'Ie..., - ~

JEVlcA PRAN~Ic!

N'ACRTNA GEOMET.RIJA

ZA I RAZRED GRADEVINSKIH SKOLA

Napisao

dr JURAJ JUSTINIJANOVIC sveucilisni profesor

SKOLSKA KNJIGA ZAGREB 1965

Urednik

JOSIP BRECEVIC

strucni recenzenti

dr VILKO NICE, sveueilisrii profesor VLADIMIR JIRASEK, profesor P. A.

ALFRED ZEPIC, profesor

Odobr~o sekretarijat"·za skolstvo i 6brazovanje SRH rjesenjenl br. 10-1021/'1 ad 16. m 1965.

TISAK GRAFICKOG ZAVODA HRVATSKE - ZAGREB

UPUTE NASTAVNIKU

Slike u ovoj knjizi nacrtane u kosoj projekciji, a koje sluze za objasnjavanje novih pojmova, poucaka i konstrukcija, neka nastavnik sarno skicira na pIoe;, a ucenici neka ih ne crtaju u skoli, jer bi se time utrosilo mnogo vremena, vee neka ill l .. - "uce precrtaju iz knjige u. svoje biljeznice, i to tamo gdje one spadaju.

_ ;-"dine Clanke u knjizi u kojima se obraduje takvo nastavno gradivo koje je slieno prije obradenome, a koje se ipak u tim Clancima detaIjno tumaci, moze nasta­'.rnik, da bi dobio na vremenu, zadati ucenicima kao domaci rad.

Medu zadacima ima takvih koji zahtijevaju mnogo crtanja. Takve zadatke nastavnik ce upotrijebiti kao zadatke za crteze ueenika, iIi ce neke od njih zadati boljim ucenicima kao posebne zadatke (seminarske radnje).

UVOD

1. Zadatak nacrine iIi deskriptivne geometrije. Kad tehnicar crta neki postojeei tehnicki predmet, npr. stolicu, stol, ormar, kueu, most itd., kazemo da on vrsi s n i man j e toga predmeta, a kad crta neki tehnicki predmet koji ne postoji, vee ga je on zamislio, kazemo da vrsi 0 s n i v a­n j e toga predmeta iIi da ga projektira. Bilo da tehnicar snima, ili pak osniva neki predmet, on ga ne opisuje rijecima, vee ga prikazuje crtezima. Pomoeu tih crteza tehnicari se lako mogu sporazumjeti i onda kad jedan . ne razumije jezik drugoga. Nauka koja je dala tehnicarima sredstvo za medusobno sporazumijevanje·zove se nacrtna geometrija. Ona je iznikla u tehnickom svijetu i dugo je sluzila tehnickim potrebama iako kao nauka nije ni postojala. Tek je pri kraju 18. st. uspio Gaspard Monge [Gaspar Mom] izluciti Ciste geometrijske elemente iz njihovih raznolikih aplika­tornih podrucja i stopiti ih u novu nauku. U svojem prvom udZbeniku nacrtne geometrije iz god. 1789. Monge je postavio ove zadatke nacrtnoj geometriji.

»Prvo, ona ima da dade metode po kojima se na crtaeem papiru, koji ima sarno dvije dimenzije (duljinu i sirinu), mogu prikazati sve prostorne tvorevine, koje imaju tri dimenzije (duljinu, sirinu i visinu), a uz pretpo­stavku da se te tvorevine mogu tacno definirati.

Drugo, ona ima da dade postupak po kojemu se iz tacnog crteza neke prostorne tvorevine moze upoznati nj ezin oblik, te mogu izvesti svi zakoni koji izlaze iz oblika i medusobnog polozaja njezinih dijelova«.

Ima vise nacina po kojima se prostorni predmeti mogu tacno prika­zati crtezima, a od tih nacina bit ee u ovom udzbeniku obradeni sarno oni koji se u gradevinarstvu i drugim tehnickim naUkama primjenjuju.

2. Centralno projicrranje. Na s1. 1. prikazan je izvor svjetla S i rav­nina 'It. 1z izvora svjetla rasprostiru se zrake svjetla pravocrtno na sve strane i osvjetljavaju ravninu 'It. Ako izmedu izvora svjetla S i ravnine 'It

zamislimo materijalnu tacku T koja je neprozirna, ona ee zaustaviti onu zraku svjetla koja na nju udari, pa ee se na ravnini 'It pojaviti tamna tack a Tc, koja se zove bacena sjena tacke T. Tacka Tc je ona tacka u kojoj

3

bi zraka ST koja je zaustavljena tackom T probola ravninu 11: kad bismo je produzili do te ravnine.

Postavimo li izmedu izvora svjetla S i ravnine 11: trokut ABC od nepro­zirnog kartona, on ce zaustaviti sve one zrake koje na nj udare, pa ce se na ravnini 11: pojaviti tamni trokut AcBeCe, koji je bacena sjena toga tro­kuta. Tacke Ac, Be i Ce su one tacke u Kojima bi zrake SA, SB i SC koje su zaustavljene od tacaka A, B i C probole ravninu 11: kad bismo ih produ­zili do te tavnine.

5

n

Sl. 1.

Izdvojimo sada cisto geometrijske elemente iz toga promatranja kako nastane bacena sjena tacke T i trokuta ABC.

Nepomicnu tacku S spojili smo s tackom T zrakom ST i tom zrakom proboli ravninu 11: u tacki Tc, a isto tako smo spojili tacku S s vrhovima trokuta ABC zrakama SA, SB i SC i tim zrakama proboli ravninu 11: u tackama AC, Be iCc, pa smo dobiIi vrhove trokuta AcBeCc.

Kad zamislimo da smo cvrstu tacku S spojili zrakom s nekom tac­kom T, pa odredimo probodiste te zrake s nekom ravninom 11:, onda kazemo da smo tacku T projicirali iz tacke S na ravninu 11:. Tacka S zove se sre~ diste iIi centar projiciranja, zraka ST je zraka projiciranja, tacka Tc je centralna pTOjekcija iIi perspektivna slika tacke T, a ravnina 11: je ravnina centralne projekcije iIi perspektivne slike. Tako je trokut AcBeCe cen­tralna projekcija ili perspektivna slika trokuta ABC iz tacke S na rav­nini 11:, a zrake projiciranja vrhova toga trokuta su zrake SA, SB i SC.

Takav nacin odredivanja sIike nekog predmeta zovemo centralnim projiciranjenn, jer sve tacke predmeta projiciramo iz jednog sredista ili centruma na neku ravninu 11:.

3. Normalno proJIClranje. Na s1. 2. prikazana je ravnina 11: na koju padaju suncane zrake s pod pravim kutom. Buduci da suncane zrake dolaze iz udaljenosti od 150 mil. km, mozemo uzeti da su one medu sobom uspo­redne. Postavimo Ii izmedu Sunca i ravnine 11: materijainu tacku T i nepro­zirni trokut ABC, oni ce bacati svoje sjene na ravninu 11:, a te ce sjene biti tacka T' i trokut A'B'C'.

Izlucimo sad a cisto geometrijske elemente iz toga promatranja kako nastane bacena sjena tacke T i trokuta ABC pri suncanoj rasvjeti kad zrake svjetia padaju na ravninu 11: pod pravim kutom.

Tackorn T postavili smo okomicu na ravninu 11: i odredili smo njezino noziste T', a isto tako smo s vrhova trokuta ABC spustHi okomice na rav­ninu 11: i odredili njihova nozista A', B' i C', pa smo dobili vi-hove tro­kuta A'B'C'.

C

A

Is

c' rr

/ A:

/ T' S' / 81.2.

Kad s neke tacke T spustimo okomicu na neku ravninu 11:, pa odre­dimo noziste T' te okomice, onda kazemo da smo tacku T normalno iIi ortogonalno iIi okomito projicirali na ravninu 11:. Zraka TT; je normalna ili ortogonalnazraka projiciranja, tacka T' je normalna iIi ortogonalna projekcija tacke T,a ravnina 11: je ravnina normalnih ili ortogonalnih pro­jekcija. Tako je trokut A'B'C' normalna iIi ortogonalna projekcija tro­kuta ABC na ravnini 11:.

Takav nacin odredivanja slike nekog predmeta zovemo normalnim iIi ortogonalnim projiciranjem, jer sve tacke predmeta nor mal n 0

projiciramo i1a neku ravninu 11:.

4. Koso projiciranje. Na s1. 3. prikazana je ravnina 11: na koju padaju suncane zrake s koso i cine's tom ravninomostar kut (L. Postavimo li izmedu Sunca i ravnine 11: opet materijalnu tacku ~ i .t;rokut ~~~, oni ce bacati svoje sjene na ravninu 'It, koje ce biti tacka T i trokut ABC.

5

'Istaknimo i sada cisto geometrijske elemente iz tog promatranja kako nastane bacena sjena tacke T i trokuta ABC pri suncanoj rasvjeti kad zrake svjetla padaju koso na ravninu 11;.

Tackom T povukli smo zraku s koso prema ravnini .'It j odredili tacku T u kojoj je ta zraka probola tu ravninu, a is to tako smo vrhovima tro-·

kuta ABC povukli paralelne zrake koso prema 'It i odredili tacke A, 13 i C u koj~m~ ~u te zrake pro bole tu ravninu, pa smo dobili vrhove tro­kuta AB C.

81. 3.

Kad nekom tackom_ T povucerrio zraku s koso prema nekoj ravnini 'It,

pa odredimo onu tacku T u kojoj ta zraka probada tu ravninu, onda kazemo da smo tacku T ~oso projicirali na ravninu 'It. Zraka TT je zraka kosog pro­jiciranja, tacka Tje kosa projekcija tacke T, a ravnina 'It je ravnina kosih projekcija iIi ravnina sIike. Trokut ABC je kosa projekcija trokuta ABC na ravnini 'It.

Takav naCin odreaivanja slike nekog predmeta zbvemo kosim proji­ciranjem, jer svaku tacku predmeta k 0 s 0 projiciramo na neku ra';'­ninu'lt.

Nor mal no i k 0 s 0 projiciranje imaju jedno zajednicko svojstvo, a to je da su im z r a k e pro j i c ira n j a meau sobom par ale 1 n e. Razlikujemo stoga uglavnom dvije vrste projiciranja, a to su ceyLtraIno i paralelno projiciranje, dok paralelno projiciranje dijelimo jos na nor-maIno i koso projiciranje. . .

5. Oznake i kratice. U ovom udzbeniku upotrebljavat cemo ove oznake:

1. velikim latinskim kurzivnim slovima oznacivat cemo tacke u pro­storu, npr. A, B, C, ... ,

6

2. malim latinskim kurzivnim slovima oznacivat cemo pravce i kri­vuIJe u prostoru, npr. a, b, c .... ,

3. velikim grckim normalnimslovima oznacivat cemo ravnine i krive plohe, npr. A, B, r .... ,

4. malim grckim normalnim slovima oznacivat cemo kutove, npr. IX, (3, 'Y • ••..

Kratice koje cemo upotrebljavati u ovom udZbeniku jesu:

II = usporedan, =If = usporedan i j ednak, J. = okomit, b. = pravi kut, "" = istovetan, identican, <J:: ABC = kut kojemu je tjeme B, a kraci B A i B C, <J:: ab = kut kojemu su kraci a i b, <J:: r A = kut koji zatvaraju ravnine riA.

Kad se jedan geometrijski elemenat dobije spajanjem dvaju iIi vise drugih, onda cemo to kraticom oznacivati ovako:

p = (A, B), tj. pravac p polozen je iIi odreaen tackama A i B, r (A,B, C), tj. ravnina r polozena je iIi odreaena tackama A, B i C, A = (a, b), tj. ravnina A polozena je ili odreaena pravcima a i b koji mogu

biti iIi ukrsteni ili usporedni, E = (a, B), tj. ravninaE polozena je iIi odredena pravcem a i tackom B.

Ako se jedan geometrijski elemenat dobije sijecenjem dvaju ili vise drugih, onda cemo to kraticom oznacivati ovako:

T (a x b), tj. tacka T u kojoj se sijekupravci a i b, . 'P (E x A), tj. pravac p u kojemu se sijeku ravnine E i A, T (a x E), tj. tacka T u kojoj pravac a probada ravninu E, T (1' x A x E), tj. tacka T u kojoj se sijeku ravnine r, A i E.

U cemu se razlikuje kratica nekoga geometrijskog elementa koji je nastao spa­janjem drugih elemenaia od kratice nekoga geometrijskog elementa koji je nastao sijecenjem drugih elemenata?

7

I. NORMALNO PROJICIRANJE NA JEDNU RAVNINU

§ 1. PROJICIRANJE TACKE

Kad se s tacke A (s1. 4) koja je iznad horizontalne ravnine 7t spusti oko­miea na tu'ravninu, pa se odredi njezino noziste A' (Citaj: A ertiea), dobije se normalna iIi ortogonalna projekcija tacke A na ravnini 7t.

Normalna projekcija tacke Ana ravnini 7t je noziste A' okomice spu­stene s te tacke ria ravninu 7t.

Okoniica spustena s tacke A na ravninu 1C je zraka projiciranja, a ravnina 7t je ravnina projekcija. 1z tacke A moze se spustiti na ravninu 7t

samo jedna okomica, pa prema tome svaka tacka prostora ima samo jednu normalnu projekciju na ravnini 7t.

0 A

E o

~(2)

A'(2) C'(-2,5) ~

.C'(-2,5) o

I E'(2)

/ E'(2)

0 0'(3) a B'(O) 1

IT

1

o

D'(3) B 6'(0)

IT

lc 81. 4. i 5.

Ako je zadana normalria projekeija A' tacke A na ravnini 7t, da Ii je time odreden polozaj tacke 4 u prostoru prema ravnini 7t? 1z normalne projekcije A' tacke A moze se zakljuciti samo to da se ta tacka nalazi negdje na okomici koja se u tacki A' moze postaviti na ravninu 7t, ali se ne zna koliko je ta tacka udaljena od te ravnine. Svaka tacka te okomiee ima svoju normalnu projekeiju' u tacki A'. Samom normalnom projekei-

8

jom tacke A nije dakle 'odreden polozaj te tacke u prostoru, Tek kad bi uz normalnu projekeiju A' tacke Abila zadana i udaljenost tacke A od ravnine projekeija 7t, bio bi odredep. polozaj te tacke u prostoru. Broj koji oznacuje udaljenost neke tacke od ravnine projekcija 7t zove se kota te tacke i pise se u zagradi uz normalnu projekciju te tacke. Tako tacka A ima kotu 2 em, pa je to na s1. 4. oznaceno ovako: A'(2).

Tacka je potpuno odredena u prostoru svojom normalnom projekci­jom i kotom.

Dok budemo rjesavali osnovne teoretske zadatke s tim nacinom pro­jiciranja, zadavat cemo kote u e e n tim e t rim a, a kada prijedemo na rjesavanje zadataka u kojima ti osnovni zadaci imaju svoju prakticnu primjenu, tada cemo kote zadavati u met rim a.

Tacka B koja je u ravnini 7t ima kotu nula. Gna se poklapa. sa sVbjom kotiranom projekcijom.

Tacka C koja je ispod ravnine 1t ima, za razliku od onih tacaka koje su iznad te ravnine, kotu negativnu, i to (- 2,5).

Tackama DiE tloerti se poklapaju, ali po njihovim kotama zaklju­cujemo da je tacka D iznad tacke K

Kad ertarno na papiru koji je na horizontalnorn stolu ili klupi, uzi­rnamo da je tavnina toga papira ujedno i ravnina projekeija 1t.

Ako se ravnina projekcija 7t iz s1. 4. podudara s ravninom papira na kojemu ertamo, i ako je ogranicimo pravokutnikom, onda dobijemo s1. 5. U tom pravokutniku naertane su normalne projekeije tacaka A, B, C, D i E koje smo promatrali na s1. 4. i zadane su njihove kote. 1z te slike zaklju­cujemo da je tacka A iznad ravnine projekcija, tj. iznad ravnine papira na kojemu ertamo, i tb iznad tacke A', ada je od nje udaljena 2 em.

Odredite kakav polozaj prema ravnini projekcija (ravnini papira) imaju os tale tacke kOjima su na s1. 5. zadane normalne projekcije i kote.

§ 2. PROJICIRANJE DUZINE

Na s1. 6. prikazana je ravnina projekcija 7t i dliZina u prostoru kojoj su krajnje tacke A i B. Tacka A udaljen:a je 3,5 ern od ravnine projekeija 1t,

a tacka B 2 ern. Naertane su zatim normalne projekcije A' i B' tih tacaka i oznacene su njihove kote. SpQjimo Ii tacke A' i B', dobijemo duzinu A'B'.

Normalne projekcije svih tacaka duzine AB ispunile bi duzinu i).'B'. Duzina A'B' je norrnalna projekcija duzine AB.

Znamo qa je duzina AB potpuno odredena svojim krajnjirn tackama, pa ce prematorne svaka duzina biti u prostoru potpuno odredena normal­nim projekcijama i kotama svojih krajnjih tacaka.

9

c o E

E' 0' A(3,5) c'

IT

81.6.

F 8

N a s1. 7. uzeli smo opet kao na s1. 5. da je ravnina projek­cija'lt ravnina papira na kojemu ertamo i da je ogranicena pra-vokutnikom, a tako cemo uzi­:n.ati i ubuduce. Na ravnini 'It

naertana je najprije normalna projekeija duzine AB ·koju smo promatrali na s1. 6. i zadane su kote nj ezinih krajnjih tacaka.

nini projekeija, moramo naCi polozaj A i B, pa njih spojiti duzinom.

Da bismo odredili polozaj u prostoru dliZine AB prema rav­

u prostoru njezinih krajnjih tacaka

8'(2) 0'(-5)

/' A'(3,5)

F'(-3)

/ C'(-2) E'(4)

IT

81. 7.

Na s1. 7. naertane su josi normalne projekcije duzina CD i EF i ozna­cene su kote njihovih krajnjih tacaka.

Nadite polozaj u prostoru tih duzina prema ravnini projekcija.

§ 3. PEA V A VELICINA DUZINE

Kad je duzina AB nagnuta prema ravnini projekcija 'It, njezina je nor­malna projekcija A'B' kraca od te duzine, ali njezinu pravu velicinu mo­zemo odrediti konstrukcijom na dva naCina:

A. - P r v ina c i n: Na s1. 8. prikazana je duzina AB kojoj je jedna krajnja tacka A udaljena 1,5 em od ravnine 'It, a druga krajnja tacka B 2,5 em. DliZina AB, njezina projekcija A'B' i zrake projiciranja tacaka A i B omeduju trapez ABB' A' kojemu su kutovi na vrhovima A' i B' pravL

10

Da bi::;mo konstrukcijom odredili pravu velicinu dliZine AB, naertat cemo t.: ravnini 'It trapez A'B'BoAo koji je sukladan s trapezom ABB' A', a dobivamo S'a tako da trapez ABE' A' preklopimo oko njegovog kraka A'B' na ravninu 'It.

8

81. 8. i 9.

Na s1. 9. izvedena je ta konstrukcija ovako: U tackama A' i B' povu­cene su okomice na duzinu A'B', zatim je nacinjeno A' Ao = 1,5 em i B'BO = 2,5 em, pa su tacke An i Bo spbjene duzinom AoBo koja je prava

veliCina duzine AB.

E. -- D rug ina c i n: Kada tackom A' (s1. 9) powucemo uspored­nicu s AoBo, nastane p r a v 0 k u t nit r 0 k u t A'B'Co.· Kat eta B'Cn toga trokuta jednaka je razliei dti~ina B'Bo i A' Ao: tj. 2,5 em - 1,5 em = = 1 em, ona je dakle jednaka razlici kota krajnjih taeaka duzine AB. H i­pot e n u z a A'Co toga trokuta jednaka je duzini AoBo jer je lik A'CoBoAo paralelogram, ona je prema tome jednaka pravoj velicini duzine AE. Iz

toga izvodimo:

Hipotenuza pravokutnog tro­kuta kojemu je jedna kat eta ko­tirana projekcija neke duzine, a druga kat eta jednaka razHci kota krajnjih tacaka te duzine, jednaka je p1'avoj veLicini te duZine.

Taj drugi nacin odredivanja prave velicine neke dliZine ne sarno da je kraci vee se moze primijeniti i onda kad su kote 81. 10.

0'(18,5)

: :

:

11

krajnjih tacaka veliki brojevi, pa bi tacke Ao i Bo nakon preklapanja tra­peza ABB' A' pale izvan ravnine slike.

Na taj naNn nanena je na s1. 10. prava velicina duzine CD kojoj jedna krajnja tacka ima kotu 15, a druga 18,5.

Nadite polozaj u prostoru te duzine prema ravnini projekcija i objasnite tu konstrukciju.

C. - D u z ina i m a jed n u k raj n jut a c k u is pod r a v­n i n e 1t'. Kad je jedna krajnja tacka dliZine EF iznad ravnine projek­cija 1t, a druga ispod nje (s1. 11), tada duzina EF probada ravninu 1t u tacki P. Tase tacka zove probodiste ravnine 1t duzmom EF. U toj tacki sijece duzina EF svoju norm aInu projekciju E'F'. Kut (J. sto ga duzina EF cini sa svojom normalnom projekcijom E'F' zove se prikToni kut te duzine

E

.~o7 .,/ 'F'(:i,5}//

.t.....:..:.IT-"::':!""---\-T-\1

F

81. n. i 12,

Fo ' A

E'(2.5) ./"/

./ cI- •. : ~" 'p i

/ / F'(-l,5)

// j/

IT

prema ravnini 1t. Duzina EF, njezina normalna projekcija i zrake proji­ciranja njezinih krajnjih tacaka E i F ne ~meQuju sada neki trapez kao na s1. 8, vee dva pravokutna trokuta EE'P i FE'P. Preklopimo li duzinu EF oko njezine normalne projekcije E'F' na ravninu 1t, ta ee dva trokuta pasti na razlicite strane normalne projekcije E'F', ali ee nam zbroj njihovih hipotenuza dati pravu velicinu duzine EF.

Duljina normalne projekcije E'F' duZine EF ovisi 0 njenom priklo­nom kutu (J.. Sto je prikloni kut neke duzine prema ravnini 1t veei, to je njezina normalna projekcija na ravnini 1t manja.

Po tome objasnjenju odrenena je na s1. 12. prava velicina duzine EF kojoj je zadana normalna projekcija E'F' i kote njezinih krajnjih iacaka, od kojih je tacka F ispod ravnine projekcija 1t.

Objasnite tu konstrukciju koja nam daje ne sarno pravu velicinu EoFo duzine EF vee i polozaj probodiSta P, kao i pravu velicinu priklonog kuta rt..

12

r I !

§ 4. OSOBITI POLoZAJI DUZINE .' ., . kcija 1t iIi kada Je s nJom

Kad je dliZina okomita na ravmm proJe V" .' b . t' pol 0-. . . k zemo da ta duzma Ima 0 SOl 1

usporedna, ili kada Je u llJO), a." . d V" AB CD i EF koje . . N 1 13 prikazane su UZlne ,

z a j prema toj ravnml. as.· ." su u osobitim polozajima prema ravnini proJekclJa 1t.

IT

6

D

I A

r=== 6'(3)

D'(2) 1\(1)

. f C'(2)~'(O)

EE'(O)

81.13.

Za sve ostale duzine koje nisu u jednom ~d ti~ polozaja kazemo da • v • u rema ravnini proJekClJa 1t. . '

su u 0 p C em polo z a J P ., 'ekcl'J'a 1t nJ'ezin J'e pnklom kut V" B k 't 'e na ravnlm proJ '

Duzma.A 0 ?mkl.~ J A' . B' njezinih krajnjih tacaka padaju skupa, 90°. Normalne proJe cIJe 1.. v

. . alna projekClJa tacka. pa je nJezma norm " . . . pro)' ekcija njezina je normalna

Kad je duzina okomtta na ravntnt ,

projekcija tacka. . . m projekcija 1t. Njezine su krajnje DliZina CD usporedna Je s. ra.vnm~kl . kut J'e 0° Cetverokut CC'D'D

. d 2 cm a nJezln pn om . tacke udalJene 0 1t " ' ., CD =If C'D'. je paralelogram jer je CC =If DD , pa Je 1

Kad je duzina usp01'edna s ravni­nom projekcija, njezina je nov~malna projekcija usporedna s tom duzmom

njoj jednaka.

D v. a EF J' e u ravnini projekcija UZln ., 'F'

7t. Njezina se normalna projekclJa E poklapa s tom duzinom.

Kad je duzina u ravnini pTojekcija: njezina jenormalna pTojekcija 'lL samo:]

toj duzini.

0'(2)

/

' 08'(3)

":(1)

c'(2) ~(O) E'(O)

IT

81.14.

13

Na s1. 14. nacrtane su normalne projekcije duZina AB, CD i EF. Nadite polozaj u prostoru svake te duzine prema ravnini projekcija.

§ 5. PROJICIRANJE TROKUTA

A. - T r 0 k u t u 0 pee m polo z a j u pre mar a v n i n i 1t. Trokut ABC na s1. 15. u 0 pee m j e polo z a j u prema ravnini projek­cija 1t jer ravnina toga trokuta nije ni okomita ni usporedna s rayninom 1t. Njegovi vrhovi A, B i C imaju kote 2, 2,5 i 3. Ako te, vr~~ve, norm~lno projiciramo na ravninu projekcija 1t, dobijemo tacke A, B 1.C, ~.poJlmo Ii te tacke, dobit cemo trokut A'B'C' koji je normalna proJekclJa tro-

kuta ABC.

c

";:---'i---"')' 8'(2,5)

IT ti(2) in

SI. 15. i 16.

Opcenito je normalna projekcija trokuta opet trokut.

Na s1. 16. nacrtana je normalna projekcija trokuta ABC. Nadite polo­zaj u prostoru toga trokuta prema ravnini projekcija.

A

~2,5) C'(3) A ,

B'(2,5) ti(1,5)

IT IT.

Sl. 17. i 18 ..

14

B. - R a v n ina t r 0 k uta 0 k 0 mit a n a r a v n i n i 'it. Na s1. 17. prikazan je trokut ABC kojemu je ravnina okomita na ravnini1t. Zrake projiciranja njegovih vrhova A, B i C nalaze se u ravnini toga trokuta, pa su normalne projekcije A', B'l C' tih vrhova na onom pravcu u kojemu ravnina trokuta sijece ravninu 1t. Normalna projekcija trokuta ABC sad a je duzina C'B'.

Kad je ravnina trokuta okomita na ravnini projekcija, njegova je nor­malna projekcija duzina.

Odredite polozaj u prostoru trokuta ABC prema ravnini projekcija 7t,ako je njegova normalna projekcija zadana na sl. 18.

C. - R a v n ina t r 0 k uta us p 0 red n a s r a v n i nom 'it. Tro­kut ABC koji je prikazan na sl. 19. usporedan je s ravninom projekcija 7':

i 'od nje je udalji;n 3 cm. Buduci da je sada normalna projekcija svake stra­nice toga trokuta jednaka stranici u prostoru, to je trokut A'B'C' sukla­dan s trokutom ABC.

C B

A

8'(3)

e(3) (~

ti(3)

11 .(3) In Sl. 19. i 20.

Kad je ravnina trokuta usporedna s ravninom projekcija, njegova je normaLna projekcija sukLadan trokut.

Na s1. 20. zadana je normalna projekcija trokuta ABC. Sto zakljucu­jete iz kota njegovih vrhova? Odredite njegov polozaj u prostoru prema ravnini projekcija 'it.

§ 6. PROJICIRANJE VISEKUTA

Na s1. 21. prikazan je ravan peterokut ABCDE koji je u opcem polo­zaju prema ravnini projekcija 1t i njegova normalna projekcija A'B'C'D'E'. Svaki se visekut moze razdijeliti dijagonalama na dva ili vise trokuta koji su u istoj ravnini. Tako je peterokut ABCDE razdijeljen na tri trokuta.

15

'I 0 projiciranju tro­visekuta vrijede pravi a

t me za projiciranje Prema 0 ravnini p1'ojekcija, njegova kuta (§ 5), ll; ta su: 'polozaju prerna I

, 'v kut u opcern Kad Je Vtse " 'sekut. ' , norrnaLna projekcija istmrnem Vt't na ravnini projekcija, njego

va Je

Je "vekuta okomt a d ' ravntna VtS ,

Ka Je V' , k " n,;egova Je ojekcija duztna. inom proJe ctJa, J

normalna pr , 'v k ta usporedna s ravn K d' ravntna vtse u

a Je , ' ' kladan visekut. normalna proJekct]a su

o

n SI.21.

" A'B'C'D'E' peterokuta 1 projekcIJa ,,' , ' ot-

N 1 '22 nacrtana je norma f\a ma ravniniprojekclF bIt ce AP B

as.' v' prostoru pre "h vrhova npr, , .4BCDE. NjegoV polodzaml U

o J'OS kote samo triju nJegovvnl'lna u pro~to;u, Oko-

. u ako za a , J'egova ra v

puno odre en. 0 uno odreuena n, na ravninu 'It u tackama i C, jer je s ta tn vrha p tp mice postavlJe~e inu peterokuta u tac-

D' i E' probost ce ravn

, 1

/ \ A(3~

\

C"4-)

\ B'(2}

tJ1~-------: S1.22.

16

'E kama D 1 • , Normalna projekcija

omena" ..' _ NaP , ' proJ' ekcIJa 'It zaJe

Vk na ravmm neke tac ~ m kotom zove se kotirana pro-dno sa svoJo Vk na ravnini 'It. Taj se na­jekcija ~~ ~ac .: upotrebljava kad tre?a cin pro,J,lClranJrikazati neki teren, :at~m projekclJO~ ~u ( rojektiraju) ceste, zelJe­kad se osmv~J P" I' uSJ'eci terena itd,

toVl naslpl v' .

zmcki pu, ' projiciranja bit ce opSlr­NaCin kotrranog

nije obraden u udZbeniku za drugi razred, kamo po nastavnom programu i spada, a u ovom udzbeniku dati su sarno neki njegovi osnovni pojmovi.

Taj nacin projiciranja nije pogodan za prikazivanje gradevina, zbog toga gradevinar upotrebljava drugi nacin projiciranja s kojim cemo se upoznati u ovom udzbeniku.

Vjezbe

1. Odredite polozaj u prostoru i pravu velicinu duZine AB, ako je zadana:

a) njezina normalna -projekeija A'B' = 4 em, te A'(I) i B'(3), b) njezina normalna projekcija A'B' = 3 em, te A'(-2) i B'(-3), c) njezina normalna projekcija A'B' = 3,5 em, te A'(15) i B'(17,5), d) njezinc-. normalna projekeija A'B' = 4 em, te A'(3) i B'( -2), e) njezina normalna projekeija. A' '" B', te A'(2) i B'(5), f) njezina 'normalna projekcija A' '" B', te A'(2) i B'(-5).

2. Nadite pravu velicinu trokuta ABC, ako je njegova normalna projekcija isto­stranican trokut kojemu su straniee duge 3 em, te je A'(I), B'(2) i C'(3,5). - Up uta: Odredite prave velicine njegovih straniea AB, BC i CA, pa tim pravim veIicinama straniea konstruirajte trokut.

3. Odredite pravu velicinu trokuta ABC kojemu je ravnina okomita na ravnini projekeija 'It, ako je njegova normalna projekcija duzina A'B' = 4 em, a C' je u polo­vistu duZine A'B', te je A'(4), B'(3) i C(l). Da Ii konstrukeije pravih ve1icina stra­niea trokuta dovode odmah i do konstrukcije prave velicine samoga trokuta?

C'(6)

------:!,(4~ E'(2l

SI. 23.

4. Na s1. 23. zadana je u mjerilu 1 : 2 normalna projekcija slomljene erte u pro­storu ABCDE. Naertajte tu sliku u mjerilu 1 : 1, tj. u pravoj velicini, a zatim odre­dite njezin polozaj u prostoru i nadite pravu velicinu te slomljene erte grafickim zbrajanjem pravih velicina pojedinih njezinih dijelova.

2 Nacrtna g€ometrija I 17

II. NORMALNO PROJICIRANJE NA DVIJE ItA VNINE

§ 7. PROJICIRANJE TACKE

1. Tlocrt i nacrt tacke. Vidjeli smo u § 1. da samom normalnom projek­cijom A' tacke A na horizontalnoj ravnini 7tl (s1. 24) nije bio odreden polo­zaj u prostoru te tacke prema ravnini 7tj, pa smo morali jos dodati i nje­zinu kotu. Ta se kota moze izbjeCi tako da se horizontalnoj ravnini 7t,

pridruzi jos i vertikalna ravnina 7tz, a onda se tacka A normalno projicira i na tu ravninu (s1. 25), pa se dobije tacka A" (Citaj: A dvije crtice). Oko­mica spustena s tacke A na ravninu 7t j zove se prva zraka projiciranja, a na ravninu 7t2 druga zraka projiciranja. Normalna projekcija tacke A na

A A

A'

TI,

SI. 24. i 25.

ravnini 7tl zove se prva projekcija iIi tloert te tacke, a njezina normalna projekcija na ravnini 7t2 zove se druga projekeija iIi naert te tacke. Hori­zontalnu ravnirlU 7tl nazivamo sada ravninom prvih projekeija ili ravni­nom tIocrta, a vertikalnu ravninu 7tz ravninom drugih projekcija ili ravni­nom nacrta. Pravac u kojemu se sijeku ravnine 7tl i 7t2 zove se os x. Zrake AA' i AA" odreduju ravninu koja je okomita na 7tl i na 7t2' a prema tome i na osi x. 1z toga izlazi da ta ravnina sijece ravninu 7t j u pravcu AxA' koji

18

( je okomit na osi x, a ravninu 7t2 u pravcu AxA" koji je takoderokomit na osi x. Buduci da je cetverokut AA' AxA" pravokutnik, to je AA' = A" Ax i AA" = A' Ax.

Visina tacke nad 7tl jednaka je udaljenosti njezina nacrta od osix, a daljina tacke od 7t2 jednaka je udaljenosti njezina tlocrta od osi x.

Kad je uz tloert A' tacke A zadan injezin nacrt A", tad se njezin polozaj u prostoru nade tako dase u tacki A' uzdigne okomica na 7t j , a u tacki A" postavi okomica na 7t 2, pa ce se te okomice sjeci u tacki A.

Poloz.aj u pTOstoru neke tacke potpuno je odreaen tloertom i naertom tetacke. .

2. Model ravn.ina projekcija. N acrtajte na debljem ertacem papiru ili kartonu pravokutnik kojemu su stranice duge 15 em i 26 cm (s1. 26. a), pa mu u sredini uertajte os x. Izrezite taj pravokutnik, pa prelomite nje­govu gornju polovinu preko x toliko da cini s donjom polovinom pravi kut (s1. 26. b). Ako sada polozite donji dio 7t j na horizontalnu ravninu ertnje, a gornji dio 7tz namjestite u vertikalan polozaj, dobit cete model ravnina projekcija.

a b

TIz

x

TI

TI,

15

Sl. 26.

Nacinite sada kuglicu od pluta i provucite kroz nju iglu. 19lu zatim zabodite okomito u horizontalnu ravninu modeia ravnina projekcija. Ako kuglica predstavlja tacku A u prostoru, tacka uboda vertikalne igle u 7t j

bit ce t 1 0 crt A' tacke A. Provucite nakon toga kroz kuglicu od pluta drugu iglu, okomito na

prvu, pa tu iglu zabodite okomito u vertikalnu ravninu modela ravnina projekcija. Tacka uboda druge igle u 7t2 bit ce n a e r t A" tacke A.

3. Pridruzene ravnine projekcijai njihovo preklapanje. Horizontalna ravnina 7tl u kojoj je tioert tacke A i vertikaina ravnina 7t2 na kojoj je nacrt te iste tacke zovu se pridruzene ravnine projekcija.

19

Buduci da nije spretno drzati ravninu nacrta 7t2 u vertikalnom polo­zaju i na njoj crtati, to cemo tu ravninu s~upa s na~rtom ~': :acke A pre­klopiti na ravninu 7tl okretanjem oko OSl x u smJe~~ ,kOJl Je na .s1. 27. oznacen strelicama. Nakon zavrsenog preklapanja dOCI ce 7t2 u noVl polo­zaj koji je na slici ogranicen crticama. Pri tom pr.eklap~nju ra~ine 7t2

na ravninu 7tl ostaje tlocrt A' tacke A na istom mJestu lspod OSl x, dok njezin nacrt A" dode skupa S 7t2 iznad osi x.

/

IT,

A(! lAx

IT, I I I I

I I I I

; In I I I ;-_' ____ .L _______ -,I \ " \ / \ " - \ , \''- __ .... /'/ \, .... -:a--,,""

81. 27. i 28.

Takav nacm preklapanja ravnina projekcija podesan je za onog crtaca kojemu je ravnina crtaceg papira horizontalna, tj. kojemu se rav­nina crtnje poklapa s 7tl> jer on na taj nacin preklopi ravninu 7t2 na svoju ravninu crtnje. Za crtaca kojemu se ravnina crtnje poklapa s 7t2, npr. za crtaca koji erta na skolskoj pIoN, podesnije ce biti da se to preklapanje

izved~a drugi nacin. On ce horizontaInu ravninu 7tl skupa s tloertom A' tacke A (s1. 28)

preklopiti na ravninu 7t2 okretanjem oko osi x u smjeru koji je na slici oznacen strelieama. N akon preklapanja zauzet ce ravnina 7tl onaj polozaj koji je na toj slid ogranicenertieama. Pri takvom preklapanju ravnine 7t j

na ravninu 7t2 ostaje naert A" tacke A na istom mjestu iznad osi x, dok njezin tloert A' dolazi skupa s 7tl ispod osi x.

Nakon preklapanja jedne ravnine projekcija na drugu (s1. 29), izve­denog na prvi iIi drugi nacin, duzine AxA' i AxA" cinit ce duzinu A' A" koja je okomita na osi x, jer su -amine AxA' i AxA" bile okomite na osi x i prije

toga preklapanja. Projekcije A' i A" tacke A bit ce dakle nakoD preklapanja jedne ravnine projek­cija na drugu na pravcu koji je ok omit na osi. x, a koji se zove ordinala tacke A.

4. Odredivanje polozaja tacke u prostoru po­moeu njezinih projekcija. Kao sto je vazno znati kako se odrede projekcije tacke kad je poznat nje­zin polozaj u prostoru, isto je tako vazno znati kako se odredi polozaj tacke u prostoru kad su za­dane njezine projekcije (s1. 29). Postupak ovisi 0

polozaju ravnine slike.

Kad je ravnina 'slike horizontalna, tj. lead se

IT.

7tl poklapa s ravninom crtnje, tada se podigne nad L-TT..:.,_/ ______ --' tlocrt A' na s1. 29. okomica na ravninu slike, pa se Sl. 29.

na tu okomicu prenese duzina AxA" pocevsi od tacke A', jer je prema s1. 25. A' A = AxA" (c1. 1), te se tako dobije polo­zaj tacke A u prostoru.

Ako je ravnina slike vertikalna, tj. ako se 7t2 poklapa s ravninom crtnje, onda se podigne nad nacrt A" na s1. 29. okomica na ravninu slike, pa se na tu okomicu prenese dmina AxA' pocevsi od tacke A", jer je prema s1. 25. AnA = AxA', te se tako dobije polozaj tacke A u prostoru.

Polozaj neke tacke U odnosu na ravnine projekcija potpuno je odre­aen njezinim projekcijama.

5. Tacke u osohitom polozaju. Zamislite da tacku A spustate po prvoj zraci projiciranja AA' prema horizontalnoj ravnini 7t] (s1. 25), onda se njezin naert AN spusta prema osi x po praveu A" Ax. Kad tacka padne na ravninu 7t1, njezin naert padne na os x, a njezin se tloert nalazi u istoj tacki.

Na s1. 30. prikazana je tacka A koja je u 7tl i oznacene su njezine projekeije. .

Ako je tacka u ravnini tlocrta, onda je njezin tlocrt u istoj tacki, a njezin nacrt u osi x.

Kad bismo tacku A primieali po drugoj zraci projiciranja AA" prema vertikalnoj ravnini (sl. 25), tada bi se njezin tloert pomicao prema osi x po pravcu A' Ax. Kad bi tacka pala na ravninu 7t2 , njezin bi tloert pao u os x, a njezin bi naert bio u istoj tacki.

Na s1. 30. prikazana je tacka B koja je u 7t2 i oznacene su njezine pro-jekeije. '

Ako je tacka u ravnini nacrta, onda je njezin nacrt u istoj tacki, a;

njezin tlocrt u osi x.

21

Smjestimo Ii neku tacku na samu os x, onda se ona poklopi sa svojim

tloertom i naertom. Na 81. 30. prikazana je tacka C koja je u osi x i oznacene su njezine

projekcije.

TI. B" ?

TI2 B=6"

! A" C· i

i " C' S'

A"

i t

~ ~

TI, TI1 Sl. 30. i 31.

Ako je tacka u osi x, onda su n.1ezin tlocrt i nacrt u to.1 isto.1 tacki.

Na s1. 31. naertane su projekcije tacaka A, B i C kojima je polozaj u prostoru prikazan na s1. 30. Tacka A je u ravnini 'lt1, tacka Bnalazi se u ravnini 'lt2, a tacka C je u osi x.

6. Kvadranti. Do sada smo promatrali kao ravnine projekcija sarno poluravnine tloerta i naerta, tj. prednji dio ravnine tloerta i gornji dio ravnine nacrta. Uzmemo Ii sada kao ravnine tloerta (odnosno nacrta) pot­pune ravnine, dakle i horizontalnu ravninu 'ltl iza vertikalne ravnine 'lt 2 ,

kao i vertikalnu ravninu 'lt2 ispod horizontalne ravnine 'ltv one ce razdi­jeliti prostor na cetiri kvadranta koje oznacujemo rimskim brojevima I, II, III i IV (s1. 32).

Tacka A koja je u I kvadrantu nalazi se iznad 1t1, a ispred 1t2, tacka B koja je u II kvadrantu nalazi se iznad 1t1, a iza 'lt2' tacka C koja je u III kvadrantu nalazi se ispod'lt1' a iza 'lt2, a tacka D koja je u IV kvadrantu nalazi se ispod 1t1, a ispred 1t2. Na s1. 32. prikazano je kako su odredenl ilocrti i naerti tacaka A, B, C i D. Kad vertikalnu ravninu 'lt2 preklopimo skupa s naertima tih tacaka na horizontalnu ravninu okretanjem oko osi x u smjeru koji je na s1. 31. oznacen strelicom, dobijemo s1. 33. na kojoj su nacrtane projekcije onih tacaka A, B, C i D kojih je polozaj u prostoru prikazan na s1. 32. 1z te slike izvodimo ova pravila:

22 .

'Z ..

I I

'. , , ",

® ~----------------("/B --", ,

z

A"

CD

'--

A

~x .. ....

/~./ D· .. ·· .... I . y 'f .

.,/ r I I ./ J ! !

I I i ~ I !' i

lin,!

.0"

D®

@ C

st. 32. i 33.

\ \ t I

z

A' y

! !

y to' i

.j :

~ 6 D"

C ..

n.

a) Kad je tacka u I kvadrantu, njezin .ie tloert ispod osi x, a nacrt iznad osi x.

b) Kad je tacka u II Jwadrantu, njezin tlocrt i nacrt su iznad osi x.

e) Kad .1e tacka u III kvadrantu, njezin je tlocrt iznad osi x, a nacrt ispod osi x. '

d) Kad je tacka u IV kvadrantu, njezin tlocrt i nacrt su ispod osi x.

7. Kool'dinate tacke. Na s1. 33. duzina OA", duga je 0,5 em, duZina AxA ' 2 em, a duzina AxA" 1,5 em. S ta tri broja koji oznacuju velicine tih duzina odreden je polozaj projekeija tacke A, a preko njih i polozaj tacke A u odnosu na ravnine projekcija i pocetnu tacku O. Tacka 0 zove se pocetna tacka ili ishodiste, broj 0,5 kojim je zadana duljina duzine OAx

zove se apscisa tacke A, broj 2 kojim je odredena duljina duzineAxA' zove se ordinata tacke A, a broj 1,5 kojim jeodredena duljina duzine AxA " zove se aplikata tacke A. Ti se brojevi zovu zajednickim imenom koordi­nate tacke A u prostornom pravokutnom. koordinatnom sustavll 0 (x, y, z), a biljezimo ih ov[Jm: A (x = 0,5 em, Y = 2 em, z = 1,5 em) iIi krace A (0,5; 2; 1,5). ICoordinate tacke zadaju se u milimetrima iIi eentimetrima. U ovom udzbcniku bit ce koordinate tacke zadane u eentimetrima.

Kad je tacka na de::moj strani od pocetne tacke 0, kao sto su to sve l.Gcke na s1. 32, kazemo da je njezina apscisa x pozitivna, a kad bi tacka

bila na lijevoj strani od 0, njezina bi apseisa bila negativna. Ako je tloert tacke ispod osi x, kao sto imaju tacke AiD, onda uzimamo da je njezina ordinata y pozitivna, a kad je tloert tacke iznad osi x, kao sto imaju tacke B i C, njezina je ordinata negativna. Kad je naert tacke iznad osi x, kao sto imaju tacke A i B, tad kazemo da je njezina apJikata z pozitivna, a kad je naert tacke ispod osi x, kao sto imaju tacke D i C, njezina je aplikata negativna.

Tacke iz sl. 33. odredene su prema tome ovim koordinatama: A (0,5; 2; 1,5), B (2,5; -2,5; 1), C (3; -1,5; -2), D (1,5; 1; -2,5).

8. Odredivanje polozaja tacke u kvadrantima pomocu njezinih pro­jekcija. Kako eemo iz projekcija neke tacke odrediti njezin polozaj u pro­storu, ovisi 0 polozaju ravnine slike, da Ii je ona horizontalna Hi verti­kalna. 1z sl. 32. i 33. izvodimo ovaj postupak:

Kad je ravnina slike h 0 r i z 0 n tal n a, polozaj tacke T u prostoru odredi se tako da se u njezinom t 1 0 e r t u T' postavi okomiea na hori­zontalnu ravninu slike TIl, a zatim se na toj okomiei nade ona tacka koja je toliko udaljena od T' koIiko je naert T" tacke T udaljen od osi x, i to iznad ili ispod TIl, vee prema tome da Ii je T" iznad iIi ispo'd osi x.

Ako je pak ravnina slike v e r t i k a 1 n a; poIozaj tacke T u prostoru odredi se tako da se u njezinom n a e r t u T" postavi okomiea na verti­kalnu ravninu slike TI2 , a zatim se na toj okomici nade ona tacka koja je toliko udaljena od T" koliko je tloert T' tacke T udaljen od osi x, i to ispred iIi iza TI2, vee prema tome da Ii je T' ispod iIi iznad osi x.

Na temelju s1. 33. odredite polozaj u prostoru tacaka A, B, C i D ako je ravnina slike u horizontalnom polozaju, a zatim ako je ravnina slike u vertikalnom polozaju.

9. Tacka u ravnini simetrije, odnosno koincidencije. Ravnina 1: (sl. 34) koja raspolavlja I i III kvadrant zove'se ravnina simetrije, a ravnina K, (grcko slovo K; citaj: kappa) koja raspolavlja II i IV kvadrant zove se t'avnina koincidencije. Buduei da je svaka tacka tih ravnina jednako uda­Ijena od TIl i TI 2 , to ee za tacku A koja je u ravnini simetrije biti AA' = AA", a prema tome i AxA' = AxA", a isto tako ee za tacku B koja je u ravnini koincidencije biti BB' = BB", a prema tome i BxB' = BxB". Kad TIl pre­klopimo oko osi x na 11:2 u smjeru strelice, bit ee prema tome projekcije tacke A simetricne s obziromna os x, a projekcije tacke B past ee skupa, i to iznad osi x (sl. 35). Tacka C koja je u ravnini simetrije, ali u tree em kvadrantu, ima takoder svoje projekcije simetricne s obzirom na os x, samo je njezin tlocrt C' iznad, a nacrt C"ispod osi x, dok projekcije neke tacke D koja je u ravnini koineidencije, ali u cetvrtom kvadrantu, pa­daju skupa, i to ispod osi x.

24

n. s's"

c' A"

" x

A.! B. iC. i D. !

,

! ; ; j ;

1 ~ 6

A' 0'0"

en

TI,

81. 34. i 35.

Projekcije svake tacke ravnine simetrije simetricne su s obzirom na os x, dok se projekcije svake tacke mvnine koincidencije poklapaju.

Vjezbe

1.. Naertajte projekeije tacke A koja iina apseisu 3 em i udaljena je 2 em od 70"

" 4 em od 70 2,

2. Naertajte na istoj slid projekcije tacaka A (1; 3; 2), B (3; 0; 2), C (5; 2; 0) i D ( - 2; 0; 0) i odredite polozaj tih tacaka u prostoru.

3. Nacrtajte na istoj slici projekcije tacaka E (1; 2; 3), F (3; -2; 4), G (5; -3; -2) i H (-2; 2; -3) t~ za svaku tacku odredite u kojem se kvadrantu nalazi i njezin polozaj u prostoru.

4. Naertajte na istoj slici projekcije tacaka I (1; 3; 3), J (2; -2; 2), K (3; -2,5; -2,5) i L (4; 3; -3) i odredite koje Sli tacke u ravnini simetrije, a koje li ravnini koincideneije, kao i njihov polozaj u prostoru.

§ 8. PROJICIRANJE DUZINE

1. Duzina u opcem polozaju. Duzina AB nasI. 36. nagnuta je prema ravninama'TIl i TI2, za nju kazemo da je u 0 pee m p-o 1 0 z a j u prema ravninama projekcija.

Projekcije duzine AB dobijemo tako da odredimo tloerte A' i B', zatim nacrte A" i B" njezinih krajnjih tacaka A i 13, pa ih spojimo duzi­nama. Duzina A'B' je tloert, a duzina A"B" nacrt duzine AB. Kad pre­klopimo ravninu 11:2 ako osi x na ravninu TIl, ostane tlocrt na svom mjestu, a naert dode iznad osi x.

25

Obje projekcije te duzine kraee su od nje i nisu s njom usporedne. Ako je tacka e poloviSte duzine AB, onda je prva zraka projiciranja

ee' usporedna i jednako udaljena od prvih zraka projiciranja AA' i BB' tacaka A i B, pa je zbog toga tlocrt C' tacke e u polovistu tlocrta A'B' dliZine AB.

TI, c' s' 81. 36. i 31.

s· ,- 0--i ~.i

o I I I

: : ! I

~--_.J I A' c:----1

B'

x

1sto tako je druga zraka projiciranja ee" tacke e usporedna i jed­nako udaljena od drugih zraka projiciranja AA" i BB" tacaka A i B, pa je zbog toga nacrt en tacke e u polovistu nacrta A"B" dliZine AB.

Poloviste dlLzine projicira se u poloviStu projekcije te duzine. Na s1. 37. nacrtane su projekcije duzine kojoj su krajnje tacke A

(0,5; 2; 1,5) i B (3; 2,5; 2,2), a zatim su nacrtane projekcije polovista e te duzine.

Na toj slici preklopljene ravnine projekcija nisu ogranicene kao pra-' vokutnici, kako smo ih dosad ogranicavali, jer njihove granice nisu vazne, gJavno je da se zna polozaj osi x u kojoj se one sijeku. Po osi x znamo i polozaj ravnina 71:1 i 71:2, Ravnina slike na kojoj je nacrtana os x je rav­nina 71: 1, a ravnina koju bismo na os x polozili okomito na ravnii:l.U slike bila bi ravnina 71:2 ,

2. Prava velicina duzine. Kad je duzina LiB nagnuta prema jednoj i drugoj ravnini projekcija, njezine su projekcije A'B' i A"B" krace od te duzine. Prava velicina duzine AB nije u tom slucaju zadana ni tlocrtom ni nacrtom, vee je moramo odrediti konstrukcijom. Konstrukcija prave veliCine neke duzine moze se izvesti na viSe nacina, a mi eemo ovdje upo­znati elva nacina:

A. - 0 el red i van 5 e p rave vel i c i n e porn 0 e u t rap e z a pro j i c ira iJ. j a :-Ja s1. 38. prikazana je duzina AB koja je u opceni-

26

tom polozaju, te njezin tlocrt A'B' i nacrt A"B". Na slici su.s:afi~ana .dva cetverokuta ABB'A' i ABB"A". Ti cetverokuti koji su trapezllmaJu zaJed-

A"

Sl. 38.

nicku stranicu AB, a svaki od njih ima po dva prava kuta, i to prvi u vrhovima A'· i B',-a drugi u vrhovima An i B". Cetve­rokut ABB' A' zove se prvi trapez projici­ranja, a cetverokut ABB" AU je drugi tra­pez projiciranja duzine AB.

Pravu velicinu duzine AB mozemo do­biti tako da prvi trapez projiciranja ABB' A' preklopimo oko njegove stranice A'B' na 71:1' kako je to uCinjeno na s1. 8, iIi da drugi trapez projiciranja ABB" A" preklopimo oko njegove stranice A"B" na 71:

2, Kad su zadane projekcije duzine AB,

imamo sve elemente potrebne za konstruk­ciju tih preklopljenih trapeza jer je za prvi trapez A'A = AxA" a B'B = B,rB", dok je za drugi trapez A" A = Ax A' a BnB = BxB'.

Preklopljeni polozaji tih trapeza (s1. ' 39) nacrtaju se prema tome ovako: Povuku se okomice na A'B' u tackama A' i B', pa se na te okomice nanese A' Ao = AxA"i. B'Bo = BxB", a na kraju se spoje tacke Ao i

B"

A.

81. 39.

27.

Bo. U tako nacrtanom trapezu A'B'BoAo stranica AoBo jednaka je duzini AB u prostoru. IIi se postave okomice na A"B" u tackama A" i B", pa se na te okomice nanese A" AO = AxA' i B"Bo = BxB', ana kraju se spoje tacke AO i BO. Sad je stranica AOBo u trapezu A"B"BoAo jednaka duZini AB u prostoru.

Ako se konstrukcije tih trapeza tacno izvedu, onda mora biti AoBo = AOBo.

Nacinite model za ovakvo odredivanje prave velicine duzlne. Kako su "smjestene nule uz slova A i B na prvom, na ka,ko na drugom preklopljenorrt trapezu proji­ciranja?

B.-Konstrukcija prave velicine duzine pomocu d i fer e n c ion i h t r 0 k uta. Na s1. 40. kojom su prikazane duzina AB i njezine projekcije A'B' i A"B" povucena je tackom B usporednica BC s A'B', a zatim tackom A usporednica AD sA"B", pa su nastala dva pravokutna trokuta ABC i ABD. Ti trokuti imaju zajednicku hipotenuzu AB. Katete jednoga su CB = A'B' i CA = A' A - B'B = AxA" - B",B", dok su katete drugoga DA = B" A" i DB = B"B - A" A = BxB' - AxA '. K.ad su zadane projekcije duzine AB, imamo prema tome sve elemente potrebne za konstrukciju tih d i fer e n c ion i h t r 0 k uta.

Na s1. 41. povucemo najprije usporednicu s osi x u tacki A' (odnosno u tacki B"), tj. onom krajnjom tackom duZine koja ima manju ordinatu (odnosno aplikatu) od druge, pa dobijemo tacke D' i C". Zatim postavimo u tacki A' okomicu na duzinu A'B' i na tu okomi~u nanesemo A' Ao = = C" A". Pravokutan trokut A' B' Ao sukladan je s trokutom CBA u pro­storu, pa je njegova hipotenuza B' Ao jednaka duzini AB u prostoru. IIi se postavi okomica na duzinu A"B" u tacki B", pa se na tu okomicu nanese

IT, An

A

c

A'

Sl. 40. i 41.

28

B"Bo = D'B'. Buduci da je trokut AUB"Bo sukladan s trokutom ADB u prostoru, to je njegova hipotenuza jednaka duzini AB u prostoru.

Kad se konstrukcije tih trokuta tacno nacrtaju, mora biti B'Ao=A"Bo.

Ako je tacka T na duzini AB u prostoru i dijeli tu duzinu u omjeru A,T : BT=n,onda mora tacka To biti na duzini AoB' i dijeliti je u istom omjeru: AoTo : B'To=n (s1. 41).

Ako sada pomocu tacke To nanemo projekcije T' iT" tacke T (ToT' ;{ ;{ AoA', T'T" ;{ A'A"), onda projekcije tacke T dijele projekcije duzine AB u istom omjeru, jer su homologni odresci dviju zraka menu sobom razmjerni, pa je AoTo : B'To = A'T' : B'T' = A"T" : B"T".

Ako je tacka T naduzini AB i dijeli tu duzinu u nekom omjeru, bit ce normalna projekcija te tacke na normalnoj projekciji te duzine i dijelit ce je u istom omjeru.

Pravilo 0 projekcijama poloviSta neke duzine iz c1. 1. sarno je speci­jalni slucaj toga pravila.

3. Duzina usporedna s ravninama projekcija. Na s1. 42. prikazana je duzina AB koja je usporedna s ravninama projekcija, a duga je 2,5 cm. 1z stereometrije znamo da duzina koja je usporedna s dvije ravnine uspo­redna je i s presjecnicom: tih ravnina. Prema tome je duZina AB uspore­dna i s osi x koja je presjecnica ravnina "It! i "It2•

Postavite tanki drveni staph: pred model ravnina projekcija tako da bude uspo­redan S Te, i Te 2•

Ako tlocrt A' jedne krajnje tacke te duZine spojimo s tlocrtom B' njezine druge krajnje tacke, dobijemo duZinu A'B' koja je tlocrt duzine AB. Tlocrti svih tacaka duzine AB ispunili bi duZinu A'B'.

Spojimo Ii nacrt A" tacke A s nacrtom B" tacke B, dobijemo nacrt A"B" duzine AB. Nacrti svih tacaka duZine AB ispunili bi duzinu A"B".

A"

81. 42. i 43.

An

rr N ~

I ;

I,

s"

~l! ' 6>---___ --011

x

A' I 2,5 I S' I

29

Iz pravokutnika ABB'A' zakljucujemoda je tloert A'B' duzine AB usporedan s tom duzinom i jednak njoj, sto se kratko oznacuje ovako: A'B' =»= AB, a iz pravokutnika ABB" A" izvodimo da je A"B" =»= AB.

Kad je duzina usporedna s ravninama projekcija, rijezinesu projek­cije usporedne s osi x i jednake duzini.

Na s1. 43. naertane su projekcije duzine AB koja je usporedna s rav­ninama projekcija, a duga je 2,5 em, te udaljena 2 em od TC h a 1,5 em od TC2 •

Polozaj u prostoru duzine AB odredit cemo ovako: Odredimo polozaj tacke A u prostoru s obzirom na TC l (tj. na osnovi tloerta tacke A) na nacin protumacen u § 7, c1. 4, a zatim odredimo polozaj tacke B u prostoru, pa kad te tacke spojimo tankim stapicem koji je 2,5 em dug, dobit cemo polo­zaj dliZine AB u prostoru.

4. Kotiranje. Premda su duljina duzine AB i njezin polozaj u pro­storu s obzirom na TC l i TC 2 potpuno odredeni projekeijama te dliZine, ipak su na s1. 43. uneseni jos i brojevi koji to pobliZe odreduju. Ti.se brojevi zovu kotni brojevi. Dimenzije se mjere, zadaju i kotiraju u strojarstvu u milimetrilna, a u graditeljstvu manje dimenzije u eentimetrima, a vece u metrima. Tanka zraka na kojoj se napiSe kotni broj zove se kotna erta, a tanki pravei kojima se kotna erta ogranici zovu se pomocne kotne crte. Kotna erta ne treba da bude suvise blizu duzini na koju se ()dnosi, njihov razmak moze iznositi od 3 do 5 mm. Kotni se brojevi pisu prema »Jugo­slavenskim standardima« (kratica »JUS«) na kotnoj erti. Pomocne kotne erte treba da prelaze preko kotne erte 1 do 2 mm, i to obje jednako.

Ako j~ duzina na koju se kotna erta odnosi, naertana ertom debljine d, onda kotna erta i pomocne kotne erte treba da imaju debljinu 1i4 d, a duljina streliea treba da bude oko 4 d. Streliee stavljamo izmedu pomoc­nih kotnih erta, a kad nemadovoljno mjesta, stavljaju se s vanjske strane pomocnih kotnih erta (vidi nasI. 45. streliee na kotnoj erti kote 0,5).

Pomocne kotne erte obicno ertamo okomito na duzinu i na kotnu ertu s kojima su one u vezi, a samo iznimno mozemo ih povuci pod kutom od 60° prema duzini i kotnoj erti, ako time kotna erta i kotni broj dolaze bolje do izrazaja.

Iz tlocrta i naerta nekog predmeta mogu se pored njegovog oblika odrediti sve njegove dimenzije, ali se to odredivanje uvelike pojedno­stavni kad se projekcijama predmeta dodaju jos i kote. Projekcije nekoga tehnickog predmeta obicno ne ertamo u pravim velicinama, vee u nekom mjerilu za umanjenje, ali dimenzije predmeta koje izrazavamo kotnim brofevima napiSemo onolike kolike taj predmet stvarno ima, bez obzira na mjerilo u kojem su nacrtane njegove projekcije.

30

5. Duzina okomita na jedno{ ravnini projekcija. Na s1. 44. prikazana je duzina AB koja je okomita na ravnini TCl i duzina CD koja je okomita na ravnini TC t .

Postavite tanki drveni staph': pred model ravnina projekcija tako da bude oko­mit na 7th a zatim ga postavite okomito na 7t2.

BuduCi da je tacka A iznad tacke B, njihovi tloerti padaju skupa, tj. .4' ==B'. Tacke kojima tlocrti padaju u istu tacku zovu se tacke zaklonice

. s obzirom na TCl> jer jedna zaklanja drugu kad ih gledamo u smjeru koji je okomit na TC l . Ako tloerti krajnjih tacaka duzine AB padaju u istu tacku, to ce i tlocrti svih ostalih tacaka te duzine pasti u tu tacku, pa ce tloert duzine AB biti tacka A' == B'.

Iz pravokutnika ABB" An zakljucujemo da je A"B" =»= AB, a iz toga izlazi da je nacrt A"B" duzine AB okomit na osi x i jednak dmEni u prostoru.

TI,

C'~Dn

eMu"

\"1"'- !L' ..... N, 1

B

U ~ • i x

l[ N

B'

81. 44. i 45.

Kad je duzina okomita na ravnini tlocrta, njezin je tlocrt tacka, a nacrt je okomit na osi x i jednak duzini u prostoru.

Tacka C je ispred tacke D, zbog toga padaju njihovi naerti skupa, tj. C" ==D". Tacke C i D su tacke zakloniee s obzirom na TC 2 , jer jedna zaklanja drugu kad ih gledamo u smjeru koji je okomit na TC 2• U tacku C" == D" pali bi i nacrti ostalih tacaka duzine CD, pa ce nacrt te duzine biti tacka C"==D".

1z pravokutnika CDD'C' izlazi da je tloert C'D' duzine CD okomit na osi x i jednak duzini u prostoru.

Kad je duzina okomita na ravnini nacrta, njezin je naert tacka, a Hoert je ok omit na osi x i jednak duzini u pro;;toru.

31

Na s1. 45. naertane su:

A. - projekeije duzine AB koja je okomita na 'ltv a duga je 1,5 em, ako je njezina donja krajnja tacka B udaIjena 0,5 em od 'lt1, a 2 em .od 'lt2,

B. - projekcije duzine CD koja je okomita na 'lt2, a duga je 1,5 em, ako je njezina straznja krajnja tacka D udaIjena 2 em od 'ltl, a 0,5 em od 'lt2 ·

6. Duzina u jednoj ravnini projekcija. Na s1. 46. prikazana je duzina AB koja je u 'ltl i duzina CD koja je u 'lt2'

Tloert A'B' duzine AB poklapa se s duzinom, a njezin je naert A"B"

U osi x. Naert C"D" duzine CD poklapa se s duzinom, a njezin je tloert C'D'

u osi x.

0"

v1 Au all i i ..

: : X ~

.,/ C' 0'

""'~/'/ 8~B' J1.

i ! C' O·

l! ~

S' SI. 46. i 41:

Kad je duzina u ravnini tloerta, njezin je tloert u samoj duzini, a nje­zin je nacrt u osi x.

Kad je duzina u ravnininaerta, njezin je naert u samoj duzini, a nje-zin je tlocrt u osi x.

Na s1. 47. naertane su projekcije: A. - dliZine AB koja je u 'lt1l

B. - duzine CD koja je u 'lt2 .

7. Duzina usporedna s ravninom tlocrta. Na s1. 48. prikazana je duo. zina AB koja je usporedna s 'lt1, a koso stoji prema 'lt2•

NaCinite model za taj slucaj.

1z pravokutnika ABB' A' izlazi da je tloert A'B' dliZine AB usporedan s dliZinom j jednak duzini u prostoru, a kako su krajnje tacke A i B te duzine jednako udaljene od 'lt1, to su naerti tih tacaka jednako udaljeni od osi x, pa je zbog toga naert A"B" duzine AB usporedan s osi x.

32

Kad je duzina usporedna' s ravninom tloerta, a kosa prema ravmm naerta, njezin je tloerf usporedan s tom duzinom i jednak njoj, a njez'in je naert usporedan s osi x i kraci od te duzine.

. Na s1. 49. naertane su projekcije dliZine AB koja je duga 2,5 em, a usporedna je s 'lt1 , ako je njezina lijeva krajnja tacka A udaljena 1,5 em od 'ltl' a 2 em od 'lt2' te ta duzina cini s 'lt2 kut od 30·.

A" 8"

a" V~,...----

1>-------<:> 10 ~-

A'

SI. 48. i 49.

Na toj slici najprije su naertane projekcije A' i A" tacke A, pa je tac­kom A' povucena zraka koja s osi x cini kut od 30°, a zatim je na tu zraku nanesena duiina A'B'=2,5 em. Naert A"B" te duzine naertan je taka da je iz tacke A" naertana zraka usporedo s osi x, a zatim je ta zraka presje­cena u tacki B" ordinalom povucenom iz tacke B'.

8. DuZina usporedna s ravninom nacrta. Na s1. 50. prikazana je du­zina AB koja je usporedna s 'lt2 , a koso stoji prema 'lt1•

Nacinite model za taj slucaj.

BuduCi da su krajnje tacke A i B te duzine jednako udaljene od 'lt2,

to su njihovi tloerti A' i B' jednako udaljeni od osi x, pa je zbog toga tlocrt A'B' duzine AB usporedan s osi x. 1z pravokutnika ABB" A~' zaklju­cujemo da je naert A"B" te duzine usporedan s njom i jed,nak duzini u prostoru.

Kad je duzina usporedna s ravninom nacrta, a kosa prema ravntm trocrta, njezin je tlocrt usporedan s osi x i kraci je od nje, a njezin je nacrt usporedan s njom i njoj jednak.

Na s1. 51. naertane su projekeije duzine AB koja je duga 3 em, a uspo­redna je s 'lt2 , ako je njezina lijeva krajnja tacka A udaljena 2,5 em od 'lt 1,

a 1,5 em od 'lt2, te ta duZina cini s 'ltl kut od 30·. Na toj sliei najprije su naertane projekeije tacke A, pa je tackom An

povucena zraka koja s osi x Cini kut od 30·. Na tu zraku je zatim nanesena

3 Nacrina geometrija I 33

x

n, Ll ______ -6

A' B'

Sl. 50. i 51.

duzina A"B"=3 em. TIoert te duzine naertan je tako da je iz tacke A' naertana zraka usporedo s osi x, pa je zatim presjecena u tacki B' ordi­nalom povucenom iz tacke B".

v"

An

1 e : v«-; .

«~~l-......

A &---------~~

M 1:100 .. // ,l"

/

Vo

j':~ 81. 52.

B" x

c·

s"

9. OdreUivanje prave veli­cine greda tronoga. Zadan je tIo­crt i naert tronoga ABCV u mje­riIu 1 : 100; treba odrediti prave velicine njegovih greda AV, BV, CV (s1. 52).

Kad je predmet naertan u mjerilu 1 : 100, znaci da duzina od 1 mm na erteZu predocava duzinu od 100 mm u naravi, ili duzina od 1 em na ertezu pre­do cava duzinu od 100 em = 1 m u naravi itd.

Buduci da je tIoert A'V' grede AV usporedan s osi x, greda je usporedna s '1t2 (c1. 8). Njezina je prava velicina jed­naka prema tome velicini njezi­nog naerta. Kako je naert A"V" dug 4,2 em, to je greda AV duga 4,2 em X 100 = 420 em ili 4,2 m.

Grede BV i CV su u opce­nitom poIozaju prema ravnina­rna projekcija, pa se njihove prave velicine moraju odrediti

na jedan od nacina prikazanih u c1. 2. BuduCi da su donje krajnje tacke B i C tih greda u '1t l , upotrijebit cemo metodu odredivanja prave velicine duzine pomocu diferencionog trokuta.

U tacki V' postavimo okomieu na B'V' i na tu okomieu nanesimo I1'Vo=V",V", pa ce duzina B'Vo biti prava velicina duzine BV. Buduci da je duzina B'1To duga 4,5 em, to je greda BV duga 450 em iIi 4,5 m.

Na isti naNn nade se duljina grede CV. U tacki V' postavi se okomiea na C'V' i na tu se okomieu nanese V'VO = V",V", pa je duzina C'Vo prava velicina duzine CV. Kako je duzina C'Vo duga 4,2 em, to je greda CV duga 420 em ili 4,2 m.

Vjezbe

1. U kojoj projekeiji imate pravu velicinu duzine, ako je duzina: . a) usporedna s '" i "2' b) okomita na "" c) okomita na "2, d) u 7. 1, e) u "2'

f) usporedna s "" 15) usporedna s "2?

M 1'5 r E"

A" S" c" ~I

Oil ;0

11

N x :;l-: E'

A'l ____ B-<>'l ____ e'Jl I 7,5 ! 7,5 I i

,: Ii) :

A~ ,:l~<jD'E 81. 53. i 54;

2. Naertajte projekeije duzine AB koja je duga 3 em, a usporedna je s "1, ako je njezina desna krajnja tacka A udaljena 2 em od "" a 3 em od "" te duzina Cini s "2 kut od 45° .

3. Naertajte projekeije duZine CD koja je duga 3,5 em, a usporedna je s "2' ako je njezina desna krajnja tacka C udaljena 4 em od 'It,, a 2 em od "2' te duzina cini s 'It 1 kut od 60°.

4. Naertajte projekeije duzine, pa odredite njezin polozaj u prostoru i pravu velicinu, ako su njezine krajnje tacke:

a) A (1; 2; 2) i B (5; 5; 4), b) C (1; 2; 0) i D (5; 5; 2), e) E (2; 0; 2) iF (6; 4; 5).

5. Savinute zeljezne !lipke zadane su tloertom i nacrtom na s1. 53. i 54. u mje­rilu 1 : 5. Naertajte obje slike u mjerilu 1 : 2,5 i odredite duljinu jedne i druge zelje­zne !lipke. Nacinite od ziee modele tih sipki u mjerilu 1 : 2,5.

6. Odredite duljinu zeljezne eijevi kojoj je tloert i naert zadari na s1. 55. u mje­rilu 1 : 200.

35

C" On (

-~ fill I

N-

Bn Ell "I

3 6,25 m 2,20~ N N

A"i ~ F~ \ X

Nl )8'

r~ M 1:200

; 1 ~

C' 0' E'F' .

SI. 55.

§ 9. PROJICIRANJE PRA VCA

1. Projekcije pravca. Produzi Ii se na obje strane svaka projekcija dmine AB (s1. 56) kojoj su krajnje tacke A (0,5; 1; 1,5) i B (3; 2; 2), dobiju se projekeije pravea a koji je nosilae te duzine. Pravae a je odreden dakle zadanim tackama A i B, 8to se oznacuje ovako: a=AB [A (0,5; 1; 1,5), B (3; 2; 2)], Tacka C kojoj je tloert C' na tloertu a', a naert C" na naertu a" pravea a nalazi se na tome praveu. Da Ii suo tacke D (D', D") i E (E', En) na praveu a?

Kad je tacka na pravcu, njezine su projekcije na istoimenim projek-cijama toga· pravca. .

2. Osohiti polozaji pravca. Buduci da smo u § 8. obradili projekcije duzina koje su u osobitim polozajima prema ravninama projekcija, sada nam nece biti tesko da iz projekcija pravaea koji su u osobitim poloza­jima prema ravninama projekcija zakljucimo kakav je njihov polozaj u prostoru.

A. - P r a v a c b (b', b") us p 0 red a n j e s r a v n ina map r o­j e k c i j a jer su njegove projekcije usporedne s osi x (s1. 56). 1z koia .zakljucujemo da je on 2 CIT). udaljen od ravnine ')tI' a 1,5 em od ravnine Te~.

B. - P r a v a c c (e', c") 0 k 0 mit j e n a r a v n i n i Tel jer je njegov tlocrt c' tack a, a naert c" ok omit na osi x (s1. 56). Pravac e udaljen je 2 em od ravnine Te2'

C. - P r a v a e d (d', d") 0 k 0 mit j e n a r a v n i n i Te 2 jer je njegov tloert d' ok omit na osi x, a naert d" je tacka (s1. 56). On je udaljen 1 cm od ravnine Tel'

:36

0" E" ?

~ o I I ! II

b"

e" d"

(. fl x I \:. I

~- i

b' IN d'

0-c'

81. 56.

D. - P r a v a e e (e', e") j e u r av n i n i Tel jer je njegov naert en u osi X (s1. 57).

E. - P r a v a e f (r, j") j e u r a v n in i Te2 jer je njegov tloert f' u osi x (s1. 57).

F. ~ P r a v a e 9 (g', g") j e us p 0 red a n s r a v n i nom Tel jer je njegov naert g" usporedan s osi x (sl. 57). On je udaljen 1,5 em od ravnine Tel'

e"

81. 57 •

g" ,

h'

G. - P r a v a e h (h', h") j e us p 0 red a n s r a v n i nom 'lt2 jer je njegov tloert h' usporedan s osi x (sl. 57). On je udaljen 1 em od rav­nine Te2'

3. Odredivanje polozaja tacke na zadanoj zraci. Na zraci z koja je zadana tlocrtom z' i nacrtom z" treba naci tacku D koja je od pocetne tacke A zrake z udaljena za duljinu d (s1. 58).

37

n.

x

...

......•....... / i

~'I ! . b'

S'

n. _ 8I. 65. i 66.

cije S' i S" njihove zajednicke tacke S biti na istoj ordinali, tj. mora biti S'S" ~ x.

Na s1. 66. nacrtane su projekcije dvaju ukrstenih pravaca a i b koji se sijeku u tacki S. .

B. - Us p 0 red nip r a v c i. Na s1. 67. prikazana su dva uspo­redna pravca a=(A, B) i b=(C, D) i njihove projekcije a', a" i b', b". Ravnina trapeza ABB'A' koja je okomita na ravnini 7tti u kojoj se nalaze prve zrake projiciranja svih tacaka pravca a zove se prva ravnina proji-

B' 0' n. \\

81. 67. i 68.

42

ciranja pravca a, dok se ravnina trapeza ABB" A" koja je okomita na rav­nini 7t2 i u kojoj se na1aze druge zrake projiciranja svih tacaka pravca a zove druga ravnina projiciranja pravca a.

Buduci da su prve ravnine projiciranja tih pravaca meau sobom uspo­redne, one sijeku ravninu t10crta u pravcima a' i b' koji su takoaer meau sobom usporedni.

Isto su tako druge ravnine projiciranja tih pravaca meau sobom usporedne, pa sijeku ravninu nacrta u pravcima a" i b" koji su takoder medu sobom usporedni.

Kad su dva pravca menu sobom usporedna, istoimene projekcije tih pravaca .meau sobom su usporedne .

Dvije meau sob om usporedne i jednake duzine imaju usporedne jednake istoimene projekcije.

Na s1. 68. naertane su projekcije dvaju usporednih pravaca a i b.

n.

/n, 81. 69.

C. - Mimoilazni pravci. Na s1. 69. prikazana su dva mimo­ilazna pravca a i b. Pravac a uzdize se u prostoru nalijevo, a pravac b nadesno. Njihovi tlocrti a' i b' sijeku se u tacki koja je oznacena slovima Sf iT', jer je ona tlocrt tacke S pravca a i tlocrt tacke T pravca b. Tacke SiT su tacke zaklonice tih pravaca s obzirom na ravninu tlocrta.

Tacka u kojoj se sijeku nacrti a" i b" pravaca a i b oznacena je slo­virna M" i N" jer je ta tacka nacrt tacke M pravca a i nacrt tacke IV

43

s" a"

b"

T"

a'

Sl. 70.

Vjezbe

x

M'

pravea b. Tacke MiN su tacke zakloniee tih pravaea s obzirom na ravninu naerta. Nakon preklapanja ravnine naerta oko osi x na ravninu tloerta sjeCi ce se meau so­born tloerti a' i b', kao i naerti a" i b" mi­moilaznih pravaea a i b, ali ta presjeeista nece biti na istoj ordinali.

Na sI. 70. naertane su projekcije dva­ju mimoilaznih pravaea a i b. Tacka S je u prostoru iznad tacke T jer je S" iznad T", zato se tacka T ne vidi kad pravee a i b promatramo odozgo okomito na 71:1 ,

Tacka S se u tloertu vidi, a T ne vidi.

Tacka M je u prostoru ispred tacke N jer je M' ispred N', zato se tacka N ne vidi kad promatramo pravee a i b odsprijeda okomito pa 71:2 , Tacka M se u naertu vidi, a Nne vidi.

1. Na zraci z kojoj je pocetna tack a A (1; 2; 1,5), a projekcije z' i z" treba uzeti po volji, nadite tacku T koja je od A udaljena 3 em.

2. Na pravcu a = [A (1; 2; 2), B (4; 3; 3,5)] naditetacke. C i D koje su od tacke A udaljene 2,5 cm. .

3. Zadani su pravac a = [A (1; 2; 3), B (4; 3; 3,5)] i tacka C (5; 1; 3). Nacrtajte projekcije prilVca b koji ide tackom C, usporedan je s ravninom tlocrta i sijece pravac a.

4. Zadani su pravac a = [A (1; 3; 2,5), B (5; 1,5; 1)] i tacka C (0; 2,5; 1). Nacrtajte projekcije pravca b koji ide tackom C, usp~redan je s ravninom nacrta i sijece pravac a.

5. Zadani su pravac a = [A (1; 3; 3), B (5; 1,5; 1)] i tacka C (-1; 2; 1,5). Nacrtajte projekcije pravca b koji ide tackom C i usporedan je s pravcem a.

6. Naertajte pravce a i b, pa odredite da Ii su oni ukrsteni, usporedni iIi mi-moilazni:

1) a == [C (-2; 3; 1), D (2; 2; 3)] i b = [E (1,5; 4; 3,5), F (1,5; 1; 5)], 2) a = [C (-4; 5; 2), D (4; 1; 4)] i b = [E (-3; 2; 7), F (3; 6; 2)], 3) a = [C(-4; 1; 1), D(-I; 4; 3)] i b = [E(2; 2; 2), F(5; 5; 4)].

7. Nacrtajte pravce a, b i c, pa odredite njihova probodista: a = [A (3; 4; I), B (7; 1; 3)], b = [C (5; 2; 2), D (7; 4; 3)], c = [E (5; 2; 2), F (7; 3; 4)].

§ 10. PROJICIRANJE TROKUTA

1. Projekcije trokuta i njegova vidljivost. Za trokut ABC (sl. 71. i 72) cija ravnina nije ni okomit~ ni usporedna s ravninom 1t1 , odnosno 71:2,

kazemo da je u 0 p c e m polo z a j u prema ravninama projekeija. Nje-

44

gove projekcije A'B'C' i A"B"C" nab cemo tako da odredimo projekeije njegovih vrhova pa ih meau sobom spojimo. Polozaj u prostoru trokuta ABC koji je prikazan nasI. 71. znatno se razlikuje od polozaja u prostoru trokuta ABC iz s1. 72, sto se 'ispoljava u ovome:

Tloert C' vrha C nalazi se na s1. 71. izmedu tloerta straniee AB i osi x, a to znaci da je trokut svojim vrhom C nagnut prema ravnini 71:2' (Razno­stranicni trokut od papira postavite u takav polozaj pred svoj model ravnina projekcija.) Kad se tako polOzen trokut promatra u smjeru proji­eiranja na ravninu 1i:1, tj. odozgo u smjeru okomitom na 1i: 1, vidi se nje­gova gornja strana. No, kad se taj trokut promat~a i u smjeru projieiranja na ravninu 71:2, tj. odsprijeda u smjeru okomitom na 1i:2 , opet sevidinje­gova gornja strana.

c .. c· n.

A -;---'!_;l/

n. n. 81. H.i 72.

Tloert vrha C na s1. 72. ne nalazi se izmeau tloerta straniee AB i osi x, vec je na suprotnoj strani toga tloerta, a to znaci da je trokut otklonjen vrhom C od ravnine 1i:2 • (Postavite raznostranicni trokut od papira u takav polozaj pred svoj model ravnina projekcija.) Ako se taj trokut promatra u smjeru projiciranja na 1t11 vidi se njegova gornja strana, a kad se pro­matra u smjeru projieiranja na 1t2 , vidi se njegova donja strana.

Na.sl. 73. i 74. naertane su projekeije trokuta ABC koji je prikazan na s1. 71. i 72. Da Ii cemo vidjeti istu stranu ili razlicite strane tih trokuta kad ih gledamo u smjeru projiciranja na 1i:v odnosno na 1t2, mozemo doznati tako da iz njihovih projekcija odredimo njihov polozaj u prostoru. Osim na taj nacin mozemo to doznati jos i iz poretka projekcija njegovih vrhova.

45

c·

81. 73. i 74.

c"

14",>".-__ ,

I~.: :::~~I.i ,Bit '1 . 1 x

A'~' C'

Na s1. 73. u tlocrtu i nacrtu trokuta isti je obilazni smjer kojim slijede jedna za drugom projekcije vrhova A, B i C, dok je na ·s1. 74. taj obilazni smjer u tlocrtu suprotan smjeru u nacrtu.

Kad su sLova u tLocrtu i nacrtu nekog trokuta poredana u istom smi­sLu, vidimo gornju stranu toga trokuta, biLo da trokut gLedamo u smjeru projiciranja na Tel' Hi u smjeru projiciranja na Te2•

Kad su sLova 11- tLocrtu i naertu nekog trokuta poredana u protivnom smisLu, vidimo gornju stranu toga trokuta kad ga gLedamo u smjeru pro­jieiranja na 11:1> a kad ga gLedamo u smjeru projiciranja na 11:2, vidimo njegovu donju stranu.

Buduci da se svaki ravan viSekut moze podijeliti dijagonalama na dva iIi vise trokuta, ta pravila vrijede i za odredivanje vidljivosti visekuta.

Na s1. 73. rijesen je i ovaj zadatak: Zadan je tLoeTt T' tacke T koja je u trokutu ABC; treba naci njezin nacTt.

Tackom T i jednim vrhom trokuta, npr. vrhom B, povucimo pomocnu duzinu BD toga trokuta. Njezin tlocrt B'D' mora prolaziti tackom T' i tac­kom B', a njezin je nacrt B"D". Na nacrtu B"D" te poprecnice mora biti trazeni nacrt T" facke T.

Na s1. 74. rijesen je i ovaj zadatak: Zadan je nacTt T" tacke T kOj(l je u tTokutu ABC; tTeba naci njezin tIoen.

Mjesto da taj zadatak rijesimo pomocu poprecl1lce trokuta koja bi isla tackom T i jednirn vrhom trokuta, povucirno sada poprecnicu koja ide tackorn T, a usporedna je s jednom njegovorn stranicom, npr. stra­nicom AB. Njezin je nacrt D"E" usporedan s A"B" i ide tackom T", a

46

njezin je tloert D'E'. Na tloertu D'E' te poprecniee mora biti trazeni tlocrt T' tacke T.

2. Osobiti polozaji trokuta. A. - T r 0 k u t u jed n 0 j r a v n i n i pro j e k c i j a. Na s1. 75. nacrtane su projekcije trokuta ABC i DEF.

F"

a.A ~E"

All Btl e" 1 ! 1 --<>-----<;>--~~

A'~C' D'

F' E'

B' 81. 75.

Buduci da su nacrti vrho­va trokuta ABC u osi x, za­kljucujemo da su ti vrhovi u ravnini Tel (§ 7, c1. 5). Trokut ABC je prerna tome u rav­nini Tel' On se poklapa sa svo­jim tlocrtom, a njegov je nacrt u osi x.

Vrhovi trokuta DEF ima­ju svoje tlocrte u osi x, a to zna~i da su oni, kao i trokut, u ravnini Te2• Trokut DEF koji je u ravnini Te2 poklapa se dakle sa svojim nacrtom, a njegov je tlocrt u osi x.

B. - T r 0 k u t us p 0 red a n s jed nom r a v n i nom p r o­j e k c i j a. Na s1. 76. nacrtane su projekcije trokuta ABC i DEF.

Nacrti vrhova trokuta ABC jednako su udaljeni od osi x, pa su prema tome ti vrhovi jednako udaljeni od ravnine Tel' Trokut ABC usporedan je dakle s ravninom Tel, pa je njegov tlocrt njemu sukladan trokut (§ 5, c1. C), a njegov nacrt je duzina usporedna s osi x.

Buduci da su tlocrti vrhova trolmta DEF jedna'­ko udaljeni od osi x, zaklju­cujemo da su ti vrhovi jed·· nako udaljeni od ravnine Te2 •

Trokut DEF usporedan je prema tome s ravninom Te 2,

pa je njegov nacrt njemu su­kladan trokut (§ 5, c1. C), a njegov tlocrt je duzina uspo­redna s osi x.

C. ~ T ro k u t 0 k o­mit na ravnini Tel.Na s1. 77. prikazan je. trokut 81. 76.

F"

~ 0' F' £'

47

ABC cija je ravnina A okomita na ravnini 71:1 , Pravac d 1 u kojemu ravnina A sijece ravninu 71:1 zove se prvi trag te ravnine, a pravac d 2 u kojemu ona sijece ravninu 71:2 je njezin drugi trag.

Izrezite od ertaceg papira kvadrat (10 em X 10 em) i na njemu nacrtajte trokut ABC, pa ga postavite okomito na 1t, modela ravnina projekeija kao na sl. 77. Kako stoji prema osi x drugi trag koje god ravnine okomite na 1t,?

Ravnina koja je okomitp. na 71:1, a kosa prema 71: 2, zove se prva ravnina projiciranja iIi prva ravnina prometalica. Njezin prvi trag cini s osi x onaj kut ~ sto ga ta ravnina zatvara s' ravninom 71: 2, a njezin je drugi trag ok omit na osi x.

BuduCi da jeprva zraka projiciranja AA' neke tacke A ravnine A okomita na 71:11 ona je u ravnirti A, pa zbog toga mora tlocrt A' tacke A biti u prvom tragu d1 te ravnine. To vdjedi i za svaku drugu tacku B iIi C te ravnine, kao i za svaki ravan lik (npr. trokut ABC) koji je u toj ravnini. Iz toga razmatranja izvodimo ovaj poucak:

Svaki ravan Uk koji je u prvoj ravnini projiciranja ima svoj tlocrt li prvom tragu te ravnine.

e"

j ex i K ~--~~r-~--~¢------+!----

i

TI,

Sl. 77. i 78.

48

i

Nakon tih objasnjenja mozemo sada rijesiti ovaj zadatak: Zadana je duzina AB [A (2; 1; 1), B (4; 2,5; 1,5)]; treba nacrtati pro­

jekcije istostranicnog trokuta kojemu je duzina AB stranica, ako je nje­gova ravnina okomita na ravnini 71: 1 ,

Pomocu zadanih koordinata tacaka A i B nacrtajmo najpdje projek­cije A'B' i A"B" duzine AB (s1. 78). Prvi trag d1 ravnine A toga trokuta odreden je tlocrtom A'B' te duzine, a njezin drugi trag d2 okomit je na osi x. Da bismo nasli projekcije C' i C" treceg vrha C, moramo odrediti pravu velicinu trokuta ABC i utvrditi njegov polozaj u prostoru. Nadimo zbog toga pravu velicinu AoBo duzine AB tako da preklopimo na 71:1 oko prvog traga d1 njezin prvi trapez projiciranja AA'B'B (§ 8, c1. 2. A), pa konstruirajmo istostranicni trokut AoBoCo. Ako sada okretanjem za kut od 90° oko prvog traga d1 dovedemo u vertikalni polozaj onaj dio crtaceg papira na kojemu je nacrtan troku't AoBoCo, dobit cemo polozaj u pro­storu trokuta ABC s obzirom na ravninu 71:1' Spustimo Ii sada iz tacke Cu okomicu na prvi trag d i , dobit cemo tlocrt C' tre6eg vrha C. Duzinom CoC' odredena je udaljenost vrha C od 71:1, pa pomocu nje nademo nacrt C" treceg vrha jer mora biti CxC" =CoC', a time je nacrt trokuta odreden.

D. -- T r 0 k u t 0 k 0 mit n a r a v n i n i 71:2' Trokut ABC cija je ravnina 1: okomita na 71:2 prikazan je na s1. 79. Prvi trag Sl te ravnine okomit je na osi x, a njezin drugi trag S2 cini s osi x onaj kut a1 sto ga ta ravnina zatvara s ravninom 71:1'

Postavite kvadrat od ertaceg papira na kojemu je naertan trokut ABC, a koji je posluzio kao model za zadnji zadatak, okomito na 1t2 modela ravnina projekcija kao na s1. 79.

Ravnina koja je okomita na 71: 2 , a kosa prema 71:1' zove se druga rav­nina projiciranja iIi druga ravnina prometalica. Buduci da je druga zraka projiciranja 'svake tacke ravnine 1: u toj ravnini, mora njezin nacrt biti u drugom tragu S2 te ravnine. Nacrt A"B"C" trokuta ABC, kao i svakoga drugog visekuta ravnine 1:, bit ce prema tome u drugom tragu S2 te rav­nine. 1z toga razmatranja izvodimo ovaj poucak:

Svaki ravan lik cija je ravnina okomita na ravnini nacrta ima svoj nacrt u drugom tragu svoje ravnine.

Na s1. 80. rijesen je ovaj zadatak: Treba nacrtati projekcije istokracnog troicuta, ako je njegova rav­

nina okomita na ravnini 71:2, osnovica mu je duzina AB[A (D,S; 0,5; 2,5), B (2,5; 1; 1)], a svaki je njegov krak dug 2 cm.

Nacrtajmo najpdje projekcije A'B' i A"B" duzine AB pomocu zada­nih koordinata tacaka A i B. Drugi trag S2 ravnine1: toga trokuta odre­den je nacrtom A"B" duzine AB, a njezin prvi trag S1 okomit je na osi x. Da bismo naSh projekcije C' i C" treceg vrha C, moramo odrediti pravu

4 Nacrtna geomettija I 49

[

81. 79. i 80.

CO

AO .~1\ :« .. /. \ A"! ;z-~;

'~'- \ BO C", ---p

,/

, . '

A'

v': !

, • • S'

, ,

c'

)(

s,

veliCinu trokuta ABC i utvrditi njegov polozaj u prostoru. Nadimo zbog toga pravu velicinu AOBo duzine AB tako da preklopimo na Ti:2 oko dru­gog traga d2 njezin drugi trapez projicil'anja (§ 8, CL 2. A), pa konstrui­rajmo trokut AOBoco na kojemu je Aoco=Boco=2 ern. Ako sad a okreta­njem za kut od 90° oko drugog traga d2 dovedemo u vertikalari palozaj onaj dio crtaceg papira na kojemu je nacrtan trokut AOBoco, dobit cemo polozaj u prostoru trokuta ABC s obzirom na ravninu 11:2 , Spustimo Ii sada iz tacke Co okomicu na drugi trag'd2, dobit cemo naert C" treceg wha C. Duzinom COC" odredena je udaljenost vrha C od '1t2, pa pomocu nje nademo Hoert C' treceg vrha jer mora bHi CxC' =coC", a time je tlocrt trokuta odreden.

Dosad smo konstruirali projekcije trokuta koji je bio u osobitom polozaju prema ravninama projekcija, a kako se konstruiraju pl'ojekcije nekog tl'okuta kojemu su z a dan e duljine stranica, a on je u 0 pee m polo Z a j u prema ravninama projekcija, to cema vidjeti kasnije.

Vjezbe

1. Nacrtajte projekcije trokuta ciji su vrhovi A (1; 1,5; 1), B (4; 3; 3,5) i C (5; 1,5; 2), pa konstruirajte trokut koji je njemu sukladan. Up uta: Nadite prave ve1i­cine stranica trokuta, pa pohlocu njih konstruirajte trazeni trokut.

2. Nacrtajte projekeije trokuta ciji su vrhovi A (1; 1; 2), B (3; 3; 1) i C (5; 2; 3), zatim konstruirajte njemu sukladan trokut, pa ga postavite iznad tlocrta trokuta ABC tako kako to odrequje njegov nacrt.

50

3. Naertajte projekeije trokuta ciji su vrhovi A (1; 3; 2), B (4; 4; 4) i C (2,5; 1,5; 1), zatim na posebnom papiru konstruirajte njemu sukladan trokut, pa ga izrezite i po­stavite iznad tlocrta trokuta ABC taka da dobijete pravi polozaj u prostoru tro­kuta ABC.

4. Odredite koja se strana vidi u tloertu, a koja u nacrtu trokuta iz vjezbe 1,2. i 3.

5. Nacrtajte projekcije trokuta Ciji su vrhovi A (1; 1; 1), B (4; 2; 2) i C, aka je vrh C 4 em iznad 'TC

" a C' je u polovistu duzine A'B'. Nadite pravu velicinu toga tro­

kuta i odredite njegov polozaj u prostoru.

6. Nacrtajte projekcije trokuta ciji su vrhovi A (1; 1; 1), B (4; 2; 3) i C, aka je~ C 3 em ispred 'TC2, a C" dijeli duzina A"B" u omjeru A"C": B"C" = 1 : 2. Nadite pravu velicinu toga trokuta i odredite njegov polozaj u prostoru.

7. Nacrtajte projekcije istostranicnog trokuta kojemu je stranica dliZina AB [A (0,5; 2,5; 1), B (3; 1; 1,5)], a njegova je ravnina okomita na ravnini tlocrta.

8. Nacrtajte projekcije istokracnog trokuta, aka je njegova ravnina okomita na ravnini nacrta, osnovica mu je duzina AB [A (1; 1,5; 1), B (4; 1; 2)], a svaki je njegov krak dug 3·cm.

§ 11. PROJICIRANJE VISEKUTA

1. KOllstrukdje pravHnog viSe1mta u. zadanoj kruznici. A. - 1st o­s t ran i c 11 i t r 0 k u t. Nacrtajte istostranicni tl'okv.t u kruzniei kojoj je poLumjeT r = 2 ern (s1. 81). .

B 81. 81. i82.

Nacl'tajie kl'uznicu s polumjeroHl 1'=2 em, pa povucite koji god nje­zin promjer DC. OpiSete Ii zatim ako tacke D kruini luk s polumjerom kl'uznice, on ce presjeCi kruznicu u tackama A i B koje s tackom C daju vrhove trazenog istostl'anicnog trokuta.

B. - K v a d rat. Nacrtajte kvadrat u k1'uzniei kajoj je poLumjer r=2 ern (s1. 82).

51

Naertajte kruznieu s polumjerom r=2 em, pa povucite koja god dva njezina meau sobom okomita promjera AC i BD. Tacke A, B, C i D su vrhovi trazenog kvadrata.

C. - P r a viI nip e t e r 0 k uti des e t e r 0 k u t. Nae1'tajtep1'a­vilni pete1'okut u kruzniei kojoj je polumje1' 1'=2 em (s1. 83).

Naertajte kruznieu s polumjerom r=2 em, pa povucite koji god njezin promjer GH. Odredite zatim polQviste P polumjera SG i naertajte polu­mjer SA koji je okomit na promjeru GH. Sada oko tacke P opisite kruZni Iuk tackom A i presijeeite njime promjer GH u tacki I. DuZina AI jed­naka je stranici pravilnog peterokuta. Ako sada uzmete u sestar duzinu AI pa je prenesete na kruzniCu kao tetivu pet puta, dobit eete vrhove pravilnog peterokuta.

A o

SI. 83. i 84.

Duzina SI jednaka je stranici pravilnog deseterokuta koji je upisan u toj kruzniei.

D. - P r a viI n i s est e r 0 k u t. Naertajte pravilni seste1'okut n krt.znici kojoj je polumje1' 1'=2 em (s1. 84).

Naertajte kruznieu s poIumjerom 1'=2 em, pa povucite koji god nje­zin promjer AD. Ako sada oko jedne i druge krajnje tacke toga promjera opisete kruzne. lukove s polumjerom kruzniee, oni ee presjeCi kruZnieu u tackama B, F i C, E koje s tackama AiD daju vrhove pravilnog seste­rokuta.

E. - P ra viI n i sed mer 0 k u t. N ae1'taj te pravilni sedmerokut 11, kruzniei kojoj je polumjer 1'=1,7 em (s1. 85).

N aertajte kruZnieu s polumjerom r= 1,7 em, pa povucite koji god njezin promjer AH. Opisite zatim oko· tacke H kruzni luk s polumjerom kruznice i presijecite kruznieu u tackama I i J. Polovina tetive IJ, tj. du-

52

zina LI iIi LJ priblizno je jednaka stranici pravilnog sedmerokuta. Uzmete li sada duZinu LI u sestar i prenesete je na kruznieu kao tetivu .desno i lijevo od tacke A, dobit eete vrhove pravilnog sedmerokuta.

F. - P rib Ii z n a k 0 n s t r uk e i j apr a viI n 0 g vis e k uta. Naertajte pravilnin-terokut u kruzniei kojoj je polumjer 1'=2 em, aka je n=9 (s1. 86).

A

A

K

c

H

SI. 85. i 86.

Naertajte kruznieu s polumjerom r=2 em, pa povucite koji god nje­zin promjer AJ i razdijelite ga na toliko jednakih dijelova koliko visekut. ima straniea. OpiSite kruzni Iuk s promjerom kruzniCe oko tacke A, a zatim oko tacke J. Neka se ti kruzni lukovi sijeku u tackama K i L. Ako sad a spojite tacke K i L sa svakim drugim djelistem promjera AJ (s 2, 4, 6 i 8) i te spojniee produzite preko tih djelista do sjecista s kruznieom, dobit eete vrhove B, C, D, E, F, G, H i I pravilnog deveterokuta. Ta konstruk­cija nije tacna, vee samo pribIiZna.

2. Konstrukcije pravilnog viSekuta kojemu je zadana stranica. A. -,I s t 0 s t ran i c nit r 0 k u t. Naertajte istostranicni trokut kojemu je straniea AB = 3,5 em (s1. 87).

Naertajmo duZinu AB=3,5 em, pa opisimo oko tacaka A i B kruZne lukove s polumjerom r=AB=3,5 em. Ti se Iukovi sijeku u treeem vrhu C istostranicnog trokuta ABC.

B. - K v a d rat. Naertajte kvad1'at kojemu je straniea AB=3 em (s1. 88).

Naertajmo pravi kut kojemu je vrh A, pa na jednom kraku kutu istaknimo duzinu AB=3 em, a na·drugom duzinu AC=3 em. Povucemo Ii zutim tackom B usporednieu sa stranieom AC, a tackom C usporednieu sa stranieom AB, one ce se sjeCi u cetvrtom vrhu kvadrata ABCD.

53

Naertamo Ii dijagonale kvadrata, one ee se sjeei u tacki S koja je sre­diste u kvadratu upisalne kruzniee, kao i srediSte oko kvadrata opisane kruznice.

------C 1//- ...... ,

. ", 0

T7 / ,- -', / ,

"- " / ,/ y \ 1"- / , \

I ( / / ' / \ \ , / ' \ \

I I "- "- S / / \ ,

",II )( I , / "-

, , / " \ \ / "- /

\ \ \ / "- / /

\ \ ~ /~ "- / / , \ IX '" /"-- /

I ~ -'

/ "- I

A 3,5 8

A I", 3 ___ , <//.1 B '--

81. 87. i. 88.

c. - P r a viI nip e t e r 0 k u t. Naertajte pravilni pete:okut ko­jemu je straniea AB = s = 2,5 em (s1. 89).

Naertajmo duzinu AB=2,5 em i odredimo njezino poloviste F. Tac-' kom B povucimo okomicu na tu duzinu, pa na tu okomieu prenesimo stra­nieu peterokuta tako da bude BG=BA=s. OpiSimo zatim oko tacke F kruzni luk tackom G i presijecimo njime produzenu stranieu AB u tacki H. Duzina AH koju na taj nacin dobijemo jednakaje dijagonaIi pravilnog peterokuta(AH=d). Ako sada opiSemo kruZni luk s polumjerom r=d oko tacke A, zatim oko tacke B, oni ce se presjeCi u tacki D koja je onaj vrh pravilnog peterokuta koji je nasuprot straniciAB. Da bismo na kraju dobili jos vrhove E i C tog peterokuta, presijeeimo te kruzne lukove onim lukovima s polumjerom r=s koje opiSemo oko tacaka A i B.

54

D

'H

'I ~ I >- j .-----r r--~ I d

8L 89. i 90.

D. - P r a viI n i 15 est e r 0 k u t. Nacrtajte pravilni sesterokut kojemu je stranica AB = s = 2 em (s1. 90).

Nacrtajmo duZinu AB=2 em, pa odredimo kao na s1. 87. treei vrh S istostranicnog trokuta ABS koji je sestina trazenog sesterokuta. Tacka S je srediSte one kruzniee koja se oko trazenog pravilnog sesterokuta moze opisatL Opisimo stoga oko tacke S kruznicu polumjerom r=s=2 em. Ta se kruznica sijece s kruznim lukovima naertanim oko tacaka A. i B u tac­kama C i F koje su vrhovi pravilnog sesterokuta. Nacrtamo Ii na kraju oko tacaka F i C kruzne lukove s polumjerom r=s=2 em, oni ee se sjeCi s kruznieom u tackama E i'D koje su takoder vrhovi pravilnog sesterokuta.

E. - P r a v i 1 n i 0 s mer 0 k u t. Nacrtajte pravilni osmerokut ko­jemu je stranica A.B=s=1,5 em (s1. 91).

Naertajmo duzinu AB=-1,5 em, pa konstruirajmo njezinu simetralu. Povucimo zatim tackom B zraku koja's produzenjem straniee AB cinikut od 45°, jer produzenje svake straniee pravilnog osmerokuta cini sa susjed­nom stranieom kut od 45°. Na tu zraku prenesimo stranieu osmerokuta BC=s=1,5 em. Ako sada konstruiramo simetralu straniee BC, ona ce se sjeei sa simetraloin straniee AB u tacki S koja je srediste one kruzniee sto se oko trazenog pravilnog osmerokuta moze opisati. Naertamo Ii tu kruZnieu i uzmemo Ii duzinu AB u sestar, pa je prenesemo kao tetivu na tu kruznieu jos sest puta, dobit eemo straniee CD, DE, EF, FG, GH i HA. pravilnog osmerokuta.

F E D J c -t

K HI IDj ",-

C L

t

G

"-~

AI E 3,5 F IS

81. 91. i 92.

F. - P r a viI n i 0 sm e r 0 Ie u t up i san u k v a d rat u~ Na­crtajte kvadrat kojemu je straniea AB = 3,5 em, pa u' njemu upisite pra­vilni osmerokut (s1. 92).

55

Nacrtajmo kvadrat kojemu je stranica zadana kao na s1. 88, pa povu­cimo njegove dijagonale koje se sijeku u tacki S. Opisimo zatim oko sva­koga vrha kvadrata kruzni luk tackom S. Ti lukovi sijeku stranice kva­drata u tackama koje su vrhovi pravilnog osmerokuta.

G. - Priblizna konstrukcija pravi1nog mnogtJ­k uta. Nacrtajte pravilni peterokut i pravilni sedmerokut kojima je stra­nica AB=2,5 em (s1. 93).

Nacrtajmo duzinu AB=2,5 em, pa konstruirajmo njezinu simetralu s. Tackom B povucimo okomicu na dliZinu AB, pa oko tacke 13 opisimo kru­zni 1uk kojemu je polumjer jednak duzini AB. Taj luk sijece nacrtanu okomicu u tacki C, a simetralu duzine AB u tacki· 6. Tacka 6 je· srediste one kruznice koja se moze opisati oko sesterokuta kojemu je duZina AB siranica, a tacka 4 u kojoj se sijece duzina AC sa simetralom duzine AB je srediste one kruznice koja se moze opisati oko kvadrata kojemu je duzina AB stranica. Ti pravilni likovi nisu na s1. 93. konstruirani.

Ako sadanademo poloviSte 5 du-zine 4 - 6, tacka 5 bit ce srediste one kruznice koja se moze opisati ok6 pe­terokuta kojemu je duzina AB tako­der stranica. Prenesemo Ii zatim ne­koliko puta duzinu 4-5=5-6 na si­metralu s iznad tacke 6, dobit cemo tacke 7, 8, 9, 10 ... koje su sredista onih kruznica koje se mogu opisati oko onog pravilnog sedmerokuta, os­merokuta, deveterokuta, deseteroku­ta ... kojima je duzina AB takoder stranica.

Da bismo, prema tome, nacrtali pravilni peterokut, odnosno sedmero-

t kut kojemu je stranica AB, treba da 81. 93. oko tacke 5, odnosno oko tacke 7, opi-

semo kruznicu koja ide preko taci.l.ka A i E, i da na tu kruznicu prenesemo sestarom duzinu AB kao tetivu pet, odnosno sedam puta, pa cemo dobiti vrhove pravi1nog· peterokuta, od­nosno sedmerokuta. Ta konstrukcija nije tacna, vec samo priblizna.

3. Projekcije viSekuta. Kad smo u § 10, cl. 1. crtali projekcije trokuta koji je bio u opcem polozaju, uzeIi smo njegovu prvu i drugu projekciju po volji, jer svake tri tacke u prostoru leze u istoj ravnini. Kada crtamo projekcije cetverokuta iIi visekuta koji je u opcem polozaju, ne mozemo

56

uzeti njegovu prvu idrugu projekciju po volji, jer bi se moglo dogoditi da cetvrti vrh ne bi lezao u istoj ravnini s ostala tri, a tada ne bismo dobili projekcije r a v n 0 gee t v e r 0 k uta, vec projekcije tzv. vi top e r 0 g c: e t v e r 0 k uta.

Da nacrtamo projekcije cetverokuta ABCD koji je u opcem polozaju (s1. 94), mo­ramo postupiti ovako: Nacrtat cemo po volji jednu projekciju cetverokuta, npr. prvu pro- A"

jekciju A'B'C'D', a isto tako uzet cemo po volji druge projekcije triju njegovih vrhova, npr. A", B" i C", jer je s tri vrha A, B i C odredena ra vnina toga trokuta. J edina drugu projekciju D" cetvitoga vrha D moramo kon­struirati. Nacrtat cemo najprije prve projek-cije dijagonala A.'C' i B'D' koje se sijeku u tacki S', a zatim drugu projekciju A"C" di­jagonale AC. BuduCi da se dijagonale cetve­rokuta sijeku,mora sjeciste S" drugih pro­jekcija tih dijagonala biti na ordinali koja prolazi tackom S'. U sjecistu te ordinale i druge projekcije A"C" dijagonale AC mora biti S". Na pravcu (B", S") bit ce drug a pro­

Ji'

0" -

81. 94.

e"

s" x

e'

s'

jekcija dijagonale BD, zato ce pravac B"S" sjeci ordinalu koju po1ozimo tackom D' u tacki D", koja je trazena druga projekcija cetvrtog vrha D.

Odredite pravu velicinu cetverokuta ABCD na taj nacin da nadete prave veli­cine trokuta ABC i ACD, te od ta dva trokuta sastavite cetverokut na posebnom papiru i izrezite gao Postavite zatim dobiveni cetverokut iznad tlocrta A'B'C'D' tako do. dobijete polozaj u prostoru cetverokuta ABCD.

U ovom primjeru nacrtali smo projekcije bilo kojeg cetverokuta, a zatim smo pomocu projekcija nasli njegovu velicinu i polozaj u prostoru. Za sada mi ne mozemo ici obrnutim redom. Kasnije cemo vidjeti kako se mogu konstruirati projekcijenekog visekuta kad je z a dan a njegova velicina, a on je u opcem polozaju. Mi za sada mozemo crtati projekcije samo takvog viSekuta cija je· ravnina u osobitom polozaju prema ravni­nama projekcija.

4. Osobiti polozaji visekuta. A. - Vis e k u t u r a v n i nit 1 0-

crt a. Na s1.95 (lijevo) nacrtane su projekcije kvadrala koji je u ravnini Tel' Duljina rijegove stranice je 2 cm, jedan njegov vrh je A (1; 2; 0), a pro­duzena njegova stranica AD Cini s pozitivnim dijelom osi x kut od 30'.

57

BuduCi da je taj kvadrat u 1':1' njegov se tloert s njime poklapa, a njegov je naert u osi x. Mali kvadratic ispred kote 2 straniee B'C' znaci da je to kota straniee kvadrata.

D"

A'

Sl. 95.

B. - Visekut u ravnini nacrta. Na istoj slici (desno) nalaze seprojekeije pravilnog peterokuta koji je u ravnini 1':2' Duljina

njegove stranice je 2 em, jedan nje-Art B"FtI Sll e"E" 0 11

o rr-r-n A' D'

B' c·

81. 96.

58

x

gov vrh je A (7; 0; 0,5), a njegova je straniea . AB . usporedna s osi x.

Kako je taj peterokut u 1':2, nje': gov se naert s njime poklapa, a nje­gov je tloert u osi x.

C. - Vis e k u t us p 0 red a n s r a v n i nom tl 0 crt a. Na s1. 96. naertane su projekcije pravilnog sesterokuta koji je usporedan s rav­ninom 1':1' Srediste kruzniee koja je oko njega opisana je S (2,5; 2,5; 1), njezin je polumjer r = 1,8 em, a je­dna je dijagonala sesterokuta uspo­redna s osi x.

Buduci da je ravnina toga sesterokuta usporedna s 1':1, njegov je tloert A'B'C'D'E'F' njemu sukladan. (§ 6), a kako je njegova ravnina i okomita na 1':2' njegov je naert duzina usporedna s osi x (§ 6). Udaljenost njegovog naerta od osi x odredena je aplikatom z= 1 sredista S.

D. - Vis e k u t 0 k 0 mit n a r a v n i n i 1':1' Zadana je duzina AC {A (1,5; 1; 1,5), C (3,5; 3; 3)]; treba naertati projekcije kvadrata kojemu je duzina AC dijagonala, a njegova je ravnina okomita na Tavnini 1':1"

Taj se zadatak rjesava na isti nacin kako je rijesen zadatak u § 10, Cl. 2. C. Najprije se naertaju projekeije zadane dijagonale (s1. 97). Prvi trag d1 ravnine A toga kvadrata odreden je tlocrtom te dijagonale, a nje­zin drugi trag d2. okomit je na osi x. Zatim se nade prava velicina AoCo te dijagonale preklapanjem njezinoga prvog trapeza projiciranja na 1':1

oko prvog traga d~, pa se pomocu nje konstruira kvadrat AoBoCoDo. Posta­vljanjem okomiea na trag d1 iz tacaka Bo i Do dobiju se tloerti B' i D' nepoznatih vrhova BiD kvadrata, a pomocu ordinala povucenih tim tlo­ertima 1. duzina B'Bo i D'Do nadu se-nacrti tih vrhova, jer mora biti BxB" = =B'Bo i D,D" =D'Do. Tloert toga kvadrata je duzina A'C',a nacrt je para-

BU

c·

d, AU

l :)0 i~'" ~'---"-)(-

!Xi I .. o

. 5,

0 x .j

'-i

~1 I I IS,

"-0'

B'

c. C·

81. 97. i 98.

59

lelogram A"B"C"D". Usporedne stranice kvadrata moraju imati uspo­redne i jednake nacrte (§ 9, c1. 5. B), a lik; s dva para paralelnih stranica je paralelogram.

E. - V is e k u t 0 k 0 mit n a r a v n i n i 'lt2• Nacrtajte projekcije praviLnog sesterokuta cija je ravnina okomita na ravnini 'lt2' a jedna nje­gova dijagonala je AD fA (1; 1,5; 2,5), D (3; 2,5; 1)].

Taj se zadatak rjesava po istom postupku po kojemu je rijesen zadatak u § 10, c1. 2. D. Nacrtaju se projekcije zadane dijagonale (s1. 98). Drugi trag S2 ravnine L toga sesterokuta odreden je nacrtom te dijagonale,a njezin prvi trag Sl okomit je na osi x. Zatim se nade prava velicina AODo te dijagonale preklapanjem njezinoga drugog trapeza projiciranja na 'lte

oko drugog traga S2, pa se pomocu nje konstruira pravilni sesterokut AOBoCoDoEoFo. Postavljanjem okomica na trag S2 iz tacaka BO, Co, EO i FO

dobiju se nacrti B", C", En i F" nepoznatih vrhova B, C, E i F sestero­kuta, a pomocu ordinala povucenih tim nacrtima i pomocu duZina B"Bo, C"co, E"Eo i F"Fo padu se tlocrti tih vrhova, jer su te duzine jednake or din a tam a tih vrhova. Nacrt toga pravilnogsesterokuta je duzina A"D", a tlocrt je sesterokut A'B'C'D'E'F' koji nije pravilan, ali koji ima tri para usporednih stranica. (Zasto?)

Vjezbe

1. Nacrtajte u krilZnici kojoj je polumjer r = 2,5 em: a) istostranicni trokut, b) kvadrat, c) .pravilnipeterokut, d) pravilni sesterokut, e) pravilni osmerokut, (pomocu kvadrata), f) pravilni deseterokut, g) pravilni dvanaesterokut. - Up uta: Naertaju se dva medu sobom oko­

mita promjera AB i CD zadane kruzniee. Ako se oko tacaka A, B, C i D opiSu krilZniee s polumjerom r = 2,5 cm, one sijeku zadanu kruznieu u tackama koje s tackama A, B, C i D daju 12 vrhova trazenogdvana­esterokuta.

2. Naertajte u kruznici kojoj je polumjer r = 3 em pribliznom konstrukcijom: a) pravilni sedmerokut, b) pravilni deseterokut.

3. Naertajte istostranicni trokut kojemu je stranica AB = 4 em.

4. Nacrtajte kvadrat, ako je njegova straniea AB = 3,5 em.

5. Nacrtajte pravilni peterokut, kojemu je stranica AB = 3 em.

6. Nacrtajte pravilni sesterokut, ako je njegova straniea AB = 2,5 cm.

7. Naertajte pravilni osmerokut kojemu .je stranica AB == 2 em.

S. Nacrtajte pravilni osmerokut koji je upisan u kvadratu, ako je straniea kva­drata AB = 4 em.

60

9. Nacrtajte pribliznom konstrukcijom pravilni deveterokut kojemu je stranica AB = 2 cm.

10. Nacrtajte projekcije cetverokuta ABCD [A (1; 2; 3), B (3; 1; 50), C (8; 2; 4), D (6; y; 1)]. Nap 0 men a: Slovom y oznacena je nepoznata ordinata tacke D, zato treba D' nacrtati uz pomoc ostalih poznatih elemenata.

11. Nacrtajte projekcije cetverokuta KLMN [K (2; 4,; 4), L (5; 1; 6), M (9; 3; 5), N (7; 5; z)].

12. Nacrtajfe projekcije pravilnog peterokuta ABCDE koji je u ravnini 71: 2 , ako mu je jedan vrh A (4; 0; 1), a srediSte kruznice opisane oko peterokuta S (3; 0; 3).

13. Odredite projekcije pravilnog sesterokuta ABCDEF"koji je u ravnini 71:" ako mu je jedan vrh A (3; 1; 0), a srediSte krilZnice Qpisane oko sesterokuta S (3; 4; 0).

14. Nacrtajte projekcije kvadrata ABC]) koji je usporedan s ravninom 71:" akQ je njegova dijagonala AC [A (4; 2; 1,5), C (5,5; 6; 1,5)].

15. Odredite projekcije kvadrata ABCD koji je usporedan s ravninom 71: 2 , ako je njegova dijagonala AC [A (2; 1,5; 2), C (3,5; 1,5; 5)].

16. Nacrtajte projekcije pravilnog sesterokuta ABCDEF koji je usporedan s rav­ninom 71:" ako je njegova dijagonala AD [A (2; 5; 2), D (5; 2; 2)].·

17. Nacrtajte projekeije pravilnog peterokuta ABCDE koji je usporedan s rav­ninom 7C2, ako je njegova stranica AB [A (2; 2; 2), B (5; 2; 2)].

18. Naertajte projekcije pravilnog sesterokuta :ABCDEF koji je okomit na rav­nini 71:" ako je njegova dijagonala AD [A (2; 2,5; 4), D (3; 1,5; l)J.

19. Naertajte projekcije kvadrata ABCD koji je okomit· na ravnini 71: 2, ako je njegova dijagonala AC [A (2; 1; 0,5), C (4; 4; 1,5)J.

§ 12. PROJICIRANJE KRUZNICE

1. Projekcije kruznice usporedne s ravninom tlocrta. Izrezite od crtaceg papira krug (r = 1,5 em) i naertajte na njemu dva promjera AB i CD koji su medu sobom okoml.tL Postavite taj krug pred model ravnina projekcija tako da on bude usporedan s '11:" da mu promjer AB bude usporedan S osi x, a njegovo srediSte S bude udaljeno 1 em od 71:, i 2 em od 7C2• Promatrajmo projekcije kruzniee toga kruga.

Projekcije kruznice nacrtane su na s1. 99. Buduci da je ravnina te kruznice usporedna s 'lt1' to je tlocrt svakoga njezi­nog promjera usporedan s tim promjerom i.njemu jednak, pa se ta kruznica projicira na 'lt1 kao kruZnica, i to u pravoj velicini. Buduci da je ravnina te kruznice ujedno okomita na 'lt2 , to je njezin nacrt duzina A"B" koja je usporedna s osi x i jednaka promjeru kruZnice. Promjer AB koji je usporedan s osi x projicira se na 'lti i na 'lt2 upravoj veliCini (§ 8, cL 3), a promjer CD koji je okomit na 'lt2 projicira se na 'lt1

u pravoj veliCini, a na 'lt2 kao tacka Cn =: D"

A" HI! c'· 51! 0" E"F" 8"

n-r-TiJ I ' , , ; x

A' B'

c' SI. 99.

61

(§ 8, Cl. 5). Prornje1' EH koji je usporedan s 'lt1 , a stoji koso p1'ema 'lt2, proji­cira se na 1(1 u pravoj velicini kao E'H', a na 'lt2 p1'ikracen kao E"H" (§ 8, c1. 7).

Tacka E koja je na prednjoj polovini k1'ubice i tacka F koja je na straznjoj polovini kruznice, a koje su simetricne s obzi1'om na promjer AB, projiciraju se na 1(2 u istu tacku Elf """ F", jer su tacke E i F tacke zaklonice s obzirom na 'lt2.

U svakoj tacki nac1'ta te kruznice nalaze se, dakle, nacrti dviju tacaka kruznice od kojih je jedna iz prednje, a druga iz straznje polovine kruz­nice, samo krajnja tacka AN, odnosno Elf nac1'ta kruznice je nacrt krajnje tacke A, odnosno B onog promje1'a kruznice koji je usporedan s osi x.

Kad je zadan tlocrt E' neke tacke kruznice, tad je njezin nac1't E" tacno od1'eden kao p1'esjeciste nacrta k1'uznice i ordinale polozene tac­kom E'.

Ako je zadan nacrt Elf neke tacke kruznice, tada su tim nacrtom od1'e­dene dvije tacke (E, F) zadane k1'uznice. Tloc1'ti tih tacaka pripadaju istoj ordinali. Jedna je tacka na prednjoj, a druga na straznjoj polovini kruz­nice. Kad se uz naert neke tacke krtiZniee zna jos i to da Ii je ona no. pred­njoj iIi no. st1'aznjoj polovini kruznice, tad je njezin tlocrt potpuno odreden.

D"

SL 1110.

2. Projekcije kruznog vijenca . uspo­rednog s ravninom nacrta. Na s1. 100. na­crtane su projekclje krtiZnog vijenca (R = = 1,5 em, T = 1 cm) koji je usporedan s 1(2, a kojernu je srediste udaljeno 2,5 em od Tel i 1,5 em od 1(2' '

Na vanjskoj kruznici vijenea istaknu­te 8U krajnje tacke A i B onog promjera koji je usporedan s osi x i k1'ajnje to.cke C i D onog p1'omjera koji je okomit na 'lt1•

Isto tako no. unutrasnjoj kruznici vi­jenea istaknute su krajnje tacke E i P onog promjera koji je usporedan s osi x i kraj­nje tacke G i H onog promjera koji je oko­mit na 1(1'

Svaka kruznica koju smo dosad proji­cirali bila je usporedna s jednom od dviju ravnina projekcija.

Kad je ravnina neke kruzniee okomita no. jednoj ravnini p1'ojekcija, a s drug om 1'avninom p1'ojekcija nije paralelna, kruzniea ce se projici1'ati na tu drugu ravninu kao elipsa. Zbog toga su nam za crtanje njezinih projekcija pot1'ebne neke konst1'ukcije elipse, koje cerna sada obraditi.

62

3. Neke konstrukcije elipse. A. - 0 eli psi. Kad vrtlar (s1. 101) t1'eba da ocrta medu elipticne lijehe, on zabije u zemIju dva mala kolca, na njih priveze krajeve konopca koji je duIji od razmaka tih kolaca, a zatim treeim, duzim kolcem nategne taj konopac i pomice ga oko malih kolaca. Siljkom treeeg kolca na taj nacin zareze brazdu koja ima oblik krivulje

koju nazivamo elipsom.

81. 101.

Nacrtajte eUpsu kao na sL 102, pomocu dvi.1'L< pribadaca, konca olovke.

1z te slike vidimo da elipsa ima d v i j e 0 sis i met r i j e, AB i CD.'Veca od njih zove se velika os, a manja mala os. Osi elipse sijeku se 11 tacki S koja je sTediste elipse. K1'ajnje tacke osi zov'U se tjemena elipse. Buduci da su osi simetrije dipse medu sobom okomite, to je elipsa i cen­tmIno simetTicna S obziTom na svoje sTediste.

Tacke Pl i F2 zovu se zarista ili fo­kusi elipse. Udaljenosti svake tacke eli­pse od zariSta elipse zovu se pTovodnice ili mdijus-vektori te tacke. Zbroj p1'o­vodnica svake tacke elipse jednak je duIjini konca, jer je za izvodenje elipse du1jina konca osta1a uvijek ista. P1'ema tome je F1E+F2E=F1C+F2C=F1D+ +F2D=F1G+F2G itd.

c 81. 102 .. _

63

Elipsa je krivulja koja ima to svojstvo da zbroj udaljenosti svake njezine tacke od dvijn cvrstih tacaka ima stalnu vrijednost.

Ta stalna vrijednost zbroja provodniea svake tacke elipse obicno se oznacuje s 2a. Prema tome i za tjeme A vazi da je F1A+F2A=2a, a kako je F1A=F2B, jer su te dvije duzine simetricne s obzirom na srediste S, to je

2a=F1A+F2A=F2B+F2A=AB, dakle je

2a=AB.

Zbroj provodnica svake tacke eHpse jednak je njezinoj veIikoj osi. Kad su zadane osi elipse, moze se ta za tehniku vazna krivulja kon­

struirati na mnogo naCina.

B. - K 0 n s t r u k e i j a eli p s e porn 0 c ufo k usa (z a r is t a). Nacrtajmo dva medu sobomokomita pravea koji se sijeku u tacki S (s1. 103). Prenesimo na jedan pravac duzinu SA=SB=2,5 em, a na drugi SC=SD=2 em. DliZine AB i CD neka budu velika i mala os elipse.

o

c 81. 103.

B

Buduci da su tjemena C i D elip­se (s1. 102) jednako udaljena od zari­sta Fl i F2 , to je provodniea F1D iIi F2D jednaka po10vini velike osi elip­se. Ako prema tome opiSemo oko tac­ke D (s1. 103) 1uk kruzniee s po1umje­rom SA ili SB,taj ce 1uk sjeci veliku os AB u zaristima F1 i F2 elipse.

Istaknimo sad koju god tacku G na velikoj osi izmedu sredista S i za­rista F2• Uzmimo zatim u sestar du­zinu AG i opisimo oko F2 kruzni 1uk, a potom uzmimo u sestar ostatak ve­like osi, tj. duzinu GB i opiSimo oko

Fl kruzni 1uk. Ta ce se dva kruzna 1uka sjeci u tackama T1 i T2 koje su na elipsi, jer je F2T 1+F1T 1 =AG+GB=AB, a to isto vrijedi i za tacku T 2 -

Opisemo Ii zatim kruzni 1uk oko Fl s po1umjerom AG, a oko F2 s polu­mjerom GB, ti ce se kruznilukovi sjeci u tackama Ts i T4 koje su takoder na elipsi.

Istaknimo sad na velikoj osi neku drugu tacku, npr. H, pa pomocu duzina AH i HB konstruirajmo. na isti nacin joil cetiri tacke elipse. Kada na taj nacin odredimo dovoljno tacaka elipse, spojimo ih krivuljom slo­bodnom rukom ili pomocu krivuljara.

C. - K 0 n s t r u k c i j a eli p s e porn 0 c u k r u z n i e Ii z a k r i­vI j en 0 s tin j e z i nih t j erne n a. Prvom konstrukcijom elipse do-

64

biju se sarno pojedine tacke elipse koje treba krivuljom spojiti slobodnom rukom. Kako e:rtanju slobodnom rukom nije svatko vjest, naucit cemo kako se dobar dio elipse moze naertati sestaram.

Neka je AB=5 em, a CD=3 em (s1. 104). Krajnjom tackom A velike osi elipse povucimo usporednicu s malom osi, a krajnjom tackom D male osi povucimo usporednieu s velikom osi elipse. Tese usporednice sijeku u tacki E. Spojimo tacke AiD, pa iz tacke E povueimo okomicu na du­zinu AD. Ta okomica sijece veliku os u tacki 01, a malu os ili njezino p:r:o­duzenje u tacki °4 0 Oznacimo zatim na velikoj osi tacku °2, a na maloj osi tacku 0 3 taka da bude S02=SOl, S03=S04'

N aertajma sada krliZnicu kojoj je tacka 0 1 srediilte, a koja prolazi tackom A. Ta kruznica koja s~ u tacki A pri1jub1juje elipsi najjace koliko je to moguce zove fie kruznica zakriv­ljenosti eHpse u tjemenu A. Nacrtaj­mo zatim krliZniee zakrivljenosti eli­pse za ostala njezina tjemena. KruZ­nica zakrivljenosti za tjeme B ima srediilte u tacki °2, za tjeme C u tac­ki 03' a za tjeme D u tacki 04' Elipsa pre1azi na cetiri mjesta iz jedne kru­znice zakrivljenosti u drugu, a oni dijelovi elipse koji su na tiin mjesti-ma nacrtaju se slobodnom rukom ili krivu1jarom.

E

A

, , 0'

81. 104.

B

D. - K 0 n s t r u k c i j a e Ii p s e po m oc u k r u z n i can a d n j e z i nom vel i k 0 m i malo mas i. Oko srediSta elipse opisu se dvije krliZnice (s1. 105), i to jedna koja prolazi krajnjim tackama A i B velike osi, a druga koja prolazi krajnjim tackama C i D male osi elipse. Sredistem elipse naerta se bilo kaji pravac koji sijece manju kruznicu u tackama E i F, a vecu u G i H. Zatim se povuku tackama na manjoj krliZ­niei usporednice s velikom osi, a tackama na vecoj kruznici usporednice s malom osi elipse. Sjeeista Tl i T2 tih usporednica su dvije tacke elipse. Taj se postupak ponovi jas nekoliko puta, pa se dobije jos nekoliko ta­caka elipse.

Ako se tackom Tl povuceusporednica s dliZinom SH, ana sijece veliku os u ta~ki K, a malu os u tacki L. Iz paralelograma SLT1H izlazi da je LT1=SH=SA=a, a iz paralelograma SKTIF izlazi da je KT1 =SF=SC=b. Na tome svojstvu elipse teme1ji se slijedeca njezina konstrukcija:

5 Nacrtna geometrija I 65

y

A

81. 105.

- T,l ~ Q

T,K ~ b

B

E. - Konstrukcij a male osi (duzine CD) elipse ako su zadane velika os i jednatacka eli p s e. Zadana je velika os elipse AB i tacka T; treba kon­struirati malu os te elipse (sl. 106).

.!?olovistem S'velike osi elip­se povuce se pravacp okomito na tu os, pa se taj pravac presi­jece u tackama Ii L lukom kru­znice kojoj je srediste u tackiT, a polumjer r=SA=SB=a. Na kraju se nacrtaju pravci (T, L) i (T, 1). Ako veliku os AB sijece pravac (T, L) u tacki K, a pravac

(T, I) u tacki J, onda je dliZina TK, kao i dliZina T J, jednaka polovini male osi SC=SD=b. Da je TK=b, izlazi iz svojstva elipse koje je dokazano na kraju Cl. D, a da je i TJ=b, mozemo dokazati ovako: Ako kutove na osnovici istokracnog trokuta lLT oznacimo s S, onda izlazi iz pravokutnog trokuta SLK da je f:l+a=90°, a iz pravokutnog trokuta SJl izlazi da je S+a1 =90°, pa je prema tome <l:a.=<l:a1• Trokut KJT je dakle istokracan, pa su njegovi kraci TK i TJ menu sobom jednaki. Kako je pak TK=b, to je i TJ=b.

F. - Tan g en t a, nor mal a i k 0 n jug iran i pro m j e r i eli p s e., Istaknimo na elipsi (s1. 107) koju god tacku I i povucimo nje-zine provodnice Fll i F2l. Produzimo Ii provodnicu Fll preko tacke I, dobit cemo dva kuta sto ih cine provodnice tacke I, i to u nut r asn j i k u t ~ i van j ski k u t CL. Simetrala t vanjskog kuta a. ima s elipsom sarno jednu tacku zajednicku, i to tacku I. Dna je tangenta elipse u tacki I, a tacka I je njezino diraliste.

Tangenta u nekoj tacki elipse A<>--_o

raspolavlja vanjski kut provodnicG. te tacke.

Tangenta.t cini s jednom i dru­gom provodnicom njezinog diralista

jednake kutove, i to 2 .

66

81. 106.

Provodnice svake tacke elipse Cine s tangentom elipse u toj tacki jed­nake kutove.

1z toga svojstva elipse i potjece zaristima njihovo ime. Kad bismo u jednom zaristu smjestili izvor svjetlosti, a uzduz elipse postavili valj­kasto elipticno zrcalokojemu bi izvodnice bile okomite na ravnini elipse, onda bi se one zrake svjetlosti koje su u ravnini elipse odbijale od zrcala tako da bi prolazile drugim zaristem.

Ako diralistem I tangente t i, povucemo pravac n okomito na tangentu, .dobit cemo normalu elip­se u tacki I. Norm;:lia n je sime­trala kuta S.

N ormala u nekoj tacki elipse c t, raspolavlja unutrasnji kut provod- Sl. 107.

nidi te tacke. Duzina koja spaja dvije tacke eIipse i ide njezinim sredistem, npr.

IJ iIi KL, zove se promjer iIi dijametar eIipse. Duzina koja spaja koje god dvije tacke elipse, npr. BG iIi MN, zove se tetiva elipse. BuduCi cia je elipsa centralno simetricna s obzirom na svoje srediste, to su tangente u krajnjim tackama svakoga njezinog promjera m~u sobom usporedne. Tako je tangenta t u tacki I usporedna u tangentom t u tacki J. Povucemo Ii sada sredistem S promjer KL koji je usporedan s tangentama tit, to ce tangente elipse tl i ~ u njegovim krajnjim tackama K i L biti uspo­redne s promjerom IJ.

Dva promjera elipse koji imaju to svojstvo da su tangente elipse u krajnjim tackama jednoga usporedne s drugim zovu se zdruzeni Hi konju­girani promjeri. Promjeri IJ i KL su konjugirani promjeri elipse.

Svaku tetivu koja je usporedna s promjerom IJ, npr. tetivu BG, raspo­lavlja promjer KL, a svaku tetivu koja je usporedna s promjerom KL, npr. tetivu MN, raspolavlja promjer IJ.

Kad su dva promjera elipse konjugirana, tada jedan promjer raspo­lavlja sve tetive elipse koje su usporedne s drugim.

Elipsa ima b e z b r 0 j parova konjugiranih promjera. Vel i k a i mal a 0 s elipse cine onaj par njezinih konjugiranih promjera koji su m e d u sob 0 m 0 k 0 mit i. Kruznica ima bezbroj parova konjugiranih promjera, a svi su oni menu sobom okomiti.

G. - K 0 n s t r u k c i j a eli p s e porn 0 cup a r a k 0 n jug i­ran i h pro m j era. Elipsa se maze konstruirati kad je poznat jedan par njezinih konjugiranih promjera, npr. MN i PR (s1. 108), i to ovako:

67

Nacrta se dodirni paralelogram GHKL, pa se duiine SM, SN, MG, MH, NK i NL podijele na isti broj jednakih dijelova, npr. 4. Djelista se numeriraju redom od MiN desno, lijevo i prema sredistu elipse. Kad se spoji P s 1, a R s I; dobiju se zrake koje se sijeku u tacki T koja je na elipsi. Ostale se tacke dobiju na isti naCin. a zatim se spoje slobodnom rukom, pri cemu treba paziti da elipsa mora dodirivati paralelogram GHKL u polovistima M, N, Pi R njegovih stranica.

AiIJ1/ / G M H

81. 108.

Da se izbjegne ertanje elipse slobodnom rukom, mogu se pomocu para konjugiranih promjera elipse odrediti ujezine osi, a zatim se elipsa naerta pomocu kruzniea zakrivljenosti njezinih tjemena.

/H. - K 0 n s t r u k e i j a vel ike i m a leo s i eli p s e k a d j e z a dan par n j e z i nih k 0 n jug ira nih pro m j era, npr. MN i PR (s1. 109). U sredistu elipse S podigne se okomica na jedan pro­

A

'K

o 81.109.

B

mjer, S!.l PR, pa se nacini SI = SP. Zatim se tacka I spoji s bliZom kraj­njom tackom drugoga promjera MN, i dobije se duzina IN. Oko polovista J te duzine opise sepreko sredista elip­se S kruznica i njome se presijece produzena duzina IN u tackama K i L. Na spojnicama tacaka K i L sa srediStem S nalaze se velika i mala os elipse. Polovina velike osi SA iii SB jednaka je duiini NK iIi LI, a po­lovina male osi SC ili SD jednaka je duzini NL Hi IK.

4. Projekcije kruznice okomite na ravnini tlocrta

Izrezite od crtaceg papira pravokutnik (5,5 em X 4 em), odredite njegovo sre­diste S, pa oko njega opiSite kru.znieu k kojoj je polumjer r = 1,5 cm. Nacrtajte zatim promjer AB koji je usporedan s kracom stranicom i promjer CD koji je usporedan s duzom stranicom pravokutnika. Ako postavite taj pravokutnik na model ravnina

68

projekcija tako da bude okomit na "" a da cini s "2 kut od 45', te da mu je duza stranica 'u "" a kraca u "2' imat cete model za ovaj zadatak:

Treba nacrtati projekcije kruznke k kojoj je poZumjer r=1,5 em, ako je njezina ravnina okomita na ravnini tlocrta i cini s ravninom nacrta kut ad 45°, a srediste je kruzniee udaZjeno 2 em od 'It1 i 2 em od 'It2•

Na s1. 110. prikazana je kruznica k i njezina ravninaA (di , d2). Pro­mjer AB te kruzniee okomit je na 'Itil zbog toga ce njegov tlocrt biti tacka A' ==B', a naert duzina A"B" koja je okomita na osi x i jednaka tome pro­mjeru, tj. bit ce A"B"=2r=3cm, iIi S"A"=S"B"=1,5cm. Promjer CD te kruiniee usporedan je s 'It1, zato ce njegov tloert C'D' biti jednak tom promjeru, tj. bit ce C'D'=2 r=3 em, ili S'C'=S'D'=1,5 em, a njegov naert C"D" bit ce usporedan s osi x.

x

81. 1111. i 111.

Vidjeli smo u § 6. zasto tloert k' te kruznice mora hiti u prvom tragu ravnine A, i to duzina C'D' koja je duga 2 r=3 em. Njezin nacrt bit ce elipsa k" koja je simetricna s obzirom na duiine A"B" i C"D". Duiina A"B" je velika os, a' duzina C"D" mala os te eIipse.:

1z toga izvodimo ovo pravilo:

Tloert kruzniee koja je okomita na 'It 1 je duzina koja je jednaka pro­mjerukruzniee i cini s osi x onaj kut sto ga ravnina kruznice cini s 'It2•

a poloviSte te duzine je tloert sredista kruzniee.

69

i bokoert A"'. Tackom A" povuce se okomiea na os x, pa se nacini AxA' = AzA"'·.

Na s1. 114. naertane su jos i sve tri projekcije tacaka B i C. Vidimo da tacka B kojoj je tloert B' za duljinu Ay, iznad tloerta A' tacke A, ima bokoert B'" za duljinu Ay, desno od bokoerta A'" tacke A, dok tacka C kojoj je tlocrt C' za duljinu Ay, ispod A', ima bokocrt C"' za duljinu Ay' lijevo od A"'. Prema tome mozemo kad su zadane sve tri projekcije tacke A odrediti bokocrt svake druge tacke kojoj je zadan tlocrt i nacrt, a ·da ne upotrijebimo osi x, y i z. Tackom A'" povucemo usporednicu s ordi­nalomA' A", a tackom A' usporednicu s ordinalom A" A"', za'timtackom B", odnosno C" 'nacrtamo usporednicu s ordinalom A" A"', pa na njoj na­demo tacku B"', odnosnoC'" pomocu razlike ordinata tacaka A i B, odnosno A i C.

, \. \~~ z

Az A'

o

t.Rb-. _____________ .. ___ . ....:.--------------.. .0 t

z Ay A

n. y TI,

S1. 115. i 116.

B. - Na s1. 115. prikazan je d:r; u gin a Ci n pre k 1 a pan jar a v­n ina pro j e k c i j a. Na horizontalnu ravninu "It! preklopi se ravnina "lt2 skupa s nacrtom A" tacke A oko osi x prema straga, a ravnina "lt3 skupa s bokocrtom Alii tacke A oko osi y nalijevo. Pri tome bokocrt A'" opise cetvrtinu vertikalne kruznice kojoj 'je srediste u tacki A y , a polumjer joj je AyA"', dok tacka A z opise cetvrtinu sukladne kruznice koja je u "lt2 i kojoj je ishodiste 0, a polumjer OAz. Nakon preklapanja ravnina projek­cija "lt2 i "its na ravninu "lt1 dobijemo s1. ll6. na kojoj je prikazana kon­strukeija bokocrta A"' tacke A iz njezinog tlocrta i nacrta. Tlocrtom A' povuce se usporednica s osi x ina nju se prenese od osi y nalijevo duzina AyA'" = z = AxA", iIi se. nacrtom A" povuce usporedniea A" A z s osi x, pa se tacka A z okrene za kut od 90° oko ishodista 0 u pozitivnom smislu, tj.

protivno od okretanja kazaljke na satu, te se dobije tacka A z" Tackom Az. povuce se zatim usporednica s osi y, pa ona presijece pravac A'Ay koji je usporedan s osi x u trazenom bokocrtu Alii.

3. Oktanti. A. - Ravnine projekcije "lt1, "lt2 i "lt3 dijele prostor na os am dijelova koji se zovu oktanti (s1. 117). Oktanti od I do IV poredani su s desne strane ravnine "lt3, i to onim redom kako su u § 7, cl. 6. poredani kvadranti, a oktanti od V do VIII poredani su istim redom s lijeve strane ravnine "lt3•

Na s1. 117. prikazane su tri projekcijetacke A iz I oktanta, tacke B iz II oktanta, tacke C iz IV oktanta i tacke D iz V oktanta. Polozaj svake tacke u nekom 01dantu moze biti odreden njezinim koordinatama: apsci­som, ordinatom i aplikatom (§ 7, cL 7).

+Z -y 8"1 8"

/

Am --~--.--'i---1

}--ff ::N::', J/"-x

.,'1

/:~~--~-----------D' I

J ~'-i~~ ;:L~c'

L-----__ -----------~ e" e'" ·z L-'Y'--___ ---'

Sl. 117. i 118.

Npr. tacka A ima apscisu x = OAx, ordinatu y = OAy i aplikatu z = OAz. Koordinate mjerimo od ishodiSta 0, a pri tome se uzima da su pozitivni desni dio osi x, prepnji dio osi y i gornji dio osi z.Prema tome, sve tacke koje su s desne strane ravnine "lt3 imat ce pozitivnu apscisu, a one s lijeve strane negativnu. Pozitivnu ordinatu imat ce one tacke koje su ispred ravnine "lt2' a negativnu one koje su iza "lt2' Sve tacke koje su iznad ravnine "lt1 imat ce pozitivnu aplikatu, a negativnu one koje su ispod -Tel'

75

Na s1. 118. prikazime su sve tri projekcije tacaka A, B, C i D, ako je prelaganje ravriinaprojekcija izvedeno na prvi nacin, kao na s1. 113. i 114. Trece projekcije tih tacaka odredene su pomocu njihovih prvih i drugih projekcija i okretanja tacaka A y, By, Cy i Dy oko ishodista 0 za kut od 90° u negativnom smislu.

B. - Tacka D koja je u V oktantu (s1. 117) ima nacrt D" i bokocrt Dm

na lijevoj strani osi z i obadva iznad osi x. Isto tako bi svaka duzina iIi ravan lik ili geometrijsko tijelo koje bi bilo u V oktantu ima]o nacrt. i . bokocrt na lijevoj strani osi z i obadva iznad osi x. Pri prikazivanju ne­koga tehnickog objekta crtezom koji je u V oktantu treba izbjegavati da njegov nacrt i bokocrt budu na istoj strani osi z i obadva iznad osi x, jer bi se tad a nacrt toga objekta ukrstavao s bokocrtom, pa bi crtez toga objekta mnogo izgubio od svoje preglednosti. Da to izbjegne, tehnicar kada mu je objekt u V oktantu izvede preklapanje ravnina projekcija tako da dobije nacrt i bokocrt predmeta na razlicitim stranama osi Z, a to postize na taj nacin da ravninu 11:3 preklopi na ravninu 11:2 skupa s boko­crtom oko osi z n a des n o.

, I ,

IT. .A"

A (i'--J--i-j ·-x ;

\ ,'" ', ... _--'

, , , '~-:-~iA'fI

.... "'"" "./

----- "" .... / ....-~

81. 119. H20.

TI, z

» . y t----t -.. -....... -.-i <"

1 iAyo x -l(

o

, -J----£-//// TI; ~___ ,/

, /

Takvo preklapanje prikazano je na s1. 119~ Tacka A koja je u V oktailtu ima sada nacrt An i bokocrtA'" na razlicitim stranama osi Z (sl. 120). Konstrukcija bokocrta A'" iz tlocrta i nacrta tacke A na sl; 120. raz­likuje se od one na sl. 114. samo utoliko sto je sada tacka Ay okrenuta za kut ad 90· aka ishodiSta 0 u pozitivnom smislu, a ne kao prije u nega­tivnom smislu, te sto se sada bokocrt Am nalazina desnoj strani osi Z, a ne na lijevoj. Na taj nacin dobiveni bokocrt tacke A zove se desni bokocrt iIi bokocrt s desne strane, jer se ravnina 11:3 nalazi s desne str.ane te tacke,

76

j

a bokocrt npr. taCke A iz s1. 114. zove se lijevi bokocrt iIi bokocrt s lijeve strane, jer je ravnina 'ita bila s lijeve strane te tacke. Kod slozenijeg teh­nickog objekta kadikad treba nacrtati njegov i lijevi i desni bokocrt, a to znaci "da taj objekt treba normalno projicirati jedanput na ravninu 'ita koja se postavi s njegove lijeve strane, a drugi put na ravninu 'it3 koja se postavi. s njegove desne strane.

§ 14. PROJICIRANJE DUZINE

1. Dmina U opcem polozaju. Na s1. 121. prikazane su tri ravnine pro­jekcija 11:1., 11:2 i 'ita., zatim duzina AB i sve tri njezine projekcije. Ako je Am bokocrt j edne, a B"'. bokocrt druge krajnje tacke te dliZine, onda je IT, dliZina AUIB'" bokocrt duiine 'AB~ B

U

Bokocrti svih tacaka duzine AB ispunili bi duzinu A"'B"', a treee zrake projiciranja tih tacaka ispu­nile bi trapez AA"'B"'B koji se zove treci trapez projiciranja du­zine AB. T8.j trapez ima dvije usporedne stranice AA'" i BB'" od kojih je AA'" = A' Ay = An A z i BB'" = B'By = B"B" a njegovi ku­tovi pri vrhovima A'" i B'" su pravi.

Sada cemo rijesiti ovaj zadatak:

Y Ay 11 •

Sl. 121.

Zadan je tIocrt i nacrt duzine AB; treba odrediti njezin bokocrt pravu veliCinu pomocu njez:inog treceg trapeza projiciranja (s1. 122).

s" z

81. 122.

Na s1. 122. preklopljene rav­'nine projekcija nisu ogranicene kao pravokumici jer nam riji­hove granice nisu vazne. Glav­no je· da se zna njihov polozaj na ravnini slike, a taj je pot­puno odreaen kad su zadane osi x, y i z u kojima se one meau sobom sijeku.

Bokocrt duzine AB nade se tako da se odrede bokocrti Am i BO' krajnjih tacaka te duzine, pa se oni spoje duzinom A"'B"'.

77

1z iste slike nije tesko razabrati kako bi se konstruirao tlocrt dliZine AB kad bi ona bila zadana svojim naertom i bokoertom.

U § 8, c1. 2. A vidjeli smo na koji. se nacin moze odrediti prava veli­cina neke duzine pomocu prvog ili drugog trapeza projiciranja te dliZine, ali i njezin treCi trapez projiciranja moze nam posluziti za tu svrhu. Tra­pez ABB'" A'" (s1. 121) preklopimo oko njegove straniee A"'B'" na 11:

3, Na

s1. 122. taj je preklopljeni trapez konstruiran ovako: U tackama A'" i B'" povucene su okomice na duzinu A"'B'" i nacinjeno je B"'Bo = BzB" i A'" AO = AzA", a na kraju su spojene tacke AO i BO. Straniea AOBo u tako naertanom trapezu jednaka je dliZini AB u prostoru.

2. Osobiti polozaji duzine. Na s1. 123. naertane su sve tri projekcije dliZine AB koja je usporedna s ravninom 11:1, Bokoert takve dliZine okomit je na osi z.

Slika 124. prikazujesve tri projekeije dliZine CD koja je usporedna s ravninom 'lt2 • Njezin bokoert usporedan je s osi z.

Postavite tanki stapie pred model ravnina projekcija tako da bude USporedan s ravninom 1t" pa uocite koje polozaje imaju njegove projekcije.

z - z D'" D"

L0 c : ----- ----- ! . Yo , x

o '-'---- ----J--__ b

e' D'

y y

81. 123, 124. i 125.

Na s1. 125. naerta:ri.e su sve tii projekcije duzine EF koja je usporedna s ravninom 11:3 , Njezin je'tloert E'F' uspo1'edan s osi y, naert E"F" uspo-1'edanje s osi Z, a bokoe1't EmF'" jednak je njezinoj pravoj velicini.

Uvjerite se 0 tome preklapanjem prvog ili drugog trapeza projiciranja.

§ 15. PROJICIRANJE TROKUTA

1. Trokut u opcem polozaju. Bokoert t1'okuta ABC (s1. 126) nade se tako da se od1'edebokoe1'ti Am, Bm i Cm njegovih v1'hova, pa se oni meau

78

I J

, sobom spoje duzinama. Kad je trokut u opcem polozaju, njegov je bokoert takoaer trokut.

sto opazate kad usporedite vidljivost u prvoj i drugoj projekeiji i vidljivost u trecoj? Naertajte sve tri projekcije trokuta kojemu se u prvoj i drugoj projekciji vide razlicite strane, Sto opazate? Da. Ii se moze odatle nesto zakljuciti 0 vidljivosti U Bve tri projekcije? Upotrijebite model trokuta koji obojite na razlicitim stranama razlicitim bojama, pa u-z pomoe modela provjerite svoje zakljucke.

2. Osobiti polozaji trokuta. A: - Na s1. 127. naertani su tloert i naert t1'okuta (lBC koji je usporedan s ravninom tlocrta, a zatim je konst1'ui1'an njegov bokoert. Vidimo iz te konst1'ukeije da je bokoert trokuta koji je uspo1'edan s 1'avninom tloe1'ta duzina okomita na osi z.

z

A'· B'" e'" ~ C' Boo ~--------- .-------'?"o--.-;>--r

: i : 0 .1:,::::, \

Y. i' -l , ~ \

\ ,\. '

\ \,'~:~~~:~~ y s' Y

81. 126. i 127.

B. - Na s1. 128. naertani su tloert i nae1't t1'okuta ABC koji je uspo­redan s ravninom naerta, a zatim je konstrui1'an njegov bokoert. 1z te kon­st1'ukcije izlazi da je bokoert t1'okuta koji je usporedan s 1'avninom nae1'ta duzina uspo1'edna s osi z.

C. - Trokut usporedan s bokocrtnom rat)ninom. Ako postavite trokut ABC~­tako da je usporedan s bokoertnom ravninom vaseg modela ravnina projekcija, pa promatrate kakve su njegove projekeije, opazit eete da je njegov tloert, kao i naert, duzina okomita na osi x, a da je njegov bokoert trokut sukladan trokutu ABC.

Treba nacrtati sve projekeije istostranicnog trokuta kojemu je stra­nica AB fA (1,5; 3; 1), B (1,5; 1; 1,5)], ako je on usporedan s bokocrtnom ravninom (s1. 129).

Nae1'tajmo sve t1'i projekcije st1'anice AB. Da bismo zatim nasli pro­jekeije treceg v1'ha C, moramo p1'vo nae1'tati bokoe1't A"'B"'C'" toga t1'o-

79

kuta koji mu je sukladan i odreden je stranicQm AmB"', a potom pomocu bokocrta C'" vrha C naci njegov nacrt na produzenju duzine A"B" i tlocrt na duzini A'B'.

jz c .. , z

'" C" !fSt..... .. ~. . ·············1 c"

Ct········ i? : B"' s'" . ...... .... . , , Bn , "-""- B"

A"'· i -"''''- . A"

A'" . p," i' I :

Y. 0 J\ Y. : 0

'''. ······ .. r .... ~ A' C' B'

SI. 128. i 129.

''''''-''-' ............. -.-.11 B'

··r .. · .. · c'

····r; .. ·· .. -· .. ······ A'

x

§ 16. PROJICIRANJE LIKOVA OKOMITIH NA RAVNINI BOKOCRTA

1. Ravnina okomita na ravnini bokocrta. Na s1. 130. prikazana je rav­nina T koja je okomita na 1'3' Njezin prvi trag t l , kao i drugi trag t2 uspo­redni su S osi x, dok njezin treci trag t3 cini S osi Y kut (1;1, a s osi z kut (1;2'

Ti su kutovi jednaki. onim kutovima sto ih ta ravnina zatvara s 1'1 i 1'2'

Ravnina koja je okomita ,na 1'3, a kosa je prema 1'1 i 1'2, zove se treca ravnina projiciranja iIi treca ravnina prometalica. Ako je tacka A u rav­nini T, onda je i treca zraka projiciranja te tacke u toj ravnini, pa njezin bokocrt Am 'mora hiti u trecem tragu ta te ravnine. Isto tako bokocrt neke duzine iIi nekog trokuta, kao i svakoga drugog Iika ravnine T, bit ce prema tome u trecem tragu ta te ravnine.

Svaki ravan Uk kojega je ravnina okomita na ravnini bokocrta ima svoj bokocrt u trecem tragu svoje ravnine.

Na s1. 131. pravci t1 i t2 koji su usporedni s osi x neka su prvi i drugi trag trece ravnine projiciranja T. Ako je Tv = (t1 x y), a T z = (t2 x z), onda se okretanjem tacke Ty oko tacke 0 za kut od 90· u smjeru okretanja kazaljke na satu dobije tacka Ty" pa je t3 = (Tz, TyJ. Na istoj slici rijesen je ovaj zadatak:

80

f H

11

I

y

n.

T

.. , .......................... . /" 1

t?," .... I A,

: 0 : . //f------- - -ft-' ---:0'----'-'-,1

t~ : :/

(t.,-, "'------------------

Ty ///

n,

A'

aU'

z

T.

-----.--- ---.. -----...... --:.: B"

· .. ·t··· .. ·· ........ - ..... -. + .............. '"1

Y. Tyo ee' 0 ! .

\., ,,"-.... ···· .... ·_ .... ··· .. A],' "" ""'" ......... .,\

... -. ... ?-____ ...:.t,c....._s·_

I~Y SI. 130. i 131.

Zadan je nacrt An i tlocrt B' tacaka A i B koje su u ravnini T; treba nacrtati ostale projekcije tih tacaka.

Buduci da bokocrti tih tacaka moraju biti u trecem tragu te ravnine, to se pomocu nacrta A" tacke A prvo dobije na ta njezin bokocrt Alii, a tek onda njezin tlocrt A', dok se pomocu tlocrta B' tacke B prvo dobije njezin bokocrt B'" na t a, pa tek onda njezin nacrt B".

2. Projekdje trokuta. Pomocu gornjih objasnjenja mozemo sada rije­siti ovaj zadatak:

Treba nacrtati tragove trece ravnine projiciranja T koja zatvara s ravninom 1'1 kut od 60°, a zatim nacrtati projekcije nekoga raznostranic­nag trokuta ABC koji je u toj ravnini (s1. 132). Koliki je kut sto ga zatva­raju ravnine T i 1'2?

Treci trag t3 ravnine T mora zatvarati s osi Yo kut od 60·, a s osi z kut od 30', zbog toga se najprije nacrta trag t 3, a pomocu njega nadu se tragovi t1 i t 2 • Trag t2 ide tackom Tz = (ta x z) usporedo S osi x, dok trag t1 ide tackom T y usporedo s osi x, a tacku Tv dobijemo okretanjem tac­ke Tv, = (ta x Yo) oko tacke 0 za kut od 90° u protivnom smjeru od okretanja kazaljke na satu.

6 Nacrtna geometrija I 81

Od raznostranienog trokuta ABC koji je u toj ravmm mozemo po volji naertati sarno njegov naert A"B"C". Njegov bokocrt mora biti u trecem tragu te ravnine, a dobijemo ga pomocu ordinaIa povueenih tae­kama A", B" i C" usporedo s osi x. TIoert A'B'C' toga trokuta konstru­iramo na kraju tako da nademo tloert svakog vrha trokuta pomocu nacrta j bokocrta toga vrha.

3. Projekcije kvadrata. Zadane su projekeije A'C' i A"C"- dijagonale AC kvadrata ABCD koji je okomit na ravnini 7C3 ; treba nacrtati projek­cije toga kvadrata (s1. 133).

c· . ,../".--1\, ..

13°,../" / \ ~~.:.5 . \. """'. 13 c. \''j~,'- . --),. DO' C'"

\ / '·x·' ..... ,._ ... D. ~.____. """ i D'· , A

O "" • ", • i3) ....... L_ ..

'". Y. 1

Ty 'J

81. 133.

c

x

Buduci da je kvadrat okomit na ravnini 7Ca, mora se treci trag ta nje­gove ravnine T poklopiti s bokoertom A"'C"'njegove dijagonale (eL 1). Zbog toga nacrtajmo najprije bokoert A"'C'" dijagonale AC, pa odmah imamo i treci trag ta ravnine T, a pomocu toga traga nadimo prvi trag tj i drugi trag t2 te ravuine koji su usporedni s osi x. (Ti tragovi nisu nam potrebni za rjeSavanje zadatka.)

Odredimb zatim pravu velieinu AOCo dijagonale AG pomocu njezinog treceg trapeza projiciranja (§ 14, Cl. 1), te sada nacriajmo kvadrat AOBocoDo kome je duzina AOCo dijagonala. Kada okretanjem za kut od 90° oko tre­ceg traga ta dovedemo u vertikalan polozaj onaj dio crtaceg papira na kojemu je naertan kvadrat AOBoCoDo, dobijemo polozaj u prostoru kva-

drata ABCD s obzirom na ravninu 7C3' Projekcije toga kvadrata nademo ovako: 1z vrhova B~ i DO kvadrata AOBocoDo spustimo okomice na trag ta' Nozista tih okomica na tragu ta su bokocrti B'" i D'" nepoznatih vrhova kvadrata ABCD, a dliZina A"'C'" je bokocrt toga cetverokuta. Naert sva­koga nepoznatog vrha kvadrata nalazi se na ordinali koja ide njegovim bokoertomokomito naos z, a udaljen je od te osi za toliko koliko je njegov preklopljeni polozaj udaljen od traga ta, tj. B.B" = BIIIBo, DzD" = D"'Do (s1. 122). Paralelogram A"B"C"D" je naert trazenog kvadrata. Na kraju pomocu naerta i bokoerta odredimo tloertvrha B, odnosno D.Taekom B", odnosno D" povueemo ordinalu okomito na os x, pa naeinimo BxB' = BzB"', odnosno DxD' = DzD"'. Paralelogram A'B'C'D' je tloert trazenog kva­drata .

4. Projekcije kr",znice. Naertajte projekeije kruzniee k kojoj je sre­diiite S (2,5; 1,5; 2), a poIumjer r = 1,5 em, ako je njezina ravnina T oko­mita na 7Ca te <l: T 7C2 = 30· (s1. 134).

(..~·i ,,~

~ D~ ....... j_ ....... .. st ... B'" ! ' .............. ~~

r: I.J t t r

C'" i .... ! ........... -'. ... J J~T J 0

0"

B"

\. \'~-~=. 5.in?J '-, .... ,... Ii IS" B'

.. ~-.. -........ ---------,- .. -.-.-C'

iY

81. 134.

.x

Buduci da je ravnina kruzniee sada treca ravnina projiciranja T, mora se najprije naertati njezin treci trag t3 koji ide' taekom S'" tako da je <l: t3z = 30°, a njezin prvi trag tl i drugi trag t2 mogu seizostaviti jer su

. za daljnju konstrukciju nepotrebni, kako se to razabire i iz s1. 133.

83

Povucimo u kruznici k dva promjera, i to promjer AB koji je okomit na ravnini 1t3 i pro:mjer CD koji je usporedan s tom ravninom. Bokoert promjera AB je tacka A'" == B'" == S"', njegov je tloert A'B' (S' A' = = S'B' = 1,5 em), njegov je naert A"B" (S" A" = S"B" = 1,5 em), 'a oba su usporedna s osi x. Bokoert promjera CD je dliZina C"'D'" (S"'C'" = = S"'D'" = 1,5 em) koja je u trecem tragu t3 ravnine T, dok su njegov tloert C'D' i naert C"D" okomiti na osi x. Pomocu krajnjih taeaka boko­erta promjera CD odrede se krajnje tacke tloerta i naerta toga promjera, kako je to na slici pokazano.

Bokocrt k'" kruzniee k mora prema pravilu iz. c1. 1. biti u trecem tragu ts ravnine T, pa se poklapa s duzinom C"'D"'.

Tloert kruzniee k je elipsa k' kojoj je duzina A'B' velika os, a duzina C'D' mala os, dok je naert te kruznice elipsa kIf kojoj je duzina A"B" velika os, a duzina C"D" mala os.

Vjezbe

1. Zadana je duzina AC [A (1; 4; 3), C (4; 1; 4,5)]; nacrtajte tlocrt, nacrt i bokocrt kvadrata ABCD kojemu je dliZina AC dijagonala, ako je njegova ravnina okomita: a) na ravnini 7t" b) na ravnini 7t2, c) na ravnini 7t •.

2. Nacrtajte tlocrt, nacrt i bokocrt pravilnog sesterokuta ABCDEF kojemu je duzina AD [A (1; 1,5; 1,5), D (3; 3; 3,5)] dijagonala, a on je okomit: a) na ravnini 7t"

b) na ravnini 7t2, c) na ravnini 7t •.

3. Nacrtajte sve projekcije pravilnog peterokuta kojemu je duzina AB [A (3; 2; 3), B (1; 4; 4)] stranica, a on je okomit na 7t3 ,

4. Nacrtajte sve projekcije krliZnice kojoj je srediste S (3; 3; 3), a polumjer r = 2,5 cm, ako je njezina ravnina A okomita na 7t, te <); A 7t2 = 60°.

5. Nacrtajte 5ve projekcije kruznice kojoj je srediSte S (3; 3; 3), a polumjer r = 2,5 cm, ako je njezina ravnina 1: okomita na 7t, te <); 1: 7t, = 60°.

6. Nacrtajte sve projekcije kruznice kojoj je srediSte S (3; 2,5; 2,5), a polumjer r = 2 cm, ako je njezina ravnina T okomita na its te <); T 7t, = 60°.

7. Nacrtajte sYe projekcije kruznice kojoj je promjer AB [A (1,5; 4; 2), B (4; 1,5; 4)], ako je ravnina kruznice: a) okomita na ravnini 7t

" b) okomita na ravnini 7t,>

c) okomita na ravnini 7t3•

34

IV. NORMALNO PROJICIRANJE GEOMETRIJSKIH TIJELA

§ 17. PROJICIRANJE PRIZME

1. 0 prizmi. Ako pravae p (s1. 135) koji nije u ravnini 1t viSekuta ABCDE ... klize po stranieama toga visekuta, a pri tome ostaje uspore­dan sa svojim poeetnim polozajem, on opisuje prizmaticnu pLohu. Dio prostora sto ga omeduje ta ploha zove se prizmaticni prostor. Pojedini polozaji pravea p zovu se izvodnice. Ravnine od kojih se sastoji 'prizma­tiena ploha zOVu se pobocke iIi strane te prizmaticne plohe.

Svaka raV1'l.ina koja je usporedna s pobocnim bridovima prizmaticne plohe i presijeca visekut ABCDE sijece tu plohu u usporednim izvod­nicama.

Ravnina 1t1 koja je usporedna s ravninom 1t (s1. 135) sijeee prizma­ticnu plohu u viSekutu A1B1C1D1El'" koji je sukladan s viSekutom ABCDE ... , jer ce vrhovivisekuta ABCDE... pasti na odgovarajuce vrhove visekuta A1B1C1D1E1 ... kad izvedemo njegov paralelni pomak za duzinu AA1•

UspoTedne ravnine sijeku prizmaticnu pIo­hu u sukLadnim visekutima.

Prizmatieni prostor koji je om eden dvjema usporednim ravninama 1t i 1t1 zove se pTizma. Sukladni visekuti 'koji su na tim usporednim ravninama zovu se osnovke iIi baze prizme. Svaka pobocka prizme sijece osnovku u osnov­nom bridu prizme. Svi su pobocni bridovi pri­zme jednaki i usporedni. Poboeke prizme su pa­ralelogrami, a sve poboeke prizme zajedno cine njezino pobocje. Udaljenost od jedne do druge osnovke prizme zove se visina prizme.

Po broju stranica sto ih ima osnovka pri­zma moze biti tTostrana, cetveTostrana, .... n-terostTana.

Sl. 135.

85

Prizma je uspravna kad su njezini pobocni bridovi okomiti na nje­zinim osnovkama, a kad su oni kosi prema osnovkama, prizma je kosa.

Uspravna prizma kojoj su osnovke pravilni visekuti zove se krace pmvilna.

Prizma kojoj su osnovke paralelogrami zove se paraZelepiped, a kad· su osnovke i pobocke paralelepipeda pravokutnici, zove se pravokutni paraleIepiped Hi kvadar.

Kvadar koji ima dvije dimenzije jednake zove se kvadraticna prizma, a kad su mu sve tri dimenzije jednake, zove se kocka.

2. Opcenito 0 projiciranju uglastog tijela. Projekeije nekoga ugla­stog tijela dobijemo tako da na ravninu tloerta iIi naerta iIi.bokoerta pro­jiciramo sve plohe koje omeduju to tijel0 (s1. 136). Kako su plohe tijela omedene bridovima, projekcije ploha odredujemo pomocu projekcija tih bridova, a buduci da su bridovi tijela omedeni vrhovima, projekcije bri­dova dobijemo pomocu projekcija tih vrhova. Ako se, dakle, odrede pro­jekcije svih vrhova nekoga uglastog tijela, pa se njihove projekcije spoje onim redom kako su ti vrhovi spojeni u prostoru, dobiju se projekeije btidova i ploha kojima je to tijelo omedeno.

/y I ,'-;------------------ - ----------------

/1

/"//

S1. 136.

Kad neko uglasto tijelo pro­matramo u smjeru projiciranja, jedan dio toga tijela vidimo, a dru­gi ne vidimo. Bridovi koji nam rastavljaju vidljivi dio tijela od nevidljivoga kada tijelo gledamo ili projiciramo u odredenom smje­ru na neku ravninu 'It cine granieu iIi konturu toga tijela za taj smjer gledanja iIi projieirarija, a projek­cije tih bridova na toj ravnini 'It

cine granicu iIi konturu projekcije toga tijela za taj smjer projici­ranja.

Kad promatramo prizmaticni predmet iz s1.. 136. u smjeru nor­malnog projiciranja na ravninu 'lth vidimo sarno njegove pobocke

Yo

.'~-.

z

......... [[]' ~

. ~ Y

S1. 137.

EFGH i FUG. Za taj smjer projiciranja je, dakle, prostorni viSekut EFIJGH gmnica Hi kontura tijela, a tioert E'FTJ'G'H' toga visekuta je granica iii kontura tlocrta toga tijela.

Tako ce za smjer normalnog projiciranja na ravninu 'lt2 biti ravni visekutABIF'E granica iIi kontura tijda, a nacrt A"B"I"F"E" toga vise­kuta bit ce granica iii kontura nacrta toga tijela.

Za smjer normalnog projiciranja na ravninu 'lt3 je prostorni visekut BCJGFI granica iIi kontura tijela, a bokoert BlffCIff JlffG"'F"'I'" toga vise­kuta je gmnica iIi kontura bokocrta toga tijela.

Na s1. 137. naertan je tioert, naert i bokoert prizmaticnog tijela pri­kazanog na s1. 136. Na toj slici nisu stavljene oznake projekcija vrhova toga predmeta, kako se to na tehnickim ertezima cini, ali zato su oznacene pomocu kotnih erta i kotnih brojeva sve njegove dimenzije koje su neop­hodno potrebne za izradbu toga predmeta.

3. Projekcije kvadra. i njegova mreza. Na s1. 138. naertan je tloert, nacrt i bokoert kvadra kojemu su duljine bridova 2 em, 1,5 em i2,5 em, ako je njegova donja osnovka ABCD u ravnini 'lt h a dvije su njegove po­bocke usporedne s ravninom 'lt2.

Kad promatramo kvadar u smjeru normalnog proJlclranja na rav­ninu 'ltj, vidlmo sarno njegovu gornju osnovkuA1B1C1D1• Zbog toga je tloert A/B/C/Dt' te osnovke ujedno i tloert citavog kvadra.

z

Y. /I." s'" C 0'" t.1 0"

y

Sl. 138.

Prornatrarno Ii zatirn taj kvadar u srnjeru norrnalnog projiciranja na ravninu 'lt2, vidjet cerna sarno njegovu prednju pobocku ABB1A l , pa ce zbog toga naert A"B"B/' A/' te pobocke biti i nacrt citavoga kvadra.

Na kraju, kada prornatrarno kvadar u srnjeru norrnalnog projiciranja na ravninu 'lti, vidirno sarno njegovu desnu pobocku BCC1Bv pa Se zbog toga s bokoertorn B"'C"'C/"B/" te pobocke poklapa i bokoert citavoga kvadra.

Bf A,

'" ,.:

A f B. C, O. A,

III N

2 1,5 2 1,5 ~l B c

~ >-, B A

81. 139.

88

Nadite na s1. 138. sve tri projekcije donje i gornje osnovke toga kvadra, zatim sve projekcije njegove prednje i straznje pobocke i, na kraju, sve projekcije desne i lijeve pobocke.

Ako sve pobocke i obje osnovke toga kvadra razrnotarno na ravninu ertnje, dobit cerna rnrezu toga kvadra (s1: 139). Osnovni bridovi AB, BC, CD, DA nanizali su se na toj slici jedan za drugirn u pravoj velicini i u istorn praveu, a pobocni bridovi AA j , BB!> CC1 . i DD j rneau soborn su usporedrii i svi su okorniti na razrnotanirn osnovnirn bridovirna. Mreza kvadra sastoji se od dva pravokutnika s dirnenzijarna 2 em X 2,5 em, zatim od dva pravokutnika dirnenzija 1,5' em X 2,5 em te od dva pravo­kutnika s dirnenzijarna 2 em X 1,5 em.

Nacrtajte dvaput vecu mrezu i sastavite od nje kvadar koji ce vam kasnije trebati.

4. Projekcije pravilne trostrane prizme i njezina mreza. Naertajtc projekcije i rnrezu praviIne trostrane prizrne kojoj je osnovni brid dug 2 em, a pobocni 2,5 em, ako je jedna njezina pobocka u ravnini 'lt l , a nje­zirLi su pobocni bridovi okorniti na ravnini 'lt2 (s1. 140).

z

En> F'" E" F"

Y. A" B'" C'" om A" S"

0'; ic' F'

"' N

" "

"'--"-- E' 'l" AI IS'

Iy 2

81. 140.

Pobocka ABCD te prizrne koja je u 'ltl poklapa se sa svojorn prvorn projekcijorn A'B'C'D'. Njezin naert je duzina A"B" == C"D" koja je u osi x, a njezin bokocrt je duzina B"'C'" == A"'D'" koja je u osi y. Prednja osnovka ABE- i straZnja osnovka CDF projiciraju se na 'ltt kao dliZine uspo­redne s osi x, na 'lt2 u pravoj velicini, a na 'lta kao duzine usporedne s

89

F

c F o F ~------+-------~----~--r

2 2

I ~I

~------~-------+------~

I .--L

E A B E;

E

osi z, jer su te osnovke oko­mite na 1CI i na 1Ca, a uspore­dne su s 7t2' Pobocni pravo-' kutnici AEFD i BCFE oko­miti -su na 7t2,· a kosi prema 1C 1 i 1C3, pa se oni projiciraju na 7t2 kao duZine, na 7tl kao pravokutnici A' E' F' D' i B'C'F'E', a njihovi se boko­crh poklapaju. Granica t10-crta te prizme je pravokutnik A'B'C'D', granica nacrla je istostranicni trokut A"B"E", a granica bokocrta je pravo­ku tnik B'" C"'F'" Em.

81. 141. Kad sve pobocke i obje osnovke te prizme razmotamo

na ravninu crtnje, dobijemo mrezu te prizme (st 141). Dna se sastoji od tri sukladna pravokutnika (2 cm X 2,5 cm) i od dva istostranicna trokuta kojima su stranice duge 2 cm.

Nacrtajte dvaput vecu mrezu i sastavite od nje pravilnu trostranu prizmu koja ce yam kasnije trebati.

5. Projekcije kose trostrane prizme. Nacrtajte sve tri projekcije kose trostrane prizme kojoj je donja osnovka ABC fA (0,5; 1,5; 0), B (1,5; 3; 0), C (3; 1; OJ}, a vrh gornje osnovke Al (4,5; 2,5; 4) (s1. 142).

Najprije se nacrtaju sve tri projekcije zadanih odredbenih eleme­nata, tj. trokuta ABC i vrha Ai' Zatim se nacrtaju projekcije A'At', A"At" i A'" A/" pobocnog brida AAl te prizme. Buduci da su svi pobocni bri­dovi kose prizme usporedni i jednaki, oni moraju imati usporedne i jed­nake istoimene projekcije, pa su prema tome duzine B'B/ i C'Cl ' uspore­dne i jednake s duzinom A' A/, zatim duzine B"B/' i c"ct usporedne i jednake s .duzinom A" A/', a duzine B"'B/" i CIIIC/" usporedne i jed­nake s duzinom A"'A/". Na kraju se nacrtaju projekcije A/B/C/, Al"B/,C/' i A/"B/"C/" gornje osnovke AIBICI • Ako su projekcije ispravno crtane moraju se u tacki C/' sjeci ordinala iz tlocrtaC/, pravac iz C" usporedan s A" At i pravac iz At usporedan s osi x. ViSekut A'B'B/C/C' je granica tlocrta te prizme, a granica njezinog nacrta, odno­sno bokocrta je paralelogram A"C"Ct A./, , odnosno BIIIC"IC/"B/".

Kad promatramo tu kosu prizmu odozgo u smjeru normalnog pro.ji­ciranja na ravninu 1CI , vidimo njezinu gornju osnovku A I B I C1 i njezine

"..

! 90

pobocke ABBIAI i ACClAl , a kad je promatramo odsprijeda u smjeru normalnog projiciranja. na ravninu 1C2, vidimo njezine prednje pobocke ABBIAl i BCCIB l , a osnovke nam. se projiciraju kao duzine. Promatramo Ii tu kosu prizmu s desne strane u smjeru normalnog projiciranja na rav­nInu 1Ca, vidimo sarno njezinu pobocku BCC1Bl> a osnovke se opet proji­ciraju kao duzine ..

: c~

t··--~--

Sl. 142.

Na s1. 142. rijesen je jos i ovaj zadatak: Zadan je tlocrt M' tacke M koja je na pobocki ABB1Al:; treba odrediti njezin nacrt M".

Ako su krajnje tacke izvodnice koja icle tackom M tacke D i D l , onda njezin tlocrt D'Dt' mora ici tackom M' usporedo s duzinom A'Al '. Odre­dimo Ii zatim nacrte D" i D/' njezinih krajnjih tacaka, bit ce duZina D"D/, nacrt te izvodnice na koj~j se mora nalaziti trazeni nacrt M" tacke M, i to 11 sjeciStu duzine DODt i ordinale povucene tackom M'.

S tlocrtom M' tacke M poklapa se tlocrt N' tacke N koja je na pobocki BCC1BI . Da bismo odredili nacrt N" te tacke, moramo najprije nacrtati tlocrt E'Er', a pomocu njega nacrt -ENE/, one izvodnice EEl koja ide tom tackom. Na njezinom nacrtu E"E/' nalazi se trazeni nacrt N" tacke N. Tacke MiN su tacke zaklonice s obzirom na ravninu 7t1.

91

Ako na nacrtu E"Et izvodnice EEl oznaCimo nacrt S" neke tacke S koja je na toj izvodnici, onda tlocrt S' te tacke mora biti na tlocrtu E'E/ te izvodnice. Ali u tacki S" nalazi se jos i nacrt T" tacke T koja je na pobocki ACC1A 1. Da bismo nasH tlocrt T' te tacke, moramo najprije na­crtati tlocrt F'F/ one izvodnice FFI koja ide tackom T, pa ce na njoj biti trazeni Hoert T' tacke T. Tacke SiT su tacke zaklonice s obzirom na ravninu 11:2,

Bokoerti tacaka M, N, SiT naneni su na s1. 142. na najkraci nacin, ito prenosenjem nalijevo od osi z pa ordinalekoje idu nacrtima tih tacaka okomito na os z u udaljenosti tloerta tih tacaka od osi x.

6. Projekcije prizme-koja nije u frontalriom polozaju. Kad je osnovka uspravne prizme u jednoj ravnini projekcija iIi je s njom usporedna, a barem je jedna njezina pobocka u drugoj ravnini projekcija ili. je s njom usporedna, onda za takvu ptizmu kazemo da je u frontalnom poLoz-aju. Prizme koje smo do sad ertali bile su u frontalnom polozaju. Tehnicar postavi predmet koji hoce da naerta. obicno u frontalni polozaj, jer je tada konstrukcija tloerta i naerta predmeta mnogo laksa.

Mi cemoi ubuduce frontalnom polozaju predmeta davati prednost, ali radi sto boljeg razvijanja sposobnosti za prostorne predodzbe vjezbat cemo se kadikad i u ertanju predmeta koji nisu u frontalnom polozaju.

A. - K v a dar (cl. 3) kojemu je mreza nacrtana na s1. 139. posta­vite na model ravnina projekcija tako da njegove dvije pobocke budu okomite na 11:1, a da s 1'2 cine kut od 30". Kakve ce biti njegove projekcije'r

Z

A'~ B~ D~l C~I D~ A'~ C~ B: --------------------.

: [ I I I I

I I

I I I

I I

io"' f

y" /1." Sill C"' 0" A" jc" B" x , i 30,}-/ : -t'

_______ ~_I:/// i

B'

Sl. 143.

{92, l.",,_.~

Tlocrt tako polozimog kvadra je u samoj osnovci ABCD. Nacrti osno­vaka i u ovom su slucaju duzine od kojih je jedna u osi x, a druga je uspo­redna s osi x. Dvije prednje pobocke ABB1Al i ADDIAI u nacrtu se vide, a ne vide se dvije straznje pobocke BCCIBI i CDDICI, kao ni njihov zajed-nicki brid CC1. -

U bokocrtu toga kvadra vide se pobocke ABBIAI i BCCIB1, a ne vide se pobocke ADDIAI i CDDICI, kao ni njihov zajednicki brid DD1• Koja je granica naerta te prizme, a koja bokoerta?

B. - P r a viI nut r 0 s t ran u p r i z m u (el. 4) postavite na model ravnina projekcija tako da joj je jedna pobocka u 7t" a njezine osnovke da su okomite na. 7t, i cine s 7t2 kut od 60°. Projekcije tako polozene prizme nacrtane su na s1. 144.

z

'/60· , , .... _---\

\ \

\ , , .- ----.----- . ___ ~~~t

81. 144.

C'

Njezin tloert je pravokutnik A'B'C'D' sa srednjicom E'F', kojemu dvije stranice Cine s osi x kut od 60°. Naert one pobocke koja je u 1'1 je u osi x. Na'ert A"B"E" prednje osnovke ABE koja je okomita na 1'1 odredi se kao u § 10, c1. 2. C pomocu preklopa ABEo te osnovke oko stranice AB na 1'1' Naerta se istostranicni trokut A'B'Eo, pa je udaljenost tacke En od A'B' jednaka udaljenosti naerta En od osi x, tj. EoE' = ExE". Tackom E" ide paralelno s osi x do tacke F" naert gornjega pobocnog brida EF. Nacrt D"C"F" straznje osnovke sUkladan je s naertom A"B"E" prednje osnovke.

U naertu se vide prednja osnovka ABE i prednja pobocka BCFE, a ne vide se straznja osnovka CDF i straznja pobocka DAEF.

r-::, \ 93 \

'--.... '

U bokocrtu se vide osnovka CDF i pobocka BCFE, a ne vide se osnovka ABE i pobocka ADFE. Koje su granice tlocrta, nacrta i boko­crta te prizme?

Vjezbe

1. Naertajte sve tri projekcije pravilne sesterosttane prizme kojoj je osnovni brid dug 2 em, a poboeni 3 em, ako je njezina osnovka u ravnini ~" a jedna je dija­gonala te osnovke uporedna s osi x.

2. Naertajte sve tri projekcije pravilne peterostrane prizme kojoj je osnovni brid dug 2 em, a poboeni 3 em, ako je njezina osnovka u ravnini ~2' a jedna je stra­niea te osnovke usporedna s osi x.

3. Naertajte svetri projekcije pravilne trostrane prizme kOjoj je osnovni brid dug 2,5 em, a poboeni 3 em, ako je njezina osnovka u ravnini ~3' a jedna je stranica te osnovke usporedna s osi z.

4. Naertajte sve tri projekcije kose eetverostrane prizme kojoj je donja osnovka para1e1ogram ABCD [A (4,5; 2,5; 0), B (5,5; 4; 0), C (7; 2; 0), D], a vrh gornje osnovke Al (0,5; 1,5; 4), zatim odredite naerte tacaka MiN, ako je njihov tloert M' == N' (3,5; 3; z). .

5. Nacrtajte sve tri projekeije: a) peterostrane, b) sesterostrane pravilne prizme kojoj je.osnovni brid AB [A (5; 5,5; 0), B (6; 4; 0)], a visina v = 5 em, ako su njezine osnovke okomite na ravnini ~I'

6. Naertajte sve tri projekeije pravilne sesterostrane prizme kOjoj je osnovka ABCDEF okomita na ravnini ~" ako je dijagona1a njezine prednje osnovke AD [A (1; 4; 2,5), D (3; 6,5; 2,5)), a visina prizme v = 5,5 em.

7. Nacrtajte u mjerilu 1: 1 sve tri" projekeije prizmaticnog tije1a kojemu je osnovka u ravnini ~I' a njegov tloert i naert zadani su u mjerilu 1 ; 2 a) na s1. 145, b) na s1. 146, c) na s1. 147.

I

I

r E"

, . I

on]

i I

L A"

A'

E'

2,S

D"

c"

B"

D'

-r-i

C> 1

~

B'

C'

8,,1,51'

D" I EO> l;I I

",I )

I I I E" I C' ! F" I C"

I i I 1 I M

L A" B" A" BOO

40

I I I 4 I

OJ] [][IT A' 0' B' A' E' 0' B' E' C'

M 1:2

!!II. 145, 146. i 147.

F' c'

, t

0,

I 20 ~o 60 10 20 J-"T I

oi '" j

'- I

11 M 1:30

, 1 I t 1 1 I I' I 0

I 01 I I .. I , I 1 I Ifl,

L..J_ LJ I

L---4----I~

-----L

~ 120 I 81. 148. 149. i 150.

S. Nacrtajte u mjeril.u 1 : 15 sve tri projekeije betonske klupe koja je zadana na s1. 148. u mjerilu 1 : 30.

9. Nacrtajt'e u mjerilu 1 : 15 Bye projekcije betonske klupe koja je zadana na s1. 148, ako njezini uzduzni bridovi cine s ravninom ~2 kut od 30°.

10. Nacrtajte u mjerilu 1: 10 sve projekcije konzole s kvadratienom plocom koja je zadana na s1. 149. u mjerilu 1 : 20.

11. Nacrtajte u mjerilu 1 : 10 . sve tri projekcije konzole s kvadratienom ploeom koja je zadana na s1. 149, ako njezini uzduzni bridovi cine s ravninom ~2 kut od 60".

12. Naertajte u mjerilu 1: 2,5 sve tri projekcije prizmaticnog tijela koje je zadano na 81. 150. u mjerilu 1 : 5.

13. Naertajte u mjerilu 1; 2,5 sve tri projekcije prizmatieuog tijela koje je zadano na s1. 150, ako njegovi uzduzni bridovi cine s ravninom ~2 kut od 30°.

Sl. 151, 152, i 153.

.95 .

14. Nacrtajte u mjerilu 1: 10 sve tri projekcije ogradnog stupa koji je :;;adan na s1. 151. u mjerilu 1 : 20 a) ako je on u frontalnom polozaju, b) ako dvije pobocke njegovih prizama cine s ravninom 1t, kut od 30°.

15. Nacrtajte u mjerilu 1: 10 sve tri projekcije drvenog stalka koji je zadan na s1. 152. u mjerilu 1 : 15 a) ako je on u frontalnom polozaju, b) ako dvije pobocke njegovih prizama cine s ravninom 1t2 kut od 30°.

16. Nacrtajte u mjerilu 1: 20 sve tri projekcije drvene konstrukcije kdja je zadana na s1. 153. u mjerilu 1 : 40 a) ako je ona u frontalnom polozaju, b) ako dvije pobocke njezinih prizama cine s ravninom 1t, kut od 30°.

§ 18. PROJICIRANJE PIRAMIDE

1. 0 piramidi. Ako pravac p (s1. 154) koji nije u ravnini visekuta ABCDE .. '. klize po stranicama toga visekuta, a pri tome prolazi cvrstom tackom V, on ce opisati piramidasttL plohu. Dio prostora sto ga omeduje ta ploha zove se piramidasti prostor. Pojedini polozaji pravea p zovu se izvodniee, visekut ABCDEF je provodnica, a tacka V je vrh piramidaste plohe. Ravnine od kojih se sastoji piramidasta ploha iovu s'e pobocke iIi strane te plohe. Svake dvije susjedne pobocke sijeku se u pobocnom bridn piramidaste plohe.

Svaka ravnina koja ide vrhom V i presijeea visekut ABCDEF sijece piramidastu plohu u izvodnieama, a mecitL sobom paralelne ravnine sijekn tu plohu u sHcnim visekutima, jer su homologne straniee tih visekuta meau sobom usporedne, a omjeri njihovih homolognih straniea su jednaki.

Piramidasti prostor koji je s jedne strane omeden vrhom V, a sdruge strane nekom ravninom koja ne prolazi tim vrhom zove se piramida. Ta ravnina sijece pobocke piramidaste plohe u visekutu koji se zove osnovka

8L 154.

ili baza piramide. Stranicetoga visekuta su osnovni bridovi piramide, a vrhovi toga visekuta su vrhovi osnovke piramide. Po­bocke piramide su trokuti, a sve pobocke piramide zajedno cine njezino pobocje. Vrh piramide V razlikuje se od nekog vrha ,osnovke piramide time sto iz vrha pira­mide izlazi toliko' bridova koliko osnovka piramide ima straniea, a iz nekog vrha osnovke izlaze samo tri brida piramide. Udaijenost od vrha piramide do njezine osnovke zove se visina piramide.

Po broju straniea sto ih ima osnovka piramida moze biti trostrana, cetvero­strana, ... n-terostrana.

f

1

14

Piramida je uspravna kad su njezini pobocni bridovi jednaki, .a kad su oni razliCiti, ona je kosa.

Uspravna piramida kojoj je osnovka praviini visekut zove se krace pravilna, njezine su pobocke sukladni istokracni trokuti. Pravilna cetve­rostrana piramida zove se krace kvadraticna piramida.

2. Projekcije pravilne trostl'ane piramide i mreza njezinog pobocja. A. -,- Naertajte projekcije pravHne trostrtine piramide kojoj je osno­vni brid dug 3 em, a visinav = 3,5 em, aka je njezina osnavka ABC. u

'ravnini 7t1, a njezin asnovni brid AC usparedan je s asi x (s1. 155).

Tioert osnovke te piramide po­klapa se s osnovkom jer je ona u 7tH pa zbog toga tioert osnovke piramide je istostranican trokut A'B'C' kojemu je straniea A'C' usporedna s osi :X:, a svaka je nje~ gova straniea duga 3 em. Buduci da su poboeni bridovi praviine tro­strane piramide medu sobom jed­naki i prema 7t1 jednako nagnuti, moraju duljine tlocrta tih bridova' biti medu sobom jednake. Tioert V' vrha V mora zbog toga biti jed­nako udaljen od vrhova trokuta A'B'C', tj. V' se Ila1azi u sjecistu simetrala straniea toga trokuta, a siuzine NV', B'V' i C'V' su tiocrti pobocnih bridova te piramide.

Nacrt A"B"C" njezine osnovke je u osi x jer je osnovka u 7th a na­

v'

fl.' cM,

'k""-------,9' c'

81. 155.

crt V"vrha V je na ordinali povucenoj tackom V' i udaijen je od osi x 3,5 em jer je visina piramide v = 3,5 em. Graniea naerta te piramide je prema tome istokracni trokut A"C"V". U tome trokutu uertan je jos i naert B"V" pobocnog brida BV.

Kad se ta piramida promatra u smjeru normalnog projiciranja na ravninu 7t1 , vide se sve tri ,njezine pobocke, a ne vidi se osnovka, a kad se ana promatra u smjeru normalnog projiciranja na ravninu 7t2, vide se samo njezine prednje pobocke ABV i BCV, a ne vide se straznja pobocka ACV i osnovka ABC.

B. - Na Jstoj slici rijesen je jail i ovaj zadatak: Zadan je traert D' tacke D koja je na pobocki ABC; treba konstru­

imti naert te tacke.

7 Nacrtna geometriJ' a I 97)

v

81. 156.

c

IT u B

Povueimo tackom D izvodnieu koja sijece osnovni brid AB u tacki E. Tloert te izvodnice je pravae (V', D'), au pre­sjecistu toga pravea i duzine A'B' je tloert E' tacke E. Sada se odredi naert E" tacke E koji je na osi x, pa je V"E" naert te izvodnice VE na kojoj je tacka D. Povuce Ii se zatim tackom D' ordi­nala, ona ce sjeei naert te izvodniee u trazenom naertu D" tacke D.

C. - M r e zap 0 b 0 c j apr a­viine trostrane piramide (s1. 156) sastoji se od tri istokracna tro­kuta. Buduci da kraci tih istokracnih trokuta moraju biti jednaki pobocnim bridovima piramide, treba odrediti pra­vu velicinu jednog pobocnog brida pira­mide. Na s1. 155. nadena je ptava veli­cina B'Vo brida BV pomocudiferencio-c nog trokuta (V'Vo-.lB'V', V'Vo=V",V"=;

= 3,5 em), a zatim je mreza piramide konstruirana' ovako: Oko tacke V opisan je Iuk kruzniee s polumjerom r = VoB',pa je na taj-Iuk prenesena duzina A'B' tri puta kao tetiva. Kad se krajnje tacke A, B, C. i A tih tetiva spoje s tackom V, dobije se mreza pobocja te pravilne trostrane piramide.

Nacrtajte dvaput vecu mrezu i sastavite od nje pravilnu trostranu piramidu.

3. Projekcije uspravne cetverostrane piramide i mreza njezinog po­bocja. Treba nacrtati projekcije uspravne cetverostrane piramide kojoj je osnovka pravokutnik sa stranicama dugim 2 em i 3 em, a visina je v = 3,5 em, ako je njezina osnovka u ravnini '1t1 a duzi osnovni bridovi cine s osi x kut ad 30·.

A. - Tloert osnovke te piramide je pravokutnik A'B'C'v' (3 em X 2 em) cija straniea A'D' zatvara s osi x kut od 300 (s1. 157). Tloerti A'V', B'V', C'V' i D'V' njezinih pobocnih bridova cine dijagonale toga pravokutnika.

Naert A"B"C"D" njezine osnovke je u osi x, a naert V" vrha V je na ordinali povucenoj tackom V' i udaljen je 3,5 em od osi x. Graniea naerta te piramide' je trokut A"C"V". U tome trokutu nalaze se jos i naerti bri­dov~ BV i DV. BuduCi cia je brid BV na prednjem dijelu piramide, on je u naertu vidljiv, dok je brid DVu nacrtu nevidljiv jer je na straznjem dijelu te piramide.

98

1-

U tloertu se vide sve cetiri pobocke piramide, a ne vidi se osnovka, dok u naertu se vide njezine prednje pobocke ABV i BCV, a ne vide se straznje pobocke CDV i DAV, kao ni njezina osnovka.

B. - Nil istoj slici" rijesena su i ova dva zadatka:

1. Zadan je tLoert E' tacke E koja je na pobocki BCV; treba konstru­irati nacrt te tacke.

V"

~ ________________ ~c V '------,..

81.151. i 158.

! /

/ / i,/

~(j ~V

AV

Taj bi se zadatak mogao rijesiti na nacin koji je prikazan u c1. 2, ali na sl. 157. on je rijesen tako da je tackom povucena pomocna duzina usporedna s bridom BC. Njezin tloert ide tackom E' usporedo s B'C' i sijece C:V' u tacki F', a njezin nacrt ide tackom F" koja je na C"V", i to usporedo s B"C". Naert E" tacke E mora biti nanacrtu te pomocne duzine.

2. Zadani su nacrti H n "" I" tacaka H i I ad kojih je jedna na pobocki

ABV, a druga na pobocki ADV;tTeba odrediti tLoeTte tih tacaka.

Povucimo svakom tom tackom po jednu pomocnu duzinu paralelnu s osnovnim bridom pobocke na kojoj se tacka nalazi. Naerti tih pomocnih duzina, koji se poklapaju idu tackom H" "'" 1" paralelno s osi x j sijeku duZinu A"V" u tacki G". Tacka G" je nacrt one tacke G ukojoj se te po­mocne duzine u prostoru sijeku na pobocnom bridu AV.-Ako sada odre­dimo tloert G' tacke G, to ce tackom G f ici tloert jedne pomocne duzine

9lt

usporedo s A'B' i tlocrt druge usporedo s A'D', a na tlocrtima tih pomoc­nih duzina bit ce trazeni tlocrti tacaka H i 1.

C. - M r e zap 0 b 0 c j a us p r a v nee e t v e r 0 s t ran e p i­ram ide. Za konstrukciju mreze potrebna je prava velicina jednog po­botnog brida te piramide. Zbog toga se konstruira pravokutni trokut D'V'Vo (s1. 157) u kojem je kateta V'Vo = VxV" = 3,5 cm, pa je njegova hipotenuza D'Vo prava velicina brida DV. Mreza pobocja te piramide(sl. 158) konstruira se ovako: Oko tacke V opise se luk kruznice s polumjerom r = D'Vo. Na taj se luk redom prenesu osnovni bridovi piramide, pa se dobiju tacke A, B, C, D i A koje se spoje s tackom V.

4. Projekcije kose cetverostrane piramide i mreza njezinog pobocja. A. - Nacrtajte projekcije kose cetverostrane piramide kojoj je osnovka paralelogram ABCD [A (2; 1; 0), B (0; 2,5; 0), C (1; 3,5; 0), D], a vrh V (5; 2,5; 4) Jsl. 159).

." I~

. \ ,,~ I \~ . '. "", I \.",

\ "", '\ '\..,,'"

tEl' '\. "

B" C" o X

c' \

SI. 159.

Tlocrt osnovke j€ paralelogram A'B'C'D', a njezin nacrt je duzina B"D" koja je u osi x. Ako vrhove toga paralelograma spojimo s tlocrtom V' vrha V, dobijemo duzine V' A', V'B', V'C' i V'D' koje su tlocrH poboc­nih bridova te piramide od kojih dva, i to V' A' i V'C' pripadaju granici A'B'C'V' tlocrta te piramide. U tlocrtu piramide nalaze se tlocrti poboc-

100

nih bridova BV i DV te osnovnih bridova AD i CD. BuduCi da je brid BV na gornjem dijelu piramide, on je u tlocrtu vidljiv, dok su bridovi AD, CD i DV u tlocrtu nevidljivi jer se nalaze na donjemdijelu piramide.

Ako krajnje tacke B" i D" nacrta osnovke piramide spojimo s nacrtom V" vrha V, zatvorili smo trokut B"D"V" koji je granica nacrta te pira­mide. U tom trokutu nalaze se nacrti pobocnih bridova CV i AV. Brid CV je u nacrtu vidljiv jer je na prednjem dijelu piramide, kako je to iz t10-crta ocigledno, dok je brid AV u nacrtu nevidljiv jer se nalazi na njezi­nom straznjem dijelu.

B. - Na istoj slici rijesena su i ova dva zadatka:

1. Zadani su tlocrti E' "'" F' tacaka E i F od kojih je jedna na pobocki BCV, adruga na pobocki CDV; treba odrediti nacrte tih tac.aka.

Povucimo svakom tom tackom po jednu izvodnicu. Tlocrti tih izvod­nica djelomicno Sf! poklapaju i padaju na pravac koji je odreden tackama V' i E' "'" F'. Ako taj pravac sijece paralelogram A'B'C'D' u tackama G' i H', onda je tlocrt jedne od tih izvodnica duzina V'G' , a druge duzina V'H'. Konstruiramo Ii sada nacrte V"Gh i V"H" tih izvodnica, onda ce na jednom od njih biti trazeni nacrt E" tacke E, a na drugom trazeni nacrt F" tacke F.

2. Zadani su na:crti 1" "'" r tacaka Ii) od kojih je jedna na pobocki BCV, a d1'Uga na pobocki ABV; odredite tlocrt tih tacaka.

Povucimo svakom tom tackom po jednu izvodriicu. Nacrti tih izvod­nica poklapaju se i padaju na pravac koji je odreden tackama V" i 1" "'" r. Ako taj pravac sijece nacrt osnovke u tacki H" "'" K", onda jenacrt jedne od tih izvodnica duzina V"H", a druge duzina V"K". Na V tlocrtu V'H' jedne od tih iz­vodnica nalazi se trazeni t10-.crt l' tacke I, a na tlocrtu V'K' druge izvodnice je tra­zeni tlocrt J' tacke J.

C. - M r e zap 0 b 0 c­j ace t v e r 0 s t ran e k o­S e pi ram ide (s1. 160). Za konstrukciju mreze te pira­mide potrebne su nam prave velicine njezinih pobocnih bridova. Prava velicina brida

, BV jednaka je njegovom na­crtu B"V" jer je taj brid usporedan s ravninom '1t2 , a

A

8l. 160.

101

prave veUcine ostalih pobocnih bridova odrede se (s1. 159)pomocu okretanja tih bridova oko vertikalne osi VN dok ne postanu usporedne i s ravninom 'lt2, jerce se tada oni projicirati na 'lt2 u pravoj velicini. Ako npr. brid V A treba da okretanjem oko vertikalne osi VN postane usporedan s 1t2, onda mora tioert V' Ao' njegovog novog poIozaja V Ao biti usporedan s osi x. Tioert kruznog Iuka r sto ga pri tome okretanju opise tacka A je kruz.ni luk A' An' sa sredistem u V', a njegov naert je duzina A" Ao" koja je u . osi x. Duzina V" Ao" je naert toga novog polozaja brida .v A i ujedno nje­gova prava velicina. Na isti se nacin nade da je duzina V"Co" prava veli­Cina brida VC, a duzina V"Do" prava velicina brida VD. Mreza pobocja te piramide konstruira se zatim ovako: Naerta se trokut ABV (V A = = V" Ao",AB = A'B', VB = V"B"), do njega trokut BCV (BC = B'C', VC = V"Co"), ovome se doda trokut CDV (CD = C'D', VD = V"Do"), pa se mreza zavrsi trokutom DAV (DA = D' A', VA = V" Ao").

5. Projekcije kvadraticne krnje piramide i mreze njezinog pobocja. A. - 0 k r n j 0 j pi ram i d i. Kad piramidu presijecemo nekom

~i I

ole" ~~. ----~~~~--~~~

c'

S1. 161.

102

ravninom koja je usporedna s nje­zinom osnovkom, dobijemo dva di­jela te piramide. Onaj dio koji je izmedu osnovke i te ravnine zove se krnja piramida, a onaj dio koji je izmedu te ravnine i vrha zove se dopunjak krnje piramide. Krnja' piramida omedena je dvjema os­novkama i pobockama. Osnovke su usporedni i slicni visekuti, a po­bocke su trapezi. Udaljenost izme­du osnovaka krnje piramide je njezina visina.

Krnja piramida moze biti us­pravna iIi kosa, prema tome da Ii je dio uspravne ili kose piramide. Uspravna krnja piramida koja ima pravilne osnovke, a pobocke su joj sukladni istokracni trapezi, zove se pravilna krnjapiramida.

B. - Naertajte projekcije kva­draticne krnje piramide kojoj je brid vece osnovke dug 3 em, manje 1,2 em, a visina je v = 2,5 em, ako

je njezina veca osnovka ABCD U 'ltj' te je jedan njezin vrh A (5,3,5, 0), a osnovni brid AB cini s osi x kut ad 60" (s1. 161).

Najprije'se naertaju projekcije A' i A" tacke A, a zatim kvadrat A.'B'C'D' (3 em X 3 em) koji je tloert vece osnovke krnje piramide, a ko­jemu straniea A'B' cini s osi x kut od 60". Njegove se dijagonale sijeku u tloertu V' vrha V citave piramide. U tome kvadratu uerta se koneen­tricni manji kvadrat A/B/C/D/ (1,2 em X 1,2 em) Cije su stranice uspo­redne s njegovim stranieama, a kojije tloert manje osnovke te krnje pira­mide. Svaka duz.ina koja spaja vrh jednog kvadrata sa susjednim vrhom drugog kvadrata je tloert jednog pobocnog brida te krnje piramide. Time je tioert te krnje piramide naertan.

Naert A"B"C"D" njezine vece osnovke je u osi x jer je ta osnovka u ravnini 'lt1, a naert A/'B/'C/'D/' njezine manje osnovke je duzina koja je usporedna s osi x i od nje udaijena 2,5 em, jer je ta osnovka usporedna s 'lt j • Visina te krnje piramide je v = 2,5 em. Naerti pobocnih bridova AAj i CC j cine s naertima osnovaka granieu naerta te krnje piramide. U toj granici naerta nalaze se naerti po- A

bocnih bridova BB j i DDj • Brid DD1 je u naertu vidijiv jer je na prednjem dijelu krnje piramide, kako je to iz tioerta ocevidno, dok je brid BBl u naertu nevidljiv jer se nalazi na nje­zinom straznjem dijelu.

Ako se na s1. 161. produz.e naerti svih pobocnih bridova te krnje pira­mide, oni se moraju sjeci u tacki V" koja je naert vrha citave piramide.

Od te krnje piramide u tIoertu se vide sve njezine p6bocke i manja osnovka, a u naertu sarno dvije pred­nje pobocke AA1Dj D i CC j D1D.

Na s1. 161. jos je odredena prava velicina V" Ao" pobocnog brida V A. citave piramide, kao i prava velicina A j ." Ao" pobocnog brida AlA krnje piramide, i to njihovim okretanjem aka vertikalne osi VN dok nisu po­stali usporedni s ravninom 'lt2 •

:< > "

-»-'-c_, _____ -----1 C

81. 162.

103

Na istoj slici rijesen je jos i ovaj zadatak: C. - Zadani su nacrti E" == Gil tacaka E i God kojih je jedna na

pobocki AA1DID, a druga na pobocki AAIBIB; treba odrediti tlocrte tih tacaka.

Taj je zadatak rijesen na nacin prikazan u c1. 3, B. 2, pomocu pomoc­nih duzina koje se povuku tim tackama usporedo s osnovnim bridovima te krnje piramide. Naerti tih pomocnih duzina koji se poklapaju idu tac­kom E" ,,;, -G" usporedo s osi x i sijeku duzinu A" A/' u tacki -F" koja je nacrt one tacke F u kojoj se te pomocne duzine sijeku u pobocnom bridll AA1• Ako sada odredimo tlocrt F' tacke F, to ce iz F' ici tloert jedne po­mocne duzine usporedo s A'D' i> tloert druge usporedo s A'B', a na t10-ertima tili pomocnih -duzina bit ce trazeni tloerti E' i G' tacaka E i G.

D. - M r e z ~ po b 0 c j a k v a d rat iC n ek r n j e pi ram ide. Ta se mreza sastoji od cetiri sukladna istokracna trapeza koje cemo na­

crtati ovako: Oko tacke V (s1. 162) opisat cemo dva kruzna

0"

o

Vi 81. 163.

c"

d,

luka, jedan r =. Au"V", a dru­gi s polumjerom r1 = A 7 "V". Zatim cemo povuci polumjer AV, pa iz tacke A prenijeti na veci luk cetiri puta duzinu A'B' kao tetivu, a na manji luk iz tacke At cetiri puta duzinu A/B/ kao tetivu. Ka­da menu sobom spojimo kraj­nje tacke istoimenih tetiva, dobit cemo cetiri sukladna istokracna trapeza koji cine trazenu mrezu. Ako sv\= kon­strukcije tacno izvedemo, mo­raju se svi kraci tih trapeza menu sobom sjeci u tacki V.

6. Projekcije kvadraticne piramide kojoj je osnovka okomita na ravnini tlocrta. Treba naertati projekcije kvadraticne piramide kojoj je osnovka ABCD okomita na ravnini tloerta, ako je jedan njezin osnovni brid AB [A (2; 2,5; 1,5), B (3,5; 4; 0,5)J, a vi­sina v = 5 em (s1. 163).

Pomocu projekcija A'B' i A"B" osnovnog brida AB najprije se naer­taju projekcije osnovke na nacin izlozen u § 11, c1. 4. D. Zatim se odrede projekcije S' i S" sredista S osnovke, pa se u to srediste postavi okomica o (0', 0") na ravninu'osnovke A.

Buduci da je ravnina A okomita na ravnini 'ltl, ta ce okomiea biti usporedna s 'lt1, .pa je 0' .1 d1, a 0" II x. Vrh V piramide je na toj okomici i udaljen je od sredista S osnovke 5 em, a kako je okomiea 0 usporedna s 'lt1, mora biti S'V' = 5 em. NaertV" vrha V je u sjecistu naerta 0" te okomiee i ordinale povucene tlocrtom V'.

Zatim se nacrtaju projekcije pomocnih bridova, pri cemu se pazi da -Ii se oni vide u tloertu, odnosno naertu. U tlocrtu se vide bridovi V A i VC jer pripadaju granici tlocrta piramide, i brid VD jer je vrh D od svih vrhova osnovke najvise udaljen od 'lt1. U nacrtu se vide bridovi VB i VD jer pripadaju konturi nacrta piramide, i brid VC jer je vrh C od svih vrhovaosnovke najvise udaljen od 'lt2.

Vjezbe

1. Nacrtajte projekcije kvadraticne piramide kojoj je osnovka ABCD u rav­nini 7t

" ako je dijagonala osnovke AC [A (3; 2; 0), C (5; 6; 0)], a visina piramide

v=5cm.

2. NilCrtajte projekcije pravilne sesterostrane piramide kojoj je osnovka ABCDEF u ravnini 7t

"

ako je dijagonala osnovke AC [A (3; 2; 0), C (5; 6; O)J, a visina piramide v = 6 cm.

~ 0 N

~

0 0

"' M

!!2

M 1:25

1 ;<

11 0 N

D D ~

,/ / ~ L ____

81. 164, 165>. i 166.

105

3. Nacrtajte projekeije kvadraticne piramide kojoj je osnovka ABCD usporedna s ravninom 11:" ako je dijagonala te osnovke AC [A (3; 1; 4), C (7; 1; 2)], a visina pira­midev = 5 em.

4. Naertajte projekcijE; pravilne peterostrane piramide kojoj je osnovka uspo­redna s ravninom 'It,, ako je jedan vrh te osnovke A (2; 5; 1), a njezino srediste S (4; 4; 1), dok je visina piramide v = 5,5 em. '

5. Nacrtajte projekcije pravilne sesterostrane piramide kojoj je' osnovka uspo­l'edna s ravninom 'lto, ako je srediste osnovke S (4; 1,5; 3), jedan vrh osnovke A (2; 1,5; 3,5), a visina piramide v = 6 em.

6. Naertajte projekcije kose sesterostrane piramide kojoj je osnovka pravilan sesterokut usporedan s ravninom 'It,, ako je srediSte osnovke S (4; 3; 1), jedan vrh

- osnovke A (2; 3,5; 1), a vrh piramide V (9; 5; 6).

7. Naertajte projekcije pravilne sesterostrane piramide kojoj osnovni brid ima 2,5 cm, a vis ina 5 em, ako je njezina osnovka u ravnini 11:" te su dva njezina osnovna brida usporedna s osi x. Konstruirajte mrefu te piramide.

8. Naertajte projekcije cetverostrane kose piramide kOjoj je osnovka paralelo­gram ABCD [A (1; 3; 0), B (3; 7; 0), C (5; 5; 0), DJ, a vrh V (9; 4; 6). Konstruirajte njezinu mrezu.

M 1:20

1()6.

~T

81. 167, 168. i 169.

~I -I I I

-m=i I I i i I

0'60

0100

o ....

9. Naertajte projekcije pravilne sesterostrane krnje piramide kojoj veei osnovni brid ima 2,5 em, manji 1,5 em, a visina 4 em, ako je njezina manja osnovka u 'It,, i to ispod vece osnovke, a dva su njezina osnovna brida okomita na 11:0 , Konstru­irajte mrezu te krnje piramide.

10. Naertajte projekcije kvadraticne suplje piramide kojoj je osnovka ABCD okomita na 11:" ako je jedan njezin osnovni brid AB [A (2; 3,5; 1,5), B (3,5; 5; 0,5)], visina v= 5,5 em, te se vI'h piramide nalazi iza I'avnine osnovke. - Up uta: Pre­klop osnovke naertajte kao na s1. 97, jer ce tlocrt piramide biti izmedu pravea d, = (A', B') i osi x.

11. Naertajte pI'ojekcije pravilne peterostrane suplje piramide kojoj je osnovka ABCDE okomita na 'lto, ako je jedan njezin osnovni brid AB [A (2; 1; 5),B (3,5; 1; 6,5)], visina v == 5 em, te se vrhpiramide nalazi ispod ravnine osnovke.

12. Nacrtajte u mjerilu' 1 : 15 tlocrt i naert stecka koji je zadan na's1. 164. u mjerilu 1 : 25, ako dva njegova osnovna brida cine s osi x kut od 60·.

13. Nacrtajte u mjerilu 1 : 15 projekcije predmeta koji je zadan na s1. 165. u mje­rilu 1 : 25, ako dvije pobocke njegove srednje kvadraticne prizme Cine s ravninom 11:, kut od 60·,

14. Nacrtajte u mjerilu 1: 15 tloert i naert podnozja osmerostranog stupa koji je zadan na s1. 166. u mjerilu 1: 25, aka jedna njegova ravnina simetrije cini s rav­ninom 11:. kut od 60·.

15. Naertajte u mjerilu 1 : 15 tlocrt i naert ogradnog stupa koji je zadan na s1-167. u mjerilu ,I : 20, ako dva njegova osnovna brida cine s' osi x kut od 60°.

16. Nacrtajte u mjerilu 1 : 30 tloert inaert nadgrobnog spomenika koji je zadan na s1. 168. u mjerilu 1 : 40, ako dva njegova osnovna brida cine S osi x kut od, 60·.

n. Nacrtajte u mjerilu 1 : 30 tloert i nacrt obeliska koji je zadan na sl. 169. u mjerilu 1 : 40, ako dva njegova osnovna brida cine s osi x kut od 60°.

§ 19. PROJICIRANJE VALJKA

1. 0 valjku. Ako se pravac p (s1. 170) giba u prostoru tako da sijece zadanu krivulju k samo u jednoj tacki, a da pri tome ostaje neprestano uspon~dan sa svojim pocetnim polozajem, on opisuje oblu plohu koja se zove valjkasta ili cilindricna ploha. Dio prostora sto ga omeauje ta ploha zove se valjkasti prostor. Krivulja k zove se provo dna krivulja, a pojedini polozaji pravca p zovu se izvodnice iIi stranice valjkaste plohe.

Isto valjkastu plohu moze opisati i krivuIja k ako ~e giba tako da ostaje neprestano usporedna sa svojim pocetnim polozajem, a da jedna njezina tacka A opisuje pravac p. Svaka tacka krivuIje k opisuje tada po jednu izvodnicu valjkaste plohe.

Svaka ravnina koja sijece krivulju k, a usporedna je s pravcem p, sijece valjkastu plohu u izvodnicama. Svaka ravnina koja nije usporedna s izvodnicama vaIjkaste plohe sijece tu plohu u nekoj krivulji. Dvije uspo­redne ravnine 'koje nisu usporedne s izvodnicama valjkaste plohe sijeku tu plohu u sukladnim krivuljama.

Valjkastaploha zove se kruzna kad je krivulja k kruznica.

107

Dio valjkastog prostora koji se nalazi izmedu dviju usp,orednih 'ravnina, a koje nisu usporedne s izvodnicama valjkaste plohe, zove se valjak. Sukladne krivuIje u kojima usporedne ravnine sijeku valjka­stu plohu omeduju osnovke iIi baze vaIjka, a dio valjkaste plohe koji se nalazi izmedu dviju osnovaka zove se prast valjka. Izvod­nice valjka su medu sobom usporedne i jednake. Udaljenost od jedne do druge osnovke valjka zove se'visina vaIjka. .

Valjak je uspravan kada su njegove izvodnice okomite na njegovim osnovka­rna, a kad su one kose prema osnovkama, valjak je koso Uspravni kruzni valjak moze

SI. 170. nastati i rotacijom pravokutnika oko jedne njegove stranice, zbog toga se on zove i

rotacioni valjak. Kad je visina rotacionog vaIjka jednaka promjeru nje­gove osnovke, valjak je istostranican.

Duzina koja spaja sredista osnovaka valjka je os toga valjka. Svaki presjek valjka ravninom koja je polozena njegovom osi zove se osni pre­sjek valjka. Osni presjeci rotacionog valjka su pravokutnici, a kosog valjka stl paralelogrami. Onaj osni presjek kosog valjka koji je okomit na osnov­kama zove se karakt~risticni paralelogram valjka. Visina toga paralelo­grama jednaka je visini valjka, a njegovi siljasti kutovi jednaki su pri­klonom kutu osi prema osnovci, kao i priklonom kutu svake izvodnice prema osnovci.

2. Projekcije rotacionog. valjka i njegova mreza. A. - Pro j e k c i j e rot a c ion 0 g val j k a. Na s1. 171. nacrtane su sve tri projekcije rota­cionog valjka kojemu je promjer osnovke 2 r = 3 em, srediste osnovke S (2,5; 2,5; 0), os okomita na ravnini 1t1 , a visina v = 3 em.

Gornja i donja osnovka toga vaIjka projiciraju se na 1tl zajedno, i to u pravoj velicini kao krug kojemu je promjer 2 r = 3 cm, a srediste S', jer su te osnovke jedna iznad druge i usporedne su s '1t

1• Kruznica koja

omeduje taj krug je tlocrt plasta vaIjka, a svaka tacka te kniznice je tlocrt jedne izvodnice valjka, jer 5U izvodnice toga rotacionog valjka okomite na '1t1· Srediste toga kruga ujedno je i tloert 0' osi 0 valjka.

Ravnina I koja je polozena osi vaIjka usporedo s ravninom '1t2

, i ima tragove Sl (Sl II x) i S:l (s311 z), sijece plast vaIjka u izvodnicama AA i BB te dijeli valjak na prednji i straznji dio. Na prednjem dijelu toga

1 valjk~

su izvodnice EEl, DD1 i FFj , a na stmzhjem CCl , GG1 i HH1.

108

10'" Z

0;' E7 F,m ~~' B~ H~1t G~'C:

: I I I I I. I 53 I

I I I

u, u, I r ! Y. I s·'

D11I~ ~ElU /UI A'u\B'st H'": G" , \C~ 0 \., ~ "-

y

SI. 171.

11.~ H~t E:· T I I I I I I I I

1 t\l} lH'iE'

j 1

! ........

A'

IG' C~· O~

I d.

s· C'W

l clie:

.D'o~ 3

G: F,lI e:

I I

1 GtI~ F', /B' j ,

Nacrt donje osnovke je dliZina A"B" koja je u osi x, a naert gornje osnovke je duzina A/'Bt koja je usporedna s osi x. Obje te duzine jed­nake su promjeru osnovke valjka. Naerti izvodnica su duzine koje su okomite na osi x i jednake izvcidnicama u prostoru. Nacrt valjka jepra­vokutnik A"B"Bt At koji je omeden s donje i gornje strane nacrtima osnovaka, s desne strane nacrtom B"B/' izvodnice BBl> a s lijeve strane nacrtom A" A/, izvodniee AA1. Buduci da su nacrti izvodnica AAl i BB 1

dio granice ili konture nacrta valjka, to se te izvodnice zovu granicne iIi lwnturne izvodnice nacrta valjka., .

Kad promatramo taj valjak u smjeru normalnog projiciranja na rav­ninu '1t2J vidimo sarno prednji dio njegovog plasta, pa se u nacrtu vide sarno one izvodnice koje su na tome dijelu plasta, a ne 'vide se one koje su na straznjem dijelu plasta valjka.

Ravnina 1:.. koja je polozena osi toga vaIjka usporedo s ravninom '1t3,

, i ima tragove d1 i d2 (d1 .l X, i d2 .l x), sijece plast valjka u izvodnicama CC1 i DD1 te dijele valjak na, desni i lijevi dio. Na desnom dijelu toga

'valjka su izvodniee FF1, BB1 i GG1, a na lijevom EEl> AA1 i HH1.

Bokocrt toga vaIjka je pravokutnik D"'C"'Ct'''Dt''' koji je omeden s donje i gornje strane bokocrtima osnovaka, a s desne i lijeve strane bokocrtima C'''C/'' i D"'D/" izvodnica CCl i DD1. Izvodnice CCl i DDl

109

zovu se granicne iIi konturne izvodniee bokoerta valjka, jer bokoerti tih izvodniea pripadaju granici iIi konturi bokoerta valjka.

Kad promatramo vaIjak u smjeru normalnog projieiranja na 'It;l'

vidimo samo desni dio njegovog plasta, pa se u bokoertu vide sarno one izvodniee koje su na tom dijelu plasta, a ne vide se one koje su na Iijevom dijelu plasta valjka.

Na s1. 171. prikazano je i to ,kako se pomocu kota u1 i u2 i tragova Sl

i S3 ravnine :E mogu odrediti bokoerti E"'E1'" i G"'G/" izvodniea EEl i GG1, a da se ne upotrijebe osi y i z.

B. - M r e z a rot a e ion 0 g val j k a (s1. 172) sastoji se od dva sukladna kruga (dvije osnovke) i pravokutnika koji je jednak plastu valjka. Osnoviea toga pravokutnika jednaka -je opsegu osnovke valjka, a njegova visina jednaka je visini valjka v = 3 em. Buduci da je polu­mjer osnovke r = 1,5 em, to je njezin opseg 0 = 2 r'lt = 2· 1,5 . 3,14 = = 9,42 em, pa je osnovica pravokutnika DDDlDl duga 9,42 em.

Kada se ne zeIi racunati, opseg kruznice moze se priblizno konstru­irati ovako: Sredistem S1 kruzniee kl povuce se polumjer SlE koji je uspo­redan s tangentom D1D! te kruznieeu tacki C1• Zatim se tackom E povuce pravae koji s tom tangentom cini kut EB1C1 = 60°. Taj se pravae moze naertati pomocu raznostranicnog ertaceg trokuta na kojemu se nalazi kut

D A

Sl. 172.

110

.c I I

sf

o

1 ,

od 60° iIi pomocu tacke F koja s tackama Sl i E odreduje istostranicni tro­kut SlEF. DliZina ClB! koja se na taj nacin dobije pribliZno je jednaka cetvrtini opsega krtiZn.ieek1, jer se duljina te duzine i cetvrtina opsega kruzniee podudar~ju u prve dvije decimalne znamenke:

or·7t r· 3,14159 157079 d k' C B 157735 4 = -2- = 2 = r·, ,o)e 1 1 = r· , .

3. Projekcije kosog kruznog valjka. Nacrtajte tri projekcije kdsog kruznog valjka ko.1emu je os SSl [S (2; 2; 0), S1 (5,5; 3,5; 3,5)], donja osnovka u ravnini 7.1, a promjer osnovke 2 r = 3 em (s1. 173).

Najprije se naertaju tri projekcije osi toga valjka pomocu zadanih koordinata sredista njegovih oSrlovaka. Tloerti osnovaka su dva kruga, jedan sa srediStem uS', a drugi u St', kojima su promjeri 2 r = 3 em. Bu­dub da su sve izvodnice toga valjka jednake i usporedne s osi valjka, bit ce i njihove istoimene projekcijejednake i usporedne s projekcijama osi valjka. Izvodnice CCl i DDl kojih tlocrti C'Ct' i D'D/ dodiruju tlocrte osnovaka su konturne izvodnice tLocrta toga valjka~ Osnipresjek CC1D1D dijeli plast valjka na gornji i donji dio. Sve izvodnice koje su na gornjem dijelu plaita, npr. AAl i FF1, bit ce u tlocrtu vidljive, a one iz donjeg dijela, npr. B13l i EEj) bit ce nevidljive.

B'~

81. 173.

111

Nacrt donjeosnovke je duzina A"B" koja je u osi x, anaert gornje osnovke je duzina A/,B/' koja je usporedna s osi x. Naerti A" A/' i B"Bt izvodniea AAI i BBI zatvaraju naert valjka, zbog toga su izvodniee AAI i BBI konturne izvodniee naerta toga valjka. Osni presjek ,AAl B 1B dijeli plast valjka na prednji i straznji dio. Sve izvodniee koje su na prednjem dijelu plasta, npr. CCl i EEl, bit ce u naertu vidljive, a one iz straznjeg dijela, npr. DD1, bit ce nevidljive.

Bokoert donje osnovke je duzina EmF'" koja je u osi Yo, a b~koert gornje osnovke je duzina E/"F/" koja je usporedna s osi Yo.' Bokoerti E"'E/" i F/" izvodnica EEl i FFI zatvaraju bokoert toga valjka, pa su zbog toga izvodniee EEl i FFI konturne izvodnice bokocrta toga valjka. Osni presjek EEIFIF dijeli plast valjka na desni i lijevi dio. Sve izvod­nice koje su na desnom dijelu plasta, npr. BBI i DD~, bit ce u bokoertu vidljive, a sve iz lijevog dijela, npr. CCl> bit ce nevidljive. '

Svaka ravnina koja je usporedna s osnovkom kosog kruznog valjka sijece njegov plast u krliZnici koja je sukladna s osnovkama, ima srediste na osi valjka, a zove se usporednik. Na s1. 173. nacrtane su tri projekcije jednog usporednika toga valjka, koji je oznacen slovom u.

I /

~o ________ ~ ________________________ ~

A'

Si. 174.

112

4. Projekcije rotacionog valjka kojemu su osnovke oko~ite na ravnini 'lt2• N a­ertajte tloert i naert rotacio­nog valjka kojemu je os SSl [S (1; 2,5; 2), S1 (5; 2,5; 4)7, a promjer osnovke 2 r = 2,6 em (s1. 174). Najprije se naertaju projekcije S'S/ i S"S/, osi toga valjka, a zatim projek-, cije njegovih osnovaka. Te su osnovke okomite na ravnini 'lt2' pa ce njihovi nacrti biti duzine C"D" = 2,6' em 1 C/,D/, = 2,6 em, koje su oko­mite na naertu S"S/' osi valj­ka, a tloerti tih osnovaka bit ce elipse A'C'B'D' i A/C/B/D/, koje se naertaju na nacin pri­kazan u § 12, - cl. 5. Gornja osnovka A 1CIB1D1 u tlocrtu je vidljiva, a donja ACBD ne­vidljiva.

Naert toga valjka je pravokutnik C"C/'D"Dt, a granici njegovog tloerta pripadaju tloerti izvodniea AAI i BBl'

Na s1. 174. rijesen je jos i ovaj zadatak: Zadani su nacrti E"E/' "'" == F"F/' dviju izvodnica od kojih je jedna na prednjem, a druga na straz­njem dijeIu pLasta toga valjka; treba odrediti tIocrte tih izvodnica.

Ako tackom E/' == F/' povucemo ordinalu, ona ce sJeel elipsu A/C/B/D/ u tackama EI' i FI'. Tackom EI', odnosno F/ici ce traZeni tloert izvodnice EIE, odnosno FIF usporedo s duzinom S/S'.

Ta konstrukcija tloerta izvodnica EEl i FFI nije sasvim tacna jer dotacaka E/ i F/ dolazimo sijecenjem elipse A/C/B/DI ' ordinalom polo­zenom tackom E/' "'" FI", a za tu elipsu ne mozemo tvrditi da je sasvim tacno nacrtana. Tlocrti tih izvodniea mogu se tacno odrediti ovako:

Povucemo k:roz os valjka ravninu A paralelnu s ravninom naerta. U toj ravnini nalazi se promjer ClDI gornje osnovke valjka. Ako sada roti­ramo za 900 tu osnovku skupa s tackama El i F1 oko promjera C1Dl na ravninu A, postat ce ta osnovka usporedna s 7t2, pa ce njezin naert biti kruzniea kO, a naerti rotiranih tacaka El i FI bit ce-tacke Elo i FlO. Buduci da su tacke Ell) i FlO udaljene od duzine C/'D/' za duljinuu = E{'EIO = = FtFl °, moraju tacke E/ i Fl ' biti na ordinali polozenoj tackom E/' == == Ft, i to udaljene od duzine Ct'Dt' za duljinu u.

Vjezbe

1. Naertajte sve tri projekeije istostranicnog valjka kojemu je promjer osnovke 1> = 3 em, a osnovka mu je a) u ravnini 1t" b) u ravnini 1t" e) u ravnini 1to. Nap o­men a: Promjer kruzniee oznacuje se tl'l{?:ehnickim crtezima malim slovom 1> (fi) iz grckog alfabeta.

2. Nacrtajte sve tri projekcije usptavne valjkaste cijevi kojoj je vanjski pro­mjer osnovke 1>, = 4 em, unutrasnji promjer 1>2 = 3 em, a visina v = 5 cm, ako je njezina osnovka:" a) u ravnini 1t" b) u ravnini 1t" e) u ravnini 1t ••

3. Naertajte sve tri projekeije rotacionog valjka kojemu je os SS, [S (2,5; 5,5; 2), S, (6; 1,5; 2)], a promjer osnovke 1> = 3 em,

4. Naertajte sve tri projekcije rotacionog valjka kojemu je os SS, [S (6; 3; 2), S, (2; 3; 5)], a promjer osnovke 1> = 3 em,

5, Nacrtajte u mjerilu 1 : 10 sve tri projekcije kamenog zlijeba koji je zadan na sL 175. u mjerilu 1: 15, ako dvije njegove uzdu.zne pobocke cine s ravninom 1t,

kut od 600•

6, Naertajte u mjerilu 1 : 10 sve tri projekcije betimskog stoIa koji je zadan na sL 176, u mjerilu 1: 25, ako njegova dva osnovna brida cine s ravninom 1t2

kut od 600•

7. Nacrtajte u mjerilu 1 : 10 sve triprojekcije konzole s kvadraticnom plocom koja je zadana na s1. 177. u mjerilu 1 : 15, ako njezini uzduzni bridovi cine s rav­ninom 1t, kut od 600

•

8 Nacrtna geometrija I 113

81. 175, 176. i 177.

40 ,460

40

180 '/ •. 160 160

/ 160

740

40

40

M 1'15 r---------~~!---

--,---r-,-, -+----'f-I I 1·1 I '.1 I __ -, ___ L-,_J ---I--+-

L-__________ ~, ___

I lao .1 M 1:100

51 ~r f5 :: :: ::::--';"j-f-_ Lr-_r_-~r_-_-_-_-_-_-_-_'_-_-_'_-_-_-_-_-_-_-_'_-_'--.J---L!2 of-r- L_.I._ -- - -- _-' ___ L _______ L-1

o ... N

... g

81. 178.

8. Naertajte u mjerilu 1: 50. sve tri projekcije svodova koji su zadani,na s1. 178.

u mjerilu 1 : 10.0. 9. Naertajte u mjerilu 1: 50. tlocrt i nacrt svodova koji su zadani na s1. 178,

ako uzduzni bridovi cine s ravninom '" kut od 30.°. 10.. Nacrtajte u mjerilu 1: 25 sve tri projekcije postolja sa stepenicama koje je

zadano na s1. 179. li mjerilu 1 : 50.. 1. Naertajte u mjerilu 1 : 25 tloert i nacrt postolja sa stepenicama koje je zadano

na s1. 179, ako njegovi u:i:duzni bridovi cine s ravninom "2 kut od 30.°.

~ '00 I

1 "'j

I

!

I r

'0')' I I

11 I I I

I 300 .J

M 1:50

. Sl. 179.

§ 20. PROJICIRANJE STOSCA

1. 0 stoscu. Ako se pravac p (s1. 180) giba u prostoru tako da stalno prolazi istom tackom V i sijece zadanu krivulju k samo u jednoj tacki, on opisuje oblu plohu koja se zove stozasta ili konicna ploha. Krivulja k zove se provodna krivulja, pojedini polozaji pravca p zovu se izvodnice iIi stranice stozasteplohe, a tacka V je vrh stozaste plohe.

Svaka ravnina koja ide vrhom Vi sijece provodnu krivulju presijeca stozastu plohu u izvodnicama, a paralelne ravnine sijeku tu plohu u slic­

nim krivuljama.

115

Stozasta ploha je kruzna ako je kri- , vuIja k kruzniea.

Dio stozastog prostora koji je s jedne strane omeden vrhom V, a s druge strane nekom ravninom koja ne prolazi tim vrhom, zove se stozae, cunj ili konus. Ta ravnina sijece stozastu plohu u krivuIji koja omeduje osnovku ili bazu, stosea, a dio stozaste plohe koji se nalazi izmedu vrha i osnovke zove se plast stosea. Uda­Ijenost od vrha do osnovke stosea zove se visina stosea.

Duzina koja spaja vrh stosea sa sredi­stem osnovke zove se os stosea. Stozae je uspravan, odnosno kos, prema tome da Ii je njegova os okomita na osnovci, odnosno kosa prema njoj. Uspravni kru­zni stozae moze nastati i rotaeijom pra­vokutnog trokuta oko jedne njegove ka-

81. 180. tete, zbog toga se on zove i rotacioni stozac. Kad su izvodnice rotacionog stosea jednake

promjeru njegoveosnovke, stozae je istostranican. Svaka ravnina koja je usporedna s osnovkom uspravnog iIi kosog kruznog stosea, a, nalazi se izmedu osnovke i vrha, sijece plast stosea u kruznici koja se zove uspo­rednik stoSca.

Presjek stosea ravninom koja j.e polozena njegovom osi zove se osni presjek stosca. Osni presjeci rotacionog stosca .sukladni su istokracni tro­kuti, a osni presjeci kosog kruznog stosca raznostranicni su trokuti. Onal osni presjek kosog kruznog stosca koji je okomit na ravnini osnovke zove se karakteristicni trokut kosog krtiZnog stosca. U ravnini karakteristicnog trokuta kosog kruznog stosea nalaze se os i visina stosea. Straniee karak­teristicnog trokuta kosog krtiZnog stosea su promjer njegove osnovke, te najduza i najkraca njegova izvodniea.

Medu svima osnim presjecima kosog kruznog stosea jedan je i8tO­kracni trokut. Ravnina toga trokuta mora biti okomita na ravnini karak­teristicnog trokuta jer ona treba da sijece osnovku u onom promjeru koji je okomit na normalnoj projekciji osi stosca na ravnini osnovke.

2. Projek~ije rotacionog stoscai njegova mreza. A. - Pro j eke i j e rota ei 0 n 0 g s t 0 sea. Na s1. 181. naertane su tri projekcije rotaei':' onog stosea kojemu je promjer osnovke 1> = 3 em, srediste osnovke S (2,5; 2,5; 0), os 0 okomita na ravnini 'it1, a visina v = 3,5 em.

116

Tloert osnovke toga stog~a je krug kojemu je promjer 1> = 3 em, a srediSte S'. U taj krug pada i tloert plasta stosca, a u sredistu kruga nalazi se tloert V' vrha V, kao i tloert 0' osi 0 toga stosea. Polumjeri toga kruga su tlocrti izvodniea. Sve izvodniee stosea vide se u tloertu.

z

y

81. 181.

Granica naerta toga stosea je istokracan trokut A"B"V". Taj je trokut nacrt onoga osnog presjeka stosea koji je usporedan s ravninom 'it2 i dijeli stozae na dva jednaka dijeIa: prednji i straznji. Izvodnice EV, CV i FV su na prednjem dijelu stosca, pa se zbog togau naertu vide, dok se izvod­nice HV, DV i GV u naertu ne vide jer se nalaze na straznjem dijelu stosca. Izvodniee A V i BV su granicne ili konturne izvodnice nacrta stosca.

Granica bokocrta toga stosca je istokracan trokut C"'D"'V"'. Taj je trokut bokocrt onoga osnog presjeka stosea koji je usporedan s ravninom rca i dijeli stozac na desni i lijevi dio. Izvodnice BV, FV i GV su na desnom dijelu stosea, pa se zbog toga u bokocrtu vide, dok se ne vide izvodnice AV, EV i HV koje se nalaze na lijevom dijelu stosca. Izvodnice CV i DV su granicne ili Iwnturne izvodnice bokocrta stosca.

B. - R e k t i f i k a c i j a k r u z n 0 g I u k a. Pod rektifikacijom luka AB (s1. 182) kruznice k s polumjerom r podrazumijeva se konstruk­cija neke duzine pomocu sestara i ravnala kojoj bi duljina bila jednaka

117

duijini toga luka. Ta se rektifikaeija ne moze izvesti tacno, vee sarno pribliZno:

U jednoj krajnjoj tacki Iuka AB koji zelimo rektificirati postavi se tangenta t na kruzniCu k, a zatim se produzi promjer AC preko tacke C za poIumjer r do tacke D. Povuce Ii se tackama D i B pravac (D, B) koji sijece tangentu t u tacki E, onda je duzina AE priblizno jednaka luku AB. Uko­liko je sredisnji kut (J., toga Iuka manji, utoliko je rektifikacija tacnija.

Za kut (J., = 30° Iuk AB jednak je dvanaestini opsega kruzniee, tj. AB = = r' 0,523598 ... , dok je AE = r' 0,52336 . " Vidimo da se te dvije veli­Cine podudaraju u prve tri decimaine znamenke. Za.kut rx = 45° te se dvije velicine podudaraju sarno u,prve dvije decimalne znamenke.

't

k,

5, F

r, r,

81. 182.

Kada treba rektifieirati neki Iuk kojemu je sredisnji kut veei od 30°, onda se moze primijeniti ovaj postupak: Sredisnji se kut razdijeli na 2 iIi 4 jednaka dijela tako da svaki dio bude manji od 30°. Zatim se rektifi­cira kruzni Iuk koji je nad jednim dijelom toga srediSnjeg kuta, pa se dobivena duzina podvostruCi iIi pocetverostruci, ,prema tome da Ii je sre­diSnji kutbio razdijeIj.en na 2 iIi 4 jednaka dijela.

C. - Pre nos e n j e 1 u k a j ed n e k r u zn ice n a d rug u.

Ako treba cia IUk AB kruznice k (s1. 182)kojoj je poIumjer r prenesemo na kruznieu k1 kojoj je polumjer r1 tako da Iuk AG bude jednak Iuku AB, onda radimo ovako: Naertamo te kruzniee tako da se one dodiruju u tacki A, pa konstruiramo njihovu zajednicku tangentu t u toj tacki. Na pravcu (SS1) oznacimo tacke D iF, ito tako da bude AD = 3 r, aAF = 3r1. Sada projiciramo tacku B iz tacke D ,na tangentu t u tacku E, a zatim projici­ramo tacku E iz tacke F nakruznicu k1' pa dobijemo tacku G. Buduci da je AB = AlE = AG, iziazi da je AB = AG.

D. - M r e z a rot a c ion 0 g s t 0 s c a sastoji se od kruga (osnovke) i mreze plasta koja je kruzni isjecak kome jepoIumjer jednak izvodnici stosca, a duljina .luka jednaka opsegu osnovke stosca. Mreza rotacionog stosca -iz s1. 181. naertana je na s1. 183. ovako: Uz kruznicu kojoj je polu-

118

mjer r = 1,5 em naertana je veca kruzniea' koja tu kruznieu dodiruje, akojoj je polumjer R prava veli­cina izvodniee stosea, da­kle je R = A"V". Zatim se manja kruzniea razdijeli na 12 jednakih dijelova, pa se luk te kruZniee kojemu pripada sredisni kut od 300

prenese na vecu kruznieu na nacin prikazan na s1.' 182, a zatim se nanese po vecoj krliZnici jos 11 puta. Luk ACBDA koji se na taj nacin konstruira i koji je pribliZno jednak opsegu osnovke omeduje s polu­mjerima AV kruzni isje­

A

Sl. 183.

A

A

cak V ACBDA koji je priblizno mreza plasta stosea. Za potrebeu obrtu i industriji razvijanjeplasta rotacionog stosea na ovaj naGin potpuno za­dovoljava. -

Za kontrolu te konstrukeije moze posluziti kut (J., toga kruznog isjecka, koji mozemo izracunati ovako:

Ako u razmjer L : 2 R1t = (J., : 360 stavimo da je l = 2 n:, dobit cemo cia je

3. Odredivanje projekcija tacaka stosca. A.~.o d red i van j e p r o­j eke i j a t a c a k a s t os e a p om oe u i z v'o d.n i e a. Na s1. 184. rije­sena su ova dva zadatka:

1. Zadan je tIOCTt E' tacke E koja je na pLastu rotacionog stosea; tTeba konstruirati naeTt tE' tacke.

Tackom E povucimo izvodnicu stosca FV. Tloert te izvodnice bit ce polumjer F'V' koji ide tackom E'. Na naertu F"V" te izvodniee bit ee tra­zeni nacrt tacke E.

2. Zadani su nacTti G" "" H" tacaka G i H od kojih je jedna na pred­njem dijelu, a druga na straznjem dijeLu plasta rotacionog stosca; odTedite tlocrte tih tacaka.

Svakom tom tackom ide po jedna izvodnica stosca. Naerti tih izvod­nica poklapaju se i padaju na pravae koji je odreden tackom G" "" HI'

lUI

i tackom V". Ako taj pravac sijece nacrt osnovke u tacki I" == J", onda je jedna od tih izvodnica IV, a druga JV. Na tlocrtu tv' izvodnice IV bit. ce trazeni tlocrt G' tacke G, a na tlocrtu J'V' izvodnice JV bit ce trazeni tlocrt H' tacke H.

JI-__ -=+-'U"-" __ -l,2'·

81. 184. i 185.

1511

, !o'

C'

!' 8 11

B. - Odredivanje projekcija tacaka stosca po­rn 0 c u us p 0 red n i k a. Kad se tlocrt E' tacke E (s1. 185) koja je na plastu stosca nalazi ispod V', tj. na promjeru CD', ne moze se odrediti nacrt E" tacke E pomocu izvodnice CV, jer se ordinal a koja se polqzi tac­kom E' poklapa, a ne sijece se s nacrtom C"V" te izvodnice. U tom se sJucaju konstruira nacrt E" tacke E ovako: Tackom E povuce se jedan usporednik u stosca. Njegov tlocrt bit ce kruznica u' kojoj je srediste V', a koja prolazi tackom E'. Taj usporednik u sijece izvodnicu AV u tacki 1, a izvodnicu BV u tacki 2, kojima su tlocrti tacke l' i 2', a nacrti 1" i 2". Na duzini 1"2" koja je nacrt u" usporednika u bit ce trazeni nacrt E" tacke E.

Na istoj slici odredeni su pomocu usporednika v tlocrti F' i G' tacaka FiG plasta rotacionog stosca kojima se nacrti poklapaju (F" == G"). Nacrt

120

u" usporednika v koji prolazi tim tackama je duzina 3"4" koja ide tackom F" == G" usporedo s osi x. Pomocu polumjera r toga usporednika nacrtan je njegov tlocrt v', a na njemu su traZeni tlocrti F' i G' tacaka FiG.

4. Projekcije kosog kruznog stosca i mreza nje~ovog plasta. A. Nacrtajte projekcije kosog kruznog stosca kojemu je os SV [S (2, 2,5, 0), V (5,5,2,5,'3)], osnovka u ravnini 1t1 , a promjer osnovke '" = 3 em (s1. 186a).

(};>omocu zadanih koordinata srediSta S osnovke i vrhaV najprije se nacrtaju projekcijp' osi o toga kosog stosca koja je usporednas ravninom h2' a zatim projekcije njegove osnovke. Izvodnice AV i BV, kojih tlocrti A'V' i B'V' dodiruju tlocrt osnovke, konturne su izvodniee tlocrta toga kosog stosca. One dijele njegov plast na gornji. i donji dio. (Kako cete kon­s±ruirati tangente' iz tacke V' na kruznicu k'?) Sve izvodnice koje suo na

v"

a

1 0 1-<>-"'':::;:?''::-'-'--::::'?'':::-:::bH'-=----"-'j~-~----:;;-'i;>--;,---~---:c--=-:E:'I>-~ F:

H'

i

~ J \-.-------------

-----H-<· ,>b _________ ~ ___ _

81. 186.

121

gornjem dije1u plasta, npr. CV, FV, EV, vid1jive S11 u t1ocrtu, a nevid1jive 8U one iz donjeg dije1a, npr. IV, DV, JV.

Nacrt toga kosog stosca je trokut C"D"V", a izv6dnice- CV i DV su konturne izvodnice njegovog nacrta. Osni presjek CDV dijeli plast na prednji i straznji dio. Sve izvodnice koje su na prednjem dijelu p1asta, npr. EV, GV, AV, vidljive su u nacrtu, a nevidljive su one iz straznjeg dijeIa, npr. FV, HV, BV.

Na s1. 186.a nacrtane su jos i projekcije jednog usporednika u toga kosog stosea. Njegovo je srediste Si na osi stosca, a polumjer mu je r. Tlocrti konturnth izvodnica stosca dodiruju i tlocrt u' _ toga. usporednika.

- B. - Mrezaplasta kosog kruznog stosca. Ako pra­vac(S', V') sijecetlocrtk' _osnovne kruznice u tackamaC' i D', onda je duzina C'V' tlocrt najdliZe izvodnice toga stosca, a duzina D'V' tlocrt njegove najkrace izvodnice. Trokut CVD je karakteristicni trokut toga stosca, a ravnina toga trokuta je ravnina simetrije kosog stosca. Da bismo mogli konstruirati mrezu plasta toga stosca, treba da razdijelimo tlocrt k' osnovne kruznice na sto veci broj jednakih dije1ova, a tacke C' i D' treba cia budu u skupu djelisnih tacaka. Na s1. 186.a kruznica k razdijeljena je na 8 jednakih dijelova i nacrtane su projekcije .izvodnica stosca koje idu djelisnim tackama C, E, G, I, D, J, H i F. Za koristrukciju mreze plasta toga stosca potrebne su nam prave velicine fih izvodnica. Nacrti izvod­nica CV i DV su njihove prave velicine jer su te izvodnice usporedne s 7t2 ,

a prave velicine ostalih izvodnica konstruiraju se pomocu okretanja tih izvodnica oko vertikalne osi VN dok ne postanu usporedne s ravninom Ti:2 (§ 18, Cl. 4). Izvodnice EV i FV iste su velicine jer su one simetricne s obzirom na ravninu karakteristicnog trokuta stosca. Isto tako su iste veli­cine izvodnice GV i HV, kao i IV i JV. Prave velicine tih izvodnica su duzine . Eo"V" == Fo"V", Go"V" == Ho"V" i Io"V" == Jo"V". Pored toga po­trebna nam je prava velicina 1uka C'F' = C'E' = F'H' = E'G' = ... , pa se ona konstruira kao na s1. 182. Na duzini C'V'oznaci se tacka K tako da bude C'K = 3 r, pa seiz tacke K projicira tackaF' u tacku L na tan­gentu krliZnice k' u tacki C'. Duzina C'L priblizno je jednaka 1uku C'F'.

Konstrukcija mreze plasta stosca ko]i je prerezan uzduz izvodnice CV i razmotan na ravninu slike izvede se ovako: Nacrta se duzina VD (s1. 186. b) ko]a je jednaka pravoj veliCini D"V" najkrace izvodnice DV. Da bi se dobile razmotane izvodnice IV i JV kaje su jednaka duge, apise se oko V kruzni 1uk Ii s po1umjerom Io"V" == Jo"V". Na tome 1uku mo­raju biti tacke I i J, ito uda1jene od tacke D za du1jinu Iuka D'I' = D'J' = = C'F' = C'L. Ako se, dakle, oko tacke D opise kruznica s poIumjerom r = C'L, ana ce sjeci opisani 1uk Ii u tackama I i J koje spojene s tackom V daju razmotane izvodnice IV i lV. Na slican nacin konstruirat cemo

122

razmotane izvodnice GV i HV. Oko vrha V opisat cemo kruzni luk I2 s polumjerom Go"V" :='. Ho"V", pa cemo taj 1uk presjecikruznicom s po1u­mjerom r = C'L, opisanom oko tacke I, odnosno J, i dobit cemo tacke G i H koje spojene s tackom V daju razmotane izvodnice GV i HV. Na sli­can nacin naCi cemo razmotane izvodnice EV i FV, kao i raz-motanu naj­duzu izvodnicu CV. Krivu1ja kojom spojimo tacke C, F, H, J, D, I, G, E i C je priblizno razmotanaosnovna kruznica k, a lik om eden tOI:D- krivu1jom i izvodnicama CV je priblizna mreza plasta toga stosc.a. Ako toj mrezi dodamo jos i osnovi;:u, dobit cemo pribliznu mrezu toga kosog stosca.

5. Projekcije krnjega rotacionog stosca i njegova mreZa. A. - Na sl. 187. nacrtane su projekcije krnjega rotacionog stosca kojemu je polu­mjer vece osnovke r = 23 mm, manje r1 = 12 mm, visina v = 22mm, a veca osnovka u 'ravnini Ti: i .

Naravnini Ti:l projiciraju se osnovke krnjega stosca kao koncentricni krugovi u pravoj velicini, a U onaj krliZni vijenac sto ga omeduju tlocrti

v· l.f, /1,

I ,

I I ' I \ f _ ,

I I ' I \ I \

IE~ F~' \ B~ A, I I I I D. I I I I

o

A" 8ft X I -1-~---'--<'>:::'----'i-..l,>-"::' V.f-- ________ B--'<,>---__ ~__¢B s· \ 0' \

\

C'

\ \ \ \ C,

A,

\ \ \

81. 187. i 188.

123

osnovnih kruznica projicira se plast krnjega stosea. Njegove izvodniee projiciraju se kao odresci polurnjera koji su u tom kruznom vijeneu.

Nacrt toga rotaeionog krnjega stosea je istokracan trapez A"B"B/' At· Osnoviee A"B" i AtB/, toga trapeza su naerti njegovih osnovaka, a kraci A" At i B"Br" su naerti onih njegovih izvodniea AA1 i BBl koje su uspo­redne s ravninom it2. Ravnina tih izvodnica dijeli krnji stozae na prednji i straznji dio. Izvodniee iz prednjeg dijela vide se u naertu, npr. EEl' a one iz straznjeg dijela ne vide se, npr. FFl ·

B. - Na istoj slici rijesena su jos i ova dva zadatka:

1. Zadani su trocrti G'i H' dviju tacaka G i H koje su na prednjoj po­Iovini plast(1, rotacionog krnjega stosca; treba konstruirati nacrte tih tacaka.

Taj se zadatak moze rijesiti isto kao kod rotacionog stosea upotre­born pomocne izvodniee iIi upotrebom pomocnog usporednika. Naert Gil tacke G naden je upotrebom pomocne izvodnice EEl' a naert H" tacke H upotrebom pomocnog usporednikau. Opisite te konstrukcije.

2. Zadani su nacrti I" == J" tacaka I i J od kojih je jedna na pred­njem, a druga na straznjem dijelu plasta rotacionog krnjega stosca; odre­dite tLocrte tih tacaka.

Kao i na s1. 185, ti su tloerti konstruirani pomocu usporednika u koji prolazi tim tackam'a. Na tloertu u' toga usporednika kojemu je polumjer r2

nalaze se trazeni tloerti l' i J' tacaka I i J.

C. - Na s1. 188. naertana je mreza plasta rotaeionog krnjega stosea koji je odreden na s1. 187.

Ta se mreza sastoji od isjecka kruznog vijenea. Veci Iuk ACBDA toga isjecka kruznog vijenea jednak je opsegu vece osnovke, a njegov polumjer jednak je pravoj velicini izvodniee eitavog stosea VA = V" A". Manji Iuk A1C1B1D1A1 toga isjecka kruZnog vijenea jednak je opsegu manje osnovke, a njegov polumjer jednak je pravoj velicini izvodniee dopunjka VAl = V" At. Sirina vijenea jednaka je pravoj veliCini izvod­niee rotacionog krnjega stosea, 8 = A" A/'. Ako se toj mrezi plasta jos dodaju veca osnovka (r = 2,3 em) i manja osnovka (r = 1,2 em), dobije se mreza toga rotacionog krnjega stosea.

6. Projekcije supljeg rotacionog krnjega stosca kojemu je os uspo­redna s ravninom it 1• Na 81. .189. naertane su projekeije supljeg rotaeionog k1'njega stosca. kojemu je os SSlusporedna 8 ravninom it1, aCini 8 ravni­nom it2 kutod 600

, ako su polumjeri njegovih Qsnovaka r = 2 em i 1'1 = 1,3 em, visina v = 3 em, a s1'ediste vece osnovke je S (2; 3,5; 3).

Osnovke toga supljeg rotacionog krnjega stosca okomite su na rav­nini it1, pa je zbog toga njegov tlocrt istokraenl trapez C'D'D/C/ (C'D' =

124

o

C'

, Av' ........... J

........... //1

D~·mlv. / ;:.r

1 / "" I jf///' I

",,?' I / , I

/ / 1 !B~// I i/ /. I (' I

/ , 1 /1' / /

/ i " X : c: srA/ 1 ! ' / : s· : I

";'8" :1 • If D:

D'

Sl. 189.

= 2 r, C/D/ = 2 r1> a S'Sa' = v). Naert njegove prednje vece osnovke je elipsa A"C"B"D", naert njegove manje osnovke je elipsa A/,Ct"B/'D/', a te se elipse naertaju na naein prikazan u § 12, c1. 4. Zajednieke tangente tih elipsa pripadaju konturi njegovog nacrta, a da bi taj nacrt postao pla­stiean u njemu su nacrtani jos naerti nekoliko njegovih unutrasnjih i vanjskih izvodnica.

Vjezbe

1. Nacrtajte sve tri projekcije rotacionog stosca kojemu je polumjer osnovke ,. = 1,5 cm, a visina v = 4 cm, ako je njegova osnovka u ravnini '11:2 '

2. Nacrtajte projekcije rotacionog stosca (r = 1,5 cm, v = 4 cm), ako je njegova os: a) usporedna s ravninom '11:

"

a s ravninom '11: 2 cini kut od 300, b) usporedna s rav­

ninom '11:2 , a s ravninom '11:, Cini kut od 300•

3. Nacrtajte mrezu rotacionog krnjega stosca kojemu su polumjeri osnovaka T = 2,5 cm i T, = 1 cm, a visina v = 3 cm.

4. Nacrtajte projekcije supljeg rotacionog krnjega stosca kojemu Sli polumjeri osnovaka T = 2,5 cm i T, = 1,5 cm, a visina v = 3 cm, ako je:

125

j' , I

M 1:20

o to

L-....--.j--_-4 $80 I~ f....--.-~----1 . 81. 190.

a) njegova manja osnovka u rav-nini 'Iti,

b) njegova manja osnovka u rav-

c) njegova os usporedna s ravni­nom '!t2, a s ravninom '!t, cini kut od60°, te ako mu je veea osnovka iznad manje.

5. Na s1. 190. nacrtan je nacrt s t 0 1 a ·u mjerilu 1 : 20. Buduci da je taj predmet sastavljen sarno od oblih geometrijskih ti­jela, on jepotpuno odreden samim svojim nacrtom. Grcko slovo <P (citaj: Ii) pred ko­tom nije sarno znak za promjer kruga vee nas ono upozorava da je s tom kotom u vezi promjer kruga na nekom oblom geo­metrijskom tijelu.

a) Nadite nacrt i dimenzije svako ~a sastavnog dijela toga stoIa.

b) Nacrtajte tlocrt i nacrt toga stoIa u mjerilu 1 : 15. 6. Na s1. 191. nacrtane su u mjerilu .1: 30 projekcije s t 0 Z a s t ci g S YO d a

iznad prozorskog otvora. U tlocrtu nije nacrtano sto se od toga predmeta vidi kad ga gledamo odozgo u smjeru koji je okomit na ravnini '!t" vee je nacrtano ono sto od njega vidimo kad ga gledamo 0 d 0 z d 0 u smje~ koji je okomit na '!t" U tlocrtu dakle nije nacrtan kao obicno p 0 g led 0 d 0 z g 0; vee p 0 g led 0 d 0 z d o. Pro­zorski otvor zatvoren je gornjom polovinom plasta krnjega stosca kojemu je os oJw­mita naravnini '!t2' Ta se polovina plasta krnjega. stosca razdijeli na neparan broj jednakih dijelova. U nasem primjeru ona je razdijeljeria na 7 dijelova. DjeliSne izvodnice BB,. CC, itd.. i os krnjega stosca ·cidreduju ravnine sljubnica svoda koje dopiru do horizontalnih ravnina slojnica zida.

Nadite projekcije i kate polo­

vine krnjega stosca. Kolika je de­bljina zida? Nacrtajte u mjerilu 1 : 20 pogled odozdo i nacrt toga predmeta, ako je os krnjega stosca:

a) okomita na ravnini '!t2,

b) horizontalna, a s ravninom '!t2 cini kut od 60°.

7. Na s1. 192. nacrtane su u mje­rilu 1: 50 projekcije otvora u zidu za vrata i pred njim stepenice. U tlocrtu je nacrtan presjek toga zida horizontalnom ravninom. Polozaj u prostoru toga presjeka odreden je u nacrtu isprekidanom crtkano-tacka­stom crtom AB . . Strelice nakraje­virna te crte usmjerene prema dolje oznacuju da je u tlocrtu nacrtan sarno onaj dio predmeta koji je ispod

126

jB~l '--...:..:+-.---' j,:'

~----!!.' . ~

SI. 191.

o '"

o '"

o ..,

._:-L._. A I

I I

PRESJEK AS

=~~.,.",..::.::--=--=--=----t-::::=-~

81. 192.

M 1:50

B

J

toga horizontalnog presjeka. Ako se u tlocrtu zeli nacrtati neki dio toga predmeta koji je iznad te horizontalne ravnine presjeka, onda se taj dio mora nacrtilti ispreki­danom crtom. Takvim horizontalnim presjekom poveeava se zornosr·tiocrta predmeta.

Nacrtajte projekcije toga predmeta u mjerilu 1 : 30:

a) ako je on u frontalnom polozaju,

b) ako straZnja ravnina zida zatvara s ravninom '!t2 kut od 3.0°.

§ 21. PROJICIRANJE KUGLE

1. 0 kugli. Kad se polukruznica ABC (s1. 193) zavrti· oko promjera AB, ona opise ohlu plohu koja se zove kugIina pIoha, a tijelo omedeno kuglinom plohom zove se kugla . . Buduci da su sve tacke polukruznice ACB jednako udaIjene od njezinog sredista S, to su i sve tacke kugline plohe jednako udaIjene od tacke S koja se zove srediSte kugle.

127

A' TTt

t:' GU

K" k" Hlf

eO E" Gil

TT. 81. 193.

\

Duzina koja spaja ~oju god tacku kugline plohe sa sredistem kugle, npr. AS, BS, CS, DS itd., zove se polumjer kugle.

Duzina kojaprolazi sredistem i spaja dvije tacke kugline plohe, npr. AB, CD i EF, zove se promjer kugle.

Promjer AB oko kojega se polukruzniea ACB vrtjela zove se os kugIe, a krajnje tacke A i B te psi zovu se polovi. Sve kruznice kugle koje idu polovima zovu se meridijani. Buduci da su meridijani zapravo razliciti polozaji kruzniee ACBD, oni su menu sobom jednaki.

Za vrtnje polukrliZniee ACB oko osi AB opisuje svaka njezina tacka po jeclnu kruznieu, npr. tacka G opisuje kruznieu GHKL. Ravnine tih kru­zniea su okomite na osi kugIe, pa su te kruzniee menu sobom usporedne i zbog toga se zovu uspo.redniei ili paralele. SrediSta usporednika su na osi kugle. Uspored~ici nisu menu sobom jednaki, a: najveci medu njima kojemu je srediSte u sredistu kugle zove se ekvator, npr. CEDF.

Svaka ravnina sijece kuglinu plohu u kruzniei. Ako ravnina ide sre­distem kugIe, onda ona sijece kuglinu plohu ukruznici kojoj je polumjer jednak polurnjeru kugle, a koja se zove glavna kruznica kugle, npr. kru­zniea CMDN. Ekvator i svaki meridijanje glavna kruzniea kugle.

128

Ravnina koja ne ide sredistem kugle sijece kug1inu plohu u kruznici kojoj je polumjer manji od polumjera kugle, a koja se zove spore dna kTU­zniea kugIe, npr. svaki usporednik je sporedna kruzniea kugle.

2. Projekcije kugle. Ako kuglu (s1. 193) gledamo odozgo u srnjeru koji je okomit na ravnini 1':1' onda vidimo sarno gornju polovinukugline plohe koja je iznad ekvatora e, tj. koja je iznad glavne kruzniee usporedne s 1':1;

zato je tloert e' ekvatora e kontura tloerta kugle. Kad kuglu gledamo od­sprijeda u srnjeru koji je okornit na ravnini 1':2, vidimo sarno prednju polo­vinu kugline plohe koja je ispred meridijana 9 = AHEMBFLN, tj. koja je ispred meridijana koji je usporedan s 1':2; zato je naert g" meridijana 9 kontura naerta kugle. Meridijan 9 zove se gIavni meridijan kugle.

Naert en ekvatora e je onaj prornjer kruzniee g" koji je usporedan S osi X, a tloert g' glavnog meridijana 9 je onaj prornjer krliZniee e' koji je usporedan s osi x. (Zasto?) Na s1. 193. naertane su jos i projekcije k' i k" usporednika k.

Na s1. 194. rijesen je ovaj zadatak: Naertajte projekcije kugle kojoj je polttmjer r = 1,8 em, a srediste S udaljeno 2,5 em od 1':1 i 2 em od 'lt2.

Najprije se naertaju projekcije S' i S" srediSta S kugle, a zatim se ako S' i S" opisu kruzniee e' i g" s polurnjerom r = 1,8 em. J os se naer­taju promjeri g' i e" tih kruznica koji su usporedni s osi X, pa su projekcije kugle !$otove.

Tloert osi kugle AB je tacka A' ;=i B' == == S', a njezin naert A"B" je onaj prornjer kruznice g" koji je okomit na osi x. Na s1. 194. nacrtane su joil iprojekeije triju uspo­rednika kugle kl' k2 i ka. Buduci da su ti usporednici usporedni s 1':1, a njihova su srediSta01, O2 i 0 3 na osi kugle, to su tloerti tih usporednika koneentricne kru­zniee sa sredistern u S' koje su jednake usporednieima u prostoru. N acrti tih uspo­rednika su tetive kruzniee g" koje su uspo­redne s osi X i jednake promjerima uspo­rednika u prostoru. Usporednik kl i glav­ni meridijan 9 sijeku se u tackama 1 i 2, pa projekeije tacke 1 (odnosno tacke 2) moraju hiti jedna iznad druge na istoj ordinali, a na projekcijama g' i g" meri­dijana g.

9 Nacrtna geometrija I

8"

SI. 194.

I I

~I

I

129

Diokugle koji je iznad kruga kl zove se kugHn odsjecak. Kuglin od­sjecak omeden je krugom kugle i dijelom kugline plohe koji se zove ku­glina kapica ili kalata.

Pakazite na s1. 194. tlacrt i nacrt kuglinog odsjecka. Dio kugle koji je izmedu dva usporedna kruga, npr. izmeau k2 i k

3,

zove ~e kuglin slaj. Kuglin sloj omeduju dva usporedna kruga i dio ku­gline plohe koji se zove kuglin pajas ili zona.

Pokazite na s1. 194. tlocrt i nacrt kuglina sloja i pojasa.

3. Odreiiivanje projekcija tacaka kugline plohe. Na s1. 195. nacrtane su projekcije kugle prikazane u gornjem clanku irijesena su jos ova dva zadatka:

A. - Zadan je nacrt A" tacke A kugline plahe; treta odrediti njezin tIocrt A'.

Tackom A" nacrta se nacrt k" usporednika k koji prolazi tackom A. Oko S' opiSe se tlocrt k' toga usporednika s polumjerom koji je jednak polovini tetive k", tj. r = ot1". Zatim se iz A" spusti ordinala koja pre­sijece k' u tackama A' i B'. Tacka B je naprednjoj polovini kugline plohe buduei da je njezin tlocrt B' ispred tlocrta g' glavnog meridijana, a tacka A je na straZnjoj polovini kugline plohe jer je njezin tlocrt A' iza g'. Tacke A i B su tacke z a k 1 on ic e s obzirom na Tt2 jer njihovi nacrti padaju

Sl. 195.

130

zajedno. Uz zadanu tacku A" treba dakle dodatijos i slovo B'~, jer se na svaku tacku nacrta kugle projiciraju po dvije tacke kugline plohe.

B. - Zadan je tlacrt C' tacke C kug­line plahe; treba Qdrediti njezin nacrt C".

Tackom C' povucemo tetivu l' kruz­nice e' koja je usporedna s osi x. Tetiva I'

~ je tlocrt sparedne kruznice I kugle koja je

x

usporedna s 'lt2, a koja prolazi tackom C. Nacrt I" kruzniceI dobit eemo tako da oko S" opisemo kruZnicu s polumjerom koji je jednak polovini tetive I', tj. r = 02'2'. Zatim iz tacke C' uzdignemo ordinalu koja presijece I" u tackama <;:" i D". Tacka C je na gornjoj polovini kugline plohe jer je njezin nacrt C" iznad nacrta e" ekvatora e, a tacka D je na donjaj polovini kugline plohejer je njezin nacrt D" ispod e". Tacke ·C i D su tacke z a k Ion ice s obzirom na Ttl jer njihovi tlocrti padaju zajedno.

Uz tackuC' treba dakle dodati jos i slovo D', jer se na svaku tacku tlocrta kugle projiciraju ·po dvije tacke kugline plohe.

4. Projekcije meridijana kugle. Zadane su prajekcije kugle; nacrtajte prajekcije meridijana kaji cini s 'lt2 kut ad 45° (s1. 196).

Meridijan koji s Tt2 Cini kut od 45° je glavna kruznica na kuglinoj plohi koja je okomita na Ttl i cini s Tt2 kut od 45°. Nje­gov tlacrt je promjer C'D' kruznice e' koji cini s osi x kut od 45°, a njegov nacrt je elipsa kojoj je A."B" velika os, a C"D" mala os. Tu elipsu mozemo konstruirati po­moeu kruznica zakrivljenosti njezinih tje­mena, a mozemo 'odrediti i nekoliko nje­zinih tacaka pomoeu usporednika. Oko S' opisemo tlocrt k/ kojega god usporednika k l . Na k/ nalaze se tlocrti E' i F' dviju tacaka toga meridijana. Pomocu tacke 1 u kojoj usporednik kl sijece glavni meri­dijan 9 nademo nacrt kt toga uspored­nika, a na njemu su nacrti E" i F" tacaka E i F .. Ordinal a iz l' sijeee g" u tackama 1" i 2". Tackom 1" nacrtamo nacrt k/' uspo­rednika kJ , a tackom 2" nacrtamo nacrt k2" usporednika k2 • Usporednici kl i k2 su usporednici zaklonici s obzirom na Ttl' Na usporedniku k2 su druge dvijetacke toga

81. 196.

meridijana, i to G i H. Pomoeu druga dva usporednika nadene su na s1. 196. jos cetiri tacke nacrta toga meridijana.

Vjezbe

1. Na kugli kojoj je srediste S (0; 3; 3), a polumjer r = 2,5 em, nalaze se tacke A i B kojima je odreden tloert A' "'" B' (1; 4; z); odredite naerte tih tacaka.

2. Na kugli kOjoj je srediste S (0; 3; 3), a polumjer r = 2,5 em, na1aze se tacke e i D kojima je odreden naert e" "'" D" (5; y; 4); odredite tloerte tih tacaka.

3. Nacrtajte projekcije dvaju meridijana kugle koja je zadana u vjezbi 1, ako jedan meridijan cini s ravninom 11:2 kut od 30°, a drugL cini kut od 60°.

4. Nacrtajte projekcije svih usporednika i meridijana kugle kojoj je srediste S (0; 4; 4,5), a polumjer r = 3 em, koji su medu sobom udaljeni po 30°.

5. Na s1. 197. nacrtane su u mjerilu 1 : 50 projekcije udubine u zidu koja ima oblik polovine supljeg valjka na koji se s donje strane nastavl!a po~ovina supl~e kugle: a iznad te udubine strsi polovina valjkaste ploce. Tlocrtom Je pnkazan honzontalm presjeli: AB toga predmeta gl~dan odozgo. Buduci da je polovina valjkaste ploce iznad

131

toga presjeka, njezin je tlocrt ogranicen isprekidanom polukruznicom., Nadite projek­cije i dimenzije svakoga'sastavnog dijela toga predmeta.

a) Nacrtajte sve tri ,Projekcije toga predmeta u mjerilu 1 : 25.

b) Nacrtajte tlocrt i nacrt toga predmeta, ako ravnina zida cini s ravninom no kut od 30'.

, , \ \

\ \,

\,

~I 130

' ...... -----~'" Sl. 197. Sl. 198.

6. Na s1. 198. nacrtane su u mjerilu 1: 40 projekcije udubine u zidil koja se sastoji od polovine supljeg valjka na koji se s gornje strane nastavlja cetvrtina suplje kugle istog polumjera. Ispod te udubine je niska prizmaticna ploca nadkojom je niska krnja piramida, a nad udubinom je uski valjkasti luk. Tlocrtom je prikazan horizontalni presjek AB toga predmeta gledan odozgo. Zasto je tlocrt uskoga valjka­stog luka koji je nad udubinom nacrtan isprekidanom cdom? Nadite projekcjje i di­menzije svakoga sastavnog dijela toga predmeta.

a) Nacrtajte sve tri projekcije toga predmeta u mjerilu 1: 20.

b) Nacrtajte tlocrt i nacrt toga predmeta, ako ravnina zida cini s ravninom 'IT" kut .od 30'.

§ 22. PROJICIRANJEVRTEZNIH PLOHA

l. 0 vrteznim plohama. Kad se neka krivulja m vrti oko pravca 0,

ona opisuje krivu plohu koja se zove vrtezna iIi rotaciona ploha (s1. 199).

KrivuIja m koja izvodi vrteznu plohu zove se izvodnica, a pravac 0 zove se as v;rtezne plohe.

Svaka tacka A, B, C ... izvodnice m opisuje za vrijeme njezine vrtnje oko osi 0 po jednu kruznicu. Sredista tih kruznica su na osi 0, a ravnine tih krliZnica su okomite na toj osi. Te su kruznice medu sobom usporedne, zato se zovu usp01'ednici iIi paralele vrtezne plohe.

Svaka ravnina u kojoj je os 0 si­jece vrteznu plohu u krivuIji koja se zovemeridijan vrtezne plohe. Svi su meridijani medu sobom sukladni.

Onaj meridijan koji je usporedan s vertikalnom ravninom 1t2 zove se gIa1Jni meridijan. ,

Dio prostora koji je omeden vrte­znom plohom i jednim ili dvama pa­ralelnim krug'ovima zove se vrtezno Hi rotaciono tijelo.

Uspravni kruzni valjak, usprav­ni kruzni stozac i kugla takoder su vrtezna iIi rotaciona tijela.

E

SI. 199.

2. Projekcije vrtezne plohe. A. - Na s1. 200. zadane su projekcije g' i g" krivulje 9 kojoj je ravnina usporedna s 1t2, te projekcije 0' i 0" osi 0

te ravnine.

Kad se krivuIja 9 vrti oko osi 0, svaka njezina tacka A, B, C ... opi­suje po jedan usporednik. Tiocrti tih usporednika su koncentricne kru­znice sa zajednickim srediStem u tlocrtu 0' osi o. Nacrtitih usporednika su duzine koje su usporedne s osi x.

Tangente krivulje 9 koje su usporedne s osi 0 dodiruju je u tackama BiD. Usporednik u sto ga opisuje tacka B, a koji je najmanji usporednik vrtezne plohe zove se grlena kruznica, dok usporednik e sto ga opisuje tacka D, i koji je najveci usporednik vrtezne plohe zove se ek'vator. Tioert vrtezne plohe omeden je tlocrtom ekvatora i tioertom grlene kruznice.

Krivulja g" i njoj simetricna krivulja s obzirom na 0" daju zajedno nacrt g 1 a v n 0 g mer i d i jan a. Nacrt glavnog meridijana i nacrti krajnjih usporednika cine k 0 n t u run a crt a vrtezne plohe.

133

(

81. 200.

U tIocrtu se vidi onaj unutrasnji dio vrte­zne pIohe koji se naIazi izmedu najgornjeg usporednika i grlene kruznice, zatim onaj vanjski dio pIohe koji se naIazi izmedu uspo­rednika sto ga je opisaIa tacka C; i ekvatora. U nacrtuse vidi prednja poIovina vrtezne pIohe koja je ispred gIavnog meridijana.

B. - Na s1. 200. rijesenje i ovaj zadatak:

Zadan je tIocrtM' tacke M koja je na vrteznoj pIohi, treba konstruirati njezin na­crt M".

Oko 0' opise se preko M' tIocrt kl' po­moenog usporednika kl vrtezne pIohe koji ide tackom M. Pomocu tacke 1 u kojoj uspored­nik kl sijece gIavni meridijan 9 nade se nacrt k/' toga usporednika, a na njemu je nacrt M" tacke M. OrdinaIa iz l' sijece g" ne sarno u tacki 1" vee i u tacki 2". Tackom 2" ide nacrt k./' usporednika k2kojemu se tiocrt po- _ kIapa s tlocrtom k/ usporednika ki. Prema tome u M' nalazi se jos i tIocrt N' tacke N koja je na usporedniku ~. Nacrt N" tacke N je na nacrtu k2"usporednika k 2 •

Rijesite sami ovaj zadatak:

Zadan je nacrt T" tacke T koja je na vrteznoj pIohi; treba konstruirati njezin tIo­crt T'.

C. - Pro je k c i j em e rid i jan a. Na s1. 200. nacrtane su jos i projekcije m' i m" onog meridijana m te vrtezne pIohe cija ravnina cini s ravriinom 'lt2 kut od 450

.- Prva projekcija toga meridijana je na pravcu koji prolazi tackom 0', aCini s osi x kut od 45°. Njegova je. druga projek­cija m" konstrufrana na taj nacin da su u tlocrtu oznacene one tacke koje su na vee nacrtanim usporednicima, pa su nadeni njihovi nacrti.

3. Prstenasta ploha. A. - 0 p r s ten a s t 0 j pI 0 hi. Upotreba vrte­znih ploha u tehnickom svijetu je raznolika, a osobito one vrtezne plohe koja se zove prstenasta pIoha iIi torus iIi anuloid. Torus opisuje kruznica g. kad se vrti oka jednog pravca 0 svoje ravnine koji he prolazi sredistem te kruznice (s1. 201). Srediste M krtiZnice 9 opisuje kruznicu k kojoj je ravnina okomita na osi 0, a svaka. tacka krtiZnice 9 opisuje po jedan usporednik prstenaste pIohe. Na s1. 201. nacrtani su razliciti polozaji kruznice g, zatim

134

usporednik a sto ga opisuje tacka' A, usporednik b sto ga opisuje tacka B i kruznica k sto je opisuje srediste M krtiZnice g.

B. - Pro j e k c i j e p r­s ten a s t e p I 0 h e. Zadane su projekcije g' i g" kruznice izvodnice 9 kojoj je Tavnina us­poredna s ravninom 'lt2' zatim projekcije 0' i 0" osi 0 koja je

B

okomita na ravnini 11: 1, a nalazi 81. 201.

se u ravnini kruznice g; treba nacrtati prajekcije prstenaste pIohe koju opisuje kruznica 9 kad se vrti oka osi a (s1. 202).

Oznacimo projekcije A', An i C', C" krajnjih tacaka A i C onog pra­mjera krtiZnice 9 koji je okomit na 11:1> a zatim projekcije B', B" i D', D" krajnjih tacaka BiD onoga njezinog promjera koji je usporedan s 'lt1. Za vrtnje kruznice 9 oko osi 0 tackaA opisuje n a j go r n j ius P 0 r e d­n i k a, a tai5ka C n a j don j ius P 0 red n i k c te rotacione plohe, dok tacka B opisuje njezin najveei usporednik (e k vat 0 r)e, a tacka D njezin najmanji usporednik (g r 1 e n u k r u z n i c u) d. Kad se nacrtaju projekcije a', an, e', en, c', cn

, d', d" tih usporednika, i jos tome projek­cije g/ i gt one krdnice g1u ciji polozaj do de izvodnica 9 nakon vrtnje oko osi 0 za kut od 1800

, tad je tlocrt i nacrt te prstenaste plohe gotov. Na prstenastoj plohi razlikujemo njezin vanjski i unutarnji dio. Vanj­

ski dio prstenaste plohe opisuje lijeva polovina ABC izvodnice g, a unu­trasnji njezina desna polovina ADC.

U tlocrtu se vidi gornja poIovina vanjskog i unutrasnjeg dijela prste­naste pIohe, i to od ekvatora e preko najviseg usporednika a do grlene kruznice d. U nacrtu se vidi sarno prednja polovina vanjskog dijela prste­naste plohe, i to od lijeve polovine krtiZnice 9 do desne poIavine kru-znice g1'

C. - 0 d red i van j e pro j e k c i j a t a eke p r s ten a s t e plo h e. Na s1. 202. rijesena su jos i ova dva zadatka:

1. Zadani su tlocrti f)' == E' tacaka f) i E od kojih je jedna na gornjaj, a druga na donjoj polovini prstenaste plohe;odredite nacrte tih tacaka.

Ako tackom f) ide usporednik u, a tack om E usporednik u1, onda se tlocrti tih usporednikapoklapaju jer oba tiocrta u' i u/ moraju prolaziti tackom f)' == E'. Nacrtamo Ii zatim iIacrte u" i ui" tih usporednika, pomoeu nacrta 1" i 2" onih njihovih tacaka 1 i 2 koje su na izvodnici g, onda ee na nacrtima tih usporednika biti trazeni nacrti f)" i En tacaka DiE.

135

2. 2adana je neka tacka i,<meau nacrta desne polovine kruznice 9 i Hjeve polovine kruznice 91; treba odrediti tlocrte onih tacaka prstenaste plohe kojih nacrti padaju u tu tacku.

~' c" 0" AI! 3" " 5" FU Gil

E" H"~ J" I

/

eo I d" 'o~ MOl

\ \

f)1t ! / \ / , :/

"-/. e" ~

e" C~

Sl. 202.

Tom tackom mozemo povuCi naerte dvaju usporednika te plohe, i to jednog koji je na vanjskom, a drugog koji je na unutrasnjem dijelu te plohe.

Usporednik u2 s vanjskog dijela ima za naert ·duzinu u2" = 3"4", a usporednik U3 s unutrasnjeg dijela ima za naert duzinu u3" = 5"6". Ako zatim nacrtamo tlocrte u 2' i u 3' tih usporednika i povucemo ordinalu za­danom tackom, ta ee ordinala sjeei kruznieu u 2' u tackama F' i G', a kruz-

f36

nieu u3' u tackama H' i J'. Prema tome postoje na prstenastoj plohi cetiri tacke, i to dvije FiG na vanjskom dijelu, a dvije H i J na njezinom unu­trasnjem dijelu kojima se naerti F", Gil, H" i J" poklapaju u zadanoj tackL.

Vjezbe

1. Nacrtajte projekcije nekoga vrteznog tijela: a) i;:: tokarskog zanata, b) iz lon­carskog zimata.

2. Nacrtajte sve tri projekcije straznje polovine prstenaste plohe koja je odre­dena na s1. 202, a kojoj je odstranjena prednja polovina.

3. Nacrtajte projekcije prstenaste plohe, ako je njezina os okomita na 7C 2•

4. Nacrtajte sve tri projekcije lijeve gornje cetvrtine prstenaste plohe kojoj je os okomita na 7C 2 •

+260

I +500

Sf. 203. i 204.

o o I'l

5. Na s1. 203. nacrtan je u mjerilu 1 : 2 nacrt vrteznog tijela koje se sastoji od .dviju valjkastih ploca i od vrteznog tijela koje je ograniceno unutrasnjim dijelom prstenaste plohe. Nacrtajte projekcije toga vrteznog tijela u mjerilu 1: 1, pa kon­struirajte projekcije onoga njegovog meridijana cija ravnina Cini s ravninom 7C2

kut od 45°. 6. Nacrtajte u mjerilu 1 : 5 projekcije podnozja zeljeznog stupa koji je zadan

na s1. 204, pa konstruirajte projekcije onoga njegovog meridijana cija ravnina cini s ravninom 7C2 kut od 45°.

§ 23. STRANOCRT

1. 0 stranocrtu. NekLsu tehnicki predmeti tako gradeni da se nji­hova treea projekcija moze lakse n~lCrtati kad ravnina projekcija 11:3 nije okomita na obadvjema ravninama projekcija 11:1 i 11:2, vee j.e okomita sarno na

137

'itl ili sarno na 'it2.Takva ravnina projekcija 'it3 koja ne stoji sboka pred­meta, vee stoji sa strane, zove se stranocrtna ravnina, a normalna projek­cija predmeta natoj ravnini zove se strano crt toga predmeta. iIi njegova treca projekcija. Pomoeu stranocrta mogu se neki tehnicki predmeti lakse predociti. Isto tako ima teoretskih zadataka koji se mogu lakse rijesiti ako se ravninama projekcija 'itl i 'it2 doda jos i ravnina projekcija 'its koja je okomita samo na jednoj od njih, a k tome ima neki osobiti polozaj prema nekom odredbenom elementu zadatka.

Kad ravninama projekcija 'itl i 'it2. dodamojos i stranocrtnu ravninu 'its, pa pomoeu nje na jednostavniji naCin rijesimo nekiprakticni iIi teo­retski zadatak, onda kaZemo da smo taj zadatak rijesili pomocu stranocrta iIi transformacijom ravnina projekcija.

2. Stranocrt tacke: A. - S t ran 0 crt n a r a v n ina 'ita 0 k 0 mit a j E: sam 0 n a r a v n i n i 'itl . Na s1. 205. prikazane su ravnine projekcija 7'1 i 7t2, tackatA u prostoru, te njezin tiocrt A' i nacrt A". Ravninama 'itl i 7t2 dodana je jos i ravnina projekcija 'it3,·koja je okomita na 'it1, as 7t2 cini kut ~. Ona sijece ravninu 'itl u pravcu koji je oznacen s 1X3' Ako se iz tacke A po­stavi okomica na ravninu 7ts i odredi se njezino noziste A'" na 'ita, onda je. tacka A'" strano crt ili.treca projekcija tacke Ana ravnini 7ta koja je okomita samo na 'itl' Ravnina koju cine okomice AA' i AA'" postavljene iz tacke A na 7tl i na 7ts okomita je na osi lXS u kojoj se te dvije ravnine sijeku. Ako ta ravnina sijece os lXS u tacki K, onda su duzine A'K i A'''K okomite na toj osi. 1z pravokutnika AA'KA'" i AA' AxA" izlazi da je KA'" = A' A = = AxA", iii KA'" = AxA".

Udaljenost stranocrta A'" tack!! A od osf lXS jednaka je udaljenosti nacrta A" te tacke od osi x.

Ako sada stranocrtnu ravninu 'it3 preklopimo oko osi lXS na lijevu stranu na ravninu 7t l, onda tacka A'" iz ravnine 'lts opise u smjeru strelice

TI,

N

TI

81. 205. i 206.

138

cetvrtinu kruznice kojoj je tacka K srediste i padne na 7tl u. tacku A'" koja je s tackom A' na ordinali polozenoj iz A' okomito na os lXS' Tako smo dobili nove pridruzene projekcije A' i A'" tacke A, kao sto su prije bile pridruzEme projekcije A' i A" te tacke.

Na s1. 206. rijesen je ovaj zadatak:

Zadan je tlocrt A' i nacrt A" tacke A; treba nacrtati strano crt te tacke, ako je stranOC1·tna ravnina okomita na ravnini 'ltl' a s ravninom 7.2 cini kut od 60°.·

Iz tlocrta A' tacke A povuce se okomica na novu os lXS koja S osi x cini kut od 60°. Na toj okomici mora biti stranocrt A'" koji se dobije tako da bude KA'" = AxA" = z.

B. -8 t ran 0 crt n a r a v n ina 7ts 0 k om ita j e sam 0 n a r a v n i n i 'lto. N; s1. 207. nacrtane su ravnine projekcija 7tl i 7t2 , te tacka A sa svojim projekcijama A' i A": Pored toga dodana je ravnina 7t3 koja je okomita na ravnini 'lt2, as ravninom 7t1 cini kut rL. Pravac u kojemu se sijeku ravnine 'lt2 i 7t3 oznacen je s 2X3' Noziste okomice spustene iz tacke A na ravninu 'its je strano crt iii treca projekcija A'" tacke A na ravnini 'lta koja je okomita samo na 'lt2. Ravnina koju cine okomice AA" i AA'" posta­vljene iz tacke Ana 'lt2 i na 7ts okomita je na os 2X3 u kojoj se te dvije rav­nine sijeku. }\ko ta ravnina sijece os 2XS u tacki L, onda su duzine A"L i A"'L okomite na toj osi. 1z pravokutnika AA"LA'" i AA'AxA" izlazi da je LA'" = A."A = AxA', iii LA'" = AxA'.

TI, A"

........... ~

L-L A'

n,

81. 207. i 208.

Udaljenost stranocrta A'" tacke A od osi 2XS jednaka je udaljenosti tlocrta A' te tacke od osi x.

Ako sada siranocrtnu ravninu 'lts preklopimo oko osi 2XS na lijevu stranu na ravninu 7tt , onda tacka A'" iz ravnine 'lta opise u smjeru stre­lice cetvrtinu kruznice kojoj je tacka L srediste i padne na 'lt2 u tacku A'" koja je s tackom A" na onoj ordinali koja ide iz A" okomito na os 2xa'

139

Na s1. 208. rijesen je ovaj zadatak:

Zadan je tlocrt A' i nacrt A" tacke A; treba nacrtatistranocrt te tacke, ako je stranocrtna ravnina okomita na ravnini 11:2, a s ravninom 11:1 cini kut od 60°.

1z nacrta A" tacke A povuce se okomica na novu os 2xa koja s osi x

cini kut od 60°, pa se nacini LA'" = AxA' = y.

Na s1. 206, kao i na s1. 208, preklopljena stranocrtna ravnina ome­dena je pravokutnikorn kojernu je jedna stranica na osi 1xa, odnosno 2xa'

Ubuduce ispustat cerna to ornedivanje preklopljene stranocrtne ravnine jer je njezin preklop' potpuno odreden sarnorn osi lXa , odnosno 2XS'

C. - S t ran 0 crt n a r a v n in;;;:' 11:4 0 k 0 rn ita n a s t ran 0-

crt n 0 j r a v n i n i 11:3' Na s1. 209. prikazane su ravnine projekcija 11:1

i 11:2 , tacka A u prostoru, te njezin tlocrt A' i nacrt An. Zatirn je prikazana stranocrtna ravnina 11:a koja je okomita sarno na ravnini 11:1, i stranocrt Am tacke A na toj ravnini. Na kraju prikazana je jos istranocrtna ravnina 11:4

koja je okornita sarno na ravnini 11:a i ,nju sijece u osi aX4' NoziSte okornice spustene iz tacke A na ravninu 11:4 je strano crt AIV iIi cetvrta projekcija tacke A. Ravnina odredena okornicama AAIll i AAlV koje su postavljene iz tacke A na 'lt3 i na 'lt4 okornita je na osi aX4' pa su zbog toga duzine AIllJ i AlVJ okornite na toj osi. 1z pravokutnika AAIIIJA'v i AAmKA' izlazi da je JA'v = = AIlIA = KA" iIi JAIV = KA'. '

, . Udaljenost stranocrta AIV od osi aX4 jednaka je udaljenosti tlocrta A'

te tacke ad asi jXs'

C!: •••

t;. -""

,J

TI,

SI. 209. i 210.

140

An

'Jll N 1

X ,A.

,x,

i i ! i

-- ... ";A' tJ

Ako sada stranocrtnu ravninu 'lt4 preklopirno oko osi aX4 prerna gore na ravninu 11:3, onda tacka AIV iz ravnine 'lt4 opise u srnjeru strelice cetvr­tinu kruZnice kojoj je srediSte tacka J i padne na 'lt3 u tacku AIV koja je s taCkorn AlIi na onoj ordinali koja ide iz AIIl okornito na os 3X4' Na kraju ravninu 'lts skupa s tac~ama AltI i A" preklopimo ako osi lX3 na lijevu stranu na ravninu 'ltv kao na s1. 205.

Na s1. 210. rijesen je ovaj zadatak:

Zadan je tlocrt A' i nacrt A" tacke A, te osi jX3 i aX4; treba nacrtati st1"anocrte Am i AlV te tacke.

Najprije se nacrta stranocrt AIII te tacke kao na s1. 206, a zatim se iz tacke A III postavi okomica na os aX4' pa se na nj oj nade tacka An', tako da bude JA'v = KA' =:0 u.

3. Stranocrt kocke. Na s1. 211. zadane su projekcije kocke koja je u frontalnorn polozaju, a kojoj je donja osnovka ABCD i gornja AlBlClDl . Postavljena je zatim os jXS u kojoj se sijeku ravnina 'it l i stranocrtna rav­nina 'lta koja je okomita sarno na 'ltl. Konstrukcija stranocrta te kocke izvede se na nacin prikazan u c1. 2. A, npr. A'AlII .ljXS' KAIII = AXA" itd. Taj stranocrt bio bi jednak nacrtu kocke kad ona ne bi bila u frontalnom

x

,----.\-------

rf----t----·--..... - .. --_ .. -

A~'

· .. ----1-------OW

---- .. J -----

,'4

B' Sl. 211.

141

polozaju. Kad se takocka promatra u smjeru normalnog projiciranja ns. ravninu 1ts ~ prva projekcija toga smjera projiciranja: oznacena je na slici sa Sa' - onda se u tome stranocrtu vide bridovi AAi, BBl i CCl , a ne vidi se brid DD1 . Zelimo Ii dobiti zomiju sliku te kocke, upotrijebit cemo jos i stranocrtnu ravninu 1t4 koja je okomita na stranocrtnoj ravnini 1t3 i sijece je u osi aX4' 1z trece projekcije svakoga vrha kocke postavit cemo okomicu na os 3X4 i nanijeti od 3X4 udaljenost prve projekcije toga vrhaod osi lXS,

npr. JA'V = A'K itd. (c1. 2. C). Promatramo li tu kocku u smjeril normal­nog projiciranja na ravninu 'it4 - treca projekcija toga smjera projici­ranja oznacena je na slici sa S4III

- vidimo njezinu donju osnovku ABCD i bridove BBl> CCl i DD1 , a ne vidimo njezinu gornju osnovku A l Bl Cl D 1

i brid AA1• Cetvrta projekcija te kocke je njezina zoma slika i daje utisak kao da kocku gledamo odozdo s desne strane.

4. Stranocrt prizmaticnog tijela. Vidjeli smo u c1. 3. da smo morali upotrijebiti dvije stranocrtne ravnine da bismo dobili ~orniju slilw kocke koja je zadana u frontalnom po1ozaju, a da iz t10crta i nacrta kocke koja nije u frontalnom po1ozaju mozemo i sa sarno jednom stranocrtnom rav­ninom dobiti njezinu zorniju sliku.

Tako su na s1. 212. nacrtani u mjerilu 1 : 10 tIocrt i nacrt prizmatic­nog tije1a koje nije u frontalnom polozaju, pa je konstruirana njegova zornija slika pomocu sarno jedne stranocrtne ravnine. Stranocrtna rav­nina 'ita postavljena je okomito na ravnini 'it l i cini s ravninom 'it2 kut od 45°.

,x,

81. 212.

l42 )

, I , , , I I I

" I '1.,

,',

Konstrukcija stranocrta iz­vedena je ovako:

Najprije su vrhovi prednje osnovke oznaceni u tlocrtu i na­crtu brojevimaod 1 do 7, pa je iz t10crta i nacrta svakoga vrha naden njegov stranocrt. Tako je npr. odredena tack a 1'" na ordi­nali iz l' okomito na os lxa, a

pomocu II'" = lx1". Kad se stranocrti svih tih vrhova redom spoje, dobije se stranocrt pred­nje osnovke. Od stranocrta stra­znje osnovke dovoljno je odre­diti stranocrt jednoga njezinog vrha. Odreden je stranocrt 8'" tacke 8 koja s tackom 1 omeauje pobocni brid 1-8, ciji je stra-

nocrt 1"'8"'. BuduCi da su svi pobocni bridovi toga tijela jednaki i meau sobom usporedni, moraju i njihovi stranocrti biti jednaki i me au sobom usporedni. Kad se nacrtaju stranocrti svih sedam pobocnih bridova i spoje redom njihove krajnje tacke koje su na straznjoj osnovci, dobije se stra­nocrt straznje osnovke.

Pri tako izabranom polozaju tijela u prostoru i polozaju stranocrtne ravnine stranocrt tijela izaziva prostornu predodzbu kao da tijelo gledamo odozgo s lijeve strane.

5. Stranocrt stosca. Na s1. 213. zadane su projekcije rotacionog stosca cija je osnovka' usporedna s ravninom 1t1 ; treba konstruirati stranocrt toga stosca na ravnini 1ta koja je okomita na ravnini ')1;2, a stoji jedanput s desne, a drugi put s lijeve strane stosca.

)!:!.-----A"

A''_ __ -

D' C'

A'

81. 213.

Osi 2xa uzete su meau sobom usporedne, a to znaci da su i ravnine TIa

meau sobom usporedne. Konstrukcija stranocrta pojedinih tacaka toga stosca izvede se na nacin prikazan u (':1. 2. B, npr. V"V", ~ 2XS, KV'" = V x V' i LV'" = Vx V'. Da bi se dobila velika i mala os oneelipse koja je strano crt

143

osnovne kruznice, oznace se projekcije onih dvaju promjera kruznice AB i CD od kojih je promjer AB usporedan s 11:3, a promjer CD je okomit na promjer AB. Stranocrt promjera AB je velika os A"'B"', a stranocrt pro­mjera CD je mala os C"'D'" te elipse. Tangente koje se povuku iz V'" na tu elipsu zatvaraju stra,nocrt toga stosca.

Buduci da su ravnine 11:3 menu sobom usporedne, konture tih strano­'crta su sukladne, sarno u stranocrtu stosca na ravnini1l:3 koja je s njegove desne strane osnovka je vidljiva, dok u stranocrtu na ravnini 11:3 koja je s njegove lijeve strane ona je nevidljiva.

Vjezbe

1. Nacrtajte stranocrt piramide iz s1. 157, ako je stranocrtna ravnina 11:. okomita na ravnini 1t2, a os ,xs je postavljena usporedo s A"V", ito:

a) s lijeve strane nactta piramide, . b) s desne strane nacrtapiramide.

2. Nacrtajte stranocrt krnje piramide iz s1. 161, ako je stranocrtna ravnina 11:.3

okomita na ravnini 11:2, a os ,x. je postavljena usporedo s C"V", ito: a) s lijeve strane nacrta krnje piramide, b) s desne strane nacrta krnje piramide.

3. Nacrtajte u mjerilu 1 : 1 tlocrt i nacrt predmeta koji je zadan na slid: a) 145, b) 146, c) 147, ako je njegova osnovka U11:" a njegove duie pobocke cine s 11:2 kut od ::'0'. Zatim konstruirajte njegov stranocrt, ako je ravnina 11:3 okomita na ravnini '11: 2,

a os 2X. cini s osi x kut od 60' i nalazi se s lijeve strane nacrta predmeta.

4. Nacrtajte u mjerilu 1 : 1 tlocrt i nacrt predmeta koji je zadan na slici: a) 145, b) 146, c) 147, ako je njegov polozaj u prostoru jednak polozaju predmeta na s1. 212. Postavite zatirn s lijeve strane njegovog tlocrta os ,x. kao na s1. 212, pa konstruirajte njegov strano crt na ravnini 1:3 koja je okomita na 11:,. .

5. Nacrtajte u mjerilu 1 : 15 tlocrt i nacrt stecka koji je zadan na s1. 164, ako njegova dva osnovna brida cine s osi x kut od 30'. Zatim konstruirajt~ njegov stra­nocrt, ako je 11:. okomita na 11:". a os ,x. nalazi se s lijeve strane nacrta predmeta kao na s1. 213~

6. Nacrtajte u mjerilu 1 : 15 tlocrt i nacrt ogradnog stupa koji je zadan na s1. 167, ako njegova dva osnovna brida cine s osi x kut od 30'. Postavite zatim s lijeve strane njegova nacrta os 2X3 kao na s1. 213,pa konstruirajte njegov stranoert na rav­nini 11:, koja je okomita na 11:,.

144

V. KOSO PROJICIRANJE

§ 24. KOSA PROJEKCIJA TACKE, DUZINE I RA VNOG LIKA

1. Pojam kosog projiciranja. Kosuprojekciju nekoga predmeta cesto smo vec upotrebljavali, bilo da pomocu nje steknemo jasnu predodzbu toga predmeta, biloda lakse uocimo ili protumaclmo neke prostorne od­nose. Medutim, sada cemo poblize upoznati taj nacinprojiciranja koji se u tehnickorn svijetu cesto upotrebljava.

Ako iz tacke T (sf. 214) koja je u prostoru spustimo okomicu na ver­tikalnu ravninu 11:2, onda dobijemo, kako nam je to poznato,'u nozistu T" te okomice nor mal n u pro j eke i j u tacke T na 11:2, Povucemo Ii

tackom T zraku s koso prema ravnini 11:2 , i odredimo li tacku T u kojoj ta

zraka probada ravninu 11:2, onda se tacka T (citaj: T potez) zove kosa pro­jekcija tacke T na ravninu 11:2, Zraka s je zraka projiciranja, a ravnina 'lt2

mvnina projekcija iIi ravnina slike. Pravac s" = T"T je normalna projekcija zrake s na 11:2, U kosoj pro­

jekciji T tacke T sijeku se zraka s koja ide tackom T i njezina normalna projekcija s" na 11:2,

Dosad smo kod normalnog nacina projiciranja upotrebljavali dvije ravnine projekcija, a sada kod kosog nacina projiciranja upotrebljavat cemo sarno jednu ravninu projekcija iIi slike, a ta ce biti u v e r t i k a I­nom polozaju.

Ako zraku projiciranja s smatramo suncanom zrakom, onda je kosa projekcija tacke T sjena te tacke na 11:2.

Kao sto smo kosu projekciju tacke T oznacili oznakom T, tj. slovom T iznad koga smo stavili mali potez, tako cemo i kose projekcije tacaka B, C, D, ... oznacavati s H, C, D, , .. (citaj: B potez, C potez itd.).

2. Osnovna svojstva kosog projiciranja. A. - Na s1. 214. riacrtana je jos i duzina AB _k~ja je u prostoru, a usporedna je s 11:2, Duzina A"l~."Je nacrt, a duzina AB je kosa projekcija duzine AB. 1z paralelograma AABB zakljucujemo da je duZina AB jednaka duzini AB i da su one menu sobom usporedne.

10 Nacrtna geometrlja 1 145

a) Kosa projekcija duzine koja je usporedna s ravninom slike jednak,a je toj duzini i s njom je usporedna.

B. - Na s1. 214. nacrtan je i trokut CDE koji je u prostoru, a uspo­redan je s ~2. Trok~~ CDi je njegova kos~Er_ojekcija. Buduci da je CD =If =If CD, DE =If DE i EC =If EC, to je trokut CDE suk1ada r o i usporedan s tro­kutom CDE.

T

D

E

n.

81. 214. 81.215.

b) Kosa projekcija ravnog Hka koji je usporedan 8 ravninom 8Like sukLadna je i .u8poredna 8 tim likom.

C. - Na s1. 215. nacrtana je ravnina slike ~2 i dvije usporedne duzine AB = 4 n i CD = 3 n. Duzina AB = 4 n je kosa projekcija dliZine AB, a duzina CD = 3 n je kosa projekcija dliZine CD._12uzina AB je usporedna s duzinom CD jer je ravnina projiciranja ABBA duzine AB usporedna

146

s ravninom projiciranja CDDC duzine CD, pa one sijeku ravninu slike ~2 u usporednim pravcima.

c) Duzine koje su meCiu sobom usporedne imaju u8poredne i u istom omjeru produzene, odnosno prikracene kose projekcije.

1z toga pravila izlazi:

d) Usporedne i jednake duzine imaju usporedne i jednake kose pro­jekcije.

D. - Na s1. 215. nacrtana je i duzina EF koja je okomita na ~2' a njezina krajnja tacka E je u ~2' Kos~opr~ekcga Ii: tacke E je u istoj tacki. Nacrtane su zatim kose projekcije F 1, F2 i F3 druge krajnje tacke F te duzine pri razlicitim zrakama projidranja Sl, 8 2 i S3 koje pripadaju istoj ravnini, a cine s ravnino~ .:;like ~~t ~, ~~. i ~ (rz1 > 45°, fX2 < 45°). Kosa projekcija dliZine EF je EFl ili EF2 ili EFa. Ukoliko je kut sto ga zraka projiciranja cirri s ravninom slike manji, utoliko je kosa proj~k~ija du­zine EF veca. Kad je prikloni kut zrake projiciranja 45°, tad je EF2 = EF, tj. kosa projekcija dliZine EF jednaka je toj duzini.

e) Kosa pl'ojekeija duzine koja je okomita na ravnini 8Hke moze biti manja iIi jednaka Hi veca od te duzine, sto ovisi 0 tome da Ii je prikLoni kut zrake prajiciranja veci iIi jednak Hi manji ad 45°.

3. Kosa projekcija kocke. Na sl. 216. nacrtani su tlocrt i nacrt tacke T koja je od ~1' kao i od ~2 udaljena 2 cm. Pored toga nacrtane su projek­cije s' i s" zrake projiciranja s koja ide t~kom T, a nije okomita na ~1 niti na ~2' Odredimo li drugo probodiste T te zrake (§ 9, Cl. 4. B), dobit cemo k 0 s u pr 0 j e k c i jut a c k e T n a ~2 p r i z r a c i pro j i­c ira n j a s.

Na s1. 216. nacrtani su jos tlocrt i nacrt kocke koja je ufrontalnom polozaju, a kojoj je brid dug 1,5 cm. Ako kroz vrhove A, B, C i E te kocke povucemo zrake projiciranja koje su usporedne sa zrakom 8, pa odredimo druga probodista tih zraka, dobit cemo k 0 s e pro j e k c i j e A, B, C i if t i h v rho van a ~2 p r i z r a c i pro j i c ira n j a s. Spojimo Ii sada tacku B s tackama ii, Ci Ii, dobit cemo kose projekcije bridova kocke BA, Be, i BE. Po pravilu a iz <:1. 2. mOra biti. BA =If BA i Be =If BC. Kose projekdje ostalih bridova mogli bismo naci na isti nacin trazenjem dru­gih probodista onih zraka projiciranja koje bismo po10zili krajnjim tac­kama tih bridova, ali ih mozemo konstruirati i pomocu pravila d iz c1. 2, po kojemu usporedni i jednaki bridovi kocke moraju imati usporedne i jednake kose projekcije.

Prednji kvadrat ABeD te kocke, kao i njezin straznji kvadrat OEFG; projiciraju se u kosoj projekciji kao sukladni kvadrati (po pravilu b iz N. 2);

147

D" C" G"'..c---;"'F"

T" _ s0( 5 T~ i : !

x

81. 216.

Bridovi OA, EB, Fe i GD su meau sobom usporedni i okomiti na rav­nini slike 1C2• Kose projekcije GA, EB, Fe i aD tih bridova su po pravilu d iz c1. 2. usporedne i jednake dliZine koje s kosom projekcijom DE !J.ori­zontalnog brida OE koji je usporedan s 1C2 cine kut (1.. Po pravilu c iz <::1. 2. kose projekcije tih bridova mogu biti manje, jednake iIi vece od bridova u prostoru. Obicno se uzima da su kose projekcije onih bridova koji su okomiti na ravnini slike 1/2 iIi 2/3 ili 3/4 njihove prave veliCine, iIi da su jednake pravim velicinama tih bridova. Ti se razlomci oznacuju slovom n i zovu Se prikrata za kosu projekciju. Najcesce se uzima da je (1. = 45° ili

1 2 30·, a da je n = 2- iIi 3' ili l.

1z vrha 0 izlaze u prostoru tri brida koeke OE, OA, i OG. Produ­zimo Ii prvi brid preko E, drugi preko A, a treci preko G, dobijemo tri zrake x, y i z. Te zrake idu u smjeru d u I j in e, 13 i r i n e i vis i n e kocke te su meau sobom okomite. One cine pravokutni koordinatni sustav u prostoru 0 (x, y, z) u kojemu je kocka smjestena tako da se njezina tri

148

brida poklapaju s tri koordinatne osi x, y i z. Kose projekcije tih zraka su zrake X, y i z koje se zovu osi kose projekcije, a njihova se zajednicka pocetna tacka 0 zove ishodiste.

Iz svega izvodimo ovo pravilo za crtanje kose projekcije na 1C2 pred­meta koji je u fro n tal nom polo z a j u:

Svi bridovi Eredmeta k!?ji su usporedni s osi x, odnosno z, crtaju se usporedno s osi x, odnosno z, i to u pravoj ve7icini, a oni bridovi koji su usporedni s osi y, crtaju se u smjeru koji s osi x Cini kut od 30° Hi 45°, i to u polovini prave veliCine Hi u dvije treCine prave velicine Hi u pravoj velicini.

z

(9) I ® I I I~

'0 X X ;J(t':;;,LO---- 6 y

Y

z (£) '-

'- / /

/ ---I @ ... 'i Y

L_

6 5 81. 217.

4. RazliCiti pogledi na predmet. Za svaki predmet mogu se nacrtati razlicite kose projekcije, kao sto je to uraaeno za k 0 c k u na s1. 217,

I kojoj je brid dug 1,5 em, a za (1. = 30° i n = 2' Za slilm a kazemo da je

pogled na koeku 0 d 0 z go z des n a, jer su na njoj vidljive gornja osnovka te prednja i desna pobocka, a za sliku b kazemo da je pogled na kocku 0 d 0 z g 0 s 1 i j e v a, jer su na njoj vidljive gornja osnovka te prednja i lijeva pobocka. Slike c i d su pogled 0 d 0 z d 0, i to c je z d e­s n a, ads I i j eva. Yabrojte vidljive plohe na tim slikama. Na svim~ tim slikama ishodiste 0 nalazi se u lijevom straznjem vrhu osnovke, os x

- 1 je usmjerena desno, a z gore, dok je prikrata n =2' Jedino sto se na tim

slikama razlikuje je usmjerenje osi y za (1. = 30°. Uocite te razlike i opisite

usmjerenje osi y za pojedini slucaj,

, 149

5. Konstrukcija kose projekcije tavnog lika pomo!:u koordinata njego. vih vrhova. A. - Nacrtajte kosu projekciju tacke A (2; 3; 3,5). U pravokut­nom koordinatnom sustavu 0 (x, y, z) imamo tri koordinatne osi x, y i z koje su medu sohom okomite i tri koordinatne ravnine (x, y), (x, z) i (y, z) koje su takoder medu sobom okomite (§ 7, c1. 7). Ako uzmemo da je ravnina 'Itt = (x, y), ravnina 'lt2 = (x, z), a ravnina 'Ita = (y, z), onda su na s1. 218. nacrtane projekcije tih koordinatnih osi x, y i z, te projekcije tacke A (OAx = 2 em, AxA' = 3 em i AxA" = 3,5 em). Da bismo mogli naertati na s1. 219. kosu projekciju toga pravokutnog koordinatnog sustava, kao i kosu projekciju tacke A u njemu, moraju biti zadani: kut a sto ga kosa projekcija osi y cini s kosom projekcijom' osi x, zatim prikrata n za tu kosu projekeiju i na kraju pogled koji zelimo dobiti na taj koordinatni

. 1 sustav tom kosom projekcijom. Neka bud~ a = 45°, n =2' a pogled 0 d 0-

z g 0 \ Z des n a, tj. slucaj ana s1. 217. Ubuduce uvijek -cemo ertiiti pogled odozgo zdesna, ukoliko izricito ne istaknemo da treba naertati neki drugi pogled.

z>z ..

! y=y'

Y !

!

1

t

AU

iA.

r i , r

I +

x=xkx" 0,

A l' t i

81. 218. i 219.

A,

Ako uzmemo da nam je koordinatna ravnina 'lt2 = (x, z) ravnina slike, onda se kose projekeije osi x i z (s1. 219) poklapaju stirn osima, a kosa projekeija y o~ y_mora s produzenjem osi x zatvarati kut a = ~". Jedi­nice na osima x i y nanose se u pravoj velicini, a jedinice na osi y nanose . 1 se u polovini prave velicine, jer je n = 2' Prema tome mora biti: OAx =

150

-- --- 1 -- - --= 2 em, AxA' II y, AxA' = 3 em. 2 = 1,5 em, A'A II z i A'A = 3 em. Tacka

A' je k 0 sap r 0 j e k c i j a t 1 0 crt a tacke A na ravnini 'lt1 = (x, y), a tacka A je k 0 sap r 0 j eke i j a tacke A. Na s1. 219. rijesen je jos i ovaj zadatak:

B. - Nacrtajte kosu projekciju trokuta kojemu su vrhovi B (3; 1; 1), C (5; 4;· 3,5) i D (6; 2; 1,5).

Ako pretpostavimo da se trokut BCD nalazi u istompravokutnom koordinatnom sustavu u kojemu je bila i tacka A., onda se konstrukcija kosih projekcija vrh9va toga trokuta izvodi jednako kao sto je konstru­irana kosa projekeija tacke A. Opisite tu konstrukciju za svaki vrh trokuta.

Trokut B'C'D' je k 0 sap r 0 j e k ci j a t 1 0 crt a trokuta na rav­nini 'Itt = (x, y), atrokut BCD je trazena k 0 sap r 0 j eke i j a trokuta BCD. Promatrajuci s1. 219, dolazimo do ovog zakljucka:

Kosa projekcija nekoga trokuta, odnosno visekuta koji je u prostoru naae se tako da se konstruira kosa projekcija njegovog'tLocrta, a zati!!1 se u svakom vrhu te kose projekcije tlocrta uzdigne usporednica s osi z, pa se na nju nanese apLikata toga vrha. Tako su dobivene tacke kose projek­cije vrhova toga trokuta; odnosno visekuta,

To je pravilo veoma vazno jer se pomocu njega moze - kako cemo to kasnije vidjeti - lako konstruirati kosa projekcija svakoga predmeta kad je zadan njegov tloert i naert.

6. Kosa projekcija ravnog lika koji je u jednoj koordinatnoj ravnini. A. - Nacrtajte kosu projekciju istostranicnog trokuta koji je u rav­nini 'lt1 = (x, y), ako su dva njegova vrha A (1; 1; 0) i C (3; 1; 0), a a = 45"

1 i n=2'

Na s1. 220. naertani su tloert i naert toga trokuta, ito. tako da su po­moeu zadanih koordinata nadene projekcije straniee AC, a zatim su kon­strukeijom (A'B' = C'B' = A'C') nadene projekcije B' i B" treceg vrha B. Zatim je tackom B' pOVllcena usporedniea s osi y i oznaceno je njezino sjeciSte D sa stranieom A'B', Ta ce nam slika posluziti pri konstrukciji kose projekcije trokuta ABC na s1. 221.

Naertajmo osi kose projekcije x, y i z kao na s1. 219, pa konstrui­rajmo kosu projekciju AC stranice AC pomocu koordinata tacaka -!. i C. Da bismo nasH kosu projekciju treceg vrha. B, moramo polovistem D du-

~- . - -- 1 zine AC povuCi usporednicu s osi y i naciniti DB = 2 DB', jer je visina DB

. 1 toga trokuta usporedna s osi y, ~ n = 2'

151

z

o .• '

Sl. 220. i 221.

B. - Treba naertati kosu p1"ojekciju istostranienog trokuta EFG koji je u ravnini "lt3 = (y, z), ako su dva njegova vrha E (0, 3, 2) i F (0, 1, 2'),

1 ~

a ex. = 45" i n =2(sl. 221).

Kosu projekciju EF strairiee EF nacrtat cemo pomocu koordinata ta­~aka E iF. Trokut EFG sukladan je s trokutom ABC iz gornjeg zadatka, Jer je EF = AC = 2 em, pa ce i njihove visine biti jednake. Kako je visina trokuta EFG nad stranieom EF usporedna s osi z, dobit cemo kosu pro­jekciju treceg vrha G tako_~~ polovistem H duzine EF povucemo uspo­rednieu s osi Z i nacinimo HG = DB'.

C. - Nacrtajte kosu projekciju pravilnog sesterokuta 1JKLMN koji je u' ravnini "lt1 = (x, y), ako su dva njegova vrha 1(4, 3, 0) i J (6, 3, 0),

450 • I

a a = t n = 2 (s1. 221).

Ako na~r:!am~ !~osu proj ekciju Ij stranice 1J toga sesterokuta, opazit cemo da je IJ =If AC. Zadani sesterokut prema tome mozemo rastaviti na sest jednakih istostranicnih trokuta koji su sukladni s trokutom ABC. Povuc~~o Ii zato polovistem 1 duzine 1i usporednicu s osi y i nacinimo 1S = DB, dobit cemo kosu projekciju S sredista S one kruznice koja se oko zadimog sesterokuta moze opisati. Pomocu tacke S lako naaemo kose pr0ekci~~stal!~ vrhova sesterokuta: SN = SK = 2 cm, a NKII:;' sf = = SI, a SM = SJ.

Na s1. 221. rijesen je jos i ovaj zadatak:

152

D. - Treba naertati kose projekcije kvadrata PRTri i kruzniee k koji su u ravnini "lt2 = (X, Z), ako su dva vrha kvadrata P (3, 0, 1), i R (5, D, 1), a kruzriiea k ima srediste S (1,5; 0; 2) i polumjer r = 1 em, te je

1 IX = 45° i n =2 (s1. 221).

Buduci da su kvadrat i kruzniea u ravnini "lt2' dakle u ravnini slike, to se njihove kose projekcije poklapaju s tim likovima, pa ih konstru­iramo pomocu zadanih koordinata vrhova P i R, odnosno sredista S i polu­mjera r u njihovoj pravoj velicini .

7. Kosa projekcija kruznice koja je u ravnini "lt 1• Naertajte kosu pro­, jekeiju kruzniee 7wja je u ravnini "lt 1 = (x, y), a~o je njezino srediste S (3;

2,5; 0), a polumjer r = 1,5 em, te je a = 45° i n = 1.

Pomocu sredista S i radijusa r nacrtajmo na s1. 222. posebno tlocrt i nacrt te kruznice. Istaknimo zatim promjer AB te kruznice koji je uspo­redan s osi x i promjer CD koji je usporedan s osi y. Ako u tackama A, B, C i D postavimo tangente na krtiZnicu, dobit cemo dodirni kvadrat 1-2-3-4. Dijagonale toga kvadra:ta sijeku krtiZnicu u tackama E, F, G i H. Tangente kruznice u tim tackama zatvaraju drugi dodirni kvadrat 5-6-7-8 jer su dijagonale EF i GH meau sobom okomite. Tako smo na kruznici istaknuli 8 tacaka i 8 njezinih tangenata.

Ako sada nacrtamo kosu projekciju tih dvaju kvadrata, dobit cem~ 8 tacaka i 8 tangenata kose projekcije te kruznice, pa se ona pomocu njih moze nacrtati prostom rukom; samo veee elipse trebat ce konstruirati.

Nacrtajmo najprije osi kose p:mjekcije X, y i z i kosu projekciju S sredista kruznice S za a = 45° i n = 1 (s1. 223). Zatim povucimo tackom S

y

Sf. 222. i 223.

153

usp...?~edni~~ s osi x i y i oznaCimo na njima tacke A, 13, C i 15 (SA = SB = = SC = SD = 1,~ ~-'-- ier je sada n = 1). Pomoeu tih tacaka naertajmo kosu projekciju 1 2 3 4 prv~a --'?odirnog kvadrata i povueimo njegove dijagonale. Zatim na praveu (A, B) oznacimo tacke 5 i 7 (85 = S'5 87 = = S'7), a n~~~~ (C, D) tacke "6 i "8 (S 6 = S'6, S 8 = S'8). Strani~e kose projekcije 5 6 7 8 drugoga d~d~n~g kvadrata sijeku dijagonale prvoga dodirnog kvadrata u tackama E, F; H i G. Sada se moze naertati kosa pro­jekcija zadane kruzniee, koja je eli p s a.

Kad je (L = 45° i n = _lc._..oE~ je promjer EF okomit na promjeru GH, jer su dijag£l}ale romba 1 23 4 menu sobom okomite. Zbog toga je GH velika os, a EF mala os te elipse, pa se ona moze konstruirati pomoeu kru­zniea zakrivljenosti njezinih tjemena (§ 12, c1. 3. C). To ne vrijedi ako (L

nije 45° i n nije l. Pri ertanju kose projekcije krliZnice na gore opisani naCin ne moramo

ertati s1. 222. ako uocimo da je na kruznici SA = SB = SC = SD = r, a S 5 = S 6 = S 7 = S 8 = 1,414' r (iz pravokutnog istokracnog trokuta SE 5 kojemu su katete SE = E 5 = r izlazi da je njegova hipotenuza S 5 = = r' V2 = r' 1,414). Kose projekcije tih dliZina mogu se dakle ertati i bez s1. 222.

8. Konstrukcija kose projekcije kruznice pomocu para konjugiranih pro­mjera. A. - Promjeri A'B' i C'D' kruzniee na s1. 222. koji su menu sobom

If okomitiimaju to svojstvo da su tangente K krliZnice u krajnjim tackama jednoga

promjera usporedne s drugim promje­rom. Ta su dva promjera zdruzeni iIi konjugirani promjeri kruzniee (§ 12, Cl. 3. F). Isto taka su promjeri EF i GH konjugirani promjeri kruznice. Svaka dva promjera krliZniee koji su menu so­born okomiti cine par konjugiranih pro­mjera krliZniee, a tangente kruzniee u

p njihovim krajnjim tackama cine dodirni x kvadrat krliZniee.

--J>-=.....,----'-'-

SI. 224.

154

BuduCi da se usporedni pravci u ko-soj projekeiji projiciraju kao usporedni pravci, to se dodirni kvadrat projieira' kao dodirni piralelogram (s1. 223), a svaki par konjugiranih promjera kru­zniee projicira se kao par konjugiranih promjera elipse.

Tako na s1. 223. promjeri ,AB i CD cine jedan par, a EF i CH drucri par konjugiranih promjera elipse. b

B. - Naertajte za (L = 45° i n =; kosu projekeiju kruzniee'koja je

'u ravnini 7':3 = (y, z), ako je njezino srediste S (0; 3; 3), a polumjer r = 2 em (s1. 224).

Naertajmo osi kose projekcije i kosu projekciju S sredista S (OS' = 2 -- " = 3'3 = 2 em, as'S = 3 em). Kosa projekcija promjera MN koji je uspo-

redan s osi z jednaka je promjeru krliZniee dakle je MN = 2 r == 4 em, a kosa projekcija promjera PR koji je usporedan s osi y bit ee PR = 2 r X

2 2 8 -- --x 3" = 4 x 3" = 3= 2,66 em iIi SF' = SR = 1,33 em. Promjeri MN i PR

su konjugirani promjeri krliZniee, a njihove kose projekcije MN i PR su konjugirani promjeri o!!:e elipse koja je kosa projekcija te kruznice. Po­moeu promjera MNi PR konstruiramo zatim dodirni paralelogram GHKL, pa izvedemo konstrukciju elipse na nacin koji je objasnjen u § 12, c1. 3. G.

Na taj nacin moze se naertati i kosa projekcija svake kruzniee koja je u ravnini 7':1 = (x, y). Naerta se par konjugiranih promjera liB i CD trazene elipse (s1. 223), pa- se ona pomoeu njih konstruira.

Kad se odredi kosa projekcija jednog para konjugiranih promjera neke krliZniee, onda se kosa projekeija te krliZniee moze konstruirati i tako da se nadu velika i mala os elipse (s1. 109), a onda se ta elipsa kon­struira pomoeu kruzniea zakrivljenosti njezinih tjemena (s1. 104).

C. - Dosad smo velicinu kose projekcije neke dliZine koja je uspo­redna s osi y izraeunavali pomocu velicine te duzine i prikrate n, ali ona se moze odrediti konstruktivnim postupkom. Tako velicine dliZina SP i SR (s1. 224) koje su kose projekcije onih polumjera krliZnice koji su uspo­redni ~ osi y mozemo odrediti ovako: Tackom 0 naertamo os y okomito na os x i na njoj oznacimo t~ku A tako da bude OA = 3 i, gdje je i koja god velicina, a zatim na osi y oznacimo tacku A tako da bude DA = 2 i,

2 - - -jer je prikrata n=3"' Kad spojimo tacke A i A, dobijemo trokut OAA

-- 2-u kojem je stranica OA = 3 OA, Zatim oznacimo na osi y tacku B tako

da bude OB = r = 2 em i nacrtamo BE II AX. Buduei da je trokut OBB

sliean trokutu OAA, to je njegova straniea DB = ~ OB, dakle je DB = ~ r, -- --

pa duzine SP i SR moraju biti jednake duzini DB.

155

U tom zadatku bila je prikrata n =-}, a kad bi ona bila npr. n = ! ' onda bismo morali naciniti OA = 4 i, a aX = 3 i, jer bi tada bila straniea -- 3 - - -OA =4 OA, pa bismo dobili trokut OAA za taj slucaj. Trokut OAA zove

se odredbeni trokut za kosu projekciju.

Vjezbe

1. Nacrtajte za ex, = 45° i n = + kosu projekciju duzine AB, ako je A (2; 3; 2)

i B (5; 4; 4).

2. Nacrtajte za ex, = 45° i n =~ kosu projekciju trokuta kojemu su vrhovi 3

A (2; 3; 3), B (5; 4,5; 4) i C (3,5; 1,5; 5).

3. Nacrtajte za ex, = 45° i n = ~ kosu projekciju paralelograma ABCD,ako je 2

A (3; 6; 4), B (6; 2; 6) i C (5; 8; 4).

4. Nacrtajte u mjerilu 1 : 10 za a = 45~ i n = ~ kosu projekeiju horizontamog 3

prereza he ton s k 0 g stu p a koji je zadan na s1. 225. u mjerilu 1 : 15, ako je taj prerez u ravnini 'It, = (x, y).

::;,' .•. ",/.< .. );;; ~

Jii}~~'f'l~{~f-,: i /10/' 30 )10/

M 1:15

81. 225. i 226.

160

~", 1:40

40 /20 I

o ...

5. Nacrtajte u mjerilu 1 : 20 za ex, = 45° i n = + kCisu projekeiju jednog dijela

bet 0 n s k.o g pI 0 C n i k a koji je zadan na s1. 226. u mjerilu 1 : 20, ako se on nalazi u ravnini 'It, = (x, y).

6. Nacrtajte za a =45° i n = f kosu projekciju kruzniee (T =;3 em) koja je u

ravnini 'It, = (x, y), ako je njezino srediste S (4; 4; 0).

7. Naertajte za ex, = 30° i n = ~ kosu projekeiju krumiee (T = 3 em) koja je u 3 '

ravnini 'lt2 = (y, z), ako je njezino srediste S (0; 4; 4).

156

§ 25. KOSA PROJEKCIJA GEOMETRIJSKIH TIJELA

1. Kosa projekcija pravilne sesterostrane prizme. Nacrtajte za a = 1

= 45° i n = 2 kosu projekciju pravilne sesterostrane prizme kojoj je osno-

vni brid dug 1,5 em, a visina v = 3 em, ako je njezina osnovka u ravnini 11:1 = (x, y), srediste osnovke je 8 (3; 3; 0), a dva su njezina osnovna brida usporedna s osi x.

Najprije se naerta osnovka prizme u pravoj velicini kao na s1. 227. Sredistem te osnovke 8 povuku se dijagonala AD koja je usporedna s osi x i simetrala 1-2 stranice BC koja ide sredistem 8 okomito na dija­gonalu AD. Pomocu koordinata sredista osnovke naerta se zatim (s1. 228) njegova kosa projekcija S, te kosa projekcija dijagonale AD (AD II X; -- -- -- - -- -- 1 SA = 8D = 1,5 em) i simetrale 1-2 (S8", II y, 81 = S 2 =2S 1). Kosa

projekcija brida BC nade se pomocu tacke 1, a brida EF pomocu tacke.2. Iz vrhova kose proje~cije osnovke idu kose projekcije pobocnih bridova prizme usporedo s osi z i jednakesu bridovima u prostoru, a gomje krajnje tacke tih bridova odreduju kosu projekciju AIBlClDlEiFl gomje osnovke prizme. ad osnovnih bridova ne vide se bridovi DE, EF i FA, a od poboc­nih sarno EEl i FF1 .

y

81. 227. i 228.

B, I I I I

I 5. 1

-----j--'- --PJ-

is,

-1 I 2-''''' 1-~.:""....\.E •

--- 5 \ is

2. Kosa projekcija pravilne peterostrane piramide. Naertajte za (J. = 1

= 45° i. n ='2 kosu projekeiju praviLne peterostrane piramide kojoj je

osnovni brid dug 2 em, a visina v = 3 em, ako je njezina osnovka u rav­nini 11:1 = (x, y), a njezin prednji osnovni brid je AB fA (2; 5; 0), B (4; 5; 0)].

Najprije treba naertati (s1. 229) osnovku piramide u pravoj velicini te povuci njezinu dijagonalu CE i simetralu (1, D) straniee AB koje se

157

z D

I·

V E

X

y ,

81. 229. i 230.

sijeku u tacki 2. Kosa projekeija AB osnovnog brida AB (s1. 230) konstru­ira se zatim pomocu koordinata njegovih kYajnjih tacaka A i B, a kosa

projekcija simetrale (1, D) usporedna je s osi y i na njoj je "1 :2 = ; xl 2,

1 -a 1 D ="2 X 1 D. Tackom 2 ide kosa projekcija dijagonale CE usporedo

s osi x, a 2 C = :2 E = 2 C iIi 2 E. U sjecistu kosih projekcija simetrala stranica osnovke piraElide nalazi se kosa projekcija V nozista njezine vi sine. Ako je tacka 3 poloviste dliZine Be, onda je pravae (3, E) kosa projekcija simetrale straniee BC koja sijece pravae (I, D) u tacki V'. Kosa projekeija _vrha pira~iie dobije se tako da se tackom V' povuce uspored­niea s osi z i nacini V'V = 3 em. Od bridova te piramide ne vide se samo osnovni bridovi CD i DE te pobocni brid DV.

3. Kosa projekcija kvadraticne krnje piramide. Treba nacrtati za 1

(J. = 45° i n ="2 kosu projekciju kvadraticne krnje piramide kojoj je donji

osnovni brid dug 2,5 em, gornji 1 em, a visina v = 2 em, ako su njezine osnovke usporedne s ravninom 7tl = (x, y), a njezin prednji donji osnovni brid je AB [A (1,5; 3,5; 1,5), B (4; 3,5; 1,5)].

Na sl. 231. naertan je tloert i naert te kvadraticne krnje piramide. Njezin se tloert sastoji od dva koneentricna kvadrata kojima su straniee usporedne i kojima su susjedni vrhovi spojeni dliZinama. Kosu projek­ciju toga tloerta (s1. 232) cine prema tome dva koneentricna romboida A'B'C'i)' i "EYF'CYH' kojima su straniee usporedne i kojima su susjedni vrhovi spojeni dliZinama. ~ko se sada u svakom vrhu veceg romboida uzdigne uspor~~niea ~ ~si z,_~a na_ nlu nanese 1,5 em, tj. udaljenost toga vrha od 7tl (A'A = B'B = C'C = D'D = 1,5 em), dobiju se kose projek-

158

Iz

H G

0

81. 231. i 232.

eije A, B, C i D vrhova donje osnov~e; a kad se u svakom vrhu manjeg romboida uzdigne usporednica s osi z, pa na nju nanese 3,5 em, tj. uda­ljenost tog~yrJl:a~d ~ (E'E == F'F = G'G- = H'H = 3,5 em), dobiju se kose projekcije E, F, G i H vrhova gornje osnovke. Kad se na kraju spoje kose projekeije vrhova donje i gornje osnovke, dobiju se kose projekcije po­bocnih bridova toga tijela. Od bridova te kvadraticne krnje piramide ne vide se samo osnovni bridovi AD i CD te pobocni brid DH.

Na ovom primjeru vidimo kako se kosa projekeija nekog geometrij­skog tijela moze konstruirati p 0 moe u k 0 s e pro j eke i j e n j e g 0-

v 0 g t I 0 e r t a.

4. Kosa projekcija rotacionog valjka i ·stosca. A. - Nacrtajte za rJ. = . 1

= 45° i n ="2 kosu projekciju rotacionog valjka kojemu je polumje1'

osnovke r = 1,5 em, a visina v "= 3 em, ako je njegova osnovka u ravnini 7tl = (x,y),a srediste osnovke je S (3,5; 3; 0) (sl. 233).

Kosa projekcija osnovke valjka koja je elipsa naerta se pomocu nje­zinih konjugiranih promjera ABj CD (AB II X, SA = 813 = 1,5 em, CD " Y,

-- 1 SC = SD = 1,5 em X 2= 0,75 em). Zatim se tackom S povuce uspored-

niea s osi z i nacini se SS1 = 3 em, pa se dobije srediste S1 one elipse koja je kosa projekcija gornje osnovke valjka. Te su dvije elipse sukladne.

159

Konturne izvodniee kose projekeije toga valjka nisu izvodnice AA1 i BBl

,

vee zajednicke vanjske tangente tih elipsa. Na istoj slici rijesen je i ovaj zadatak:

5,

Sf

o

I _ I I C. , , I I I I I I '1-

~--- --L-~--;'--tf--___ -l' : I 5',,"" I ---:--'!J'----A-/ .+_.

. 5

45°

8L 233.

, 1 B. - Naertajte za a. = 45° i n =2" kosu projekciju rotaeionog stosca

kojemu je polumjer osnovke r = 1,5 em, a visina v = 3 em, ako je nje­gova osnovka u ravnini 'It1 = (x, y), a srediste osnovke je M (8; 3; 0).

Kosa projekcija osnovke to[a_st~c:.a je elipsa kojoj je srediste iii, a njezini ko~ugirani promjeri su EF i GR. Povuce Ii se tackom M uspored­nica s osi z, dobije se kosa projekciia osi stosea a nacini Ii se MV ~ 3 em dobije se tacka V koja je kosa proj"ekeija vrha'stosea. Konturne izvodnie~ kose projekcije ~osea nisu izvodniee lEV i FV, vee one dvije tangente koje se iz tacke V povuku na kosu projekciju osnovke. Kod valjka i kod stosea povucene su te tangente samo priblizno tacno na sliku,osnovke, ali se one kao i njihova diralista mogu tacno konstruirati.

5. Kosa projekcija kugle.· Naertajte kosu projekeiju kugle kojoj je

polumjer r = 2,5 em, za a. = 45° i n = ~ .

Neka je ishodiSte koordinatnog sustava u srediStu kugle (s1. 234). Kon­strukciju kose projekcije kugle zapocet cemo ertanjem kosih projekcija kuglinih promjera koji idu u tri glavna smjera, tj. 1 "2 = 50 mm, "34=

1 __ =2" . 50 mm = 25 mm i 5 6 = 50 mm. Svaka ta dva promjera odreauju

po jednu glavnu kruznieu kugle. Buduci da su ti promjeri u prostoru medu sob om ok~m~ti, ..<:>~ u kosoj projekeiji cine parove konjugiranih pro­mjera. Tako su 1 2 i 3 4 konjugirani promjeri za onu elipsu koja je kosa

160

I I I

I i

81. 234.

projekcija ekvatora kugle 1 3 2 4, dok su 3 4 i 5 6 konjugirani promjeri za onu elipsu koja jekosa projekcija onog meridijana 3546 koji je u ravnini (y, z). Meridijan kugle 1 5 2 6 koji je u ravnini (x, z) projieira se kao kruzniea 1526, ito u pravoj velicini. Elipsa koja omotavakose pro­jekcije svih kruzniea kugle je kontura kose projekeije kugle. Mala os CD· te elipsejednaka je pE,omjeru kugle i okomita 'je na os y, dok je njezina velika: os AB na osi y, a duzina velike osi dobije se tako da se nacini

'OA = DB = -3 C, jer su tacke"3 i "4 zarista te elipse.

6. Jednostavni primjeri iz gradevinske struke. A. ---: Nacrtajte u m,ie­Ti7U 1 : 10 kosu pTOjekciju ogradnog stupa koji je zadan na sI. 235, ako je njegova osnovka u ravnini 'It1 = (x, y), a njegov je prednji osnovni brid

2 AB fA (20; 36; 0), B (46; 36; 0)], te je a. = 45°, an = 3'

Buduei da je mjerilo zadanog tloerta i naerta toga predmeta 1 : 10, to svaki 1 em na s1. 235. i 236. predstavlja 10 em na predrnetu. Crtanje kose projekcije toga predrneta (s1. 236) zapocet cemo konstruiranjem kose projekcije osnovnog brida AB. Apscisa tl3.~ke A je OAx = 20 ~m..2. a njezina kosa projekeija u mjerilu slike bit ee OAx = 2 em, dok je OBx = 4 ern.

. Ordinate tacaka A i B su AxA' = BxB' = 36' em, a njihove kose projekcije . -- -- 2

u mjerilu slike su AxA = BxB = 3,6 em' 3 = 2,4 em. Zatim konstruiramo

kosu projekeiju osnovke ABCD i kosu projekciju citavog tloerta toga predmeta. Pomocu kose projekcije tlocrta predmeta lako.cerno nacrtati kosu projekciju toga predmeta. Kada u tackama if, B, C i 15 uzdignerno

1.1 Nacrtna geometriJa I 161

45'

81.235. i 236.

usporednice s osi z i od svake te tacke nanesemo na te usporedniee pO . 2,5 em, tj. duZinu pobocnog brida ~s~ovne J':vadraticne prizme u mje­rilu 1 : 10, dobijemo kose projekcije E, F, G i H gornjih vrhova tih bridova i kosu projekciju gornje osnovke te kvadraticne prizme. Ona je ujedno kosa projekeija donje osnovke kvadratiene krnje piramide koja se nasta­vIja. Da bismo dobili kose projekcije 1, J, K i L vrhova njezine gornje osnov~, ~v~ljn~je da u kosim projekeijama tloerta tih vrhova, tj. u tac­kCima 1', J', K' i L' uzdignemo usporedniee s osi Z i od svake te tacke na­nesemo na te usporedniee u mjerilu slike udaljenost tih vrhova od 1':1, tj. 3 em. Na isti se nacin konstruira kosa projekcija svakoga drugog vrha toga predmeta porn 0 C u k 0 s e pro j eke i j e n j ego v 0 g t 1 0 e r t a i n j ego v e u da 1 j en 0 s t i 0 d r a v n i n e . 1':1 = (x, y).

162\

Na' tom primjeru prikazan je naem konstruiranjakose projekeije nekoga predmeta pomocu kose projekcije njegovog tLocrta;

B. - Nacrtajte u mjerilu 1 : Ie kosu projekciju tesanog kamena, aka je on, kao i njegov poLozaj u koordinatnom sustavu 0 (x, y,z), zadan na

1 sl. 237. u mjerilu 1 : 15, te je rJ. = 45', an = T'

Z10 , 20

IB"

Y ,0

l?

0 .., ~,o N

f N" 0 B. A. x

S! ; 1-11:15 :A' f--

:6' .

0 M

_L..:-N'

Y' 81. 237. i 238.

StraZnja je pobocka toga predmeta usporedna s ravninom 1':2 = (x, z); pa joj je njezin naert sukladan (s1. 237), a s njezinim naertom poklapa se i naert citavog predmeta. 1z svak{)ga vrha straznje pobocke ide po jedan brid toga predmeta usporedo s osi ,y, a dug je 30 em. Zbog toga cemo kon­strukciju kose projekcije toga predm'eta zapoceti crtanjem kose· projek­cije njegovog naerta, tj. ertanjem na s1. 238. naerta predmeta iz s1. 237;. u mjerilu 1 : 10. Kad je kosa projekeija naerta gotova, onda vrhove kose. projekcije straznje pobocke toga predmeta konstruiramo tako da svakim vrhom kose projekcije nacrta te pobocke povucemo usporednieu s osi

2 Y i od njega nanesemo na tu usporednieu 3 udaljenosti toga vrha od 1':2

--,,- 2 ,2 " u mjerilu 1: 10, npr. A A =3' A",A = 3' I em = 0,66 em iIi B B =

2 2 =3"' B",B' =3' 1 em = 0,66 em. Kosa projekcija te pobocke sukladna je

s kosom projekcijom nacrta jer je ona usporedna s ravninom 1':2' 1z sva­koga vrha straZnje pobocke predmeta ide (s1. 237) po jedan brid usporedo s osi y do prednje pobocke, a svaki je taj brid na predmetu dug 30 em.

163

Zbog toga povucemo (s1. 238) iz svakoga vrha kose projekcije straznje po-. - . 2

bocke usporednieti s osi y i od njega nanesemo na tu usporednieu 3 du-

2 Ijine brida u mjerilu 1: 10, tj'3 . 3 em = 2 em, pa dobijemo kose pro-

jekeije onih bridova predmeta koji· su usporedni s osi y, npr. AN = = ~ . 3 em = 2 em. Na kraju naertamo kosu projekciju prednje pobocke

koja je sukladna s kbsom projekcijom straznje pobocke.

Na tom primjeru prikazan je nacin konstruiranja kose projekcije ne­koga predmeta pomocu kose projekeije njegovog nacrta. Taj je nacin po­desan za one. predmete na kojima ima ploha usporednih s ravninom 1t2

(jer se u naertu projiciraju u pravoj velicini) i bridova usporednih s osi y.

C. -- ;Treba naertati u mjerilu 1 : 10 kosu projekciju konzole s priz­maticnom plocom koje su zadane na sl. 239. u mjerilu 1 : 15, i to pogled

1 odozdo zdesna, ako je (J. = 45°, a n =2'

Kosu projekciju toga predmeta necemo naertati pomocu kose .projek­dje njegovog tloeria niti pomocu kose projekcije njegovog naerta, vee cemo upotrijebiti treci nacin koji se sastoji u uzastopnom cTtanju 1cosih proje1ccija pojedinih dijelova predmeta.

Prema zadatku treba naertati sliku· toga predmeta kao da ga gle­damo odozdo zdesna. Zbog toga moramo osima kose projekcije dati onaj polozaj koji je odreden na sl. 217.e. U straznji lijevi vth donje osnovke prizmaticne prizme smjestit cemo ishodiSte 0, a koordinatne osi x, y i z neka se poklope s bridovima prizme koji se u tome vrhu sastaju(sl. 240).

Sada cemo najprije naertati kosu projekeiju prizmaticne plo~e. Neka . 2

bude ° 1 = 4,5 em i ° 2 = 3' 6,3 em = 4,2 em, pa sino dobili dvije stra:"

niCe paralelograma 0 1 3 2 koji je kosa projekcija donje osnovke te ploce. Ako ~ svakQga: v~h". to~a _par~l~logr~~a povucemo zatim usporednieu S osi z i nacinimo 0 4 = 1 5 = 2 7 = 3 6 = 1,5 em, dobit cemo kose pro­jekcije pobocnih bridova te ploce, kao i kosu projekciju njezine gornje osnovke.

Kosu projekciju konzole zapocetcemo ertanjem kose projekcije nje-2

zine prednje osnovke. Vrh 8 te osnovke je na osi y, pa je 0 8 =-3~' 3,9

em =2,6 em. 1z toga vrha idu dvije strani~e __ te <?snovke 8 _9~8 10. Prva je usporedna s osi x, a druga s osi z, pa je 8 9. = 3,5 em, a 8 10 = 3,8 em. Sada naertamo u mjerilu 1 : 10 kosu projekciju citave prednje osnovke

164

45

15 15 til 1:15

~----~------',~~

-r'---r-,----r'"'"'t --t------l~ I I I I I I I I t I I I I l ' I .J I I I

=; ~--------------~ ,

.... , .... ",

{. ", 2~----~'~ .... -,-----+------~

.... ....

8 ' .... ,

ii .J------'i'~

I J I I '1 _L __ ..J_...1 ___ I.......J --t------lr M 1:10

81. 239. i 240.

koja je sukladna s opnoV:kom u .prostoru jer je taosnov:ka uspor~dll~. s ravninom slike. Povucemo .li na kraju svakim vrhom kose proJekelJ~ prednjeosnovke usporednieu s osi y i od njega nanes~monatu uspore4:;:, nieu ~ duljine pobocnog brida u mjerilu slike, npr. 10 11 = ~ ·1,5 em =

3 = 1 em, dobit cemo kose projekcije vrhova straznje osnb~ke te konzole.

1z gornjih primjera izlazi da se kosa projekcija nekoga p~edmeta moze konstruirati na vise nacina, a mi smo upoznali ova tri:

a) pomocu kose projekcije tIoerta predmeta,

b) pomocu kose projekcije. nacrta pTedmeta, e) uzastopnim crtanjem kosih projekcija pojedinih dijelova predmeta.

Vjezbe

1. Nacrtajte kosu projekciju pravilne osmerostrane prizme, ako je njezina osnovka, koja je zadana na s1. 92, u ravnini 'Jt, = (x, y), a njezin je pobocni brid dug,

5 cm (a. = 45°, n =t)·

2. Naertajte kosu projekciju pravilne sup1je sesterostrane krnje piramide kbjoj je veci osnovni brid dug 2,5 em, manji 1,5 em, a visina joj je v = 4 em. Njezina manja osnovka je u ravnini "It! = (x, y), a dva su njezina osnovna brida usporedna s osi x

(Ct; = 45°, 71, = ~). 3

3. Naertajte KOsu projekciju krnje piramide iz 2. vjezbe, ako je nJeZllla veca osnovka u ravnini 'Ita = (y, z), a dva su njezina osnovna brida usporedna s osi y

(0: = 30°, 71, = -}).

4. Treba naertati kosu projekeiju, rotacionog va1jka (T = 2 em, v = 5 em), ako je njegova osnovka u ravnini "Ita = (y, z), a njezino je srediSte S (0; 4; 3), te je Ct; = 45° . '~ ,

171,'="3'

5. Treba nacrtati kosu projekeiju rotacionog stosea (T = 2 em, v = 5 em), ako je njegova osnovka u ravnini "It. = (y, z), a njezino,je srediste S (0; 4; 3), te je a: = 45° . " 2 ' , 171,'=-.

3

6. Naertajte kosu projekciju kug1e (T= 3 em) i kose projekeijekug1inih uspo-

rednika od 30° i 60° sjeverne; odnosno jufue ilfrine (a: = 45°, 71, = ~)~ 3

7. Naertajte u mjerilu 1 ': 1 za a: = 45° i 71, = ~ kosu' projekciju predmeta cija 3

je osnovka u ravnini "It! = (x, y) i ima dva osnovna brida usporedna s osi x, ako je taj predmet zadan na: '

a) sl. 145, a konstrukeiju kose projekeije treba izvesti na prvi naNn,

b) s1. 146, a konstrukciju kose projekeije treba izvesti na drugi nacin,

e) s1. 147, a konstrukciju kose projekcije treba izvesti na treci nacin.

8. Naertajte u mjerilu 1 : 15 za a: = 4SO i 71, = ~ kosu projekeiju predmeta cija ,2'

je'osnovka u ravnini "It! = (x, y) i ima dva osnovna brida usporedna S osi x, ako je tlljpnidmet zadan na:

C?). s1. 151, b) sl. 167, a konstrukeiju kose projekcije trebCl izvesti na prvi nacin.

9., Naertajte u mjerilu 1 : 20 za a: = 30° i 71, = -} kosu projekciju predmetacija

je osnovka u ravnini 'It! = (x, y) i ima dva osnovna brida usporedna s osi x, ako je taj predmet zadan na:

a) s1. 169, a konstrukciju kose projekcije treba izvesti na prvi nacin,

b) sl. 168, a konstrukcijukose projekcije treba izvesti na drugi nacfu,

c) s1. 153, a konstrukciju, kose projekcije treba izvesti na tr~ci nacin.

10. Nacrtajieu mjerilu 1 : 10 za Ct; = 45° i n = ~ kosu projekciju predmeta, i to 3 '

pogled odozdo zdesna, ako je taj. predmet zadan na:

a) s1. 149, a konstrukciju kose projekcije treba izvesti na treci naNn,

b) s1. 177, a konstrukciju kose projekcije treba izvesti na treci nacin.

" 11. Naertajte u mjerilu 1 : 50 za a: = 45° i n = 1 kosu projekciju predmeta koji je zadan mi s1. 178. i ima uzduZne bridove usporedne S osi x, a konstrukciju kose projekcije treba izvesti na treci nacin.

VI.PROJICIRANJE RA VNINE

§ 26. PREDOCIVANJE RA VNINE TRAGOVIMA

1. Odredenost ravnine. Poznato je iz stereometrije da je ravnina ne­omedena ploha koja ima to svojstvo da svaki pravac koji s njom ima dvije zajednicke tacke lezi sasvim u toj ravnini.

Buduci da je ravnina neomedena, tj. da se proteze na sve" strane, obicno je prikazujemo samo jednim njezinim dijelom, npr.paralelogra­mom (s1. 241), a pri tome zamisljamo da se ona proteze na sve strane toga paralelograma. Ravnine obiljezavamo velikim grckim slo"irim.a. Znarnoda tri tacke A, B iC koje nisu na istom· pravcu odreduju u prostoru sa,ma

jednu ravninu E (s1. 241).

Te trita&e A, B i C mozemo u ravnini E nadomjestiti:

," a) pravcem c koji ide tackama A i B, te tackom C,

b) pravcem c koji ide tackamaA i B, te pravcem b koji ide tac­

kama Ai C, c) pravcem c koji ide tackama A i B, te pravcem d koji idetackom C

usporedo s pravcem c. Ravninu E jednoznacno odreduju prema tome jos

i ovi elementi: 1. prayac i jedna tacka koja nije na tom pravcu, 2. dva pravca koji se sijeku, 3." dva usporedna pravca. Uobi~ajenO je, kako je to u uvodu navedeno,da se za ravninu E (citaj:

epsilon) koja je odredena pravcima a i b upotrebljava kratica E = (a, b), a za ravninu E koja je odredena tackom A i pravcem p upotrebljava kra-

tica E = (A, p).

2. PredoCivanje ravnine s dva ~stena pravca. Kad bismo ravninu E postavili koso prema 1tl i 1t2, a zatim odredili tlocrt i nacrt svake Iljezine tacke, tlocrti svih njezinih tacaka ispunili bi ravninu 7t1, a nacrti rav­ninu ';';2' Zbog toga obicno uzimaino sarno jedan omeaeni dio ravnine E i odredujemo njegove normalne projekcije. Neka su na s1.242. zadane pro-

167

x

f ,

Sl. "241. i 242.

jekcije dvaju pravaea ai b koji se sijeku utacki S. BuduCi da dva ukrstena pravea a i b odreduju jednoznacno tavninu E, mozemo pomocu projek­cija tih pravaearijesiti dva osnovna zadatka u vezi s tom ravninom.

A. - Treba naertati tloert i naert kojega god pravea c ravnine E. Povucimo koji god pravac e' koji sijece a' u tacki A', a ?' u tacki B'. Ako pravae e' smatramo tloertom nekoga pravea e ravnine E, onda pravae e sijece u prostoru pravac a u tacki A kojoj je A' tioert, apravae b u tacki B kojoj je B' tioert. Odredimo Ii sadanaert A" tacke A na a" pomocu ordi­nale povucene tackom A', a zatim nacrt B" tacke B na b", onda ce pravae (A", B") biti naert e" pravca e. Tako smo dobili obje projekcije e'i e" jos jednoga pravca ravnine E. Pri tom konstruiranju projekcijapravca e rav­nine E mi smo uzeli po volji njegov tiocrt e', a zatim smo konstruirali njegov lJ;acrt e", ali smo isto tako mogli uzeti po volji nacrt e" pravca c pa konstruirati njegov tlocrt e'.

Na s1. 242. rijesen je jos i ovaj zadatak:

B. - Zadan je naert T" neke tacke T ravnine E; treba naci njezin tloert. Tackom T" povucimo koji god pravac d" i smatrajmo ga naertom pravea d ravnine E koji ide tackom T. Konstruirajmo zatim pomocu ta­caka Mil = (a" x d") i Nil = (b" x· d")tacke M' iN'. Tloert pravea d je pravae d' = (M', N'). Ako sada povucemo tackom Til ordinalu, ona ce sjeci d' u traZenom tloertu T' tacke T. Kako bi se kad je zadan tIoert T' neke tacke T ravnine E (s1. 242) nasao naert te tacke?

3. PredoCivanje ravnine tragovima. Vidjeli smo u c1. 2. kako se rav­nina moze predociti s njezina dva ukrstena pravea. Ali ima slucajeva kada je zgodnije ravninu predociti dvamanjezinim ukrstenim praveim~ koji

168

! " I

SU U os'obitom polozaju. To' su ona dva pravca u kojima ravnina s~jece ravnine projekcija 7tl i 7t2 (s1. 243). Ti se pravci zovu tragovi ravnine, a uobicajeno je da se oni oznacuju malim Iatinskim slovom koje odgovara grckom slovu kojim je oznacena ravnina. Tako je e1 (citaj: trag e jedan) prvi trag, a e2 (Citaj: trag e dva) drugi trag ravnine E, dok je d1 prvi trag, a d2 drugi trag ravnine A (citaj: delta). Tragovi ravnine sijeku se u tacki koja je na osi x, jer u toj tacki ravn~na sijece os x; Tako se tragovi e1 i e2

ravnine E sijeku u tacki Ex, a tragovi d1 i d2 rcivnine A u tacki Dx. Te se tacke oznacuju velikim latinskim slovom koje odgovara grckom slovu kojim je oznacena ravnina, s dodatkom slova x.

n.

SI. 243. i 244.

Uobicajeno je dase punom ertom erta samo onaj dio prvoga traga koji je ispred osi x na prednjem dijelu ravnine 7t1, kao i onaj diodrugoga traga koji je iznad osi x na gornjem dijelu ravnine 7t2'

Buduci da je prvi trag ravnine u 7t j , to se tloert prvoga traga po­klapa s tim tragom, a njegov je naertna osi x. Tako je e1 == e/ i" d1 == d/, dok su el" i dI" u osi x. Kako je drugi trag ravnine u 7t2, s tim se tragom poklapa mi.ert drugoga traga, a njegov je tioert u osi x. Tako je ~2 == et i d2 == d2", dok su e2' i ~' u osi x.

Projekcijama svojili tragova ravnine E i A (s1. 244) jedrioznacno su odredene. Dovedemo li ravninu 7t2 izs1. 244. skupa s drugim tragovima rotacijom oko osi x u vertikalan polozaj, onda je ukrstenim praveima eJ

i e2' odnosno d1 i d2 jednoznacno odredena ravnina E, odnosno A. . Svaka tacka koja je u prvom tragu (npr. tack a A) imat ce svoj tloert

u istoj tacki, a svoj naert u osi x, dok ce svaka tacka koja je u drugom tragu (npr. tacka B) imati naert u istoj tacki, a svoj tloert u osi x.

Obje ravnine E i A iz s1. 244. kose su prema 7tl i 7t2• Za takve ravnine kazemo da su u kosom iIi opcem polozaju prema 7tl i 7t2. Krace se svaka takira ravnina zove kosa iIi opca ravnina. Premda su ravnine E i A obje kose, ipak se one medu sobom razIikuju u ovome:

169

Oba traga e1 i e2 ravnine E (s1. 244) priklonjena su prema osi x s iste strane tacke E"" dok su tragovi d1 i d2 ravnine A priklonjeni prema osi x s razliCitih strana tacke D",. Za ravninu E kaZemo da ima k 0 n v erg e n­t net ra g 0 ve, dok ravnina A ima d i v erg e n t net rag 0 v e. Kut E sto ga zeitvaraju tragovi el i e2 ravnine E (s1. 243) manji je od 90", dok je kut 0 sto ga cine tragovi d1 id2 ravnine A (s1. 243) veci od 90". Kad pro­matramo te ravnine (s1. 243) u smjeru normalnog projieiranja na 1Cl' tj. odozgo u smjeru okomitom na 1C1, virumo gornje strane tih ravnina, a kad ih promatramo u smjeru normalnog projiciranja na 1C2, tj. odsprijeda u smjeru okomitom na 1C2, vidimo opet gornju stranu Tavnine E, dok od ravnine A vidimo sada njezinu donju stranu.

Iz toga izvodimo ove poucke:

Ravnina kojoj tragovi u prostoru zatvaraju kut manji ad 90· ima konvergentne tragove, a tavnina kojoj ti tragovi zatvaraju kut veci od 90· ima divergentne tragove.

Ako ravnina ima konvergentne tragove, tada cemo vidjeti od onoga njezinog dijela koji je u prvom kvadrantu njegovu gornju stranu. kada ga gledamo u smjeru projiciranja na 1Cl iIi na 1C2, a ako ona ima diver­gentne tragove, onda kad gledamo u smjeru projiciranja na 1C1' vidimo njegovu gornju stranu, a kad gledamo u smjeru projiciranja na 1C2, vidimo njegovu donju stranu.

Nap 0 men a: . U ovom Clanku stavljali smo na projekcijama neke ravnine uz oznake tragova te ravnine jos i oznake projekcija tih tragova. To smo radili zbog toga da bi pocetnik uoCio i upamtio da se prvi trag ravnine poklapa sa svojimtloertom, a da mu je nacrt u osix, zatim da se drug! trag ravnine poklapa sa svojim naertom, a da mu je tlocrt u osi x. Ubuduce stavljat cemo na projekcijama ravnine oznaku samo za prvi i drugi trag ravnine, a ispustat cemo oznake za tloert i naert prvoga i dru­gog traga.

4. TreCi trag ravIiine i njezine koordinate. A. - T r e cit rag. Pravae e~ u kojemu ravnina E sijece ravninu 1Ca zove se treci tttig te ravnine (s1. 245). Kad imamo' prvi i drugi trag ravnine E i na njima tacke Ex, Ey i Ez u kojima ravnina E sijece osi x, y i z, onda je treci trag ea = lEy, Ez). Ako na ravninu 1C2 preklopimo ravninu 1Ca skupa s trecim tragom ea -oko osi z nalijevo, a ravninu 1Cl skupa s prvim tragome1 oko osi x pr~ma dolje; dobijemo s1. 246. Tacku Ey rotiramo oko ishodiSta 0 za 90" u smjeru okretanja kazaljke na satu, pa dobijemo tacku Ey , koja nam s tackom Ez odreduje treci trag ea. Uobicajeno je kada seertaJu sva tri traga neke ravnine koja sijece os x u nekoj tacki njezi-

170

nog pozitivnog dijela da se od tih tragova naertaju punom ertom samo oni dijelovi koji su u I oktantu. .

B. - K 0 0 r din ate r a v n i n e. Kao sto se polozaj svake tacke u prostornom pravokutnom koordinatnom sustavu 0 (x, y, z) moze odre­diti s tri broja, tj. s koordinatama te tacke,takose i polozaj svake r~v­nine u tome koordinatnom sustavu moze odrediti s tri broja. Ako rav­nina E (s1. 245) sijece koordinatne osi x, y, z u tackama E:;;, Ey, Ez, onda su mjerni brojevi duzina OE:;;, OEy i OEz koordinate te ravnine. Ti se mjerni brojevi oznacuju malim grckim slovima OE:;; = ~ (citaj: ksi), OEy = 1]

(citaj: eta) i DEz = S (Citaj: zeta). Koordinate ravnine mogu biti pozitivne i negativne, sto OVis! 0 tome da Ii su tacke u kojima ravnina sijece koor­dinatne osi ha ,po:zitivnim iIi negativnim dijelovima tih osi.

81. 245. i 246.

-y +Z

E.

-z +"1

+K

Koordinate ravnine E iz s1. 245. sve su pozitivne. Na sl. 246. naertane su projekeije tragova ravnine E koja ima ove koordinate:

~ = 1,8 em 1] = 1,5 em i s = 2 em.

Koordinate te ravnine biljezimo krace kao i koordinate ta~ke ovako: E (1,8; 1,5; 2).

Na s1. 247. rijesen je ovaj zadatak::Nacrtajte tragoveravnina A (2; 2,5; -1,5) i l: (-1,5; -1; -2).

Najprije odredimo, tacke Dx (OD" = 2)i Dy (ODy = 2,5). BuduCi da je koordinata S ravnine A negativna, i to -:-1,5, bitce Dz na negativnom dijelu osi z, ispod ishodista 0, pa je ODz = -1,5. Pravae d

1 = '(D:;;, Dy)

je prvi trag ravnine A, a pravae d2 = (D"" D z ) je njezin drugi trag. Punom ertom ertamo onaj dioprvoga traga koji je ispod osi x, kao i onaj dio dru­goga traga koji je iznad osi x, a ostale dijelove tih tragova ertamo ispre­kidanom crtom ako ih za odredivanje tragova moramo nacrtati.

171

s,

-x

'\ '\

'\ s, '\

'\ '\

-y +Z

'\ '\

S.

-z .y

81. 247.

d,

D.

Ravnina Lima sve tri koordinate negativne, zato ce za nju biti tacka Set lijevo od ishodista 0, tacka Sy iznad 0, a tacka Sz ispod O. Njezin prvi trag je pravae S1 = (Sx, Sy), a drugi S2 = (S", Sz).

5. Ravnine U osobitim polozajima. A. ~ R a v n i n ao k 0 mit a n a r a v n in i 'It1' Na s1. 248. prikazane su ravnine projekcija .i ravnina P koja je okomita na ravnini 'Jt1' Znamo iz § 10, c1. 2. C da se takva ravnina

zove prva ravnina projiciranja ili prva ravnina p1'Ometalica, i dasvaka tacka i svaki lik te ravnihe ima svoj tloert u p r v 0 m t rag u 1'1 te rav­nine. Na s1. 248. n:aertani su pored prvoga traga 1'1 ravnine P jos i njezin drugi i. treci trag, tj. 1'2 i 1'3 kojisu usporedni s osi z, jer ta ravnina sijece os z u beskonacnosti, a to pisemo simbolicki ovako: ORz = 00,'

Drugi i treci trag prve 1'avnine projiciranja uspo1'edni su [$ osi z.

Na s1. 249. nacrtana suo sva tri traga prve ravnine projiciranja P (1,5; 1; 00). Za tu je ravninu ORx = 1,5 em, ORy = 1 em, a ORz ='

z TI, Z

" r. r.

. R. x

r,

R. TI, Y

81. 248. i 249.

172

Pravokutnik od crtaceg papira postavite na model ravnina projekcija tako da bude okomit na ravnini 1':" pa pokazite tragove njegove ravnine.

B. - R a v n ina 0 k 0 mit a n a r av n i n i 'Jt2. Na s1. 250. prika­zane su ravnine projekcija i ravnina L koja je okomita na ravnini 'Jt2.

Znamoiz § 10, c1. 2. D da se takva ravnina zove druga ravnina prdjiciranja iIi druga ravnina prometaIica, i da svaka tacka i syaki lik te ravnine ima svoj n a e r t u d rug 0 m t rag u S2 te ravnine. Na 81. 250. nacrt.ana su sva tri traga, S1,S2 i S3 te ravnine. Buduci da je ta ravnina usporedna S osi y, ona je sijece u beskonacnosti, pa je sada OSy = 00, a tragovi Sl i S3

su usporedni s osi y.

Z

___ 5::..3 _-.-:{;...s.

o

y

81. 250. i 251.

5,

s,

P1'vi i tre.ci trag druge ravnine projiciranja usporedni su s osi y.

Na sL 251. nacrtanasu sva tri traga druge ravnine projiciranja L (1,7; 00; 1,5r: Za tu je ravninu OSx = 1,7, OSy = 00, a OSz = 1,5.

Postavite na model ravnina projekcija pravokutnik od crtaceg papira tako da bude okomit 'na ravninu 1':2. pa pokazite tragove njegove ravnine.

C. - Ravnina okomita na ravnini 'Jts. Na s1. 252. pri­kazane su ravnine projekcija i ravnina T koja je okomita na ravnini 'Jt3'

Znamo iz § 16, Cl. 1. da se takva ravnina zove treca ravnina projiciranja ili treca 1'avnina prometaIica, i da svaka tacka i svaki lik te ravnine ima svoj b 0 k 0 crt u t r e cern t rag u te ravnine. Ta je ravnina uspo­redna s osi x pa je sijece u beskonacnosti, zato je sada OTx = DC, a njezini tragovi tl i t2 usporedni su S osi x .

Prvi i drugi trag tTece ravnine projiciranja usporedni su s osi x.

Na s1. 253. naertani su tragovi trece ravnine projiciranja T (00; 1,3; 1,5).

Postavite na model ravnina projekcija pravokutnik od crtaceg papira tako da bude okomit na ravnini "3' pa pokazite tragove njegove ravnine.

173

z

/l TI.

t.

13

TI) 13 1. T, x o x

1 rr,'/ '.

1/ t,

SI. 252. i 253.

D. - R a v n ina us p 0 red n a s r a v n i nom 'lt2' Postavite na model ravnina projekcija pravokutnik od ertaeeg papira tako da bude usporedan s ravninom 'lt2, .pa pokazite tragove njegove ravnine. !akv~ ravnina ima sarno prvi i treei trag. Ona sijece os x i os z u beskonaenosh. Njezin je prvi trag usporedan s osi x, a treei je usporedan s osi z.

Ravnina koja je usporedna s ravninom 'lt2 ima prvi trag usporedan s

osi x, a treCi usporedan s osi z. Na s1. 254. naertani su tragovi ravnine A (00; 1,5; 00) koja je uspo­

redna s ravninom 'lt2•

E. - R a v n ina us p 0 red n a s r.a v n i nom 'lt1• Nacinite mo­. del za taj slucaj. Takva ravnina ima sarno drugi i treei trag. ?na sijec.~

u beskonacnosti os x i os y. Njezin je drugi trag usporedan s OS1 x, a treel

je usporedan s osi y.

Ravnina koja je usporedna s ravninom 'lt1 ima drugi trag usporedan S osi x, a treei usporedan s osi y.

z 'z z

d,' ,I, g,

Yo 0 Dr.!

0'\

x Y. 0 x G ••

Y. o

". " . ..... g,

Dy d,

Y iY Iy St. 254, 255. i 256.

174

Na s1. 255. naertani su tragovi ravnine !j) (00; 00; 1,6) koja je uspo­redna s ravninom 'lt1'

F. -·R a v n ina us p 0 red n a s r a v n i nom 'Its. Nacinite model za taj slucaj. Takva ravnina ima sarno prvi i drugi trag. Ona sijece.u bes­konacnosti osi y i z. Njezin je prvi trag usporedan s osi y, a drugi s osi z.

Ravnina koja je usporedna s ravninom 'Ita ima prvi trag usporedan s osi y, a drugi s osi z.

Na s1. 256. naertani su tragovi ravnine r(l; 00; 00) koja je usporedna s ravninom 'Ita.

Vjezbe

1. Nacrtajte pl'Ojekcije dvaju ukrstenih pravaca a i b, pa odaberite po volji tlocrt T' neke tacke T ravnine (a, b), a zatim nadite nacrt T" te tacke.

2. Nacrtajte projekcije dvaju uki:stenih pravaca a i b, pa odaberite po volji n&crt A"B"C" nekog trokuta ABCravnine (a, b), a zatim nadite tlocrt A'B'C' toga trokuta.

3. Nacrtajte prvi i drugi trag ravnine:

a) A (3; 2; 4), d) .i (-3,5; -4; 2),

b) B (3; -1; 3), e) E (3; -2; -3),

4. Nacrtajte sva tri traga ravnine:

a) A(3; 3,5; 00), b) B(4; 00; 3), d) .i (-2; 00; oo), e) E (00; 00; 2,5),

c) r(-3; 3; 2), f) Z (-2; 4; -1,5).

c) r(oo; 3; 3,5), f) Z (00; 2; 00).

5. Zadana je ravnina :E (-5; 00; 4); nacrtajte projekcije trokuta ABC [A (-4; 3; z), B (-3; 1,5; z), C (-1,5; 4; .zlJ koji je u njoj.

6. Zadana je ravnina P (6;5; 00); nacrtajte projekcije paralelograma ABeD [A (5; y; 2), B (2; y; I), C (1; y; 3), D)] koji je u njoj.

7. U ravnini T (00; 3; 5) nalazi se trokut ABC kojemu je zadan nacrt [A (1; y; 1), B (5; y; 2), C (3;y; 4)J; nacrtajte njegmT tlocrt i bokocrt.

8. U ravnini T (00; 5; 4) nalazi se trolrut ABC kojemu je zadan tlocrt [A (1; 2; z), B (3; 4; z), C (5; 1; z)J; nacrtajte njegov nacrt i bokocrt.

§ 27. TACKE, PRAVCI I LIKOVI U OPCOJ RAVNINI

1. Tacka i pravac U opcoj ravnini. U § 26, cl. 2. vidjeli smo da se ope a ravnina moze prikazati s dva ukrstena pravea i rijesili smo dva osnovna zadatka s ravninom koja je bila zadana s dva ukrstena pravea. Sada cemo te iste zadatke rijesiti s opcom ravninom kad je ona zadana svojim tra­govima. Na s1. 25.7. prikazana je opca ravnina E i pravae a koji je u njoj. On sijece tragove e1 i e2 ravnine E u tackama A1 i A 2• Tacka A1 je prvo, a tacka A2 drugo probodiste pravea a. Svaki pravae ravnine E sijece tra­gove te ravnine u svojim probodistima. Prema tome:

175

11 )1 11 11 !i

'1

1

Kad je pravac u ravnini, njegovo je prvo probodiste.u prvom, a drugo u drugom tragu te ravnine.

Pomocu tih probodista odredene su na s1. 257, jos i projekcije a' i a" pravea a. Na kraju je istaknuta neka tacka T toga pravea i naertane su njezine projekcije T' iTo. Nakon tih objasnjenja mozemo rijesiti ove

zadatke:

) x

SI. 257. i 258.

A. ~Zadani Sl~ tragovi el i e2. ravnine E i tLocrt a' pravca a te mv­nine; treba naCi njegov naert (s1. 258).

TIoert a' pravea a sijece prvi trag e l ravnine E u prvom probodiStu Al pravea a, a os x u tloertu A 2' drugog probodista A2 toga pravea. Zatim pomoeu ordinaIa polozenih tackama Ali A 2' nademo naert A/' prvog pro­

bodista Ai i drugo probodiste A 2 • Tra­zeni naert a" pravea a bit ee pravac

e,

81. 259.

176

a" = (AI'" A2)'

Na s1. 258. naertane su jos i pro­jekeije T'i T" neke tacke T pravea a.

B. - Zadani su tragovi e1 i e2 ra­vnine E i naert a" pravea a te ravni­ne; treba nab njegov tLoert (s1. 259).

Naert a" pravea a sijece os x u naertu At prvog probodista Ai ptav-· ca a, a drugi trag e2 ravnine E u dru­gom probodistu A2 toga pravca. Zatim pomocu ordinala polozenih tackama A/' i A2 odredimo probodiste Al i

tIoert A 2' drugog probodista A 2 • Trazeni tIoert a' pravea a bit ee pravae a' = (AI' A2').

S1. 258. moze nam posIuziti i za rjesenje ovog zadatka:

C. - Zadani su tragovi ravnine E i tloert T' tacke T koja je u toj ravnini; treba naci naert Til.

Ako zamislimo da taCkom T proIazi koji god pravac a ravnine E (sl. 257), onda ee a' iei tackom T', a na a" mora biti T". Zbog toga povucimo tackom T' koji god pravac a' (s1. 258), pa zatim nacrtajmo a". Postavimo Ii na kraju tackom T' ordinalu, ona ce sjeci a" u trazenom nacrtu T" tacke T.

Kad je z1;l.dan nacrt T" tacke T koja je u ravnini E, a treba naci nje­zin tIocrt T', onda se konstrukcija zapocne tako da se tackom T" povuce koji god pravac a", zatim se konstruira a', a na a' nade T'.

2. Likovi U opcoj ravuiui. A. - Zadani su tragovi e1 i e2 ravnine E i nacrt A"B"C" trokuta ABC koji je u toj ravnini; treba odrediti tloert toga trokuta (s1. 260).

Kad produzimo stranice A"C" i A"B" trokuta A"BlfC", dobijemo na­crte b" i elf dvaju pomoenih pravaca b i e ravnine E. Zatim kao u Cl. 1. B odredimo tIocrte b' i e' tih pravaea, a na kraju pomocu ordinal a povucenih tackama A", B" i C" nademo na tlocrtima tih pravaca trazene tloerteA', B, i C' vrhova trokuta ABC.

B

c, e,

Si. 2.6~. i 261 .•

12 Nacr"'a geometrij .. I

B. - Zadani 811, tragovi 8 1 i 8 2 ravnine E i tLoert A'B'CD' paralelo­grama ABCD koji je 11, toj ravnini; treba odrediti naert toga paralelo­grama (s1.261).

ProdtiZimo Ii stranice A'B' i B'C' paralelograma A'B'C'D', dobijemo tlocrte c' i d' dvaju pomoenih pravaca e i d ravnine E. Nacrtamo zatim kao u c1. 1. A nacrte e" i d" tih pravaca, pa na kraju pomoeu ordinala po­vucenih tackama A', B' i· C' nademo na nacrtima till pravaca traZene nacrte A", B" i C" vrhova toga paralelograma. Nacrt D" cetvrtog vrha D nademo tako da tackom A" povucemo usporednicu sa stranicom B"C", 11 tackom C" usporednicu sa stranicom A"B", te se one sijeku u D". Ako je konstrukcija nacrta paralelograma tacno izvedena, tacke D' i D" moraju biti na istoj ordinali.

Buduei da se citav tiocrt paralelograma nalazi ispod osi x, zakljucu­jemo da se citav paralelogram nalazi ispred 1t2• Kad bismo, prema tome, promatrali taj paralelogram odsprijeda u smjeru projiciranja na 1t2, vi­djeli bi ga citavoga, pa je zbog toga citav njegov nacrt nacrtan punom crtom.

Gornji, veei dio nacrta toga paralelograma nalazi se iznad osi x, dok je donji, manji dio ispod te osi, a iz toga zakljucujemo da je onaj dio toga paralelograma na kojemu su vrhovi B, C i D iznad 1t1, dok je dio oko vrha A ispod 1t1' Kad bismo, prema tome, promatrali taj paralelogram odozgo u smjeru projiciranja na 1t1, ne bismo vidjeli pnaj njegov dio koji je ispod 1t1, jer ga 1tl zaklanja, pa je zbog toga tiocrt toga dijela omeaen isprekidanom crtom.

3. Sutraznice i njihova' upotreba. A. - S u t r a z n i cap r v 0 g a t rag a. Svaki pravac neke ravnine koji je usporedan s jednim njezinim tragom zove se s11,trazniea te ravnine. Pravac ravnine koji je usporedan s njezinim. prvim tragom zove se s11,trazniea prvoga traga, a 0rt.aj koji je usporedan s njezinim dr11,gim trag om zove se s11,trazniea dr11,goga traga. U svakoj ravnini ima neizmjerno mnogo sutraznica prvoga, kao i sutraznica drugoga traga. Na s1. 262. pri­kazana je jedna sutrazniea m prvoga traga ravnine E. Njezino drugo pro­bodiste M2 nalazi se' na drugom tragu e2 te ravnine, a njezino prvo probo­diSte Ml neizmjerno je daleko na prvom tragu teravnine. Buduei da je sutraznica m usporedna s e1> njezin tlocrt m' mora hiti usporedan s e1,

a njezin nacrt mil mora hiti usporedan s osi x jer je ana usporedna s 1t1•

Na s1. 263. rijesen je ovaj zadatak: Zadani 811, tragovi e1 i e2 ravnine E; naertajte projekeije m' i m" jedne 811,truzniee 7!Lprvoga traga te ravnine.

POVllcemo koji god pravac m' usporedo s e1 do sjecista s osi x. Zatim oznacimo tlocrt M2' = (m' x x) drugoga probodiSta M2 te sutraZnice, a

,178

T" m' M,

m'

T"

e,

81. 2&2. i 263.

pomoeu njega i to probodiste, te na kraju povucemo tackom M2 pravac m" usporedo s osi x.

To mozemo izvesti i obrnutim redom: Povucemo koji god pravae m" usporedo s osi x do sjecista s e2• Zatim oznacimo drugo probodlilte M2 te sutraZnice i njegov tlocrt M 2', a na kraju tackom M 2' povucemo pravac m' usporedo s e1.Na istoj slici prikazan je nacin kako se pomoeu sutraznice m moze naei nac~rt Tn tacke T koja je u ravnini E kad je zad~n njezin tloert T', ili kako se moze naei tloert T' kad je zadan nacrt T" neke tacke te ravnine.

B. - Sutraznica drugog traga. Na s1. 264.'prikazana je jedna sutraZnica n drugoga traga ravnine E. Njezino je prvo probodiste N1 na ej,a njezino je drugo probodiSte N2 neizmjerno daleko na e . Kako je sutraznica n usporedna s e2, mora njezin nacrt n" biti uspored:n s e a njezin tlocrt n' mora biti usporedan s osi x jer je ona usporedna s 1t::

n.

e,

81. 2M. i 265.

179

Na s1. 265. nacrtane su projekcije 71' i n° jedne sutraZnice n drugoga if,raga ravnine E i prikazan je nacin kako se pomocu tih projekcija odreduju pro­jekcije tacke T koja je u ravnini E.

C. - Up 0 t reb a s u t r a z n i c a. Zadani su tragovi e1 i e2 rav­nine E i tlocrt A'B'C' trokuta ABC koji je u toj ravnini; treba konstruirati

njegov nacrt (sl.\ 266). Da bismo nasli. nacrt A" vrha A, zamislimo da . tim

C" e, vrhom prolazi jedna sutraznica m prvo­ga traga. Nacrtajmo najprije m', a za­tim mil, pa ce na m" biti A", Na isti je naNn naden nacrt B" vrha B. 1stim postupkom mogao bi se naci i nacrt en vrha e, ali je na s1. 266. taj nacrt naden

E. )( pomocu jedne sutraznice n drugoga ~~---+----i----Jr--:-';.-p----'J>----'- traga. Njezin tlocrt n' ide tackom e'

usporedo s osi x, a na njezinom nacrtu nil koji ide tackom Nt" usporedo s e2

nalazi se trazeni nacrt G" vrha e. A'

e,

81. 266.

1z projekcija vrhova trokuta izlazi da su vrhovi u onome dijelu ravnine E koji je u prvom kvadrantu, pa su zbog toga obje njegove projekcije nacrtane punoII'1 crtom. Buduci da ta ravnina ima konvergentne tra-

gove (§ 26, c1. 3), zakljucujemo da se taj trokut citav vidi kad ga gledamo u smjeru projiciranja na 'ltl' kao i kadga gledamo u smjeru projici-ranja na 'lt2'

4. Normalna projekcija pravoga kuta. Ako su kraci a i b pravqga kuta (s1.267) usporedni s ravninom 'ltl' onda ce tlocrt toga pravoga kuta opet biti pravi kut jer se paralelnim pomica-njem toga pravoga kuta <J:: ao u smjeru normalnog projiciranja na 'lt1 moze tacno poklopiti njegov tlocrt <J:: a'b'. Rotira Ii pravi kut <J:: ab oko kraka a, krak bee opi­sati ravninu P koja je okomita na kraku a

ina ravnini '1t1.Prvi trag r1 te ravnine po­klapa se s pravcem b'. Ako je pravac c jedan od rotiranih polozaja kraka b., to. ce njegov tlocrt c' pasti u r1 "'" b f

(zasto?), pa ee prema tome i normalna projekcija pravoga kuta <J:: ac kojemu

180

P

0'

81.267.

je samo krak a usporedan s 'lt1 biti opet pravi kut. Samo kada krak b za­uzme polozaj pravca d koji je okomit na ravnini 'ltl' hit ce normalna pro­jekcija pravoga kuta <J:: ad na pravcu a', jer je normalna projekcija pravca d tacka d' == T'. Kad bismo paralelnim pomicanjem doveli tacku T u T', a a u a', opet hi c' hilo okomito na a'. Iz toga proizlazi:

N ormalna projekcija pravoga kuta na nekoj ravnini opet je pravi kut 7::ada su oba kraka toga kuta usporedni s tom ravninom, ili kada je jedan krak toga kuta u tOj ravnini Hi je s njom usporedan, a drugi krak nije okomit na toj ravnini.

5. Priklonice i prikloni kutovi ravnine. A. - P r i k Ion i c a P, r v 0 gat rag <1.. Svaki pravac ravnine E koji je okom~t na nje­zmom prvom tragu zove se priklonica prvoga traga te ravnine. Pri­~lonica prvoga traga neke ravnine ima najveci prvi prikl<:mi kut lzme,du svih pravaca te ra~ine. Na s1. 268. prikazana je jedna pri­klomca p prvoga traga ravnine E i njezin tlocrt p'. Prema pravilu iz c~, ~. ~ora tloc~t p' priklonice p hiti okomit na prvom tragu e

1 ravnine E.

!:hlJash kut tZl sto ga priklonica p prvoga traga ravnine E cini sa svojim tlocrtom p' zove se prvi prikloni kut te ravnine. Pravu velicinu priklo­nog kut~ tZl nademo tako da pravokutni trokut PIP 2'P2 preklopimo oko p; na ravmnu 'ltJ •

P,

1 x

n,

e,

sr. 268. i 269.

Na s1. 269. nacrtane su projekcije p' i p" jedne priklonice p prvoga traga ravnine E [p.L e1, p" = (P/', P2)], a zatim je konstruiTana prava velicina pravoga priklonog kuta tZl te ravnine. Preklapanjem pravokutnog trokuta P1P 2'P2 oko p'na '1tl dobijemo trokut P1P2'P2° i u njemu traZeni prvi prikloni kut a1'

B. - P r i k Ion i cad rug 0 gat rag a. Svaki pravac ravnine E . koji je okomit na njezinom drugom tragu zove se priklonica drugog traga te ravnine. Priklonica drugog traga neke ravnine ima najveci-4rugi pri­Idoni kut izmedu svih pravaca te ravnine. Na s1. 270. prikazana je jedna priklonica q drugog traga ravnine E i njezin nacrt q~' koji prema pravilu iz cl. 4. mora hiti okomit na drugom tragu e2 te ravnine. Siljasti kut ~ sto g~ prildonica q drugoga traga ravnine E cmi sa svojim nacrtom q" zove se drugi prikLoni kut te ravnine. Pravu velicinu toga prikTonog kuta nademo tako da pravokutni trokut Q1Q/'Q2 preklopimo oko q" na rav­nir;lU 'Jt2•

e,

n,

81. 270. i 271.

Na s1. 271. nacrtane su projekcije q' iq" jedne priklonice drugoga traga ravnine E [q".l e2, q' = (Q2', Q1)], a zatim je preklapanjem pravo­kutnog trokuta Q1Q/'Q2 oko q" na 'Jt1 dobiven trokut Q/'Q1'Q2 u kolemu je trazeni drugi prikloni kut ~ te ravnine.

6. Konstruiranje tragova ravnine zadane tackama pravcima. A. - 0 b j a is n j en j a. Na s1. 272. prikazan je pravae a sa svojim probodistima Al i A 2, te pravac b s probodiiStima B1 i B2 • Ti se pravci sijeku u tacki S i odreduju ravninu E. Znamo da prva probodista tih pra­vaca moraju hiti na prvom, a druga na drugom tragu te ravnine. Probo­dista Ai i Bl odreduju prvi trag e j , a probodista A2 i B2 drugi trag e2' Kako tri ravnine 'Jti, 'Jt2 i E mogu irnati samo jednu zajednicku tacku, moraju se tragovi el i 'e2 sjeci u osi x u taeki Ex. Tragove ravnine E koja jezadana s dva pravea a i b, a koji mogu biti ukrsteni iIi usporedni, konstruirat cemo prema tome tako da cemo naciprohodiSta A 1, A2 i B 1, B2 tm pra­vaca, pa cerna spojiti istoimena probodista, tj. hit ce el= (A1' Hi), a e2 =

= (A2' B2). Ako je konstrukcija tih trago-. va taeno izvedena, moraju tragovi e1 i e2

sjeci os x u istoj tackL

B. - Ravnina zadana s dva

n.

u k r s ten apr a v c a. Zadane su pro- E

jekcije dvaju ukrstenih pravaca a i b; kon­struirajte tragave ravnine E koju ti pravci odreauju (s1. 273). Najprije se nadu pro­hodista A l , A 2, B1 i B2 tih pravaca (§ 9,

cl. 4), pa je e1 = (Al' B1), a e2 = (A2' B2)·

Pravci e1 i e2 moraju se sjeci u tacki E", na 81.272.

osi x. Buduci da ravnina E ima konver-gentne tragove, vidimo njezinu gornju stranu hilo da je gledamo u smjeru projiciranja na 11:1, ili u smjeru projiciranja na 11:2 (§ 26, cl. 3).

C. - R a v n ina z a dan apr a v c e mit a I': k 0 m. Zadane su projekcije pi'avca a i tacke T; konstruirajte tragave ravnine E koju ani odreauju (sl. 274).

A.

e.

8, a"

5"

b"

E- x A' ,

A"~b,.a.'. : i :A,

T'

8, 8,

. 81. 273. i 274.

Tackom T povuce se pravac b koji je usporedan s pravcem a (b' il a', bU II aU), a zatim se nadu probodista AI, A 2, B1 i B2 tih pravaca. Pravac (A1' B1) je prvi trag el, a pravae (A2' B2) je drugi trag e2 te ravnine. Bu­duci garavnina E irna sada divergentn:e tragove, vidirno njezinu gornju stranu kad je gledamo u smjeru projiciranja na 'Jt1' a kad je gledarno u smjeru projiciranja na1t2 , vidimo njezinu donju stranu.

183

Vjezbe

1. Nacrtajte nacrt trokuta ABC koji je u ravnini E (7; 4,5; 5), ako je zadan njegov tlocrt [A (2; 2; z), B (3; 0,5; z), C (5; 1; z)]:

a) pomocu projekcija stranica a i c, b) pomocu projekeija sutraznica prvoga traga koje idu vrhovima trokuta.

2. Nacrtajte tloert trokuta ABC koji je u ravnini E (-6; 4; 5), ako je zadan njegov naert [A (-1; y; 1), B (-2,5; y; 2,5), C (-4; y; Oi5)]:

a) pomocu projekeija stranica a i c, b) pomocu projekeija sutraZnica drugoga traga koje idu vrhovima trokuta.

3. Naertajte tragove ravnine E (4; 4; 5), a zatim nadite tloert i naert: a) sutrazmceprvoga traga te ravnine koja je 2 em ~nad ravnine 'it"

b) sutraznice drugoga traga te ravnine koja je 1,5 em ispred ravnine 'it2 •

4. Zadan je prvi trag e, ravnine E(6; 5; 1;) i tacka T (1; 2; 1,5) koja je u toj rav-nini; nadite drugi trag te ravnine.

5. Odredite priklone kutove ravnine P (7; 4; 6).

6. Nacrtajte tragove ravnine A (8; 11; 5), ako je njezin drugi prikloni kut ~2 = 45°.

7. Nacrtajtetragove ravnine T (7; 4; 1;), ako je njezin prvi prikloni kut ~, = 75°.

8. Nadite -tragove ravnine koja je zadana s tri tacke A (4; 1;.3), B (2; 4; 1) i C (5; 2; 1).

§ 28. DVIJE RAVNINE I NJIHOVA PRESJECNICA

1. Usporedne ravnine. Dvije su ravnine usporedne kad one nemaju u konacnosti zajednickih tacaka. Poznato je iz stereometrije da dvijemedu sobom usporedne ravnine sijece neka treca ravnina u usporednim pre­sjecnicama. Prema tome ce 'it1 sjeci dvije usporedne ravnine E i A u uspo­rednim tragovima e1 i d1, a 1t2 sjeci ce te ravnine takoder u usporednim tragovima e2 i d2•

Kad su dvije ravnine meau sobom usporedne, tLsporedni su meau sobom i njihovi istoimeni tragovi.

Na s1. 275. nacrtani su tragovi dviju medu sobom usporednih ravnina, a na sl. 276. rijesen je ovaj zadatak:

/

e, e,

Sll. 275. i 276.

184

/

Zadani su tragovi ravnine E i projekcije tacke T; polozite tackom T ravninu A usporedo s ravninom E. Buduci da ce istoimeni tragovi rav­nina E i A biti medu sobom usporedni, bit ce d1 usporedan s e1 , a ~ uspo­redan s e2• Prema tome dovoljno je da nanemo jednu tacku prvoga traga ravnine A, iIi jednu tacku drugoga traga te ravnine, pa da polozaj tih tra­gova bude odreden. Polozit cemo zbog toga tackom T jednu sutraZnicu m prvoga traga ravnine A. Njezin tlocrt m' usporedan je s e1 i ide tackom T', njezin nacrt m" usporedan je s osi x i ide tackom Til, a nJezino je drugo probodiSte tacka M2• Ako sada tackom M2 povucemo pravac d2 usporedo s e2 do osi x, a zatim tackom Dx povucemo pravac d1 usporedo s e1, dobit cemo tragove ravnine A.

Do tragova ravnine A mozemo doci i tako da tackom T polozimo jednu sutraZnicu n drugoga traga ravnine A. Njezin nacrt n" usporedan je s e2 i ide tackom Til, njezin tlocrt n' usporedan je s osi x i ide tackom T', a njezino je prvo probodiste tacka Nt. Zatim povucemo pravac d1 tackom N1 usporedo s e1 do osi x, a nakon toga tack om Dx povucemo pravac d2 Uspo­redo s e2, pa dobijemo tragove ravnine A.

2. Presjecuica dviju ravnina. A. - Pre s j e c n i cad v i j u r a v­nina. Dvije ravnine koje nisu usporedne sijeku se u pravcu koji se zove presjecnica tih ravnina. Na s1. 277. prikazane su dvije opce ravnine E i A koje nisu usporedne, a njihova je presjecnica p. Buduci da je presjecnica pravaC koji je u jednoj i drugoj ravnini, mora njezino prvo probodiste Pl biti na prvom tragu jedne i prvom tragu druge ravnine, one ce, dakle, biti u njihovom sjecistu. Prema tome, kada su zadani tragovi e1, e2 i d1, d2 rav­nina E i A, time su odrenena i probodista P 1 = (e1 ,: d1) i P2 = (e2 x d

2)

njihove presjecnice p, kao i sam a presjecnica, jer je pravac odreden karl su poznate dvije njegove tacke.

81. 277, 278. i 279.

185

B.-Konstruiranje projekcija presjecnice dviju ;r a v n ina. 1. Na s1. 278. prikazana je konstrukcija projekcija presjec­nice p dviju opeih ravnina E i A kojima su tragovi konvergentni.Najprije nademo probodista PI iP2 te presjecnice: PI = (el x d1), a P/' je u osi x; P 2 = (e2 x d2), a P2' je u osi x.

Pravae (PI' P2') je tlocrt p', a pravac (P/', P2) je nacrt p" presjecnice p.

2. Na s1. 279. prikazana je konstrukcija projekcija presjecnice p dviju opeih ravnina E i.4, ako ravnina E ima konvergentne, a ravnina A diver­gentne tragove. Postupak je isti kao u tacki 1.

3. Presjecnica dviju ravnina u osobitim polozajima. A. - P r e­sjecnicadviju opeih ravnina kojima su prvi tra­g 0 vi us po red n i. Na s1. '280. prikazane su dvije opee ravnine E i A kojima su prvi tragovi usporedni, . te njihova presjecnica p. Buduei da su prvi tragovi el i d1 tih ravnina medu sobom usporedni, prvo je probodiste PI tih ravnina neizmjerno daleko' u neizmjerno dalekom presjecistu tih tragova. Prema tome presjecnica p mora ici drugim pro­bodiStem P2 = (e2 x d2) usporedo s el i dl , ona je dakle sutraZnica prvoga traga jedne i druge ravnine.

11.

x

n. e,

SI. 280.1281.

Presjecnica dviju ravnina kojima su prvi, odnosno d'l'ugi tragovi uspo­redni je sutraznica prvoga, odnosno drugoga traga tih ravnina.

Na s1. 281. nacrtani sutragovi ravnina E i A kojima su prvi tragovi usporedni i konstruirane su projekcije rijihove presjecnice.

B. - Pre s j e c n i ca d v i j u p r v i h, od nos nod rug i h r a­v n ina pro j i c ira n j a. Kao specijalan slucaj t.A imamo na s1. 282. ~onstrukciju projekcija presjecnice dviju drugih ravnina projiciranja A, 1 B. Buduei da su obje ravnine okomite na '11: 2, njihova presjecnica p oko-

186

mita je na '11: 2, Na s1. 283. nacrtane su projekcije presjecnice dviju prvih ravnina projiciranja A i B. Buduei da su abje ravnine oko­mite na '11:1, njihova je presjecnica p okomita na '11:1;

C. - Pre s j e c n i c a 0 pee ravnine i ravnine pro­j iciranj a. Na s1. 284. nadene su projekcije presjecnice opee rav­nine E i prve ravnine projiciranja P. Tloert p' presjecnice p poklapa se s prvim tragom r1 ravnine P prema pravilu iz § 10, cl. 2. C.

0, p'

0, p. b, °1 I

x

b, b. 0,

SI. 282. i 283.

Na s1. 28:'1. prikazano je odredivanje projekcija presjecnice opee rav­nine E i drug'e ravnine projieiranja ~. Prema pravilu iz § 10, c1. 2. D sada se .naert p" presjecniee p poklapa s drugim tragom S2 ravnine L.

P." 1 X

p'

e,

SI. 284. i 285.

D. - Pre s j e c n i c a 0 pee i h 0 r i z 0 n tal n era v n i n e. Na s1. 286. prikazane su ope a ravnina E i horizontalna ravnina P. Drugi trag ravnine P je pravac '1'2 usporedan s osi x, a njezin prvi trag r1 je neiz­mjerno daleko na'11:!. Presjecnica m tih dviju ravnina ide tackom M2 = = (e2 x r 2) usporedo s e l jer je Ml = (el x '1'1) neizmjerno daleko na el ·

Ta je presjecnica prema tome sutraznica prvoga traga ravnine E.

P1'esjecnica koje god ravnine E s horizontalnom ravninom P je sutra­.znica prvoga traga ravnine E.

Na s1. 287. odredene su projekcije presjecnice opee ravnine E i hori­zontalne ravnine P.

187

r,

m'

e,

8t 286. i 287.

E. - Pre s j e c n i c a 0 p c era v n i n e ira v n i n e us p 0 r e­d n e s, 1t2• Na s1. 288. prikazane su opca ravnina E i ravnina P koja je usporedna s 1t2• Prvi trag ravnine P je pravac rl usporedan s osi x, a nje­zin drugi trag r2 jeneizmjerno daleko na 1t2• Presjecnica n tih dviju rav­nina ide tackom Nl = (el x r 1) usporedo s e2 jer je M2 = (e2 x r

2) neiz­

mjerno daleko na e2' Ta je presjecnica sutraZnica drugoga traga ravnine E.

Presjecnica koje god ravnine E s ravninom P koja je usporedna s 1t~ je sutraznica drugoga traga ravnine E. -

Na s1. 289. odredene su projekcije presjecnice n .epce ravnine E i rav­nine P koja je usporedna s 1t2 .

F. - K 0 n s t r u ira n j e pre s j e c n ice d v i j u r a v n ina k ads j e c is tat rag 0 v a pad a j u i z van me dec r t e z a. Na 81. 290. prikazane su dvije ravnine E i P Kojima se drugi tragovi e i r~ sijeku u tacki P2 = (e2 x r2), dok se njihovi prvi tragovi el i r

1 sije~u ~

tacki koja j~ izvan mede crteza. Da bismo dobili pored tacke P2

jos jednu tacku T njihove presjecnice p, presjeci cemo obje ravnine trecom, pomoc-

,['1 'n"

N" , --~

n' rot 11, N,

e,

81. 288. i 289.

188

nom ravninom <P, koja moze biti usporedna s 1tl iIi S 1t2' Ta ravnina <P koja je na s1. '290. usporedna s 1tl sijece ravninu E u sutraznici a prvoga traga, a ravninu P u sutraznici b prvoga traga (t. D). Te se dvije sutraznice koje su u ravnini <P sijeku 'u tacki T koja je na trazenoj presjecnici p.

SI. 290. i 291.

Na s1. 291. konstruirane su projekcije presjecnice dviju takvih rav­nina E i P Kojima se prvi tragovi sijeku izvan mede crteza. Najprije je nadeno drugo probodiste P 2 presjecnice p. Zatim je povucen drugi trag i2 pomocne ravnine <P koji je usporedan s osi x, pa su nadene, kao na s1. 287, projekcije a' i a" presjecnice a ravnina E i <P i projekcije b' i b" presjec­nice b ravnina P i <P. Tlocrt T' tacke T je u sjecistu pravaca a' i b', a njezin nacrt T" je na f2' Tlocrt trazene presjecnice,je pravac p' = (P2', T'), a nje­zin nacrt je pravac p" == (P2, Til).

Tu drugu tacku T presjecnice p mozemo dobiti i tako da ravnine E i P presijecemo pomocnom ravninom <P koja je usporedna s 1t2' Ravnina <P sijece tada ravnine E i P u sutraZnicama drugoga traga a i b tih ravnina (tacka E), koje se sijeku u tacki T.

Projekcije presjecnice dviju ravnina E i P (s1. 292) Kojima se drugi tragovi ne sijeku u medama crteza mogli bismo od­rediti na jedan od ta dva prikazana naci­na, ali se te projekcije mogu konstruirati jos i na treci nacin:

Ravninu P presijecemo pomocnom ravninom <P koja je usporedna s ravninom E (f1 II el , a f21l e2). a kojoj tragovi 11 i 12 si­jeku tragove Tl i Te. Zatim' odredimo pro­jekcije presjecnica a ravnina P i <P. Tra- SI. 292.

zena presjeenica p ravnina E i P bit ce usporedna s presjeenicom a jer dvije menu sobom usporedne ravnine E i cI> sijeee treca ravnina P uusporednim pravcima a i p. Tloert p' presjecnice p ide prema tome tackom Pi usporedo s a', a njezin nacrt p" ide taekom P/, usporedo sail.

Vjezbe

1. Zadana je ravnina E (-5; 4,5; 4) i taCka T (-4; 2; 2,5); polozite tackom T ravninu P kOja je usporedna s ravninom E.

2. Nacrtajte projekcije presjecnice ovm dviju ravnina:

a) A (-3; 2; 1,5) i B (3; 3; -4), b) r(-3; 4; 2) i A(2; -1; 3), c) E (-4; -3; 2) i P (2; 4; -4), d) K (-5; 4; 4,5) i A (00; 2; 00),

e) M(5; 4; 4,5) i N(oo; 00; 2), f) !: (6; 3; 5) i T (6;5; 3).

3. TackomA (5; 2; 2) povucite pravac koji' je usporedan s ravninama P ( -,2; 1,5; 3) i !: (4; 5; 2). Up uta: Trazeni pravac mora biti usporedan s presjecnicom zadanih ravnina.

4. Nacrtajte projekcije presjecnice dviju ravnina kOjima se ni prvi ni drugi tragovi ne sijeku unutar meda crteza. Up uta: Presijecite zadanu ravninu dvjema pomocnim ravninama koje su usporedne s Te" pa cete dobiti dvije tacke trazene presjecnice.

190

VII. ODNOS PRAVCA I RAVNINE

§ 29. PROBOmSTE RAVNINE PRAVCEM

1. Prohodiste opce ravnine pJC'avcem. A. 0 b j as n j en ja. Tacka A u kojoj pravae a probada ravninu E zove se probodiste rav­nine E pravcem a. To probodiSte koje je zajednieka taeka ravnine E i pravca a IDozemo naci tako da tim praveem polozimo koju god pomocnu ravninu cI> i odredimo presjeenieu b ravnina E i cI> (s1. 293). Buduci da se na presjeenici b nalaze sve taeke koje su"zajednieke ravninama E i cI>, na toj ce presjeenici biti i trazeno probodiste A. Prema tome to ce pro­bodiste blti u sjecistu pravea a i presjeeniee b.

Praveem a. mozemo poloziti neizmjerno mnogo pomocnih ravnina cI>, a menu njima se nalaze i prva i druga ravnina projiciranja. Te se ravnine obieno upotrebljavaju pri odredivanju probodista A jer je konstrukcija presjeeniee ravnine E s jednom ravninom projieiranja jednostavnija od konstrukcije presjeenice dviju opcih ravnina. Tako je na s1. 294. prika­zane cidredivanje probodista ravnine E pravcem a pomocu prve ravnine projiciranja P polozene praveem a. Prvi se trag rl te ravnine poklapa s tloertom a' pravea a, a njezin drugi trag r 2 je okomit na osi x. Ravnine E i P sijeku se u pravcu b = (BI' B2) na kojemu je trazeno probodiste A = (a x b).

Sl 293, 294. i Z95.

a' r,

191

I I

Sada mozemo rijesiti ovaj zadatak:

B. - Zadani su tragovi el i e2 ravnine E i projekcije a' i a" pravca a; treba se odrediti projekcije probodista A ravnine E pfavcem a.

Prvi trag r1 prve ravnine projiciranja P polozene praveem a poklapa se sa', dakle. je rl = a', a njezin drugi trag r2 okomit je na osi x. Projek­cije b' i b"presjecnice b ravnina E i P naertaju se kao na s1. 284. U sje­cistu pravaea a" i b" je naert A" trazenog probodista A, a njegov tloert A' nalazi se na a'. .

Probodiste Analazi se u onom dijelu ravnine E koji je u prvom kva­drantu, a kako ta ravnina ima konvergentne tragove, vidimo gornju stranu te ravnine i probodiste A (s1. 294), bilo da ih promatramo odozgo iIi odspri­jeda (§ 26, cl: 3). Ako je ravnina E neprozirna, onda nam ona sakriva u jednom i drugom slucaju onaj dio pravea a koji je ispod nje, a to je onaj dio pravca koji je na s1. 294. Hjevo od probodista A, pa sli. zbog toga na s1. 295. projekcije toga dijela pravea naertane isprekidanom crtom.

C. - R a v n ina E i mad i v erg e n t net rag 0 v e. Na s1. 296. rijesen je isti zadatak kao na s1. 295, sarno sada ravninaE ima divergentne tragove. Opet se praveem a po1ozi prva ravnina projiciranja P i potraze seprojekcije presjecniee b ravnina E i P. Prvi tragovi ravnine E i P sijeku se u taeki Bl koja je ispod osi x, kao i na s1. 295, ali se njihovi drugi tragovi sijeku u tacki B2 koja nije iznad osi x kao na s1. 295, vee je sada ispod nje. Zatim se na osi x nadu taeke B/' i B2/ pa je t~oert presjeeniee b pravac b' = (Bl' B2'), a njezin naert je pravae b"= (B/', B2). Projekcije traZenog .probodista A su taeka A" = (an x b") i tacka A' na a'. BuduCi da ravnina E ima sada divergentne tragove, vidimo gornju stranu te ravnine kada je promatramo odozgo, a kada je promatramo odsprijeda,

e, 0"

\ All ,\ ---

b' A' a 1 ,......;:'-: / r,

x

e,

vidimo njezinu donju stranu (§ 26, Cl. 3). Prema tome ee nam ta ravnina kad je promatramo odozgo sakrivati onaj dio pravea a koji je ispod nje, ij. onaj dio koji je lijevo od probodista A,pa je zbog toga tloert toga dijela pravea nacrtan isprekidanom ertom. Promatramo Ii tu ravninu odspri­jeda, ona flam sakriva onaj dio pravea a koji je iza nje, tj. onaj dio koji je desno od proboaista A, pa je zbog toga naert toga dijela pravea nacrtan isprekidanom ertom,

D. - Dr u gar a v n ina pro j i c ira n j a k a 0 po moe n a r a v n ina. Na s1. 297. odredene su projekcije probodista Aravnine E praveem a pomoeu druge ravnine projiciranja :E polozene tim praveem. Drugi trag te ravnine poklapa se sa", dakle je S2= a", a njezin prvi trag 81 okomit je na osi x. Projekcije b' i b" presjeenice b ravnina E i :E nadene su kao na s1. 285, a projekcije trHzenog probodista A su A' = (a' x b') i A" koja je na a".

Ispravnost konstrukcije na s1. 296. i 297. moze se provjeriti pomoeu jedne sutraZnice, tj. moze se utvrditi da Ii nadeno probodiste A lezi u ravnini E.

2. Probodiste ravnine projiciranja pravcem. A. - Pro bod i­iHe prve ravnine I>rojieir.anja praveem. Na s1. 298. prikazana je prva ravnina projiciranja P s tragovima r1 i r2, te pravae a s projekcijama a' i a". ProbodiSte A je zajednieka taeka ravnine P i pravea a. Buduei da sve taeke ravnine P imaju svoj t10ert u njezinom prvom tragu r l , hit· ee i tloert A' probodista A u r1, a kako je tacka A i na pravcu a, mora njezin tlocrt A' biti i na tloertu a' pravca a, pa prema tome mora A' biti u sjecistu pravaea Tl i af

• Na temelju toga razmatranja odredene su na s1. 299. projekcije probodista prve ravnine projiciranja P i pravca a. Tioert toga prohodista je taeka A' = (rl x a'), a njegov nacrt A" je u presjeeistu pravca a" i ordinale povueene taekom A'.

r,

a' n,

Sl. ·298. i 299.

13 Nacrtna geometrija I

\"

A" ,

1 ,

! "

0' A'

~ , , x

r.

193

Kad promatramo ravninu P i pravac a odozgo, vidimo Citav pravac jer nam se ravnina P prikaze kao pravac r1, pa zbog toga je na s1. 299. citav tlocrt pravca a nacrtan pun om crtom. Ako pak promatramo ravninu P i pravac a odsprijeda, ne vidimo onaj dio pravca koji je desno ad probo­dista A jer ga sakriva ravnina, pa je zbog toga nacrt toga dijela pravca nacrtan isprekidanom crtom.

B. - Pro bod i s ted rug era v n i n e pro J 1 C ira n j apr a v­c em. Na s1. 300. prikazana je druga ravnina projiciranja L s tragovima 8

1 i S2, zatim pravac a s projekcijama a' i a", te probodiste A s projekci­

jama A' i A". Buduci da je tacka A u ravnini 1:, njezin nacrt A" mora biti u drugom tragu S2 te ravnine, a kakoje tacka A i na pravcu a, njezin nacrt mora biti na nacrtu a" pravca a, pa prema tome A" mora biti u sje­cistu pravaca S2 i a". Na s1. 301. odreaene su projekcije probodiSta druge ravnine projiciranja L i pravca a. Nacrt toga probodista je A" = (S2>: a"), a u presjecistu pravaca a' i ordinale povucene tackom A" nalazi se njegov tlocrt A'.

5, an A'

x

a'

--- A' s,

81. 300. i 301.

Kad promatramo ravninu L i pravac a odozgo, ne vidimo onaj dio pravca koji je lijevo od probodista A jer ga sakriva ravnina, pa je zbog toga na s1. 301. tloert toga dijela pravea naertan isprekidanom ertom. Ako ih pak promatramo odsprijeda, vidimo citav pravac jer nam se ravnina L prikaze kao pravac S2, pa je zbog toga citav naert pravea a naertan pu­nom ertom.

C. - Pro bod i s t e tr e c era v n i n e pro j i e ira n j apr a v­c e m. Na s1. 302. nacrtani su tragovi t l , t2 i t3 trece ravnine projiciranja T i sve tri projekcije pravca a. Njegov bokocrt alii odreden je pomocu boko­crta dviju njegovih tacaka, i to bokocrtom A/" njegovog prvog probo­dista Ai i bokoertomB'" koje god njegove tacke B. Tacku A u kojoj pra­vac a probada ravninu T mogli bismo odrediti na nacin prikazan u Cl. I,

194

ali kad imamo nacrtan treci trag te ravnine i bokocrt toga pravca, onda to probodiste mozemo odre­diti na kraci nacin ovako: Tacka A mora imati svoj bokocrt Am u tre­cem tragu t3 te ravnine jer je rav­nina T treca ravnina projiciranja, a kako je tacka A i na pravcu a, njezin bokocrt Alii mora biti i na bokoertu a"' pravca a, pa prema to­me tacka A'" mora biti u sjecistu pravaea t3 i a"'. Nacrt A'" toga probodista odredimo na naertu a"

Y.

lSI. 302.

B" .

x

pravca a pomoi';u ordinaTe povucene bbkocrtom A'" okomito na os z, a njegov tlocrt A' naaemo na tlocrtu. a' pravca pomocu ordinale povucene tackom A" okomito na os x.

Kad promatramo ravninu T i pravac a odozgo iliodsprijeda, ne vi­dimo onaj dio pravea koji je lijevo od probodista A jer ga ravnina sakriva, pa je zbog toga tlocrt i nacrt toga dijela pravca nacrtan isprekidanom crtom. Kada pak ravninu T i pravac a promatramo u smjeru projiciranja na ravninu 7ta, vidimo citav pravac jer nam se ravnina T prikaze kao pra­vac t3, pa je zbog toga citav bokocrt.pravea a nacrtan punom crtom.

3. Probodiste l'avnog lika pravcem. A. - Pro bod i s t e t r o­k uta p r a vee m. oznacimo slovom D (s1. 303) onu tacku u kojoj pravac d probada ravninu E trokuta ABC. Da bismo nasli to pro­bodiste D,mozemo pravcem d poloziti prvu iIi drugu ravninu pro­jiciranja. Ako polozimo prvu ravninu projiciranja P, onda je njezin prvi trag r 1 == dl, a drugi 1'2 okomit je na osi x.Da bismo nasli pre­sjecnicu ravnina E i P, moramo odrediti probodista 1 i 2 ravnine P stra­nicama a i b toga trokuta ha nacin prikazan na s1. 299, jer ce s ta dva pro- . bodista presjecnica biti odreaena. Nacrt (1", 2") te presjecnice sijece nacrt d" pravca d u nacrtu DIP probodista D, a njegov tloert D' je u sjecistu pravca d' i ordinale pOVllcene tackom D".

Da bismo odredili koji se dio pravca u. projekcijama ne vidi, moramo uoCiti koji po~ozaj u prostoru imaju trokut i pravac. Buduci da su slova u tlocrtu i slova u nacrtu trokuta ABC poredana u protivnom smislu, za­kljucujemoda gornju stranu toga trokuta vidimo kad ga gledamo u smjeru projiciranja na 7tl , a kad ga gledamo u smjeru projiciranja na 7t2 , vidimo njegovu donju stranu (§ 10, c1. 1). Iz projekcija pravca d zakljucujemo da se on spusta nalijevo. Zbog toga se u tlocrtu nece vidjeti onaj dio pravca koji je lijevo od tacke D, a koji je zaklonjen trokutom, dok se u nacrtu

195

nece vidjeti onaj dio pravca koji je desno od tacke D, a koji je zaklonjen trokutom.

B. - Pro bod i s t epa r ale log ram apr a v cern. Ako po­gledamo s1. 299. i 303, opazit eemo da pri odreaivanju probodista prve ravnine projiciranja nekim pravcem nije nam trebao njezin drugi trag r2,

a isto tako na s1. 301. pri odreaivanju probodista druge ravnine projici­ranja nekim pravcem nije bio potreban njezin prvi trag 81' Te nepotrebne tragove zbog toga neeemo ubuduee ni crtati.

BU

0"

cn

x

B' 81. 303. i 304.

Na s1. 304. nadeno je probodiste P paralelograma ABCD pravcem p pomoeu druge ravnine projiciranja L koja je polozena tim pravcem. Nje­zin drugi trag je 82 s p", a prvi trag nije ni nacrtan. Presjecnica ravnine paralelograma i ravnine L odredena je tackama 1 i 2 u kojima ravninu L probadaju stranice paralelograma AD i BC. Nacrt (I", 2") te presjecnice pada u 82, a njezin tlocrt (1', 2') sijece tlocrt pravca p u tlocrtu P' probo­dista P. Nacrt toga probodista je u sjecistu pravca p" i ordinale povu­cene tackom P'.

Buduei da su slova u tlocrtu i slova u nacrtu paralelograma ABCD poredana u istom smislu, zakljucujemo da se vidi njegova gornja strana kad ga gledamo u smjeru projiciranja na 'lt1, kao i na 'lt2 (§ 10, cl. 1). 1z projekcija pravca i paralelograma zakljucujemo da se pravac spusta, a paralelogram uzdiZe nadesno. Zbog toga se u tlocrtu i nacrtu neee vidjeti sarno onaj dio pravca koji je lijevo od tacke P, a koji je zaklonjen para­lelogramom.

196

C. - Pro bod i s t e t r 0 k uta v e r t i k a I n imp r a v cern. Svaka ravnina polozena vertikalnim pravcem je prva ravnina projici­ranja. Prema tome pravcem p (s1. 305) mozemo poloziti koju god verti­kalnu ravninu kao pomoenu ravninu, ali obicno se upotrebljava ravnina koja se polozi pravcem p i jednim vrhom trokuta, iIi ravnina koja se polozi pravcem p uspoJ;'edo s jednom stranicom trokuta. Tako je na s1. 305. rav­nina E polozena pravcem p i vrhom C, a njezin prvi trag je e1 = (p', C'). Ta ravnina sijece trokut u dliZini 1 C. Nacrt 1" C" te duzine sijece nacrt p" pravca p u nacrtu P" trazenog probodista P, a njegov se tlocrt P' poklapa s tlocrtom p' pravca p.

Pravcem p polozena je i ravnina L usporedo sa stranicom AB trokuta. Njezin prvi trag 81 usporedan je s A,'B'. Ta ravnina sijece trokut u duzini 2 3, a nacrt 2" 3" te duzine sijece nacrt p" pravca p u vee prije naaenom nacrtu P" trazenog probodista P.

c·

. Btl

I ;

i j )( " , I J.

B'

81. 305. SI.806.

D. - Pre s j e c n i cap a r ale log ram a i t r 0 k uta. Na sl. 306. zadane su projekcije paralelograma ABCD i trokuta EFG; treba naei projekcije njihove presjecnice.

Taj bismo zadatak mogli rijesiti tako da odredimo tragove ravnine paralelograma pomocu probodiSta jednog para njegovih usporednih stra­nica kao na sl. 274, iIi pomoeu probodista njegovih ukrstenih stranica

197

kao na s1. 273, a zatim da odredimo tragove ravnina trokuta pomocu pro­bodista dviju njegovih stranica, te na kraju da konstruiramo presjecnicu tih dviju ravnina kao na sl. 278. Ali rjesavanje toga zadatka bit ce mnogo krace ako potra:Zimo one tacke u kojima dvlje stranice jednog lika pro­badaju ravninu drugog lika, pa te tacke spojimo.

Tako su na s1. 306. odreuene tacke H i J u kojima stranice EG i' FG trokuta probadaju ravninu paraielograma. Projekcije H', H", J' i J" tih tacaka nanene su, kao na s1. 303, pomocu prvih ravnina projiciranja koje su po1ozene tim stranicama trokuta i pomoeu presjecnica 1-2 i 3 - 4 tih ravnina s paraielogramom ABCD.

Da bismo utvrdili koji se dije10vi parale10grama i trokut~ ne vide kad ih promatramo odozgo, odnosno odsprijeda, moramo najprije odrediti koji se dijelovi stranica EG i FG ne vide oko njegovih probodista H i J. Iz projekdja paralelograma zakljucujemo da se vidi njegova gornja strana kada ga gledamo u smjeru projiciranja na 'It 1, kao i na 'lt2' te da se on uzdize prema 'lC2. Stranice EG i FG spustaju se prema 'lt1 zdesna nalijevo. Zbog toga se u tlocrtu i .nacrtu nece vidjeti same onaj dio stranice EG, odnosno FG .koji je lijevo od.tacke H, odnosno J, a koji je zaklonjen para­lelogramom. Od trokuta EFG u tlocrtu se vidi njegova gornja strana, a u nacrtu njegova donja strana; a kako se on uzdize desno od presjecnice HJ, to on u tlocrtu sakrivadio stranice AB i dio stranice BC, a u nacrtu samo dio stranice CD.

Vjezbe

1. Odredite projekcije probodiSta ravnine P (5; 3; 00) pravcem AB [A (1; 1; I), B (6; 2; 3)].

2. Odredite projekcije probodiSta ravnine E (5; 00; 4) pravcem CD [C (1; 2; 1), D (5; 4; 3)].

3. Odredite projekcije probodiSta ravnine k (00; 4; 5) pravcem EF [E (1; 1; I),

F (5; 5; 6)].

4. Odredite probodiSte ravnine E{5; 5' , 3) pravcem p"'AB [A (I; 1,5; I),

B (3; 2,5; 4)J.

5. Odredite probodiSte ravnine P(3; 4' , -2) pravcem P'" CD [C(l; 1,5; 3),

D (3; 3; 0,5)].

6. Odredite probodiste trokuta ABC [A (2; 3; 2), B (6; 5; I), C (8; 2; 5)] pravcem p == EF [E (3; 5; 5), F (7; 1; 1)J.·

7. Nacrtajte projekcije presjecnice trokuta ABC [A (I; 2; 1), B (7; 6; 2), C (5; 2; 5)] s ravninom E(6; 5; 00).

8. Nacrtajte projekcije presjecnice trokuta ABC fA (-3; 1; 0), B (-1; .3; 0), C(-6; 4; 6)] s ravninom P{-7; 7; 4).

9. Odredite projekcije presjecnice trokuta ABC [A (1; 2,5; 2,5), B (6; 5; 1), C (9; 1,5; 6,5)] s trokutom DEF [D (2; 5; 6), E (7; 3; 0), F (4; 1; 0)].

198

§ 30. PRAVAC I RA VNINA U MEDUSOBNO OKOMITOM POLOZAJU

1. Okomitost pravca i ravmne. A. - Pr 0 j eke i j e p r a v c a i tragovi ravnine kad je pravac okomit na ravnini. Ako je pravac a na ravnini E, on je prema jednom stereometrij­skom pravilu,' okomitna svakom pravcu te ravnine. On ce dakle biti okomit na sutraznici m prvoga traga, kao i na sutraznici n drugoga traga ravnine E, koje idu probodistem A te ravnine i pravca a. (s1. 307). Buduci da je sutra:Znica m usporedna s ravni­nom 'lt i , to ce se pravikut sto ga cini pravac a i sutra:Znica m projicirati na 'lt1 kao pravi kut (§ 27, c1. 4), bit ce dakle ~ a'm' pravi kut. Kako je pravac m' usporedan s prvim tragom e1 ravnine E, bit ce i ~ a'el pravi kut. Buduci da je sutra:Znica n usporedna s ravninom 'lt2' mora ~ a"n" biti pravi kut, a kako je pravac nil usporedan s drugim tragom ej! ravnine .E, bit ce i ~ a" e2 pravi kut. Iz toga slijedi:

Kad je pravac okomit na nekoj ravnini, njegova prva projekcija oko­rnita je na .prvom tragu, a druga projekcija na drugom tragu te ravnine.

B. - Z a d a t a k. Pomocu toga pravila lako cemo rijesiti ovaj za­datak: Zadani su tragovi ravnine E i projekcije tacke T; treba nacrtati projekcije pravca a koji ide tackom T okomito na ravninu E (s1. 308).

Tiocrt a' pravca a mora ici tackom T' okomito na prvi trag e1 rav­nine E, a nacrt a" mora .ici tackom Til okomito na drugi trag e2 te ravnine.

C. - Z a d a t a k. Zadane su projekcijepravca a i tacke T; treba na­·crtati tragove ravni.ne E koja prolazi tackom T, a okomita je na pravcu a (s1. 309).

Prema gornjem pravilu mora biti prvi trag e1 ravnine E okomit na pravcu a', a drugi trag e2 okomit na pravcu a". Buduci da su nam time poznati smjerovi tragova ravnine E, mozemo nacrtati projekcije jedne

TI,

Sl. 301, 308. i 309.

199

\

sutraznice prvoga iIi drugoga traga te ravnine koja ide tackom T. TIoert m' sutraZniee m prvoga traga ravnine E koju povucemo tackom T mora ici tackom T' okomito .na a', a njezin naert mil mora ici tackom T" usporedo s osi x. Ako sada pomocu m' i mil nademo drugo probodiSte M2 sutraz­nice m, onda imamo jednu tacku drugoga traga e2 trazene ravnine E.

Tackom M2 ide drugi trag e2 okomito na a" do tacke Ex koja je na osi x, a iz Ex ide prvi trag el te ravnine okomito na a'.

2. Udaljenost tacke od ravnine. Da bi se odredila udaljenost tacke T od ravnine E, treba najprije iz tacke T postaviti okomicu na tu ravninu, zatim naci tacku A u kojoj ta okomiea probada 'ravninu E, a na kraju odrediti pravu velicinu duzine T A. Od svih duzina kojima mozemo spo­jiti tacku T s tackama ravnine E najkraca je duzina T A. Zbog toga veli­cina te dliZine daje udaljenost tacke T od ravnine E.

Z a d a t a k: Odredite udaLjenost tacke T(T', T") od ravnine E (e1, e2).

Naertajmo na s1. 310. najprije projekcije a' i a" okomice a povucene iz tacke T na ravninu E (a'.l. e1, aIP.l. €2)' Zatim odredimo kao na s1. 295. projekcije A' i A" probodista A ravnine E i pravca a. Na kraju nadimo pravu velicinu ToA' duzine TA pomocu diferencionog trokuta (§ 8, c1. 2. B).

e, T"

e,

e, .j ,., ..... : T'

1·// T.

81. 310. i 311.

',m' , , " \ ,:

T' . '\,~,

T. ' d,

3. Medusobna udaljenost dviju usporednih ravnina. Da hi se odredila medusobna udaljenost dviju usporednih ravnina E i A, postavi se iz koje god tacke T ravnine E okomica na ravninu A, zatim se nade probodiste A ravnine A i te okomice, a na kraju se konstruira prava velicina dliZine T A.

Z a d a t a k: Zadane su ravnine E (el> e2) it:. (dl> d2); odredite njihovu udaljenost.

200

Pomocu sutraznice prvoga traga m ravnine E najprije nademo (s1. 311) projekcije koje god tacke T te ravnine. Zatim naertamo projekcije a' i a" pravca a koji ide tackom T okomito na ravninu A i odredimo projekcije A' i A" probodista A ravnine A i pravca a. Na kraju konstruiramo pravu velicinu ToA' duzine T A.

4. Udaljenost tacke od pravca. Da bi se odredila udaljenost tac­ke T od pravca a, treba tackom T poloziti ravninu E okomito na taj pravac, zatim naci tacku A u ko­joj pravac a probada ravninu E, a na kraju odrediti pravu velicinu duzine T A. Od svih duzina kojima mozemo spojiti tacku T s tackama pravca a najkraca je duzina T A, zbog toga je njezina duljina uda­Ijenost tacke T od pravca a.

Z a d a t a k: Zadana je tacka T (T', T") i pravac aj odredite udaLjenost tacke T od pravca a (s1. 312).

Q"

e,

E.

Najprije cemo, kao i na s1. 309, 81. 312 .•

nacrtati tragove e1 i e2 ravnine E

T" m"

koja ide tackom T okomito na pravac a. Zatim cerna naci projekcije A' i A" tacke A u kojoj pravac a probada ravninu E, i na krajukonstruirati pravu velicinu T OAf duzine T A.

Vjezbe

1. Tackom T (3; ,4; 1) poloZite ravninu E okomito na pravac p"" AB [A (1; 4; 6),

B (5; 1; 2)].

2. Zadana je duZina AB [A (2; 3; 2), B (6; 5; 4)]; tackom B polozite ravninu E okomito na duZinu AB.

3. Polovistetn duZine AB [A (1; 4; 2), B (5; 2; 5)J polozite ravninu A okomito na tu duZinu (simetralna ravnina duzine).

4. Odredite udaljenost taCke T (3; 7; 4) od ravnine E (5; -3; 6).

5. Odredite udaljenost tacke T (-2; 4; 7) od ravnine koja je zadana s dva ukrstena pravca c = (A, B) i b = (A, C) [A (-3; 1; 1), B (0 3; -1), C (2; 0; 6)].

6. Nadite udaljenost tacke T (5; 4; 1) od pravca p "" AB [A (5; 2,5; 0,5), B (5; 0,5; 4).

201

VIll. RAV~TINA I LIK U NJOJ

§ 31. LIK U RAVNINI PROJICIRANJA

1. Odreaivanje prave velicine lika n prvoj ravnini projiciranja, po­moeu preklapanja. Na s1. 313. prikazane su ravnine projekcija '/C1 i '/C2, te prva ravnina projiciranja P i trokut ABC koji je u njoj. Pored toga na­crtan je tlocrt A'B'C' i nacrt A"B"C" toga trokuta. Da bismo odredili pravu veIicinu trokuta ABC, mi cemo ravninu P skupa s trokutom preklo­pHi oko njezinog prvog traga r1 na ravninu '/C1. pa cemo dobiti trokut AoBoCo koji je prava veIicina toga trokuta. Zrake projiciranja AA',BEr i CC' okomite BU na tragu r1 prije i poslije preklapanja, a u prekloplje­nom polozaju prikazat ce se u pravoj velicini. Buducida je A' A = AxA", mora biti A' Ao = AzA", a isto tako mora udaljenost tacke Bo, odnosno Co od traga r1 biti jednaka udaljenosti nacrta B", odnosno C" od osi x.

202

f !

, ,

///

TI •

..-/,,,,'~~

Sl. lU3.

lzreZite iz ertaceg papira pravokutnik (12 em X 10 em) i na njemu nacrtajte trokut ABC, pa ga postavite namodel ravnina projekcija tako da predocuj€ ravninu projiciranja P i trokut ABC iz s1. 313, a zatim izvedite gore opisano preklapanje.

Z a d a t a k: Zadani 8U tragovi r1 i r2 prve ravnine projiciranja P koja s '/C2cini kut od 30°, te projekcije trokuta ABC koji je u njoj; treba odre­diti pravu velicinu trokuta preklapanjem ravnine P oko traga Tl na rav­ninu '/C1 (s1. 314).

Preklop An vrha A nade se tako da Se u tlocrtu A' postavi okomica na prvi trag r1 i nacini A' Ao = AxA". Na isti se nacin nadupreklopi Bo i Co vrhova B i C, a zatim se tacke Ao, Bo i Co medu sobom spoje, pa se dobije trokut AoBoCo koji je prava velicina trokuta ABC.

do

x

J"::---. / \. '-.... 0 . 7"A / ' "

c.(. / ... . / \ '. -......... BO ' .. on

, ... ~ ,

\811 !

s.

"""C" 1

s,

Ell. 314. i 315.

2. Odreaivanje prave velicine lika u drugoj ravnini projiciranja po­moeu preklapanja. Na s1. 315. nacrtani su tragovi 8 1 i 82 druge ravnine projiciranja 1: koja s '/C1 cini kut od 30°, te projekcije paralelograma ABCD koji je u njoj. Paralelogram ima dva para usporednih stranica, zato se njegov tlocrt .. mora sastojati od dva para usporednih stranica, a kako se nalazi u drugoj ravnini projiciranja, njegov nacrt mora biti duZina A"C" koja je u drugom tragu 82' Da bismo odredili pravu velicinu paralelo­grama ABCD, preklopit cemo ravninu 1: skupa s paralelogramom oko njezinog drugog traga S2 na ravninu '/C2"

Preklopljeni vrh AOnademo tako da u nacrtu A" postavimo okomicu na S2 i naCinimo A" AO = AxA'. Na isti se nacin nadu preklopljeni vrhovi

203

BO, CU i DO, pa kad se oni spoje, dobije se prava velicina paraIelo­grama ABCD.

IzreZite iz crtaceg papira pravokutnik (12 em X 10 em) i na njemu nacrtajte paralelogram ABCD, p" ga postavite na model ravnina projekdja tako da predocuje drugu ravninu projiciranja 1: i paralelogram ABCD koji je na njoj, a zatim izvedite preklapanje oko drugog traga na 'It ••

3. Odreilivanje prave velicine lika u treeoj ravnini projiciranja po­moeu preklapanja. Zadani su tragovi t2 i ta trece ravnine projiciranja Tavnine T, te dmga i treca projekcija trokuta ABC koji je u njoj; treba odrediti prapu velicinu toga trokuta prekLapanjem ravnine T oko traga ta na '!ta (s1. 316).

Buduci da je trokut u trecoj ravnini projiciranja, njegov bokocrt A"'B"'C'" mora biti u trecem tragu ta te ravnine, a njegov nacrt A"B"C'~

mozemo uzeti po volji. Pomocu tra-to gova t2 i ta ravnine T odredit cemo

AQ

·" najprije njezin prvi trag t l ,. a zatim ',,' /Z. ~"':.--.::Z .. )i-______ I!.!,_ cemo pomocu hacrta i bokocrta tro-! ;><.: B", ......... ~.. kuta ABC naci njegov tlocrt A'B'C'. ·V" . "" T A. IS/r' .. Ako sada ravninu T preklopimo

I ,;:. ~ Ii" '-1 :' ............... i A skupa s trokutom oko ta na '!ta

, dobit

y •. ~. >C"'~ .. fo ...... f .. · .... ·;C.. I cemo u preklopljenom polozaju pravu , x velicinu toga trokuta. Duzina AA'"

\~:::~~~A' " ~;~:~:uJ::~~j;::;~E~E. Buduci da je AA'" = A" A" to duzina

Y Am AU koja je okomita na ta mora S1. 316. biti jednaka duzini An A z. Isto tako

. mora udaljenost preklopljenog vrha BO, odnosno Co od traga ta biti jednaka udaljenosti B", odnosno C" od osi z. Kada se na kraju spoje tacke AU, BO i Co, dobije se prava velicina tro­kuta ABC.

4. Odredivanje prave velicine lika u prvoj ravnini projiciranja po­moen prelaganja. Na s1. 317. prikazana je prva ravnina projiciranja P i trokut ABC koji je u njoj, te njegove projekcije A'B'C' i A"B"C".

Pravu velicinu trokuta ABC, osim na nacin kako je odredena u c1. 1, mozemo odrediti na jos jedan nacin: Ravninu P treba okretati skupa s trokutom oko njezinog drugog traga r2 nalijevo dok ne padne na rav­ninu '!t2, pa cemo dobiti trokut (A) (B) (C) koji je prava velicina tro­kuta ABC.

204

Dosad smo cesto Jednu ravninu polagali na drugu okretanjem oko presjecnice tih dviju ravnina. Tako smo npr. ravninu '!t2 poloziIi na rav­ninu '!t l okretanjem oko osi x, pa ravninu '!ta na ravninu '!t2 okretanjem oko osi Z, zatim prvu ravninu projiciranja P na ravninu '!tl okretanjem ako njezinog prvog traga rl, iii drugu ravninu projiciranja k na ravninu '!t2 okretanjem oko njezinog drugog traga itd., a u svima tim slucajevima okretanje je vrseno za kut od 90·. Takvo polaganje jedne ravnine na drugu nazvali smo preklapanje ravnine, a preklopljene tacke oznacivali smo istim slovima kao i u prostoru, sarno smo tim slovima dodavali na desnoj strani g 0 r e iii dol j e mali kruzic.

--:--:-:--::~~::::-----.~:-: ~~~::£<-" n.

SI. 317.

Sada cemo polagati ravninu P na ravninu '!t2 (s1. 317) okretanjem oko traga r 2 za kut veci od 90·. Takvo polaganje jedne ravnine na drugu okre­tanjem oko njihove presjecnice za kut veci iIi manji od 90° nazivat cerna prelaganje Tavnine, a prelozene tacke oznaCivat cemo istim slovima kao i u· prostoru, samo cerna ta slova zatvarati u zagrade.

Kod prelaganja ravnine P oko traga T2 svaka njezina tacka opisuje 1uk kruznice koja je okomita na tragu r2~ a kojoj je srediSte u tome tragu. Tako vrh trokuta A opisuje Iuk A (A) kruznice kojoj je srediste u tacki S, a njezin polurnjer jednak je udaijenosti vrha A od traga r2, tj. S A iii S (A). Buduci da je taj Iuk usporedan s ravninom '!t1, on se projicira na 'Itt u ~ravoj velicini kao Iuk A' Ai> a na '!t 2 kao duzina An (A) koja je usporedna .s osi x.

Pravokutnikom kojim ste predocili ravninu P iz s1. 313. izvedite na modelu ravnina projekcija prelaganje ravnine P oko traga T. kako je prikazano na sl. 317.

205

x

81. 318.

Za d a t a k: Zadani 8U tra­govi prve ravnine projiciranja P koja 8 'lt2 cini kut od 30°, te projekcije trokutaABC koji je u njoj; odredite pravu veliCinu trokuta prelaganjem ravnine P oko trag a r 2 na ravninu 'lt2

(s1. 318).

Nakon prelaganja tacka A dolazi u tacku (A) koja se nade ovako: Naerta' se tloert A' Al i naert A"(A) onoga luka krliZni.ce sto ga tacka A za vrijeme pre­laganja opisuje u prostoru. Za­tim se oko S' opise luk kruZ­

niee s polumjerom S' A' i oznaci se tacka Al u kojoj taj luk sijece os x. Tac­kom A" povuce se usporedniea s osi x, a uAl uzdigne se okomiea na os x. U presjeku te usporednice i te okomice nalazi se tacka (A). Na isti se nacin odrede tacke (B) i (C), pa kad se te tacke spoje, dobije se prava velicina (A) (B) (C) trokuta ABC.

5. Afinitet. Ako produzimo stranice A"B" i B"C" nacrta trokuta do presjeka s tragom r2, dobijemo tacke D2 i E2 (sl. 317. i 318). Tacka D2 je drugo probodiste produzene stranice AB, a tacka E2 drugo probodiste produzene straniee BC trokuta ABC u prostoru. Za vrijeme pre1aganja ravnine P oko traga r2 sve tacke traga r2 ostaju na istom mjestu. Prema tome moraju ici tackom D2 produzene stranice A"B" i (A) (B), a tackom E2 prodliZene stranice B"C" i (B) (C). Iz istog uzroka moraju se produ­zene straniee A"C" i (A) (C) sjeciu tacki koja mora biti na produzenju traga r 2 0

Izmedu naerta A"B"C" trokuta ABC i njegova prelozaja (A (B)(C) U 'lt2 postoji geometrijska srodnost koja se ocituje u ovome:

1. Pravei A"(A), B"(B) i C"(C) medu sobom su usporedni, tj. pridru­zeni vrhovi tih Iikova Ide na pravcima koji su meau sobom u8poredni.

2.Straniee A"B" i (A) (B), zatim B"C" i (B) (C), te A"C" i (A) (C) sijeku se u tackama koje su na tragu r2, tj. pridruzene stranice tih likova. sijeku se u tackama kaje su na tragu r2 •

Kada dva ravna lika imaju ta dva svojstva, kazemo za njih da Sil

perspektivno afini.

Nacrt A"B"C" trokuta ABC i njegov prelozaj (A) (B) (C) u ravnini. 7:2 su dakle perspektivno afini likovi.

206

Usporedne zrake na kojima leze pridruzene tacke zovu se zrake afi­niteta, a pravac ukojemu se sijeku pridruzene stranice zove se 08 afiniteta.

U neklln zadacima mozemo pomocu afiniteta kontrolirati da Ii je rjesenje zadatka tacno izvedeno. Tako npr. mozemo pomocu afiniteta kontroIirati da Ii je konstrukcija trokuta (A) (B) (C) na s1. 318. tacno izve­dena. Ako je trokut (A) (B) (C) tacno konstruiran, onda se svaka njegova stranica mora sjeci na tragu r2 s pridruzenom stranicom nacrta trokuta.

Perspektivni afinitet potpuno je odreden kad su zadani 0 s a fin i­teta i par pridruzenih tacaka. Na primjer: Zadan je kva­drat ABCD, os afiniteta 0 i tack a Al koja je pridruzena tacki A; treba ~on8truirati Hk A 1B1C1D1 koji je perspektivno afin kvadratu ABCD (sl. 319). Tacku Bl koja je pridrliZena tacki Bnaci cemo ovako: Produzit cemo stranieu AB kvadrata do sjeeiSta E s osi af~niteta o. Pravcu (A, E) pridru­zen je pravac (A1' E) jer je tacka E pridruzena sama sebi. Ako sada tac­kom B povucemo zraku afiniteta, tj. usporednicu sa zrakom (A, A l ), ona ce sjeci pravac (Al' E) u tacki Bi . Na isti nacin, a pomocu pravea (A, F) i njemu pridrtiZenog pravca (Al' F) naci cemo tacku Dl koja je pridru­zena tacki D. 'I'acku Cl mozemo odrediti pomocu pravea (B, G) i njemu pridrliZenog pravca (Bl' G), iIi pomocu pravca CD, H) i njemu pridruze­nog pravea CDt, H), iIi pomocu pravca (A, C) koji nije na slici nae;rtan. Kvadratu ABeD obicno je perspektivno afin paralelogram A1B1C1D1• a pri specijalnom izboru tacke Ai moze taj paralelogram postati pravokutnik, odnosno kvadrat. Ako se tacka Ai na1azi na krliZ­nicikojoj je promjer EF, bit ce A i B 1C1D i pravokutnik, a kada je tacka Ai simetricna tac­ki A s obzirom na os afiniteta 0, bit ce AIB1G1Dl kvadrat, a u tom slucaju perspektivni afi­nitet prelazi u osnu (aksijalnu) simetriju.

A,~ ____ ~B~ ____________ /VE ...... . ......... .

.. ~................. . ... ...........

·· .... ······H. . .......... .

D (",.-.•. -...• -. -~,c._____c;tl

o

--"" B,

A, F D,

81. 319.

6. Odredivanje prave velicine lika u drugoj ravnini projiciranja po­mocu prelaganja. Na s1. 320. nacrtani su tragovi druge ravnine projicira­nja L i projekcije parale10grama ABeD iz s1. 315, a zatim je rijesen ovaj zadatak.

Treba odrediti pravu veliCinu pamlelagrama ABeD prelaganjem rav­nine L oko prvoga traga S1 na ravninn 'lt1 .

Kad prelaganja ravnine L ako S1 svaka njezina tacka opisuje luk kru­zniee koja je usporedna s 'lt2' a kajoj je srediSte u prvom tragu 8 1• Zato se

207

"'" ~~ ..

'.

'"

....··.A·· ciraju na 11:2 u pravoj veliCini sa zajednickim srediStem u tacki S", a na 11:1 projiciraju se kao duzine usporedne s osi x. Tacka (A) dobije se prema tome tako da se oko S" opise luk krliZ­nice s polumjeromS" A", oznaci se tacka A1 u ko­joj taj luk sijece os x, pa se u tacki A~ postavi okomica na os x. Ta Sf. 320. okomi.ca sijece uspored­

nieu s osi x povucenu tackom A' u tacki (A). Na isti se nacin odrede tacke

(B), (C) i (D).

7. Odredivanje projekcije lika u ravnini projiciranja. Kad treba na­crtati projekcije nekoga lika cija je ravnina okomita na jednoj ravnini projekcija, a poznati su njegov oblik, velicina i polozaj u prostoru, onda se njegove projekcije konstruiraju na nacin objasnjen pri rjesavanju za­dataka u § 10, c1. 2. C i D, iIi u § 11, cl. 4. DiE, iIi u § 12, c1. 4. i 5. te u § 16, cl. 3. i 4. Pri rjesavanju tih zadataka vrseno je preklapanje ravnine projiciranja na onu ravninu projekcija na kojoj je ona bila okomita. Ali

moze se izvesti i prelaga-nje ravnine projiciranja na onu ravninu projekcija na kojoj ona nije okomita, kako cemo to primijeniti u rjesavanju slijedeceg za­datka.

Zadani su tragovi r1 i r2 prve ravnine projicira­nja P i projekcije A'B' i A"B" duzine AB koja je u njoj; . treba konstruirati projekcije pravilnog seste­rokuta koji je u ravnini P, ako je duzina AB njegova stranica (s1. 321).

208

Ie)

!

\ '. \" ..

81. 321.

.... /

.. ///

r.

Ravnina P skupa s duzinom AB prelozi se oko tragar2 na 11:2 , i'dobije se duzina (A) (B), a zatim se konstruira pravilan sesterokut kojemu je dliZina (A) (B) stranica. Ako se sada ravnina P skupa s tim sesterokutom dovede iz 11:2 U prvotni polozaj prelaganjem oko drugoga traga, dobije se polozaj trazenog sesterokuta u prostoru. Za toga prelaganja svaki vrh sesterokuta opisuje luk kruznice kojoj je srediSte u r2, ~ ona je usporedna S1l:1, zato se taj luk projicira u 11:1 u pravoj velicini, a u 11:2 kao uspored­nica s osi x. Tlocrti tih lukova su lukovi kruznica.kojima je tack a S' zajed­nicko srediste, a njihovi polumjeri su jednaki udaljenostlma vrhova seste­rokuta (A) (B) (C) (D) (E) (F) od r2 • U sjecistima tlocrta tihlukova i traga r 1 nalaze se tlocrti. C', D', E' i F' nepoznatih vrhova sesterokuta, a u pre­sjecistima usporednica s osi x koje se povuku tackama(C), (D), (E) i (F)

i ordinal a koje se poloze tackama C', D', E' i F' nalaze se nacrti tih vrhova. Buduci da su sesterokuti' (A) (B) (C) (D) (E) (F) i A"B"C"D"E"F" per­

spektivno afini, a r2 je os afiniteta, moraju se produZenja pridruzenih stra­nita sjeci u tackama traga T2•

Vjezbe

1. U ravnini. P (6; 4; 00) nalazi se paralelogram ABCD kojemu je zadan nacrt A" (1; y; 2), B" (4; y; 1), C" (5; y; 4), D"; nacrtajte njegov tlocrt, a zatim odredite njegovu pravu velicrnu na oba nacrna.

2. U ravnini L (6; 00; 4) nalazi se paralelogram ABCD kojemu je zadan tlocrt A' (1; 2; z), B' (2; 5; z), C' (5; 4; z), D'; nacrtdjte njegov nacrt i odredite na oba naCina njegovu pravu velicinu.

3. U ravnini T (00; 5; 4) nalazi se paralelogram kojemu je zadan tlocrt.A' (1; 3; z), B' (4; 4; Z).'v:C' (6; 2; z), D'; nacrtajte njegov bokocrt i nacrt, a zatim odredite njegovu pravu vehcmu na oba nacina.

4. Zadan je kvadrat ABCD i os afiniteta 0 koja ne sijece kvadrat; nacrtajte perspektivno afini cetverokut A,B,C,D

" ako A, odaberete tako da su pridruzene

tacke A i A,: a) na istoj strani osi 0,

b) na razliCitim stranama osi o.

5. Zadan 'je istostranicni trokut ABC i os afiniteta 0 koja sijece trokut· nacrtajte perspektivno afini trokut A,B,C" ako A, odaberete tako da su pridruzene ta~ke A i A ;

a) na istoj strani osi 0, . I

b) na razlicitim stranama osi o.

§ 32. UK U OPCOJ RA VNINI

1. Prelaganje opee ravnine oko prvoga traga. A. -:- 0 b j a s­n j en j e.. Na s1. 322. prikazane su ravnine projekcija 11:1 i 11:2, te dio ravnme E koji se nalazi izmedu njezinih. trdgova e1 i e2 • Za-_ tim je prikazana jos i tacka.4. koja je na toj ravnini, te priklonica p

14 Nacrtna geometTija I 209

i sutrazniea m prvoga traga koje prolaze tackom A, kao i njihova druga probodista P 2 i M2 i prve projekcije p' i m'.

Kada ravninu E prelaZemo oko njezinoga prvog traga el na 'ltl• tada svaka njezinatacka opisuje Iukkruzniee koja je okomita na el • a srediste joj je u e1• Tako tacka P 2 opisuje luk P2(P2) one kruzniee kojoj je srediste u prvom' probodistu PI prikloniee p prvoga traga polozene tackom P2,

a polumjer joj je dio P IP 2 te prikioniee. Tacka A koja je na toj prikloniei opisuje za prelaganja ravnine E oko el luk A(A) one krmniee kojoj je srediste opet u Pl' a polumjer je PlA. Drugo probodiste M2 sutraznice m opisuje za prelaganja ravnine E oko el luk M 2(M2) one kruZniee kojoj je srediste S na el, a polumjer je SM2, tj. dio prikloniee prvoga traga polozene tackom M 2• Buduci da je priklonica p okomita na el i sijece el u tacki Pl' to ce i prelozena prikloniea (p) biti okomita na el i prolazit ce tackom Pl'

e,)

P, .~ ......... .

Prelozena tacka (P2) bit ce na prelozenoj priklQniei (p), a: du­zina P1(P2) bit ce jednaka du­zini P l P 2• Isto tako bit ce prelo­zena tacka (A) na (p), a Pl(A) = == PlA. Ako tacku E", u kojoj se sijeku el i e2 spojimo s (P2), do­bit cemo pravae (e2) koji je pre':' lozeni drugi trag ravnine. On zatvara s tragom el onaj kut w sto ga u prostoru cine tragovi e I. i e2• Kako se za prelaganja rav­nine E ne mijenja medusobna udaijenost kojih god dviju nje-

Sl. 322. zinih tacaka, to ce duzina EX P2

biti jednaka dmini EX(P2)' Na temelju tih razmatranja rijesit cemo sada ovaj:

B. - Z a d a t a k. Zadani su tragovi e1 i e2 ravnine E i tloert A' nje­zine tacke A; prelozite na 'ltl drugi trag e2 te ravnine i tacku A oko prvoga traga e l (s1. 323).

Taj se zadatak moze rijesiti na dva nacina.

P r vi n a c i n: Najprije odredimo naert A" tacke A pomocu sutraz­niee m prvoga traga, a zatim naertamo tioert p' i haert p" prikloniee p prvoga traga koja ide tackom A. Ako sada tackom P l povucemo okomicu na el, imamo prelozenu priklonicu (p), a na njoj mora biti njezino preIo­zeno probodiste (P2). Buduci da duzina Ex (P2) mora biti jednaka duzini, ExP2, opiSimo oko Ex kruznicu iz tacke P2 , pa ce u sjecistu te kruzniee i

210

prelozene priklonice (p) biti (P2). Pravac (e2) polozen tackama Ex i (P2

)

bit ce trazeni prelozeni drugi trag ravnine E.

e,

.....

...•.... \\

e,

SL :1:23. i 324.

. Ako je' M2 drugo probodiSte sutraZnice m polozene tackom A onda tacku (M2) koja je to preloZeno probodiste mozemo naci tako da ~ko E opisemo krmnicu iz tacke M2 i tom kruznicom presijecemo (e) u (M)x ird t kruZ' 2 2,

1 a o~ ~com presijecemo okomicu povucenu iz M2' na el. Za

prelaganJa ravnmve E oko el ostaje sutraZnica m usporedna s el, pa ce p:e:?~ tome prel~zena sutrazniea (m) iei tackom (M2) usporedo s e

1 i pre-

SJeCl ce (p) u trazenoj prelozenoj tacki (A). .

,D r ~ g i .n a c i n: Najprije odredimonacrt An tacke A (sl. 324) po­mocu pnkloDlce prvoga. traga p koja ide tom tackom. Zatim nacrtamo preloze~~ ~ri~onicu (~) koja ide tackom P1 okomito na e

1, jerna njoj

morab:tl nJezmo prelozeno drugo probodiste (P2). Sada odredimo uda:lje­nost tacke P 2 od prvoga traga e1, tj. odredimo pravu velicinu duzine P P kao na sl. 2~9. Ako je P2'P2°..L p' i P2'P2o = P

2'P2, onda je P

1P

20 = P}2~

:renesemo Ii sada .~a (p) dminu P 1P 20 pocevsi od P ll dobit ce'mo prelo­zeno. drugo probodiste (P2) priklonice p, a pravac [Ex, (Pz)] je prelozeni drugl trag (e2)'

Prelozenu tacku CA) nademo tako da nacrtamo prelozenu priklonicu (p) ..L ei · Odredimo zatim pravu velicinu PlAo duzine PiA [ako je A' Ao..L p'

211

i A'Ao = AxA", onda je PIAo == PI(A)], pa je pocevsi od PI prene­semo na (p).

2. Prelaganje opce ravnine oko drugoga traga. A. - 0 b j a s­n j en j e. Za prelaganje ravnine E oko drugoga traga e2 svaka nje­zina tacka opisuje Iuk kruznice koja je okomita na e~, ima sredi­ste u e2, a polumjer joj je onaj dio prikIoniee druge skupine polozene tom tackom koji je omeden drugim probodistem te. prikIoniee i tom tackom.

B. - Z a d a t a k. Zadani su tragovi el i e2 ravnine E i nacrt A" nje­zine tacke A; prelozite na 'It2 prvi trag el te ravnine i tacku A oko dru­goga traga e2 •

\ .~,)""-,,,,,,,,,

,-.<n) (qy \, '- {e,)

''-'I-~) \ j . "'-. '(N,) . X"--~""·"

I ,

...

e,

n" j/ \

./ \ E,

n'

e,

81. 325. i 326.

Taj se zadatak moze rijesiti na dva nacina.

\ .. ····~XQ,1 (qlj ,

..... ju.. \ (Al .

. \ (e.l / ' \

\ \.

P r v ina c i n: Najprije odredimo tloert A' tacke A (s1. 325) pomocu sutrazniee n drugoga traga, a zatim naertamo projekcije g" i g' prikIo­niee q drugoga traga koja ide tackom A. Sada povucemo tackom Q2 oko­mieu na e2 , pa dobijemo prelozenu priklonicu (g), a na njoj mora biti njezino prelozeno prvo probodiste (Ql)' Pomocu prelozene prikIoniee (g) i duzine ExQ1 nademo tacku (Ql) koja spojena s tackom Ex daje trazeni

212

prelozeni prvi trag (el ). Pomocu duZine EzNI odredimo zatim tacku (Nl) kojom ide usporedo s e2 prelozena sutrazniea (n). U sjecistu pravaea (g) i (n) je traZena prelozena tacka (A).

D rug ina c i n: Tloert A' tacke A (s1. 326) odredimo sada pomocu priklonice q drugoga traga koja ide tackom A. Naertamo prelozenu pri­klonieu (q) koja ide tackom Q2 okomitona e2• Zatim odredimo prave veli­cine Q2Qlo i Q2Ao duZina Q2QI i Q2A [Qr"Ql°..L q", Ql"Q10 = Q/'Ql' A" A ° ..L g", AnA 0 = AxA']. Ako te velicine prenesemo na prelozenu pri­klonieu (g), dobijemo tacke (QI) i (A). Pravae [Ex, (QI)] je trazeni preIo­zeni prvi trag (el)' a tacka (A) je trazeni preIozaj tacke A.

3. Odredivanje prave velicine Iika U opcoj ravnini. Pravu velicinu lika koji je u op60j ravnini odredimo tako da ravninu skupa s likom pre­lozimo na 'It l okonjezinoga prvog traga iIi na 'It2 oko njezinoga. drugog traga.

Zadani su tragovi el i e2 ravnine E i tloert A'B'C' trokuta ABC koji je u njoj; odredite pravu velicinu toga trokuta (s1. 327).

Najprije odredimo pomocu sutraZniee prvoga traga m polozene tac­kom A naert 11" tacke A, a zatim pomocu prvoga probodista C1 produzene straniee AB i prvoga probodista BI produzene straniee AC nadimo naert tacke B i tacke C. Nakon toga prelozimo tacku A oko tra@ e1 na 'It I , i to na drugi nacin [p'..L el , (p)..L ell A' Ao..L p', A' Ao = AxA", PIAo = PI(A)]. Da ne bismo morali tacke B i C prelagati na isti nacin, uocimo ovo:

Za prelaganja ravnine E oko e1 svaka tacka toga traga ostaje na svojem mjestu, pa ce zbog toga i tacke CI i Bl u kojima dvije produzene straniee troku­ta ABC sijeku e1 ostati na svo­jim mjestima. Duzina CI(A.), od­nosno BI(A) bit ce prema tome na 'It l prelozena duzina CjA, od­nosno BIA. Ako sada iz B' posta­virno okomieu na e l , ona ce sje­Ci duzinu Cj(A) u trazenoj tac­ki (B), dok ce okomiea povlicena iz C' na er' sjeCi duzinu BI(A) u trazenoj tacki (C). Trokut (A)(B)(C) daje nam pravu veli­cinu trokuta ABC.

A,

S1. 327.

213

Ako prodliZimo stranicu B'C' tlocrta trokuta A'B'C' i odgovarajucu stranicu (B) (C) trokuta (A) (B) (C), one ce se sjeci u tacki A1 koja je na prvom tragu el , jer je Ai prvo probodiste prodliZene stranice BC. BuduCi da su spojnice pridruzenih vrhova trokuta A'B'C' i trokuta (A) (B) (C) medu sobom usporedne, a pridruzene se stranice tih trokuta sijeku u tackama koje su na tragu el , to su ta dva trokuta perspektivno afina {§ 31, c1. 5).

Tlocrt svakoga ravnog lika i njegov prelozaj na 'Jtl oka prv.oga traga ravnine lika su perspektivno afini likovi. Isto tako:

Nacrt svakoga ravnog lika i njegov prelozaj na 'Jt2 oka drugoga traga ravnine lika su perspektivna afini likavi.

4. Odreaivanje projekcija lika u opcoj ravnini. Zadani su tragovi e1

i e2 ravnine E i tlocrt A'B' ,duzine AB te ravnine; nacrtajte projekcije kva­drata ABCD koji je u ravnini E (s1. 328). '

Pbmocu sutraZnice prve skupine m polozene tackom A odredimo naj­prije nacrt A" te tacke, a zatim pomocu probodista El produzene duzine AB i njezinog nacrta E/' A" odredimo nacrt B" tacke B. Kako projekcije kvadrata ABCD nece biti kvadrati, moramo ravninu E skupa s dliZinom

e,

........ .... '~ . ....

Sl. 328.

i j

/ i

.I , ..... l

AB preloziti na ravninu slike oko elili e2, zatim pomocu prelozene dliZine AB nacrtati prelozeni kva­drat, a onda pomocu njega konstru­irati njegove projekcije.

Prelozaj dliZine AB na 'Jt1 oko traga e l naaemo na isti nacin kao na s1. 327. pomocu prelozene tacke (A) i prvoga probodiSta El produ­zene duzine AB, a zatim nad stra­nieom (A) (B) konstruiramo kva­drat. Buduci da se nad dliZinom mogu konstruirati dva kvadrata, jedan na jednoj, a drugi na drugoj strani te dliZine, taj zadatak ima dya rjesenja. Na s1. 328. nacrtan je sarno kvadrat (A) (B) (C) (D) koji je na lijevoj strani te duzine.

Tlocrt D' vrha D mozemo kon-struirati na dva naCina.

P r v ina c i n: Ako tackom D povucemo jednu priklonicu a prvoga traga ravnine E, onda ce njezin tlocrt a' i njezin prelozaj (a) oko el na 'Jtl

biti na pravcu koji povucemo tackom (D) okomito na el . Buduci da sve

214

prikIonice prve skupineimaju isti prvi prikloni kut ai' to cemo tackom Fl povuci usporednicu s dliZinom P1Ao, i dobit cemo pravac ao koji je preklopljena priklonica a na 'Jt1 oko svojeg tlocrta a'. Presijecemo Ii pra­'lac ao kruznieom koju oko Fl opisemo iz tacke (D), dobit cemo tacku Do Pravac povucen iz Do okomito na a' sjeci ce a' u tlocrtu D' tacke D.

D rug ina c i n: Buduci da su tloert kvadrata i njegov prelozaj na ')";1 perspektivno afini likovi, mozemo tacku D' konstruirati pomocu toga svojstva. Ako produzena stranica (A) (D) sijece e; u tacki E, onda je tome praveu pridrliZen u toj perspektivnoj afinosti pravac (E, A'), a na njemu mora biti tacka D', i. to u sjecistu toga pravca i normale povucene iz tacke (D) na trag ei.

Naert D" tacke D mozemo odrediti pomocu jedne sutrazniee ravnine E polozene tackorn D, ili krace tako da tackom D' povucemo ordinalu i na njoj nacinimo DxD" = D'Do.

Tloert C' vrha C nademo na najkraci naCin tako da tackom (C) povu­cemo okomicu na el , jer na njoj treba da bude C', zatim tackom B' naer­tamo usporednicu s A'D', jer usporedne stranice moraju imati usporedne istoimene projekcije, pa ce u njihovom sjecistu biti C. Naert C""tacke C mora biti u sjecistu ordinale povucene tackom C i pravca povucenog tac­kom B" usporedo s A"D".

Ako su sve konstrukcije tacno izvedene, onda na kraju treba da bude C'D' II A'B', a C"D" II A"B".

5. Projekcije kruznice koja je u opcoj ravnini. Zadani su tragovi e1

i e2 ravnine E i tlocrt S' tacke S te ravnine; nacrtajte prajekcije kruznice k koja je u toj ravnini, ako je S njezina. srediste, a r njezin polumjer (s1. 329).

Najprije nacrtajmo nacrt S" tacke S pomocu sutraznice m prvoga traga koju polozimo tom tackom. Promjer AB kruznice k koji je na toj sutraznici m projicirat ce se u 'Jt1 na m', i to u pravoj velicini jer je uspo­redan s 'Jt l , pa ce biti S'A' = S'B' = r, a nacrt A"B" toga promjera bit ce na m". Promjer CD krliZnice k koji je na sutraznici n drugoga traga koja ide tackom S projicirat ce se u 'Jt2 na nil, i to u pravoj velicini jer je usporedan s 'Jt2, pa ce biti S"C" = S"D" = r, a tlocrt C'D' toga promjera bit cena n'.

Tackom S idu dvije priklonice, priklonica p prvoga traga i priklo­nica q drugoga traga. Na prvoj ce biti promjer EF, a na drugoj promjer

. GH kruznice k. Da bismo nasH tlocrt E'F' promjera EF, moramo najprije nacrtati prelozaj Po prikloniee p na 71:1 oko p'. Ako je S'So.l p', a S'So = = SxS", onda je Po = (So, P l ) taj prelozaj. Na pravcu Po nacinimo sada SoEo = SoFo = r, pa povucimo kroz Eo i Fo okomice na pravac p', a one ce

215

e,

81. 329.

sjeci p' u E' i F'. Ist6 tako, da bismo nasli nacrt G"H" promje­ra GH, moramo najprije nacr­tati prelozaj qO priklonice q na 1t2 oko q". Ako je S"So -.l q", a S"So = SxS ', onda je qO = (SO, Q2) taj prelozaj. Nacinimo sada na qO SOGo = SOHo = r, pa povu­cimo kroz GO i HO okomice na q", a one ce sjeci q" u G" i H".

Od svih promjera kruznice k promjer AB ima najduzi, a promjer EF najkraci tlocrt jer je AB na sutraznicl, a EF na priklonici prvoga traga, a kako su uz to ti tlocrti medu sobom i okomiti, to je duzina A'B' velika

os, a duzina E'F' mala os one elipse k' koja je tlocrt kruznice k. Isto tako od svih promjera kruznice k promjer CD ima najduzi, a promjer GH najkraci nacrt jer je CD na sutraznici, a GH na priklonici drugoga traga, a kako su ti nacrti jos i medu sob om okomiti, to je duzina CnD" velika os, a duzina G"H" mala os one elipse k" koja je nacrt kruznice k.

Elipse k' i k" konstruiraju se pomocu kruznica zakrivljenosti njiho­vih tjemena (§ 12, cl. 3. C). Ako se sve konstrukcije tacno izvedu, onda tacke C' i D' moraju biti na k', a tacke A" i B" na k". Zbog tacnijeg kon­struiranja k' i k" mogu se jos naci tacke G' i H', odnosno F" i En. (Kako biste nasli te projekcije?)

Vjezoe

1. Zadana je ravnina E (6; 5; 6) i tacka A (1,5; 1; z) u njoj; preloZite: 'a) drugi trag e2 i tacku A oko prvoga traga e, na 7t"

b) prvi trag e, i tacku A oko drugoga traga e2 na 7t,.

2. Zadana je ravnina E (6; 6; 6,5) i nacrt trokuta ABC [A (1; y; 0,5), B (3; y; 1,5), C (2; y; 3,.5)] koji je u njoj; odredite pravu velicinu toga trokuta prelaganjem rav­nine E:

a) oko njezinoga prvog traga na 7t"

b) oko njezinoga drugog traga na 7t,.

3. U ravnihi E (7; 6; 5) nalazi se paralelogram ABCD kojemu je zadan tlocrt [A (0,5; 3; z), B (2,5; 3; z), C (3,5; 1; z), D]; nacrtajte njegov nacrt, a zatim odredite njegovu pravu velicinu prelaganjem ravnine E:

a) oko njezinoga prvog traga na ravninu 'it" b) oko njezinoga drugog traga na ravninu 7t2•

216

4. U ravnini E (4; 5; -5) nalazi se paralelogram-ABCD kojerriu je zadan nacrt [A (2; y; 2), B (5; y; 3), C (6; y; 50), DJ; nacrtajte njegov tloert, a zatim odredite nje­govu pravu velicinu PTelaganjem ravnine E:

a) oko njezinoga prvog traga na 7t"

b) oko njezinoga drugog traga na 7t2 •

5. Naertajte projekeije i tragove ravnine trokuta ABC [A (1; 3; 1), B (3; 5; 3), C (5; 1; 5)], pa odredite njegovu pravu velicinu prelaganjem njegove ravnine:

a) oko prvog traga na 7t"

b) oko drugog traga na 7t2•

6. Naertajte projekcije pravilnog: a) peterokuta, b) sesterokuta koji je u ravnini E (10; 7; 6), ako je S (3; 2,5; z) njegovo srediste, a tacka A (2,5; 4; z) jedan njegov vrh.

7. Naertajte sve projekcije kruznice koja je u ravnini E (10; 7; 6), ako je njezino srediSte S (3; 2,5; z), a polumjer r = 2,5.

8. Zadane su tacke A (3; 1; 3), B (6; 2; 3) i C (4; 4; 5); naertajte projekcije kruz­nice koja prolazi tim tackama.

§ 33. PROJICIRANJE GEOMETRIJSKOG TIJELA S OSNOVKOM U OPCEM POLOZAJU

1. Projekcije kvadraticne prizme kojoj je osnovka U opcOJ ravnini. Zadani su tragovi e1 i e2 ravnine E i tlocrt A'C' duzine AC koja je u njoj; nacrtajte projekcije kvadraticne prizme kojoj je osnovka u ravnini E, duzina AC d!,jagonaLu osnovke, a visinav = 3 cm (s1. 330).

Projekcije osnovke ABCD nacrtat cemo na nacin izlozen u § 32, c1. 4. Pomocu sutraznice prvoga traga m polozene tackom A odredimo najprije nacrt A" te tacke, a zatim nademo nacrt C" tacke C pomocu nacrta A" F" produzene dijagonale AF kojoj je tlocrt A'F'. Potom konstruiramo pre­lozaj (A) (C) dijagonale AC na ravnini 1tl oko prvoga traga e1 ravnine E, pa pomocu njega nacrtamo kvadrat (A) (B) (C) (D) Cije. se dijagonale sijeku u tacki (S). Sada odredimo tlocrt S' i nacrt S" tacke S koja je na dijagonali AC, pa pomocu projekcija tacke S nademo projekcije dijago­nale BD. Ako produzena dijagonala (B) (D) sijece prvi trag e1 u tacki G', onda je pravac G'S' tlocrt te. produzene dijagonale, .l na njemu se nalazi tlocrt B' tacke B i tlocrt D' tacke D, dok je pravac G"S" nacrt te produ­zene dijagonale, a na njemu mora biti nacrt B" tacke B i nacrt D" tacke D. Tako je odreden tlocrt i nacrt osnovke ABCD.

Buduci da je pobocni brid prizme a = (A, A 1) okomit na ravnini osnovke E, moraju njegove projekcije a' i a" biti okomite na istoimenim tragovima te ravnine, a projekcije vrha Ai koji je na tom bridu nati cemo ovako: Kako je brid AAi okomit na ravnini E, on je okomit ina priklonici p prvoga traga te ravnine koja ide tackom A. Zbog toga cemo tackom Ao povuci okomicu na preklopljenu priklonicu Po i naCiniti ao = AoAi O = 4 cm.

217

e.

C" , .

.... ........

81. 330.

E,

Ako sada tackom Alo

povucemo usporednieu s duzinom AoA', mora u sjecistu te usporedniee i pravca a' biti A/. Nacrt A/' vrha Al dobit cemo na praveu a" po­mocu ordinale povucene .tackom At' okomito na os x.

Buduci da su po­bocni bridovi prizme uspor:edni i jednaki, oni moraju imati usporedne i jednake projekcije. Zbog toga moraju biti usporedne i meau so­born jednake duzine A' At', B'B/, C'C/ i D'Dt', zatim duzine A" At", B"B/', CI C1" i D"D/'.

Ako sada spojimo medu sobom tlocrte, a zatim nacrte tacaka AI, B I , CI i D1, dobit cemo projekcije gornje osnov­ke pdzme.

Na kraju treba da odredimo koji se bridovi prizme u njezinim pro­jekcijama vide, a koji ne vide. Svi bridovi prizme koji pripadaju konturi neke projekcije priZrr'le vidljivi su u toj projekciji. Zbog toga cemo naj­prije punom crtom nacrtati konture obiju projekcija prizme, a zatim cemo ispitati vidljivost onlli vrhova prizme kojih su projekcije ostale unutar kontura projekeija prizme.

Buduci da su unutar konture t 1 0 crt a prizme os tale sarno tacke C' i A/, treba da ispitamo koja od dviju tacaka C i A1 utI 0 e r t u je vid­Ijiva. Kako je nacrt At" tacke A1 i z n a d nacrta C" tacke C, zakljucu­jemo da se utI 0 crt uta c k a A1 vi d i, a tacka C n e v i d i, pa su u tlocrtu vidljivi i svi oni bridovi koji izlaze iz vrha A1, a nevidljivi oni koji izlaze iz vrha C.

U konturi n a crt a prizme nalaze se tacke B" i Dt. Kako je tloert D/ tacke Dl is pre d tloerta B' tacke B, zakljucujemo da se una crt u

218

t a c k a Di vi d i, a tacka B n e vi d i, pa su u nacrtu vidljivi i svi oni bridovi koji izlaze iz vrha D1, a nevidljivi oni koji izlaze iz vrha B.

. Na kraju moramo one dijelove tragova ravnine E koji su ostali ispod projekcija prizme nacrtati isprekidanom crtom. Ti se dijelovi tragova ne vide .jer ih zaklanja prizma.

2. Projekcije kvadraticne ph'amide kojoj je osnovka U opcoj ravnini. Naertajte projekcije kvadraticne piramide kojoj je osnovka ABCD u rav­

. nini E (2; -1,5; 1,5), aka je dijaganaLa njezine asnav~e AC fA (3; 3; z), C (5,5;4; z)], a visina v = 4,5 em (s1. 331).

Projekcije osnovke ABCD nacrtat cemo na naCin izlozen u § 32, c1. 4. Pomocu. sutraznice n drugoga traga polozene tackom A odredimo najprije nacrt A" te tacke., a zatim nademo nacrt C" tacke C pomoeu nacrta AilE" produzene dijagonhle kojoj je tlocrt A'E'. Potom konstruiramo prelozaj (A) (C) dijagonale AC na ravnint 'Itt oko prvoga traga el ravnine E, a po­moeu njega nacrtamo kvadrat (A) (B) (C) (D) Cije se dijagonale sijeku u

r I . e,

I io

" ,/ 1-

" " " " " " " "

A~:-·''''''~~. .,

V"

, , ,

81. 331.

, , ,

E"

----' E' e,

219

iacki (S). Zatim odredimo tlocrt S' i nacrt S" tacke S koja je na dijago­nali AC. Ako produzena dijagonala (B) (D) sijece prvi trag e1 u tacki F, onda je pravac (S', F') tlocrt te produzene dijagonale, a na njemu sena­Jazi tlocrt B' tacke B i tlocrt D' tacke D. Naerte tacaka BiD ne mozemo odrediti pomocu nacrta produzene dijagonale (S, F) jer se njezin nacrt skoro poklapa s ordinalom povucenom tackom S', pa cemo zbog' toga naert D" tacke D oclrediti pomocu sutraznice m prvoga traga, a naert B" tacke B pomocu jednakosti duzina SB i SD, tj. mora biti S"B" = S"D". Tako je odreaen tloert i naert osnovke ABCD.

Ako se iz tacke S povuce zraka z okomito na ravninu osnovke E, na njoj se nalazi vrh V piramide. Projekcije z' i z" te zrake idu tackama S', S", a okomite su na istoimenim tragovima ravnine E. Projekcije vrha V koji je na toj zraci z mogle bi se odrediti na naCin prikazan na s1. 330, ali one se mogu nab i na nacin izlozen u § 9, Cl. 3, i to ovako: Na projekei­jama zrake Z oznace se projekcije T' i T" koje god njezine tacke T. Zatim se odredi prava veliCina S'To duzine ST pomocu diferencionog trokuta S'T'To (T'To.l S'T', T'To = NT"). Sada se na preklopljenoj zraci Zo = = (S', To) naae tacka Vo koja je od tacke S' udaljena za visinu piramide v = 4,5 em, pa se pomocu te tacke odredi tlocrt V' i naert V" vrha V.

Potom se naertaju projekcije pobocnih bridova piramide taka da se istoimene projekcije vrha piramide spoje s vrhovima njezine osnovke.

Buduci da ravnina E ima divergentne tragove, a osnovka piramide je u toj ravnini, to ce se prema pravilu iz § 26, c1. 3, vidjeti gornja strana ravnine osnovke piramide kada se ona promatra u smjeru normalnog projiciranja na ravninu Tel' a kad se promatra u smjeru normalnog proji­ciranja na ravninu Te 2 , vidjet ce se njezina donja strana. Zbog toga pira­mida u tloertu zaklanja osnovku, pa se njezini osnovni bridovi AD i CD u tloertu ne vide, a is to tako ni pobocni brid DV. U naertu pak vidi se osnovka i piramida s donje strane, pa se citava osnovka vidi, a ne vidi se sarno pobocni brid DV.

3. Projekcije rotacionog valjka kojemu je osnovka u opcoj ravnini. Naertajte tloert i naert rotaeionog valjka kojemu je donja osnovka u Tav­nini E (8; 6,8; 5,7), srediste osnovke je S (2,5; 2,5; z), promjer osnovke if> = 3 em, a visina v = 5 em (s1. 332).

Projekcije donje osnovke mogle bi se nacrtati na nacin izlozen u § 32, c1. 5, ali na s1. 332. te su projekcije naertane na drugi, jednostavniji nacin. Pomocu sutrazniee m prvoga traga polozene tackom S odredimo najprije naert S" tacke S. Zatim naertamo tloert A'B' i naert A"B" onoga pro­mjera AB donje osnovke koji je na toj sutrazniei m, kao i naert C"D" i tloert C'D' onoga promjera CD te osnovke koji je na sutraznici n dru­goga traga polozenoj tackom S.

220

e,

/ /

/

. !/ /:

./: .

81. 332.

Za elipsu k' koja je tloert osnovke valjka imamo sada veliku os A'B' i dvije tacke C' i D', aza elipsu kIf koja je naert te osnovke duzina C"D" je velika os, a njezine dvije tacke su A" i B". Velicine b1 i b2 malih polu­(lsi tih elipsa odredimo na nacin prikazan u § 12, Cl. 3. E, pa na kraju elipse konstruiramo pomobi kruZniea zakrivljenosti njihovih tjemena (§ 12, c1. 3. C). .

Da bismo naertali projekcije gornje osnovke valjka, moramo naertati projekcije 0' i 0" osi 0 toga valjka i projekeije S/ i S/' sredista Sl te

osnovke koje je na toj osi. Pravac 0' okomit je na tragu e1, a pravac 0"

na tragu e2' Projekcije S/ i S/' sredista Sl gornje osnovke nademo na naNn izlozen u § 9, c1. 3, ito ovako: Na projekcijama osi valjka oznacimo projekcije T' i T" koje god njezine tacke T. Zatim odredimo pravu veli­cinu S'To duzine ST pomocu diferencionog trokuta S'T'To (T'TO -'- S'T', T'To = NT"). Sada na preklopljenoj osi 0° = (S', TO) nademo taCku Slo tako da bude S'S10 = v = 5 em,pa pomocu tacke S10 odredimo tlocrt S/ i naert S/' sredista S1 gornje osnovke. Projekcije gornje osnovke toga: valjka su elipse k/ i k/' koje su sukladne s istoimenim projekcijama donje osnovke. Izvodnice AAl i BBI su konturne izvodniee tlocrta toga valjka, dok su izvodniee CC1 i DD1 konturne izvodniee njegovog nacrta.

Buduci da ravnina E ima konvergentne tragove, te da je donja osnovka vaIjka u toj ravnini, a gornja je s njom usporedna, to cemo u tloertu i naertu vidjeti istu stranu gornje osnovke vaIjka, a njegovu donju osnovku necemo vidjeti. Necemo vidjeti ni onaj dio prvoga traga e1 koji je ispod toga valjka, kao ni onaj dio drugoga traga e2 koji je ostao iza njega.

4. Projekcije rotacionog stosca kojemu je osnovka' u opcoj ravnini. Naertajte projekcije rotacionog stosca kojemu je osnovka u ravnini E (7; 5; 6,5) i dira ravnine 'TC1 i 'TC.2' Polumjer te osnovke je r = 2 em, a visina v = 5 em (s1. 333).

Da bismo nacrtali projekcije osnovke k, moramo najpnJe preloziti drugi trag e2 ravnine E oko prvoga traga el na ravninu 'TC1 • To izvedemo pomocu tacke T koja je na tragu e2, i to na naNn prikazan na s1. 323. Za­tim nacrtamo krtiZnicu (k) koja dodiruje pravce e1 i (e2) , a ima polumjer r = 2 em. Njezino srediste je ona tacka (S) u kojoj se simetrala kuta w sto ga Cine pravei e1 i (e2) sijece s pravcem (m) koji je usporedan s prav­cem e1 i od njega udaljen 2 cm. KrtiZniea (k) dodiruje trag e1 u tacki (A), a prelozeni drugi trag (e2) utacki (E). Naertamo jos njezin promjer (C) (D) koji je usporedan s e1 i promjer (G) (H) koji je usporedan s (e2). Sada kad je odreden polozaj osnovke toga rotacionog stosca na ravnini E, prijeci cemo na crtanje projekcija te osnovke. Pomocu sutraznice m prvoga traga koja ide srediStem S osnovke k nacrtamo najprije tlocrt S' i nacrt S" toga sredista. Zatim naertamo tloert C'D' = 2 r promjera CD osnovke koji je usporedan s 'TC 1 , potom nacrt G"H" = 2 r promjera GH koji je usporedan s 'TC 2, pa tako dobijemo velike osi elipsa k' i k" koje su projekcije osnovke k. Male osi tih elipsa su A'B' = 2· S'A' i E"F" = 2· S"E". Sada nacrtamo projekcije 0' i 0" osi 0 toga stosca (0' -'- e1 i 0" -'- e2) i na nacin izlozen u § 9, c1. 3. odredimo pomocu koje god tacke P osi 0 projekcije V' i V" vrha V koji je na toj osi, a udaijen je od tacke S 5 cm. Ako na kraju iz tloerta i naerta vrha V povucemo tangente na istoimene projekcije osnovaka ro­tacionog stosea, zatvorit cemo tioert i naert toga stosea.

222

e,

. _~ _____________ ~~~~~ __ ~~~ __ ~~E~,~ ________ ~~

Ii

,/

e,

81. 333.

Vjezbe

1. Naertajte projekeije koeke kojoj je jedna osnovka u ravnini P (8; 7; 6), ako je srediste te osnovke S (2,5; 2,5; z), a jedan njezin vrh A (4; 2; z).

2. Nac:rtajte projekeije pravilne sesterostrane prizme kojoj je jedna osnovka u ravnini P (8; 7; 6), ako je srediSte te osnovke S (2,5; 2,5; z), jedan njezin vrh A (4; 2; z),

a visina prizme v == 6 em. 3. Nacrtajte projekcije pravilne: a) trostrane, b) cetv'erostrane, c) peterostrane,

d) sesterostrane prizme kojoj je osnovka u ravnini E (-10; 8; 10), ako je srediste njezine osnovke S (-3,5; 3; z), jedan vrh osnovke A (-2; 2,5; z), a visina v = 6 em.

4. Nacrtajte sve projekcije pravilne: a) peterostrane, b) sesterostrane piramide lwjoj je osnovka u ravnini E (-10; 8; 10), ako je srediSte njezine osnovke S (-3,5; 3; z),

jedan vrh osnovke A (-2; 2,5; z), a visina piramide v = 6 em.

5. Naertajte sve projekeije pravilne sesterostrane piramide kojoj je osnovka ABCDEF u ravnini E (7; -5;.5), ako je dijagonala osnovke AD [A (5; 2,5; z), D (6,5; 5; z)], a visina piramide v = 6 em.

223

6. Nacrtajte sve projekcije pravilnesesterostrane piramide kojoj je osnovka u ravnini E (10; 9; 8), ako je srediste te osnovke S (3; 3; z), osnovni brid dug 2,5 cm, jedna dijagonaIa osnovk'e je usporedna s prvim trag om ravnine E, a visina piramide je v =0 7 cm.

7. Nacrtajte sve projekcije pravilne trostrane: a) piramide, b) prizme kojoj je osnovka u ravnini E (11; 7; 10), ako je jedan njezin osnovni brid AB [A (2; I; z),

B (5; 2; z)J, a visina tijeIa v =0 6 cm.

8. Nacrtajte sve projekcije rotacionog vaIjka kojemu je osnovka u ravnmi E (10; 7; 6), srediSte osnovke S (3,5; 2,5; z), promjer osnovke ¢ =0 3 cm, a visina v=o5cm.

9. Nacrtajte projekcije rotacionog valika kojemu je osnovka u ravnini E (10; 7; 6), srediste osnovke S (2;' y; 2,5), jedna tacka na obodnici osnovke A (2,5; y; 4), a visma v =0 5 cm.

10. ,Nacrtajte sve projekcije rotacionog stosca kojemu je osnovka u ravnini E (-10; 7; 6), srediste osnovke S (-3,5; 2,5; z), promjer osnovke ¢ =0 3 cm, a vis ina v=o5cm.

11. Nacrtajte sve projekcije rotacionog: a) stosca, b) vaIjka kojemu je osnovka u ravnini P (10; 7; 6), ako je srediSte osnovke S (3; y; 2,5) jedna tacka na obodnici osnovke A (2,5; y; 4), a visina tijeIa v =0 6 cm.

224

1 .~

i I

IX. PRESJECI GEOMETRIJSKIH TIJELA RAVNINMiA

§ 34. PRESJEK PRIZME RA VNINOM PROJICIRANJA

1. 0 presjeku prizme ravninom. Ako cetverostranu prizmu kojoj je osnovka ABCD u iavnini 7t (s1. 334) presijecemo ravninom I: koja je uspo­redna s ravninom 7t, presjek ce biti cetverokut 1-2-3-4 koji je sukla­dan s osnovkom. Vrhovi toga cetverokuta su probodista ravnine I: s po­bocnim bridovima prizme, a njegove stranice su presjecnice ravnine I:

s pobockama prizme.

Presjek s1)ake prizme ravninom koja je uspor~dna S njezinom osnov­kom fe visekut koji je sukladan s tom osnovkom.

Ako kosu trostranu prizmu kojoj je osnovka ABC (s1. 335) u ravnini 7t

presijecemo ravninom <P koja je usporedna s pobocnim bridovima prizme, presjek ce biti paralelogram 1-2 - 3 - 4 kojemu su dvije stranice uspo­redne s pobocnim bridovima prizme (1-4 i 2-3), a dvije stranice su du­zine osnovaka prizme (1-2 i 3-4).

Presjek svake prizme ravninom koja je usporedna s njezinim poboc­nim bridovima je paralelogram kojemu su dvije stranice usporedne s nje­zinim pobocnim bridovima, a dvije su duzine njezinih osnovaka.

0,

n

81. 334. i 335.

15 Nacrtna geometrija I 225

Ako cetverostranu prizmu kojoj je osnovka ABCD u ravnini '!t pre­sijecemo ravninom E koja nije usporedna s osnovkom prizme niti je usporedna s njezinim pobocnim bridovima, a ni ne sijece osnovke (s1. 336): presjek ce biti cetverokut 1-2 - 3 - 4 koji nije sukladan s osnovkom, all osnovka i taj cetverokut imaju ova karakteristicna svojstva:

1. Na svakom pobocnom bridu prizme nalazi se jedan vrh osnovke i jedan vrh presjeka prizme (A i 1, B i 2, C i 3, D i 4) za koje kaiemo da su pridruzeni vrhovi likova ABCD i 1 - 2 - 3 - 4. Kako su pobocni bridovi prizme medu sobom usporedni, to se pridruzeni vrhovi osnovke i presjeka nalaze na usporednim pravcima.

0,

I

--_..--r'H - - I

I .

n

81. 336.

2. Na svakoj pobocki prizme nalazi se jedna stranica osnovke i jedna stranica presjeka prizme (AB i 1-2, BC i 2-3, CD i 3-4, DA i 4~1) koje nazivamo pridruzenim stranicama likova ABCD i 1-2-3-4. Buduci da ravnina svake pobocke prizme sijece presjecnicu e ravnina 1t i E u onoj tacki kojom mora prolaziti ona stranica osnovke i ona stranica presjeka koje su na toj ravnini (tackom E idu AB i 1-2, tackom F idil BC i2-3, tack om G idu CD i 3-4, a tackom H idu DA i 4-1), to se produzenja pri­druzenih stranica tih Iikova sijekt~ u tackama koje su na pravcu e.

To su dva svojstva karakteristicna za perspektivni afinitet likova ABCD i 1-2-3-4 (§ 31, c1. 5).

Osnovka svake prizme i presjek te prizme ravninom koja nije uspo­Tedna s njezinom osnovkom niti je usporedna s njezinim pobocnim brido-

226

vima, a ni ne sijece osnovke, jesu perspektivno afini Iikovi za koje su po­bocni bridovi prizme zrake afiniteta, a os afiniteta je presjecnica ravnine osnovke i ravnine presjeka.

2. Presjek pravilne peterostrane prizme drugom ravninom projici­ranja. Na s1. 337. zadane su projekcije pravilne peterostrane prizme kojoj je osnovka ABCDE u ravnini 1t1, a njezin osnovni brid CD je okomit na ravnini'!t2' Pored toga zadani su i tragovi Sl i S2 druge ravnine projici­ranja k kojom tu prizmu treba presjeci.

\.s~ 30

'\.

.~\ \ 2°~ • \.

z

r. A" B"E" 4 C:d<' i ".. 1 ." , ",' 53

\.i ~-~~41~11-1-!=3~"'~~ s,', '4.- ... \~ '-.'

\ " 5'" 2'"

E'" Yo o

. ....... .

S, y

81. 337.

Vrhove presjeka te prizme ravninom k odredit cemo tako da nademo probodista ravnine k s pobocnim bridovima prizme. BuduCi da je rav­nina k druga ravnina projiciranja, moraju nacrti tih probodista biti na drugom tragu S2 te ravnine (§ 29, N. 2. B). Ako ta probodista oznacimo brojevima 1, 2, 3, 4 i 5, bit ce npr. nacrt 1" tacke J u presjecistu drugoga traga S2 ravnine k i nacrta brida AA1, a nacrt 2" tacke 2 bit ce u presje­cistu traga 82 i naerta brida BBl itd. Nacrt presjeka je u drugom tragu 82

od tacke 1" do tacke 3" == 4". Tloert presjeka prizme poklapa se s tloertom prizme jer su svi pobocni bridovi te prizme okomiti na ravnini '!ti'

Na s1. 337. naertan je i desni bokocrt samo onoga dijela prizme koji je ispod ravnine k, a bokoert presjeka isertan je tankim usporednim pravcima.

227

Odreaena je zatim prava velicina presjeka 1° 2° 3° 4° 5° preklapanjem ravnine L oko traga S2 na ravninu '11: 2, i to na naCin izlozen u § 31, c1. 2.

(1"1 0 = u = 1'l x itd.). Na s1. 338. nacrtana je mreza donjega dijela prizme (§ 17, c1. 3) koja

se sastoji od mreze pobocja, osnovke i prave veliCine presjeka. Pobocje je prerezano po bridu A-I i razmotano na ravninu slike. Za konstruk­ciju te mreze dobiju se prave velicine osnovnih bridova iz tlocrta (AoBo = = A'B', BoCo = B'C' itd.), a prave velicine pobocnih bridova nalaze se u

riacrtu (Aolo = A"I", Bo2o = B"2" itd.).

3.

30 4.

2.

Co Do

c.

D.

81. 338.

3. Presjek kose trostrane prizme drugom ravninom projiciranja. Na s1. 339. zadane su projekcije kose trostrane prizme kojoj je osnovka u ravnini '11: 1, te tragovi druge ravnine projiciranja L kojom tu prizmu treba presjeCi. Buduci da je ravnina L cl.ruga ravnina projiciranja, nacrt I" 2" 3" presjeka 1-2-3 je u njezinom drugom tragu 82, i to od tacke I" do 3". Tlocrt presjeka odredi se tako da se naau tlocrti svih vrhova presjeka, pa se meau sobom spoje. Kako je vrh 1 na pobocnom bridu AA1, to se njegov tlocrt l' nalazi u presjecistu tlocrta A' A/ toga brida i ordinale povucene tackom 1". Na isti se na.cin odrede tlocrti 2' i 3' ostalih vrhova toga

presjeka. U tlocrtu se vide stranice 1 - 2 i 1 - 3 toga presj eka j er se nalaze na

pobockama koje se u tlocrtu vide, dok se ne vidi stranica 2-3 jer je na pobocki BCC1B 1 koja se u tlocrtu ne vidi.

U Cl. 1. istaknuto je da su presjek prizme ravninom i osnovka prizme perspektivno afini likovi za k6je su pobocni bridovi prizme zrake afini­teta, a os afiniteta je presjecnica ravnine osnovke i ravnine presjeka. Bu­duci da normalnim projiciranjem dvaju perspektivno afinih likova oni

228

ne gube karakteristicna svojstva perspektivno afinih likova, jer se pro­jeh:cije pridruzenih vrhova nalaze na paralelnim projekcijama zraka afi­niteta, a projekcije pridruzenih stranica sijeku se na projekciji osi afi­niteta, to ce tlocrt A'B'C' osnovke ABC i tlocrt l' 2' 3' presjeka 1-2-3 biti perspektivno afini likovi za koje su tlocrti pobocnih bridova zrake afiniteta, a tlocrt 8/ == 81 prvoga traga ravnine L os afiniteta. To nam svoj­stvo mozeposluziti za kontrolu tacnosti konstrukcije tlocrta presjeka jer se produzene stranice A'B' i l' 2' moraju sjeci u tacki D', produzene stra­nice B'C' i 2' 3' u tacki E', produzene stranice C' A' i 3' I' u tacki F', a te tri tacke D', E' i F' moraju biti na tragu Sl'

A' ,

B' " , , ,

,

I I

: I~--""- F'

, , , , " , , \ , , , ,

" \

'~

Sl. 339.

0'

'\

(3)'

--------\.---- '- . C~\ "'\{l)

____ :~l/ {21

Na s1. 339. konstruirana je i prava veliCina presjeka (1) (2) (3) prela­ganjem ravnine L oko njezinoga prvog traga 8 1 na ravninu '11:1 (§ 31, c1. 6).

Na toj slici, kao i na svima slijedecim smatrat cemo da je ravnina kojom sijecemo geometrijsko tijelo prozirna. Zbog toga je na slici pun om crtom izvucen u tlocrtu i onaj dio kose prizme koji je ispod ravnine L

4. Konstrukcije mreze pohocja kose cetverostrane prizme. Na s1. 340. prikazana je kosa cetverostrana prizma kojoj je osnovka kvadrat ABCD u ravnini '11:» a pobocni su bridoviusporedni s ravninom "2' Mreza pobocja

te prizme mogla bi se konstruirati tako da se odrede prave velicine svili pobocaka prizme prelaganjem svake pobocke oko njezinoga osnovnog brida na ravninu 1'1' ali ona se moze jednostavnije konstruirati ovako:

Ravnina E kojoj je prvi trag e1 okomit na tlocrtu, a drugi trag e2 oko­mit na nacrtu svakoga pobocnog brida te prizme, okomita je u prostoru na pobocnim bridovima prizme. Presjek kose prizme takvom ravninom koja je okomita na pobocnim bridovima prizme zove se normalni presjek kose prizme. Nacrt 1" 2" 3" 4" toga presjeka 1-2-3-4 u drugom tragu:, i to od tacke 1" do tacke 3", a tlocrt 1'2'3'4' toga presjeka odredi se kao na s1. 339. Kad bi se pobocje prizme razmotalo na ravninu slike, pobocni bridovi ostali bi menu sobom usporedni, a normalni presjek kojemu su stranice okomite na tim bridovima prikazao bi se prema tome kao duzina koja je okomita na pobocnim bridovima. To se svojstvo normalnog pre­sjeka moze upotrijebiti za konstrukciju mreze pobocja.

Odredi se prava velicina 1°20 3°40 normalnog presjeka 1-2-3-4 npr. njegovim preklapanjem na ravninu 1'2 oko traga e2 (§ 31, c1. 2). Zatim se na pravac a (s1. 341) prenesu prave velicine stranica toga normalnog presjeka, tj. naCini se 1020 =10 20,20 30 = 20 30,30 40 = 30 4° i 40 10 = 401

0•

C;

B~

AO

,(

0: A~

A"

'0 . 20-of - 4. . ".

A'; CO

BO

0" , , AO

e, A"

E'

81. 340. i 341.

230

Tackama 10, 20, 30' 40 i 10 povuku se pravci okomito na pravac a, pa se na te pravce prenesu prave velicine pobocnih bridova, koje se dobiju iz nacrta jer su pobocni bridovi 'usporedni s ravninom 1'2' NaCini se loAo = = 1" AN i loA10 = 1" At, pa 2oBo = 2"B" i 20B1° = 2"B/' itd. Kad se na kraju menu sobom spoje tacke AD, BO, CO, DO i AD, te tacke AIO, BiD, C10,

D10 i A10, zatvori se trazena mreza pobocja.

Vjezbe

'1. Odredite presjek kvadraticne prizme drugom ravninom projiciranja k, ako je osnovka prizme u ravnini 7':" a njezine dvije pobocke cine s ravninom 7':2 kut od 30°, te je njezin osnovnibrid a = 3 em, a visina v = 5 cm. Nacrtajte zatim bokocrt i mrezu onoga dijela te prizme koji je izmedu ravnine k i ravnine 7':"

2. Odredite presjek kvadraticne prizme prvom ravninom projiciranja P, ako je osnovka prizme u ravnini 7':2, a njezine dvije pobocke cine s ravninom 7':, kut od 30°, te je njezin osnovni brid a = 3 em, a visina v = 5 cm. Naertajte zatim bokocrt i mrezu onoga dijel.a te prizme koji je izmedu ravnine P i ravnine 7':2'

3. Odredite presjek kvadraticne prizme iz vjezbe 1. trecom ravninom projici­ranja T.

4. Odredite normalni presjek kose trostrane prizme kojoj je donja osnovka ABC [A (1; 2; 0),. B (2; 3; 0), C (3,5; 1; 0)], a jedan vrh gornje osnovke A, (5; 2; 4). Na­crtajte zatimpravu velicinu presjeka i mrezu pobocja.

§ 35. PRESJEK PIRAMIDE RAVNINOM PROJICIRANJA

1. 0 presjeku piramide ravninom. Presijece Ii se trostrana piramida kojoj je osnovka u ravnini l' (81. 342) ravninom L koja je. usporedna s ravninom 1', dobije se trokut 1-2-3 koji je slican osnovci. Vrhovi toga trokuta su probodista ravnine L s pobocnim bridovima piramide, a nje­gove stranice su presjecnice ravnine L s pobockama piramide.

Presjek svake piramide ravnirwm koja je usporedna snjenom osnov­kom je visekut koji je sHean toj osnovci.

81. 342. i 343.

231

Presijece Ii se trostrana piramida kojoj je osnovka A.BC (s1. 343) u ravnini 'it ravninom <l> koja prolazi vrhom piramide, dobije se trokut DEV kojemu dvije straniee idu vrhom pinimide, a treca straniea je duzina osnovke te piramide.

Presjek svake piramide ravninom koja prolazi njezinim vrhom je trokut kojemu dvije stranice idu tim vrhom, a njegova treca stranica je duzina osnovke te piramide.

2. Kolineacija. Presijece Ii se trostrana piramida kojoj je osriovka A.BC u ravnini 'it ravninom E koja nije usporedna s osnovkom piramide niti prolazi njezinim vrhom, a ni ne sijece osnovku piramide (s1. 344),

dobije se trokut 1-2-3 koji

v

! '')f{ / 0

81. 344.

nije slican osnovci, ali osnov­ka i taj hokut imaju ova ka­rakteristicna svojstva:

1. Na svakom pobocnom bridu piramide nalazi se je­dan vrh osnovke i jedan vrh presjeka te piramlde (A. i 1, B i 2, C i 3) za koje kaiemo da su pridruzeni vrhovi H­kova A.BC i 1-2-3. BuduCi da s;vi pobocni bridovi pira­mide idu njezinim vrhom V, to se pridruZeni vrhovi osnov­ke i presjeka nalaze na prav­cima koji idu istom tac­kom V.

2. Na svakoj pobocki piramide nalazi se jedna straniea osnovke i jedna straniea presjeka te piramide (A.B i 1-2, BC i 2-3, CA i 3-1) koje nazivamo pTidruzenim stranieama Iikova A.BC i 1-2-3. Buduci da rav­nina svake pobocke piramide sijece presjecnieu e ravnina 'it i E u onoj tacki kojom mora prolaziti ona straniea osnovke i ona straniea presjeka koje su na njoj (tackom D idu A.B i 1-2, tackom F idu BC i 2-3, a tac­kom G idu CA. i 3-1), to.se produzenja pTidTuzenih stmnica tih Iikova sijeku u tackama koje su na pmvc1L e.

Kad dva lika imaju takva dva svojstva, kaiemo da su perspektivno kolinearni. Zrake na kojima Ieze po dva pridruzena vrha zovu se zrake koIineacije (pobocni bridovi piramide su zrake kolineacije), tacka kojom idu zrake kolineacije zove se sTediste kolineacije (vrh piramide V je sre­diste kolineacije), a pravae na kojemu se sijeku po dvije pridruzene stra­nice zove se os koIineacije (presjecniea e ravnina 'it i E je os kolineacije).

232

Osnovka svake piramide i presjek te piramide ravninom koja ntJe usporedna s njezinom osnovkom niti prolazi njezinim vrhom, a ni' ne sijece osnovku piramide, jesu perspektivno kolinearni Iikovi za koje su pobocni bridovi piramide zrake koIineacije, vrh piramide je srediste kolineacije, a os kolineacije je presjecnica ravnine osnovke i ravnine presjeka.

3. Presjek kvadraticne piramide drugom ravninom projiciranja. A.. - Konstrukeija projekeija presjeka. Na s1. 345. zadane su projekcije kvadraticne piramide kojoj je osnovka u ravnini 'it 1 ,

te tragovi Sl i S2 ravnine 1: kojom treba presjeci tu piramidu. Buduci da Je ravnina 1: druga ravnina projieiranja, ona sijece tu piramidu u cetve­rokutu 1-2-3-4 kojemu je naert u drugome tragu te ravnine, i to od tacke 2" do tacke '4". Tioert toga presjeka odredi se tako da se naau tlo­erti svih vrhova presjeka, pa se ani redom meau sobom spoje. Ako je tacka 1" naert tacke 1 u kojoj pobocni brid A. V pro bad a ravninu 1:, onda je tioert l' te tacke u presjeeistu tioerta A.'V' toga brida i ordinale povu­cene tack om 1". Na isti se nacin naau tioerti ostalih vrhova presjeka.

Perspektivna kolineacija koja po­stoji u prostoru izmeau osnovke pira­mide i nekoga njezinog presjeka ravni­nom (eL 1) postoji i izmeau tloerta osnovke i tlocrta svakoga njezinog pre­sjeka jer se normalnim projiciranjem dvaju perspektivno kolinearnih likova ne gube njihova karakteristicna per­spektivno kolinearna svojstva. Zbog toga su tloert osnovke A.'B'C'D' i tloert presjeka 1'2'3'4' perspektivno kolinearni likovi za koje je tioert vrha V' srediste kolineaeije, aprvi trag Sl ravnine 1: os kolineacije. Ako je konstrukeija tloerta presjeka tacno izvedena, moraju se pre­rna tome produzenja pridruzenih strani-­ea tih Iikova sjeci u tackama koje su na

. tragu Sl' Tako se pravci (A.', B') i (1', 2')

sijeku u tacki K', pravci (C' , D') i (3', 4') u tacki L', a pravci (A.', D') i (1', 4') u tacki J' itd.

L'

5,

81. 345.

5,

B" x

B'

B. - M r e zap 0 b 0 c j asp res j e c n imp 0 Ii g 0 nom. Na s1. 346. naertana je mreza pobocja te piramide s presjecnim poligonom. Ta se mreza sastoji od cetiri sukladna istokracna trokuta kojima su osno-

233

vice jednake osnovnom bridu piramide, a kraci jednaki njezinom poboc­nom bridu. Prava velicina jednoga pobocnog brida, npr. AV, nadena je na toj slici pomocu okretanja toga brida oko vertikalne osi VN dok on nije postao usporedan s ravninom 71:2 (§ 18, Cl. 4). DuZina Ao"V" je prava velicinabrida AV. Prava velicina svakoga osnovnog brida piramidenalazi se u tloertu njezine osnovke (AB = A'B', BC = B'C' itd.).

A

Na mrezi pobocja zatim se naertaju straniee presjeka tako da se odrede prave velicine duzina V 1, V 2, V 3 i V 4, pa se prenesu od tacke V na odgo­varajuce pobocne bridove AV, BV, CV i DV. Prave veliCine tih duzina nadu se na najkraCi nacin ovako: Akose tackom 1" povuce usporedniea s osi x i njome presij ece duzina Ao"V" u tacki 10'" onda

v je duzina V"lo" prava velicina duzine K~-~--f.-"--_----'>l C V 1 jer tacka 1 za okretanje brida A V

/ I

81. 346.

oko vertikalne osi VN opise luk horizon·· talne kruzniee koje je naert usporedan s osi x. Ako se prema tome tackama 1", 2", 3" i 4" povuku usporednice s osi x i njima se presijece duZina A"V" u tac­kama 10", 20", 30"·i 40", onda je V"l o" = = V 1, V"20" = V 2, V"30" = V 3 i V" 40" = V 4. Kad se na kraju oznace na mrezi tacke 1, 2, 3, 4 tako da je VI = V"lo", V 2 = V"2o", V 3 = = V"30" i V 4 = V"40", pa se one redom spoje, dobiju se straniee pre­

sjeka na mrezi pobocja. Da bismo te straniee tacno naertali, dobro je da upotrijebimo tacke K', L' itd. s traga S1' Ako se straniea mreze AB pro­duzi za AK = A'K', onda straniea presjeka 1-2 mora prolaziti tackom K. IIi stranica presjeka 3-4 mora prolaziti tackom L ako je DL = D'U.

4. Presjek .pravilne sesterostrane piramide prvom ravninom proji­ciranja. Na s1. 347. naertane su projekcije pravilne sesterostrane piramide kojoj je osnovka u ravnini 7I:i, te prvi trag r1 prve ravnine projiciranja P kojom treba presjeci tu piramidu. Buduci da tlocrt presjeka piramide prvom ravninom projiciranja mora biti u prvom tragu te ravnine, to je tlocrt toga presjeka duZina l' 4' na tragu r1• Tacke l' i 4' su tloerti onih tacaka 1 i 4 u kojima ravnina P sijece osnovne bridove piramide AB i CD, a tacke 2' i 3' su tlocrti tacaka 2 i 3 u kojima ta ravnina sijece pobocne bri-

234

dove BV i CV. Pomocu tloerta tih tacaka odredeni su zatim njihovi naerti 1", 2", 3"

11/ 2" 3" 4" i 4" i tako je naden nacrt pre-sjeka 1-2-3-4. Taj je nacrt na slici is­ertan tankim usporednim praveima. De­bljim ertama naertani su tlocrt i naert onoga dijela te piramide koji je izmedu ravnina P i 71:2, pa se iz naerta dobiva uti­sak kao da je od piramide odstranjen onaj dio koji je ispred ravnine P.

5. Presjek kvadraticne piramide tre­com ravninom projiciranja. Na s1. :348. na­crtani su tlocrt i naert kvadraticne pira~ midekojoj je osnovka u ravilini 71:)., a kojoj dva osnovna brida cine s osi x kut od 60°, te tragovi tl i t2 trece ravnine projiciranja T koji su usporedni s osi x.

3" /"::-. . \, "-. 4° V'"

/ ' 'r~' ..... -/ i '.I:~

2° / / j I,

'1:---. ./1 \\ --- ___ -}. I .... ~ 1°·· I '.

!. !\ 3'" ' /\.11""·

----_._ . .,. ;:..' ....

v"

s'

81. 347.

I

I I

I

t.

I; B '<'" 1/ 1/ "", tt

~:l-----------~L~' ----~J70,---­K' Y

81. 348.

235

. Buduci ~~ boko,crt presjeka te piramide tree om ravninom projici­ranJ.a m~ra bIb u trecem tragu te ravnine, na slici je nacrtan lijevi bokocrt te plramIde, kao i treci trag t3 ravnine T. U presjeku toga bokocrta i traga ts nalazi se bokocrt 1'" 2'" 3'" 4'" trazenog presjeka 1-2-3-4. Pomocu bokocrta i ordinala okomitih na osi z konstruiran je zatim nacrt 1" 2" 3" 4" toga presjeka, a na kraju je iz nacrta, a pomocu ordinal a okomitih na osi x dobiven njegov tlocrt l' 2' 3' 4'. Tlocrt A' B' C' D' osnovke piramide i tlocrt ~' 2' 3: 4' p~esjek~" te piramide su perspektivno kolinearni likovl kojima Je tacka V srediste, a trag t1 os kolineacije, pa se stranice A'B' i l' 2' moraju sjeci u tacki J', stranice A'D' i l' 4' u tacki K', stranice B'C' i 2' 3' u tacki L', a tacke J', K' i L' moraju biti na tragu t

1•

Na sli.ci je jos odredena i prava velicina 10 20 30 40 nadenog presjeka preklapa~Jem ravnine T oko treceg traga t3 na ravninu 'its (§ 31, c1. 3).

" ~ ~vIm projekcijama istaknut je debljim crtama donjidio piramide kOJI Je Izmedu ravnina T i 'it 1 , a presjek je u tlocrtu i nacrtu iscrtan tan­kim usporednim pravcima.

. 6~ Pr:sj:k kose ce~:erostrane piramide drugom ravninom projiciranja 1 mreza n]ezmog pobocJa. Kosu cetverostranu piramidu kojoj je osnovka

236

v"

z!

G' , '.

',j ',.I

B' {E-------.:=-<f,..;:.-,-L--"."..,.---=.~.;, • .::..N' -- _ ~ _ . £L.~

, \

\

\

v'

fJ'

/ s,

Sl. 349.

paralelogram ABCD [A (2,1; 1; 0), B (0; 2,5; 0), C (1,1; 3,5; 0), D], a vrh V (5,5; 2,5; 4), treba presjeCi ravninom k (5; =; 2,6) (s1. 349).

A. - K 0 n s t r u k c i j apr 0 j e k c i j apr e s j e k a. Ova kosa cetverostrana piramida identicna je s piramidom na s1., 159. Ravnina k je druga ravnina projiciranja, pa je nacrt 1" 2" 3" 4" presjeka 1-2-3-4 te piramide ravninom k u njezinom drugom tragu S2' i to od tacke 2" do tacke 4", a tlocrt l' 2' 3' 4' toga presjeka dobije se pomocu ordinala koje se povuku vrhovima njegovog nacrta.

Tlocrt A'B'C'D' osnovke te piramide i tlocrt l' 2' 3' 4' njezinog pre­sjeka 1-2-3-4 su perspektivno kolinearni likovi kojima je tacka V' srediste kolineacije, a trag Sl os kolineacije, pa se zbog toga produzenja pridruzenih stranica tih likova, tj. (A', B') i (1', 2'), (B', C') i (2', 3'), (C', D') i (3', 4'), te (D', A') i (4', 1') sijeku u tackama E', F', G' i H' koje moraju biti na tragu Sl'

Sl. 350.

B. - M r e zap 0 b 0 c j ate pi ram ide (s1. 350) identicna je s mrezom na s1. 160, a konstruira se na nacin opisan u § 18, c1. 4. C. Na mreZi se zatim nacrtaju. stranice presjeka tako da se odrede prave veli­cine duzina V 1, V 2, V 3, V 4, pa se one prenesu od tacke V na odgova­rajuce pobocne bridove AV, BV, CV i DV. Prava velicina duzine V 2 jed­naka je njezinom nacrtu V"2" jer je brid BV na kojemu je ta duzina uspo­redan s ravninom 1t2, a prave veliCine ostalih duzina nadu se na najkraci nacin ovako: Npr. tackom 1" povuce se usporednica s osi x, pa se njome presijece duzina Ao"V" u tacki 10'" Ta je usporednica nacrt luka one hori-

237

zontalne kruzniee koju tacka 1 brida A V opise pri rotaciji toga brida oko vertikalne osi VN. Duzina V"lo" je prema tome prava veliCina dliZine V 1. Na isti se nacin nade duzina V"30", odnosno V"4o", koje su prave velicine dliZine V 3, odnosno V 4. Nacini Ii se na kraju na mrezi pobocja te pira­mide V 1 = V"lo", V 2 = V"2o", V 3 = VI/30" i V 4 = V"4o", pa se tacke 1, 2, 3, 4 i 1 redom spoje, dobiju se straniee presjeka na mrezi pobocja te piramide.

Ako se na toj mrezi nade na produzenju osnovnog brida AB tacka E tako da je AE = A'E', onda tackom E mora ici prodliZenje stranice. pre­sjeka 1-2 jer je u prostoru straniea presjeka 1-2 samo dio straniee 2 E trokuta B 2 E. Tako isto mora prodliZenje straniee presjeka.3-4 ici tac­kom G (DG = D'G') koja Je na prodliZenju osnovnog brida CD.

Vjeil;be

1. Naertajte projekcije kvadraticne piramide kojoj je osnovni brid dug 3,5 em, a visina je 5 em, ako je njezina osnovka u ravnini 7t" a dva njezina osnovna brida cine s osi x kut od 60°, pa zatim konstruirajte projekcije i pravu velicinu presjeka te piramide drugom ravninom projieiranja :E, a na kraju odredite rnrefu onoga dijela te piramide koji je izmedu ravnina 7t, i ~.

2. Naertajte projekcije pravilne sesterostrane piramide kojoj je osnovni brid dug 2,5 em, a visina je 5 em, ako je njezina osnovka u ravnini 7t., a dva su njezina (!)snovna brida usporedna s osi x, pa zatim odredite projekcije i pravu velicinu pre­sjeka te piramide prvom ravninom projiciranja P.

3. Nacrtajte projekcije presjeka pravilne llesterostrarie piramide iz vjezbe 2. trecom ravninom projieiranja T.

4. Nacrtajte projekcije cetverostrane kose piramide kojoj je osnovka parale­logram ABCD {A (1; 3; 0), B (3; 7; 0), C (6; 5; 0), D], a vrh V (10; 4; 6), pa zatim odre­dite projekcije i pravu velicinu presjeka te piramide drugom ravninom projiciranja :E, a nakraju konstruirajte mrezu onoga dijela te piramide koji je izmedu rav­nina 1t, i :E.

§ 36. PRESJEK VALJKA RA VNINOM PROJICIRANJA

1. 0 presjeku rotacionog valjka ravninom. Na s1. 351. prikazan je rotacioni valjak kojemu je osnovka u ravnini 'ltl, a os je okomita na 'lt

l.

Ravnina A koja je okomita na osi toga valjka i ima drugi trag a2

sijece taj valjak u kruznici k (k', k") koja je sukladna s osnovnom kruznieom valjka.

Ako se rotaeioni valjak (s1. 352) presijece ravninom P koja je uspo­redna s njegovom osi, presjek je pravokutnik CDDl C1• Dvije straniee toga pravokutnika su izvodnice valjka CCI i DDl> a druge dvije stranice su tetive CD i C1D1 osnovaka valjka.

238

Presijece Li se rotacioni vaLjak ravninom koja nije ni okomita ni uspo­redna s njegovom osi, presjek ce biti elipsa Hi njen dio ako ravnina sijece i osnovku valjka.

A': B; I 0" I

c" 5"i k" 0" 0,

,,': a"

A'S:A, . i . B":8' C" '-'yfo;'-' 0'

k'

81. 351. i 352.

2. Presjek rotacionog valjka drugom ravnmom projiciranja. A. - K 0 n s t r u k e i j apr 0 j eke i j apr e s j e k a; Na s1. 353. naertane su projekcije rotacionog valjka kojemu je osnovka u ravnini 'lt~,

te tragovi Sl' 32 i 33 druge ravnine projiciranja !:. Ta ravnina sijece valjak u e 1 ip s i e kojoj je velika os 1-5 usporedna S 'lt2 i jednaka duzini 1" 5", anjezina mala os 3-7 jednaka je promjeru valjka. Nekoliko tacaka pre­sjecne elipse e dobijemo tako da osnovnu kruznieu valjka razdijelimo na nekoliko jednakih dijelova, npr. 8, pa nacrtamo projekeije onih izvodnica valjka koje idu tim djeliStima A, B, C, . .. i H. Ravnina !: sijece te izvod­niee u tackama 1, 2, 3, ... i 8, koje su na presjecnoj elipsi e. Tioert l' tacke 1 je 'u tlocrtu A' tacke A, a nacrt 1" tacke 1 je u presjecistu naerta izvodnice valjka koja ide tackom A i drugog traga 32 ravnine !:, dok se njezin bokocrt I'" dobije iz njezinog tloerta i naerta. Na isti se naNn od­rede projekeije ostalih 7 tacaka presjecne elipse. Tacke 1 i 5 su na kon­turnim izvodnieama nacrta valjka, a tacke 3 i 7 su na konturnim izvodni­eama bokoerta toga valjka.

Tioert e' te elipse pokiapa se s tloertom k' osnovne krliZniee valjka, njezin nacrt e" je duzina 1" 5" koja je u tragu 32, a njezin bokoert em je elipsa kojoj je dliZina 3'" 7'" velika os, a dliZina I'" 5'" mala os.

Na slid je naertan u bokocrtu samo onaj dio valjka koji je izmedu ravnina !: i 'lt1' kao da je gornji dio valjka odstranjen, pa se tako u tOj pro-

239

10' s,

6"

51t1 411 _____ 5"

s,

~'-r.~~~k~",,' ~O'","-C~~~-t~~~~~k~"~O~"~~=+~ __ ~~~X G

m\ H"\F

u, AUI\E

u, BIIt\DIII\~lH J Alii BUiHu e"! Gil DUiFIl jE"

___ +________ C';

',---'j--- _13,1 2' 3' -------4': D'

i : ___ I A' '1'

~ r-------1

--------__ L ____ _ s.

-----L-- H'

/Y G' L

81. 353.

jekciji vidi citava presjecna elipsa e, a presjek je iscrtan tankim uspored­nim pravcima (srafiran).

B. -- M r e z ado n j e g d i j e 1 a tog a val j k a, N a s1. 354. na­crtana je mreza onoga dijela toga valjka koji je izmedu ravnina L i 7t

l.

Ona se sastoji od mreze plasta toga dijela valjka, njegove osnovke i pre­sjeka. Ako plast toga dijela valjka razrezemo uzduz izvodnice A, 1 pa ga razmotamo na ravninu slike, dobijemo mrezu toga plasta. Nju konstrui­ramo tako da naertamo duzinu A - A = 4· G'L, koja je jednaka opsegu osnovne kruznice (§ 19, c1. 2. B), pa je razdijelimo na 8 jednakih dijelova i njezinim djelistima A, B, C, ... H i A povucemo pravee koji su okomiti n~ duZin~ A-A Na te pravee koji prikazuju u razmotanom polozaju onih 8 lzvodmca valJka koje su istaknute u njegovim projekeijama prenesemo prave veliCine onih dijelovatih izvodnica koji su izmedu osnovne kruz­nice i presjeka.Te se prave velicine nalaze u nacrtu valjka,pa ih iz naerta prenesemo na razmotane izvodnice. Tako je A 1 = A"l", B 2 = B"2" itd. Tacke ~, 2, ... , 8 i 1 odreduju krivulju e koja omeduje mrezu plasta valjka s g~rnJe .s_trane, a koja je razmotana elipsa e_ Njoj ce pravac (E, 5) biti os slmetTl]e.

240

I 2 --~- 8

e I 3 7

I

A B c G H A

81. 354.

3. Konstrukcija mreze plasta kosog valjka. N a s1. 355': nacrtane su projekcije kosog valjka kojemu je donja osnovka u 7tl , a os 001 usporedna je s ravninom 7t2• Da bismo mogli konstruirati mrezu plasta toga kosog valjka, moramo najprije odrediti projekcije jednoga njegovog nor m a I­no g pre s j e k a, tj. presjeka ravninom L koja je okomita na osi toga vaIjka, kao i na svakoj njegovoj izvodnici. BuduCi da je njegova os 001

usporedna s 7t2, bit ce ravnina L druga ravruna projiciranja. Njezin prvi trag 81 postavljen je okomito na 0'0r', a njezin drugi trag 8 2 okomit je na 0/'0/'.

Niz tacaka normalnog presjeka dobijemo tako da donju osnovku valjka razdijelimo na 12 jednakih dijeloya i nacrtamo izvodniee valjka koje idu djeliStima A, B, ., . K i L. Te izvodnice probadaju ravninu L u tackama 1, 2, ... 1.1 i 12 koje su na normalnom presjeku valjka ravninom L. Nacrti 1", 2", ... 11" i 12" tih tacaka su u sjecistima traga 82 i naerta izvodnica valjka, a nacrt cijeIoga normainog presjeka je od tacke 1" do tacke 7". Tioert l' tacke i je u sjeeistu ordinale koja ide tackom 1" i tlo­erta izvodniee vaIjka s nozistem u tacki A. Na isti se nacin odrede tlocrti ostalih 11 tacaka presjeka. Tacke 4 i 10 su na konturnim izvodnicama tlo­crta valjka. Normalni presjek ]e elipsa kojoj je duZina 4-10 velika os, a duzina 1-7 mala os. Od te elipse vidimo u tlocrtu sarno njezin gornji dio, i to od tacke 4 preko 1 do tacke 10.

16 Nacrtna geometrija I 241

81. 355.

Na s1. 355. odredena je i prava velicina normalnog presjeka prelaga­njem ravnine ~ na 7t1 oko traga S1 (§ 31, c1. 6).

Pomocu normalnog presjeka kosog valjka moze se konstruirati pri­blizna mreza njegovog plasta. Ako plast valjka razrezemo uzduz stranice

A, B, L,

A,

2 3 4 tt , F

I 7 'P 8

f 10 11 12

G H

E

D

K A 'l,

A 81. 356.

242

A 1 pa ga razmotamo na ravninu slike, dobijemo s1. 356 gdje se normalni presjekprikazuje kao pravac koji je okomit na razmotanim izvodllcama valjka. To se svojstvo normalnog presjeka upotrijebi pri konstrukciji pla­sta. Nacrta se pravac p i na nj se prenesu iz prave velicine normalnog pre­sjeka lukovi: (1) (2) = 1-2, (2) (3) = 2 -3 ... (11) (12) = 11-12 i (12) (1) = = 12-1. Buduci da su ti lukovi maleni, mogu se mjesto lukova prenijeti njihove tetive. Zatim se tackama 1, 2, ... 12 i 1 povuku pravci okomito na pravac p, pa se na njih prenesu prave velicine izvodnica valjka koje imamo u nacrtu. Nacini se 1 A = 1u A", 1 A1 ~ l"At, 2 B = 2"B", 2 B1 = = 2"B/', ... 12 L = 12"L" i 12 L1 = 12"L/'. Kad se medu sobom spoje tacke A, B, ... L i A, kao i Ai> Bi> ... L1 i Ai> zatvori se mreza plasta kbsog valjka.

Vjezbe

1. Istostranicni valjak kojemu je osnovka u ')';" a njezin je promjer ¢ = 4 em, presijecite drugom ravninom projiciranja, paodredite pravu velicinu presjeka i mrezu plasta donjeg dijela valjka.

2. R:otaeioni valjak kojemu je osnovka u ')';" promjer ¢ = 5 em, a visina v = 6 em, presijeeite trecom ravninomprojiciranja, pa odredite pravu velicinu presjeka i mrezu plasta donjega dijela valjka.

3. Naertajte mrezu plasta kosog valjka kojemu je osnovka u ravnini '1t" ako je njegova os 00, [0 (8; 3; 0), 0, (2; 3; 6), a promjer osnovR:e ¢ = 4 em.

4. Kameni zlijeb koji je zadan na 81. 175. presijecite prvom ravninom proH­ciranja P, koja s ravninom '1t 2 cini kut od 45°, pa odredite pravu velicinu presjeka i bokoert onoga dijela zlijeba koji je izmedu ravnina '1t, i P.

§ 37. PRESJEK STOSCA RAVNINOM PROJICIRANJA

1. 0 presjeku rotacionog stosca ravninom. Izmedu razlicitih krivulja koje su za tehnicara vazne, jer ih on primjenjuje pri izradbi svojih crteza i tehnickih predmeta, isticu se one koje se dobiju kad se rotacioni stozac sijece ravninom. Rotacioni stozac moze se presjeci ravninom koja ne pro­lazi njegovim vrhom u ovim krivuljama: k r u z n i c i, eli psi, par a­b 0 1 i i hip e r b 0 1 i. Te se cetiri krivulje zbog toga zovu s j e k 0 tin e s t 0 sea iIi c uno s j e c n ice.

Ravnina E koja n e ide v rho m rotacionog stosca sijece taj stozac:

1. u k r u z n i c i, ako sijece sve njegove izvodnice, a usporedna je s njegovom osnovkom (s1. 357),

2. u el ips i, ako sijece sve njegove izvodnice, a nije usporedna s njegovom osnovkom (s1. 358),

3. u p a.ra b 0 1 i, ako je usporedna s jednom njegovom izvodnicom (s1. 359),

243

4. u hip e r b 01 i, ako je usporedna s dvije njegove izvodnice (s1. 360)'.

Kad ravnina E pro I a z i v rho m rotacionog stosca, ona sa stoscem moze imati zajednicko:

1. sarno taj vrh, ako je prikloni kut a ravnine E prema ravnini osnovke manji od priklonog kuta ~ izvodnica stosca,

2. jednu izvodnicu, ako je a = ~, jer tada ravnina dodiruje stozac u toj izvodnici,

3. dvije izvodnice, ako je a > ~.

81. 357, 358, 359. i 360.

Prije nego prijedemo na konstruiranje presjeka stosca ravninom u elipsi, paraboli i hiperboli, upoznat cemo definiciju i konstrukciju para­bole, odnosno hiperbole.

2. Definicija i konstrukcije parabole. Parabola je krivulja koja ima to svojstvo da je svaka njezina tacka jednako udaljena od cvrste tacke i cvrstoga pravca.

Ta cvrsta tacka zove se zariste iIi jokus, a taj cvrsti pravac je ravna­lica ili direktrisa.

A. - K 0 n s t r u k c i j a par abo 1 e porn 0 c u z a r i s t air a v­n a I ice. Na 81. 361. izvedena je konstrukcija parabole kojoj je tacka F zariste, a pravac r ravnalica. Tackom F nacrta 8e pravac FN koji je oko­mit na ravnalici. Tacka A koja je poloviste duzineFN pripada paraboli jer je jednako udaljena od F i od r. Druge tacke parabole odrede se tako da se na pravcu FN odabere po volji tacka 1, njom se povuce usporednica s ravnaIicom, pa se ona presijece kruznicom koja ima polumjer jednak

244

duzini N 1, a koja se opise oko zarista F. Tacke B i C koje se na taj nacin dobiju pripadaju paraboli jer su od Zarista i ravnalice jednako udaljene. Na isti se nacin pomocutacke 2 dobiju tacke DiE ako se usporednica s ravnalicom, koja prolazi tackom 2, presijece kruznicom kojoj je F sre­,diste, a polumjer jednak duzini N 2. Tacku I koja je povrh zarista i tacku J koja je ispod njega nademo tako da zaristem povucemo usporednicu s ravnalicom, pa nju presijecemo kruznicom kojoj je F srediste, a polumjer duzina FN.

Tacka A je tjemeparabole, a pravac 0 = NF njezina os.

Kad bismo na s1. 358, na kojoj je prikazan elipticni presjek uspravnog kruznog stosca ravninom povecali kut sto ga ta ravnina cini s ravninom osnovke stosca priblizavajuCi trag te ravnine osnovci stosca, tad bi se povecala velika os toga presjeka. A kad bi se taj kut izjednacio s priklo­nim kutom izvodnice stosca, tj. kad bi ta ravnina bila usporedna s jednom izvodnicom sto?;ca, tad bi elipticni presjek stosca pre1';ao u parabolicni, koji je prikazan na s1. 359. 1z toga vidimo da parabolu mozemo smatrati elip-

• som kojoj je velika os beskonacno velika, a kojoj su srediste i drugi fokus na osi u beskonacnosti.

r

8'

.0 I', I

-- --~--F~ I I I

81. 361. i 362.

t,

M

Svaka tacka parabole ima zbog toga dvije provodnice od kojih je jedna k 0 n a c n a, a druga b e s k 0 n a c novel i k a. Tako tacka B ima ko­nacno veliku provodnicu BF i beskonacno veliku provodni~u BF = koja je usporedna S osi parabole. Produzimo Ii provodnicu BF = preko tacke B, dobit cemo dva kuta sto ih cine provodnice tacke B, i to u nut r a s n j j

245

k u t ~ i van j ski k u t ex.. BuduCi da je parabola specijalni slucaj elipse, to za tarigentu i normalu parabole. vrijedi pravilo 0 tangenti i normali elipse, tj.:

Tangenta u nekoj tacki parabole raspolavlja vanjski kut provodnice te tacke, a normala unutrasnji.

Ako, na kraju, na osi ,;Parabole, oznacimo tacku 0 koja je od tjemena udaljena toliko koliko je udaljeno zariSte od ravnalice (AO = NF), pa oko tacke 0 opiSemo kruznicu preko tjemena, dobit cemo kruznicu' zakrivlje­nosti para bole u tjemenu A.

B. - K 0 n s t r u k c i j a par abo I e p 0 m 0 cud v i jut a n­g e nat a i n j i h 0 vi h d ira 1 i s t a. Nacrtajte parabolu kojoj je za­dana tangenta tl s diralistem M i tangenta t2 s diralistem N (s1. 362).

Oznacimo tacku T u kojoj se sijeku zadane tangente, pa razdijelimo duzine MT i TN na isti broj jednakih dijelova, npr. 5. Djelista na tan­genti tl oznacimo arapskim znamenkama pocevsi od tacke M, a djelista na tangenti t2 oznacimo rimskim znamenkama pocevsi od tacke T. Ako sada svaka dva jednaka broja spojimo pravcem, dobit cemo cetiri tangente koje sa zadanim tangentama i njihovim diralistima omotavaju luk para­bole MN.

3. Definicija i konstrukcije hiperbole. HiperboLa je krivuLja koja ima to svojstvo da je razLika udaljenosti svake njezine tacke od dviju cvrstih tacaka staIne vrijednosti.

Cvrste tacke zovu se zarista iIi fokusi hiperbole. Na tom se svojstvu temelji konstrukcija hiperbole koja je izvedena na s1. 363.

E I 0; ,

/ 0 ,

G \ : 1

I \ I { \ I I I \ , I

\ I \

\ / / , / / , /

/

k, / /

/

81. 363;

246

A. - K 0 n s t r u k c i j a hip e r b ole p 0 m 0 c u n j e z i nih Z a r i s t a i t j em e n a. Nacrtajmo duzinu AB i oznacimo njezino polo­viste S. Na produZenju te duzine istaknimo tacke Fi i F2 tako da bude SFi = SF2• Tacke A i B neka budu tjemena, S srediste, a tacke Fi i F2 zarista hiperbole. Uocimo da su zariSta hiperbole izvan dliZine AB. Uspo­redimo to sa Zaristima elipse. Na pravcu AB desno od F2 istaknimo ·po volji tacku E. Uzmimo u sestar duzinu AE pa oko Fi opisimo luk kruz­nice Iv pa zatim uzmimo u sestar duzinu BE i oko F2 opisimo luk kruz-. nice L2• Lukovi Ii i 12 sijeku se u tackama I i T koje su na hiperboli, jer npr. za tacku I je FlI - F2I = AE-- BE == AB. Ako pak uzmemo dliZinu AE i opisemo oko F2 luk kruznice L3, pa uzmemo duzinu BE i opisemo oko Fl luk kruznice 14, lukovi Ia i L4 sjeci ce se u tackama U i V koje su takoner na hiperboli.

OpiSemo lizatim oko zarista Fi i F2 lukove s polumjerima AG i BG, dobit cemo nove cetiri tacke hiperbole. Na taj nacin moze se ~onstruirati' dovoljan broj tacaka da bi se krivulja mogla nacrtati.

Pri crtanju hiperbole treba nacrtati i njezine asimptote, tj. pravce kojima se ona neprestano pribliZuje, ali ih dostize i dira tek u beskonac­nosti. U tackama A i B uzdignimo okomice na duzinu AB i te okomice presijecimo kruznicom koju opisemo oko S preko Fi i F2 , pa cemo dobiti tacke 1, 2, 3 i 4. Pravci (1, 4) i (2, 3) su asimptote a i i ~ hiperbole.

Duzina AB = 2 a zove se reaLna os, a duzina CD = 2 b imaginarna os hiperbole.

Hiperbola kojoj su asimptote menu sob om okomite zove se istostrana hiperbola.

B. - Tan g e n t a, nor m a I a i k r u z n ice z a k r i v 1 j en 0-

s tit j em e n a hip e r b 0 I e. Udaljenosti svake tacke hiperbole od njezinih zariSta zovu se isto kao i kod elipse provodnice iliradijus-vektori te tacke. Npr. tacka I ima provodnice Flr i F2I. ProdliZimo Ii provodnicu FiI preko tacke I, dobit cemo un u t r a s n j i kut ex. i van j' ski kut ~ sto ih cine provodnice tacke I. Simetrala kuta ex. je tangenta t, a simetrala kuta ~ je normaLa n hiperbole u tacki I.

Tangenta u nekoj tacki hiperboLe raspoIavlja unutra§nji, a normala vanjski kut provodnica te tacke.

Da bi se hiperbola mogla tacno nacrtati u okolini njezinih tjemena, treba upotrijebiti njezine kruznice zakrivljenosti u tim tackama. Njihova se sredista 0 1 i O2 nadu tako da se u tackama 1 i 4 nacrtaju okomice na asimptotu al, pa one presijeku os hiperbole u traZenim sredistima 0i i O2

kruznica zakrivljenosti hiperbole u njezinim tjemenima.

247

C. - K 0 n s t r u k e i j a hip e r b ole porn 0 c u as imp tot a i jed n e n j e z i net a c k e. Naertajte hiperbolu kojoj su zadane asimp­tote a1 i a2 i jedna njezina tacka T.

Naertajmo asimptote al i a2 (s1. 364) i koju god tacku T. Povucemo Ii tackom T rna koji pravae b, on ce biti 'sekanta hiperbole. Drugu krajnju tacku C tetive TC koja je na praveu b mozemo odre­diti tako da nacinimo BC = T A, jer hi­perbola ima ovo svojstvo:

Odresci na svakoj sekanti hiperbole izmeau krivulje i asimptote su jednaki.

N a isti se nacin odrede druge tacke hiperbole Cl , C2 itd. ako se nacini B1C1 = TAl' A 2C2 = TB2 itd.

Sl. 364. Tacke lijeve grane hiperbole mogu se odrediti pomocu tacke T iIi po­

mocu tacke Tl koja je simetricna s tackom T s obzirom na srediste S, ili pomocu rna koje druge tacke hiperbole.

4. Presjek rotacionog stosca drugom ravninom prollCIranja u elipsi. Na s1. 365. naertane su sve tri projekcije uspravnog stosea kojemu je osnovka u ravnini 'ltv te sva tri traga druge ravnine projiciranja L.

A.- Crt a n j e po jed in i h t a c a k apr e s j e k a. Ako poje­dinim izvodnieama stosca probodemo ravninu L, dobit cemo pojedine tacke presjeka. Zato cemo obodnieu osnovke stosea razdijeliti na 12 jed­nakih dijelova i naertati projekcije 12 izvodniea stosea. Izvodniea AV probada ravninu L u tacki 1 kojoj je naert 1" u sjecistu traga 82 i naerta A"V" te izvodnice.Pomocu naerta I" tacke 1 odredi se njezin tloert l' i bokocrt I"'. Na isti se nacin odrede projekcije cistalih 11 tacaka presjeka. Kada spojimo tloerte tih tacaka, dobijemo tloert presjeka, a kada spo­jimo bokoerte tih tacaka, dobijemo bokocrt presjeka. Naert presjeka je u drugom tragu ravnine L od tacke 1" do tacke 7", a tloert i bokocrt pre­sjeka su elipse.

B. - Crt a n j e 0 sip res j e k a. Tloert i bokoert presjecne elipse, kao i njezinu pravu veliCinu, mozemo tacnije naertati kad odre­dimo njezine osi. Akoosi stosea polozimo ravninu P koja je usporedna s 'lt2' ona je okomita na ravnini L, a njezin prvi trag je pravae r1 = (A', G'). Ravnina P je ravnina simetrije stosea i ravnineL, pa je zato ona ravnina simetrije i presjecne elipse. Velika os 1-7 presjecne elipse mora biti na

248

presjecnici ravnine L i ravnine P, pa je zato njezin naert 1" 7" u drugom tragu S2 ravnine L, a njezin tloert l' 7' u prvom tragu rl ravnine P.

Mala os MN presj'ecne elipse je okomita na ravnini P, a prolazi polo­vis tern S velike osi 1-7. Njezin naert M" == N" je poloviste S" naerta I" 7" velike osi elipse. Tioert M'N' male osi odredi se pomocu uspored­nika m stosea kojemu je naert m" usporedan s osi x, a ide tackom S". U sjecistu tloerta m' toga usporednika i ordinale koja pripada tacki M" == == Nfl == S" nalaze se tloerti M' i N' krajnjih tacaka male osi presjecne elipse.

Y.

81. 365.

Tloert presjeka je elipsa kojoj je duzina l' 7' velika os, a. duzina M'N' mala os, dok je bokoert presjeka elipsa kojoj je duZina M"'N'" velika os, a duzina I'" 7'" mala os. Tacke 4 i 10 u kojima ravninu L probadaju izvod­niee DV i JV jesu tacke presjeka na konturi bokocrta. U tackama 4'" i 10'" cJodiruje bokoert presjeka konturne izvodniee bokoerta stosea.

Na s1. 365. istaknut je debljim ertama onaj dio stosea koji je izmedu 'ltl i ravnine L.

249

Vjezbe

1. Naertajte parabolu kojoj je zariiite udaljeno od ravnaliee 1,5 em.

2. Naertajte ravnalieu i zariste parabole koje je udaljeno od ravnaliee 2 em, odredite zatim tacku parabole koja je udaljena 3 em od ravnaliee i zarista, a nalazi se povrh osi, pa konstruirajte tangentu i normalu parabole u toj tacki.

3. Tangenta parabole t, s diralistem M i tangenta t2 s diraUstem N sijeku se u tacki T pod kutom od 120'; konstruirajte luk parabole MN, ako je MT == 4 em, a TN == 5 em.

4. Naertajte hiperbolu kojoj je realna os duga 2,5 em, a svaki je njezin fokus udaljen od sredista 3 em.

5. Naertajte istostranu hiperbolu kojoj je realna os duga 2,5 em.

6. Naertajte jednu tacku hiperbole kojoj je realna os duga 2,5 em, a svaki je njezin fokus udaljen od sredista 3,5 em, pa u toj tacki konstruirajte tangentu i nor­malu hiperbole.

7. Naertajte hiperbolu ako su zadane njezine asimptote, koje s realnom osi cine kut od 60', i jedna njezina tacka.

8. Uspravni stozae kojemu je osnovka u 11:"

srediSte osnovke u tacki S (4; 4; 0), polumjer r = 3 em, a visina v = 6,5 em, presijeeite drugom ravninom projiciranja: a) po elipsi, b) po paraboli. Zatim odredite pravu velicinu presjeka, bokoert i plast donjega dijela stosea.

9. Uspravni dvostruki stozae kojemu je jedna osnovka u 11:" srediste osnovke u tacki S (4; 4; 0), pcilumjer r == 3 em, a dvostruka visina 2 v == 80 mm, presijecite

'ravninom koja je usporedna s 11:2, a od nje je udaljena 5 em. Istaknite u tloertu, naertu i bokoertu onaj dio stosea koji je izmedu 11:2 i ravnine presjeka.

10. Naertajte sve tri projekcije stosea kojemu je osnovka u 11:" srediSte osnovke u tacki S (5; 5; 0), polumjer r == 3,5 em, a visina v = 7, em. Konstruirajte projekeije presjeka toga stosea s cetiri ravnine, od kojih su dvije usporedne s -TI:2 i udaljene od osi stosea 1,5 em, a druge dvije su okomite na osi x i udaljene od osi stosea 2 em.

§ 38. PRESJEK KUGLE RAVNINOM PROJICIRANJA

1. Presjek kugle prvom ravninom prO]lCIranja. Kad smo na s1. 196. konstruirali projekcije meridijana koji cini S'lt2 kut od 45', u isto smo vrijeme konstruirali projekeije presjeka kugle prvom nivninom proji­eiranja koja prolazi sredistem kugle, a cini s 'lt2 kut od 45°.

Na s1. 370. naertan je tloert i naert gornje polovine kugle. Na ekva­toru e istalmute su dvije tacke A i B svojim projekcijama, pa je tackama A' i B' povucen prvi trag r1 prve ravnineprojiciranja P. Ravnina P sijece polukuglu u polukruznici kojoj je duzina AB promjer, a tacka 0 srediste (0' A' = O'B'). Tloert te polukrliZniee je duzina A'B', a naert polovina elipse kojoj je duzina A"B" mala os, a duzina O"C" polovina velike osi. Tloert C' tacke C poklapa se sO', a njezin se naert C" odredi pomocu uspo­rednika p.

254

___ - __ m"

5,

A'

l--='€_" __ ~s1'-" -----"fA"

81. 370. i 371.

Prava velicina presjeka AoCoBo odredemt je preklapanjem prve rav­nine projiciranja na 'ltl oko njezinog prvoga traga r1•

2. Presjek kugle drugom ravninom projiciranja. Na s1. 371. naertan je tloert i naert gornje polovine kugle. Na glavnom meridijanu m kugle istaknute su dvije tacke A i B,ya je tim tackama polozena druga ravnina projiciranja k, kojoj su tragovi Sl i S2'

Ravnina k sijece polukuglu u kruznici kojoj je duzina AB promjer, a tacka 0 srediste (0" An = O"B"). Nacrt te kruzniee je duzina A"B", a njezin tloert je elipsa kojoj je duzina C'D' velika os, a duzina A'B' mala os. Naerti Cn i D" tacaka C i D padaju u 0", a njihovi tloerti C' i D' odrede se pomocu usporednika p.

Prava velicina presjeka AocoBoDo odredena je preklapanjem druge ravnine projieiranja na 'lt2 oko njezinoga drugog traga S2'

3. Ceski kuglasti svod. Na sl. 372. naertan je tloert i naert gornje po­Iovine kugline plohe kojoj je ekvator e u ravnini 'ltl' U ekvatoru je upisan kvadrat ABeD kojemu su dvije straniee usporedne s osi x. Ako strani­eama toga kvadrata postavimoravnine okomite na '1t1, one ce sjeci tu po­lovinu kugline plohe u cetiri sUkladne polukruznice, a onaj dio kugline

255

plohe koji je omeden tim polukruznicama zove se ceski kuglasti svod. Dvije od tih polukruznica, koje su usporedne s 'lt2' projiciraju se na 'lt2 u pravoj velicini, a druge dvije, koje su okomite na 'lt2' projiciraju se na 'lt2

kao duzine. Najvise tacke E, F, G i H tih polukruznica su na usporedniku u, ciji je tlocrt u' kruznica upisana u kvadratu A'B'C'D'.

Na s1. 373. nacr~an je tiocrt i nacrt istoga ceskog kuglastog svoda cije dvije presjecne ravninecine s ravninom 'lt2 kut od 60°. Nacrti presjecnih polukruznica su cetiri poluelipse. Za svaku tu poluelipsu dva su· tjemena na nacrtu elf ekvatora e kugle, a trece tjeme je na nacrtu u" usporednika u ciji je tlocrt u' kruznica upisana u kvadratu A'B'C'D'. Polukruznice AHD i BFC sijeku glavni meridijan g kugle, i to prva u tacki K, a druga u tacki L. Nacrti K" i L" tih tacaka su na nacrtu g" glavnog meridijana g. Polu­elipsa A"H'iD" dodiruje gil u tacki K", a poluelipsa B"F"C" u tacki L".

I I

I I

I , ,

---;-~g"

I AI 011 5"

I I I

I ,

I I

I

I--·~----~~----~~ I I \ \ \ \

\ A'~,----~~~----~

'... e~/""/ ---

Vjezoe

A' -, , \

81. 372. i 373.

\ \ ,

'"

----~g"

i~'Q' __ ;---J< ___ -~ i -""\ .

'" B'

\ , \'

\; C'

1. Nacrtajte projekcije presjeka kugle prvom ravninom projiciranja koja s 1C 2

cini kut od 30°, a udaljena je od sredista kugle za polovinu njezinog polumjera.

2. Nacrtajte projekcije presjeka kugle drugom ravninom projiciranja koja S 1C,

Cini kut od 45°, a udaljena je od sredista kugle za polovinu njezinog polumjera.

3. Nacrtajte projekcije tijela koje nastane kad se polukugla presijece ravni­nama projiciranja kojima su prvi tragovi odredeni na s1. 374.

4. Nacrtajte projekcije kuglastog svoda kojemu je tlocrt pravokutnik upisan u tlocrtu ekvatora kugline plohe (81. 375).

256

M 1:2

81. 374. i 375.

§ 39. PRESJECI GEOMETRIJSKIH TUELA OPCOM RAVNINOM

. opcom ravninom. Na s1. 1 P res)' el, uspravne cetverostrane pnzme . . . k

. . kOlOJ Je osnov a 376. zadane su projekcije uspravne cetverostrane pnzme

u ravnini 'ltl' te tragovi e1 i e2

opee ravnine E kojom treba tu prizmu presjeei.. Buduei da su pobocni bridovi te prizme ~k~­miti na ravnini 11:1, poklOplt ce se tlocrt l' 2' 3' 4' presjeka 1-2 - 3 - 4 s tlocrtom prizme A'B'C'D'. Nacrt toga presjeka nademo zatim tako da pomoeu sutraznica n:'vnine E odredimo nacrte vrhova presjeka. Na taj nacin, a pomoeu sutraznica dru­goga traga a i b, nadeni su nacrti I" i 2" vrhova 1 i 2.

Nacrt toga presjeka moze­mo naei i tako da pomoeu pre­sjecnica ravnine E s ravninama pobocaka odredimo nacrte stra­nica presjeka. Na tajnacin, a pomocu ravnine P pobocke

17 Nacrtna . geometrij a I

81. 376.

e,

x·

e,

257

CDDICl naden je naert 3" 4" straniee 3-4. Pravae p (p', p") je presjecniea ravnina E i P, ana naertu pI! te presjecnice nalazi se naert 3" 4" straniee 3-4. U naertu se vide sarno straniee 1-4 i 3-4 toga presjeka, jer su na pobockama koj e se u naertu vide, dok se straniee 1-2 i 2 - 3 ne vide:

2. Presjek kvadraticne piramide opcom ravninom. Na s1. 377. zadane su projekcije kvadraticne piramide kojoj je osnovka u ravnini Tel' te tra­govi e1 i e2 opee ravnine E kojom treba tu piramidu presjeei. Da bismo odredili vrh presjeka 1 u kojemu pobocni brid AV probada. ravninu E, upottrijebit cemo prvu ravninu projieiranja P polozenu tim bridom. Pra­

v"

BU

S'

81. 377.

x

vae p = (E x P) u kojemu se si­jeku ravnine E i P sijece taj brid u vrhu 1. Kako ravnina P ide i poboenim bridom CV, to pra­vae p sijeee taj brid u vrhu 3 trazenog presjeka. Na isti nacin mogli bi se odrediti vrhovi 2 i 4, ali se jednostavnije do njih dode pomocu perspektivne kolinea­eije koja postoji izmedu tloerta osnovke piramide A'B'C'D' i t1o­erta trazenog presjeka za koju je trag e1 os ko1ineacije, a V' srediste ko1ineaeije. Ako s E' oznacimo onu tacku u kojoj pro­duzena sttaniea A'B' sijece trag £1' onda praveu (E', A') odga­vara u toj perspektivnoj koline­aciji pravae (E', 1'), pa on sijeee B'V' u t10ertu 2' vrha 2. Na isti se naein nade t10ert 4' vrha 4. Naerti 2" i 4" vrhova 2 i 4 odre-

de se zatim pomocu ordinala po1ozenih tackama 2' i 4', a za kontrolu tac­nosti nadu se naerti tacaka E i F, jer moraju na istom praveu biti tacke E", 1" i 2", kao i tacke F", 4" i 3".

U tloertu vidimo sve straniee presjeka, a u naertu ne vidimo straniee 2-3 i 3-4 koje su na nevidljivim poboekama BCV i CDV.

3. Presjek rotacionog valjka opcom ravninom. Na s1. 378. zadane su projekcije rotacionog valjka kojemu je osnovka u ravnini Tel, te tragovi-el

i e2 opce ravnine E kojom treba taj va1jak presjeei. Buduei da su izvodnice toga va1jka okomite na ravnini Tel' poklapa se tloert e' presjeene elipse e

258

l'ka Naert e" elipse e moze se s tloertom k' osnovne kruznie~ kr:~~~i~: )ra~ine E s nekoliko izvodni~a

drediti tako da se nadu naerh p . Taj se naert en elipse e moze ~aljka, pa se ti naerti medu, so!~: ;~~;::: par njegovih konjugiranih pro­taenije naertati ako se od~edl b . kci'e m' i m" one sutrazniee m prvog~ mjera. U tu svrhu nae~~a:u se prole l~k Njezin tloert m' ide tloertom 0

. E ko)' a slJeee os toga va) a, traga ravnlne

/

/

,8' ___ I-_~--/

/

2'

81. 378.

N.

, . zin . e naert m' usporedan , t gom e ravnlne E, a nJe J , "). 2 '2'

osi 0 usporedo s prv:m,:-a - 1 dvi' e taeke elipse e, i to 1 (1 , 1 .. 1 v \ ,

s osi x, Na toj sutrazmc~~alaze~; o} u kojemu ta sutrazniea slJece os 2") kao i njezino sredlste 0 (, ' ,,) ,. " one prikloniee prvoga traga

, t 'u pro)ekel)e pIP 1 t valjka o. Zatim se naer a?, v l'ka N-ezin tloert p' ide t ocr om ravnine E koja takoder SlJece os tog~ vai a'nJ'~zin je naert p" = (PtO").

't prvi trag el ravnlne , 3' 3f!}' 4 (4' 0' osi 0 okoml 0 na d " t eke elipse e i to 3 (, J. ,

Na toj priklonici nalaz:v

se druged

~~J~ a u u prostor~ duzine 1-2 i 3-4 4") kao i nJ'ezino sredlste O. Bu uCld ~,s 1 2 naJ'kraci a duzina 3-4

, t . 'e UZlna - , meuu sobom okomite, a k ome J d v' 1-2 i 3 - 4 mala i velika

• v l'pse e to su uzme najduzi promjer presJeene e 1 ,

259

os te elipse, a nacrti tih duzina 1" 2" i 3" 4" bit ee konjugirani dijametri nacrta e" te elipse.

Da bi se dobile tacke 5 i 6 elipse e koje su na konturnim izvodnicama AAl i BBl nacrta toga valjka, nacrtaju seprojekcije n' i n" one sutraz­'nice n dtugoga traga ravhine E koja sijece os toga valjka i te izvodnice. Na njezinom tlocrtu n' koji ide tlocrtom 0' osi 0 usporedo s osi x nalaze se tlocrti 5' i 6' tih tacaka, ana njezinom nacrtu n" koji je usporedan s tra­gom e2 nalaze se nacrti 5" i 6" tih tacaka, kao i nacrt 0" sredista O. Nacrt presjecne elipse dodituje konturu nacrta toga valjka u tackama 5" i 6". Na slici su oznaceni jos tlocrti 7' i 8' tacaka 7 i 8 elipse e, pa su odredeni nacrti 7" i 8" tih tacaka pomoeu dviju sutraznica drugoga traga te ravnine. Duzine 5" 6" i 7" 8" cine drugi par konjugiranih promjera nacrta e"elipse e, pa su tangente elipse en u krajnjim tackama jedne odtih dviju duzina usporedne s drugom duzinom.

Kad se odstrani onaj diovaljka koji je iznad ravnine E, kako je to uradeno na s1. 378, onda se u nacrtu vidi citava presJecna elipsa e, te se citav njezin nacrt e" mora nacrtati punom crtom, a kad se gornji dio valjka ne odstrani, ondase u nacrtu ne vidi onaj dio te elipse koji je na straznjoj polovini valjka, pa tad a treba luk 5" 4" 8" 2" 6" elipse e" nacrtati isprekidanom crtom.

4. Presjek rotacionog stosca opcom ravninom u elipsi. Na s1. 379. na­crtane su projekcije rotacionog stosca kojemu je osnovka u ravnini 'It 1,

te tragovi e1 ie2 opee ravnine E kojom treba taj stozac presjeci. Buduci da ravnina E sijece sve izvodnice toga stosca, presjek ee biti neka elipsa e.

Ravnina simetrije te elipse je ona ravnina L koju polozimo osi rota­cionog stosca okomito na ravninu E. Njezin prvi trag 81 ide tackom V' okomito na trag el , a drugi trag 82 okomit je na osi x. Ta ravnina sijece rotacioni stozac u izvodnicama AV i BV,' a ravninu E u priklonici prvoga traga p (p', p"). Izvodnice AV i BV sijeku se s priklonicom p u tackama 1 (1', 1") i 2 (2', 2"), koje su dva tjemena presjecne elipse e. Duzina 1-2 je velika os te elipse e, pa je njezin tlocrt l' 2' promjer tlocrta e', dok je njezin nacrt 1" 2" promjer nacrta e" te elipse. .

Da bismo odredili drugu os 3-4 presjecne elipse e i njene projekcije, polozimo polovistem S (S', S") duzine 1 - 2 horizontalnu ravninu A kojoj dtugi trag d2 ide tackom S" usporedo s osi x. Ravnina A sijece rotacioni stozac u usporedniku u (u', u"), a ravninu E u sutraznici prvoga traga m (m.', m"). Usporednik u i sutraznica m sijeku se u krajnjim tackama 3 (3', 3") i 4 (4', 4") druge osi elipse e. Tlocrt 3' 4' te osi 3-4 je promjer elipse e', a njezin nacrt 3" 4" je promjer elipse e". Duzine 1-2 i 3-4 su osi presjecne elipse e, zbog toga projekcije tih osi daju parove konjugi-

260

s,

P~ x

N.

81. 379.

ranih promjera projekcija te elipse, kako je to slucaj u nacrtu elipse e. A ako su projekcije tih osi jos i medu sobom okomite, kako je to slucaj u tlocrtu elipsee, onda one daju veliku i. malu os te projekcije.

Da bismo odredili tacke 5" i 6" u kojima nacrt en elipse e dodiruje konturu nacrta toga stosca, polozimo ravninu B konturnim izvodnicama CV i DV nacrta toga stosca. Njezin prvi trag b l ide tackom V' usporedo s osi x. Ta ravnina sijece ravninu Eu sutraznici drugoga traga n (n', n") koja sijece izvodnicu CV u trazenoj tacki 5 (5', 5"), a izvodnicu DV u tra­

zenoj tacki 6 (6', 6"). U tlocrtu vidimo citavu presjecnu elipsu e, a u nacrtu samo onaj nje­

zin dio 5 -1- 3 - 6 koji je na prednjoj polovini toga stosca.

5. Presjek kugle opcom ravninom. Tacke presjeka kugle opeom rav­ninom mozemo odrediti tako da kuglu i opeu ravninu sijeeemo ravninama

koje su usporedne s 'It l iIi 'It2'

261

Ako ih presije~emo ravninom koja je usporedna s 'ltl' onda ona sijece kuglu u nekoj kruznici kojoj je prva projekcija opet kruznica, a opeu ravniim u nekoj sutraznici prve skupine. Tacke u kojima prva projekcija te sutraznice prve skupine bude sjekla prvu projekciju te krtiZnice bit ce prve projekcije dviju tacaka presjeka.

Ako kuglu i opeu ravninu presijecemo ravninom koja je usporedna s 'lt2' onda ona sijece kuglu u nekoj kruznici kojoj je druga projekcija opet krtiZnica, a opeu ravninu u nekoj sutraznici druge skupine. Tacke u ko­jima ce druga projekcija te sutraznice druge skupine sjeei drugu projek­ciju te kruznice bit ee druge projekcije dviju tacaka presjeka.

Takav nacin odredivanja tacaka presjeka kugle opeom ravninom zove se izravni postupak odredivanja presjeka. Mi smo primijenili taj izravni postupak pri odredivanju presjeka prizme, piramide, valjka i stosca opeom ravninom. Pored toga postupka postoji jos neizravni postupak odredivanja presjeka geometrijskih tijela opeom ravninom pomoeu stranocrta, koji cemo postupak objasniti i primijeniti pri odredivanju presjeka kugle opeom ravninom.

Na s1. 380. zadane su projekcije kugle kojoj je srediste S (S', S"), te tragovi e1 i e2 opee ravnine E koja tu kuglu sijece u krtiZnici k. Projek­cije k' i k" te kruznice koje su elipse naei eemo pomoeu stranocrta.

Pored ravnina projekcija 'ltl i 'lt2 uvedimo jos i stranocrtnu ravninu 'Ita koja je okomita na ravnini 'ltl i na opeoj ravnini E. Nova os lxa mora prema tome biti okomita na prvom tragu e1 ravnine E. Stranocrt sredista

kugle je tacka Sm (S'S", .llxa, Sf S'" = SxS"), a kontura stranocrta kugle je kruznica h'" koja je stranocrt onoga meridijana kugle h koji je uspo­redan sa stranocrtnom ravninom 'lt3 (h' 1I 1x g). Buduei da je ravnina E oko­mita na ')';s, ona se citava projicira na 'Ita kao pravac koji cemo oznaciti sea, jer je to trag ravnine E na 'Its. Taj pravac es moze se naei pomoeu tacke E = (el x lXS) i stranocrta koje god tacke ravnine E. Na s1. 380. uzeta je za tu svrhu ~cka T (T' T") koja je na tragu e2 • Strano crt te tacke je Tn! (T'T'" .llxa, T T'" = T'T"), pa je e3 odreden tackama E iT"'. Stranocrt k'" presjecne kruznice k je na pravcu e3 od tacke 1'" do tacke 2"', jer je rav­nina E za stranocrtnu ravninu 'Ita ravnina projiciranja. Tako se presjek lmgle opeom ravninom transformirao pomoeu tako izabrane stranocrtne ravnine 'Its u presjek kugle ravninom projiciranja (§ 38).

Spustimo Ii iz sredistaS kugle okomicu na ravninu E, ona ee probosti ravninu u sredistu 0 presjecne krtiZnice k. Prema tome duzina S"'O'" mora biti okomita na ea, duzina S'O' mora biti okomita na e1, a dtiZina S"O" mora biti okomita na e2' Pomocu stranocrta O"'sredista 0 presjecne k~nice k odredimo zatim njegovu prvu projekciju 0' i drugu 0" (OxO" = = 0 0"').

~. r 1

I

Tlocrti l' i 2' tacaka 1 i 2 su na tlocrtu p' priklonice prve skupine p koja ide sredistem 0 presjecne kruznice, a njihovi nacrti r i 2" su na nacrtu te priklonice p" = (Pt, 0"). DtiZina 1-2 je onaj promjer pre­sjecne kruznice k koji je usporedan sa stranocrtnom ravninom, a okomit

je na prvom tragu e1 ravnine E. U tacki 0'" nalazi se i stranocrt 3'" 4'" onog promjera 3 - 4 presjecne

kruznice koji je okomit na stranocrtnoj ravnini, a usporedan je s prvim '4' d d·' <;}, 4' trag om e

1• Zbog toga je njegov tlocrt 3 uspore an s e1, a uzma oJ

jednaka je pravoj veIicini promjera te kruznice, tj. 3' 4' = 1'" 2"'. Duzina 3' 4' je velika os, a duzina l' 2' mala os one elipse k' koja je tlocrt presjecne kruznice k, pa se ta elipsa konstruira pomoeu. krtiZnica zakrivljenosti

njezinih tjemena:. Nacrt 3" 4" promjera 3-4 je na nacrtu m" sutraznice prvoga traga

m. Duzine I" 2" i 3" 4" su konjugirani promjeri elipse kIf koja je nacrt presjecne kruznice k, pa se ona pomoeu njih konstruira.

T"

81. 380.

263

Premda sada irnarno sve el ernente potrebne za konstrukciju tlocrta k' i nacrta k" presjecne kruznice k, ipak treba da naderno jos one tacke 5 i 6 u kojirna k' dodiruje konturu e' tlocrta kugle, kao i tacke 7 i 8 u kojirna k" dodiruje konturu g" nacrta kugle. Projekcije tacaka 5 i 6 dobit cerno po­rnocu stranocrta, jer je 5'" "'" 6'" = (e'" x e3 ), a projekcije tacaka 7 i 8 naci cerna tako da ravninu E presijecerno ravninorn B glavnoga rneridi­jana kugle g. Presjecnica tih ravnina je sutraznica n drugoga traga, pa njezin nacrt n" sijece g" u nacrtirna 7" i 8" tacaka 7 i '8.

U tlocrtu se od presjecne krivulje k vidi onaj dio koji je na gornjoj polovini kugle, a to je luk 5' 3' 2' 8' 4' 6', a u nacrtu se vidi onaj dio koji je na prednjoj polovini kugle, a to je luk 8" 4" 6" 1" 7".

Vjezbe

1. Naertajte normalni presjek i mrezu kose cetverostrane prizme kojoj je donja osnovka ABCD [A (i; 4; 0), B (4; 5; 0), C (5; 3; 0), D (3; 1; 0)] u ravnini Te" ako su njezini pobocni bridovi usporedni s ra'Vninom 'lt2' a S Te, cine kut od 45°, te ako je visina prizme v == 5 em.

2. Nacrtajte projekcije pravilne sesterostrane prizme kojoj je osnovka ABCDEF u ravnini Te" dijagonala osnovke je AD [A (1; 2,5; 0), D (5; 3,5; 0)], a' visina prizme v = 6 em, pa je presijeeite ravninom E (11; 9; 7).

3. Naertajte projekeije pravilne sesterostrane piramide kojoj je osnovka ABCDEF u ravnini Te" dijagonala osnovke je AD [A (6; 2,5; 0), D (10; 3,5; On, a visina piramide v == 6 em, pa je presijeeite ravninom E(16; 14; lll.

4. Naertajte projekeije kvadraticne piramide kojoj je osnovka ABCD u rav­nini Te2, dijagonala osnovke je AC [A (1; 0; 5), C (5; 0; 3)], a visina piramide v == 6 em, pa je presijeeite ravninom E (12; 7; 11).

5. Nacrtajte projekeije kose trostrane piramide kojoj je osnovka ABC [A (1; 2; 0), B (2,5; 4; 0), C (4; 1; 0)] u ravnini 'It" a vrh je V (7; 2; 3), pa je presijeeite rav­ninom E (9; 8; 5) i konstruirajte mrezu piramide s presjecnim poligonom.

6. Rotacioni valjak kojemu je osnovka u ravnini 11:"

srediste osnovke S (3; 3; 0), polumjer r == 2,5 em, a visina v == 7 em, presijecite ravninom E (11; 11; 8).

7. Rotacioni valjak kojemu je osnovka u ravnini Te 2 , srediste osnovke S (3; 0; 3), polumjer r == 2,5 em, a visina v == 7 em, presijeeite ravninom E (11; 8; 10).

8. Rotaeioni stozae kojemu je osnovka u ravnini Te" srediste osnovke S (4; 4; 0), polumjer T== 3 em, a visina v=:7 em, presijeCite ravninom P (-6; 6; 4) i konstrui­rajte mrezu plasta s presjecnom krivuljom.

9. Rotacioni stozac kojemu je osnovka u ravnini Te., srediste osnovke S (4; 0; 4), polurnjer r == 3 em, a visina v == 7 em, presijeeite ravninom E (-5; 4; :';,5).

10. Kosi kru.zni stozae kojemu je osnovka u Te" srediste osnovke S (4; 4; 0), polumjer r == 3 em, a vrh V (9,5; 6; 7), presijeCite ravninom E (14; 13; 7).

11. Naertajte projekeije presjeka kugle kojoj je srediSte S (5; 4; 4), a polumjer r == 3 em, trecom ravninom projieiranja T (co; 9; 9).

12. Naeitajte projekcije presjeka kugle kojoj je srediste S (5; 4; 4), a polumjer r == 3 em, ravninom P (-4; 5,5; 3,5).

264

§ 40. PRIMJE:&I PRESJEKA IZ PODRUCJA GRADEVINARSTVA

1. Ogradni stupic. Ogradni stupic(sl. 381) je kvadraticna betonska prizrna (50 X 50 X 90) koja na svojirn pobockama irna prizrnaticne udu­bine (30 X 5 X 60). Da bi se sto lakse doslo do prost orne predodZbe oblika toga stupica, on je presjecen horizontalnorn ravninorn kojoj je drugi trag A-B. Do slova A i B nalaze se strelice usrnjerene prerna dolje, a to znaci da u tlocrtu treba nacrtati sarno onaj dio stupica koji je ispod ravnine presjeka gledan u srnjeru tih strelica. U tlocrtu se zbog toga vidi citav njegov presjek, koji je srafiran, te polozaj i dvije dirnenzije ud~bine na svakoj pobocki toga stupica.

I I I I

r I I I

o w

BJ

L-

J

-~ M 1.:20

PRESJEK A-B

PRESJEK A-B

I' 50

'I -I I

40 1S,

Sl. 381. i 382.

I i

i

I 10 15 10 lis

I I I I I I I I I ~

I

10

I I I I I I I I I ! I I I I

I

2. Dio ogradnog zilla. Na sl. 382. nacrtani su nacrt i bokocrt jednoga dijela karnenog ogradnog zida. On se sastoji od glavnoga prizmaticnog ceiverostranog stupa s prizrnaticnorn cetverostranorn pokrovnorn plocorn 1 niskorn cetverostranorn pirarnidorn, zatirn od ogradnog zida i, na kraju,

265

od tri prizmaticna cetverostrana stupiea s prizmaticnom pokrovnom plo­com, Predmet je potpuno pregledno odreden svojim nacrtom i bokocrtom, jer je u bokocrtu nacrtan jos i presjek toga predmeta vertikalnom ravni­nom koja je okomita na ravnini 1':2, a kojoj je drugi trag A-B, Buduci da su strelice do slova A i B usmjerene nalijevo, u bokocrtu je nacrtan sarno onaj dio predmeta koji je na lijevoj strani ravnine presjeka, i to gledan usmjeru tih strelica.

Nadite na temelju nacrta i bokocrta toga predmeta sve dimenzije svakoga njegovog sastavnog dijela.

3. Gornji dio otvora uzidu za prozor. Na s1. 383. nacrtane su sve tri projekcije gornjega dijela otvora u zidu za prozor, gledano s unutrasnje strane sobe, Da bi se sto lakse doslo do prostorne predodzbe toga otvora

PRESJEK C-D C!

26 12

r-----------i-------- ___ j I , I

I ! I I I I I I I I I I I I I I

U~- _~Jj I I I I J J L___ 0 I ___ ~ M 1: 25 -.!2.J

PRESJEK A-B

SI. 383.

u zidu, on je presjecen horizontalnom ravninom kojoj je drugi trag A-B i vertikalnom ravninom koja je okomita na ravnini 1':2, a kojoj je drugi trag C-D, Do slova A i B nalaze se strelice usmjerene prema gore, a to znaCi da u tlocrtu treba nacrtati samo onaj dio toga otvora koji je iznad ravnine presjeka, i to gledan u smjeru tih strelica, U tlocrtu dakle nije

266

,. 0 led .odozgo, vee pogled odozdo, Do slova C i D na-nacrtan kao Oblcno ~ g . l'J'evo pa J'e zbog toga u bokocrtu nacrtan - r uSffiJerene na I , " , laze se stre Ice 'd k .. je na lijevoj strani ravnme presJeka, 1 to onaj dio toga otvora U Zl , U OJI gledan u smjeru tih strelica.

.. dio otvora u zidu za prozor. Na s1. 384, nacrtane su sve tri 4, Don]l, dijela otvora u zidu za prozor drugoga tipa, gledano

projekcije donJega , slici upotrijebljena su opet dva presjeka s vanjske strane sobe, I na tOJ

PRESJEK CoD

PRESJEK A-B

81. 384.

, komite na ravnini 1':2' a kojima su drugi tragovi A-B ravninama ko]e sU,o t onaJ' dio otvora u zidu koji je ispod horizon-'C D U tlocrtu Je nacr an 'A . B ~' I - , , ka i to gledan u smjeru strehca do slova 1, "J, talne ravnine presJe , gledan 0 d 0 z g o.

. tvora u zidu za vrata. Na s1. 385, nacrtane su sve tri D .. dIO ° . . ,5 ... onJI 'e a dijela otvora u zidu za vrata sdvije stepemce, v~ .. s~e

proJekCI]e don~ g trane kuce. Horizontalrii presjek toga otvora elJl Je gledano s vanJske s

268

PRESJEK C-D

r-------I I I rr'-'-'-' I jA I I I I

PRESJEK A-B

SL 385.

drugi trag A - B v

" - pomaze nam da lakSe u v. '.

menz1Ja zida' vertikalnim k . OClmo obhke 1 horizontalnih di-d · ' pa presJekom ko'" k . rugl trag C - D odreden . ... . J1 Je 0 Ollllt na 71:2 a Ciji J'e t · - ' Je meuuSobn1 smJ'est . t. '

za 1m polozaj temelJ' a zida i t l' aJ s epemca pred vratima 'h d' eme Ja prve step . k '

VI lmenzija. emce, ao i pregled njiho-

1

SADRZAJ

Uvod

1. Zadatak naertne iIi deskrip-tivne geometrije ........... .

2. Centralno projieiranje ..... . 3. Normalno projieiranje ..... . 4. Koso projieiranje ......... . 5. Oznake i kratiee ........... .

I. Normalno projiciranje na jednu ra-vninu ....................... .

§ -1. Projiciran:je tacke ........... . § 2. Projieiranje duzine ........... . § 3. Prava velicina duzine .......... . § 4. Osobiti pblozaji duzine ....... . § 5. Projieiranje trokuta ......... . § 6. Projieiranje viSekuta ......... .

II. Normalno ))rojicrranje na dvije ra-vnine ....................... .

§ 7. Projiciranje tacke 1. Tloert i naert tacke ....... . 2. Model ravnina projekeije .. 3. Pridruzene ravnine projekci­

ja i njihovo preklapanje .... 4. Odredivanje polozaja tacke u

prostoru pomocu njezinih projekcija ................. .

5. Tacke u osobitom polozaju .. 6. Kvadranti ................. . 7. Koordinate tacke ......... . 8. Odredivanje polozaja tacke u

-kvadrantima pomocu njezi-nih projekcija ............. .

9. Tacka u ravnini simetrije, odnosno koineidencije ..... .

3

3 3 5 5 6

8

8 9

10 13 14 15

18

18 18 19

19

21. 21 22 23

24

24

§ 8. Projieiranje duzine ............ 25 1. Duzina u opcem polozaju .. 25 2. Prava velicina duzine ...... 26 3. DliZina usporedna s ravnina-

ma projekcija .............. 29 4. Kotiranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5. Duzina okomita na jednoj ra-vnini projekeija ............ 31

6. DliZina u jednoj ravnini pro-jekCija .................... 32

§ 9.

§ 10.

§ 11.

§ 12.

ravni-7. Duzina usporedna S .' 32 nom tloerta ............ ~~i-

8. DliZina usporedna s ra .' 33 nom naerta .......... 'lii!ine

9. Odredivanje prave ve . . 34 greda tronoga ........... .

Projiciranje pravea ...... . 1. Projekcijepravea ...... .

36 36 36

2. Osobiti polozaji pr~vea . i~cke 3. Odredivanje poloza]3 .' 37

na zadanoj zraci .... : 'k~t;Vi 4, Probodista i prikloUl . . 38

pravea .................. 41 5. Dva pravea ........ . 44 Projieiranje trokuta ...... ':e'g;~~ 1. Projekeije trokuta 1 nJ 44

vidliivost ....... '. . . 47 2. Osobiti polozaji trokuta .. ' 51 Projiciranje viSekuta ... ··· ;';i§~~ 1. Konstrukcije pravlll!0~. .' 51

kuta u zadanoj kr~ZUlel v'i§e-2. Konstrukeije pravrlnog tra­

kuta kojemu je zadana S .' niea ................... .

3. Projekeije viSekuta .... . 4. Osobiti polozaji visekuta .

53 56 57

61 Projieiranje kruznice ..... ~~~d: 1. Projekcijekruwiee usp 61

ne s ravninom tloerta :: ~nea 2. Projekcije kruznog V1J na-

usporednog s ravUlnorn .' 62 erta .................. '. 63

3. Neke konstrukcije eliP~ m'ite 4. Projekcije - kruzniee 0 0 .. , 68

na ravr;ini tloc~t~ .. ' k;~ite 70 5. ProjekclJe kruzmce 0 •..

na ravnini nacrta ...... .

t . rav -III. Normalno projiciranje na n .' 72 ....

§ 13.

nine

Projiciranje tacke ........ . .. 72 72

1. Projekcije tacke ....... ~;ek-2. Preklapanje ravnina pr .' 73

cije ............... 75 3. Oktanti .............. 77

§ 14. Projiciranje duzine ..... ". '.~ 1. Duzina u opcem p~lozaJ

77 78

2. Osobiti polozaji dUZlne .. '

§ 15. Projiciranje trokuta . . . . . . . . . . 78 1. Trokut u opcem polozaju .... 78 2. Osobiti polozaji trokuta .... 79

§ 16. Projiciranje likova okomitih na ravnini bokocrta .............. 80 1. Ravnina okomita na ravnini

bokocrta ................ " 80 2. Projekcije trokuta .......... 81 3. Projekcije kvadrata 82 4. Projekcije kruZnice 83

IV. Normalno projiciranje geometrij-skih tijela .................... 85

§ 17. Projiciranje prizme ............ 85 1. 0 prizmi ................ " 85 2. Opcenito 0 projiciranju ugla-

stog tijela .................. 86 3. Protekcije kvadra i njegova

mreza .... ................... 87 4. Projekcije pravilne trostrane

prizme i njezina mreza ...... 89 5. Projekcije kose trostrane pri-

zme ........................ 90 6. Projekcije prizme koja nije u

frontalnoin polozaju ........ 92 § 18. Projiciranje piramide .......... 96

1. 0 piramidi . . . . . . . .. .. .. .. . 96 2. Projekcije pravilne trostrane

piramide i mreza njezinog pobocja .................... 97

3. Projekcije uspravne cetvero­strane piramide i mreza nje-zinog pobocja .............. 98

4. Projekcije kose cetverostrane pi~,:mide i mreza njezinog po-boc]a ...................... 100

5. Projekcije kvadraticne krnje p~,:mide i mreza njezinog po-boc]a ...................... 102

6. Projekcije kvadraticne pira­mide kojoj je osnovka oko- ' mita na ravnini tlocrta .... 104

§ 19. Projiciranje valjka ............ 107 1. 0 valjku . . . . . . . . . . . . . . . . .. 107 2. ?r~jekcije rotacionog valjka

1 lljegova mreza ............ 108 ,3. Projekcije kosog kruznog

valjka .................... 111 4. Pn?jekcije rotacionog valjka

ko]emu 'su osnovke okomite na ravnini 1t2 ••••.•••.•.••• 112

§ 20.' Projiciranje stosca ............ 115 1. 0 stoscu .................... 115 2. Projekcije rotacionog stosca i

njegova mreza .............. 116 3. Odredivanje projekcija taca-

ka stosca .... .. .. .. .. .. . ... 119 4. Pr~jek~ije }':OSOg kruZnog

~{osca 1 mreza njegovog pla-sa ........................ 121

5. Projekcije krnjeg rotacionog stosca i njegova mreza ...... 123

270

6. Projekcije supljeg rotacionog krnjeg stosca kojemu je os usporedna s ravninom 1t1 •••• 124

§ 21. Projiciranje. kugle . . . . . . . . . . .. 127 1. 0 kugli .................... 127 2. Projekcije kugle ............ 129 3. Odredivanje projekcija taca-

ka kugline plohe .......... 130 4. Projekcije meridijana kugle 131

§ 22. Projiciranje vrteznih ploha .... 132 1. 0 vrteznim plohama ........ 132 2. Projekcije vrtezne plohe.... 133 3. Prstenasta ploha ............ 134

§ 23. strano crt ................... , 137 1. 0 stranocrtu ................ 137 2. Stranocrt tacke . . . . . . . . . . .. 138 3. Stranocrt kocke ............ 141 4. strano crt prizmaticnog tijela 142 5. strano crt stosca ............ 143

V. Koso projiciranje ................ 145

§ 24. Kosa projekcija tacke, duzine i ravnog lika .................... 145 1. Pojam kosog projiciranja .. 145 2. Osnovna svojstva kosog pro-

jiciranja ................. , 145 3. Kosa projekcija kocke ...... 147 4. Razliciti pogledi na predmet 149 5. Konstrukcija kose projekcije

ravnog lika pomocu koordi-nata njegovih vrhova ...... 150

6. Kosa projekcija ravnog lika koji je ·u jednoj koordinatnoj

ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 151 7. ~osa projekcija kruZnicekoja

Je u ravnini 1t1 ••••••••••.• 153 8. Konstrukcija kose projekcije

kruznice pomocu para konju-giranih promjera .......... 154

§ 25. Kosa projekcija geometrijs~h tijela ........................ 157 1. Kosa projekcija pravilne se-

sterostrane prizme .......... 157 2. Kosa projekcija pravilne pe-

terostrane piramide ........ 157 3. Kosa projekcija kvadraticne

krnje piramide ............ 158 4. Kosa projekcija rotacionog

valjka i stosca .. .. .. .. .... 159 5. Kosa projekcija kugle ...... 160 6. Jednostavni primjeri iz gra-

devinske struke ............ 161

VI. Projiciranje ravnine ............ 167

§ 26. Predocivanje ravnine tragovima 167 1. Odredenost ravnine ........ @> 2. Predocivanje ravnine s dva

ukrstena pravca ............ 167 3. P,redocivanje ravnine trago-

VIrna ...................... 168

....... " .............. :~ fiiJ} T!,c.ka i pravac u opcoj rav- Wi nml ........................ (fi5)

2. Likovi u opcoj ravnini ...... 'trf 3. Sutraznice i njihova upotrebacE!!D 4. Normalna projekcija pravoga .

kuta ...................... 180 5. Priklonice i prikloni kutovi

ravnine .................... eJ> 6. Konstruiranje tragova ravni­

ne zadane tackama i prav-cima ...................... 182

§ 28. Dvije rav~ine i njihova presjec-nica .. , ........................ 1l!4 1. Usporedne rav'nine .......... iS4 2. Presjecnica dviju ravnina ., 185 3. Presjecnica dviju ravnina u

osobitim polozajima 186

VII. Odnos pravca i ravnine 191

§ 29. ProbodiSte ravnine pravcem .... 191 1. Probodiste opce ravnine prav-

cem ........................ 191 2. Probodiste ravnine projicira-

nja pravcem ................ 193 3. Probodiste ravnog lika prav'-

cern ........................ 195 Pravac i ravnina u medusobno okomitom polozaju ............ 199 1. Okomitost pravca i ravnine 199 2. Udaljenost tacke od ravnine 200 3. Medusobna udaljenost dviju

usporednih ravnina 200 4. Udaljenost tacke od pravca 201

§ 30.

VIII. Ravnina i Uk u njoj ............ 202

§ 31. Lik u ravnini projiciranja ...... 202 1. Odredivanje prave velicine

lika u prvoj ravnini projici­ranja pomocu preklapanja .. 202

2. Odredivanje prave velicine lika u drugoj ravnini projici­ranja pomoc:u preklapanja .. 203

3. Odredivanje prave velicine lika u trecoj ravnini ranja pomocu preKI<lJpa:nJ

4. Odredivanje prave lika u ravnini

Odredivanje lika u opcoj

4. Odredivanje projekcija u opcoj ravnini ....... .

5. Projekcije krliZnice u 0: ravnini ............... .

§ 33. Projiciranje geometrijskog ti s osnovkom u opcem po]ozaj 1. Projekcije kvadraticne

zme kojoj je osnovka u OJ ravnini ............... .

2. Projekcije kvadraticne P mide kojoj je osnovka u OJ. ravnini ............... .

3. Projekcije rotacionog va kojemu je osnovka u OJ ravnini ............... .

4. Projekcije rotacionog stc kojemu je osnovka u 0]

ravnini

IX. Presjeci geometrijskih tijela ninama

§ 34. Presjek prizme ravninom pr ciran.ia .................... -1. 0 presjeku prizme ravnir 2. Presjek pravilne peterostr

prizme drugom ravninom . jiciranja

3. Presjek kose trostrane drugom ravninom nja

4. Konstrukcija mreze pobc kose cetverostrane prizme

§ 35. Presjek piramide ravninom I . jiciranja .................. . 1. 0 presjeku piramide ra,

nom ..................... . 2. Kolineacij a ............ . 3. Presjek kvadraticne pirarr

drugom ravninom projici nja .................... .

4. Presjek pravilne sesterost' ne piramide prvom ravnir projiciranja ............ .

5. Presjek kvadraticne pirarr trecom ravninom projicira

6. Presjek kose ·cetverostr:. piramide drugom ravnin projiciranja