jezyk programowania komputerów kwantowych oparty o model ...gawron:wystapienie... · wstęp model...

Wstęp Model obliczeń kwantowych Programming structures

Język programowania komputerów kwantowychoparty o model macierzy gęstości

(Promotorski)

Piotr Gawron

Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN

13 grudnia 2008

Piotr Gawron 2008

Język programowania komputerów kwantowych


Plan wystąpienia

WstępMotywacjaTeza pracy

Model obliczeń kwantowychOperacje kwantoweOperatory KrausaKanały kwantowe

Some concepts of high-level programming structures

Piotr Gawron 2008



Tło projektu

Tło projektu

I Projekt był realizowany w interdyscyplinarnym Zespole KwantowychSystemów Informatyki IITiS PAN, w którym pracują informatycy,fizyk i matematyk.

I Zespół został założony w roku 2001 w celu realizacji grantubadawczego Nano i kwantowe systemy informatyki. kierowanegoprzez prof. Stefana Węgrzyna.

I Aktualnie ZKSI prowadzi grant badawczy Środowiskoprogramowania, symulacji i analizy algorytmów kwantowych, któryjest kierowany przez dra Ryszarda Winiarczyka (kierownika zespołu).

I Niedawno zakończył się grant promotorski dra Jarosława MiszczakProbabilistyczne aspekty kwantowych języków programowania.

I ZKSI (IITiS PAN) należy do krajowej sieci badawczej LaboratoriumFizycznych Podstaw Przetwarzania Informacji.

Piotr Gawron 2008



Tło projektu

Tło projektu

I Kierownik: prof. dr hab. inż. Jerzy Klamka.I Dyscyplina: N519 - metody komputerowe w nauce.I Czas trwania: 12 miesięcy.I Środki finansowe: 20 400 PLN.

Piotr Gawron 2008



Motywacja

Motywacja

Ogólna

I Wykorzystanie kwantowych systemów informatyki pozwala naefektywniejsze rozwiązanie niektórych problemów.

I Szum pojawiający się w takich systemach obniża ich sprawność.

Szczegółowa

I Większość istniejących języków przeznaczonych do opisu procesówkwantowych bądź nie operuje na stanach mieszanych, bądź niepozwala na wykorzystanie wysokopoziomowych strukturprogramistycznych.

I Dostarczenie narzędzia, które będzie rozwiązywało oba te problemyi wykorzystanie go do modelowania i analizy szumy w procesachkwantowych.

Piotr Gawron 2008



Operacje kwantowe

Stan

Stan układu (komputera) kwantowego to macierz:I ρ† = ρ – hermitowska,I eig (ρ) ≥ 0 – dodatnio półokreślona,I Tr (ρ) – o śladzie jeden.

Taką macierz nazywamy stanem lub macierzą gęstości.

Piotr Gawron 2008



Operacje kwantowe

Operacje kwantowe

Operacje kwantowe przeprowadzają macierze gęstości w macierzegęstości. E (·)

1. musi zachowywać ślad, hermitowskość i dodatniość:

Tr (ρ) = 1, ρ ≥ 0, ρ = ρ† ⇒ Tr (E (ρ)) = 1,E (ρ) ≥ 0,E (ρ) = E (ρ)†,(1)

2. musi być liniowa:

E

(∑i

piρi

)=∑i

piE (ρi ) , (2)

3. i całkowicie dodatni:

ρi , ξi ≥ 0⇒ ∀n∈N(E ⊗ In)

(∑i

ρi ⊗ ξi)

=∑i

E (ρi )⊗ ξi ≥ 0. (3)

Piotr Gawron 2008



Operatory Krausa

Operacje kwantowe

W ogólności operacja kwantowa Φ może być opisana w postacioperatorów Krausa:

Φ(ρ) =∑k

EkρEk†, (4)

gdzie operatory spełniają warunek zupełności:∑k Ek

†Ek = I.

Piotr Gawron 2008



Zaszumione kanały kwantowe

Kanały kwantowe – modelujące szum w układziekwantowym 1/2

Kanały jednoqubitowe

I kanał depolaryzujący (podmienia stan na stan całkowicie losowy)I zmniejszający amplitudę (|1〉 → |0〉)I zmniejszający fazę (niszczący względną fazę pomiędzy stanami

bazowymi):I zmiana fazy, zmiana bitu, zmiana bitu i fazy.

Piotr Gawron 2008



Zaszumione kanały kwantowe

Kanały kwantowe – modelujące szum w układziekwantowym 2/2

Rozszerzenie do kanałów wieloqubitowychZ n jednoqubitowych operatorów Krausa {ek}. Tworzymy nN operatorów{Ek} o wymiarze 2N :

Φ(ρ) =n∑

i1,i2,...iN=1

ei1 ⊗ ei2 ⊗ . . .⊗ eiNρe†i1 ⊗ e†i2 ⊗ . . .⊗ e

†iN, (5)

tworząc rozszerzony kanał lokalny Φ(ρ) =∑k EkρE

†k .

Piotr Gawron 2008



Operacje na pamięci kwantowej

Operacje na pamięci kwantowej 1/2

I Alokacja nowego rejestru o rozmiarze n:

ρt+1 = ρt ⊗ |0 . . . 0︸︷︷︸n

〉〈0 . . . 0︸︷︷︸n

|. (6)

I Dealokacja rejestru r :

ρt+1 = Trr (ρt) . (7)

I Unitarna ewolucja U pamięci kwantowej:

ρt+1 = UρtU†. (8)

Piotr Gawron 2008



Operacje na pamięci kwantowej

Operacje na pamięci kwantowej 2/2

I Aplikacja kanału kwantowego Ki na pamięci kwantowej:

ρt+1 =∑i

KiρtKi†. (9)

I Pomiar w bazie obliczeniowej:

ρt+1 =∑i

|i〉〈i |ρt |i〉〈i |, (10)

P(i) = Tr (|i〉〈i |ρt) , (11)

gdzie i indeksuje stany bazy obliczeniowej.

Piotr Gawron 2008



Operacje warunkowe na rejestrach kwantowych

Operacje warunkowe na rejestrach kwantowych 1/2

qbit q1;qbit q2;

if (q1)G1(q2);elseG2(q2);

|q0〉 • ⊕ • ⊕|q1〉 G1 G2

Piotr Gawron 2008




Operacje warunkowe na rejestrach kwantowych 2/2

Pseudokod quantum-octave

qnibble r;qbit q1;qbit q2;if (r<4)G1(q2);elseG2(q1);

r=newregister(4);q1=newregister(1);q2=newregister(1);

qif(...qrlt(qureg(q1),4),...{G1,qureg(q2)}, ...{G2,qureg(q1)})

Piotr Gawron 2008




|r0〉 ⊕ • ⊕ • ⊕ • ⊕ • ⊕ • ⊕

. . .

•|r1〉 ⊕ • ⊕⊕ • ⊕ • • ⊕ • ⊕ •|r2〉 ⊕ • ⊕⊕ • ⊕⊕ • ⊕⊕ • ⊕ • •|r3〉 ⊕ • ⊕⊕ • ⊕⊕ • ⊕⊕ • ⊕⊕ • ⊕ •|q1〉 G2 G2 G2

|q2〉 G1 G1 G1

Piotr Gawron 2008



quantum-octave – język opisu procesów kwantowych

I Zaimplementowany jako biblioteka funkcji dla środowiskaGNU/Octave,

I oparty na modelu macierzy gęstości,I implementujący m.in.:

I zarządzanie pamięcią kwantową,I złożone kwantowe wyrażenia warunkowe,I kanały kwantowe,I funkcje do analizy stanów kwantowych.

I Zawiera w sumie około 90 funkcji „API”.

Piotr Gawron 2008



Przykład zastosowania

Analiza zaszumionego kwantowego algorytmuwyszukiwania

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

prob

abili

ty o

f fin

ding

of s

ough

t ele

men

t

noise amount α

depolarizing channel

3-qubit state4-qubit state5-qubit state6-qubit state

Piotr Gawron 2008





0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

prob

abili

ty o

f fin

ding

of s

ough

t ele

men

t

noise amount α

amplitude damping channel


Piotr Gawron 2008





0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

prob

abili

ty o

f fin

ding

of s

ough

t ele

men

t

noise amount α

phase damping channel


Piotr Gawron 2008





0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

prob

abili

ty o

f fin

ding

of s

ough

t ele

men

t

noise amount α

bit flip channel


Piotr Gawron 2008





0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

prob

abili

ty o

f fin

ding

of s

ough

t ele

men

t

noise amount α

phase flip channel


Piotr Gawron 2008





0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

prob

abili

ty o

f fin

ding

of s

ough

t ele

men

t

noise amount α

bit-phase flip channel


Piotr Gawron 2008





C = 95/C = 99 depolarising amplitude damping phase dampingN = 24 0.033796/0.010389 0.068455/0.021418 0.17735 /0.055352N = 25 0.042828/0.022509 0.099503/0.052833 0.20348 /0.10608N = 26 0.041428/0.026244 0.10397 /0.065638 0.19000 /0.11596

bit flip phase flip bit-phase flipN = 24 0.024921/0.0076709 0.046565/0.014103 0.018083/0.0056758N = 25 0.033736/0.017521 0.053888/0.027370 0.023556/0.012376N = 26 0.035955/0.022075 0.050001/0.029881 0.023209/0.014772

Piotr Gawron 2008



Dalsze prace

Dalsze prace

I Dopracowanie dokumentacji celem umieszczenia w repozytoriumbibliotek octave-forge.

I Wykorzystanie środowiska do symulacji i analizy wpływu szumówkwantowych na takie procesy kwantowe, jak: algorytmy, protokoły igry kwantowe.

I Przeniesienie części środowiska do symbolicznego systemu algebrykomputerowej.

Piotr Gawron 2008



Lista publikacji

Wyniki badań zawarte pracy zostały opublikowane w następujących pozycjach:

I P. Gawron and J. A. Miszczak. Didactic tools for teaching quantum informatics. Annales UMCS Informatica AI, 1(2), 2004.

I P. Gawron and J. A. Miszczak. Pakiet funkcji quantum-octave przeznaczony do symulacji obliczeń kwantowych. W Współczesneproblemy sieci komputerowych, Nowe technologie. WNT, 2004.

I P. Gawron and J. A. Miszczak. Simulations of quantum systems evolution with quantum-octave package. Annales UMCSInformatica AI, 1(2), 2004.

I P. Gawron and J. A. Miszczak. Symulacja błędów w kwantowych protokołach wymiany informacji z użyciem pakietuquantum-octave. W Współczesne problemy sieci komputerowych, Nowe technologie. WNT, 2004.

I P. Gawron and J. A. Miszczak. Symulacyjne badanie splątania w protokołach kryptograficznych. W Współczesne problemy siecikomputerowych, Nowe technologie. WNT, 2004.

I P. Gawron and J. Miszczak. Quantum implementation of parrondo paradox. Fluctuation and Noise Letters, 5(4), 2005.

I P. Gawron and J. A. Miszczak. Numerical simulations of mixed states quantum computation. International Journal of QuantumInformation, 3(1):195–199, 2005.

I P. Gawron and J. A. Miszczak. Symulacje gier kwantowych. W Wysokowydajne sieci komputerowe. Wydawnictwa Komunikacji iŁączności, 2005.

I P. Gawron, J. A. Miszczak, and J. Sładkowski. Noise effects in quantum magic squares game. International Journal of QuantumInformation, 6(1 supp), 2008.

Piotr Gawron 2008



Lista publikacji

Dziękuję za uwagę.

Piotr Gawron 2008


jezyk programowania komputerów kwantowych oparty o model ...gawron:wystapienie... · wstęp model...

Documents