linearne transformacije. predavanje 17.1.2006. str. 1 ... zeljkat/p14.pdf · pdf...

LINEARNE TRANSFORMACIJE. predavanje 17.1.2006. str. 1. FUNKCIJE, TRANSFORMACIJE SA nR U mR , OPERATORI NA nR Funkcija je pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje jedan i samo jedan element skupa f A B . Ako elementu a pridružuje element , onda se piše f b ( ) baf = i kaže se da je slika elementa ili vrijednost od u . Skup se zove domena od , a skup

b a f a A f B kodomena od . Podskup od f B koji se

sastoji od vrijednosti od svih elemenata iz se zove područje vrijednosti od . f a A f Najčešći je slučaj kad su i A B skupovi realnih brojeva i tada se zove realna funkcija realne varijable. f Česte su i funkcije gdje je B skup realnih brojeva, a skup čine vektori iz A 2R , 3R ili općenito nR . formula primjer klasifikacija opis ( )xf ( ) 2xxf = realna funkcija realne

varijable funkcija sa R u R

( )yxf , ( ) 22, yxyxf += realna funkcija dviju realnih varijabli

funkcija sa 2R u R

( )zyxf ,, ( ) 222,, zyxzyxf ++= realna funkcija triju realnih varijabli

funkcija sa 3R u R

( )nxxxf ,,, 21 K ( ) 2222121 ,,, nn xxxxxxf +++= LK realna funkcija realnih varijabli

n funkcija sa nR u R

Ako je domena funkcije skup f nR i kodomena skup mR (gdje i mogu biti jednaki brojevi), onda se zove preslikavanje ili transformacija sa

m n f nR u mR i označava se T . Gornji

primjeri su transformacije za koji je .

mn RR →: 1=m

Ako je , onda se transformacija zove operator na nm = nR . Prva od funkcija iz tablice je operator na R . Primjer 1 Jednadžbe yxx +=′ xyy 3=′

22 yxz −=′ definiraju transformaciju T . Njena slika točke 32: RR → ( )yx, je ( ) ( )22,3,, yxxyyxyx −+=T . Npr. T . ■ ( ) ( 3,6,12,1 −−−=− ) LINEARNE TRANSFORMACIJE mn RRL →: Linearna transformacija je funkcija koja svakom mn RRL →: x iz nR pridružuje jedinstven ( )xL iz mR tako da vrijedi 1. za sve ( ) ( ) (yLxLyxL +=+ ) x i iz y nR , 2. za svaki ( ) (ucLcuL = ) x iz nR i svaki broj c . Ako je , onda se linearna transformacija zove linearni operator na nm = nR . Transformacija se zove nelinearna ako nije linearna transformacija. Transformacija je linearna ako i samo ako postoji jedinstvena matrica tipa mn RRL →: A nm× tako da je

( ) AxxL = za svaki x iz nR . dokaz: Ako je transformacija definirana s mn RRL →: ( ) AxxL = za svaki x iz nR , onda vrijedi ( ) ( ) ( ) ( )yLxLAyAxyxAyxL +=+=+=+ za sve x i iz y nR . i za svaki ( ) ( ) ( ) (ucLAuccuAcuL === ) x iz nR i svaki broj c što znači da je transformacija linearna. L

LINEARNE TRANSFORMACIJE. predavanje 17.1.2006. str. 2.

I obratno. Neka je linearna transformacija. Bilo koji vektor iz L

   





   





=

nc

c c

x M 2

1

nR se može zapisati u

standardnoj bazi na jedinstven način kao ne,,2 Kee ,1 nnecex cec +++= K2211 i vrijedi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnn eLceLceLcecLecLecLxL +++=+++= KK 22112211 (1).

( )Neka je matrica tipa m kojoj je A n× −j stupac jeL . tj. ( ) ( ) ( )[ ]neLeLeLA L21= (2). Kako je umnožak jednak linearnoj kombinaciji vektora stupaca od s koeficijentima izAx A x , što je upravo desna strana od (1), onda se jednadžba (1) može zapisati ( ) AxxL = i to vrijedi za svaki x iz nR . ■ Matrica se zove standardna matrica linearne transformacije ; ( ) ( ) ( )[ neLeLeLA L21= ] L Ponekad se standardna matrica linearne transformacije označava s . L LA Linearna transformacija se naziva i matrična transformacija; '' je množenje matricom '' Stoga se koristi i oznaka .

mn RRL →: AL

L A

U formuli se podrazumijeva da je ( ) AxxL = x iz nR vektor stupac. Geometrijski linearni operator transformira svaku točku (svaki vektor) iz nn RRL →: nR u neku novu točku (novi vektor) u nR ovisno tome da li se elementi iz nR interpretiraju kao točke (uređene −n torke) ili kao vektori. Npr. za u ravnini 2=n

Primjer 2 Jednadžbama 43211 532 xxxxx −+−=′ 43212 24 xxxxx +−+=′

3213 76 xxxx +−=′ je definirana linearna transformacija i može se zapisati matrično 34: RRL →

   





   





  





  





− −

−− =

  





  





′ ′ ′

4

3

2

1

3

2

1

0716 1124 5132

x x x x

x x x

pa je standardna matrica za jednaka . L   





  





− −

−− =

0716 1124 5132

A

Slika točke ( se može naći iz jednadžbi ili množenjem matricom . ) )

4321 ,,, xxxx A Npr. za ( iz jednadžbi se nađe 2,3,0,1 − ( ) ( )27,1,152,3,0,1 −=−L

ili matrično . ■   





  



 −=

   





   





−   





  





− −

−− =

  





  





′ ′ ′

27 1

15

2 3 0 1

0716 1124 5132

3

2

1

x x x

LINEARNE TRANSFORMACIJE. predavanje 17.1.2006. str. 3.

]

Primjer 3 Transformacija iz primjera 1 je nelinearna. Transformacija se ne može se zapisati u obliku T . Druga i treća jednadžba kojim je zadana nisu linearne. ■

L ( ) Axx =

Primjer 4 Ako je linearni operator definiran s , nađite njegovu

standardnu matricu i provjerite da vrijedi

33: RRL →

( ) ( )[ 32 eLeL   





  





+ − +

=   





  





  





  





zx zy yx

z y x

L 4

( )1eLA = ( ) AxxL = .

RJEŠENJE: Matrica je reda 3 i njeni stupci su ,

i tj. .

A

+ − +

1 1 0

( )   





  



 =

  





  





+ − +

=   





  





  





  



 =

0 0 1

01 00 01

0 0 1

1 LeL

  





  



 −=

  





  





+ − +

= 4 1

0

40 10 00

  



 =

10 10 11

A( )   





  



 =

  





  



 =

  





  





  





  



 =

1 1 1

0 0 1

0 1 0

2 LeL ( )   





  





  





  



 =

1 0 0

3 LeL   



 − 4 1

0

Kako je vrijedi   





  





+ − +

=   





  





  





  



 −=

zy zy yx

z y x

Ax 4410

110 011

( ) AxxL = . ■

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3Primjer 5 Nacrtajte sliku kvadrata s vrhovima koja se dobije linearnom

transformacijom gdje je je .

( ) ( ) ( ) ( 1,1,1,1,1,1,1,1 −−−−

( )xL =

)

Ax  

  

 =

30 03

A

RJEŠENJE: Nađemo slike svih vrhova kvadrata

 

  

 − −

= 

  

 − −

 

  

 =



  

 − −

3 3

1 1

30 03

1 1

A ,

 

  

 −

= 

  

 −

  

 =



  

 − 3

3 1

1 30 03

1 1

A ,

 

  

 =



  

  

  

 =



  

 3 3

1 1

30 03

1 1

A ,

 

  

− =



  

−  

  

 =



  

− 3 3

1 1