Геометриjа 2 - university of belgradepoincare.matf.bg.ac.rs/~spadijer/g2/vezbe/5.pdf ·...
TRANSCRIPT
Изометриjске трансформациjе равни
Дефинициjа
Нека jе α раван. Пресликавање I : α −→ α, такво да засваки пар тачака (A,B) равни α важи (A,B) ∼= (I(A),I(B)),називамо изомеш—риjском ш—рансформациjом (изомеш—риjом)равни α.
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Изометриjске трансформациjе равни
Дефинициjа
Нека jе α раван. Пресликавање I : α −→ α, такво да засваки пар тачака (A,B) равни α важи (A,B) ∼= (I(A),I(B)),називамо изомеш—риjском ш—рансформациjом (изомеш—риjом)равни α.
биjекциjе
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Изометриjске трансформациjе равни
Дефинициjа
Нека jе α раван. Пресликавање I : α −→ α, такво да засваки пар тачака (A,B) равни α важи (A,B) ∼= (I(A),I(B)),називамо изомеш—риjском ш—рансформациjом (изомеш—риjом)равни α.
биjекциjе
сликаjу праве у праве, полуправе у полуправе, дужи удужи
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Изометриjске трансформациjе равни
Дефинициjа
Нека jе α раван. Пресликавање I : α −→ α, такво да засваки пар тачака (A,B) равни α важи (A,B) ∼= (I(A),I(B)),називамо изомеш—риjском ш—рансформациjом (изомеш—риjом)равни α.
биjекциjе
сликаjу праве у праве, полуправе у полуправе, дужи удужи
чуваjу распоред тачака на правоj, тj. ако важиB(A,B,C), онда важи B(I(A),I(B),I(C)))
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Изометриjске трансформациjе равни
Дефинициjа
Нека jе α раван. Пресликавање I : α −→ α, такво да засваки пар тачака (A,B) равни α важи (A,B) ∼= (I(A),I(B)),називамо изомеш—риjском ш—рансформациjом (изомеш—риjом)равни α.
биjекциjе
сликаjу праве у праве, полуправе у полуправе, дужи удужи
чуваjу распоред тачака на правоj, тj. ако важиB(A,B,C), онда важи B(I(A),I(B),I(C)))
сликаjу полуравни у полуравни, угаоне линиjе у угаонелиниjе
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Изометриjске трансформациjе равни
ако чува ориjентациjу равни, изометриjа jе gирекш—на, ау супротном jе инgирекш—на
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Изометриjске трансформациjе равни
ако чува ориjентациjу равни, изометриjа jе gирекш—на, ау супротном jе инgирекш—на
композициjа J ◦ I изометриjа I,J такође jе изометриjа
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Изометриjске трансформациjе равни
ако чува ориjентациjу равни, изометриjа jе gирекш—на, ау супротном jе инgирекш—на
композициjа J ◦ I изометриjа I,J такође jе изометриjа
Дефинициjа
Нека су Φ,Φ′ ⊆ α фигура у равни α. Ако постоjи изометриjаI : α −→ α равни α таква да важи Φ′ = I(Φ), онда кажемода jе фигура Φ и–оgуgарна фигури Φ′ и пишемо Φ ∼= Φ′.
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Изометриjске трансформациjе равни
ако чува ориjентациjу равни, изометриjа jе gирекш—на, ау супротном jе инgирекш—на
композициjа J ◦ I изометриjа I,J такође jе изометриjа
Дефинициjа
Нека су Φ,Φ′ ⊆ α фигура у равни α. Ако постоjи изометриjаI : α −→ α равни α таква да важи Φ′ = I(Φ), онда кажемода jе фигура Φ и–оgуgарна фигури Φ′ и пишемо Φ ∼= Φ′.
релациjа ∼= подударности фигура jедна релациjаеквиваленциjе
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Изометриjске трансформациjе равни
ако чува ориjентациjу равни, изометриjа jе gирекш—на, ау супротном jе инgирекш—на
композициjа J ◦ I изометриjа I,J такође jе изометриjа
Дефинициjа
Нека су Φ,Φ′ ⊆ α фигура у равни α. Ако постоjи изометриjаI : α −→ α равни α таква да важи Φ′ = I(Φ), онда кажемода jе фигура Φ и–оgуgарна фигури Φ′ и пишемо Φ ∼= Φ′.
релациjа ∼= подударности фигура jедна релациjаеквиваленциjе
чешће ћемо говорити да су фигуре међусобно и–оgуgарне
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Изометриjске трансформациjе равни
ако чува ориjентациjу равни, изометриjа jе gирекш—на, ау супротном jе инgирекш—на
композициjа J ◦ I изометриjа I,J такође jе изометриjа
Дефинициjа
Нека су Φ,Φ′ ⊆ α фигура у равни α. Ако постоjи изометриjаI : α −→ α равни α таква да важи Φ′ = I(Φ), онда кажемода jе фигура Φ и–оgуgарна фигури Φ′ и пишемо Φ ∼= Φ′.
релациjа ∼= подударности фигура jедна релациjаеквиваленциjе
чешће ћемо говорити да су фигуре међусобно и–оgуgарне
дужи AB,A′B′ су међусобно подударне ако и само аковажи (A,B) ∼= (A′, B′).
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Осна рефлексиjа (симетриjа)
Дефинициjа
Нека jе p ⊂ α права равни α и нека jе пресликавање Sp датона следећи начин: ако jе X ∈ p, онда jе Sp(X) = X, а иначеjе Sp(X) = X ′, где jе X ′ тачка таква да jе p медиjатрисадужи XX ′ у равни α. Онда се пресликавање Sp називаосном рефлексиjом (осном симеш—риjом) равни α с осом p.
p
X X ′
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Осна рефлексиjа (симетриjа)
слика као лик у огледалу
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Осна рефлексиjа (симетриjа)
слика као лик у огледалу
A
B
A′
B′
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Осна рефлексиjа (симетриjа)
слика као лик у огледалу
A
B
A′
B′
инволуциjа, индиректна
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Осна рефлексиjа (симетриjа)
слика као лик у огледалу
A
B
A′
B′
инволуциjа, индиректна
A
B
C
A′
B′
C′
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Осна рефлексиjа (симетриjа)
Теорема
Ако jе I инgирекш—на изомеш—риjа равни α коjа има бар jеgнуфиксну ш—ачку P , онgа jе I осна рефлексиjа Sp чиjа оса p ⊂ α
саgржи фиксну ш—ачку P .
Теорема о трансмутациjи
Нека jе p ⊂ α и–рава равни α, Sp осна рефлексиjа и I
и–роизвољна изомеш—риjа равни α. Ако jе p′ = I(p), онgа jеI ◦ Sp ◦ I
−1 = Sp′.
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Осна рефлексиjа (симетриjа)
Дефинициjа
Нека jе Φ ⊆ α фигура равни α. Кажемо да jе права p осасимеш—риjе фигуре Φ ако jе Sp(Φ) = Φ. Ако фигура Φ имабар jедну осу симетриjе, кажемо да jе она осносимеш—рична.
Свака изометриjа равни може се разложити на композициjуосних рефлексиjа, при чему jе њихов броj наjвише 3.
Теорема
Нека jе I и–роизвољна изомеш—риjа равни α. Таgа jе I = Sp занеку и–раву p ⊂ α, или jе I = Sq ◦ Sp за неке и–раве p, q ⊂ α,или jе I = Sr ◦ Sq ◦ Sp за неке и–раве p, q, r ⊂ α.
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Осна рефлексиjа и прамен правих
Теорема
Нека су p, q, r ⊂ α и–раве равни α. Онgа jе коми–озициjаSr ◦ Sq ◦ Sp осна рефлексиjа ако и само ако и–раве p, q, r
и–рии–аgаjу jеgном и–рамену. Шш—авише, ш—аgа оса ш—ерефлексиjе (означимо jе са s) и–рии–аgа ш—ом и–рамену и ако jеи–рава a оса симеш—риjе и–ара и–равих p, r, ш—аgа jе и–рава a осасимеш—риjе и и–ара и–равих q, s.
S
p r
q a s
p rq
a
s
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Коинциденциjа
Дефинициjа
Пресликавање E : α −→ α такво да jе E(X) = X за свакутачку X ∈ α називамо коинциgенциjом.
идентичко пресликавање
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Коинциденциjа
Дефинициjа
Пресликавање E : α −→ α такво да jе E(X) = X за свакутачку X ∈ α називамо коинциgенциjом.
идентичко пресликавање
Sp ◦ Sp = Id = E
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Коинциденциjа
Дефинициjа
Пресликавање E : α −→ α такво да jе E(X) = X за свакутачку X ∈ α називамо коинциgенциjом.
идентичко пресликавање
Sp ◦ Sp = Id = E
директна
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Коинциденциjа
Дефинициjа
Пресликавање E : α −→ α такво да jе E(X) = X за свакутачку X ∈ α називамо коинциgенциjом.
идентичко пресликавање
Sp ◦ Sp = Id = E
директна
све тачке су фиксне
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Коинциденциjа
Дефинициjа
Пресликавање E : α −→ α такво да jе E(X) = X за свакутачку X ∈ α називамо коинциgенциjом.
идентичко пресликавање
Sp ◦ Sp = Id = E
директна
све тачке су фиксне
Теорема
Ако изомеш—риjа I равни α има бар ш—ри неколинеарне фикснеш—ачке, онgа jе I = E. Ако gирекш—на изомеш—риjа I равни α
има бар gве разне фиксне ш—ачке, онgа jе I = E.
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Ротациjа
Дефинициjа
Нека jе S ∈ α тачка равни α и ϕ ориjентисани угао у тоjравни. Пресликавање RS,ϕ : α −→ α такво да jе RS,ϕ(S) = S
и RS,ϕ(X) = X ′ где jе X ′ таква да важи SX = SX ′ и∡XSX ′ = ϕ (подударни су и имаjу исту ориjентациjу), затачке X 6= S, назива се рош—ациjом (ценш—ралном рош—ациjом)око центра S за ориjентисани угао ϕ.
S
X
X ′
ϕ
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Ротациjа
Дефинициjа
Нека jе S ∈ α тачка равни α и ϕ ориjентисани угао у тоjравни. Пресликавање RS,ϕ : α −→ α такво да jе RS,ϕ(S) = S
и RS,ϕ(X) = X ′ где jе X ′ таква да важи SX = SX ′ и∡XSX ′ = ϕ (подударни су и имаjу исту ориjентациjу), затачке X 6= S, назива се рош—ациjом (ценш—ралном рош—ациjом)око центра S за ориjентисани угао ϕ.
S
X
X ′
ϕ
Крути штап чиjи jе jедан краj у центру S и коjи jефиксиран, а други краj jе у тачки X; ротациjом штапа заориjентисани угао ϕ добиjемо положаj тачке X ′ = RS,ϕ(X).
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Ротациjа
RS,ϕ = Sq ◦ Sp, где се праве p, q секу у тачки S иориjентисани угао од p ка q jе ϕ
2
S p
q
X
X ′
X ′′
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Ротациjа
RS,ϕ = Sq ◦ Sp, где се праве p, q секу у тачки S иориjентисани угао од p ка q jе ϕ
2
S p
q
X
X ′
X ′′
уместо правих p, q можемо узети било коjе праве p′, q′,све док се оне секу у S и ориjентисани угао од p ка q jе ϕ
2
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Ротациjа
RS,ϕ = Sq ◦ Sp, где се праве p, q секу у тачки S иориjентисани угао од p ка q jе ϕ
2
S p
q
X
X ′
X ′′
уместо правих p, q можемо узети било коjе праве p′, q′,све док се оне секу у S и ориjентисани угао од p ка q jе ϕ
2
RS,ψ ◦ RS,ϕ = RS,ϕ+ψ
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Ротациjа
RS,ϕ = Sq ◦ Sp, где се праве p, q секу у тачки S иориjентисани угао од p ка q jе ϕ
2
S p
q
X
X ′
X ′′
уместо правих p, q можемо узети било коjе праве p′, q′,све док се оне секу у S и ориjентисани угао од p ка q jе ϕ
2
RS,ψ ◦ RS,ϕ = RS,ϕ+ψ
RS,0◦ = RS,360◦ = E
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Ротациjа
RS,ϕ = Sq ◦ Sp, где се праве p, q секу у тачки S иориjентисани угао од p ка q jе ϕ
2
S p
q
X
X ′
X ′′
уместо правих p, q можемо узети било коjе праве p′, q′,све док се оне секу у S и ориjентисани угао од p ка q jе ϕ
2
RS,ψ ◦ RS,ϕ = RS,ϕ+ψ
RS,0◦ = RS,360◦ = E
R−1
S,ϕ = RS,−ϕ = RS,360◦−ϕ
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Ротациjа
jедина фиксна тачка ротациjе jе њен центар, тj. тачка S
(ако jе ϕ 6= 0◦, 360◦)
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Ротациjа
jедина фиксна тачка ротациjе jе њен центар, тj. тачка S
(ако jе ϕ 6= 0◦, 360◦)
Теорема
Ако gирекш—на изомеш—риjа I равни α има ш—ачно jеgнуфиксну ш—ачку S, онgа jе I = RS,ϕ, за неки ориjенш—исаниуı–ао ϕ различиш— оg 0◦, 360◦.
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Ротациjа
jедина фиксна тачка ротациjе jе њен центар, тj. тачка S
(ако jе ϕ 6= 0◦, 360◦)
Теорема
Ако gирекш—на изомеш—риjа I равни α има ш—ачно jеgнуфиксну ш—ачку S, онgа jе I = RS,ϕ, за неки ориjенш—исаниуı–ао ϕ различиш— оg 0◦, 360◦.
Теорема о трансмутациjи
Нека jе S ∈ α ш—ачка равни α, ϕ ориjенш—исани уı–ао равни α,RS,ϕ рош—ациjа и I и–роизвољна изомеш—риjа равни α. Нека jеS′ = I(S). Ако jе I gирекш—на, онgа jе I ◦ RS,ϕ ◦ I−1 = RS′,ϕ,а ако jе I инgирекш—на, онgа jе I ◦ RS,ϕ ◦ I−1 = RS′,−ϕ, ı–gе jе−ϕ уı–ао и–оgуgаран уı–лу ϕ, суи–рош—не ориjенш—ациjе.
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Ротациjа
ако jе −180◦ < ϕ < 180◦ и ϕ 6= 0◦, онда се ротациjом заориjентисани угао ϕ права p слика у праву p′ коjа с њомгради угао ϕ
S
N
P
p
Q
R
p′
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Ротациjа
ако jе −180◦ < ϕ < 180◦ и ϕ 6= 0◦, онда се ротациjом заориjентисани угао ϕ права p слика у праву p′ коjа с њомгради угао ϕ
S
N
P
p
Q
R
p′
ако jе угао ротациjе jеднак 180◦, онда за тачкуX ′ = S(X), где jе X 6= S, важи да jе SX ′ = SX и∡XSX ′ = 180◦
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Ротациjа
ако jе −180◦ < ϕ < 180◦ и ϕ 6= 0◦, онда се ротациjом заориjентисани угао ϕ права p слика у праву p′ коjа с њомгради угао ϕ
S
N
P
p
Q
R
p′
ако jе угао ротациjе jеднак 180◦, онда за тачкуX ′ = S(X), где jе X 6= S, важи да jе SX ′ = SX и∡XSX ′ = 180◦
другим речима, важи SX = SX ′ и B(X,S,X ′)
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Ротациjа
ако jе −180◦ < ϕ < 180◦ и ϕ 6= 0◦, онда се ротациjом заориjентисани угао ϕ права p слика у праву p′ коjа с њомгради угао ϕ
S
N
P
p
Q
R
p′
ако jе угао ротациjе jеднак 180◦, онда за тачкуX ′ = S(X), где jе X 6= S, важи да jе SX ′ = SX и∡XSX ′ = 180◦
другим речима, важи SX = SX ′ и B(X,S,X ′)
дакле, тачка S jе средиште дужи XX ′.
S XX ′
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Централна симетриjа
Дефинициjа
Нека jе S ∈ α тачка равни α. Пресликавање SS : α −→ α
такво да jе SS(S) = S и SS(X) = X ′ где jе X ′ таква да jе S
средиште дужи XX ′ зове се ценш—рална симеш—риjа
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Централна симетриjа
Дефинициjа
Нека jе S ∈ α тачка равни α. Пресликавање SS : α −→ α
такво да jе SS(S) = S и SS(X) = X ′ где jе X ′ таква да jе S
средиште дужи XX ′ зове се ценш—рална симеш—риjа
SS = RS,180◦
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Централна симетриjа
Дефинициjа
Нека jе S ∈ α тачка равни α. Пресликавање SS : α −→ α
такво да jе SS(S) = S и SS(X) = X ′ где jе X ′ таква да jе S
средиште дужи XX ′ зове се ценш—рална симеш—риjа
SS = RS,180◦
S−1
S = SS , тj. централна симетриjа jе инволуциjа
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Централна симетриjа
Дефинициjа
Нека jе S ∈ α тачка равни α. Пресликавање SS : α −→ α
такво да jе SS(S) = S и SS(X) = X ′ где jе X ′ таква да jе S
средиште дужи XX ′ зове се ценш—рална симеш—риjа
SS = RS,180◦
S−1
S = SS , тj. централна симетриjа jе инволуциjа
ако jе SS = Sq ◦ Sp, онда jе ориjентисани угао од праве p
ка правоj q подударан углу 180◦
2= 90◦, тj. важи p ⊥ q
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Централна симетриjа
Дефинициjа
Нека jе S ∈ α тачка равни α. Пресликавање SS : α −→ α
такво да jе SS(S) = S и SS(X) = X ′ где jе X ′ таква да jе S
средиште дужи XX ′ зове се ценш—рална симеш—риjа
SS = RS,180◦
S−1
S = SS , тj. централна симетриjа jе инволуциjа
ако jе SS = Sq ◦ Sp, онда jе ориjентисани угао од праве p
ка правоj q подударан углу 180◦
2= 90◦, тj. важи p ⊥ q
Дефинициjа
Нека jе Φ ⊆ α фигура равни α. Кажемо да jе тачка S
ценш—ар симеш—риjе фигуре Φ ако jе SS(Φ) = Φ. Ако фигураΦ има бар jедан центар симетриjе, кажемо да jе онаценш—ралносимеш—рична.
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Транслациjа
Дефинициjа
Нека jе−−→AB вектор у равни α. Пресликавање T−→
AB: α −→ α
дато са T−→AB
(X) = X ′, где jе X ′ таква да jе−−→XX ′ =
−−→AB,
назива се ш—ранслациjом за вектор−−→AB.
A
B
X
X ′
Свака тачка се помера кроз раван у правцу вектора−−→AB
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Транслациjа
T−→AB
= Sq ◦ Sp, где jе p права коjа садржи A и нормалнаjе на AB, a q jе симетрала дужи AB
A B
p
C
q
X X ′
X ′′
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Транслациjа
T−→AB
= Sq ◦ Sp, где jе p права коjа садржи A и нормалнаjе на AB, a q jе симетрала дужи AB
A B
p
C
q
X X ′
X ′′
уместо правих p, q можемо узети било коjе праве p′, q′,све док су оне нормалне на AB, растоjање од p′ ка q′ jеAB2
и смер од p′ ка q′ jе смер вектора−−→AB
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Транслациjа
T−−→BC
◦ T−→AB
= T−→AC
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Транслациjа
T−−→BC
◦ T−→AB
= T−→AC
T −1−→AB
= T−−→AB
= T−→BA
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Транслациjа
T−−→BC
◦ T−→AB
= T−→AC
T −1−→AB
= T−−→AB
= T−→BA
T−→0= E
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Транслациjа
T−−→BC
◦ T−→AB
= T−→AC
T −1−→AB
= T−−→AB
= T−→BA
T−→0= E
транслациjа нема фиксних тачака (ако jе−−→AB 6=
−→0 )
Теорема
Ако gирекш—на изомеш—риjа I равни α нема фиксних ш—ачака,
онgа jе I = T−→AB
, за неки ненула векш—ор−−→AB равни α.
Теорема о трансмутациjи
Нека су A,B ∈ α ш—ачкe равни α,−−→AB векш—ор равни α, R−→
ABш—ранслациjа и I и–роизвољна изомеш—риjа равни α. Ако суA′ = I(A), B′ = I(B)онgа jе I ◦ T−→
AB◦ I−1 = T−−−→
A′B′.
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Клизаjућа рефлексиjа
Дефинициjа
Нека jе−−→AB 6=
−→0 ненула вектор равни α. Пресликавање
G−→AB
: α −→ α дато са G−→AB
= SAB ◦ T−→AB
назива се клизаjућом
рефлексиjом за вектор−−→AB у односу на праву AB.
A B
X X ′′
X ′
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Клизаjућа рефлексиjа
Дефинициjа
Нека jе−−→AB 6=
−→0 ненула вектор равни α. Пресликавање
G−→AB
: α −→ α дато са G−→AB
= SAB ◦ T−→AB
назива се клизаjућом
рефлексиjом за вектор−−→AB у односу на праву AB.
A B
X X ′′
X ′
композициjа транслациjе (клизања) и осне рефлексиjе
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Клизаjућа рефлексиjа
Дефинициjа
Нека jе−−→AB 6=
−→0 ненула вектор равни α. Пресликавање
G−→AB
: α −→ α дато са G−→AB
= SAB ◦ T−→AB
назива се клизаjућом
рефлексиjом за вектор−−→AB у односу на праву AB.
A B
X X ′′
X ′
композициjа транслациjе (клизања) и осне рефлексиjе
вектор транслациjе jе паралела оси рефлексиjе
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Клизаjућа рефлексиjа
Дефинициjа
Нека jе−−→AB 6=
−→0 ненула вектор равни α. Пресликавање
G−→AB
: α −→ α дато са G−→AB
= SAB ◦ T−→AB
назива се клизаjућом
рефлексиjом за вектор−−→AB у односу на праву AB.
A B
X X ′′
X ′
композициjа транслациjе (клизања) и осне рефлексиjе
вектор транслациjе jе паралела оси рефлексиjе
наjчешће се бира представик вектора коjи припада оси,због jедноставниjе ознаке
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Клизаjућа рефлексиjа
индиректна
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Клизаjућа рефлексиjа
индиректна
нема фиксних тачака
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Клизаjућа рефлексиjа
индиректна
нема фиксних тачака
Теорема
Ако инgирекш—на изомеш—риjа I равни α нема фиксних
ш—ачака, онgа jе I = G−→AB
, ı–gе jе−−→AB неки ненула векш—ор
равни α.
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Клизаjућа рефлексиjа
индиректна
нема фиксних тачака
Теорема
Ако инgирекш—на изомеш—риjа I равни α нема фиксних
ш—ачака, онgа jе I = G−→AB
, ı–gе jе−−→AB неки ненула векш—ор
равни α.
код клизаjуће рефлексиjе транслациjа и рефлексиjакомутираjу
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Клизаjућа рефлексиjа
индиректна
нема фиксних тачака
Теорема
Ако инgирекш—на изомеш—риjа I равни α нема фиксних
ш—ачака, онgа jе I = G−→AB
, ı–gе jе−−→AB неки ненула векш—ор
равни α.
код клизаjуће рефлексиjе транслациjа и рефлексиjакомутираjу
G−→AB
= SAB ◦ T−→AB
= T−→AB
◦ SAB
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Клизаjућа рефлексиjа
индиректна
нема фиксних тачака
Теорема
Ако инgирекш—на изомеш—риjа I равни α нема фиксних
ш—ачака, онgа jе I = G−→AB
, ı–gе jе−−→AB неки ненула векш—ор
равни α.
код клизаjуће рефлексиjе транслациjа и рефлексиjакомутираjу
G−→AB
= SAB ◦ T−→AB
= T−→AB
◦ SAB
клизаjућа рефлексиjа je композициjа триjу оснихрефлексиjа чиjе осе не припадаjу jедном прамену
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Клизаjућа рефлексиjа
индиректна
нема фиксних тачака
Теорема
Ако инgирекш—на изомеш—риjа I равни α нема фиксних
ш—ачака, онgа jе I = G−→AB
, ı–gе jе−−→AB неки ненула векш—ор
равни α.
код клизаjуће рефлексиjе транслациjа и рефлексиjакомутираjу
G−→AB
= SAB ◦ T−→AB
= T−→AB
◦ SAB
клизаjућа рефлексиjа je композициjа триjу оснихрефлексиjа чиjе осе не припадаjу jедном прамену
G−1−→AB
=(
SAB ◦ T−→AB
)
−1
= T −1−→AB
◦ S−1
AB = T−→BA
◦ SAB = G−→BA
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Клизаjућа рефлексиjа
индиректна
нема фиксних тачака
Теорема
Ако инgирекш—на изомеш—риjа I равни α нема фиксних
ш—ачака, онgа jе I = G−→AB
, ı–gе jе−−→AB неки ненула векш—ор
равни α.
код клизаjуће рефлексиjе транслациjа и рефлексиjакомутираjу
G−→AB
= SAB ◦ T−→AB
= T−→AB
◦ SAB
клизаjућа рефлексиjа je композициjа триjу оснихрефлексиjа чиjе осе не припадаjу jедном прамену
G−1−→AB
=(
SAB ◦ T−→AB
)
−1
= T −1−→AB
◦ S−1
AB = T−→BA
◦ SAB = G−→BA
ниjе инволуциjа
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Изометриjске трансформациjе равни
1.p
X X ′
q
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Изометриjске трансформациjе равни
3.
A B
a b
p
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Изометриjске трансформациjе равни
5.
O
D
E
A
C
Bp
q
r
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Изометриjске трансформациjе равни
6.
A B
D C
M
N
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Изометриjске трансформациjе равни
7.
AB
β
2
α
2
q p
AB
β
2
α
2
q p
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Изометриjске трансформациjе равни
7.
AB
β
2
C
α
2
p q
A Bβ
2
C
α
2
p q
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
8.
A B
C
D
E
F
T
8.
A B
C
D
E
F
O1
O2
O3
Изометриjске трансформациjе равни
9. A
B C
B′
C′
Sa
Pa
Qa
Ra
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Изометриjске трансформациjе равни
10.
A B
C
t
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Изометриjске трансформациjе равни
11.
A B
D
C
t
A B
C
D
O1
O2
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
Изометриjске трансформациjе равни
12.
O1 O2
A
B
D
C
p
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2