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DISTRIBUCIONES CONTINUAS
Juan Carlos Colonia
OTRAS DISTRIBUCIONES CONTINUAS
Entre otras distribuciones continuas importantes tenemos:
Distribución Ji–cuadrado de Pearson
Distribución t de Student
Distribución F de Fisher–Snedecor
La importancia de estas distribuciones es por que tienen un rol fundamental dentro de Inferencia Estadística.
DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO
DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO
Definición:
Una variable aleatoria tiene distribución Ji-cuadrado con n grados de libertad si su función de densidad esta dada por:
Notación:
Características numéricas:
n x1
2 2n
2X
1x e x 0
nf x 2
2
0 x 0
2
nX
X
V X 2n E X n
es la Función Gamma
DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO
Grafica:
DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO
Propiedades:
1. La distribución sólo depende del parámetro n (grados de libertad).
2. El dominio de la variable es
3. A medida que n aumenta de la función de densidad se hará más simétrica y menos apuntada y 2
n N n , 2n
0 ,
DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO
Definiciones:
1. Sea una variable aleatoria con distribución normal
estándar. La variable aleatoria tiene distribución Ji-
cuadrado con 1 grado de libertad.
2. Sean variables aleatorias independientes cada
una con distribución normal estándar. Entonces la variable
aleatoria tiene distribución Ji-cuadrado con n
grados de libertad.
2X Z
1 2 nX , X , ..., X
n2
i
i 1
Y X
Z
TABLA DE DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO
La tabla de la distribución Ji-cuadrado se basa en su función de distribución, es decir , la cual se encuentra tabulada para diferentes valores de n y x. La tabla Ji-cuadrado ofrece el valor de x tal que
para valores seleccionados de y n.
2
nP x
2
n
2
nF x P x
TABLA DE DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO
Actualmente, para las aplicaciones en Inferencia Estadística, la tabla de la distribución Ji-cuadrado ofrece el valor de x tal que
para valores seleccionados de y .
Por tanto es el valor de la abscisa x en la distribución Ji-cuadrado tal que el área a la derecha de la abscisa x es igual a una probabilidad de .
2
nP x
2
,n
2 2
,n nP x
n
PROBABILIDAD EN TABLA JI-CUADRADO
El área a la derecha de q es igual a una probabilidad de
DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT
DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT
Definición:
Una variable aleatoria tiene distribución con n grados de libertad si su función de densidad esta dada por:
Notación:
Características numéricas:
n 12 2
X
n 1
x2f x 1 x
n nn
2
nX t
E X 0 para n 1
n
V X para n 2n 2
X t
DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT
Grafica:
DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT
Propiedades:
1. La distribución sólo depende del parámetro n
2. El dominio de la variable es
3. Es simétrica con respecto al valor 0
4. Para n grande la distribución t se aproxima a una distribución N 0 ,1
,
DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT
Definición:
Sean y variables aleatorias independientes con distribución y respectivamente. La variable aleatoria
tiene distribución t con n grados de libertad.
2
n
Zt
n
X Y
2
n N 0 ,1
TABLA DE DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT
La tabla de la función de distribución t ofrece el valor de
x tal que
para y n = 1, 2, …, 30, 40, 60, 120. Debido a la
simetría de la distribución, cuando , por lo
que se cumple
nt nF x P t x
0.5
0.5
x 0
n nt tF x 1 F x
TABLA DE DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT
Actualmente, para las aplicaciones en Inferencia
Estadística, la tabla de la distribución t ofrece el
valor tal que
Por tanto es el valor de la abscisa x de la
distribución t tal que el área a la derecha de x es
igual a una probabilidad de .
, n nt P t x
x
nP t x
, nt
PROBABILIDAD EN TABLA T DE STUDENT
El área a la derecha de q es igual a una probabilidad de
DISTRIBUCIÓN F DE FISHER-SNEDECOR
DISTRIBUCIÓN F DE FISHER – SNEDECOR
Definición:
Una variable aleatoria X tiene distribución F con m y n grados de libertad si su función de densidad esta dada por:
Notación:
mm 122
m n
2X
m n
m x2x 0
m n nf x mx12 2
n
0 x 0
m,nX F
DISTRIBUCIÓN F DE FISHER – SNEDECOR
Características numéricas:
Propiedades:
Si entonces la variable aleatoria
Si entonces la variable aleatoria
n
E X para n 2n 2
2
2
2n m n 2V X para n 4
m n 2 n 4
m,nX F n,m
1F
X
nX t
2
1,nX F
DISTRIBUCIÓN F DE FISHER – SNEDECOR
Grafica:
DISTRIBUCIÓN F DE FISHER – SNEDECOR
Definición:
Si X y Y son variables aleatorias independientes, con distribuciones Ji-cuadrado con m y n grados de libertad respectivamente. La variable aleatoria
tiene distribución F con m y n grados de libertad.
2
m2
m
2 2
n n
nmF
m
n
TABLA DE DISTRIBUCIÓN F
En una de las formas empleadas la tabla de la función
de distribución F ofrece el valor de x tal que
Para . En ocasiones es necesario
obtener el valor de x para con pequeño.
Si el valor de es el complemento a 1 de alguno de los
valores tabulados, entonces:
m , nF m , nF x P F x
0.90, 0.95, 0.975, 0.99
, m , n
, n , m
1F
F
m , nP F x
TABLA DE DISTRIBUCIÓN F
Actualmente, para las aplicaciones en Inferencia
Estadística, la tabla de la distribución F ofrece el
valor tal que
Es decir es el valor de la abscisa en la
distribución F tal que el área a la derecha de abscisa
x es igual a una probabilidad de .
, m , n m , nF P F x
x
m , nP F x
, m , nF
PROBABILIDAD EN TABLA F
El área a la derecha de q es igual a una probabilidad de
ANEXO: FUNCIÓN GAMMA
Definición:
La función Gamma de una variable real esta dada
por:
para todo a real positivo.
Propiedades:
a 1 x
0
a x e dx
a
1 1
a a 1 a 1 si a 1 0
a a 1 ! si a