Matematiki fakultet Univerziteta u Beogradu SEMINARSKI RAD IZ METODIKE NASTAVE MATEMATIKE

IZOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE U RAVNI

Beograd,2008

Uki Hasib

2

414/06

1. 2. 3. 4.

Uvod.............................................................................3 Osna simetrija..............................................................4 Rotacija........................................................................8 Centralna simetrija.....................................................12 Translacija..................................................................15

Simetrija, ma kako iroko ili usko shvatili tu re, jeste ideja pomou koje je ovek vekovima pokuavao da objasni i stvori poredak, lepotu i savrenstvo. H.Veil(1875-1955) Mozak nita ne prihvata tako lako kao geometrjiske figura. Rene Dekart(1956-1650)

Uvod Preslikavanje(translacija)skupova taaka primenjuju se u svim oblastima matematike. To su izometrije koje su tesno vezane sa podudarniu koje je Euklid naveo u sedmoj aksiomi svojih ,,elemanata. Ako izometriju oznaimo sa J tada za proizvoljne take A i B i njihove slike A' i B' vai: J (A)=A' i J (B)=B' AB=A'B'.

3

Nepokretna taka J je taka koja se preslikava u samu sebe.Ako se prava p preslikava u samu sebe izometrijom(ne mora biti koincindencija)tada je p nepokretna prava tog preslikavanja. Upoznaemo neke izometrije kojima se data ravan presikava u samu sebe. Izometrije odravaju kolinearnost,raspored taaka i podudarnost.Naveemo najvanije izometrije.

1.Osna simetrija Uoimo du AB i simetralu s te dui(sl.1.).Za taku B kaemo da je simetrina taki A u odnosu na pravu s. Sredite dui AB je taka S,S s i AS=SB.Taka A je takodje simetrina taki B u odnosu na istu pravu s. Neka je N bilo koja taka u ravni odredjenoj pravama AB i s,N s.Tada na normali n prave s,N n,moemo odrediti taku N',takvu da je s simetrala dui NN'.Dakle,svakoj taki van prave s moemo odrediti simetrinu taku u odnosu na s.Take prave s smatramo da su simetrine same sebi.

4

Def.1. Preslikavanje u ravni, pri kojem se svaka taka A te ravni preslikava u A' simetrinu sa A u odnosu na pravu s te ravni,nazivamo osnom simetrijom u odnosu na pravu(osu)s.Oznaka za osnu simetriju je Js. Moemo govoriti i o preslikavanju neke ravne fugure osnom simetrijom. Def.2. Za dve figure i ' ravni , kaemo da su simetrine u odnosu na pravu s te ravni(osno simetrine), ako svakoj taki M fugure odgovara taka M' figure ', tako da je Js(M)=M',i obrnuto,(sl.2).Piemo Js () = '.

sl.1.1

sl.1.2.

Teorema 1. Osna simetrija je izometrija ravni. Dokaz Neka je du A'B' simetrina dui AB odnosu na pravu s.Treba dokazati da je AB=A'B'.Neka je S taka prave s(sl.3)i neka je O sredite dui AA'.Touglovi AOS i A'OS su podudarni,pa je AS=A'S i ASO = A'SO.Slino se dokazuje da je BS=B'S i

5

BSO1= B'SO1.Iz ovoga zakljuujemo da je ASB = A'SB',pa kako je AS = A'S i BS= B'S sledi da su trouglovi ABS i A'B'S podudarni(stav SUS).Stoga je AB=A'B'.

sl.1.3. Teorema 2. Osno simetrine prave su paralelne medju sobom(i paralelne osi) ili se seku na osi. Dokaz Neka je Js (a)=b.Ako je a=s, onda je Js (a)=s=b,pa je a=b,tj.a||b. Ako je as i as={s}(sl.4),tada je Js (S)=S,tj.S b.Prave a i b ne mogu imati jo neku zajedniku taku,jer bi ta taka morala pripadati osi s i bilo bi a=s,to je suprotno pretpostavci.Dakle, ab={s}. Ako je as=,tada je a||s.Prava b ima samo jednu mogunost pa je ba=,dakle b||a(sl.5).

6

sl.1.4

sl.1.5

Posledica ove teoreme je da za svake dve prave u ravni postoji osna simetrija koja prevodi jednu pravu u drugu. Osobine osne simetrije su: osno simetrine figure su podudarne medju sobom; osno simetrine prave su paralelne ili se seku na osi; nepokretne take su sve take ose simetrije; nepokretne su sve prave koje su normalne na osu s( ali njihove take, osim take na osi,nisu nepokretne); Js Js(M)=M,tj. dve uzastopne jednake osne simetrije daju identino preslikavanje.

7

2.Rotacija Neka je u ravni data taka O i orijentisani ugao i neka su A i A' take date u ravni, takve da je OA=OA' i =(sl.2.1). Tada kaemo da je taka A' rotacija take A oko take O, za orijentisani ugao .

1

sl.2.1 Def.2.1.Preslikavanje, kojim se svaka taka A ravni preslikava u taku A' iste ravni, rotacijom oko date take O za dati orijentisani ugao , naziva se rotacijom ravni. Taka O je centar rotacije, a . Ugao rotacije. Oznaka za ovu rotaciju je R0 , . Po definiciji, centar rotacije se preslikava u samog sebe pa predstavlja(jedinu)nepokretnu taku rotacije. Neka je F neka figura ravni. Definiimo preslikavanje ove figure rotacijom.

8

Def.2.2. Ako je data ravna figura , taka O i orijentisani ugao i ako je figura ' skup svih taaka u koje se rotacijom R0, preslikavaju take figure , kaemo da se figura rotacijom R0, preslikava u figuru '. To oznaavamo sa R0, () = ' (sl.2.2).

sl.2.2. Teorema 2.1. Rotacija je izometrija Dokaz Neka su A',B' likovi taaka A i B kao na slici 2.3. Neka je,na primer, taka A' van ugla AOB. Dokazaemo da je A'B'=AB. Uoimo najpre da je AOA'== AOB+ BOA'= BOA' + A'OB'= BOB'. Odavde zakljuujemo da je AOB= A'OB'. Kako je po definiciji OA=OA' i OB=OB', sledi da su OAB i OA'B' podudarni,pa je AB=A'B'.

9

sl.2.3. Teorema 2.2. Ako je a proizvoljna prava ravni i R0 , (a)=a', tada se a i a' seku pod uglom koji je jednak uglu rotacije. Dokaz Neka je ugao otar. Oznaimo sa otar ugao izmedju prava a i a'(2.4.). Ugao jednak je uglu kao ugao sa normalnim kracima. Ako taku A rotiramo oko centra O za opruzen ugao, taka A' e biti simetrina sa A u odnosu na O, jer je O sredite dui AA': R0,180o(A)=Jo(A). Moe se i rotacija izraziti preko simetrije. Neka su a i b dve prave koje se seku u O. Neka je aOb= / 2 .Moe se dokazati da za bilo koju taku A ravni vai:Jb Ja(A)= R0, (A).Dakle, moemo dokazati da proizvod(kompozicija) dve osne simetrije predstavlja rotaciju(sl 2.5.)

10

sl.2.4.

sl.2.5.

Utvrdimo osobine rotacije ravni: rotacijom figura dobijamo podudarne figure centar rotacije je jedina nepokretna taka rotacije( < 360o); Rotacija nema nepokretnih prava, osim ako je =0, =360o(koincidencija) ili =180 o(simetrija); Prava sa svojim rotiranim likom see se pod uglom jednakim uglu rotacije.

3.Centralna simetrija

11

Specijalan sluaj rotacijom dobija se za =180 o. Postoji samo jedna poluprava sa poetkom O koja sa datom polupravom OP1 obrazuje ugao od 180o.Na slici 3.1 ta je poluprava OP1. Na polupravoj OP1 postoji samo jedna taka X1,takva da je |OX1|=| OX|. Dakle, slika proizvoljne take X u ravni pri rotaciji za 180o je taka X1, takva da je centar rotacije O sredite dui XX1.

sl.3.1. Centaralna simetrija sa centrom O je rotacija za 180 sa centrom O.o

Simetriju sa centrom O oznaavamo sa o. Razmotrimo neka svojstva centralne simetrije. Teorema 1.Centralna transformacija. Dokaz simetrija je izometrijska

12

Dokaz sledi na osnovu injenice da je centralna simetrija specijalan sluaj rotacije. Kako je centralna simetrija bijektivno preslikavanje, postoji i njoj inverzno preslikavanje. Teorema 2. Preslikavanje inverzno centralnoj simetriji je ista ta centralna simetrija. Dokaz Neka je X proizvoljna taka ravni. Ako je o(X)=X1, taka O je sredite dui XX1,pa je i X=o(X1).Kako se pri inverznom preslikavanju taka X1 preslikava u taku X, to je preslikavnje inverzno simetriji o ista ta simetrija o, tj.(o)-1= o. Po definiciji je centar simetrije dvojna taka simetrije o. tj.preslikava se u samu sebe. Teorema 3. Svaka prava koja prolazi kroz centar simetrije preslikava se tom centralnom simetrijom na samu sebe. Dokaz Neka je a prava koja prolazi kroz centar simetrije O.Posmatrajmo na pravi a takuA razliitu od O(sl.3.2.).Kako je O sredite dui AA1 gde je A1=o(A), taka A1pripada pravoj OA= a.Dalje se vidi da je svaka taka B1 prave a=OA slika neke take B a, pri centralnoj simetriji o.

sl.3.2.

13

Teorema 4. Unakrsni uglovi su podudarni. Za figuru F1= o(F) kazemo da je centralno simetrina figura F uodnosu na centar simetrije O. Kako je centralna simetrija sama sebi inverzna kazemo da su F i F1 uzajamno simetrine u odnosu na taku O. Primer 9. Kraci oprunog ugla su simetrini u odnosu na njegovo teme.Za figuru F koja se pri nekoj centralnoj simetriji preslikava na samu sebe (o(F)=F) kaemo da je centralno simetrina,tj. da ima centar simetrije. Primer 10. Na osnovu teoreme 6 svaka prava je centralno simetrina figura. Centar simetrije moe biti bilo koja taka prave.

14

4.Translacija Upoznaemo jo jednu izometrijsku transformaciju-translaciju. Translacija za dati vektor je preslikavanje ravni u samu sebe, pri kome se proizvoljna taka A preslikava u taku A1 takvu da je = Vektor .

naziva se vektor translacije.

Identina transformacija se moe smatrati translacijom . Translacija je odredjena vektorom translacije (sl.4.1.). Isto tako, translacija je odredjena bilo kojom takom i njenom slikom pri translaciji, tj. parom odgovarajuih taaka.

15

Zaista, ako je A1 slika take A pri translaciji.

,

onda je

=

Za proizvoljnu taku X moe se vektor

=

naneti =

u taku X i na taj nain e se dobiti taka X1 takva da je = . Taka X1 je slika take X pri translaciji , tj.X1 = (X) (sl.4.2.) Utvrdiemo neka vazna svojstva translacije.

Teorema 1.Translacija je izometrijska transformacija ravni na samu sebe. Dokaz Neka su A i B dve proizvoljne take ravni, A1 = i B1 = (B). Treba dokazati da je |A1B1|=|AB|(sl.4.3.) Oznaimo sa O sredite dui AB1. Po translacije je |AA1|=|BB1|.

(A)

definiciji

Vektori i su jednaki, a vektori su i suprotni. Poluprave AA1 i B1B su suprotno usmerene, prema tome, one su centralno-simetrine, u odnosu na taku O. Kako je centralna simetrija izometrija i o(A)=B1, i to o (B)=A1. Prema tome je |AB| =|A1B1|.

16

Na osnovu ove dokazane teoreme sledi da se svaka figura translacijom preslikava u njoj podudarnu figuru. Teorema 2. Transalcijom se prava preslikava u paralelnu pravu, a poluprava u poluprava istog smera Dokaz Kako je translacija izometrija, to se prava p translacijom preslikava u neku pravu p1. Dokazaemo da je p1 || p. Izaberimo na pravoj p dve proizvoljne take A ii B(sl.4.4). Neka je A1 = (A) i B1= (B). Tada je B1= o(A) i A1= o(B), gde je O sredite dui AB1. Dakle, p1 = o(p). Centralnom simetrijom se svaka prava preslikava na paralelnu pravu, a poluprava na suprotno usmerenu polupravu. Zato je p1||p i (AB)(A1B1), tj. (AB)( A1B1).

17

Koristei translaciju, dokazaemo i teoremu o paralelenim odsecima. Teorema 3. Dui koje na dvema paralelnim pravama odsecaju druge dve paralelne prave-podudarne su. Dokaz Neka je(AB)||(CD) i (AC)||(BD)(sl.4.5). Translacija preslikava taku A na taku C, pri emu se prava AB preslikava na njoj paralelnu pravu kroz taku C, tj. taka na pravu CD. S druge strane, prava BD preslikava se na samu sebe. Taka B kao presek tih prava AB i BD preslikava se u presek slika tih pravih tj. taka u zajedniku taku pravih CD i BD. Dakle, odakle sledi (AB)

(B)=D. Prema tome, (CD).

(AB)=(CD),

18

Literatura : 1.V.Stojanovi,D.Lipovac,V.Sotirov:Nauna knjiga, Beograd, 1987 2. R.Despotovi, R.Toi,B. eelja:Matematika za prvi razred srednje kole.