MAKALAH TUGAS AKHIR PEMROGRAMAN ANALISA ELEMEN HINGGA PADA STRUKTUR SHELL DENGAN BANTUAN VISUAL BASIC 6.0 FINITE ELEMENT ANALYSIS OF SHELL STRUCTURE PROGRAMMING USING VISUAL BASIC 6.0 RISKAL MAJID 3105 100 075 Dosen Pembimbing Tavio, ST. MT. Ph.D JURUSAN TEKNIK SIPIL Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2010

PEMROGRAMAN ANALISA ELEMEN HINGGA PADA STRUKTUR SHELL

DENGAN BANTUAN VISUAL BASIC 6.0

Nama Mahasiswa : Riskal Majid

NRP : 3105 100 075

Jurusan : Teknik Sipil FTSP ITS

Dosen Konsultasi : Tavio, ST. MT. Ph.D

ABSTRAK

Aplikasi analisa struktur telah mempunyai peranan yang signifikan dalam dunia desain

dan konstruksi dalam beberapa dekade belakangan ini. Saat ini ada begitu banyak program

bantu teknik sipil yang tersedia. Hanya saja program-program komersial tersebut tidak hanya

mahal tapi juga memiliki aturan lisensi yang ketat. Hal ini menjadi salah satu kekhawatiran

para pengguna aplikasi analisa struktur. Alasan-alasan tersebut mendorong lahirnya ide untuk

mengembangkan sebuah softwareyang dapat menjadi alternatif untuk menganalisis berbagai

tipe struktur

Pengembangan program analisa struktur alternatif telah dilakukan di jurusan teknik sipil

ITS. Namun, masih terbatas pada analisa elemen frame dengan beban statis dan dinamis.

Program alternatif ini jelas masih membutuhkan pengembangan lebih lanjut. Salah satu yang

dapat dikembangkan adalah pemrograman analisa struktur pada struktur shell berbentuk

kuadritelateral. Pengembangan program dilakukan berbasiskan metode elemen hingga.

Dari hasil penelitian, dapat disimpulkan bahwa hasil perhitungan program yang

dikembangkan menunjukkan nilai yang mendekati dengan hasil perhitungan program

profesional analisis struktur yang populer, yaitu SAP.

Kata kunci: aplikasi analisa struktur, metode elemen hingga, elemen shell, elemen kuadrilateral

FINITE ELEMENT ANALYSIS OF SHELL STRUCTURE PROGRAMMING

USING VISUAL BASIC 6.0

Name of Student : Riskal Majid

Registration Number : 3105 100 075

Department : Civil Engineering FTSP ITS

Supervisor : Tavio, ST. MT. Ph.D

ABSTRACT

Structural analysis programs have been playing a significant role in the design offices

and construction works for the past few decades. Nowadays, there are numerous commercial

computer-aided softwares available in civil engineering. Unfortunately, those programs not only

use at very high prices but also in firm license. This will certainly hinder the efforts of the users

to implement such structure analysis programs. These reasons bring an idea to develop a

software that can be used as an alternative tool for analyzing various types of structure.

An alternative structure analysis program had been developed at Civil Engineering

Departement, ITS Surabaya. But it could only analyze a space frame structure under various

types of static and dinamic loading. Shell element in quadrilateral form is one of the structure

types that can be developed. Analysis of this structure type using finite element method (FEM).

From this investigation, it can be concluded that the results of the analysis obtained from

the developed program show good agreement with the results fro the well-known commercial

structure analysis software SAP.

Keywords : structure analysis aplication, finite element method, shell element, quadrilateral.

.BAB I

PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam menyelesaikan pekerjaan yang membutuhkan analisa panjang ataupun pekerjaan gambar yang membutuhkan waktu yang cukup lama, sebagian besar pelaku teknik sipil lebih memilih memanfaatkan aplikasi komputer. Salah satu jenis aplikasi komputer yang memberikan manfaat cukup besar adalah aplikasi komputer untuk analisa struktur. Proses analisa struktur manual yang memakan waktu lama dapat dipersingkat dengan memanfaatkan beberapa aplikasi analisa struktur, seperti SAP2000, ANSYS, ETABS dan sebagainya, yang hingga saat ini masih sangat mudah didapatkan. Namun pada kenyataannya, para pengguna aplikasi komputer untuk analisa struktur, khususnya mahasiswa teknik sipil, masih menyisakan kekhawatiran terhadap nilai yang dihasilkan dari proses running program analisa struktur yang ada. Hal ini disebabkan karena program yang digunakan selama ini bukanlah program yang full licensed, sehingga hasilnya pun belum dapat diyakini 100 %. Selain itu masalah yang lebih besar lagi adalah semakin ketatnya peraturan tentang penggunaan aplikasi-aplikasi komputer berlisensi (Sumber: Undang-Undang No. 19 Tahun 2002 tentang Hak Cipta) dan dikhawatirkan suatu saat untuk mendapatkan program analisa struktur akan lebih sulit dan tentu saja sangat mahal. Sehingga perlu dilakukan sebuah usaha mandiri dalam menyusun program-program analisa struktur yang kelak dapat diperoleh lebih mudah dan murah terutama bagi mahasiswa. Di Jurusan Teknik Sipil ITS sudah ada beberapa mahasiswa yang mengembangkan program komputer dalam bidang analisa struktur (Sumber: Rama Ditasuwita, Pemrograman Analisa Struktur Menggunakan Visual Basic dengan Metode Kekakuan Langsung). Program yang telah disusun adalah analisa struktur space frame dengan metode kekakuan langsung yang merupakan bagian dari metode elemen hingga. Terdapat 2 aplikasi yang telah disusun dengan 2 jenis beban berbeda yaitu beban statis dan juga beban dinamis. Pembuatan dua aplikasi ini kemudian akan di hubungkan sehingga program

yang pada awalnya dibuat dengan beberapa keterbatasan bisa semakin berkembang. Program analisa yang telah dibuat di atas dibatasi hanya menghitung pada frame, sementara untuk shell, plat dan elemen lain belum disusun. Sehingga untuk kembali mengembangkan program-program yang ada diperlukan usaha untuk menyusun program-program baru yang nantinya dapat melengkapi program-program yang telah ada. Karena itu, penulis berusaha mengambil satu bagian dalam mengembangkan program yang sudah ada, yaitu analisa struktur elemen shell dengan metode elemen hingga. Dalam menyusun program analisa struktur elemen shell diperlukan beberapa hal seperti pemahaman tentang metode elemen hingga, pemahaman terhadap shell itu sendiri, dan tentu saja diperlukan juga kemampuan programming yang cukup. Dengan pemahaman yang cukup tentang inti permasalahan maka diharapkan dapat memudahkan dalam menyusun algoritma program yang direncanakan. Algoritma program merupakan dasar yang perlu diketahui agar proses mendesain program juga menjadi lebih mudah. Kemudian agar program komputer bisa diterima secara ilmiah, maka diperlukan beberapa pengujian melalui perbandingan dengan program analisa struktur elemen shell profesional. Pada penyusunan program ini, penulis menggunakan bahasa pemrograman Visual Basic 6.0. Selain untuk memudahkan dalam menghubungkan program ini dengan program sebelumnya (yang juga menggunakan Visual Basic 6.0), Visual Basic 6.0 juga lebih mudah dalam hal interface dan desain, sehingga penulis bisa lebih fokus pada permasalahan analisa struktur daripada permasalahan tampilan program. Diharapkan dengan penyusunan program ini dapat semakin melengkapi program-program yang telah disusun sebelumnya. Program yang dulunya terbatas pada analisa struktur pada space frame dengan beban statis dan dinamis, dengan adanya program ini program berkembang sampai perhitungan analisa struktur pada elemen shell. Selain itu, program ini juga masih bisa dikembangkan lagi. Harapannya program ini akan semakin berkembang dan kompleks, sehingga dapat menjadi salah satu software alternatif ketika suatu saat penggunaan software analisa struktur yang ada sekarang semakin dipersulit dengan adanya lisensi yang ketat.

1.2 Perumusan Masalah 1.2.1 Permasalahan utama Bagaimana melakukan analisa struktur elemen shell menggunakan metode elemen hingga dengan bantuan bahasa pemrograman Visual Basic 6.0? 1.2.2 Rincian permasalahan

1. Bagaimana cara menyusun algoritma pemrograman analisa struktur elemen shell dengan metode elemen hingga?

2. Bagaimana cara mendesain interface program analisa struktur elemen shell dengan “Metode Elemen Hingga” sehingga mudah digunakan oleh pelaku teknik sipil.

3. Apakah output yang dihasilkan dari program tersebut dapat dipertanggungjawabkan secara ilmiah?

1.3 Tujuan

1. Menyusun algoritma pemrograman komputer untuk analisa struktur elemen shell dengan “Metode Elemen Hingga”

2. Mendesain program analisa struktur elemen shell dengan “Metode Elemen Hingga” dengan lebih sederhana sehingga mudah diaplikasikan oleh pelaku teknik sipil.

3. Mendesain program yang memiliki output yang dapat dibuktikan kebenarannya melalui perbandingan dengan output program analisa struktur shell yang lain.

1.4 Batasan Masalah Pada penulisan Tugas Akhir ini, penulis membatasi permasalahan yang dibahas pada hal-hal berikut ini :

1. Analisa struktur shell menggunakan metode elemen hingga.

2. Program analisa struktur ini dibuat hanya untuk menganalisa struktur shell berbentuk kuadriteral (segi-empat).

3. Beban yang dikenakan pada struktur adalah beban statis berupa beban terpusat sejajar bidang pada titik nodal dan beban tarik permukaan pada 4 sisi shell.

4. Program dibuat dengan menggunakan bahasa pemrograman Visual Basic 6.0.

5. Output hasil analisa dibandingkan hanya dengan output dari program SAP.

1.5 Manfaat Manfaat yang bisa didapatkan dari penulisan Tugas Akhir ini adalah :

1. Penyusun dapat lebih memahami cara penyusunan algoritma program analisa struktur.

2. Penyusunan program ini akan melengkapi program yang telah disusun sebelumnya.

3. Dengan semakin lengkapnya penyusunan program analisa struktur ini, maka harapan akan adanya sebuah program analisa struktur alternatif, yang lebih murah dan mudah untuk didapatkan, semakin realistis untuk diupayakan.

BAB III METODOLOGI

Tahapan penyusunan tugas akhir ini dapat dilihat pada diagram alir berikut ini.

Gambar 3.1 Metodologi

3.1 Studi Literatur Pada tahap pertama ini dilakukan studi literatur tentang materi-materi yang berkaitan dengan pemrograman analisa elemen hingga pada shell. Mulai dari konsep dasar tentang metode analisa struktur menggunakan elemen hingga, kemudian penerapan analisa elemen hingga pada shell, sampai pada penyusunan algoritma program pada Visual Basic 6.0. Sumber-sumber yang digunakan antara lain :

1. Chandrakant S. Desai, Dasar-dasar Metode Elemen Hingga.

2. Daryl L. Logan, A First Course in the Finite Element Method.

3. William Weaver Jr., Matrix Structural Analysis with an Introduction to Finite Elements.

4. O. C. Zienkiewicz The Finite Element Method (The third, expanded and revised edition of The Finite Element Method in Engineering Sciences)

5. Wiryanto Dewobroto, Aplikasi Sains dan Teknik dengan Visual Basic 6.0.

6. Wiryanto Dewobroto, Aplikasi Rekayasa Konstruksi dengan SAP2000 (Edisi Baru).

7. SAP2000 Analysis Reference, Integrated Finite Element Analysis and Design of Structures.

3.2 Alur Pemrograman Susunan program secara umum dibuat menurut diagram alir Gambar 3.2 dan untuk analisa elemen shell menurut diagram alir Gambar 3.3.

Gambar 3.2 Flowchart program utama

Gambar 3.3 Diagram alir analisa elemen shell

3.2.1 Identifikasi Data input diidentifikasi ke dalam matriks-matriks data :

1. Data material yang berisi modulus elastisitas (E) dan poisson’s ratio (v).

2. Data nodal beserta koordinatnya. 3. Data elemen yang berisi informasi nodal

j1,j2,j3, dan j4 serta data material pada setiap elemen.

4. Data perletakan di nodal, yang akan digunakan untuk memberikan kondisi batas pada rumus [K].{D}={Q}, berisi indeks nodal dan batasan pada tiap DOF-nya.

5. Data beban, baik beban tarik permukaan maupun beban di titik nodal sejajar permukaan.

3.2.2 Perhitungan matriks C Untuk mendapatkan matriks C, digunakan data-data yang teridentifikasi sebagai data material yaitu modulus elastisitas (E) dan poisson’s ratio (v). Berikut ini merupakan rumus perhitungan untuk mendapatkan matriks C

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

2100

0101

1 2 vv

v

vEC

3.2.3 Perhitungan matriks jacobi Matriks jacobi pada setiap elemen dapat dihitung berdasarkan data koordinat tiap nodal, dengan menggunakan rumus berikut

( ) ( ) ([ 141423341212341324241381 yxyxtyxyxsyxyxJ −+−+−=

dimana

jiij xxx −=

jiij yyy −= 3.2.4 Perhitungan matriks B Setelah mendapatkan matriks Jacobi, maka matriks B dapat dibentuk. Matriks B dihitung untuk setiap titik integrasi, dengan menggunakan rumus berikut :

( )tysyyJ

B 23342411 81

−−=

( )txsxxJ

B 23342421 81

++−=

( )tysyyJ

B 14341312 81

++−=

( )txsxxJ

B 14341322 81

−−=

( )tysyyJ

B 14122413 81

−+−=

( )txsxxJ

B 14122423 81

+−=

( )tysyyJ

B 23121314 81

+−=

( )txsxxJ

B 23121324 81

−+−=

Hasil perhitungan tersebut dimasukkan dalam matriks B berorde 3 x 8 berikut ini :

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

BBBBBBBBBBBB

BBBBB

1413121124232221

24232221

14131211

00000000

3.2.5 Pembentukan matriks kekakuan lokal Matriks kekakuan lokal tiap elemen dibentuk dengan menggunakan rumus berikut,

( )[ ] [ ] ( )[ ] ( )iiii

N

i

Tii tsJtsBCtsBk ,,,][

1∑=

=

3.2.6 Pembentukan matriks kekakuan global Matriks kekakuan lokal setiap elemen kuadrilateral memiliki orde (8,8), sementara matriks kekakuan global memiliki orde (2xjumlah nodal, 2xjumlah nodal). Sehingga diperlukan penyesuaian matriks kekakuan lokal terhadap matriks kekakuan global. Hal ini dilakukan dengan cara meletakkan menempatkan matriks kekakuan lokal berdasarkan nodal global. Setelah dilakukan penyesuaian matriks kekakuan lokal terhadap matriks kekakuan global. Maka matriks kekakuan struktur dapat dibentuk dengan rumus berikut ini,

[ ] [ ]∑=

=elemen

iiKK

1

3.2.7 Perhitungan perpindahan nodal (nodal displacement) Setelah pembentukan matriks kekakuan global, dilakukan penyusunan matriks beban lokal yang kemudian disusun menjadi matriks beban global. Kemudian perhitungan perpindahan nodal {D} disusun melalui penyelesaian rakitan elemen berikut ini,

[K].{D}={Q}

Agar bisa diselesaikan maka matriks beban dan kekakuan struktur harus direduksi sesuai dengan kondisi batas (boundary condition) akibat adanya restraint yang telah diidentifikasi sebelumnya. Setelah

proses reduksi, persamaan diselesaikan dengan eliminasi Gauss dengan pivoting, menghasilkan matriks perpindahan {D}. 3.2.8 Perhitungan reaksi perletakan (joint reaction) Untuk mendapatkan reaksi perletakan, maka hasil matriks perpindahan tereduksi {D} harus dirubah kembali menjadi matriks perpindahan utuh {d}. Baru kemudian reaksi perletakan diperoleh dengan rumus,

{R}=[K].{d}

3.2.9 Perhitungan gaya dalam (element forces) Gaya dalam dihitung dengan menggunakan rumus,

{σ}=[C].[B].{d}

3.3 Pembuatan Program Pembuatan program terdiri dari 3 tahap, yaitu : 3.3.1 Penyusunan bahasa pemrograman Kegiatan penyusunan pemrograman, dimulai dengan mempelajari bahasa pemrograman Visual Basic 6.0. Setelah mengetahui bahasa pemrograman Visual Basic 6.0, dilanjutkan dengan penyusunan program analisa elemen shell berbasis metode elemen hingga Selain itu, karena program Visual Basic tidak mampu untuk memberikan output berupa kontur, sehingga proses pemrograman akan dilanjutkan dengan program Matlab yang dapat membantu dalam memberikan output berupa kontur. 3.3.2 Running program Langkah selanjutnya adalah menjalankan program yang telah jadi dengan menggunakan beberapa contoh kasus

3.3.3 Verifikasi output Untuk mengetahui kebenaran output program, maka output akan dibandingkan dengan hasil perhitungan contoh kasus di atas dengan menggunakan program SAP. 3.4 Perbaikan Tampilan Setelah kebenaran output dari program telah teruji, langkah terakhir adalah memperbaiki tampilan (interface) agar lebih menarik dan mudah untuk digunakan oleh semua kalangan.

BAB IV PENYUSUNAN PROGRAM

4.1 Penjelasan Program

Program bantu analisa struktur ini dibuat berdasarkan pola alur analisa elemen hingga umum seperti yang telah tertera pada bab sebelumnya. Namun untuk keperluan programming maka diagram alir tersebut dimodifikasi sesuai dengan kebutuhan agar dapat diselesaikan dalam bahasa Basic. Program analisa struktur ini ditulis menjadi beberapa bagian. Hal ini bertujuan untuk memudahkan proses debugging bila terjadi kesalahan saat pengerjaan program maupun untuk keperluan pengembangan. Bagian utama dari program ini dibagi menjadi 3:

1. Modul file manager, berisi prosedur-prosedur pengelola file, input dan output data, pengatur format tabel dan form. Modul ini disimpan dengan nama “File Manager.bas”.

2. Modul analisa struktur, berisi kode-kode untuk analisa data input yang diberikan oleh file manager. Modul ini disimpan dengan nama “Struc Analysis.bas”.

3. Modul plot 2 dimensi, berisi kode-kode untuk plotting 2 dimensi model struktur yang dianalisa. Modul ini disimpan dengan nama “2D Graph.bas”.

Kode pemrograman yang terdapat pada modul-modul diatas kemudian dipanggil dari beberapa form, sesuai dengan interface yang telah dirancang di awal. Form yang dibuat antara lain :

1. Form utama, merupakan form yang menampilkan input, output dan hasil plotting. Form ini disimpan dengan nama “Main Form.frm”.

2. Form input, merupakan form yang dibuat sebagai tempat untuk memasukkan data-data struktur sebagai input. Ada beberapa form input yang disusun, yaitu form informasi umum (General Information.frm), form data material (Input Material.frm), form koordinat (Input Coordinate.frm), form elemen (Input Element.frm), form perletakan (Input Restraints.frm), form beban tarik permukaan (Input Surface Load.frm), form beban nodal sejajar bidang (Input Joint Load.frm), form editor (Editor.frm).

Berikut ini tampilan utama program SEAP (Shell Element Analysis Program)

Gambar 4.1 Tampilan utama program SEAP

Gambar 4.2a Diagram alir program SEAP

Gambar 4.2b Diagram alir program SEAP

(sambungan)

C

Tampilkan data output

Preplot :Xmax, XminYmax, YminXshift, Yshift

Set parameter plot:Ixy_angle

dYYShift, dXXShiftPrespctv, zoom

dispfactor

Plot framePlot support

Plot label dan koordinatPlot loading

Finish

Gambar 4.2c Diagram alir program SEAP

(sambungan) 4.1.1 Prosedur baca data Data input dari user pada jendela Editor berupa susunan text dengan format tertentu disimpan ke lokasi yang ditentukan sebelumnya secara langsung dengan filestream: Set filestream = filedata.CreateTextFile(xfile, True) str = txtEditor.Text filestream.Write (str) filestream.Close Stream data kemudian dibaca ke dalam variabel-variabel yang dideklarasikan dalam modul analisa:

1. Array data material data_material() dengan tipe data user-defined data_material yang terdiri dari variabel mod, pr dan mname.

2. Array data nodal node() dengan tipe data user-defined data_node terdiri dari variabel yang menyatakan koordinat x, dan y.

3. Array data elemen element() dengan tipe data user-defined data_element terdiri dari variabel-variabel j1, j2, j3, j4, E, dan v.

4. Matriks perletakan (joint restraint list) jrl() dengan tipe data integer.

5. Vektor beban tarik permukaan pada sload() dan vektor beban nodal sejajar bidang pada jload() masing-masing disimpan dengan tipe data double.

4.1.2 Prosedur matriks C Setiap elemen yang dibentuk dari data nodal yang dimasukkan, akan memiliki nilai modulus elastisitas dan poisson’s ratio masing-masing sehingga matriks C dibentuk berdasarkan data input material setiap elemen. Kemudian prosedur yang sama diulang untuk setiap elemen hingga elemen terakhir For i = 1 To je With element(i) B(1, 1) = 1 B(1, 2) = .v B(1, 3) = 0 B(2, 1) = .v B(2, 2) = 1 B(2, 3) = 0 B(3, 1) = 0 B(3, 2) = 0 B(3, 3) = (1 - .v) / 2 A = .E / (1 - (.v ^ 2)) For j = 1 To 3 For l = 1 To 3 mtrxC(j, l, i) = A * B(j, l) Next l Next j End With Next i 4.1.3 Prosedur matriks jacobi Dari data nodal yang dimasukkan didapatkan Xij dan Yij yang dikodekan sebagai nodes(). Kemudian matriks jacobian dihitung pada setiap elemen dengan menggunakan masing-masing titik integrasi yang dikodekan sebagai area(). For i = 1 To je With element(i) A=(nodes(.j1,.j3).X*nodes(.j2,.j4).Y)- nodes(.j2,.j4).X*nodes(.j1, .j3).Y) B=(nodes(.j3,.j4).X*nodes(.j1,.j2).Y)- (nodes(.j1,.j2).X*nodes(.j3,.j4).Y)

C=(nodes(.j2,.j3).X*nodes(.j1,.j4).Y)- (nodes(.j1,.j4).X*nodes(.j2,3).Y) For j = 1 To 4 jac(j, i)=0.125*(A+(area(j).s*B)+(area(j).t*C)) Next j End With Next i 4.1.4 Prosedur matriks B Matriks B dihitung dengan menggunakan hasil prosedur matriks Jacobian sebelumnya. Karena matriks B harus dihitung di setiap titik integrasi dan titik integrasi dalam satu elemen kuadrilateral berjumlah 4, sehingga dibentuk tipe data user-defined matrix_B berisi B1, B2, B3, dan B4 For j = 1 To je With element(j) i = 1 A = 1 / (8 * jac(i, j)) mtrxB(1, 1, j).B1 = A * (nodes(2, 4).Y - (nodes(3, 4).Y * area(i).s) - (nodes(2, 3).Y * area(i).t)) mtrxB(1, 2, j).B1 = A * (-nodes(1, 3).Y + (nodes(3, 4).Y * area(i).s) + (nodes(1, 4).Y * area(i).t)) mtrxB(1, 3, j).B1 = A * (-nodes(2, 4).Y + (nodes(1, 2).Y * area(i).s) - (nodes(1, 4).Y * area(i).t)) mtrxB(1, 4, j).B1 = A * (nodes(1, 3).Y - (nodes(1, 2).Y * area(i).s) + (nodes(2, 3).Y * area(i).t)) mtrxB(1, 5, j).B1 = 0 mtrxB(1, 6, j).B1 = 0 mtrxB(1, 7, j).B1 = 0 mtrxB(1, 8, j).B1 = 0 mtrxB(2, 1, j).B1 = 0 mtrxB(2, 2, j).B1 = 0 mtrxB(2, 2, j).B1 = 0 mtrxB(2, 3, j).B1 = 0 mtrxB(2, 5, j).B1 = A * (-nodes(2, 4).X + (nodes(3, 4).X * area(i).s) + (nodes(2, 3).X * area(i).t)) mtrxB(2, 6, j).B1 = A * (nodes(1, 3).X - (nodes(3, 4).X * area(i).s) - (nodes(1, 4).X * area(i).t)) mtrxB(2, 7, j).B1 = A * (nodes(2, 4).X - (nodes(1, 2).X * area(i).s) + (nodes(1, 4).X * area(i).t)) mtrxB(2, 8, j).B1 = A * (-nodes(1, 3).X + (nodes(1, 2).X * area(i).s) - (nodes(2, 3).X * area(i).t)) mtrxB(3, 1, j).B1 = mtrxB(2, 5, j).B1 mtrxB(3, 2, j).B1 = mtrxB(2, 6, j).B1

mtrxB(3, 3, j).B1 = mtrxB(2, 7, j).B1 mtrxB(3, 4, j).B1 = mtrxB(2, 8, j).B1 mtrxB(3, 5, j).B1 = mtrxB(1, 1, j).B1 mtrxB(3, 6, j).B1 = mtrxB(1, 2, j).B1 mtrxB(3, 7, j).B1 = mtrxB(1, 3, j).B1 mtrxB(3, 8, j).B1 = mtrxB(1, 4, j).B1 dan seterusnya dengan merubah nilai i menjadi 2, 3, dan 4, serta merubah komponen .B1 menjadi .B2, .B3, dan .B4. 4.1.5 Prosedur matriks kekakuan Karena perhitungan matriks kekakuan melibatkan matriks transpose dari matriks B maka prosedur yang pertama kali dilakukan adalah prosedur transpose matriks B untuk setiap titik integrasi.

For l = 1 To je With element(l) For i = 1 To 3 'transpose matriks B For j = 1 To 8 mtrxBT(j, i, l).B1 = mtrxB(i, j, l).B1 mtrxBT(j, i, l).B2 = mtrxB(i, j, l).B2 mtrxBT(j, i, l).B3 = mtrxB(i, j, l).B3 mtrxBT(j, i, l).B4 = mtrxB(i, j, l).B4 Next j Next i Setelah itu baru kemudian dilanjutkan dengan prosedur perkalian matriks antara matriks B transpose dengan matriks C. For i = 1 To 8 For j = 1 To 3 Sum1 = 0 Sum2 = 0 Sum3 = 0 Sum4 = 0 For n = 1 To 3 Sum1 = Sum1 + (mtrxBT(i, n, l).B1 * mtrxC(n, j, l)) Sum2 = Sum2 + (mtrxBT(i, n, l).B2 * mtrxC(n, j, l)) Sum3 = Sum3 + (mtrxBT(i, n, l).B3 * mtrxC(n, j, l)) Sum4 = Sum4 + (mtrxBT(i, n, l).B4 * mtrxC(n, j, l)) Next n A1(i, j) = Sum1 A2(i, j) = Sum2

A3(i, j) = Sum3 A4(i, j) = Sum4 Next j Next i Hasil perkalian kedua matriks tersebut kemudian dikalikan kembali dengan matriks B. Pembentukan matriks kekakuan di empat titik integrasi , yang dikodekan sebagai mtrxK(), dilakukan dengan mengalikan hasil perkalian tiga matriks sebelumnya dengan nilai jacobian sesuai titik integrasi masing-masing. For i = 1 To 8 'matriks k di titik integrasi For j = 1 To 8 Sum5 = 0 Sum6 = 0 Sum7 = 0 Sum8 = 0 For n = 1 To 3 Sum5 = Sum5 + (A1(i, n) * mtrxB(n, j, l).B1) Sum6 = Sum6 + (A2(i, n) * mtrxB(n, j, l).B2) Sum7 = Sum7 + (A3(i, n) * mtrxB(n, j, l).B3) Sum8 = Sum8 + (A4(i, n) * mtrxB(n, j, l).B4) Next n mtrxK(i, j, l).k1 = Sum5 * jac(1, l) mtrxK(i, j, l).k2 = Sum6 * jac(2, l) mtrxK(i, j, l).k3 = Sum7 * jac(3, l) mtrxK(i, j, l).k4 = Sum8 * jac(4, l) Next j Next i Setelah itu matriks kekakuan di tiap titik integrasi dijumlahkan, sehingga menghasilkan matriks kekakuan lokal elemen yang dikodekan sebagai mtrxStiffnessLoc(). For i = 1 To 8 For j = 1 To 8 mtrxStiffnessLoc(i, j, l) = mtrxK(i, j, l).k1 + mtrxK(i, j, l).k2 + _ mtrxK(i, j, l).k3 + mtrxK(i, j, l).k4 Next j Next i Matriks kekakuan lokal yang telah didapatkan harus disesuaikan dengan orde matriks kekakuan struktur (2.jumlah node x 2.jumlah node). Hasil penyesuaian ini disebut matriks kekakuan global elemen yang dikodekan sebagai mtrxStiffnessGlo(). 'matriks lokal -> matriks global

mtrxStiffnessGlo(node(.j1).dirX, node(.j1).dirX, l) = mtrxStiffnessLoc(1, 1, l) mtrxStiffnessGlo(node(.j1).dirX, node(.j2).dirX, l) = mtrxStiffnessLoc(1, 2, l) mtrxStiffnessGlo(node(.j1).dirX, node(.j3).dirX, l) = mtrxStiffnessLoc(1, 3, l) mtrxStiffnessGlo(node(.j1).dirX, node(.j4).dirX, l) = mtrxStiffnessLoc(1, 4, l) mtrxStiffnessGlo(node(.j1).dirX, node(.j1).dirY, l) = mtrxStiffnessLoc(1, 5, l) mtrxStiffnessGlo(node(.j1).dirX, node(.j2).dirY, l) = mtrxStiffnessLoc(1, 6, l) mtrxStiffnessGlo(node(.j1).dirX, node(.j3).dirY, l) = mtrxStiffnessLoc(1, 7, l) mtrxStiffnessGlo(node(.j1).dirX, node(.j4).dirY, l) = mtrxStiffnessLoc(1, 8, l) mtrxStiffnessGlo(node(.j2).dirX, node(.j1).dirX, l) = mtrxStiffnessLoc(2, 1, l) mtrxStiffnessGlo(node(.j2).dirX, node(.j2).dirX, l) = mtrxStiffnessLoc(2, 2, l) mtrxStiffnessGlo(node(.j2).dirX, node(.j3).dirX, l) = mtrxStiffnessLoc(2, 3, l) mtrxStiffnessGlo(node(.j2).dirX, node(.j4).dirX, l) = mtrxStiffnessLoc(2, 4, l) mtrxStiffnessGlo(node(.j2).dirX, node(.j1).dirY, l) = mtrxStiffnessLoc(2, 5, l) mtrxStiffnessGlo(node(.j2).dirX, node(.j2).dirY, l) = mtrxStiffnessLoc(2, 6, l) mtrxStiffnessGlo(node(.j2).dirX, node(.j3).dirY, l) = mtrxStiffnessLoc(2, 7, l) mtrxStiffnessGlo(node(.j2).dirX, node(.j4).dirY, l) = mtrxStiffnessLoc(2, 8, l) dan seterusnya hingga mtrxStiffnessLoc(8, 8, l). Setelah matriks kekakuan global tiap elemen terbentuk, barulah matriks kekakuan struktur (mtrxStiffness())dapat dihitung dengan menjumlahkan nilai-nilai pada matriks kekakuan global tiap elemen. 'matriks struktur = sum(matriks global) For i = 1 To RM For j = 1 To RM mtrxStiffness(i, j) = mtrxStiffness(i, j) + mtrxStiffnessGlo(i, j, l) Next j Next i Next l

4.1.6 Pembentukan matriks beban lokal dan global

Pembentukan matriks beban diawali dengan menyusun matriks beban tarik permukaan dan matriks beban nodal dengan menggunakan data-data yang sebelumnya telah diidentifikasi sebagai sload() dan jload().

For i = 1 To je With element(i) For j = 1 To 4 mtrxSLoad(j, i) = 0.5 * (sload(i, j).SxL + sload(i, Abs(j - 5)).SxL) Next j For j = 5 To 8 l = j - 4 mtrxSLoad(j, i) = 0.5 * (sload(i, l).SyL + sload(i, Abs(l - 5)).SyL) Next j mtrxJLoad(1, i) = jload(.j1).jx mtrxJLoad(2, i) = jload(.j2).jx mtrxJLoad(3, i) = jload(.j3).jx mtrxJLoad(4, i) = jload(.j4).jx mtrxJLoad(5, i) = jload(.j1).jy mtrxJLoad(6, i) = jload(.j2).jy mtrxJLoad(7, i) = jload(.j3).jy mtrxJLoad(8, i) = jload(.j4).jy Lalu membentuk matriks beban lokal, dikodekan sebagai mtrxLoadLoc(), dengan menjumlahkan matriks beban yang telah dibentuk sebelumnya. For j = 1 To 8 mtrxLoadLoc(j, i) = mtrxSLoad(j, i) + mtrxJLoad(j, i) Next j Matriks beban lokal elemen, sama halnya dengan matriks kekakuan lokal elemen, perlu dirubah menjadi matriks beban global elemen, dikodekan sebagai mtrxLoadGlo(), agar kemudian dapat dibentuk menjadi matriks beban struktur yang dikodekan sebagai mtrxLoad(). 'matriks beban lokal -> matriks beban global mtrxLoadGlo(node(.j1).dirX, i) = mtrxLoadLoc(1, i) mtrxLoadGlo(node(.j2).dirX, i) = mtrxLoadLoc(2, i) mtrxLoadGlo(node(.j3).dirX, i) = mtrxLoadLoc(3, i) mtrxLoadGlo(node(.j4).dirX, i) = mtrxLoadLoc(4, i) mtrxLoadGlo(node(.j1).dirY, i) = mtrxLoadLoc(5, i)

mtrxLoadGlo(node(.j2).dirY, i) = mtrxLoadLoc(6, i) mtrxLoadGlo(node(.j3).dirY, i) = mtrxLoadLoc(7, i) mtrxLoadGlo(node(.j4).dirY, i) = mtrxLoadLoc(8, i) 'Assemble structural load matrix For j = 1 To RM mtrxLoad(j) = mtrxLoad(j) + mtrxLoadGlo(j, i) Next j End With Next i

4.1.7 Boundary condition dan reduksi matriks Kondisi batas atau boundary condition diperlukan dalam perhitungan analisa matriks agar persamaan Q=K×D bisa diselesaikan. Pada kondisi awal matriks kekakuan global struktur [K] adalah matriks singular yang tidak mempunyai invers. Pada keadaan sebenarnya hal ini berarti struktur tidak stabil, tidak bisa berdiri kokoh walau tanpa beban sekalipun. Pemberian kondisi batas dilakukan dengan memberikan batasan displacement berupa perletakan (restraint). Dalam analisa, nilai matriks displacement pada nodal dengan restraint adalah sama dengan nol. Setelah menentukan kondisi batas, hal selanjutnya adalah mereduksi matriks-matriks kekakuan global [K], displacement {D} dan gaya/beban {Q} pada baris dan kolom yang bersesuaian dengan kondisi batas. Matriks-matriks tersebut direduksi sesuai dengan array indeks matriks tereduksi yang dibentuk berdasarkan array joint restraint list yang telah didefinisikan pada prosedur baca data. Adapun variabel matriks-matriks tereduksi adalah K(), Load(), dan Disp(). 'indexing reduced matrix BMR = 0 For i = 1 To RM If irm(i) = 0 Then BMR = BMR + 1 End If Next i ReDim idm(BMR) As Integer m = 0 For i = 1 To RM If irm(i) = 0 Then m = m + 1 idm(m) = i End If Next i 'reducing matrix ReDim K(BMR, BMR) As Double ReDim load(BMR) As Double For m = 1 To BMR load(m) = mtrxLoad(idm(m)) For n = 1 To BMR K(m, n) = mtrxStiffness(idm(m), idm(n))

Next n Next m 4.1.8 Prosedur penyelesaian persamaan {Q}=[K]×{D}

Penyelesaian persamaan kekakuan dalam program ini menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan, yaitu dengan menjadikan matriks [K] menjadi matriks identitas untuk proses subtitusi balik untuk memperoleh nilai [D]. 'normalization 200: For j = l + 1 To n A(l, j) = A(l, j) / A(l, l) Next j B(l) = B(l) / A(l, l) If i = n Then GoTo 300 Else GoTo 250 'pivoting 220: For i = l + 1 To n If A(i, l) <> 0 Then GoTo 230 Next i 'matrix is singular GoTo 300 230: For j = l + 1 To n t = A(l, j) A(l, j) = A(i, j) A(i, j) = t Next j t = B(l) B(l) = B(i) B(i) = t GoTo 200 'elimination 250: For i = 1 To n If i = l Then GoTo 265 For j = l + 1 To n A(i, j) = A(i, j) - A(i, l)*A(l,j) Next j B(i) = B(i) - A(i, l) * B(l) 265: Next i Next l X = B Listing kode metode Gauss-Jordan tersebut adalah prosedur umum untuk menyelesaikan persamaan linier [A]{X}={B}. Sehingga untuk keperluan penyelesaian persamaan kekakuan prosedur tersebut perlu dipanggil: Call gauss_jordan(K, Load, Disp, BMR) sehingga [A]=K(), {X}=Disp(), {B}=Load(), dan n=BMR, dimana BMR adalah dimensi matriks tereduksi.

4.1.9 Prosedur pembentukan matriks perpindahan nodal Penyelesaian persamaan {Q}=[K]×{D} akan menghasilkan perpindahan pada nodal yang dihitung. Untuk membentuk matriks perpindahan nodal struktur, maka perpindahan nodal yang didapatkan kembali disesuaikan dengan orde matriks perpindahan nodal struktur yang berjumlah 2 kali jumlah nodal. For m = 1 To BMR If Disp(m) <> 0 Then mtrxDisp(idm(m)) = Disp(m) Next m 4.1.10 Prosedur reaksi perletakan Reaksi perletakan dihitung dengan menggunakan hasil penyesuaian matriks perpindahan tereduksi, yang dikodekan sebagai Disp(), menjadi matriks perpindahan utuh, yang dikodekan sebagai mtrxDisp(). Kemudian membentuk matriks reaksi perletakan, yang dikodekan sebagai mtrxReaction(), dengan mengalikan matriks kekakuan utuh dengan matriks perpindahan utuh. For i = 1 To RM Sum = 0 For j = 1 To RM Sum = Sum + mtrxStiffness(i, j) * mtrxDisp(j) Next j mtrxReaction(i) = Sum - mtrxLoad(i) Next i 4.1.11 Prosedur gaya elemen Gaya elemen dihitung dengan menggunakan rumus {σ}=[C].[B].{d}. Karena matriks C dan matriks B merupakan matriks yang disusun pada tiap elemen sehingga perhitungan gaya elemen membutuhkan matriks perpindahan lokal yang dikodekan sebagai mtrxDispLoc(). Sehingga matriks perpindahan global yang telah didapatkan sebelumnya harus disesuaikan dengan orde matriks perpindahan lokal yaitu (8 x 1), yang dikodekan sebagai mtrxDispLoc(). 'matriks displacement local For i = 1 To je With element(i) mtrxDispLoc(1, i) = mtrxDisp(node(.j1).dirX) mtrxDispLoc(2, i) = mtrxDisp(node(.j2).dirX) mtrxDispLoc(3, i) = mtrxDisp(node(.j3).dirX)

mtrxDispLoc(4, i) = mtrxDisp(node(.j4).dirX) mtrxDispLoc(5, i) = mtrxDisp(node(.j1).dirY) mtrxDispLoc(6, i) = mtrxDisp(node(.j2).dirY) mtrxDispLoc(7, i) = mtrxDisp(node(.j3).dirY) mtrxDispLoc(8, i) = mtrxDisp(node(.j4).dirY) Setelah penyesuaian itu barulah kemudian penghitungan gaya elemen dilakukan dengan mengalikan matriks C dengan matriks B, kemudian dilanjutkan dengan mengalikan hasil perkalian sebelumnya dengan matriks perpindahan lokal. For j = 1 To 3 For m = 1 To 8 Sum1 = 0 Sum2 = 0 Sum3 = 0 Sum4 = 0 For l = 1 To 3 Sum1 = Sum1 + (mtrxC(j, l, i) * mtrxB(l, m, i).B1) Sum2 = Sum2 + (mtrxC(j, l, i) * mtrxB(l, m, i).B2) Sum3 = Sum3 + (mtrxC(j, l, i) * mtrxB(l, m, i).B3) Sum4 = Sum4 + (mtrxC(j, l, i) * mtrxB(l, m, i).B4) Next l C1(j, m, i) = Sum1 C2(j, m, i) = Sum2 C3(j, m, i) = Sum3 C4(j, m, i) = Sum4 Next m Next j For j = 1 To 3 Sum5 = 0 Sum6 = 0 Sum7 = 0 Sum8 = 0 For l = 1 To 8 Sum5 = Sum5 + (C1(j, l, i) * mtrxDispLoc(l, i)) Sum6 = Sum6 + (C2(j, l, i) * mtrxDispLoc(l, i)) Sum7 = Sum7 + (C3(j, l, i) * mtrxDispLoc(l, i)) Sum8 = Sum8 + (C4(j, l, i) * mtrxDispLoc(l, i)) Next l mtrxForce(4 * i - 3, j, i) = Sum5 mtrxForce(4 * i - 2, j, i) = Sum6

mtrxForce(4 * i - 1, j, i) = Sum7 mtrxForce(4 * i, j, i) = Sum8 Next j End With Next i 4.1.12 Pemanggilan prosedur-prosedur Setelah prosedur analisa struktur selesai, eksekusi program dilakukan dengan memanggil setiap prosedur secara berurutan seperti berikut ini.

matrix_C jacobian matrix_B matrix_k matrix_load boundary_condition Call gauss_jordan(K, load, Disp,

BMR) matrix_displacement node_reaction element_forces

4.2 System Requirement Program bantu analisa struktur ini tidak membutuhkan banyak resource sehingga cukup ringan bila digunakan pada komputer-komputer umum sekarang. Adapun perkiraan spesifikasi minimum komputer yang dibutuhkan adalah:

1. Prosesor Intel Pentium 4 atau yang sekelas 2. RAM 512 mb (tergantung tingkat kompleksitas

struktur yang dianalisa) 3. VGA 32 mb dengan resolusi monitor

1024×768 4.3 Pengoperasian Program Setelah program dibuka, akan muncul tampilan pertama jendela utama program SEAP ini.

Gambar 4.3 Tampilan GUI jendela utama SEAP Untuk memulai Project baru klik menu File > New, atau tekan Ctrl-N untuk mengosongkan input yang telah ada. Selanjutnya ketik nama project baru yang akan dihitung melalui menu Input>General Information, atau tekan F1.

Gambar 4.4 Input nama proyek

Isikan nama project. Klik OK untuk keluar dari jendela input General Information. Kemudian klik menu Input > Material Properties atau tekan F2 untuk membuka jendela input material.

Gambar 4.5 Input material properties

Nilai yang perlu dimasukkan sebagai input adalah nama material, Modulus Elastis E dan rasio

Poisson v. Klik Add untuk memasukkan ke daftar Material. Klik OK. Di langkah berikutnya adalah jendela input koordinat titik nodal (Gambar 4.6). Klik menu Input>Nodal Coordinate. Koordinat yang digunakan adalah koordinat kartesian global, dengan bidang X-Y sebagai bidang dasar (denah/plan).

Gambar 4.6 Input koordinat nodal

Selanjutnya klik menu Input>Elements atau tekan F4 untuk menampilkan jendela input elemen. Pilih jenis material untuk elemen. Kemudian pilih nodal yang diinginkan untuk menjadi joint 1 sampai joint 4 pada elemen. Nilai modulus elastisitas dan poisson’s ratio akan secara otomotis terbaca sesuai dengan jenis material yang dipilih.

Gambar 4.7. Input elemen

Langkah berikutnya adalah input data joint restraint. klik menu Input>Joint Restraints atau tekan F5 untuk menampilkan jendela input perletakan setiap joint. Joint-joint yang menjadi perletakan dikunci deformasinya sesuai dengan jenis perletakannya. Pada

menu dropdown Joint label pilih letak joint perletakan, klik Fast Restraints untuk restraints instan.

Gambar 4.8 Input perletakan

2 langkah berikutnya berturut-turut adalah input beban tarik permukaan dan beban titik nodal sejajar bidang elemen. Klik menu Input>Surface Pressure Load atau tekan F6 untuk menampilkan jendela input beban tarik permukaan. Pilih elemen yang ingin diberikan beban, kemudian tentukan sisi (face) berapa yang ingin diberi beban. Kemudian tambahkan nilai beban.

Gambar 4.9 Input beban tarik permukaan

Klik menu Input>Joint Loads atau tekan F7 untuk menampilkan jendela input beban di titik nodal sejajar bidang. Pilih nodal yang ingin diberikan beban, Kemudian tambahkan nilai beban.

Gambar 4.10 Input beban di titik nodal sejajar

bidang Setelah semua data diinputkan, klik menu Analyze > Run Analysis untuk memulai proses analisa dan menampilkan data input, data output dan grafik pada jendela utama program bantu analisa struktur ini. Proses pembacaan data untuk analisa dilakukan secara berurutan sesuai urutan input data.

Gambar 4.11 Rekam hasil input

Data disimpan dalam file berekstensi .seap (SEAP input file) atau .txt (Text file). File ini dapat dibuka langsung menggunakan text editor semacam Notepad atau SEAP Editor (gambar 4.12).

Gambar 4.12 Jendela SEAP editor

Adapun data dalam SEAP Editor harus ditulis dengan format atau urut-urutan tertentu agar bisa dianalisa oleh SEAP. Keterangan Gambar 4.13 dan Gambar 4.14:

1. Tab Input, berisi tabel-tabel nilai masukan. 2. Tab 3-D View, menampilkan bentuk

pemodelan struktur yang dianalisa. 3. Frame View Control, panel kontrol untuk

mengatur tampilan gambar model. 4. Tab Output, berisi tabel-tabel nilai hasil

analisa (node displacement, support reaction dan elemen force).

Gambar 4.13 Jendela utama SEAP (Tab Input)

1

2

3

Gambar 4.14 Jendela utama SEAP (Tab Output)

BAB V STUDI KASUS

Untuk mengetahui kebenaran dan ketelitian program bantu analisa struktur ini dalam melakukan proses perhitungan, maka diperlukan uji perbandingan hasil output program terhadap perhitungan manual dan program bantu profesional SAP2000. 5.1 Contoh Kasus 1 Contoh kasus pertama yang digunakan berasal dari buku ”Dasar-dasar Metode Elemen Hingga” yang ditulis oleh C.S. Desai Data-data elemen: - Modulus elastisitas = 10000 kg/cm2

- Poisson’s ratio = 0,3 - Data koordinat elemen: - Joint 1 = 0, 0 - Joint 2 = 1,0 - Joint 3 = 1,1 - Joint 4 = 0,1 - Beban tarik permukaan : - Pada sisi 2 - Tx = 1 kg/cm 5.1.1 Perhitungan Manual Perhitungan matriks [B]

Perhitungan Xij & Yij

Xij = Xi - Xj

Yij = Yi - Yj

X12 -1 Y12 0

X13 -1 Y13 -1

X14 0 Y14 -1

X23 0 Y23 -1

X24 1 Y24 -1

X34 1 Y34 0

Perhitungan |J|

Untuk (s1,t1) Untuk (s2,t2)

|J| = 0,25 |J| = 0,25

Untuk (s3,t3) Untuk (s4,t4)

|J| = 0,25 |J| = 0,25

Perhitungan B

B11

Untuk (s1,t1) B11 -0,789

Untuk (s2,t2) B11 -0,789

Untuk (s3,t3) B11 -0,212

Untuk (s4,t4) B11 -0,212

Total B11 -2,000

B13

Untuk (s1,t1) B13 0,212

Untuk (s2,t2) B13 0,212

Untuk (s3,t3) B13 0,789

Untuk (s4,t4) B13 0,789

Total B13 2,000

B21

Untuk (s1,t1) B21 -0,789

Untuk (s2,t2) B21 -0,212

Untuk (s3,t3) B21 -0,212

Untuk (s4,t4) B21 -0,789

Total B21 -2,000

B12

Untuk (s1,t1) B12 0,789

Untuk (s2,t2) B12 0,789

Untuk (s3,t3) B12 0,212

Untuk (s4,t4) B12 0,212

Total B12 2,000

4

B14

Untuk (s1,t1) B14 -0,212

Untuk (s2,t2) B14 -0,212

Untuk (s3,t3) B14 -0,789

Untuk (s4,t4) B14 -0,789

Total B14 -2,000

B22

Untuk (s1,t1) B22 -0,212

Untuk (s2,t2) B22 -0,789

Untuk (s3,t3) B22 -0,789

Untuk (s4,t4) B22 -0,212

Total B22 -2,000

B23

Untuk (s1,t1) B23 0,212

Untuk (s2,t2) B23 0,789

Untuk (s3,t3) B23 0,789

Untuk (s4,t4) B23 0,212

Total B23 2,000

B24

Untuk (s1,t1) B24 0,789

Untuk (s2,t2) B24 0,212

Untuk (s3,t3) B24 0,212

Untuk (s4,t4) B24 0,789

Total B24 2,000

Perhitungan C

E = 10989,011

1 - v2

10989,011 3296,703 0 {C} = 3296,703 10989,011 0

0 0 3846,154

Perhitungan K

Untuk (s1,t1)

922

4 444

1

-619

1

-184

1

-247

4

-119

1 -

559

-140

8

922

4 -

140-

559 -

119-

247-

184-

619

8 1 4 1 1

700

4

-119

1 166

1 378

-247

4 222

2

288

3 494 150 253

9

-247

4

664 320 150 378

664 494 166

1

288

3

-119

1

700

4

Untuk (s2,t2)

700

4 119

1

-619

1 140

8

-247

4

-222

2 166

1 -

378

288

3 184

1 -

559

-253

9

-247

4 -

494 150

922

4

-444

1 -

559 140

8

-247

4 119

1

922

4 184

1

-619

1 119

1

-247

4

288

3 119

1 150 -

494

700

4 -

378 166

1

664 -

320

664

Untuk (s3,t3)

664 320 150 378

-247

4

-119

1 166

1 494

664 494 166

1

-119

1

-247

4 378 150

288

3

-119

1 -

559

-184

1

-247

4 253

9

700

4

-140

8

-619

1 222

2

-247

4

922

4 444

1

-619

1

-184

1

922

4

-140

8 -

559

700

4

-119

1

288

3

Untuk (s4,t4)

288

3 119

1 150 -

494

-247

4

-253

9 -

559 184

1

700

4 -

378 166

1

-222

2

-247

4 140

8

-619

1

664 -

320 166

1 -

494

-247

4 119

1

664 -

378 150 119

1

-247

4

700

4 119

1

-619

1 140

8

288

3 184

1 -

559

922

4

-444

1

922

4

Matriks kekakuan struktur

494

4 178

6

-302

0 -

137

-247

4

-178

6 551 137

178

6 494

4 137 551

-178

6

-247

4 -

137

-302

0

-302

0 137 494

4

-178

6 551 -

137

-247

4 178

6

[k] =

-137 551

-178

6 494

4 137

-302

0 178

6

-247

4

-247

4

-178

6 551 137 494

4 178

6

-302

0 -

137

-178

6

-247

4 -

137

-302

0 178

6 494

4 137 551

551 -

137

-247

4 178

6

-302

0 137 494

4

-178

6

137

-302

0 178

6

-247

4 -

137 551

-178

6 494

4

Pemasukan syarat-syarat batas

u1 0

v1 0

u2 u2

{q} = v2 = 0

u3 u3

v3 0

u4 0

v4 0

[k] x {q} = {Q}

4944

1786

-302

0 -

137

-247

4

-178

6 551 137 0 178

6 494

4 137 551 -

178-

247-

137 -

302 0

6 4 0

-302

0 137 494

4

-178

6 551 -

137

-247

4 178

6 u2

-137 551

-178

6 494

4 137

-302

0 178

6

-247

4 0 -

2474

-178

6 551 137 494

4 178

6

-302

0 -

137 u3 -

1786

-247

4 -

137

-302

0 178

6 494

4 137 551 0

551 -

137

-247

4 178

6

-302

0 137 494

4

-178

6 0

137

-302

0 178

6

-247

4 -

137 551

-178

6 494

4 0

Eliminasi Gauss

4944 u2 + 551 u3 = 0,5

551 u2 + 4944 u3 = 0,5

a 4944 551 0,5

b 551 4944 0,5 b - (551/4944)a

a 4944 551 0,5

b 0 4882 0,44

4882 u3 = 0,44

u3 = 9,10E-05

u2 = 9,10E-05

5.1.2 Perhitungan SAP

5.1.3 Perhitungan SEAP

Gambar 5.1a Output displacement kasus 1

dengan SEAP

Gambar 5.1b Output reaction kasus 1 dengan

SEAP

Gambar 5.1c Output element forces kasus 1

dengan SEAP

5.1.4 Kesimpulan contoh kasus 1 Didapatkan hasil yang tidak berbeda antara hasil perhitungan manual dan perhitungan program SAP dengan perhitungan SEAP. Perbedaan tanda disebabkan perbedaan sistem koordinat yang digunakan. 5.2 Contoh Kasus 2 Contoh kasus kedua digunakan untuk menguji kemampuan program SEAP menganalisa elemen dengan bentuk kuadriteral tapi tidak bujur sangkar. Kasus kali ini menggunakan elemen berbentuk trapesium Data-data elemen: - Modulus elastisitas = 25000 kg/cm2

- Poisson’s ratio = 0,2 - Data koordinat elemen: - Joint 1 = 0, 0 - Joint 2 = 2,0 - Joint 3 = 1,1 - Joint 4 = 0,1 - Beban tarik permukaan : - Pada sisi 2 - Tx = 2 kg/cm 5.2.1 Perhitungan Manual

Perhitungan matriks [B] Perhitungan Xij & Yij Xij = Xi - Xj Yij = Yi - Yj X12 -2 Y12 0 X13 -1 Y13 -1 X14 0 Y14 -1 X23 1 Y23 -1 X24 2 Y24 -1 X34 1 Y34 0 Perhitungan |J| Untuk (s1,t1) Untuk (s2,t2) |J| = 0,447125 |J| = 0,447125 Untuk (s3,t3) Untuk (s4,t4) |J| = 0,302875 |J| = 0,302875 Perhitungan B

B11 Untuk (s1,t1) B11 -0,441 Untuk (s2,t2) B11 -0,441 Untuk (s3,t3) B11 -0,175 Untuk (s4,t4) B11 -0,175 Total B11 -1,231 B13 Untuk (s1,t1) B13 0,118 Untuk (s2,t2) B13 0,118 Untuk (s3,t3) B13 0,651 Untuk (s4,t4) B13 0,651 Total B13 1,538 B21 Untuk (s1,t1) B21 -0,882 Untuk (s2,t2) B21 -0,559 Untuk (s3,t3) B21 -0,349 Untuk (s4,t4) B21 -0,825 Total B21 -2,615 B12 Untuk (s1,t1) B12 0,441 Untuk (s2,t2) B12 0,441 Untuk (s3,t3) B12 0,175 Untuk (s4,t4) B12 0,175 Total B12 1,231 B14 Untuk (s1,t1) B14 -0,118 Untuk (s2,t2) B14 -0,118 Untuk (s3,t3) B14 -0,651 Untuk (s4,t4) B14 -0,651 Total B14 -1,538 B22 Untuk (s1,t1) B22 -0,118 Untuk (s2,t2) B22 -0,441 Untuk (s3,t3) B22 -0,651 Untuk (s4,t4) B22 -0,175 Total B22 -1,385 B23 Untuk (s1,t1) B23 0,237 Untuk (s2,t2) B23 0,882 Untuk (s3,t3) B23 1,302 Untuk (s4,t4) B23 0,349

Total B23 2,769 B24 Untuk (s1,t1) B24 0,763 Untuk (s2,t2) B24 0,118 Untuk (s3,t3) B24 -0,302 Untuk (s4,t4) B24 0,651 Total B24 1,231 Perhitungan C

E = 26041,667

1 - v2 26041,667 5208,333 0 {C} = 5208,333 26041,667 0 0 0 10416,667 Perhitungan K Untuk (s1,t1) 13160 6074 -3976 -3778 -3530 -1629 -5655 -

22271 -1482 691 -1629 -5974 -2963 16 5207 -815 1066 397 -2298 1 2389 1013 -185 3579 -2 947 437 1517 1602 795 4 6436 -1 15 Untuk (s2,t2) 8318 3852 -2494 -1555 -6493 -2713 669

10166 741 4395 -4394 -

13382 -199 -1 7086 -3037 -2692 1482 -1901 7086 3778 -9580 815 -1 8463 1629 722 -1 20392 -397 2 510 - Untuk (s3,t3) 2064 952 1573 -43 -7693 -3551 4056 2

3492 866 5600 -3551 -

13019 1732 3 5206 -1775 -5866 -3229 -914 4

11349 161 -

20879 1658 3

28681 13238 -

15122 -9 48538 -6458

14639 11979 3068 6783 Untuk (s4,t4) 7891 2252 707 -1342 -5961 -5914 -2637 5004

18060 -433 3435 -3433 -8689 1614 -

12807 1111 -476 2324 -866 -914 1775 1111 43 -404 1775 -4142 12301 3551 -8664 -161 7587 3229 1505 15444 -6619 15444 Matriks kekakuan struktur 12619 5408 -2202 -2804 -8617 -4808 -1800 2204

5408 21031 -200 5010 -4808 -

15229 -400 -

10812 -2202 -200 7410 -2404 -1800 -400 -2431 3004

[k] = -2804 5010 -2404 8010 2204 -

10812 3004 -2208 -8617 -4808 -1800 2204 16620 6009 -6203 -3404

-4808 -

15229 -400 -

10812 6009 26833 -800 -792 -1800 -400 -2431 3004 -6203 -800 11412 -1804

2204 -

10812 3004 -2208 -3404 -792 -1804 13812 Pemasukan syarat-syarat batas u1 0 v1 0 u2 u2 {q} = v2 = 0 u3 u3 v3 0 u4 0 v4 0

[k] x {q} = {Q} 12619 5408 -2202 -2804 -8617 -4808 -1800 2204 0

5408 21031 -200 5010 -4808 -

15229 -400 -

10812 0 -2202 -200 7410 -2404 -1800 -400 -2431 3004 u2

-2804 5010 -2404 8010 2204 -

10812 3004 -2208 0 -8617 -4808 -1800 2204 16620 6009 -6203 -3404 u3

-4808 -

15229 -400 -

10812 6009 26833 -800 -792 0

-1800 -400 -2431 3004 -6203 -800 11412 -1804

2204 -

10812 3004 -2208 -3404 -792 -1804 13812 Eliminasi Gauss

7410 u2 + -1800 u3 = -1800 u2 + 16620 u3 =

7410 -1800 x u2 = -1800 16620 u3

a 7410 -1800 1 b -1800 16620 1 b - (551/4944)a

a 7410 -1800 1 b 0 16183 1,243

16183 u3 = 1,24 u3 = 7,68E-05 u2 = 1,54E-04

5.2.2 Perhitungan SAP

5.2.3 Perhitungan SEAP

Gambar 5.2.a Output displacement kasus 2 dengan SEAP

Gambar 5.2.b Output joint reaction kasus 2 dengan SEAP

Gambar 5.2.c Output element forces kasus 2 dengan SEAP

5.2.4 Kesimpulan contoh kasus 2 Didapatkan hasil yang tidak berbeda antara hasil perhitungan manual dan perhitungan program SAP dengan perhitungan SEAP. Perbedaan tanda disebabkan perbedaan sistem koordinat yang digunakan.

5.3 Contoh Kasus 3 Contoh terakhir digunakan jumlah elemen lebih dari satu. Data-data elemen: Elemen 1 - Modulus elastisitas = 10000 kg/cm2

- Poisson’s ratio = 0,3 - Data koordinat elemen: - Joint 1 = 0, 0 - Joint 2 = 1,0 - Joint 3 = 1,1 - Joint 4 = 0,1 - Beban tarik permukaan : - Pada sisi 2 - Tx = 1 kg/cm Elemen 2 - Modulus elastisitas = 25000 kg/cm2

- Poisson’s ratio = 0,2 - Data koordinat elemen: - Joint 1 = 0, 1 - Joint 2 = 1,1 - Joint 3 = 1,2 - Joint 4 = 0,2 5.3.1 Perhitungan Manual Elemen 1 :

Perhitungan Xij & Yij

Xij = Xi - Xj Yij = Yi - Yj X12 -1 Y12 0 X13 -1 Y13 -1 X14 0 Y14 -1 X23 0 Y23 -1 X24 1 Y24 -1 X34 1 Y34 0

Perhitungan |J|

Untuk (s1,t1) Untuk (s2,t2) |J| = 0,25 |J| = 0,25

Untuk (s3,t3) Untuk (s4,t4) |J| = 0,25 |J| = 0,25 Perhitungan B B11 Untuk (s1,t1) B11 -0,789 Untuk (s2,t2) B11 -0,789

Untuk (s3,t3) B11 -0,212 Untuk (s4,t4) B11 -0,212 Total B11 -2,000

B13 Untuk (s1,t1) B13 0,212 Untuk (s2,t2) B13 0,212 Untuk (s3,t3) B13 0,789 Untuk (s4,t4) B13 0,789 Total B13 2,000 B21 Untuk (s1,t1) B21 -0,789 Untuk (s2,t2) B21 -0,212 Untuk (s3,t3) B21 -0,212 Untuk (s4,t4) B21 -0,789 Total B21 -2,000 B12 Untuk (s1,t1) B12 0,789 Untuk (s2,t2) B12 0,789

Untuk (s3,t3) B12 0,212 Untuk (s4,t4) B12 0,212 Total B12 2,000 B14 Untuk (s1,t1) B14 -0,212 Untuk (s2,t2) B14 -0,212 Untuk (s3,t3) B14 -0,789 Untuk (s4,t4) B14 -0,789 Total B14 -2,000 B22 Untuk (s1,t1) B22 -0,212 Untuk (s2,t2) B22 -0,789 Untuk (s3,t3) B22 -0,789 Untuk (s4,t4) B22 -0,212

Total B22 -2,000 B23 Untuk (s1,t1) B23 0,212 Untuk (s2,t2) B23 0,789 Untuk (s3,t3) B23 0,789 Untuk (s4,t4) B23 0,212 Total B23 2,000 B24 Untuk (s1,t1) B24 0,789 Untuk (s2,t2) B24 0,212 Untuk (s3,t3) B24 0,212 Untuk (s4,t4) B24 0,789 Total B24 2,000 Perhitungan C elemen 1

E = 10989,011

1 - v2 10989,011 3296,703 0 {C}= 3296,703 10989,011 0 0 0 3846,154 Perhitungan Matriks Kekakuan Lokal Elemen 1 Untuk (s1,t1)

9224 4441 -

6191 -

1841 -

2474 -

1191 -559 -

1408

9224 -

1408 -559 -

1191 -

2474 -

1841 -

6191

7004 -

1191 1661 378 -

2474 2222

2883 494 150 2539 -

2474 664 320 150 378 664 494 1661

2883 -

1191 7004 Untuk (s2,t2)

7004 1191 -

6191 1408 -

2474 -

2222 1661 -378

2883 1841 -559 -

2539 -

2474 -494 150

9224 -

4441 -559 1408 -

2474 1191

9224 1841 -

6191 1191 -

2474 2883 1191 150 -494 7004 -378 1661 664 -320

664 Untuk (s3,t3)

664 320 150 378 -

2474 -

1191 1661 494

664 494 1661 -

1191 -

2474 378 150

2883 -

1191 -559 -

1841 -

2474 2539

7004 -

1408 -

6191 2222-

2474

9224 4441 -

6191 -

1841

9224 -

1408 -559

7004 -

1191 2883 Untuk (s4,t4)

2883 1191 150 -494 -

2474 -

2539 -559 1841

7004 -378 1661 -

2222 -

2474 1408 -

6191

664 -320 1661 -494-

2474 1191

664 -378 150 1191 -

2474

7004 1191 -

6191 1408 2883 1841 -559

9224-

4441 9224

Hasil Akhir u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4

4944 1786 -

3020 -137 -

2474 -

1786 551 137 u1

1786 4944 137 551 -

1786 -

2474 -137-

3020 v1

-

3020 137 4944 -

1786 551 -137 -

2474 1786 u2

[k1] = -137 551

-1786 4944 137

-3020 1786

-2474 v2

-2474

-1786 551 137 4944 1786

-3020 -137 u3

-

1786 -

2474 -137 -

3020 1786 4944 137 551 v3

551 -137 -

2474 1786 -

3020 137 4944 -

1786 u4

137 -

3020 1786 -

2474 -137 551 -

1786 4944 v4

Elemen 2 :

Perhitungan Xij & Yij Xij = Xi - Xj Yij = Yi - Yj X12 -1 Y12 0 X13 -1 Y13 -1 X14 0 Y14 -1 X23 0 Y23 -1 X24 1 Y24 -1 X34 1 Y34 0 Perhitungan |J| Untuk (s1,t1) Untuk (s2,t2) |J| = 0,25 |J| = 0,25 Untuk (s3,t3) Untuk (s4,t4) |J| = 0,25 |J| = 0,25 Perhitungan B B11 Untuk (s1,t1) B11 -0,789 Untuk (s2,t2) B11 -0,789 Untuk (s3,t3) B11 -0,212 Untuk (s4,t4) B11 -0,212 Total B11 -2,000 B13 Untuk (s1,t1) B13 0,212 Untuk (s2,t2) B13 0,212 Untuk (s3,t3) B13 0,789 Untuk (s4,t4) B13 0,789 Total B13 2,000 B21 Untuk (s1,t1) B21 -0,789 Untuk (s2,t2) B21 -0,212 Untuk (s3,t3) B21 -0,212 Untuk (s4,t4) B21 -0,789 Total B21 -2,000B12 Untuk (s1,t1) B12 0,789 Untuk (s2,t2) B12 0,789 Untuk (s3,t3) B12 0,212 Untuk (s4,t4) B12 0,212 Total B12 2,000 B14 Untuk (s1,t1) B14 -0,212 Untuk (s2,t2) B14 -0,212 Untuk (s3,t3) B14 -0,789 Untuk (s4,t4) B14 -0,789 Total B14 -2,000

B22 Untuk (s1,t1) B22 -0,212 Untuk (s2,t2) B22 -0,789 Untuk (s3,t3) B22 -0,789 Untuk (s4,t4) B22 -0,212 Total B22 -2,000 B23 Untuk (s1,t1) B23 0,212 Untuk (s2,t2) B23 0,789 Untuk (s3,t3) B23 0,789

Untuk (s4,t4) B23 0,212 Total B23 2,000 B24 Untuk (s1,t1) B24 0,789 Untuk (s2,t2) B24 0,212 Untuk (s3,t3) B24 0,212 Untuk (s4,t4) B24 0,789 Total B24 2,000 Perhitungan C elemen 2

E = 26041,667 1 - v2

26041,667 5208,333 0 {C}= 5208,333 26041,667 0 0 0 10416,667 Perhitungan Matriks Kekakuan Lokal Elemen 2 Untuk (s1,t1)

22667 9715-

14454 -5608 -6080 -2606 -2133 -1501

22667 -1501 -2133 -2606 -6080 -5608-

14454 16657 -2606 3877 403 -6080 3704 7641 1504 572 6709 -6080 1631 699 572 403 1631 1504 3877 7641 -2606 16657

Untuk (s2,t2)

16657 2606-

14454 1501 -6080 -3704 3877 -403 7641 5608 -2133 -6709 -6080 -1504 572

22667 -9715 -2133 1501 -6080 2606

22667 5608-

14454 2606 -6080 7641 2606 572 -1504 16657 -403 3877 1631 -699 1631 Untuk (s3,t3)

1631 699 572 403 -6080 -2606 3877 1504 1631 1504 3877 -2606 -6080 403 572 7641 -2606 -2133 -5608 -6080 6709

16657 -1501-

14454 3704 -6080

22667 9715-

14454 -5608 22667 -1501 -2133 16657 -2606 7641 Untuk (s4,t4) 7641 2606 572 -1504 -6080 -6709 -2133 5608

16657 -403 3877 -3704 -6080 1501-

14454 1631 -699 3877 -1504 -6080 2606 1631 -403 572 2606 -6080

16657 2606-

14454 1501 7641 5608 -2133 22667 -9715 22667 Hasil Akhir u4 v4 u3 v3 u5 v5 u6 v6 12149 3906 -6941 -1302 -6080 -3906 872 1302 u4 3906 12149 1302 872 -3906 -6080 -1302 -6941 v4 -6941 1302 12149 -3906 872 -1302 -6080 3906 u3[k2] = -1302 872 -3906 12149 1302 -6941 3906 -6080 v3

-6080 -3906 872 1302 12149 3906 -6941 -1302 u5 -3906 -6080 -1302 -6941 3906 12149 1302 872 v5 872 -1302 -6080 3906 -6941 1302 12149 -3906 u6 1302 -6941 3906 -6080 -1302 872 -3906 12149 v6

Selanjutnya matriks kekakuan lokal diubah menjadi matriks kekakuan global elemen. Hal ini dilakukan dengan cara melakukan penyesuaian terhadao orde dari matriks kekakuan struktur yang berjumlah 2 kali jumlah joint. Untuk soal ini orde matriks kekakuan struktur adalah 2 kali 6 joint, yaitu 12 x 12. Matriks kekakuan global elemen

Matriks kekakuan struktur

Pemasukan Syarat Batas

u1 0 0 v1 0 0 u2 0 0,5 v2 0 0 u3 u3 0,5 {q}= v3 = 0 {Q} = 0 u4 0 0 v4 0 0 u5 u5 0 v5 0 0 u6 0 0 v6 0 0 [k] x {q} = {Q}

Eliminasi Gauss 17093 u3 + 872 u5 = 0,5

872 u3 + 12149 u5 = 0 17093 872 x u3 = 0,5 872 12149 u5 0

a 17093 872 0,5

b 872 12149 0b - (872/17093)a

a 17093 872 0,5

b 0 12105 -

0,026 12105 u5 = -0,03 u5 = -0,0000021 u3 = 0,0000294

5.3.2 Perhitungan SAP

5.3.3 Perhitungan SEAP

Gambar 5.3.a Output displacement kasus 3

dengan SEAP

Gambar 5.3.b Output joint reaction kasus 3 dengan SEAP

Gambar 5.3.c Output element force kasus 3

dengan SEAP 5.3.4 Kesimpulan contoh kasus 3 Didapatkan hasil yang sama antara hasil perhitungan manual dengan perhitungan SEAP. Tapi terdapat perbedaan antara perhitungan SEAP dengan perhitungan SAP Untuk nilai displacement terdapat perbedaan sebesar 0,000003 pada joint 3 dan 5. Untuk nilai joint reaction terdapat perbedaan sekitar 0,02 hingga 0,03. Untuk nilai element forces terdapat perbedaan sekitar 0,2 hingga 0,3. Perbedaan yang mungkin bisa terjadi karena pada perhitungan SEAP tidak menyertakan matriks transformasi atau bisa juga karena terdapat perbedaan metode perhitungan SAP untuk jumlah elemen lebih dari satu.

BAB VI

PENUTUP

6.1 Kesimpulan Dari uji coba perbandingan hasil analisa program

SEAP dengan perhitungan manual dan program SAP dapat disimpulkan bahwa:

1. Perhitungan dengan SEAP memiliki hasil yang sama atau mendekati dengan hasil analisa dari SAP. Perbedaan yang ada disebabkan oleh pembulatan angka dibelakang koma.

2. Program SEAP cukup user friendly, dengan keterangan input yang jelas dalam form-form input terpisah juga didukung dengan tampilan berbasis grafis 3 dimensi yang dapat memudahkan pengguna mengecek bentuk elemen, beban-beban yang dikenakan dan arah displacement joint.

3. Untuk keperluan pengembangan program di masa mendatang, SEAP telah disusun dalam modul-modul terpisah untuk proses analisa, pengelola file dan data serta plot grafis 3 dimensi, sehingga dapat lebih memudahkan pemahaman tentang alur program.

6.2 Saran

Untuk mencapai hasil yang lebih baik di masa mendatang utamanya untuk keperluan pengembangan lebih lanjut maka perlu dipertimbangkan saran-saran sebagai berikut:

1. Program SEAP ini dibuat juga sebagai sarana pembelajaran metode elemen hingga pada elemen shell, sehingga metode penulisan program masih mengacu pada alur-alur

perhitungan secara manual. Hal ini terlihat dari bagaimana matriks-matriks kekakuan disimpan secara utuh dan tidak efisien sehingga akan banyak menguras memori komputer pengguna, utamanya pada penggunaan untuk analisa struktur yang kompleks.

2. Program ini adalah program analisa sederhana dimana pembebanan akan dihitung secara langsung sesuai input pengguna tanpa ada klasifikasi beban mati, hidup, gempa dan sebagainya, juga kasus kombinasi beban, sehingga untuk kepentingan pengembangan diperlukan kiranya untuk menambahkan kasus kombinasi beban.

3. Program ini belum memasukkan proses meshing, padahal proses meshing merupakan proses yang sangat berguna untuk semakin mematangkan hasil analisa, sehingga pengembangan program dengan menyediakan fasilitas meshing akan semakin meningkatkan ketelitian hasil analisa.