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ISEL - Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Departamento de Engenharia Electrotécnica e Automação
Secção de Sistemas de Energia
ECONOMIA DE ENERGIA
Despacho Económico de Grupos Térmicos de Produção de Energia Eléctrica
JJoorrggee AAllbbeerrttoo MMeennddeess ddee SSoouussaa
Dezembro 2005
DDeessppaacchhoo EEccoonnóómmiiccoo ddee GGrruuppooss TTéérrmmiiccooss ddee PPrroodduuççããoo ddee EEnneerrggiiaa EEllééccttrriiccaa
- i -
ÍNDICE
1. Introdução 1
2. Aspectos técnicos e económicos da produção de energia eléctrica 2
2.1. Tecnologias de produção 2 2.1.1. Hidráulica 3 2.1.2. Térmica convencional 4 2.1.3. Ciclo combinado 5 2.1.4. Nuclear 6
2.2. Custos de produção 8
3. Despacho Económico 13
3.1. Formulação do problema 13
3.2. Optimização com restrições 14
3.3. Solução do problema 17
4. Exemplo de aplicação 21
5. Bibliografia 28
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1. Introdução
A disciplina de Economia de Energia é parte integrante do curso bi-etápico de
Licenciatura em Engenharia Electrotécnica – Automação Industrial e Sistemas de
Potência, do Instituto Superior de Engenharia de Lisboa.
Esta disciplina consta do plano curricular do curso ao nível do 1º Ciclo, estando
colocada no 2º Semestre do 3º ano, englobando os seguintes conteúdos
programáticos:
1. Despacho económico de grupos térmicos de produção de energia eléctrica
2. Comissionamento de grupos térmicos pelo método da lista prioritária
3. Coordenação hidrotérmica usando o método das áreas e optimização dos
custos de produção térmica recorrendo a centrais hídricas reversíveis
4. Análise de investimentos baseados na produção de energia eléctrica a partir de
fontes renováveis
5. Funcionamento dos mercados liberalizados de energia eléctrica e aplicação no
contexto do Mercado Ibérico de Electricidade (MIBEL)
A presente lição versa sobre o primeiro tópicos dos conteúdos referidos - Despacho
económico de grupos térmicos de produção de energia eléctrica, que é apresentada
aos alunos em 3 aulas de 90 minutos.
Este tópico visa dotar os alunos de competências ao nível da capacidade para
estabelecer o perfil óptimo de produção de energia eléctrica, na perspectiva da
minimização do custo total de produção, quando estão disponíveis vários grupos
térmicos para satisfazer o consumo de energia eléctrica num dado momento.
Para alcançar este objectivo é necessário fornecer bases ao nível da optimização com
restrições sendo introduzido o Teorema de Kuhn-Tucker e sua aplicação ao problema
do Despacho Económico.
A consolidação das competências adquiridas é efectuada pela dedução dos resultados
a partir dos fundamento teóricos, da resolução de exercícios e da motivação intuitiva
para os resultados obtidos.
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2. Aspectos técnicos e económicos da produção de energia eléctrica
2.1. Tecnologias de produção
Num sistema de energia eléctrica coexistem diversas tecnologias de produção de
energia com base em diferentes fontes primárias. Com particular predominância
surgem a energia hidráulica, a que resulta da queima de combustíveis fósseis e a
energia nuclear. Outras fontes para produção de energia eléctrica em franca expansão
na actualidade são as energias renováveis tais como a eólica, solar, biomassa e dos
oceanos.
Em Portugal, a produção anual de energia eléctrica a partir das fontes primárias é
apresentada na Figura 2.1, onde se observa a satisfação do consumo a partir do
carvão de forma estável e elevada (32% a 38%), do gás natural com penetração
crescente (6% a 21%), do fuelóleo em percentagem mais reduzida (11% a 19%) e da
hidráulica com forte relação com a hidraulicidade do ano (17% a 34%).
Figura 2.1 Produção anual de energia eléctrica por tecnologias em Portugal (1998-2002)
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2.1.1. Hidráulica
A produção de energia eléctrica a partir da energia hidráulica é efectuada em centrais
cujo princípio de funcionamento é ilustrado na Figura 2.2 para uma central hidráulica
de albufeira.
Figura 2.2 Esquema de funcionamento de uma central hidráulica
Fonte: Endesa
Por forma a se obter uma determinada potência eléctrica à saída da central o caudal
de água armazenada na albufeira criada pela barragem (1) é controlado pela válvula
de admissão (2) com vista a accionar a turbina hidráulica (3). Esta turbina
encontra-se acoplada ao eixo do alternador (4), fornecendo energia mecânica ao
rotor. A variação espacial resultante do movimento de rotação do campo magnético
criado no rotor induz, nos enrolamentos do estator, uma força electromotriz à qual
está associada uma corrente eléctrica. Através do transformador elevador (5) a
energia produzida é colocada na rede eléctrica (6) para satisfação do consumo.
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2.1.2. Térmica convencional
A produção de energia eléctrica a partir de combustíveis fosseis segue o princípio
descrito na Figura 2.3, que pretende representar uma central a carvão ou a fuelóleo.
Figura 2.3 Esquema de funcionamento de uma central térmica convencional
Fonte: Endesa
A produção de energia eléctrica obtém-se pela queima na caldeira (1) do combustível
(2) utilizado na central (carvão, fuelóleo). A energia térmica libertada pela combustão
é transferida à agua que circula na serpentina da caldeira por forma a produzir vapor
nas condições indicadas de pressão e temperatura. O vapor obtido é então injectado
na turbina de vapor (3) o que promove a conversão em energia mecânica de rotação
da turbina que se encontra acoplada ao eixo do alternador (4). A variação espacial
resultante do movimento de rotação do campo magnético criado no rotor induz, nos
enrolamentos do estator, uma força electromotriz à qual está associada uma corrente
eléctrica. Através do transformador elevador (5) a energia produzida é colocada na
rede eléctrica (6) para satisfação do consumo. O vapor de saída da turbina é
arrefecido no condensador (7) cuja circulação é garantida pela bomba do circuito de
refrigeração. A fonte fria necessária para o arrefecimento pode ser constituída por
água disponível na proximidade da central: água do rio, tal como na central a fuelóleo
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do Carregado ou água mar, tal como na central a carvão de Sines ou, caso tal não
seja viável, através de uma torre de refrigeração (11) situação da central
termoeléctrica do Ribatejo (TER). Os gases de escape resultantes da combustão
passam pelo sistema de redução de emissões (9) e são expelidos pela chaminé (19).
2.1.3. Ciclo combinado
Um combustível cuja contribuição tem sido crescente para a produção de energia
eléctrica é o gás natural. A utilização do gás natural para produção de energia
eléctrica surge com vantagem quando se tornou possível adaptar a tecnologia usada
nos motores dos aviões a jacto para construir turbinas a gás. Para além de promover
a desejada diversificação das fontes primárias fósseis de energia, o rendimento de
uma central de ciclo combinado a gás natural é consideravelmente superior (na ordem
dos 57%) e o nível de emissões é mais reduzido (cerca de 1/3 das emissões
específicas de uma central a carvão).
Na Figura 2.4 apresenta-se o esquema de funcionamento de uma central de ciclo
combinado.
Figura 2.4 Esquema de funcionamento de uma central de ciclo combinado
Fonte: Endesa
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Uma central de ciclo combinado combina um ciclo a gás com um ciclo de vapor. No
ciclo a gás é utilizado um compressor para aumentar a pressão do ar à entrada antes
de entrar na câmara de combustão. A entrada do gás é efectuada através da estação
de regulação e medida (1) e os gases quentes e a alta pressão que resultam da
combustão accionam a turbina a gás (2) existindo filtros no sistema (3).
A turbina a gás encontra-se acoplada ao alternador (4) e a produção de energia é
efectuada da forma já descrita para as outras tecnologias e colocada, através de um
transformador elevador (5), na rede eléctrica (6).
A temperatura à entrada da turbina é da ordem dos 1300ºC e a temperatura dos
gases de escape é de aproximadamente 500ºC, o que significa que o rendimento
teórico não é muito elevado (cerca de 51%). No entanto a temperatura dos gases de
escape é suficientemente elevada para alimentar uma caldeira de recuperação (7) que
é utilizada para produzir vapor a ser injectado numa segunda turbina a vapor (8)
acoplada a um alternador (9). Deste modo tem-se um rendimento global efectivo na
ordem dos 57%, o que corresponde a um valor consideravelmente superior ao
verificado para outros tipos de centrais.
O arrefecimento do vapor é efectuado no condensador (10) com circulação
assegurada pela bomba (11) em que a fonte fria representada no esquema é o ar
com permutação de calor efectuada através da torre de refrigeração (12).
2.1.4. Nuclear
Embora em Portugal não exista energia nuclear esta é uma das formas de produção
de energia eléctrica com grande relevo a nível mundial. De facto, em meados dos
anos 90 existiam cerca de 450 centrais nucleares em todo o mundo instaladas em 30
países, que representavam cerca de um sexto da capacidade instalada e produziam
um nono da energia eléctrica anual.
Em quatro países a energia nuclear representava mais de metade da energia eléctrica
produzida: a Lituânia (cerca de 90%), a França (aproximadamente 80%), a Bélgica e
a República da Eslováquia (mais de 50%).
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Na Figura 2.5 apresenta-se o esquema de funcionamento de uma central nuclear.
Figura 2.5 Esquema de funcionamento de uma central nuclear
Fonte: Endesa
A produção de energia eléctrica numa central nuclear segue os mesmos princípios de
uma central térmica clássica excepto na forma como se obtém o calor. Enquanto que
numa central clássica a energia calorífica resulta da queima de um combustível, numa
central nuclear deriva da reacção que se verifica no reactor nuclear (1). Essa reacção
consiste na cisão de núcleos de átomos de urânio enriquecido (10), normalmente
U-235 ou U-238, que liberta grandes quantidades de energia. O calor resultante da
reacção é utilizador no gerador de vapor (2) para accionar uma turbina a vapor (3).
Tal como numa central térmica convencional a turbina está acoplada ao alternador (4)
que coloca a energia eléctrica, através do transformador elevador (5), na rede
eléctrica (6). A refrigeração é feita pelo circuito composto pelo condensador (7),
bomba (8) e torres de refrigeração (11).
Devido ao facto dos elementos resultantes do processo de reacção serem radioactivos
é necessária a existência de um edifício de contenção (9).
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2.2. Custos de produção
Os custos associados à produção de energia eléctrica a partir de um grupo térmico
podem ser classificadas em custos de investimento, de combustível e de operação e
manutenção. Na perspectiva da operação de um sistema de energia os custos mais
relevantes são os associados ao combustível utilizado na produção de energia, pelo
que são estes os custos focados na presente secção.
Um grupo térmico de produção de energia eléctrica pode ser representado de forma
simplificada pelo esquema apresentado na Figura 2.6, onde se representa uma
caldeira que gera vapor para accionar um sistema acoplado de turbina-alternador.
Figura 2.6 Esquema de um grupo térmico com caldeira-turbina-alternador
A potência gerada por este sistema é fornecida à rede de energia eléctrica para
satisfação do consumo observado em cada momento, sendo uma fracção destinada a
alimentar os serviços auxiliares do próprio grupo. Os valores típicos do consumo
relativo aos serviços auxiliares são da ordem dos 2% a 6% da produção bruta, que se
destinam a alimentar as bombas de circulação da caldeira, as ventoinhas de
arrefecimento, as bombas de circulação de água do condensador, entre outros
consumos próprios do grupo térmico. Deste modo, distingue-se a potência bruta à
saída do alternador da potência líquida fornecida à rede (P).
Uma característica de relevância fundamental para a operação económica de um
grupo de produção de energia eléctrica consiste na relação existente entre a potência
térmica à entrada (H), resultante da queima do combustível, e a potência eléctrica à
saída do grupo (P). Esta relação característica de cada grupo pode ser obtida
Turbina
P G T B
Aux
Caldeira Alternador
Serviços Auxiliares
H
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experimentalmente por ensaios a diferentes regimes de carga. O conjunto dos pontos
que relacionam a potência eléctrica de saída com a potência térmica de entrada para
os vários valores de potência são normalmente aproximados por uma função
polinomial do segundo grau, dada pela equação (2.1).
2cba)( PPPH ++= (2.1)
Em que:
H : Potência térmica de entrada [GJ/h]
P : Potência eléctrica de saída [MW]
a, b, c : Parâmetros característicos do grupo
Para se obter a função de custo de produção relativa ao grupo térmico, basta
multiplicar H(P), dado por (2.1), pelo custo do combustível queimado no grupo.
( ) FPPPC 2cba)( ++= (2.2)
Em que:
C : Custo de produção [€/h]
F : Custo do combustível [€/GJ]
O custo de produção é assim apresentado, para efeitos de cálculo, como uma função
contínua e convexa tal como se ilustra na Figura 2.7, determinado pela expressão
(2.2) avaliada para potências compreendidas entre os limites técnicos mínimo e
máximo de operação do grupo (Pmin, Pmax) .
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Figura 2.7 Custo de produção em função da potência eléctrica de saída
Pmin Pmax
Cus
to d
e pr
oduç
ão
C
(P)
[€/h
]
Potência eléctrica P [MW]
O custo de produção é uma medida integral pois indica o custo total de produzir uma
determinada quantidade de energia.
Uma outra medida de grande utilidade na operação económica óptima de um sistema
térmico é a de custo marginal.
O custo marginal de produção é o custo associado à última unidade produzida
(unidade marginal) e é dado matematicamente pela derivada da função de custo total
(equação (2.2)).
Deste modo, enquanto que C(100) representa o custo de produzir cem unidades,
C’(100) representa o custo de produzir a centésima unidade.
O custo marginal associado à expressão de custo expressa em (2.2) é dado por:
( ) FPPC c2b)(' += (2.3)
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Na Figura 2.8 está representada graficamente a função de custos marginais que
apresenta uma evolução linear crescente o que indica que para potências superiores o
custo de cada unidade marginal aumenta.
Figura 2.8 Custo marginal de produção em função da potência eléctrica de saída
Pmin Pmax
Cus
to m
argi
nal
C'(P
) [€
/MW
h]
Potência eléctrica P [MW]
O custo marginal, ao indicar o custo da última unidade produzida, não reflecte custos
fixos de curto-prazo que devem ser afectados a todas as unidades produzidas. Neste
sentido surge o conceito de custo médio que é dado pelo custo total de produção a
dividir pelo número de unidades produzidas.
FPPp
PC⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++= cb
a)( (2.4)
A representação do custo médio é efectuada na Figura 2.9 onde se evidencia uma
zona decrescente do custo médio, decorrente da diluição da componente fixa dos
custos por um maior número de unidades (termo a/P), e por uma zona de
crescimento devida ao aumento dos custos marginais (termo cP).
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Figura 2.9 Custo médio de produção em função da potência eléctrica de saída
Pmin Pmax
Cus
to m
édio
C(P
)/P [
€/M
Wh]
Potência eléctrica P [MW]P*
Deste modo, verifica-se existir um ponto de funcionamento que minimiza o custo
médio e que se pode obter pela resolução do problema de minimização de (2.4).
FPP
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++ cba
min (2.5)
Este problema de optimização não tem restrições e a função objectivo é diferenciável
e convexa pelo que a condição necessária e suficiente de óptimo corresponde ao
ponto (P*) em que a derivada seja nula.
0cba **
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++ FP
PdPd
(2.6)
Cuja solução é dada por:
ca* =P (2.7)
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3. Despacho Económico
3.1. Formulação do problema
Considere-se o sistema electroprodutor representado na Figura 3.1 constituído por n
grupos térmicos ligados a um barramento comum e que satisfazem o consumo total
do sistema (Pcarga). A potência de saída de cada grupo é dada por Pi e o custo
associado a esse valor de potência é Ci.
Figura 3.1 Sistema electroprodutor com n grupos que alimentam uma carga
O problema do despacho económico consiste na determinação do perfil óptimo de
produção dos grupos por forma a minimizar o custo total de produção (CT) e tendo em
consideração a satisfação do consumo e os limites técnicos de operação dos grupos.
Matematicamente este problema pode ser formalizado como um problema de
optimização com restrições dado por:
∑=
≡n
iiT PCC
1i)(min (3.1)
Sujeito a:
∑=
=n
iaci PP
1arg Produção igual ao consumo (3.2)
niPPP iii ,...,1maxmin
=≤≤ Limites técnicos de operação (3.3)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Pcarga
C1 P1 G1 T1 B1
C2 P2 G2 T2 B2
Cn Pn Gn Tn Bn
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A solução deste problema requer a utilização de técnicas de programação não linear
com restrições cujos conceitos básicos são apresentados na secção seguinte.
3.2. Optimização com restrições
A formulação geral do problema de programação não linear pode ser expressa como a
maximização de uma função, designada por função objectivo, sujeita a que estejam
satisfeitas um conjunto de restrições expressas como desigualdades de maior ou igual
a zero e igualdades a zero, de acordo com o problema (3.4).
mmixhmixg
asxf
i
i,...,10)(
,...,10)(.
)(max
1
1+==
=≥ (3.4)
Em que:
f : En E , função objectivo
gi : En E , funções de restrição
n : número variáveis de decisão
m1 : número de restrições de maior ou igual a zero
m : número total de restrições
Deve notar-se que nem todos os problemas se apresentam directamente na forma do
problema (3.4). No entanto, é sempre possível escrever um problema de programação
não linear na forma geral, efectuando para isso algumas transformações matemáticas.
Neste sentido, atente-se ao seguinte exemplo de problema de programação não linear
com restrições:
200)ln()(100)(
5023)(.
4)(min
3213
23212
211
32112
1 2
=+−=≤+−=
≥++=
++=
xxxxgxxxxg
xxxgas
xxxexxxf x
(3.5)
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Neste exemplo verifica-se que o problema não está escrito na forma geral, uma vez
que:
Estamos perante um problema de minimização e não de maximização
Existem restrições de menor ou igual
O lado direito das restrições é diferente de zero
Para escrevermos o problema (3.5) na forma geral enunciada em (3.4) devemos
atender a que:
Minimizar uma função é equivalente a maximizar o seu simétrico no sentido em
que conduz ao mesmo ponto óptimo
As restrições podem ser reescritas por forma a que o lado direito seja igual a
zero
Deste modo, o problema (3.5), escrito na forma normal, exprime-se como:
0200)ln()(0100)(
05023)(.
)4()(max
3213
23212
211
32112
1 2
=−+−=≥+−+−=
≥−++=
++−=
xxxxgxxxxg
xxxgas
xxxexxxf x
(3.6)
A teoria da programação não linear conheceu o seu advento em 1950 com o chamado
“Teorema de Kuhn-Tucker”. Este teorema foi demonstrado no artigo “Nonlinear
Programming” da autoria de dois matemáticos de Princeton: Albert W. Tucker e
Harold W. Kuhn.
A versão do Teorema de Kuhn-Tucker, adaptada a problemas de programação
não-linear com restrições de igualdade e desigualdade, é enunciado seguidamente.
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Teorema de Kuhn-Tucker
Considere-se o problema de programação não linear:
mmixhmixg
asxf
i
i,...,10)(
,...,10)(.
)(max
1
1+==
=≥
em que f(x), gi(x) e hi(x) são funções diferenciáveis.
Se x* é solução óptima do problema.
Então verificam-se as seguintes três condições:
Condições de Kuhn-Tucker (KT)
KT1 : x* verifica as restrições do problema, ou seja:
mmixh
mixg
i
i,...,10*)(
,...,10*)(
1
1+==
=≥
Existem multiplicadores 1,...,1,0 mii =≥µ e mmii ,...,1,sirrestrito 1 +=λ :
KT2 : 1,...,1,0*)( mixgii ==µ
KT3 : 0*)(*)(*)(11 1
1
=∇λ+∇µ+∇ ∑∑+==
m
miii
m
iii xhxgxf
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3.3. Solução do problema
Para encontrar a solução do problema do despacho económico pode aplicar-se o
teorema de Kuhn-Tucker apresentado na secção anterior.
Para tal, escreve-se o problema representado por (3.1), (3.2), (3.3) na forma geral:
∑=
−≡−n
iiT PCC
1i)(max (3.7)
Sujeito a:
0)(1
arg∑=
=−≡n
iaci PPh P
niPPg iii ,...,10)(min
=≥−≡P
niPPg iii ,...,10)(max
=≥−≡P
Em que P representa o vector das potências de cada grupo.
As condições de Kuhn-Tucker deste problema são dadas por:
KT1: 01
arg∑=
=−n
iaci PP
niPP ii ,...,10min
=≥−
niPP ii ,...,10max
=≥−
Existem multiplicadores niii ,...,1,0, =≥µµ e irrestritoλ :
KT2: ( ) niPP iii ,...,10min
==−µ
( ) niPP iii ,...,10max
==−µ
KT3: ( ) niPC iiii ,...,10' ==µ−µ+λ+−
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A terceira condição de Kuhn-Tucker (KT3) enuncia a condição a que deve satisfazer o
custo marginal de cada grupo:
( ) niPC iiii ,...,1' =µ−µ+λ= (3.8)
A solução do problema do despacho económico pode ser obtida pela resolução do
sistema de equações resultante das condições de Kuhn-Tucker, cuja obtenção é
realizada numericamente com recurso a algoritmos computacionais para sistemas de
grande dimensão.
No entanto, podem explicitar-se as condições implícitas nas equações obtidas, por
forma a alcançar a intuição do resultado do despacho económico óptimo.
Para tal, atente-se ao facto dos multiplicadores µ poderem ser nulos ou positivos, o
que conduz a quatro hipóteses para cada grupo térmico i:
iµ iµ
1) 0 0
2) 0 +
3) + 0
4) + +
1) iµ = iµ = 0
Da hipótese 1) obtém-se a seguinte condição para os custos marginais dada por KT3:
( ) niPC ii ,...,1' =λ= (3.9)
Este resultado indica que o custo marginal de cada grupo é igual a λ. Uma vez que o
valor de λ não depende do grupo em questão, então esta condição indica que todos os
grupos devem operar ao mesmo custo marginal.
Esta conclusão é particularmente intuitiva pois, quando as restrições técnicas não são
activas, o óptimo deve corresponder a custos marginais iguais em todos os grupos.
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Caso contrário, com custos marginais distintos, facilmente se encontra uma solução
com menor custo aumentando a produção nos grupos que apresentam custos
marginais inferiores e diminuindo a produção dos grupos com custos marginais
superiores, de forma a que a soma da produção continue a igualar o consumo.
2) iµ = 0 , iµ > 0
Da hipótese iµ > 0 obtém-se a seguinte condição a partir de KT2:
KT2 : ( )minmin
0 iiiii PPPP =⇒=−µ
Sendo KT3 dada por:
KT3 : ( ) 0' =µ+λ+− iii PC
logo
( ) λ>µ+λ= iii PC ' (3.10)
Este resultado indica que o custo marginal dos grupos nas condições da hipótese 2) é
superior a λ e que estes grupos operam no seu limite técnico mínimo.
Assim, admite-se que um grupo possa operar a custo marginal superior ao dos
restantes, desde que esteja a operar à potência mínima.
Intuitivamente, um grupo que esteja a custo marginal superior deveria ver reduzida a
sua potência, mas tal não é possível caso ele esteja à potência mínima.
3) iµ > 0 , iµ = 0
Da hipótese iµ > 0 obtém-se a seguinte condição a partir de KT2:
KT2 : ( )maxmax
0 iiiii PPPP =⇒=−µ
Sendo KT3 dada por:
KT3 : ( ) 0' =µ−λ+− iii PC
logo
( ) λ<µ−λ= iii PC ' (3.11)
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Este resultado indica que o custo marginal dos grupos nas condições da hipótese 3) é
inferior a λ e que estes grupos operam no seu limite técnico máximo.
Assim, admite-se que um grupo possa operar a custo marginal inferior ao dos
restantes desde que esteja à potência máxima.
Intuitivamente, um grupo que esteja a custo marginal inferior deveria ver aumentada
a sua potência, mas tal não é possível caso ele esteja à potência máxima.
4) iµ > 0 , iµ > 0
Das hipóteses iµ > 0 e iµ > 0 obtêm-se as seguintes condições a partir de KT2:
KT2 : ( )minmin
0 iiiii PPPP =⇒=−µ
( )maxmax
0 iiiii PPPP =⇒=−µ
Esta hipótese é impossível de estar satisfeita pois indica que um grupo está
simultaneamente à sua potência mínima e à sua potência máxima.
Resumindo, das equações de Kuhn-Tucker aplicadas ao problema do Despacho
Económico resultam três condições possíveis às quais o perfil óptimo de geração deve
respeitar. Assim, no óptimo, cada grupo deve observar uma das seguintes condições:
1) ( ) λ=ii PC ' e maxmin iii PPP ≤≤
2) ( ) λ>ii PC ' e minii PP =
3) ( ) λ<ii PC ' e maxii PP =
O valor de λ é designado por custo marginal do sistema e reflecte o custo da última
unidade produzida. Matematicamente, ao ser o multiplicador de Lagrange associado à
restrição do consumo, indica qual a variação da função objectivo (custo total de
produção) quando a restrição do consumo (produção igual ao consumo) é relaxada
em uma unidade, ou seja, quanto aumenta o custo total de produção quando o
consumo aumenta em uma unidade infinitesimal.
DDeessppaacchhoo EEccoonnóómmiiccoo ddee GGrruuppooss TTéérrmmiiccooss ddee PPrroodduuççããoo ddee EEnneerrggiiaa EEllééccttrriiccaa
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4. Exemplo de aplicação
Uma empresa com activos na área da produção de energia eléctrica detém três
grupos térmicos que satisfazem um consumo constante de 325 MW. O sistema
eléctrico referido encontra-se representado na Figura 4.1.
Figura 4.1 Sistema electroprodutor com três grupos de produção que alimentam uma carga
Os limites técnicos de operação e a função de custos de produção de cada grupo são
apresentadas na tabela seguinte:
Grupo
i
Pmin
(MW)
Pmáx
(MW)
Ci(Pi)
(c€/kWh)
1 80 220 15.3 + 1.17 P1 + 0.00145 P12
2 40 150 13.7 + 1.30 P2 + 0.00163 P22
3 25 90 10.3 + 1.48 P3 + 0.00226 P32
a) Pretende-se determinar o perfil óptimo de produção dos grupos por forma a
satisfazer o consumo ao mínimo custo total de produção (problema do Despacho
Económico).
b) Pretende-se resolver o problema enunciado na alínea a) para um consumo de
200 MW.
c) Pretende-se resolver o problema enunciado na alínea a) para um consumo de
450 MW.
Pcarga
C1 P1 G1 T1 B1
C2 P2 G2 T2 B2
C3 P3 G3 T3 B3
DDeessppaacchhoo EEccoonnóómmiiccoo ddee GGrruuppooss TTéérrmmiiccooss ddee PPrroodduuççããoo ddee EEnneerrggiiaa EEllééccttrriiccaa
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Resolução:
Objectivo da empresa: Minimização do custo total de produção
Restrições: Consumo e limites técnicos de operação dos grupos
Variáveis de decisão:
P1 : potência fornecida pelo grupo 1
P2 : potência fornecida pelo grupo 2
P3 : potência fornecida pelo grupo 3
Formulação do problema:
)()()(min 332211 PCPCPCCusto ++≡ (4.1)
Sujeito a:
carga321 PPPP =++ Igualdade entre produção e consumo (4.2)
22080 1 ≤≤ P Limites técnicos de operação grupo 1 (4.3)
15040 2 ≤≤ P Limites técnicos de operação grupo 2 (4.4)
9025 3 ≤≤ P Limites técnicos de operação grupo 3 (4.5)
a) MW325carga =P
Em primeiro lugar resolve-se o sistema na hipótese de que os grupos estão ao mesmo
custo marginal e que a soma das potências de cada um iguala o consumo:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=++
λ=+
λ=+
λ=+
⇔
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=++
λ=′
λ=′
λ=′
325
00452.048.1
00326.030.1
00290.017.1
)(
)(
)(
321
3
2
1
carga321
33
22
11
PPP
P
P
P
PPPP
PC
PC
PC
a solução deste sistema de equações é dada por:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=λ
=
=
=
cEuro/kWh667.1
MW3.41
MW5.112
MW2.171
3
2
1
P
P
P
DDeessppaacchhoo EEccoonnóómmiiccoo ddee GGrruuppooss TTéérrmmiiccooss ddee PPrroodduuççããoo ddee EEnneerrggiiaa EEllééccttrriiccaa
- 23 -
Como a potência de todos os grupos está dentro dos limites técnico de operação esta
é a solução óptima.
Nesta situação todos os grupos operam ao mesmo custo marginal tal como se
representa na Figura 4.2.
Figura 4.2
Identificação do óptimo para uma carga de 325 MW
DDeessppaacchhoo EEccoonnóómmiiccoo ddee GGrruuppooss TTéérrmmiiccooss ddee PPrroodduuççããoo ddee EEnneerrggiiaa EEllééccttrriiccaa
- 24 -
b) MW200carga =P
Para um consumo de 200 MW resolve-se novamente o sistema na hipótese de que os
grupos estão ao mesmo custo marginal e que a soma das potências de cada um iguala
o consumo:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=++
λ=+
λ=+
λ=+
⇔
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=++
λ=′
λ=′
λ=′
200
00452.048.1
00326.030.1
00290.017.1
)(
)(
)(
321
3
2
1
carga321
33
22
11
PPP
P
P
P
PPPP
PC
PC
PC
a solução deste sistema é dada por:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=λ
=
=
=
cEuro/kWh523.1
MW6.9
MW5.68
MW9.121
3
2
1
P
P
P
Esta solução não respeita os limites técnicos de operação do grupo 3 uma vez que a
sua potência é inferior ao limite mínimo que é de 25 MW.
Deste modo, tenta resolver-se o sistema fazendo a potência do grupo 3 igual ao seu
valor mínimo de 25.0 MW e efectua-se o despacho económico dos grupos 1 e 2 para a
potência de consumo residual (consumo total de 200 MW subtraído dos 25 MW
satisfeitos pelo grupo 3). A solução deste sistema é dada por:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ
=
=
cEuro/kWh500.1
MW3.61
MW7.113
2
1
P
P
Relativamente ao grupo 3 tem-se:
MW25ecEuro/kWh593.1)25( min333 ==λ>=′ PPC
Deste modo a solução óptima está encontrada pois os grupos 1 e 2 estão dentro dos
seus limites técnicos de operação e como tal o seu custo marginal marca o custo
marginal do sistema (λ). O grupo 3 tem um custo marginal superior mas está a operar
no seu limite inferior.
DDeessppaacchhoo EEccoonnóómmiiccoo ddee GGrruuppooss TTéérrmmiiccooss ddee PPrroodduuççããoo ddee EEnneerrggiiaa EEllééccttrriiccaa
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Na Figura 4.3 apresenta-se graficamente a solução encontrada.
Figura 4.3
Identificação do óptimo para uma carga de 200 MW
DDeessppaacchhoo EEccoonnóómmiiccoo ddee GGrruuppooss TTéérrmmiiccooss ddee PPrroodduuççããoo ddee EEnneerrggiiaa EEllééccttrriiccaa
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c) MW450carga =P
Para um consumo de 450 MW resolve-se novamente o sistema na hipótese de que os
grupos estão ao mesmo custo marginal e que a soma das potências de cada um iguala
o consumo:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=++
λ=+
λ=+
λ=+
⇔
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=++
λ=′
λ=′
λ=′
450
00452.048.1
00326.030.1
00290.017.1
)(
)(
)(
321
3
2
1
carga321
33
22
11
PPP
P
P
P
PPPP
PC
PC
PC
a solução deste sistema é dada por:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=λ
=
=
=
cEuro/kWh810.1
MW0.73
MW4.156
MW6.220
3
2
1
P
P
P
Esta solução não respeita os limites técnicos de operação dos grupos 1 e 2 uma vez
que a sua potência é superior ao limite máximo que é de 220 MW e 150 MW
respectivamente.
Deste modo, tenta resolver-se o sistema fazendo a potência dos grupos 1 e 2 iguais
aos seus valores máximos e determina-se a potência do grupo 3 pelo consumo
residual (consumo total de 450 MW subtraído dos 220 MW satisfeitos pelo grupo 1 e
dos 150 MW satisfeitos pelo grupo 2).
As potências obtidas por este método são dadas por:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
MW0.80
MW0.150
MW0.220
3
2
1
P
P
P
Os custos marginais correspondentes são dados por:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
λ==′
=λ<=′
=λ<=′
cEuro/kWh842.1)(
ecEuro/kWh789.1)(
ecEuro/kWh808.1)(
33
max2222
max1111
PC
PPPC
PPPC
DDeessppaacchhoo EEccoonnóómmiiccoo ddee GGrruuppooss TTéérrmmiiccooss ddee PPrroodduuççããoo ddee EEnneerrggiiaa EEllééccttrriiccaa
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Deste modo a solução óptima está encontrada pois o grupo 3 está dentro dos seus
limites técnicos de operação, e como tal o seu custo marginal marca o custo marginal
do sistema (λ) e os grupos 1 e 2 têm um custo marginal inferior mas estão a operar
no seu limite máximo.
Na Figura 4.4 apresenta-se graficamente a solução encontrada.
Figura 4.4
Identificação do óptimo para uma carga de 450 MW
DDeessppaacchhoo EEccoonnóómmiiccoo ddee GGrruuppooss TTéérrmmiiccooss ddee PPrroodduuççããoo ddee EEnneerrggiiaa EEllééccttrriiccaa
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5. Bibliografia
Power Generation, Operation and Control, A. J. Wood, B. F. Wollenberg, 2ª
Edição, John Wiley & Sons, 1996.
Nonlinear Programming: A Unified Approach, Willard J. Zangwill, Prentice-Hall,
1969.
Guia da Energia, Janet Ramage, MONITOR - Projectos e Edições, Lda: 1ª Edição,
2003.
Redes de Energia Eléctrica – Uma Análise Sistémica, J. P. Sucena Paiva, IST
Press, 2005.
Síntese técnica 2002, Lisboa: REN - Rede Eléctrica Nacional, 2003.
http://pw.elec.kitami-it.ac.jp/ueda/java/ELD/
www.endesa.es