jbi inleiding natuurkunde

Click here to load reader

Post on 14-Nov-2015

218 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

JBI Inleiding Natuurkunde

TRANSCRIPT

  • Inleiding Natuurwetenschappen

    Tijden: 1 september: 17:45 21:45 3 september: 17:45 21:45 6 september: 09:30 13:30

    Locatie: Adres: Leuvenlaan 21, Utrecht Gebouw: Marius Ruppertgebouw Zaal: A

    Opdrachtgever: James Boswell Instituut Docent: Tilko Mooibroek Laatste Mutatie: 2 september 2008 www naam: JBI_inlnat.pdf

  • Inleiding Natuur wetenschappen 2

    Indeling lessen:

    1 september: 17:45 21:45

    Les uur Onderwerp 1 Regels en afspraken 2 Werken met letters 3 Machten, Wortels en Logaritmen 4 Tellers en Noemers

    3 september: 17:45 21:45

    Les uur Onderwerp 1 Terug blik op vorige les. 2 1e Graadsvergelijkingen 3 2e Graadsvergelijkingen 4 Omrekenen maten en gewichten

    6 september: 09:30 13:30

    Les uur Onderwerp 1 Hoeken, resultante, 2 Lijnen 3 Cirkels, sinus, cosinus 4 Afsluiting

  • Inleiding Natuur wetenschappen 3

    Regels en afspraken

    In de wiskunde hebben we met elkaar enkele afspraken gemaakt over gebruik van de rekenregels en bijvoorbeeld de haakjes.

    Hiervoor is een rijmpje gemaakt en gaat als volgt:

    Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord.

    Machtsverheffen Vermeningvuldigen Delen Worteltrekken Optellen Aftrekken

    Dit houdt in dat wanneer er in een rekenregel zou staan 5 + 3 x 2 eerst moet worden vermenigvuldigd en ver volgens moet worden opgeteld. De uitkomst wordt dus 11. wanneer we de regel zouden nemen zoals hij wordt geschreven zou er 16 uit komen. Uw rekenmachine zal als het goed is deze regel ook toepassen. Doet hij dat niet dan heeft u geen wetenschappelijke rekenmachine en moet u heel goed opletten hoe uw de opgave gaat uit rekenen. Met boven gegeven voorbeeld kunt u controleren of de rekenmachine die u gebruikt voldoet aan deze regel.

    Een andere afspraak die is gemaakt heeft betrekking op het gebruik van de haakjes. Stel dat u toch wilt uit rekenen dat u 2 keer 3 en 5 euro moet uit betalen. Hiervoor hebben we de hulp ingeroepen van de haakjes. Door haakjes te gebruiken kunnen we afwijken van de standaard regel. Binnen de haakjes echter gaat meneer van dalen gewoon weer zijn regel toepassen. In ons geval moeten we dus schrijven ( 5 + 3 ) x 2 er komt nu wel 16 euro uit. Ook uw rekenmachine gebruikt de haakjes op de aangegeven manier. Wanneer er meerdere haakjes worden gebruikt of er haakjes binnen haakjes worden gebruikt, dan werken we altijd van binnen naar buiten.

    Voorbeeld:

    2 x ( 3 x ( 5 + 4 ) x ( 3 + 2 ) + ( 6 + 2 ))

    Eerst de binnenste haken wegwerken

    2 x ( 3 x ( 9 ) x ( 5 ) + ( 8 )) = 2 x ( 3 x 9 x 5 + 8)

    nu binnen de haakjes meneer van dalen.

    2 x ( 135 + 8 ) en dan de laatste haakjes weg, geeft 2 x 143 = 286

    Naast het uitrekenen van een waarde met haakjes is het ook mogelijk de haakjes eerst weg te werken. Haakjes kunnen worden verwijderd als we alle elementen binnen het haakje combineren met de waarde die ervoor staat (of er achter). Deze regel geld alleen bij het vermenigvuldigen van een waarde, eventueel ook tussen

  • Inleiding Natuur wetenschappen 4

    haakjes met een andere waarde die tussen haakjes staat. Een voorbeeld geeft misschien wat meer duidelijkheid.

    Ons eerste voorbeeld :

    2 x ( 3 + 5 ) .

    Nu moeten we alle elementen ( 3 en 5 ) gaan vermenigvuldigen met de 2. er dan te staan :

    2 x 3 + 2 x 5 = 6 + 10 = 16. dat is dus het zelfde als met 2 x 8.

    Het gebruik van de plus en de min

    Wanneer we vermenigvuldigen kan de waarde van een getal omslaan van plus naar min ( of anders om) wanneer de waarde van de getallen van elkaar verschillen.

    Zo zal de uit komst van 2 positieve getallen een positief getal op leveren en de vermenigvuldiging van 2 negatieve getallen ook een positief getal. Wanneer we echter een positief getal vermenigvuldigen met een negatief getal zal de uitkomst altijd negatief zijn. Voorbeeld:

    2 x 3 = 6 -2 x -3 = 6 -2 x 3 = -6 2 x -3 = -6

    Moeten we uit rekenen wat 2 x ( 5 3 ) moet worden en we zouden eerst de haakjes weg werken dan krijgen we 2 x 5 + 2 x -3 = 10 + (-6) waarbij + maal negatief word, en er 10 6 komt te staan. De uit komst is 4.

    Wanneer een getal negatief is zetten we voor dat getal een min-teken. Wanneer het getal positief is laten we het plus-teken in de regel weg.

  • Inleiding Natuur wetenschappen 5

    Het gebruik van letters:

    Binnen de wiskunde komt het regel matig voor dat waarden onbekend zijn of afhankelijk van andere waarden. We willen weten wat de lengte van een lijn is, of de totale kosten van een order als we de prijs per stuk en het aantal weten. Voor die bewuste onbekende gebruiken we dan letters, of voor de leesbaarheid afkortingen. In de goniometrie gebruiken we de a, b en c voor de hoeken of lijn stukken. X, y en z gebruiken we bij 1e en 2e graadsvergelijkingen.

    Om nu de verwarring van de x en het maal-teken te voorkomen gaan zullen we vanaf nu het maal-teken vervangen door een punt . Wanneer we letters gebruiken laten we in de regel de punt weg. Dus AB is het zelfde als AB. Ook tussen 2 haakjes of een waarde met haakjes word de punt weggelaten. Dus A( B + C ) is het zelfde als A ( B + C )

    min-teken met letters. Wanneer een waarde negatief is zetten we voor de letter een min-teken. Bestaat een waarde uit de combinatie van meerder letters dan zetten we het min-teken altijd voor de eerste letter. Het maakt immers niet uit binnen een vermenigvuldiging waar een min-teken staat omdat het resultaat altijd negatief is.

    Voorbeeld:

    A ( B C ) => AB + A(-C) = AB AC

    ( A + B ) ( C + D )

    De ) ( kan ook worden geschreven als ) 1 ( waardoor deze term ook kan worden geschreven als (A + B ) 1 C 1 (+D) => (A + B) C D de eerste term kan zonder haken worden geschreven omdat de +1 die ervoor staat geen invloed heeft op de termen binnen de haken.

    Het antwoord wordt dan A + B C D

    Letters en Haakjes. Wanneer we gebruik maken van letters en haakjes dan wordt het lastiger om eerst een waarde uit te rekenen omdat we van de letters nog niet weten wat de waarde is. In dat geval moeten we steeds proberen het aantal haakjes tot een minimum te beperken. Zie ook het onderwerp binnen en buiten de haakjes halen.

    Volgorde van de letters. Het is gebruikelijk om de letters in alfabetische volgorde neer te zetten. Als er machten in de letters zitten dan worden de machten van hoog naar laag genoteerd, hier komen we later nog bij machten op terug met een voorbeeld.

    Cijfers en letters over het =-teken verplaatsen We mogen cijfers en letters over het =-teken verplaatsen op voorwaarde dat we het teken wat voor het cijfer of de letter staat van waarde laten omkeren ( dus vermenigvuldigen met -1 ).

  • Inleiding Natuur wetenschappen 6

    Voorbeeld:

    5 + 3 = 10 2

    Als we de 5 naar rechts willen verplaatsen dan wordt de + een . Er staat ook een plus voor de 5 maar die schrijven we in de regel niet. (zie ook onder het kopje: wat is er wel maar schrijven we niet)

    3 = 10 2 5

    Verplaatsen we de 2 van rechts naar links dan wordt de - een +

    3 + 2 = 10 5

    We zien steeds dat de bewering waar blijft. Als laatste verplaatsen we de 10 en zien we dat de + een - word.

    3 + 2 10 = -5 en dat klopt ook weer.

    Kruiselings vermenigvuldigen. Bij kruiselings vermenigvuldigen verplaatsen we ook getallen ( of letters ) van de ene kant van het =-teken naar de andere, alleen nu wisselen we ze van teller en noemer. Bij deze verschuiving blijft het + en --teken ongewijzigd.

    Voorbeeld:

    DC

    BA

    =

    het feit dat er een - teken voor de A staat wil nog niet zeggen dat A zelfs

    ook negatief is. We gaan nu de Atjes tot Dtjes net zolang verschuiven tot we weer terug zijn bij de begin situatie.

    DC

    BAC

    BADCBAD

    BCAD

    AB

    CD

    ABCD

    ADBC

    ADC

    Bof

    ADC

    B

    =

    =>=

    =>=

    =

    =>

    ==>

    ==>

    ==>

    ==

    111

    Wat is er wel maar schrijven we niet. Eerste term Voor de eerste term zetten we nooit een + als het getal groter is dan 0. dus we schrijven 5 + 3 = 8 voor de 5 en de 8 zetten we geen + teken. Ook als we schrijven A = B + 2 doen we dat voor de A en B niet.

    Voor een letter Voor een letter zetten we geen 1.

    Dus we schrijven A = B + 2 en we bedoelen 1A = 1B + 2

  • Inleiding Natuur wetenschappen 7

    Dus ook met A = 5 B wordt bedoeld: -1A = 5 -1B Vandaar ook dat we bij kruiselingsvermenigvuldigen de -1 in de teller kunnen laten staan en de A in de noemer van de term aan de andere kant van het = teken kunnen zetten zonder dat het invloed heeft op de vergelijking.

    Het maal teken alleen als het nodig is. Het teken zetten we er eigenlijk alleen neer als het de notatie verduidelijkt. Dus als er meerdere letters achter elkaar staan of als er cijfers voor staan laten we de punt weg. Dus 2AB schrijven we als 2AB. Ook tussen de haakjes schijven we geen punt dus (A+B)(C+A) wordt (A+B)(C+A)

    In de macht In de macht van een letter staat eigenlijk een 1. maar deze schrijven we niet. Dus met een A bedoelen we 1A

    In de wortel In de wortel zetten we de 2 niet neer maar die staat er wel. De wortel uit 25 is 5 we schrijven 25 en we bedoelen 2 25 ( hier lijkt te staan 2 maal de wortel uit 25 maar de 2 is het grond-getal van de wortel. Hier staat 252 een klein verschil maar het maakt een groot verschil in de uitkomst.) bij wortels en machten komen we terug op de toepassing.

  • Inleiding Natuur wetenschappen 8

    Breuken

    Bij breuken hebben we een teller en een noemer. De teller staat altijd boven de deel streep en de noemer staat er altijd onder.

    NoemerTel