ТЕХНОЛОГИЯ ВЫДЕЛЕНИЯ БАЗОВЫХ ПОНЯТИЙ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ ДЛЯ КУРСОВ ФИЗИКИ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ

(на примере механики)

А.М. Кливасов Лаборатория технологии профессионального образования

Проблемы преподавания физики в профессиональных учебных заведениях

1. Роль физики в познании окружающего мира и осмысливании специфических профессий.

1. Научные и технические революции (НТР).2. Научно-техническая революция и актуальность

реформирования профессионального образования, его значимость при НТР.

3. Объективные трудности реформирования.4. Общие требования к современным учебникам.5. Принципы отбора содержания учебного материала по

физике. Необходимость подготовки новых учебников и новых методических пособий.

6. Требования к новым учебникам физики, продиктованные необходимостью формирования у учащихся самостоятельного мышления:

а)Изменение стиля и формы изложения учебного материала по сравнению с традиционными. Обоснование необходимости акцентирования внимания учащихся первоначально на ограниченное количество тщательно отобранных структурных единиц школьного курса физики при условии их вполне прозрачной определенности.

б) Изменение сигнатуры учебников.в) Классификация задач по степени трудности их решения.г) Введение домашних экспериментальных задач.д) Использование вероятностных задач.е) Обстоятельная коррекция устоявшихся

общеобразовательных программ.8. Технология составления системы базовых элементов

учебного курса физики.

1

8. Технология обучения физики в профессиональных учебных заведениях. Раскрытие роли физики при изложении элективных (по выбору) учебных курсов.

10. Достаточный и высокий уровень результатов обучения физике.

1 Практика показала, что при творческом распределении времени базовые элементы могут быть успешно сформированы как на основных, так и на факультативных занятиях, далее они используются учащимися колледжей для самоконтроля как справочный материал.

1. Метод составления системы базовых структурных элементов школьного курса физики для профильных классов.

Мы являемся свидетелями величайшей научно-технической революции (НТР). Она привела к глубочайшему информационному взрыву. В связи с этим вопрос об отборе материала для школьных учебников стал весьма актуальным. С особой остротой он стоит перед представителями естественно-математического цикла. Решить эту задачу можно только путем переноса центра тяжести в обучении с запоминания разрозненных фактов на усвоение логики той или иной науки и на развитие умения самостоятельно мыслить.

К сожалению, число вариантов учебников по ведущим основным предметам заметно возросло, а их качество в целом заметно нет. Стало очевидным, что увеличение вариантов учебников в основном диктуется коммерческими целями, а не профессиональными. Коммерческие цели вносят в обучение только бесконтрольный сумбур.

Сделать школьный курс физики доступным для усвоения можно лишь путем кропотливого, тщательного отбора структурных элементов (условно понятий) и обоснования логических связей между ними.

2. Этапы выделения базовых структурных элементов курса «Механика»

для профильных классов.Первый этап. Выписывание понятий и других структурных

элементов школьного курса физики в порядке их введения в следующие школьные учебники;

1) в действующий учебник физики «Физика 9» («Физика 8») авторов И.К. Кикоина и А.К. Кикоина;

2

1) в «Экспериментальное учебное пособие - 9 (8) класс» автора В.Г.Зубова.

Второй этап. Сопоставление применительно к школьному курсу понятийного каркаса по хорошо устоявшемуся курсу классической теоретической механики.1

Под «понятием» подразумевался термин в его несколько обиходном значении, том широком смысле, каком он употребляется в выражении «дать понятие о чем-то» полезном, имеющим не только прямое, и потому неизбежное, но и косвенное отношение к физике. По этой причине на первом и втором этапах, кроме непосредственных физических понятий (таких, например, как «скорость», «ускорение», «абсолютно твердое тело», «плотность», «механическая сила», «импульс», «работа», «мощность», «энергия» и т.п.), выписывались законы (например, «законы Ньютона», «законы сохранения...»), аспекты понятий (например, «сила - причина ускорения»), частные полезные, необходимые сведения, продиктованные логикой курса (например, о «международной системе единиц», о «... космической скорости» и др.).

1 При составлении понятийного перечня по «Теоретической механике» непосредственное участие принимал доцент кафедры теоретической физики МГОПУ им. Н.К. Крупской А.А. Сенкевич.

На первом и втором этапах не предусматривалась ни численная, ни логическая (качественная) последовательная оценка важности тех или иных элементов понятийной структуры курса по степени их связанности с другими элементами - целенаправленная оценка «работы» этих элементов при выстраивании логики курса.

Третий этап. Фиксация и подсчет необходимых связей между структурными элементами курса.

В целях углубленного качественного анализа связей дополнительно использовались «Физический энциклопедический словарь», «Энциклопедический словарь юного физика» и более десяти логически стройных учебников и пособий по хорошо устоявшемуся вузовскому курсу теоретической механики.

Для целей численного анализа использованы следующие количественные характеристики связей между понятиями (см. рис.1):

3

1. Число раз, когда данное понятие необходимо при введении новых понятий,- число связей (1).

2. Число раз, когда данное понятие участвует в развитии, уточнении и конкретизации уже имеющихся понятий, - число связей (2).

3. Число понятий, необходимых для введения данного понятия, - число связей (3).

4. Число понятий, которые уточняют, развивают и конкретизируют данное понятие, - число связей (4).

5. Степень связи данного понятия с другими понятиями – степень «работы» данного понятия при введении последующих понятий и при развитии, уточнении и конкретизации уже имеющихся понятий - число связей (1+2).

6. Степень связи других понятий с данным понятием – степень «работы» других понятий при введении данного понятия и при его развитии, уточнении и конкретизации - число связей (3+4).

7. Степень важности данного понятия при формировании между понятиями прямых и обратных связей - число связей (1+2+3+4).

Описание процедуры анализа.Процесс составления и последующего анализа матриц

наглядно изображен на рис.1 См. также участки матриц на рис.2 и 3.

Рис.1 Схема процесса составления и последующего анализа матриц.

4

УСТАНОВЛЕНИЕ ПРОСТЫХ СВЯЗЕЙ

5

Прямые связи Число понятий,необходимых длявведения данного

понятия

6

Сколько раз данное понятие участвует в развитии, уточнении и конкретизации уже имеющихся понятий

ПОНЯТИЕ

Сколько раз необходимо данное

понятие привведении новыхпоследующих

понятий

7

Число понятий, которые уточняют и конкретизируют

данное понятие

Обратные связи

УСТАНОВЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ СВЯЗЕЙ

(1+2)-степень связи данногопонятия с другими понятиями -

степень «работы» данного понятияпри введении последующих

понятий и при развитии,уточнении и конкретизации уже

имеющихся понятий

(3+4) –степень связи других понятий с данным понятием –степень «работы» других понятий при введении данного понятия и при его развитии, уточнении и конкретизации

(1+2+3+4) - степень важности данногопонятия при формировании прямых и

обратных связей между понятиями

Понятии, введенные в учебное пособие но фишке дли 8-9 класса 1973-2004 г.г.

СВЯЗИ МЕЖДУ ПОНЯТИЯМИ Число связей

3 I II III IV 75. время +6. механическое движение

7. механика

8. основная задача механики

9. положение тел в пространстве

16. координата тела

20.траектория

21. перемещение как вектор +23. составляющая вектора

24. прямолинейное равномерное движение +25. скорость равномерного прямолинейного движения 7 + + + + + + + + + + + + + 6 7 3 5 2126. абсолютное значение скорости (модуль)

29. график проекции скорости

30. относительность движения, сложение S и V

33. единица скорости

41. непрерывность скорости, пути, времени

42. мгновенная скорость +66. первый закон Ньютона

100. сила жидкого трения - сила сопротивления +144. мощность +166. объем жидкости, протекшей через $ трубы за единицу t +167. постоянство объема жидкости, протекшей за единицу t +В данном участке матрицы пропущены понятия, с которыми Понятие «25» не связано.

5 I П III IV 7

Рис.2 Участок матрицы по действующему учебнику «Физика 9 (8)» авторов акад. И.К.Кикоина и проф. А.К.Кикоина (участокр, иллюстрирующий связи понятия № 25 Скорость равномерного прямолинейного движения» с другими структурными элементами курса «Механика».

ПЕРЕЧЕНЬ ПОНЯТИИ1) 48-55; 2) 70-74; 3) 97-99; 4) 114-117; 5) 129-131; 6) 144-146

48. уравновешивающая сила 97. сила, действующая перпенкулярно скорости

49. разложение сил 98. центростремительная сила

50. составляющие силы 99. центробежная сила51. силы в механике 114. понятие о

переносе сил (в абс. твердом теле)

52. сила тяготения (причина §) 115. сложение сходящихся сил

53. сила упругости 116. сложение параллельных и антипараллельных сил)

54. сила трения скольжения 117. центр тяжести как точка приложения

55. сила трения покоя 129. работа силы тяжести70. активные силы (заданные силы)

130. работа силы упругости

71. силы реакции (пассивные силы)

131. работа силы трения

72. связи (тела, ограничивающие свободу перемещения)

144. столкновение тел (удар)

73. возможны перемещения 145. центральный удар

74. абсолютно твердое тело 146. косой удар

Рис. 4 Перечень понятий по теоретической механике, с которыми не фиксировались связи понятия № 59 «сосредоточенные силы».

«Последовательность составления и обработки матриц»

На миллиметровой бумаге по главной (от левого верхнего угла к правому нижнему) диагонали были проставлены номера понятий в соответствии с перечнем в крайней левой колонке матрицы.

1. Вверх от номера понятий (по вертикали) крестиками отмечались понятия (начиная со второго), необходимые для введения данного понятия - связи 3.

2. Влево от понятия (по горизонтали) крестиками фиксировались связи 2.

В результате такой последовательной фиксации прямых связей - связей данного понятия с предыдущими понятиями - заполняется рабочее поле матрицы. Обратные связи - связи последующих понятий с данным - фиксируется автоматически.

После заполнения рабочего поля матриц данные обрабатывались следующим образом:

1. Подсчитывались простые связи 1, 2, 3, и 4 каждого понятия. Результаты подсчета выносились вдоль четырех взаимно перпендикулярных направлений на границы поля (см. рис.2 и 3).

2. В колонки, расположенные справа за границей рабочего поля матрицы, записывались результаты подсчетов по видам связей (на рис. 2 и 3 показаны только колонки, куда заносились числа связей 1, 2, 3, 4 и 1+2+3+4).

1. Суммировались результаты по каждой колонке в отдельности, т.е. определялась сумма однородных связей для всех понятий. Сумма указывалась внизу колонки.

3. Итоговые цифры каждой колонки делились на число понятий и устанавливался средний балл для каждого направления связей отдельно учебнику (рис.2) и отдельно по теоретической механике (рис.3).

4. Число связей для каждого понятия сравнивалось со средним баллом и оценивался удельный вес каждого понятия в образовании межпонятийных связей.

В каждом из матриц аналогичным образом были отдельно подсчитаны средний балл законов физики и удельный вес каждого закона.

Надежность числа связей в качестве меры важности понятия обусловлена, в частности, тем, что этот показатель мало зависит от порядкового номера понятия (т.е. от того, на каком этапе оно вводится в курс). Действительно, если порядковый

номер понятия увеличить (конечно, не нарушая физической логики), то количество образуемых им прямых связей увеличится, но зато приблизительно во столько же раз уменьшится их роль в образовании обратных связей и наоборот. Поэтому число необходимых связей (1+3) и число дополнительных связей (2+4) останется приблизительно прежним. Еще большим постоянством обладает число сложных связей (1+2+3+4). Именно по этой причине роль понятий в образовании межпонятийных связей мы оценивали прежде всего по их роли в образовании сложных связей (1+2+3+4).

Для простоты и наглядности: а) на рисунках изображены связи только одного понятия: на рис.2 - понятия № 25 «скорость равномерного прямолинейного движения», на рис.3 - понятия № 59 «сосредоточение силы»; б) в левой колонке каждой матрицы указаны только понятия, связанные с анализируемым понятием; в) на рис.3 для части понятий указаны только номера. Перечень этих понятий дан на рис.4.

Отметим, что некоторые выводы относительно целесообразности и последовательности введения тех или иных понятий могут быть сделаны уже на этапе фиксации связей. Иногда эти выводы могут оказаться решающими, например, если выявлено отсутствие в учебниках необходимых связей.

Преимущества матричного метода.Прежде всего отметим, что предлагаемый нами матричный

метод дал возможность относительно быстро и надежно выполнить крайне трудоемкую и кропотливую работу по установлению связей между понятиями, оценке их роли в учебнике и в теоретическом курсе более высокого порядка, позволил, наконец, осуществить дифференцированный отбор понятий. Ни один из испытанных нами методов исследования (другие варианты матричного анализа, метод граф, метод составления структурных формул и др.) не позволял выполнить исследование столь большого объема - проанализировать понятийный аппарат целого курса.

Четвертый этап. Численная и качественная оценка понятий по важности для построения учебного курса, предварительное разграничение их на общие и частные.

Приводим ряд выводов, сделанных на основании сопоставительного анализа.

1. Считалось бесспорным, что, законы играют главную роль в образовании связей между понятиями и, как следствие

этого, выделение важнейших понятий нередко считалось излишним. Между тем исследование показало, что роль законов в образовании межпонятийных связей не всегда бывает наибольшей.

2. Число связей в матрице по теоретической механике оказалось больше числа связей в матрице по школьному учебнику в среднем в 1,85 раза (необходимых - в 1,2 раза, дополнительных - в 2,5).

Аналогичная картина наблюдается и при сравнении средних баллов. Такое различие можно, по-видимому, объяснить тремя причинами:

а) отсутствием в школьном учебнике ряда важных связующих понятий («распределенные силы», «сосредоточенные силы», «активные и пассивные силы» и др.);

б) недостаточным вниманием, проявленным в учебнике к логическим связям между понятиями;

в) различием в общем количестве используемых понятий: число понятий, включенных в учебник, но отсутствующих в понятийном каркасе теоретической механики, ровно 40, тогда как понятий из курса теоретической механики, не включенных в учебник, - 66.

3. Наиболее важную роль в образовании сложных связей (1+2+3+4) играют следующие понятия, расположенные в порядке уменьшения их удельного веса:

а) «движение в механике». Это единственное понятие, число связей которого равно 136 (в матрице, составленной по учебнику, вводится более узкое понятие - «механическое движение»), в то время как число связейследующих по значению понятий гораздо меньше;

б) «второй закон Ньютона», «ускорение».- В матрице по теоретической механике зафиксировано 75

связей «второго закона Ньютона», в матрице по учебнику - 66 связей понятия «ускорение»;

в) «сосредоточенная сила»;г) «сила как причина изменения скорости», «сила как

векторнаявеличина»;

д) «закон сохранения энергии в общем виде»;е) «инерциальная система отсчета».

Пятый этап. Повторная, более объемная оценка каждого структурного элемента курса:

- сравнение понятий одного логического уровня, учетспецифичности последних в теоретической и физической механике;

- оценка конструктивной роли элементов для последовательного построения курса под углом соблюдения дидактических принципов, особо критериев оптимизации и учета личного опыта;

- окончательное разграничение понятий на общие и частные и составление перечня базовых понятий для различных профильных классов.

Ниже приводим указанный перечень.

БАЗОВЫЕ СТРУКТУРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ КУРСА

А.М. Кливасов, А.А. СенкевичНИИ развития образования

1. Понятия кинематики 1. Пространство. 2. Время. 3. Международная система единиц

(СИ). 4. Материя и её изменения в пространстве. 5. Движение в механике. 6. Материальная точка. 7. Относительность движения.

8. Тело отсчёта. 9. Инерциальная система отсчёта. Для углублённого изучения: Абсолютная, относительная и

переносная скорости. Сложное движение точки.10. Система координат. 11. Уравнения движения. 12. Прямая задача теоретической механики. 13. Траектория. 14. Путь. 15. Перемещение как векторная величина. 16. Линейная скорость точки как векторная величина. 17. График скорости. 18. Средняя путевая скорость. 19. Линейное ускорение как векторная величина. 20. Равномерное движение тела по окружности. 21.Угловая скорость.

Для углублённого изучения: Угловое ускорение. Уравнение равнопеременного движения тела по окружности.

22. Центростремительное ускорение. 23. Поступательное движение твердого тела.

Для углублённого изучения: Степень свободы. Шесть степеней свободы твердого тела. Сложное движение тела.

2. Понятия динамики.25. Уравновешивание (компенсация) действия сил.26. ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА.27. Инертность. 28. Сила - причина ускорения. 29. Силы в

механике. 30. Закон упругой силы: F= - kх1

Для углублённого изучения: Колебательное движение.31. Закон трения. 32. Распределённые силы. 33. Сосредоточенные силы.34. ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА:35. Момент силы.Для углублённого изучения. Момент силы как причина углового

ускорения. Момент инерции - мера инертности при вращательном движении.

ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА ДЛЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ.

36. Сила - причина изменения направления скорости.37. ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА.38. Активные и пассивные силы.Для углублённого изучения: Связи. Возможные перемещения.

Силы реакции. Абсолютно твердое тело. Свойство сил, действующих на абсолютно твердое тело.

ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ.39. Сила тяжести. Движение под действием силы тяжести по

круговой орбите.Для углублённого изучения: Природа невесомости. Вторая и

третья космические скорости. Ускорение свободного падения на других планетах.

ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА.42. Неинерциальные системы отсчёта.Для углублённого изучения: Силы инерции. Эквивалентность

гравитационных сил и сил инерции. Рассмотрение силы веса в инерциальных и неинерциальных системах отсчёта.

43. Равновесие тел. 44. Деформация. 45. Упругие напряжения внутри тела. 46. ЗАКОН ГУКА.

3. Понятия по разделу "Законы сохранения".47. Импульс тела - количество движения. 48. Система тел.

1 В дальнейшем написание формул опускается.

49. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА В ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЕ.

Для углублённого изучения: Движение относительно центра масс. Реактивная сила. Движение тел переменной массы. Уравнение Мещерского (без вывода).

50. Механическая работа. 51. Мощность.Для углублённого изучения: Связь между моментом силы и

работой. Момент импульса. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА.52. Энергия.Для углублённого изучения: ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

ПРИ РАВНОМЕРНОМ ДВИЖЕНИИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ПО ОКРУЖНОСТИ.

53. Кинетическая энергия тела и системы тел.Для углублённого изучения: Вывод формулы. Кинетическая

энергия при сложном движении.54. Потенциальная энергия.Для углублённого изучения: Случаи зависимости и

независимости работы от формы траектории. Потенциальное поле.55. ЗАКОН СОХРЕНЕНИЯ ЭНЕРГИИ В МЕХАНИКЕ. 56. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ В

ОБЩЕМ ВИДЕ.Для углублённого изучения: Применение законов сохранения к

столкновению тел, центральный удар, косой удар, неупругий удар. Тема для повторения и закрепления:Особенности движения жидкостей и газов.

Частные понятия 1

Ниже приводится перечень частных понятий. Большинство из них использовалось в курсах природоведения, математики и физики VI - VII классов. Часть этих понятий встречается в VIII классе впервые, но они, как правило, формируются на основании главных, базовых понятий.

1Следует особо подчеркнуть тот установленный в результате исследования факт, что введение новых частных понятий не всегда увеличивает нагрузку на учащихся. Всё дело в той цели, для которой вводится понятие. Если частное понятие вводится для уточнения, углубления и закрепления базовых понятий, то оно работает на усвоение курса, облегчает это усвоение.

В перечне после номера базового понятия (без указания его названия) перечисляются опирающиеся на него частные понятия.

I. Частные понятия кинематики.1. Трёхмерное пространство. Единицы длины. Эталон длины.

2. Единицы времени. Эталон времени. Непрерывность времени. 3. Основные единицы. Производные единицы. 6. Геометрическая точка. 9. Относительность механического движения. Покой - частный случай движения. 10. Начало отсчёта. Координатная ось. Положение точки в пространстве. Координата тела. Проекция вектора на ось. 13. Прямолинейное движение. Криволинейное движение. 14. Непрерывность пути. 15. Модуль перемещения. Сложение перемещений. 16. Модуль скорости. Единица модуля скорости. Мгновенная скорость. Непрерывность скорости. Равномерное движение. Равномерное перемещение по прямой. Перемещение при равномерном движении. Сложение скоростей. Равномерное движение по кривой. Уравнения равномерного прямолинейного движения. 17. График скорости при равномерном движении. 19. Модуль ускорения. Единица модуля ускорения. Ускорения в прямолинейном движении. Ускорение в криволинейном движении. Ускорения свободного падения. Равнопеременное движение. Ускоренное движение. Замедленное движение. Уравнения равнопеременного движения. График скорости при равнопеременном движении. 20. Период вращения. Частота вращения. 21. Угол поворота радиуса - вектора - угловое перемещение тела. Радиан. Единица угловой скорости. 24. Ось вращения.

II. Частные понятия динамики57. Сила - векторная величина. Равнодействующая сила. 26. Инерциальное движение. Инерция. Инерциальные системы

отсчёта. Равноправность инерциальных систем отсчёта. 27. Масса как мера инертности. Плотность. Эталон массы и единица массы.28. Ускорение тела или его частей - следствие влияния других тел. 29. Единица силы. Гравитационные силы. Электромагнитные силы: силы упругости и силы трения. Независимость действия сил. 30. Абсолютное удлинение. Жесткость. Возвращающая сила. 31. Сила нормального давления. Коэффициент трения. Трение скольжения, качения, покоя. Вязкое трение. Сила сопротивления движению. 32. Сила давления. 33. Точка приложения силы. Сложение сил. Составляющие силы. 34. Ньютон. т -

количественная мера инертности. Р - равнодействующая всех приложенных к телу сил. Принцип относительности Галилея. Обратная задача механики. 35. Плечо силы. Момент пары сил. Сложение моментов сил. 36. Сила причина центростремительного ускорения. Центростремительная сила и её природа. 37. Линия действия сил. 38. Одновременность возникновения действия сил. 39. Гравитационная постоянная. Масса как мера гравитационных свойств тела. 40. Свободное падение. Ускорение свободного падения. Независимость свободного падения от массы. Вес тела. Невесомость и перегрузка. 41. Первая космическая скорость. 43. Условие равновесия. Виды равновесия. Центр тяжести (масс).44. Виды деформаций. Абсолютная и относительная деформации. Возникновение упругих сил как результат деформаций. 45. Натяжение. Сила натяжения. Напряжение. Давление. 46. Модуль Юнга. Коэффициент жесткости

III. Частные понятия по разделу "Законы сохранения "47. Изменение импульса. 48. Внешние и внутренние силы.

Замкнутая система. Масса системы тел. Центр масс. Импульс системы тел. 49. Скорость центра масс. Реактивное движение. Абсолютно неупругий удар. 50. Работа силы. Единица работы. Положительная и отрицательная работа. Работа сил трения, упругости, тяжести. 51. Единица мощности. Мощность при равномерном движении. 52. Кинетическая энергия. Потенциальная энергия. Единица энергии. 53. Связь изменения кинетической энергии с работой. Абсолютно упругий удар. 54. Уровень отсчёта. Связь изменения потенциальной энергии с работой. Полная механическая энергия. Консервативные системы. Золотое правило механики. Нарушение данного закона в случае действия сил трения. 56. Связь с законом сохранения энергии в механике. Потеря энергии. Другие формы энергии. Машина. Генератор. К.п.д. превращения энергии. Невозможность создания вечного двигателя. 57. Движение жидкостей и газов - движение сплошной среды. Текучесть. Элемент объёма. Плотность как масса элемента объёма. Вязкое трение. Гидростатика. Равномерное движение под действием перепада давления. Зависимость силы трения от скорости. Уравнение неразрывности струи; закон сохранения массы. Частный вид второго закона Ньютона. Статическое давление как плотность потенциальной энергии упругого взаимодействия частей сплошной среды в расчёте на единицу объёма. Гидростатическое

давление как плотность потенциальной энергии упругого взаимодействия частей сплошной среды в расчёте на единицу объёма. Давление, обусловленное скоростью жидкости как плотность кинетической энергии в расчёте на единицу объёма. Полное давление. Уравнение Бернулли;

ЗАКОН БЕРНУЛЛИ Силы, действующие на тела, движущиеся в жидкости.

Гидравлический удар. Вихревое движение.

ОБЩИЙ МЕТОД ФОРМИРОВАНИЯ ОСНОВ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ ПО ПРЕДМЕТАМ БАЗОВОГО СРЕДНЕГО

ОБРАЗОВАНИЯ

А.М. Кливасов НИИ развития образования

Анализируемый ниже метод – метод формирования знаний об окружающем мире через выделение неизменных во времени, постоянных характеристик различных явлений природы – относится ко всем типам учебных заведений, независимо от ступени познания окружающего мира учащимися. К данному методу продуктивно прибегают многие ученые и специалисты по любому предмету, т.к. он естественным образом, нередко подсознательно, вписывается в их творческую деятельность.

Практика убедительно показала, что именно этот метод должен быть в первую очередь положен в основу обязательных требований изложения материала в учебниках. Значимость указанного метода будет проанализирована на примере эффективного использования постоянной для всех идеальных газов

величины или , (1)

Где Р – давление газа, V – объем газа, N – число молекул в нем, T – температура по Кельвину, k – постоянная Больцмана.

Сначала кратко напомним, что понимают физики под явлением.

Явление – любое изменение, являющееся следствием нарушения устойчивого равновесия между физическими объектами.

Как же можно осознать, познать изменение – понять природу того, что изменяется в пространстве и времени? Можем ли мы в этом случае оценивать по существу явления, если они по самому определению являются изменениями в природе?

Давайте вместе с учащимися постараемся ответить на более простой, незамысловатый вопрос: когда можно вполне определенно назвать цвет поверхности классной доски или цвет любого окружающего предмета, если вы уже знакомы с цветами и для ответа вам совсем не следует прибегать к раскрытию природы их возникновения. В такой постановке ответ на поставленный вопрос напрашивается сам собой следующий: за время наблюдения цвета он должен оставаться постоянным – одним и тем же, то есть цвет не должен меняться на ваших глазах.

Не изменяющиеся характеристики любой науки играют особую и весомую роль. Без их усвоения качественное целенаправленное продвижение в познании прогрессировать не будет – оно тормозится.

Всевозможные изменения в многоликом мире не являются изменениями всего. Что-то остается неизменным.

Оказывается, при определенных условиях остаются неизменными почерки каждого явления и их сосредоточенное лицо, выражение которого одновременно отвечает совокупности родственных явлений. Физики говорят иначе: «Остается неизменным подчинение при определенных условиях отдельных явлений устойчивым реальным закономерностям и объективным фундаментальным законам, дающим возможность грамотно подойти к объяснению родственных явлений с единой обобщенной точки зрения, их объяснению не только снизу, но и сверху».

В связи с этим, крайне полезно с самого начала с указанием границ использования уравнения (1) специально акцентировать внимание учащихся на эффективности его использования для большого ряда разнообразных целей в качестве исходного уравнения в силу постоянства отношения для всех идеальных газов. Например, для

1) установления естественной меры температуры, величины строго постоянной при установлении теплового равновесия в любой части изолированной (не взаимодействующей с другими телами) системе тел.

Примечание. Следует обратить внимание учащихся на тот факт, что прекращение изменения давления во всех идеальных газах при наступлении теплового равновесия совсем не означает, что давление в них будет одинаковым. Такое толкование является ошибочным.

Любой параметр P, V, N, входящий в уравнение (1), при установлении равновесия может изменяться, кроме величины, измеряемой отношением произведения давления газа на его объём

к числу частиц в нём: . Последний факт многочисленное

число раз проверялся и неоднократно экспериментально подтверждался.

Конечно, в отличие от давления и объёма, число молекул определить непосредственно экспериментальным путём не представляется возможным. Указанное число легко определить, используя уравнение (2),

N = NA = (m/M)NA = (V/M) NA (2)

то есть, зная количество вещества и постоянную Авогадро NA, или зная массу газа m, постоянную Авогадро NA и молярную массу M, или зная плотность вещества , его объём и постоянную Авогадро NA;

2) Для введения абсолютной (только положительной) температурной шкалы (в градусах), не зависящей от вещества, используемого для измерения температуры (через параметры идеального газа).

Нулевая температура по абсолютной шкале соответствует абсолютному нулю, а каждая единица температуры по этой шкале кельвин ничем не отличается от градуса Цельсия;

3) Установления связи между основным уравнением молекулярно – кинетической теории идеального газа:

и уравнением состояния: и на основании этого

формулирование важнейшего следствия о том, что абсолютная температура есть мера средней кинетической энергии движения молекул.

Поскольку кинетическая энергия положительна, то абсолютная температура, действительно, всегда положительна и

отсчитывается только выше нуля. - есть соотношение между

джоулем и градусом. Численно 2.

Подчеркнём ещё раз, что соотношение между температурой и средней кинетической энергией установлено для разреженных газов, но оно оказывается справедливым для любых веществ, у которых движение атомов или молекул подчиняется законам механики Ньютона. Оно верно для жидкостей, а также и для твёрдых тел, в которых атомы могут лишь колебаться возле положения равновесия в узлах кристаллической решётки. С точки зрения молекулярно-кинетической теории понятие температуры оказывается справедливым только для тел в обычном понимании этого слова, то есть для тел, состоящих из атомов, молекул, ионов.

Как ни странно, исходное уравнение состояния (1), в отличие

от уравнения , является более частным – оно строго

справедливо только для идеальных газов, поэтому использовать данное уравнение не всегда уместно. Например, при подсчёте числа молекул в любом веществе. Тем не менее, крайне полезно обратить внимание на тот факт, что только при рассмотрении процессов, происходящих с газами, рассматриваемое уравнение играет такую же роль, какую играют законы Ньютона при изучении движения

тел. Постоянство отношения реально продиктовано самой

природой всех идеальных газов – независимо от их молекулярной массы;

4) Установления зависимости давления газа от концентрации

его молекул n= N/V и температуры Т: , отсюда ;

5) Вывода уравнения Менделеева-Клапейрона :

, отсюда , , где .

По сути, выражение произведения через количество вещества , число Авогадро NA и через произведение - это вторая форма записи уравнения состояния (1), а его выражение через

2 Традиционно принято сохранять множитель 3/2, а не 1,5, и его не перемножать с другим числом 1,38 10-23.

массу газа m, молярную массу М и через произведение - есть третья форма записи уравнения состояния;

6) Для вывода уравнения Клапейрона, из которого вытекает связь трех макроскопических параметров идеального газа P,V,T для

двух любых его состояний: .

Для одной и той же массы данного газа можно записать:

, отсюда

, отсюда .

При неизменном числе молекул получаем: .

По сути, это четвертая форма записи уравнения состояния;7) Вывода закона Бойля-Мариотта: при

(изотермический процесс) и ν1= ν2 = ν= . Формула

данного закона легко выводится из уравнения Менделеева-Клапейрона или уравнения Клапейрона:

или из следует при ;

8) Вывода закона Гей-Люссака: при

(изобарический процесс). Формула закона Гей-Люссака по-прежнему также легко выводится из указанной ранее в предыдущем пункте системы уравнений при ;

9) Вывода закона Шарля: при (изохорный

процесс).Формула закона Шарля также легко выводится из прежней

системы уравнений (см.п.7) при ;10) Вывода закона Авогадро для идеальных газов: в равных

объемах ;

11) Вывода закона Дальтона для смеси газов в объеме V: .

В соответствии с особенностью агрегатного состояния каждый газ самопроизвольно распространяется на весь объем V, поэтому

.

Используя, как и ранее, уравнение (1), запишем для каждого

газа их давления: , , , … .

В случае теплового равновесия .Сложив почленно левые и правые члены, получим:

,

, где - суммарное, общее число молекул в

газе, а - сумма парциальных давлений в смеси газов.

Следовательно, в случае теплового равновесия, давление смеси газов равно сумме парциальных давлений каждого из газов;

12) Для иллюстрации возможности введения общего, значимого понятия на основании явно частного уравнения. В нашем случае – использование исходного уравнения состояния идеальных газов (1) для введения широкого понятия температуры – однозначной, определенной характеристики полного теплового равновесия между различными телами изолированной системы. Между прочим, в физике такой прием не является единственным, уникальным исключением.

Уточним, что понятие температуры вообще не ограничивается ее определением с точки зрения молекулярно-кинетической теории. В ней она формируется, как отмечалось ранее, мерой средней кинетической энергии молекул. Последняя не зависит ни от сорта идеальных газов, ни от их объема и давления, ни от числа молекул в них, ни от формы резервуара с ними.

С точки зрения термодинамики понятие температуры имеет еще более общий смысл. Это понятие применимо не только для систем макроскопических тел. Она по-прежнему является энергетической характеристикой и одновременно показателем полного теплового равновесия среды, степени ее нагретости.

В указанной трактовке понятие имеет тенденцию к его интерпретации на более широкий круг различных равновесных явлений. В результате оно оказывается приемлемым не только к телам в обычном их смысле, но и к другим средам. Например, к электронному газу, электромагнитному излучению (фотонному газу), атомным ядрам и т.д., также находящимся в тепловом равновесии, т.е. когда сколько энергии излучается изнутри среды, столько и поглощается извне, и наоборот.

Примеры эффективного использования уравнения состояния (1) можно творчески продолжить. Для иллюстрации последнего в данной статье ограничимся приведенными выше примерами. По объективной причине перегрузка методических статей и пособий учебным материалом непрямого назначения снижает их основную учебную ценность, если этот материал не вызывает у учащегося устойчивого интереса. Искусственно, без предварительного продумывания поспешно включать в программный материал дополнения явно преждевременно, даже если их физическая суть и очень ценна по содержанию. Последнее мало приемлемо даже при изложении вопросов чисто теоретической физики.

Практика убеждает, что с точки зрения методики обучения дополнительная информация всегда нуждается в тщательном просеивании не только по уровню ценности ее содержания, но и по перспективе усиления интереса и степени учета возможностей усвоения отобранного материала конкретной категорией учащихся. По этой причине в данной статье «Примечания» и «Замечания» делаются не столько для расширения знаний, сколько для их углубления с целью повышения интереса к изучению материала.

Методы измерения температуры.Замечание: При наличии свободного времени, например, на

дополнительных занятиях, полезно более обстоятельно остановиться на методах измерения температуры.

Заметим, что температура не может быть измерена непосредственно. Об изменении температуры судят по изменению других удобных для измерения физических свойств (на практике, чаще всего, объема ртути или спирта за счет их теплового расширения, давления газа, электрического сопротивления проводников и полупроводников, э.д.с., интенсивности излучения, скорости звука и др.), однозначно с ней связанных, по изменению так называемых термодинамических свойств. При этом любой метод измерения температуры связан с определением температурной шкалы.

На практике все термометры, такие как ртутные, спиртовые, термометры сопротивления, термопары и т.п. градуируются с помощью газового термометра, который служит, таким образом, эталонным прибором. В баллоне этого термометра в качестве термометрического тела берется водород. Этот выбор не случаен. Оказывается, что показания водородного термометра точнее, чем

газового термометра, баллон которого заполнен любым другим газом. Показания указанного термометра ближе к показаниям, которые дал бы газовый термометр с идеальным газом.

При абсолютном нуле теряет смысл понятие идеального газа, он вырождается (соотношение оказывается несправедливым и соответственно использовать газовый термометр не имеет смысла).

Методы измерения температуры различны для разных диапазонов измеряемых температур, они зависят от условий измерений и требуемой, диктуемой точности. Их можно разделить на две основные группы методов: контактные (именно термометрия) и бесконтактные, оптические (термометрия излучения или пирометрия).

К сожалению, авторы школьных учебников и абсолютное большинство учителей указывают лишь контактные методы измерения температуры. В результате у учащихся создается ошибочное представление о том, что температура измеряется только контактными методами, для которых характерно то, что прибор, измеряющий температуру среды, должен находиться с ней в тепловом равновесии, т.е. иметь с ней одинаковую температуру.

Для учащихся остается совершенно непонятным вопрос о том, как же проводится измерение высоких температур, при которых современные чувствительные элементы термометров существовать не могут3, а также как измеряется температура в удаленных, неконтактных с термометром средах. В связи с этим, учащимся уместно сообщить о том, что с помощью пирометров – приборов для измерения температуры непрозрачных нагретых тел по интенсивности их теплового излучения в оптическом диапазоне спектра - можно определить температуру недоступных тел, например, поверхности звезд.

Подводя итог кратким сведениям о бесконтактных методах, подчеркнем, что почти все они основаны на измерении интенсивности теплового излучения тел (иногда - поглощения).

В заключение отметим, что понятием температуры люди пользовались задолго до выяснения истинного смысла температуры. Исторически ее начали измерять в градусах.

3 При температурах более 3000оС методы пирометрии становятся практически единственными методами измерения температуры.

Последнее связано еще и с тем, что порядок измерения температуры в энергетических единицах очень малая величина – порядка 10-21 в системе СИ.

В принципе, величину равную для всех идеальных газов

отношению можно было бы с самого начала считать

температурой в энергетических единицах. Опыты подтверждают, что значение θ зависит от состояния нагрева и для идеальных газов не зависит ни от сорта газа (их молярных масс), ни от объема резервуара и давления газа в нем, а также от числа частиц в нем и формы резервуара.

С помощью термометра был открыт важный закон природы – закон теплового равновесия.4 Состоит он в следующем: Если в изолированной (не взаимодействующая с другими телами) системе тел, температуры тел в какой-то момент времени различны, то через некоторое время их температуры станут одинаковыми, автоматически самопроизвольно выравниваются во всех частях сколь угодно сложной термодинамической системы. О такой системе говорят, что она находится в состоянии теплового равновесия. После установления теплового равновесия температуры тел уже изменяться не будут. Изменяться они могут лишь в результате внешнего воздействия.

С тепловым равновесием так или иначе связано само измерение температуры.

Перспективность использования метода.Опираясь на непосредственный опыт работы в школе, кратко

подчеркнем перспективность использования анализируемого метода с целью познания явлений природы.

По существу, постоянными характеристиками мы не игнорировали с первых шагов познания окружающего мира, вначале подсознательно, затем анализировали их, стараясь дать им обоснованные определения.

Конечно, постоянные характеристики относятся не только к явлениям природы, но и к отдельным веществам, телам, системам и т.п. Так, например, на первой ступени изучения физики вводится постоянная величина, характеризующая различные вещества –

плотность: , где m – масса тел, V – их объем могут меняться,

но их отношение для данного вещества (алюминия, железа,

4 См. «Физика-10» А.К. Кикоин и др. М.1992,с.23-24.

серебра, золота, ртути и т.д.) остается постоянным. Именно благодаря этой особенности для подобных величин составляются специальные таблицы и не только в физике.

Приведем еще примеры. Для решения основной прямой задачи механики: определения положения тел (их координат) при равномерном движении вводилась постоянная величина – скорость равномерного движения; при равнопеременном движении – постоянное ускорение. Для характеристики других явлений вводился ряд других специфических постоянных.

Подводя итог изложенному, заметим, что для осознания, познания прозрачности объективного мира, различных явлений в нем еще раз подчеркиваем: введение и выделение постоянных характеристик просто необходимо. Интересно, что изменение физических констант, именуемых универсальными, диктуются изменениями целых галактик. В этом случае, мы вынуждены будем прибегать к формированию иных представлений путем введения новых констант.

Физические закономерности и законы.Физика отличается от других наук тем, что при изучении

свойств всего, что реально существует в мире, на Земле и вне Земли, вводятся физические величины, которые можно измерять и выражать числами. Поэтому и ход явлений, и связи между ними выражаются математическими формулами (соотношениями между введенными величинами).

К сожалению, самые важные соотношения между величинами, характеризующими свойства реального мира - свойства материи, нередко именуют физическими законами.

Конечно, указанные соотношения отражают в первом приближении закономерности и законы реальных явлений природы. Но всего лишь отражают, а не являются ими. Формирование физических величин, установление связи между ними, анализ этих связей зависят от нашего сознания, а физические закономерности и законы - нет, они реальны, т. к. последние не определяются нашим сознанием, а диктуются при определённых условиях стандартами самой природы. При этом саморегулирование может быть очень сложным. Так, например, факты убедительно доказывают существование на Земле естественного природного ядерного реактора – устройства

(атомного котла), в котором осуществляется управляемая ядерная цепная реакция, сопровождающаяся выделением энергии.

Справка. В начале 70-х годов двадцатого столетия на урановом руднике Окло, расположенном в Габоне вблизи города Франсфиля (Африка), были обнаружены следы действия около двух миллиардов лет назад природного ядерного реактора. Средняя продолжительность работы этого реактора составила 0,6 млн. лет. Выработанное им общее количество энергии по оценкам сегодняшнего дня составляло столько, сколько вырабатывают два блока Ленинградской АЭС за 2,3 года при полной нагрузке. Чтобы продолжительность работы реактора была столь большой, необходимо было автоматическое воспроизводство «сгоревшего» урана. Всю «автоматику» работы реактора обеспечивала сама природа.

Образно говоря, физический закон является не умозрительным, а природным стандартом процесса саморегулирования обширного круга родственных явлений и соответственно теоретического толкования и объяснения их частных закономерностей с единой точки зрения.

Закономерность также является природным стандартом процесса саморегулирования явлений, но, в отличие от законов, более частным.

Законы физики исторически назывались законами природы. С самого начала они открывались и сейчас открываются не умозрительным, а строго только опытным путём, хотя теоретический анализ и составление физических величин при этом безусловно имеют место. Любое предсказание теории должно быть подтверждено опытом. Так, первоначально опытным путём устанавливались рассмотренные выше все газовые законы. В настоящее время эти «законы» легко получаются как следствия из общих уравнений. Традиционно они по-прежнему исторически справедливо называются законами.

Любой стандарт обладает устойчивым постоянством, поэтому подобно тому, как природа выбирает стандарт саморегулирования явлений, так и человек должен стремиться к выбору столь же эффективных и устойчивых стандартов образования.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ В КУРСЕ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

К.Н. Лунгу

Московский государственный открытый университет

1. Метод неопределенных коэффициентов в самом простом виде проявляется в арифметике при определении неизвестного члена (коэффициента) пропорции: если А:Х=С:Д, то Х=АД:С. Дальнейшее развитие метода «неопределенных коэффициентов» происходит во всех разделах школьной и высшей математики, а также во многих естественных и технических науках. Цель данной статьи состоит в частичной систематизации применения этого метода в элементарной и высшей математики. При этом, в некоторых случаях он имеет существенное преимущество перед приемами специально разработанными для решения тех или иных задач. Для самих студентов этот метод представляет собой важный элемент творческой деятельности, поскольку он позволяет получить собственные «открытия», реализуя результаты собственных наблюдений, поисков и выводов. Метод неопределенных коэффициентов появляется в высшей математике как способ разложения правильной рациональной функции в виде суммы простейших дробей. Далее, этим приемом «подбирают» частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

2. Покажем для начала, как учащиеся (студенты) могут найти корни квадратного уравнения . Ясно, что можно ограничиться случаем приведенного уравнения . Если исходное уравнением имеет два корня и , (подчеркнем, что речь идет не о новом методе решения квадратного уравнения, а о «собственных открытиях» учащихся старших классов или слушателей подготовительных отделений или курсов), то:

. Из сравнения правой и левой частей следует, что

.После извлечения квадратного корня из первого равенства

последней системы (при условии положительности правой части), получаем (при условии неотрицательности правой части первого равенства):

Последующее сложение или вычитание соответствующих уравнений этой системы и согласования знаков перед радикалом приводит к известным формулам решения квадратного уравнения.

Из равенства очевидным образом получаем .

3. Эффективен метод неопределенных коэффициентов при делении многочленов, заменяя известный прием деления в столбик. В качестве примера отметим лишь, что деление многочлена

на многочлен сводится к нахождению «неопределенных» коэффициентов А, В, С, Д, Е и F из равенства

.

В разделе «Построение графиков» методом неопределенных коэффициентов легко найти наклонную асимптоту графика функции, не прибегая к вычислению параметров асимптоты при помощи пределов.

4. Известно, что доказательство некоторых равенств, относящихся к сумме степеней натуральных чисел можно осуществить при помощи метода математической индукции. Этим способом можно доказать, например, равенства:

;

;

;

Но метод математической индукции, не позволяет установить правую часть каждого равенства. Метод неопределенных коэффициентов позволяет решить подобные задачи. Покажем действие метода на конкретном примере.

Методом неопределенных коэффициентов найдем, например, сумму:

.Существуют числа А, В, С и D такие, что

. Это равенство есть тождество по n. Напишем его частные

случаи:

1) n=1: А + В+ С+ D =2; 2) n=2: 8A+ 4В+2C+ D = 8;

3) n=3: 27А+ 9В +3C+ D= 20; 4) n=4: 64A+16B+4C+ D= 40.

Получена основная система уравнений, из которой: А=1/3 В=1; С= 2/3; D=0.

Тем самым: = .

5. Методом неопределенных коэффициентов легко найти

суммы некоторых рядов. Например. Найдем S= .

Имеем

.

Отсюда, переходя к пределу, следует, что S=3.6. К методу неопределенных коэффициентов можно отнести

задачу определения элементов обратной матрицы для данной невырожденной матрицы А. Эта задача сводится к решению n линейных уравнений с n неизвестными, причем все системы имеют одинаковую основную матрицу А. При решении соответствующих систем обнаруживается, что элемент обратной матрицы совпадает с соответствующим алгебраическим дополнением симметричного элемента исходной матрицы, деленным на detА.

7.Открытиями студентов являются, например, интегральные формулы

1) 2) 3) ;4) ;

5) ;

6). ;

7) ;

8) .

Заметим, что список интегралов, которые можно брать методом неопределенных коэффициентов может быть существенно расширен. Смысл приведенных формул и многих других (которые не приводим из-за ограниченности объема статьи) состоит в том,

что все они являются результатами наблюдений и выводов, логических заключений, составляя «собственные открытия», студентов наших вузов). Часть студентов увлечена творческой математической деятельностью и почти по всем разделам высшей математики проявляют удивительную активность, особенно в открытии «новых методов решения задач», а также в составлении задач.

В заключении отметим лишь, что этот метод применим при делении рядов, в теории аппроксимации (построение аппроксимаций Паде, сплайнов, бисплайнов), в вопросах сглаживания эмпирических данных, в статистике и в других разделах высшей математики. Мы относим эту деятельность студентов к творческой.

8. Если метод неопределенных коэффициентов сводится к решению некоторой системы уравнений, то саму систему можно называть математической моделью этого метода. Например, при делении рядов приходится иметь дело с решением бесконечной системой линейных уравнений с бесконечным (или достаточно большим) числом неизвестных. Именно, частное от деления ряда

на ряд есть ряд такой, что

( )

После раскрытия скобок в левой части этого равенства и сравнения коэффициентов при одинаковых степенях в его обеих частях (при условии ) получаем бесконечную однозначно разрешимую треугольную линейную систему относительно неизвестных { } (по крайней мере можно найти любое количество ее неизвестных), а соответствующий рад сходится в окрестности точки х=0.

9. Другие, не столь очевидные возможности применения метода неопределенных коэффициентов, относятся к интегрированию выражений, предусмотренных для интегрирования по частям. Наблюдения за результатом дифференцирования некоторых произведений, позволяют студентам выдвигать гипотезы о возможности интегрирования соответствующих функций методом неопределенных коэффициентов. Приведенные ниже формулы «открыты» студентами МИЭМ, РЭА им. Г.В.Плеханова, МГОУ (где работал автор в разные годы). Их

применение упрощают схему интегрирования по частям, уменьшают вероятность ошибки и относятся к алгоритмическим задачам.

10. Метод неопределенных коэффициентов находит широкое применение в «Теории аппроксимации». В частности, разложение функции в степенной ряд или ряд Фурье практически представляет собой своеобразный метод неопределенных коэффициентов. Создание искусственных аппаратов аппроксимации (приближения) функций, различные формы усреднений, также основаны на идее применения метода неопределенных коэффициентов. Сейчас затронем более частную, но и более сложную проблему. Из «Конструктивной теории функций» известно, что полиномиальная (многочленная) аппроксимация как вещественнозначных так и комплекснозначных функций менее эффективна, чем аппроксимация рациональными функциями. К сожалению, получить рациональные функции, наилучшего приближения для данной (произвольной) функции практически невозможно. Вместе с тем для аналитических функций комплексной переменной существенно эффективнее принимать в качестве средства аппроксимации рациональные функции Паде. Аппроксимации Паде представляют собой своеобразное обобщение многочленов Тейлора, дающих наилучшее локальное (в окрестности центра разложения) приближение данной аналитической функции.

Если – элемент аналитической функции,

сходящийся в окрестности начала координат, то аппроксимация

Паде определяется из соотношения

,где правая часть представляет собой ряд, начинающийся со

степени n+m+1.Метод неопределенных коэффициентов определения

многочленов сводится к решению линейной системы из (m+n+1) уравнений с (m+n+1) неизвестными. К сожалению, эта система не является треугольной, как в случае «деления рядов», её решение требует привлечения ЭВМ и соответствующее программное обеспечение. Одна из важных и сложных проблем, связанных с аппроксимацией Паде состоит в исследовании зависимости нулей и особенностями f(z) [3].

11. К методу неопределенных коэффициентов примыкает еще одна «Аппроксимационная проблема». Сглаживание поверхностей является важной научной проблемой. Движение транспортного робота зависит от того, как он воспроизводит поверхность, на которую должен передвигаться (например, по Лунной или Марсианской поверхности). Проблема об аппроксимации функции двух переменных кубическими бисплайнами, решенная нами [1] также имеет отношение к методу неопределенных коэффициентов. Аппроксимация сплайнами, бисплайнами и аппроксимации Паде представляют собой интегративный курс, который автор читает в качестве «Дополнительных глав ТФКП» в МГОУ на факультете «Прикладная Математика». В этот же курс внесены некоторые вопросы применения рациональных аппроксимаций в проблемах экономики [2]

В заключении можно отметить, что много направлений, где метод неопределенных коэффициентов остались не названными. Все эти направления представляют для студентов широкие возможности проявления самостоятельности, формирования и развития творческого мышления и творческой деятельности.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК:

1. Жуков С.А., Лунгу К.Н.. Об одном способе представления внешнего мира транспортного робота. // Конференция «Теория систем и разработка АСУ». Москва.: МИЭМ, 1982,-с.61.

2 Лунгу К.Н. О некоторых уточнениях, связанных с аппроксимациями при исследовании временных рядов. // Анализ развития социально–экономических систем на основе моделирования. Межвузовский сборник. М.: 1988, -с.91–94.

3. A.A. Gonchar, K.N. Lungu. Poles of Pade approximants and the analytic continuation of functions. // Math. USSR Sbornic. Vol. 39 (1981), №2, 255–266.

СРАВНЕНИЕ КАК МЫСЛИТЕЛЬНЫЙ ПРИЕМ В КОМБИНАТОРИКЕ

К.Н. Лунгу

Московский государственный открытый университет

1. Еще древние мыслители утверждали: сравнение - мать познания. Народ метко выразил это в пословице: «Не узнав горя, не узнаешь и радости». Нельзя узнать, что такое хорошо, не зная плохого, нельзя понять малого без большого и т.п. Все познается в сравнении. В психологической литературе «сравнение» рассматривается как умственная операция, умственное действие. В процессе мыслительной деятельности человек познает окружающий мир с помощью особых умственных операций, составляющих различные взаимосвязанные и друг в друга переходящие стороны мыслительного процесса.

Таковыми являются сравнение, анализ и синтез, абстракция, и обобщение. Все эти операции являются различными сторонами основной операции мышления – «опосредования», т.е. раскрытия всё более существенных объективных связей и отношений ([4]; стр.324).

В методической литературе «сравнение» рассматривается как метод математического исследования в совокупности с названными мыслительными действиями, присоединяя к ним наблюдение и опыт ([3]; стр. 37).

Сравнение есть установление сходства и различия объектов. Сравнение лежит в основе многих естественно–научных измерений, составляющих неотъемлемую часть любых экспериментов. О сравнении в процессе познания ярко свидетельствует известный афоризм: «Всё познаётся в сравнении».

Сравнивая объекты между собой, человек получает возможность правильно познавать их и тем самым правильно ориентироваться в выбранном направлении. Будучи необходимым приемом познания, сравнение играет важную роль в практической деятельности человека и в естественно–научном исследовании, когда сравниваются действительно однородные и близкие по своей сущности объекты. Нет смысла сравнивать, как говорят, фунты с аршинами.

Сравнение как метод познания основано на следующие принципы:

–сравнение должно иметь смысл, т.е. сравнивать можно только такие объекты, которые имеют определенную связь друг с другом;

–сравнение должно проходить планомерно, т.е. в объектах подлежащих сравнению следует выделить те свойства, по которым проводится сравнение;

–сравнение математических объектов должно быть полным, т.е. доведенным до конца ([3]; стр. 40).

К.Д.Ушинский считал, что в дидактике сравнение должно быть основным приемом. Сравнение как весьма общий прием познания часто выступает в математике как метод исследования и как прием мышления.

По словам С.Л.Рубинштейна: «Сравнение, сопоставляя вещи, явления, их свойства, вскрывает их тожество и различия. Выявляя тожество одних и различия других вещей, сравнение приводит к их классификации. Сравнение является часто первичной формой познания: вещи сначала познаются путем сравнения. Это вместе с теми элементарная форма познания. Тожество и, основные категории рассудочного познания, выступают сначала как внешние отношения. Более глубокое познание требует раскрытия внутренних связей, закономерностей и существенных свойств. Это осуществляется другими сторонами мыслительного процесса или видами мыслительных операций – прежде всего анализом и синтезом» ([4], стр.324).

Далее, пишет С.Л.Рубинштейн: «Анализ расчленяет проблему; синтез по–новому объединяет данные для ее разрешения. Анализируя и синтезируя, мысль идет от более или менее расплывчатого представления о предмете к понятию, в котором анализом выявлены основные элементы и синтезом раскрыты существенные связи целого. Анализ и синтез, как и все мыслительные операции, возникают сначала в плане действия. Теоретическому мыслительному анализу предшествовал практический анализ вещей в действии, которое расчленяло их в практических целях. Точно также теоретический синтез формировался в практическом синтезе, в производственной деятельности людей. Формируясь сначала в практике, анализ и синтез затем становятся операциями или сторонами теоретического мысленного процесса».

Из исследования С.Л Рубинштейном сторон мыслительной деятельности следует, что мыслительные действия «анализ» и «синтез» как учебные приемы, касаются теоретического познания. Обучаемый должен владеть некоторой теоретической

информацией, в частности, определениями, интерпретациями, утверждениями, формулами, следствиями и начальными применениями. В алгебре синтезируем алгебраические объекты, составленные из чисел, букв и символов при помощи действий и знаков; анализируем формулы, уравнения, неравенства, их структуру, содержание, свойства и так далее. В геометрии выполняем аналогичные мыслительные действия над точками, отрезками, углами, фигурами, геометрическими объектами и понятиями.

2. Цель данной статьи состоит в том, чтобы раскрыть роль «сравнения» как первичную форму познания в обучении комбинаторике. «Комбинаторика» как «наука» рассматривает специфические «комбинаторные объекты» (особые комбинации, соединения, подмножества, состоящие из элементов данных конечных множеств). Их составы могут быть определены и изучены только путем сравнения. При этом в комбинаторике необходимо найти количество этих «специфических» множеств. «Комбинаторика» как отдельная учебная дисциплина еще не оформлена, но она составляет важный и необходимый вспомогательный раздел для дискретной математики теории вероятностей и математической статистики и других самостоятельных дисциплин. При вычислении вероятностей случайных событий по определению студенты встречают трудности, связанные с нахождением числа возможностей, вариантов благоприятствующих рассматриваемому событию. Именно такие задачи позволяет решать раздел комбинаторика.

Сложность комбинаторных задач состоит в том, что множества, фигурирующие в этих задачах многочисленны и громоздки, они не поддаются обзору и нередко вызывают «хаос и сумбур» в сознании решающего. Словесная реакция на это выражается так: «не могу думать», «нечем думать». Второе выражение психологически вполне обоснованно: в комбинаторике, как правило, рассматриваются три основные понятия. Это – «Размещения», «Перестановки» и «Сочетания». Вместе с тем, при решении конкретной задачи, определить какое из названных понятий приемлемо для её решения не проще, чем решение самой задачи без привлечения какого-либо понятия.

Таким образом, если человек мыслит понятиями, то для начала в комбинаторике на самом деле мыслить нечем. Поэтому выводы

необходимо делать на основе суждений и умозаключений. Суждение – это форма мышления, содержащая утверждение или отрицание какого-либо положения относительно предметов, явлений или их свойств; это отражение связей между предметами, или их свойствами и признаками, которые устанавливаются эмпирическим образом, т.е. на основе опытного, эмпирического материала. От единичных, частных суждений можно переходить к общим суждениям.

Умозаключение – такая форма мышления, в процессе которой человек, сопоставляя и анализируя различные суждения, выводит из них новое суждение.

Сравнение как типичная процедура сопоставления групп объектов, позволяет выявлять тождества, степени различия, что, в свою очередь даст возможность делать выводы об аналогии, степени сходства, проводить процесс классификации и на этой основе ввести те понятия, которые назвали выше и впоследствии применять их в операциях теоретического мышления.

3. Цель следующих задач состоит в том, чтобы знакомить студентов с возможными постановками простых комбинаторных задач и наметить пути подхода к их решению.

Задача 1. Сколько различных слов можно составить при помощи всех букв данного слова (при этом смысл самих слов не имеет значения): а) книга; б) трубач; в) стружка; г) ананас; д) математика; е) комбинаторика? ж) абракадабра?

Задача 2. В 10-ом классе данной школы изучают 12 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник, включая в нем 6 предметов из 12.

Пояснение. Два расписания считаются различными, если они отличаются друг от друга либо хотя бы одним предметом, либо их порядком.

Задача 3. В аудиторию зашли 5 студентов. Сколькими способами они могут располагаться, если в аудитории имеется 10 свободных мест?

Задача 4. Сколькими способами могут заниматься 5 свободных мест в автобусе десятью пассажирами, вошедшими на данной остановке?

Задача 5. Пять человек устраиваются на работу. Сколькими способами они могут занимать пять равноценных рабочих мест,

если каждый из них может одинаково выполнять любой вид работы?

Задача 6. Сколькими способами можно составить букет, содержащий 5 роз из 20 цветков, имеющихся в вазе?

Задача 7. В вагон метро на начальной станции зашли 80 человек. Сколькими способами эти пассажиры могут выйти из вагона на протяжении всего маршрута, имеющего 15 остановок?

Задача 8. Сколько различных натуральных чисел, меньших, чем миллион, которые делятся на 3, можно записать при помощи цифр 0, 1, 2?

Задача 9. Сколько всего существует вариантов выбора трех карандашей из стакана, в котором находятся десять карандашей?

Из приведенных задач видно, что основной вопрос задачи можно формулировать так: «Сколькими способами?» или «Сколько всего существует вариантов?».

4. Знакомясь с различными постановками комбинаторных задач, следует заметить, что вычислительным аппаратом их решения является арифметика: решение каждой такой задачи сводится к выполнению арифметических действий (как правило, сложение и умножение) над целыми числами и результат есть целое число.

Сложность их решения на самом деле состоит в сложности построения математической модели, которая не сводится к уравнениям или системам. Математическая модель комбинаторной задачи является арифметической и её построение сводится к выписыванию всех множеств, о которых идет речь в задаче. Это и начинают делать студенты сразу после знакомства с задачей: написать различные слова при помощи букв данных слов в задаче 1 (правда, особые сложности возникают при наличии одинаковых букв в одном слове), составляют различные расписания в задаче 2 и так далее. Это оправдывает то, что человек начинает мыслить практически, эмпирически, ручкой. Но попытки не результативны из-за многочисленности вариантов, комбинаций.

Имеем проблемную ситуацию. Следовательно, нужен особый подход к решению подобных задач. Единственная возможность состоит в том, чтобы рассмотреть те же задачи, но с меньшим числом искомых множеств и выработать методику определения их количества. Сами множества можно выписать непосредственно, эмпирически. Например. Если в задаче 1 брать слово «кни» вместо

«книга», то все слова следующие: кни, кин, инк, икн, ник, нки. Получили арифметическую модель (нас не интересуют сами слова, а их число), состоящую из 6 слов (вариантов, комбинаций). Это число можно получить, например из замечания: каждая из трех букв расположена дважды на первом месте. Поэтому имеем 2+2+2=3·2=6.

Аналогично, можно рассматривать задачу о составлении расписания, состоящего из 3 уроков, исходя из 5 предметов в задаче 2. Рассуждения можно проводить так. На место первого урока можно записать один из 5 уроков, что приводит к 5 вариантам (возможностям). Один урок занят, один предмет использован. Остается составить расписание из двух уроков, используя два предмета. Второй урок можно выбрать 4 способами. И здесь возникает «ключевое место комбинаторики», т.е. основной вопрос: сколько существует двух урочных расписаний?

Предложение: «каждый из 5 вариантов выбора первого урока совместим со всеми 4-мя вариантами выбора второго» является на самом деле определением произведения чисел 5 и 4. Значит, если понято, что из 5 предметов можно составить 20 двух урочных расписаний, то легко понять и следующий шаг: «каждый из 20 вариантов двух урочных расписаний совместим с каждым из 3 вариантов выбора третьего урока», взятого из оставшихся 3-х предметов. Искомое число равно 60 и важнее даже то, что это число равно произведению трех чисел: 5, 4 и 3.

Эти рассуждения лежат в основе вычисления трех комбинаторных величин: число размещений, перестановок и сочетаний, которые можно определить, как множества, получаемые в тех или иных задачах.

Переходя от простых задач к более сложным, используя индукцию можно решить конкретные комбинаторные задачи. В них обнаруживают одинаковость множеств по тому или другому признаку. При помощи «анализа», как приема мыслительной деятельности, можно устанавливать закономерность, схему, алгоритм решения. Опять на основе сравнения можно классифицировать множества встречаемые в тех или иных ситуациях. Приемом обобщения можно ввести определения соответствующих понятий размещения, перестановки, сочетания. Полученные эмпирические формулы для вычисления их числа,

можно доказать методом математической индукции, если уровень строгости требует этого.

Правильное эмпирическое построение размещений, перестановок, сочетаний позволяет формулировать правила (законы, аксиомы) умножения и сложения. При помощи этих правил можно решить и более сложные задачи, которые можно сформулировать в терминах «выборки с повторениями или без повторений», а также решать задачи на вычисление вероятностей случайных событий.

Этот, так называемый, индуктивный способ, автор использовал при обучении комбинаторике студентов нематематических специальностей (в МГИ им. Р.А.Дашковой, в колледже МИД РФ и в МГОУ). В 1993 г. автор издал пособие [1].

Ранее в МИЭМе (1975-1985 г) автор читал курс теории вероятностей и математической статистики с элементами комбинаторики, где комбинаторика была изложена дедуктивным способом. Разница между этими двумя методическими подходами достаточно большая и состоит, в частности, в следующем. Сначала определяются размещения, перестановки и сочетания, выводятся формулы для их вычисления. На основании формул студенты решают задачи разного уровня сложности. Эта методическая концепция положена в издании книги [2], которую в настоящее время используют студенты разных вузов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК:

1. Лунгу К.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. Практический курс. – М.: Валери., 1993.

2. Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко. Сборник задач по высшей математике. 2 курс. – М.: Айрис Пресс, 2004.

3. Оганесян В.А., Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Саннинский В.Я. Методика преподавания математики в средней школе. М.: Просвещение, 1980.

4. Рубинштейн С.Л. Основы общей психологии. –М.: Педагогика, 1989.

РОЛЬ НАГЛЯДНОСТИ В УСВОЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ

К.Н. Лунгу Московский государственный открытый университет

Большинство студентов, обучающихся по специальностям, для которых математика не является профилирующей дисциплиной встречают серьёзные сложности в понимании определенных математических понятий ввиду специфики этих понятий. К таковым относятся понятия последовательности и её предела, функции её предела и непрерывность, асимптоты, определенного и несобственного интегралов, решения дифференциального уравнения и др. Ниже речь пойдет о формировании наглядных образов некоторых из названных понятий.

Одна из сложностей понимания студентами понятия последовательности заключается в том, что это «бесконечный» математический объект. Именно последовательность является гранью, отделяющей математику высшей от математики элементарной. Мы говорим, что последовательность – это бесконечное, пронумерованное множество чисел, или функция натурального аргумента. А записываем пять шесть её членов, скажем 1, 3,5,7, 9,...,2n-1,...

Может ли студент увидеть в этой записи собственно последовательность? Опыт показывает, что студент понимает то, что видит, а видит фиксированный набор из 6 чисел, одно из которых – не число, а некоторый символ, который называется общим членом. Цели, связанные с изучением темы «Последовательности» заключается в исследовании их на монотонность, ограниченность, локальное и асимптотическое поведение (имеет или не имеет предела). Уровень знаний студента по теме «последовательности» и по другим темам, о чем пойдет речь ниже (или о чем следует говорить отдельно), зависит от того насколько преподаватель сможет сформировать уровень, степень понимания понятия.

В продолжительных беседах с талантливым педагогом И.С.Аршоном еще в 80-годы в МИЭМе мы обсуждали вопрос, почему студенты плохо осваивают понятия «последовательность» и «функция» («интеграл» и другие). «Это потому, – говорил

И.Аршон, – что неправильный подход к объяснению этих понятий» И предлагал использовать наглядные интерпретации этих понятий, при чем привлекать студентов к участию в этих интерпретациях. Как это делать? Надо исходить из конкретных условий.

В данной статье мы хотим поделиться об этих конкретных условиях, которые постоянно имеют место при обучении математике студентов экономических специальностей. В определениях последовательности и функции присутствуют ключевые слова «однозначное соответствие», пронумерованное «бесконечное» множество, «изменение аргумента влечет изменение значения функции». Тем не менее последовательность воспринимается как запись некоторого числа ее членов, функция – как некоторая формула, а график – некоторая линия.

Главным средством понимания математического объекта «последовательность» – это наглядность, согласованная и совместимая с субъектом понимания (уровнем развития студента). Последовательность – это динамический объект, состоящий из чисел, но эти числа нужно воспринимать не как фиксированный набор (пять, шесть, десять, сто, тысяча), а как «бесконечное множество, элементы которого меняются а точнее, появляются и исчезают». Это – фильм, на каждом кадре которого изображено по одному числу, а фильм бесконечно длинный. И только воображение позволяет согласовать «бесконечно длинную» цепочку чисел с возможностью конечного её представления.

Как построить в аудиторных условиях этот бесконечный фильм? Мы осуществляем это так. Преподаватель записывает последовательность с общим членом, скажем, = . В наглядном изображении членов этой, или любой другой последовательности, участвуют три студента.

Построили на всю длину доски числовую прямую. Отметили точку О (число 0), начало отсчета. Роли студентов таковы: первый записывает последовательно члены последовательности, второй изображает их точками на прямой, третий стирает их. Действия происходят под управлением преподавателя в такой последовательности. Первый студент говорит и записывает =1; второй – на числовой прямой изображает точку =1; опять первый произносит и записывает =4; третий студент стирает первую точку (оставляя мало заметный след), второй изображает на прямой

=4. И так далее.

Таким образом, в каждый момент времени студент видит только одну точку, но эта новая точка расположена в другом месте по сравнению с предыдущей. Этим воспринимается переменный член последовательности, что закрепляет в сознании динамизм процесса, который задается этой последовательностью.

Эта геометрическая процедура повторяется с другими

последовательностями: и др. Студенты

выполняют аналогичные операции самостоятельно в микрогруппах по 3 – 4 человека. При этом, параллельно обнаруживаются и фиксируются визуально такие свойства последовательностей как монотонность, ограниченность односторонняя или двухсторонняя, сгущение членов последовательности к определенной точке (наличие предела) и пр.

Параллельно с этим полезно отрабатывать арифметические действия над последовательностями и решать простейшие задачи на формирование приема мыслительной деятельности «синтез» (умение делать выводы из данных посылок) и «простой анализ» (выяснение причин тех или иных следствий). Например. Обязана ли сумма (разность, произведение, частное) ограниченных (монотонных) последовательностей быть ограниченной (монотонной).

Также прибегая к наглядности, отрабатываем понятие функции и её характерные свойства и признаки. Необходимо указать, что функция представляет собой модель некоторого динамического процесса, функция непрерывна, или терпит разрыв, обладает той или иной асимптотой. Это не осознается студентами без «фильма», в котором участвуют также, как правило, три студента: один показывает на изменение аргумента функции (его указатель двигается вдоль оси Ох), второй показывает на точку графика с данной абсциссой (его указатель двигается вдоль графика функции), третий показывает значение функции, или аппликату точки графика. При этом, соответствующий студент проводит в уме перпендикуляр к оси Ох до графика (убеждает остальных в однозначности функции), другой – от графика проводит перпендикуляр к оси Оу. Этим он устанавливает однозначное соответствие между токами области определения и области изменения посредством графика (закономерности, правила, функции). Если график не известен, то его строят эмпирически, по точкам, или по известным правилам. Этой наглядностью мы

добиваемся того, что студент видит и тем самым понимает, что непрерывной функции характерно малое изменение при условии малого изменения аргумента, а дифференцируемой в интервале функции свойственна «гладкость», т.е. непрерывное изменение касательной.

Конечно об этом, о наглядности, говорится в любом учебнике. Только реализация наглядности не реализуема одним преподавателем, да и его действия неадекватны: ведь надо показать одновременно три объекта: х, f(х) и у. И это надо показать в динамике. Добавим к этому, что преподаватель должен и говорить и демонстрировать одновременно. Если он показывает элементы чертежа, значит он и говорит с доской. При наличии исполнителей он может управлять их действиями, вовлекать в диалог других студентов: можно узнать что их интересует в ходе этой демонстрации.

При этом мы можем использовать геометрическую терминологию. Если х изменяется в окрестности некоторой точки х=а, то у будет принадлежать определенной окрестности образа f(а) этой точки. Тема самым функцию, можно рассматривать как некоторое преобразование или отображение точек оси Ох в точки оси Оу. Закономерность преобразования, размер окрестности образа определяется графиком (закономерностью), который представляет геометрическое изображение аналитически заданной функции (формулы). Это же верно и для последовательности, только она действует на натуральные числа. Если последовательность рассматривать как совокупность частных значений функции, то имеем дело с другой интерпретацией последовательности, как точек плоскости, или точек оси Оу.

Этим самым студент может воспринимать и другой уровень определения последовательности и функции как отображение или преобразование. Именно преобразованием или отображением в некоторых случаях удобно понимать функцию (как действие). Без проведенной работы по «обучению наглядности» многие студенты так и не понимают, что такое последовательность или функция по окончании высшего образования.

Особенно важна наглядность в понимании студентами асимптотического поведения функции, в частности наличие асимптот у графика функции. Здесь опять речь идет о динамике: переменная точка движется вдоль графика функции так, что она

(точка) приближается «бесконечно близко» к точке асимптоты, не достигая её (в случае односторонней асимптоты). Понятие асимптоты рассматривается в школьном курсе математики, но этого они не понимают, в чём убеждаемся ежегодным тестированием студентов первого курса.

В качестве вопросов предлагаются такие: 1) что представляет собой асимптота графика функции; 2) какую роль играют вертикальные прямые с уравнениями х=

для графиков функций котангенс и тангенс;

3) что представляет собой положительная полупрямая для графика показательной функции, если положительное основание показательной функции меньше единицы;

4) как называется отрицательная полуось Оу для графика логарифмической функции с основанием больше 1;

5) какой прямой ограничен график арктангенса при всех положительных значениях х, и как называется эта прямая.

Ответы 50 студентов экономического факультета на поставленные вопросы распределились следующим образом (в среднем за 5 лет): на 1) получено 2 правильных ответа, на 2) – 4, на 3) – 6, на 4) – 4 на 5) –5.

Этим и вызвана своеобразная методика коллективного формирования наглядных представлений о динамических математических объектах и процессах. Осознание студентами этих наглядных представлений математических моделей позволяют легко строить графики суперпозиций или сложных функций вида у= lgsinx, y=lg(1+cos2x), y=tg(ax+b) и так далее. В заключении отметим, что наглядность в различных разделах математики формируется по-разному.

МЕТОДИКА ПРОБЛЕМНОГО ОБУЧЕНИЯ

К.Н. Лунгу Московский государственный открытый университет

Наблюдение и эксперимент, личный и коллективный опыт показывает, что студенты в полной мере активным субъектом деятельности не выступают. Слабое развитие у них профессиональной направленности и положительной мотивации к

учению, низкий уровень сформированности знаний, умений и навыков, необходимых в учении и будущей профессиональной деятельности, слабая инициатива и активность (учебная, общественная), ориентация на репродуктивные способы учения, низкий уровень самоорганизации и самосознания, авторитарная направленность на общение с людьми — все это свидетельствует о том, что уровень развития основных характеристик студента как субъекта деятельности не отвечает конечным целям обучения, заданным обществом высшей школе, Отсюда и возникает необходимость преднамеренного внешнего, педагогического вмешательства в процесс обучения с целью его оптимизации. Причем, если мы ждем от студента большей самостоятельности, активности и творчества, значит мы и должны поставить его в такие условия, при которых он мог бы эти качества проявить, т. е. студента следует поставить в активную позицию субъекта деятельности. Реализации этой главной задачи должны отвечать все основные формы и методы обучения [4].

Идея проблемного обучения не нова. Более того, проблемное обучение уже много лет (несколько десятков) начало проникать в практику обучения математике в средней школе. Что касается высшей школе, то результаты здесь более скромны: специфика чтения лекций и ведения практических занятий по математике несколько сдерживают энтузиазм в этом направлении.

Проблемное обучение представляет собой совокупность приемов, отражающих три рода связей: преподаватель-информация, учащийся-информация и преподаватель-учащийся (Махмутов, [3]). Методы проблемного обучения сопоставимы с теорией и практикой методов дополнительного образования; и в том и в другом случае имеем дело с развитием творческих способностей, с той лишь разницей, что методы дополнительного (индивидуального образования) основаны на развитии индивидуальных склонностей и способностей.

Выбор того или другого метода проблемного обучения определяется прежде всего спецификой содержания учебного предмета и способом его конструирования. Всякая перестройка в структуре учебного предмета влечет за собой перемены в способах преподавания и учения. В историческом аспекте система методов и средств проблемного обучения имеет корни эвристического происхождения, ибо «проблемное обучение» в истории педагогики

называлось методом Сократа, напоминающий его способ подведения учеников к самостоятельному решению проблемы при помощи искусно поставленных вопросов [1]. В 20-х годах прошлого столетия методы проблемного обучения прошли некоторую точку перегиба, меняя знак второй производной с минуса на плюс. Проблемная ситуация должна включать в себя активные интеллектуальные действия учащихся, направленные на решение задачи и поэтому требующие полного и всестороннего понимания исходного учебного материала. Таким образом, в итоге такого процесса учащийся проходит стадии субъективного «открытия».

Методы проблемного обучения можно сопоставить с понятием «зоны ближайшего действия» Л.С.Выготского, если отвлечься от возрастного уровня, который фигурировал у Выготского. Можно это сопоставить также с теорией деятельности А.Н.Леонтьева, теорией поэтапного формирования умстсвенных действий П.Я.Гальперина, теорией учебной деятельности Д.Б.Эльконина и В.В.Давыдова, концепцией обучения на высоком уровне трудности Л.В.Занкова. Вместе с тем для проведения лекции методом проблемного обучения нужен организованный коллектив студентов, готовый к тому, чтобы сосредоточиться на рассматриваемый объект хотя бы 4 раза непрерывно по 20 минут. Мы хотим поделиться опытом проведения таких лекций в разделе «Линейная алгебра», хотя это делаем практически на всех лекциях всего курса высшей математики. Мы выбрали лекцию «Решение систем методом обратной матрицы» [2] только потому, что на этой лекции студенту не приходится вспоминать понятия, которые были давно пройдены и для их актуализации потребовалось время. Хотя в таких случаях студенты предупреждаются о том, что определенный набор понятий, формул и утверждений должен быть заранее подготовлен в тетради на нужной странице. Конечно, главное условие возможности проведения проблемных занятий зависит от студентов (это условие на самом деле характеризует авторитет преподавателя перед своими студентами).

1. Я хочу Вас просить, чтобы сегодня думали о том, как распространить нам формулу (закон) решения уравнения А Х=В, т.е. формулу Х=В/А= А В (при А=0) на квадратную систему линейных уравнений

Студент. Нам нужно наверное ввести новое понятие (скорее, это «матрица», если в теме есть это слово), затем нужны действия с матрицами, при помощи которых систему (1) можно записать в виде АХ=В и приходить к известному объекту из 5-го, или 6-го (не помню какого) класса.

2. Превосходно. Так оно и есть и мы введем основное понятие матрицы, а затем посмотрим как можно разумно (целесообразно) ими оперировать.

Желая сохранить общность объекта, можем априори считать, что имеем дело с прямоугольной системой из m уравнений с n неизвестными

1) Матрицей размерности m n называется таблица, состоящая из mn чисел или выражений, называемых элементами и расположенных в m строках и n столбцах. Запись:

Иногда будем писать или просто .2) Две матрицы называются равными, если они имеют

одинаковые размерности и элементы, стоящие на одинаковых местах (i,j) равны.

3) Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.

4) Если число строк m матрицы (6) равно числу столбцов n, то такая матица называется квадратной.

5) Элементы квадратной матрицы (с одинаковыми строчными и столбцовыми индексами) составляют главную диагональ. Другая диагональ матрицы называется побочной.

6) Квадратная матрица E называется единичной, если все ее элементы главной диагонали равны 1, а все остальные - нулю.

7) Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.

8) Замена строк столбцами, а столбцов – строками (с сохранением их порядка) называется транспонированием матрицы.

Обозначение:

(верно ли это?).

3. А теперь приведем примеры различных матриц как по форме так и по структуре. Не комментируя названия матриц укажем лишь примеры, приведенных студентами с соответствующим названием и согласуя с точным определением.

1) А = (2) ; 2) В= (1 –2 3); 3) С= (0 0 0 0 0); 4) Д= ( 1 –2 –3).

5) Е= .6) . 7)

8). . 9) . 10) .11).

4. А теперь будем превращать матрицу в математический, точнее, арифметический «объект». Значит, с матрицами нужно производить какие-либо арифметические действия (позже будем выполнять и алгебраические и даже более сложные действия).

Пока для матриц определим три арифметических действия: 1) умножение матрицы на число; 2) сложение (вычитание) двух и более матриц и 3) умножение двух матриц.

1). Произведением матриц A на число λ есть матрица λA или Aλ, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы A на число λ.

2). Суммой (разностью) A+B (A-B) матриц A и B одинаковой размерности называется матрица С, каждый элемент сij которой равен сумме (разности) соответствующих элементов aij

и bij. Верно ли: A+B = B+A.?Что касается произведения двух матриц, то я предлагаю здесь

сделать паузу на размышление. Во введенных действиях введен элемент целесообразности: сложение матриц выполняется поэлементно. Умножение матриц должно учитывать ту целесообразность, которую мы ожидаем и ради чему тратим все это время. Вспомним цель, согласно которой систему (1) хотим превратить в знакомое равенства.

Поразмышляем над этой целесообразностью? Одновременно с этим напишем пару примеров на введенные действия.

1) . 2) .

3) (2 -1 4) + (0 2 5) = (2 1 9) .

4)

– Студент: Есть идея, формулировка которой требует Вашей помощи, ибо рассматривая левую часть системы (1) я вижу как бы равенство двух матриц, а матрица, стоящая в левой части имеет непривычную конструкцию структуру. Одна строка, наверное есть только элемент матрицы и он, этот элемент образован путем умножения строки матрицы А на столбец неизвестных с последующим сложением. Мне это, кажется не очень естественно, не встречалось такое ранее.

– В этом и твое «открытие» Величайший ты наш, ученый, что очень точно уловил непростую закономерность, положенную в структуре уравнения и целесообразность умножения матриц, основанная на этом. Давайте это сформулируем в виде правила (аксиомы), но при этом зафиксируем и некоторое требование, необходимое для того, чтобы две матрицы можно было бы перемножить.

3). Произведение A B определяется не для произвольных матриц A и B.

Оно имеет смысл только в том случае, когда число столбцов А равно числу строк B. При этом A∙B есть матрица С, каждый элемент сij которой равен сумме последовательных произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-того столбца матрицы B:

–Студент: мне кажется, что в этом определении есть какая-то незавершенность – нет границы изменения параметров (индексов), входящих в правой части равенства.

–Это так! Но предлагаю не загромождать формулу дополнительными условиями. И вот почему: если на даны матрицы для перемножения, то проверим правило возможности нахождения произведения. Размеры матрицы–произведения будут видны автоматически. Предлагаю специально не заострять внимание на предварительных размерностях исходных матриц.

Примеры на умножение матриц.1)

Сравнивая A∙B и B∙A , видим, что, вообще говоря, .

7) - невыполнимо (число столбцов первой

матрицы не равно числу строк второй).

8)

Это «редкий случай» когда А∙В = В∙А.

9)

.5. Убеждаемся в некоторых свойствах рассматриваемых

действий.а) Всегда А∙Е = Е∙А = А .б) Имеет место равенство (А∙В)Т = ВТ ∙ АТ .в) Имеет место равенство В этих равенствах можно убедиться при помощи примеров,

приведенных выше, или непосредственным рассуждением и умозаключением.

6. А теперь приближаемся к поставленному в начале лекции вопросу.

Сначала убеждаемся, что система уравнений (1) может быть записана в матричном виде (пока на конкретных примерах):

АХ=В.Отсюда надо бы найти Х при помощи «деления». Это мы

специально подчеркиваем, что разумное, целесообразное деление матриц ученые математики не смогли ввести. Тогда надо идти другим путем: через умножение.

В зале некоторое недоумение (что бы это значило: деление через умножение ?!).

–Студент. Должно быть можно найти матрицу, которую, если умножить на А даст единичную матрицу (иначе, для чего бы ее ввести?).

–Похоже у нас сегодня в аудитории одни ученые (даже ученым не удавалось так быстро выдвигать идею решения задачи, точнее сделать столько открытий за одну лекцию!). Оказывается в нашем Отечестве Пророки – есть!

7. С Вашего позволения, для экономии времени, прошу разрешить составить формулу для нового объекта «обратной матрицы» для данной матрицы с некоторыми упоминаниями и требованиями:

1) Если нам дана квадратная матрица, то она обладает определителем, который будем обозначать символом det A.

Согласны, что det A есть число? Если да, то надо пока принимать (интуитивно, или ссылаясь на теорему Крамера), что если det A =0, то система не имеет решений (или, хотя бы временно мы с ней не можем справиться). Введем соответствующий термин.

2) Квадратная матрица А называется невырожденной, если её определи-тель, обозначаемый det A, отличен от нуля; если det A = 0, то А называется вырожденной матрицей.

3) Матрица, обозначаемая А-1, называется обратной для матрицы А, если А∙А-1 = А-1∙А = Е

–А теперь мы нуждаемся в определениях минора и алгебраического дополнения данного элемента (просьба в течение 2 мин посмотреть предыдущую лекцию, где сформулированы эти понятия и теоремы 1 и 2)...

8. Один из барьеров сегодняшней темы преодолен при помощи:

Теорема 1. Если А – невырожденная квадратная матрица, то для неё существует обратная матрица, которая может быть построена по формуле

, (3)где Aij – алгебраическое дополнение элемента aij .При помощи числовых примеров убеждаемся, что если данная

матрица не является вырожденной то для нее можно строить обратную и умножение матриц прямой и обратной коммутативны..

Затем ссылаясь на теоремы 1 и 2 предыдущего параграфа убеждаемся в справедливости теоремы, дающей конструкцию обратной матрицы.

10. Второй (условный) барьер на пути решения линейной системы, записанной в матричной форме так

А∙Х=В,где

преодолен при помощи следующего утверждения.Теорема 2. Если А невырожденная матрица (т.е. ,

то система однозначно разрешима и её решение может быть определено по формуле

.Ограничимся решением системы .

Решение. Имеем , А11=4, А12=-2,

А21=+5,

А22=3, Строим . А теперь,

Получили: или .

На практическом занятии решаем системы уравнений разными способами, сравниваем результаты, составляем текстовые задачи, математические модели которых описываются линейными системами, убеждаемся в справедливости тех или иных утверждений, которые могут оставлять некоторые сомнения в мыслях определенных студентов.

Примечание. Лекция была прочитана (в течении нескольких лет) на факультете «Бизнес и управление» МГОУ.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК:

1. Кроль В.М. Психология и педагогика.М.: “Высшая школа”, 2003.

2. Лунгу К.Н., Макаров Е.В.. Высшая математика. Руководство к решению задач. Часть 1. М.: Физматлит., 2004,-с.212.

3. Махмутов М.И. Проблемное обучение (основные вопросы теории), М.,1975.

4. Якунин В.А. Психология учебной деятельности студентов. М.: 1994.