s-

"

f

NACRTNA GEOMETRIJA ZA II RAZRED TEHNICKIH SKOLA

)r ~Vj

dr JURAJ JUSTINlJANOVIC

Sesto !Zdanje

SKOLSKA KNJIGA

ZAGREB 1975

~------------;

L

.......

Urednik

ZLATKO ~PORER

Strucni re<:enzent

VLADIMIR .JIRASEK

Korke opremio

2IVKO HARAMIJA

Odobrio Savjet za prosvjetu SRH rjesenjem hr. 1786 cd 22. V 1958.

Tisak: Rijocka dskara. fUjeka

I !

I !

L 2. 3.

,. 5. 6. 7.

<J

SADRZAJI

1. PROBODISTA RAVNOG LIKA I GEOMETRIJSKOG TIJELA S PRA VCEM

1. Prohodiste ravnog lika s pntvcem

ProbodiSte ravnog lika s pravcem karl je lik u n~l;"ocitom polcZaju . Probodi.<ite ravoog Jjka~ s pn,vcem kad je Jik u 'opcem polozaju ~~. . ...

2. Probodista prizme s pravcem

Pl'obodiSta uspravne prizmc s pravcem Presjek !..IspnH'ne prizme s twkutom ProbodiSta kose prizme s pra\'cem Vjezbe

3. Proboclista piramide s pravct;m

4

7

7 9 9

11

8, Odrecli\,<lnje probodista piramide s pn,VCCm pomocu p'\.e r,H'n'ine promelulic8 11

9, Odredivanje probodista pil'amide s pra\'cem pomocu drug,: r:n'ninc prometalice

10. Odredkanje prchodista piramide S pl'<lvcem pomocu zene pravCem i yrhom piramide

II, Vjeibe

4. ProbodiSta valjka s pravcem

12. ProbodiSta rotacionog Valjka !' pi"aVCem 13. Presjek valjka s trokutorn

. 14. Zadatak 15. Vjezbe

5: Probodista stosca 5 pravcem

16. ProbodiSta rotacionog stosca s horizonl1'!lnim prn\'cem 17. ProbodiSta rotacionog stosca s vertikalnim pravce.m 18. Probodista rotacionog stoSta s pravcem 19. Vjeibe

polo-

~

12

13 14

1:; 16

17

17

18 In 19 19

1 Cianci kOJe prcma nastavnom prograrnu {reba obraditi s a IT) 0 U a r h i t t! k ton!' k 0 mod j e I u tehnickih skala OZnaceni su s Ar" a on.i clan.::i koie treba nbraditi sarno u graaevinskom OdJelu oZnaceni 'jU s Cr.

III

IV

,6, Pl'obodista kugle s pravcem

2il. Probodista kugle s hurizontalnim pravcem 21. ProbodiSta kugle s vertikaillim pravcem 22.. ProbodiSta kugle s pravcem 23. Vjezbe

II. KONSTRUKCIJE SJENA

7. Sjene ravnih likova na ravninama projekcija

20 21 22 23

24. Uvod, vrste rasYjete, samosjena i bacena sje"na, dijagonalna rasYjeta. 24 25. Sjena tocke 26

26. Sjena duiine j sjena krivulje 27. Sjena ravnog tika 28. Osvijetljena' i oSjenjena strana ravnog lika 29. Sjena ravnog lika pei centralnoj rasvjeti 30-: Vjezbe

8. Sjena tocke i sjena duzine na ravnom liku i nu geometrijskorn tijelu

31. SJena tocke na ravnom llku 32. Sjena tocke na kvadratu koji je U osobitom poloiaju 33. Sjena tocke na geollletrijskom tijelu 34. Sjena dutine; na duiini 35. Sjena duiil.1~ 'po trokutu 36. Sjena vertikalne duiine po spomeniku 37. Sjena duiine okomite na II2, po podnozju stupa 38, Vjeibe '

9. Sjene geomet:rijskih tijela

39. Sjen~ pravilne sester-ostrane piramide 40. $jene rotacionog stosca 41. Sjene kvadra kojemu je osnovka u II,

42. Sjene kvadra kojemu je osnovka u rr~

43. Sjene rotacionog valjka kojemu je osnovka u lI! 14. Sjene valjkaste ploce

45. Sjene rotacionog valjka kojemu S4 osnovke okomite na osi X'

46. Sjene kugle ako je zraka svjetlosti usporedna s II2 . 47. Sjene kugle' kod dijagonalne rasvjete 48. Konstrukcija rastavnice kugle 49. Vj'2'zbe

10. Sjene na ravninama prometalicama

50. Sjena trokuta na prvoj ravnini prometalici 51. Sjena paralelograma nB drugoj ravnini prometalicl 52. Sjena trokuta 'ria trecoj ravnini prometalici 53. Sjena piramide na trecoj ravnlni prometallci 51. Vjei;be

2. 33 37 3. 40

41 42 42 43 44 44 44 45

46 ·47

49 50 51 53 54 54 56 57

58

59 60 61 62 64

I i

M· M. M·

11. Sjene u udubinama i u supljim tijelima 55. Sjene otvorene prizmaticne udubine 56. Sjene otvore:ne valjkaste udUbine 57. Sjene zatvorene pdzmaticne udubine 58. Sjene zatvorene valjkaste udubine 59. Sjene u supljoj piramidi . 60. Sjeno u supljem stoscu 61. Sjene u supljoj polukugli 62. Vjeibe

12. Sjena Iika na Uku, tijela na tijelu

63. Sjene trokuta i paralelograma 64. Sjene trokuta i paralelograma koji se s'ijeku . 65. Sjene piramide i prizme 66. Sjene piramide i prizme koje se prodiw 67. Sjene prizmaticne ploce i valjka 68. Sjene vaUkaste place i vaIjka 69. Vjezbe

13. Prakticne primjene konstrukcije sjena

70. Sjene glavice prizmaticnog stupa 71. Sjene dimnjaka 72. Sjene na vratima 73. Sjene na ulazu skole 74. Sjene na stepenicama 75. Sjene u predvorju kuce 76. Sjene ni§e

III. PRODORI GEOMETRIJSKlH TIJELA

14. Prodor dviju prizama

77. Opcenito 0 prodoru tijela 78. Prod or peterostrane i trostrane prizme 79. Prodor kvadraticne i trostrane prizme 80. Prodor dviju trostranih prizama 81. Prodor dv~ju kosih prizama 82. Vjeibe

15. Prodor prizme i piramide 83. Prodor cetvel'ostrane prizme s cetverostranom piramidom 84. Prodor dviju trostranih prizama s cetverostranom piramidom 85. Prodor trostrane pri:z.me s trostranom piramidom 86. Vjeibe

16. Prodol' dviju piramida

87. Prodor dviju pravilnih cetvorostranih pil'smida 88. Prodol' pravilne eetverostrane i osmerostrane piramlde 89. Prodor dviju trostranih piram!da 90. Vjezbe

65 65 66 67 67 69

70

71

71 72

7' 76 77 78 79

81 83 84 86 87 91

91

93

93 96

99 100 102

104 105 106 106

10. 111 112 114

v

r 17. Prodor v:aljka i prizme, stosca prizll)e. valjka i piramide

91. Prodor valjka i prizme . . . . 111 92. Prodor sto~ca i prizme . . . . 116 93. Podnotje sesterostranog stupa 117 94. Prodor valjka i piramide 118 9_5. Vjeibe . . . . . 119

18. Prodor dvaju valjaka

AT. 96. Prodor dvaju valjaka kojima se osi sijeku pod pravim kutom, a polu-mjeri su im razliciti ...... 120

AT. 97. 0 redu i projekciji prodorne krivulje ... , 122 Ar. 98. Valjkasti svod s polukruznim valjkastim prozorom 124 AT. 99. Prodor dvaju valjaka kojlma se osl sijeku pod pravim kutom, a po-

lumjeri su im jednakl 125 AT. 100. Unakrsni svod 126 Al'. 101. Vjeibe 127

19. Prodor valjka stosca AT, 102. Prodor valjka i stosea kojjma se osi sijeku pod pravlm kutom Ar. 103. Prodor vaUka i sOOsea koji se dodiruju u jednoj tocki AT. 104. Prodor valjka i stosca koji se dodiruju u dvije tocke A7'. 105. Valjkasti svod sa stozastim prozorom Ar. 106. Vjeibe

20. Prodor kugle s prizmom, valjb:om i stoscem, stosca sa stoscem

107. Prodor kugle i pravilne sesterostrane prizme 108. Prodor kugle s valjkom i stoscem 109. Kuglasti svod s valjkastim i sto2.astim prozorima

Al·. 110. Prod or dvaju stozaca kojima se osi sije'w

VI

111. Vjezbe

IV. I(OTIRANA PROJEKCIJA

21. Tocka i duzina

112. Uvod u kotiranu projekcjju 113. Kotirana projekcija tocke . 114. Kotirana projekclja duiine 115. Prava ve!icina duzine 116. Vjeibe

22. Pravac 117. Kotirana projekcija pravca 118. Osobiti polozaji pravca 119. Graduiranje pravea 120. Interval pravea 121. Nagib pravca 122. Vjeibe

23. Dva pravca 123. Ukrsteni pravd 124, Mlmosmjerni pravci 125. Usporedni pravci 126. Vjeibe

24. R&vnina 127. PredoCivanje ravnine glavnim slojnicama 128. PredoCivanje ravnine mjerilom nagiba 129. Prikloni kut ravnine. Potporni trokut 130. Vertikalna i horizontalna ravnina 131. Tocka, duzina i pravac u ravnini 132. Ravnina odredena ukrstenim pravcima 133. Ravnina odredena s trl tocke 134. Vjezbe

25. Prelaganje i okretanje ravnine 135. Prelaganje i okretanje ravnine 136. Odredivanje praVe velicine lika prelaganjem 137. Odredivanje prave velitine lika okretanjem 138. Projekcija lika koji je U opt'oj ravl'iini 139. Vjezbe

26. Dvije i tri ravnine 140. Presjek dviju ravnina 111. Prer,jek ravnine vertik",tnom ravninom 142. Presjelt dviju ravnina istog nagiba 143, Presjek dviju ravnina para\elnih slojnica 144. Tri ravnine 145. Vjezbe

27. Pravac ravnioa 146. Probodiste ravnine s pravt::em 147. Okomitost pravca i ravnine 148. Vjezpe

28. Kl'ovni presjeci 149, Vrste krovova i nazivi 150. Konstrukcija tlocrta krova 151. Konstrukcija tlocrta krova sa zaprekom 152. Konstrukcija naerta krova 153. Vjezbe

V. NASiPI, USJECI, CESTE, PLATO 29. Nasipi i usjeci

154. Nasipanje iz tocke 155. Nasipanje uzduz pravea 156. Pravcem poloziti ravnimi zadanog nagiba 157. Pravac odredenog nag~ba u zadanoj rav!)ini . 158, Usjeci 159, Vjeibe

156 157

158 153

153

159

160 161 162 162 163 163

164 16, 165 167 168

169 169 170 171 172

173

173 174 175

176 1'Q 179 180 182

183

184 185 lB5 )86 "7

VII

'30. Ceste i plato. ua 'ravnom tiu 160. lIorizontalna upr-avna cesta na ravnoj' p<:Idini 161, Prilazi k horizontainoj upravnoj cesti

162. Kosa upravna testa na hodzontalnom tIu i ravnoj padini Gr. 163. Nasip preko uvale

186 '189

192 19,

196

197

Gr. 164. Planiranje ~erena na ravnoj padini 165. Vjezbe

31. Topografske plohe i ceste na njima Gr. 166. Prikazivanje topograiskih ploha 198 Gr. 16?

Gr. 16R Stadoniraqje tocke i interpoliranje slojnice . 201, presjek topografske plohe ravr:inom ili drugom plohom . 202

Gr. 169. Presjek topografske plohe vertikalnom ravninom 203 Gr. i70. i),. 171-Gr. 172 .. Gr. 173. Gr. 174. Gr. 175.

Uzduzni pro.m ceste 204 Horizontalna zakrivljena cesta na zadanom terenu 205 Kosa upravna cesta' na zadanom terenu , 207 'Odvodni jarc:f kad usjeka i nasipa 209 Kosa upravna cesta na zadanorn terenu S odvodnim jarcima 211

~- ill

.~ VI. ORTOGONALNA I KOSA AKSONOMETRIJA

32. Ortogonalna aksonometrija 176. Pojam i zaO<1tak ortogonalne aksonom~trije . . 210 ITt. Konstrukcija aksonometrUskih osi i indeks<1 skraciv~nja 21B 178. Vrste ortogonalne aksonometrije 221

33. Konstr!lkcije ortogonalne aksonometl'ijske slike 179. Konstrukcija ortogonalne aksonomet.r'ijske slike pomocu aksonome-

trijskih asi i kutova razmjernosti. 22:3

180. KonstrukcUa ortogonalne aksonometrijske slike pomocu aksonome­trijsk~h osi i mjerila umanjenja .

181. Ortogonalna aksonometrijska slika kru:lnice kOja je u ravnini

182. Ortogonalna aksonometrijska slika stoiastog svoda 183. Vje2:be

220 koordinatooj

228 231 23.

34. Rosa aksonomctrija Ar. 184. pojam kose aksonometrije 235 Ar. 185. Tzbor aksonometrijskih osi i skracivanja na njima AT. 186. Konstrukcija kose aksonometrijske slike AJ'. 187. Vjeibe

M.

At·. AT,.

A,'. Ar. M.

VIII

35. Prodori i sjene u aksonometriji 188. Prod or trostrane i cetvetQ5trane prirme . 1B0 Prodor cetverostr<loe piramide i osmerostrane prizme 190. Konstrukcija sjena podnoija spomenika 191. Konstrukcija sjena kamene kluge 192, Konsl!rukciJa sjen& potpornog zlda 193. Vjelbe

237 237 239

240 242 244 24' 248 251

o

I. PROBODISTA RAVNOG LIKA I GEOMETRIJSKOG TIJELA S PRAVCEM

1. Probodiste ravnog 1ma s pravcem1

1

1. Prohodiste r.avnog lika s pravcem kad je lik u narocitom poIozaju. A. - Zadane su projekcije pravca p i projekcije kvad1·ata ABeD koji je usporedan s ravninom II:!. a dvije su njegove stranice u.sporedne s rav­ninom Ill; neka se odrede projekcije probodista P kvadrata s pr-avcem (sl. I)!

Tocka u kojoj pravac p probada neki ravan Uk L zove se probodiSte lika L s pravcem p.

TIocrt kvadrata ABeD je dui:ina A'B' koja je usporedna s osi x i jednaka stranici kvadrata u prostoru, dok je njegov nacrt kvadrat A"B"C"D" koji je sukladan s kvadratom u prostoru. Buduci da je pro­bodiste P na pravcu p, mora njegov tlocrt p' biti na tlocrtu p' pravca p, a kako je probodiSte P i u kvadratu ABeD, mora njegov tlocrt biti i u tlocrtu toga kvadr-ata; prema tome mora P' bUi u presjecistu pravca p'

duzine A'B', Nacrt pH probodista P je u presjecistu ordinale iz tocke P' nacrta p" pravca p.

Kad gledamo pravae p i kvadrat ABeD u smjeru koji je okomit na II l , vidimo Citav pravac jer se kvadrat prikaze kao duzina A'B'; zato je na s1. 1. naertan citav tIoert p' pravca p punom crtom. Aka gledamo pravac i kvadrat u smjeru koji je okomit na ITt. ne vldimo onaj diD pravca koji je iza kva,drata; zato je taj diD pravca nacrtan u nacrtu isprekidanom crtom.

B. - Zadane su projekcije praven p i projekcije kvadrata ABeD kojemu je ravnina okomita na ravnini III i Cini s ravninom IT:! ku.t od 45°.

1 Ovom knjigom zahvaceno je nastavno gradivo nacrtne geometrije za II razred arhitektonskog j graclevinskog odjeta tehnickih gradevinskih ~kola; zbog toga ce nastavnik obraditi s ucenicima sarno one partije koje su propisane prograrnom odjela u kojem predaje. Osim toga nastavnik ce davati ucenicima za domace Z3-dakte one clanke ltoH '-su oznaceni z v j e z die 0 m<r a jednostavniji su, dok s 1 0-ten i j e moze upotrijebltl kao z a d a t ke z a c r tete u(!enlki1.

Slike koje su U ovoj knjizi nacrtane u kosoj projekciji, a slu!e za obja~njava­nje novih pojmova, ili pou{:aka, iIi konstrukcija, ne treba da nastavnik crta na ploci, jer bi time utroil;io mnQgo vremena, vee ce on ucenicima ilustrirati svOj8 objasnjenja ns slikama koje su u kojizi, a koje ce ucenici promatrati u s\'ojirn knjigarna.

1 Nacrtna geometrija

r • 2

a dvije sa njegove stranice usporcdne s nl; odredite pTojekcije probo(tista P kvadrata s pravcem (51. 2)!

TIoert toga kvadrata je duiina A'B' kOja Cini S osi x kut od 45", a jednaka je stranici kvadrata u prostofu1 dok je njegov nacrt pravokutnik A"B"C"D" kojemu je vis ina jednaka stranici kvadrata u prostoru, a osno­vica je kraca od nje.

1z istih razloga mora, kao i u prvom zadatku, tloert pI probodiSta P kvadrata ABeD s pravcem p biti u presjecistu pravca p' i duzine A'B'. Naert p" probodiSta P je U onoj tocki u kojoj ordinala iz tocke P' presi­jeca pravac pl'.

0" C'

P' ; , , ,

A' i>--j.t---b 8' 0' P' C'

P'

Sl. 1.

po

.. ~,

D" e" '0---4

, . , ,

,,;, ;

0'

P' C'

B'

Sf. 2.

Kao u prvom zadatku. tako'sada vidimo citav pravae kad ga pro­matramo odozgo; zato je na s1. 2. citav njegov tloert p' nacrtan punom crtom. Ako ga promatramo odsprijeda, onda ne vidimo onaj dio pravca kOji je iza kvadrata; zato je taj diD u nacrtu nacrtan isprekidanqm crtom.

C. _. Zadane su projekcije pravea p i projekcije kvadrata ABeD koji je usporedan s ravninom IIl , a dvije S'U njegove stranice usporedne s ravninom II:!; neka se odrede projekcije probodiSta P kvadrata s pra'l)­cem (s1. 3)!

Tloert kvadrata ABeD je kvadrat A'B'C'D' koji je sukladan s kva­dratom u prostoru, a njegov nacrt je duzina A"B" koja je usporedna s osi x 1 jednaka stranici kvadrata u prostoru.

3

Buduci da je u tom zadatku nacrt kvadrata duzina, zato je u pre­sjeciStu nacrta pravca i nacrta kvadrata nacrt P" probodista P kvadrata s pravcem'. Tlocrt P' toga probodHta je tocka u kOjQj ordinal a iz toeke p" presijeca pravac p', '

Zasto je nacrt pravca nacrtan punom crtom, dok je }edan dio tlocrta pravca nacrtan isprekidanom crtom?

A" 0' P'S"C'

, D'\,-i __ +-;',['

. , ;/

A' b-;r'-----b s'

p'

SL 3.

A!'~ [yi

_A;oCi~ _-+--_

D'j-i -'----1' C'

A' s' P'

SI. 4.

D. - Zadane su projekcije provea p i projekcije kvadrata ABeD kojemu je ravnina okomita na ravnini II2 i tini s ravninom ITl.kut od 45Q

,

a dvije s'!-L njegove stranice usporedne s 112; odredite pTojekcije p;'obodiSta P kvadrata s pravcem (s1. 4)! ....

TIoert kvadrata ABeD je pravokutnik A'B'C'D' !kojemu je osnovica kraca od stranice kvadrata u prostoru, a njegova visina jednaka toj stra­nici, dok je nacrt kvadrata duzina. A"B" koja cini S osi x kut od 45Q i jednaka je stranici kvadrata u prostoru.

Kako je i u tom zadatku nacrt kvadrata duzina, to je nacrt P" pro­bodiSta P u presjecistu Flacrta pravca i nacrta kvadrata, a njegov tlocrt p' je u presjecistu ordinale povucene iz toeke P" i pravca p',

Objasnite vidljivost pravca II tlocrtu i nacrtu! E. - Zadane su projekcije praven p i pTojekcije 1cvadrata ABeD

kojemu je ravnina okomita 11.a ravnini ITa i cini s ravninom. III Kut od tlO~, a dvije su njegove stranice usporedne S osi x; neka se odrede projekcije pyobodista P kvadrata $ praveem (sl. 5)!

, 4

Bokocrt kvadrata ABeD je duzina A'"C''' koja cini s osi Yi kut od 60· i jednaka je stranici kvadrata u prostor-u, dok je njegov nacrt pravo­kutnik A"13"C"D" kojemu je Qsnovica jednaka stranici kvadrata u pro­stortI, a visina kra'ca od nje. Pomocu nacrta· i bokocrta toga kvadrata' konstruira se njegov tlocrt A'B'C'D',

p' . p'

/ A": ,8" A"'jB'" Nil . ~ t N itl !

.-I: 0 i . .Vi

~1>< r U~7-----t-" A' p,~

M' Y

Sf. 5.

U torn je zadatku bokocrt kvadrata duzina. zato je bokocrt po, pro­bodiSta P u presjeciStu bokocrta pravca i bokocrta kvadrata. Iz bokocrta

, pm dobije se zatim naert p"J a iz nacrta tloert p' probodiSt~ P. Objasnite vidljivost pravca u tloertu, nacrtu i bokocrtu!

F. - 1z tih zadataka izvodimo ova p r a viI 0: Kad je mvan lik. okomit na jednoj ravnini projekcija l njegoV(l je

projekcija na toj ravnini duzina, a u presjecistu te duzine i projekeije nekoga pravea na toj ravnini jest projekcija probodiSta ravnog lika s tim pravcem.

Iz jedne projekcije probodista lako je zatim odrediti ostale njegove ·projekcije.

2. Probodiste ravnog lika s pravcem kad je Uk U opeem polozaju. A. ~ Zadane' su projekcije pravca p i projekcije trapeza ABeD kojemu su osnovice usporedne s ravninom Ill; odredite projekcije prooodista P t,.apeza s pravcem!

5

Buduci da ravnina toga trapeza nije okomita ua jeduoj od ravnina projekcijaJ ne mozemo taj zadatak rijesiti pomocu pravila iz c1. L F, zato cerne sada upoznati drugi postupak.

Na slici 6. nacrtani su pravac p i trapez ABeD, kao i njihovi tlocrti p' i A'B'C'D'. Pravcem p polozena je zatim ravnina P koja je okomita na IIl . Njezin se prvi trag Tl poklapa s tlocrtom p' pravca p. Ravnina P sijece trapez ABeD u duzini 1 2, koja presijeca pravac p u trazenom probodiStu P trapeza s pravcem. TIcert duzine 1 2 pada u tiocrt p' pravea p.

~c'i

~=-----B'

A' " p'

Sl. 6. Sl. 7.

Pravcem p poloiili smo ravninu P koja je okomita na ITI • ali isto tako mogli smo pravcem p poloziti ravninu ~ koja je okomita na II2, ili koju god ravninu E, pa bismo opet dosE do istoga probodista P.

Na slici '7. nacrtane su projekcije pravca p i trapeza ABeD. Karl pravcem p polozimo ravninu P koja je okomita na II1J njezin prvi trag 1'1> kojl se poklapa s p', sijece tlocrt A'B'C'D' trapeza u duzini 1'2'. Duzina 1'2' je tiocrt duzine 1 2 u kojoj ravnina P presijeca trapez, a duiina 1"2" je nacrt duzine 1 2. Pravae p" i duzina 1"2" sijeku se u nacrtu PI' traie­nog probodista P, ~. njegov je tloert p' u presjecistu pravea p' i ordinale povucenE' iz tocke P".

Objasnite vidljivost pravea u tlocrtu i nacrtu!

6

Tim postupkom mozemo odrediti probodiste ravnog lika k.oji je oko­mit na ravnini IT3 s pravcem (cl. 1. E), a bez upotrebe bokocrta.

B. _ Odredtte projekcije probodiSta P pravokutnika ABeD s pruv­

cern p aka su dvije slranice pravakutnika usparedne s os; :r (sl. 8)!

Taj je zadatak rijesen na dva nacina:

P r v ina c i n. Pravcem p polozimo ravninu P.l III (Tl = p'). Ona sijece pravokutnik u duZini 1 2 kOjoj je tloert l' 2' up', a nacrt duzina 1"2". Pravae pU i duzina 1"2" sijeku se n p", a P' je u presjecistu ordi­nale povucene Ii tocke P" i pravca p'.

p' P"

2" D"Mt---?---9 C'

A' ,8"

, s, , i r,

x

D'I L~, , 2' !e'

A' !--h--""--! J' B'

P'

st, 8. SL 9.

Dr u gin a c i n. Pravcem p polozimo ravninu L.l II2 (S2 ~ p"). Ona sijece pravokutnik u duzini 3 4 kojoj je nacrt 3"4" up", a tloert duzina 3'4'. Pravac p' i duzina 3'4' sijeku se uP', a P" je u presjecistu ordinale povucene iz tocke P' i pravca p".

C. _ Odredite projekcije probodista P istokracnog trapeza kojemv. su osnovice usporedne S osi x, s pravcem p koji je okomit na ravnini III

(sl. 9)!

Tlocrt pravca p, koji je okomit na III. jest tocka p'. U tu tocku pt;lQa i tlocrt P' probodista P, a njegov nacrt p" mozemo odrediti ovako:

7

Nacrtamo duzinu C'l' koja ide tockom p'. Ta je duzina tlocrt po­precnice Cl trapeza, na kojoj je probodiste P. Nacrt, e"J" te poprecnice sijece pravac p" u nacrtu P" probodiSta P. Hi nacrtaino duZinu 2'3' koja

ide totkom P', a usporedna je s A'B'. 'fa je dufuna tloer! poprelnice ~ ~ trapeza, na kojo) je probodiste P. Nacrt 2"3" te poprecnice sijece pravac p" u nacrtu P" probodista P.

3. Vjeibe.1 - 1. Odredite probodls~ pravokutnlka CqEF [C (20, 30, 40), D (20, 30, 10), E (40, 10, 10), F] s pravcem AB [A (10, 10, 20), B (50, 30, 30)J

2. Odredite probodiste pravokutnikn CDEF' (C (20, 40, 25), D (40, 01.0, 10), E (40, 10,10), F] s pravcem AB (A (10, 20, 10), B (50, 30, 30)]!

3. Odredite probodiste pravo!;:utnika CDEF' [C (l0, 40, 10), D (40, 40, 10), E (40, 20, 40). F] s pravcem AB (A (5, 5, 10), B (45, 60, 40)]!

4. Odredite probodlste paralelograma CDEF [C (10, 30, 10), J) (40, 30, 15), E (50,

lD, 30), F] s pravcem AB [A (5, 40, :iO), B (45, 5, 5)J! 5. Odredite probodiSte trokuta CDE [C (10, 30, 20), D (40, 40, 10), E (50, 10, 40)J

s pravcem AB [A (30, 30, 0), B (30, 30, 50)]! 6. Odredite probodiste trokuta CDE [C (10, 30, 20), D (40, 40, 10), E (50, 10, 40)J

s p,'avcem AB [A (30, 0, 20), B (30, 40, 20)]!

2. 'Probodista prizme s pravcem

4. Probodista uspravne prizme s pravcern. Zadane su projekcije uspravne cetverostrane prizme kojoj je osnovka u ravnini HI> i projekcije triju. medu sobom usporednih pravaca a, b, i c; neka se odrede projekcije probodista prizme s tim pravdma (51. 10)!

Pobocke te prizme su pravakutnici koji su okamiti na UH zato cerno probodiSta pobocaka prizme s tim pravcima odrediti na isti nacin kao na slid 2. Tocke ~ i F", u kojima tlocrt a' pravca a' sijece tlocrt pobocke A B B A i pobocke Bee B, tlocrti su tocaka E i F 'u kojima pravac a probada prizmu. Nacrti Erf i Fit tih probodiSta je5u u presjecistirpa pravca a" i ordinala povucenih iz toeaka E' i F'.

, -U tlocrtu se oct pravca a ne vidi sarno onaj dio'koji je izmedu pro-bodista E i F, jer se taj dio nalazi u prizmi. U nacrtu se pravac a opet ne vidi sarno od E do F, jeT su aba ta probodista na pobockama koje se u naertu vide. Onaj dio pravca koji je u prizmi nacrta se u svakoj projelcciji tock a s tom crtom.

Na isti se naein odreduju tlocrti G' i H', kao i n~c.rti G" j H" probo­diSta G i H prizme s pra\"cem b. Od toga se pravca n~ vidi u tlocrtu opet sarno onaj dio koji je i7.medu probodista G i H, dok se u nacrtu ne vidi Jos i onaj dio pravea, nadesno ad probodiSta H, sto ga zaklanja prednja pobocka Bee B, zato je taj dio pravea nacrtan u nac:rtu i 5 pre kid a­no m crtom.

! U ovoj knjizi su koordinate tocaka i ravl1ina zadane u mllinlE'trima.

8

Tlocrt c' pravca c sijece tlocrt pobocke ADD A u tocki .r' a tlocrt pobocke CD D C u toeki K'. Kad odredimo nacrt 1" toeke I i nacrt K" tocke K, tada iz nacrta zakljucujerno da _je tocka K probodiSt~ prizme s pravcem c, dok je tocka I iZllad prizme, a ti njoj bi pravac c probadao produzenu pobocku A D i5 A. Izmedu toeaka I i K nalazi se totka J u' kojoj pravac c probada gornju osnovku ABeD te prizme. Projekcije tocke J nadu se na' ish naCin kao na sliei 3. Prvo se odredi nacrt Jr~ te tacke, a zatim lljezin tlocrt J', Od toga se pravca ne vidi u tlocrtu sarno onai dio koji je izmedu probodista J i K, dok .se u nacrtu ne vidi _ joE: i onaj -dio pravca nadesno od K sto ga zaklanja prednja pobocka Bee B, zato je taj ~io pravca nacrtan u nacrtu is pre kid an 0 m edam.

6'

Q'

C" f'

A' , B' G~ . "

A"

e,ll ~ A' W

b' G'

a'

, , ,

E', ,

B'

j' [r C' , , ,

'-), K-I ',>: I ' , , , -

" J ('-, H" I "-,

;,;~ \ '1 0 "

st. 10.

,

C'

'C' C'

X

1z toga zadatka izvodimo ovo p r a v i I 0:

S1. 11.

Kad je prizma 'uspravna, tndo projekcija proven na ravnini osnovke pTtzme sijece stranic;e osno'vke u toe kama kaje StL projekcije probodistd pobocaka prizme s pravcem. IIi:

9

Aka 81..1. pobocke prizme okomite na ravnini projekcija, onda pro­jekcija praven sijece stranice projekcije osnovke prizme u tockama. kaje S'U projekcije probodista pobocaka prizme s pravcem.

5.* Presjek uspravne prizme s trokutom. Zadane 5V. projekcije tLspravne cetverostrane prizme koja; je osnovka u ravnini TIl i projekcije trokuta kojemu je jedna stranica usporedna S osi x; odredite projekcije presjeka prizme s trokutom (s1. 11)!

BuduCi da je tlocrt G' vrha G u tlocrtu prizme, a njegov nacrt G" u nacrtu pIIizme, zakljucujemo da je taj vrh - trokuta u prizmi. pa ce zbog toga stranice trokuta EC i FC probadati prizmu. Projekcije probo­dishl H stranicorn EG, kao i projekcije probodista L stranicom FG, odre­duju se na isti naNn kao u proslom zadatku. Tioert E'F' stranice EF ne sijece tlocrt prizme, zata straniea EF ne probada prizmu, Stranica EF vidi se citava u tlocrtu i nacrtu. dok se ad stranica EG i FG vide u tIo­crtu i naertu sarno ani dijelovl koji su izvan prizme.

Tloert pobocnoga brida prizme BB jest u tlocrtu trokuta EFG, a kako je vrh trokuta G u prizmi, to pobocni brid prizme BE probada trokut u tocki K. Tlocrt K' te tocke pada skupa s tockom B' .... B', a njezin nacrt K" mozemo odrediti, kao na slid 9, pomocu duiine Gl iIi porp.ocu du­zine 23.

Trazeni presjek prizme trokutom sastoji se ad duzina HK i KL.

6. ProbodiSta kose prizme s pr.avcem. - A. - 0 pee nit 0 r j e s e­n j e. Na slid 12. predocena je kosa trostrana prizma kojoj je osnovka u

C

Sf. 12.

ravnini JIll pravac p koji probada ITt u t-oeki Pt. Kojom god to~kom T p.ravca p povucen je pravac 8, koji je usporedan s pobocnim bridovima prizme, a probada at u tocki 8 1, Pravci pis odreduju ravninu E koja je

)0

usporedna s pobocnim bridovima prizme, a njezin prvi trag .je pravac e1 ,... PIS t • Ta ravnina presijeca priimu u paralelogramu 1234, kojemu su dvije stranice 1 4 i 2 3 usporedne s pobocnim bridovima pri?me, dok su njegove druge dvije stranice 1 2 i 34 na osnovkama prizme. Pravae p sijece stranice toga paralelograma u totkama G i H, koje su trazena probodista kose prizme s pravcem p. Na temelju toga razmatranja rijesit cerno sada ovaj z a d a t a k.

B. - Zadane su projekcije kose trostrane prizme kojoj je osnovka u

ravnini III i projekcije pravca p; neko, se odrede projekcije probodiSta prizme s tim pravcem (51. 13)!

5' ,

5 " " s·

T'

P' T'

SL 13_

Kojom god tockom T (T', TIT) pravca p (p', prJ) polozi se pravac s (Sf, SU), koji je usporedan s pobocnim bridovima prizme. Odredi se zatirn prvo probodiste PI (PI', P/') pravca p, i prvo probodiSte 51 (Sl', 51") prav­ca s. Pravac e1 = (P/, Sl;) prvi je trag ravnine E koja prolazi pravcem p a usporedna je s pobocnim bridovima prizme. Taj trag sijece tlocrt A'B'~ osnovke prizme u toekama 1'i 2'. 1z tih tocaka povuku se usporedo s A' A' dwUne l J4' i 2'3', kOje presijeku pravac p' u tlocrtima G' i H' trazenih probodista G i H kose prizme s pravcem p. Nacrti G" i H n tih probodista

11

su U, pre~jeciStima pravca p" i ordinal a povucenih. iz toeaka G t, i H'.

Toeke G' i H" mogu se odrediti i tako da se pravac p" presijece duZinama 1" 4" i 2" 3".

Tocka G je na pobocki prizme A B B 11 koja se u tloertu i nacrtu vidi zato se on~j dio pravca p koj!).:: nalijevo od G vidi U obim projekcijama: Tocka H Je na pobocki Bee B koja se vidi u nacrtu, a u tJocrtu Be ne vidi, zbog toga je onaj diD pravca p koji je nadesno od Ii u nacrtu vidljiv, dok je u tlocrtu djelomicno zaklonjeri prizmom.

1. Vjez-be. ~ 1. Odredite probodista trostrane uspravne prizme kojoj je osnovka ABC [A (10, 10, 0), B (25. 30. 0), C (50, to, O)J u ravnini 111, S pravcem n1N [M (5, 30, 30), N (60, 10, 10)]!

2. Odredite probodista trostrane USpravne prizme kojoj je osnovka ABC (A (10, 0, 10), B (35, 0, 30), C (50, 0, 10)] u ravnini n~; s pravcem MN [M (5 15 15) IV {50, 30, 30}]! ' , ,

3. OdredHe presjek trostrane us~r<lvne prizme kojoj je 0snavka ABC [A (10, 10, 0), B (30, 30, 0), C (50, 15, 0), u rnvntni nt' il visina v "'" 40, 6 trokutom MNP [M (5 35, 15), N (55, 35, 5), P (25, 15, 3D)]! '

4. Odredite presjek pravilne cetverostrnne prizme kojoj je osnovka ABeD [A (20,0,20), B, C (60, 0, 30), DJ u ravnini rr~ a vis inn v = 50 s paralelogramom MNPR [M (10, 35, 10), N (55, 35, 10), P (70, 10, 40), RJ!

5. Odredite probodiSta cetverostrane kase prizme kojoj je osnovka ABeD [A

(20, 30, O~, B (45, 45, 0), C (65, 25, 0), D (40, 10, O)J u ravnini ill, a jedan vrh gornje osnovke Je A (80, 3D, nO), s pravcem MN [M (20, 40, 50), N (7~? 15, 5.)]!

3. Probodista piramide s pravcem'

8. Odredivanje probodiSta piramide s pravcem pomocu Jtrve ravnine ~rometalic-e. A. - Na slid 14. prikazana je trostrana kosa pi ram ida kojoj ]e o~:lOvka AB~ u ravnini ITt. i pravac p kojemu je tl'ocrt pravac p', a pro­bodls:e ~ ITl to:ka Pt. Pored toga predocena je i prva ravnina prometalica

P kO.Ja Je polozena pravcem p, a ima svoj prvi trag, r1

u pra-Vcu p'. Ta ravnma presijeca piramidu u trokutu 1 23 kojemu je stranica 12 ... na ~snovici piramide, a strani.ce 1 3 i 23 na njezinim su pobockama ABV ~ BvCV, Pravac.~ sijece st.rani:e trok~ta 123 u tockarna G j H, koje su .razena probodlsta kose plramlde s ilm pravcem. Tocke G i Ii nalaze se na vidljivim pobockama piramide, zbog toga se od pravea p ne vidi sarno onaj diQ koji je izmedu probodista G i H, Pomocu toga razmafrania rijesit cem-o sada ovaj z a d a t .a k: , ' ~

B .. - Zadane su projek9ije kose trost-rane piramide. kojoj je osnovka u .~avmni II, i projekcije pravca p; odredite projekcije p-robodi.ljta pira­mtde s tim pravcem {sL 15)1

Pravcem p polozim? prvu ravninu proITletalicu P l'5;Qjoj BE pry} trag rl poklapa s pravcem p. Ta ravnina presijeca piramidu '.J. trokutu 123 kojemu je tlcx::rt u pr'lom tragu T j • i to od tocke l' do tocke 2', Nncrt tog~

1"

trokuta je trekut 1·"2"3", Pravae p" sijece s~ranice trokuta 1"2'~3n u toc­kama G" i H" koje su nacrti traienih probodiSta G i H piram,ide s prav­cern. Tlocrti Of i H' tih probodista jesu na tlocrtu pr pravca p.

Pobocke piramide ABV i BeV, na kojima Sll ta probodista, vidljive su u tlocrtu i nacrtu, pa se zbog toga od pravea p ne vidi u tlocrtu i nacrtu sarno anaj dio koji je izmedu tih probodiSta.

V'

C' x

fill P'

B'

SL 14. SI. 15.

9. Odredivanj~ probodista pit-amide s pravcem pomocu druge ravnine prometalice. A. - Na slid 16. predocena je trostrana kosa piramida kojoj je osnovka u ravnini Ill' i pravac p koji probada ITl u tocki PI' Pored toga prikazana je druga ravnina prometalica L koja je polozena pravcern p i presijeca piramidu u trokutu 1 2 3, Tocke G i H, u koj-irna pravac p sijece stranice, toga trokuta, jesu trazena probodiSta piramide s tim prav­cern. Na temelju toga razmatranja rijesit cerno sada z a d a t a k iz (':1. 8. B na drugi nacin.

B. ~ Kad pravcem p (31. 17) polozirno drugu ravninu prometalicu ~f njezin se drugi trag S2 poklopi s pravcem p", a njezin je prvi trag 8 1

okomit na osi x. Ta ravnina presijeca piramldu u trokutu I 2 3 kojemu je n3crt u drugome tragu S2' a tloert mu je trokut l' 2' 3'. Tioert p' pravca p sijece stranice trokuta l' 2' 3' u tockama G' iIi'. koje su tlocrti trazenih probodista G i H piramide ~ praveem. Nacrti Gil i H" tih probodiSta jesu na naertu p" pravea i p.

13

Oba su probodista na poboekama piramide koje su vidljive u tlocrtu i naeriu, pa se zbog toga ne vidi u obi-m projekcijama sarno onaj dio pravea koji je izmeau tih probodiSta.

V'

P'

x

B'

Sl. 16. Sl. 17.

10. Odredivanje prohodiSta piramide s pravcem pomQcu ravni,ne polo­zene pravcem i vrhom piramide. A. - Na slici lB. opet je prikazana tro­strana kosa piramida kojoj je osnovka ABC u ravnini III i pravac p koj-i

a

SI. 18.

probada Ilt • u tocki PI' Pored toga pre­docena je ravnina E koja je polozena pravcem p i vrhom piramide V. Ta rav'~

nina presijeca pira­midu u trokutu 1 2 V, kojega stranice sijeku pravac p u probodistima G i H piramide 5 pravcem.

Ravnina E maze se odrediti no. dva nacina. Na pravcu p istakne se koja god

tocka T i ta se spoji s vrhom V pravcem'm koji probada II, u too­ki MI' TJkrsteni prav­ci p 1 m odreduju ra­vninu E, kOjoj je trag u ravnini osnovke pravac e1 = (Pl' M I), I1i se vrhom pira­mide polozi pravac n koji je usporedan s pravcem p. a pro­bada III u tocki N I ·

Pravci pin odre­

duju istu ravninu E kojoj je trag u ravni­ni osnovke piramide pravac e1 = (P l , N 1)·

Pravac e1 sijece 05-

novne bridove pira-mide u tockama 1 i 2,

V"

b

koje sa vrhom piramide V odreduju trokut 1 V 2. Pomocu toga razma­tranja rijesit cerno sad a zadata~ 1Z cl. 8. B na t r e c ina c i n (s1. 19).

B. - Vrhom piramide V (V', V") po]ozimo pravac n (n', nU) koji je usporedan s praveem p (p', p"). Odredimo zatim prvo probodiste P t pravca piprvoprobodiSteN1 pravcan. Pravae e1=(Nl> PI) prvijetragravnineE koja je polozena pravcem p i vrhom V. Trag e1 sijece stranice trokuta A'B~C' u tockama l' i 2'. Duzine 1'V' i 2'V' sijeku pravac p' u tockama G' i H', koje su tlocrti probodiSta G i H piramide s praveem. Nacrti G" i H n tih probodista jesu u presjeciStima pravea p" i ordinala povucenih iz toeakA G' i H' ill u sjecistima pravea pli i duzinA 1" V" i 2" V".

11.- Vjezhe. - 1. Odredite probodiEta pravilne tetvet"ostrane piramide kOjoj je osnovka ABeD [A (20, 35, 0), B, C (60, 25, 0). D] u Il" a visina v = 40, s pravcem MN [M (lOt 40, 40). N ('70, 30, 5)] pomoC:ll prve ravnine prometalice!

2. Odredite probodista pravilne ~etverostrane piramide's pravcem iz zadatka 1. pomocll druge ravnine prometalice!

3. Odredite probodiSta pravilne cetverostrane piramide s pravcem iz zadatka 1. pomocll ravnine polozene pravcem i vrhom piramide!

4. Odredite probodista kose cetverostrane piramide kojoj jc osnovka paralelo~ gram ABeD [A (10, 0, 15), B (35, 0, 5), C (50, 0, 25), DJ u II" a vrh C (90, 40, 25), s pravcem MN (M (30, 25, 40), N (30, 10, HI,] pomoc:u prY€: t"avnine prometalice!

15

5, Odredite probodista kose cetverostrane piramide s ;p1'8VCem iz zadatka 4. pomocu r8vnine poloz.ene pravcein i vrhom piramide!

4. Probodista valjka s pravcem 12. ProbodiSta rotacionog valjka s pravcem. A, - 0 pee nit 0 r j e­

sen j e. Slika 20. prikazuje rotacioni valjak kojemli je osnovka u rav­nini III i pravac p kojemu je tloert pravae p', Kad praveem p polozimo ravninu P koja je usporedna s osi valjka, ona ~e presjeCi valjak u pravo­kutniku 1 234. Dvije su njegove stranice 1 2 i 34 na osnovkama vcHjka, a druge dvije su izvodnice valjka 1 4 i 23. Tocke G i I-I, u kojima pra-

J

2 ,----------- H'r,

G' n.:

51. 20.

T'

m' _c.T'",· '-~ ---- 8'5' K'

, ' l- .... ,.,:J-.t',' !. '-." , " ! !;

L 7"6'

i:

, ,

e,

P'

J': H';:...­... -_...... 2' ,;

G'/

51. 21.

"

vae p -sijece stranice toga pravokutnika, jes:..t trazena probodista valjka s pravcem.

Buduei da je na slid -20. valjak rotadon, to je os valjka okomita na ravnini osnovke II1I pa je zbog toga ravnina P prva ravnina prometalica. Njezin se prvi trag "l"J pok}apa s projekcijom p' pravca p na ravnini osnovke, a presjecista toga traga s osnovnom kru~nicorn jesu projekcije r.a ravnini osnovke traienih probodtsta valjh:a .5 pravcern,

Iz toga razmatranja izvodimo 0 v 0 p r a v i 1 0;

r

16

'" e dsnov Karl je vai.1ak uspravan, projekcija pra~ca na r~vnt~1. nJegov , .. -ke sijece osnovnu kTuznicu u toe-kama koje Stt pToJekc1.Je no ravntnt 08-

novke probodista vafjka s tim pravcem.

B .. _- Z a d a t a k. Zadane su projekcije rotacionog ooljka kojem~ je osnovka u IT i projekcije dvaju meau sobom usporedn,ih pravO-ca p t m; neka se odTede projekcije probodista valjka s ~im pravcima (s1. 21)1

Polozirn~ pravcem p prvu ravninu prometalicu P, a pravc~ez:n m prv~ ravninu prometalicu E. NJihovi su prvi tragovi pravci il $!il!! P 1 :1 ~ m. Prema prije istaknutom pravilu sijece pravac p' osnovnu ~TUZll1CU u

tockarna G' i H', koje su tlocrti trazenih probodista G i H valJka s prav-cern p>a njihovi su nacrti G" i H" na nacrtu p" pra;,~a ~. .

Pravac m' sijece osnovnu kruzniclI u tockama TIL. Kad.odr:dlmo nacrt Tit locke T i nacrt L" tocke L, zaklj~cujerno iz na,crta da ~e tocka L pravo probodiste valjka s pravcem m, dok je :oc~a T ~tnad .gornJ.e osnovke valjka, 'ft' u njoj bi pra\'ac TIl probadao produzem plast valJka. ~zmedu to­taka TiL nalazi se tocka K, u kojoj pravac m probada gornJ~ ~sno:ku valjka. Projekcije totke K odreouju se na isti naCin kao na shcl 3, 1 to 1Z nacrta K" dobije se 'tioert K'. .

U valjku 'leil d,lo pravca p izmedu G i H, kao i dio pravea m l~m:du K i L, zbog toga se' ti dijelovi pravaca ne vide u tlocrtu i na~rt.u. rock~ G i H na prednjoj su polovini valjka, a -tocka K je na gornJoJ QSnOVCl valjka, zbog toga se' te tocke u nacrtu vide; dok se tocka L u .nacrtu ne vidi jer je ona na strainjoj polovini valjka.

. Z d P 0 'ekci,'e rotacionog valjka 13 .• Prcsjck valjka trokutom. a ane su. r) . kojemu je osnovka u ravnini TI!, i projekcije istokracnog tro~uta kOJe~u je osnovica AB ?t,n

l, a vrh C tL srediSt.u gornje osnovke val)ka; odre~tte

projekcije presje14a valjka tim irokutom (s1. 22)! '

Aka probodiste valjka sa stranicom AC tog trokut: ~znaci~o slover:; D, enda je D' u presjecistu duzine A'C' .i osnovne kr~znlce valJ~a, a J? J€ na duhm A" D" Na Ish se nabn odreduJe tlocrt E 1 nacrt E probo-dista valjka sa stranicom Be. .

Da bismo odredili jos nekoliko tocaka presjeka valjka trokutom ABC, istaknimo nn stranici AB tocke 1, 2 i 3, pa nacrtajmo projekcije duzina le, 2C i 3C koje su u tom trokutu. 'l'e duzine probadaju valjak u ,to~ka~a F, G i H. Projekcije torAh FiG nAei cerno na isti nacin kao i ~roJekC1Je tocke D, dok iz tlocrta H' tocke H mozemo naci njezin nacrt H po~ocu duzine 45, koja je u trokutu ABC, ide, kroz tocku H, a usporedna Je sa stranicom AB,

Presiek toga ~aljka s trokutom jest luk e1ipse kojemu je tloert l~~' D'F'H'G'E' osnovne kruznlce valjka, dok je njegov 'nacrt luk elipse ko)o] je duiina C"H" polovina vel ike osi, a duzina K"L" mala OS"

17

14.* Zadatak. Zadane sa projekcije polovine rotacionog valjka kojemu je as tL ravnini III i projekcije pravca p koji je okomit na ilt ; neka se od­rede projekcije probodista valjka s tim pravcem (s1. 23)!

Buduci da je tlIXrt pravca p toCka p', to u tu toCku pada i tlIXrt G' traZenog probodiSta G. Drugu projekciju G" tog probodista na6i cerno tako da toekom G polozimo pomocnu izvoonicu 1 2. TIoert te izvodnice

C· , , , , ,

Sl. 22,

p'

CO

jG8

st. 23.

B'"

i8' , \ \ I

jest duiina l' 2' koja prolazi toekom G', a usporedna je s 0' 0', dok je

njezin naert duZina 1" 2" koja je usporedna sa"". Toeke 1" i 2" nalaze se u presjecistima ordinala povucenih iz tocaka l' i 2' s nacrtima osno­vaka valjka. Na sUd 23. preklopljena je, zbog kontrole, prednja osnovka valjka oko promjera AB u Ill' i odredena je toena udaljenost u. = 1'10 toeke 1 od ITl , pa u nacrtu mora biti lx In = 1'1 0 = u. Duzina I" 2" sijeee pravac p" u naertu Gil probodista G.

Kako je toeka G na prednjoj polovini plasta valjka, to se pravac p u nacrtu vidi sve do toeke G.

15. Vjeibe. ~ 1. Odredlte probodiSta istostranicnog valjka kojemu je osnovka u rnvnini ill aka je sreditte njegove osnovke a (30, 30, 0), a polumjer T = 20, ~ pravcem MN [M (5, 50, 20), N (60, 15, 20)]!

2 Nacrtna geornetrlja

lB

Od dote probodiSta rotacionog valjka koje~u je osnovka u ravnini ITt. sre-. 2. r

k"- '0 (40 0 25) polumjer r = 20. a visina v = 50, s pravcem MN [M (10,

dIsh! osnov e ",

tiO, 40), N (10, 20, 40)]j' k t 1 og valjka koiemu je osnovka u ravnini ill, sredtste 3 Odredite pres e ro Be on BC [A 10 B

. l' - 2Q a visina v = 40 s trokutom A { , 0, osnovke 0 (40, 30, 0), po umJer r - , '

40) B (40 30. 0). C (70. 60. 40)]' 25). I 4 O'dredlte probodiste rotacionog valjka kojemu je as 00 [0 (70, 50,

o (20, '30, 25)), a polumjer r = 25, s pravcem MN (M (40, 50,0), N (40, 50, 50)]!

5. Probodista stosca s pravcem

16. ProbodiSta rotacionog stosca s horizontalnim p~a:cem., zad~ne ,~u. , k .. otacionog stosca kojemu je osnovka u ravntnt IIi t proJekctje

pTO)e cl-Je r .~ v •

horizontalnog pravea p; neka se odrede projekcije probodtsta stosca stun

pravcem (sL 24)!

v'

s,

B" A A" B" x

S1. 24. Sl. 25.

Aka horizontalnim pravcem p polozimo horizontalnu ravn~nu. 1:, ana ce presjeci stozac u usporedniku k, kaji ce sjeci pravac P u trazemm pro­

bodiStima G i H stosea s pravcern. , d . trag s ravnine 2: i naert k" uspo-S pravcem p' poklapa se rugI 2 • .• v , c:-

d 'k k Tloert k' toga usporednika je kruznica kOJoJ Je tocka V ~re­

re m a ~. "20 P I esijeea kruz diSte a polumjer jednak polovini duzine 1 . ravac P .~r -nicu'k' u tockama G' i H', koje su tlocrti trazenih probOO1sta G i H. Na­

crti Gil i H" tih probodista jesu na nacrtu pa pravea p.

19

Oba su probodista na prednjoj polovini stosea,! pa se zbog toga ne vidi u obim projekcijama sarno ohaj dio pravea koji je izmedu tih pro­

bodista.

17. Probodiste rotacionog stosca s verHkalnim pravcem. Zadttne S1L

projekcije rotacionog sto.sca kojemu je osnovka u rapnini II, i projekcije vertika~nog pravea p; odredite projekcije probodiSta ~to.~ca s tim pravcem (sl, 25)'

BuduCi da je tloert pravea p tocka p', to u tu to~ku pada i tlocrt G' trazenog probodiSta G. Njegov nacrt Gil mozemo odrediti na d van a­e ina; pomocu us poi e d n i k a k koji prolazi tock-om G ili pomoeu i z v 0 d n,i c e koju polozimo tom .tockom.

Oko V' opisjmo kruznicu k' koja pro]azi tockom G'. Kruzniea k' je tlocrt usporednika k koji ide tockom G. Na' naertu k" toga usporednika, koji mozemo odrediti pomocu toe-aka 1 i 2, nalazl se naert en tocke G.

Ili nacrtamo duziriu V' 3' koja prolazi tockom C'. Ta je duZina t I 0 c r-t i z v 0 d n ice V3 kOja ide tockom G. Na nacrtu V"3" te izvod­nice kOju odredimo pomocll tocke 3, nalaz! se nacrt C" tocke C.

Probodiste G je na prednjoj polovini valjka, pa se ?bog toga pravac p u nacrtu vidi sve do toga probodiSta.

18. Probodista l'otacionog stosca s pravcelU. Zadane su. projekcije rotacionog stosca kojenw je osnovka u ravnini il! i projekcije pravca p; neka ."Ie odrede projekcije probodista stasea s tim pmvcem (51 ",26) ~

Taj cernD zadatak rijesiti na nacin koji je prikazan na .slid 18, po­mocu ravnine E koju cerna poloziti pravcem p i vrhom stosea V.

Na pravcu p istaknemo koju god tocku T i 5pojiIpo je S YFhom V pravcem m. Pravci p i m odreaujtl ravninu E koja ide vrhom stosca. Prvi je trag te ravnine pravac e1 = (Pl , 1\.1 J) koji presijeca osnovnu kruznicl'r stosca u tockama 1 i 2. Ravnina E sijece stozae u izvodnicama lV i 2V, kOje presijecaju pravac p u trazenim probodistima G i H. Pomocu tlocrta j nacrta izvadnic& lV i 2V odrede se tlocrti G' i Ii' i naerti G" i H" tra­zenih -probodiSta.

Tacke G i H su na prednjoj polovini stosca, pa se zbdg toga oba pro­bodista u tlocrtu i nacrtu Vide, a ne vidi se sarno onaj di-o pravca koji je izmedu tih probodiSta.

19. Vlezbe. - 1. Odredite probodlsta rotacionog stosca kojemu je osnovka u rnvnini n2, srediStc osnovke 0 (30, 0, 30), polumjer T = 20, a vb.ina v = 50, s prav­cem MN [M (0, 20, 50), N (60, 20. 10)]!

2. Odredite probodista rotacionog stosca iz zadatka L s pravcem MN [M (40,

'r 0, 35), N (40, 50, 35)] I

20

3. Odredite probodiSta ["otacionog stosca kojemu je osnovka u ravnini lIt, srediSte osnovke 0 (SO; 30, 0), polumjer r = 20, a visina v = 40, s pravcem MN (M (20, 30. 0); N (75, 45, 35)]!

4. Odredlte probodiSta rotacionog stosca iz. zadatk:a 1. s pravcern MN (M (0,50, 55), N {20, 45, 40)J!

11,

P' , m'

e,

x

"

5/. 26.

,6. Prohodista kugle s pravcem

P" ,

20. ProbodiSta kugle s horizontalnim pravcetn. Zadane su projekcije kugle i projekcije horizontalnoga pravca p; odredite projekdje probodista

kugle s tim pravcem (s1. 27)1 Horizontalna ravnina L koju polozimo pravcem p sijece kuglu u

usporedniku k koji presijeca pravac p u trazenim probodistima G i H kugle s pravc'em.

Drugi trag S2 ravnine 2: P9klapa se s pravcem p", a isto taka i nacrt k" usporednjka k pada u p", Tioert toga usporednika'je kruinica k't kojoj je tot:ka S' srediste, a polwnjer jednak polovini duzine r' 2". Pravac p' i kruznica k' presijecaju se u tockama G' i H', koje su tloertl trazenih probodiSta G i H. Nacrti G" i H" tih probodista jesu na pravcu p".

""

21

Toeka G je na gornjoj prednjoj cetvrtini kugle, a toeka FI na gornjoj straznjoj cetvrtini kugle, pa se zbog toga obje toeke u tlocrtu vide, dok se u nacrtu toeka G vidi, a tocka H ne vidi, pa se u nacriu ne vidi i jedan dio pravca nadesno od toeke H.

21. ProbodiSta kugle s vertikalnim pr.avcem. Zadane su projekcije 'kugZe i projekcije vertikalnoga pravca p; neka se odrede projekcije prD~ bodista kugle 8 tim pravcem (81. 28)!

p'

x

P' e'

Sl. 27. SL 28.

Kako je tloert vertikalnog pravca p tocka p', padaju u tu toeku i tlocrti G' i H' traienih probodista G i H. Njihove nacrte CUHn mozemo odrediti na d van a c ina: pomo(:u us p 0 red n i k a kit odnosno k 2 •

kugle1 koji prolazi tockom G, odnosno H, iIi pomoc:u s po red n e k r u­Z n ice k3 kugle koja je usporedna s ravninom II:h a ide toeka.ma G i H.

Kruznica kojoj je srediSte tocka sr, a prolazi tockom p', jest tlaert usporednika k l • kao i usporednika k 2 • Nacrti k/, 1 Kt tih usporednika. koje odredimo pomocu toeaka 1 i 2 te 3 i 4, sijeku pravac p" u toekama eN i HN.

IIi nacrtamo u tlocrtu kugle duzinu 5' 6'. koja je usporedna S os1 X" ~

i prolazi t<Jckom' G' i!!!!!: H'. Ta je duzina, tlocrt ka' s p 0 red n e k r u-

z n ice ka kugle koja prolazi toekama G i H, a usporedna je s. II!. Njezin nacrt jest kruznica ktt kojoj je dutina 5" 6" promjer. Kruznica k:t presl_ jeca pravac pit u tockama G" i H".

Tocke G i H na prednjoj su polovini kugle, te se obje u nacrtu videl

pa se zbog toga pravac p u nacrtu vidi sve do tih probodiSta.

22. Pl'obodiSta kugle s pravcem. Zadane su projekcije kugle i projek~ cije pravca p; odrcdite' projekeije probodista kugle s tim pravcem (s1. 29)!

Ako pravcem p polozimo prvu ravninu prometalicu P, ona ce sjeci kuglu u kruznici k, koja ce presijecati pravac p u trazenim probodistirna G i H.

rn"

e~ A"

B'

' ....

S1. 29.

\

'~~. \

Prvi trag 1'1 ravnine P po­klapa se s pravcem p', U 1'1

pada tlocrt k' kruznice k, i to od tocke A' do tocke B', Duzina AB, koja je u ravnini ekvatora kugle, jest promjer kruznice k. Na njoj je srediSte 0 te kru­znice kojega je tloert 0' u polo­viStu duZine A'B' (O'A' = O'B'). Nacrt 0" srediSta 0 jest na naertu e" ekvatora e te kugle jer je srediSte 0 u ravnini toga ekvatora.

U tocku 0' pada i tloert CD' vertikalnog promjera CD kruznice k, koji se u nacrtu pro­jicira u pravoj velicini kao du­zina enD" (O"C"=O"D"=O'A'). Nacrt k" kruznice k jest elipsa kojoj je duiina e" D" velika as, . a duzina A"B" mala os, Pravac po presijeca tu eUpsu u tocka~ rna Gil i Hii koje su nacrti tra­zenih probodi,ta G i H kugle s pravcem p. Tlocrti G' i H' tit' probodiSta su na tlocrtu p' pravea p,

Projekdje probodiSta G i H mozerno odrediti bez crtanja nacrta k" kruznice k ako rav­ninu P prevalimo u IIII zajedno

23

s kruzni.com k i pravcem p, oko nje7.inog prvog traga T t . U toeki 0' po­stavimo okomicu na Tl i na nju nanesemo duzinu 0'00 = SozS", jer je tocka 0 u ravnini ekvatora, pa oko 0 0 op:isemo kruznicu ko polumjerom G,A, = 0'.1'. Istaknemo z.tim !1a pravcu p ko ju god toCku T (IT') i odredimo prvo probodiste PI toga pravea da bismo pomocu tih tocaka prevalili pravac p uTI,. Kad ucinimo T'To ~ Tl i T'Tu = T:r;T", pa spojimo To sa Ph dobijemo u ITt prevaljeni pravac p. Pravae po presijeca kru­inicu ko u tockama Go i Ho. kaje su prevaljena trazena probodiSta G i H. Ako sada iz Go i Ho spustimo okomlce za p', 'one ce presjeci p' u tlocrtima H' i G' trazenih probodiSta, 'Go njihovi nacrti G" i H" bit ce u naertu p" pravca p,

Probodiste G je na gornjoj prednjoj cetvrtini k'ugle, a probodiSte H na donJoj straznjoj cetvrtini kugie, pa se zbog toga t06ka G viai u t.1ocr~u i u nacrtu, dok se tocka H ne vidi ni u tlocrtu ni u nacrtu.

23. Vjcibr:. - 1, Odredite probodista kugle kojoj jc sr~diSte S (:W, 30, 30), a polulnJer T = 20, 5 pravcem MN (M (0, 20, 40), N (60, 45, 40))1

2. Odredite probodista kugle iz :.:ad<ltka 1. s pravcem MN [M (40, 0, 4:0),

N (40,60, 40))!

3. Odredite probodista kugie iz. zadalka L s pravcem MN [M (40, 40, 0). N (40, 40, 50)]!

4. Odredite probodiSta kugle iz z<ldatka 1. s pravcem MN [M (0, 25, 15), N (50, 50.. 50)]!

24

II. KONSTRUKCIJE SJENA

7. Sjene ravnih lib:ova na ravninama projekcija

24. Uvod, vrste rasvjete, samosjena i bacen9, sjena, dijagonalna rasvje_ tao - A. - U v 0 d. Kad tehnicar hoce da predoN neki predmet slikom, on ga oh.ttno postavi pred ravnine projekcija tako da su oni bridovi pred­meta koji se ·proteiu u smjeru njegovih dimenzija (duljine, sirine i visine) usporedni S osi x, odnosno y, odnosno z. Taj polozaj, koji se zove jrontalan, ima te prednosti da je konstrukcija slike predmeta jednostavnija, a nje­gove se dimenzije mogu iz slike lako dobiti. Ali' te prednosti. prati. taj nedos~atak da je kod slczenog predmeta tesko iz njegove slike zaklj uCiti sto silka prikazuje. Da bi se povecala zornost slike nekoga predmeta, nacrtaju se pored njegovih projekcija jos i njegove sjene. Kako se kon­struiraju sjene predmeta, to cerno uciti u 0vom poglavlju.

SL 30. St. 31.

B. - V r s t e 'r a s v jet e. Slika 30. prikazuje izvor svjetlosti I i horizontalnu ravninu IT I . Iz izvora svjetlosti rasprostiru se irake svje­tlosti pra-.rocrtno na sve str-ane i osvjetljavaju ravninu IIi' Ako se i:tmedu ,l.zvcra s"jetlostl I i ravnine ill postavi materijruna toeka T, koja je ne­prozirna, ona ce zaustaviti onU zraku svjetlosti koja na nju .udari, pa ce

25

£e na ravnini ITl pojaviti tamna toeka Tb lroja se lOve bacen.a sjena toeke T. Toeka TJ je ona toeka u kojoj bi zraka svjetlosti s, koja je' zaustavljena na toeki T. probola ravninu III kad bismo je produzili do III'

Sjenu neke tocke na II, odredujemd, dakle, tako do tom to"kom po!o­timo zraku s1JjeUosti, pa nademo probodiste ravnine III s tom zrakom.

Slika 31. prikazuje izvor svjetlosti It horizontalnu ravninu III i trokut ABC koji je izmedu izvora svjetlosti i ravnine ill' Taj trokut baca sjenu na ravninu Ill! koju odredimo taka da naderoo sjenu svakog vrha trokuta, pa te sjene spojimo medu sabom duzinama. Trokut AJBrCJ je bacena sjena trokuta ABC na ravnini II!.

Izvor svjetlosti je na 51. 30. i 31. toeka I, koja je 1.1 konacnosti. Kad je izvor svjetlosti 'Pocka kOja je u konacnosti. tad se takva rasvjeta zove centralna, a karl je izvor svjetlosti u beskonacnosti, takva se rasvjeta zove usporedna iii paralelna, jer su tada zrake svjetlosti medu soborn uspo­redne. Suncanu rasvjetu mozemo smatrati usporednam rasvjetom, jer suncane zrake koje padaju na ZemJju iz udaljenosti,od 150 milijuna km mozemo uzeti da su paralelne.

Paralelna rasvjeta je za tehnicara vaznija ad centralne, jer se ona u velikoj vecini slucajeva upotrebljava u tehnickom crtanju.

c. - Sam 0 s j en a i b ace n a s j en a. Na sHe! 32. nacrtana je kugla koja je izlozena usporednoj rasvjeti. Onaj dio kugline plohe kojt je okrenut prema izvoru svjetlasti osvijetljen je, dok je ostali dio Ujela u tami. Za tamni dio kugline piohe kaiemo da je u samosjeni. Kruznica k, koja rastavlja osvijetljeni dio kugline plohe ad onaga koji je u samo~ sjeni, zove se rastavnica ill mean saw mosjene. U osvijetljeni dio kugline plohe udaraju zrake svjetIosti, a u toCkama rastavnice one dodiruju

. kuglinu plohn i cine dodirni valjak kugle. kojemu je os usporedna sa zrakama svjetlosti. Ako taj dodirni valjak presijeeemo ravninom III dobit cemo krivulju k[, na kojoj su bacene sjene Ah Bb CII - - - pojedinih toeaka A, B, C, - - - rastavnice- k. Krivulja k l , koja je bacena sjena rastavnice k na IIi jest meda bacene sjene kugle na toj ravnini. sz. 32.

Iz toga primjera vidlmo da s. pri odrellivanju sjena geornetrij,koga tijela najprije mora utvrditi koj~ je dio tijela u samosjeni i §to je rastav-

26

nica ili meda samosjene, a zatirn se odreduje bacena sjena te ~astavnice na neku ravninu iIi na neko drugo tijelo, pa se dobiva bacena sjena toga tijela.

D. -- D i jag 0 n a 1 n a r a s v jet a. Na slici 33. nacrtana je kosa projekcija kocke i njezina dijagonala A O. Aka medasnje kvadrate te kocke smatramo ravninama projekcija, a dijagonalu A 0 zrakom svjetlosti 8, onda je A'O =.- s' tlocrt, a A"D ;i2 sri nacrt zrake svjetlosti, dok je Am

o "'" sm C'~esni. a A"'O .... SUI lijevi bokocrt zrake svjetlosti s. Buduci da su projekcije zrake s dijagonale medasnjih kvadrata, one cine S osima x, y, z kutove od 45°, Preklopimo li desnu, lijevu i donju medasnju plohu kocke na ravninu slike, dobit cerno sliku 34.

l'ehniCar obicno uzima da zrake svjetlosti pri usporednoj rasvjeti pa­daju na predmet u smjeru dijagonale kocke, kojoj se medasnji kvadrati poklapaju s ravninama projekcija. Takva se rasvjeta zato i zove dijago­nalnc.; ili tehnicka rasvjeta. Pri dijagonalnoj rasvjeti osvjetljenje predmeta je najpovoljnije, a njegove se sjene mogu pomocu crtaceg istokracnog pravokutnog trokuta lako odrediti.

25. Sjena tocke. A. B ace n a s j en a toe ken a ITt, Sillea 35. a prikazuje u kosoj projekciji toc-leu A i zraku ,svjetlosti 5, koja je polo­zena tom toekom, zatim tlocrt $' i nacrt· s" te zrake. Zraka svjetlosti pro­bada ill u.toCki AI, u kojoj se sijece zraka s sa svojim tlocrtom s', a IT!! u toeki All, u koj~j se sijece zraka s sa svojim nacrtom s". Toeka At je ba­.cena sjena toeke A na ITI a tocka All bila bi bacena sjena tocke A na II2 ' kad ne hi bilo ravnine lIt. U tom je'primjeru tocka A bliia ravnini ITI nego

27

ravnini IIz• pa je zbog toga tocka AI prava iIi bacena sjenn. tocke A na TIl! a All je sarno njezina geometrijska sjena na TI

2.

Zadane su projekcije tocke A; odredite njezinu bacenu sjenu pri dija­gona!nOj rasvjeti (s1. 35. b)!

U zadatku je istaknuto da sjenu tocke treba odrediti pri dijagonalnoj rasvjeti. Ubuduce to ne-cerno isticati jer cerno sve konstrukcije sjena 1zvoditi uz pretpostavku da je rasvjeta dijagonalna,l

TT, ~o

~i"

! 5 R

\ M L K

Yi. ·.·.Y><1-; s'! •

A' S1. 3.5. a S!. 35. b

'l'locrt s' zrake svjetlosti s, koju poloZimo tockom A, kao i njezin nacrt s"~ cine s osi x ku~ oct 45", kako je to obja.snjeno na sliei 33. Ako u toeki M, u kojoj s" sij~ce os XI postavimo okomicu na os x, ona ce presjeCi s' il toeki AI. koja je p r a v a iIi b ace n a s j e n a toc"ke A na Ill' Posta­vimo Ii u tocki LJ u kojoj Sf .sijee€ os x) okomicu na os x, Dna ce J?resj~ci s" u tocki Au. koja je g e 0 met r i j s k a s j e n a toeke A na II". - ...

Kad je rasvjeta dijagonalna, tocke AI i All su jednako udaljene 'Od osi x, jer je trokut M L Al sukladan s trokutom M L All (oni se poduda­raju u zajednickoj stranici M L i u kutovima koji su na njoj).

B. - B ace n a sf en a toe ken a ll2' Na slici 36. a prikazana je u kosoj projekciji tocka B i zraka svjetlosti s, koja je polozena tom toe­kom, te tlocrt $' i nacrt s': te zrake. Toeka B je bliZa ravnini II2 nego rav­nini III. pa ce zbog toga p r a v a ili b ace n a s j en a te toeke biti sada na TI2 , age 0 met r i j s kana ITl • D.rugo probodiste Blf zrake svjetlosti s je bacena sjena toeke B, 'a njezino prvo probodiste Bi je gE'ometrijska sjena te toeke. '

1 Ponovite iz gradiva I razreda: odredivanje probodiSta pravca S Tavninama projekCija!

28

Zadane su projekcije tocke B; odredite njezinu ba-cenu sjenu (s1. 36. b)! Kroz. projekcije toeke B povudmo projekCije s' i s" zrake svjetlosti s

i odredimo probodista B f i Bll te zrake s TIl i Ill!' Ell je b ace n a sjena, a. 8 1 geometrijsk,a sjena tocke B.

C"

~.~... ;.

~ x

r:' Sl. 36. a Sl. 36. b S1. 36. c

Iz sukladnosti pravokutnih istokracnih trokuta B'IL i BOKBIl 1z1az1 da je B"K ~ KBIl ~ B'1.

Na tome svojstvu' dijagonalne rasvjete temelji se kraci nacin odredi­vanja bacene sjene toC~{e na IT;l. koji prikazuje slika 36. c.

C .. - K 0 n s t r u k c i jab ace n e s j e net 0 eke k 0 j a j e z a­dana nacrtOrrl i bokocrtom. Slika 37.a prikazuje u kosoj p:ro-

o

/:~ s' ... -;: I

/y A

L

S1. 37. a

A"

z~s. (¥. . .L ........ ~.

j i _l--h_-+,-O? .~

y

S1. .17, I)

jekciji toeku A i zraku svjetlosti s, koja je polozena to:n t'oC~om, P~red toga prikazane Sll sve tri projekcije tocke A i zrake sVJetlosh $. Bacenu

29

sjenu All te toeke na II! mozemo odrediti ne sarno pomoeu tlocrta i naerta zrake svjetlosti vee i pomoeu njezina nacrta i bokocrta. Ako bokocrt s'" zrake svjetlosti polozene toCkom A sijeee os z u tocki N, onda ordinala kaja ide tom tockom okomito na os z, sijece s" u toeki All.

Na tom razmatranju temelji se konstrukcija bacene sjene tocke A upotrebom nacrta i bokocrta, koja je izvedena na slid 37. b. Na toj slici dodana je jos zbog kontrole i konstrukcija bacene sjene tocke A pomoeu tlocrta i nacrta.

26. Sjena duzine i sjena krivulje. - A. - D u z ina b a cas v 0 j u S j en una Ill' Na slici 38. prikazana je u kosoj projekciji duzina AB, njezin tlocrt A'B' i toCka Dh u kojoj produienje te duZline probada rav­ninu lIt. Prikazane su zatim bacene sjene Al i BJ toeaka A i B na IIl •

koje su odredene pomocu zrake svjetlosti S 1 njezinog tlocrta s'. Na toj duzini istaknuta je koja god toeka C i odredena njezina bacena sjena C 1

na ITl . Kad bismo odre<iili bacene sjene svih tocaka duzine A B, one bi

8

c s

S1. 38. Sl. 39. Sl. 40.

ispunile duzinu Al B!. jer sve zrake svjetlosti. polozene toekama te duffie. cine ravninu svjetlosti; koja se s ITl sijece u pravcu na kojemu je duzina Al B,. Produzimo Ii tu duzinu do probodista DJ• produzit ce se i njezina bacena sjena do te tocke, jer se bacena sjena tocke Dl na fIt poklapa s DJ. .

1z toga ra2matranja izvodimo: Siena duZine na nekoj ravnini jest duzina koju. dobijemo ako odre­

dimo bacene sjene njezinih krajnjih tocaka ~ te spojimo duzinom.

Sjena duzine na nekoj ravnini ide probodistem ravnine s tom du.~

zinom. Na slici 39. rijesen je ovaj zadatak: Zadane su projekcije duzine A Bi

odredite bacenu sjenu te duzine!

30

Odredimo 1i bacene sjene Al i BJ krajnjih tocaka A i B. na naCin koji je objasnjen na slici 35. bl bit ce duzina Al BJ trazena bacena sjena. Aka se, zbog kontrole nade prvo probodiste Dl :oroduzene duzine AB, nnda mora tim probodjstem ici i bacena sjena te duiine. Polozaj te du7.ine u prostoru je takav da njezina haC-en a sjena pada citava na Il t •

B. - D u i ina b a cas v 0 jus j en una II:!. Na slid 40. na­crtane su projekcije duzine CD i odredena je njezina bacena sjena. Buduci da su obje krajnje tocke te- duzine blize ravnini II:,! nego ravnini TIl. to su bacene sjene tih tocaka na II!h pa i bac-ena sjena te duzine lezi citava na II2• Kad bismo odredili drugo probodiSte produzene duzine, bacena hi sjena duzine iSla tim probodiStem.

c. - D u z ina b a cas v 0 jus j en una III i li2, Na slici 41. a prikazana je u kosoj projekciji duzina A B, koja je u takvom polozaju prema ravninama projekcija da njezina donja krajnja toeka Abaca sjenu

B":

fl, A'

B

5

B, A '"'--- .... 8 1 5 ,-- ''\c x

5' AI

;3' 5' 8' 5'

n,;

SL 41. a Sl. 41, b

na ITl u tocku Ab a njezina gornja krajnja tocka B baca sjenu na lIz U

tocku B 11 • Kad ne hi bilo ravnine IT2, baeila hi tocka B sjenu ua III u tocku B" pa bi bacena sjena duzine A B na TIl bila duz.ina AI B/. BuduCi da TIt sijece tu sjenu u tocki C, penje se hacena sjena te duZine od tocke C do B ll , Sjena duzine A B lomi se, dakIe, na osi x u tocki C.

Zadane su projekcije duzine A B; odredite njezinu bacenu sjenu (51, 41. b)!

Pomocu projekcija s' i s" zrake svjetlosti S odredimo bacene sjene .4, i BlJ krajnjih toeaka A i B te duzine. Buduci da je tocka AI na II"

31

fl,~cka Ell n.~ D2 , ~i ih ne smijemo spojiti duzinom, vee moramo jos odre­dltI geometflJsku SJenu tocke B na ITt. tj. tocku B/, Duzina Al B[ bila bi ba~ena sjena duzine AB na III kad ne bi bilo ravnine n ali lI:;alw II sijece tu ~j~nu u tocki C, to se ena lom-i u tocki C prema t~~ki B

II. 2

D. - ,B ace n a s j en a d u z inc k 0 j a j e us p 0 red n a 5 II iIi TI2, Na slid 42"prikazana je u kosoJ' proJ'ekciJ'i duzina AB 1'0' .'

d . ," Ja Je ~spore ~a s TIl> 1 bacena sjena te duzine na TIl' Buduci da je duzina AA' Jed,na,ka 1 Usporedna 5 duzinom B B', a zrake svjetlosti s, kao i njihovi tlo­crt~ s, medu soborn su u5poredni, to je trokut AA'A/ sUkladan s trokutom BB B,. 1z sukladnosti tih trokuta izlazi da je AA = BB i A' A = B'B P t 1'k' A f /. I !. ,rema orn,e ,SU 1 OVI . BB/AJ i A"B,B'A' paralelogrami, pa je A,B: "* AB 1 AIBI ,* A B , lz toga lzvodimo ova p r a viI 0;

, A,ko j~ duzina uSPoTe~~a s ~av~li~~m na koju baca sjenu, onda je nje-zma sJena usporedna s duzmom t nJoJ Jednaka a ist . tak ' ,. , , . d . '. ,0 0 Je nJezma sJena

USp01 e na s normalnom proJekclJom duzine na toj ravnini i njoj jednaka.

Sl. 42. SL 43. SL. 44,

Na slid 43. izvede~a je konstrulccija bacene sjene duzine A B; koja..je uspo~edna ~ III' :Z bace~~ 5jene AI tocke A na ITl ide, prerna gornjem pravllu, bacena sJena duzme A B usporedo s njezinim tlocrtom A'B' do tot-lee C n~ .osi x, pa se lomi prema bacenoj sjeni B If tocke B na n."

Na Sh~l 4~. odr;dena .je bacena sjena duzine CD, koja je uspo~edna s ~:. Ona Ide 12 baeene sJene ell tocke C na 112 usporedo 5 naertom duzme do tocke E na osi X J pa se tu lomi prema baceno' s;eni D tocke Dna'IT

l,' J J [

.. E. - B_acen.a, sje~a duzine koja je 'ok!omlta na III I 1.1 n~. 1. - N~ shel.45. nacrtane su projekcije duzine A B koja je oko­ffilta na TIl· Bacena SJena Ai donje krajnje t-octe A nalazi se na n a ~acena sj~~a B lI, gornje k~ajnje tocke B je na II2 , pa je z'~og toga odred~na geometrIJska sJena B f tocke B na ITI · Buduci cia se tlocrti A' i B' toe-aka

32

A i B poklapaju, to se poklapaju i tlocrti ::;' zraka svjetlosti koje poloi:im'o tim tockama, pa su toeke AI i B/ na pravcu s') koji ide toekom A' ;;;;;: B'. Onaj dio A! C bac€.ne sjene te duzine koji pada na TIl usporedan je dakle s tlocrtom zrake svjetlosti, a onaj dio eBJ{ bacene sjene koji pada na II2 mora) prema zadnj~m pravilu, bib usporedan s nacrtorn te duiine.

8"

S' i _..,.

,! :4, A B'

A' S'

0' B'

SI. 45. 51. 46. SL. 47.

2. - Na slid 46. nacrtane su projekcije duzine CD, koja je okomita na II2 , i odredena je njezina bacena sjena. BuduCi da se sada nacrti efT i D" toeaka C i D poklapaju, to se poklapaju i nacrti SO zraka svjetlosti koje poloiimo tim toc-kama, pa su sad a tocke ell i Dll na pravcu sri, koji iqe tockom en ;s;: D U

• Bacena sjena te duzine na njl usporedna je, dakle s na­crtom zrake svjetlosti, a njezina bacena s,iena na III mora biti usporedna s tlocrtom te duzine.

1z ta dva slucaja izvodimo ova p r a vila:

Kad je duzina okomita na ravnini na koju. baca sjenu, tad je njezina sjena usporedna s normalnom projekcijom zrake svjetlosti na to; ravnini.

F. -- B ace n a's j e n a k r i v u 1 j e. Na slici 47. nacrtane SU projekM cije luka neke krivulje, kojemu su krajnje tocke A i E. Na tome luku is­taknutf: :':iU tocke B, C i D, pa je svakom tom tockom polozena zraka svjet­losh i odredena j,e -njezina bac-ena sjena. Sjene AI, B/, Ch D/ i Ef svih tih tocaka nalaze se na IT I , zato je krivulja kojom spajamo te toeke bacena sjena luka A E ~a ill'

Sve zrake svjetlosti koje polozimo tockama neke krivulje cine izvod­nice valjkaste piohe, a presjek te plohe nekom ravninom je bacena sjena krivulje na toj ravnini.

33

27. Sjena ravnog lika. - A. - B a (': e n a s j en apr a v 0 k u t _ n i k a, Odredite bacenu sjenu pravokutnika koji je usporedan s II:! aka Stt dvije njegove stranice okomite 'na Ill!

1. - Na slici 48. nacrtane su projekcije pravokutnika ABC D. Njegove su strap.ice usporedne s II2, pa ce bacena sjena svake stranice na TIl! biti

, usporedna s nacrtom te stranice i njemu jednaka «(,:1. 26. D.). Lik AI( B" ell DUI sto· ga omeduju bacene sjene stranica toga pravokutnika, jest nje­gova bacena sjena. Bacenu sjenu lika iscrtamo tankim i usporednim prav­cima. Polo!aj u prostoru pravokutnika ABC D je takav da on baca sjenu sarno na II2• koju djelomice ne vidhno jer je skrivena od pravok~,tnika.

Sl. 48. SL. 49. s1. 50.

Buduci da je AIIB",#:AuB", Bf/Ca=fi=B"C", ClI DII * e" D" i DIl All :#: *D" A"~ to je pravokutnik Au BlICIf D" sukladan s pravokutnikom A" B" C"D", kao i s pravokutnikom ABC D u prostoru. Odatle izvodimo ovo pravilo:

Ako je ravan Uk usporedan s ravninam na koju baca sjen-u,. onda. je njegova sjena sukladna s likom u prostoru i s njego1)om normalnom pro­jekcijom na toj ravnini.

2. - Na slici 49, nacrtane su projekcije pravokutnika E F G H, kOji je takoder usporedan 5 ll2. ali je njegov polozaj u prostoru takav da on baca sjenu samo na Ill'

, 3. - Na slici 50. nacrtane su projekcije pravokutnika [J K L~ koji Je takoder usporedan sa II~ ali on baca sjenu na ITt i na IT;? Njegova Se bacena sjena lomi preko osi oX i penje se na n~. a dio te sjene ne vidimo jer je skrivena od pravokutnika.

3 Nacrtna geometrlJa

34

BuduCi da su ravnine svjetlosti polozene usporednim stran.icama pra­vokutnika medu sobom usporedne, one sijeku ravnine projekcija u uspo_ rednim pravcima, pa zhog toga moraju bacene sjene usporednih stranka lih pravokutnika biti medu sobom usporedne,

Usporedne duzine bacaju na koju god Tannin'lL usporedne sjene.

B. -- B ace n a s j en apr a viI n 0 g pet e r 0 k uta. Odredite bacenu sjenu pravilnog peterokuta koji je usporedan sa TIl ako je jedna njegotJu stranica usporednu sa II! (sL 51)!

Na slici 51. nacrtane su projekcije toga peterokuta. Njegova bac-ena sjena na TIl je, prema pOllcku iz cl. 27. A 1, Uk A, B/ C, D/ E" koji je sukladan s tlocrtom peterokuta. Buduci da os x sijece taj Uk u toekama

SL 51. SL. 52.

MiN, penje se sjena peterokuta od osi x na Ill/: do tocke Dfl. Tocka DIt je bacena sjena tocke D na Ill, a tocka Dl je njezina geometrijska sjena na III koja je potrebna pri konstrukciji onoga dijela bacene sjene petero­kuta koja pada na Ill, a koju peterokut djelomice skriva.

C. -- B ace n a s j e n a k rug a. Od1'edite bacenu' sjenu kruga koji je usporedan s II2!

1. - Na slid 52. naertane su projekcije kruga koji je usporedan s II2, Prema poucku i.z cl. 27. A 1, bit ce bacena sjena toga kruga na IT!' krug koji je sukladan s njegovitn nacrtom.

Ako odredimo bacenu sjenu SII srediSta S toga kruga na TI2, pa oko njega opisemo kruznieu kojoj je polumjer jednak polwnjeru naerta kruga, dobit cerno menu bacene sjene toga kruga. Tocku Slf mozemo odrediti pomocu nacrta i tlocrta zrake sv jetlosti Hi pomocu nacrta i bokocrta zrake svjetlosti, kako je to prikazano na slici 52.

-, !':

35

j(olozaj toga kruga u prostoru je taka v da njegova sjena pada citava na TI2• sarno je djelomice ne ,vidimo jer je krug skriva.

2. - Na slici 53. nacrtane su projekcije kruga koji' je takQder uspo­

redan s II2 , ali zbog svoje velike udaljenosti od II2 baca svoju sjenu sarno na ilt ) koju od:redimo ovako:

.. Oznac~mo pr~jekcij~ promjera A B, kaji je usporedan sa TIl i pomocu ~Jlh. ~dredlm? bacenu SJenu AI B, toga promjera. IstaCi cerno zatim pro­JekcIJu promlera CD, koji je okomit na TIl> pa pomocu njih nad bacenu sjenu C1 D 1 toga promjera. :

Sl. 53. Sl. 51.

.. Buduci da s~ promjeri . A B i CD konjugirani promjeri kruga, to su nJI~ove vbacen~ sJene AI B f I C, D j konjugirani promjeri elipse koja ome­~.uJe bacenu < ~Je~u toga ktuga. Tangente kruga u totkama A, B, C i D Clne tangencl]alm .kvadrat krug-8, a sjene tih tangenata cine tangenciJ~l1ni p.~ralel~gra~ :e ellpse. ?a ~~smo dobili jos cetiri toeke i c~tiri tangente te eh~se, Ista~l .. cerno prO)ekClje onih toe-aka E, F. G i H, obodnice kruga ko~e su r:a dlJagonalama tangendialnog kvaclrata, i odredit cemo njihove ~acelle sJene EiJ Ff, G, i HI. Tangente elipse u tockama koje se nalaze na lednoj dijagonali tangencijal~og paralelograma usporedne su s njegovom drugo-m djjagonalom.

Bacenu sjenu toga kruga vidimo citavu.

3. -- Na slid 54. nacrtane su projekcije· kruga koji je takoder uspo~ redan s IIjh ali on baca sjenu na obje ravnine projekcija.

Bacena sjena k'ruga n~ ill' koju odredima kaQ na slici 53, sijece se S osi x u duZini M N. Od te duzine penje se bacena sjena kruga ria !I2 U obliku odsjecka kruga, kojemu je srediSte u tocki 8 11• a polumjer je' jedncik . polumjeru nacrta kruga.

D. ~- B ace n a s j e nap r 0 Z 0 r u s 1 i c n ali k a. Zadane su sve tri projekcije lika koji natici na prOZOT) a njegova je ravnina u.sporedna

S'ila; odredite njegovu bacenu sjenu. (s1. 55)!

G' H" .. / .....

O'E . c" '\~"

A" E.~ ... B"\

£' 8, F' G'y B' C'

G,

s·

------­y

Sl. 55.

Lik je sastavljen. od pravokutnika ABC D, u kojemu je ucrtana i

srednjica E F, i od polukruz,oice nad shanicom CD. Bez bokocrta tesko bi bilo iz tlocrta i nacrta zakljuciti sto oni predoeuju, a isto tako bile hi tesko odrediti i bacenu sjenu toga lika. , .

Kao sto smo 'na slici 52. odredili bacenu sjenu Sit sredista S na n~ pomoc.u nacrta i bokocrta zrake svjetlosti, tako i sada odredimo pomoeu nacria i bokocrta z'rake svjetlosti bacenu sjenu na IT:! toe aka A, D, H, G, I, C i E.

37

Sjenu tocke B, koja pada na Ill' mozemo odrediti pomoeu tlocrta i nacrta zrake svjetlosti, a mozemo i pomoc:u tlaerta i bokocr1a zrake svjet­lasti. Pravac Sill polo~en toekom B'" sijece as Yl u tocki M, koju rotiramo oko tocke 0 za 90· na os y i dobijemo tocku N. Tocka B I je sjeciste ordi­nale koju polozimo tockom N okornito na as y i pravca s' poloi.enog tockom B'. Trokut 0 M N pri dijagonalnoj je rasvjeti pravokutan i isto­kracan, pa tocku N moierno dohiti direktno bez toeke M tako da pravac s"', polozen tockom E"', produzimo do sjecista S osi y. Na taj nacin odre­dena je bacena sjena F J tocke F na ITt.

Glavni dio bacene sjene toga lika je na I11 a sarno se mali dio lomi preko osi x i pada na II j •

28. Osvijetljena i osjenjena sh'ana ravnoga lika. A. - Ako je. ravan Uk izloien rasvjeti, onda je osvijetljena ona njegova strana koja je okre­nuta izvoru svjetlosti. a za drugu njegovu st~anu. koja je osjenjena, ka­zemo da je usa m 0 s j e n L Ravni likovi kojima smo dosad odredivali

p

s 9 Qr

; -1"1 :8" C ________ ~ __ '~r.~,_i ______ . ______ ~ ______ ~x

T le' A B E'

0'

Sl. 56. SI. 57. SI. 58.

bacene sjene imali IlU u prostoru takav poloiaj da smo u projekcijama vidjeli njihove osvijetljene strane. BuduCi da irna slucajeva da se nekom ravnorn liku vidi u jednoj projekciji njegova osvijetljena strana, a u dru­goj projekciji njegova osjenjena strana, mi cerno sada upoznaU naCin kako se moze odrediti cia Ii se u jednoj iIi drugoj projekciji vidi osvijetljena ili osjenjena strana ravnoga lika.

Slikom 56. predocen je u kosoj projekciji ravan lik ABC D. koja god tocka T na njemu, zraka svjetlosti s, koja udara u tu tocku, i zraka g, koja'

38

nam prikazuje smjer gledanja na taj ravni lik. Kad je smjer gledanja 9

upravljen onoj strani ravnoga lika na koju udara zraka svjetlosti, tad se vidi osvijetljena strana toga lika. Ako, dakle, zrake s \ 9 dolaze k toeki T s iste strane ravnoga lika, vidjet ce se osvijetljena strana ravnoga lika. Te zrake odreduju ravninu P, koja se sijece s likom ABC D u presjec .. nici p. Kad zrake s i 9 dolaze k tocki T sis t est ran e pre s j e c­ni c e P, vidjetcese usmjeru gledanja 0 S v i j e tl j en a s t ran a li ka AB C D, a kad bi te zrake dolazile k tacki T s r a zl i c i ti h s tra na pre s j e c n ice p, vidjela hi se 0 s j e n j e n a s t ran a toga lika .

.8. - Zadane su. pTojekcije trokuta; odredite da li se u nacrtu vtdi njegova osvijetljena strano!

Na slid 57. nacrtane su projekcije trokuta ABC i istaknut je nacrt, T" koje god njegove tocke T. Zamislimo da u tocku T udara zraka svjet­losti s i zraka 9 kOja je okomita na TIl!:. a prikazuje nam smjer gledanja na II~. Pravac s" je nacrt zrake svjetlosti $, a nacrt g" zrake 9 je tocka kOja se poklapa s T". Ravnina P, koju odreduju te zrake, okomita je na IIl!:. jer je zraka 9 okomita na II2 ; zbog toga se njezin drugi trag T2 po­klapa s pravcem s". Ta ravnina sijece trokut ABC u presjecnici p, kojoj nacrt p" mora biti na drugom tragu 72 ravnine P, a kojoj su krajnje tocke 1 i 2. Buduci da se poklapa 'nacrt zrake svjetlosti s s nacrtom presjecnice p, a naeIi zrake 9 je tocka, moramo nacrtati njihove tlocrte da bismo mogli ustanoviti njihov medusobni poloiaj.

Pomocu tocaka 1 i 2 odredimo tlocrt p' presjecnice p i tlocrt T' tocke T, koja je na njoj. Kad na kraju nacrtamo tloert s' zrake svjetlosti i tloert g' zrake 9, koje udaraju u tocku T, onda it tlocrta vidimo da su zrake s i 9 na ista) strani presjecnice p, a iz toga zakljucujemo da se una crt u vi d i os V i jet 1 j en a s t ran a toga trokuta.

Kako poredaj slova (A'B'C') u tlocrtu trokuta ima isti obilazni smisao kao i poredaj slova u nacrtu (A"B"C"), to u tlocrtu i nacrtu vidimo istu stranu trokuta.1 Buduci cia smo utvrdili da se u nacrtu vidi osvijetljena strana trokUk1. ABC! a poredaj slova u njegovu tlocrtu i nacrtu ima isti obilazni smisao, to zakljucujemo da se i u tlocrtu vi d i 0 S v i jet 1 j en a s t ran a toga trokuta.

Na slici 58. nacrtane su projekcije trokuta DE F, pa je na isti nacin rijeseno pitanje da Ii se u nacrtu vidi njegova osvijetljena ili osjenjena strana. Buduci da su sad a zrake S i g Da razlicitim stranama presjecnice P, zakljucujemo da se u nacrtu vidl ana strana koja je usa m 0 s j en i, pa je zbog toga naert toga trokuta osjenjen.

I Pravilo iz; g.radiva I ra;u-eda.

39

Kako poredaj slova u tlocrtu (D'E'F') ima protivan obilazni smisao od pore<!aja sIova u nacrtu (D"E"F"), to u tlocrtu vidimo drugu stranu toga trokuta, tj. 0 s v i jet 1 j en u ·stranu. '

29. Sjena ravnog lik. pri centralnoj rasvieti. Slika 59. prikazuje tro­kut ABC i izvor sVjetlostl I. Sve zrake s\'jetlosti koje se rasprostiru iz lzvora svjetlosti, a udaraju u trokut A B C1 nalaze se u trostranoj pira­midi I (A B C). Pobocni pridovi te piramidE' su one zrake svjet10sti I A, I B i Ie koje prolaze vrhovima trokuta. Ona strana trokuta ABC koja

S/. 59.

je,okrenuta prema izvorll svjetlosti osvijetljena je, dok je druga strana trokuta. u samosjeni. Bacena sjena trokuta po nekoj r<\vnini IT bit ce pre­'sjek piramide I (A B C) s tom ravninom, koji odredimo tako da nademo one tocke u kojima bridov'r te piramide l tj. zrake svjetlost:t I A, I B i I C,

probadaju ravninu n, pa ih menu soborn .spojimo. Na tom principu odredena je bacena sjena trokuta ABC na ITI i ITl!:

(sl. 59). Najprije su nadene tocke AI, BI i CI u kojima :;rake svjetlosti I A,

40

I B i Ie probadaju n t . Trokut AIBIC1 je bacena sjena trokuta ABC na 11 1, Kako as x sijece stranicu toga trokuta Aiel u tocki M, a stranicu B j C u tocki N, to se iz tih tocaka penje bacena sjena trokuta na n2 do tacke' ell u kojoj zraka Ie probada II.:!.

Polozaj trokuta ABC> u prostoru je takav da je u .tlocrtu vidljiva jedna, a u nacrtu dn,lga njegova strana. Kad bismo ispitali koja je' od tih strana osvijetljena l doz,nali bismo da je to ana" koja se u nacrtu vidi, pa je prema tome u samosjeni ana strana koja se u tlocrtu vidL -Ispitivanje osvijet~jenosti lik'a pri centra In oj rasvjeti vrSi se na isti nacin kao u (:1. 28.

'4.zimajuci U obzir da zrake svjetlosti idu ad izvora I.

30. '-Vjeibe. -- 1. .C?dredite bacenu sjenu duzine:

a) AB fA (lO, 3D, 10), B (<10, 35, 20)];

0) CD [C (20, 10, 30), D (50, 40, 25)]; c) EF [k; (10, 10, 20), F (40, 40, 20»); d) GH [G (10, 20, 10), H (40,20,40)];

e) IJ [I (10, 20, 0), J (10, 20,30)J; I) KL [K (10, 0, '0), L (10, 35, 20)];

2. Odredile bacenu sjenu kvadrata ABCD, koji je uspol'edan 5 nl, aka je nje­gova dijagona\n:

ti) AC (A (lO, 20, 30), C (40, 50, 30)]; oj AC [A (10, 40, 30), C (50, 30, 3D)]!

3. Nadite bacenu sjellu pravilnog scsterokuta, kO,li je uspotedan s ITI, ako je njego\,u sredii'ile S (40, 35, :.-10), a jedan vrh A (10, 35, 3D)!

4. N;jdi~e b<lcenu sjenu pravllnog peterokuta, koji. je usporedan. s n2 , aka je IljegovQ sredistc S (4.0, 30, 35), a jed<1n vrh A (40, 30, 'S)!

5. Odreditc bai'.'enu' sjenu huga, koji je usporedan 5 HI, ako je njegoYo srediste S (40, 30, 20), a polumjer r = 25 mm!

6. Odredite bacenu sjenu pravokutnika, koji je okomit na fIl, ako su njegOY8 tri vrha A (20, 20, lO), B (50, 40, 10) i C (50, 40, 60)!

7. Nacrtajte kvadrat koji. je okomit na III, ako je njegova donja straniea AB [A (30, 20, 10), B (60, 40, 10)J, pa odredlte njegovu bacenu sjenu!

8. Nacrtajte pl'avilni sesterokut, koji je okomit na III' ako je njegova donja slraniea AB [A (30, 20, 10), B (50, 35, 10)). zatim odredite njegoYu bacenu sjenu!

9. Odredlte bacenu, sjenu trokuta ABC:

p) [A (10, 40, 20), B (60, 45, 15), C (30, 15, 50)];

bi (A (10, 30, 10), B (50, 40, 25), C (30, 10, 40)]!

10. Odrectite bacenu sjenu trokuta ABC:

a) [.(1 (10, 45, 50), B (70, 15, 40), C (40, 5, 20)]; b) [A (10, 20, 10), B (25, 45, 40), C (40, 10, 20)]!

11. Nadite bacenu sjenu pri centralnoj rasvjeti trokuta ABC [A (10, 10, lti~. B (30, 35, 40), C -(50, 30, lO)] ako je izvor svjetlosti I (-20, 80, 70)!

41

12. Odredlte bacenu sjenu pri eentralnoj rasvjeti paralelograma ABeD [A (20, 45, 50), B (10, 15, 30), C (35. la, 20), D] aka je i'zvor svjetlosti 1 (-20, 85, 95)1

13. Nadite bac-enu sjenu paralelograma ABeD [A (-30, 30, 10), B (0, 50, 10), , C {20, 3D, 50), D] pri eentralnoj rasvjeti ako je izvor svjetlosti I (-60, 90, 90)!

8. Sjena tocke i sjena duzine na ravnom liku i na geometrijskom tijelu

31. Sjena tocke na raVllom 1iku. N a slici 60. a. prikazane su u kosoj projekciji ravnine projekcija ITt i n~!I pravokutnika koji je okomit na n

l,

tocka A u prostoru i njihove projekcije. Zraka svjetlosti s, koja je polo­zena tockom A, probada ravninu pravokutnika u tocki An i to prije nego ona dopre do jedne od ravnina projekcija. Tocka Abaca, dakle, svoju sjenu na ravninu pravokutnika, a ne na jednu od ravnina p!'ojekcija. Odatle izvodimo:

)A' s·

A

s

x

A,

SL 60. a S1. 60. b

Sjena tocke na 'ravnom Hku odreduje se tuko da se tockom poLoii"zra­ka s1)jetlosti i odredi probodiste ravnog lika s tom zrakom.

Konstrukcija sjene tocke na ravnom liku svodi se pre-rna tome na odredivanje probodista toga tika s pravcem.

Na slid 60. b zadane su pTojekcije pTavokutn~ka koji je okomit Tta ill i 'projekcije tocke A; neka se odrede projekcije sjene tocke A na pravo~ kutniku.!

•

42

Tlocrt s' zrake svjetlosti s polozene tockom A sijeec se. s tlocnom pravokutnika u tocki A./ a totka A,.," je na nacrtu s" zrake svjetlosti s.

32. Sjena tocke na kvadratu koji je U osobitom polozaju. - A. - Na

sliei 61. odredene su projekeije A/ i A/' sjene A, tocke A na kvadratu koji je okomit na D:!. Nacrt s" zrake svjetlosti S sijece se s nacrtom kva­drata u toeki A/', tocka A:c' je na tlocrtu s' zrake svjetlosti s.

B. _~ Na slici 62. odredene su projekcije sjene toeke A na kvadratu koji je okomit na TI3 • i to na dva nacina: pomocu bokocrta i pomocu prve ravnine prometalice polozene zrakom svjetla s. Ta ravnina prometalicfl,

A'

~ ; ''Z:.A /1" :

.):d~ / .

SL 6J.

J / b'i ' 2' . . •

~ .. '.... .'._/~/ ,{IV·: .• ·· •. ; s' ~; : s' A~ ,; a' !Lt. AI A'

S1. 62. SL 63.

polozena zrakom svjetlosti J, kojoj se prvi trag poklapa s prvom projekci,. jam s' te zrake, sijece stranieu a toga kvadrata u tocki 1, a stranicu b u tocki 2, a sam kvaclTat u duzini 12. Prva projekeija te duzine je l' 2', a druga 1" 2" _ U presJecistu od s" i 1" 2" nalan se druga projekcija A/'

sjene Ax tocke A na tom kvadrat:.l.

C. _ Na slici 63. odredene su projekcije sjene tocke A na kvadratu koji je usporedan sIT:!. Kvadrat koji je usporedan s IT!!: okomit je na II" zato se sjena tocke A oa tome kvadratu odredi na isti nacin kao i na s1. 60. b, sarno se u tom zadatku moze primijeniti ono svojstvo dijago-nalne rasvjete koje je bilo istaknuto na 51. 36. c, tj- A"K" = KA/' = A'I.

33. Sjena tocke na geometrijskom tijelu. Ako se izmedu izvora svjet­losti i nekog geometrijskog tijela nalazi materijalna toeka A, Dna ce baeat! svoju sjenu na to tijel0. Zraka svjetlosti polozena tom tockom probada to tijelo u sjeni tocke na tom tijelu.

43

Sjena toeke bacen~. na' neko, geometrijsko tijelo odre-dl se, dakIe, tako da se toekom polOZl zraka sv]etlosti i oore-di probodiSte tijela s tom zrakom. <

34. Sjena duzine na duzini. Odredite sjenu duiine A B ._ smjernoj duzini CD (s1. 64)! na ml.ffiO

Taj bi se zadatak mogao rijesiti ovako: Sve zrake kOJ·e bi isl t 'k d

". A B x·'j . e oc ama uZJl-:e. . \:~l e hl ravninu sVjetlosti polozenu tom duzinom. To.Ska E

I,

11 kOJoJ bl du7.ma CD probola tu ravninu, hila bi batena sjena dl w· A B na duzinu CD. ' nlne

B"

A"

E'

8'

Sl. 64, SL IJS,

Jedn~stavnije se moze taj zadatak rijesiti ovako: ,_ . J?a ~lsmo ~asli ~jenu w~uzine A B na duzini CD, moramo ,n~JPrije od­

re-dIh bacene sJene tlh duzma. Duzina At B/ je bacena sJ'ena dub A'" ." C Db' ne D, a auzma wi 1 ~cena sjena duzine CD. Sjene tih duzina sijeku se u tocki E/_ Povucemo 11 tockom EJ tloert s' zrake svjetlosti unatraa" on .-I.e p ,". d w· A'B" Wk· E' 0> '- reSJeCl u~~nu. ~ ~c,~ ) a.duZinu C'D' u tocki EI'. Pomoeu ordinala mozerno

naCl zatlm E 1 Ex ' Tocka E duzine A B baca svoju sjenu na duzinu CD u_~ ,

Toc~e E" i Ex" mozemo odrediti jos i na ovaj nacin; Tocko-m El postavi Se .okomI.ca na as x do toeke M, zatim se povuce tockom 1\.1 nacrt s" zrake sv)etlosh unatrag, koji presijece C"D" u E/', a A"B" u En.

Takva metoda odredivanja sjene, sto je duzina A B baea na duzinu CD, pri cemu se iz tocke E[, u kojoj se sijek\t ba¢enc Bjene- tih duzina Vr&carno zrakom svjetlosti natrag do tih duzina, zove se metoda vracanj~ M~ •

11

35. Sjcna duzinc po trokutu. Odredite. ba.cenu ,sjenu. duzine A B po trokutn CD E metodom vracanja natrag (s1. 65)J

Bacena sjena duiine A B je duzina A,Bl , a bacena sjena trokuta CD E je lik C]D,E'i' Duzina A/Bl sijeee medu bacerie sjene trokuta u t?c~ama I, i J" a i2 toga zakljucujemo da dio bacene sjene duzine" AB pad.a na trokut CD E. Budll.ci da se u tocki I) presije:caju A/BI i D,E" to tIoed s' zrake svjctlosti, povucen tockom II unatrag. sijece duzinu D'E' u toeki 1;1;', a duzinu A'B' u tocki 1'; a kako se u tocki h presijecaju AIBI i CLEf, to pravac s', povucen tockom J 1 unatrag, sijece duZinu C'E' u toeki J,/, a lluZinu .4'B' u tocki J'. Duzina 1/ J./ je tlocrt bacene sjene duzine A B na trokut,-C. DE, a njezin nacrt je duzina 1/' J,/'.

Kad bi hacena sje-na jedne krajnje tocke duzine A B pala u sjenu trokuta CD E (npr: Ad, postupili bismo ovako: Produzili bismo baeenu sjenu duzine A B pn;!ko AI do sjecista I, s medam baeene sjene trokuta. NasH bismo zatim metodom vracanja natrag I:r> J;p duzinu [xJx i tocku Az

na toj duzirii. 1z to~ke A;c zapocela bi sada bacena sjena duzine A B po

trokutLl CD E: Shena bismo pastupili kad bi baeene sjene obiju krajnjih tocaka

duzine AB pale u,;:;jenu trokuta.

36. Sjena vehikalne duzine po spomeniku. Na slid 66 .. nacrtane su projekcije vertikalne duZine A B, kojoj je donja krajnja tocka u ITt, i projekcije spomenika prislonjenog uz vertikalan zid. Sve zrake svjetlosti, polozenc tockama 'te duZine, Cine ravninu svjetlosti P, kOja je okO'rhita na nJ , a kojoj se prvi trag Tl poklapa s tloertom s' zrake svjetlosti poloiene tockom B. Ta ravnjna pr~sijeca spome-nik u poligonu, a duzina A B baca sjenu na one stranice toga poligona koje su na osvijetljenim plohama spomenika. Projekcije poligona lako je odrediti, jer je njegov tlocrt 1,,/,2/ ... B./ u prvom tragu 1'1 ravnine P, a njegov se naett 1'/', 2/' ... Bx" dobije pomocu ordinala. Povucemo Ii vrhovima nacrta toga poligona nacrte zraka 'svjetla una trag, oni ce presjeci duzinu A"BN u nacrtima onih toca~a 1, 2, 3, 4 i 5 koje bacaju sjenu na horizlontalne bridove spomenika koji su usporedni s H2 o

Vazno je na torn zadatku istaknuti OVO: tlocrt baceI}-e sjene vertikalne duZine A B po sporueniku je duzina koja je usporedna s tlocrtoin zrake svjetlosti f a njezino

l

produzenje ide tlocdom duZine A B. Na slid 66. nacrtana je jos samosjena i bacena sjena spomenika, a

kako se one odreduju •. ucit cerno kasnije.

37. Sjena duzin-e okomite na Ilz po podnozju stupa. Na slici 67 . . naertane su projekcije duzi~e CD okomite na II!, kojoj je krajnja to~ka

D u II2f i projekciJ~ podnozja stupa koji je prislonjen uz vertikaltm zid. Aka tockama te duzi!le poloz-imo zrake svjetlosti, one ce odrediti ravninu

<5

, svjetlosti E, koja je okomita nn nt, a kojoj se drugi trag c2 poklapa s na­crtom 8" zrake svjetlosti polozene tockom C. Duzina CD baca sjenu na .one stranice presjecenog poligona ravnine E i podnozja stupa koje su na osvijeUjenim plohama toga predmeta. 1z naerta 1/', 2,;:") ••. C:r," bacene sjene te duzine, koji se nalazi u drugom tragu c2 ravnine E, dobiva se po­mocu ordinala tlocrt bacene sjene te duzine.

Sl. 66. Sf. 67.

Vidimo na tom zadatku da je naert bacene sjene duzine CD okomite na II!I po podnozju spomenik~1 neka duzina koja je usporedna s nacrtom zrake svjetla i da njezin-o produienje ide nacrtom duzine CD.

Iz c1. 36. i 37. izvodimo ovo pravilo:

Kad je duiina okomita na ravnini projekcija. tad je projekcija bacene sjene te duzine na svako tijelo neka duZina koja je usporedna s projekci­jom zrake svjetla na toj ravnini, a njezino produzenje ide projekcijom duzine na tOj ravnini.

38. Vje!be. - 1. Nacl'ta,te kvadrat koji je usporedan s nh a njegova je dijago~ nala AC fA (40, 20, U5), C ('10, 50, IS)}, i dufinu EF [E (15, 35, 30), F (55, 75, 30>1,' pa odredite sve sjene!

46

2. Nacrtajte trokut ABC [A (10, 30, 10). B (3S, 60, 10), C (50, 15, 60)] i duzinu DE [D (0, 30, 25), E (45, 75, 25)] pa odredite ave sjene!

3, Nacrtajte sve sjene du~ine AB [A (-40, 80,30), B (O. 80, 50)] i trokuta CDE

[C (-20, 60, 20), D (20, 70, 10), E (-10, 10, 50)]! 4. Nacrtajte pravokutnlk ABCD [A (10, 40, 10), B (40, 40, 10), C (40, 20, 40) DJ

t duiinu EF [E (0, 40, 30), F (40, 50, 70)], pa konstruirajte sve sjene! 5. Nacrtajte paralelogram ABeD fA (10, 25, 15), B (25, 40, 15), C (35, 25, 40),

D] i duiinu EF [E (0, 20, 0), F (20, 55, 50», pa odredite sve sjene! 6. Nacrtajte pravilni sesterokut, koji je usporedan s I110 aka je njegovo sredi~

ste S (60, 40, 30), dvije su njegove stranice usporedne s osi x, a polumjer kruznice opisane aka njega je T = 40, zatim nacrtajte duiinu MN [M W. 40, 40), N (80, 100, 50)), pa odredite Bve sjene.

7. Zadan je trokut ABC fA (40. 5, 40, B (15, 35, 15), C (60, 55, 5)] i duZina MN [M (O, 25, 30), N (30, 60, 3D». Odredite sve sjene prt paralelnoj rasvjeti ako je smjer zrake svjetlosti zadan baCenGffi sjenom M, (45, 10, 0) tocka M (rasvjeta nije dljagonalna)!

9. Sjene geometrijskih tijela

39. Sjene pravilne sesterostrane piramide. Zadana je pravilna §estero­strana piramida kojoj je osnovka u IIt ; neka se odrede sve njezine sjene!

SL G8. a St. 68. b

Slika 68. a prikazuje u kosoj projekciji pravilnu sesterostranu pjra­midu kojoj je osnovka u illl ravnine projekcija III i II!I zraku syjetlosti

47

s i njezin tlocrt s'. Vrh V te piramide baca svoju sjehu na II!! u tocku Vll ,

a toeka VI je geometrijska, sjena vrha na III' Kako je osnovka p-iramide u II}) to se bacena sjena osnovke na TIl poklapa S osnovkom. Ako

zamislimo cia je ravnina II2 odstranjena, pa iz toeke VI povucemo duzine VI C i VI F} kOje dodiruju osnovku piramide, dobit cerno bacenu sjenu na II, pobocnih bridova V C i V F. Poligon VI C B A F VI je med. bacone sjene te piramide na lIlt jer hi svi ostali njezini pobocni, bridovi bacHi svoju sjenu na ITt u unutrasnjost toga poligona. Pobocni bridovi C V i F V, kao i osnovni bridovi C B, B A i A F, stranice su prostranog peterokuta V C B 'A F V, koji je r a s t a v n i c a te piramide. Pobocke V C B, V B A i V A F, koje su okrenute prema izvoru svjetlosti, rastavljene su, a ostale su pobocke u samosjenL

Odatle izvodimo ovo p r a viI 0 za odredivanje onih pobocnih bri­

dova piramide koji su dio njezine rastavnice:

lz bacene sjene vrha piramide na ravninu osnovke povuku se JYravci koji dodiruju osnovku; oni pobocni bridovi piramide koji idu dirnim vrho­vima pripadaju rastavnici.

Buduci da je bacena sjena vrha piramide na il2 bacena se sjena pira­mide lomi preko osi x na duZini M N i penje na ITz do ,tocke V it .

Na sHei 68, b nacrtane su projekcije te pirarnide, .i odredcne ,SU n)e­z.ine sjene. Vrhom V povucena je zraka svjetlosti s i odredena njegova bacena sjena V" i geometrijska sjena VI. Buduci da je osn~vka piramide u IIt • povucene su duzine VI C' i VI F', koje dodiruju tlocrt oS,(lovke. Du­iine V' C' i V' F' su tlocrti pobocnih bridova V C i V P, koji pripadaju ra­stavnrcl piramide. Bacene sjene tih bridova cine mequ bacene sjene pira­mide. U samosjeni nalaze se njezine pobocke V C D, V~D E i V E P, kao i njezina osnovka. U tlocrtu se vide sve tri pobotke, kOJ~ su u 'Sa ... mosjeni, a u nacrtu 5e od njih vidi sarno pobocka V C D, ,

Bacena sjena piramide na 11, vidi se u tlocrtu citava, dok Se jedan diD njezine bacene sjene na IT! ne vidi u nacrtu, jer ga zaklanja piramida.

40. Sjene rotadonog stosca. Odredite sve sjen~ rotacionog stosca kojemu je osnovka u ITI!

Slika 69. a prikazuje u kosoj projekciji rotacioni' stozac, kojemu je osnovka u TIl i sve njegove sjene. Zraka svjetlosti s, poloiena vrhom

stosca, probada II! u bacenoj sjeni VII, a III u geometrijskoj sjeni VI vrha V, Tangente. povucene iz tocke VI na osnovku stosca dodiruju je u toe­kama C i D. Duzina C V, j~ bacena sjena na ill izvodnice C V. a duzina D VI je bacena .jena n. ill izvodnice D V. Izvodnice C V i D V prJpadaju r a s t a v n i c i toga stosca jer hi sve ostale izvodnice stosca bacile svoju sjenu na ITI izmedu bacenih sjena' tih dviju izvodnica. Ravnine odredene

48

tockarna V C VI i V D V ( su dime ravn,in~ stosca, koje su uspor€dne sa zrakama svjetla, a njihove dirne izvodnice su V C i V D.

Iz toga izvodim') ovo p r a v i I 0 za odre.tUvanje onih izvodnica stos~a koje pripadaju rastavnici:

1:.<1 bacene sjene vrha stosca no ravnini osnovke povuku se tangente na osnovku; one izvodnice stosca. koje idu diraHStima tih tangenata pripa~ daju rastavnici.

Bacena sjena stosca lomi se preko osi x i penje na II;! do tocke VIII

..". koja je bacena sjena vrha.

SI. 69. a S1. 69. b

Na sliei 69. b nacrtane su projekcije rotacionog stoSca, i odredene su njegove sjene. Vrhom V polozena je zraka svjetlosti s i odredena je njegova bacena sjena Vu i geometrijska sjena Vi- Iz toc~e V, povucene su tangente na tloert osnovke, a njihova diralista su C' i D'. Izvodnice C V i D V, kojirna;su llocrti C'V' i D'V', a nacrti C" V" i D" V", pripa­daju rastavnici stosca, a njihove bacene sjene C' N V" i D'M VII daju nam medu bacene sjene stosca. Rastavnici stosca ne pripadaju sarno te dvije izvodnice vee jos i luk CAD osnovke-.

Onaj dio plasta koji je okrenut prema izvoru svjetlosti rasvijetljen je, a u samosjeni. je onaj dio plaSta koji je okrenut prema bacenoj sjeni, kao i osnovka ~'>tosca.

49

U tlocrtu vidimo obje izvodnice koje pripadaju rastavnici, citav osje­'njeni dio plasta stosca, kao i bacenu sjenu stosca na II" dok u nacrtu vidimo samo izvoduicu C V i onaj dio osjenjenog plaSta koji je izmedu izyodnica C V i B V, kao i onaj diD bacene sjene stosca na IT2 sto ga ne zaklanja stozac.

41. Sjene kvadra kojemu je osnovka u TI1. Slika 70. aprikazuje u ',ko$oj projekciji kvadar kojemu je osnovka u III i njegovu bacenu sjenu na ravnine projekcija. Bacena sjena na III svakog poboenog brida kvadra usporedna je s: tlocrtom s' zrake svjetla 8 i pocinje iz one krajnje tocke brida koja je u 111 (<51. 26. E), a njegova bacena sjena na IT2 usporedna

IT,

8' Sf. 70. a Sf. 70. b

je s bridom (oJ. 26. D). Tako je baoena sjena prednjega pobocnog brida B F duzina B F" a straznjega D H je slomljena duzina D M lIn. Izmedu fih dviju bacenih sjena pada na III bacena sjena desnoga pobocnog brida C G kao i lijevoga A E; zbog toga su duzine B Fr i D M HII dio mede ba­cene sjene kvadra, a pobocni bridovi B F i D H pripadaju r a s t a v n i c i kvadta.

Iz toga izvodimo ovo p r a v i I 0 za odredivanje onih pobocnih bri­clova uspravne prizme koji pdpadaju rastavnici:

Kad se povuk-u pravci koji dodiruju osnovku uspravne prizme, a u.spo­redni su s normalnom projekcijom zrake svjetlosti na ravnini osnovke, tad. oni pobocni bridovi prizme kOji idu dirnim vrhovima pripadaju rastavnlci.

4 Nacrtna georoetrUa

50

Gornja osnovka kvadra E F G H, kao i pobocke A B FE. i A II H E, ko' su okrenute prema izvoru svjetla, rasvijetljene su, dok su u samo-

. Je. k' b -k B C G F i CD H G, koje su okrenute premo sJ€m donJa osnov a 1 po DC e . . ~ . b 'd ' bacenoj sjeni. Prema tome r a s t a v n i c i kvadra pri~adaJu JOS 1 nO'll F GiG II gornje DsnDvke, kaD i bridDvi B A i A D dDn~e DsnDvke. Rastav­niea je prostorni poUgon B F q H DAB, a njegova b~cena 53,ena Je meda bacene sjene kvadra na ravnine projekcija. Bacena sJena bTl~a ~ B, kao i brida A D, poklapa se s brldom, dok bacena sjena brlda ~? Ide.1Z tocke FI usporedo s tim bridom do toeke N na 05i x, tu S:.lOffil 1 penJe ~a ~2 do tacke Gil. Medu baeene sjene na il),! zatvara duzma Gil Hu, kOJa Je bacena sjena brida G H. _ ... G F

Od pobocaka kOje su u samosjeni vidl se sarno .poboc~a Be. Na sliei 70. b nacrtane su projekcije kvadra kOJemu. Je osno~k~ u ill

i odredene su sve njegove sjene na nacin koji je obja.snJen ~a Sl1Cl 7~, a, Najprlje se povuku pravci koji su usporedni s tloc:tom ~ z.rake sVJet­

losti s a dodiruju tlocrt kvadra. Buduci da ti pravcl ~odlruJu t~ocrt .u .' B' P i D' - H' to pobocni bridovi B F 1 D H pnpadaJu vrhovlma:oe;;! = J G H . k

rastavnici. Toj rastavnici pripadaju jos bridovi F G i g~rnJ~ osnov e i bridovi B A i AD donje osnovke. Bacena sjena te rastavmce Jest meda

bacene sjene kvadra. .... Jedan 'dio bacene sjene koja pada na II! ne vlduno Jer ga zaklanJa

kvadar, a od pobocaka kOje su u samosjeni vidimo u naertu sarno po~ bocku B CGF.

S1. 71. (l

42. Sjene kvadra kojemu je kosoj projekciji: kvadar, kojemu

projekcije i njegove sjene.

Sl, 71. b

osnovka u II2• SItka 71. a prikazuje U

je osnovka ABC D u II!, tri njegove

51

Buduci da su pobocni bridovi toga kvadra okomiti na II:!, povuCi cerno pravce koji su usporedni 5 nacrtom s" zrake svjetlosti s, a dodiruju osnov­ku kvadra; Ti pravci dodiruju osnovku u vrhovima BiD, pa zbog toga po­

boeni bridovi B F i D H pripadaju r a s t a v n i c i kvadra. Toj r a s t a v­n i c i pripadaju jos bridovi F GiG H, kao i osnovni ?ridovi B A i AD.

Na slid 71. a prikazana je8 konstrukcija bacene sj~ne 'vrhova te rastav­nice pomocu nake svjetlosti s i njezinih triju projekcija s', s" is'''. Bacena sjena svakoga vrha rastavniee moze se odrediti na tri nacina. Tako je npr. bacena sjena FlJ vrha F odredena pomocu zrake sVjetlosti s polo­ieone tim vrhom i pomocu nacrta s" te zrake, zatim pomocu te zra.ke i njezina tlocrta s', pa na kraju pomocu te zrake i njezina bokocrta SUE

Na sliei 71. b nacrtane su projekcije kvadra kOj~p1li je osnovka u II;2 i odredene su sve njegove sjene na naCin koji ·je objasnjen na slid 71. a.

Povuku se pravci koji su usporedni s nacrtom s" zrake svjetlosti SJ

a dodiruju nacrt kvadra. Kako ti pravci dodiruju nacrt kvadra u vrhovirna B" 'is F" i D" ~ H", to pobocni bridovi B F i D H priplldaju rastavnici kvadra. Pored toga rastavnici pripadaju jos i bridovi F GiG II prednje osnovke, kao i bridovi B A i AD straznje osnovke.

Bacena sjena brida B F, kao i brida D H, usporedna je sa s" jer su ti bridovi okomiti na ITt, a b?cena sjena brida F G, kao' i brida G H, uspo­redna je s nacrtom toga brida jer su ti bridovi usporedni sa TIt.

eita-va bacena- sjena toga kvadra pad a na ITt, a od pobacalea koje su u samosjeni vidimo sarno u bokocrtu pobocku B F G C. '""-.

43. Sjene rotacionog valjka kojcmu je osnovka U TIl' Slika 72.. a pri­kazuje u kosoj projekciji rotacioni valjak kojemu je osnovka u III i nje­govu bacenu sjenu na ravnine projekcija. Bacena sjcna svake'izvodnice valjka na ITt uspor'edna je tloertom s' zrake svjetlosti' s i poCinje 1Z nQ,­Zi,sta izvodnice jer su izvodniee okomite na TIl (c1. 26. E), a bacena sj<2na svake izvodnice na TI2 usporedna je s izvodnicom jer su izvodnice uspo­redne s II, (CI. 26. D).

Nacrtamo Ii, prerna t'orne, tangente osnovke koje su usporedue s tlo­ertom s' zrake svjetlosti s, bit ce one meda bacene sjene valjka na Ill, jer bi bacena sjena svake izvadniee na III pala izmedu tih tangenata. Ako je tocka E diraliste prednje tangente, to izvodnlca E' F baea na III svoju sjenu na tu tangentu, ako je pak tacka G diraliste straznje tangente, to izvodnica G H baca na ITt sVc>ju- sjenu na tu tangentu. Izvodniee E FiG H pripadaju, dakle. r a. s t a v n i c i valjka.

Odatle izvodimo ovo p r a v i 1 0 za odredivanje onih ,izvodnica rota­cionoga vaIjka koje pripadaju rastavnici:

52

Ako se na osnovku rotacionoga valjka. 'povuku tangente k?je su u,~po~, redne s normal nom projekcijom zrake svjetlosti na ravnini osnovke, orida' one izvodnice valjka koje idu diralistima tih tangenata pripadaju ra-I

stavnici. Ravnina koja je odredena izvodnicom E F i njezinom sjen'om bace­

nom na ITI , kao i izvodnicom G H i njezinom sjenom, jest" dirna ravnina valjka koja je usporedna sa zrakorn svjetlosti.

Gornja osnovka valjka, kao i onaj dio pla.sta koji je okrenut prema izvoru svjetlosti, rasvijetlj€ni SU, dok u samosjeni ostaju donja osnovka i

SL 74. a Sl.. 72. b

onaj dio plasta koji je akrenut prema bacenoj sjeni valjka. R a s t a v n i c a valjka sastoji se ad polukruznice H J D F, ad izvodnica F ~ i. G H i od pol1Jkruznice E A G. Bacena sjena te rastavnice je meda bacene sjene valjka. Bacena sjena izvodnice E F lomi se preko osi x i penje na II2 do tocke FlI, dok se baeena· sjena iivodnice G H penje na liz do toCke HII·

Duzina FlJ Hll je ~acena sjeua promjera F H gornje osnovke, zato je na toj duzini i baeens. sjena S" sredista S te osnovke. Bacenu sjenu valjka na IT2 zatvara polovina eHpse HJl J lI Dl1 Fl/, koja je bacena sjena polu~ kruznice H J D F.

Na slici 72. b nacrtane su projekdje rotacionog valjka kojemu je osncvka u 111, odredene su sve njegove sjene na nacin koji je objasnjen na slici 72. a. . j

53

Na obodnicu tlocrta valjka postavimo tangente koje su usporedne s tocrtom s' zrake svjetlosti s. Odredimo diralista E' !!e!: F' i G' .S'ii H' tih

, tangenata pomoeu okomica spustenih iz toeke 0' EE S' na te tangente. Ta ce diraliSta biti tlocrti izvodnica EF i GF, koje pripadaju rastavnici valjka. Iz tlocrta tih izvodnica nacrtajrno njihove nacrte E" F U i G" fr', a zatim odredimo bacene sjene E' N Fa i G'M Hu tih izvodnica. Na kraju cerno istaci projekcije tocaka J, liD, koje dijele polukrufnicu H J I D F na cetiri jednaka dijela i odrediti njihove bacene sjene JIll [u i Dill pomocu kojih mozemo nacrtati bacenu sjenu Hn Jlllu Dll Fu te polukru.znice. Bacena sjena te polukruznice je polovina elipse kojoj je tocka SlI srediSte, a du­zina FlI Hfi promjer. Tangenta polukruzruce u rocki J usporedna je s osi x, zbog toga je i tangenta te polovine elipse u tacki J II usporedna S osi x,

H' Ii'

SI.. 73. 81. 74.

ona je, dakle, najviSa tacka bacene sjene valjka. Tangenta polukruznice u tocki I usporedna je s promjerom F H, zbog toga je i tangenta te polovine elipse u tacki II1 usporedna s FlJ Hu, pa iz toga izlazi da je duzina SII III polovina onoga promjera elipse koji je konjugiran s promjerom F/1 RH.

U tiocrtu vidimo onaj dio bacene sjene valjka koji pada na Ill. a u nacrtu se jedan dio bacene sjene koji pada na II~, ne vidi jer ga zaklanja valjak. Od onoga dijela plasta valjka koji je u samosjeni vidimo u nacrtu sattlo ono sto je izmedu izvodnica E Fie D.

44. Sjene valjkaste ploce. Na slid 73. nacrtane su projekdje polovine valjkaste ploce koja strsi ispred vertikalnoga zida, i konstruirane su fiVe

54

njezine sjene. Pomocu tangente obodnice tlocrta valjkaste pIoee, koja je usporedna sa s', i njeiinog diraHsta moiemo odrediti tlocrt E' ~ F' i nacrt E"F" izvodnice E F. koja pripada rastavnici valjkaste place. Toj r a s t a­v n i c i pripada jos od gornje osnovke luk F D, a od donje luk E G H A. Bacena sjena te rastavnice je meda bacene sjene valjkaste place na ver_ tikalni zid. Dna pocinje lZ! tocke A. a zavdava u tocki D, jer su te tacite na zidu. Meda bacene sjene sastoji se od luka A" HJf Gil Ell elipse, verti_ kalne duzine Ell FJI i luka F JJ D" druge elipse.

45.* Sjene rotacionog valjka kojemu su osnovke okomite na osi x. Na sUei 74, nacrtane su projekcije rotacionog valjka kojemu gU osnovke okomite na osi x, a on dodiruje ill U i7.vodnici E F. Buduci da je as Voga valjka okomita na II!!, to ce se pomocu bokocrta odrediti one njegove izvodnice koje pripadaju njegovoj r a s t a v n i c i.

Postavimo na obadnicu bokocrta valjka tangente usporedne s balt:O­crtorn s'" zrake svjetlosti. Njihova diralista Am "'" B'N i em .... D'" su bo­kocrti izvodnica A B i CD, koje pripadaju rastavnici. Iz bokocrta tih izvodnica odredit cerna njihove tlocrte i nacrte. Rastavnici toga valjka pdpada jos od desne osnovke polukruznica BIG CI a ad lijeve polukruz­niea A F L D. Pomocu tloerta i nacrta zrake svjetlosti mozemo naci ba­cene sjene istaknutih tocaka te rastavnice. Njezina sjena je meda bacene sjene toga valjka, koja pada Citava na Ill' Jedan se dio te bacene sjene ne vidi jer ga valjak zaklanja. Od polovine plasta valjka, koja je u samosjeni, vidimo u tlocrtu sarno onaj dio koji je izmedu izvodnica CD i K L, a u nacrtu sarno onaj dio koji je izmedu izvodnica A B i E F.

46. Sjene Imgle ako je zrakn svjet.1osti usporedna :sa IIz. Na slici 75, naertane su projekcije kugle. i odredena je njezina rastavnica, kao i nje* zilla bacena sjena, karl su zrake svjetlosti usporedne s il2> a Cine s ITl kut od 45°. Sve zrake svjetlosti koje dodiruju kuglu cine rotacioni valjak kojemu os ide srediStern kugle usporedo s IT2, acini s III kut od 45°. Taj valjak dodiruje kuglu u kruinici k, kojoj ravnina E ide sredistern kugle, a okomita je na smjer zrake svjetlosti. Drugi trag te ravnine je pravac et okomit na s", a prvi trag pravac e 1 okomit na osi x. Kruznica k je meda izmedu rasvijetljenoga i osjenjenoga dijela kugline plohe; ona je r a s t a­v n i c a kugle za tu paralelnu rasvjetu.

Odatle izvodimo ova p r a viI 0 za odredivanje rastavnice kugle:

Ravnina polozena sredistem kugle okomito na smjer zrake svjetlosti sijece kuglu. u njezinoj rGstavnici.

Nacrt k" rastavnice k je duzina A" Bn koja se nalazi u et jer je rav­nina E okomita na il2' kad- je zraka svjetlosti 5 usporedna s lIz. Tlocrt k' te rastavnice je eUpsa kojoj je duzina A' B' mala os, a duiina C' D' velika

55

, OS. Promjer A B rastavnice k je u ravnini glavnoga meridijana. a promjer CD u ravnini ekvatora kugle. Velika os C'D' elipse k' ide tockom 0', okomlta je na s' i jednaka promjeru kugle, dok je mala os A' B' te elipse . usporedna sa S'1 a njezina se ,velicina dobije pomoc:u nacrta A" i .8" kraj­njih tocaka promjera A B.

Kad je odredena velika i mala os elipse k', tad je mozemo konstrui­raU -pomocu kruznica zakrivljenosti njezinih tjemena.

Aka rotacioni valjak koji dodiruje kuglu, a izvodnice su mu uspo­redne sa zrakom svjetlosti, presijecemo s III> dobit cerno meau bacene

S1. 75.

sjene kugle na ITt> Taj presjek, koji je u isto vrijeme i bacena sjena rasta­vniee, jest eJipsa Al C, BI D/. Buduci da su duzine A B i CD konjugirani promjeri rastavnice k, a: njihove su bacene sjene Al BI i CJ D J medu soborn okomite, to je duzina AI BI velika os, a duzina C, D, mala os one elipse ki;s;' Al c, B, D/ koja je bacena sjena rastavnice k ili meda bacene sjene kugle. Tu eFpsu mozemo nacrtati POffioeU kruznica zakrivljenosti njezinih .tjemena.

Od one polovine kugline plohe koja je u samosjeni vidimo u tlocrtu samo onaj diQ koji je na gornjoj polovini kugle, a u nacrtu sarno dio na prednjoj polovini kugle. Od bacene sjene kllgJe u tlocrtu ne vidirno sarno o~aj diD sto ga zaklanja kugla.

,

56

47. Sjene ku~le kod dijagonalne rasvjete. Z~da~e SU projekicije' kugi~j odredite njezinu rastavnicu i bacenu sjenu ~od dijagonaJ:r~e ,rasvjete

(s!. 76)! ; Raslavnica k kugle ie, prema pravilu iz proslog clanka, ona )<:ruznlca

kugle u kojoj ravnina E polozena sredistem kugle okomito na smjer zrake svjetlosti, sijece kuglu. Projekcije k' i k" rastavnice k, koje su elipse, od­redit cerna pomocu dva stranocrta.

Sl. 76.

Sredistem 0 kugle polozit cerno zraku svjetlosti s i od~editi njezina

probodista 0/ i 011 S III i IIz. Postavimo zatim stranocrtnu ravninu IIa taka da je ana okomita na IT2 • cia ide sredistem kugle i da u njoj lezi zraka svjetlosti koja prolazi sredistem kugle. OS 2X3. u kojoj se sijeku ravnine ll2 i ITa. poklapa se s nacrtom s" zrake svjetlosti $, koja je polo~ zena srediStem kugle. Stranocrt sredista kugle je to~ka 0'" ako je 0" 0"'= = 0' L, a stranocrt one zrake svjetlosti koja je polozena sredistem kugle

jest pravac s'" = (Om, 'Olf). Stranocrt kugle je krui-nica n'" kojoj je tocka

57

0'" srediste, a polumjer jednak poIumjeru kugle. Ravnina E rastavnice k okomita je na ila, a njezin je treei trag pravac eal koji ide toekom 0'" okomUo na s"'. Na pravcu e3 je stranocrt k'" s Am B'" rastavnice k. Nacrt te rastavnice. koji je elipsa A" Cn E" D", kao i njezina bacena sjena na n2 koja je elipsa kl/ t;e. AI{ CUBII Dll,odredi se na isti naCin kako je na slid 75. bio odreden tloert rastavnice k i njezina bacena sjena na rr~

Da bi se odredio tJoert rastavnice koji je elipsa k' "",-E' H' F' G', kao j

njezina hacena sjena na Ill< koja je eUpsa k/ ;a EJ HI F/ G I, treba poloziti nOVU stranocrtnu ravninu IT, tako da je ona okomita na Ill> da ide sre­diStem kugle i da u njoj leE zraka svjetlosti koja prolazi sredistem kugle. Os tX4, U kojoj se sijeku ravnine II! i IT", poklapa se s tlocrtom Sf zrake svjetIosti s, koja je polozena sredistem kugle. Novi stranocrt srediSta kugle je tocka 0[>' ako je 0' ai>' = L 0", a novi stranocrt one zrake svjetlosti koja je polozena sredistem kugle jest pravac SIV = (OH!, Ot), dok je kru­inica pll' no vi stranocrt kugle. Cetvrti trag ravnine E rastavnice k je pravae e4: koji ide tockom OIY okomito na SIV, a na njemu je novi stranocrt klr """ E/V F'v rastavnice k. Pomocu toga stranocrta odredi se tIoert Ie' j

bacena sjena k[ rastavnice k na ill na isti nacin kao i na sJiei 75. Bacena sjena rastavnice na III sijece se s bacenom sjenom rastavnice

na fIt u tockama MiN, koje su na osi x. Bacena sje~a kugle lomi set dakle, na osi x u duzini M N. Od bacene sjene kugle na II,. kao i na Ii!, ne vidimo onaj dio sto ga zaklanja kugla.

Od one polovine kugline plohe koja.je u samosjeni vidimo u tlocrtu sarno onaj dio koji je na gornjoj polovini kugIe, a u nacrtu sarno onaj dio koji je na prednjoj polovini kugle.

48. Konstrukcija rastavnice kugle. Iz slike 76. mozemo izvesti skraceni postupak za konstrukciju projekcija k' i k" rastavnice kugle koji je pri­kazan slikom 77.

Nacdat cerno projekcije s' i s" zrake svjetlosti s koja ide sredistem kugle. Promjer elf D", koji je okomit Da s", jest velika os elipse kU

, a pro­mjer G' H', koji je okomit na s', jest velika os elipse k'. Da bismo nasH male osi tih elipsa, istaknimo na osi x koju god toeku N, i njom povllcimo zraku svjetlosti s, kOjoj su projekcije s' i s". Pomocu koje god tocke M te zrake odredimo zatim prvi stranoert s'" i drugi stranoert SlY te zrake svjetlosti aka uzrnemo da je eX:; """ s" a lX~ """ s' (M" M If

' = L M ' , a M' MlV ""~ L M").

Ako se sada IT" posta vi tako da se prvi stranocrt 001 srediSta kugle poklopi s nacrtom 0" srediSta kugle l onda se i stranocrt n'" kugle poklopi s nacrtom mit kugle, pa je promjer A'" B''', koji je okomlt na sn,. stra­nocrt k'" rastavnice k, a duzina A" B" je mala os one elipse kif koja je. nacrt rastavnice k.

58

OIV d' Y

Na isti se nacin uzme 114 taka da s~ drugi str~n'OCrt . ~~e lS.ta kugle poklopi s tlocrtom 0' sredi~a kugle, 1 da se drugl stranocrt p kugle poklopi 5 tlocrtom e' kugle, pa je promjer ElY Fli', koji je okomit ?a SiP;

drugi stranocrt klY rastavnice k, a duzina E' F' je mala os one ehpse k koja je tloert rastavnice k.

Kad se na taj naCin odrede velike i male Qsi elipsa k' i, k", one se zatim konstruiraju pomGcu kruznica zakrivljenosti njihovih t]emena.

SL 77.

49. Vjezbe, - 1. Odredite sve sjene pravilne cetverostrane piramide kojoj je (lsnovka ABeD u ilL' aka je dijagonala osnovke AC [A. {10, 35, a}, C (45, to, O)},

a visina 50 mm!

2 Odredite sve sjene rotaciol1og stosca, kojemu je osnovka u 111, aka je polu. mJcl' ~snovke T = 25 mm, visina 60 mm, a sredisfe S (30, 35, O)!

3. Odredite sve sjene pravilne sesterostrane piramide iz: stike 68. b ako je nje­

zina osnovkn 15 mm iznad I1d

4. Odredite ave sjene rotacionog stoSca iz. slike 69. b ako je njegova osnovka

10 mm lznad TIl!

5 Od.edl.te sve Sjene pravilne cetverostrane krnje pir'amide, kojoj je v~a .. k' a ABCD unaka je duZina AC (A (l0, 50, 0), C (60, 25, 0)1 dljagonala ~Je~

o<>nov 1 •• visiria lma 'l;.ine veee osnovke, te jOj je manji osnovni brid dug 20 mm, a n}evna 40 mm!

59

6. Nacrtajte sve sjene kvadrati~ne prizme, kojoj je osnovka ABeD u ill aim je diiagonala osnovke AC [A (10, 40, 0), C (45, 15, 0)], a visina 60 mm!

7. Odredite sve sjene pravilne sestcrostrane ptizme, kojoj je asnavka ABCDEF u ITt aka je dljagonala osnovke AD [A (10, 15, 0) D (40, 45, 0)] a vlsina 60 mm!

8. Nacrtajte sve sjene uspravne cetverostrane prizme kojoj je osnoYka paraIe­logram ABeD usporedan s III [A (20, 30, 10), B (45, 40, HI), C (55, 20, 10), D], a visina 50 mm 1

9. Odredite pomocu nacrta i bokocrta zrake svjetlosti sve sjene kvadra kojemu je osnovka ABeD u 1\, [A (20,0, 60), B (20, 0, 40), C (50, 0, 40), D], a visina 30 mm!

10.- Nacrtajte sve sjene rotadonog val)ka, kojemu je osnovka u TI2, aka je polu­mjel' njegove osnovke T = 25 mm visina 60 rum, a srediste osnovke S (30, 0, 35)!

11. Odredite sve sjene rotacionog valjka kojemu je os SI S2 llsporedna 5 05i X

[SJ (10, 60, 25), S2 (40, 60, 25)], a polumjer r = 15 mm!

12. Nacrtajte samosjenu i bacenu sjenu kugle, kojoj je srediste S (40, 30, 30), IA po!umjer r"'" 25 mm, ako je zraka svjetIosti usporedna 5 n

l, acini s IT!! kut od 45<1!

13. Odredite sve sjene kugJ.e pr! dijagona!noj rasvjeti ako je njezino sredlste S (40, 40, 30) a polumjer l' = 25 mm 1

14. Nacrtajte sve :;jene polukugle kOjoj je glavni krug ,U TI 2> altl) je njezino sl'ediste S (40, 0, 50) a polumjer T = 25 mm!

15. Odredite Eve sjene polukugle, kojoj je glavni kl'ug u IT), ako jt~ njczino sre­diste S (40, 60, 0) a polumjer r = 25 mm!

16. Odredite projekcije rastavnice kugle kojoj je srediste S (40, 111, 10) a polu­mjcr i = 25 mm!

10. Sjene na ravninama prometaJic.a~~ ...

50. Sjena trokuta na prvoj ravnini prometalici. Zadan .je tTokut ABC fA (15,25,15), B (45,55,10), C(35, 30, 45)] i prva ravnina prome-talica P (25, -15, 00); neka se konstruira sjena toga trokuta! ....

Projekcije trokuta ABC i tragovi T1 i T t prve ravnine prometalice 'P nacrtani su na 51. 78. prema zadanim koordinatama, a zatim je konstruirana bacena sjena At BI C, trokuta ABC na TIl' BuduCi da prvi trag i1 ravnine P sijece trokut AI Br C, u.duzini K L, to ce se sj'ena tro1-cuta ABC penjati od te duzine po ravnini P prema sjeni c.r vrha C na toj ravnini. Sjena C, vrha C na ravnini P je probodtSte ravnine P sa zrakom svjetlosti 5 po10-zenim vrhom C. To probodtSte nademo na natin prikazan na slikama 60. a

i 60, b. TIocrt s' zrake svjetlosti s, kOja je polozena vrhom C, sijece se s prvim tragom TI ravnine P u tlo-crtu Cx' sjene C7 , a nje'lJin nacrt C/' je na nacrtu SU zrake svjetlosti s po1ozene- tockom C.

Od trokuta ABC vidi Ge u tlocrtu j ni;:tcrtu njegova 6,Wijetljena strana, a od njegove bacene sjene vk1i.mo u tlocrtu sarno njezin cetverokutasti dio

50

AI B, L K, koji je -u II1! a u nacrtu njezin trokutasti diD K L C!rJ ~oji ~e. na prvoj ravnini pvometalici P.

;

51. Sjenaparalelograma na drugoj ravnini-prometalici. Zadan je pa. ratelogTam ABC D [A (5, 15, 30), B (20,50,25), C (40,50,45), D) i drug. ravnina prometalica r: (50, <Xl, -50); konstTuirajte sjenu toga paruleto. grama!

81. 78.

Na s1. 79. nacrtane su najprije projekcije paralelograma ABC D i tra­go vi $1 i 52 ravnine L, zatim je konstruirana bacena sjena toga paraieIo­grama na II" i na IT;! kao da nema ravnine L, a ta je omedena poligonom Bl C1 N Du Au M. Buduci d"a prvi trag 8 1 ravnine 1: si.jece stranicu Br CI toga poligona u tocki K, a drugi trag 32" te ravnine sijece stranicu NDl/ U

tocki L, penjat ce Se bacena sjena zadanog paralelograma od toeaka K i L prema bacenoj sjeni C x vrha C na toj ravnini. Projekcije C~' i C.r." njene vrha C na ravnini r nademo kao na 51. 61. Nacrt s" zrake svjetlosti s, kOJu

-" "

61

polozimo vrhom CJ sijece se S' drugim tragom S2 ravnine 1: u tocki C;/t, a t¢ka C:/ je na tlocrtu s' zrake svjetlosti s, poloiene vrhom C.

Od bacene sjene paralelograma vidimo u tlocrtu onaj dio koji je pao na III i na ravninu k, a u nacrtu onaj dio te sjene koji je pao na IIi.

Paralelogramu vidilno u tlocrtu i nacrtu njegovu osvijetljenu stranu.

Sl. 79.

52. Sjena trokuta na trecoj ravnini prometalici. Zadan je trokut ABC [A (10, 40, 50), B (45, 55,40), C (25, 40, 10)J i Ireta ravnina prometalica T (00, 20, 30); odredite sjenu toga trokuta!

Na s1. 80. konstruirana je najprije bacena sjena AIBIC1 trokuta ABC ha Hi" Buduci da prvi trag tl trece ravnine prorne-talice T sijece trokut A1B1C[ u duzini K L, to ce se sjena trokuta ABC penjati od te duzine po ravnini T prema sjeni Az vrha A i sjeni Btt vrha B na toj ravnini. Sjene till vrhova su probQdista zraka sVjetlosti koje polozimo tim vrhovima· s ravninom T. Projekcije A z ' i Ax" sjene A~ vrha A nadene su na toj slid

62

pomoc:u prve ravnine prometalice P, poloiene irakom svjetlosti .5, koja ide vrhom A. te sijeee ravninu T u pravcu 1, 2, a projekcije B/ i Bz" sjene 81; vrha B nadene su pomoeu druge ravnine prometalice E, poloiene zrakom svjetlosti 8 1 koja ide vrhom B, te sijeee ravninu T u pravcu 3, 4.

Sl. 80.

Od trokuta ABC vidimo u tlocrtu onu njegovu stranu koja je u sa­mosjeni. dok u nacrtu vidimo njegovu osvijetljenu stranu, Trokutasti dio K Cr L ba~ene sjene trokuta ABC, koji je u III. vidimo u tloertu, dok njezin cetverokutasti dio K L B~ A;t". koji je na treeoj ravnini prometalici, vidimo u tloertu i nacrtu.

53. Sjena piramide na trecoj ravnini prometalici u ltosoj projekciji. Nacrtajte u koso; projekciji cetverostranu uspravnu piramidu kojoj je osnovka para!e!ogram ABC DuTI, fA (35, 100, 0), B (70, 120, 0), C (65, 80. 0), DI a visina. "70 mm, zatim trecu ravn:inu prometaHcl.L T (co, 25, 15),

63

va konstruirujte Sve sjene te piram'ide pyi paralelnoj iasvjeti ako je tocka Vl (75, - 50, O)lbacena sjena vrha V piramide na Ill> te je a. = 4S~. n = 1/2

(51. 81)!

,.

S1. 81.

, Pom~cu zadanih koordinata nacrtajmo najprije kosu proje!{ciju,pira­m'lde, zatun tragove tt i t z treee ravnine prometalice T, te' bacenu"sjenu VI vrha V na II j • Spojimo Ii V S VI> dobit cerna kosu projekciju zrake svjM­losti 8, a spojimo Ii V' s V" imat cerna kosu projekciju tJocrta s' te zrake svjetlosti. Pomoc:u zrake svjetlosti 5, povncene 'vrhom niramide V i tlocrta s' te zrake, na<.1enfl je zatim na toj slici sjena VI! vrha ~ V na IL. Da nema ravnine T ni ravnine II:h bila bi bacena sjena te pira.mide ome~ena duZinama B V, i D V,. Kako p~vi trag tj trece ravnine prometalice T sijece bacenu sjenu piramide u .duzini K L, penje se ta bacena' sjena po toj rav­r~~ni. J?a bismo nasli medu te sjene, najprije cerno nacrtati bacenu sjenu ptramlde na ,n~, tj. trokut M N V{f. BuduCi da drugi trag t~ ravnine T sijece taj trokut u duzini P'R bit ce sjena piramide na ravnini T t:etvero­kut K L R P.

Da je piramida bila niza, bacena sjena njezinog vrha bila bi paJa na ravninu T, a ne na fI2 • Bacenu sjenu vrha nasli bismo tad a na isti nacin

64

kako je nadena sjena F z gomje krajnje toeke F vertikalne du.zine E F [E (80, 80, 0), F (80, 80, 50») na tu ravninu (sl. 81). Baeena sjena te. duzine ide iz njezine d01.lje krajnje tocke E, koja je u III, u smjeru prve prejekcije zrake svjetlosti (el. 26. E. 2) do toeke G, u kojoj 'ona sijeee prvi trag t, ravnine TJ pa se penje po toj ravnini do tocke Fz • Tu toeku Fz dobijemo kao prol::xxiiSte ravnine T sa zrakom svjetlosti s. koja ide toekom F, i to pomocu prve ravnine prometalice P koju polozimo tom zrakom, a kOjoj su tragovi Tl iT:/!. U sjeciStu zrake SJ polozene tockom F, i presjecnice G H ravnina TiP narazi se trazena toeka F z.

54. Vjei,be. -- 1. NacTtajte tTokut ABC [A 25, 10, 30), B (40,50, 20), C (50, 20, 50» i prvu- ·r:avnine prometaHcu P (30, -20, ""'), zatim konstruirajte sjenu toga trokuta!

2. Nacrtajte trokut ABC [A (10, 10, 30), B (25, 50, 30), C (35, 15, 50)] i prvu ravnlnu prometaiicu P (30, -20, <><», :Latim konstruirajte sjenu tog trokuta!

3. Nacrtajte tro-kut ABC [A (lO, 20, 40), B (20, 45, 10), C (3D, 20, 55)] i drugu raVl\inu~rometalicu I: (35, ""', --40), zatim ltons,truirajte sjenu toga trokuta!

4. Nacrtajte paralelogram ABeD LA (45, 15, 50), B (20, 10, 40), C (40, 40, 35), DJ i drugu ravninu promelalicu r: (30, bO, -20), zatim koostruirajte sjenu toga para­telograma!

5. Nucrtajte trokut ABC [A (30, 70, 0), B (60, 20, 3D), C (40, 0, 60)J i trecu ravninu prometalicu '.r (OQ, 50, 40), zatim konstruirajte sjenu toga trokuta!

6. Nacrtnjte trokut: ABC [A (0, 50, 30), B (70, 30, 70), C (40, 0, 0)] i trecu rav­ninu prornetalicu T (<><>, 60, 40), zatim konstruirajte sjenu toga trokuta ako je smjer zrake svjeUosti zadan bacenom sjenorn B{ (110, 10,0) tocke B!

7. Nact'tajt.e trecu ranlinu prometallcu T (<><>, 50, 35) i pravilni sesterokut, koji je mroredan s fit, ako je njegovo srediste S (40, 30, 55), duljina njegove stranice 20 mm, a jedna je rliegova dijagonala usporedna s osi I, zatim nacrtajte sjenu toga sesterakuta pri centralnoj rasvjeti aka je lzvor svjetlosti u tocki I (0, 80, 80)!

8: Nacrtajte kosu projekcij~ (0:. = 45", n """ 112) prve ravnine prometalice P (60, - 60, DC) i cetver05trane uspravne piramide kojoj je osnovka ABeD u fIt [A (30, 80, 0), B (60, 90, 0), C (70, 70, 0), D], a visina 60 mm, z~Um konstruirajte s\',e sjene te piramide!

9. Nacrtajte kosu projekciju (a = 30", n = II!) trece ravn1ne prometalice T (00,

40, 30) i kvadraticne piramide, kojoj je osnovka u nl, aka je srediSte nje~ine

osnovke S (50, 80, 0), osnovni brid dug 30 mm, visina 60 mm, a dV8 su njezina osnovna brida usporedna s O$i It zatim konstruirajte sve sjene te piramide!

10. N6.crtajte kosu projekciju (a"'" 45-, n = 1},-, trece ravnine prometalice T'(C'O, 40, 30) i. rotacionog stosca, kojemu je osnovka u TIt, ako }e srediste njegove osnovkB S (50, HO, 0)' polumjer osnoVke r "" 20 rom, a visina 70 mm. zatim konstruirajte sve sjene toga stosca!

11. Nacriajte Pt"Vu ravninu prometaHcu P (55, - 55. (0) i kvadraticnu prizmu. kojoj je osn0vka u TIl' ako je dljagonRla osnovke riC [A (10, 50, 0), C (40, 40, Oll a vi.sina prizme 60 mm, zatim konstrulrajte s\'e sjene te prizmel

12. Nacrtajte pn'u ruvnlnu promctalicu P (55, -55, "") i rotacloni valjak, ko­jemu je osnovka u fIl, ako je sredisle osnovke S (25, 45, 0), polumjer r = 15111111, a visioa valjka 60 mm, z.atim konstruirajte sve sjene toga \'aljka!

65

13. Nacrtajte kosu projekeiju (a. = 30·, n = i) prve ravnlne prometalice r (55, .:-55, 00) 1 tetverostrane uspravne prizme kojoj je osnovka ABeD u IT [A (10.

·60, 0), B (35, 70, 0), C (45, 50, 0). D], a visina 70 mm, zatim konstruirajte ~ve sjene te prizme!

14. Vje.zbu 12. rije~ite u kosoj projekclji (Cl. = 45", n = ~)!

11. Sjene u udubinama i u supljim tijeIima

55. Sjene otvol'ene pri:z;maticne udubine. Ogradni zid cini udubinu u obliku polovine pravilne sesterostrane prizme; odredite sve njezine sjene (s1. 82)!

Budu6i da je pobocka A B FEte udubine u samosjeni, bridovi A E i E F bacaju u udubinu svoju sjenu.

. Bacena sjena bri~a A E na osnovku prizmaticne udubine usporedna )e ~ :lo~rtom zrake sVJetlosti i pocinje u nozistu A toga brida (cl 26, E. 2). U tockl N os~ovnog brida B C ona se lomi i vertikalno penje po poboeki BCG.D do tocke E" koja je bacena sjena vrha E na tu poboeku (01. 32. C.). Od t.ocke E, nast~vlJa se bacena sjena brida E F po poboCki BeG F i zavrsava se u tockl F, u kojoj brid E F nju probada,

81. 82, Sl. 83.

Pobocka A B F E je u samosjeni i vidi se u nacrtu. U tlocrtu se vidi s~m? onaj dio bacene sjene koji pada na osnovku udubine, dok je u nacrtu vldlJlV sarno onaj dio bacene sjene koji pada na pobocku BeG F.

. 56. Sjene ~tvorene valjkaste udubiue. Ogradni zid tini udubinu u. obhku polovine rotacionog valjka; odredite sue sjene (s1. 83)!

Nacrtna geometrija

66

·1 . -I 43 povucirno na osnovku valjkaste udubine tan-Prema pravl U lZ C . . . ' 'd .. d I Diraliste C'.II!:'! D' te tangente )e tlocrt lZVO • gentu kOJa Je uspore na sa s .. . DE l"k t

nice CD, koja pripada rastavnici valjkaste pIche. DIu A C :a J ~ ~ lohe 'e u samosjeni, i on se u nacrtu vidL Brid A E baca, kao 1 na, ShCl

~2 SV~jU sjenu na osnovku udubine do toCke N, pa se vert'ik~no pe,~Je po vaijkastoj plohi do tocke Ez , Tocka Ex nade se kao p:-obodlste Val)~aste plohe sa zrakom svjetlosti polozenom tockom E. Od tock~ Ex na~ta~lJa Se

bacena sjena luka E F D gornje osnovke valjkaste udubme, kOla Je luk E F D Bacena sjena Fz koje god tocke F toga luka nade se kao probo-d:st: v;ljkaste pIche sa zrakom svjetlosti poloienom toekom F. .

Sjena koja je bacena na osnovku udubine vidi se u tlocrtu, a sJena koja je bacena na valjkastu udubinu vidi se u nacrtu.

1".7 Sjene zatvorene prizmaticne udubine. Odredite sve si:ne u u~u~ OJ • • 'm.a obhk polovtne bini zida koja je s donje i gornJe strane zatvorena, a l

pravilne sesterostrane prizme (s1. 84)!

SL 84.

U tlocrtu slike 84. nacrtan je horizontalan presjek I J udub,ine zida gledan odozgo, zbog toga je u njemu crtkano nacrtan tloert bnda E H, koji je iznad toga pre5jeka. . . . _

Bacena sjena brida A E na toj slici ista je kao 1 na shcl 82, a od tocke E~ nastavlja se bacena sjena brida E H. Buduci, da je ~rid ~ H us~oreda: s pobockom BeG F, na koju on baca sjenu, nJegova )e baeena SJena n

67

ttl pooocku usporedna s njime (eL 26. D) i dopire do toeke M, U toj tocki lomi se sjena brida i nastavlja se po pobocki CD II G do tocke H. u kojoj brid E H probada tu pobocku.

58. Sjene zatvorene valjkaste udubine. Odredite sve sje1l.e u udubini zida koja je s donje i gornje strane zatvorerw, a ima oblik polovine rota­cionog valjka (51. 85)1

Kako je na slid 84, tako je i na slici 85. nacrtan u t]ocrtu horizon­taIan presjek Ii J te udubine gledan odozgo.

Bacena sjena brida A E ista je kao i na slici 83, a od tocke Ez

nasta­vija se bacena sjena brida E C. Sjena EI F';r. G brida E G je luk elipse u kojoj ravnina svjetlosti, polozena tim bridom, sijece valjkastu plohu. Duzina E G je mala os te elipse, toeka F je nJezino srediste, a duzina F EJ; je polovina njezine velike 051. Kako je Pri dijagonalnoj rasvjeti E" F" =

= F" E/', to su velika i ma]a os nacrta te elipse medu soborn. jednake, a to znaci da je nacrt elipse kruzniea. Naert bacene sjene brida E G, je, dakle, luk E/' F:' G

n kruzniee kojoj je tocka F" srediste a polumjer T =

= F" En = F" E./',

AT, 59. Sjcne u S:upljoj piramidi. Odredite Sve sjene u praviinoj sestero­st-ranoj ,~lLpljoj piTamidi kojo) jc vrh H. Dl a osnovka paratelna s njom (sl. 86)'

Bridove koje pripadaju rastavnici odredit cerno pomocu pravila iz t1. 39. Vrhom V piramide po}ozimo zraku sVjetlosti s i odredimo probo­diSte V, osnovke piramide s tom zrakom. Nacrt s" te ~rake sijece produie­nje naerta osnovke u nacrtu V/' probodiSta V" a tlocrt'V/ togaprobodista je u sjecistu ord-inale iz to'cke V/' i pravca s'. Iz tocke V/ povucimo pravce V, C' i V/ F', kOji dodiruju tloert osnovke piramide u tockarna C' iF', Bri­dOvl C V i F V pripadaju rastavnici. Pobocke piramide V C B, V ..:1 B i V F A osvijetljene su s vanjske strane, a s unutrasnje strane su u samo's;eni, dok fiU pobocke VCD, VDE i VEF u samosjeni s vanjske strane, a s unutrasdje su osvijetljene. Bridovi F A, A BiB C baeaju svoju sjenu u unutrasnjost piramide na oovijetljene pobocke, a njihove sjeme omeduju bacenu sjenu u unutrasnjosti piramide:. Da bismo odredili bacenu sjenu AI tocke A, po_ lozimo tom tockom zraku svjetlosti i nadimo probodiSte piramide s torn zrakom. Ta zraka svjetlosti odreduje se zrakom svjetla" koju smo poloiili vrhom V, ravninu E. Trag te'ravnine na ravnini osnovke je pravac e!!E VIA, a tloert toga traga je pravac e/ Ei V/ A'. Buduci da trag e

1 sijece osnovku

piramide u tockama Ail, to ravnina E sijece suplju pira~idu u bridu AV i u duzini V 1. Zraka svjetIosti polozena toc-korn A je.u ravnini E, pa se presijeca s duzinom V 1 U ,tocki At. koja, je hacena sjena tocke A Du po_ ---

.. Napomena: Clar.ke koji su oznaceni s Ar. trebu obraditi 5 a IT! 0 U a r hit e k­ton 5 k 0 mod j e I u tehni~ke gradevim!{e skole.

68

boCku VEF. Bacena sjena brida FA po loj poboCki je duzina FA., a njezin tlocrt je F' Ax'. Od tocke Ax nastavlja se bacena sjena brida A B na tu pobocku, Iwju odredimo tako da tocku 2, u kojoj produzeni brid A B probada produzenu pobocku V E F, spojimo s toekom A. i produzimo' do tocke 3, koja je na pridu V E, jer bacena sjena duzine ria neku rav~inu ide probodistem dtiZine s tom ravninom (c1. 26. A). Od tocke 3 do tocke 4, koja je na bridu V D; -nastavlja se sjena brida AB po poboi:)ki V D E! Bacena sjena 3-4 je usporedna s bridom A B jer je taj brid usporedan s ravni­nom pobocke V D E (<:1. 26. D). 0::1 tocke 4 nastavlja se bacena sjena brida

'" A B po pobocki V C D u pravcu .; 5 ako je toeka 5 proboCliste produzene

x

Sf- 86. S1. 87.

pobocke VCD s produzenim bridom AB. Zraka svjetla polozena vrhom B prosijeca duzinu 45 u toe!ti B., koja je bacena sjena vrha B na pobocku VCD. Na slici 86. odredena je toeka Bz jOs i na onaj nacin kako je odredena tocka Ax, tj. kao probodiste piramide sa zrakom svjetlosti polozenom vrhom B. DuZinoni Bz C, koja je bacena' sjena brida Be na pobocku V C D, zatvara se'meaa bacene sjene u unutrasnjosti piramide.

U tlocrtu vidimo sve unutrasnje strane pobocaka te pirarnide, od kojih su tri osvijetljene, a tri osjenjene; pored toga vidimo u tlocrtu i titavu

'. /

69

bacenu sjenu u unutraSnjost piramide. U nacrtu vidimo vanjske strane pobocaka, i to samo tri, od kojih su dvije osvijetljeneJ a jedna je u samosjeni.

Ar. 60. Sjene U 5upljem stoscu. Neka se odrede sue sjene 11, suptjem. rotacionom stoscu kojemu je t1Th 11, Ill! a osnouka paraleina 8 njom (51. 87)!

Izvodniee VC i VD, koje pripadaju rastavnici, odredit cerno pomoCtl pr3vi1a iz cL 40. Vrhom st.osca V polozimo zraku 5vjetlosti s i odredimo probodiste Vu osnovke stosea s tom zrakom. Tloert s' te zrake sijei!e pro­duzenje tlocrta osnovke u tloert VJl~ probodiSta VII, a nacrt 'VIl" probodiSta je u sjecistu ordinale iz tocke V u' i pravca SN. Iz toeke Vu" povucimo tangente na nacrt osnovke i odredimo njihova diralista C:' i D U

• Duzine v"e" i V"D" bit ce nacrti, a duzine V'C' i V~D' tlocrti izvodnica VC i VD, koje pripadaju rastavnicL Onaj dio plaSta koji je ogranicen tim izvodni­cama i lukom t $ C G D osvijetljen je s vanjske strane, a s unutrasnje je u samosjeni, dok je ostali dio plasta osjenjen 5 vanjske strane, a osvi­jetljen s unutrasnje strane.

U nacrtu vidimo Citavu unutrasnju stranu plasta stosca, zato u nacrtu vidimo njezin osjenjeni i osvijetljeni dio, kao i bacenu sjenu na osvijetlje­nom dijelu. Meda te bacene sjene je krivulja lz, kOja je bacena sjena luka osnovke l !5 C G D. Pojedine tocke krivulje lx odrede se tako da se toekama F, G i H luka l poloze zrake svjetlosti i nadu probodista stosca s tim zra­kama. Zraka svjetlosti polozena na primjer toekom F odreduje sa zrakom svjetlosti koju smo polozili vrhom V ravninu E. Pravac V,/' F", koji je nacrt traga ravnine C na ravnini osnovke stosea, sijeee naert osnov~te u tocki 1". Duzina V" 1" je nacrt izvodniee V 1, U kojoj ravnina E sijece stozac. Nacrt zrake svjetlosti poiJzene tockom F sijece V" 1" u toeki F z "',

koja je naert bacene sjene toeke F u unutrai;njost stosea, a njezin je tlo­crt Fz' na duzini V' 1', Na jednak se naNn mogu odrediti projekcije H/, Hz" i G/, G/' bacenih sjena toeaka H i G, sarno se za tocku G mora naj­prije odrediti tlocrt G;r.' njezine bacene sjene, a zatim naert G/'.

Vazno je, zbog tlocrta bacene sjene, odrediti onu toeku J luka I eija bacena sjena J z pada na izvodnicu V B, koja je konturna izvodnica tlocrta stoSea. Ako nacrtamo pravae B"VII", on presijece naert osnovke u tocki J". koja je naer! tocke J. Nacrt zrake svjetlosti polozene tockom J sijece VUB" u toeki Jx". U Hocrtu J;:' toeke J$ mora Hoert I,,' krivulje I;r. dodirivati tlo­~rt V'B' izvodnice VB.

Da je krivulja I::&: luk elipse, izlazi iz ovoga razmatranja: Kad bismo svakom toc-korn osnovne kruzniee stosea polozili zraku svjetlosti. one hi omotale kosi kruzni valjak. Taj bi se valjak prodirao sa stoscem u osnoV­noj kruznici jer ta kruznica pripada stoscu i kru.znom valjku, a ostatak·

70

prodorne krivulje bie bi prema tome krivulja drugoga r'eda, a kako se ona nalni i na kruifl'om valjku, ona je elipsa, a krivulja lz luk je te clipse.

AT. 61. Sjcne u supljoj polukugli. Odredite 8ve sjene u su.ptjoj polukugl1 kojoj je medasnja glavna kruznica usporedna sa O2 (s1. 8S)!

Na slid 88. nacrtane su projekcije te polukugle, i odreden je nacrt C"G"A"D" i tlocrt Ca'A'D' njezine rastavnice eGA D kao na slid 77, Iz nac:rta AN toeke A nade se njezin tloert A' pomotu usporednika kugle. koji ide tockom A. Meda k~ ~ C Lz D batene sjene na unutrasnjost polu~

SL 88.

kugle je bacena sjena luka C L D gIavne medasnje kruznice k, Da je kri­vulja k;r: polovina neke glavne kruznice kugle, izlazi iz ovoga: Kad bismo svakom toekom medasnje glavne kruznice k polozili zraku svjetlosti, one bi omotale kosi kruzni valjak koji hi se prodirao s kuglom u kruznici k i u jos nekoj krivulji kOja bi moraia biti krivulja drugoga reda, a kako je Dna na kugli. to je ta krivulja kruznica, a k;;; je njezina polovina. Duzina CD je promjer polukruzniee kn a duzina 0 L;t je polovina njemu konju­giranog promjera. Toeka Lz je bacena sjena toeke L, koju dobivamo pO­mocu stranoerta kao probodiilte polukugle sa zrakom svjetlosti polozenom toekom L. Ako uzmemo da se stranoert 0'" sredista kugle poklapa s na­crtorn ON srediSta kugle, 'onda se stranocrt polukugle poklopio s polukruz­nicom L"C"E", a L"'.L". Pravae L'" L/", polozen toekom LUI usporedo s pravcem s"', sijeee stranocrt kugle u toeki Lr"', kOja je stranoert bacene sjene toCke L. Iz stranocrta te toCke nademo njezin nacrt L/' i tloert L/

?l

Naert k/' polukruznice kx je polovina elipse kojoj je duiina C"D" velika os, a du~ina 0" L;t" polovina male osi, dok je tloert k;/ polukruznice kx opet polovma elipse kojoj je duzina C'D' promjer, a duzina O'L': polovina njemu konjugiranog promjera. Tim su elementima krivulje k," i k,' pot­puno odredene, i pomoeu njih se one konstruiraju.

Na kraju oznacimo u nacrtu toeku M", u kojoj se sijeku k;/' i e", pa odredimo u tlocrtu na e' toCku M'. Toeka M' je od vainosti zbog toga sto se u njoj dodiruju kz ' i e'.

62. Vjeibe. - 1. Ogradnl zid ~ini udubinu U obllku po\o\'ine pravilne osmew_ sh'ane pMzme; odredite u uduhini sve sjene!

2. Odredite sve sjene u udubini zlda kOja je s donje i gornje stmne zatvorena, a ima oblik polovioe pravUne osmerostrane prizme!

3. Odredlte sve sjene u pravltnoj osmerostrnnoj supljoj piramidi kojOj je vrh V (80, 50, 0), a jedan vrh osnovke A (40, 50, 60)!

4. Odredite sve sjene u pravilnoj cetverostranoj supljoj piramidi kojoj je vrh V (70, 0, 35), a jedan vrh osnovke A (40, 65, (0)!

5. Odredite sve sjene u supljem rotacionom stolleu kOje'~u je vrh V (30, 40, 0), polUlnjer osnovke r = 30 a visina 60!

6. Odredlte sve sjene u supljoj polukugli kojoj je medasnja glavna kruzntca usporedna s nl ako je sredHte te kruznice S (70, 50, 40), a polumjer r = 30t

12. Siena lika na liku, tijela na tiieIu

AT. 63. Sjene trokuta i paralelograma. Odredite sue sje-rte trokuta ABe­[A (0, 50, 15), B (50, 75, 15), C (30, 55, 50)] i paralelogra;w, E F G H [E (20, 30, 0), F (55, 50, 0), G (70, 25, 45), H] (sl. 89)!

Konstruirat cerna najprije- batenu sjenu trokuta i paralelograma na III i IT!h a zatim cerno odrediti bacenu sjenu trokuta na pa1:'alelogram. Bacena sjena trokuta ABC je trokut AlBIC,. Kako j~ stranica A B t.,ega trokuta usporedna s III, mora duiina AI HI biti usporedna s A' B' (d. 26. D). Stranica E F zadanog paralelogra.ma je u ITl> zbog toga ona pripa.da meai bacene sjene toga paralelograma, a ta je poligon E' F' N Gfl!:In M. Ta istu­stranica E F je prvi trag e t -ravnine E toga paralelograma. BuduCi da e

j

sijece ~tranice trokuta AI B, C, u toe-kama K i J, to ce se iz tih toeaka pe~ njati bacena sjena trok~ta po paralelogramu, i to prerna sjeni C" sto je vrh C trokuta baca na paralelogram. Toeku C odredimo kilo probodiSte paralelograma sa zrakom s~jet1osti polozenom vrhom C ((,:1. 31. B). Prva ravnina prometaliea polozena tom zrakom sijece paralelogram u duzini 1 2, a ta duzina presijeea tu zraku u tocki Cz .

Duzina J C, sijeee stran'jeu F G pa.ralelograma u tocki L" koja je jedan vrh onog cetverokuta KFLxCz koji omeduju bacenu sjenu trokuia na para-

72

lelogram. Tocku Lz mozemo odrediti jos ~ pomOCll tocke Lb ,u kojoj se sijeku medasnje stranice bacene sjene trokuta i paralelograma. Povw2enio Ii tockom L J zraku svjetlosti unatrag, ona ce presjeci stranicu F G para­lelograma u tock! L, (Cl. 34.).

SL 89,

BuduCi da se u tlocrtu i nacrtu vidi osvijetljena straniea paralelo­grama, io se u tlocrtu i nacrtu vidi onaj dio bacene sjene trokuta koji pada na taj paralelogram.

Ar. 64. Sjcne trokuta i paralelogl"ama koji 5e sijekl,l. Odredite sve sjene 'roku'a ABC [A (l0, 35, 0), B (35, 50, 60), C (60,35, 0)] i paralelograma. DE F G [D (10, 25, 10), E (60, 45, 10), F (75, 25, 40), G] (s1. 90)!

73

Stranica A C trokuta je u Il" a paralelogramu su dvije stranice D E i F G usporedne Sil" Da bismo naSli presjeenicu HI zadanih likova, od­redit cemo najprije taeku H, u kojoj stranica Be trokuta probada para-

Sl. 90.

lelogram, a zatim cerno naci tocku I, u kojoj stranica DE paralelograma probada trokut. Tocka H nadena je pomocu druge ravnine prometalice, polozene stranicom Be trokuta, koji sijece paralelogram u duzini 12, a tocka I odredena je pomoeu prve ravnine prometalice, polozene strani­com DE paralelograma, koja sijece trokut u duZini 34.

Bacena sjena trokuta na III je trokut A'G'B" a bacena sjena paralelo­grama na Il t ina IIz omedena je poligonom D/ E, N FlI Gil M. Buduci da se medasnje stranice tih sjena sijeku u tockama KI i J 1, to pomoeu zraka svjetlosti povucenih iz -tih toeaka unatrag nademo na stranici A B trokuta tocku K, koja baca svoju sjenu' K;;c na stranicu DE paralelograma, a ha

74

stranici DE paralelograma toCku J, koja baca svoju sjenu J~ na.stranicu Be trokuta (el. 34.).

Odredimo zatim sjenu Bz koju vrh B trokuta baca na paralelogram kao probodiste paralelograma sa zrakom svjetlosti po!ozenom vrhom B (eL 31. B), i to pomoCu prve ravnine prometalice polozene tom zrakom koja sijece taj paralelogram u duzini 5 6.

Sjena trokuta na paralelogramu, koja je omedena cetveroku.tom K I H B,z:, vidi se potpuno u tlocrtu, a s'amo djelomice u nacrtu, a od sjene paralelograma na trokutu, koja je omedena trokutom HI J Xl vidi se sarno jedan diD u nacrtu.

Od trokuta ABC vidimo u tlocrtu cnu njegovu stranu koja je u sa~ rnosjeni, dok u naertu vidimo njegovu osvijetljenu stranu (el. 28).

AT. 65. Sjenc piramide i prizme. Nacrtajte pravilnu sesterostranu pira~ midtt kojo; je osnovka ABC D E F U TIl ako je dijagonala njezine osnovke A D fA (10, 65, 0), D (50, 65, O)J, a visina piramide je 70 mm, zatim u8pravnu peterostranu prizmu kojaj je prednja osnovka G H J K L oko­mita na II, [G (70, 60, 0), H (90, 30, 0), J (85, y, 20), K (80, y, 25), L (75, Y. 20)], a visina prizme je 50 mm) pa odredite sve sjene t.ih tijela (s!. 91)!

Najprije nacrlajmo medu bacene sjene piramide j prizme na II t i na illj:. te .utvrdimo koje su njihove plohe u samosjeni. Buduci da meda ba­cene sjene piramide sijece brid G G prizme koji je u TIl u toekarna MiN, to ce se iz tocke M penjati bacena sjena piramide po prizmi prema toeki Ox, a iz toeke N prema tocki P x. Toeke Or. P;r, kao i toeke R:u S;r, T,. i U ... koje pripadaju medi- bacene sjene piramide po prizmi. mogu se odrediti na tri naNna..

Duzina L J LI> kOja je bacena sjena brida L L prizme na II l • sijece medu bacene sjene piramide na lIt u tockama Of i P,. Povucemo Ii tim tot-kama zrake svjetlosti una trag, one ce nam presjeci brid prizme L L u toCkama

Or i Pz. Isto tako povucemo Ii unatrag zrake svjetlosti iz tocaka T[ i U/, ~ kojima se sijeku meda _bacene sjene pirami.de i bacena sjena brida J J,

dobit cemo na bridu J J toeke T.r. i U,r-.

Z.amislimo kroz bridove L L i J J prizme horizontalnu ravninu 1:. Njezin drugi trag $2. usporedan je 5 05i x. Tu ravninu probada brid F V piramide u toeki F, a brid C V u tocki C. Bacena sjena vrha piramide na tu ravninu hila hi toCk~ Vs, a_bacena sjena piramide po toj ,Iavnini bila bi omedena duzinama F Vs i C V 1• Te duiine sijeku brid L L u toc~ kama Or. i Pz. a brid J J u toekama T;r i Un koje pripadaju medi bacene sjene piramide n-a pdzmi.

Treci naNn objasnit cerno pri odredivanju tocaka Rz i S~. koje su na bridu K K. Sve zrake polozene tockama brida F V piramide cil'e ravninu

75

svjet~osti polozenu ~ bridom, kojoj je prvi trag F'V/ Tu r~vn~u svjet­JQ.sti probada brid K K u toCki R~, kOJu nademo pomocu presJecmce 1 2 te

SL 91.

ravnine i prve ravnine prometalice polozene bridom K K. Drugu ravninu svjetlos~ polozenu bridom C 'V piramide kojoj je prvi ,trag C' V I probada

76

brid K K prizme u'tockl S:t;. Tu tocku nademo pomoeu presjecnice 23 te raVlune i prve ravnine prometalice polozene bridom KK.

Bacena sjena piramide, koja pad a na prizmu, vidi se u tlocrtu citava a u a.crtu ,:!dljiv je onaj njezin dio koji j~ !1a poboeki L K K i": i no pobocki G L L G ukoliko ga piramida ne zaklanja.

SL 92.

AT. 66. Sjene piramide i prizme koje se prodiru. Nacrtajte uspravnu tro. strantL prizmu. kojo; je prednja osnovka ABC okomita na III [A (66, 70, 0), B (80,25, OJ. C (73, y, 30)], a visina 60 mm, zatim pravilnu ce,tverostranu.

77

piramidu j kojoj je ..,9sEovka u rIll aka je srediSte njezine osnovke u sre­distu pobocke A B B A prizme, njezini StL osnovni bridovi dugi 30 mm, a dva StL od njih usporedna s pobocnim bridovima prizme, dok je njezina v~sina 70 m7n, pa odredite prodor i sue sjene tih tijela (51. 92)!

Najprije cerno odrediti prodorni poligon tih tijela, Da bismo naSli tocke 1 i 2, u kojima pobocni brid C C prizme probada piramidu, poloZit cerno tim bridom i vrhom piramide pomocnu ravninu E. Ta ravnina, koja je prva ravnina prometalica, sijece pil'aIl!!du u trokutu J V I, a stranice I V i J V toga trokuta presijecaju brid C C u trazenim toekama 1 i 2. Da bismo zatim odrediH tocku 3~ u kojoj pobocni brid G V piramide probada poboeku ACe A prizme. polozimo tim bridom prvu rnvninu promelalicu. Ta ravnina sijece tu pobocku u duzini K L J koja nam presijeca brid G V u trazenoj tocki 3. Tocku 3 mozemo odrediti jos i tako da nademo pre­sjeenicu pobocke G V F piramide s poboekom ACe .Ii prizme. Ako toeku M, u kojoj 5e sijeku prvi tragovi ravnina tih pobocaka, spojimo s tockom 2. dobit cerno presjecnicu tih pobocaka na kojoj mora biti tocks 3. Pri­mjenom toga drugog nacina nacene su na 51. 92. tocke 4, 5 i 6? u kojirna preostala tri pobocna brida piramide probadaju prizmu. Prodorni poligon 1 5 6 2 3 4 vidi se u tlocrtu citav, a u nacrtu vidljive 5U sarno njegove stranice 3 4 i 4 1.

Sada su nadene mecte bacene sjene prizme i piramide na TIl i Il t ·

Buduci da se bacena sjena brida D V pinimide sijece s bacenom sjenom brida CC prizme u tocki PI, to brid D V, koji je ispred bride C C, baca na nj sjenu u toeku P r, koju dobijemo taka da lz tocke P, povucemo zraku svietlosti unatrag. 15to se tako bacena sjena brida F V piramide sijece 5

ba~enom sjenom brida C C prizme u tocki R I , pa brid C C, koji je ispred brida F V, baca na nj 5vOjU sjenu u tocku Rz , koju dobijemo pomocu zrake svjetIosti povucene una trag iz toeke R,.

Ba~ena sjena piramide po prizmi. koja je omecena trokutom 1 4 p;,:, vidi se u tlocrtu i nacrtu, dok se bacena sjena prizme po piramidi koja je omedena trokutom 2 6 R;t vidi sarno u tlocrtu,·

Ar. 67. Sjenc prizrnaticne ploce i valjka. Uz vertikalan zid prislonjena je polovina kruznog valjka nad kojim je prizmaticna plo~a; odredite sve sjeno (sl. 93)!

Najprije ooredimo projekcije one izvodnice A B valjka koja pripada njegovoj rastavnici, kao na s1. 72. b, a po pravilu iz cl. 43. Bacena sjena te izvodnice, koja pocinje u tocki A, pada na TIl do tocke C, a zatim se penje vertikalno po zidu do toeke LIl.

Rastavnici prizmaticne ploce pripadaju, prema s1. 71. b, bridovi D E. E F. F GiG H. Buduci da je brid DE okomit na II •• nacrt je njegove ba<,:ene sjene na vertikalnom zidu i na valjku duzina n;l Ez"j koja je,. prema pravilu iz cl. 37, usporedna s nacrtom SN zrake svjetlosti. Toeku E't

78

nati cemo kao probo<iiSte valjkaste p10he sa zrakom svjetlosti polozenorn. toekom E. Od tocke Ez. nastavlja se batena sjena horlzontalnoga brida E'F do loCke L., Luk E. L. pripada elips; u kojoj hi ravnina svjetlosti polozen. bridom E F sjekla valjkaslu plohu, Nacrl je Ie elipse kod dijagonalne rasvjete kruznica kojoj je tocka S" srediste, a polumjer jednak polumjeru.

SL 93. Sl. 94,

valjka, kako je to objasnjeno na s1. 85. U (:1. 58. Projekcije one toCke L na bridu E F kOja baca svoju sjenu L~ na rastavnicu A B valjka mozemo odrediti tako.da iz tocke A' ~ B; ;s L;z povllcemo tiocrt s' zrake svjetlosti unatrag do tocke L' na duzini E' F', a na ordinali iz tocke U je tacka Lt;.

Odsjecak L F brida E F baca svoju sjenu na vertikalan zid od Lll do F II• a duiina Lu FIJ jednaka je i usporedna s L" F", jer je brid E F uspore­dan sa zidom. Iz istoga razloga je i bacena sjena F/l GJl brida F G jednaka i usporedna s F" Gil, dok je bacena sjena Gu HI' brida G H usporedna sa s", jer je brjd G H okomit na vertikalnom zidu.

Ar, 68. Sjene valjkaste ploce i valjka. Uz vertikalan zid prislonjena J? polovina kTuznoga 1)aljka nad kojim je polovina valjkaste place; odTedite· sve sjene (81. 94)(

79

Najprije povu~emo tangentu paralelnu sa s na oboc1nicu tlocrta po­Jovine valjks, kao i na obodnicu tlocrta polovine valjkaste place. Diralista tih tangenata BU A' ;t;;: B' i C' !eI D'. Toeka A~ E' B' je tlocrt izvodnice A B, ko]a pripada rastavnici valjka, a toCka C' ~ D' je t10crt izvodnice CD, koja je dio rastavnice valjkaste ploce.

Rastpvnici valjkaste place pripadaju jos luk EPJGHIC nje-L;ine donje osnovne kruznice k i luk D L njez'me gomje osnovne kruznice. Meda ba­cene sjene te ploce na vertika1an zid odreduje se kao i na s1. 73. u. Cl. 44. Qna se sastoji od luka EJIf FI! 01/ 1-1" III Clf, vertikalne duzine Clf DIl i lu­ka Do L".

Dio bacene sjene te ploce pada na polovinu valjka. Pocinje od tocke J /I, U kojoj se sijece meda bacene sjene ploce na verLikalan zid s lije­vom medasnjom izvodnicom polovine valjka, pa ide preko tocaka F z i G:;z: do tocke Hz. Tocka Fz ilt G", nade se kao pl.'obodiste ~aljkaste plohe sa zrakom svjetlosti polozenom tockom F iIi G, dok se tocka H;r, koja je na izvodnici A B, odredi ovako: 12 tocke A' _ B' EO Hz' povuce se tlocrt s' zrake sVjetlosti do tocke H' na kruznici k'; odredi se zatim LOCka H" na k", pa se kroz H" povlIce nacrt s" zrake svjetlosti, koji presi]e.ce nacrt A" B" izvodnice ABu tocki H./'.

Bacena sjena izvodnice A B poCinje u tocki A, pada na ITl do tocke K, a zatim se penje po zidu vertikalno do tocke H/I.

Ar. 69. Vjeibc. - 1. Odredlte sve sjcme paralelograma ABCD [AC •• J20 30, 10), E (70, 60, 10), C (lOO, 10, 60), D] i trolwta EFH [E (lo, 50, 0), F ;50, 80', 0), H (40, 50. 50»)!

2. Nacrtajte kvadrat ABCD koji je usporcdan s ITl, ako je njegcva dijagonala AC [A (0, 20, 60), C (50, 65, 60)], iatim I.rokut EPG [E (I5, 30, 20), F' (75, 80, 0), e (60, 5, 60»), pEl odredite sve sjene aka je smjer zrake svjetlosti odreden baEenom ~jenoln C! (60,1 20, 0) tockova C (rasvjeta nije dijagonalna)! .....

3. Nacrtajte trokut ABC (A (0, 55, 50), B (20, 25, 70), C (30, 70, 45») i paTalelo­gl'am DEFG CD (60, 10, 65), E (20, 15, 30), F (40, 50, 1), G], pa odredite svc sjene p.ko je smjer zrake svjetlosti odreden bacen sjenom At (90, 20, 0) tocke A!

,1. Nacrtajte kvadrat ABeD, koji je usporedan s IT I , a kojemu je dljagonaJa AC [A (l0, 90, 70), C (50, 65, 70)) i trokut EFG [E (35, 30. 25), F (S5, 80, Ol. G (115, 45, 60», pa odredite sve sjene aka je smjer zrake svjetlosti odr~den bacenom sjf'nom C, (140, 20, 0) tocke 9!

5. Nacrtajte prjwilnu sesterostranu piramidu, kojoj je osnovka ABCDEF u fll, ako je dijagonala njerine osno\'ke AD (A (lO, 75, 0), D (60, 65, OJ), a vislna pira­mide je 110 mm, zatim praviJou trofitranu pMzmu kojoj je ,prednja osnovka GHI okomita na ITl [G (80, 60, O), H (100, 30, 0)], a visina prizme je 55 mm, pa odredite svc sjene tih Ujela!

6. Nacrtajte pravilnu sesteroslranu piramidu, kojoj je osnovka ABCDEF u lIt, ako je ~qagonaJa nje:?:ine osnovke AD [A (5, 80, 0), D (65, 80, .0)], a visina piramlde

80

je 100 mm, zatim pravUnu peterostranu pnzmu kOjoj je prednja osnovka GHIJK okomit,a na 111 [0 (100, 70, 0), lJ (U5, 45, 0)], a Yisina prizme je 65 mm, pa odredite five sjene tih tljela!

I 5 Q U L I I I_~ f--~ I

)

':{{;f~'

\" '<I \ ' ... --j. ..... ~)

SI. 95.

SL 98.

I· SQ---{

I I L 030

, , "

_c,

\ .~r '>, I

'X>---\X .. " ," ",

1:2

SL 96.

2J

1:40 PR£REZ IJ

I"

•

:<:.

I .IQ

:-~ I <30

"'

, , " , , I

, I 0

, , S

, " \ , , , ....... ~- ....

sr. 97.

I --

" .00

g c

'" --

st. 99.

7, Nacrtajte pravnnu sest.erostranu piramidu kojoj je osnovka ABCDEF n ~ko je dijagonala njezine osnovke AD [A (0, 85, ~), D (60, 85, o)], a vlsfna Pld:nid~ Je 120 mm, zatim pravHnu sester.ostranu prizrnu kojoj je prednja osnovka GHIJKL

81

okomita na III [0 (100, 45, 0), H (gO, 65, 0»), a visina prizme je 65 mm, pa odredite sve sjan(! tih Ujela!

8. Uz vertikalnu ravninu prislonjena je polovina pravHne ar sesterostrane, b) odredite sve sjene (sL 95. i 96)!

polovina kruinog valjka nad kojim je os mer a s t ran e prh:maticne place;

" 9. Uz vertikalnu ravninu prisionjen je valjkasti stup nad kojim je ploca koja

ima oblik kvadl'a;- odredlte sve sjene (81. 97)t

10. U zidu je udubina u obliku polovine rotacionog "atjka, a ix zlda strSl iznad gornje osnovke udubine prizmaticna ploea; odredite sve sjene (s1. 98)!

ll. U z:idu je udubina u obUku polovine rotacionog valjka. a iznad gornje asnovke udubine strsi ix zida polovina valjkaste plo~e: odredite sve sjene (s1. 99}1

13. Prakticne primjene konstrukc:!e siena

Ar. 70. Sjene glavice prizmaticnog stupa. Na slici 100. nacrtane su u mjerilu 1 : 10 sve tri projekcije glavice prizmaticnog stupa koji je prislo­njen na vertikalan zid. U tlocrtu je nacrtan horizontalni pr~rez zida i pogled odozdo na glavicu stupa. Glavica se stupa sastoji od cetverostrane krnje piramide i dviju cetverostranih prizmaticnih ploca, a nad njom je horizontalni prizmaticni nosae. Sve horizontalne donje plohe, kao i verti­kalne desne plohe, na tom su objektu u samosjeni.

Donji prednji horizontalni brid A B prizmaticnog nosaca pripada ra­stavnici. N acrt bacene sjene brida A B na vertikalan zid naci cerno tako da odredimo bacenu sjenu Bli koje god njegove tocke B na vertikalni zid, pa tockom BIl povucemo usporednicu s nacrtom toga brida, jer je brid A B usporedan sa zidom. Bokocrt bacene sjene toga brida po lijevim ver­tikalnim plohama glavice stupa poCinje u tocki A"', a usporedan je s bo­kocrtom s'" zrake svjetlosti jer je brid okomit na II" (el. 37).

Rastavnici gornje prizmaticne ploce glavice pripada prostorni poligon CD E F G. Bacena sjena brida eDna lijevu poboeku donje prizmaticne ploee usporedna je s bridom, a poeinje u tocki P. Ona se preko lijevoga prednjeg pobocnog brida te prizmaticne ploce lomi, prelazi na prednju pobocku i dopire do tocke Dx. koja je bacena sjena tocke D na tu pobocku. Od toeke D~ nastavlja se bacena sjena brida DE usporedo s tim bridom do to~ke H:z:, koja je na desnom prednjero pobocnom bridu dortje prizma­Hene place. Dio HE brida DE baca sjenu H/f Elf na zid. koja je jednaka i usporedna sHE. Isto tako je baeena sjena Ell Fll vertikalnog brida E F jednaka i usporedna s tim bridom. dok je bacena sjena FJI A" brida F G na zid usporedna s drugom projekcijom s" zraka svjetlostL

-6 Nacrtna geometrlja

·82

Rastavnici donje prizmaticne ploee glavice pripada prostorni poligon I J K L. Bacena sjena brida I J pada na zid, i to oct tocke I do toeke NJ it zatim na Jijevu poboeku stupa od tocke N qo tocke J,z. koja je bacena sjena

Sl. 100.

vrha J, a koja pada na prednji lijevi pobocni brid stupa. Od tocke Jz na­stavlja se bacena sjena brida J K usporedo s bridom do tocke M;I, koja je na desnom prednjem pobocnom bridu stupa. Dio M K brida J K baea sjenu MlJ K/[ na zid) koja je jednaka i usporedna s M K. Od Ku nastavlja se bacena sjena desnoga pobocnog brida K L do tocke HII-

Nn kraju desni prednji. pobocni brid stupa baca svoju sjenu na zid, koja je s bridom usporedna. a zavrsava u tocki Mlf.

83

Ar. 71. Sjene dimnjaka. Na slid 101. nacrtane su u mjerilu 1: 30 sve tri projekcije qimnjaka koji izlazi iz krovne ravnine okomite na IT3 · On se sastoji od kvadraticne prizme i kvadraticne prizmaticne place, nad Iwjom je niska kvadraticna krnja piramida. Od krovne ravnine nacrtan je sarno pravokutnik ABC D.

SL. 101.

Desne i straznje vertikalne plohe dimnjaka su u samosjeni. Hastavnici prizmaticne ploce pripada prostorni poligon E F G H 1 J K Sjena vrha E pada na lijevi prednji pobocni brid kvadraticne priz~e u tocku Ex. U toj tocki pocinje bacena sjena brida E F na prednjoj pobocki prizrne. kao i bacena sjena brida E J na lijevoj poboUn prizme. Bacena ~Jena svakoga toga brida usporedna je s bridom.

84

Bacenu sjenu Ex P", Gx H~ Ix J:t: spomenutog prostornog p~ligona' na krovnu ravninu mozemo odrediti pomocu tlocrta i nacrta Hi pomocu nacrta i bokocrta, kako je to objasnjeno na slid 62 (c1. 31. B). Na slici 101. odredena je bacena sjena toga poligona pomocu" nacrta i bokocrta. Povu­cimo, Ila primjer kroz H'" bokocrt s'" zrake· svjetlosti do sjecista H:;;''' s bokocrtom krovne ravnine. Ordinalna, koja ide tockom Hz'" okomito na as Z, sijece se s nacrtom s" zrake svjetlosti polozenom tockom H u -toeki H/'; a ordinalna polozena tockom H::' okomito na os x sijece se s tlocrtorn S' zrake....svjetlosti poiozenom tockom Ii u tockl Hz'. Na jednak 'se nacin

. mqgu odrediti projekcije bacenih sjena ostalih vrhova spomem~tog pro­stornog .poligona, pa se one medu scbom spoje duzinama. Pri spajanju treba paziti da paralelne stranice toga prostornog poligona imaju i para­lelne bacene sjene.

Rastavnici kvadraticne prizme pripada njezin prednji desni i straznji lijevi pobo~ni brid. Bacena sjena prednjega desnog pobocnog brida pocinje u tocki Ai, u kojoj taj brid probada krovnu ravninu, Tloert njegove ba­cene sjene ide tockom M' u$poredno sa s' do toeke K/, a nacrt njegove bacene sjene odreden je toe kama M" i K/'. Ako duzinu M'K/ produzimo do tocaka l' i 2', pa odredimo tocke 1" i 2", onda duzina M"K;e" mora biti na duzini 1" 2".

Bacena sjena straznjega lijevog pobocnog brida prlzme poeinje u tocki N J U kojojo taj' brid probada krovnu ravninu, a Msporedna je s ba­cenom sjenom predrijega desnog pobocnog brida,

Ar. 72. Sjene na vratima. Na slid 102. nacrtane su u mjerUu 1: 40 projekcije vrata nad kojima stsi horizontalna betonska ploca. U tlucrtu je nacrtan horizontalni presjek zida i vrata I J gledan odozdo. Kako su betonska ploca i gornji hodzont.alni prag vrata iznad toga prereza, njihov je tlocrt ogranicen isprekidanim duzinama.

Da nema betonske ploce, bacali bi na vrata svoju sjenu brid A B lijevoga vertikalnog ptaga i brid B C gornjega horizontalnog praga. Sjena brida A B, koja pocinje u tocki A, pada nu ITl u smjeru tloctta s' zrake svjetlusti do tocke' F, a zatim se penje vertikalno po vratima. Brid Bene baca sjenu jer se nalazi u bacenoj sjeni betonske ploce. Isto tako sjena brida DE desnoga vertikalnog praga, koja poeinje u tocki D, pada na TIt U smjeru tlocrta s' zrake svjetlosti do tocke G, a zatim se penje vertikalno po zidu do tocke H, U koj'Oj se opet nastavlja u smjeru s' do tocke 1, a onda se opet penje'vertikalno pO zidu do oocke Su, koja je na medi ba­eene sjene betonske ploee.

Rastavniei betonske ploce pripada poligon L K M N O. Bacena sjena brida L K, koja poeinje u to~ki L, pada na zid kuce, na Ujevi ·vertikalni prag i na sarna vrata. Nacrt te bacene sjene usporedan je' s nacrtom 5"

85

zrake svjetlosti (c1. 37), a zavrSB.va se u tocki K~, k'Oja je bacena sjena vrha K na vanjskoj ravnini vrata. Od tocke Kz nastavlja se bacena sjena brida K M, koja pada: na vrata, na desni vertikalni prag i na zid kuce.

-It--it-- - - -- -- - - - ---K' M'N'

st. 102.

Bacena sjena toga bl'ida na vratima, odnosno na zidu, usporedna je s bri­dom, a ide tockom Kl" odnosno tockom MJ/. Tocke Pr , R;t i S;r., u kojima se bacena sjena brida K M lomi preko bridova desnoga vertikalnog praga-,

86

mozemo odrediti pomoeu tlocrta tih toe-aka, koji se poklapaju s. tl'Ocrtom tih bridova. Tockom, na primjer P x' .,. C' povucimo tloert s' zrake svjet~ losti unatrag do tocke pt. k()ja je na duzini K'M'. Odredimo zatim toCku P" na duzini K" M" i tom tockom povucimo naert sit zrake svjetlostiJ kOji se presijece s duZinom C" Tn u tacki Pz". Na jednak se nacin nadu tocke

R/" i S:r". Bacena sjena brida M N na zid kuce je duzina MIl N u, koja je jednaka

i usporedna sa M N, a bacena sjena brida NO je duzina Nll O"J koja je usporedna s nacrtom s" zrake svjetlostL

.. 1r. 73. Sjene na ulazu sko1e. Na slici 103. nacrtane su u mjerilu 1 : 100 projekcij.= ulaza u skolu. Tri stepenice vode do predvorja, koje je natkrito horizontalnom betonskom plocom, a u njemu su dva kvadraticna stupa. U tIoertu je nacrtan horizontalni presjek I J zida i vrata gledan odozgo.

st. 103.

Desne vertikalne plohe stepenica su u samosjeni, zato rastavnici svake stepenice pripada njezin desni prednji vertikalni brid i njezin desni gornji horizontalni brid. U tocki A poCinje bacen. sjena vertikalnog brida A B

87

prve stepenice na horizontalno tlo i dopire u smjeru s' do tocke B f • U B/ nastavlja se bacena sjena horizontalnog brida B C prve stepenice usporedo' 5 bridom do tocke D, u kojoj ta sjena prelazi na zid zgrade i penje se do tocke C. N. jednak se naCin nade bacena sjena druge i trete stepenice.

Lijevi zid predvorja, kao i desne i str~nje pobocke p:rizl11aticnih stu­pova, u samosjeni SU, zato baeaju sjenu bridovi E F, G H, I.T, K L i M N. Baceua sjena svakoga brida na no predvorja poCinje iz nje-govog noziSta i ide u smjeru tlocrta s' zrake svjetlosti do zida iIi do vrata, a zatim se vertika1no penje po zidu ili, vratima do sjecista s bacenom sjenom hori­zontalne betonske ploce. Tako se bacene sjene bridova E P, K LiM N penju po zidu l do~ se bacene sjene bridova G H i 1 J 'penju po vratima.

Rastavniei betonske ploce pripada poUgon 0 P RS T. Bacene sjene bridova 0 PiS T na zidu zgrade usporedne su s naertom s" zrake svjet­Iosti, a batena sjena brida R S jednaka je i usporedna s tim bridorn.

Brid P R baea sjenu na zid zgrade, na prizmaticne stupove, na desne zidne ravnine predvorja i na vrata. Njegova bacena sjena na zidu zgrade i na prednjim pobockama stupova usporedna je s P RI a pad a na isH pra­vae PJI RfI , jer se te pobocke nalaze u produzenju ravnine zida zgrade. Bacena sjena tog brida na straznjem zidu predvorja pocinje u iocki U II, i

. ide usporedo s P R do tocke V, u koj'Oj prelazi na desni zid predvorja i peuje Be po njeJ)1u do tocke Z,p Tocku Z.., mozemo odrediti na isti nacin kako smo u zadnjem primjeru odredili to~ku Pz . Kroz tocku Z:r' povuccm'O tlocrt 8' zrake svjetlosti unatrag do tocke Z', koja je na cIuzini P' R'. Odre­ditno zatim tocku Z" na duZini P" R" i kroz Z" povucemo hacrt s" zrake svjetlosti, koji se presijece s naertom bridal na kojemu je t()cka. Zx, U tocki Z:r". Bacenu sjenu brida P R na desni zid predvorja mozemo odrediti jo.5 i taka da odredimo tocku Z, u !cojoj brid P R probada taj zid. Produ­zeni tioert desnoga zida predvorja sijece dui:inu P'R' u tocki ,?', k()ja je tloert tocke Z, a naert 2" te tocke lezi na duzini pH R", Na duzlni V Z je dio fix Z.t bacene sjene brida P R na desni zid predvorja. Na kraju cerno odrediti bacenu sjenu Dtt adn,osna ell tocke f) odnosno C na sarna vrata, pa je na pravcu DJI ell bacena sjena brida P R na ta vr~ta.

AT. 74. Sjcne nn stepenicama. Na gornjem dijelu slik~ 104. nacrtan je u mjerilu 1 : 40 u kosoj projekciji (a = 45", n = l) horizontalni presjek ugla lcuce s ulaznim Vratima- i stepenicama pred njima. Prednja i desua vertikalna ploha svake stepenice ne sijeku se u vertikalnom bridu, vee su medu sohorn spojene cetvrtinom rotacione valjkaste plohe. S lijeve strane stepenica je niski ogradni zidic.

D:a bismo mogli naci sve sjene na tom objektu. rn9rarno najprije od­

rediti smjer zrake svjetla. Na ugaonom bridu kuc~ istaknimo 2ato koju god tocku T. U nohstu toga brida je tloeM T' te tacke. Kakav god pravac

88

/:1.0 .

St, 104.

89

polozen tockom T smatrajmo zrakom svjetlosti, a koja god tocka T, na '. neka je bacena sjena tocke T na horizontalnom tIu. Pravac

Tl = s') je bacena sjena ugaonog brida po horiz-ontalnom tIu .t tioert s' zrake svjetlosti. Smjer zrake svjetlosti potpuno je odreden pravoima sis' za rasvjetu koja nije dijagonalna.

Pri takvom izboru smjera zrake svjetlosti u samosjeni su na tom objektu desne vertikalne pIche stepenica i ona vertikalna pIcha ogradnog zidica koja je okrenuta prerna stepenicama. Izvodnicu A B valjkaste pIche prve stepenice odredit cemo, kao na slici 72. a (101. 43), pomocu tangente koju povllcemo usporedo sa s; na osnovnu kruznicu valjkaste plohe. Dira­liEite te tangente je tocka A. Rastavnici prve stepenice pdpadaju izvodnica A B, luk kruznice Be i brid CD. Bacena sjena izvodnice A B je duzina A B

" ba.cena sjena luka Be je luk BI C1 koji je jednak i usporedan. s

lukom B C, a bacena sjena brida CD usporedna je s tim bridom do tocke E, u kojoj ena prelazi na zid kuce i penje se do tocke D. Na jednak se nacin nadu sjene druge i trece stepenice.

Rastavnici ogradnog zidica pripadaju bridovi F G, G H i HI. Bacena sjena vertikalnoga brida F G pocinje u tocki F, pa dopire po horizontal­nom tIu u smjeru s' do tocke 1. u kojoj 5e vertikalno penje po prednjoj pobocki prve stepenice do toeke 2. zatim se nastavlja po gornjoj horizon-

. taln'dj' plohi prve stepenice u smjeru s' do tocke 3. u kojoj 5e opel vertl­kalno penje do sjecista Gz sa zrakom svjetlosti s polozenom tockom G.

Sad se nastavlja bacena sjena brida G H, od tocke Gz do tocke H:l. koja je na gornjoj horizontainoj plohi trece stepenice. Toeka Hz je bacena sjena tocke HJ koju dobijemo kao sjeciSte zrake s, polozene tockom H i zrake s. polozene tockom H'. Bacenu sjenu brida G H na gornju horizon­talnu plohu trece stepenice odredimo tako da nademo tocku L, u kojoj ta ploha sijece produzeni brid G H) pa tu tocku spojimo s H:t. Od tocke 6 spu§ta se bacena sjena brida G H po prednjoj pobocki treee stepenice do tocke 5. Duzinu 6 5 dobit cerna tako da tocku 6 spojimo s toekom H, U

kojoj brid G Ii probada prednju poboeku treee stepenice. Od tocke 5 na­stavlja 5e bacena sjena toga brida do tocke 4) i ro tako da je duiina 54 usporedna s duZinom Hz 6, jer isti brid baca na usporedne ravnine uspo­redne sjene. Na kraju se duzinom 4 G~, koja mora biti usporedna s duzi­nom 65, dokoncava bacena sjena brida G H. Duzina 4 G", mora produzena· prolaziti kroz tocku K, u kojoj ravnina prednje poboeke druge stepenice sijece brid G H.

ad tocke Hm nastavlja se hac-ena sjena brida HI usporedo· s tim brl. dom do rocke 7, ix koje se penje po zldu kuce prema tocki 1. Na tome se

,.putu ona lomi u to~ki 8, pa ide po gornjoj horizontalnoj ravnini donjega l.praga, i to usporedo s bridom H I do toeke 9, a iz te tocke penje se taO

90

sjena po vratirna usporedo s duzinom 7 I do tocke J,r, u kojoj -se zraka svjetlosti povucena !oekom J. U tocki J;r. nastavlja se zatim tika]nom smjeru bacena sjena prednjega brida lijevoga praga do L:lI a du:Hna Lx K je bacena sjena brida L K.

Na donjem dijelu slike 104. prikazan je taj isti objekt svojim projek_ cijama. U tlocrtu je nacrtan njegov horizontalni presj~k M N gleda'n odozgo, a u lijevom bokocrtu njegov vertikalni presjek P R gledan s desne strane. Konstrukcija njegovih sjena izvedena je u projekcijama na nacin koji je objasnjen u kosoj projekciji.

Potrazite projekcije svih rastavnica toga objekta i njihovih ba<':enih sjena!

91

75. *Sjene n pl'edvorju ituce. Na kuci je mjesto vertikalnog ugla le·tv,rtina rotacione valjkaste plohe, Na tome dijelu kuce nalaze se vrata

predvorje pred njima (s1. 105). Cetiri stepenice vode do predv-urja, a u njemu se nalaze dva valjkasi:a stupa. U tlocltu je nacrtan presjek I J toga objekta gledan odozgo.

Lijevi zid predvorja, deslli zid kuce i vertikalna ploha lijevoga praga vrata cine s n~ kut od 45Q

, Te su plohe usporedne sa zrakom svjetlosti, pa su zbog toga u samosjeni. Isto tako je u samosjeni strop predvorja, a njegov kruzni brid A B baca svoju sjenu na srcdnji valjkasti i desni ravni zid predvorja, na vrata, kao i na valjkaste stupove, a meau,te bacene sjene odredujemo na nacin koji je objasnjen na sliei 94 (el. 68). Bacena sjena kruznog ·brida.A B na srednjem valjkastom zidu predvorja pocinje u tocki A.o pa se kao luk krivulje nastavlja do tocke H r , sijekuci pri tom u tocki D:; prednji' vertikalni brid lijevoga praga vrata, a u t'Ocki Gx prednji ver­tikl:llni brid desnoga Rraga. Nacrte tocaka H .. , D", i G", odredit cerno pomoc:u njihovih tlocrta kako smo na slici 103. odredili tocku 2,/', Kru?,ni brid A B baca dio svoje sjene na vrata kao luk DI{ Ell. a na!vertikalnu plohu desnoga praga kao luk Fr. G~. Na kraju se sjena toga kruznog brida zavr­sava kao luk H-;: lot J% K)' B, koji je na desnom 7.idu predv.orja.

Rastavnice na valjkastim stupovima i njihove bacene sjene odredit cerno kao na slici 72. b (cL 43). Lijevi valjkasti stup baca svoju sjenu na pod predvorja i na vrata, a desni na pod i na desni zid predvorja. Bacenu sjenu kruznog luka A B po tim stupovima odredimo kao na slici 94, a samosjenu i bacenu sjenu stepenica kao na slid 104.

Ar. 76. *Sjene nise. Na slid 106. nacrtane su u mjerilu 1 : 25 projekcije udubine u zidu koja se sastoji od polo vine supljega valjka i cetvrtine £uplje kugle. Ispod udubine nalazi se niska prizmaticna ploca nad kojom je niska krnja piramida, a nad udubinom usb valjkasti luk. Tlocrtom je prikazan horizontalni presjek I J toga objekia gledan odozgo. ....

Rastavnicu A B valjkaste udubine naci cerno kao na slid 83 (cl. 56), a rastavnicu BCD kuglaste udubine mozemo odrediti kao na sHe! 8-8 (cL 61). Sjeria brida E F paqa na osnovku udubine u smjeni' SF do iocke N, a ,zatim se vertikalno penje po valjkastoj udubini do tocke Fr., Meda ba­cene sjene na kuglastu udubinu_ je luk D HJ: cetvrtine elipse D Hr L.I.' koju cerno odrediti kao na slici 88. Luk D H:r; je catena sjena kruznog luka D H na ,kuglastu udubinu. Na kraju kruzni luk F G H baea svoju sjenu u valj-kastu 'Y9ubinu kao luk F;t G;t Hz. '

Meda K Lli M II Nil P bacene sjene prizmaticne ploce na zid nane se kao lia slid 71. b (el. 42).

Sf. 105.

Bac2na sjena valjkastoga luka na zid ogranicena je bacenom sjenom 'J. RIJ i 2' VII bridova Z ViZ VI koji su okomiti na zid'u, sjcnorn R{{ V" i

92

V JI Til bridova R U i V T, koji su horizont~lni i usporedni sa zidom, zatirn lukovima sjena koncentricnih polukruznjca' kojima je tocka S srediS1le', a'

SL 106.

promjer duzine R T, odnosno U V, a na kraju bacenom sjenom rastavnice vanjske valjkaste pIche luka, a ta je sjena tek primjetljiva i ima smjer nacrta zrake, svjetlosti.

m. PRODORI GEOMETRIJSKIH TIJELA

14. Prodor dviju prizama

77. Opcenito 0 prodoru tjjela. Ima predmeta u graditeljstvu i stro­jarstvu koji su nastali na taj naNn da je jedno geometrijsko tijelo prodrlo u drugo. Medasnje plohe tih tijela presijecaju se medu sob om u prodoT­nom poligonu kad su tijela uglasta ili u prodornoj krivulji karl su obIa,

Ako jedno tijelo potpuno prodire u drugo, tj. jedno tijelo dopre'do drugog, zatim u njemu nestane, pa iz njega izide na drugoj strani, onda kazemo da je prodor tih tijela potpun. U tom se slucaju prodorni poligon,

.odnosno prodorna krivulja, sastoji od dvn zatvorena. poligona, odnosno od dvije zatvorene krivulje,

Kad jedl1Q tijelo zadire u drugo, tj, jedno tijelo sarno jednim svojim dijelom prodire u drugo, tad kazemo da je prodor nepotpun, U takvom se slucaju prodoTni poligon, odnosno prodorna krivulja, sastoji od jednoga zatvorenog poligona, odnosno od jedne zatvorene krivulje.

Kako se odreduju projekcije prodornog poligona, odnosno prodorne krivulje, kad su zadane projekcije dvaju geometrijskih tijela koja se pro­diru, to cerna uCiti U ovome poglavlju,

-18. Prodor peterostrane i trostrane prizme. PeteTostrana tLSpraVna kojoj je osnovka usporedna s lIt. a jedna pobocka u ITt, PTodi,.e se

. 'tTostTan.om uspravnom prizmom kojoj je osnovka usporedna s IT3• a. pobo(J:ka u III; odredite projekcije prodornog poHgona!

94

, 'k '" ( = 30· n = 1) t. A _ Na slid 107. a nacrtane su u koso] prole CIJ~ a. .'

dvije ~rizme, kojir~Hi. s~ odstrantje~e. OS~t~:~:ld~~id~:te!a~ ~l; ~~O:;;:r:: oli ona mogao vlci}etl s unu rasn)e . . . ' - . G G k ..

p g , kOj'j' su u IT presijecaju se s bndovlma F F 1. J OJl strane pnzme, 1.

G'i 2'

9'

i' --.---- -.--~----. 3' F'

AI., -!:EC"' -----±O::,--~C::;'~B' Ly_~ F'

Sl. 107. a. i b

. ' . zato da bi prostorna objasnjenja, 1 Kosa projek~~ja tlh prlzama n.~crta~a dt~ih tocaka prodol'a, hila z~rnij.a: Ta

potrebna za razuffilJevanje k0t;LstrukCl}A kOJe rojekciJe a zatlm ih prlmljemtl n~ objasnjenja treba prvo shvaUt,l po~o{'u ?se, P 'dora konstrukciju tlocrt~ id,nacrta tlh P:l~~~~i~Un~~zv~! :v~oku sliku na kojoj ce, pored

Ta opaska vnje 1 ne sarno Z J k 'ja tlocrta i nacrta predmeta, biti nacrtana i njegova kosa pro e Cl •

95

Sl'! takoder nalaze u TIlt u tockama 1, 2, 3 i 4, koji Sil vrhovi prodornog poligona. Brid H Ii trostrane prizme probada pobocke If( D DEi Dec is peterostrane prizme u to,Skama.! i 6, koje su takoder 'vrhovi prodornog po!jg2na. Ali i_b!j.dovi C C i E E peterostrane prizrue probadaju pobocke F F H H i G G H H trostrane prizme u tockama 7 i 8, odnosno 9 i 10, koje su opet vrhovi prodornog poligona.

Stranice prodornog poligona su presjecnice meaasn)ih pIoha till pri­zama; zbog toga nadene vrhove prodornog poligona 'spajall1o u stranice po ovome p r a v il u:

Dva se vrha mogu mrau sobom spojiti stranicom prodornoga pol.igona . sarno onda kad su na istoj me~asnjoJploh,i jednoqa i drugog tijela,

. Taka se, na primjer, mogu spojiti'pr~b~dista 3 i 7, jer su ana na istaj pobocki eBB C petp..rostrane prizrne i na istoj pobocki F F H H trostrane prizme, dok se, na primjer, ne mogu spojiti probodista 7 i 4 premda su na istoj pobocki eBB C peterostrane prizme, jer su na razlicitim pobockama trostrane prizme (7 je na pobocki F F H H, a 4 na pobocki G (; if II).

Vrh 7 prodornog poligona je vi d 1 j i v jer je on p'TobodiSte vi d­I j i v e p 0 b 0 eke F F ii H trostrane prizme s vi d 1 j i vim b rid 0 m C C peter9strane prlzme, dok je vrh 8 n e v i d 1 j i v jer je on probodiSte n e v i d 1 j i v e po b 0 eke G G Ii H trostrane prizm'e sis tim b r i­nom c C. Iz toga izvodimo ova p r a viI 0;

Vrh je prodornog poHgona vid~jiv aka je on probodiSte vidljive po­bocke jednog tijeZa s vidljivim bridom drHgog tijela.

U svak'om drugom slucaju, kad je nevidljiv brid, ili pobocka ,.W oboje, tad je nevldljiv i vrh prodornoga poligona u kojemu brid probada po­bocku.

Stranlea 6 7 prodornog poligona je vi d 1 j i va jer' su v i d 1 j i v e obje pobocke F FE HiD C CD, koje se presijecaju u toj stranicl;.dok je straniea 6 8 n e v i d 1 j i v a jer se n e vi d i pob~c~a c' G if H, koja sE\. u toj str~nid presijeca s vidljivom pobockom DeC D. ;[z toga izvodimo ovo p r a viI 0:

Stranica je prodornog poligona vidljiva ako je ona presjecnica vidljive pobocke jednog tijela s vidljivom pobockom dr'ugog tijela.

U svakom drugom slucaju, kad su nevidljive jedna pobocka iii obje pobocke, tad je nevidljiva i. stranica prodornoga poligon~ u kojoj se pre­sijecaju te pobocke.

Prednje pravilo 0 spajanju dvaju probodi-sta stranicom prodornog po­ligona, kao i praviIo 0 vidljivosti vrha iIi stranice poligona j vdjedi ne sap;lO:·za taj zadatak Vee za svaki zadatak 0 prodoru dvaju uglast,ih tijela.

" ,B. - Na slid 107. b nacrtane su sve tri projekci~ pete!ostrane i tro-~trane prizme toga zadatka. Buduci da su bridovi A A i B B peterostrane

95

prizme i bridovi F FiG G trostrane prizme UTIlI njihovL se tlocrti presijecaju u tockama 1', 2', 3/ i 4', koje su tioerti vrhova 1, 2,,3 i 4 pro_' dornoga poligona. Nacrti tih tocaka su U osi' X, a bokocrti u om 'lil'

Pobocke peteiostrane prizme okomite Stl na nIh zbog toga' su. tocke 5" i 6", u kojirua nacrt H n H" pobocnog brida H Ii. trostrane priime pre-' sijeca stranice hacrta peterostrane prizme, nacrti probodista 5 i 6 pete_ rostrane prizme s bridom H H. Tloerti 5' i 6' "tih probodiSta su tla pravcu H' H', a bokocrti '5''' i 6'" poklapaju se s bokocrtom H'" m B'" brida H _ii.

Probodista 7 i 8, odnosno 9 i la, trostrane prizme s bridovima C C i .... E E" peterostrane prizme, odredit cerno pomocu bokocrta, jer Su pobocke

trost'tal1e prizme okomit~ na ITs. Duzina C'" (S'" presijeca bokocrt ti:o­strane prizme u tockama 7'" i 8"', a duzina E'" Em u, toCkama 9'" i 10''', Tlocrt 7' i 8' probo'diSta 7 i 8 nalaze se na pravcu C' (;', a tlocrti 9' i .10' probodista 9 i 10 na duziui E' E', dok se nacrti tih probodista poklapaju s nacrtnna bridova C is i E E.

Budu61 da je prodor tih prizama potpun, on se sastoji od dva odije-_

Ijena prodorna poligona 1 9 5 10 2 i 3 7 6 8 4, koji nisu zatvoreni' jer su dvije pobocke tih prizama u TIt.

Sve se stranice tih poligona u tlocrtu vide jer su sve poboeke tih prizama, koje se medu sobom presijecaju, u tlocrtu vidljive.

Nacrti tih poligona poklapaju se sa stranicama nacrta peterostrane prizme, dok se njihovi bokocrti poklapaju' sa stranicama ?okocrta tro­strane prizme,

79. Prodor kvadraticnc i trostrane prizme. Kvadraticna prizma, kojoj

je osnovka u ill' prod ire se s tl'ostranom uspravnom prizmom kojo; je jedna pobocka u TIl, a njezini pobocni bridovi cine s II2 kut od 25"; neka se odrede projekcije prodora tih prizama (s1. 108)!

Buduci da su pobocke kvadraticne prizrne okomite na Ill> to tlocrt C' C' pobocnog brida C C trostrane prizme sijece stranice tlocrta kvadra­tiene prizme u toe-kama l' i 2', koje su tlocrti probodista kv!:,!-draticne pri­zme s bridom C C. Nacrti 1" i 2" tih probodiSta nalaze se na duzini C" C'.

Pobocni bridovi -F' if i G G prednje pobocke kvadraticne prizme pro~ badaju poboeku B Bee trostrane prizme u probodiStima 3 i 4. Tlocrti 3' l 4' tih probodista poklapaju se.3l1ocrtima tih bridova, a njihove nacrte 3" i 4" odredimo pomocu duzine 3 4.

Na isti se naCin nadu pomocu duzlne 56 nacrti probodista 5 i 6 po­bocke A ACe tro,strane prizme s bridovima E E i H H kvadraticne prizme.

Projekcije tih probodista mogu se odrediti jos i na ova) nacin: ako ravninu pobocke E F FE produzimo do sjecista 5 bridovima A A i B B trostr-ane prizme, dobit cema toeke I i j, Tlocrti r i J' tih tocaka su pre~ sjecista pI"odu:lenj.a duzine E' F' s duz.inama A' A' i B' B', a niihovi nacrti

91

I" i In su .n~ ?si x: Kad tocke I i J spojimo s tockom 1, dobit cerno duzinu J 1, na kala) )e locka 3, i duZinu 11 na kojoj je locka 5,

v Duzina_,!) je presjecnica pobocke E FiFE kvadraticne prizme s po­bockom B Bee trostrane prizme a isto tako' d V' II'"

b "k E F F-- - -' Je UZlna preS)ecnlCa po oc e E s poboclrom A A C C,

C'

t;n F't H'I 6'1 :W

6 H r- - - -i-----'1'H

I C- I 1--... I

I

." d---..},;!-5----4 [ \-~~_f---+~f_,,~,~-4 I

-;hi:+''T.~!:f_:::+fJ''-·-i':_:::_**' ,,-_i+_=,x~ : . •. ... .• K A"j ;8" I

i ' 1 3 F ,-f--------tF

I j I I

G t- -;<\;" :-------1 G

8' i 2 . ..1 = . ~---~--~H \ H 6

At'

\ \

----.~(CJ

/"'--' ----~--'---'(C)

~2. :c'~a"" .. __ ,_

Sl. lOB. c' ' ..

v Iz toga.~rimjer~ Vidi~o da.se prodorni poligon dvaju uglastih tijela ~~ze odre~ltl ~a dva na~ma: itt odTedujemo probodista pobocaka jednog

i~tela s b~1.dovtma drug~ga, pa .do~ivamo _~r11:O::.~Eodornoga poligonal

odreduJemo presjecmce gromcmh plona jednoga tijeZa s granicnim plohama dTugoga tijela, pa do~!~am~ .. ~~!_~.r.ti~e .. 1?!.<?~~!noga polig,ona. .

7 Nacrtna geometrlja

98

Buduci da je prodor tih dvaju tijela potpun, prodor se sastoji od dva poligona. Jedan poligon je sarna osnovka E F G H kvadratil:ne prizme, a

Sl. 109. Q. b i e

99

drugi se dobiva spajanjem nadenih probodista ovim redom'. 1,3,4,2,6,5, 1. Red spajanja tih probodiSta naCi cerna po pravilu prv~m iz 61. 78, a vid­Ijivost stranica prodornog poligona mozemo odrediti po pravilu drugom iz cl. 78. U nacrtu se vide sarno stranice 1 3 i 3 4 prodornog poligona, jer je svaka ta stranica presjecnica dviju 1I nacrtu vidljivih pobocaka tih prizama.

Na slici lOB. prevaljena je u ITl prednja osnovka ABC oka s~~e,stra­nice A B, a isto -tako je preloiena u TIl 1 prednja pohocka B Bee aka svoje stranice B B. Pored toga nacrtana je mreia pobocja kvadraticne prizme sa stranicama prodornoga pohgona.

80. ·Prodor dViju trostranih prizama. Trostrana uspravna prizma kojoj je jedna pobocka u ill prodire se s drugom trostranom 1LSpTUVnOm

priznwm kojoj je takoder jedna pobocka lL Ill; odredite projekcije pro­dora tih prizama (s1. 109. a J b i c)!

A., _ Na slid 109, a nacrtana je kosa projekcija (a = 120°, n =:. II",) till -prizama kojima su odstranjene osnovke da Li se jedan diD p-rodora mog-ao \~idjeti s unutrasnje strane. Bridovi A A i B 13 uze trostrane prizme pre­sijecaju se s brido\'ima D DiE if .sire trostrane prizme u v!:.hovima 1, 2, 3 i 4 prodornog poligona, jer su svi ti bridovi u TIl' Bnd C C uze prizme probadau§iru prizmu u tockarna 5 j!i Te tocke odrcdit cerna tako da cerna hri9QJR C,C_p~lozgi r§.vni~~ P okomito ~na nl',-p't;T-'trag~t~ ravrifne Je pravac T-;"';'" (C' C), koji presijeca brid D D u tocki J, Grid E E u totki L, a duzinu F'j' u tocki K', Ravnina P sijece siru piramidu u trokutu J L K._

a njegove stranice J K iLK presijecaju brid C C u traieniw:....probodi­stima 5 i 6.

B. - Na slid 109. b nacrtane su projekcije tih pri"zama. Pobocni bri­dovi uze prizme cine s il2 kut od 22~ 30', a nagib poboc.a~~ tih pr:-izarna prema ill iznosi 3/2_

Udaljenost brida cis i brida F F od ITl odredit cerna pomocu slike r'l'-.

Nacrtajmo pravokutan trokut 0 M l! kojemu je kateta 0 M = 11 a kateta ON = 2. Ako na produzenu katetu 0 N nanesemo duzinu A 0 = C" A' i o D = F'D'J pa kroz tocke AiD nacrtamo l.lsporednic.e s' hipotenuzom N M, one ce presjeCi produzenu katetu 0 M u tockama C 1. F. Duzina 0 C. odnosno 0 F, jednaka je udaljenosti brida C C. odnosno ,F F, od TI j . Prerna tome je C:: e" = 0 C, a F x-F'" = 0 F. .

Tloerti 1',2', 3' i 4' vrhova 1, 2, 3 i 4 prodorriog poligona su u presje­cistima tlocrta bridova A A,.8,:8, D 15 i E E, a njjhovi s~ nacrti nn osi -x.

Prvi trag T j ravnine P, koju polozimo bridom C C okomito na II,. pol<lapa se s duiinom C'C', Onsijece D'D' u tocki J', F' P' tl tocki K', a E' E' u tocki L', Tacke J" i L" nalaze se na OS! x, a tocka K" na P" r'. Nacrti J" K" i L" K" dviju slranica trokuta J K L presijecaju C" C' u too-

~

!Oo

kama 5" i 6", koje su nacrti probodista 5 'i 6 ~ire 'prizme s bHdom ce. Tlocrti 5' i 6' tocaka 5 i 6 nadu se pomocu njihovih nacrta.

Sve se stranice prodornog poligona u tlpcrtu vide, dok ,je u nacrtu vidljiva sarno stranica 1 5.

81. Prod or dviju kosih prizama. Odredite prodoT cet,verostranc kose prizme [A (35,20, 0), B(20, 17, 0), C(lO, 5, 0);D(47, 1",0), A(BO: 10, 45)] ::. trostranom kosom prizmom [E.l90, 25, 0), F (100, 14, 0), G (60, 9, 0),

E (~O} 12, 45)j ako su njihove osnovke u 111 (51. llO)!

Sl. 110.

U zadacima 0 prodoru dviju prizama kaje smo dosad rijesili bile su prizme U osobitom poloiaju prema ravninama projekcija, zbog toga se na tim zadacima ~l}}Qgf3Q uociti opceniti postupak po kojemu se odreduju vrhovi prodornog poligona kad se dvije prizme medu sahom prodiru, U zadatku koji cerno sad a rljesiti, i to u kosoj projekeiji (ex = 60", n ='= 1), doCi ce do izrazaja taj opceniti postupak. .

Na slici 110. prikazana je cetverostrana kosa prizm'a kojoj je osnovka ABC D i trostra~a kosa prizma kojoj je osnovka, E F G.

101

Da bismo odredili probodista trostrane prizme S llekim bridom ce­tverostrane prizme, moramo tim bridom Roloziti ravnintt usporedo s po~ bocnim bridovima trostrane priz~-;-Isto t;k~~d; bis~~ 'odredW(-piobQ:"~ dista cetverostra'ne prizme s nekim' bridom trostrane prizme, moraInO tim bridom poloiiti ravninu usporedo 5 pobocnim bridovi~a cetvero­strane prizme. EQ.!~ocne su ravnine u aba slucaja usporedne s poboCTtim >f;. -.' ~~idovima ii~'l1:~_ L~!~e pTiz11'!-!:.:-~@i).fedne takve ravni~le.\~ na'-ravnilll

.Ill odredit cerna tako da ~;Qm god toCk~rg,.J; (,15. 27, 10) p'olozimo pra-vac ~ u, ';koji je usporedan s pobocnirn brTdovima""'-- cetverostrane prizme (u" A-X, u'" A A'), i pravac v, koji je usporedan s pobocnim-hridovima trostrane prizme (v II E E, v' II E E'). Ako su U, i V, probodis!a zajednicke ravnine lIt osno·;raka tih prizarna s tim pravcima, onda je pravac $1 =

= (U h VI) prvi)r:~~I5!yni.!!~~._

Kad bridom A A polozimo ravninu A, koja je usporedna s ravni­nom :E, bit ce njezin prvi trag pravac a l • koji ide tockom A usp2!ed:£ s tragom 3 1 ; on sijece stranice osnovke trostrane prizme u tockama 1 i 2.

Rav!.:in.<: A presijeca pobocke trostrane prizme tl pravcima koji idu. tocka­rna 1 i 2, a usporedni su s pobocnim bridovima te prizme. Ti pravci sijeku brid A A u probodiStima 1 i 2 trostrane prizme s tim bridom.

Na jednak se nacin nadu, pomocu ravnine B i njezina traga hI> pro­bodista 3 i 4 trostrane prizme s bridom B B. Isto se taka pomoctl ravnine A i njezina traga d 1 mogu naCi probodiSta 5 i 6 trostrane prizme s bridom D 5. Prvi trag Zt ravnine Z, koju poloziffio bridom C C usporedo s ravni­nom ~, ne sijece stranice osnovke trostrane prizme, pa iz toga zakljucu-- . jemo da brid C C ne probada trostranu prizmu.

Sada, kad smo odredili sva probodista trostrane prizme s bridovirna cetverostrane prizme, moramo odmah ustanoviti da li se ta probodista vide iii ne vide, pa prema tome izvud te bridove punom ili crtkanom

crtom. Buduci da SLl bridovi A A. B BiD is virlljivi, a probodista tro­stra~ yrizme s tim bridovima na vidljivim su pobockama GEE G i E F FEte prizrne, vid,iet cerno sva probodista 1, 2, 3~ 4, 5 i -6. Ta se tri brida zbog toga nacrtaju punom crtom, a sarno izmedu probodiSta crt-

kanom crtorn. Brid C C naerta se takoder punam crtonl, a sarno se onaj diD sto ga zaklanja trostrana prizma nacrta crtkanom ertom.

Na jednak se nacin pomocu ravnine 4>, koja se polozi bridom F F, odnosno pomocu ravnine r, koja se polozi bridom G G, nadu probodiSta 7 i ''8, odnosno 9 i 10, cetverostrane prizme s bridom G G odnosno F F. Bridovi G G iFF vide se na trostranoj prizmi, ali se od tih E.r~bodista vide sarno probodiSta B. i 10, ko.ia su nn vidljivoj pobocki C B B C cetve­rostrane prlzme, dok se ne vide 'probodBta 7 i 9, jer su na nevldljlvo) pobocki C D D C.

. 102

Brid E E ne probada ceLverostranu prizmu, jeT trag e1 ravnine E, koju smO polozili tim bridom uspored0.3 ravninom 1.:, ne sijece stranice osnovke i::etveTostrane prizme. Brid E E iZ\'uci cerna' zbog toga punorn crtom.

ProbodiSta cerna spojiti stranicama prodornog poligona ovim redam: 1 3 1.0 8 4 2 6 7 9 5 1. Prodorni se poligon sastoji sarno od jednog lika, jer te prizme sarno zadiru jedna u drugu.

Pobocka A.it BB sijece se s pobockom E F F' E u stranici 24 pro­dornoga poligona. Aka tu stranicu produiimo, ona mora ici tockom J, u kojoj se presijecaju prvi tragovi tih pobocaka, tj. (E, A) i (F, E), jer pre­sjecnica dvaju ravnina mora prolaziti sjecistem prvih tragova tih ravnina. Time mozemo kontrolirati da Ii su stranice prodornoga poligona tacna nacrtane. a mozerno odredivati i stranice prodornoga poligona. Probo­dlste 10 mozemo, na primjer, nati taka da brid G G presijecemo pravcern (3, K), ako se u tocki !{ sijeku produzeni osno\'ni bridovi Be i E G.

32. Vjezbc. - 1. Nacrtajte sJiku 107. b uvecanu, odredite mt'eZu pobocja jedne i druge prizme, a zatim napravite model prodora koji je priknzan na slicj 107. n.

2, Nacrtajte kosu projekciju prodora iz slike lOB. ako je brid AA U osi x, a brid AB u osi y (0:."" 30", n - !)!

3. Odredite projekcije prodora trostrane uspravne prizme s kvadraticnom pri.­zmom iz slike IDS. ako je osnovka kvadraticne prizme u sredistu pobocke ABBA;I zatim konstruil'ajte rnrezu jedne j druge prizme i napravite model za taj prodor!

4. Nacrtajte projekcije prodora dviju trostranih uspravnih prlzama iz slike 109. ako su prizme medu sobom jednake! Tocka K bit ce vrh prodornog poligona. Konstruirajte mreiu jedne i druge prizme i napravite model za taj prodorl

5. Nacrtajte projekcije prodora uspravnih. prizama iz slike 107. aka poboeni brig,9 i trostrane prizme cine s fIz kut ad 30", a peterostrane kut od 60"!

Slika 111. a prikazuje prodor dviju jednakih pravilnih trostranih prizama s kt"tjj raticnom prizmom. Na slid 111. b nacrtan je tlocrt tih triju prizama; nacrtajte naert prlzama i nacrt prodornog poligona aka svaka h'ostrana prizma irna po jednu pobo u u Ill.

ac:rtajte projekc1je prodora pravilne trostrane prizme kojoj je osnovka ABC • A (25, 15, 0),. B (65, 15, 0), A (25, 15, 60)) s kvadrati.cnom prizmorn kOlO} je

~snov EFGH usporedna s n~ [E (10, 35, 10). G (lO, 25, 50), if (SO, 35. 10))!

t .. A . Nacrtajte projekcije prodor~ pravilne troslrane pdzme koioj je osnovka ABC u 1 (A (25, 15, 0). B (65, 15. 0), A (25, 15, 60)] s kvadratlcnom prizmom kojoj je osnovka EFGH tlsporedna s II3 (E (10, 35, 10), G (10, 25, 50), E (BO, 35, 10)]!.

.'2.4 t::f}A.. 9. Nacrtajte projekcije proctora trostrane uspravne prizme kojoj je osnovka ABC u il! fA (2.0, 30, 0), B (50, 45, 0), C (70, 15.0), A (20, 30, 60)J s kvadratll:nom prizmom kOjoj je .osnovka EFGH usporedna s n, [E (10, 35, 10), G (10, 25, 50), E (80, 35, 10»!

10. Nacrtajte projekcije prodora trostrane uspravne pri2.me kOjoj je osnovka ABC u ITI [A (15, 25, O), B (45, 50, 0), C (60, 10, 0), A (15, 25, 60)J s k\'adraticnom prizw

mo. oje) je osnovka EFGH usporedna s IT:, [E (5,30,10), G (5, 20, ~O), l (70,30, 10)]1 acrtajte projekcije prodora kvadraticne prizme kojoj je ~snovka ABeD U

Itl , 10, 0). C (55, 70, (n, It (45, 10, 70)] s cetverostranom uspravncm p.izmom kojoj Je osnovku KLMN u IT3 [K (O, 65, 3D), L (0, 50, 50), M (0, 20, 60), N (0, 30, 15). K (lO, 65, 30)]! ~

~ 1\0)

103

'(ipNacrtajte p~ojekcije .Efodora kvadraticne prizme kOj?j je osn~v~~> ABeD u Itt [A (50, 10. 0), C (40, 55, 0), A (50, 10, 60)] s kvadra~cnom pnzmom ko)o] :;e osnovka EFGJ{ ... ~sporedna s ITs (E (10, 5, 25). G (10, 45, 35), E (80, 5. 2q)]!

ZW Nacrtajte projekcije prod£!~ pravilne trostrane prizme kojoj je osnovka ABC okom.1ta. na III, a pobocka ABBA u ill [A (10, 25, 0), B (M, 65, 0)]. visina prizme

a

8'

Sl. 111. Q i b

je 6{1 mm~ s pravilnom sesterostranom prizmom kojoj je osnovka u ill, dvije su nje­z.ine pobocke usporedne s osnovkamn h'ostrane p.ri7.me, srediste je njezine osnovke U sredUltu pohocke ABBA trostrane prizrne, njezin osnovni brid dug je 27 1!1m, a njezi.-na-..,visina 50 mm! ' . J)·:-l~./Nacrtajte projekc1je prodo;;-a kvadratll'ne priz.me kojoj ic osnovka ABeD u ill [A f3~, 40, 0), C (7~, 60, 0), 'j[ (35, 40, 6O)J, trostranom uspravnom pritmom kOjol je osnovka EFG okomita nu H, [E (IS, 35, 10), F (25, 65, 10), G (30, SO. 25)] a visina prizme je 70 mm ~

104

15. Nacrtajte projekcije prodora trostrane uspravne prizme kojoj je osnovka ABC okomlta na IT, [A (IS, 35, 10), B (25, 65, 50}~ C (30, 80, 25)], visina prizme je 70 mm, s pravilnorr. sesterostranom prizmorn kojoj je osnovka u II .. dvije su njl?ziQ-e pobockc uspol'edno 5 osnovkatna trostrane prizme, srediste je njezine osnovke § (:'!~ (ll, njezin osnovni bti!! dug je 20 mm, a' njezina visina 60 mm! , l_/'K~.§fNiI(~rtajte.Q.kQS9i RrQi~kt;iii (a. = 45°, 12 = 1) prodor peterostrane kose prizme kojd'f'fe osnovka "ABCDE u III [A (0, 105, 0), B (5, 135. 0), C (30, 160, 0), D, (60, 130,01, E (40, 90, 0), A (60, 30, 120)] s trostranom kosom prizmom ltojoj je osnovkn I([,M u ill [K (l00, .50, 0), L (75, 135, 0), 1\1 (140, 155, 0) K (0, .5, 120)]!

15. Prodor prizme i piramide

..... 83. Prodor cetverostrane prizme s cetverostranom piramidom. Odre­dite p.rojckcije prodoru cetv€rostrane uspravne prizme s cetverostranom uspravriom piramidom aka su njihove osnovke u ill!

an b"

, '1,'

c

A· A

B·

SL 112 a SL 112. b

Na slid 112. a, na kojoj su naertane projekcije tih geometrijskih tijela., ozna.ceni su pobocni bridovi cetverostrane prizme slovima a, b, C

i d. Probodista 1, 2. 3 i 4 cetverostrane pl'izme s pobo~n1m bridovUna pi­ramide odredit cerno pomocu tloerta jer su poboeke prizme okoml.te na IIt .

Tlocrti A' V', B'V' , C'V' i D' V' pobocnih bridova piramide sijeku se .sa stranicama tlocrta prizme u toc­kama 1', 2', 3' i 4'. Nacrti tih sjeciSta su na nacrtima pobocnih bridova pi­ramide.

Pobocni bridovi prizme a i b pro­badaju poboCku B C V piramide u tockama 5 i 6. Tlocrt 5' tocke 5 po­klapa se s tlocrtom a" brida a, a tIo­crt 6' tacke 6 poklapa se s tlocrtom b' brida h. Nacrte 5" i 6'" tih tocaka odredit cerno pomoc.u duzine E F, koja je na pobocki Be V.

Na jednak se nacin nadu tlocrti 7' i 8', kao i nacrti 7" i 8", probo­dista 7 i 8 pobocke A D V piramide s bridovima c i d.

Na slid 112. a odredene su pro­jekcije probodista 5 i 8 na jos jedan naCin, kao na slici 108. Ako ravninu pobocke {a, d} prosirimo i njome pre­sijecemo pirarnidu, dobit cerna isto­kracni trapez H G 2 1. Na kraku H 1, odnosno G 2, toga trapeza lezi probo~ diste 8, odnosno probodiste 5. Tocke H' i G' prosjecista su pravca (a', d /) sa stranicama osnovke na piramide.

'rlocrt prodornog poligona 1 2 5 63 4 7 8 poklapa se sa tlocrtom priz­me, a od nacrta prodornog poligona vide se samo stranice 1 2, 25 i 56, a ostale su stranice ne~dljive.

A·

105

B·

SL 113.

Slika 112. b pr.ikazuje u kosoj projekciji (cc. = '30", n = 1) prodor tih geometrijskih tijela. Slika je konstruirana tako da je najprije nacrtana kosa projekcija tlocrta prizme i piramide, pa je pomocu nje odredena kosa projekcija tih tijela i kosa projekcija njihovog prodornog poligona.

84. 'Wrodor dviju trostranih prizama s eetverostranom piramidom. Odredite projekcije prodbra dviju jednakih trostranih uspravnih prizatn4

106

kojima je zajednicka pobocka kvadrat ABC D, s pravi.lnom cetverostra~ nom piramidom kojoj je osnov1ca G H I J (s1. 113)!

Pobocni bridovi E E iFF tih prizama sijeku se u tocki U, koja je jedan vrh prodornog poligona tih prizama. Tome poligonu pripadaju i tocke A, B, C i D~ a njegove stranice su AU, B UJ CUi D U.

Str-anice AU i C U u istoj su prvoj ravnini projiciranja u kojoj su i pobocni bridovi G V i I V piramide, pa se stranica A U presijeca s bridom G V u tocki I, a stranica C U s bridom I V u tocki 2. Od tih sjecista 1 i 2 najprije odredimo nacrte 1" i 2u

, a zatim tlocrte l' i 2', Na jednak se nacin nadu projekcije tocke 3 u kojoj se sijece stranica BUs bridom H V i projekcije tocke 4 kOja je u sjee:istu stranice D U s bridom J V. Tocke 1, 2,' 3 i 4 nalaze se na istoj visini nad ill> jer su stranice A U, B U, CUi D U kao 1 pobocni bridovi piramide jt:dnako nagnuti prema III. zbog toga su nacrti tih tocaka jednako udaljeni 0'1 oSI x, a njihovi su tlarrti jednako udaljeni od tocke U' ;s; V'.

Projekcije probodiSta 5 i 6, odnosno 7 1 8, piramide s bridom E E, odnosno F F, nadu se taka da bridom F F polozimo ravninu P.L III i nj'Ome presijecemo piramidu u trokutu 7V 8. Stranice -;; V i '8 V toga trokuta sijeku se s bridom F F, u tockama 7 i 8. DuZina F" F" sijece duzinu 7" V" u toeki 7", a duzinu 8" V" u tocki 8". Tlocrti 7' i 8' tih tocaka nalaze se na duzini ~ F".

Tlocrti 5' j 6' tocaka 5 i 6 jednako su udaljeni od toOke U' 5 V' kao i tocke 7' i 8', zbog toga mogu se prvo nacrtati tloerti, a zatim nacrti to­l:aka 5 i 6.

ProbodiSta se spoje stranicama prvdornog poligona ovim redom: 1 5 3 7 2 6 4 8 1. Sve se stranice prodornog poligona u tlocrtu vide, dok su u nacrtu vidljive sarno shanice 53 i 37.

85. Prodor trostrane prizme s trostranom piramidom. N eka sa odredi prodor trostrane kose prizme kojoj je osnovka D E ~ U TI2, u_pobocni bri- ' dovi usporedni s II, [D (65, 0, 15), E (55, 0, 35), F (35;, 0, 35), D (60, 65,15)J, trostranom kosom piramidom kojoj je osnovka ABC 1L ITl [A, (70, 65, 0), B (50, 10, 0), C (25, 35, 0), V (50, 30, 70)) (sl. 114)!

Na tom zadatku koji cerno rijesiti u kosoj projekciji (ex. = 45°, n = 1), uaeit cemo opceniti postupak za odredivanje prodora prizme s piramidom.

Da bismo odredili probodiSta prizme nekim bridom piramide, mo­ramo tim bridom poloziti pomocnu ravninu usporedo s pobocnim brido­vima prizme, a da bismo nasH probodiste piramide s nekim bridom pri­zme, moramo tim bridom i vrhom piramide poloziti pomocnu ravn!nu. PoLozimo li prema tome vrhom piramide pravac n, koji je usporedan s pobocnim bridovima prtzme, onda ce tim pravcem prolaziti sve ravnine pomocu. kojih cemo odrediti. probodista jednog tijela s pobocnim brido­virna d rugog.

107

Ako je N2 probodiSte ravnine TIz s pravcem n, u: -kojoj je osnovka prizmc, onda moraju tockom N2 prolariti cLrugi tr@govi svm pomocnih rav­nina. Taka je pravac (N~, D) .'= d2 drugi ~ag ravnine .1., koja je polozena bridom D i5 prizme i vrhom ph'amide. Prvi trag at te xavnine usporedan

N,

v .

f

/i _.J ( .,c/,:

I ,," .' ,j I" '.~,~ 'v·/, '[1 •

If,

sr. 114. 1 !!./,'..-,.~ / v" __ ii'

je s bridoin D D, jer je brid ,D D usporedan s ITl . Trag d1 sAI~;:";t;ani~; l.-rr·'~i:':

osnovke pir~mide_u tockama 1 i 2. a ravnina Ayresijeca pobocke pirarnide U duzinama 1 Vi 2 V. Te duzine sijeku brid DD prizme probodistima 1 j 2

piramide s tim bridom.

-(

108

Na jednak se nac-in nadu, pomocu .£avnine E i nlezinih traj"0va.e2 i 'e1, probodiSta 3 i 4 piramide s bridom E E priZme. Treci brid F F prizme. ne probada piramidu, jeT prvi trag f, ravnine <1>, koju polozimo tim bridom i vrhom piramide, ne sijece stranice osnovke.piramide.

Da bi se odredila probodiSta 5 i 6· prizme s bridom RV piramide I -, .

treba pcloziti tim bridom i pravcem n ravninu B. ,~rvi trag b i te r<;lvnine prolazi kroz tocku BJ a usporedan je s pravcem n , jeT je taj ,usporedan s TIl. a drugi (rag bz te ravnine prolazi tock'Om N2< Trag b2 sijece stranice osnovke prizme u !,?ckama 5 i 6, a ravnina B presijeca pobocke prizme u

,pravcima (5, 5) i (3, 6), koji su usporedni s pobocrum bridovima prizme i sijel~~ brid B V u trazenim probodiStima 5 i 6.

Na-' jednak se nacin nadu, pomocu ravnine r i njezinih tragova gl i g2: probodiiSta 7 i 8 prizme s bdd'Om C V piramide. Treei bri9, A V piranrlde ne probada prizmu, jer drugi trag at' ravnine A, koju smo polozili tim bridom.j pravcem n, ne sljece stranice osnovke prizme.

Nadena probodiSta spoje s€ stranicama prodornog poligona ovim red-om: 1 3 6 8 4 2 7 5 1. Prodorni se poligon sastoji sarno od jednog lika; jer ta tijela sarno zadiru jedno u drugo.

q b c ,-

i~/ ~

I/~ " 1-

40

SL115.a,bic

86. Vjeibc. - 1. Odredite projekcije prodora pravilne cetverostrane piramide s pravi.lnom sesterostranom prizmom -kojima su osnovke u lIt, a njihovi su tlocrti 2adaci slikom 115. a u mjerilu 1 : 2, ako vis ina piramide ima 40 mm, a visina prizme 60mm!

2. Nacrtajte projekcije prodora piramide s prizmom lz zadatka L aka njiho-vi usporedni Qsnevni bridovi cine S osi x: a) kut od 20"; b) kut od 70°!

3. Odredite projekc1je prodora pravilne sesterostrane piramlde 5 kvadratU:nom prizmom kojima su osnovke u TIl> a njihovi su tlocrti zaden! slikom lUi. b u mjerilu 1 : 2 'ake visina piramide Ima 50 mm, a visina prizme 60 mml

4. Nacrtajte projekclje prodora piramide s prizmom iz. zadatka 3. ako njihovJ usporedni osnovni bridovi cine s osi x: a) kut od ZO"; b) kut od 70"!

109

5. Qdredite projekcije predora pravilne trostrane prizme kojoj 'je jedna po­bocks u lib s pravilnom cetverostranom plramidom kojoj je osnovka u TIt, a njihovi aU tlocrti zadani sllkom 115. c u mjerilu 1 ; 2, ako je visina piramide 70 mm!

6. Nacrtajte projekcije prodora prizme s piramidom iz zadatka 5. ako pobocni bridovi prizme Cine 5 osi x kut od 20"1

7. Nacrtajte projekclje predora pravllne cetverostrane piramlde kojoj je osnovka ABC D u ill [A (45, 15. 0), C (55, 75, 0)], a visina piramide 90mm s trostranom uspravnom prizmom kojoj je osnovka E F G usporedna s ll2:

-$ a) [E (10, 55, 35), F (10, 35, 15), G (10, 25, 55), .[ (90, 55, 35»; b) [E (10, 70, 35), F (10, 60, 15), G (10, 38, 55), ~ (90, 70, 35)]; c) [E (10, 70, 35), F (10, 35, 15), G (lO, 25, 55), E (90, 70, 35)]!

8. Nacrtajte projekcije prodora pravilne cetverostrane piramide kojoj je osnovka ABC D u n l (A (20. 60, 0), C (85. 25, 0)), a visina piramide 90 Tnm, s trostranom uspravnom priz:mom kojaj' je osnovka EFG u ITt:

ib'1-1:>a) (E (90. 0, 20.1, F (75, 0, 60), G (35, 0, 35), [(90, ao, 20)]; b) [E (70, 0, 30), F (30, 0, 60), G {40. 0, I5}, E (70, 80, 30)]; c) [E (75, 0, 5), F (50. 0, 50). G (2.0, 0, 25), if (75, 80, 5»)!

16. 'Prodor dviju piramida

87. Prodor dviju pravilnih cetverostranih piramida. Nacrtajte pro­jekcije prodora dvaju pravitnih cetverostranih piramida ako su njihove

osnovke u TIl! Na slid 116. a nacrtane su projekcije tih piramida i projekcije njiho­

vog prodora, a na slici 116. b nacrtane su u kosoj projekciji (0: = 30°.

n = t te piramide s njihovim prodorom, i to uveeane za t. Da bismo odredili tocke 1 i 2 (sl. 116. b), u kojima bridovi AU i C U

nize piramide probadaju pobocke vise piramide, polozit cerna tim hrido­vima i vrhom V pomocnu ravninu P. Ta je ravnina okomita na Ilb a njezin prvi trag je pravac Tl = (A C). koji sijece stranice osnovke vise piramide u tockama I i J. Ravnina P presijeca viAu piramidu u trokutu I V J, a njegove stranice sijeku bridove AU i C U u trazerrim probodistima 1 i 2.

Na slid 116. a oznaceni Sll tlocrti I' i J' tocaka I i J, a zatim su odre­deni nacrti I" i J" tih toeaka. Duiina r V" sijece An Un u tocki 1". a du­zina IN V'" sijece Cn U" u tacki 2". Tlocrte l' i 2' probodista 1 i 2 dobit cerna pomocu ordinala iz tocaka 1" i 2".

Na jednak hi se naNn mag!e adrediti projekcijetacaka 3 i 4, u kojima bridovi B U i D U nize piramide probadaju pobocke vise piramide, ali kako su pohoeni bridovi nize piramide, kao i pobocke vi.§e piramide, iednako nagnuti prema IT" zbag toga su tacke 3" i 4" jednako udaljene od osi x kao i tocke 1'" i 2" a tocke 3' i 4' jednako su udaljene od tocke , . U' ~ V' kao i tocke r i 2',

110

Tocku 5, u kojoj brid E V vise piramide (sl. 116. b) probada poboCku ABU niZe piramide, mogli bismo odrediti na isti nacin kako smo odre­ciili tocke 1 i 2, pomocu ravnine Ph koju bismo polozili tim bridom' i

vrhom. ali je na tOj slici tocka 5 nadena pomoC:ll presjeen{ce poboeke ABU i poboCke E F V. Jedna tocka te presjecnice je toCka 3, a drug. toeka L, u kojoj se sijeku osnovice tih poboeaka. Presjecnica L 3 tih po­bocaka sijece brid E V u toCki 5.

B'

Sl. 116. a SL 116. b

c

Na jednak je nacin odredena toeka 6, u kojoj brid F V viSe piramide probada pobocku B C U nize piramide, i to pomocu presjecnice K 3 te pobocke i poboCke E F V.

Isto se taka na slici 116. a sijeku L' 3' i E' V' u tocki 5' .• a K' 3' i F' V' u tocki 6', a pomocu tih toeaka nademo tocke 5" i 6".

Projekcije tocaka 7 i 8, u kojima bridovi H V i G V viSe piramid~ probadaju pobocke nize piram!.de, odredene su na slid 116. a. tako da je uc:injeno 7' V' = 8' V' = 5' V'J a tocke 7N i 8N jednako su udaljene od osi x kao i tocke 5" i 6".

111

Na' kraju su nadena probodista spojena stranicama prodornog poli­gona ovim redom: 1 5 3 6 2 8 4 7 ).

88. ·Prodor pravilne cetverostrane i osmerostrane piramide. Odredite projekcij.e prodora pr:avilne cetverostrane piramide s pravilnom osmero­stranom piramidom ako su. njihove osnovke u- istoj hotizontalnoj ravnini!

Na slid 117 a nacrtane BU projekcije tih piramida .i projekcije njihova prQdora, a na slici 117. b nacrtane su te piramide u kosoj projekciji (~=

= 30", n =f ) s h.jihovim prodorom. i to uvecane za ~~ . v"

I v

A" B" D'~\ :c1i'L"rr.w7.,t'iJ",-r-;j ,

c

s1. 117. a Sl. 117. b

Tocke 1 i 2 (sl. 117. B), u kojima bridovi A Vie U nize piramide probadaju pobocke vise piramide, odredit cerno na isti nacin 1,ao na slid 116, pomocu ravnine P, koju polozimo tim bridovima i vrhom V. Ta ravn,ina sijece ,ravninu osnovaka tih piramida u pravcu A C~ koji presi­jeca stranice osnovke vise piramide u tockama MiN. Ravnina. P sijece visu piramidu u trokutu M N V, a njegove stranice sijeku bridove AU i C U u trazenim probodiiltima '1 i 2.

112

Na duZini A~ t;' (81. 117. a) tluert je trokut~ M NY, i to od tocke M' do tocke N' a njegov nacrt je trokut Mil NH V". Duzina Mil V" stjece "A" un u tocki 1", a duzina Nil V" sijece e" u,. u tocki -2". Iz riacrta i" i 2" na­demo tlocrte l' i 2' probodista 1 i 2.

,

Blid B V, odnosno D U. nize piramide probad'a pobocku F G V~ od­nosno J K V, vise piramide u tocki 3, odnosnQ 4. Tlocrti 3' i 4' tih probo~ dista jednako su udaljeni ad tocke U' a<$ V' kao i ~ke l' i 2", a lla~rt 3" probodista '3 poklapa se s 2", dok se nacrt 4° probodiSta 4 poklapa s 1".

Tocke 5 i 10 (sl. 117. b), u kojima bridovi G V i F V vise piramid. probadaju pobocke nUe piramide, odredene su pomocu presjecnice 3 P ravnfue F G V s ravninom Be U i presjecnice 3'0 ravnine F G V s ravni­nom A. BU. Na slid 117. a sijeku se 3-' P' i G'V' u tocki 5', a 3' 0' i F'V' u tocYJ la', a pomocu tih toeaka nademo tocke 5" i 10N. '

T1Q".crti prohodlsta 6, 7, 8, 9, 1] i 12 ostalih pobocnih bridova vise pira­mide s poqockama nize pirarnide jednako 'su udaljeni od toeke U' """ V' kao i bocke 5' i 10', dok Sll nacrti tih probodiSta jednako udaljeni od osi X kao i tocke 5" i 10".

Na kraju spojimo nadena probodiSta stranicama prodornog poligona, ito ovim redom: 1 9 103562 12 II 4 7 8 1.

89. Prodor dvi'ju trostranih piramida. Odredite prodor trostrane pira­mide /cojoj je osnovka ABC 1L IT, [A (10, 20, 0), B (55, 40, 0), C (50, 10, 0), V (30, 10, 60)] s drugom trostranom piramidom kojoj je osnovka DE F u II, [D (55, 0,35), E (40, 0, 35), F (60, 0, 10), U (20, 35, 30)l (sl. 118)!

Taj zadatak: rijesit cerno u kosoj projekdji (ct = 45", n = 1) da hlsmo sto boJje uocili opceniti postupak po kojemu se odreduje prodor' piramide s piramidorn.

Pirarnida ko~oj je vrh V ima osnovku ABC U ill, a piramida s vrhom U ima osnovku DE F u II2• Njihovim vrhovima polozit cerna pravac n, a kroz V' i U' ide nje-gov tloert n'. Probodista ravnina ill i TIl! s pravcem n su tocke N 1 i N 2'

Da bismo odredili -probodista t i 2 piramide kojoj je vr.h V s bri· dam D V, polozit cemo bridom D U i pravcem n pomocnu ravninu A. Dru~ trag te ravnine je pravac c4 = (N',! D), a njezin prvi trag je pravac d1, koji di~ tockom Nl i onOm tockom u kojoj se cia sijece s osi x. Trag'dl sijece stranice osnovke piramide, kojoj je vrh V, U tockama '1 i 2, a ravnina A presijeca pobocke te piramide u duzinama 1 V i "2 v. Te duzine sijeku brid D U u trazenim probodiStima 1 i 2.

-Na jednak se naCin odrede probodiSta 3 i 4 piramide kojoj je vrh V s bridom F U pomocu ravnine ell! kojoj su tragovi fl i f21 kao i probodista 5 i 6 te piramide s bridom' E U pomoc:u ravnine E. kojoj su tragovi e, i e!.

113

Da bismo odredili taCke 7 i 8 u kOjima brid C V probada piramidu kojoj je vrh U, po}ozit cerno bridom C V i pravcem n pomocnu ravninu r, kojoj su tragovi 91 = (NlI C).! g2' !.a ravnina presijeca pobocke piramide, kojoj je vrh U, u duZinama 7 U i 8 U, a te duzine sijeku brid C V u tra­zenim toe kama 7 i 8.

Sl. 118.

Brid A V ne probada piramidu kojoj je vrh U jer drugi trag a, rav­nine A, koju polozimo tim bridom i pravcem n, ne sijece strauice osnovke D E F te piramide. Isto tako i brld B V ne probada tu piramidu.

Prodor tih piTamid. je potpun jer se prodorni poligon sastoii od dva z.tvorena lika: 1 3 5 i 2 4 7 6 8.

8 Nllcrtnll geometrlja

. 114

Iz toga primjera izvodimo ovo p r a viI 0 : Sve ravnine pomocu kOjih se odreduju probodtSta jedne piramide s pobocnim bridovima dru.ge pro. laze pruvce1?1- n, kojt spaja vrhove tih piramidil.

90. Vjezbe. - L Odredite projekcije prodora pravilne cetverostrane pirarnide s pravilnom sesterostranom piramidom kojima su osnovke u n l• a njihovi Stl tloertf zadani slikom 119. a u mjetilu 1 : 2, ako visina kvadraticne piramide 1ma 40 mm, a visina sesterostrane piramlde je 80 mm!

sr. 119. $1. no.

2. Nacrtajte projekcije prodora piramida 17. zadatka 1. aka njihovi uspored ni osnovni. briclovi cine S osi x; a) kut ad 20"; b) kut ad 70"!

3. Odredite projekcije prod ora pravilne sesterostrane piramide s pravllnom ce­tverostranom piramidom kojima su osnovke u IIl, a njihovi su tIocrti zadani slikom 120. u mjerHu 1: 2, aka je visina sesterostrane piramide 50 mm a cetverostrane 80mm!

4. Od redite projekcije prodora piramida jz zadatlta 3. ako njihovi usporedni osn~i bridov! tine s osi :r;: a) kut ad 20<>; b) kut od 700

[

~ Nacrtajte u kosoj projekciji prodor trostrane piramide kojoj je osnovka ABC

It ill [A (55, 10. 0). B (50, 40, 0),' C (15, 20, 0), V (40, 25, 50)] s drugom trostranom piranudom kojoj je osnovka DEF u IT2 (D (55, 0, 10), E (70, 0, 40), F (40, 0, 40), U (30, 50, 30)], aka je a: = 30", n ~ 1!

6. Nacrtajte u )wsoj projekciji predor piramidA iz zadatka 1. aka je a = 30~,

n = !! 7. Nacrtajte u kosoj projekciji prodor piramfda lz z.adatka 3. aka je a = 45°,

n = 5!

17. Prodor valjka i prizme, stosca i prizme, valjka i piramide

91. Prodor valjka i prizme. Odredite projekcije prod ora rotacionog valjka kojemu je osnovka u TIl s pravilnom trostranom prizmom kojoj je pobocka u ill !

Na ·slid 121. nacrtane su projekcije tih tijela. Nacrt C" vrha C prednje osnovke prizme moze se odredifd pomocu prevaljenja u TIl trokuta ABC oko stranice A B. Nacrta se istostranican trokut A' B' Co i njegova visina C' CIY pa je Cx C" = C' Co.

115

Prednja pobocka A ACe te prizme sijece vaJjak u polovini eUpse kojoj je tloert u tloertu plast. ~".ljka, i to od tocke ]' preko tocke 7' do tooke 2'. Straznja pobo~ka B Bee te prizme sijece valjak u polovini druge elipse kojoj je tlocrt od tock'e l' preko tocke 8" do tocke 2'.

Q' '0' b'

. /\ .

Sl. 121.

Pobocni brid C C prizme probada valjak u tockama 1 i 2, a njegovu os 0 sijece u tocki S. Iz tlocrta 1', S' i 2' tih tocaka naaemo njihove nacrte 1", S", i 2". Duzina 1 2 je zajednicki promjer spomenutih dviju polovina eUpsa koje Slistavljaju prirodnu krivulju tih dvaju tijeln, a tocka S je zajednicko srediste tih elipsa. •

Ostale tocke nacr~a one polovine elipse koja je na prednjoj pobocki odredit cerna ovako: Nacrtamo u pravokutniku A' C'C'C' duzinu 3' 4' koja je usporedna sa stranlcom Jl' fl' i sijete tlocrt pj;;it;~;i;ka u to~kama 3' i 4', Ta je duzina tlocrt duzine 34, koja je na prednjoj pobocki prizme i prohada valjak u tockama 3 i 4. Na n~crtu 3"4" te duzine (3;;3" ;::; 3' 3/)). nalaze se nacrti 3" i 4" tocaka 3 j 4.

!W' I

116

Izvodnice valjka a i b, kojih nacrtf pripadaju granici' (kon.turi) naelia valjko, probadaju. pobocke prizme u tockama 5 i 9. Tioert 5' tocke 5 je u tlocrtu a' izvodnice cr, a tlocrt 9' tocke 9 je u tlocrtu b' izvodniee b. Da bismo odredili nacrte 5" i 9" tih toe aka, nacrtajmo duzinu S' if" koja ide tockom 5', i duzinu 9' io', koja prola~i tockom 9'. Odredimo zatim nacrt duzine 56 i naert du~ne 910. Ti se nacrti djelomice poklapaju, a na njima su tocke 5" i 91;.

Nacrtajm~ nakon toga u pravokutniku A' C' (5' A' duzinu koja je us­poredna s A' A' ,i dodiruje tloert plasta vaIjka u toclti 7;. Pomocu tock€' 7

.,., odredi se naert 'te duzine, a na njemu je nacrt 7" tocke 7. Tocka 7 je najn:i.Z.a tocka one polovine eUpse koja je na prednjoj pobocki, jer je od svih tc~aka te polovine clipse njezin tlocrt 7' najbliii prvom tragu A' A! te' pobocke, a njezin nacrt 7" najblizi osi x. Duzina S 7 je polovlna velike osi, a duzina 1 2 je mala as te ellpse. jer je du~ina S 7 na priklonici, a duzina.J 2 na sutraznici ravnine pravokutnika ACe A-: koje idu tockom

c"

v" , :1 ..

8' H'

S1. 122.

t"

W'dZ~

~ \ i

S; pa je duiina S" 71T polovina onoga promjera nacrta te elipse koji je ko­njugiran s promjerom 1" 2".

Na jednak se nacin odredi nacrt 1'; 9" 8" 10'; 2" on!,: .E0lovine elipse u kOjoj pobocka B Bee sijece valjak. Najniza tocka te elipse je tocka 8, a duzina 1 2 je mala os te elipse, dok je duiina S 8 polovina njezine v€­like osi.

Tangenta nacrta prednje elipse u tocki 7" usporedna je s~ osi x, a u tocki 5" pada u pravae a".' 1sto taka je tangenta naerta straznje elipse u tocki 8i1 usporedna S osi x, a. u tocki 9" pada u pravae b".

U nacrtu se od pred.nje elipse vim onaj dio koji je na prednjoj po­lovini valjka, tj. 'luk 1".7" 5", dok se ne vidi luk 5" 2", kao ni nacrt strai­nje elipse.

92. Prodor stosca i prizme. Na­crtajte projekcije prodora ,rotacionog stosca s sesterostranom pravilnom prizmom ako su njihove osnovke tt

Ill> a njihove se osi poktapajv.

(sl. 122) !

117

Svaka pobocka prizme usporedna je s dvije izvodnice stosca, zbog toga svaka od njih sijece plast stosea u luku hiperbole. BuduCi da su sve pobocke prizme jednako udaljene ad osi stosea, zato su lukovi tih hiper­bola medu Bobom sukladni. Tioerli lukova hiperbola poklapaju se s tiocr­tima poboeaka prizme jer su pobocke okomite na IIt , tj. padaju u stranice sesterokuta l' 2' 3' 4' 5' 6', a nacrti lukova hiperbola bit ce hiperbolicni lukovi.

Tlocrti A', BI, C', D', E' i F' najvisih tocaka A, B, C, D, E i F tih hiper· bolicnih Jukova llalaze se u polovistima tlocrtA pobocaka sesterostrane prizme. Nacrte A", Bn

, en, D", En i F''' tih tocaka odredit cemo tako da nacrtamo kruznicu m', koja je upisana u tlocrtu sesterostrane orizme. Kruznica m' je tlocrt onoga- usporednika m stosea na kojemu su ~ajvise tocke tih lukova hiperbola. Pomocu naerta Tn toCke T, u kojoj se sijeku usporednik m i izvodnica stosea G, mozemo odrediti nacrt mil toga uspo­rednika, a na mil nalaze se nacrti najvisih tocaka lukova hipel~bola.

Ako s 1, 2, 3, 4, 5 i 6 oznaCimo one tocke u kojima pobocni bridovi prizme probadaju plast stosca, onda su tocke 1', 2', 3', 4', 5' i 6' njihovi tlocrtL Nacrte 1", 2", 3", 4/1, 5" i 6" tih tocaka nademo taka da naertamo kruznieu n', koja je opisana oko tlocrta sesterostrane prizme. Kruznica n' je tloert onoga usporednika n stosea na kojemu su te tocke. Kako je tocka 1 na izvodnici a stosca, to nacrt n" toga usporednika prolazi rockom 1", koja je na aN. Na n" nalaze se nacrti tocaka 1, 2, 3, 4, 5 i 6.

Pros irene tri prednje pobocke prizme sijeku obodnicu osnovke stosea u tockama 7, 8, 9, 10, 11 i 12, Te tocke pripad~ju produzenim lukovima hiperbola u kojima se prodiru stozae i prizma.

Kako je ravnina koja prolazi zajednickom osi tih tijela, n usporedna je s II2, ravnina simetrije i prizme i stosea, to se u nacrtu poklapaju dva po dva hiperbolicna luka.

U nacrtu slike 122. odstranjeni su donji dio stosea i gornji dio prizme, pa smo dobili nacrt predmeta koji naliCi vrSku olovke kad je za­siljimo siljilom.

93. *Podnozje sesterostranog stupa. Na slici 123. nacrtane su u mjerilu 1 : 10 projekcije podnozja sesterostranog stupa. On se sastoji od. pravilne sesterostrane prizme, lroja se prodire s rotacionim stoscem, a taj se na­stavlja u valjkastu ploeu.

Na tom predmetu imamo opet 6 sukladnih lukova hiperbola u kojima se prodiru prizma i stozac, kao i u clanku 92. Projekcije najvisih tocaka A, B i C mozetno odrediti pomocu usporednika m stosea, a projekcije krajnjih tocaka I, 2, 3. i 4 pobocnih bridova prizme naN cerno pomocu usporednika n.

r

118

94. Prodor valjka i piramide. Odredite pl"ojekcije prodora. rotacionog valjka kojemu je osnovka u III s pravilnom cetverostranom piramidom kojoj je osnovka usporedna sa lllJ vrh joj je ispod osnovke na osi valjka, a dvo. joj osnovna brida cine s Il2 kut od 30e (s1. 124)1

" a" 10" b'

I x

{:/O

8'

A'

Sl. 123. SI. 1~4.

. Na slid 124. nacrtan je tloed tih tijela s pogleciom odozdo, a u nacrtu Je nad kvadraticnu piramidu dodana jos i prizrnaticna ploca, tako da pred:­met nalici prizmaticnom zaglavku valjkastog stupa.

Svaka pobocka piramide sijeee plast valjka u luku elipse. Buduci da su sve poboeke piramide jednake i prema osi valjka jednako nagnute to su Iukovi tih elipsa medu sahorn sukladni. '

Tlocrti tih lukova nalaze se na tlocrtu plasta valjka. Tako pooocka A B V sijece plast valjka u luku elipse kojega je tlocrt luk l' 5' 2' kruZnice .k', a pobocka A D V sijece pIaU valjka u luku elipse kojega je tlocrt luk .2' 6' 3', itd.

119

Nacrte tih lukova elipsa odredit cerna tako da najprije oznacimo u tlocrtu tocke 1', 2', 3' i 4', u kojima se tlocrti poboe-nih bridova piramide sijeku s tlocrtom k' plasta valjka. Te su tocke tlocrti toe aka I, Z, 3 i 1, U

kojima poboenl bridovi piramide probadaju plast valjka, Nacrti 1", 2", 3" i 4" tih toe aka nalaze se u nacrtima pobocnih bridova piramide i jed­nako su udilljeni od osi x, jer su te tocke u prostoru jednako udaljene od TIl'

Povuci cerna zatim rockom V' pravce koji su okomiti na stranicama kvadrata A' B' C' D' i sijeku kruznicu k" u tockama 5', 6', 7' i 8'. Te su tocke tlocrti onih tocaka 5, 6, 7 i 8 u kojima priklonice pobocaka piramide, povucene vrhom VJ probadaju valjak. Zbog toga SU tocke 5, 6, 7 is najviSe tocke Iukova Dnih elipsa u kojima poboclce piramide sijeku valjak. Od svih tocaka tih lukova tlocrti tocaka 5, 6, 7 i 8 najbli:h su tlocrtima osnovnih brido:va piramide, pa ce prema tome njihovi nacrti biti najbhZi nacrtima tih bridova, dakle bit ce najvise tocke na nacrtima tih,lukova elipse. Naert 5" tocke 5 odredimo pomocu visine E V trokuta ABC, koja ide l'Ockom 5, iIi pomoeu duzine koju povucemo na trokutu ABC tockom 5 usporedo s bridom A B) a koja sijece brid B V u tocld 5. Ako ·.totkom 5" povucemo pravac koji je usporedan sa 05i x, onda ce na njcm~t IcZali tocke 5", 6", 7" i 8".

Na izvodnici u,·kojoj je naert a" diD konture n3crta valjka, nalazi se tocka 9 prod ora tih tijela. Tloert 9' te tocke pada u tlo~t a' izvodniee a,

a njezin nacrt 9" mozemo odrediti po-mocu duzine V 9, koju u trokutu A D V povucemo to~kom 9. U visini tocke 9 nalazi se na i~v'odnici b tocka prodora, koja je oznacena brojem 10.

U nacrtu vide se lukovi elip5a 1 5 2 i 2 6 9, jer-su oni na vidljivim pobockama piramide i na prednjoj polovin-i valjka, a ostali se lukovi ne

vide.

95, Vjeibe. ~ 1. Naertajte projekcije prodora valjka i prizme iz s'llke 121- ako

je promjer valjka veci od osnovnog brida prizme1•

2.- Odredite projekcije prodora valjka i prizme iz slike 121. ake tleed valjka dodiruje Hoert A'A' pobocnog brida prizme AA!

3. Naertajte projckcije prodora rotacionog stosca kojemu· je osnov\n u IT! [sre­diste osnovke S (40, 40, O),'polumjer osnovke r = 3-5 mm, a vrh V (40. 40. 51)), s kV8-rl!'aticnom prizmom koja] je osnovka ABC D 1\ IT, [A (25. 15. 0), C (55, 65, 0),

Ii (25, 15, 70)]!

4. Nacrtajte projekcije' prodora rotacionog stosca kojemu je osnClv\<a u IT2 [sre­diSte osnovke S (40, 0, 40), polumjer osnovke T = 35 mm, a vrh V (40. 50, 40)], s kva­drali~nom pri.z:mom kojoj je osnovka ABC D u IT.'! [A (25, ?, 65), C (55, 0, 15),

A (25, 70, 65)]!

5, Nacrtajte prOjekcije prod ora rotaclonog v;11jka kojcmu je osnovka u IT1 [sre­diste osnovke S (45, 40, 0), polumjer osnovlte r = 25 mm, a visina 70 mmJ. s kvadra­

ticnom piramldom kojoj Je osnovkn ABC D u III [A (l0, 20, 0). C (80, 1)(\, 0), vrh

V (45, 40, 60)]!

120

18. Prodor dvaju valjal<a

.fir. 96. Prodor dvaju valjaka ko-jima se osi sijeku pod p1'8vim kuton a p~]umjer~. su im razliciti. Nacrtajte projekcije prodora dvaju. rotacioni~ val)uka, kOJ~ma se osi sijeku pod pravim kutom, ciko Stl. polumjeri njihovih osnovaka Tozliciti, te je osnovka sirega valjka u IT1• a uzega itsporedna s TI3!

b

C" C" K" G" H~ d , G"

A"" 8" ,

D"";

i8' 8"

Sl. 125, a, b, c, die

, ! ,

! o~

;7'

B" e

8" 1 ~. lB'

4'

Slika 18. a prikazuje prodar dvaju takvih valjaka. Prodorna se kri­vulja sastoji od dvije zatvorene gra.ne. Pojedine t~ke tih grana prodorne

121

krivulje mogu se odrediti na dva nacina. Prvi nacin prikazuje slika 125. b; a drugi slika 125. c .

Aka oba valjka (51. 125. b) presijecemo ravninom koja je usporedna , s njihovim osima, ona sijeee plast sirega valjka u izvodnicama a i h, a plast

uiega valjka u izvodnicama c i d. Te se izvodnice medu scbom sijeku u tetiri tocke G, II, K i L, k'Oje su na prodornoj krivulji tih valjaka. Presi­jecemo Ii oba valjka s nekoliko takvih ravnina koje su usporedne s njiho­vim osima, dobit cerno toliko tacaka prodorne krlvulje 1< koUka ih je pa­trebno da mozemo nacrtati obje njezine grane.

Kad oba veljka (51. 125. c) presijecemo ravninom koja je usporedna s osi uzega valjka., a okomita na osi sirega valjka, ona ce sjeti pla.§t u.Zega valjka u izvodnicama e i f, a plast sirega valjka u knlznici m, koje se medu sohom sijeku u cetiri tocke M, N, P i R prodorne krivulje tih va­ljaka, Ponavljanjem toga poostupka moze se dobiti onoliko tocaka prodorne krivulje k koUko ih je potrebno da se mogu naertati obje njezine grane,

Na slid 125, d odredivane BU tocke prodorne krivulje k tih dvaju va­Ijaka pretezno upotrebom prvoga nacina, a na slid 125. e pretezno upotre­born drugoga natina.

Sid valjak, kojemu je pravac 01 os, imn za tlocrt na obim slikama kruznicu g', a njegov je nacrt pravokutnik E" F" F" En. TIoert uiega valj­ka, kojemu je pravac 02 OS, je pravokutn-ik A' B' B' A~, a njegov je nacrt pravokutnik e" e" D" Dn. ,

Ravnina P, u kojoj su osi tih valjaka, usporedna je s ll2. a njeztn prvi trag je pravae r 1• Ta ravnina sijece plast sirega valjka u izvodni­caroa EE iFF, a plast uzega valjka u izvodnicama C C i D D. Te se iz­vodniee sijeku u cetiri tocke 1, 2, 3 i 4 prodorne krivulje k.

Naerti tih izvodnica sijeku se u naertima 1", 2", 3" i 4" tih tocakQ, a tioerti u njihovim tlocrlima l' !!2 3' i 2' liIlIl 4'.

Horizontalna ravnina E, koju polozimo S osju 02 uzega valjka, te joj je pravac e! drugi trag, sijece plast toga valjka u izvodnieama A A i B B, a plast sirega valjka u kruznici m, koje se medu sobom sijeku u toe-kama 5,6,7 i 8 prodorne krivulje. Iz tlocrta 5', 6', 7' i 8' tih tocaka odredit c.emo njihove nacrte. Nacrti se tocaka 5 i 7, keo i tocaka 6 i 8, poklapaju jer BU tocke 5 i 7, kao i 6 i 8, simetricne s obzirom na ravninu sto je odreduju osi valjaka, a ta je ravnina usporedna s IT2 .

Da bismo na sEd 125. d odredili jos cetiri tocke prodorne krivulje k, presijecimo oba valjka ravninom A. koja je usporedna S osima valjaka, te joj je pravae a1 prvl trag, Ta 'ravnina sij~e plast sirega valjka u izvod­nicama G G i H H, a uzega u izvodnicama K K iLL. Tlocrti tih izvodniea

122

su na pravcu a l _ N_acrt izvodnice G G je na_ ordinali tacke. G' !!!!l G', a nacrt izvodnice H H na ordinali tocke HT "'"' H'. Da bismo dobili nacrte izvodnica K K iLL, prevalit cemo gornju polovinu desne osnovke uzega valjka i tocku K, koja je na njoj, ako "njezinog hori2ontalnog promjera ABu horizontal an polozaj. Udaljenost tocke K od promjera A B jednaka je duzini K' Ko = ti, pa zbog toga mora biti tocka K", kao i tocka L", udaljena od tocke AU .... B n za duzinu uo_Tockom K" id~ nacrt;)zvodnice K if, a tockom L ~ ide !:acrt izvodnice L L. Izvodnice G G i H H sijeku se s izvodnicama K K iLL u tockama 9, 10, 11 i 12 prodorne krivulje. Nacrti tih tocaka su u sjecistima nacrta tih izvodnica, a tlocrti u sjecistima tl"aga at i kruznice g'.

Na slid 125. d odredene su jos cetiri tocke 13, 14, 15 i 16 prodorne krivulje pomoeu ravnine B, koja je usporedna s ravninom osi valjak~ i od nje jednako udaljena kao i ravnina A. Tl'Ocrti tih tocaka su u sjecistima traga b1 i kruznice g', a njihovi se nacrti poklapaju s r.acrtima onih tacaka prod orne krivulje kOje su u ravnini A.

Da bismo na slici 125. e odredili tocke 9, 10, 11 i 12 prodorne krivulje, presijecimo oba valjka ravninom A, kOja je usporedna s 05i uzega valjka, a okomita je na O5i sirega valjka. Ta ravnina, kOjoj je drugi trag pravac d:h sijece plast mega valjka u izvodnicama' 0 G i H ii, a plast sirega valjka u kruznici n. Nacrbi till izvodnica i nacrt kruz-nice n su Ua praveu c4. a tloert kruinice n poklapa se s kruznicom g'. Da bismo dobili tlocrte izyodnica G G i H H, obrnut cerno prednju polovinu lijeve osnovke uzega valjka i tocku G, koja je na njoj, oko vertikalnoga promjera CD u polo­zaj koji je usporedan s II2• Udaljenost tocke G od promjera CD jednaka je duzini Gil GO = d, pa zbog toga mora biti tocka a', kao i tocka H', uda­ljena od tocke C' ~ D' za duzinu d. Kroz (]' ide tloert izvodniee G G, a kroz H' ide tlocrt iivodnice H H. Kruznica n sijece se s duzinom Gra u tockama 9' i 10', a s duzinom H'if u tockama 11' i 12'. Nacrti toeaka 9. 10, 11 i 12 su na tragu d 2, te je 9" !i!!i 11#, a 10" sa 12".

Na slici 125. e odredene su jos cetiri tocke 13, 14, 15 i 16 prodorne krivulje pomoeu ravnine E, koja je usporecina s ravninom A. a jednako je udaljena od osi O2 uzega valjka kao i ravnina A. TIoerti tih tocaka pokla­paju se s tlocrtima tocaka prodorne krivulje koje su u ravnini A a nji­hovi su naerti na tragu e2

Tioert lijeve grane prodorne krivulje je luk 5' 7' kruznice g', a tlocrt desne grane je luk 6' 8' iste kruznice. Nacrti tih grana prodorne krivulje su lukovi hiperbole.

AT. 97. 0 redu i projekciji prodorne krivulje. A. - 0 b j a s n j e n ja. Kruznica, elipsa, hiperbola i parabola su krivulje kOjima su sve tocke u

123

istoj ravnini, zato za te krivulje kazemo da su r a v n ins k e. Svaku tu krivulju mozemo presjeei pravcem najviSe u dvije tocke, zbog toga se kaze da su te krivulje drugaga reda.

1. Kad se neka ravninska krivulja maze presjeci pravcem najviSe u n toc'aka, tad kazemo da je ona n-toga reda.

S jedne "tocke, koja je izvan kruznice, iIi elipse, iIi hiperbole, iIi pa­raboIe, mozerno povuci najviSe dvije tangente na svaJ:i:u tu krivuljuj zato se kaze da su te krivulje drugoga razrcda.

2. Kad se s jedne tacke, koja je u ravnini kTivutje, maze povuci na tu kri'vulju n tangenata, tad kazemo da je a-na n-toga razreda.

Red neke ravninske krivulje nije uvijek jednak njezinom r a z red u.

Za kruznicu. elipsu, hiperbolu i parabolu koje su d rug 0 gar e d a r a z red a kazemo krace da su drugoga stepena.

Krivulja kojoj nisu sve tocke u. istoj ravnini jest pro s tor n a kri­vulja. Prodorna krivulja iz cl. 96. je prostorna krivulja.

3. Ako se neka prostorna krivulja maze presjeCi Ta~minom najvi.se u n tocaka, onda kazemo da je ta krivvJja n-toga reda. ;

Prodorna krivulja iz cL 96_ je prostorna krivulja cetm-toga Teda, jer je ravninom mozerno presjeci najvise u cetiri tocke.

Valjak, stozae i kuglu. probada pravac najviSe u dvije tocke, zato ka­iemo da su te plohe drugoga reda.

4. Kad neku plohu moze probosti pral;ac najvise;.u n tocaka, tad se kaze da je ta ploha n-toga reda.

Prstenasta pIoha iIi torus je, na primjer, obla ploha cetvrtoga recta, jer nju probada pravae najvise u cetiri toc-ke.

B. - Pravila

1. Dvije ravninske krivulje, jedna m-tog, a dTuga n-tog reda, sije~u sc u najvise m . n tocaka.

Tako se kruznica i elipsa sijeku najvise u 2 . 2 = 4 tocke.

2. Dvije plohe, jedn~ m-tog, a druga n-tog reda, prodiru se 11. pTostor­noj krivulji m . n-tog reda.

Kako je svaki rotacioni valjak drugoga :reda, to i po tom pOllcku izlazi da prodorna krivulja iz c-1. 96. mora biti cetvrtog reda (2· 2 = 4).

3. Projekcija ravninske i pTostorne krivulje m-toga reda iz tocke koja nije na KrivuLji opet je krivutja m-toga reda.

Taka je projekcija pravca opet pravac. Projekcija kruz-nice je kruz­nica iIi elipsa a moze biti, pri specijalnom polozaju sredista. projiciTanja

J

hiperbola 'i parabola, ali je u svakom slucaju projekcija kruinice krivulja drugog reda.

124

Vidjeli sma u <::1. 96. da se tlocrt prociorne krivulje cetvrtog reda sastojao od dva luka iste kruznice, a da se nacrt te krivulje sastojao od dvije grane iste hiperbole, To odvajanje od pravila 3. ima svoje oprav~ danje U OVOm p r a viI u:

4. Kad dvije plohe drugoga Teda imaju zajednicku ravninu simetrije, tad je normalna projekcija njihove prodorne krivulje na to} ravnini ili na ruvnini koja joj je usporedna, krivulja drtigoga reda.

Aka dvije plohe drugoga recla imaju zajectnicku ravninu simetrije :2:, anda je i njihova prodorna krivulja simetricna S obzirom na tu ravninu .

.",svaki pravac r r~vnine L mozemo smatrati presjecnicom te ravnine i rav­nine ~ koju poloZimo pravcem r okomit.o na ravnlnu :S, Ravnina P moze da presljece prodornu krivulju tih dviju ploha drugoga reda najviSe u cetiri tocke A., B, C, i D, od kojih dvije po dvije moraju biti simetricne s obzirom na ravninu :E, npr. A i B te C i D. Kako se dvije tocke, koje 8ll

simetricQ-e s obzirom na ravninu L, normalno projiciraju,na tu ravninu U istu tDcku, to ceo normalne prajekcije tocaka A i B na ravninu L pasti u jednu tocku pravca r, a tocka C i D u drugu, Pravac l' maze se prema tome sjeCi s norrnalnom projekcijom prodorne krivulje na ravnini ~ naj­viSe u dvije tocke; projekcija prodorne krivuIje je, dakIe, drugoga reda,

Rotacioni vaijci iz <'::1. 96, imaju dvije zajednicke ravnine simetrije, a obje idu sjecistem S njihovih osi, sarno je jedna usporcdna s Ifl' a druga sill!; zbog toga nist.:. projekcije prodorne krivulje tih valjaka kri­vulje cetvrtoga reda, vee sarno drugoga recla,

Ar, 98. Valjkasti svod s polukruznim valjkastim prozorom. Na sUd 126, prikazana je tlocrtom, nacrtom i bokocrtom polovina valjkastoga svoda kojemu je os 01 okomita na II:! i polukruzni prozor presvoden valjkastom plohom kojoj je os 02 okomita na I12 . U tom primjeru imamo slueaj pro.:" .. dora dvaju rotacionih valjaka kojima se osi ukrstavaju pod pravim kutom, a polumjeri su im razliCiti (e1. 96), Nacrt k" prodorne krivulje k tih va­ljaka pokiapa se s: nacrtom polovine plasta rotacionog valjka kojim je presvoden prozarski otvor, jer je as toga valjka okomita na II!, dok je bokocrt k'" prodorne krivulje luk bokocrta plasta valjkastog svoda,- jer je os valjkastog svoda, okomita na TI3 , Tioert k' prodorne krivulje, koji je luk hiperbole, nade se taka da se na nacrtu kit oznace nacrti' a na boko­crtu k'" bolrocrti nekoliko tocaka 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7 prodorne krivulje k, pa se pornocu njih odrede tlocrti tih tocaka,

Tloert t'oga svoda s polukruz-nim valjkastim prozorom nacrtan je kao pogled odazdo, dok je bokocrt nacrtan kao presjek svoda ravninom koja je polozena kroz os 0:1 usporedo sIll' Na slici 126. dodena je jos i kosa pro~ jekcija desne polovine toga precimeta kao pogled odozdo s lijeve strane ako je a = 30~, a n = 1,

125

.~.

Sl. 126.

I Ar. 99. Prodor dvaju valjaka kojima se osi sijeku pod ptavim kutOffi, a

polumjeri su im jednaki. Odredite projekcije prodora rotacionih vatjaka,

kojima se osi sije1cu. pod pravim kutom, aka su njihovi polumjeri jednaki,

te je osnovka jednoga u IIt' a drugoga je usporedna s IIa!

Na slid 127, a nacrtane su projekcije dvaju jednakih valjaka, kojima se osi sijeku pod pravim kutom u tocki S, ako je os jednoga valjka o~om~~ na nl , a drugaga okomita na ITa' Na slici su najprije odredene pro]ekc1Je tocaka 1, 2, 3 i 4 na nacin koji je objasnjen u cl. 96, a zatim su odreder:e projekcije toe aka 5 i 6 u kojima se sijeku izvodnice a i b te c i d tlh valjaka. NaerH tocaka 5 i 6 poklapaju se s nacrtom tocke S. Ako duzin~m 56 poloZimo ravninu kOja ide tockom 1, ana ce biti okomita ~a n2~.: l:r je duzina 5 6 okomita na II2t a prolazit ce i tockom 4. Ta ravm~~ slJece jedan valjak u elipsi kojoj je velika os duzina 1 4. a mala Os duzlna 5 6, a drugi valjak u elipsi koja iroa te iste osi. Kak-o je tim osima odredena sarno jedna elipsa, to se tocke te elipse nalaze na plastu jednoga i drugog valjka l pa je prema tome ta elipsa dio prodorne krivulje tih, val~(1.ka., Na isti se nacin maze-mo uvjeriti da je drugi di-o prodome knvu~Je ~hp~a kojoj je duzina 2 3 velika as, a duzina 5 6 mala. os, Prodorna knvuIJa tlh valjaka sastavljena jet dakle, ad dvije elipse. Tocke 1", 2", 3" i 4" vrhovi su kvadrata, a kako su dijagonale I" 411 i 2" 3" kvadrata medu sohom

r !

126

okomite, to su i ravnine tih elipsa medu soborn okomite. 1z svega toga izvodimo ovo p r a viI 0:

Prodorna krivulja dvaju jednakih valjaka kojima se osi sijeku pod pravim kutom sastavljena je od dvije jednake elipse kOjima su ravninf: medu sobom okomite.

Ti rotacioni valjci imaju dvije zaJednicke tangencijalne ravnine kOje su usporedne sa liz, a njihova su diralista tocke 5 i 6.

z

5'

y,

,---",-;,,~r /

SL. 127. a Sl. 127. b

Na slici 127. b prikazan je proctor dyjju jednakih valjkastih cijevi ko­jima se osj sijeku pod pravim kutom. Na tom su predmetu dvije prodorne krivulje, vanjska i unutrasnja, a svaka se sastoji cd dvije eHpse. Predmet je prikazan prerezan ravninom kOja prolazi kroz osi cijevi i dijeli ga na dva jednaka dijela; a ti su dijelovi odmaknuti jedan oct drugoga da hi se vidjo jedan dio unutrasnjih prodornih elipsa.

Prodor dvaju jednakih valjaka k-ojima se osi sijeku pod pravim ku­tom primjenjuje se u strojarstvu, npr. na d vas t r u k 0 m p r a vo­k u t nom 0 g ran k U za cijevne vodove. kao 1 u graditeljstvu, npr. 'na unakrsnom svodu.

AT. 100. Unakrsni svod. Kad se ukr.stavaju dva jednaka valj-kasta svoda, kOjima se os1 01 i O2 sijeku pod pravim kutom, tad nastane unakrsni svod prikazan slikom 128. b. Prodorna je krivulja sastavljena ad dvije polovine elipse. Velika as jedne elipse je dUZina 1 4} a druge duzina 23, dok je du­zina S 5 polovina njihove zajednicke male osi.

127

Na slid 128. a nacrtan je tIoert i na.crt unakrsnog svada aka je as jednoga svoda okomita 'na II2• a drugoga o~omita. na ,~3' Plast ~vak~g poluvaljka razdijeljen je izvodnicama na B Jednaklh dlJelova, ~rOJekcl~e tilt izv-odnica nacrtane su u tlocrtu i nacrtu unakrsilDg svoda, pa ]e pOmOCll

·c· 5"

F' 0: 5' 5'

7' .' 7 0' :::IT ,

.' A' C' H' 8' A G

Sl. 128, a, b i c

njih konstruirana na s1. 128, c mreza prednje polovine pI~~ta o~:-,?ga POI~­valjka kojemu je os okomita na ~. Duzi2a ,~B n~ shcl c Jedna~:, Je polcvini opsega kruznice kojoj je duzina A B promJer, a prave vehcfh-€­izvodnica uzete su iz tlocrta; tako je A 3 = A' 3', C 5 = C' 5', B 4 = B' 4', G 7 = G' 7', H 6 = H' 6' itd.

Ar. 101. Vjezbe .. - 1. Nacrtajte mrezu sireg1;l valjk,a iz ~like 12~, S vpr»dorn~m k '. )' m pa iz n,'e slozite vertikalni vnljnlt! Nncrta]te zatlm mrezu uzega valJka nyu JO , ..' ! k ". I' 1

iz' iste.slike, ali bez prodorne krivulje, j sasiaVlte UZl valjak, Ako roz sIn va Jal{ provucete uii, siobit cete mod,el za proctor valjaka iz slike 125.

2. Nacrtajte dvaput uvecanu mre2u it: slike 128, i to cetiri puta, pa sastavite model unakrsnog svoda!

3. Ako na slid 125. odmakoemo od osi :r. Hoert A'B'B'A' uzega valjka za, toliko da duilna. A'A' dodiruje krutnicu p' u tocki T'. onda ce.:::>-o dobit' tloed d,-'",u v",­

ljaka koji ,sc dodirujU u tock! T, kDja je M izvodnlci AA. Odrediti! projekcije pro­

dora tIh dvaju valjaka! Tocka T bit ce dvoslruka tocka prodorne krivul}e.

128

4. Nacrtajte projekcije prodora rotacionog valjka ltojemu je osnovka u ill [sre~ diMe osnovke SI (40, 50, 0), polumjer osnovke Tl =,25 mm, a vislna 80 mm], s rota_. donim valjkom kojemu je osnovka u li3 [srediste osnovke S2 (0, 40, 40), polumjer osnov~e T!! = 25 mm, a visina 80 mm] ~

5. Nacrtajte projekcije prodora rotacionog valjka'kojemu je osnovka u TI! [sre_ diSte osnovke SI (40, 50, 0), polumjer osnovke Tj = 18mm, a visinn SOrum). s roh_ 'donim valjkom kojemu je osnovka u 113 [srediste osnovke L S2 (D, 40, 40), polutnjer osnovke TZ = 28 mm, a visina 00 mm)!

6. Nacrtajte projekcije procior8 rotacio!\og valjka, kojemu je osnovka u TIl (sre­di.He osnovke SI (50, 40, 0), polumjer osnovke Tl = 30 mm, a visina 80 mm), s rota­cionim valjkom kojemu je osnovka usporedna s II, [srediSte osnovke S! (5, 35, 40), polumjer osnovke r2 = 25mm, 11 visina 90mm]!

7. Nacrta.jte projekcije prodora rotacionog valjka. kojemu j~ osnovka u lit [sfe­dJ!;te osnovke S( (40, 4Q, 0), polumjel' osnovke rt"" 25mm, a visina 80mm]. s rota­cionim valjkom kOjem~ je osnovka u II~ [srediste osnovke S2 (40. 0, 40), polumjer

osnovke r" = 30mm, 'a visina SOmm]!

19. Prodor valjka i stosca

Ar. 102, Prodor valjka i stosca kojima se osi sijeku pod pravim kutom. Odredite pTojekcije pTodo-ra rotacionog vatjka kojemu je as 01 okomita na III i Totacionog stosea kojemu je osnovka u.. Ill' a njihove se OS1 sijeku!

Slika 129, b prikazuje prodor tih dvaju tijela, Prodorna se krivulja sastoji od dvije zatvorene grane. VeCinu tocaka prodorne krivulje odr-edit cerna taka da oba tijela presijecemo ravninom koja je uSPQredna s III' Takva ravnina sijece plasl valjka u dvije izvodnice jer je usporedna S osi valjka, dok ona sijece plast stosca u jednom usporedniku jer je okomita na osi stoi:ica. Te se dvije izvodnice i usporednik sijeku u cetiri to_eke prod orne krivulje.

Ravnina P na slid 129, a, u kojoj su OS1 01 i 02. usporedna je s I12·

Njezin je prvi trag pravac T1, a treci pravac Ta. Ta ravnina sijece oba tijela u konturnim izvodnicama njihovih naerta kOje se medu sohorn sijeku u tockama 1,,2, 3 i 4. 1z nacrta svake te tocke mozemo odrediti njezin tloert, koji je na tragu T 1, i bokoert, koji je na tragu 7 3,

Buduci da je ravnina P, koja je zajednicka ravnina simetrije tih tijela, usporedna s IIz' to ce nacrt kif prodorne krivulje tih tijela biti, prema pravUu 4. iz (':1. 97. B jedna od krivulja drugoga stepena, a kako ce ona imati dvije grane, hit ce hiperbola,

Horizontalna ravnina E, koja ide kroz os valjka 0 1, te je njezin drugl trag pravac ez• a t,reci pravac ea, sijece plast valjka u- konturnim izvodni~ cama a i b nj egovog tlocrta, a plast stosca u usporedniku ffl. BokocTti a'" i b'" tih izvodnica, kao i bokocrt m'" = K L toga usporednika, nalaze

129

se na tragu ea. Pomocu bokocrta nacrtajmo tlocrt m' usporednika m, jer je dilZi.na K L jednaka njegovom promjeru. Kruznica m' sijeee se s pravcima a' i b' u tockama 5', 6', 7' i 8', koje su tlocrti tocaka 5, 6, 7 i 8 prodorne krivulje, Iz tloccta tih tocaka mozerno odrediti njihove nacrte 5" i'a 7" i 6" :'1!l! 8", kao i bokocrte 5'" ..... 6'" i 7m

~ 8"'.

S1. 129. nib

Horizontalna ravnina 1>, kojoj je pravac f2 drugi trag, a pravac f3 treci trag, sijece plast valjka u izvodnicama c i d, a plaSt stosca u uspo­redniku n. Pomocu bokocrta tih izvodnica i bokocrta usporednika odredit cerno njihove naCrte c', d' i n'. "koji se medu sohom sijeku u toekama 9',10',11' I 12'. Iz tlocrta tocaka 9, 10, 11 i 12 moiemo nael njihove nacrte 9" >= 11" i ION .. 12", kao i bokocrte 9'" a! 10'" i 11 m

;os;- 12"', Na isti se naNn odreduju projekcije prodornih tocaka 13, 14, 15 i 16

pornoCu horizontalne ravnine G, koja je od ravnine E jednako udaljena kao i ravnina 4J.

Tloert k' prodorne krivulje k sastavljen je od dvije zatvorene grane na kojima se vide one toeke koje su na gornjoj polovini pla.§ta valjka.

9 Naertna geometrlja

130

Nacrt k" kdvulje k jest dio hiperbole, a njezin bo-kocrt k'" okla a s s bokocrtom plasta valjka. P P e

A1', • lO~ .. Prodor vaIjka i stosca koji se dodiruju u jednoj tocki. proJe~c1'Je prodoTa rotacionog valjka kojemu je os 0.1 okomita rotactOnog stosca kojemu je osnovka u IT ako " d d" .

~k" . . 1 se om 0 tTUJU toe t, zatlm konstTutra)te mrezu pla.§ta stosca (sl. 130)!

v ___ . z "."".,, .. ,," V"

SL 130.

Odredite na TIJ i u jednoj

A. - Valjak i stozac dodiruju se u tocki 1, koja je u sjeciStu izvodnice a valjka s iZvOOnicom A V slosca. Bokocrt prodorne kdvulje k tih tijela poklapa se s bokocrtom plasta valjka, jer je os valjka okomita na fIs• ' zbog toga bismo mogE projekcije pojedinih toeaka prodorne krivulje odrediti na isti nat:in kao i na slici 129, pomoeu horizontalnih ravnina, ali kako moramo konstruirati mrezu plasta valjka, odredit cerna projekcije pojedinih tocaka prodorne krivulje pomocu izvodniea stosca,

131

Nacrtaju se projekcije izvodnica stosca AV. BV, C,V, DV, EV, GV i FV, kOje'dijele prednju polovinu plasta stoSca na 6 jednakih dijelova. Bokocrti tih izvodnica sijeku se s bokocrtom plasta valjka u bokoortima tocaka prodorne krivulje k, pa. se }Xlmocu tih bokocrta mogu odrediti tlocrti i nacrti pojedinih tocaka prod orne krivulje. Tako se, na primjer, du:l;ina

B'" V'" sijece s kruznicom k'" u toe kama 2'" i 2"', koje su bokocrti toe aka 2 i '2 krivuije k. Tlocrti tih toeaka nalaze se na B' V',;a nacrti na B" V". Na jednak se nacin odreduju projekcije toeaka 3, i ..... 7 i 7.

Nacrtajmo zatim bokocrte V'" r' ~ v'" J'" izvodnica V I i V J stosea, koje dodiruju plast valjka, Na jednoj je dodirna tock'a 8, 8. na drugoj 9,

lz bokocrta mozemo odrediti tlocrte tih izvodnica i tlocrte tocaka 8 i 9, a iz tloerta nad.emo njihove naerte.

Projekcije najnizih tocaka. 10 i 11 krivulje k, koje su na donjoj kon­tur.noj iiwodnici nacrta valjka, ooreduju se pomocu usporEdnika m stosea na' kojemu su te tocke .

. Tloert k' krivulje k naertan je na slici 130, kao da je valjak odstra­njen, zato se u tlocrtu vidi citava krivulja k, dok je nacrt Je" te krivulje naertan s valjkom, "lato se u naertu vidi SaID-O onaj dio krivulje k koji je na prednjoj polovini valjka.

BuduCi da se valjak i stozae dodiruju u tacki 1, tj. imaju u tocki 1 istu tangencijalnu ravninu, to bi svaka ravnina koju bismo polozili tockom 1 sjekla valjak i stozac u dvije lcrivulje drugoga stepe.na lcoje bi se u tocki 1 dodirivale. U svakoj takvoj ravnini brojila bi se tocka 1 kao dvo­struko sjeciste prodorne krivulje k s tom ravninom. 12 toga iz'"vodimo ovo pravilo:

Kad dvije krive ptohe imaju zajednicku tangencijalnu 'ravninu, tad je dodirna tocka dvostruka tocka njihove prodorne krivuljc.

B.-Ako plast stosca razrezemo uzduz izvodnic€ LV. pa ga raiVi­jemo na ravninu crteia, dobit cerno sliku 131. Nju nacrtamo taka da oko tocke V opiSetno kruznicu m polumjerom VG = V"G", jer je duZina VIrG" jednaka pravoj velicini. izV"Odnice stosca, pa tetivu A' B~ osnovke stosea prenesemo 12 puta redorn kao tetivu po luku te kruznic€. Tako cerno do­biti luk' L F DBA C E G D, koji je priblizno jednak ops~gu osnovke stosca. Ako sada spojimo krajnje tQcke toga luka s tockom V, zatvorlt cerno kru­znUsjecak, koji je priblizno jednak plastu stosca; a kad pojedin€ tocke A, B, ' .. i G toga luka spojimo s V, dobit cemo duzine koje prikazuju u. raz­vijenom polozaju 7 istakntitih izvodnica stosca. Da bl.smo na razvijenom plastu nacrtali prodornu krivulju k, mOramo odrediti utlaljenosti njezinih tocaka od vrha. BuduCi da su ilvodnice J:i'V i G.V usporedne s IT .. , to jc VB = V"6", V 6 = V" 6", V 7' = V"7" i V 7 = V" 7", a kako je iz~odnica

132

A V usporedna s ITa. to je V 1 = V'" 1"'. Udaljenosti ostalih tocaka krivu~ lje k od vrha V odredujemo tal\lo da pojedine izV'Cidnice roti~a~o o~o osi stosca. dok one postanu usporedne sa II2 Hi sa ITJ - Ako, na prlmJer, lzvod_ nieu C V roUramo oko osi srosca dok se ana ne poklopi s izvodnicom LV.

v

L

m

J

D B A

SL 131.

tj. postane usporedna s TIs, onda tocka 3 dode u 'polozaj 30• pa je duzina V'" 30'" jednaka pravoj veliCini duzine V 3, kOJu prenesem~ na sliku 131. Na slici 130. nacrtane Sli sve tri projekcije tocke 30, ali za konstrukciju mreze plasta potrebnu nam je samo tock,a 30"', koju cemo 11a najkraci na:.. Cin dobiti tako da tockom 3'" povucemo usporednicu S osi Yl i s njome pre5ijecemo duzinu L'" V''', Na taj su nacin odredene udaljenosti ostalih to­caka kl-ivulje k od vrha V. Na mrezi plasta nacrtane su jos i izvodnice I V i J V (F 1 = F'1', G J = G' J') i tocke 8 i ,9, koje se nalaze na njima. Iz­vodnice I V i J V dQdiruju krivulju k u prostoru, pa je zbog toga one do­diruju u tlocrtu, hacrtu i na rnrezi plasta.

Ar. 104. Prod or valjka i stos-ea ltoji se dodiruju u dvij.e tocke. Odredite projekcije prodora, rotocionag 'valjka kojemu je os 01 okom~~a na ll3 ~ rotacionog stasea kojemu. je osnovka U III ako se njihove osi slJeku, a om se dodiruju. u dvije tacke (5L 132)1

Slika 132. b pi-ikazuje prodor tih dvaju tijela koja imaju dvije za­jedni<':ke tangencijalne raVUllle. Prodoma krivulja tih tijela imat ce prema pou¢ku Ix proal<;lg clanka, dvije dvostruke tocke, i to u dirali.§tima tih tijela, pa se omi rnspada u dvije elipse koje Be presijecaju ba.! u spo­menutim <!iraliSUma. Prodornoj krlvulji tih tljela ne mogu pripadati

133

:druge, tocke osim tocaka tih dviju elipsa, jer kad bi na prodornoj krivulji bila rna i jedna tocka koja bi hila izvan tih eli:psa, onda hi ravnina polo­zena tom toekom i diralistima tih tijela sjek1a krivulju u 5 toeaka, a to je nemoguce, jer je prodorna krivulja tih tijela cetvrtoga recla.

Iz toga izvodimo ovo p r a viI 0:

Kad se dvije plohe drugoga reda dodiruju u dvije tocke, njihova se prodorna krivulja raspala na dvije krivulje drugoga stepena.

b

Sl. 132. a i b

Rotacioni valjci iz slike 127. dodirivali su se u dvije toeke, 5 i 6, oni su imali dvije zajednicke tangencijalne ravnine, koje su bile usporedne sIT:!, zbog toga se njihova prodorna krivulja raspala ua dvije krivulje drugoga stepena.

Slika 132. a mora se zapoteti crtanjem bokocrta tih tijela, a iz boko­erta nacrta se njihov Uocrt i naert. Pomocu nacrta tih tiJela odredit cerno zatim projekcije totaka 1, 2, 3 i 4, u kojima se sijeku konture izvodnice nacrta. tih tijela. Iz bokocrta dodirnih to6aka .5 1 8 mogu se nac! tlocTtl i naerti tih tocaka, a P0lnOCU onoga usporednika m stosca kojega ravnina

1

•

134

ide kroz os valjka odredujemo projekc.i.je tocaka 7, 8, 9 i 10, koje se na .. laze na konturnim izvodnicama tlocrta valjka.

Duzine 1 4 i 23 su veHke osi prodornih elipsa, a du.zine 79 i 810

SU njihove male ost Od tih elipsa vide se u tlocrtu sarno njihove gornje polo vine koje su na gornjoj polovini valjka.

AT. 105. Valjkasti svod sa stozastim prozorom. Na slid 133. a prikazan je svojim projekcijama dio valjkastog svoda kojemu je os 01 okomita na n3 i prozor na njemu koji je presvocten po!ovinom plasta rotacionog stosca kojemu je os okomita na II!. Plast valjkastog svoda i plast stosca dodiruju se u tocki 1.

Q

8'

Sl. 133. a i b

, , , , , , ,

'. ' , , .' ""," --------------1 'f

b

U ovom primjeru imamo slucaj prodora valjka i stosca koji se dodi­ruju u jednoj tocki, kao na s1. 130. 'Bokocrt k'" prociorne krlvulje k j,e luI< 2'" 1''', koji je na bokocrtu plasta valjkastog svoda. Tlocrt i nacrt

135

krivulje k odredeni su na slici 133. a pomocu tocaka 1: 2, 3,4,5, '6 i 7, koje dijele na 6 jednakih dijelova gornju polovinu usporednika l rotacionog stosca, koji se nalazi na. unutrasnjoj ravnini zida. Pomocu projekcija tih to~aka 1. p~jekclie vrha V stosca nacrtanE; su pfojekeije izvodnica. stosca V 1, V 2, ... i V 7. Bokocrti izvodnica sijeku se s bokocrtom plasta valj­kastog svoda u bokocrtima tocaka 1, 2, ... i 7 krivulje k. Pomocu bokocrta nademo zatim tloerte i nacrte pojedinih tocaka prociorne krivulje k, koja U tocki 1 ima s~oju ~vostruku tocku. Strane prozora: od hOl'izontalnih izvodnica stosca 22 i 33 do tocaka A i B su dijelovi vertikalnih ravriina kojima su tlocrti duzine A' 2' i B' 3',

Na slid 133. b nacrtana je kosa projekdja toga piedmeta.> umanjena za treeinu, ako je IX = 30", a n = 1.

AT. 106. Vjeibe. - 1. Nacrtajte mreiu rotacionog stosca iz s1ike 129, s prodornom krivuljom i mreiu rotacionog valjka bez p!'odorne krivulje, pa uchlite model pro­dora tih dvaju tljela!

2. Odredite projekcije prod_ora rotacionog valjk" kojemu je sred'iste osnovke S1 (40, 45, 0), polumjer osnovke T = 20 mm, a v = 60 mm, i rotacionog sloika kojemu jc srediste osnovke S! (40, 35, 0), polumjer osnovke r = 30 mm, a v = 50 mm aka su njihove osnovke u Ill! '

3. Nacrtajie projekcije- valjkastog svoda sa stoi:astim prozorom aka se pla~t

valjkastog svoda ne dodirllje s piastem stoi<lstog svoda U jednoj totki keo na slid 133!

4, Odredite projekdje prod ora rotacionog valjka kojem'~ jtO o.snovka u TIl [sre­diste osnovke Sl (0, 40, 25), polumjer osnovke Tt = 20mm, a visina'30 mml, i rota­cionog sJosca koje-mu je osnovka u IT! (srediste osnovke S2 (40, 40, '-0), polumjer osnovke T2 = 35 mm, a visina 80 mm)!

5. Nacrta:ite ,projekcije prodora rotacionog valjka kojemu jc srediste osnovke S} (40, 45, Q). polumjer osnovke 1'1 "'" 25 min, a visina 70 mm, i rotacionog :<.:toSca kojemu je srediste osnovke St (40, 40, 0), polumjer osnovkc T2 = 35 mm, a visinfl'6Q mm, ako su njihove osnovke u ITt!

6. Nacrtajte projekcije prodora rotacionog valjka kojemu je osnovk<i Il n3- (s?e­diSte osnovke St (0, 35, 25), polumjer osnovk~ 1't = 20 mm, a visina 80 mm], i rota­cionog stosca kojemu je osnovka u IT, [srediSte osnovke 81 (40, 35, 0), polumjer osnovke 1'2 = 30 mm, a visina 70 mm)!

20. Prodor kugIe s prizmom, valjkom i stoscem, stosca sa stoscem

107. Prodor !cugle i pravilne sesterostrane prizme. Odredite projek­cije prodora kugZe s pravilnom sesteTostruno'l'Tl, prizmoTn kojoj 0$ pTolazi

srediSiem kugle, osnovka joj je u nil a dvije su njezi11e pobocke uspore­dne sa n, (sl. 134)!

11m." . ni

Ii_ I

, --,

,! j

J36

Svaka pobocka prizme sijeee kuglu u kruznom luku kQjemu se tlocrt poklapa s tlocrtom pobocke, a nacrt toga kruznog luka je luk kruznice ako je pobocka usporedna s IT! ili je luk elipse kad pob<;>cka nije uspo-redna sa IT:!_ .

z

x

y

Sl. 134.

Ako s 1, ,2, 3, 4, 5 i 6 oznacimo one to~ke u kojima pobocni bridovi prizrne probadaju kuglu, onda se tlocrti 1', 2', "3', 4', 5' i 6' tih tocaka" po­klapaju s tlocrtima pobocnih bridova a nacrte 1" 2" 3" 4" 5" I" 6" tl-h , , > , ,

tQcaka odredit cemo pomoCu usporednika k kugle, na kojemu BU te tocke. Tioert usporednika k je kruznica k', koja je opisana bko tlocrta prizme a njezin nacrt k" odred.imo pomocu tocke 1, u kojo] se taj usporednik ~i­jece s glavnim meridijanom m kugle.

Oznacimo Ii sa A, B, C, D, E i F najnize tocke kruznih presjeka, onda su nacrti A',. B', e', D', E' i F' tih tocaka u poloviStima tIocrta pobo­caka prizme. Nae:de AN, B", cn, D", E" i F" tih tocaka mozemo naci po­mocu usporednika k t kugle, na kojemu su te tocke. Tioert usporednika

163

slojnice 51 ravnine E. Na isti naNn dobijemo projekcije s'/' ... i 5,' jos nekoliko slojnica S2 • ••• i 87 te ravnine. Projekcije tih slojni.ca moraju biti

medu sohom usporedne jer su na

s·

SL 159.

s· ,

8'

s-

C13}

fl.

s' ,

istoj ravnini.

133. Ravnina odredena s tri tocke. Zadane 81.1. kotirane projekci;e triju tocaka A (6), B (2) i C (3); neka se nacrtaju projekcije nekoliko glavnih slojnica ravnine E l<.Oja je odTedena tim tackama (81. 159)!

SpojiIllQ li tocke; A i B pravcem a, hit ce pravae a u ravnini E. Pro­jekcija pravca a je pravac a' = (A'B'). Pomoeu pravca 9 graduirajrno pravac a (101. 119)_ Aka sada tocku C, ko­ja je kota 3, spojimo s tockom 3

pravca a, dobijemo slojnicu 83 ravnine E. Projekcija te slojnice je pravac sa' = (C', 3). Nacrtamo li kroz toeke B' 4', 5' i A' pravce 82'} s/, 5r/ i 56. koji su usporedni s pravcem S3" dobit cerno trazene projekcije nekoliko glavnih slojnica r,avnine E.

134. Vjeibe. - 1. Nacrtajte nekoliko glavnih slojnica ravnine E, kojoj je zadan trag e, aka je njezin nagib n = 2 : 3! - Up uta: Stalan razmak izmedu pro-

jekcija glavnih slojnica mora biti i = ~ = -} = 1,5 cm.

2. Nacrtajte mjerilo nagiba ravnine E, kojoj je zadana projekcija glavne sloj­nice $3' ako je nagib ravnine n = 4 : 5!

3. Odredite prikloni kut ravnine E koja je zadana mjerilom nagiba! 4. Zadane su kotirane projekcije dvaju ukdtenih pravaca; nacrtajte proje\tcije

nekollko glavnih slojniea ravnine E koju odreduju ti pravcl i nadite prikloni kut te ravnine!

5. Zadane su projekcije dvaju usporednlh pravaca; nacrtajte mjerllo nagiba ravnine E koju ti pravci odre(\uju i nadite prlkloni kut te ravnine!

6. Zaciane su kotirane projekcije vrhova trokuta A (-2), B (4), C (3); neka se odredl mjerilo nagiba i prikloni kut ravnlne trokutal

7. Trokut A'B'C' (A'B' """ 6 em, B'C' = 5 em, A'e' = 4 cm) je kotirana projekcija trokuta kojemu su vrhovi A (l), B (2) 1 C (5); odredite kotiranu projekciju tdista toga trokut8.!

8. Istostranican trokut A'B'C', kojemu je stranica duga 5 em, kotirana je pro­jekcija trokuta kojemu su vrhovi A (IS), B (10) i C (9); odredite kotiranu projekciju tefista toga trokutal

9. Trokut A'B'C' (A'B' = 6 em, B'C' = 5,5 em, A'C' = 4,5 em) je kotirana pro­jekcija -trokuta kojemu su vrhovl A (-2), B (-1) i C (4); odredite pr~sjeCnicu toga trokuta 5 ravnlnom slike!

I I

164

to. Odredite presjecnicu ravnine trokuta, koH je zadan u zadatku 7. s ravnJ~ nom slike!

11. Trokut ABC (AB = 7 em. Be = 6 em, AC = 5 em). koji je u raVninl alike, baza je trostrane pJramide kojoj je projekcfja vrba V (5) u sjeci§tu slmetrala kutoV8 toga trokuta; nacrtajte kotlranu projekclju te piramlde i odredite prave velicine njezinih bridova!

12. Nacrtajte kotiranu projekciju piramide iz zadatka 11. i odredite priklone kutove pobol!aka te piramide!

25. Prelaganje i okretanje ravnine

135. Prelaganje i okretanje ravnine. Kad neku ravninu E polozimo na horizontalnu ravninu projekcijA III vrteci je oko njezinog traga e, kazemo cIa smo ravninu E prelo#ili na II1 oko njezinog traga. Ako pak ravninu E zavrtimo oko jedne njezine slojnice s za neld kut a., kazemo da smo rav­ninu E~eu:lJlj..gko te slojnice za kut a. Tako ravninu, koja nije horizon­talna, mo:!emo okretanjem oko jedne njezine slojnice dovesti u horizon~ talni polozaj, i tada se ta ravnina i svi likovi koji su na njoj projiciraju nB

horizontalnu ravninu projekcija lIt u pravoj velicini. Aka u ravnini E, koja je U opcem polozaju t treba rijesiti neki metricki zadatak, morat cemo pri rjesavanju toga zadatka primijeniti ili prelaganje, iIi okretanje te ravnine, kako cemo to vidjeti u narednim clancima.

136. Odreaivanje prave velicine Iika prelaganjem. Neka se odredi prova velicina trokuta ABC, koji lezi u ravnini E, ako je ratmina zadana projekcijama svojih 'glavnih slojnica!

Slika 160. a predocuje ravninu E i trokut ABC, koji je u njoj. Da bismo odredili pravu ve1icinu trokuta ABC, mi ceme ravninu skupa s trokutom preloziti oko traga e na ravninu ITt. Za prelaganja ravnine E'

oko traga e opisat ce vrh A luk iTA)' one kruznice kojoj je ravnina oko­mita na tragu e, srediste D u tragu;a polumjer DAna onoj priklonici rav­nine E koja prolazi toek'Cm A. Hipotenuza D A potpornog trokuta ravnine E, kojemu su vrhovi toeke D, A i A' je, dakle, polumjer luka kruznice koju za prelaganja ravnine E opisuje tocka A. Tocka A padne nakon pre- , lagahja na ravninu TIl u tocku (A), koja se nalazi na pravcu A'D, koji je okomit fia tragu e, a duzina D (A) jednaka je dunni D A.

Pomocu toga razmatranja rijesen je na slici 160. b prije postavljeni zadatak.

Ravnina E zadana je tragom e i projekcijarna njezinih glavnih slojniea, a trokut ABC, koji leii u njoj, odreden je kotiranim projekcijama svojih vrhova. Pravae koji tol-korn A' ide okomito na trag e sijece ga u tocki D. Duzina D A' je horizonta1na kateta potpornog trokuta D A' A ravnine E.

165

Kad taj trokut prevalimo na ravninu III oko katete ~ A', dobit cerno pra­, vokutni trokut D A' Ao. Hipotenuza D Ao toga trokuta jednaka je udalje­

nosH D (A) tocke (A) od traga e. Na isti bismo nacin mogli odrediti tocke (B) i (c), ali one su na sl. 160. b odr-edene na kraci nacin ovako:

Ako prodqzimo stranice A' B' i A' C' tlocrta trokuta do sjecista s tra­gom e, dobit cemo tocke G i H. Tocka G je probodiste produzene stranice A B, a tocka H probodiSte produzene stranice A C trok~ta ABC sa III' Za prelaganja ravnine E oka traga e ostaju tocke G i H na istom mjestu. Zbog

S1. 160. a Sl. 160. b

toga mora trazena straniea (A) (B) biti na pravcu (A) G, a tra~en{l stranica (A) (C) na pravcu (A) H. Aka sada tockom B', a zatim tockom C' povuce",mo okomicu nB! trag e, presjeci ce prva pravac (A) G u trazenoj tocki (B), a druga pravac (A) H' u trazenoj tocki (C). Stranicom (B) (C) zatvoJ;mo na kraju troku't (A) (B) (C)t koji je trazena prava velicina trokuta ABC.

lz s1. 160. b izlazi da su kotirana projekcija A' B' C' trokuta ABC i njegov prelozaj (A) (B) (C) dva perspektivno afina lik~! za koje je trag e ravnine E os afinostit a ~rake te afinosti okomite su na tome tragu.

Gr. 137. Odredivanje prave veHcine likn okretanjem. Odredite pravu veJicinu trokuta A B Ct koji lezi u ravnini E, ako je ravnina zadana mje­rHom nagiba. a trokut svojom kotiranom projekcijom (sl. 161)!

Napomena: Clanke itoji su oznaceni SGT. treba obraditj sam 0 u g r a d e­v.i n s k 0 mod j e 1 u srednje tehnicke gradevinske ~kole.

I

I: Ako pretpostavlmo da ravnina E ima nagih n = 4 : 3, ond'a ce inte'rval na njezinom mjerilu nagiba p biti i = 3 :'4 = 0175 em. Projekcije vrh,ova trokuta nalaze se na projekcijama odgovarajucih slojnica te r:;vnine, J,

BuduCi da trag e ravnine E, oko kojega smo na 51. 160. izvrSili prela_ ganje ravnine E, nije sada U okviru slike, mozemo ,pravu velicinu tI'o~uta ABC odrediti tako da ravninu E skupa s trokutom okrenemo ok!) je~ne slojnice te ravnine, npr. oko glavne slojnice kote 6, na horizontalnu rav­ninu n, kOja ide tom slojnicom. To okretanje ravnine E oko glavne 510j­nice 56 na horizontalnu ravninu n kote 6 izvodimo na sliean nacin kako

'" smo u cL 136. izveli prelaganje ravnine E oko njezinog traga e na ravninu. proj~~cija ITl :

,---------------------~=----,

SL 161.

Ako iz tocke A' povucemo okomicu "sa sa', ona ce presjeei s,: u rocki D', koja je projekcija srediSta D onog krutnog luka sto ce ga tocka A opisati za okretanje ravnine E oko glavne slojnice 86, Polumjer toga luka odredimo taka da nademo pravu velicinu duzine D A. Buduci da tocka A ima kotu 10, a horizontalna ravnina II ima kotu 6, to njihova vismska razlika iznosi 4 em, pa prema to~e mora u pravokutnom trokutu D' A' A. biti A" Ao =

= 4 em. Alro sad oko D' opisemo luk kruznice preko toeke A o, on ce presjeCi pravac D' A' u tocki (A). Toeka A doei ee, kad izvedemo okretanje ravnine E oko glavne slojnice $6 na ravninu II kote 6, u po!ozaj (A). Mogli blsmo na isH na~in odredlli to~ke (B) i (C), all one BU, kao i na .1. 160. b, odredene pomoeu tocaka E' iF', u kojima produzene stranice A' B' i .41.C'

169

26. Dvije i tri ravnine

. 140. Presjek dviju ravnina. Pravae u kojemu se dvije ravnine sijeku zove se presjecnica tih ravnina.

SIika 163. a predocuje dvije ravnine Air. Njihovi tragovi dig sijeku se u toeki koja je na presjecnici c tih ravnina, a ima kotu O. Isto tako se svake dvije jednako k'Otirane glavne slojnice tih ravnina sijeku u tocki koja je na njihovoj presjecnici c. Zbog toga ce projekcije svih sjecista jednako kotirani~ sIajniea tih ravnina biti na pravcu e/

J koji je kotirana

projekcija presjecniee c.

Na slici 163. b nacrtani su tragovi dig i mjerila nagiba p lip' " A' r N "b 1 , ravmna '-\. 1 -. agl ravnine A je n1 = 10 : 3, pa je i1 = 3 : 10 em = 3 tnm

interval priklonice Pl. a nagib ravnine r je nz = 5 : 2, pa je i2 = 2 : 5 = = 4 : 10 em = 4 mm" interval pdklonice P2'

IT,

SL 163. a St. 163. b

Tragovi dig tih ravnina sijeku se u probodiStu ravnine II s pre­sjeenicom c, a sjecista projekcija jednako kotiranih glavnih slojn~ca leze na projekciji c' presjecnice c i nju graduiraju.

141. Presjek ravnine vertikalnom ravninom. Neka se odredi presjek ravnine A, kojoj je nagib 5: 7, vertikalnom ravninom N (s1. 164) !

Zadaci iz tehnicke prakse ne rjesavaju se u kotiranoj projekciji na slikama koje se crtaju u pravoj veliCini, kako smo mi dosad to radili vee .na slikama koje se crt~ju u umanjenom mjerilu. To se mjerilo ozna~i na slid i zove se tnjerilo slike.

Da bismo se polagano privikll na crtanje slika u umanjenom mjerilu, ml cerno vee sada, rije§iti. po koji zadatak teoretske prirode u umanjenom >njerllu. Tako i:emo sliku za taj zadatak nacrtati U mjeriJ.'l_L:_2"

170

Ravnina /). predocena je svojim mjerilom nagiba pi, Interval na njernu je i= 7: 5 em = 14: 10 em = 14 m'J'. Ali kako je mjerilo slike 1 : 2, !ai mo~~" ~a sUd biti i = 14 mm : 2 = 7 mm, Razmak izmedu projekcija gla~ vnih slojnica ravnine A mora, da.kle, na slid iznositi 7 mm. Vertikalna ravnina N predocena je svojim tragom n. Ako sa C oznacimo traienu presJeCnicu tih dviju ravnina. onda njezina projekcija c' mora biti na

n,

--­ d

SL 164. SL HiS,

pravcu n, jeT je c u ravnini N, a kako je ta presjecnica i u ravnini A, moraju sve njezine tocke kojima su kote cijeli brojevi hiti na glavnim slojnicama ravnine A, a njihove projekcije na projekcijama tih slojnica. Kad, dakle, na pravcu n oznaCimo sa 0, 1', 2' itd. one tocke u kojima on presijeca projekcije glavnih slojnica ravnine A, dobit cerno kotiran u pro~ jekciju c' trazene presjecnice c.

Na slid 164. odreden je jos i prikloni kut a te presjecnice prema ravnini ill pomocu njezinog prevaljivanja na ravninu III oko ~jezine projekcije c' (eL 117). Sarno sad a duzina 5' 50 nije na slici duga 5 em, . 5 em: 2 = 2,5 em, jer ~~ .. ~\'~ mora izvesti u mjerilu 1 : _2 .. _

142. Prcsjek dviju ravnina istoga nagiba. Na slici 165. predocene . ravnme r 1 A svojim mjerilima nagiba Pt' i p/. Buduci da su nagibi ravnina jednaki, moraju i intervali njihovih mjerila nagiha biti jeclna,kLi Kotiranu projekciju e' presjecnice c tih ravnina odredimo kao u <':1.

."" ;;;:, omocu sjeciSta jednako kotirani lavnih slomicar tih rayIJi.nl.L Ako' -~~ .oje god tocke pravca c, npr. iz tocke 3', spustimo okomicu 3' A na trag

ravnine r i okomicu r B na trag d ravnine A, onda je duzina 3' A = 3 i, duzina 3' B takoder je 3 i, pa iz toga izlazi da je 3' A = 3' B. Tocka 3' prema tome na simetrali kuta sto ga cine tragovi g i d tih ravnina.

171

Kotirana projekcija presJecmce dviju ravnina istoga nagiba raspo~ lavlja kut ito ga Cine tragovi tih ravnina.

o v 0 p r a v i I 0 ima svoju prakticnu primje~u pri odredivanju

krovnih presjeka koje cerno doskora obraditj~.

143. Presjek dviju ravnina paralelnih slojnica. Kad su slojnice dviju ravnina medu sohorn u.sporedne, ne mozerno odrediti projekciju- njihove presjecnice na nacin koji je ohjasnjen u c1. 140. jer se projekcije jednako kotiranih slojnica tih ravnina ne sijeku u konacnosti. U takvom slucaju

. ':" .~J'. bo ,~/. I ./ I / . .-"'A n

,,' :./.Jf::.' ....... 0 .. D .. . '-.!?' c ..

Eo

Sl. 166. a

rl ---cj,-c------cJ "\ f"!,

9

S1. 166 •. b

odredujemo presjecnicu tih ravnina talw da abje ravnine presijecemo

~~nom rav0_~.2IP_-N;-,-~Qj_~1::. __ ?~o!Il.ITh~-E_a. ___ I}Jl§~.fu~:r:.?.KO.~1!~~- (?L 166 . .q). Ravnina N sijece ravmnu A u priklonici a ... a ravninu r u priklonici b, koje.se sijeku u tocki E:presjecniCe c ravnina Air. Da bi~'rho odredili tocku E .... prevalimo na ravninu II) oka pravca n priklonicu a pomoeU-oocke C (2) i priklonicu b 'pomocu tocke D (2). Prevaljene priklonice ao i bo sijeku se u prevaljenoj tocki Eo. Ako sad a tocku Eo vrtnjom ()ko pravca n dovedemo u ravninu N, dobit cerno tOCku E, kojom ,prolazi tra.zena pre~

sjecnica c usporedo s tragovima dig. Slika 166. b _predocuje u mjerilu 1 ; 2 ravnine Air, kojima su tra­

govi dig menu soborn usporedni. Sada jedinica mjere nije 1 em, vee 0,5 em. Pravac TI, koji je okomit nn dig, trag je pomocne ravnine N. Po­moeu tocaka Co i Do (C' C = D' DO = 2 . 0,5 em = 1 em) nacrtani su pravci a o i bri koji se sijeku u tocki EQ • Na kraju je nanena tocka E' kojOln ide projek9i ja c' trazene presjecnice e usporedo s tragovima dig.

Kad ,su ravnine .6.. i r jednakoga nagiba prema ravnlni TIt, a tragovi sU,im usporedni, onda je trokut A EoB istokracan, pa je E' A = E

r

B.

,I, , ' 1'"

r,\ :

1:1 fil 'I I

I j

172

><t Kotirana projekcija presjecnice dviju ravnina jednako9CL: nagibuJ ko~

jima su tragovi usporedni, usporedna je s > tim tT<lgovima i od njih jednako . udaljena.

I to p r a v i 1 0 ima svoju prakticnu primjenu pri odredivanju kro­vnih presjeka.

144. Tfi ravnine. Zadan je trokut A B C;.polozite njegovom stranicom B C ravninu r nagiba n1 = 2 ~ 1, stranicom A C ravninu A nagiba n,; = = 4 ; 3 i strunicom A B ravninu E nagiba n l = 1 :'1, pa odredite njihove presjecnice! Neka su ravnine nagnute prema unutrasnjosti trokuta {sl. 167)1

A

b

B a o c

Sl. 167.

Tragovi tih raynina su stranice trokuta a J b i c. Interval na mjerilu nagiba nlVnihe r je i1 = 1 : 2 em = 5 mm, a interval na mjerilu nagiba ravnine 11 je i2 = 3 : 4 em = 0,75 em = 7,5 mm, dok je interval na mjerilu nagiba ravnine E i3 = 1 em = 10 mm.

Pomocu tih intervala nacrtaju se projekcije slojnica tih ravnina kote 1 i kote 2, a pomoeu njih odrede se projekcije m', n' i 0' presjeeflica m, n i 0 hh ravnina. Ako se presjeenice min sijeku u tocki V, onda je tocka V u ravnini r i u tavnini -E, pa zbog toga mora i presjecnica 0 tih dviju ravnina ici tockom V. Kota tocke V je 2,5,

Tri 7'avnine, ko,e nisti medu sobom usporedne, a niti prolaze istim pravcem, imaju jednu zajednicku tocku kojom idu. SVe tri presjecnice tih rovnina.

I to p r a v il 0 iroa svoju prakticnu primjenu pri odredivanju krov­nih presj eka.

173

145. Vjeibe. ~ 1. Nacrtajte kotiranu projekciju presjecnke dviju ravnina ako j6 svaka od njih zadana svojim tnjerHom nagiba!

2. Nacrtajte tl ravnini slike kotlrane projekdje dvaju ukr§tenih pravaca g i d ,te oznacite kotirane projekcije kojih god dviju tol5aka A (3) i B (4), pa nndUe p1'e~ r;jecnicu tavnine r koja je odredena tragom 9 i tockom A s ravninom A koja je odredena tragom d i tockom B1

3. Rije~ite zadatak 2. kad su pravci g i d medu sobom usporedni! 4. Nacrtajte istostranican trokut kojemu su stranl.ce duge 8 em, zatim polo­

iite svakom stranicom ravninu nagnutu prema unutrasnjosti trokuta ako je nagib Jedne ravnine nl = 2 : 1, druge n2 = 5 : 4, a trece n3 == 4 : 3, pa odredite njihove pre­IFjecnice!

27. Pravac i ravnina

146. Prohodiste ravnine s pravcem. Na slid 168. a odredena je ravnina E svojim glavnim slojnicama, a pravac p .tockama K i L. Probodiste S ravnine E s pravcem f -naci cerno take da pravcem polozimo pomocnu vertikalnu ravninu N, a onda odredimo presjecnieu c ravnina E i ~. Pre­sjecnica c sijece se s pravcem p u trazenom probodiStu S.

Zadana je ravnina E svojim mjerilom nagiba, a pl'avac p kotiranim projekcijama svojih tocaka K (5) i L (1): neka se odredi probodiiite S ravnine E 8 pravcem p (s1. 168. b) !

P' n

? 2

Sl. 168. a Sf. 168. b

fT,

A. - Trag n- pomocne vertikalne ravnine N. polozene pravcem p! po­se s projekcijom p' toga pravea. Graduiranu projekciju c' presjecniee

ravnin!l. E i N odredit cemo kao u N. 141. Da bismo nasH to~ku S, u kojoj presje~nica c sije~e s pravcem p, prevalit cerno vertikalnu ravninu N

njezina traga n na ravninu lIt. Pri prevaljivanju tocaka K i L pravea

I 174

p i tocke 5 presjecnice c nije za jedinicu mjere uzet 1 em, vee jedinica mjerila u kojemu je crtana slika. ~reva1jeni pravac Po i. prevaljena pre~ sjecnica Co sijeku se u prevaljenom probodistu So. pomoeu kojega se nade kotirana projekcija S' (2,5) trazenoga probodista S.

B. - Taj se zadatak maze rijesiti i ovako: Znamo da se pravcem U prostoru maze poloziti koUko god nas je volja razlicitih ravnina. Ne mo~ ramo, prema tome, pl'avcem p poloziti sarno vertikalnu ravninu N kao pomocnu ravni- '.l., vee mozemo posta viti pravcem p kao pomoCnu ravnil.i.u 0koj~d ravninu 4>. Nademo Ii zatim .

presjecnku c ravnlna E i <1>, onda ce ta presjecnica c sjeci pravac p u trazenom probodistu S.

Na 51. 168. c zadani su ravnina E i pra­vac p u istom polozaju kao i na s1. 168. b. Povucimo najprije toCkama L' i K' koja god dva usporedna pravca s/ iss'. Ako ta dva pravca smatramo projekcijama dvaju horizontalnih usporednih pravaca 51 i 85, SL 168. c od kojih SI pro1azi u prostofu tockom L pravca P. a 8S tockom K, onda pravci $1 i 5{; odreduju u prostoTu ravninu $,

u kojoj je citav pravac p jer su dvije njegove tocke L i K u tOj ravnini. Odredima zatim projekciju A' tocke A u kojoj se sijeku slojnice kate 1 ravnina E i CD te projekciju B' tocke B u kojoj se sijeku slojnice kote 5 tih ravnina. Pravac e', koji nakon toga povucemo tockama A' i B', bit ce Pl'O­jekcija presjecnice c ravnina E i W, a tacka S', u kojaj se sijeku e' i p', bit ce projekcija traienog probodiSta S. Rotu 2,5 toga probodista odredimo po­moeu projekcije slojnice povucene tockom S' do mjerila nagiba ravnine E.

Vidimo da smo pri istom polozaju ravnine E i pravca p na slikama __ "",_168. b i 168. c dobili i isto prooodiSte S (2,5) ravnine E i pravca p. ;?'

147. Okomitost pravca i ravnine. Na slici 169. a prikazana je ravnina E i pravac 0, koji je na njaj okomit. a probada je u tocki A kote 1. Svald -= pravac ravnine E koji prolazi tockom A okomit je na_pravcIJ Q' zVog toga je pra vac 0 okomit na priklonici p i na glavnoj slojnici 5 ravnine E, koje idu tockom A. Buduci da je slojnica s usporedna s' TIll to ce se pravi kut, ciji je jedan krak sIojnica s, a drugi okomica 0, projicirati na ill u pra­voj velicini, a to znaci da ce projekcija 0' okomice 0 biti okomita na projekciji 8' glavne slojnice s. Rako je i projekcija p' priklonice p takoder okomita na s', to se projekcija 0' okomice 0 poklapa s projekcijom p' pd­klonice P, ali kote na njima padaju u protivnom smjeru.

U' ravnini E, koja je zadana mjerilom nagiba, zadana je tocka A (1); neka se tockom A polozi pTavac 0 okomito na ravninu. E (51. 169. b) !

175

Ako tockom A' povucemo pravac 0'. koji je usporedan s mjerilom nagiba ravnine E, dobit cerno projekciju trazene okoffike. Ali samom pro­'jekcijom nije okomica 0 odredena, treba je jos graduirati. Zbog toga cerna 'lertikalnu ravninu N, u kojoj se nalaze priklonica p rp.vnine E i okomica 0, prevaliti na TIl ako njezina traga n, koji se poklapa;$ pravcem 0'.

SL 169. a SI. 109 b

Ako je A' Ao -= 1 em, onda je pravac B Ao prevalJ'ena priklonic" COl Po, a

pravac 00. koji povucemo tockom Ao ok'Omito na Po, je pr'evaljena oko-mica 0, te je tocka C njezino probodiste SIll' Duzina B A' jelhterval i prilc.lonice, ili interval na mjerilu nagiba ravnine E, a duzi:na A' C je inter~ v~l. i~ oko~ice D. 1z pravokutnog trokuta B Au C iz1az1, prema pravilu 0

VlSlnl nad hlpotenuzom da je B A' . A' C = (A' A ):l lli i .. i .. - l' ·r·· . _ •• • • •• ' I) 1 2 - ,1 t tl . t:! = - 1, tJ .. _ mtervah 11 112 su reciprocni. Iz toga izvodimo ovo p r a';; i 1 0:

. ~ad je pTavae okomit no. nekoj .avnini, tad je njegova kotirana pr'b­Jek~t)a usp?red~a s wk~tiranom projekcijom priklonice te ravnine, njihovi su mterv~h reelprOent, a kate 'na pravcu i na priklonici padaju u prati­vnom smJeru.

148. Vje:zbe~ :-- 1. Nacrtajte istostranican trokut A'B'C' kojernu EU stranic d 6 C~l. ,Nekc:. Je ta) tr?kut kotirana projekcija trokuta ABC kojemu su vrhovi eA ~ge 8 (~) 1 .C: (5). Nac.rta]te zatim 'kotiranu projekciju pravca p, koji je zadan kotira~l~ p:oJekcJJama s~OJih tocaka K (6) i L (1), ako jP. L' u trokutu A'B'C' a K' . n]ega, pa oclredlte probodiste trokuta ABC 5 pravcem p. • lzvan

-£~ t:lacr~~jte mjeril" naglba ravnine E kojoj je nagib n = 3 : 2, a zatim koti­r~nu proJ~kCIJU pravca p kojernu je tocka Ie (1) ispod ravnine E a tocka L (5) povrh nJe, pa odredite probcdiilte ravnin.e E s pr-Ilv..,ern p. '

,.' 3. ~aCl:'~~He mjerilo nagiba ravnine E kojoj je nagib n = 4 : 5, a zatim koti­! <:Inu projekcIJl1 totke T (3), pa pplozlte tot:kom T prl.lvac 0 okomito na ravninu E~

1 Na slici 169. a oznacite projekciju okomice 0 sa o'!

'I" ,

I ,

176

4. Nacrtajte kotiranu projekciju trokuta ABC i kotiranu projekciju tocke -I{ it YJezbe 1, pa polozite toe-korn I{ pravac 0 okomito na trokutu ABCI

5. Dutina A'e" = 4 em je kotirana projekcija dUZine AC [A (3), C (6)] koja je u ravnini E. koja} kotirane projekcije slojnica ~itle kut od aOQ s duzin0.m A'C'. Nacrtajte kotiranu projekciju:

a) pravilne trostrane piramide, kojoj je osnovka u ravnini E, aka je duZina AC njezin osnovni brld, a visinn plramide 1) "" 7 em; , ,

b) pravilne cetverostrane piramide, kojoj je osnovka u ravnini E, aka je duuna AC dijagonala njezine osnovke, a visina piramide v = 6 eml

6. Kvadrat A'B'C'D', kojemu je stranica duga 3 em, kotirana je pi."Ojekcija paralelograma kojemu su vrhovl A (I), B (3), C (6), i D. Naertajte kotiranu proiek":

'" ciju uspravne cetverostranc prizme kojoj je oSllovka paralelogram ABeD, a visina 1) = ,{em!

7:' Duiina AlB' "" 4 em je kotirana projekcija duzine AB fA (2), B (5)] koja je na priklonici ravnine E. Naertajte kotiranu projekciju ~tosea. kojemu je osnovka u ravnini E, aka je duiina AB promjer njegove osnovke, a visina stosea je v = 6em!

8. Nacrtajte katirane projekcije slojnica ro.vnine E, kojoj je nagib 2; 3. :.'.I zatim kotiranil' projekciju 'valjka, kojemu je osnovka u ravnini E, ako je njezino sredi§te S (5), polumjer r = 3 em, a visina valjka v = 7 em!

9. Naertajte kotirane projekcJje slojnica ravnine E kojoj je naglb 3; 4, a zatim kotiranu projekciju pravilne sesterostrane piramide kojoj je osnovka. u ravnin! E. jedna dij1igonala asnavke na slojnic.i s~, osnovn( brid a == 2)5 em, a visina piramide v = Scm!

10. Nacrtajte kotirane projekcije slojnicd ravnine E kojoj je naglb 2 : 3, a zatlrn koliranu projekciju kocke kojoj Je osnovka u ravnlni E ako je sredi~te osnovke S (6), jedna dijagonala osnovke Cirri sa 5lojnicama ravnine E kut ad 30

b

, a brid kocke dug je 4, erht

28. Krovni presjeci

Ar. 149. Vrste ltrovova i nazivi. Kad' je kuca pokrivena sarno jednom krovnom ravninoffi) kao na slid 170. a, te je na njoj sarnO jedna stresnica iIi okap E F

J tad se takav krov zove jednostTeSni krov.

Ako se kr'ov sastoji od dvije krovne ravnine, kao na slici 170. b, pa su na njemu dvije stresnice (okapi) E FiG H, onda se on zove dvostresni krov. Horizontalna presjecnica I J tih dviju krovnih ravnina, koja je uspo­redna sa stresnicama, zove se s~jeme krova.

. Kad kucu pokrivaju cetiri krovne ravnine, kao na slid 170. c, krov je skuJ.";., On ima eetiri str<:snice E F, F H, H GiG E. Skoseni krov kuce, kojoj je tlocrt pravokutnik, ima sljeme I J, a ako je tlocrt kuee kvadrat, onda skoseni krov ima oblik kvadraticne piramide. Presjecnice E I, F J, H JiG I dvij u susjednih krovnih ravnina na skosenom krovu zovu se grebeni.

Ako tloert kuce nije pravokutnik ni kvadrat, vee slozen geometrijski Uk) onda se krov takve kuce zove slozeni krov. Slikom 171. b prikazan je

177

jedan slozeni krov. Na njemu je 6 stresnica A B, B C, CD, DE, E F i FA, 2 sljemena G H i I J, 6 grebena A G, B G, D J, E J, F I i H I, a pre­sjecnica C H dviju susjednih krovnih ravnina kojih stresnice B C i C D cine prema unutrasnjoj strani kuce kut veci od 180· zove se u:vala.

Pri odredivanju oblika krova kuce uzima se da sve kroyne ravnine irnaju isti nagib prema horizontalnoj ravnini. 8ain"O iz"-e~te~idh'-ili piak.:: tR!~ih--razloga maze se od tog pravila katkada odustati. Nagib krovnih

H

Sf. 170. a sl. 170. b 81. 170. c

ravnina ovisi 0 materijalu kojim se krov pokriva i ° atmosferskim prili­kama kraja u kojemu se kuca gradi. Kad nas se krovnim ravninama, koje su oblozene eternitom, daje nagib od~l ... :-:Ld.ct? : 3, . .a kad su oblozene obicnim crijepom. daje im se nagib od 2 : 3 dq) : 1. .

Oblik krova kuee odreduje se tako da se konstruira tlocrt svih pre~ sjecnica krovnih ravnina. i to u horizontalnoj ravnini koju zamislimo kroz stresnice krova. Tim tlocrtom i nagibom krovnih ravnina obUk krova je potpuno odreden. Iz tlocrta krova kuee i nagiba krovnih ravnina nije tesko nacrtati nacrt iii kosu projekciju krova iIi odrediti prave velicine pojedinih krovnih pIoha.

Ar. 150. Konstrukcija tIocrta krova. Konstruirajte tlocrt svih presjeenica krovnih ravnina na horizontalnoj ravnini strdnicd krova kuce ako stre~ snice Cine Uk ARC D E F, koji je zadan na slid 171. a u mjerilu. 1 : 500!

Svakom streSnicom polozimo krovnu ravninu istoga nagiba prema h.orizontalnoj ravnini stresnica koju uzimamo za naSu ravninu. slike ill (s1. 171. b). Krovne ravnine: koje cerno oznaciti brojevima I, II, III, IV, V i VI, imaju za tragove na ravnini slike III stresnice krova. Ravnine 1 i II sijeku se u grebenu A G (s1: 171. b), ravnine I i VI u grebenu B G, ravnine II i VI u sljemenu G H, ravnine II i III u grebenu F I, ravnine III i IV u grebenu E J, ravn!ne IV i V u grebenu D J, ravnine V i III u sljemenu J I, ravnine, V i VI u uvali C H, i na kraju ravnine II i V U

grebenu HI.

12 Nacrtna S"eometrl~a

'l1t="Mr) I ...:..A"':'. ..,-.. A -.....--

, ! I

178

Tioert svakoga grebena ili uvale, prema pravilu iz cl~ 142, ~ raspolavJiati kut sto ga cine stresnice onih ravnina koje se u tome gre-' benu odnosno uvali sijekuj a,..tlacr:t.~3f.akog ... sljemena ~ora, prema pravilu iz oj. 143, biti usporedan sa stresnicama onih ravnina koJe se u tom. sljemenu sijeku, te mora biti jednako udaljen od tih stresnica. Prerna tome se konstrukcija tlocrta krova (51. 171. a) izvodi ovako:

A B SL 171. a

a· efta'rna simetrale svih u Va lika sto ga prave stresnite krova, jer su na tim simetra ama t oedi gl-ebena i uvaUi krova. Dvije susjedne simetrale A G' i B G' sijeku se u tocki G' i zatvaraju sa stre­snicom .Ii B tloert A B' 9' krovnog trokuta A B G, koji je u ravnini I. Isto se taka susjedne simetrale E J' i D J' sijeku u tacki J' i zatvaraju sa stresnicom DE tIoert DE J' krovnog trokuta DE J, koji je u ravnini IV.

Kroz toeklJ G', odnosno tocku ,J', mora iei tlocrt trece presjecnice krovnih ravnina koje idu tockom G, odnosno toekom J, prema pravHu iz (:1. 144. Trag A~ F ravnine II usporedan je s tragom .... B C ravnine VI, zbog toga tlocrt presjeenice tih ravnina mOra ici toCkom ,0' usporedo s tim tragovima, i ta do tocke HI, koja je na prvoj susjednoj simetrali C H'. Time sma zatvorili Uk B f;H' ..... G', koji je tlocrt krovnog para1elograma Be H G, a nalazi se u ravnini V.I. Isto taka je trag E P ravnble III uspo­redan s tragom f; D ravnine V, pa tloert njihove ~'p;esjecnice mora iei toekom J uspo:z;edo s tim tragovirna, i to do to{:ke I~ koja lezi na prVQj Busjednoj simetrali F 1', Tako smo zatvorili joil jedan Jik E F r J', koji je tloert krovnog trapeza E f 1 J, a nalazi se u ravnjni III.

Buduci da. su toCke H i I na krovnim ravninama~J one odre­duju presjeenicu HI tih. ravnina, kajoj je tro~~t-'duzina H 1'. Ako zbog kontrole produzimo trag··C D ravnine V do sjee!sta It s tragom A F rav­nine II, pa nacrtamo sJmetralu kuta p L r, onda na taj simetrali moraju

179

biti tocka -H' i 1'. Lik CD J' l' H' je:i tloert peterokuta CD J 1 H, koji je u krovnoj ravnini V, a lik A F'l: H', G' je-Uocrt 'peter6kuta API H G, koji je u krovnoj ravnini II. Time je konstrukcija tlocna krova zavdena.

Na slici 171. a odredena je jos i prava veliCina krovnog trokuta DE J pomocu prelaganja tog trokuta oka stresnice D E'na ~~u slike ill: To je prehfganje izvedeno na nacin koji je prikazan u cW:a£) a za nagib krovnih ravnina n =;'._2.: 3. U prevaljenom potpornom troKutu K J' j rav­nine IV !flora biti "J'J;,~/ '3 J' K, a visina K (J) prelozenoga krov"nog tro­kuta DE (J) jednaka je duzini K J 0 ~

. ' Ar. 151. Konstrukcija tlocrta krova sa zaprekom. ",A. - Konstruirajte tlocrt svih presjecnica krovnth ravnina ako stresnice cine lik ABC D E F G H 1 J K L, koji je zadan na slici 172_ 11. mjerilu 1 : "500, a voda s· ~rova ne smije da w:;fara 0 zid su.sJ"edne zgrade.

(E) (FJ (G)

z,/f>\\T1\

M' 0' "'I' :""c,c-"~"-/_' f'_,_R_s,,:_,(...,...:,:,~:~:::=~-T-' v-~-, -,,' ~,t;J;'!f ,,'- A :, S' '"N

s' ___ / "

A : )<

'" E B Z-F 2.

~I.. 172. Sl. 173,

Tloert zida susjedne zgrade oznacen je na slici 172. iscrtanom pru­gam koja granici sa stresnicom I J. Zbog toga treba ukloniti luovni trokut I J Z s kojeg bi se voda slijevala na zid susjedne zgrade. BuduCi da su stresnice H 1 i K J toga krova okomite na zid susjedne zgrade, mozemo tu zapreku lako uklonitt. Krovne ravnine, koje polozimo stresnicarna HI i K,J, produzimo sve do zida susjedne zgrade, tako da sljeme R S, u kojemu se te ravnine sijeku, takoder dopre do zida susjedne zgrade. Sad ce se atmosferske ohorine pomie~ti po krovnim ravninama Ii I S R S i K J S R P usporedo sa zidom susjedne zgrade, a nece udarati 0 hj zid, jer su krovne

ravnine na nj olmmite,

Konstrukdja tlocrta svih ostalih presjecnica krovnih ravnina izve­dena je na nacin koji je objasnjen na slici 171.

n !

I ,

180

B, - KonstruiTajte tlocrt svih pTesjec~nica krovnih ravnina l ako stre· mice' Cine lik ABC D, koji je zadan na slid 173. u m~eTilu. 1 : '500, a 'voda

s krova ne smije da udara 0 zid susjedne zgrade!

U tom zadatku nisu stresnice A B i CD okomite na, zLdu susjedne zgrade kao u prednjem zadatku. Kad bi krovne ravnine, polozene stresni­cama A B i C D J produzili do zida susjedn~ zgrade, udarao hi jedan dio atmosferskih oborina s krovne ravnine, poiozene stresmcom A B, 0 zid susjedne zgrade. Da se to izbjegne, treba umetnuti jos jednu krovnu ra­vninu, koja ide tockom B, ima i~~J. __ !}ag!~ .. k..~Q"t~:~~ale krovne ravnine, a

.,., okomita je naz.id susiecine_kut;' Tr;g te ravnine je pravac'-n N~-' -koji' je clroffiUna B C~- N-~'~i-m~t~~lik~a sto ga Nni pravac B N s pravcem A B

je tloc~·t B F' uvale B F, u kojoj se ,~metnuta krovna ravnina sijece s krovnom ravninom polozenom stresnic~m A B; a tloert F' G

i

grebena F G, u kojemu se umetnut~ krovna ravniIia sijece s krovnom ravninom polo­zenom'1itresnicom DC, je dio sinletrale kuta B H C. Atmosferske oborine pomicat ceo se po .umetnutoj krovnoj ravnini usporedo sa zidom susje9.ne zgrade i slijevat ce se u :uvalu B-F.

Na slici 173. odredena ie ios i prava velicina CD (E) (F) (G) krovnog peterokuta CD E Ii' G pomocu njegova prelaganja na ravninu slike TIl aka stresnice CD, a za nagib krovne ravnine 1 : L U prevaljenom potpornom trokutu E' Eo K te krovne ravnine je E' Eo = E' K, a u prelozencm pete­rokutu duzine K (E) = K Eo. Buduci da BU tlocrt 1 prava veliCina toga peterokuta perspektivno afini lik.ovi, za koje je pravac CD as afincsti, a tocke E' i (E) BU ,pr"idruzeni vrhovi, mozemo ostale vrhove (F) i (G) pre':' lozenoga peterokuta odrediti pomocu 'te afine srodnosti. Povucemo Ii tockom (E) usporednieu seD, na njoj'mora biti tocka (F); a spojimo Ii (1<') s tockom H, dobit cemD pl'avac na k~jemu je tocka (G). '

Ar. 152. Konstrukcija nacrta krova. Dosad smo se bavili konstrukcij-om tlocrta krova, a naert krova nismo crtalij a sada cerno vidjeti kako se iz tlocrta krova konstruira njegov nacrt. Za konstrukciju nacrta krova potrebno je imati tlocrt krova i znati kolik je nagib njegovih krovnih ravnina.

Na slici 174. nacrtan je u mjerilu 1 :,800 tlocrt krova kuce kojoj uz­duzni zidovi cine s ITz kut od 30·. Iz tlocrta zakljucujemo da su na tom krovu tri sljemena 13-14, 15-16 i 17-18, osam grebena 1-13, 2-13, 4-15, 5-15, 7-14, 8-14, 10-18 i 11-18, celiri uvale 3-16, 6-16, 9-17 i 12-17, Crtkane duzine u tlocrtu krova predocuju nam polozaj vanjskih vertikalnih ravnina zidova zgrade. Uzeto je na toj slici da su te ravnine udaljene 1 m od Etresnice krava.

Nacrti svih stresnica krova su na pravcu p, koji je usporedari s osi x, a od nje udaljen za visinu stresniea, koja je na slid sarno 4 m, Pravae p je

181

drugi trag horizontalne ravnine II stresruca krova. Od 12 toeaka koje ome­duju te streijniee vide se u naertu sarno toCke 1~ 2, 3, 4, 5 i 7, kojiroa su nacrti tocke I", 2", 3", 4", 5" i 7". Da bismo mogli nacrtati nacrt 1311_141i sljemena 13-14, moramo odrediti udaljenost jedne njegove krainje toCke od ravnine stresnica il, a ona ovisi 0 nagibu krovnih ravnina. U tocki 13 sijeku se tri krovne ravnine. Ako iz tocke 13' spustimo okomicu 13' K' na trag l' 2~ jedne ad tih triju ravnina, bit ce duzina 13' K' jednaka harizon­taJnoi kateti K L potpornog trokuta 13 K L krovne ravnine 1 213. ko-

x

30

M;HOOO

0: I

5 '0 5

sl. 174. h-- (" f).. Sf. 175. a i b

jemu je duzina L 13 vertikalna kateta. Velicina vertikalne katete L 13 ovisi 0 nagibu krovnih ravnina. Kad je nagib krovnih ravnina 1 : 1, tad je L 13 = K L, a aka je nagib krovnih ravnina n = 2 : 3, anda je L 13 = = , . K L, ili opeenito L 13 = n· K L. Buduci da je stika 174. nacrtana uz pretpostavku da je n = 1 : 1, na njoj mora biti L" 13" = K' L'. Tockom 13" nacrta se zatim nacrt 13" 14" sljemena 13-14 usporedo S osi X, jer je ana usporedno sil,. Ako sada spojimo·tocku 13" s toekama 1" i 2", a toeku 14" s tockom 7u

, dobit cerno nacrte triju grebena krova koji se u nacrtu vide.

Nacrt 15" 16" sljemena 15-16 odreduje se na isH nacin kako smo odredili nacrt sIjemena 13-14. Iz tocke IS' spusti se okomica 15' M' na du­~inu 4' 5" i uCini se N" 15/1 = 15' M', Tockom 15" ide nacrt ISH 16" toga sljemena usporedo S osi x. Spojimo Ii sada tocku 15" s tockama 4" i 5", dobit cerno nacrte jos dvaju grebena krova koji se u nacrtu vide. f..1a krafu,

182

spojimo li toeku 16" s toekom 3", dobit cerno nacrt uvale 3-1,6, lroja se od cetiri uvale toga krova jed ina u nacrtu vidi.

Na slici 174. nisu nacrtani nacrti onih grebena i uvala krova koji se u nacrtu ne vide.

Ar. 153. Vjeibe, - 1. Nacrtajte u mjerilu 1: 500 tIocrt svih prosjecnica krovnih ravnina ako stresnice krova cine Ilk zadan aUkom 175. a!

2. Nacrtajte u mjerilu 1 : 400 tloeft svih presjecnica krovnih ravnina aka stres~ nice krova clne Uk zadan sUkom 175. b!

3. Nacrtajte naert krova iz alike 171.4 ako,stresnica EF cinl s II! kut od 30"1

4. Nacrtajte naert krova iz slike 172. aka u:z.dufni zidovl kuee cine s 112 kut od 30°1

.5. Nacrtajte naert krova iz vjezbe 2. aka uzduzni zidovi kuee cine s 112 kut

6. NacrtaHe tlocrt krova iz vjeibe 1. ako je s desne 1 s .11jeve strane kuee zict susjedne zgrade!

V. NASIPI, USJECI, CESTE, PLATO

29~ Nasipi i llsjeci

154. Nasipanje h. tocke. Kad se iz cvrste tocke T zaspe na horizontalnu podlogu III neka mnozina zrnate tvari, npr. pijeska, nastane ispod te tocke stog te tvari, koji nalici na rotacioni stozac, a zove se nasipni stozac (s1. 176. a). Kut ",' sto ga izvodnice toga stosca Cine s hor'lzontalnom pod­logom, ovisi 0 vrsti tvari koja je hila zasuta iz cvrste tocke T. Taj se kut

, Sl. 176. a S~, 176. b 81. 175. c ,

zove ri1'odni kut na iba doticne tvarL Kad hi se zas1panjem te tvarLna­stavl 0, rasla hi visina Jitoscu sve dotle dok bi stozac svojim vrhom dopro do tocke T, ali hi prikloni kut a. njegovih izvodnica ostao u~ijek' 1st1. -

Tangens priklonog kuta rJ,. izvodnica nasipnog stosca zove se nagib ~~sipnog stosca.

Nagib nasipnog stosca OZI).acuje se slovom n, dakle je

tg a. = n.

Kad je poznata visina v nasipnog stosca i njegov nagib n = tg (J.~ mozemo ,polumjer r njegove osnovke izracunati ovako:

"I

I

\.

184

Iz slike 176. b izlazi da je -::... = tg a, ili , v , = n, pa je .n . r = v, Hi

I 1

r=--v 'n '---;-"ili[

'---------'

Ako je npr. n = 2 : 3, a visina v = 50' em, onda je

lumjer osnovke je r = +. v = ~ . 50 em = 75 em.

"

Na slici 176 .. c prikazana je tangencijaina ravnina E nasiphog',stosca kojerp.u je obodnica osnovke kruznica k, a'vrh tocka T. Ta ravruna dodi­ruje ~asipni stozae po izvodnici T A,. a njezin trag e na ravnini osnovk~ je tangenta kruzniee k u toNti A.

Svaka tangencijalna ravnina nasipnog stoSca dodiruje ga po jednoj njegovQ:i izvodulci, a trag svake tangencijalne ravnine j'? .. ~3:~~~~ obod~ nice osnovke stosea u probodistu ravnine osnovke s d~dirnom izvodnieom: Bud~ii:·d~-fe·do(nrn·a-hvodnica svake tangencijalne ravnine s.tosca njezina

185

ravnine svih nasipnih stozaca kojima su vrhovi na praveu a. Tragove 9 i d ravnina 1l. i r mozemo odrediti P0lnOCU probodiSta A ravnine E s prav­eern a i jednoga nasipnog stosea kojemu je vrh na' pravcu ·a. Ako"iz pro­bodista A povucemo tangente d. i, g na osnovnu kruinicu k nasipnoga

, stosca kojemu je vrh u tocki T (3), dQbit cem{) tragove nasipnih obronaka 'A-; r.

Ravnine .a. i f, od kojih je prva odredena pravcima a i d, a druga pravcima a i g, idu praveem a, a njihov je nagib jednak: tangensu priro­dnoga kuta nagiQa tvari kojom se zasip~~a-~~d~f pra~ea a, jer su one ~~~,g!!-GijoSl.ln~ .r.ayp,ine jednoga nasipnog stosea kojemu je vrh na p,ravct,l a.

~agib syakoga nasipn.~~bronka jednak je tangensu prirodnoga kuta pagiba one tvan kojom se on ~iasfpava':-~Nasipnr obrorid-uz(fuf zadanoga' pravca jesu, dakle, '<one dvije ravnine' koje se mogu poloZiti tim pravcem, a kojima je nagib jednak tangensu prirodnoga kuta nagiba one tvari ko­jom se zasipava.

Odredivanje' nasipnih obronaka uzduz zadanoga pravca svodi se prema tome na ovaj 2adatak:,

priklonica, a nagib ravnine jednak je nagibu njezine priklonice, to je _ ... ::7-> 156. Pravcem po}oziti ravninu zadanoga nagiba. Pravcem aJ

koji je n~g!.tt, §.Y5l:ke t~!l:gg!1~ij~l~e: rav~ine nasipnog stosea. jednak nagibu toga'.. zadan probodiStem A (0) i kotiranom pTojekcijom tocke A (3). poloZite stosea, a potporni trokut, npr. T T' A, svak~ tangencijalne ravnine je..-' rav7tinu nagiba n = 5 : 2 !

porovi'fill"osnoga presjeka nasipnog stosca. Svi pravci nagiba n = 5 :.2 (sl. 177. a) koji idu tockom T cine izvod-

155. Nasipanje uzduz pravca. Na slid 177. a predocena je horizontalna ravnina IIi i pravac a, koji je odreden tockom A u kojoj on probada ra¥ vninu III i tockoUl; T (3). Kad uzduz pravea a sipali na ravninu IT,

T

AI» ,C .. 2'

Ttl)

9

IT,

SL 177. a S1. 177~ b

neku zrnatu tvar sve dotle dok bi nasip te tvari dopro do samoga pravca, tad bi taj nasip bio omeaen dvjema ravninama t:J. i f, koje se sijeku ,u pravcu u, a koje se zovu Tcimii~_ nas~Ea polozene pravcem a ~~.~~P..~! obronci ,y0lozeni pra-vcem- n. Ravnine .6. i r su zajednicke tangencijalne

niee rotacionog stosca kojemu je vrh tocka T. srediste osnovke toeka T', a visin~.r T. Polumjer osnovke toga stosca mo'zemo izracunati po formuli

r r = -It- v Ix cl. 154. Buduci da je n = 5 : 2, a visina u=T' T=3 em, bit ce - - -----------. 1 2 6 -

I' "'" n . f) =5 - 3 elll = SCII! = 1,2 em = 12,:""

Aim, dakle, oko rocke T' (s1. 177. b) opiSemo kruinicu k kOjoj je polu­mjer r...~!.~.~!!!t p~~robodista A(o} povu~emo tangente dig na kru~­nieu k. dobit cerno tragove trazenih ravnina Air. Kad na kraju gradui­ramo pravac a (cl. 119), pa to~kama 1', 2', 3' i 4' povucemo usporednice s pravcima dig, onda smo ravnine predocili njihovim glavnim slojnicam·<:.:

Taj zadatak moze imati m, MI)o, ili nijeqno rjesenje. sto ovisi 9 tome da Ii je nagib traZene ravnine veei' od nagiba pravca njemu jednak Hi od nj ega manji. -

.~57. Pravac odl'edenoga nagiba u zadanoj rav~ini. Odredite u. ravnini E: koja je zadana mjerilom nagiba, pravac nagiba n = 3 : 2 koji ide nj~­zinom zadanom tockom T (3) t

Na slid 178. a predocene su horizontalna ravnina ITI i ravnina E. U ravnini E ;staknuta je tocka T (3) i oznacen njezin tlocrt '1". Nacrtan je z'atim pravac A T nagiba n = 3 .: 2, 'jer T' T = 3 em, a T' A = 2 em.

186

Kad pravac AT rotira ako pravca T' T~ njegov se nagib ne mijenja, a on pri tom opisuje plaSt rotacionog stasea kojemu je obodnica osnovke ona kruznica k ~to je za rotiranja prayeR AT opisuje tocka A. Ravnina E i plast toga stoBea sijeku se u izvodnicama min, koje su traie!lI"pravd ravnine E zadanoga nagiba. n = 3 : 2. Te izvodriice dobit cerno taka da one tocke MiN u kojima se kruznica k sijece s tragom e spojimo s ~: korn T.

Sf. 178. a Sl. 178. b

Slika 178. b predocuje ravninu E mjerilom nagib.a p', Interval ~oga mjerila nagiba je 0,5 ,em, jer je uzeto da je n1 = 2 ; 1 nagib ravnine E. Istaknuta je zatim kotirana projekcija T' (3) toeke T (3) te ravnine.

PolumjeT osnovke rotadonoga stosca kojemu je vrh u tocki T, a

nagih izvodnicfi n = 3 : 2, izracuna se po formuli T = ~. v iz cl. 154. On "

~znosi T = +-.3 em = 2 em. Kruznica k, opisana oke toeke T' polumjerom

r 0= 2 em, jest obodnica osnovke toga stosea. Spojimo Ii na kraju tocke M i N, u kojima se sijeku kruznica k i trag e. s tockorn T', dobit cerno ko­tirane projekcije m' i n' traienih pravaca min.

Taj zadatak moze imati dva, jedno, ili nijedno rjesenje, sto ovisi 0

tome da Ii je nagib traZenog pravca manji ad nagiba ravnine njemu jednak ili od njega veoi.

158. Usjeci. A. - Slikom 179. predocena je u mjerilu 1 : 2 horizon" I talna ravnina ITt i tocka T koja je 4 em ispod nje. Polozimo Ii tol!kc.rn,,7

187

sve pravce kojih je nagib prema ravnini III n = 4 : 3, oni ce ispuniti plast supljegfl: rotacionog stosca kojemu je vrh ispod osnovke. Srediste njegove .. . je u, tocki T', a veliCinu polumjera osnQvke .moterno izracunati

, .. ~ , '" I 3 forr~.tU!~~""r =-;- . v = 4' 4 em = 3 cm. Ako nam taj suplji rotacioni

;predocuje usjek uCinjen 11 nekoj tvari, onda ga nazivamo usjecnim l·,toifce"., a nagib njeg?vih izvodnica, koji je tangens priklonog kuta a tih

izvodnicR, zove se nagib usjecnog stosca.

~ut. a ~e S~ije ~rema~iti prirodni kut nagiba one tvari u kojoj se +-­pravl uSJek Jer hI se mace ta tvar urusila u usjek.

B. - Slikom 180, prikazana je u mjerilu 1 : 2 horizontalna ravnina IT i pravac a koji je odreden tockom A u kojoj 011 probada ravninu II i toekom T koja je -4 Cm ispod ravnine lIt. Predocen je zatim uS'E'eni stolae kojemu je vrh u tocki T, osnovna kruznica k, a jma nagib n ~ 2 : 1.

Tangente dig osnovne kruznice k, povucene iz tocke A, tra O"ovi su 'dviju tangencijalnih ravnina .6. i r usjecnog stosea, koje se sijeku u bpravcu

~-"i

'. . , . . /

. . ~'" , /

SL .180.

., a. Te su dvije ravnine zajednicke tangencijalne ravnine svih usjecnih stoiaca nagiba n = 2 : 1 kojima su vrhovi na pr'avcu a, zato Se one zO\ru ravnine usjeka polozene pravcem a Hi usjecni obronci po}ozeni pravcem a

159. Vjeibe. ~;~~;~~--~'~~~~'e -~~~:~·~:i::i-~·~~~j~-~~i;ama '~~~j~ -~.j-~'_ govlq tocaka A (1) i B (5), a A'B' = 3 em, polozite ravninu E nagiba n = 5; 3!

. @pravcem a. koji je zadan 'kotiranim projekcijama dviju njegovih tocaka A (2) i B (5) a A'B' = 4 em, polozite ravninu E naglha n = 5 ; 2!

, . .>':-J"·W Pravcem a koji je zadan kotiranim pl'ojekcljama dviju njegovih tocaka -1 (0) i B (-3), a A'B' <= 3 em polozite ravninu E nagiba n = 3': 2!

... ~ U ravnini E kojoj je nagib n l .... 1 : 1 zadann je tocka T (4). Od1"edite u toj

~!avmn! _~avac koJemu Je.E.l!g1b nt =._~_;~,--U~~~~O_lTI.-T! " A5:\ U ravnini E kojoj je nagib n, =- 3 : 2 :z;adana je locka T (5). Odredite u toj rn';nhU pravac kojemu je naglb. n = 5 : 4, a ide tol!kom T!

•

'.'

I,

1- !

188 , 189

30, Ceste i plato na, ravnom tlu ' ,':1alna, i tQ kote 50 m} to se Qlla presijeca s ravninom padine..."u .glavno}

,160. Horizontaln~ upravna cesta nn :ra~oj padini. Na .ravn~1 :padintt. ';:~~Ci S'5Dl;j?~dine. ~jecnica padfne, oonosno terena, s ravninotri ceste ~.agtba '"'1 := 1 .' 5, leoJoj je zadano mjerilo .nagiba, 'A', treba provt1sti 6 m .. ~ve se )p res mn a crt a iIi n e u t r a 1 n ali n i j a. Ta presjecna stToku ho t 'k ' crta s" sijece ivice cesle a i b u loekama A i B. Nadesno od dmilie A B, ' r:zon .a.~nu u~ravn'u cestu., ojo) je zadana koti1'ana pTojekcij~ 0$.(: M N, aka Je naglb nastpd ~ = 1 : 2, a usjekii fi3 = ,2 : 3, te je m'jerilo ,sli .. : cesta je iznad padine,\pa tamo treba cestu izgraditi nasipavanjem, a nali-1 : 500 (s1. 181). ' . "Jevo ad te duzine cesta je ispod padine, pa tamo treba cestu usjeCi u

11'(5{))

"

b' ,--­ '--"'-'-Q' , '

'"

8'

A'

SI. 181.

. Bu~~Ci da je mjerilo slike 1 : 500, to duzina od 1 mm ni;l ~lici prika­zUJe dUZlllU od 500 mm = 0,5 m na terenu, pa nam prema tome duzina od 2 mm na slid predocuje 1000 mm = 1 m na terenu.

Ako je nagib ravnine padine n 1 = 1 : 5, to ce interval na njezinom

mjerilu nagiba pI biti il = ':1- = 5 m, (cl. 128. i 121lt,sto ce U lnjerilu slike

iznositi 5 X 2 mm = 10 mm l' e I 'I 1 ' . , ,~ . ., . r rna orne ce 5 a nl razmak iZffiedu pro-]ekCl)a glavmh sloJhlca ravnine pa-dine na slid biti od 10 mm.

Iz .kotiranih projekci.~a krajnjih tocaka osi ceste M i N'zakljucujemo da honzontalna cesta k~Ju ~reb_a proyesti ima kotu 50 m. TIoerti a' i b', us~rednih 1?rav~ca a, 1 ?, koji su ivice ~~;te,--bit ce na slid udaljeni od kOhra~e. proJekc.IJe M N osi ceste, pO.,,6 :.nm~ jer je cesta 8 m' siroka, pa je svaka lVlca udalJena 3 ~_?d osi cesre. Buduci da je ravnina ceste horizon--

padinu.

Po!ozit cemo zbog toga nadesno od A i B ivicama -ceste a i h ravnine nampa nagiba 1lt = 1 : 2. Mjerila nagiba p/ i P2' tih ravnina okomita SU nB a' i h' jer su ivice ceste a i b glavne slojnice tih ravnina kote 50. a stalni

1 razmak izmedu projekcija glavnih slojnica tih ravnina mora biti 4 = n, == = 2 m, sto u mjerilu slike iznosi 4 mm. Ako sada odredimo sjectSta pro­jekcijA glavnih slojnica istih kota ravnine padine i ravnina nasipa, dobit ceroo tocke na pravciroa c l i d', koje BU kotirane projekcije onih pravaca c i d koji omeduju dbronke s njihove donje strane.

Nalijevo od A i B moramo ivicama ceste a i b postaviti ravnine usjeka nagiba n,'l = 2 : 3. Mjerila nagiba p,,' i p,' tih ravnina stoje okomito nB a' i b", a sta1ni razmak izmedu projekcija glavnih slojnica till ravnina je

13 = i.. ~ 23

= 1,5 m, sto u mjerilu slike iznosi 3 mm. Na kraju odredimo - . . kotirane projekcije e' i r presjecnice e if ravnine padine i ravnina usjeka, pa time dobijemo one pravce e i f koji omeduju usjecne obronke s njihove gornje strane.

161. PriIazi k horizontalnoj upravnoJ cesti. Horizontalna upratma cestaJ siroka 8 m J prolazi u visini od 6 m preko horizontalnog tla kote o. Nagibi su ~avnina nasipa 8 obje strane ceste nl = 2: 3. S flu vode nil cestu dva pritaza siroka 4 m. Prvi prilazJ koji vodi okomito na cestu, nagiba je ~ ='= 1 : 5, a nagibi sU ravnind nasipa sa strand toga priLaza nt = 2 : 3; drugi prilaz, koji je potozen uza sam nasip ceste, nagiba je 71.:J = 1 : 4, ~ nagib .j€.ravnine nasipa uz taj pritaz n4 = 3 : 2. Nacrtajte u mjerHu 1 : 500 cestu, pTilaze i sve nasipe (s1. 182) !

'A. - Prilaz koji vodi okomito na cestu. Nacrtajmo ·najprije tlocrte a' i 11 usporednih pravaca a i bJ koji Sll ivice ceste. Cesta je !iroka 8 m, a kako je mjerilo slike 1 ; 500, to razmak izmedu pravaca d" i b f mora biti od 16 mm, je~.je 8 m : 500 = 16 mm. Na pravcu a' istakni­n1b zilfiin gdje god tlocrte A' i B' tocaka A i B kojih horizontalni razmak iznosi 4 m (A' B',= 8 mm), pa tim toekama povucimo tIoerte c' i d' Ivle;' c i d prUaza. Odredimo sada tocku C na ivici c i toeku D na ivici d, koje .BU na horizontalnom tlu. Buduci da su te ivice nagiba ttz = 1 : 5, njihov je

190

interval i = ~ = 5 m, a kako kate toeaka A i B iznose 6 m, m"", b'i~ n, A' C = B' D = 6 . ; = 6 . 5 m = 30 m, a to u mjerilu slike izl\9!'>! Prvi prilaz omeden je, dakle, <>dozdo horizontalnom duZinom CD, odozgo

3

N' M=f: 500

E

2 3

a' J SJ:. 182.

horizontal nom duzinom A B. a sa strane ivicaroa c i d, koje su priklonic~. ravnine toga prilaza. Stalni razmak i21medu projekcija glavnih·~nic~ prilaza 1znosi na slid 10 mm jer taj razmak u prirodi iznosi i = 5 m.

Poloiimo sada ivicama ceste a i b ravnine nasipa nagiba n 1 =;;0-2"; 3. Stalni razmak izmedu projekcija glavnih slojnica tih ravnina, koje su

191

usporedne s pravcima a' i b', mora iznositi it = -.!... = -23 m = 1,5 m J a to u , ~

mjez:ilu s1i~e iznosi 3 mm. Slojnice kote 0 bih ravnin;a omeduj'u nasipe s donje strane.

Pravcem c treba zatim polo:z:iti ravninu nasipa nagiba n1 = 2 : 3 na naCin koji je prikazan u cl. 156. Alto ako tock:@ opiSemo ~ruznicu polu­

mjera r = ~ . v = ~. 6 m = 9 m (na slid je r ,= 18 mm),' pa iz tocke 'C 111 2

postavimo tangentu na tu kruznicu, dobijemo slojnicu C E kote 0, koja s -donje strane omeduje taj nasip. Ravnina toga nasipa sijece se s onorn ravninom nasipa koju smo po}ozili ivicom ceste a, u presjeenici E A; kojoj je kotirana' projekcija duiina E A', Na jednak se naCin odredi sloj­nica D F kote 0 ravnine nasipa koju po}ozirno ivicom d, a zatim Be nacrta kotirana projekcija F B' presjecnice te ravnine i ravnine nasipa polozene ivicom eeste a.

B. - Prilaz koji je polozen uz nasip ceste, Uzmimo da j~~ tocka G~ (s1. 182) tIoert one tocke G na lijevoj ivici ceste b kojom ireba da ide ana ivica,h toga prilaza koja ima da bude u ravnini lijevJ)ga" nasipa ceste, U ravnini toga nasipa moramD sada odrediti onaj 'pravac'~~:-;' nagiba n."l ~ 1 : 4 koji ide tockorn G, i to na naCin koji je prikazan·-·u

c1. 157, Oko' ta~ke G' opisat cerno luk kruznice polumjera r = 2., tJ = +, ·6 m = 24 m (na sli~i je r = 49 mm), Taj se luk sijece',sa SlOjnil~30rn kot~O ) ravnine nasipa u tocki H,' a duzlna H G' je kotirana' projekdja trazene. ivice h, KDtirana projekcija l' druge ivice 1 toga prilaza mora,;{la sEci biti udaljena B mm od pravca h' jer jc sirina prilaza 4 m. Taj je prilaz orne-den, dakle, odozdo horizontalnom duzinom II L, odozgo ho:cizontalnom duzinom G K, koje su okornite na ivici h = [H G]. a sa strane ivicama h i l, koje su priklonice ravnine toga prilaza, Stalni r~zmak izm,edu pro­jekcija' glavnih slojnica toga prilaza iznosi na slici 8 mm jer je on ..... u prirodi 4 m.

Ivicom ~ treba sada polo~iti ravninu nasipa naglba n4....~ ,3 : 2 (cl. 156),

Aka oko tocke K' ,opisen:o kruznicu polumjera r =: d; . t.' = ~. . 6 '!!" = 4. m

(na slici je r = 8 mm)) pa iz tocke L postavimo tangentu na t).l kruznicu, dobijemo slojnicu L M kote 0, koja s donje strane omeduje taj nasip. Ravnina toga n~sipa sijeiie se s horizontalnorn cestom u duzini K N, koja je usporedna s duiinom L M jer je K N dio one slojnice ravnine toga nasipa kojoj je kota 6 ffl, Ak~ na kraju spojimo tocke'M iN', dobijemo kotiranu projekGlJ.~ presjecnice ravnine toga nasipa i ravnine nasipa ·po-

, . ·l'Qfene ivicom ceste b,

":ID-,...~~ hi se povecala plasticnost slike 182, nacrtane su joS i projekcije fvili"1t1'avnih slojnita prilaza i nasipnih obronaka kojih se kote razlikuju

~' II I

r

,

192

z3"1 m. Pored toga: dodan je s gornje strane slioi verH,kalni po-preeni pre~ sjek I J nasipa ceste s nacrtima tih dvaju prilaza, a u donjem desnoln ~(, kutu slike nacrtana je jos i kosa projekcija te ceste u mjerilu 1 : 1250) i to za (J. = 120· i n = 1,

162. J{osa upravna cesta nn horizon1alnom tin i ravnoj padini. 'Ra horizontalno tr? kQte 0 i na raunu padinu koj~ je zadana slojnicom kate 0

r:::--==- !-I' ,~ .'

J ,.

.' 6'

7' I!

0' " 6' S'

I'.' I .' 5' I

-' I

3'

I.' ,- -' 0'

r 3'

I'

0

" aI - Ii

0 K

-"',,',,

o A B

SI. 183,

i nagibom n1 = 1 : 4 ima se prouesti kosa upravna cestaJ siroka (; m i 00-:­

giba n 2 = 1 : 10, kojaj je zadan tloeTt u' njezine lijeve ivice i to~ka . .A " .. , . .'."

193

kate 0 na njoj. KonsttuiTajte~.u mjeritu. 1 : 400 sve~ip~~~giba ?:a _= 2 :1. i sve ,~I>~. naIrtbu n. = 1 : l1st 183) I ~-'----"-'~

< Najprij~ -~a~r~jm~ prol;kcije gIavnih slojnica ravnme padine! Buduci da je nagib te ravnine fI..t. = 1 : 4, ,to stalni ra2lIllak izmedu projekcija nje­

zinih glavnih slojnica iznosi i = J.. = 4 m, a tome odgovara na slici ra-n.

zmak od 10 mm. Graduirajmo 1.atim"Ujevu ivicu ceste i nacrtajmo kotiranu , projekciju. cestel Kako je nagib ceste 1t:! = 1 : '10, to je interval te ivice I

i """ ~ = 10 m (na sHei je i = 25 mm), a buduCi da je cesta siroka 6 m/ n,

to je kotirana projekcija h' desne ivice ceste udaljene 11a slici od kotirane,' projekcije a' lijeve ivice za 15 mm. Cesta je, dakle, omedena odozdo hori­zontalnom duiinom A B, a sa strane ivicama a i b.

Sada morarno odrediti presjel:nu crtu i toeke E i F, u kojima@ce~: L~,~s1~ ·'~_Iai:~_"~~·~~e.re1!0a zato treba da n~~~Q_Pfe.sjeC~ ravnin~,,,p~~!A§, ~~

i __ rav:~ (Cl. 140). Projekcije glavnih slojnica tih ravnina kote 2 "'siJeiu -s~ u toNti e', a one kb~e 3 sijeku se u toeki ll'1' Pravac (C~, D'), koji je kotirana projekcija presjecnice tih ravilina, sijece pravce. a' i b' u toe-kama E' i F', koje su kotirane projekcije trazenih tooaka E i F;

Iz kota glavnih slojnica ceste zakljucujemo da donji dio ceste ABE F treba nasu~i, a gornji diD E F G H usjec~ u teren. Ivicom~o~.b) polozit 6emo sada ravninu nasipa nagiba n3.= 2 : 3 (el. 156). Oka tocke r, odnosno J', opiSemo kruznicu polumjera r = .!.... tI =- ~ ·2 m = 3 m' (na

. n3 2 . slid je r = 7,5 mm), pa iz tocke A, od-nosno B, pqstavimo tangentu na, tu kruznicu i dobijemo slojnicu (A, K),' odnosno (B, L) kote 0, koja s donje strane omeduje nasip. Ako spojimo tocku K s tock~m E', a tocku L s toc­kom F', dobijemo kotirane projekcije presjecnidi ravnine padine i rav-nina nasipa polozenih ivieama ceste a i b. \

Jos nam ostaje da po!ozUno ivicama ceste ravnine usjeka ((:1. 158. B) nagiba n. = 1 : 1. Zamislimo da je u tocki M kate 3 ivice a vrh .usjecnog stosca, kojemu je osnovka u horizontalnoj ;avnini kote 5, Tioert osnovke

tog~ stpsca je kruznica koju opisema oko tocke M' polumjerom 1"=! . v= , ".

= 1 . 2 m ==: 2 m (na sHei je r = 5 mm). Ako iz tocke H' postavimo tan-gentu na tu kruznicu, dobijemo kotiranu projekciju slojnice kote 5 ra­vnine usjeka polozene i vicom a. Ona se sijece s projekcijorn glavne slojnice kote 5 ravnine padine u tock\ R', koja s rockom E' odreduje kotiranu pro­jekciju presjecnice E R ,ravnine padi'ne i ravnine usjeka polozene ivicom Q.

Na jednak se nacin odredi kotirana projekcija F'S' presjecnice F S rav­nine padine i ravnine usjeka polozene ivicom b.

Ma slid 183. nacrtane su jOs i kotirane projekdje svih glavnih slojnica ceste, nasipa i usjeka. Toj slid dod ana je jos i kosa projekcija te eeste u mjerilu 1 : 800, i to za a = 60· i n = 1.

Ah3 OJ

Nacrtna geometrlja

194

Gr. 163. Nasip preko uvale. Preko uvale. koju cine dvije ravne padine E i 4>1 treba provesti 5 m siroku horfuontalnu upravnu cestu' kojoj je za~ dana kotirana projekcija osi M N. Nagib nasipd neka je n = 2: 3, a mje. ri!o slike 1 : 500 (51. 184, a i b),

a

b

51. 184. a i b

Ako je n 1 = 1 : 3 nagib rayne padine E, onda ce interval na mjerilu

nagiba p/ te ravrnne biti i l = J.. = 3 m. a na slid bit ce i 1 = 6 mm; ako n, pak ravnina padine «l> ima nagib n2 - 2 : 5, onda ce interval na njezinorn

m' iI n 'b ' b't; , - I 5 25 I' 'b' .' -JeT u agl a P2 1 12 - 11; = T = , m, a na S Iel It ce til' = ;) mm.

Te se dvije raYne padi~e presijecaju u pravcu A B, kOjega je kotirana projekcija pravac AI B 1

,

Iz kotiranih projekcija krajnjih tocaka osi ceste M N zakljucujemo da ce cesta hiti horizontalna i da ce imati kotu 17. Kotirane projekcije

195

, '

. ri i b' njezinih ivica a i b udaljene su od M' N' po 2,5 m, a na slici po 5 mm. Trapez C' D' E' F' je kotjrana projekcijA. trapeza CD E F, koji omeduje tu cestu.' "

Ivicama ceste a i b polozimo sada ravnine nasipa nagiba 2 : 3. Mjerila nagiba Pa' i p/ tih ravnina stoje okomito na a' i b', a interval na nj-ima

bit ce ia'= ~ == -} = 1.5 m, sio u mjerilu slike iznos~ 3 mm, Odr~dimo zatim lrotirane projekcije presjecnica ravnina nasipnih obronaka s ravnim padinama E i <P, tj. pravce C' G', D' G', F' H' i E' H', BUduci da opCe"nito tri ravnine imaju sarno jednu zajednicku tocku, to se u tocki G', odnosno H'. moraju presijecati kotirane projekcije triju presjecnica ravnimi pa­dinA E i cb i ravnine nasipa. Trokut CD G omeduje lijevi. a trokut FE H desni nasipni obronak ceste.

Da bismo stekli sto jasniju prostomu predodzbu n~crtane ceste, pre­sijecimo ravnine padine E i <Il, cestu i njezine nasipne obronke vertikalnom ravninom N kojoj je trag pravac n. Pravac n povuc-en je okomito na M' N', i to toCkom I' u kOjoj se sijeku projekcije glavnih slojnica kote 13 ravnina E i <P. Presjek neke ceste i njezinih nasipnih, odnosno llsjecpjh obronaka, vertikalnom ravnmom koja je okomita na -osC~esie .. zove···se"p·'oPf e cni p r o~ i 1.: .<: .. ~ii5~~~ popre~iif·proJifna§e ceste blt~e' ;~ka!zlomljena''''crfa

""na"j~oJ6f?u-tocke J, K, L, I, 0, P i R, a kotirana projek.cija toga poprecnog profiIa nalazi se na pravcu n.

Buduci da je iz kotirane projekcije toga porecnog profila tesko uociti njegov obUk, mi cemo taj profil nacrtati u ravnini slike, ito .. ovako: 1z slike 184 __ a prenijet cerna na 51. 184. b duzinu J' R' sa svim ouim toe.kama K') L', 1', 0' i p' koje su na njoj istaknute. Pravac J'R' ""'" Sl.\} na. s1. 184. b neli:8 nam predocuje glavnu slojrJcu kote 10 vertikalne ravnine N poprec­'nog profila. U svakoj istaknutoj tocki pravca S10 podici cerno sad<l okomicu na . taj pravae: i nanijet cerno na tu okomi~u duzinu koja nam predoc~je udaljenost~·u prostoru doticne tocke od glavne slojnice SII). Ta se duzina prenese iznad ili ispod pnivca S1O, prema tome da Ii je doticna tocka u prostofu iznad ih ispod glavne slojnice SIC' Buduci da je npi:-. tocka 13m iznad 810, a tocka R 7 m~ mera na s1. 184. b biti Y I = 6 mm, a R'R = 14 mm. Pravac J' I, odnosno I Rt prikazuje nam presjecnicu vertikalne ravni­ne N poprecnog profila s ravnom padinom <1>, odnosno E. Normala na S10

povucena tockom K' sjeci ce pravac J' I u tocki K, a normala povucena tockom P' sJeci ce pravac 'I R u toeki p, Rako su toc-ke L i 0 na ivicama ceste, to su one 7 m iznad glavne slojnice $10. pa treba da bude L'L = = ,0' 6 = 14 mm. Duzina K L, odnosno PO, prikazuje nam presjecnicu

vertikalne ravnine N poprecnog profila s ravnlnom lijevog nasipnog obronltl;l ceste, odnosno desnog; dok nam duzina L 0 pdJt.azuje prestecnicu

I'

196

ravnine N s horizontalnom ravninom ceste. ~qte 17. Iz nekoli~",? ~vih. rpe­au soboIn usporednih, JX>precnih profila pre-b) uvale mwe se steei jasna predodiba 0 mnozini materijala koji treba ~~suti; ~ po rome utvrqi'ti ops~g radova na nasipu i izracunati njihovu cijenu." ' , . ' "

~

Gr. 164. Planiranje terena na l'avnoj padini. Na .raunoj padini E nagiba ~ = 1 : 3,5, kajar i.e zadano mjerilo nagiba pI, trequ izgraditi vravokutni horizontalni plato (10 Tn X 9 m) kate 30, kojemu je zadana kotiratul pro~ jekcija A' B' C'D', ako je nagib nasipa n t = 2 : 3, usjeka na = 4: 5, a mje­rito 'like je J : 250 (51. 185).

- - ------::-.::.-=.'"

- ~:...------

St. 185.

Buduci da horizontalni plato iroa kotu 30, to nam glavna slojnica padineEkote30 sijeceplato u presjecnoj crti iii neutralnoj 1 i n i j i E F. Dio platoa E F B A koji je ispred te erte tteba da bude nasut, dok onaj dio E F CD koji je ua te erte mora se usjeci u nagnuto tlo.

.Ivicama platoa A B, B F i A E postavimo najprije ravnine nasipa naglba n2 = 2: 3. Mjerila nagiba tih ravnina BU Pi', Pt' i PS' (P1' .LA' B',

197

Pt.' .1 Bf Y, Pa' J.. A' E'), a intervali na njima bit ce ~ = ~ "'" + = 1,5 m,

dok ce na sUd biti i, = 1,5 X 4 mm = 6 mm jer je 4 mm na slid jednako . 1 m u prirodi za mjerilo 1 : 250. Projekcije glavnih slojnlea tih ravillna usporedne su s projekcijama iviea platoa jer su te iviee horizontalrie i imaju kotu 3,0. ~e odrede kotirane projekcije presjecnidi ravt:e pa­dine E 5 ravninama n~ipa1 a to su pravci (H', G/), (G', F') i (H', E'); zatim kotirane projekcije presjecnidi ravnina nasipa medu sobom, a t'o su pravci (B', G') i (A', H'). BuduCi da su ravnine nasipa istoga nagiba, moraju pravci (B', G') i (A', H') raspolavljati one kutove sto ih cine kotirane projekcije glavnih slQjniea istih kota ravnina nasipa (cl. 142), Tockom G', kao i too­korn H', u kojoj se medu sobom sijeku projekcije presjecnica ravne padine E s ravninama nasipa, mora prolaziti i projekcija presjecnice ravnina na­sipa jer se opcenito tri ravnine sijeku u jednoj tocki (c1. 144). Nasipni obronei bit ce omedeni: desni trokutom B F G, lijevi trokutom A E H, a prednja cetverokutom A B G H.

Postavimo zatim ivicama platoa CD, DEi Fe ravnine usjeka nagiba n3 = 4 : 5. Mjerila nagiba tih ravnina su P.', Pr/ ips' (P • .l C'D', Ps' .1 D' E',

P6' J_ F' C'), a intervali na njima hit ce is = ~ """ ~ = 1,25 m, a na slici n. 4

bit ce ia = 1,25 X 4 mm = 5 mm. Kao i kod ravnina nasipa, hit ce projek­cije glavnih sIojnica ravnina usjeka usporedne s projekcijama ivicaplatoa. Odredimo na kraju pravce (K', L'), (L', E') i (Y, K'), koji su kotirane pro­jekcije presjecniea ravne padine"E i ravnina usjeka, kao i pravce (C, K:) i (D', L j, koji su kotirane projekcije presjecnica ravnina usjeka medu sobom. Ta tri pravea moraju prolaziti tuckom K'1 a tri tockom L'. Usj~ne obronke omeduju: trokut C F K desnog, DEL lijevog. a cetve:rokut D C K L straznjeg.

165. Vjeibe. _ 1. Na slid 186, zadnne su u mjerilu 1: 1000 ravna padIna E (Pl', nl -- 1 : 5). i kotirana projekcija M'N' os1 horirontalne upravne ceste sirok"e 8 m. Nacrlajte tu cestu u mjerilu 1 : 400 ako je nagib nasipa n,. = 1 : 2, usjekA n~ = 2: 3!

Sl. 186, 81. 187.

ID8

2. U mjerilu 1 : 1000 na slid 187 zadane su rayne padine E (p'1'. nt - 1 : 3) i ¢I (Pl', nl "'" 1 : 2,5). Preko uvale koju ~fne te padine trcba provesti 5 m sireku upr-avou eestu kojoj je zadana kotirana projekcljei osl MN. Nacrtajte tu cestu U mjerilu 1; 400 aka je nagib naslpa n, = 2. : 31 'l'ockom u kOjOj se sijeku slojnice kote 12 padinA E i ~ poloiite vertikalnu ravninu N poprecnog proma 1 nacrtajte taj profill

t, f

Sf. 188. Sf. 189.

3. Na slici 188. zadane su u mjerllu 1: 1000 favna padine E (pt' n = 1 : 4,5)

1 kotirana projekcija A'B'C'D' pravokutnog horizontalnog platoa (12 mXa m) kote 40. Nacrtajte taj plato u mjerilu 1: 400 aka je nagib nasipa nt "'" 2; 5, a usjeka n3 = 2 : 3.

4, U mjerilu 1 : 100 ns sUet 189. zadani su ravns padin2. E (Pt', nt = 1 : 5) 1

kotirana projekcija M'N' osi upravne ceste siroke 8 m. Nacl'tajte tu cestu u mjerilu 1 ;400 ako je nagib nasipfi. n: = 1 : 2, a usjekA n:'j =: 2 : 31

31. Topografske plohe i ceste na njima

Gr. 166. Prikazivanje topografskih ploha. Kad treba projektirati neki nasip, iIi usjek ili cestu, potrebno je predociti slikam pavrsinu- tla onaga mjesta na kojemu se to ima izgraditi. Povrsina tla abiena nije ravna, vee neka nepravilna obla ploha koju zovemo topografskom ploh~eTenom. Manje dijelove terena predocujemo slilrom taka da pojedine tocke terena normalno projiciramo na osnovnu. horizontalnu ravninu ITo, koju zami­sljamo da se proteze ispod terena, ~ to ohitno u razini morn, pa liZ tlocrte pojedinih toe aka terena stavljamo njihove kate. Manje dijelove terena predocujemo, dakIe, kotiranom projekcijom.

Da hi kotirana projekcija nekog terena magia pobuditi 'u nasoj svijesti sto jasniju predodzhu toga terena l zamisl1t cemo najprije da je teren pre­sijeeen horizontalnim ravninama koje su jednako udaljene jedna od druge. Te ravnine sijeku teren u nepravilnim krivuljama, koje se 20VU slojnice ili nivQ-Unije Slika 190. a prikazuje u kosoj projekciji neki brezuljak i s}ojnice na njemu, koje su jedna od druge udaljene po 10 m. Svaka sIoj­nica ozna_cena je brojem, koji je njezina kota. Ako sada svaku tu slojnicu

199

normalno proJlclramo na osnovnu horizontalnu ravninu TID kote 0, koju smatramo ravninom slike, dobit cerno sliku 190. b. Buduci da Sli slojnice usporedne s ravninom sIike, to je normalna projekcija iIi tlocrt svtlke slojnke krivuIja kOja je sukladl1a sa slojnieom na terenu. Uz t.Ioert svake

a b

f:fOOOt)

S1. 190_ a i b

~!2.iP~staYl~1p.~<2._23~~.~~!J?~~LY_t;;_S_S.~_I?o kotu koja I.1 .. ~"!: _p~~mz,llje koliko su sve tocke dotiene slojnice udaIjene--o-d- osnovne ho~izontaJ;e ravnine ITo. Na narednim slikama ispustat cerno zbog toga i oznaku tlo­crta na kotiranim projekcijama slojnica svake ravnine.

Budu6i da su dijelovi terena izmedu s]ojnica neodtedeni, to ce teren biti svojom kotiranom projekc1jom utoliko .... tocnije odreden ukoliko c-e vertikalni razmak tih slojnica biU manji. Da bi dio terena izmedu dviju :susjednih slojnica bio barem priblizno odreden, uzima se da SE' na tome terenu naIaze~ tocke ,'wake duz5ne koja svoje dvije krajnje"'tocke iroa na susjednim slojnicama, a sijeee te slojniee pod kutom koji je sto bliii pravom kutu.

Kad se slojnice nalaze vrh osnO'Vne h-orizontalne ravnil:Ie ITo, zo-verno ih yisinke stgjnice ili tZO u se a kad su one ispOd raVhine ITo, zovemo ih du.binske slgjnice i1~. Slojniee terena, kao i slojnice neke ravnine koj-lma su kote clJeH brojevi i nula zovu se gla1Jne slojnifJe. .

Kako se 1z slllie neke topografske plohe moze steei prostorna pre­dodzba 0 njoj, objasnit·cemo pomocll s1. 191. Ta sHka prikazuje u mjerilu 1 : 200.000 otok Vis i ' pet otoeica, kaji Iei.e uz njegovu jugolstocnu obalu. Razina mora isjece taj otok u krivulji koja je U osnovnoj horizontalnoj ravnini no. Ta je krivuJ..ja kontura sUite otoka. Kad bi se razina mora digla ia 1'00 m, ona hi sjekla otok u krivulji kojoj hi sve tocke bile 100 m iznad osnovne horiiontalne ravnine ITo. TIoert te krivulje nn ravnini ITo' koji je sukladan s krivuljo~ u prostoru, je ons. krivulja fia slici otoka fia

KOjOj je kola 100. Ako §jJjkorn olovke obidemo tu krivulju, opazit cemo, da je ona zatvorena krivulja. Ali pored nje oznaceno je na slid kotom 100 .los 5 malih nepravilnih zatvorenih krivulja

l i to 4 uz jugoistocnu obalu

otoka, a jedna na z:apadu viSke luke. 1z toga zakljucujemo da hi od otoka Visa nastao jedan manji otok i 5 otocica kad bi se razoina mora digla za 100 m. Kad bi se razina mora podigla za jos 100 m, ona bi sjek1a laj otok u krivulji kojoj je tlocr! na slici otoka oznacen kotom 200. itd.

-'

/ /,,-~ .. *"/

, -'

Sl. 191.

Promat.rajuci tok i razmjestaj tlocrta glavnih slojnica toga otoka, ko­jima se kote razIikuju za 100 m J mi mozemo steei pribliZnu prostornu pre­dodzbu 0 obliku terena otoka. Buduci da su na istocnoj strani komiSke luke izohipse jedna do druge, to znaci da se ovdje teren naglo dize; a kako su dvije izohipse oznacene kotom 400, a dvije kotom 500, zakljucu­jemo da je na istoku komiSke luke brijeg s dva vrha. od kojih je svaki viSi od 500 m .. Promatrajuci tok slojnica oko viske luke ina ju.zllom dijelu o'boka, dolazimo do zakljucka da teren oko te luke nije stnn kao oko ko­miSke, a da jugoistocru dio otoka nalici na visoravan kojoj kote ~ariraju ~lOOm~WOm. .

Na toj slici yidimo jos i dvije crtkane krivulje na kojima &u kote (-100). To su dije[ovi projekcije one izobate koja je 100 m ispod razine mora.

------:>- Slika terena na kojoj su nacrtane sahlO projekcije njegovih izohipsa ·zove se hipsografska karta' a kako na njoj nisu oznaceni gradovi, sela. ceste, rijeke- itd., ona/ se- zove ~Hjepa hipsogra!ska kana.

Kad je zadana kotirana proJekcija nekog terena, moze se lako napra­viti iz kartona njegov ~ tj. njegov plasticni prikaz. Da bismo naCinili reljef brezuljka koji je zadan slikom 190.0, nacriat Cetn'O najprije na ne-

201

kom kartonu svaku -njegovu slojnicu posebno, a zatim cerno izrezati taj karton po lim s]ojnicama, Ie na taj nacin dobiti toliko kartonskih ploCica koliko na slici ima slojnica Debljina kartona mora biti jednaka visinskoj razlicl susjednih slojnica u mjerilu slike. U nasem primjeru karton mora biti debeo 1 mm jer je mjerilo slike 1 : 10000, a visinske razlike slojnica iznos~Sada se te kartonske plocice nalijepe jedna na drugu onim redom i u takvoro medusobnom polozaju kako je to odredeno slikom 190. b. Na taj se nacin dobije neka stepenicasta kartonska tvorevina koju na kraju treba obloziti gipsom ili kitom· da hi se dobHa neka nepravilna glatka .obla ploha, kOja se zove<Teljef toga brezuljka. Kad je visina reljefs

. veorna malena U omjeru s njegovom duljinom i sirinom, mogu se pri pra­vljenju takvog reljefa uzimati lrote njegovih slojnica 5, iIi 10, Hi 20 ... puta vece nego sto hi 5e one morale uzeti prema mjerilu reljefa. Tako dobiven~ reljef zove se .E0viseni reljef terena.

J'

......... -------

1('

I'

(:(00

Sl. 192.

Gr. 167. Stacioniranje tocke i interpoliranje slojnice. A. Stacionirati neku toCklf terella znaCi~ odrediti kotu te tocke kad je zadana njezina projekcija na kotiranoj projekciji terel)-a.

Da bismo odredili kotu tocke T, kojoj je na s1. 192. zadana projek­clja T', nacrtat cerna kroz T' dutinu A' B', koja sijece projekcije susjednih slojnica 33 i 34 pod kutom kojlje sio bliZi pravom kutu. Duz-ina ABu prostoru blt ce prcma pretpostavci iz cl. 166. na terenu, a tocka T na njoj. Odreqimo sada pravu velicinu A' Bo duzine A B i na njoj tocku To_ Buduci da visinska razlika tocaka A i B iznosi 1 m, mora kateta B~ Bo u pravo­kutnom trokutu A' B' BIJ biti duga 10 mm jer je mjerilo slike 1 : 100. Du'--

1'_

202

Zina T' T (I duga je na slid _6, mtrh pa ce njoj u prostoru odgovarati duzina od,Og. a zato ce kota tocke T biti 33 m + 0,6 m = 33,6 m_

Iz siicnosti trokuta AfT'To i A'B'Bo izlazi da je T'To:B'Bo=A'T' : A'B'. Prema tome moiemo kotu tocke C kojoj je zadana projekcija C' odrediti na kraci naNn ovalro: Postavimo tockom C'_D:~I!!l!:~~_ taka da projek~ cije slojnica 32 i 33 odsijecaju na njemu neku duzinu djeljivu sa 10. Buduc; cta se toCka C' poklapa s cetvrtim- djeliStem duiine kojoj su kraj­nje tocke 1 i 2, njezina ce kota biti 32 m + 0,4 m = 3214 m.

/B)- Interpo!irati neku §lojni£l' zadane kote znaCi: nacrtati pr9jekc~ju te '¥nice u zadanoj kotiranoj projekciji terena. Tako je ·na slid 192. in­terpolirana slojnica kate 31,5 m, Tacke na 'projekciji te slojnice ffi'Ozt:mo odrediti na ovaj nacin: Jzmedu projekcija slojnica 31 i 32 umetnemo ne­koliko duzina D' E', r G',· H'1', J' K' itd., koje ih.sijeku pod kutom kojiJ.~ s~o bU_~i .!lravom kutu: PoloviSta tih duzina su -tocke na projekciji inter­polirane slojnice 31,5.

Mogu se t-Dcke na projekciji te interpolirane slojnice odrediti i pri·· mjenom postupka izlozenog na kraju prethodne tocke, Ako pomicemo neko mjerilo tako da krajnje tocke razmaka od njegovih 10 jedinica staino klizu po dvjema susjednim glavnim slojnicama, onda ce po!oviste toga razmaka hiti neprestano na projekciji interpolirane slojnice kote 31,5 m.

St. 193. st. 194,

~ Presjek topografske plohe ravninom iii drugom plohom.n ~e presjeenicu topogrltfske plohe <l> i ravnine E! .TopografSka~ha <flo zadana je na 51. 193. kotiranim projekcijama nekoliko njezinlli glavnih slojniea kojirua visinske razlike iznose 5 ffl, a ravnina E odredena je svojim mjerilom nagiba p'. Na trliZenoj krivulji k, u kojoj ravnina E sijece topografsku plohu cP, bit ce sve ·one tocke u kojima se sijeku glavne sloj­nice istih kota ravnine i plohe, Ako, dakle, odredimo sva sjecista koti-

203

ranih projekcija glavnih slojnica istih kota ravnine·j topografske plohe, pa zatim ta sjeci~~& spojimo krivuljom, dobit cemo kotiranu projekciju k' presjecnice k topografske plohe ¢ i ravnine E. Pornocuinterpoliranih sloj­n_~'c ,5 tocnije je odreden onaj diD krivulje k' koji je iznad slojnice 50.

. B - Nacrtajte p1'esjecnicu dviju. topografskih p!oha!' Topografske pI e ~l i !Pt zadane su na s1. 194. kotiranirn projekcijama nekoUka nji­havih glavnih slojnica kojirna visinske l'azlike iznose 10 m. Presjecnica tih dVlju ploha bit ce neka prostorna krivulja k na kojoj ce se nalaziti sve tocke u kojima ce se sjeci glavne slojnice istih kota tih dviju plaha. Kotiranu projekciju k' te krivulje odredimo prema tome taka da oznacimo sjecista kotiranih projekcija glavnih s10jnica istih kota tih ploha, a zatim ~~a spojimo k.rivuljom k'.

~reSjek tQPografskc pIohe vertikalnom ravninom. Na slici.195. prikazan je rt poluotoka u mjerilu 1 : 5000. Osnovna horizontalna ravnina

- -----------4-{

~~ I I

SL 195.

fI, za tu sliku je opel razina-mora, a meausobna udaljeno.t ravnina glav­nih slojnica iznosi 10 m. Da bisrno stekli st~ jasniju prostornu predodzbu toga rta, presje¢i cerno ga vertikalnom ravninom N, koj-oj je trag pravac n,

201

Taj se presjek zov~ profit teTe~, a krivulja koja omeduje profit zove se· kL;VUJ.jJL=fila.

Krivuija proma odredena je svojom koti.ranom projekcijom koja je na pravcu n, jer svaka tocKa u kojoj pravac n' sijece projekciJu neke glavne sIojnice jest kotirana projekcija one tocke krivulje profila k~ja ima kotu te slojnice. Tako je, na primjer, tocka B' kotirana projekcija tocke B, koja je na krivulji pro fila, a ima kotu 20.

Da bismo nacrtali krivulju protila, moramo najpdje povlici nekoliko ·...medu sobmn usporednih pravaca koji su usporedni s pravcem n, te je

jedan-"oo drugoga udaljen za 10 m (na sHei ta udaljenost iznosi 2 mm). Ti pravCi predocuju presjecnice vertikalne ravnine N s horizontalnirn ra­vninama glavnih slojnica kojima su kate 0, 10, 20, 30 itd. Na sliCi je sarno svaka druga presjecnica oznacena svojom kotom. Kroz svaku tocku u kOjoj pt"avac n sijece projekciju jedne od glavnih slojnica povucimo sada okornic,u na pravac n do one usporednice na kojoj je kota te glavne slojnice. Na taj naCin nab cerno nekoliko tocaka A, B, C, D, ... , a kad njih spojimo, dobit cerno krivulju profila.

Na tom su rtu karakteristicne tocke E, G i F. Tocke E i G zcvu se, J,2,rhunci jer je svaka od njih visa od svih okolnih tocaka terena; a oocka F, u_5~i.~i.~l'1ic~.1.5 presileea s_~.sebe, zove se~i~dlp. teTena, jer teren ima U okolini te tocke oblik sedla.

Kad je visina profila veoma malena U omjeru s njegovom duljinom, mogu se pri crtanju profila uzimati visine tocaka na njemu 5, ili 10 iIi 20, .. puta veee nego sto bismo jh morali uzeti prema mjerilu slike. Kri­vulja koja na taka nacrtanoj slici umeauje profil nije prava profilna kri­vulja, vee je s njom perspektivno afina krlvulja, a taka naerlani profil zove< se PQviseni. p1"'ofH terenu.

r G'~"Uznl prohI ceste} Po terentL kOji je zadan st 196. a, ~ mjerHu. Y: 5000; ide cesta preko sera A i J; neka se nacrta uzduzni pTofiC te ceste ad sel.a A do sela J! Os ceste je neka kriva erta k, a krivulja k' neka bude njezina kotirana projekcija. Na osi ceste nalaze se tocke A, B, ... i J. kojima su kate zadane sl1korn, a kotirane projekcije tih tocaka A', B', ... i J' su na krivulji k'. Ako svakom toCkom krivulje k zamislimo po jedan vertikalni pravac, onda ce svi ti pra vci biti izvodnice neke valjkaste plohe kojoj ce krivulja k' biti osnovna k~ivulja. Svaka ce horizontalna rfwnina sjeCi tu valjkastu plohu u krivulji koja ce bin sukhldna s krivuljom k'. Zrake projiciranja totaka A, B •... i J hit ce takoder izvodnice te valjkaste plohe, a os ceste k bit ce presjecnica terena i te valjkaste plohe. Kad plaM te valjkaste plohe razmotamo na ravninu slike zajedno s krivuljom k, do­bijemo na mrezi toga plasta krivulju kOI koja 5e zove... uzduzni protH c~

205

Na slid 196. b nacrtan je taj uzduzni profil ceste. Osnovna krivulja k' ~~be prelN:! na mreii u pravac k'~ a izvodnice te plohe bit ce na mrezi okomlte na ~me pravcu. Du.zine 0' Bo', Bo' Co •. ,. i 10' Jo' na pravcu kr/ moraju biti jednake odgovarajucim 'lukovima A' B'; B' e', ....

1 I' J' krivulje k' na s1. 196. a. DuZine Ao' A o, Bo' B o' •.. i Jo' Jo' koje su okomite na pravcu ko', predocuju u mjerilu slike udaljenosti istaknutih tocaka osi ceste od osnovne horizontalne ravnine DOl a krivulja koja je odredena tockama A o, B(J, ... i J o je uzduzni profil ceste. Pomocll inter­polirane slojnice 55 (s1. 196. a) i tocaka FiG ceste, koje su na toj slojnici, tocnije je na s1. 196. b odredena kdvulja ko iznad sl'Ojnice 50. a izmedu tocaka E. i H".

Kad je visina UZduzllOg profila ceste malena u omjeru s duljino-m ceste, mogu se pri crtanju toga profila duiine At' Au, Bo' Bo' .. i Jo' Jo uzimati 5, iIi 10, ill 20 ... puta vece nego sto hi ih trebalo uzeti po mjerilu slike. Uzduzni profil koj1 se na taj nacin dobije nije pravi ltzduzni profil, vee je njemu perspektivno afin, a zove se poviseni uzduini profit ceste.

~T'I ~!l:I Horizontalna zakrivljona costa na zadnnom terenu. T~Tenom 0] dan kotiranim prajekcijama glavnih slojnica ima se provesti ho-

rizontalna zakriv[jena cestuI siroka 6 ffll u visini ad 20 m1 kojoj je zadan ttocrt osi M' N' P'. Konstruirajte u mjerilu 1 : 400 sve nasipe nagiba n 1 =

-=.5' 7 i sve usjeke nagib~ nj! = 1-: 1 (s1. 197)! ~ . ".'-"~

I I , j:

I I

I i-!

I i i I

it

i

I

I I Ii J: ,

206

Najprije nacrtajmo kotirane projekoije ivica ceste! Kotir.(lna projek_ cija osi ceste je duzina od tocke M' do toeke N', a u toj tocki on prelazi tangeneijalno u luk kruznice kojoj je polumjer r = 27 m; zoog toga ie

"

" " d' h

B,

" F'

-, 8:,07, i

, ' , . --:- ---;-M' ~

(to ' ~ '--

SI. 197.

kotirana projekcija prednje ivice ceste duzina A' G', kOja u tocki C' pre­lazi tangenC'ijalno u 1uk kruznice polumjera Tl = 24 m J dok je kotirana projekcija straznje ivice ceste duzina B'D'I koja u tocki D' prelazi tan­gencijalno u luk kruznice polumjera Tl! = 30 m. Buduci da je cesta hori­zontalna u visini od 20 m, sijeku se kotirane projekcije ivica ceste s koti­ranom projekcijom glavne slojnice kote 20 u tockama G' i H', kOje su kotirane projekcije onih tocaka G i H u kojima ivice ceste ulaze u teren.

Usporedujuci kotu ceste s kotama slojnica terena, zakljucujemo da desni dio ceste GeE F D H treba nasuti~ a Ujevi A G H B usjeCi u teren',

Polozimo sada prednjom ivicom ceste GeE, kao i straznjom ivicom H D F, nasipni obronak koji je nagiba n 1 = 5 : 7 ! Ploha nasipnog obroni}a uz ivicu G C, odnosno uz ivicu H D, ravna je. pa prelaii zatim uz ivicu C E, odnosno D F, u krivu plohuJwja je dio pla;;ta rotacionog-,,~. Stalni razmak izmedu projekcija glavnih slo]rllca toga o6ronka mora izno-

sUi i = -~ = -=-,' m, a to je u mjerilu slike 3,5 mm. Kotirane projekcije tih n, slojnica su pravci usporedni s G' C' iIi H'D', koji tangencijalno prelaze' u

lukove koncentricnih kruznica kojima se polumjeri razl1kuju za f m, a

na slid za 3,5 mm. Projekcije glavnih slojnica terena i nasipnih obronaka,

207

koje su jednakih kotal sijeku se u tockama krivulja a' i br, koje su koti­

rane projekcije krivulja a i h, sto omeduju s donje strane te nasipne ob.-ouke.

Jos nam ostaje da poloz-imo ivicama ceste A G i B H rav'nine usjeka kojima je nagib n2 = 1 : 1. Stalni razmak izmedu projekcija glavnih sloj-

nica tih raynina iznosi i = ~ = 1 mJ a na slici 2,5 mm. Ako na kraju

odredimo sjeciSta projekcija glavnih slojruca terena i ravnina usjeka koje Sll jednakih .kota, 'dobit cerno tocke krivulja c' i d' koje su kotirane pro­jekcije onih krivulja c i d sto omeduju usjecne obronke s gornje strane.

GT. 172. Kosa upravna cesta na zadanom terenu. Terenom ko-ji je za­dan kotiranim projekcilama glavnih sZojnica ima se provesti kosa upravna cesta, siroka 5 m, nagiba »1 = 1: 10, kojoj je zadana kotirana projekcija osi ,M N: Konstruirajte u mjerilu 1 : 500 sve nasipe nagiba n = 2 : 3 i sve "sjeke nagiba n, =;,1 : 1 (sl. 198) !

Sl, 198.

A. - Ivlce ceste su usporedne duiine A B i CD kojima su kotirane projekcije duZine A# B' i C' [/, a koje su udaljene od osi M' N' za 2,5 m (pa slici za 5 mm). Teren koji je predoten slikom je sedlast jer njegova slojnica. kote 51 presijeca samu sebe u toeki S. Iz kota slojnica ceste i slojnica terena zakljucujemo da je cesta u sredini slike iznad terena, pa zbog toga taj dio ceste treba- nasuti, zatim da je na desnom i lijevom kraju ,slike cesta ispod tere-nf!, pa te. dijelove ceste treba usjeci u teren,

Polozimo sad a srednjim dijelom ivice CD te ce-ste ravninu nasipa nagiba ~ = 2 : 3 pomocu nasipnog stosea kojemu je vrh u to-eki I (53),

a osnovka u horizontalnoj ravnini kote 52 (cl. 156). Tlocrt osnovke toga

. IT'

!.,

20.8

, I J stosca je krug kojemu je tocka I sreciiSte, a polumjer T = ;;; = T = 1,5-m

(na slid je T ~ 3 mm). Tangenta kruga koja ide tockom J' je kotirap.a projekcija one slojnice ravnine nasipa kojoj'je kota; 52. Povucemo li·zatirn pravce koji su usporedni s tom tangentom, a idu, tocka'ma I'~ K' i L', dobit cerno kotirane projekcije glavnih slojnica te ravnine nasipa kojima su kote 53, 51 i 50. Kad odredimo tocke u kojima se sijeku projekcije glavnih slojnica terena i ravnine toga nasipa koje su jednaltih kota, dobit cerno tocke krivulje a', koja je kotirana projekcija krivulje a sto-s donje strane omeduje taj nasipni Qbronak. Na jednak. se naem odredi kotirana pro-

.. jekciJu b' krivulje b, koja omeduje s donje strane nasipni obronak polozen srednjim dijelom ivice A B. '

Zamislhno sada da se u toeki L (50) ivice CD te ceste nalazi vrh usjecnog stosca, nagiba na = 1 : I, kojemll je osnovka II hodzontalnoj rav­nim kote 51. Tioert osnovke toga stosca omeduje kruznica koju cerno

opisati -~ko. tock€ L' polumjerom r = i. = 1 m (na 'slici je r = 2 mm). ; IIJ

Ako iz tocke K' postavimo tangentu na tu' kruznicu, dobit cemo kotiranu projekdju glavne slojnice kote 51 ravnine usjeka polozene Hjevim dijelom ivice C D ceste. Povucemo li zatim tockama LI, J', I' itd. pravce usporedne s tom tangentom, dohit cerno kotirane projekcije glavnih slojnica 'te ravnine usjeka. One se sljeku s projekcijama slojnica terena jednakih koLa u tockama krivuIje e l

, koja je kotirana projekcija krivulje c sto orne-duje s gornje strane taj usjecni obronak. .

Na jednak se nacin nadu krivulje d l, e' i l' koje su kotirane projek­

dje onih krivulja d, e i f koje omeduju osta1a tri usjeena obronka. Tockom II (54) ivice CD ceste ide slojnica terena 54, zbog toga u

tocki H prestaje nasipni obronak, a pacinje usjecni obronak. Drugu toeku F te iv:ice ceste, u kojoj se sastaju meda a nasipnog i meda c usjecnog abroMa, odredit cemo tako da n.ademo tocku R/~ u kojoj Se sijece pro:.. jekcija terenske slojnice kote 51 s projekcijom slojnise ravnine usjeka iste kate. Kad krivulju c' produzimQ do tocke R', ona ce presjeci pravac C'D' u tacki F', koja je projekcija trazene tocke F.

Na jednak se nacin mogu naCi projekcije E' i G' tocaka E i G u kOjima se nasipni obronak polozen ivicom ceste A B sastaje s usjecnim obroncima polozenim istom ivicom.

B. - Dosad 8mb pojedine tocke kotirane projekcije one krivulJe koja omeduje usjecni Qbronak s njegove gornje strane, odnosno nasipni obro­nak s njegove donje strane, odredivali pomocu sjecista projekcij§. glavnih slojnica terena i ravnine u-sjeka, odnosno nasipa, istlh kota. Ali pojedine to~ke kotiranih projekcija tih krivulja mozemo odrediti i na drugi naNn: pomocu poprecnih projilnih ravnina.

209

Profilna ravnina N1, koju polozimo. npr. glavnom slojnicom ceste kote 51, sijece teren u krivulji k, (81. 198). Prevalimo Ii tu profilnu rav­mnu oko glavne slojnice ceste kote 51 u horizontalnu ravmnu kate 51, dobit cemo krivulju 1<,' (cJ. 169). Konstruiramo Ii zatim prevaljeni profll usjeka s nagibom 1: 1, koji lezi u profilnoj ravnini N I' on ce presjeei krivulju k1" u tockama T' i U", koje su prevaljene toCke T i U InedaSnjih kdvulja e i d usjecnih obronaka. Okomica spustena s toeke '["', odnosno 5 toeke uo, na pravac k t' sijeee taj pravac u tocki T', odnosno u tocki V'. Toeka T lezi na kdvulji c', a toeka U' na krivulji d

/.

Na jednak bismo naNn mogli odrediti kotiranu projekciju one tocke krivulje c ili krivulje d koja bi se nalazila u onoj profilnoj ravnini koju bismo poloZili glavnom slojnicom ceste kote 50.

Na slid 198. polo-zena je jos i profilna ravnina Nt glavnom slojnicom ceste kote 53. Ona sijeee teren u krivulji Is. Prevalimo li tu profilnu rav­ninu oko glavne slojnice ceste kote 53 u horizontalnu ·ravninu kote 53, dobit cerno krlvulju k2~ i prevaljeni profil nasipa s nagibom 2 : 3. Oni se sijeku u toCkama yo i 2", a nozista okomidi spustenih s tih tocaka na pra­vae kl2 su tocke V' i Z'. Toeka V' je na krivulji a', a toeka Z' na krivulji b'.

Na jednak bismo nacin mogli odrediti kotirane projekcije dn.:.gih to­caka krivulja a i b pomoeu drugih profilnih ravnina.

GT. 173. Odvodni jarci kod usjeka i nasipa. A. - Odvodni jarci kod usjeka. Dosad smo ravnine usjecnih obronaka polaga1i. ivicama ceste Hi platoa, ali se u praksi tako ne radi. Za kiSnih dana voda ~1 se s terena slijevala na usjeeni obronak. a S obronka na cestu. pa hI tekla cestom i unistavala je. Da se to izbjegne. iskopa se s obje strane ceste, a na dnu svakog usjeenog obronka, po jedan 0 d v 0 d n i jar a k (k a­n a 1) u kojemu se voda skuplja i kojim ona teee uz cestu. Na slid 199. prika~an je u kotiranoj prO'jekciji, U mjerilu 1 : 150, uski dio hQrizontalne ceste kojoj su ivice a i b, a lroja je siroka 5 m, i usjeeena je u terenu. Na toj slici nacrtan je j05 i nacrt presjeka te ceste vertikalnom ravninom N koja je okornita na osi ceste. a njezin je prvi trag pravac n. Profil odvodnog jarka mote bili raznolik ier dubina iarka i nagib njegovih strana ovise 0 vrsl:i terena na kojemu se gradi cesta, 0 mnozini vode koja se u jarak slijeva i 0 materijalu od kojega se on gradi. Na 81. 199. uzeli smO da je dubina jaI'ka i sirina njegovog dna 0,5 m, a naglb nJegoVlh strana da je 1 : 1. Usjecne obronke koje smO dosa~ polagali d~rektn~ ivicama ceste a i b, a koji su u nacrtu poprecnog presJeka cest~ prlkazan~ ertkanim pravcima, moramo sada poloZiti pravcima c i d. TI su pravc1

usporedni s ivieama ceste, imaju kotu tih iviea, a od njih su ud~ljeni, za onoliko koliko iZliskuje profil jarka. Pri dubini jarka od 0,5 m 1 nagrbu

14 Nacrtna geometrlju

. 210

njegovih strana od 1 : 1 ta udaljenost iznosi 1,5 tn. Mnozina materijala koju tr'eba iskopati da hi se cesta provela nekim usjekom postaje uslijed odvodnih jaraka mnogo veea. Za cestu od 5 m sirine, na primjer, treba izvrsiti iskop kao da je cesta siroka 5 + 1,5 + 1,5 = 8 m. jer sada usjecni obronci idu pravcima c i d. a ne ivicama ceste a i h.

I

I • a' ... 20 I'"~ b ~'

_.-

j -Jfl

I ~ ~ , ' • R\r ! til I • R r

Sl. 199.

Dno odvodnog jarka uz horizont.alnu cestu mora imati neki pad da bi voda u njemu bolje otjecala. Taj pad iznosi do 1 : 100. Kad cesta ima svoj pad, tad dno jarka ima tsj isti pad.

B. - Odvodni jarci kod nasipa. Aka je teren na kojemu je nasuta neka cesta Hi plato tako polozen da se voda s terena slijeva prema na­sipnom obronku te ga podriva, onda treba iskopati podno toga obronka odvodni jarak kojim ce se ta voda odvoditi.

Na 51. 200. prikazan je u kotiranoj projekciji, U mjerilu 1 : 150, uski dio desnog nasipnog obronka neke ceste. Buduci da bi voda S okolne rayne padine t e k 1 apr e man a sip u u smjeru okomitom na slojnice pa­dine, kojega je projekcija oznacena strelicom s'. treba iskopati odvodni jarak podna nasipa. Taj jarak; moze, kao i jarak podna usjecnog obronka, Imati raznolikl profil, a treba da bude udaljen od nasipa od 0,75 m do 1 m. Na s1. 200, dubin. jarka i sirina njegovog dna je 0,5 m, nagib njegovih strana je 1 : 1, a on je udaljen 1 m od donje" ivice a nasipa. Gornji briqovi b i e jarka, kao i bridovi c i d na njegovom dnu, idu usporedno s donjom ivicom a nasipa, pa BU zhog toga i njihove projekcije rnedu sobom uspo­recine.

211

Taj je nasip na 51. 200. j-os presjecen vertikalnom ravninom N koja . je okomita na osi ceste, a njezin je prvi trag n polozen tockom A u kojoj se sijeku slojnice kote 12 nasipa i raYne padine. Na 51. 200. nacrtan je j nacrt profila tOgod presjeka. Pomocll nacr!a tocaka R (15), A (12), i F (12,5) dohije se naert profilne erte R A nasipa i nacrt profilne crte A F terena\ a pomocu nacrta toeaka B, C~ DiE nacrta se naert profila jarka. Tocke Bn i E" su l?-a nacr.tu profilne crte terena, a tocke e" i D" su 0,5 m ispod tocke B U

,

• R'

F'

I----{R-' _.

• St 200.

Glavne sIojnice moraju sada proCi i jarkom. Tako slojnicv:.12 ide iz to~ke A do tocke K po uskoj pruzi terena, koja je uz nasip, zatim prol~zi lijevom stranom jarka do toeke I (G' I' = l' H') koja je na lijevom bridu dna jarka i ima kotu 12, jer je tocka I u poloviStu duzip,e G H [G (11,5), H (12,5)J. Od tocke I ide slojnica 12 olromito na brid c do tocke J, a onda se vraca :desnom stranom jarka prema tocki L, u kOjoj'se sijeku slojnica 12 rayne padine ,i desni gornji brid jarka e.

Gr. 174. Kosa upravna -ccstn na zadanom terenu S odvodnim jarcima. Terenom koji je zadan kotiranim projekcijama gIavnih slojnica ima se pro'Vesti upravna cesta, Siroka 6 m, a nagiba fit = 1 : 10, kojoj jc zadana kotirana 'projekcija osi M N. Konstruirajte u mjerilu '] : 250 sve nasipe na9io. n, ~ 2 : 3 i sve "'jeke nagiba n, ~ 1: J, Ie postavile odvodne

I Na intcrpoliranoj slojnici koja prolazi tockom r treba da stoji koto 12.5.

212

"

•

.. h'

~

81. ZOl.

/

" { e'· ,­I , I 1/

~

, ,

~/ , ,

/ /

~ ~ /~

I !

213

jarke kojima je dubina i sirina dna 0,5 ID, a nagib njihovih strana n, = = 1 : 1 (s1. 201) !

Interval na osi ceste je i J = ~ = 10 m, koji u mjerilu slike iznosi n,

10· 4 mm = 40 mm. BuduCi da su ivice ceste udaljene od njezine osi po 3 m, to su projekcije tih ivlca udaljene od M' N' po 3' 4 mm = 12 mm. Da bismo odredili toeke A i B, u kojima ivice ceste probadaju teren. roo­ramo konstruirati presjecnu crtu k ceste i terena. Dvije njezine toelte su locka C (49) i D (50), a treeu E (49,5) dobijemo pomoCu interpoliranib sloi­nica kote 49,5 ceste i terena. Krivulja k sijeee ivice ceste u traZenim tockama A i B.

Iz kota slojnica i terena zakljucujemo da se onaj dio ceste kojl je nw oct krivulje k mora nasuti, a onaj koji je viSi usjeci u teren. Projekcija a' i b' krivulja a i b, koje omeduju s donje strane nasipne ohronke ceste) konstruiraju se na isti nacin kao i na s!. 19B. u /;1. 172. A.

Da bismo vdl'edili projekcije e; i r krivulja e i j, koje omeduju s gor­nje strane usjecne obronke, moramo najrije nacrtati projekcije c' i d' pra­vaca c i d, koji su usporedni s ivicama ceste, a kojim pravcima treba, pre­rna cl. 173. A, poloziti usjecne obronke. Ti su pravci udaljeni po 1,5 mod ivica ceste (na slid 1,5 . 4 mm = 6 mm). Na pravcu c istaknimo zatim tocke F (50) i G (51), a na pravcu d toCke H (50) i I (51). Zamislimo sada da se u tocki F (50), odnosno H (50)~ naIazi vrh usjeefi'og stosea, nagiba n3 = 4 : 5, kojemu je osnovka u horizontalnoj ravnini kote 51. TIoert osnovke toga stosca bit ce omeden kruznicom kojoj je srediste u F') odnosno u H') a

polumjer T = ...:. "" ~4 = 1,25 m (na slici r = 1,25 . 4 mm = 5 mm). Ako iz n,

'tocke G', odnosno H', povllcemo tangentu na tu kruznicu, dobit cerno pro­jekciju glavne slojnice ko~e 51 ravnine usjeka polozenog pravcem c, od­nosno d. Projekoije ostalih glavnih sIojniea te ravnine usporedne BU S tom tangentom, a udaljene su na 51. 201. jedna cd druge po 5 mm. One se sijeku s projekcijama slojnica terena istih kota u tockama trai:enih kri­vulja. e' i r. Projekcije bridova dna desnog i Iijevog odvodnog jarka podno usjecnih obronaka idu Usporedno s ivicama ceste i od njih su udaljene 0,5 m, odnosno 1 m (na slid 2 mm, odnosno 4 mm).

Oblik terena na desnoj strani ceste takav je da se voda u terena nece slijevati prema desnorn nasipu ceste, pa zbog toga mozemo s desnim od­vodnim jarkom izbiti na teren. Da bi dno toga jarka, koje tspod slojnice ceste 50 Ima kotu 49,5, imalo pri svojem iavrSetku neki pad, mi cerna ga izvesti na teren na slojni<:u 49,Z5. Istaknimo zbog toga na slojnici terena 49,25 tocku J, koja je od krivulje a udaljena 1 m (na slici 4 mm), i tocku K, koja je od J udaljena 0,5 m (na slid 2 mm), Usmjerimo sada u blagom·

214

luku prema tacki K desni brid dna jarka i krivulju e, a prema tocki J lijevi brid dna jarka i njegovu lijevu ivicu.

Buduci da bi se voda s terena i iz lijevog odvodnog jarka sUjevala prema lijevom nasipnom obronku ceste, moramo j kao na s1. 200, provesti lijevi odvodni jarak usporedo s medasnjom krivuljom b toga nasipnog obronka. Najprije cerno odredili proj"kciju g' desne ivice 9 toga jnrka. Ona ide usporedo s krivuljom b', ad nje je udaljena 1 m (na sUei 4 mm), a blagim luk-om prelazi u projekciju lijeve ivice ceste. Paralelno s krivu~ Ijom g', a u udaljenosti od 1,5 m (na sliei 6 mm), ide projekcija h' lijeve ivice h toga jarka, koja se spaja s krivuljom f'. Izmedu krivulja g' i h' treba na kraju nacrtati projekcije bridova dna toga jarka. One idu uspo~ redo s krivuljom g' i spajaju se s projekci;ama bridova dna lijevoga jarka, koji je uz cestu.

DB' bi se plasticnost slik~ 201. povecala, istaknute su na njoj jos i projekcije svih glavnih slojnica. Svaku slojnicll mozemo pratiti: po terenu, po nasipnim iIi usjecnim obroncima, kao i po stranama i dnu jarka.

Gr. 115. Vjeibe. - 1. Konstruirajte u mjerilu 1: 2500 poprecni profil rta, polu­otoka koji je predoeen slikom 195. ako vertiknlnu ravninu M polozite tockom E tako da njezin trag m bude okomlt na pravcu nl

Up uta: Nacrtajte na slid 195. pravac m i oznaclte sve tocke kojima on sijece projekcije glavnih slojnica. Prenesite zatim oa koji god pravac p te totke u dvostrukim razmacima, jer je m]erilo slike 195. 1: 5000, a rnjerllo proma je 1 : 2500, pa postavlte u tim tockama okomice na pravac p i na te okomlce prenesite kote pojedinih toe aka u mjerOu 1 : 2500!

2. Napravite reljef rta poluotoka koji je prikazan sllkom 195.

i (,

Sl. 202. Sl. 203.

:3. Horizontalna upravna c:esta visine 50 m prolaz! p,eko kotlinastog terena ko.1i je predaten slikom 202. u mjerJlu 1 : 2000, Os ceste je AB, a sirins ceste je 6 m. Konstruirajte u mjer-ilu 1 : 500 :lve nasipe i usjeke ako je nagib nasipa 7'1.1 = 2 : 3, a usjeka n2 = 1 : 11

4. Teren koji je prikazan na slici 203. u mj~rilu 1 : 2000 iroa se provesti 6 m stroka cesta, kojoj je os MN, Od tocke A do tocke B cesta je horizontalna. a lijevo

215

od A 1 nadesno cd B njezln je nagib 'l'tl = 1 : 10. Konstruir-ajte u mjerilu 1 ; 500 sve nasipe i usjeke ako je nagib na,sipa n! = 2: 3, a usjeka n

J = 1 : 1, ito;

a) bez odvodnlh jarakaj

b) S odvodnim jarcima kOjjma je dubina i sirina dna 0,5 m, a njihove strane Imaju nagib 1 : 11

M./'"" 11 • oy

, J'

SL. 204. sr. 205.

5, Horizontalna zakrivljena eesta u visini 40 m prolazi prelm terena predoceno« ~likom ~04. ~ mjerilu 1 : 2000. Os ceste EF sastavljena je ad dva k~uzna luka i nji: nove z3JednIcke tangente, a sirina ceste je 10 m. Konstruirajte u mjerilu 1 : 500 sve nasipe 1 usjeke ako je nagjb naslpa 11, = 3 ; 4, a usjeka n2: = 4 : 3!

6. Preko kotlinastog terena koji je predocen sIikom 205. u mjerilu 1: 2000 treba provesti dv:lje horizontalne upravne ceste u visini 75 m. Os jeduc ceste je GH, a druge IJ, a svaka je, cesta siroka 6 m. KO,nstuirajte u mjerilu 1 : 400 sve nasipe i uspjeke ako je nagibenapisa n, =< 3 : 4, a usjeka n

2 = 1; I!

VI. ORTOGONALNA I KOSA AKSONOMETRIJA

32. Ortogonalna aksonometrija

176. Pojam i; zadatak ortogonaIne aksonome~:rije. Poj(tffi i zada~k ortogonalne aksonometrije upoznat cerna preko ovoga zadatka: U treeoj ravnini-..prometalici T, koja je odredena svojim tTugovima t z i t3. nalazi se tocka 0, kojoj je zadan nacrt A" i bok?crt 0"', Neka se nacrta nacrt i bokocrt kocke kojoj je osnovka u ravnini T ako je tocka 0 njezin vrh, a desni osnovni brid kocke, koji ide tockom 0, Cini s trugom t2 ktft 60°, a brid koclce dug je ',15 mm .f

Najprije cema odrediti p~. kcije osnovke 0 A f) B te kocke (s1. 206), i to taka da cem0...m:e]oZiH ravninu Taka njezinog drugog traga i nacrtati prelozenu osnovk-u e, pa cerna pomocu prelozene osnovke odrediti njezine projekcije. U tu svrhu nadimo porr:.ocu nacrta 0" i boko­crta 0'" tocke 0 njezin polozaj (0), povucimo zatim tockom (0) pravac (0) X, koji s tragom t)! 6ini kut od 60°, pa konstruirajmo kvadrat (O)(A) (D) (B), kojemu je straniea (0) (A) na praveu (0) X, a duga je 15 mm. Taj je kvadrat prelozena osnovka kocke. Pomocu lika (0) (A) (D) (B) nadimo prvo bokocrt 0'" Am DO' B'" osnovke kocke, koji je u tragu ts. a zatim nacrt 0" A .. " D" Err te osnovke.

Sad a nacrtajmo projekcije pobocnih ~ridova i gornje osnovke kocke! Bokocrti pobocnih bridova kocke su duzine koje su okomite na tragu t s, a duge su 15 mm, jer su pooocni bridovi kocke okomiti na ravnini T, a usporednic sIT:!> dok je bokocrt e" F'" E'" Gm gornje osnovke kocke duzina kOja je jednaka i usporedna s bokocrtom donje osnovke. Nacrti pobocnih

bridova l(oeke okomiti su na tragu I" a njihove gornje krajnje tocke C", E", G" i F" odredimo pomocu bokocrta gornje osnovke .. Na kraju n8-crtajmo nacrt gornje osnovke. U nacrtu te kClcke vidimo donju osnovku i njezine dvije prednje pobocke dok ne vidimo gornju osnovku i njezine dvije slraznje pobocke,

Polozaj kockie u tome zadatku nije frontalan, tj, nisu njezine osnovke usporedne s Ill> niti su dvije njezine pobocke usporedne s I121 vee su

217

ravrtln'e svih njezinih pobo~aka i osnovaka kose prerna TIz, a njezini su pobocni bridovl usporedni s II,.

Nacrt tako polozene kocke odlikuje se zornOscu. On u nasoj svijesti n,oZe da pobud! predodzbu kocke kojoj su pobocnibridovi kosi prema rr.. a usporedni sUa; isto tako mwe da pobudi predodzbu lrocke kojoj su bri-

St 2Q6.

dovi vertikalnij a koju gledamo odozdo, i to s desne strane. Takva orto~ gonalna projekcija kocke na n 2 Z'OcVe se ortogonalna aksonometrijska stika, jet je ona nastala ortogonalnim projiciranjem kocke na ITt. i jer se na takvoj slid isticu projekcije triju osi (lat. axis = os), i to 0" A" ., x", 0" BN II!!!! y" i 0" C" .. Zll, koje se u prostoru stjecu u toCY,j O. ;t'!'.~J~.~j~ .. _~~ os u prostor_lI .. ~~~ta .na O!l&.!.!lWnl st0...l~ . .'?.'!~'!.<t'!lJ.l ... <:II:ttJl"~ .!lvile '1llk. Nacrt svakoga brlda kocke mjl je usporedan s jednom od tl.h osl Jednak je i usporedan s nacrtom onoga brida koeke koji je na dotionoj os!. Tako

, I ,

I I; ,

i I, '.

;

i I I

I ~J "1

I

I I

218

je, na primjer 0" A" * Bn D" #" C" E" # F" G", iIi 0" B" # A" Dn :#: +~r#r~,iliif~#rr#rr#if~

Iz tih relacija razabiramo da je za konstrukciju ortogonalne aksono~ metrijske slike kocke bilo glavno da odredimo duzine 0" An, 0" B" i 0" C", tj. da odredimo nacrte triju bridova kocke koje se stjecu u to~ki O.

Produzimo Ii ta hi brida 0 A, 0 B i 0 t;;Yc:fo Y~J:tik~li1e ravninefil, doblt c~_mo ~ocke X, Y i Z, \l koji~a ti ,~r.i~~x}~robadah.} lb. Ta" iiI'brfda odreduJu tTl medu soborn okomlte ravmne. a svaka stranica trokuta X Y Z jest drugi trag jedne od tih triju ravnina. B-uduci da je svaki taj brid okomit na onoj ravnini sto je odreduju druga dVa bnda, mora biti:

0" A" s x" .l Y Z, 0" B" ~ y" .L X Z, a 0" C" '" z" .l X Y.

S,tranice trokuta X Y Z SUI dakle, drugi tragovi triju medu sobom okomitih ravnina. a njihove visine x", y" i z" su nacrti triju pravaca u kojima se te ravnine meau soborn sijeku, a svaki je taj pravac okomit na ravnini drugih dvaju pravaca. Tri rnedu sobom okornite osi x' y i z, koje se stjecll U tocki 0, cine takozvanl/?~~.~,~>?:~. Probodi3ta X, Y i Z vertikalne ravnine slike IT!! S osima x, y i z vrhovi""su trokuta X Y Z, koji se zove

'-..~x.a~_ni trokut ravnine sHke. ___ ""cr __ , ._. ___ '~ •••

'),.L:~ I:z- toga pl'imjera izvodimo da ~~nalna aks0nometrijska slika

-'~.~ 'n~~gs:):~:~..:~!",~~:~~l~~. l?,r?t~,w,.J,9g~>"p.i~~~: r~CY~~~~i-: ~.on _!!'.l."'. ~ .. ~ront;jnolIl.2919~~JU, vee kad su njegovi bridov:i, k~J.~ su u~m!erem prema nJ.e~o~~J du:hm, sirini i visini, u kosom polozaju pr,e!t1a' .ij~'J a k tome SU oni bridovi koji su usmjereni prema njegovoj vislni j?,sj .uspor~ni s 113' Iz normalne aksonometrijske slike predmeta mozemo lako zakljuciti kakav je oblik i koje su dimenzije precimeta sto ga sIlka prikazuje.

Na koji se nacin najlakse nacrta ortogonalna aksonometrijska slika predmeta, to cerno nauciti u narednim clancima. Ubuduce aksonometrij­sku sliku neke to{:ke, npr. tocke A, necemo oznacivati slovom A", vee slo­vom A, a vertikalnu ravninu nil koja je ravnina ortogonalne aksonome­trijske slike. nazivat cerno krace ravninom IT2 •

177. Konstrukcija aksonometrijskih osi i indeksa skracivanja. Nacr­tajmo u ravnini slike f!.2 koji god trokut X Y.Z i njegove visine x: y i z, koje se sijeku u tocki 0 (s!. 207. a). Ako stranice toga trokuta smatramo d.rUgim tragovima triju ravnina koje su medu sabom okomite, onda se one sIjeku u pravcima x, y i z, koji su takoder m~d1!.. s0!!om okomiti, a njihove su ortogonalne aksonometrijske sl~ke pravci x, y i z, kako sma to utvrdili u ~1. 176. Zajednicka tocka 0 tih triju pravaca jest i zajednicka tocka tih triju ravninA. Pretpostavimo da je tacka 0 ispred ravnine ni!' Pravci

219

x, y i z cine osni kriz ili osi, pravokutnoga koordinatno9: sw:;tava _u r..TOS.!.oru kojemu je tocka 0 ishodiSte, a njihove ortogonalne ptojekdje x, y i z na ravnini II2 ZOVU se aksonometrijske osi.

Da bismo odredili ortoganalne aksonometrijske slil{e i5 A, DB i (5 is triju jednakih duzina (d = 10 mm), koje se stjecu u tocki 0, a leze na osima x, y i z, moramo na6i prave velicine tih osi. PrelozH cerno najprije pravokutan trokut X ° Y oko njegove hipotenuze !f Y na ravninu IT 2•

Prelozaj -oocke O'je ona tocka (0) u kojoj se pravac 9 N, poloz-en tockom

y .,

a

., ,. IYh

z

Iz·

S[. 207. a, b 1 c

o okomito na pravac X Y~."4.ijece ~llQl~~[':!~Ri.~Q!9 .. k6joj je duzina X Y promjer. Trokut X (0) Y"Je preloZepi trokut X 0 Y; a pravci (0) X ~ (x) i (0) Y !15! (y) su prelozene om x i y. Aka prenesemo na pravac (x) duzinu (0) (A) = d = 10 mm, a na pravac (y) duiinu (0) (B) = d = 10 mm, pa iz tocaka (A) i (B) po'stavimo'okomice na pravac X Y, ODe ce presjeei pravce -; i Y u tocltama X i B. Duzina (5 Ii = d: je ortogonRlna aksonomeirljska

s1ika duiine 0 A = d, koja je na osi x, a duzina (5 B = d ll je ortogonalna aksonometrijska slika du~ine 0 B = d koja lezi na osi y.

•

U Ii i_i I,!

il )"

~. I , ,

;i , I

t .,

220

01-togonalna aksonometrijska slik~ 0,(5 duzme 0 C = d, .koja je na. osi Z, odredena je na s1. 207. a na dva in.cina: Pomoeu prelaganja pravo_ kutnog trokuta YO Z ako njegove-hipotenuze Y Z na r~IT, i po_ moeu prevaljivanja na ravninu IT, pravokut'nog ·trokut~ojemu je bipotenuza N Z·u ravnini II)!. Prvi je nacin. jednak vee opisanom nacinu. po kojemu sma nasH duiine i5 A i (5 H, zato cemo 'opisairi. sarno drugi naein. Prava velicina katet~ravokutnog trokuta N'O Z jednaka je duzini N (0), zbog toga prevaljeno .!.shodiste 0 mora biti U onQj tocki O~ u kojoj se pravac __ polozen totkpm 0, okomito. na N Z sijece s lukom kru-

,t.nice koju sma opisali aka tocke N s polumjerom N (0). Trok~t If'Cf Z je preyaljeni trokut NO Z, a pravac O"Z =< z" prevaljena os z. Ako na pravac z" prenesemo duiinu 0" C" = d = 10 mm, pa Iz tocke C' postavimQ okomicu na pravac,;: ona' ga sijece u tocki C. Duzina OC = d. je ortogo­nalna aksonometrijska slika duiine 0 C = d. koja je na osi z.

POnlOCU duZJna d z, d ll i d z, koje se zovu ~k~~~~~i~mozemo sada lako nacrtati ortogonalnu aksonometcijsku sliku kocke. Neka se, na pri"!,jer, nacrta ortogonalna aksonometr.ijska stika kocke kojo; je tocka 0t ortogonaLna aksonometrijska stika vrha 0 11 a' njezini su bridoui, koji su dugi 20 mm, uS1?oredni S osima x, y i z (s1. 207. b) !

Buduci da su cetiri brida kocke usporedni S osi x, cetiri s osi y, a cetiri S osi ~ njiE:0ve!::.e ortogonalne aksonometrijske alike biti usporedne s pravcem x ili y, iii z, a kako su bridovi kocke dugi 20 mm, njihove ce ortogonalne aksonometrijske slike biti duge 2 dz Hi 2 du ill 2 .d~.

Ako tockom 21_(S~ 207. b) povucemo pravce ;1> Yt i ;10 koji su uspo­redni s pravcima X, y i z, pa na te pravce prenesemo duz'me 2 d;l:, 2 d

ll i 2 d;;,

dobit cerno ortogonaine aksonometrijske slike 01 1, 01 '2 i 01 3 triju bridova koc~e koji se stjecu u tacki OJ'. SuduN 4a smo Us pocetku toga clanka p,retpostavili da su osi X, Y i z, kao i ishodiste 0, ispred rav.p.ine fill) to se na kocki koja je predoeena slikom b vide sva tri bdda koji se stjecu u tocki 0 •• a ortogonalne aksonometrijske slike ostalih bridova te kocke sad je lako nacrtati. Kad gledamo tu kocku u smjeru kOJi je okomit na ravnini H2, vidimo njezinu don j u osnovku, prednju ide s n u poboCkuj zbog toga stika b pobuduje u nasoj svijesti predodzbu kocke kao da je gledamo o d 0 Z d 0, i to s des n e strane.

Kad bisrno stranicarna tracnog trokuta .X:YZ (sl. 207. a) polozili tri me­au sohom okomite ravnine tako da bi se one sjekle iza ravnine II:!, dobiH bismo tlrugi osni kriz kojemu bi ishodiSte 0 bila iz'a ravnine II,. a kojt hi bio simetrican S obzirom na II2 s prvim osnirn krizem kojemu je isho­diSte 0 bilo ispred ravnine II2"' Zbog simetrije tih osnih krizeva S obzirom na ravninu 1I2' njihove su ortogonalne aksonometrijske slike identicne. Mi mOiemo, dakle, upotrijebiti ortogonainu aksonometrijsku sliku osnog

221

kriZa iz sl. 207. a i onda kad zelimo nacrtati ortogonalnu aksonometrijsku sliku kocke kojoj su bridovi usporedni S osima toga drugog osnog kriza. Povucemo Ii toekom 0, (s1. 207. c) pravee X;, y, i ;;;, koji su usporedni s X. y i "i. i prenesemo Ii na te pravce dtWine 2 d~, 2 d" i 2 dZI dobit CeIl1'D ortogonalne aksonornetrijsk!e slike 02 1, O2 "2 i O2 "3 triju bridova' kocke koji se stjeeu u njezinom donjem strainjem vrhu 02. Bridovi °2 1, 0 2 2 i 0 2 3 su straznji bridovl kocke, koji se ne vide. Na k-ocki koja je pre­docena slikom 207. c Vlidimo go r n j U osnovku, .zatim prednju iii j e v u pobocku. Po toj slici dolazirno do predodfbe kocke kao da je gledamo o d o.z g 0, i to s 1 i j eve strane.

Ako BU 1'1., ~ i y kutovi sto ih osi X, y i z cine sIT:, onda je:

OX = OX· COSCl., OY = OY' cos~ i OZ = OZ- cosy,

a prema tome je:

d,r = d . cos (1., d ll = d . cos {3. i dz = d . cos y (1)

178. Vrste ortQgonalne aksonometrije. 0 izboru tracnoga trokuta X Y Z, odnosno aksonometrijskih osi x, y i z, ovisi da Ii ce ortogonalna aksonometrijska slika nekog predmeta bili prirodna,

l

b

Y~---------?~~----~x

S1. 208. alb

!&a<!..je tracni trokut X Y Z istostranican (81. 208. a), a~onO>!!letrij~ke osi x, y i z zatvaraju medu sobom kutove od 120", a duz.ine 0 X, ° Y i 0 Z su jednake. Buduci da su sada i kutovi a, ~ i y lito ih osi cine s IT, jednaki, to izlazi iz jednadzbi (1) iz ~1. 177. da i indeksi skracivanja moraju biti jednaki tj. d.1: = d" = d •. Prema tome, dovoljno je naCi jednu od tih triju velicina pa da budu poznate i preostale dvije. Nadena je zbog toga na s1. 208._ a sarno ve1i<:!ina dl' ako je d = 10 mm.

Na s1. 208, b nacrtana je za takav tracni trokut ortogonalna aksono­metrijska slika kocke kojoj su bridovi usporedni s osima X f Y i ZJ a drugi

h I' . : '

,.f

222

su 2 d = 20 mm, ako je ishodiste 0 iza ravnine ll2' Na toj slici pada orto_ gonalna aksonometrijska slika prednjega poboenQg brida kocke na isti pravac S ortogonalnom aksonometnjskom slikom straznjega pobocnog brlda, a jOs se k tome ortogonalna aksonometrijska sUka gornjega vrha prednjega brida poklapa S ortogonalnom aksonornetrijskom slikom do­njega vrha straznjega brida.

6)'1 Ortogonalna aksonometrija kojoj sE sva tri indel.:~~_.~kJ§:~j.y.aniq. Jsta~ .... . If I zove se izometrij"ka (grc. isos = isti. jednak + metron = mjera). " ..... ~/

b

SI. 209: a i b

Kad je tracni trokut X Y Z istg.k_t:aca,.!L(sl. 209. a), tad su medu sobom jednaka samo dva od Dna tri trok~ta ',Sf6 ih medu soborn zatvaraju aksono­metrijske osi XJ y i :;, a od dulina (5 X, i5 Y i a Z sarno su dvije medu sahom jednake (na s1. 209. a je 0 X = 0 Y). Sada ce biti sarno d~ = d)./. Velicine dx = d v i d. konstruirane su na s1. 209. a kao i na 51: 207. a, za d= IOmm,

Na s1. 209. b nacrtana je za takav tracni trokut slika kocke kojoj su bridovi usporedni s osima x, y i z) a dugi su 2 d = 20 mffl, aka je isho­diste 0 iza ravnine TI2• Na toj slici opet pada ortogonalna aksonometrijska slika prednjega pobocnog brida kocke na isti pravac s ortogonalnom akso­notnetrijskom slikom straznjega pabocnog brida, ali se ortogonalna akso­nometrijska slika gornjega vrha prvoga oct lih bridova ne poklapa S orto­gonalnom aksonometrijskom slikoro donjega vrha drugoga,

Ortogonalna aksonometrija kojoj su ..Qva indeksa skracivanja ista zove Se dimetrijska (gre. dyo = dva + metTon mjera)-:··-~-

223

Kad je·lracni trokut X Y Z raznostranican, kao na. s1. 207. a, indeksi SU slcracivanja medu scborn razlicitL Ortogonalna aksonometrij-ska sl.ika kocke kojoj su bridovi usporedni S osima x, y i z toga, osnog kriza, a drugi su 2 d =·20 mm, nacrtana je na sl. 207. c) uz pretpostavku da je ishodiSte o iza ravnine Ill!'

Ortogonalna aksonometrija kojoj su svi indeksi skracivanja razliciti zove se trimetrijska (gre. tre"is = tri + metron = mjera).

Ako usporedimo medu~sobom te tri ortogonalne aksonometr'tjske slike kocke (s1. 207. c, 208, b i ~Og. b), vidimo da je najprirodnija ~ril1).etrijska,

33. Konstrukcije ortogonalne aksonometrijske slilre

179. Konstrukcija ortogonalne aksonometrijske sIike pomocu aksono­metrijskih osi i kutova razmjernosti. Nacrtajte u mjerilu 1 : 25 OJ'togonalnu aksonometrijsku slik~ podnozja ~pom.enika kaje je zUd"(iiw slikom 210. a u mjerilu 1 :.50 !

A. - N a crt pod n 0 z j a. Na slici 210. a, koja je nacrt podnozja spomenika, nalaze se ispred tri kote mali kvadratid. Oni nas upozoravaju ria je to podnozje sastavljeno od tri kvadraticne prizune koje imaju za­jednicku os simetrije, Upotrebom te oznake podnozie je spomenika pot~ puna odreaeno samim nacrtom; zbog toga nije njegov tlocrt ·ni nacrtan, jer je suviSan.

B. - A.k son 0 met r j.j s k e os i. Na slid 210. b izvooana je kon­strukcija ortogonalne aksonometrijske slike osnog kriza (aksor1ometrijskih osi). 0 polozaju .sto ga osni kriz ima u prostoru ovisi da li ce ortogonalna aksonometrijska slika predmeta·uCiniti na nas prirodan iIi neprirodan ~o­jam. Svaki., trol;cut X Y Z moz~ posluziti za konstrukciju. ortogotlsLne akso­nometriJ~k~ slike os:p.og krLta. ali. aka zelimo da ortogonalna aksonol1le­trijska slika predmeta pobudi u nasoj svijesti jasnu i prirodnu predod2;bu predmeta gledanog odozgo s desne strane, konstruirat cerno aksonome­tr!jsku sIiku osnog kriza tako da ()Ttogo'"f/.alna ~ksonOmf%.tTij£ka .. .s.tik.a_.Y.·osi y Cini s pravcem (XI Y) kut od io·, -a "~jezin prelozni polozaj (y) da cini s istim pravcem kut od 60", , .

Konstrukcija ortogonalne aksonometrijske sUke osnog kriza tete ovim redom: Povucemo honzoritalni pravac p=(X, Y), koji je trag ravnineXOY, i na njemu uzmemo tocku Y, kroz koju nacrtamo pravce y i (y), ad kojih prvi cini s pravcem p kut oct 30", a drugi kut od 60°. OpiSemo 'latim oko koje god totke S pravca p polukruznicu k, \cojn ide tockom Y. Ta PQh.t­kruznica sijece pravac p u toeki X, a pravac (y) u tocki (0), koje tocke spojirno pravcem (x). Sada {Xlvucemo tockom (0) pravac koji je okomii.

224

nn pravcu p, pa dobijemo pravac ;; a nn pr~vcu y dobijemo to~ku 0 koju spojimo s toekom X pravcem ;. Ako na kraju poloiimo tockom X pravac X Z olromito na pravac y, a tockom Y pravac Y Z okomito na pravac ~ dobit cerno tracni trokut X Y Z. Konstruirajmo zatlin pravokutni trokut NO" Z i ortogonalne aksonometrijske slike d..." d ll i dz duiine d = 16 mm (koja u mjerilu 1 : 25 prikazuje duzinu od 16 mm . 25 = 400 mm -= 40 em), na nncin koji je objaSnjen u cl. 177. uz sliku 207. a.-, ,I,

Nije tesko dokazati dn je pri takvoj konstrukciji aksonometrijskih om duzina Y X = 4 Y N, a da je Y N = N S, pa se i tn svojstva mogu pri·

"'mijeniti pri konstrukciji aksonometrijskih osL , z a

M.{' 50 § IS

ow to

3:) 060 3:) 0 ~

0

(J~20

d

-, . 5.-}_ .. t "' ....... 1::-· __ 0' ,.Ai'-.. -- •. _

_""-'».;.---- --- .. J2 - -- ..

17 i

Sl. 210. a, b, c i d

c. - K u t 0 vir a z m j ern 0 s t i. Ortogonalnu aksonometrijsku sliku precimeta konstruirat cerno pomoeu kutova razmjernosti (s1. 210. c)

225

koje odredimo ovako: Povucerno zraku t, pa oko njezine pocetne locke V opisemo luk kruznice l polumjerom V I= d. Nanesemo zatim na taj luk tetive I J = d., I K = rf. ilL, = d" spojirno tocku V s tockama J, K i L, pa dobijemo kut 'razmjemosti I V J za duZine uspor.edne s 0.& Y. zatim kut razmjernosti I V K za duzine tisporedne s osi x, i na. kraju kut raz­mjernosti 1 V L za dumne usporedne S osi z. Pomocu tih kutova razmjer­nosti m~~emQ, QQ~editi velicinu .,ori;ogQnall1.e akSQnorn.etrijske slike svak~ duZine koja je usporedna"s' jrononi Od tih os1 x, y i 'z" Ako, na primjer po­iUffij'erom V At koji u mjerilu 1 : 25 predocuje duiinu od 120 em, opisemo oko tocke V luk kruznice, pa njime presijeeemo krakove ·x, Y i z kutova razmjernosti u tockama B, C i D, onda je tetiva A B, ili A C ili AD jed­naka aksonometrijskoj slici duzine od 120 em kad je ona usporedna S osi x, Hi Y iIi z.

D. - Konstrukcija ortogonalne aksQnometrijske s 1 ike pre d met a. Na pocetku konstrukcije ortogonalne aksonome­trijske slike predmeta (51. 210 d) mor!>mo se odluCiti hocemo Ii da predmet gledamo 0 d a z g 0 ili 0 d 0 z d o. jer 0 tame ovisi da Ii cerna smatrati da je ishodiste 0 osnog kriza ~ iii is pre d ravnine ll2. a zatim koju tocku predmeta treba postaviti u to <ishodiste (usporedi slike 207. b i c). Buduci da zelimo da nam aksonometrijska slika podnozja spom.enika bude s pogledom na taj predmet odozgo l i to s desne strane. smatrat cerna da je ishodiste 0 na slici b a ravnine" ll2. a u ishodiSte 0 postavit cerno straznji, lijevi vrh osnovke toga predmeta. Konstrukcija ortogonalne akso­nometrijske slike podnozja spomenika izvodi 'se ovim redom;

_ _ K~z proizvoljnu tocku (5 povucemo tri osi ;;, ~ i Z l!.SEoredo s osi.Ine. ~ z iz slike 210. b. Buduci da su bridovi osno'vke donje kvadraticne ploce dugi 120 c~, ucinit cerna oT = A B i 02 = A C, pa cemo tako do­biti ortogonalnu aksonometrijku sliku straznjega i lijevog brida osnovke te kvadraticne ploee, pomocu koje cerno nacrtati ortogonalnu aksonotp.e­trijsku sliku njezine donje osnovke. Tockama 0,1. '2 i '3 nacrtajmo zatim usporednice S osi z, pa na svaku nanesimo duzinu E F iz slike c. Ta je duzina tetiva u kutu razrnjernosti I V L za duzine usporedne s osi Z, 1 to one kruznice lroju o-ptsemo oko tocke V polum.jerom V E, koji u mjerilu 1: 25 predoeuje d·uzinu od 20 em. DuZine 0"5, 16: 27i 38 su ortogonalne aksonometrijs-ke slike pobocnih bridova kvadraticne ploce, a romboid "5678' je ortogonalna aksonometrijska slika njezine gornje osnovke.

Da bismo odredili tocku 11. koja je ortogonalna aksonometrijska slika pr.ednjega desnog vrha osnovke srednje kvadraticne ploce. moramo Po.: mocu kutova razmjernosti odrediti ortogonalnu aksonametnjsku sliku-! tocke 9, koja je na bridu 8 - 7, te ortogonalnu aksonoroetrijsku sliku 10 tocke 10, koja je na bridu 8 - 6, a koje su od vrha 8 udaljene po 30 em. Kad

15 Nacrtnll geometrlja

226

povucemo zatim tockom"9 pravac usporedo s 'ii, a tockom 10 pravac uspo~ redo S X, ani ce se presjeci u trazeno.i toeki 11. Sad nacrtajmo ortogonalnu akoonometrijsku sliku D, T2,13, 14 donje osnovke srednje kvadraticne pIece kojoj su dva osnovna brida usporedna S osi x, a dva S osi Y. te nji~ hova duljina iznosi 60 C1'11.. Pom-ocu ortogonalne aksonometrijske slike 05-

novke mazerna konstruirati zatim ortogonalnu aksonometrijsku sUku 6-tave srednj-e kvadraticne plO<'!€.

Tocku 15, koja je ortogonalna aksonometrijska sIika prednjega desnog vrha osnovke gornje kvadraticne prizme, nademo na isti nacin kako sma DdredUi tocku 11, pa pomoeu nje mazemo konstruirati ortogonalnu akso­nometrijsku sljku osnovke te prizrne, a zatim pomocu ortogonalne aksono­metrijske slike osnovke nacrtarno ortogonalnu aksonometrijsku sliku ci­tave prizme.

Na tom primjeru upoznali sma jedan nacin crtanja ortogonalne aksO­nometrijske slike predmeta, a taj se sastojao u u,< s t 0 f.t n.o p1 crt a:. _

_ =-.,,~~P.:9l,e d j r:.~ ?,...::..<!:~J e !..~<!:::B!:~~:~-,~~.: Kad imamo predmet slo­zenlJe'irooIiJat-;-taa]e 2a lwnstrukciju njegove ortogonalne aksonometrijske slike podesniji drugi naCin, koji se sastoji u tome d a sen a crt a 01' t 0-

gonalna aksonom_etrijska slika tlocrta predmeta, pa se pomocu nje konstruira ortogonalna aksonometdJska silka ·predmeta, Taj drugi nacin upoznat cerno u narednom Clanku,

(iSO)Ronstrukcija ortogona.lne aksonometrijske slike pomocu akc;ono­me~ih osi i mjerihi Qmanje~ja. Naertajte u mjerilu 1 : 10 ortogonalnu aksonometrijsku sliku podnozja kvadraticnog stupa koje je zadano na slid 211. a u mjerilu 1 :30!

A. - A k son 0 met r i j s k e 0 s i i m j e r i 1 a u man j e n j a. Na slid 211. b izvedena je konstr'ukcija ortogonalne aksonometrijske slike osnoga kriza na naein kOji je objasnjen u cl. 179. B uz sliku 210. b, saino su ispusteni nepotrebni pravci X Z i Y Z. Odredene su zatim ortogonalne aksonometrijske slike 3 A~ 013: i (5 C duzine koja jet 1 0 em duga kad je polozimo na os X, ili y, iIi z, Ta je dmina predocena u mjerilu 1 : 10 du­zinom od 10 mm.

Pomoc-u duzina 0 A, (3 B i i5 C konstruirat cerno zatim mjerila urna~ njenja za sve tri osi (sI. 211. c). Nacrtajmo tri usporedna pravca .1:, y i z,

pa nanesimo nek~l~ko puta duzinu 0 A na pravac x, duzinu DB na pra­vac y, a duzinu 0 C na pravac z, pa cerna dobiti mjerila umanjenja koja nam pri konstrukciji ortogonalne aksonometrijske slike predmeta nado­mjestaju kutove razmjernostL Na svakom tom mjerilu dodajrno s lijeve strane tocke 0 po jednu duzinu koja predocuje 10 em. i svaku od njih raspolovirno da bismo imali na mjerilima umanjenja duzine ad 5 em.

, "

227

B. _ Konstrukcije ortogonalne ak~onometr~~js ke s 1 ike pre d met s. Iz slike 211. a zaklj~cuj~mo ~a se p~nozJe kva­draticnog stupa sa~toji od k-ocke kojoj su brldovl dugl 40 em 1 od kvadra-

tiene piramide koja se prodire s kvadraticnlm stupom. ~. Ortogonalnu aksonometrijs~!.J sliku 211, d tog, pE.e<:!..~eJ:.a zapocet c~o

taka da kr.2z proizvoljnu tocku 0 povucemo tri .OS1 x, y 1 ~~ USp'0redo s ~~Sl­rna X, Y i z iz sillie 211. b. Na svaku tu os n8.n~SlmO Od

v

t~cKe 0 anu duzmu koja narn U odgovarajucem mjerilu umanJe~J~ p:.e~o~uJ~.JeO c~' pa ~emo dohiti ortogona1ne aksonometrijske slike 01, 02 1 03 trt]u. bndova kocke, koji se stjeeu u tocki 0, i pomocu njih mozemo nacrtatl ortogo-·

nalnu aksonometrijsku sliku k-och:.

z

b 1\

((J 0

" ,

If) a /0 y, , , ((J 0

Z,

\

\

<)

'7-.

20

20 30 40 , , , I@ 20, , C

a

k M,I"O

3D <Don , , SJ Wern

l I

30 <Oem I -l

SL. 211. a, b, c i d

Konstruirajmo zatim orwgonalnu akSOMme:riJs~I,1 e!,i1~_u, tlocrt;. tog~ redmeta na ravnini osnovke, pa cemo dobltI tocke V, 8, 9 .. ,.14 1 .. 15, ~omocu tih tocaka mozemo lako odred:Jti ortogonal~e a1(EOnometfl]ske:

I i r ~ i

228

slike pojedinih tot'aka tijela. Povucemo H, ~na p:!mjer, tockolp.· V~· pravac usporedo s pravcerri z i na nj nanesemo od to~ke V' onu du~inu koja u mje­rilu umanjenja za os z predocuje 60 em, dobit cemq ortogonalnu ak~ono~ metrijsku sliku V vrha piramide. !Cad tocku V spojimo s t9ckama 5, 6, "7 i 3, dobi.t cerna ort~gonalne aksonometrijske slik~: pobocnih . btidova pi~ ramide.

Nacrtamo Ii zatim kroz tocke 8', 9', 10' i 11 usporednice s pravcem z, pa na svaku nanesemo anu dU7jnu koja u mjerilu umanjenja za. os ?;,pre~ docuje 90 em, dobit cerno' ortogonalne aksonometrijske' slike pobocnih

""bridova kvadraticne prizme; a kad njihove gornje krajnje tocke 'spojimo, dobit 'ct~mo ortogonalnu aksonometrijsku sliku gornje osnovke te prizme.

Pobocni bridovi piramide probadaju pobocke prizme 'U tockama 12, 13, 14 i 15. Ortogonalne aksonometrijske slike tih probodista odredujemo takoder pomocu njihovih tlocrta. Ako na primjer tocKom 12' povucemo uspol"edn.icu s pravcem z, ona ce presjeci pravac 6" iT u tocki 12. Na jednak se nacin mogu nab tocke 13,14 i ~

Pobocni bridovi prizme probadaju pobocke piramide u tockama 8, 9; 10 i 11. Ortogonalne aksonornetrijske slike 8, 9" 10 i 11 tih probodista odredujemo takoder pomocu njihovih tlocrta. Nacrtajmo, na primjer. ortogonalnu aksonometrijsku sliku V D' tlocrta tez--isnice V D trokuta 5 V 6, na kojoj je tocka 8. Pomocu tocke jj' nademo rocku :0, a zatim na­crtajmo pravac V D, koji nam presijece ortogonalnu' aksonometrijsku sliku desn~a~obocnog brida prizme u tocki 8. Na jednak se nacin mogu naci tocke 9, 10 ill.

Na kraju spojimo medu sohorn ta probodista i dQbit cemo 'stranice prodornog poligona<

181. Ol'togonalna aksonometrijska slika kruznice, koja je u koordi­natnoj ravnini. A:: - Zadana je ortogonalna aksonometrijska stika S, tocke S1 koja lezi!u koordinatnoj ravnini x z; konstruirajte ol"togonalntt aksonometrijsku stiku kruznice koja je u istoj ravnini aka je tocka Sl njezino srediste, a polumjer jaj je r = 15 mm.(sl. 212) !

Odredimo najprije ortogonalne aksonometrijske slike r .... r jJ i r~ ~riju duzina koje se stjecu u tocki 0, leze na osima x, y i z, a duge su po 15 mm (el. 177).

Ako zatim povucemo tockom SI pravac usporedo ,5 pravcem· x, i na nj nanesemo na obje strahe te toeke duzinu r}!l dobit cemo ortogonalnu aksonometrijsku sliku L K onoga promjera kruznice L K koji je uspore­dan S osi x. Nacrtamo U nakon toga tockom Sl pravac usporedo 5 prav.cem ;- i ucinimo Ii SI 1= 81 J = r z, dobit cerno ortogonalriu aksonometrijsku sliku I J onoga promjer"a I J krufnice koji je. usporedan' s osi z. Buduci da su prornjeri L K ·i I J u prostoru medu sohom okomiti, oni su konju­girani promjeri kruznice, pa 9U zbog toga njihove ortogonalne aksonome-

229

trijske slike L K i I J konjugirani promjeri elipse, koja je ortogonalna aksbnometrijska slika te kruznice. Ako sada krajnjim tockama jednoga promjera povucemo usporednice s drugim, dobit cemo ~Q!p. M N P R, a svaka njegova stranica dodiruje elipsu u svojem. polovis~u. p~o<:~ toga romboida moze se konstruirati onoliko tocaka ehpse kohko se zeh. Ako

'.pak zelimo nati sarno jos cetiri tocke te .:lipse, p~~i~eIi: ceIl2..o ro~b~~d~ve stranice M NiP R na cetiri jednaka dlJela, SPOJltt tocku L s dJehstlma

,

S1. 212.

1 ! 3, a tocku K s djeliStima 2 i 4. Nacrtat cemo zatim pravee L N, E p, I{ M i if R, pa ce se ani presjeci s vee nacrtanim spojnicama. u :ocka~a elipse E, F, G i H. Pri crtanju te elipse slobodnom rukorn spaJanJem n)e-

" i!

'"

230

zillih toeaka treba paziti na to da ena mora dodirivati romboid M N P R u polovistima njegovih stranica.

Da se izbjegne crtanje elipse slobodnom rukom, mogu se odrediti njezine osi - i to na nacin koji cerno upoznati u narednom zadatku - a zatim se eJipsa nacrta pomocu kruinica zakrivljenosti njezinih tjemena,

n. - Zadana je ortogonalna aksonometrijska stika ~ tocke 8 2 kOja jc u koordinatnoj ravnini x y; konstruirajte ortogonaln'U aksonomet1'ijsku. sliku. kruinice koja je tt istof'ravnini aka je tocka S2 njezino srediSte, a poiumjer joj je r ~ 15 mm (s1. 212) !

Ortogonalna aksonometrijska slika svakoga promjera te kruznice kraca je ocl promjera u prostoru, sama J~ ortogonalna aksonometrijska slika onaga promjera kruinice koji je ~edan s II~, jednaka tome pro­mjeru. Taj promjer A B, kao i njegova ortogc.naina aKsonometrijska slika A 3, usporedan je s tragom (X, Y) ravnine X 0 Y , u kojoj je ta kruznica. Ako, prema tome, povucemo tockom S2 pravac usporedan s tragom (X, Y), le na nj nanesemo na obje strane te toeke duzinu od 15 mm, dobit cerno najduzi promjer .if B iIi veliku os One elipse koja je ortogonalna aksono­metrijska sIika zadane kruznice.

Crtogonalna aksonometrijska slika krHznice koja je u jednoj od koor~ dinutnih ravnina jest elipsa kojoj je velika os uspol'edna s tragom te rav­nine, a jednaka je promjeru kruznice.

Da bismo odrediIi malu os te elipse, morarno nacrtati ortogonalnu aksonometrijsku sliku onoga promjera kruznice koji je okornit na drugom tragu (X, Y) ravnine X a Y, tj. koji je na priklonici te ravnine. U tu svrhu poloiim?JsE2.LQ~L.? bok£.~1-:tnJl .. _r~yp.ill1l ...• UJ;_Trag ravnine X 0 Y na boko­crtnoj ravnini II.l je pravae N 0°. Buduc~.9.§:je ravni~:&fkX ... ~QID1ta ~~?_ rr;!-z.31ora~~·o!{Qert S2

m srediSta S~ te kruznice, kao i bokocrt priklonice koja ide sredittem, biti na pravcu N 0°. Prenesemo Ii na obje strane tocke Se''' duzinu od 15 mm, dobit cerno tocke elf' i D"', koje su bokocrti.. kraj­njih tocaka onoga promjera kruznice koji je okomit na duzini X Y. Po­mocu tocaka en i D'" odredimo zatim tocke C i D, te taka dobijemo malu Os one elipse koja je ortogonalna aksonometrijska slika zadane kruznice.

Oznacimo Ii polovinu veHke osi elipse s a, polovinu male osi s b, a udaljenost fokusa ad sredista s e (linearni ekscentricitet elipse), onda izmedu tih velicina postoji poznati odnos a2 = b2 + e2, tj. duzine b i e Sll

katete pravokutnoga tf'okuta F) S,! C, kojemu je hipotenuza a, Taj je trokut

sukladan s trokutom e'" E S/" po tree em poucku sukladnosti, a iz toga izlazi da je E C'" = S; F, = e. Trokut COl E S/" sukladan je zatim s tro­kutom G H 0· po prvom poucku sukladnosti, a iz te sukladnosti izlazi da je H G = E C'" = e. A kako je H G = T!> to je e = TZ! tj. ekscentrlcitet 8 2 F J eJipse jednak je ortogonalnoj aksonometrijskoj slid one du~ine koja je na osi Z, a jednaka je polumjeru kruznice.

231

Buduci da je os Z olromita na ravnini X 0 Y, a ta je ravnina U opce­nitome polozaju prema ravnini 112, izvodimo iz toga ral"Jnat:canja OVO

pravilo: Ekscentricit"et ortogonalne aksono-metrijske slike kruznice jednak je

ortogonalnoj aksonometrijskoj sHci svake duZine koja je okomita na ra"l!-nini kru.znice, a jednaka polumjcru kruzniee.· __

Pom-oeu toga pravila moze se kons..!Tukcija male osi CD elipse 'znatno pojednostavlliti, i to ovako: U6-ini se S2 Fl = r 2> pa Se time dobije jedan fokus ·elipse. Ako se zatim oko toga fokusa opEe kruznica !eOjDj je polu­mjer jednak polumjeru zadane kruznice (r = 15 nvm), ona presijece pravac

polozen sredistem S2 okomito na A ii u krajnjim to-ekama C i i5 male osi trazene elipse.

182. *Ortogonalna aksonometrijska slika stozastog svoda. Naertajte 1.£ mjerilu. 1 : 20 ortogonalnu aksonometrijsku sliku stozastog svoda iznad prozorskog otvora ako je zadan njegov tloert i naert u mjeritu. 1 ; 40 !

U tIocrtu toga objekta (sL 213. a) nije nacrtano Ono sto mi od njega vidimo kad ga gle-damo oci-ozgo u smjen.: koji je okomit na II!·, vee je nacrtano ono iii-o od njega vidimo kad ga gledamo odozdo. Prozorski otvor zatvoren je djelomice gornjom polovinom pla.'~ta krnjega rotacionog slosca, a djelomice gornjom polovinom plasta rotacionog valjka, kojima se OS! po­klapaju, a okomite su na IT2. Krnji stozac je dio rotacionog stosca kojc-mu je polumjer osnovke 70 em dug) a njegova visina v = S' V' iznosi 210 ern.

Ako zelimo da ortogonalna aksonometrijska stika toga ohjekta prika­zuje pogled old 0 Z do, i to s des n e strane, i da ta stika uCini na gle­daoca prirodan dOj<hll, mOTamo izvesti konstrukciju ortogort'J9.-1ne aksono­metrijske slike osnoga kriZa (s1. 213. b) na jednak naCin kao i na s.likama 210. i 211, samo.sada treba da ortogonalna aksono:metrijska slika :r OS1 x Cini s pravcem (X, Y) kut od 30", a njezin pre-Ioiaj (x) s istjm pravcem kut ad 60Q

• Pomoeu ortogonalne aksonometrijske slike osnoga kina odredit cemo zatim ortogonalne aksonometrijske slike dz , d v i dz koje god duZine d i konstruirati kutove razmjernosti kao na slid 210. e, sarno cerno na zraku f nanijeti sada mje-rilo 1 : 20.

Konstrukciju ortogonalne aksonometrijske slike (s1. 213. c) !2g~

objekta zapocet cerno tako da kojom god toekom S povue-erno tri osi x, 11. i z usporedo S osima X, 11 i 'Z iz slike 213. b. Uzmemo zatim_ da je t'Ocka S ortogonalna aksonomettijska slika sredista S najvece polukruinice svoda, a da je lice svoda u koordinatnoj ravnini y z.

Od oI"togonalne aksonome'trijske slike liea svoda lwr:struirajmo naj­prije, pomoe-u kutova razrnjerriosti i kota iz sHke 213. a, ortogonalnu akso-­nometrijsku sliku obodnog stepenastog poligona, i to tako da nacrtamo ortogonalne aksonometrljske slike svih njegovih vrhova 1, 2, 3, 4, 15 i 16 i to redom koji je odreden prirodnim brojevima, a onda ih menu

232

s~bom svpojimo duz~ama. Nakon toga nacrtajmo, na nacm kojije objas~ nJen u c1. 181. B, poluelipsu k, koja je ortogonalna aksonometrijska slik. one polukruznice k sto je na lieu svoda t te ima za srediste toC~u S, a polu ..

C 7 __ ..... _

.r..

b

M

I ,,I i

Sf. 213. a, b i c

mjer joj je 70 em dug. Aka zatim spojimo tocku S s toekama"5 6 "9 10 13 !,.14, p~. o,d tih spojnica istaknemo sarno one dijel~v~ ~oli su iz~a~ elipse k~ do bIt cerno orto~onalne aksonometrijske slike 5 B, 9 C, ... i 6 G sljub­mea na lieu svoda.

233

Nanesimo sada od tocke S na os x duzinu ad 210 em pomotu kuta razmjernosti za tu os, pa cerna dobiti ortogonalnu aksonometrijsku sliku iT vrha V rotacionog" stosca kojemu je krui:nica k obodnica osnovke. Nakon toga nacrtajmo ortogonalnu aksonometrijsku siiku presjeka svoda lroordi­natnom ravninom x y koji se presjek sastoji od poligona 1 A At A1! Aa M i poligona 2 H H, H, H, N.

Tocka Sl l'e: S21 U kojoj se sijece aksonometrijska os x s duzinom At Hv jest ortogonalna aksonometrijska slika srediSta dviju koncentricnih polu­kruZnica kl i k2' koje su usporedne 5 koordinatnom ravninom y z, a polu­mjer jedne dug je 60 em, a druge_50 s.m. Ortogol1aln~ aks2.n.£metrijske slike tih polukruZnica su poluelipse kl i k:1' a duzine Ai Hi i A2 H2 SU Qrto­gonalne aksonometrijske slike onih nj ihovih promjera koji su u koordi­natnaj ravnini :t' y.

Spojimo Ii sada tocku V s tockama B, C",. i G, pa ad tih spojnica istaknemo sarno one dijelove koji su izmedu polueUpsa k i k1) dobit cerno ortogonalne aksonometrijske slike BB j , CC i " .. i G 01 sljubnica koje

_....! 12 4

fe15

LI , ~!

~!

t--

1:1 I r-~f

t-- f-<c.

f

,,' 111 ~l

17 161 17

81, 214.

i..._

SL 215.

k -J 1

I I I I i

50.60 I,

8/)#80

1·40

SL 216.

~ ~

~

su na stozastom dijelu svoda. Ako zatim spojimo tol:ku St ~ S!..., s ..!oc~at.!:a BlI CJ1 ••. i 0" dobit cerno ortogonalne aksonometrijske slike B1 Btl C1 Ct ,

. , . i 0-1

Gil onih sljubnica koje su ns polovini kruznoga vijenca koji je ogranicen polukruznicama kl i k!.

234

Tocka S8, u kojoj se sijeee aksonometrijska os :; s duzinom A3~' jest ortogonaJ.na aksonometrijska slika sredista S3 krw.nice lea koja je na straznjoj ravnini zida, a polumjer joj je 50 em dug. Ortogonalna aksono­rne~r..!1ska slika te polukrui;nice je poluelipsa k:s kojoj su krajnje toeke As l H3•

d Ako na kr~u povucemo iz tocaka B2.' C'l •. , . i G:. usporednice S 2,sL x CO !OIUe~i.p~e 3J, d~bit. cem.o ort~gonalne aks~mometrij~~e slike Bil B.3,

.2 3.···1 G: G3 omh sl]ubmca kOJe su nn valJkastom dlJelu svoda koji se nala'l..i imnedu polukruznica k2 i k

3•

14O:m

8121212 101 j .. ~

£' ~ 3. f' 90 f2 30

r- 1,30 In n~ ,Irl

-E·_-:::-J±-"::~=-"'. --H::'

~, w~ -180

Sl. 217.

. 183. Vjeibe. - 1. Nacrtajte u mjerilu 1 prlZmaticnog stalk a (pogled odoz.go) 1 : 15!

40' r-:-

1 i Ii I ~

I I

~ -

~-f"L 0

70 1 "

1 " .. I '90

SI. 218.

10 ortogonalnu aksonometrijsku slilcu koji je zadan slikom 214. u mjerilu

1 d 2. Nacrtajte u mjerilu 1 : 20 ortogonalnu aksonometrljsku sliku predmeta (po­g e odozgo) koji je zadan slikom 215. u mjerilu 1 : 40!

led 3. Nacrtajte u mjerilu 1 : 20 ortogonalnll aksonometriisku sliku s tee k a (pO-g odozgo) koji je zadan slikom 216. u mjerilu 1; 401 .

235

4. Nacrtajte u mjerilu 1: 20 ortogonalnu aksonom~tlijsku sliku d l' \-' e n 0 g s tal k a (poglBd odozgo) koji je zadan slikbm 217. u mjerilu 1 : 30 !

.5, Nacrtajte u mjerilu 1 : 20 o1'togonalnu aksonometrijsku sliku s p 0 ni en i k a (pogled odozgo) koji je zo.dan sUkom 218. u mjerilu 1 :.40 !

2 ~

~ " ~ •

" 5 0 , ~

~

~

/'1 [:20 ,

~ J ~l

SI. 219. SL 220.

6. Nacrtajte u mjerilu 1: 10 ortogonainu aksonometrijsku sliku cetverostranog stupa (pogled otlozgO) koH j~ zadan slikom 219, u mjetilu 1 : 20! .

7. Nacrtajte u mjeri!u i: 10 ortogonalnu alcsonometrijsku sliku cetverostranog stllpa (pogled odo1.go) koji je zadan slikom 220 u mjerilu 1 : 20 '

34. Kosa al{solJ"metrija

---A,", 184. Pojam kose" akSQllOmetl'ije. Pred vertik<:\inu ravninu IT'? (51. 221) postavimo' pravokv.tni koo;dinatni sustav u prostoru, kojemu je ish,>:iiste 0, tako da nijedna od. osi x, y i z ne bude usporedna starn ravninom. Aka su jEqdinice 11.a tim osima 0 A, 0 B i 0 C, mozemo pomocu njih lako odrediti polozaj svake tacke u prostoru kojoj su poznate koordinr.1.€:', npr. 'T (2'7) I, 2). Projicirajmo sada taj pravokutni koo-rdin<:ltni sustav o (x, y, z) koso na vertikalnu ravn;nu rr~, p-omocu ZTE\,ka projiciranja Z

koje nisu oko~ite na IT!h vee na nju koso padaju. Projekcija (y (xS, y\ ;;;-1)

(sZ ',Ii '$x) sO B[.PlI<3~Old 'nfEped OSO}{: n~u 'HU :p:lt.. '<lll eu ~nlliOJ[O ns.~u <3fo)J. . z "BfUe.1p~rOld "§}{EJZ n:,>OUlod ';;rr nU~Ufl.B...l nupDE·t...l'3A -eu OSQ){' (z <Ii 'x) 0

II.Elsns ~U:j.EU!p.I.Q01f. !u:j.nY(oAB.Id ~"81 "Bpes oUITe..l!;)1"~Old ,(Z 11 ·'1."Z) .L ·..Idu

'alBUWJOQ}{ aleuzod ns ror01[ nlo".j.$OJ.d n alf~ .. el '3li·-eAS ~""8~oldd n1P~JPO

O){l::T l{~~u nyotUod owa~out 'J 0 1 H 0 'V 0 "eUl1S0 ut!Q. -eu a:)!u!~~ ns O}{V

'WOlqUJ\l1,l IDOl S Eupt3.lOdsn apnq ;;IU Z 1 fi 'x 1S0 po l.mlft.l~!u up o~+. '0 a+~HP0l..{s~ d~ nwa~o}{ 'n.ro1so.Id n ABlsns 1u:reuj:p..lOO){ fUlnl\OAe.ld ouq.t,:e:j.sod (16'6 T:;) "U nU!li.'\IZ.l nUrE!"}{(pa,\ paJd ·~f!·IFnuOUOS!{U aS01{ Ulefod 'f81 '·~V

j 0(; : 1 rill m\,w II 'oz<:: '..uo~ns UGpm ;;Ir lfOl{ (O~ZOPo pariiod) Bdn~s gOuellS01~,\l~) "'ills misf!,qouIOUOS}P~ nUleuoZo:po 01: 1 nH~arw n a1~~.].·1;)TIN "I..

i Oc,: r nlP<>[w n '61<:: ut0'ills uepez <:lr lfoJt (oiizopo P.aHJod) -ednls J3'oueJ1SOJ«.\1(;t)! ri~i11S misfpFIUlOUOS'il.:! tlu\euo1!0po 01: 1: nU.l<:lfw n alf-ep::-eN '9

'6fZ 1S

,

236

pravokutn(}ga koord>inatnog sustava 0 (X, y, z) koja se na takav Mem 'dobije zove se kosa aksonometrijska stika toga pravokutnoga koordinatnog , sustava. Ako su Or A', or BS i OS CS kose aksonometrijske slike jedirJcl:t na tim QsiIDa, onda rnofemo pomocu tih jedinica lalro koIIStruirati llrosu akoo-

z·

C' .

A'

z

Sl. 221.

nometrijsku sliku T' tacke T (2'7, 1, 2), kao i svake druge tacke koja je zadana u tome pravokutnom koordinatnom sustavu. 0 polO'Laju u prostoru pravokutnoga koordinatnog sustava a (x, y, z) i 0 smjeru zraka projici­ranja Z ovise velicine kutova sto ih medu sobom zatvaraju alili"'Onometrij­ske osi x S

, 1l i Z~, kao i kose aiksonometrijske slike jedind.ca na tim osiroa. Kakav po]ozaj mOLemo dati akson.ometrijskim osima x f , y3 i z$, te koli~a skrac.iv.a.nj'a 11a njima tnozemo uzeti, to su dva pitar •. ia na koja ce nam dati OOg(}vor ovaj Po h 1 k e 0 v z a k 0 n (iz god. 180J):

lKoje god tri du.~ A .... O~ B' i 0 3 C 3 ravriine slike koje imaju zajed­nicku. krajnju. tacku. G~. a ne IeEe na istom pravcu • .!!!.Qgu se uvijek sma­~!ati k~oiekcijom triju jednakih duzina 0 A, 0 B i 0 C 1£ PTostOru koje imaJU zajedniaw-'-k--;:ajnJ;:"t~tk~O~"zatvaraju medu. sob om prave kutove.

~koji ~ naciu za kojigod izbor duz.ina 0' A', 0' B' i 0' C' mogu kon­struktivno odrediti smjer projiciranja z, polozaj koordinatnog sustava o (x, y, z) u prostoru i prava velicina jedinicne duiine d=OA,=OB =OC, to ne spada U opseg ovoga udibenika,

~

/[/15-1:5

/

M(t: \

)~ I '0 J 0 i " "" ,,\CD-/I!\o I """

J,"

s "",-X

C 'S I 4 ~ So I 31"; 01:, =°"2°/5, ('1, () elx" c12_

JI=:4-:~:~ ~J ,

237

Ar~ 185. Izbor aksonometrijskih osi i skracivanja na njima. Prema Pohl­keovom zakonu ~ ~ofelP'() u ve~~~oj !~y!!.!~ .. ~liJk~ uzetiJ?o \."oll} akso-. nometrijske osi r, y~ i Zf1 a dsto tako trrozemo i Skracivanja. na njima uzeti kolika h'ocen1O, a da nam to ip'aik bude kosa aksonometrijska slika. triju ooi pravokutnog koordinatnog sumava u ~ru i iedill~n;;ma. Ali akSOn(j.metrijska slika nekog predmeta, 'koju nacrtamo POffioCtl koj-ih' god aksonometl'ijskih cst i jedinica na njima, nece biti uvij.ek prirodna, vee izoblicena. Moramo se zbog toga pri izboru koordinatnih osi i jedinica na nj~ridrZavati ovih pravila:

~.:tk~?nometrijska os z~ treba cia bude vertikalna, :2)Kut 0; sto ga cini os z·~ S osi Xl treba da'bude od' 1000 do 110~, a kut

!3 st9.:Jl.R- cini as ZS s osi y$ tTeba da bude ad 115'" do 135c•

<.bftreba,uzeti 0'f As = Os c s, a O~ B& = od!t Os Aj do ~ Os AS, tj.a", = d", a dy = od i dz do i dz• . .. '"~-~--

~~_ uzm~_,k .. m.JL.Y~!,..J!.tQli;ts._Q_.trl?:ba da i skracivanje jedinice na os y bude vece.

Ka01to~o-;t~gonalna aksonometrijska s1i1ca nckog precimeta moze biti )zometrijska, dimetrijska i trimetrijska, tako i k05a alcsonometrijska slika nekog predmeta moze hiti izomet1-ijska, dime:trijska i tl'imet1'iiska, prema tome da Ii je d" = d y = d z • ili su sarno dvije ad tih vE'ECina menu sobom jednake ill su sve te trl veIiCine razliCite. '

AT. 186. Konstrukcija kose ah:sonometrijske slike. Kad se odabr:ru c,ksono­metrijske osi x$, yS i z$, te skraCivanja na njima dr, dll i d., onda se kosa aksonometrijska slika nekog predme1.a moze, 1I::ao i kod 1I::05e projekcije i oriogonalne aksonometrije, konstruirati:

a) uzastopnim crtanjem pojedinih dijelova tog" predmeta (kao na 31. 210. d);

b) pom-oeu kose aksonometrijske slike tlocrta tug~ predmeta (kao na 3!. 211. d);

c)' pomocu kose aksonometrijske slike nacrta toga predmeta (kao na , 31. 222. d).

Pri svakoj tOj metodi mogu se uj?l'1rebljavati ili kutovi razmjernosti (81. 210. c) ili mjerila umanjenja (s1. 211. c).

Nacrtajte u mjerH1l 1 : 20 kosu aksonomet1'ijsku stiku objekta gleda­nog odc.:do.koji je zadan na slici 222. a u mje7-1lu 1 : 30!

A. - A k son 0 met r i j s k e 0 s i i k u t r a z m j ern 0 s t t ..... Na­crtajmo ~el'}.~metl'ijske osi x.s, y& i ZS tako da bude -1: ZS x'; = 105~~ a -q: z$ y$ -r 120" Xsl. 222. b). Ti su kutovi izabrani zbog toga sto ih pomo'cu crtaCih t;ukut<i mozemo lako nacriati (105~ = 60" + 45Q

, 120" = 90" + 30"), :l nalaze se u oni:m gz;anicama koje s€ preporucuju u cL 185_ Sada p-retpo­stavimo da na~ alcsonometrijske osi x', y' i 2:'1 predocuju: tro-brid () (x, y, z),

238

gdje zamiSljamo da je- taj trobrid ispred II2 , tj. izmedu oka i ravnine slike, pa ce kosa aksonometrijska sllka objekta koju nacrtamo pomoeu tih akso­nometrijskih osi pobuditi u nasoj sV'ijesti predodzbu objekta kao da ga gledamo odozdo .

. "I}';&;[ "C/" c - F

0) i', \\:\ 1 ;~\Irt v A.

fl· CtQjO,jOoW$C'

a

d

b I"

~"

,U' , , -

Sl. 222. a, b, C i d

Nacrtajrno zatlm kut lazmjern9sti za odredivanje veliCina kosih akso­nometrijskih slilka onih duzina koje su usporedne 'S osi y (kao na sl. 210. e), uz pretpostavku cia cerno uzeti d ll = f d z> a d x = d z. Na 51. 222, c povucirno i.i tacke V zraku t', i na nju ucrtajmo mjerilo umanjenja za 1 : 20. Ako sada nactiamo luk kruznice kojoj je sl'e<iiste V, a prolazi tackom A, pa u taj luk ucrtamo tetivu A B :::: i V A, onda nam zraka V B zatvara sa zrakom t kut razmjemosti za duzine usporedne s osi y. Tako ce Jrosa aksQ~ nometrijska slika neke duzine ,koja je usporedna S osi y i duga je 20 em hiti usporedna s aksonoilleLrijskom osi y8 (s1. 222, b) i biti jednaka tetivi CD (sI. 222. c).

B. ~ K 0 n s t r u k e i j a k 0 sea k son 0 m e i" r i j s k e s 1 ike, Kao sto se ortogonalna aksonometrijska slika tlocrta nekog objekta moze upotrebiti kao polazna tacka za crtanje ortogonalne aksono-metrijske slike objekta (s1. 211. d), tako nam isto moze aksonometrijska suka nacrta nekog objekta (ortogonalna ili kosa) posluZiti za crtanje aksonometrijske slike (o-rtogonalne Ui kose) toga objekta. Zamislirno da je obj-ekt taka u pro~toru smjesten da je smjer njegove duljine usporedan S osi X, smjer sirime usporedan S osi y) a smjer visine usporedan S osi Z, te da se ravnir:a

239

zida toga objekta poklapa s ravninom koju odreduju ·OS1 x i z. BuduCi da se nacrt toga objekta· nalazi u ravnini zida, nacrtajmo najprije kosu aksono-­metrijsku sliku nacrta toga objekta pomocu njegovih dimenzija i aksono­metrijskih osi x' i Z'. Ta je kosa aksonometrijska slika nacrta nacri'ana na 51. 222. d tankom crtom, a na njoj 5U -oznacene kose aksonometrijske slike naerta nekih v:r'hdv;r-t6ga o-bjekta: 1"s, 2 f1s , 3"s, ]1"$ i 12"s. Da btsmo sada naSliilrosu aksonometrijsku sliku kojeg gOd od tih vrhova, npr. vrha 4, mi cerno najprije kroz kosu akson'Olnetrijsku sliku njegovog naerta 4"·~ povuCi pravac usporedan s aksonometrijskom osi yS. Utvrdit cemo zatim, pomocu slike 222'. a, koIiko je taj vrh udaljen od svoga nacrta (30 em). Na kraju cemo. pomocu ;kuta razmjernosti (s1. 222. c) naci tetivu E F koja je

I ~

" • '" .. I I ~

11 1'20

Sl. 223.

-J ~:-)--;! d ...... -1

M (:20

/' ';, ............,

-~~~~~.~;} d" ~o ..", ;., ~;~ .~, 'J.-..:._~ -.-l

~ ! / t

"

l~~'~'''; ~=t=+~.:. ,.~~ ~

M /'20

. 51. 225.

Jednaka udaljenosti k?~e aksonome\ ,ijske shke 4S vrha 4 0d kose aksono­metrijske shke njeg~v-og nacrta 4 us, tj. 4"s 4:~ = E Y Na isti se nacin od­re::de kose aksonometrijsKe slike svih ostalih vrhova toga obje-kta.

AT. 187. Vjezbe. - Nacrlajte ~ mjerilu 1 : lO kosu aksonomeirijsku sliku predmeta aka je .:[ ZB,xS:;: 105°, « z~1Js = 120e• dx "'" d" dy~" ~ dr, " predmet JE' z2dan slikom:

0) 223. t1 mjerilU 1: 20 (po g 1. dod 0 ,go); b) 224. u mjerilu i :20 (pogled orlozdO);

,', i,

" il

·'i (,

240

c) 2lS. u ~jerilu 1 :20 (pogled odozgo);

d) 226. u mjertiu 1 :20 (pogled o-dozdo);

e) 227. U mjerilu 1 :20 (pogled odozgo);

f} 228, U mjerilu 1: 20 (pogled odozgo)!

Sl. 227.

•

35. Prodori i sjene u aksonometriji

AT. 188. Prodor trostrane i cetverostr.ane prizme. NaC1"tajte ortogonaLnn aksonometrijsku sliktt prodora uspravne trostrane prizme kojoj je oSl'louka ABC "spare dna s 1'avninom (xy) [A (45, 25, 25), B (80, 50, 25), C (90, 10, 25), A1 (45, 25, 90)} i cetv€rostrane gspravne prizme kOj0j je osnovka rom~ boid DE F G usporedan s ravninom (yz) [D (30, 30, 40), E (30, 45, 60), F' (30, 20, 75), G, D, (l05, 30, 40)1. •

Na $1. 229. a izvedena je najprije konstrukcija ortogonalne aksonome­trijske slike osnoga kriZa i odredene su jedinice (5 A, 0 B i (5 C na akso­nometrijskim osima (c1. 179. B). Nacrtane sU zatim na s1. 229. b aksonome­trijske o8'i X, y, z i jedinice na njima.

Buduci da su pobocke trostrane prizme okomite na ravnini (xy), a poboeke cetverostrane prizme okomite nn ravnini (yz)/ nacriane su na 81. 229. b pomocu koordinata vrhova tih tijela ne sarno ortogonalne a~so-

'"

I " ; ,

241

nometrijske slike "tiili tijela vee i ortogonalne Jjksonometrijske slike nji­hovih tlocrta i bokocrta, jer cerno pomocu njih odredivati vrhove pro-dornog poligona. .

S1. 229. a i b

Kako su pobocke trostrane prizme okomite na ravnini (xy), to orto­gonalna aksonometrijska slika tlocrta E' E,' pobocnog beida £ £, ~etvero­strane prizme sijece stranice ortogonalne aksonometrijske slike Hocrta

1£ Nacrtna geometriJa.

\., '

242

trostrane prizme u tackama l' i 2' koje su ortogonalne aksonometrijske slike tlocrta ouih tacaka 1 i 2 ti kojima brid EEL prabada·trostranu pri­zmu. AJk.~ s~da iz tac~a t i ! povucemo ordinale usporedo S osi Z, one ce presjeci EEl u taOkama 1 i 2. Na isti se naNn nadu ortogonalne aksono­metrijske slike tacaka 3 i 4, odnosno 5 i 6, u kojima brid D D 1 , odnosno F Ft. cetverostrane prizme probada trostranu prizmu. Nauene taClke I, 2, 3, 4 i 6 vidljivi su vrhovi prodornog poligona jer u njima vidljivi bridovi cetverostrane prizme probadaju· vidljive pobocke trostrane prizme, a tacka 5 nije vidljivi vrh poligona jer je na nevidljivoj pobocki A C C1 At·

Pobocke cetverostrane prizme okomite su na ravnini (yz), zbog toga ortogonaln? aksonometnjska slika bokocrta A'" ..4/ .. pobocnog brida A Al trostrane prizme sijece stranice ortogonalne aksonometrijske slike boko­erta cetverostrane prizme u tackama fin i 8"', koje ~u ortogonalne akso­nometrijske slike bokocrta onih tacaka 7 i 8 u kOjima brid A Al probada cetverostranu prizmu. Ordinale povucene iz tacaka 7'" i 8''' usporedo s osi ;; sijeku Ii Ai u tackama -;; i 8, ad koj-ih je taiSka 8 vidljivi, a tacka 7 nevidljivl v1'h prodornog poligona.

Na isti se nacin nadu ortogonalne aksonometri.j~ke slike t<.lcakp. 9 i 10 u kojimo brid C C1 trostrRne pl'izme probflda cetv1o'i"(Jstranu priZlUU, a Koje su nevidljivi vrhovi prodornog poligona_

Na kraju. treba nadene vrhove spojiti strankama prodornog poligol1a pridriavajuCi se pri tome prvog i b"eceg pI-avila iz 61. 78.

Ar. 189. Prodor cetvero~rtrane piratnidc i osmerostrane prizme. NaC1"tCf.jte u mjel"ilu 1 : 10 kosu aksonometrijsku sliku podnozja pTuvilnog osmero­stranog stupa kaji je zadan slikom 230. a u mjeTiLu 1 : 20 aka je 4: 2'! r = = 105°, <t: Z3 y3 = 120°, d.£ = dz• a dll :;= t dx!

Na s1. 230. b prikazane su aksonometrijske osi , a na s1: 230. c pri­kazan je kut razmjernosti za odredivanje veliCina kosih aksonometrijskih slika onih duzina koje su usporedne s osi y ako je mjerilo 1: 10, n dy = ~d. (CI. 179. C).

Buduci rla je os pravilnog osmerostranog stupa okomita na ravr.lili (xy) , a osnovka kvadraticne piramide usporedna s tom ravniriom, bit ce nam dovoljna sruno kosa aksonometrijska slika tlocrta toga objekta za odredivanje kose aksonometrijske slike. prod6ra 11a njemu, kako je to bio slucaj na s1. 211. d.

Na slid d oznaceni su vrhovi objekta arapskim brojevima, i to onim redom kojim su crtane kose aksonometrijske slike tih vrhova. Najprije je nacrtana kos(l. aksonometrijska slika kvadraq,cne prizme kojoj su vrhovi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 i 8,. te kosa aksonometrijska slika kvadraticne piramide kojoj su vrhovi 5, 6, 7, 8 i 9. U ravnini osnovke kvadraticne prizme nac).ian

r-­I I

,

243

je zatim paralelogram 10" 11"12" 1374 koji je kosa aksonometrijska slika onoga kvadrata u kojemu je upisan tloert pravilne osmerostrane prizme.

DO vrhovBr 14'1) 15", 16", 17'3 kase aksonometrijske slike tlocna osme­rostrane prizme dodemo ovako: Polovina dijagonale kvadrata u kojemu je

al/2 22V2 upisan ~locrt pravilne osmerostrane prizme je 2- = ~-2- ...=.;; 15,5 CT/1"

pa ce prema tome biti, S obzirom na mjerilo 1: ]0, duiina 10's lS's, kao j

duzina 11" 1-4", duga 15'5 mm, a duzina 11"17'3, kao i duZina 12'$16'\

a

b

"

,

c

V4 ___ -,,~_1.C---""'---' 0/0.20 30

SL 230. a, t, c i d.

d

I , I I , , I ,

" I

mora biti duga f -15,5 = l1,6 mm. Na isti nacin nademo preostala cetiri vrha 18'$, 19", 20" i 21" kose aksonometrijske slike tlocrta osmerostrane prizme, Pomocu 'toga tfocrta nacrtamo sad a kosu akspnom0trijsku sliku osmerostrane prizme crtajuci kroz tocke 14\ lS'l :.:. 21'.1 usporednice scsi Z i nanoseci na svakH od njih duZinu ad 75 mm:.

Tocke 14, 15 .. ' .. , i 21, u kojima poboeni bridovi prizme probadaju p~lx>Ck'e piramide, odredit Cerno pomocu njihova tlocrta. Na primjH probodista 14 i 15 nalaze se u trokutu 789, i to na duiini 10 11, koja je

244

usporedna sa stranicom 8 I toga trokuta. Ako, prema tonie, nacrtamo kosu aksonometrijsku sliku lOs 11" te duzine pomocu njezinog kosog aksonometrijskog tlocrta 10's 11'$, onda ce na njoj biti t'razene to,eke 14$ i 15

s, Na jednak se nacin nadu tocke 161 i 17' , kao i preostala cetiti pf'O­

bodist~ piramide s' pobocnim bridovima prizme ..

Pobocni bridovi piramide probadaju poboeke prizme u tockama 22, 23, 24 1 25. Budud da su pobocke prizme okomite. na ravnim (xy), odredit cerna kose aksonometrijske slike tih probodi§ta takoder pomocu njihovih kosih aksonometrijskih tlocrta 22''', 23's, 24'$ i 25'1, Ako, na primjer, toe­korn 22's povucemo usporednicu S osi Z. ona ee presjeci brid 8" 91 u tocki , 22~. Na jednak se naCin nadu tocke 23~, 245 i 25s• '

Na kr'aju spojimo ta probodista stranicama prodornog poligona1

i to onim red om k&ko su nj ihovi tlocrti poredani po stranicama kosog aksono­metrijskog tlocrta ,prizme.

Ar. 190. Ko.nstrukcija sjena podnozja spomenika. Iza podnoija spomenika, kojegu je ortogonalna aksonometrijska stika nacrtana na' slid 210. d, po­stavite vertikalnu ravninu zida i konstrulrajte sve njegove sjene,(sL 231)!

Konstrukcija sjena U ortoganalnoj aksonometriji izvodi se po pravi­lima koje sma utvrdili u II poglavlju te knjige.

Zelimo li kanstruirati ortogonalnu aksonometrijsku sliku sjena, pod­noija spomenika pri dijagonalnoj rasvjeti, moramo prvo odrediti ortogo­nalnu aksonometrijsku sliku zrake svjetlosti, kao i ortogonalne ak.sonome­trijske sHke njezinih projekcija. U tu svrhu nacrtajmo ortogonalnu akso­nornetE:.ij~ku_sliku kocke i u njoj istaknimo ortogonalnu aksonometrijsku ~i~u ~J s:; s njezine dijagonale, zatim ortogonalnu aksonometrijsku sliku A' I 'E._S' dijagonale njezine osnovket kao i ortogonalnu aksonornetrijsku sliku A" f 3 ?', odnosno A 0 !!!!!" Sf", dijagonale njezine straznje, 6dnosno lijeve pobocke. Na taj nacin dobit cerno ortogonalnu a:ksono~etrijsku sliku zrake sVjetlosti, kao i ortogonalne aksonornetrijske slike njezinih projekcija pri dijagonalnoj rasvjetL

Ovo se podnozje spomenika sastoji ad iri prizme. One pobocne bri­dove svake od tih prizama koje pripadaju njezinoj rastavnici odredit cerna po pravilu iz cl:;.. 41. Povucimo pravce koji dodiruju osnovku prizme, a usporedni Sll sa s' pa ce oni pobocni bridovi prizme koji idu diruim vrho­virna pripadati rastavnici. Ta-ko rastavnici donje prizme pripadaju po­boeni bridovi A B i ED, na rast.avnici srednje prlzme nalaze se pobocni bridovi F G i J I, a rastavnici gornje prizrne pripadaju pobocni bridovi K L iON. Pored toga su na rastavnici donje prizm~ bridovi B C i 'c D. na rastavnici srednje prizme bridovi' G H i H I, a na rastavnici gornje pri­Zrne bridovi L M i M: N. Desna i straznja pobocka svake te prizme jest, prema tome, u samosj eni.

245

Po 'pravilu iz cl. 26. E sjene bridova F G i J I na donjoj pri7..mi i sj!,n~ bridova K L iON ne. srednjoj prizmi usporedne su sa Sf. Duzine F P, IT. KR i '0 S. koje su usporedne sa s', cine ortogonalnu aksonometrijsku sliku mede one sjene koju taj objekt baca na samoga sebe, zato nam jos ostaje da odtedimo njegovu bacenu sjenu na III i II2 ,

Sl. 231.

Sjena brida A B na III mora biti u$poredna sa s' jer je on okomit na TI" zbog toga je ortogonalna aksonometrijska slika te sjene duiina A BJ, koja je usporedna sa ;'. U tocki Bl nastavlja se ortogonalna aksono~ metrijska slika H, PI sjene onega dijela B P brida B C koji je rasvijetljen i to tako da je BI P' '* B P, jer je brid B P usporedan s TIl- U tocki PI zapoeinje ortogonalna aksonometrijska slika P, Gt sjene onoga dijela brida F G koji nije bacio sjenu na donju prizmu. Ona je usporedna sa s' jer je brid 'F G okomit' na Ill' Brid G H usporedan je s ITt, zbog toga .je at Rl # G R, Ortogonalna aksonometrijska slika sjene brida K L ide iz

246

toeke RJ usporedo sa s' do osi x, a zatim se penje na- TI2 usporedo s K L do tocke Lll. Tz tocke Lll uspinje se usporedo sa S" ortogonalna aksonome­trijska slika sjene brida L Prf, jer je taj brid okomit na IIz" Brid M N usporedan je s Illl • zbog toga je Mu Nil # M N. Ortogonalna aksonorne­~i~ka slika slene brida N 0 spusta se iz tocke l\?:yyaralelno s duzinom NO do tocke SJ/, u kojoj se nastavlja usporedo sa S I ortogonalna aksono­metrijska slika sjene brida S 1. Iz tccke In spusta se zatim ortogonalna aksonometrijska slika sjene brida r J usporedo s II do osi X, gdje se lomi i u smjeru $' dopire do tacke TI . U tocki iff .7.apoCinje ortogonalna akso­nometrijska slika sjene brida C D, koja usporedo 8 C 15 dopire do tocke D l • a duzinom D/ E, koja je ortogonaIna aksonometrijska slika sjene brida DEi kOja je usporedna sa ;;, zatvara se meda bacene sjene toga podnozja spomenika.

Ar. 191. Konstrukcija sjena kamene kIupe. Nacrtajte u mjerilu 1 : 20 kosu aksonometrijsku sliku kamene klupe kOja je zadana slikom 232, a u mje­rilu 1 : 30, pa konstruirajte sve njezine sjene ako je <: zsx 5 =105<>, « Z5y S=

4 = 120", d;r = d,:, a d y = 5 d I !

Kamena klupa sastavljena je od tri prizmaticna tijela kOja su prislo­njena uz vertikalni zid. Konstrukcija kose aksonometrijske slike toga objekta (s1. 232. c) izvedena je kao na s1. 222. d, pom'Ocu aksonometrijskih. osi (s1. 232. b) i kose aksonometrijske slike njegovog naerta, uzevsi da je' ravnina zida usporedna s ravninom (xz).

Na tom objektu pokazat cerno kako se konstruiraju sjene kad zrake svjetlosti kOje ga osvjetljavaju ne pripadaju dijagonalnoj rasvjetL Da bismo odredili neki smjer zrake svjetlosti z, nacrtat cerno kosu aksonome­trijsku sliku toc}ce T i njezinog tlocrta T's, a odatle nati T"l i T"'S, pa cerno povuci po volji tockom T' (s1. 232. b) kosu aksonometrij~ku sliku z$ zrake svjetlosti z, a toekom T'$ talroder po volji kosu aksonometrijsku sliku z's njezinog tlocrta z', One se sijeku u toeki T{~, kOja je kosa aksono­metrijska slika bacene sjene tocke T na ravnini (xy). Pomocu kosih akso­nometrijskih slika projekcijii tocke T i tocke T J narlene su zatim kose aksonometrijske slike z"$ i Z"'3 naerta i bokocrta zrake z.

Da bi opis konstrukeije sjena toga objekta bio sto kraci, opisat cernO sarno njezino prostorno izvodenje, a kosa aksonometrijska slika te kon-' strukcije prikazana je na slici 232. c.

Pri rasvjeti, kojoj su zrake usporedne sa zrakom z, bit ce osvijetljene gornja osnovka, prednja i desna pobocka gornje prizmaticne pIece, te prednja i desna pobocka prizmaticnih podlozaka. Konstruirajmo najprije sjenu koju je baeiJa gornja prizmaticna ploca na vertikalni zid i na hOri-. zontalno tIo kad 'lspod nje ne bi bilo prizmaticnih podlozaka. Rastavnica

\ i ,

247

te plo~e je prost;~na izlomljena erta ABC ~ E, a toeke B" Cr i D~. su ba­cene sjene njezinih vrhova B, C i D na hor.lzontalnom tlu., Budu~l da su bridovi A B i D-E okomiti na vertikalnom Zldu1 a usporednl s hOrlzontal­nim tlom bit ce njihove sjene na zidu usporedne sa z" «(:1. 26. E), a na tlu bit ce us~oredne s tim bridovima ((,:1. 26, D). Moraju prema tome duzine

b T"

z·,

St. 232. a, b i c

A< l' i E$ 2$ biti usporedne ,sa z"~J a duzir!e 1$ Bf~ i 21 D,s treba da budu usporedne s A' B', oono.no D'S', Bacena sjena B, c, brida fj C nA hori­zontalriom tiu bit ce usporedna s tim bridom jer je on usporedan s tim

. tlom, pa prema tome mora dtLiina B/ CIS biti usporedna s B$ CS; dok ba-

iii "I !.; , ; , ,

I

248

cena sjena C1 D, vertikalnog brida C D j koji je okomit na horizQntalnorn tlu, mora biti usporedna sa z', pa Je prema tome C/ Dl usporedaUL sa z'a, Isto tako bacene sjene vertikalnih bridova F G i II J prizmaticnih podlo_ zaka po horizontalnom tlu bit ce usporedne s?- z', pa su zato duzine Ji'$ 6,$ .i Hs 9 / usporedne sa z".

Bacena sjena brida A B prelazl u tocki 3 iz vertikl).Inog zi-da n:a ,desuu pobocku desnoga prizmaticnog podloska, i ide- paralelno s tim bridom do tocke Bx (d. 26. D), u kojoj tocka B baca svoju sjenu na tu pobocku. U tocki B;r; zapocil1je :bacena sjena brida B C; po desnom prizmaticnom pod­losku. Oua ide najprije do tocke 4, i to tako da je duzina B,/ 4~ usporedna sa z"" (eL 26, E), Zbog kontrole nadena je i locka 5, U kojoj brid Be pro­baci,a p-r.Qduz€nu ravninu one pobocke na koju baca sjenu, jer' duzina Bz 4 mora ici i tockom 5. lz tocke 4 Iomi Se sjena brida B C prema tocki 6 po prednjoj poboc1}i desnog podloska, i to taka da je duzina 4$ 6$ uspo­redna s B: CS (d. 26. D). Bacena sjena toga brida nastavlja se sada, po' ho­dzontallWrn tlu od tocke 61 do tocke 71• pa se iz te tocke ona penje po desnoj pObocki lijevog podloska lisporedno sa z'" do tocke 8 (c1. 26. E). Od tocke 8 lomi se bacena sjena brida E- C prema tocki 9, po prednjoj pobocki lijevog pOdloska usporedo s tim bridom, a na kraju zavrsava nje­gova bacena sjena po horizontalno1n tIu od tocke 9{ do C/.

Ar. 192. *I{onstrukcija sjena potpQrnoga zida. Nacrtajte tf, mjerilu 1 : 20

ortogonalnu. aksonometrijsku sliku potporHoga zida koji je zcidait slikom 233. a i konstruirajte sve njegove s)ene!

Potporni zid je odreden slikom 233. a na kojoj je nacrtan njcgov nacrt i bokocrt u mjerilu 1 : 40. On je sloten od cetiri prizmaticna tijela i od dijelovB, dviju cetverostranih piramida. Od zida zgrade sto ga podu­pire potporni zid nacrtan je sarno uski odrezak sirok 120 em.

Na slici 233. b nacrtana je ortogonalna aksonometrijska slika osnog kriza za pogled na predmet odozgo s desne strane, i u nj-oj 'su dodana mjerila umanjenja Za sve tri osi, a za rnjerilo slike 1 : 20.

Pomocu ortogonalne aksonometrijske slike kocke odr~dene su na slid 233. C ortogonalna aksonometrijska stika zrake svjetlosti i ortogonalne aksonometrijske slike njezinih projekcija za dijagonalnu rasvjetu.-

Pri crtanju ortogonalne aksonometrijske slike potpornog zida (sl. 233. d) uzeta je ravnlna zida zgrade za koordinatnu ravninu (xz), a ravnina tIa za koordinatnu ravninu (xy), a konstrukcija ~dike izvedena je uzastop-' nim crtanjem pojedinih dijelova potpornoga zida. (c1. 179. D).

Da bi opis konstrukcije sjena toga objekta bio kraci, opisat cemo sarno njezino prostorno izvodenje. a ortogonalna aksonometrijska slika te kon­strukcije prikazana je slikom 233. d.

~ 0 x,

~o y, " ~ 0 ,~

" ,

" ~

\ \ \z.~

\

249

Sl. 233. a. b, C i d

I~ Ii

250

Pri dijagonalnoj rasvjeti sve su desne i straznje pooocke, kao i os· novke prizmaticnih tijela potpornoga zida, u samosjeni, zbog toga ce ba­cati sjenu prednji desnl bridovi A B, DE. G H, I K, M NiT U, zatim pred ... njl donji bddovi JJ, PSi V T, kao i bridovi Be i E F; J L, P R i.V Z."

Iz nozista A brida A B, kao i iz nozista, D' brida DE, ide bacena" sjena toga brida po horizontalnom tlu usporedo s tlocrtom s~ zrake svjet­losti s. Sjena brida A B dopire do tocke Bis a sjena brida DE po tIu do toCke 1, pa se penje po vertiknlnoj ravnini podnozja zida do toCke Ex uspo­redo s b.t'idom. Baeena sjena brlda B C na horizontalno tio u5poredna je s tim bridom. Ona se sijece Sa sjenom brida DE u rocki 2[. Poyucemo Ii toekorn 2, zralcu svjetlosti unatrag, Qna ce nam presjeei brid Be u toeki 2. na kaju brid DE baca sjenu na brid B C. Prema tome' je duzina D 2 ba­cena sjena brida DEna desnaj poboC-ki donje krnje piramide, Rako je brid G H usporedan s bridom DE, a desne pooocke donje i gornje krnje piramide takoder su medu sohorn usporedne, mora bacena sjena G 3 b:rida G H na gornjoj krnjoj piramIdi hiti usporedna s duzinom D 2.

Bacena sjena brida E F na podnozje zida zgrade penje se iz toeke E~ prerna tocki F i usporedna je s nacrtom s" zrake svjetlosti jer je brid E F' okomit na ravnini na koju baca svoju sjenu. U tocki 3.1; zapocinje bacena sjena brida G H koja se usporedo s bridom penje do tocke 4, zatim Se lomi preko kose ravnine podnoz-ja zida do tocke 5, a od nje se dalje penje po vertikalnom zidu usporedo s bridom. Da bismo odredili bacenu sjenu toga brida na vertikalnu ravninu zida zgrade, a preko nje nasH tocku S, nati cerno pomoCu zrake svjetlasti s i njezina nacrta $;; bacenu sjenu 6}! koje god tocke 6 toga brida, a onda cerno tockom 62: nacrtati usporedo s bridom njegovu bacenu sjenu.

1sto se tako pomocu zrake svjetlosti s i njezina nacrta s" nade bacena sjena Ix vrha I na vertikalnu ravninu zida, kao i bacena sjena Jz vrha J na prednju vertikalnu ravninu srednjega dijela potpornoga zida. 1z tocke I j penje se sada bqcena sjena brida I K prema tocki K, a hacena sjena brida I J ide iz tocke J~, kao i iz tocke [:E' usporedo' s bridom, jer je brid I J usporedan s ravninima na koje baca svoju sjenu. Tocka ?:r. je ba.cena sjena one toeke 7 na koju brld Ii baca sjenu nn brid G H, a duzina L Jz jest ba~ena sjena brida L J.

Da bi konstrukcija bacene sjene brida M N na vertikalnu ravninu zida "l1a pregledna, pl'oduzen je taj brid, i na njegovom· proouZenju istaknuta je koja god tocka 8J pa je pomocu zrake svjetlosti s i njezina nacrta SU

odredena bacena sjena 8x te tocke. Toclrom 8;c nacrtana je zatim bacena ~jGna brida M N trsporedo S bridoffi. Ta se sjena sijece sa sjenom brida I K 11 tocki 9z • Povucemo Ii tockom 9z zraku svjetlosti un·atrag, ona ce' nam rresjeCi brid I K u' tocki 9> na koju hriJ M N bac~ sjenu na brid I K.

" I'

I I

251

Prema tome je duzina M 9, bacena sjena brida M N po kosoj ravnini J I K

potpornog zida. ..' . .

S· ,. P vrha P na vertikalnu ravninu zlda moze se odredlh po~o:u Jena, Z 'c k vietlosti s 1 nJe-

zradt:e svjetlosti s i njezina na~~ta s' , kao i porno u zra e s ~ . zina bokocrt& sm, 'sto je na sHei i u~injeno. Duhna R P;,; j:o bace~a ~Jena b ·d· R P a bacena sjena' brida P Side iz P:r; usporedo s bndom, Jer. Je on,

n a 1 • .. C sJenom usporecian S ravninom na ·koju' baca sjenu. Ta se sJena s~Je e ~a brida M N u tacki lO:,r;. PO'Vucemo li ta'ckom lOz zraku sVJetl~sti unatra~,

A_ .,. b~" P S u tacki 10 na kOJ'u brid M N baca sJenu na bnd ona, ue pres]eCl .1..1."\..1. .., • • iui P S. Ii tacke 10 penje se bacena sjena brlda M N po vertikalnoJ ravn vijenca do·tacke 11, u kojoj se ona lomi i nastavlja put tacke 12.

Tacka 13, u kojoj kosa ravnina vijenca sijece brid ~ N, ,~)"Ora s ta~­kama 11 i 12 biti na istom pravcu; a kako je kosa r~vnm~a VlJe.nca u~ -redna s kosom ravninom J I K potpornoga zicta, m1)ra]U bace~~ sJe¥~e bnda M N na te ravnine biti medu soborn usporedne, tj, mora bIt! duzma M 9

usporedna s duzinom 13-12. . . Bacenu sjenu brida T U odredit. cerno najkrace ovako: Kako ,Je ta]

brid usporedan s bridom I K, mora njegova bacena sjena na v:rbknlnu. ravninu zida bin usporedna s K 1:.0:., tj. duZina U 14 usporedna )€ ~ K Ix, a kako je taj brid usporedan i s kos0'!YI ravninOl.n vijen.ca, Tl:~ra nJego~: bacena sjena na tu ravninu biti usporedna s bndom, t.l. duzma 14 T z J~ usporedna sTU.

Tack-om j. ide zatim usporedo s bridom TV njegova baeena sjena jer je taj brid"'"'usporedan .s kosom ravninom vijenca, i, ta sjena id~e do taCke 15z u kojoj se ana sijeee s bacenom sjenom brida NIl!.. Povucemo Ii tacka:m 15x zraku svjetlosti unatrag, ona ce nam presjeCi.br~d M:: U

tacki 15, na koju brid V T baca sjenu na brid M N. Na kraJu Je duzma V x 15, baeena: s}ena brida V~,·a duZ'ina Z V x bacena sj~~a brlda Z V na prednju verlikalnu ravninu gomjega di.jela potpornoga zlda"

AT, 193; Vjdbe. - 1. Nacrtajte u mjerilu 1:;) ortogonalnu akscnornetrUsku...sliku

predmeta koji je zadan slikom: a} 235. U mjerilu 1 :10 (pogled odozgo);

'b} 236. u mjerilu 1 :10 (pbgled odozgo); c) 237. u mjerilu 1:10 (poglet! odozgo); d) 238. u mjelilu 1;10 (pog!:!d odozgo)!

·2. Na.crtajte t: mjerilu 1: 10 kosu aksonometrijsku S:iku predmeta aka je i d d et Je zadan slikom.: ..;( z l1 x4" ~ 1P50, <fsys = 12(10, d,.= d"" d y =! $, a pre m

a) 234, u mjerilu 1;20 (pogled odozgo); b} 239. u mieriIu ~ :20 (pogled odozgo)!

3: Nacrtajte u mjerilu i: 10 ortogonalnl.l eKsonometrijsJ.;:u sliku p r i z m a tj"­no g: 's t a'llt a (pogled odozgo}, koji je zadan sllkom 211, t kon~trulri:tHC sve sene n~ njemu i' na horizpntalnom tIu!

252

'\" j V J l\.-

--"---.-~.,-, .

1-- :! 1;: •

~ / ~-.

J "'j

! , "_' ____ ----1 __ .1

H '-10

Sf. 231.

~

l/~ • 1-:

~

11 l' f()

I I ~I L __ ._.....L_j

f-f !. /(J

Sl, 2r~" , ,. ~X !

V~· f-

f1 I' to

,,----"

:?~~~~ 81. 235.

st 239.

~

~

253

4. Nacrtajte u mjenlu 1 : 20 ko:'!U ot"togonalnu aksonornetrijsltu sWru predrneta (pogled o,dozg

o) koji je zadan slikom 215, postavite iza njega vertikalnu ravninu zlda

i konstruirajte sve njegove sjenel 5. Nacrtajte u mjerilu 1: 20 ortogonalnu aksonometri)skn :;liku s tee k a (po­

gled _OdozgO) koji je zadan slikom 216, post.avite iza njega vE',rtikalnu ravninu zjda

i konstruirajte sve njegove sjenel

6. Nacrtajte u mjerilu 1 : 15 kosu aksonometrijsku slUtu d r v e n 0 gas t a] k a . (pogled odozgo),koji je zadan slikom 217. i konstnlirajte~ sve sjene na njemtl i na

horizontalnom t1u! 7. Nacrtajte u mjerilu 1 : 20 ortogonalnu aksonometrijriku sliktl S P 0 men i k a

(pogled odozgo) koji je zadan sJikom 218, ako je on prislonj';!n nil vertikalnu rav-

ninu i konstruirajte sve njegove sjene!

' ..