linearne transformacije. predavanje 17.1.2006. str. 1 ... zeljkat/p14.pdf · pdf...

Click here to load reader

Post on 29-Aug-2019

232 views

Category:

Documents

6 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • LINEARNE TRANSFORMACIJE. predavanje 17.1.2006. str. 1. FUNKCIJE, TRANSFORMACIJE SA nR U mR , OPERATORI NA nR Funkcija je pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje jedan i samo jedan element skupa f A B . Ako elementu a pridružuje element , onda se piše f b ( ) baf = i kaže se da je slika elementa ili vrijednost od u . Skup se zove domena od , a skup

    b a f a A f B kodomena od . Podskup od f B koji se

    sastoji od vrijednosti od svih elemenata iz se zove područje vrijednosti od . f a A f Najčešći je slučaj kad su i A B skupovi realnih brojeva i tada se zove realna funkcija realne varijable. f Česte su i funkcije gdje je B skup realnih brojeva, a skup čine vektori iz A 2R , 3R ili općenito nR . formula primjer klasifikacija opis ( )xf ( ) 2xxf = realna funkcija realne

    varijable funkcija sa R u R

    ( )yxf , ( ) 22, yxyxf += realna funkcija dviju realnih varijabli

    funkcija sa 2R u R

    ( )zyxf ,, ( ) 222,, zyxzyxf ++= realna funkcija triju realnih varijabli

    funkcija sa 3R u R

    ( )nxxxf ,,, 21 K ( ) 2222121 ,,, nn xxxxxxf +++= LK realna funkcija realnih varijabli

    n funkcija sa nR u R

    Ako je domena funkcije skup f nR i kodomena skup mR (gdje i mogu biti jednaki brojevi), onda se zove preslikavanje ili transformacija sa

    m n f nR u mR i označava se T . Gornji

    primjeri su transformacije za koji je .

    mn RR →: 1=m

    Ako je , onda se transformacija zove operator na nm = nR . Prva od funkcija iz tablice je operator na R . Primjer 1 Jednadžbe yxx +=′ xyy 3=′

    22 yxz −=′ definiraju transformaciju T . Njena slika točke 32: RR → ( )yx, je ( ) ( )22,3,, yxxyyxyx −+=T . Npr. T . ■ ( ) ( 3,6,12,1 −−−=− ) LINEARNE TRANSFORMACIJE mn RRL →: Linearna transformacija je funkcija koja svakom mn RRL →: x iz nR pridružuje jedinstven ( )xL iz mR tako da vrijedi 1. za sve ( ) ( ) (yLxLyxL +=+ ) x i iz y nR , 2. za svaki ( ) (ucLcuL = ) x iz nR i svaki broj c . Ako je , onda se linearna transformacija zove linearni operator na nm = nR . Transformacija se zove nelinearna ako nije linearna transformacija. Transformacija je linearna ako i samo ako postoji jedinstvena matrica tipa mn RRL →: A nm× tako da je

    ( ) AxxL = za svaki x iz nR . dokaz: Ako je transformacija definirana s mn RRL →: ( ) AxxL = za svaki x iz nR , onda vrijedi ( ) ( ) ( ) ( )yLxLAyAxyxAyxL +=+=+=+ za sve x i iz y nR . i za svaki ( ) ( ) ( ) (ucLAuccuAcuL === ) x iz nR i svaki broj c što znači da je transformacija linearna. L

  • LINEARNE TRANSFORMACIJE. predavanje 17.1.2006. str. 2.

    I obratno. Neka je linearna transformacija. Bilo koji vektor iz L

       

       

    =

    nc

    c c

    x M 2

    1

    nR se može zapisati u

    standardnoj bazi na jedinstven način kao ne,,2 Kee ,1 nnecex cec +++= K2211 i vrijedi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnn eLceLceLcecLecLecLxL +++=+++= KK 22112211 (1).

    ( )Neka je matrica tipa m kojoj je A n× −j stupac jeL . tj. ( ) ( ) ( )[ ]neLeLeLA L21= (2). Kako je umnožak jednak linearnoj kombinaciji vektora stupaca od s koeficijentima izAx A x , što je upravo desna strana od (1), onda se jednadžba (1) može zapisati ( ) AxxL = i to vrijedi za svaki x iz nR . ■ Matrica se zove standardna matrica linearne transformacije ; ( ) ( ) ( )[ neLeLeLA L21= ] L Ponekad se standardna matrica linearne transformacije označava s . L LA Linearna transformacija se naziva i matrična transformacija; '' je množenje matricom '' Stoga se koristi i oznaka .

    mn RRL →: AL

    L A

    U formuli se podrazumijeva da je ( ) AxxL = x iz nR vektor stupac. Geometrijski linearni operator transformira svaku točku (svaki vektor) iz nn RRL →: nR u neku novu točku (novi vektor) u nR ovisno tome da li se elementi iz nR interpretiraju kao točke (uređene −n torke) ili kao vektori. Npr. za u ravnini 2=n

    Primjer 2 Jednadžbama 43211 532 xxxxx −+−=′ 43212 24 xxxxx +−+=′

    3213 76 xxxx +−=′ je definirana linearna transformacija i može se zapisati matrično 34: RRL →

       

       

      

      

    − −

    −− =

      

      

    ′ ′ ′

    4

    3

    2

    1

    3

    2

    1

    0716 1124 5132

    x x x x

    x x x

    pa je standardna matrica za jednaka . L   

      

    − −

    −− =

    0716 1124 5132

    A

    Slika točke ( se može naći iz jednadžbi ili množenjem matricom . ) )

    4321 ,,, xxxx A Npr. za ( iz jednadžbi se nađe 2,3,0,1 − ( ) ( )27,1,152,3,0,1 −=−L

    ili matrično . ■   

      

     −=

       

       

    −   

      

    − −

    −− =

      

      

    ′ ′ ′

    27 1

    15

    2 3 0 1

    0716 1124 5132

    3

    2

    1

    x x x

  • LINEARNE TRANSFORMACIJE. predavanje 17.1.2006. str. 3.

    ]

    Primjer 3 Transformacija iz primjera 1 je nelinearna. Transformacija se ne može se zapisati u obliku T . Druga i treća jednadžba kojim je zadana nisu linearne. ■

    L ( ) Axx =

    Primjer 4 Ako je linearni operator definiran s , nađite njegovu

    standardnu matricu i provjerite da vrijedi

    33: RRL →

    ( ) ( )[ 32 eLeL   

      

    + − +

    =   

      

      

      

    zx zy yx

    z y x

    L 4

    ( )1eLA = ( ) AxxL = .

    RJEŠENJE: Matrica je reda 3 i njeni stupci su ,

    i tj. .

    A

    + − +

    1 1 0

    ( )   

      

     =

      

      

    + − +

    =   

      

      

      

     =

    0 0 1

    01 00 01

    0 0 1

    1 LeL

      

      

     −=

      

      

    + − +

    = 4 1

    0

    40 10 00

      

     =

    10 10 11

    A( )   

      

     =

      

      

     =

      

      

      

      

     =

    1 1 1

    0 0 1

    0 1 0

    2 LeL ( )   

      

      

      

     =

    1 0 0

    3 LeL   

     − 4 1

    0

    Kako je vrijedi   

      

    + − +

    =   

      

      

      

     −=

    zy zy yx

    z y x

    Ax 4410

    110 011

    ( ) AxxL = . ■

    -3 -2 -1 1 2 3

    -3

    -2

    -1

    1

    2

    3Primjer 5 Nacrtajte sliku kvadrata s vrhovima koja se dobije linearnom

    transformacijom gdje je je .

    ( ) ( ) ( ) ( 1,1,1,1,1,1,1,1 −−−−

    ( )xL =

    )

    Ax  

      

     =

    30 03

    A

    RJEŠENJE: Nađemo slike svih vrhova kvadrata

     

      

     − −

    = 

      

     − −

     

      

     =

      

     − −

    3 3

    1 1

    30 03

    1 1

    A ,

     

      

     −

    = 

      

     −

      

     =

      

     − 3

    3 1

    1 30 03

    1 1

    A ,

     

      

     =

      

      

      

     =

      

     3 3

    1 1

    30 03

    1 1

    A ,

     

      

    − =

      

    −  

      

     =

      

    − 3 3

    1 1

View more