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La Geometría Descriptiva es esencialmente una asignatura de primer curso, es

~ decir, una asignatura de base, formativa, pero no específfcamente tecnológica.

De acuerdo, pero ¿es posible asociarla un componente tecnológico y convertirla

así en una asignatura aplicada?

Luis Sánche:z:-Cuenca.

Dr Arquitecto. CEU Escola Politécnica Superior

Universitat de Girona

JUSTIFICACl0N

La Geometría Descriptiva es esencialmente una asignatura de primer curso, es decir, una asig­natura de base, formativa, pero no específicamente tecnológica. De acuerdo, pero ¿es posible asociarla un componente tecnológico y convertirla así en una asignatura aplicada?

Lo que presento en este artículo es un intento por dar una respuesta positiva a esta pregunta en el sentido de acercar la Geometría Descriptiva a algu­nos problemas reales con el fin de encontrar aplica­ciones directas a lo que en ella estudiamos. El inten­to en sí mismo no es ninguna novedad. En otras Escuelas se han hecho sobre el tema aportaciones de interés. Por mi proximidad conozco bien, por ejemplo, las experiencias d.e la ETS de Arquitectura de Barcelona. La diferencia estaría en que en Barcelona se han centrado más bien en temas de 11 representación 11 y en Gerona nos hemos dirigido a aspectos más 11constructivos 11

•

Todo ello tiene relación naturalmente con lo que estudiamos en esta asignatura. Y ¿qué es lo que estudiamos en ella?. Pues básicamente dos cosas a la vez ínter-relacionadas: geometría y representa­ción. De hecho la Geometría Descriptiva es geo­metría de la 11 descripción", es decir, de la 11 represen-

taciónU, y efectivamente la representación es su apli­cación más directa e inmediata. Pero, no es la única. Si hacemos una lectura inversa la Geometría Descriptiva se convierte en 11descripción de la geo­metría11 o, lo que es lo mismo, 11descripción de geo­metríasu. Esta es, pues, otra aplicación de nuestra asignatura 1 y en ella vamos a fijar nuestra atención: la Geometría Descriptiva como 11descripción de geometrías11

, en este caso de geometrías que pue­dan tener aplicaciones en el campo de la edificación.

A continuación presento algunos ejemplos de cuáles pueden ser estas geometrías y cuáles pueden ser sus campos de aplicación.

Antes, sin embargo, una pequeña reflexión: la geometría prácticamente ha desaparecido en las carreras técnicas. En Arquitectura Técnica el estu­diante se va a encontrar escasamente con ella en sólo dos asignaturas, la Topografía y la Geometría Descriptiva. Por tanto parece importante aprovechar al máximo las oportunidades que tengamos para recuperarla. Porque la Geometría ha estado siempre presente en el proceso constructivo. Desde el inicio de la Arquitectura la geometría ha tenido en ella un papel relevante 1 ya sea en las soluciones constructi" vas, o bien como elemento simbólico con el fin de proporcionar trascendencia a las formas y al diseño.

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Desde las primeras arquitecturas mesopotámicas y egipcias, pero también en las arquitecturas más recientes. Baste recordar a Le Corbusier con sus trazados reguladores y su Modular, o a Foster, Piano, Rogers, Rice, Calatrava y demás represen­tantes de la 11 high tech 11

•

Volviendo a lo que decíamos, a la Geometría Descriptiva como 11descripción de geometrías 11

, ¿cuá­les son las geometrías que pueden interesarnos? Nos limitaremos a citar algunas:

Poliedros

- Geometrías para tramas estructurales

- Tensegrity

- Geometrías extensibles

En estos cuatro campos hemos estado trabajan" do en la asignatura desde hace algunos años. Hemos desarrollado un cierto número de pequeñas experiencias con la participación activa de los alum­nos, que han contado con su interés y que pensamos que pueden seguir siendo fuente de curiosidad y estímulo para ellos.

: la geometría prácticamente · : ha desaparecido en las : carreras técnicas. En : quitectura Técnica, el : estudiante se va a • • encontrar escasamente con : ella en sólo dos asignaturas, : la Top afia y la : Geometría escriptiva. : Por tanto, parece : importante aprovechar al : máximo las oportunidades • • que tengamos para : recuperarla. • •

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Maestros trabajando.

Rodericus Zamorensis.

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Geometría en la naturaleza

y en el arte 1 Radiolaria

2 Dibujos de Leonardo de Vinci

3 Figuras de W. Jammitzer.

1568

le CorbU1sier

1 Trazados reguladores. Villa en

Garches (Francia). " 1927

2 El Modular. Aplicación de la

sección aurea. 1947

3

!Félix Candela. Capilla abierta. Lomas de Cuernavaca, Palmira (Morelos), México, 1958

2

Buckminster Fuller

Buckminster Fuller

Budcminster Fuller

Félix Candela. Capilla abierta. Lomas de Cuernavaca, Palmira (Morelos), México, 1958

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2 a: u: z o ü

Izquierda. Foster.

Torre de comunicaciones. Barcelona. 1992

Derecha • s.

Calatrava. Pont T rinity.

Salford (UK). 1995

Izquierda. • Foster.

Aeropueh:o de Stansted (UK). 1991 ,

Derecha Von Gerl<an. Aeropuerto de .,

Stuttgart (Alemania). 1991 •

Izquierda. R. Piano.

Aeropuerto de Kansai Uapón). 1994

Derecha S. Calatrava.

Estación del TGV. Lyon (Francia). 1995

Se ha dicho que cuando Euclides escribió sus Elementos no lo hizo como un compendio sobre geometría, sino como una simple introducción a los cinco poliedros regulares. Comienza con la construc­ción de un triángulo equilátero y acaba con la cons­trucción del icosaedro.

Eso quiere decir simplemente que los poliedros eran para Euclides como la quintaesencia de la geo­metría. En lo que a nosotros se refiere los poliedros son (lo han sido siempre} la materia prima de nues­tra asignatura. Y no es por casualidad, sino que la estricta y elemental geometría de los poliedros es la mejor piedra de toque para poner a prueba !as herra­mientas que utilizan los sistemas de representación.

Al mismo tiempo los poliedros, que son estructu­ras cerradas, estrictas, ideales, pueden producir geometrías abiertas, flexibles y muy prolíficas. Desde siempre los poliedros han sido utilizados a través de muy diferentes medios como fuente para las tramas espaciales más diversas. Desde métodos tan sencillos como el truncamiento de vértices o como el biselamiento de aristas, hasta métodos mucho más sofisticados. Buckminster Fuller1 por ejemplo, utilizó la subdivisión de las caras de un ico­saedro y su proyección sobre una superficie esférica para crear la espectacular geometría de sus cúpulas geodésicas. Personalmente, he utilizado con algu­nos resultados el método del giro de las aristas, un procedimiento que conduce primero a la geometría nflexible11 y después a la geometría ºextensible". De ello trataremos con más detalle más adelante.

2 3 4 5

6 7

P. Huybers. Los 20 poliedros regulares (platónicos) y semirregulares (arquimedianos)

Geometría flexible. Obtención de los "viredros" de los 5 poliedros regulares

Geometría flexible. El giro de las aristas en los S poltedros

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~ a: u:: z o o

H. Nooshing. Modificación de

tramas mediante ordenador

TRAMAS ESTRUCTURALES

Las estructuras espaciales necesitan siempre plantearse a partir de una cierta geometría. Métodos geométricos diferentes conducen a tramas estructu-

• rales también diferentes. Aquí describiré algunos de estos métodos al tiempo que se exponen sus resul­tados.

Tramas modulares. Generalmente a partir de triángulos, rectángulos, cuadrados, rombos, si son de una sola capa. O a partir de tetraedros (tramas de malla triangular) o semioctaedros (tramas de malla cuadrangular) si son de doble capa.

Estas tramas son útiles sobre todo para superfi­cies planas o para superficies de simple curvatura.

Tramas de traslación. Se obtienen trasladando una línea poligonal a lo largo de otra línea poligonal igual o diferente a la primera. El método tiene como ventaja su gran facilidad de obtención. Además

estas tramas tienen una ventaja añadida porque, como luego veremos, pueden ser fácilmente extensi­bles.

Tramas geodésicas. Su iniciador fué Fuller. Utilizó un sistema de proyección. Proyectaba las caras subdivididas de un icosaedro regular sobre su esfera circunscrita. El resultado fué sus conocidas cúpulas geodésicas. El procedimiento es fácilmente generalizable creándose un amplísimo campo de posibilidades: si se trata de proyectar una cierta 11 malla 11 desde un cierto 11centro 11 sobre una determi­nada 11superficie1\ rápidamente deduciremos que modificando la malla a proyectar, variando el centro de proyección, o cambiando la superficie sobre la que se hace la proyecciónl tendremos para cada uno de los casos tramas bien diferentes.

Todas estas tramas, desarrolladas en una sola o en varias capas, son fácilmente tratadas con ordena­dor.

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P.Huybers. Tramas triangulares y cuadrangulares y sus proyecciones sobre la esfera.

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Tramas Geodésicas. Geometría completa

de una cúpula : geodésica de •

proyección, compuesta y de

doble capa, sobre base rectangular

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Cúpula de projección.

Figueras, 1993

Cúpula de traslación. EPS Girona. 1993

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Diferentes realizaciones con los

los alumnos de Geometría

Descriptiva de Arquitectura Técnica.

EPS Girona.

1989 1994 •

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• 11

Estructuras de barras realizadas con

• participación de los • alumnos. 1991 - 1995

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2 a: ü:: z o o

Tensegrity. 1Viredro del icosaedro regular.

Figura en tensegrity construida

alumnos Geometría

Descriptiva y financiada por el Patronato de la

Escala Po!itecnica Superior. Girona

1996.

Es un concepto que introdujo Buckminster Fuller en la década de i 950. Se puede definir corno un sistema estructural autotensado en el que los ele-

. mentes a compresión son un conjunto discontínuo (las barras a compresión no se tocan), mientras que los elementos a tracción son un conjunto continuo (!os tensores se enlazan entre sí al tiempo que enla­zan los extremos de las barras comprímidas).

Una característica esencial de una estructura en tensegrity es que en ella los elementos a compresión y los elementos a tracción mantienen esta condición cualquiera que sea el estado de cargas a que esté sometido el conjunto. Lo que permite que en una estructura de este tipo se puedan diferenciar con toda nitidez los elementos a compresión (barras) de los elementos a tracción (tensores). Estos últimos pueden entonces resolverse mediante cables con el consiguiente ahorro de peso propio.

Obtención del 11viredro11 del icosaedro regular, figura que puede construirse en tensegrity.

No hace falta insistir en que una estructura en tensegrity requiere una geometría especialmente rigurosa.

GEOMETRIAS EXTENSIBLES

La geometría variable tiene relación con los pro­cesos en los que se producen cambios de forma o cambios de tamaño. La geometría extensible es un caso particular de la geometría variable y tiene direc­ta relación con los cambios de tamaño, aunque en ocasiones ello puede suponer a la vez cambios de forma.

En las estructuras extensibles se pasa de una situación inicial comprimida a una situación final extendida (o viceversa). Tanto en estas situaciones inicial y final como en cualquiera de las situaciones intermedias se pueden producir condiciones de forma diferentes. Una condición indispensable es que haya una geometría coherente durante todo el proceso.

GEO"OESICRS EXTENS.IBLES f~:~:::~m ~=~:¡¡Ida !eaee radtn nu ... 3.7:li baso CUB!CA Nli=. l 1na"" 11

LONGIT\,JDES d & 8A~RRS 7 pnrclnlos y to~~les

Estructura extensible de barras en "X". EUP Girona. 1986

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~ II ü:: z o ü

Emilio Pérez Piñero

Cubierta con módulos extensibles.

Madrid. 1963

El método más habitual para conseguir estructu­ras extensibles es el de las barras en 11 X11

• Este es precisamente el método que utilizó el arquitecto español Emilio Perez Piñerol que fué el iniciador mundíal de este tipo dª estructuras.

En este método cada par de barras giran entre sí alrededor de un punto intermedio. Las barras en 11 X11 pueden ser rectas (se extienden hacia el exterior) o angulosas (se extienden hacia el interior). Las pri­meras son las que utilizó Perez Piñero. Las segun­das las comenzó a utilizar el norteamericano Chuck Hoberman. De manera que se puede hablar del 11 modelo de Perez Piñero" o del 11modelo de

Cúpula del Museo Dalí. Figueras. 1972

Hoberman11 como de dos modelos característicos.

En relación con el modelo de Perez Piñero en Gerona hemos desarrollado un procedimiento gráfico a base de elipses contigüas tangentes que permite conseguir una geometría coherente que garantice el proceso extensible. Esta geometría conduce a la conclusión que son precisamente las superficies de traslación, tal como habíamos comentado antes, las más fácilmente extensibles. A partir de ahí hemos desarrollado un catálogo de formas elementales coherentes enre sí que pueden ser extensibles y que pueden acoplarse para producir superficies extensi­bles más complejas.

2

3

Geometría variable. Santiago Calatrava.

1 Plaza de España. Alcoy. 1995

2 Restaurant Bauschanzli. Zurich (Suiza). 1988

3 Fábrica Ernsting. Coesfeld (Alemania). 1985

<C 2 ce u:: z o o

Geometría extensible

Cúpula extensible • con barras en 11

)(11

realizada con los alumnos de Geometría

Descriptiva. EPS Girona. 1993

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1 2

1 •>-?i:S 1

2~

3~

4~ 5~

Geometría extensible

Modulas extensibles y su acoplamiento para obtener formas compuestas

~ ¿ a: ü: z o ü

Geometría extensible

Cúpula extensible sobre base circular

realizada con una ayuda de la UdG.

1996

•

.

: . • • : .

~ : El método más habitual para : conseguir estructuras

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: : extensibles es el de las : barras en ")(". Este es • : precisamente el método : que utilizó el arquitecto : español Emilio Perez Piñero, •

: e : . : . : .

que fué el iniciador mundial de este tipo de estructuras.

Sobre geometría·.· err general:

RWilliams.The gáometricalfoundation ot·nature structure.

Dovef Publications. NewYork.1979

H. M. Gundy. Mathernatical models;

Tarquin•.Publications. Norfolk.1981

Matila C. Qhyka. EL número de ord.

Poseidón.•Barcelóna. · 19a4

Sobre· .. estru.cturas·••y.·tramas estr.ucturales:·· ... ·.

John McHale. R; Buckminster Fuller.

GeorgéBraziller.·NewYork .• 1~62

Z. · s: MakoWski. Constructions spatiales.

Centred'ihfórmatiohde racier.BrúxeHes.· 1gs4

Hugh Kenher. GeodesjcrMafü.HoW to use iL

University Of Ca]ífornia PréSS •. los Angeles. USA. 1976

P.Huybers, .. H; .. Nooshíng···•y otros. seyond.· the c~be ..• The architecture ºf space frary,es and po!ihe­dra. Ed. J. F. Gabriel. NewYork.1997.

Sobre Tensegrity:

Anthony. Pugh .. An íntroduotioflto.tehsegrity.

Üniversity ofCaliforhia Press.Los Angeles. USA. 1976.

H. Hanaor, R .••. Mptroy otros.Deployab.le space stmctures .. Nº especial delilntemational ... ~oumal of space Structures; VoLB, · nºJ ·. y 2. JASS. t993

Sobre ··.geometría extensible:

Estrüctura.s desplegables de Emilio Pérez Piñero.

Pabellón de Murcia. Expo 92. 1992

Felíx Escrig y otros. Arquitectura transformable.

ETS Arquitectura de Sevilla.. 1993

S. Pel!egrino y otros. Deployable space structu­res. Nº especial · del lnternatkmal Jounial of Space Structures. · Vol. 8, nº 1 • y 2. IASS .. 1993.

Sobre · el conjunto de los tenias expuestos se pueden además consultar artículos publicados por L. Sánchez-Cuenca en las revistas:

La. Punxa. CoLlegi d'aparelladors de Girona. Nº 10. 1990. Nº 13,. 1991

Informes de la.Construcclón .. Madrid. Vol.45, nº 430.1994

Scientia Gerundensis. Giroria; Vol. 21. 1995 y Vol. 22. 1996.

RE Revista de Edificación. Pamplona. N2 23. 1996.