Page 4: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/4.jpg)
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Задания для контроля самостоятельной работы студентов …….………….4
1.1.Основные требования к оформлению работы………………………………..4
1.2. Типовые задачи………………………………………………………………..5
2. Примеры решения типовых задач ……………………………………………21
Библиографический список рекомендуемой литературы………………………….32
![Page 5: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/5.jpg)
4
1. Задания для контроля самостоятельной работы студентов
1.1. Основные требования к оформлению работы
Отчетная работа студента по теме «Интеграл» состоит из 7 задач (по 30
вариантов для каждой задачи). Номер варианта, сроки выполнения задания и
срок защиты типового расчёта устанавливаются для студентов преподавателем,
ведущим в группе практические занятия по математике.
Расчётно-пояснительный текст работы выполняется на отдельных лис-
тах формата А-4 чернилами или пастой любого цвета, кроме красного. При вы-
полнении чертежей должны быть использованы необходимые чертёжные инст-
рументы и принадлежности. Чертежи выполняются так, чтобы основная часть
чертежа находилась в центре листа. После окончания работы все листы бро-
шюруются.
Каждая новая задача типового расчёта должна начинаться с новой стра-
ницы, сами же задачи должны располагаться в порядке следования номеров;
решению задачи должно предшествовать условие, которое формулируется не в
общем виде, как в задании, а уже применительно к варианту, по которому рабо-
тает студент. Решение должно сопровождаться подробными выкладками и не-
обходимыми пояснениями. В конце задачи должен быть чёткий ответ.
При невыполнении требований по оформлению работы преподаватель
вправе отказать студенту в приеме работы на проверку и потребовать правиль-
ного оформления работы!
![Page 6: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/6.jpg)
5
1.2. Типовые задачи
Задача 1. Найти неопределенные интегралы. Результаты в пунктах a и b прове-
рить дифференцированием:
Вариант Неопределенные интегралы
1
a).
dxx
x
2510
4
; b). dxxx )1ln( 22 ; c). x
dx
cos43;
d).
3 2
33 xx
dx; e). dx
xx
xxx
23
23
2
22
2
a). dxex x43 ; b). xdxсоsx 22
; c). x
dx2sin51
;
d).
111 3 xx
dx; e). dx
xx
xxx
34
45 23
3
a).
dxx
x4
3
1; b). dxxx 1ln 2 ; c). dx
x
x6
3
cos
sin;
d).
4 3
4
4
1
xx
dxx; e). dx
xxx
xx
23
3
2
14
4
a). dxx
x
13
2
; b). arctgxdxx5 ; c). xx
dx
cossin23;
d).
3 2
1212 xx
dx; e). dx
xx
xxx
23
1333
24
5
a).
dxx
x
2sin54
2cos; b). xdxx 23 ln ; c).
dx
xx
x
cos1sin
sin1 ;
d). xx
dx3
; e).
dxxxx
xxx
144
12832
23
6
a). dxxe x 45
5 ; b). xdxxarctg 2 ; c). xx
dx22 sin3cos2
;
d).
6 53
6 1
xxx
dxx; e). dx
xxx
xxx
44
89323
34
![Page 7: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/7.jpg)
6
7
a).
dxx
xln1; b). xdxx 22 sin ; c).
5sin3cos4 xx
dx ;
d).
3
2
1
1
x
dxxx; e). dx
xx
xxx
23
23 2
8
a).
dxx
xarcctg2
2
91
3; b). dxex x22 ; c).
xx
dx
cos7sin48;
d).
65
3
221
2
xx
dxx; e).
dx
xx
x
65
62
3
9
a).
dxx
x
162; b). xdxx 24 ln ; c).
xx
dx22 sin2cos3
;
d). 14 3x
dxx; e). dx
xx
xxx
23
23 7122
10
a).
dxx
x
3
3ln; b). xdxñîsx 42 ; c).
xx
dx
cos33sin2;
d). 4 11 xx
dx; e). dx
xxx
xxx
23
23
2
342
11
a).
dxx
x2
4
41
2arcsin; b). dxex x35 ; c). dx
x
x
sin
cos5
;
d).
3 51
5
x
dxx; e). dx
xx
xxxx
24
234
5
2082
12
a). xx
dx2ln1
; b). xdxx 4sin2 ; c). 1sin6cos5 xx
dx;
d).
44 3 xxx
dx; e).
dx
xxx
xxx
22
232
23
13
a). dxe
ex
x
1
; b). xdxx 22 cos ; c). 5cos2cos
sin2 xx
xdx;
d).
3 2
6 11
x
dxxx; e).
dx
xx
x
65
22
3
14 a).
dxx
x8
3
1; b). xdxx 2arccos ; c). xdxx 42 cossin ;
![Page 8: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/8.jpg)
7
d).
21
414 x
dxx; e). dx
xx
xxxx
3
234 2592
15
a).
dxx
x3 ln31; b). xdxxarctg2 ; c).
xx
dx
sin4cos3;
d). 3 4
3
11 x
dxx; e). dx
xxx
xxx
23
23
2
342
16
a). xdxe x 3cos3sin ; b). xdxx 25 4 ln ; c). 3sin2cos6 xx
dx ;
d). 112x
xdx; e). dx
xx
xxx
23
23
2
42
17
a).
dxx
x4161
; b). xdxx 6sin2 ; c). 2cos3 x
dx;
d).
6 531
1
xx
dxx; e). dx
xx
xxx
23
45 23
18
a). dxxx
2ln
5; b).
dxexx
22 ; c). 1sin2cos5 xx
dx;
d). 1133 x
dx; e). dx
xxx
xx
44
89323
3
19
a). dxex
exx
x
33
2
; b). xdxxarctg4 ; c). dxxx
4cos
4sin 22
;
d). xx
dx
23 2; e). dx
xxx
xxx
23
23
2
752
20
a). dxx
e xtg
3cos2
3
; b). dxxx )1(ln1 2 ; c). dxx
x6
3
sin
cos;
d).
2
1
xx
dxx; e). dx
xx
xxx
23
24 2
21
a). 5 ln51 xx
dx; b). xdxx 2ln ; c).
xx
dx22 cos5sin2
;
d). 3 11 x
dx; e). dx
xxx
xxx
23
23
2
353
![Page 9: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/9.jpg)
8
22
a). dxx
x 6
2
1; b). xdxx 2sin2 ; c).
xx
dx
cos1sin;
d).
55 2 xxx
dx; e). dx
xx
xxx
54
12742
23
23
a).
dxx
xarctg2
3
41
2; b). xdxx 4arccos ; c). xdx3cos6 ;
d).
dxxx
x3 2
3
; e). dxxx
xxx
5
2083
23
24
a). dxx
e xctg
2sin 2
2
; b). xdxx 23 ln ; c). x
dx
cos53;
d).
dxx
x
14 3; e). dx
xx
xxxx
3
2823
234
25
a). xx
dx2ln1
; b). xdxxarctg3 ; c). 2cossin2 xx
dx ;
d).
36 5
6
4
1
xx
dxx; e). dx
xx
xxx
23
23 722
26
a).
dxx
x2
2
91
3arccos; b). dxex x52 ; c). dx
x
x4cos
2sin;
d).
dx
xxx
x3
3
; e). dxxx
xxx
54
832
23
27
a).
dxx
x41
; b). dxxx )2(ln2 24; c).
xx
dx22 sin2cos9
;
d).
4 33 23 xxx
dx; e).
dx
xx
x
23
12
3
28
a).
dxx
x
2
2ln 3
; b). dxex x23 ; c).
dxx
x2cos41
2sin;
d). dxx
x
3 11
11; e). dx
xx
xxx
2
232
23
![Page 10: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/10.jpg)
9
29
a).
dxe
ex
x
22
2
1; b). arctgxdxx3 ; c). xdxx 310 cossin ;
d).
dxxx
x3 2
; e). dxxxx
xx
23
3
2
104
30
a).
dxx
x3 5cos32
5sin; b). dxxx )1ln(4 ; c).
xx
dx22 sin2cos7
;
d).
dx
x
x
1
13
; e).
dx
xx
x
2
22
3
Вариант Неопределенные интегралы
Задача 2. Вычислить приближенное значение определенного интеграла с по-
мощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все
вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
Вариант Определенный
интеграл Вариант
Определенный
интеграл
1 2
0
3sin2
dxx 16 dxxx 1
0
235
2 dxx 1
0
34 17 2
0
3sin1,01
dxx
3 2
0
2sin1,05,0
dxx 18 dxxx 1
0
232
4 dxxx 1
0
234 19
0
cos2 dxx
5 dxx 1
0
3 13 20 dxx 1
0
32
6 2
0
3cos2
dxx 21 dxxx 1
0
2321
7 dxxx 1
0
321 22 2
0
2sin2
dxx
![Page 11: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/11.jpg)
10
8 dxx 1
0
321 23 1
0
34 dxxx
9 2
0
sin2
dxx 24 dxx 1
0
3 4
10 dxxx 1
0
33 25 dxx 1
0
35
11 dxx 1
0
3 43 26
0
sin2 dxx
12
0
2cos2 dxx 27 dxx
1
0
3 1
13 dxx 1
0
35 28 2
0
)2sin(2
dxx
14 dxx 1
0
3 2 29 dxxx 1
0
32
15 2
0
2sin1,01
dxx 30 3
0
2 )3(sin2
dxx
Вариант Определенный
интеграл Вариант
Определенный
интеграл
Задача 3. Вычислить:
Вариант Задание
1 площадь области, ограниченной линиями xxy 22 , xy .
2 площадь фигуры, ограниченной линиями: 4 yx , y = x, x = 4.
3 длину дуги ty 3cos3 , tx 3sin3 , при 2
0 t .
4 площадь фигуры, ограниченной линиями xxy 42 , y = x + 4.
![Page 12: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/12.jpg)
11
5 площадь фигуры, ограниченной линией )cos1(5 r .
6 объем тела образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, огра-
ниченной линиями 2xy , xy .
7 площадь фигуры, ограниченной линиями 4 yx ,.y = 0, x = 1,
x = 4.
8 длину дуги 32 xy от точки А (2; 0) до точки В (6;8).
9 площадь фигуры, ограниченной линиями 2xy , 24 xy , 2x .
10 объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, огра-
ниченной линиями xy sin , xy cos , x = 0.
11 площадь области, ограниченной линиями y2 = 2 x – 1, y = x – 2.
12 длину дуги ty 3cos3 , tx 3sin3 , при 2
0 t .
13 площадь фигуры, ограниченной линиями 13 2 xy , 73 xy .
14 объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, огра-
ниченной линиями 213 xy , yx 1 и осью Oy.
15 площадь области, ограниченной линиями 5 yx , y = x + 6.
16 длину дуги cos12 r .
17 площадь области, ограниченной линиями xy 2 , xey , x = 3.
18 объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, огра-
ниченной линиями 2xy , xy .
19 площадь области, ограниченной линиями y2 = 2 x + 7, y = x + 2.
![Page 13: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/13.jpg)
12
20 длину дуги 3xy от точки А (0; 0) до точки В (5; 55 ).
21 площадь фигуры, ограниченной линиями xy 42 , x + 3у = 0.
22 площадь фигуры, ограниченной линией 2sin4r .
23 площадь фигуры, ограниченной линиями 723 2 xxy ,
13 xy .
24 объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, огра-
ниченной линиями 2xy , )1/(2 2xy .
25 площадь фигуры, ограниченной линиями xxy 63 2 , y = x.
26 длину дуги 2sin3r .
27 площадь фигуры, ограниченной линией 3sin2r .
28 длину одной арки циклоиды ttx sin5 , ty cos15 .
29 площадь фигуры, ограниченной линиями: 732 xxy ,
12 xy .
30 длину дуги 3xy от точки А (1; 1) до точки В (3; 33 ).
Вариант Задание
Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями:
Вариант Линии
1 ,0222 yyx 0422 yyx 3xy xy 3
2 0422 xyx 0822 xyx 3xy 0y
![Page 14: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/14.jpg)
13
3 0622 yyx 0822 yyx 3xy xy 3
4 0222 xyx 0822 xyx xy 0y
5 0822 yyx 01022 yyx 3xy xy 3
6 0422 xyx 0822 xyx xy 0y
7 0422 yyx 0622 yyx xy 0x
8 0222 xyx 01022 xyx 0y xy 3
9 0622 yyx 01022 yyx xy 0x
10 0222 xyx 0422 xyx 3xy xy 3
11 0222 xyx 0622 xyx 3xy xy 3
12 0222 yyx 0422 yyx 0x xy 3
13 0622 yyx 0422 yyx 0x xy 3
14 0222 xyx 0822 xyx 3xy xy 3
15 0222 yyx 0622 yyx 0x 3xy
16 0222 xyx 0422 xyx 3xy 0y
17 0222 yyx 01022 yyx xy 3 3xy
18 0222 xyx 0622 xyx 3xy 0y
19 01022 yyx 0y4yx 22 xy 3 3xy
20 0222 xyx 0622 xyx 0y xy
![Page 15: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/15.jpg)
14
21 0222 yyx 0422 yyx 0x xy
22 0222 xyx 0422 xyx 0y xy 3
23 0622 yyx 0822 yyx 0x xy
24 0422 xyx 0822 xyx xy 3 xy
25 0422 yyx 0822 yyx 0x xy
26 0422 xyx 0822 xyx xy 3 3xy
27 0222 xyx 0822 xyx 0x 3xy
28 0622 xyx 0822 xyx 0y xy
29 0222 yyx 0822 yyx 0y 3xy
30 0422 yyx 0622 yyx xy 3 0x
Вариант Линии
Задача 5. Изменить порядок интегрирования:
Вариант Интеграл
1
0
1
01
2
0
2
,,yy
dxyxfdydxyxfdy
2
2
1
0
2
1
0
0
2
,,yy
dxyxfdydxyxfdy
3
2
1
2
0
1
0 0
2
,,yy
dxyxfdydxyxfdy
![Page 16: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/16.jpg)
15
4
2
1
2
0
1
0 0
,,yy
dxyxfdydxyxfdy
5
0
1
01
2
0
2
,,2 xx
dyyxfdxdyyxfdx
6 1
21
arccos
0
21
0
arcsin
0
,,yy
dxyxfdydxyxfdy
7
0
1 0
1
2
2
0
,,yy
dxyxfdydxyxfdy
8
e y
y
dxyxfdydxyxfdy1
ln
1
1
0
0
,,
9
0
1 0
1
2
2
0
22
,,xx
dyyxfdxdyyxfdx
10
0
3
0
24
3
2
0
4 22
,,xx
dyyxfdxdyyxfdx
11
e
xx
dyyxfdxdyyxfdx1
1
ln
1
0
1
1
,,2
12
2
1
2
0
1
0 0
,,
3 yy
dxyxfdydxyxfdy
13 2
4
cos
0
4
0
sin
0
,,
yy
dxyxfdydxyxfdy
14
0
1
01
2
0
2 3
,,xx
dyyxfdxdyyxfdx
15 e
y
y
dxyxfdydxyxfdy1
1
ln
1
0 0
,,
16
2
1
0
2
1
0
0
,,yy
dxyxfdydxyxfdy
17
2
1
0
2
1
0
0
2
,,yy
dxyxfdydxyxfdy
18
2
1
2
0
1
0 0
,,
2 yy
dxyxfdydxyxfdy
![Page 17: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/17.jpg)
16
19
2
3
0
4
3
0
0
24 22
,,xx
dyyxfdxdyyxfdx
20
0
1
01
2
0
2 3
,,yy
dxyxfdydxyxfdy
21 e
y
y
dxyxfdydxyxfdy1
1
ln
1
0 0
,,
22
2
1
2
0
1
0 0
22
,,xx
dyyxfdxdyyxfdx
23 2
4
cos
0
4
0
sin
0
,,
xx
dyyxfdxdyyxfdx
24
0
1
01
2
0
2
,,2 yy
dxyxfdydxyxfdy
25
2
1
2
0
1
0 0
),(),(
2 xx
dyyxfdxdyyxfdx
26
2
3
4
0
3
0
42
0
22
,,xx
dyyxfdxdyyxfdx
27
2
1
0
2
1
0
0
,,xx
dyyxfdxdyyxfdx
28
2
1
2
0
1
0 0
2
,,xx
dyyxfdxdyyxfdx
29
2
1
2
0
1
0 0
2
,,yy
dxyxfdydxyxfdy
30
2
1
2
0
1
0 0
,,xx
dyyxfdxdyyxfdx
Вариант Интеграл
![Page 18: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/18.jpg)
17
Задача 6. Найти объем тела, ограниченного данными поверхностями с помо-
щью двойного интеграла:
Вариант Поверхности
1 1822 yx yx 3 yz11
5 0x 0z
2 2
2
1xz 623 yx 0x 0y 0z
3 6 yx yx 3 xz5
4 0z
4 xy 216 xy 2 2 zx 0z
5 222 yx xy xz 15 0y 0z
6 29 xz 632 yx 0y 0z
7 2 yx xy yz 12 0z
8 822 yx xy 2 xz11
15 0y 0z
9 yx 217 yx 22 2
1 zy 0z
10 4 yx xy 2 yz 3 0z
11 222 yx yx yz 15 0x 0z
12 8 yx xy 4 yz 3 0z
13 5022 yx yx 5 yz11
6 0x 0z
14 6 yx xy 3 yz 4 0z
![Page 19: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/19.jpg)
18
15 1822 yx xy 3 xz11
15 0y 0z
16 yx 37 yx 32 3 zy 0z
17 2 yx yx xz5
12 0z
18 yx 216 yx 2 2 zy 0z
19 822 yx yx 2 yz11
30 0x 0z
20 yx 220 yx 25 2
1 zy 0z
21 4 yx yx 2 xz5
3 0z
22 5022 yx xy 5 xz11
3 0y 0z
23 yx 219 yx 24 2 zy 0z
24 222 yx yx yz 30 0x 0z
25 2 yx yx xz 12 0z
26 1822 yx yx 3 yz11
10 0x 0z
27 xy 217 xy 22 2
1 zx 0z
28 822 yx xy 2 xz11
30 0y 0z
29 6 yx yx 3 xz 4 0z
30 24 xz 623 yx 0x 0y 0z
Вариант Поверхности
![Page 20: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/20.jpg)
19
Задача 7. Найти объем тела, ограниченного данными поверхностями, переходя
в сферические или цилиндрические координаты:
Вариант Поверхности
1 229 yxz 22
2
9yxz
2 22
2
15yxz 22
2
17yxz
3 226 yxz 2262 yxz
4 222 yxz xz 22
5 22916 yxz
222 yxz
6 223 yxz
2210 yxz
7 2263 yxz 226 yxz
8 22 yxz yz 22
9 22
2
21yxz 22
2
23yxz
10 2216 yxz
226 yxz
11 22 yxz )(26 22 yxz
12 222 yxz yz 42
13 221 yxz 22
2
3yxz
14 226 yxz 22
2
3yxz
15 2222 yxz 224 yxz
![Page 21: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/21.jpg)
20
16 22 yxz xz 42
17 22144 yxz
2218 yxz
18 22
2
3yxz 22
2
5yxz
19 222 yxz )(
2
3 22 yxz
20 22 yxz )(23 22 yxz
21 2236 yxz
229 yxz
22 229 yxz
2222 yxz
23 22
9
4yxz
22 yxz
24 2212 yxz
2228 yxz
25 2264 yxz
2212 yxz
26 22
2
9yxz 22
2
11yxz
27 224 yxz
223 yxz
28 222 yxz
228 yxz
29 229 yxz
228 yxz
30 223 yxz
224 yxz
Вариант Поверхности
![Page 22: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/22.jpg)
21
2. Примеры решения типовых задач
Пример 2.1. Найти интеграл dxx
x 3
ln. Результат проверить дифференцирова-
нием.
Решение
Применим метод интегрирования по частям и воспользуемся формулой
интегрирования по частям. Так как в данном примере подынтегральная функ-
ция II класса, положим
xU ln , 3x
dxdV .
Первое из этих равенств, продифференцируем, а второе – проинтегриру-
ем. Находим
x
dxdxxdU
ln и 23 2
1
xx
dxdVV ,
а постоянную С здесь брать не обязательно.
Получаем:
x
dx
xx
x
xV
x
dxdV
x
dxdUxU
dUVVUdVU
dxx
x22
23
3 2
1ln
2
1
2
1;
;lnln
22232 4
ln21
4
1
2
ln
22
ln
x
xCC
xx
x
x
dx
x
x .
Сделаем проверку, дифференцируя полученный результат по x:
22
22
2
)ln21(ln21
4
1
4
ln21
x
xxxx
x
xC
344
2 lnln422
4
12)ln21(2
4
1
x
x
x
xxxx
x
xxxx
.
![Page 23: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/23.jpg)
22
Получилась подынтегральная функция, т.е. интеграл найден правильно.
Ответ: 23 4
ln21ln
x
xCdx
x
x .
Пример 2.2. Вычислить приближенное значение определенного интеграла
1
0
3 234 dxx с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на
10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного
знака.
Решение
По формуле Симпсона при n = 10, a = 0, b = 1 имеем:
975318642100
1
0
4230
1)( yyyyyyyyyyydxxf ,
где 3 234)(iii
xxfy , ixi
1,0 , i = 0, 1, 2, …, 10.
Вычисляем
587,14)0( 3
0 fy , 134)1( 3
10 fy
583,1)1,0(34)1,0( 3 2
1 fy , 571,1)2,0(34)2,0( 3 2
2 fy ,
551,1)3,0(34)3,0( 3 2
3 fy , 522,1)4,0(34)4,0( 3 2
4 fy ,
481,1)5,0(34)5,0( 3 2
5 fy , 429,1)6,0(34)6,0( 3 2
6 fy ,
363,1)7,0(34)7,0( 3 2
7 fy , 276,1)8,0(34)8,0( 3 2
8 fy ,
162,1)9,0(34)9,0( 3 2
9 fy .
140,7нечетн 798,5четн
Тогда 425,1743,4230
1140,74798,521587,1
30
134
1
0
3 2 dxx .
![Page 24: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/24.jpg)
23
Ответ: 425,1341
0
3 2 dxx .
Пример 2.3. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями
xy
xy
2
4 2
.
Решение
Для нахождения площади использу-
ем формулу нахождения площади в декар-
товых координатах. Построим фигуру
(рис. 2.1) на плоскости Oxy:
24 xy – парабола симметричная отно-
сительно оси Oy ветви вниз,
xy 2 – прямая.
Находим точки пересечения функций
xx 24 2 ,
022 2 xxx , 012 2 xx , 01 2 xx ,
11 x , 22 x ;
Фигура (рис. 2.1) ограниченна сверху 24 xyв , снизу xyн 2 , слева и спра-
ва прямыми: 1нх и 2вх , поэтому
2
1
232
1
2
2
1-
2
232224
xxxdxxxdxxxdxyyS
в
н
x
x
нв
2 5,42
138
2
1
3
122
3
84 ед
.
Ответ: 2 5,4 едS .
Пример 2.4. Вычислить площадь области внутри астроиды
tx
ty3
3
sin3
cos3.
Рис.2.1
![Page 25: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/25.jpg)
24
Решение
Уравнение кривой (рис. 2.2) задано в параметрическом виде; она симмет-
рична относительно осей Oх и Oу. Поэтому
3
0
144 ydxSS .
Полагая:
tx 3sin3 , tdttdx cossin9 2
и находя новые пределы интег-
рирования:
;2
,1sin,sin33,3
;0,0sin,sin30,0
3
3
tttx
tttx
имеем:
2
0
2
0
3
0
2423
1sincos108cossin9cos3444
tdttdttttydxSS
2
0
2
0 2
2cos1
4
2sin108coscossin108
2
22
dttt
tdttt
)2(sin2
1 2cos 2cos2sin
2
272sin
2
27 2
0
2
0
22 tddtttdtttdt
2
0
2
0
2
0 3
2sin
4
274sin
44
27
4
27)2(sin
2
1 2sin
2
27
2
4cos1
2
27 3
2
ttttdtdt
t
233 8
270sin
12
270sin
16
27sin
12
272sin
16
27
24
27ед
.
Ответ: 2
8
27едS .
Пример 2.5. Найти длину дуги кривой xx
y ln2
1
4
2
, при 21 х .
Решение
Рис. 2.2
![Page 26: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/26.jpg)
25
Дуга задана в декартовой системе координат в явном виде
xx
y ln2
1
4
2
, пределы интегрирования заданы 21 х . Используем формулу
длины кривой в декартовых координатах, составим интеграл:
2
1
2
1
222
1
2
2 1
4
11
2
1
21)'(1 dx
x
xdx
x
xdxyL
2
1
22
1
242
1
242 1
2
112
2
1124
2
1dx
x
xdx
x
xxdx
x
xxx
2ln2
1
4
3
2
12ln2
2
1ln
22
12
1
2
x
x.
Ответ: едL 2ln2
1
4
3 .
Пример 2.6. Найти длину дуги одной арки циклоиды
tay
ttax
cos1
sin.
Решение
Кривая (рис. 2.3) задана в
параметрическом виде. Использу-
ем формулу:
22
tytx
22
sincos1 tata
ttta 222 sincoscos21
2
sin4cos12 222 tata .
Когда x пробегает интервал [0, 2πa], параметр t пробегает отрезок [0, 2π].
at
adtt
adtt
adttytxL 82
cos42
sin22
sin4
2
0
2
0
2
0
22
2
0
22
.
Ответ: едaL 8 .
Рис. 2.3
![Page 27: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/27.jpg)
26
Пример 2.7. Найти объем тела, получен-
ного вращением вокруг оси Oх фигуры,
которая ограничена параболами: 23 ху ,
12 ху .
Решение
Построим фигуру (рис. 2.4) на плос-
кости Оxy, она ограничена параболами:
23 ху , 12 ху . Найдем точки пересе-
чения кривых:
22 13 222 ххх 1 12 хх . Тогда 21
VVV ,
где
1
1
22
13 dxxV ,
1
1
22
21 dxxV . Здесь использована формула нахож-
дения объема тела вращения.
имеем
симметриисилу в 3
1
1
22
1 dxxV 1
0
42
1
0
22 69232 dxxxdxx
5
1292
5292
1
0
5
3 x
xx5
72
5
362
;
1
0
351
0
24
1
0
22
1
1
22
23
2
52122121 x
xxdxxxdxxdxxV
15
56
15
282
15
1510321
3
2
5
12
;
3 3
32
15
160
15
56216
15
56
5
72едV
.
Ответ: 3
3
32едV
.
Пример 2.8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: xyx 22 ,
xyx 222 , 0y , xy 3 .
Решение
Рис. 2.4
![Page 28: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/28.jpg)
27
Построим фигуру (рис. 2.5), огра-
ниченную данными линиями:
xyx 22 , 022 yхx ,
4
1
2
1 2
2
ух – окружность с центром
в точке
0;
2
1, радиусом
2
1;
xyx 222 , 02 22 yхx ,
11 22 ух – окружность с центром в
точке 0;1 , радиусом 1;
0y – ось Oх; xy 3 – прямая.
Найдем уравнения границ, подставив в уравнения окружностей и уравне-
ния прямых формулы перехода в полярную систему координат:
.
sin
cos
rI
ry
rx
xyx 22 cossincos 2222 rrr cos2 rr cosr ;
xyx 222 cos2sincos 2222 rrr cos22 rr cos2r ;
0y 0sin r 0sin 0 ;
xy 3 cos3sin rr 3
.
D :
cos2cos
30
r
.
Тогда по формуле площади в полярных координатах имеем:
Рис. 2.5
![Page 29: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/29.jpg)
28
3
0
2
3
0
22
3
0
cos2
cos
2cos2
cos
3
0
cos2
3 coscos4
2
1
2
dddr
drrdSD
0
2
10
3
2sin
2
1
34
32sin
2
1
4
32cos1
2
1
2
3 3
0
3
0
d
16
33
42
3
4
3
2
1
4
кв. ед.
Ответ: 16
33
4
S кв. ед.
Пример 2.9. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
0
4
4
2
0
24
2
0
,,2 хх
dуyxfdхdyyxfdx .
Решение
Строим область интегрирования D (рис. 2.6); она состоит из двух областей
1D и
2D :
024
20
21
yx
xD
и
04
422
yх
xD .
Первоначальное направление про-
хождения области D вдоль оси Оy.
Область 1
D ограничена окружностью
24 2 ху и прямыми: ,0у
,0х 2х .
22 4224 хуху 42422222 ухху – окруж-
ность с центром в точке О (0; –2) и радиусом 2.
Область 2D ограничена прямыми: 4 ху , ,0у 2х , 4x .
Рис. 2.6
![Page 30: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/30.jpg)
29
Теперь входим в область D вдоль оси Оx; находим ун и ув значения на гра-
нице области D : это будут ,0у 2у . Тогда левой границей области будет
окружность 24 2 ху , выразив из этого уравнения х, получим
уух 42 , правая граница ,4 ху дает 4 ух , тогда область
D :
44
02
2 ухуу
у;
и в итоге получаем:
4
4
0
2
0
4
4
2
0
24
2
0 22
,,,
y
yyхх
dxyxfdydуyxfdхdyyxfdx .
Ответ:
4
4
0
2
0
4
4
2
0
24
2
0 22
,,,
y
yyхх
dxyxfdydуyxfdхdyyxfdx .
Пример 2.10. Найти объем тела, ограниченного поверхностями yx 2 ,
yx 2 , 4 zy , 0z с помощью двойного интеграла.
Решение
Тело ограничено параболическими цилиндрами yx 2 , yx 2 и плос-
костями: yz 4 , 0z .
Рис. 2.7
Рис. 2.8
![Page 31: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/31.jpg)
30
Построим тело (рис. 2.7) и его проекцию (рис. 2.8) на плоскость Oху.
Зададим неравенствами область D:
yxy
y
22
40.
dyxydxydyVy
y
y
y
2
2
4
0
2
2
4
0
)4()4( dyyyy 22)4(4
0
4
0
2
5
2
34
0
2
3
2
1
5
2
3
822)4(22 yydyyy
2
5
2
3
45
24
3
822
2210
128
5
64
3
6422
куб.ед.
Ответ: 2210
128V куб.ед.
Пример 2.11. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
228 yxz и 222 yxz , переходя в сферические или цилиндрические ко-
ординаты.
Решение
Имеем: 228 yxz – верхняя часть сферы радиуса 8R с центром
в начале координат, 222 yxz – конус с осью симметрии Oz и вершиной в на-
чале координат.
Рис. 2.9
Рис. 2.10
![Page 32: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/32.jpg)
31
Построим тело (рис. 2.9) и его проекцию (рис. 2.10) на плоскость Oху.
Найдём линию пересечения поверхностей:
222
228
yxz
yxz
222
222 8
yxz
yxz 82 2 z 2z ( т. к. 0z )
422 yx – проекция тела на плоскость Oxy.
Поэтому согласно свойствам тройного интеграла:
U
dVV ,
где область U ограничена сверху 228 yxz , снизу 22 yxz .
Область U проектируется на плоскость Oxy в область D – круг радиуса 2.
Поэтому перейдем в тройном интеграле к цилиндрическим координатам, ис-
пользуя формулы:
228 yxz 28 rz ,
22 yxz rz .
Пределы изменения φ, r : 20 , 20 r , так как D – полный круг ра-
диуса 2 с центром в начале координат.
Зададим неравенствами область U:
28
20
20
rzr
r
.
Тогда
2
0
22
2
0
2
0
82
0
2
0
82
0
82
2
drrrrddrzrdrdzdrddVVr
r
r
rU
.
Рассмотрим отдельно интеграл
3222 83
188
2
18 rrdrdrrr ,
тогда
2
0
3
332
0
2
0
332
3
28
3
14
3
1
38
3
1dd
rrV
![Page 33: K ; H J G : > : Q « B G L ? = J : E»...Новосибирск СГУГиТ 2018 УДК 517 (075.8) М 294 Рецензент: кандидат педагогических наук,](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042622/5f863b77f8052152c52aa2ca/html5/thumbnails/33.jpg)
32
123
3212
3
16
3
168
3
8 2
0
2
0
d куб.ед.
Ответ: 123
32
V куб.ед.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мартынов, Г.П. Учебно-методический комплекс дисциплины «Мате-
матика» для экологов и картографов [Электронный ресурс]: учебно-
методический комплекс / Г.П. Мартынов. – М.: ИНФОРМРЕГИСТР, 2014. –
1,61 МБ. Режим доступа: http//www.lib/ssga.ru/
2. Мартынов, Г.П. Рабочая программа дисциплины «Математика» [Элек-
тронный ресурс]: методический документ / Г.П. Мартынов. –Москва,
«ИНФОРМИО», 2016 – 18 с. // Свидетельство о публикации в СМИ
«ИНФОРМИО» от 04.07.2016, серия А № 001511/2016 / www.informio.ru.
3. Мартынов, Г.П. «Фонд оценочных средств дисциплины «Математика»
[Электронный ресурс]: методическая разработка / Г.П. Мартынов. – Москва,
«ИНФОРМИО», 2016 – 14 с. // Свидетельство о публикации в СМИ
«ИНФОРМИО» от 15.11.2016, серия А № 002150/2016 / www.informio.ru.
4. Мартынов, Г.П. Организация самостоятельной работы студентов на-
правления подготовки «Картография и геоинформатика» при изучении дисцип-
лины «Математика» [Электронный ресурс]: методическая разработка / Г.П.
Мартынов. – Москва, «ИНФОРМИО», 2016 – 7 с. // Свидетельство о публика-
ции в СМИ «ИНФОРМИО» от 26.07.2016, серия А № 001637/2016 /
www.informio.ru.
5. Мартынов, Г.П. Математика для картографов и экологов–II [Текст]:
учебное пособие / Г.П. Мартынов. – Новосибирск: СГУГиТ, 2017. – 155 с.
6. Вербная, В.П. Математика для дистанционного обучения: учебное по-
собие, издание 2-ое, стереотипное (Рекомендовано СибРУМЦ) / В.П. Вербная,
Г.П. Мартынов, Е.С. Плюснина. – Новосибирск: СГУГиТ, 2016. – 278 с.
7. Вербная, В.П. Математика для дистанционного изучения [Электрон-
ный ресурс]: учебное пособие для вузов (Рекомендовано СибРУМЦ) / В.П.
Вербная, Г.П. Мартынов, Е.С. Плюснина. – М.: ИНФОРМРЕГИСТР, 2013. –
230 с. Режим доступа: http//www.lib/ssga.ru/