josé alberto molina

1

PART IUNIT 2

UNITARY APPROACH:MODELS

José Alberto Molina

MásterUniversitarioInvestigación

Economía

Facultad de Economía y

Empresa

Universidad de Zaragoza

Microeconomía“Modelos Unitarios Intertemporalmente

Separables”

Prof. José Alberto Molina


Economía


Empresa



Separables”



Economía


Empresa



Separables”



Economía


Empresa



Economía


Empresa



Separables”



Economía


Empresa



Separables”



Economía


Empresa


Microeconomía“Aproximación

Unitaria: Modelos”



Economía


Empresa


2

CONTENT

1. Intra-temporal models1.1. LES1.2. AIDS1.3. Rotterdam1.4. Empirical evidence

2. Inter-temporal models2.1. SNAP2.2. Empirical evidence



Empresa de la Universidad de

Zaragoza


Economía


Empresa





3José Alberto Molina



Zaragoza

A partir de la definición de sistema completo de ecuaciones de demanda, también denominado genéricamente modelo unitario del consumidor:

qi = qi(p,y) (i = 1, ..., n)

el primer paso de su estudio consiste en la especificación concreta de su función de preferencias.

La literatura ha planteado distintas alternativas:

i) partir de una función de utilidad y obtener las ecuaciones;

ii) especificar la función indirecta de utilidad y, a partir del Teorema de Roy, obtener las funciones de demanda;

iii) postular una función de gasto, generar las demandas hicksianas, y expresar después la utilidad en términos de

los precios y la renta por medio de la función indirecta;

iv) formular directamente las funciones de demanda.


Economía


Empresa








Zaragoza

Desde una perspectiva intuitiva podemos concretar algunas ventajas de unas formulaciones sobre otras.

Los especificaciones iii) y iv) presentan el atractivo de que resulta más sencillo aplicar la intuición

para formular a priori la forma más adecuada de las funciones de gasto o demanda que intuir la

característica funcional de las funciones directa o indirecta de utilidad.

Por su parte, las formulaciones i) y ii) presenta el inconveniente de ser más laboriosas, de tal forma que, en ocasiones, deben realizarse complejos cálculos de optimización para obtener las funciones de demanda.


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Empresa








Zaragoza

1.1.- EL SISTEMA LINEAL DE GASTOEl sistema lineal de gasto (Linear Expenditure System)

fue propuesto inicialmente por Stone (1954) y se formula a partir de una función de utilidad Stone-Geary:

puede interpretarse como el consumo mínimo de subsistencia de tal forma que qi > i . Además, i > 0 para

que la función sea monótona creciente y también

Calculamos las condiciones de primer orden:

(i = 1, ..., n)

∑pi qi = y

n

1iiβii γq)u(q

1βn

ii


Economía


Empresa


i1

iiin

iiβii

1iii

1n

ijjβjj

1iβiiii

λpuγqβγqγqβγqγqβq

u

q

i 0







Zaragoza

Si dividimos entre sí todas las n-1 primeras ecuaciones y la n-ésima para eliminar el multiplicador:

y multiplicando por pi nos queda la expresión del gasto

Sustituyendo en la restricción presupuestaria estas expresiones de gasto:

n

i1

nnn

1iii

λpλp

uγqβuγqβ

n

i

ii

nn

n

i

pp

γqγq

ββ nn

i

n

n

iii γq

pp

ββγq

nnnn

iiiii γqp

ββγpqp


Economía


Empresa


n

iinn

n

ni

n

iii

n

ii βγq

βppqpy

n nn

n n i i ii in

ny p γi ip i(q ) y p q γ βn n n np βn ii

Microeconomía

“Aproximación Unitaria: Modelos”





Zaragoza

y, recordando que , derivamos la ecuación genéricade demanda marshalliana del LES en términos de cantidades:

(i = 1, ..., n)

desarrollando:

(i = 1, ..., n)

o, en términos de gasto:

(i=1,…,n)Así pues, el sistema completo de ecuaciones de demanda

del LES para n bienes incluye n ecuaciones con n+1 parámetros por ecuación:

i

jn

jj

iii p

γpyβγq

in

niiii1

1ii

iii ppγβ...γβ...

ppγβ

pyβγq


Economía


Empresa


ii

1

i i i i i 1 1 i i n np q p γ β y p γ ... p γ ... p γ

p1q1 = p11 + 1 (y - p1 1 - ... - pi i - ... - pn n)

p2q2 = p22 + 2 (y - p1 1 - ... - pi i - ... - pn n)

...

pnqn = pnn + n (y - p1 1 - ... - pi i - ... - pn n)







Zaragoza

El LES se define a partir de una función de utilidad de buen comportamiento cuya relación marginal de

sustitución del sistema satisface el principio de decrecimiento:

de tal forma que el modelo satisface las condiciones de agregación (Engel y Cournot), homogeneidad y simetría, por

lo que no será necesario contrastar su imposición.

Adicionalmente, el LES presenta una serie de características teóricas que se derivan directamente de las

elasticidades gasto y precio.

En primer lugar, puesto que u(q) es monótona creciente, (βi> 0), entonces, todos los bienes son normales, es decir, no

pueden aparecer bienes inferiores en el modelo:

ij j j ji i i ii i

j 2j i i j ij j j j

U β dRMS βq γ q γdqRMS 0dq U β dq βq γ q γ

0pβ

yq

i

ii


Economía


Empresa








Zaragoza

En segundo lugar, la elasticidad gasto revela que no todos los bienes pueden ser de lujo y no todos los bienes pueden

ser de primera necesidad.

En tercer lugar, la elasticidad precio directa nos permite afirmar que en el LES todos los bienes presentan

demandas inelásticas:

n

jjjiii

iii

i

n

jjj

ii

ii

ii

ii

γpyβγp

yβpβ

p

γpyβγ

ypβ

qy

yq

qye

1qβ1γ

qγγβ

qqγqγβ

q1

i

ii

i

iii

i

iiiii

i


Economía


Empresa





i

n

jjji

iii

2i

n

jjjiiii

i

i

i

i

i

iyii p

)py(

q1

p

)py(p

qp

pq

qpe




Zaragoza

En cuarto lugar, las elasticidades cruzadas permiten constatar que en este modelo todos los bienes son

complementarios brutos entre sí:

(i ≠ j = 1, ..., n)

Finalmente, podemos comprobar también que todos los bienes son sustitutivos netos, de acuerdo con el

signo positivo del efecto de sustitución cruzado:

(i ≠ j = 1, ..., n)

0qpγp

βpγβ

qp

pq

qp

eii

jji

i

ji

i

j

j

i

i

jyij

0γqpβ

pβq

pγβ

yqq

pqS jj

i

i

i

ij

i

jiij

j

iij


Economía


Empresa








Zaragoza

1.2.- EL SISTEMA DE DEMANDA CASI IDEAL

El sistema de demanda casi ideal (AIDS) de Deaton y Muellbauer (1980a) presenta una forma que se deriva de

una función de gasto que caracteriza las preferencias PIGLOG:

log c(p,u) = (1-u) log a(p) + u log b(p)

donde 0 < u < 1, de forma que las funciones linealmente homogéneas a(p) y b(p) se pueden interpretar como el

gasto de subsistencia (u = 0) y aquél que corresponde a una situación de máxima satisfacción (u = 1).

Los autores eligen log a(p) y log b(p) de tal manera que la función de gasto resultante sea una forma flexible:


Economía


Empresa





kk0

n

k

n

jjk

*kj

n

kkk0

kp)(alog)(blog

plogplog21plog)(alog

pp

p




Zaragoza

Sustituyendo obtenemos la siguiente función de gasto:

log c(p,u) = log a(p) - u log a(p) + u log b(p) =

siendo i, i y parámetros.

Las funciones de demanda se obtienen a partir de la función de costes aplicando el Teorema de Hotelling

multiplicando ambos lados de la igualdad por pi/c(p,u):

donde wi es la participación presupuestaria en el bien i.

k

kβk0

kkβ

k0 puβalogpuβalogualogualog pppp

kkβ

k0jkn

k

n

jkj

n

kkk0 puβlogplogpγ

21logpααu,logc p

ijγ


Economía


Empresa


i

ih

pu,c

p

i

ii

i

i

iw

u,chp

logpu,logc

u,cp

pu,c

pp

pp







Zaragoza

Para obtener esta derivada logarítmica comenzamos:

nnii110 logpα...logpα...logpααu,c log p

n11ni11i

2111 logplogpγ

21...logplogpγ

21...logpγ

21

...logplogpγ21...logplogpγ

21...logplogpγ

21

n22ni22i1221

...logplogpγ21...logpγ

21...logplogpγ

21

niin2

iii1ii1

2nnninni1nn1 logpγ

21...logplogpγ

21...logplogpγ

21

nβniβi

2β2

1β10 ...p...pppuβ


Economía


Empresa








Zaragoza

Derivando:

Dado que:

Por tanto, nos queda:

siendo:

i 1i 1 2i 2 ii i ni n

i

logc ,u 1 1 1α γ logp γ logp ... γ logp ... γ logplogp 2 2 2

p

...logpγ21...logpγ

21logpγ

21

nin2i21i1

i

iβinβn1β

10 logpp

...ppuβ

iβiii

1iβii

i

i

i

iβi

i

iβi pβppβ

logpp

pp

logpp


Economía


Empresa


jiijij γγ21γ




n

j kk0ijijii

kpuplogw




Zaragoza

El agente racional gastará íntegramente su renta:

y = c(p,u) log y = log c(p,u)

de donde:

y, sustituyendo en las demandas hicksianas, obtenemos las marshallianas:

kkβ

k0jkn

k

n

jkj

n

kkk0 puβlogplogpγ

21logpααu,logc p

jkn

k

n

jkj

n

kkk0

kkβ

k0 logplogpγ21logpααlogypuβ

jn

jijii logpγαw

jkn

k

n

jkj

n

kkk0i logplogpγ

21logpααlogyβ


Economía


Empresa








Zaragoza

(i = 1, ..., n)

Desarrollando la ecuación de demanda :

(i = 1 , ..., n)

Así pues, el AIDS para n bienes incluye n ecuaciones con n+2 parámetros por ecuación:

Pylogβlogpγαw ij

n

jijii

jkn

k

n

jkj

n

kkk0 logplogpγ

21logpααlogP

Pylogβlogpγ...logpγlogpγαw inin2i21i1ii


Economía


Empresa


Pylogβlogpγ...logpγlogpγαw

...Pylogβlogpγ...logpγlogpγαw

Pylogβlogpγ...logpγlogpγαw

nnnn2n21n1nn

2n2n22212122

1n1n21211111







Zaragoza

Este AIDS también puede obtenerse haciendo uso de la función de beneficio en el consumo correspondiente a la

función de gasto PIGLOG :

Siendo , por tanto,

Partimos de la función de beneficio:

(p,r) = Max {r u - c(p,u)}

cuya condición de primer orden establece que

Aplicando esta condición a la función de gasto PIGLOG:

de donde tomamos logaritmos y despejando:

k

kβk0 puβa logu,logc pp

k

kβk0 pβd p k

n

kk0 logpβlogβlogd p


Separables”



Economía


Empresa



Economía


Empresa



Separables”



Economía


Empresa



Economía


Empresa


ru

u,c

p

c p,u logc p,u rc p,u d p c p,u r c(p,u)=u u d(p)

rlog loga pd prlogc p,u loga p ud p log u

d p d p







Zaragoza

Sustituyendo en la fórmula del beneficio:

Recordando que:

(i = 1, ..., n)

rlog loga pd p r r rπ p,r ru c p,u r log loga p 1

d p d p d p d p

r[log r log d(p) log(P) 1]d(p)

0 k k0 k k 0 k k kj k j logβ β logp

k k k j

1 rlogr logβ β logp α α logp γ logp logp 12 e

i i

i i i

π p,r π p,r 1q qp logp p


Economía


Empresa








Zaragoza

Calculamos la siguiente derivada:

[(log r - log d(p)-log a(p) -1] =

(i = 1, ..., n)

Por tanto, la función de demanda frischiana es:

(i = 1, ..., n)

klogpkβ0log βe

rjlogp

jijγiαiβ

ilogpr,π p

2klogpkβ0logβ

riβklogpkβ0logβe

e

p

pp

d

rβ1)loga()logd(logrrlogpγαβ ijj

ijii


Economía


Empresa


i i ij j ij

ii

β α γ logp r logr logd(p) loga(p) 1 β rq

d p p







Zaragoza

Ahora bien, sabemos que el coste marginal de la utilidad constituye un parámetro inobservable en este tipo de

sistemas de demanda. La solución consiste en remplazar dicho parámetro por el gasto utilizando la identidad presupuestaria, tras recordar que c(p,u)d(p) = r, es decir, r = y d(p), y sustituyendo en la

función frischiana, nos queda la siguiente función de demanda marshalliana expresada en cantidades:

(i = 1, ..., n)

por consiguiente, en términos de participaciones:(i = 1, ..., n)

es decir:(i = 1, ..., n)

ecuación que vuelve a definir el AIDS.

i i ij j ij

ii

β α γ logp yd(p) logy loga(p) 1β yd(p)-q

d p p


Economía


Empresa


i i

i i i ij j ij

p q yw logp log 1y a p

n

i i ij j ij

yw logp loga p







Zaragoza

Las restricciones que la teoría impone sobre el modelo son agregación, homogeneidad, simetría y negatividad, la

cuales podrán verificarse contrastando ciertas restricciones lineales sobre los parámetros del sistema.

En primer lugar, la condición de agregación exige:

(j = 1, ..., n)

En segundo lugar, la propiedad de homogeneidad establece que las funciones son homogéneas de grado cero

en precios y renta, dado > 0:

wi (p, y) = wi (p,y) (i = 1, ..., n)

En tercer lugar, la simetría impone que:

Sij = Sji ij = ji (i≠j, i,j = 1, ..., n)

n n n n

i i ij ii i i i

w 1 α 1; γ β 0

0γn

jij


Economía


Empresa








Zaragoza

Por último, la condición de negatividad establece que la matriz de efectos de sustitución cruzados {Sij} sea

semidefinida negativa. Esta última propiedad, a diferencia de las anteriores, no puede ser impuesta como restricción sobre los parámetros del modelo, sin embargo

podemos contrastar dicha condición calculando las raíces características de la matriz {kij} cuyo elemento

genérico se obtendrá a partir de los parámetros estimados:

siendo Sij el efecto de sustitución cruzado entre los bienes i y j, y el delta de Kronecker. En consecuencia, si la matriz {kij} es semidefinida negativa entonces quedará

garantizada la propiedad de negatividad dado que las raíces características de esta última tendrán los mismos

signos que las correspondientes a la matriz {Sij} de Slutsky.

i j ijij ij i j i ij i j

p q S yk log w w wy P


Economía


Empresa








Zaragoza

Obtengamos ahora las expresiones de las elasticidades.

Comenzamos con las elasticidades precio. Dado que :

donde ij es el delta de Kronecker.

A partir de esta expresión podemos obtener las elasticidades precio marshallianas, considerando

igual a cero:

i

ii p

ywq

i

j

i i iij ij

j j j j j

logq logw logp logwlogy logyelogp logp logp logp logp logp

y iij ij

j

logwelogp


Economía


Empresa





jplogylog




Zaragoza

Por lo tanto, las elasticidades precio marshallianas serán :

siendo:

Por otro lado, la elasticidad renta vendrá dada por:

(i , j = 1, ..., n)

Finalmente, las elasticidades precio hicksianas serán:

(i = 1, ..., n)

n

j kj kkj

logP logplogp

i i ii

i

logq logwe 1 1logy logy w

jiyij

uij weee


Economía


Empresa





y i iij ij ij ij ij i

j j i j i

log w w 1 log P 1elog p log p w log p w




Zaragoza

1.3.- EL MODELO DE ROTTERDAMEl modelo de Rotterdam no se asocia a ninguna función de

utilidad concreta. Fue propuesto inicialmente por Barten (1964 y 1967) y Theil (1965) y desarrollado después por

Theil (1975 y 1976).

Partimos de un sistema de demanda genérico:qi = qi (p,y)

que lo aproximamos directamente mediante su diferenciación logarítmica:

es decir:

siendo eijy y ei la elasticidad precio marshalliana y la

elasticidad renta, respectivamente.


Economía


Empresa


logq logq logq logq logqni i i i idlogq dlogp ... dlogp dlogy dlogp dlogyi 1 n jlogp logp logy logp logyj1 n j

ny

i ij j ij

dlogq e dlogp e dlogy Microeconomía“Aproximación






Zaragoza

Para obtener la ecuación de demanda, recordamos la Ecuación de Slutsky

Sustituyendo:

y multiplicando ambos lados por wi :

Siendo ahora:

entonces:

y uij ij j ie e w e

n nu

i ij j i j i jj j

d log q e d log p e d log y w e d log p n n

uij j i j j

j je dlogp e dlog y w dlogp

n nu

i i i ij j i i j jj j

w dlogq w e dlogp w e dlogy w dlogp


Economía


Empresa


j i ju i i i iij i ij

i j ju u

p ppp q q qw ey q p y p

p q q qyi i i iw e pi i i iy q y yi

n n

i i ij j i j jj j

w dlogq dlogp dlogy w dlogp







Zaragoza

El término entre corchetes es, donde:

Para verlo, diferenciamos la ecuación presupuestaria:

Por tanto:

n

j jj

y p q

n

j j

jjjn

j j

jjjj

n

jj

n

jjj p

dpyqp

qdq

yqp

ydydpqdqpdy

n n

j j i jj j

d log y w d log q w d logp d log q d logp


Economía


Empresa


yyp

ylogd




n

j jj

d lo g y d lo g y d lo g p d lo g y w d lo g p




Zaragoza

Consiguientemente, el Modelo de Rotterdam viene expresado por:

desarrollando:

(i = 1, ..., n)

Así pues, el sistema completo de ecuaciones de demanda Rotterdam para n bienes incluye n ecuaciones con n+1

parámetros por ecuación:

1 1 11 1 1n n 1

2 2 21 1 2n n 2

n n n1 1 nn n n

w dlogq dlogp ... dlogp dlogy

w dlogq dlogp ... dlogp dlogy...

w dlogq dlogp ... dlogp dlogy


Economía


Empresa


n*

i i ij j ij

w d lo g q d lo g p d lo g y

i i i1 1 in n iwdlogq dlogp ... dlogp dlogy







Zaragoza

Las condiciones teóricas a imponer pueden también verificarse contrastando algunas restricciones

lineales sobre los coeficientes del modelo.

La propiedad de agregación exige:

y (j = 1, ..., n)

En segundo lugar, la propiedad de homogeneidad establece:

(i = 1, ..., n)

En tercer lugar, la simetría impone:

(i, j = 1, …, n)

1μn

ii 0θ

n

iij

0θn

jij

jiij θθ


Economía


Empresa








Zaragoza

Finalmente, vamos a concretar fácilmente las elasticidades gasto y elasticidades precio marshallianas y hicksianas a partir de las expresiones que ya hemos

obtenido directamente.

En primer lugar, recordamos que , por tanto la elasticidad precio hicksiana será:

(i, j = 1, ..., n)

Análogamente, de i = wi ei obtenemos la expresión de la elasticidad gasto:

(i = 1, ..., n)

Finalmente, la Ecuación de Slutksy nos permite obtener la elasticidad precio marshalliana:

(i, j = 1, ..., n)

uijiij ewθ

i

ijuij w

θe

i

ii w

μe

ijuij

yij ewee


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Empresa








Zaragoza

1.4.- EVIDENCIA EMPÍRICAEspecificación econométrica

Partimos de la especificación genérica :

Cuya formulación estocástica se obtiene añadiendo aditivamente una perturbación aleatoria por ecuación:

Las perturbaciones aleatorias ui representan variables estocásticas que recogen cambios en las preferencias,

errores de medida en las variables dependientes y el efecto de variables independientes omitidas.

1 1 1 2 n

2 2 1 2 n

n n 1 2 n

w w p ,p ,...,p ,yw w p ,p ,...,p ,y...w w p ,p ,...,p ,y


Economía


Empresa


1 1 1 2 n 1

2 2 1 2 n 2

n n 1 2 n n

w w p ,p ,...,p ,y uw w p ,p ,...,p ,y u...w w p ,p ,...,p ,y u







Zaragoza

Algunas propiedades teóricas que debe cumplir un sistema completo de ecuaciones de demanda, implican restricciones sobre el modelo. Por ejemplo, la condición

de agregación .

Así pues, de las n ecuaciones del sistema, sólo n-1 son independientes de tal forma que para evitar la

singularidad de la matriz de varianzas, debemos eliminar una ecuación cualquiera del sistema inicial y

estimar el subsistema de las n-1 ecuaciones restantes:

el cual puede expresarse matricialmente como:

0ui

i

1 1 1 2 n 1

2 2 1 2 n 2

n-1 n-1 1 2 n n-1

w w p ,p ,...,p ,y uw w p ,p ,...,p ,y u...w w p ,p ,...,p ,y u

1 1 1

2 2 2

n 1 n 1 n 1

w uXw uX... ... ...

w uX


Economía


Empresa








Zaragoza

La estimación de este modelo w = X + u por MCO (estimación MCO de cada equación separadamente)

no sería optima si consideramos los supuestos habituales de errores con media cero: E(uit) = 0, i y t

correlación contemporánea:

E( uit2 ) = ii, i y t, E(uit, ujt) = ij, i,j y t

pero no serial:

E(uit, uis) = 0, i y t≠s , E(uit, ujs) = , i,j y t ≠ s.

La contemporánea indica que las endógenas están relacionadas entre sí en cada instante del tiempo a través

de sus componentes estocásticos.

Por su parte, la inexistencia de correlación seria, indica que las variables endógenas no están relacionadas entre sí en

distintos momentos del tiempo.


Economía


Empresa








Zaragoza

Así pues, E(u) = 0, y matriz de varianzas E(uu') = ∑ V = IT, siendo:

y el producto de Kronecker.

La naturaleza de esta matriz de varianzas, en particular, la existencia de correlación contemporánea indica que cada

una de las variables endógenas del modelo contiene información relevante acerca de las demás, lo cual sugiere que la estimación conjunta de las distintas ecuaciones de

demanda será más eficiente que el tratamiento individualizado de cada una de ellas, dado que en el primero de los casos podemos beneficiarnos de la información que

proporcionan las correlaciones que existen entre los términos de error.

nnn2n1

2n2221

1n1211

σσσ......

σσσσσσ

Σ


Economía


Empresa








Zaragoza

Consiguientemente, el sistema de ecuaciones de demanda debería considerarse como un grupo y

estimarse por mínimos cuadrados generalizados (MCG).

Sabemos que el estimador MCG de β es:

b* = (X' V-1 X)-1 X' V-1 Y

siendo V-1 = ∑-1 IT.

Ahora bien, dado que ∑ es desconocida, resulta operacionalmente complicado obtener b*.


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Para solucionar este problema, Zellner (1962) propuso un procedimiento bietápico en el que se

sustituye por una estimación obtenida a partir de los residuos calculados al aplicar MCO a cada una de las

ecuaciones del subsistema por separado, y, posteriormente, se utiliza dicha matriz estimada para

deducir el vector de parámetros MCG.

Al estimador que se obtiene siguiendo este procedimiento se le conoce como estimador SURE

(Ecuaciones de Regresión Aparentemente no Relacionadas) :

= (X‘ -1 X)-1 X' -1 W

siendo -1 la estimación de V-1.

*b̂ V̂

V̂

V̂


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Zaragoza

Este método SURE de estimación conjunta, como demuestra Zellner, proporciona estimadores eficientes y asintóticamente equivalentes a los que se obtienen a

través del método de Máxima Verosimilitud con Información Completa.

Las ventajas concretas de este tipo de estimación residen, por un lado, en la ganancia de eficiencia al

tener en cuenta la correlación contemporánea entre las perturbaciones

y, en segundo lugar, en la posibilidad de contrastar una propiedad teórica que implica restricciones entre los parámetros de las diferentes ecuaciones, esto es, la

simetría de los coeficientes ij.


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Zaragoza

Una vez estimado el modelo, debemos aplicarle distintos contrastes de especificación con el fin de

asegurarnos que nuestro sistema cumple las propiedades econométricas deseadas, esto es, con el

propósito de asegurarnos de que los residuos se ajusten a una estructura típica de ruido blanco.

En particular, dado el tipo de datos con los que trabajamos, series temporales, contrastaremos la

autocorrelación conjunta del sistema por medio de dos estadísticos fundamentales, el test de Harvey (1982) y

el estadístico .


Economía


Empresa








Zaragoza

El test de Harvey (1982)

Partimos del modelo inicial expresado genéricamentewit = Xt i + uit, realizando, en primer lugar, las regresiones

de los residuos obtenidos para cada una de las ecuaciones estimadas del modelo inicial, con sus valores

retardados un período, uit = ri uit-1 + it, donde ri es el coeficiente de autocorrelación individual y eit es una

perturbación aleatoria distribuida normalmente con media cero y matriz de varianzas y covarianzas constante.

El producto del tamaño muestral por la suma de dichos coeficientes de autocorrelación elevados al cuadrado se

distribuye asintóticamente como una 2 con tantos grados de libertad como regresiones de los residuos se han

realizado.

Rechazamos la hipótesis nula de no autocorrelación cuando el valor del estadístico de Harvey es mayor que

el valor crítico de tablas de la distribución χ2.


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Empresa








Zaragoza

El estadístico se deriva de forma similar al anterior.

Volvemos a partir del modelo expresado genéricamentewit = Xt i + uit, asumiendo que el término de error se

especifica como uit = uit-1 + it, donde es el coeficiente de autocorrelación común a todas las ecuaciones del sistema yit es una perturbación aleatoria distribuida como hemos

especificado en el párrafo anterior.

Sustituyendo ahora esta hipótesis en el modelo inicial obtenemos

wit = Xt i + wit-1 - Xt-1 i) + it.

La significatividad individual del coeficiente de autocorrelación se contrasta por medio del estadístico t de

Student asintótico deducido de la estimación conjunta.

Rechazamos la hipótesis nula de no autocorrelación,H0: , si el valor de la t del coeficiente estimador es

mayor que el valor crítico de tablas.


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Empresa








Zaragoza

Además de estos contrastes conjuntos, la literatura econométrica ha propuestos otros contrastes individuales

que se formulan para cada ecuación estimada.

Respecto a la autocorrelación, los estadísticos habituales son el test de Durbin (la h de Durbin si las ecuaciones

son dinámicas) y el test de Godfrey (1978). Este último se calcula realizando, en primer lugar, la regresión de los residuos obtenidos de la estimación del modelo inicial,

con sus valores retardados y las variables explicativas del modelo, calculándose el R2 de esta regresión. El producto

del tamaño muestral por dicho R2 se distribuye asintóticamente como una χ2 con tantos grados de

libertad como retardos de los residuos hemos incluido en la regresión.


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Finalmente, el uso de series temporales también permite el contraste de heteroscedasticidad dinámica o

perturbaciones ARCH a través del test de Engle (1982), el cual se calcula elevando al cuadrado los residuos y

realizando la regresión de estos últimos únicamente con sus valores retardados, obviamente también al

cuadrado, de donde obtenemos un R2. El producto del tamaño muestral por dicho R2 se distribuye

asintóticamente como una 2 con tantos grados de libertad como retardos de los residuos al cuadrado

incluimos en la regresión


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Respecto a los estadísticos usados para contrastar las hipótesis teóricas, el test más usual es estadístico de

Wald (W) el cual se distribuye asintóticamente como una2 con tantos grados de libertad como restricciones

estamos contrastando.

No obstante, dado que dicho test se encuentra sesgado hacia el rechazo de la hipótesis nula, normalmente se

corrige por un factor de corrección para tratar de aproximar su distribución asintótica a la finita.

En este sentido, podemos citar el factor propuesto por Mauleón (1984), el cual se define de la siguiente forma: FC = (1- n/T)(1- k/T), siendo n el número de ecuaciones estimadas del sistema, k el promedio de parámetros por

ecuación y T el tamaño muestral.

Consiguientemente, el test de Wald corregido (W x FC) también se distribuirá como una 2 con tantos grados de

libertad como restricciones contrastemos.


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La aplicación empírica se basa en datos sobre gastos en España proporcionados por el INE para el período

1964-1995

Distinguimos cinco categorías finales de gasto:

1. Alimentación

2. Vestido y calzado

3. Alquileres y energía

4. Transporte y comunicaciones

5. Otros bienes y servicios


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Análisis descriptivo:Precios (año base 1986)

Grupos de bienes Media Desv. est. Mínimo Máximo

Alimentación 0.6431 0.4802 0.1125 1.5453

Vestido y calzado 0.6473 0.5202 0.0851 1.5832

Aluileres y energía 0.6551 0.5558 0.0863 1.9783

Transporte y comunic. 0.6516 0.5461 0.1075 1.7500

Otros bienes y servicios 0.6297 0.5499 0.0668 1.6981

Total 0.6423 0.5296 0.0876 1.6960

Grupos de bienes 1965-69 1970-73 1974-79 1980-84 1985-89 1990-95 1965-95

Alimentación 6.19 8.79 16.21 9.99 7.25 4.66 8.95

Vestido y calzado 7.64 10.37 17.77 11.30 8.56 4.21 10.03

Aluileres y energía 5.96 6.99 19.87 16.40 5.32 9.39 11.03

Transporte y comunic. 1.81 4.56 21.21 15.51 5.16 6.96 9.67

Otros bienes y servic. 7.22 9.95 20.45 14.56 7.52 6.03 11.13

Total 6.22 8.59 18.68 13.12 6.90 6.13 10.14Microeconomía“Modelos Unitarios Intertemporalmente

Separables”



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Análisis descriptivo:Participaciones presupuestarias (%)

Grupos de bienes Media Desv. est. Mínimo Máximo

Alimentación 30.19 7.56 19.71 42.99

Vestido y calzado 9.46 1.13 7.62 10.90

Aluileres y energía 13.94 1.33 12.01 16.57

Transporte y comunic. 12.21 2.74 6.87 15.72

Otros bienes y servicios 34.18 6.32 24.30 44.05

Grupos de bienes 1964 1970 1975 1980 1985 1990 1995

Alimentación 42.26 36.94 35.17 28.05 24.91 21.76 19.71

Vestido y calzado 10.90 10.44 10.22 8.07 8.64 8.88 7.62

Alquileres y energía 15.57 14.44 13.32 16.49 14.50 12.55 13.21

Transporte y comunic. 6.87 9.53 10.47 13.54 13.68 15.20 15.38

Otros bienes y servic. 24.38 28.72 30.79 33.84 38.39 41.59 44.05


Separables”



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Comenzamos la estimación econométrica de los modelos con el sistema lineal de gasto:

Comprobamos que esta versión estática del LES exhibe graves problemas de autocorrelación dado que el valor del test de Harvey resultante es H = 58.61, el

cual supera ampliamente el valor crítico de tablas de la distribución 2 con 4 grados de libertad al nivel de

significación clásico del 5%, 9.49.

p1tq1t = p1t1t + 1 (yt - p1t 1t -... - pnt nt) + u1t

p2tq2t = p2t2t + 2 (yt - p1t 1t - ... - pnt nt) + u2t

...

pn-1tqn-1t = pn-1tn-1t + n-1 (yt - p1t 1t - ... - pnt nt) + un-1t


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Por tanto, constatamos empíricamente una hipótesis muy poco plausible del LES derivada de su carácter estático,

esto es, el hecho de que los parámetros i son constantes en el tiempo, sobre todo en la medida en que se desee

seguir adoptando su interpretación habitual de cantidades mínimas necesarias para cubrir las necesidades más

indispensables, dado que resulta difícil aceptar que ésta medida subjetiva de qué es lo imprescindible no varíe como

consecuencia de la experiencia del pasado.

En este sentido, Pollak y Wales (1969) dinamizan el sistema incorporando la formación lineal de hábitos de consumo que

consiste en expresar gi en función de una tendencia temporal, it = i + i1 t, del consumo del período anterior, it= i + i1 qit-1, o, en general, de una variable que represente el consumo pasado, it = i + i1 zit-1, por ejemplo, la media

del consumo durante los tres últimos períodos anteriores al corriente.


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Hemos adoptado estas generalizaciones en nuestra aplicación empírica constatando que los graves problemas de autocorrelación no se corrigen.

Así, la dinamización del parámetro it = i + i1 t proporciona un valor del test de Harvey H = 52.25,

mientras que la formulación it = i + i1 qit-1 dá lugar a un valor H = 28.28.

Finalmente, hemos costruido una dinamización conjunta de la siguiete forma it = i + i1 qit-1 + i2 t, volviendo a

constatar graves problemas de autocorrelación detectados por un valor del test H =20.58,

considerablemente más bajo que las cifras anteriores, pero todavía muy por encima del valor crítico de tablas

al 5%, 9.49.


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Así pues, podemos concluir que el Sistema Lineal de Gasto, tanto en su versión estática como en diferentes versiones dinámicas, presenta graves problemas de

autocorrelación utilizando las series temporales españolas desde 1964 hasta 1995 de los cinco grupos

de gasto especificados en el tema anterior, esto es, Alimentación, Vestido y calzado, Alquileres y energía,

Transporte y comunicaciones y, finalmente, Otros bienes y servicios.

Consiguientemente, el modelo estimado no satisface los mínimos requisitos econométricos para ser

utilizado en la obtención de conclusiones válidas desde un punto de vista estrictamente económico.


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Estimamos la versión estática del AIDS:

Constatando de nuevo la existencia de ciertos problemas de autocorrelación. En este caso, el valor del test de Harvey

resultante es H = 32.89, el cual se sitúa por encima del valor crítico de tablas de la distribución 2 con 4 grados de libertad

al nivel de significación del 5%, 9.49.

Por consiguiente, Deaton y Muellbauer (1980a) plantean dinamizar el modelo especificando el término independiente

en términos de la variable endógena retardada y una tendencia temporal. Constatamos que dicha generalización

presenta un valor del test de Harvey, H = 4.55, que resuelve los problemas de autocorrelación.

t1t 10 11 1t 1n 1 1t

t

t2t 20 21 1t 2n 1 2t

t

tn 1t n 10 n 11 1t n 1n 1 n 1t

t

yw logp ... log uP

yw logp ... log uP

...

yw logp ... log uP


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Consiguientemente, pasamos a contrastar las hipótesis teóricas de homogeneidad y simetría, obteniendo unas cifras del test de Wald corregido, WC = 18.14 para la homogeneidad y WC = 59.45 para la homogeneidad y

simetría, que superan los valores críticos de tablas de la distribución 2 con 4 y 10 grados de libertad al nivel de

significación del 5%, 9.49 y 18.30, respectivamente. Por lo tanto, ambas hipótesis resultan rechazan

estadísticamente.

Dado este resultado, probamos con otras dos dinamizaciones que resultan al eliminar una de las dos

nuevas variables.

Así, la formulación it = i + wit-1 da lugar a un estadístico H = 15.32, superior al valor crítico y que, por

lo tanto, rechaza la ausencia de autocorrelación.


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La segunda nueva dinamización, it = i + i2 t, proporciona un valor del test de Harvey H = 5.30, inferior

al valor crítico 9.49, por lo que acepta la ausencia de autocorrelación.

Consiguientemente, al igual que hemos hecho en el caso anterior, procedemos a contrastar las hipótesis teóricas

de homogeneidad y simetría en esta nueva versión dinámica del modelo. Los valores del test de Wald

corregido,WC = 24.29 para la condición de homogeneidad y WC = 90.97 para la homogeneidad y simetría conjuntamente, vuelven a ser mayores de las

cifras de tablas de la distribución 2 con 4 y 10 grados de libertad al nivel de significación del 5%, 9.49 y 18.30, respectivamente, por lo que ambas hipótesis teóricas

vuelver a resultar rechazadas estadísticamente.


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En definitiva, podemos concluir que la versión estática, así como las diferentes versiones dinámicas estimadas del Sistema de Demanda Casi Ideal tampoco satisfacen los mínimos requisitos al utilizar las series temporales españolas desde 1964 hasta 1995 de Alimentación, Vestido y calzado, Alquileres y energía, Transporte y

comunicaciones y, finalmente, Otros bienes y servicios.


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Zaragoza

En cuarto lugar, estimamos el Modelo de Rotterdam:

que presenta valor del test de Harvey H = 4.59, claramente por debajo del valor crítico de tablas de la 2 con 4 grados de libertad al nivel del 5%, 9.49, por lo que rechazamos la

presencia de autocorrelación.

Seguidamente, contrastamos las hipótesis teóricas de homogeneidad y simetría. Los valores del test de Wald

corregido, WC = 7.21 para la condición de homogeneidad y WC = 16.72 para la homogeneidad y simetría

conjuntamente, son inferiores que las cifras de tablas de la distribución 2 con 4 y 10 grados de libertad al nivel de

significación del 5%, 9.49 y 18.30, respectivamente, por lo que ambas hipótesis teóricas son aceptadas

estadísticamente. Consiguientemente, imponemos homogeneidad y simetría sobre la versión libre del modelo

obteniendo así la versión restringida.


Economía


Empresa


1t 1t 11 1t 1 t 1t

2t 2t 21 1t 2 t 2t

n 1t n 1t n 11 1t n 1 t n 1t

w dlogq dlogp ... dlog y uw dlogq dlogp ... dlog y u...w dlogq dlogp ... dlog y u







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Contrastamos la existencia de autocorrelación en esta nueva versión, obteniendo un valor del test de Harvey, H =

4.97, por lo que volvemos a rechazar claramente la presencia de problemas de autocorrelación.

La versión homogénea y simétrica del sistema de Rotterdam satisface los requisitos econométricos y

microeconómicos que le permiten representar adecuadamente la conducta de los consumidores

españoles desde 1964 hasta 1995 cuando dividen su renta entre Alimentación, Vestido y calzado, Alquileres y energía, Transporte y comunicaciones, y Otros bienes y

servicios.

Las elasticidades estimadas del modelo elegido, esto es, el sistema de Rotterdam homogéneo y simétrico,

aparecen en la siguiente Tabla.


Economía


Empresa








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Elasticidades medias

Alimentación Vestido y calzado

Alquileres y energía

Transporte y comunicac.

Otros bienes y servicios

Gasto

Precio marshallianas

Alimentación

-0.1812(-1.71)

Vestido y calzado


Transporte y com.

Otros bienes y serv.


Economía


Empresa








Zaragoza

Precio hicksianas Alimentación Vestido y calzado


Transporte y comunicac.

Otros bienes y servicios

Alimentación

Vestido y calzado


Transporte y com.

Otros bienes y serv.

El asterisco (*) indica elasticidad significativa al 5%. Los t-ratios aparecen entre paréntesis.


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Zaragoza


Economía


Empresa





A new empirical application has been implementedusing data from the INE (Instituto Nacional de Estadística) for the recent period 1980-2015.

Consumption has been broken down into eight different groups:

1. Food2. Clothing and footwear

3. Gross rent, fuel and power4. Furniture, furnishing and equipment

5. Health6. Transport and communications

7. Recreation, education and cultural activities,8. Other goods and services.




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Economía


Empresa





After estimating different versions of the AIDS and the Rotterdam models for the Spanish economy from 1980 to 2015, for the eight

categories of expenditure, we conclude that the Rotterdam Model is the best micro-econometric

model to represent consumer preferences of Spanish consumers in recent decades.

The Rotterdam model was also selected to show the preferences of Spanish households,

using data from 1964 to 1995.

Today this model is still valid and continues representing the preferences and demand of

Spanish households.




Zaragoza


Economía


Empresa





Variable Mean Std. Dev. Min Max

Food 19,42% 0.0295312 16,1% 24,6%

Clothing and footwear 6,27% 0.0127249 4,3% 8,3%

Housing, fuel and power 18,52% 0.0250968 15,9% 24,3%

Furniture, furnishings and equ. 5,66% 0.007979 4,1% 7,0%

Medical care and health 2,97% 0.0064528 2,0% 4,2%

Transport and communications 12,76% 0.0106322 10,7% 14,4%

Culture, edu. and recreation 9,41% 0.0032869 8,7% 9,9%

Othergoods and services 24,99% 0.0261669 18,7% 28,3%

Budget Shares




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Economía


Empresa





Evolution of Budget Shares




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Empresa





Evolution of Income

Elasticities1980 1988 1994 2008 2013 2015 Mean

Food .6922*** .7938*** .8371*** .8090*** .7902*** .8216***.8023***(0.000)

Clothes .9648*** 1.1073*** 1.1884*** 1.6459*** 1.7824*** 1.7806***1.2605***(0.000)

Rent, water, electricity .5762*** .5974*** .5936*** .5921*** .4997*** .5197***

.5816***(0.000)

Furnit, equipment 1.1573*** 1.2474*** 1.2275*** 1.3656*** 1.5768*** 1.5670***

1.2899***(0.000)

Medical care .7938*** .8678*** .5815*** .4989*** .4141*** .3998***.5700***(0.000)

Transport and

commun.1.4000*** 1.1704*** 1.2123*** 1.0839*** 1.1518*** 1.1021***

1.1773***(0.000)

Recreation, cult. and

edu.1.1847*** 1.1725*** 1.1118*** .9889*** 1.0068*** 1.0000***

1.0749***(0.000)

Othergood and

services1.3613*** 1.2269*** 1.2162*** 1.2672*** 1.4172*** 1.3732***

1.2694***(0.000)




Zaragoza


Economía


Empresa





Marshallian Price Elasticities

Food ClothesRent, water, electr.

Furnit. equip

Medical care

Transp. commun

Culture, edu, recr.

Other goods services

Food -1.35***(0.000)

.3250***(0.0082)

.0616(0.2865)

.3935***(0.0002)

.0256(0.9029)

.1198 (0.2876)

.2964***(0.0075)

-.24***(0.0002)

Clothes .0658(0.1820)

-1.4***(0.000)

.0992**(0.0362)

-.1373(0.1831)

-.1455(0.5042)

-.0106(0.8861)

-.0664(0.4857)

-.0736(0.1441)

Rent, power

.0605(0.4197)

.1843(0.2497)

-.55***(0.000)

-.0947(0.5099)

.4537(0.1277)

-.01460(0.9112)

.1219(0.3990)

-.61***(0.000)

Furnit and equipm.

.0524(0.1442)

-.1112(0.1847)

0.0131(0.7070)

-1.28***(0.000)

.0542(0.8084)

.0494(0.2960)

-.1778*(0.0980)

-.0424(0.1778)

Medical care

-.1148**(0.0026)

-.0864(0.3762)

.0629(0.3745)

.0093(0.9397)

-2.0***(0.000)

.0115(0.8315)

.0183*(0.0639)

-.01467(0.18)

Transport and comm.

0.1033(0.2194)

-.0317(0.8263)

.0666(0.79)

.1062(0.3382)

.1276(0.5827)

-1.598***(0.0000)

-.0233(0.8508)

-.07552(0.3404)

Recreat., cult. edu. 0.1015*

(0.0864)-.1035(0.4122)

.0907(0.1111)

-0.3049*(0.0815)

.5735**(0.0493)

-.0238(0.7778)

-1.38***(0.000)

-.13**(0.0142)

Other good and services

-.0088(0.9341)

-.0586(0.7906)

-.43***(0.0000)

.0252(0.8801)

0.3410(0.3106)

.2891(0.1223)

-.0257(0.8841)

-.91***(0.000)




Zaragoza


Economía


Empresa





Hicksian Price Elasticities

Food ClothesRent, water, electr.

Furnit. and equip

Medical care Health

Transp. and commun.

Culture, edu. recr.

Other goods services

Food -1.2***(0.0000)

0.5382***(0.0000)

.1599***(0.007)

.6117***(0.000)

.1220(0.5741)

.3189***(0.0047)

-.48***(0.0000)

.0799(0.2332)

Clothes .20***(0.0000)

-1.3***(0.0000)

.1361***(0.0039)

-.0559(0.5850)

-.1094(0.6106)

0.6398(0.3838)

.0017(0.9860)

.0659(0.1987)

Rent, water and electricity .1962***

(0.0072).4458***(0.003)

-.43***(0.000)

.1730(0.2130)

.5720**(0.0460)

0.2297*(0.0673)

.3450**(0.0139)

-.21***(0.0072)

Furnit, equipment .1881***

(0.000)

-.05

(0.5850).0433(0.213)

-1.2***(0.0000)

.0839(0.7074)

.1106**(0.0175)

-.1219(0.2568)

.0720**(0.0233)

Medical care .0209(0.5741)

-.0499(0.61)

.0797**(0.0460)

.0466(0.7074)

-1.98**(0.0000)

.0455(0.4020)

.2141**(0.0311)

.0532(0.1294)

Transport and comm. .2390***

(0.0047).1280(0.3838)

.1403*(0.0673)

.2697**(0.0175)

.1998(0.4020)

-1.5***(0.0000)

.1130(0.3701)

.2858***(0.0008)

Recreation, cult. and edu. .2372***

(0.0000).0022(0.9860)

.1394**(0.0139)

-.1967(0.2568)

.6213**(0.0311)

.07478(0.3701)

-1.3***(0.0000) .0821

(0.1288)

Other good and services .1269

(0.2332).2797(0.1987)

-.27**(0.0072)

.3715**(0.0233)

.4940(0.1294)

.6052***(0.0008)

.2629(0.1288)

-.43***(0.0049)

66

2.1. EL SITEMA INTERTEMPORALMENTE SEPARADO




ZaragozaObservamos que el AIDS, como otros modelos

anteriores, presenta la limitación de que se formula en un contexto de preferencias intertemporalmente

separables.

Ahora bien, a pesar de que la separabilidad aditiva en el tiempo se trata de un supuesto de general aceptación,

¿está realmente justificada en los modelos de comportamiento del consumidor?

Vamos a presentar a continuación un modelo que mantiene las dependencias temporales y que

constituye la generalización intertemporal del Sistema de Demanda Casi Ideal.


Economía


Empresa








Zaragoza

Se trata del sistema de demanda intertemporalmente no aditivo (SNAP) derivado de las preferencias

denominadas simple nonadditive preferences definidas en Browning (1991).

De acuerdo con estas preferencias no aditivas, las funciones de demanda del consumidor dependen de los precios corrientes así como de los precios de un período

anterior y de un período posterior.

En este sentido, la estructura SNAP permite que un bien pueda ser complementario o sustitutivo de si mismo en los períodos inmediatamente anterior e inmediatamente

posterior del corriente. Para facilitar el tratamiento, Browning introduce lo que

denomina efectos auto, acuñando el término de autocomplementario para un bien que es complementario

de si mismo en el período anterior y de forma análoga para los bienes sustitutos o independientes consigo

mismos.


Economía


Empresa








Zaragoza

Según Browning, las preferencias SNAP se definen como aquél tipo de estructura en la cual la función de

beneficio intertemporal adopta la siguiente forma:

siendo y los vectores de precios en t y t+1, respectivamente, descontados al período inicial.

Donde cada t(.) es una función cóncava y homogénea lineal en (pt, pt+1, r) y creciente en (pt, pt+1). Se trata, en

definitiva, de una función de pérdidas, es decir, la negativa de una función de beneficio, que, para cada período, presenta una estructura derivada directamente de la

función de beneficio intratemporal .


Economía


Empresa


1T

1t

1tttT1 )r,p,p()p,...,p(

pdrpalog

pdrlogp,rπ

1







Zaragoza

Bajo este planteamiento, obtengamos las funciones de demanda frischianas, desarrollando el sumatorio:

y recordamos que las funciones frischianas pueden expresarse, genéricamente, como

, siendo t el gradiente de la función de beneficio con respecto a los precios del período t.

En el caso particular de las preferencias SNAP:

Comprobando que cantidades corrientes dependen de los precios correspondientes a un período anterior, a un

período posterior y al mismo período, además, del precio de la utilidad r,

r,p,...,pπq T1t

t

r,p,pΦr,p,pΦq 1tttt

t1t1tt

t


Economía


Empresa


r,p,pΦr,p,....,pπ 1tt1T

1t

tT1

r,p,pΦ...r,p,pΦr,p,pΦ...r,p,pΦ T1T1T1tttt1t1t211

r,p,p,pqq 1tt1ttt







Zaragoza

Estas preferencias SNAP permiten derivar un sistema de demanda marshalliana que mantiene las dependencias intertemporales. Para obtenerlo, partimos de la función

de beneficio intratemporal:

A partir de la cual derivamos la función de pérdida correspondiente , incorporando los precios

del período anterior con el fin de eliminar la separabilidad intertemporal:

Donde f(pt-1) es un función homogénea de grado cero.

r,p,pΦ t1t1t

t1t-t

tt1t1t

pdrp f log1ploga

pdrlogr,p,pΦ


Economía


Empresa


pdr1ploga

pdrlogr,pπ







Zaragoza

Ahora bien, en este modelo SNAP se deben considerar las consecuencias de la existencia de incertidumbre, la cual

provoca una serie de diferencias en las funciones de demanda frischianas respecto a las obtenidas en un

ambiente con información perfecta. Estas diferencias se derivan de que, en incertidumbre, el agente va a disponer, conforme transcurra el tiempo, de nueva información que

incorporará en el parámetro rt y que lo irá modificando sucesivamente.

Así, las cantidades dependen, a diferencia de lo que sucedía con información perfecta, de los precios corrientes de los bienes y del precio de la utilidad que varia con el tiempo.

Consiguientemente, las nuevas funciones de demanda frischianas correspondientes a las preferencias SNAP serán:

donde rt se refiere a un período concreto t y el resto de los precios de los bienes también son corrientes.

t1ttttt

t1t1tt

t r,p,pΦr,p,pΦq


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La función relativa a un bien concreto, el i-ésimo:

(i = 1, ..., n)

Para obtener la función de demanda marshallianacorrespondiente a las preferencias SNAP, comenzamos adoptando las siguientes expresiones para los precios:

log a(pt) = o + αk log pkt +

log d(pt) = log β0 + β k log pkt

log f(pt) = θk log pkt

it

t1ttt

it

tt1t1t

it pr,p,pΦ

pr,p,pΦq

jtk j

ktkj logplogpγ21

k

k


Economía


Empresa


k







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Por tanto, las funciones de pérdidas correspondientes a los períodos t-1 y t quedan como:

t-1(pt-1, pt, rt) = - [log rt - log d(pt) - log a(pt) -1 + log f(pt-1)]

y, por otro lado

t (pt, pt+1, rt) = -[log rt - log d(pt+1) - log a(pt+1) -1 + log f(pt)]

tt

drp

κ1kt0ο1kt

κk0t logpααlogpβlogβlogr

ktk0 logpβlogβ

t1kt

kk

k jjtktkj

erlogpθ1logplogpγ

21

tt

drp

κ1kt0ο1kt

κk0t logpααlogpβlogβlogr

1ktk0 logpβlogβ

tkt

kk1jt

k j1ktkj

erlogpθ1logplogpγ

21


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Empresa








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Calculemos ahora las derivadas que aparecen en la función frischiana relativa al bien i-ésimo:

[log rt-log d(pt)-log a(pt)-1+log f(pt-1)]] =

(i = 1, ..., n)

(i = 1, ..., n)

ktk0 logpβlogβ

tjt

jijii

it

tt1-t1-t

erlogpγαβ

logpr,p,pΦ

2ktlogpkβ0logβ

ktlogpkβ0logβ

erβe ti

t

ti1ttt

ttjtj

ijii

pd

rβplogf1plogaplogdlogrrlogpγα[β


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Sabiendo que:

(i = 1, ..., n)

y recordando que, como en el AIDS, sustituimos el parámetro inobservable rt por yt d(pt), nos queda:

(i = 1, ..., n)

it

tt1-t1-t

pr,p,pΦ

it

ti1tt

ttjtj

ijii

p

yβplogf1plogdlogyylogpγα[β


Economía


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itit

tt1-t1-t

it

tt1-t1-t

p1

logpr,p,pΦ

pr,p,pΦ







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Por otro lado, directamente:

(i = 1, ..., n)

itit

t1ttt

it

t1ttt

p1

logpr,p,pΦ

pr,p,pΦ

it1t

tt

iit

logpβlogβt

i ppdpdyθ

p1

erθ

ktk0


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La suma de estas dos derivadas constituye la expresión completa de la función marshalliana en términos de

cantidades que corresponde a este tipo de preferencias SNAP. Si deseamos expresarla en participaciones:

(i = 1, ..., n)

con las expresiones de los precios indicadas anteriormente.

Este modelo SNAP puede reescribirse como:

(i = 1, ..., n)

Lo cual supone cierta relajación en el sentido de que los coeficientes de los índices de precios futuros (i) no tienen

porqué coincidir necesariamente con los parámetros correspondientes a los precios pasados (k).

1t

t

i1ktk

kij

tt

ijtijiit pdpdθlogpθβ

paylogβlogpγαw

1t

t

i1ktk

kij

tt

ijtijiit pdpdδlogpθβ

paylogβlogpγαw


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Por tanto, el sistema intertemporalmente no aditivo para n bienes incluye n ecuaciones con 2n+3 parámetros por ecuación, coincidiendo algunos coeficientes en distintas

ecuaciones:

Vemos que esta ecuación constituye un AIDS excepto por los dos últimos términos que son los que, en

definitiva, caracterizan la no separabilidad intertemporal.

Consiguientemente, el SNAP puede considerarse como una extensión del AIDS en el que hemos relajado la

hipótesis de aditividad intertemporal de las preferencias.

1t

t

n1t11ntt

nt11nnnt

1t

t

21t112tt

2t1212t2

1t

t

11t111tt

1t1111t1

pdpdδ...logpθβ

paylogβ...logpγαw

...pdpdδ...logpθβ


pdpdδ...logpθβ



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En el sistema SNAP las participaciones vienen dadas en términos de precios pasados y futuros, además de

contemporáneos, por lo que debemos tener en cuenta esta característica a la hora de abordar las implicaciones que las propiedades teóricas tienen sobre los parámetros

del sistema.

La primera de las condiciones es la de agregación que, al igual que en el AIDS, en el modelo SNAP implica:

(j = 1, ..., n)1αn

ii 0θβγ

n

i

n

i

n

kkiij


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La propiedad de homogeneidad supone una doble restricción en el SNAP. La primera se refiere a variables contemporáneas, mientras que la segunda se formula en

términos de los precios del período anterior:

Homogeneidad contemporánea: (i = 1, ..., n)

Homogeneidad retardada:

La simetría también impone una doble restricción. La primera es idéntica a la del modelo estático AIDS,

mientras que la segunda supone que los cambios en los precios corrientes producen los mismos efectos sobre las cantidades demandadas en el período inmediatamente

anterior y posterior al de la modificación del precio:

simetría intratemporal: ij = ji (i≠j, i, j = 1, ..., n)

simetría intertemporal: i = - i (i = 1, ..., n)

0γn

jij

n

kk 0θ


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Además de estas restricciones que establece la teoría neoclásica del comportamiento del consumidor,

podemos considerar otras que nos parecen de interés en el marco intertemporal en el que se define el modelo

SNAP.

Una primera será sencillamente un test de aditividad intertemporal. Su aceptación anula los dos últimos términos del modelo y, por lo tanto, acepta la

separabilidad intertemporal que preside su comportamiento

i = i = 0 (i = 1, ..., n)

Una segunda restricción adicional es un test de miopía futura. La aceptación de esta hipótesis rechaza la

influencia de los precios futuros como variables explicativas de la conducta corriente del consumidor:

i = 0 (i = 1, ... , n)


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Obtengamos las elasticidades.

Veamos, las elasticidades precio contemporáneas:

Recordando en AIDS que y además:

donde:

Obtenemos la elasticidad precio marshalliana contemporánea:

jt

it

jt

tij

jt

it

jt

it

jt

t

jt

itijt logp

logwlogplogyδ

logplogp

logplogw

logplogy

logplogqe

0logplogy jtt

it

1tjt

t

ijt

t

iijitjt

it

jt

it

w1

pb1

logppbδ

logpplogaβγ

w1

logpw

logplogw


Economía


Empresa


k

n

kkjj

jt

t

logpγαlogp

)ploga( tj

t

jt

t

jt

t

pbβpblogp

plogblogp

pb

1it1t

t

jik

n

kkjjiijij

yijt w

pbpbβδlogpγαβγδe

Microeconomía

“Aproximación Unitaria: Modelos”





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Veamos ahora las elasticidades precio directas correspondientes a un período anterior y posterior.

En primer lugar:

dado que:

En segundo lugar:

t1-it

1tii

it

1-it

it

1-it

it

1-it

it

1-t

it

1-ity1iit pbw

pbβδlogp

logwlogplogp

logplogw

logplogy

logplogqe

2t

1-it

1ttii

it

1-it

pbwpbpbβδ

logpw

1it

ii

it

1it

it

1ity1iit w

θβlogp

logwlogplogqe


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De forma inmediata podemos obtener la elasticidad renta:

y la elasticidad hicksiana a través de la ecuación de Slutsky:

jtityijt

uijt weee


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it

i

t

it

t

itit w

β1logylogw1

logylogqe







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2.2.- EVIDENCIA EMPÍRICAFrench annual time-series of non-durable goods

expenditures obtained from OECD National Accounts, Vol. II (Detailed Tables) for the period 1964-1992 were used to estimate the empirical

model. All data are expressed in billions. Current and constant expenditures were divides into six

categories:

Group 1: Food

Group 2: Beverages

Group 3: Clothing and footwear

Group 4: Gross rent, fuel and power

Group 5: Medical expenses

Group 6: Other non-durable goods


Economía


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Descriptive analysis

Budget Shares (%) 1964 1970 1975 1980 1985 1992 Mean

Food 29 25 22 20 19 16 22

Beverages 5 4 3 3 2 2 3

Clothing and footwear 11 9 9 8 7 6 8

Gross rent, fuel and power 12 16 18 20 21 22 18

Medical expenses 9 11 9 8 9 11 10

Other non-durable goods 31 32 37 39 38 39 36

Rates of inflation (%) 1965-69

1970-73

1974-78

1979-85

1986-89

1990-92

1965-92

Food 3.38 6.58 9.11 9.52 3.17 2.09 6.20

Beverages 3.33 7.59 9.85 9.70 3.05 4.42 6.53

Clothing and footwear 2.48 5.33 10.79 9.94 5.15 2.94 6.66

Gross rent, fuel and power 7.20 6.74 10.06 11.84 4.00 4.12 8.02

Medical expenses 4.57 2.12 2.15 7.99 2.29 0.82 4.16

Other non-durable goods 4.80 5.36 10.51 10.37 3.57 2.83 7.04


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Empresa








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Specification tests

Breusch-Godfrey Engle

Food 0.590 0.557

Beverages 0.631 0.001

Clothing and footwear -0.124 0.399

Gross rent, fuel and power -0.673 0.037

Medical expenses 1.757 2.035

Other non-durable goods 0.367 0.070

Critical values: standard normal at the 5% level: 1.96; 2

0.051 3.84


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Empresa








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2 20.05 0.05

1 3.84, 5 11.07 2 2 20.05 0.05 0.05

, 16 12.59, 15 24.99, 20 31.41.

Hypotheses tests

Wald

Current homogeneity (5 d.f.) 59.39*

Lagged homogeneity (1 d.f.) 1.37

Homogeneity (6 d.f.) 63.64*

Intratemporal symmetry (15 d.f.) 550*

Intertemporal symmetry (5 d.f.) 25.58*

Symmetry (20 d.f.) 634*

Intertemporal separability (5 d.f.) 28.28*

Myopic behaviour (5 d.f) 494*

* Rejected theoretical hypotheses at the 5% level. Critical values:


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* Rejected non-individual significance at the 5% level, t-rates at the 5% level: 1.96

i 1i 2i 3i 4i 5i 6i i i i i i ie iie 1.793 0.121 -0.045 0.033 -0.002 -0.011 -0.088 -0.123 0.240 -0.634 -0.029 0.44 -0.13 Food (9.3)* (6.5)* (-2.1)* (2.4)* (-0.9) (-1.7) (-3.1)* (-15)* (1.7) (-3.4)* (-1.7) (12)* (-1.7) 0.204 -0.008 0.026 0.015 0.016 -0.004 -0.047 -0.021 -0.184 -0.007 0.003 0.40 0.13 Beverages (3.2)* (-1.4) (3.9)* (4.6)* (2)* (-2.2)* (-5.5)* (-8.5)* (-3)* (-0.1) (2.8)* (5.7)* (3.5)* -0.276 -0.015 0.052 0.026 -0.079 -0.014 0.025 -0.025 0.100 0.551 -0.002 0.72 -0.03 Clothing (-2)* (-0.9) (3.2)* (3.3)* (-3.9)* (-3.2)* (1.1) (-3.9)* (1.1) (4.2)* (-1.1) (10)* (-1.2) -0.476 -0.056 0.050 -0.037 0.104 -0.008 -0.057 0.054 -0.267 0.261 -0.014 1.29 -0.08 Gross, rent, fuel and power (-1.3) (-1.6) (1.2) (-2.1)* (2)* (-0.1) (-1.1) (3.4)* (-3.8)* (0.8) (-2.5)* (15)* (-2.6)* 0.054 -0.038 0.001 0.092 0.184 0.085 -0.317 0.023 -0.098 -0.133 -0.002 1.23 -0.02 Medical expenses (0.2) (-1.3) (0.1) (6.9)* (5.3)* (11)* (-8.6)* (2.4)* (-2.2)* (-0.5) (-1.6) (13)* (-1.6) -0.299 -0.003 -0.086 -0.130 -0.223 -0.054 0.485 0.092 0.209 -0.037 0.019 1.25 0.05

Other non-durable goods (-0.8) (-0.1) (-2.2)* (-7.2)* (-4.6)* (-5.1)* (9.7)* (6.4)* (1.1) (-0.1) (1.1) (31)* (1.2)

Parameters and elasticities


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BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

Barten, A. (1964), "Consumer Demand Functions Under Conditions of Almost Additive Preferences", Econometrica, 32, 1-38.

Browning, M. (1991). “A Simple Nonadditive Preference Structure for Models of Household Behaviour over Time”. Journal of Political Economy, 99, 607-637.

Deaton, A. and Muellbauer, J. (1980a), "An Almost Ideal Demand System", The American Economic Review, 70, 312-326.

Deaton, A. and Muellbauer, J. (1980b), Economics and Consumer Behavior. Cambridge University Press.


Economía


Empresa








Zaragoza

García, I. and Molina, J.A. (1996). "Unemployment as a constraint on labour supply and goods demand in Spain". Applied Economics Letters, 3, 149-154.

García, I. and Molina, J.A. (2002). “Inter-regional wage differentials in Spain". Applied Economics Letters, 9, 209-215.

Gil, A. I. and Molina, J.A. (2005),"The demand behaviour of consumers in Peru: a demographic analysis using the QUAIDS". The Journal of Developing Areas, 39, 191-206.

Gil, A. I. and Molina, J.A. (2007),“Human development and alcohol abuse in adolescence”. Applied Economics, 39, 1315-1323.

Gil, A. I. and Molina, J.A. (2010), “Alcohol demand among young people in Spain: an addictive QUAIDS”. Empirical Economics, 36, 515-530.

Harvey, A. (1982), "A Test of Misspecification for Systems of Equations", Discussion Paper, nº A31, London: LSE Econometrics Programme.


Economía


Empresa








Zaragoza

Mauleón, I. (1984), "Factores de Corrección para Contrastes en Modelos Dinámicos", Documento de Trabajo nº 8422, Madrid: Banco de España, Servicio de Estudios.

Molina, J.A. (1994), “Food Demand in Spain: An Application of the Almost Ideal System”, Journal of Agricultural Economics, 45, 252-258.

Molina, J.A. (1995), “The Intertemporal Behaviour of French Consumers”, Economie Appliquée, 48, 175-191.

Molina, J.A. (1997), “Two-stage Budgeting as an Economic Decision-making Process for Spanish consumers”, Managerial and Decision Economics, 18, 27-31.

Molina, J.A. (1997), “Modelling the Spanish imports of vehicles using a source differentiated demand system”. Applied Economics Letters, 4, 751-755.

Molina, J.A. (1999), “Is Leisure Weakly Separable from Consumption Goods in Spain?”, Economie Appliquée, 52, 125-153.


Economía


Empresa








Zaragoza

Molina, J.A. (2003), “Modelling the Demand Behaviour of Spanish Consumers using Parametric and Non-parametric Approaches”, Journal for Studies in Economics and Econometrics, 26, 19-36.

Pollak, R. A. (1970). “Habit Formation and Dynamic Demand Functions”. Journal of Political Economy, 78, 745-763.

Pollak, R. and Wales, T. (1969), "Estimation of the Linear Expenditure Systems", Econometrica, 37, 611-628.

Stone, R. (1954), "Linear Expenditure System and Demand Analysis: an Application to the Pattern of British Demand", The Economic Journal, vol. 64, pp. 511-527.

Theil, H. (1965), "The Information Approach to Demand Analysis",Econometrica,33,67-87.

Zellner, A. (1962), "An Efficient Method of Estimating Seemingly Unrelated Regressions and Tests for Aggregation Bias", Journal of the American Statistical Association, 57, 348-368.


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josé alberto molina

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