Térgeometria

1. feladat: Egy szabályos háromoldalú gúla oldaléle 13 cm, magassága 5 cm. Mekkora szöget zárnak be az oldallapok az alaplappal?

Megoldás:

Megfelelő ábra, megfelelő síkmetszetek:

A gúla alaplapja szabályos háromszög, így a gúla magasságának és az alaplapnak a metszéspontja a szabályos háromszög súlypontja (S), amely a súlyvonalat harmadolja.

Az ASD derékszögű háromszögben Pitagorasz tétele szerint:

Ekkor az FSD háromszögben:

Tehát az oldallapok és az alaplap hajlásszöge 39,81°.

2. feladat: Szabályos hatoldalú gúla magassága 18 cm, oldaléle 23 cm. Mekkora az alapél?

Megoldás:

Az ábrán látható ABK háromszög szabályos, így elég könnyű dolgunk van.

Az AKO derékszögű háromszögben a Pitagorasz-tétel szerint:

Tehát a gúla alapéle cm.

3. feladat: Egy szabályos négyoldalú gúla alapéle 7 cm, oldaléle 10 cm hosszúságú. A gúla csúcsától milyen távolságban kell az alaplappal párhuzamos síkkal metszeni a gúlát, hogy a keletkező csonka gúla fedőlapja 25 cm2 területű legyen? Mekkorák a csonka gúla szomszédos oldallapjai által bezárt szögek?

Megoldás:

A hasonlóságot figyelembe véve:

A gúla magasságát keressük. A KCO derékszögű háromszögben Pitagorasz tétele szerint:

Innen

.

Még keressük az oldallapok hajlásszögét. Ehhez meghatározzuk az y hosszt.

Az ABO háromszögben meghatározzuk a területet kétféleképpen:

Ehhez PO kiszámítható Pitagorasz tételével OPB derékszögű háromszögből:

Így

Innen az oldallapok hajlásszöge (α):

(Megjegyzés: Ez a szög cosinustétellel is kiszámítható.)

Tehát a gúlát a csúcsától 6,21 cm távol kell levágni, az oldallapok hajlásszöge pedig 97,96°.

4. feladat: Egyenes csonka kúp alakú papír lámpaernyő alkotója 35 cm, a felső nyílás átmérője 6 cm, az alsóé 45 cm. Mekkora a palást területe?

Megoldás:

A körcikkek hasonlósága miatt:

Innen:

Ekkor

5. feladat: Egy 5 cm sugarú gömb középpontjától 13 cm-re helyezkedik el a P pont. P-ből a gömbhöz érintőkúpot teszünk. Ennek alkotói P-ből a gömbig húzott érintőszakaszok. Mekkora az érintőkúp alkotója, magassága?

Megoldás:

Az OPE derékszögű háromszögben a Pitagorasz-tétel szerint:

Az OPE derékszögű háromszögben:

Igaz az is, hogy

.

Ekkor ismét a Pitagorasz-tétel szerint:

Tehát a kúp alkotója 12 cm, magassága 11,08 cm hosszú.

6. feladat: Egy téglatest élhosszainak aránya 1 : 2 : 5. Felszíne 850 területegység. Számítsuk ki az élek hosszát és a téglatest térfogatát!

Megoldás:

7. feladat: Hány %-kal és hogyan változik egy téglatest térfogata, ha egyik élhosszát 10 %-kal, a másikat 20 %-kal növeljük, a harmadikat pedig 15 %-kal csökkentjük?

Megoldás:

Tehát az új téglatest térfogata 12,2 %-kal nő.

8. feladat: Ha egy kockának az élhosszát 5 cm-rel növeljük, akkor a térfogata 1685 cm3-rel nő. Számítsuk ki az élhosszát!

Megoldás:

Tehát a kocka éle 8 cm.

9. feladat: Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasáb alapéle 10 cm hosszú, palástjának területe ötszöröse az alapterületének. Mekkora a hasáb felszíne, térfogata?

Megoldás:

10. feladat: Egy szabályos ötoldalú gúla alapéle 7 cm, oldalélei 10 cm hosszúak. Mekkora a felszíne és térfogata? Mekkora a fenti gúlába beleírható gömb sugara?

Megoldás:

a) Felszín:

b) Térfogat:

c) Beírt gömb sugara:

A háromszögek területképletéből határozzuk meg:

11. feladat: Négyzetalapú egyenes csonka gúla alapéle 7 cm, fedőéle 4 cm, oldalélei pedig 10 cm hosszúságúak. Mekkora a csonka gúla térfogata és felszíne?

Megoldás:

12. feladat: Nagymama azt kéri a közelben lakó Péter unokájától, hogy az 5 literes fazekat vigye át neki, mert finom levest szeretne készíteni a családi ünnepségre. Péter nézegeti az edényeket, de az aljukról már lekopott a jelzés. Azt gyanítja, hogy a 20 cm alapkör átmérőjű, 17 cm magas fazékra gondolt a nagyi. Megfelelő lesz-e a kiválasztott edény?

Megoldás:

Fel kell használnunk, hogy . (Függvénytáblázat, 62. o.)

Így .

A Péter által kiválasztott edény térfogata:

Így 5 l simán belefér a kiválasztott edénybe.

13. feladat: Egy henger alakú üdítős dobozt átalakítottak, hogy ivás közben kényelmesebben lehessen megfogni. A térfogata nem változott, tehát ugyanannyi ital fér bele, csak a doboz felszíne nőtt meg 27,3 cm2-rel annak következtében, hogy 1 cm-rel kisebb lett a henger alapkörének átmérője, míg a magassága pontosan 4,7 cm-rel megnőtt. Mekkorák az új henger méretei?

Megoldás:

Az átalakítás előtt: Az átalakítás után:

Innen azt kapjuk, hogy:

Valamint:

A kettő lapján:

Tehát az új doboz alapkörének sugara 3 cm (az átmérő 6 cm), a doboz magassága pedig 17,72 cm.

14. feladat: Egy egyenes kúp sugara 9 egység. Alkotóinak az alapsíkkal alkotott hajlásszöge 45°. Mekkora a felszíne, térfogata? A magasság felezőpontjára illeszkedő és az alapsíkkal párhuzamos síkkal levágunk belőle egy kis kúpot. Mekkora a kis kúp sugara, palástterülete, felszíne, térfogata?

Megoldás:

15. feladat: 24 cm átmérőjű körlapból 3 egyforma süveget szeretnénk készíteni úgy, hogy a körlapot három egybevágó körcikkre vágjuk. Milyen magasságú (körkúp alakú) süvegeket készíthetünk?

Megoldás:

16. feladat: Forgassuk meg átfogója körül azt a derékszögű háromszöget, amelynek befogói 6 és 8 cm hosszúak. Mekkora a keletkezett forgástest térfogata?

Megoldás:

A keletkezett forgástest két, az alapjuknál összerakott egyenes körkúpból áll. Ezek térfogatának összege adja a keresett test térfogatát.

Pitagorasz tétele alapján:

Határozzuk meg az alapkör sugarát! A derékszögű háromszög területét használjuk fel ehhez. (A magasságtétellel is működne a dolog.)

A befogótétel alapján (bár Pitagorasz-tétellel is lehetne):

Innen a térfogatok:

17. feladat: Egy üvegpohár alja 6 cm, teteje 8 cm átmérőjű kör, a pohár magassága 10 cm.a) Mennyi folyadék tölthető a pohárba?b) Hány deciliter víz van a pohárban, ha a víz 5 cm magasan áll benne?

Megoldás:

a) A pohár űrtartalma

b) A víz

Az új csonka kúpunk hiányzó alapja a trapéz középvonalának a fele (az adatok speciális volta miatt).

18. feladat: Egy szimmetrikus trapéz párhuzamos oldalai 16, 12 egység, szárai 5 egység hosszúak. A szimmetriatengelye körül forgatjuk. Számítsuk ki a kapott forgástest felszínét, térfogatát!

Megoldás:

Meglepődni nem kell: a kapott test egy csonka kúp.

19. feladat: Egy kocka alakú fadarabból kifaragjuk a lehető legnagyobb sugarú gömböt. A fadarab hány százaléka lesz hulladék?

Megoldás:

A kocka beírt gömbjének térfogatát keressük. Készítsünk egy találó síkmetszetet!

20. feladat: Egy játékforgalmazó mini teniszlabdák csomagolásához partnert keres. A teniszlabdákat négyesével kell dobozolni úgy, hogy a labdák ne lötyögjenek a dobozban. Két ajánlat érkezett, mindkettő henger alakú dobozra szólt; az egyik henger hosszúkás, a másik lapos, korong alakú volt. A vállalkozók egy-egy ábrát is mellékeltek az általuk javasolt csomagolási mód szemléltetésére. A dobozkészítéshez mindkét vállalkozó ugyanolyan minőségű és egységárú anyagot használna. Melyik vállalkozó ajánlata kedvezőbb a forgalmazó számára, ha a dobozok ára a készítésükhöz felhasznált anyag árával egyenesen arányos, és az arányossági tényező mindkét vállalkozó esetében ugyanannyi? (Egy teniszlabda átmérője legyen 6 cm.)

Megoldás:

Hengerek felszínét kell meghatározni, az fogja megadni a felhasználandó csomagolóanyag mennyiségét.

Az első típus: A második típus:

Az első doboztípus gazdaságosabb.

Sorozatok

1. feladat: Egy számtani sorozat első eleme 297, a századik eleme 0. Mekkora a sorozat különbsége?

Megoldás:

A számtani sorozat ismert adatai: .Ekkor:

2. feladat: Egy számtani sorozat negyedik és ötödik eleme rendre 398 és 402. Határozzuk meg a sorozat első három elemét!

Megoldás:

Ekkor

(Megjegyzés: a feladat a már használt formulával is nyílván megoldható.)

3. feladat: Egy számtani sorozat harmadik tagja 50, a sorozat tizedik tagja 10-zel kisebb a nyolcadiknál. Határozza meg a sorozat első tagját!

Megoldás:

Használjuk fel az n-edik tagra vonatkozó összefüggést!

Ekkor

Így viszont

4. feladat: Az számtani sorozat tagjai között az alábbi összefüggések állnak fenn:

és .

Határozza meg a sorozat első tagját!

Megoldás:

Vagyis

5. feladat: Határozzuk meg annak a számtani sorozatnak az első elemét, amelynek n-edik eleme 30, a különbsége -3, és az első n elem összeg 225!

Megoldás:

Feltételek:

Dolgozzunk a két ismert összefüggéssel!

Egy egyenletrendszert kaptunk:

Ekkor viszont .

6. feladat: Hány oldalú az a sokszög, amelynek belső szögei számtani sorozatot alkotnak; legkisebb szöge 105°-os, legnagyobb szöge 135°-os?

Megoldás:

Legyen a sokszögnek n oldala, és ekkor nyílván n belső szöge!

Ekkor . A belső szögek összegére igaz:

a)

b) (Mivel a belső szögek egy számtani sorozatot alkotnak.)

Vagyis

A sokszög 6 oldalú.

7. feladat: Egy mértani sorozat első eleme 1024, kvóciense . Határozzuk meg a sorozat

1001. elemét!

Megoldás:

Az ismert képlet szerint:

8. feladat: Hány elemből áll az a mértani sorozat, amelynek első eleme 12, utolsó eleme

, hányadosa ?

Megoldás:

Álljon ez a sorozat n elemből!

9. feladat: Hány elemű az a mértani sorozat, amelynek első eleme 2, hányadosa 3, összege 59048?

Megoldás: Legyen a sorozat n elemű!

Függvények

1. feladat: Ábrázoljuk és jellemezzük a következő függvényt: !

Megoldás:

Eltolás az x tengellyel párhuzamosan pozitív irányba 2 egységgel

Eltolás az y tengellyel párhuzamosan pozitív irányba 2 egységgel

Tulajdonságok:

Értelmezési tartomány: Monotonitás:

-on szig. mon. csökk.-on szig. mon. növ.

Szélsőérték:Min: helyen Max: helyen

Zérushelyek: nincs Értékkészlet:

2. feladat: Ábrázoljuk és jellemezzük a következő függvényt: !

Megoldás:

Eltolás az x tengellyel párhuzamosan negatív irányba 3 egységgel

Nyújtás

Tükrözés az x tengelyre

Eltolás az y tengellyel párhuzamosan negatív irányba 4 egységgel

Tulajdonságok:

Értelmezési tartomány: Monotonitás:

-on szig. mon. növ.-on szig. mon. csökk.

Szélsőérték:Min: nincsMax: helyen

Zérushelyek: nincs Értékkészlet:

Egyenletek

1. feladat: Melyik az a tört, amelynek számlálója 2-vel nagyobb a nevezőjénél, és tudjuk, értéke nem változik, ha a számlálójához ötöt adunk, nevezőjét pedig kétszeresére növeljük?

Megoldás:

A tört: .

Tehát a tört az .

2. feladat: A 150 km hosszúságú útszakaszon az egyik gépkocsi 10 km/h sebességgel gyorsabban haladt, ezért fél órával hamarabb ért célba, mint a másik, pedig egyszerre indultak. Mekkora sebességgel haladt a két gépkocsi?

Megoldás:

Sebesség (km/h) Út (km) Idő (h)1. kocsi x 150

2. kocsi x + 10 150

Azaz 50 km/h és 60 km/h sebességgel haladtak a kocsik.

3. feladat: Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!

Megoldás:

Tehát az egyenlet valós megoldása a 3.

4. feladat: Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!

Megoldás:

Új ismeretlent kell majd bevezetnünk.

5. feladat: Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!

Megoldás:

6. feladat: Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!

Megoldás:

Kombinatorika, valószínűség-számítás

1. feladat: Hány hatjegyű 5-tel osztható szám készíthető az 1, 2, 2, 3, 3, 5 számjegyekből?

Megoldás:

Hogy 5-tel osztható legyen a szám, 5-re kell, hogy végződjön. Tehát a feladat úgy módosul, hogy az 1, 2, 2, 3, 3 számokat kell sorrendbe állítanunk. A sorrendek számát keressük:

2. feladat: 10 különböző magasságú ember hányféleképpen állhat sorban, ha azt akarjuk, hogy a legmagasabb és a legalacsonyabb egymás mellé kerüljön?

Megoldás:

A legmagasabb és a legalacsonyabb egymáshoz viszonyított sorrendje a következő lehet:

a) A legmagasabb előbb áll, mint a legalacsonyabb (de egymás mellett vannak)

Az esetek összeszámlálását egyszerűbbé teszi az, ha a legmagasabbra és a legalacsonyabbra mint egy emberre tekintünk (ők úgy is egymás mellett állnak). A feladat tehát úgy módosul, hogy 9 ember sorrendjeinek számát keressük:

.

b) A legalacsonyabb előbb áll, mint a legmagasabb (de egymás mellett vannak)

Az a) esethez hasonlóan ekkor is 9! sorrend lehetséges.

Összefoglalva:

Az a) és b) esetből összesen sorrend lehet.

3. feladat: Az A, E, K, M, T betűkből (minden betűt egyszer felhasználva) felírjuk az összes (többségében nem értelmes) szót, majd ezeket ábécé sorrendbe rendezzük. Hányadik helyen áll ekkor a MATEK szó?

Megoldás:

Menjünk sorrendben!

A-val kezdődő szavak száma: 4! = 24.E-vel kezdődő szavak száma: 4! = 24.K-val kezdődő szavak száma: 4! = 24.

Ez eddig szó; az ábécé sorrendbe írt szavak közül az első 72.

Ezek után a MA-val kezdődő szavak következnek a sorrendben (ezek között lesz a MATEK).

MA-val kezdődő szavak száma: 3! = 6. Ezek:

MA EKT a 73. az ábécé sorrendben.MA ETK a 74. az ábécé sorrendben.MA KET a 75. az ábécé sorrendben.MA KTE a 76. az ábécé sorrendben.MA TEK a 77. az ábécé sorrendben. Mi pont ezt kerestük.

Tehát a MATEK szó a 77. helyen áll.

4. feladat: Kilenc különböző színből hányféle háromszínű csíkos zászló készíthető, he egy szín csak egyszer szerepelhet?

Megoldás:

A színek sorrendje számít, így 9 elem 3-adosztályú ismétlés nélküli variációinak számát keressük:

.

5. feladat: A 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyek felhasználásával hány ötjegyű szám készíthető? (Hány ötjegyű szám van?)

Megoldás:

Az első számjegy 9-féle lehet (a 0 nem). A maradék négy helyre a 10 számjegyből bármelyik kerülhet. Ez azt jelenti, hogy 10 elem 4-edosztályú ismétléses variációinak a számát keressük:

Vagyis összesen ötjegyű szám van.

6. feladat: Egy községben 32 háztartásban van telefon. Hányféle telefonbeszélgetés létesülhet a községben?

Megoldás:

.

7. feladat: Határozzuk meg, hogy egy 5 elemű halmaznak hány 3 elemű részhalmaza van!

Megoldás:

Egy halmaz elemei között nem adhatunk meg semmilyen sorrendet. Így gyakorlatilag azt keressük, hogy 5 elem közül hányféleképpen tudunk kiválasztani 3-at. Vagyis 5 elem 3-adosztályú ismétlés nélküli kombinációinak számát keressük:

.

8. feladat: Hány pozitív osztója van 1500-nak?

Megoldás:

Írjuk fel 1500-at prímtényezők szorzataként:

15007503751252551

223555

Az 1500 osztói a 2, 3 és az 5 különböző hatványú szorzataként állnak elő.

A 2 a következő hatványokon lehet: 0, 1, 2 (3 db)A 3 a következő hatványokon lehet: 0, 1 (2 db)Az 5 a következő hatványokon lehet: 0, 1, 2, 3 (4 db)

Háromtényezős szorzatokat keresünk:

Az 1. tényező helyén (valamilyen 2 hatvány lesz) 3 szám lehet ( ).A 2. tényező helyén (valamilyen 3 hatvány lesz) 2 szám lehet ( ).A 3. tényező helyén (valamilyen 5 hatvány lesz) 4 szám lehet ( ).

Ez összesen szám.

Vagyis 1500-nak 24 pozitív osztója van.

9. feladat: Egy játék három nyertese egy olyan urnából húzhat (mindhárman egy-egy borítékot), amiben különböző értékű vásárlási utalványok vannak: 5 db 1000, 5 db 2000, 3 db 3000 és 2 db 4000 Ft értékű. Hányféleképpen húzhatnak, ha az össznyereményük 6000 Ft?

Megoldás:

Először írjuk fel a 6000-t három szám összegeként, ahol a számok 1000, 2000, 3000, 4000 lehetnek:

a) 6000 = 1000 + 2000 + 3000b) 6000 = 1000 + 1000 + 4000

a) Az egyik 1000 Ft-ost húz, a másik 2000 Ft-ost, a harmadik 3000 Ft-ost:

b) Két darab 1000 Ft-ost húznak ki és egy 4000 Ft-ost:

Összefoglalva: 75 + 40 = 115 lehet a húzások száma.

10. feladat: Mennyi a valószínűsége annak, hogy ötösünk lesz a lottón?

Megoldás:

A = {ötösöm van a lottón}

Kedvező esetek száma: 1. (Hiszen csak egy számötös a nyerő.)

Összes esetek száma: .

(elég kevés).

11. feladat: A 32 lapos magyar kártyából egyszerre három lapot húzunk. Mi a valószínűsége annak, hogy a kihúzott lapok között legalább egy zöld van?

Megoldás:

(A 32 lapos magyar kártyában négyfajta szín van, mindegyikből azonos mennyiségű lap, így 8 darab zöld lap van.)

A = {legalább egy zöld lapot kihúzunk}

Érdemes először az ellentett esemény valószínűségét kiszámolnunk.

{a kihúzott lapok között nincs zöld}

Ebben az esetben:

Kedvező esetek száma: (A három lapot a 24 nem zöld közül húzzuk ki.)

Összes esetek száma: (A 32 lap közül húzunk ki hármat.)

Ekkor az A esemény valószínűsége:

.

12. feladat: Az 1, 2, 3, 4 számjegyekből négyjegyű számokat készítünk. Mi a valószínűsége annak, hogy a kapott szám nem osztható 4-gyel?

Megoldás:

A = {a kapott szám nem osztható 4-gyel}

Érdemes az ellentett esemény valószínűségét kiszámítani.

{a kapott szám osztható 4-gyel}

Ebben az esetben:

Kedvező esetek: a kapott négyjegyű szám utolsó két számjegyéből álló szám dönti el, hogy a szám osztható-e néggyel. A végződések elehetnek: 12, 24, 32.

a) 12-re végződik: 2! = 2.b) 24-re végződik: 2! = 2.c) 32-re végződik: 2! = 2.

Kedvező esetek száma: 6.Összes esetek száma: 4! = 24.

Ekkor az A esemény valószínűsége:

Trigonometria (sinustétel, cosinustétel)

1. feladat: Ismerjük egy háromszög egyik oldalát (230 m), és az ezen az oldalon fekvő két szöget (58° és 79°). Határozzuk meg a másik két oldal hosszát!

Megoldás:

Nézzük az adatokat:

A sinustételt fogjuk használni, de ehhez szükség van a harmadik szögre is: .

Most jöhet a sinustétel:

.

Nézzük a másik oldalt:

.

Tehát a háromszög másik két oldalának hossza közelítőleg 286 és 331 m.

2. feladat: Mekkora a területe annak a háromszögnek, melynek egyik oldala 8,8 cm, a rajta fekvő két szög pedig 48°, illetve 36°?

Megoldás:

A háromszög tompaszögű lesz. Nézzük az adatokat:

Ekkor .

A feladat a háromszög területét keresi:

.

Meg kell határoznunk az a oldalt. Ehhez a sinustételt használjuk fel:

Ekkor a terület:

.

3. feladat: Egy trapéz két párhuzamos oldalának hossza 44 cm és 28 cm. A hosszabbik alapon lévő két szög 59°-os és 38°-os. Mekkorák a trapéz szárai?

Megoldás:

Az adatokból látszik, hogy a trapéz nem szimmetrikus. Készítsünk ábrát!

A trapéz C csúcsán át húzzunk párhuzamost a d oldallal. Ekkor a PBC háromszöget kapjuk, amelynek a P-nél lévő szöge α, lévén egyállású szögek az A-nál lévő szöggel.

Erre a háromszögre fogjuk alkalmazni a sinustételt:

Tehát a trapéz szárai 13,82 cm és 9,93 cm hosszúak.

4. feladat: Adott egy háromszög a = 14 cm, b = 9 cm hosszúságú oldala és a közbezárt -os szöge. Számítsuk ki a háromszög hiányzó adatait!

Megoldás:

Készítsünk ábrát:

Az ABC háromszögben a cosinustétel szerint:

Az ABC háromszögben a sinustétel szerint:

Ekkor .

Azaz a háromszög hiányzó oldala 14,26 cm hosszú, a keresett szögek pedig 69,86° és 37,14° nagyok.

5. feladat: Adott a háromszög három oldalhossza: 9, 13 és 7 cm. Számítsuk ki a háromszög szögeinek nagyságát!

Megoldás:

A cosinustételt használjuk az egyik szög (γ) meghatározásához:

A következő szöget már meghatározhatnánk sinustétellel is, de elképzelhető, hogy két megoldást kapnánk, ami további vizsgálatot igényelne. Viszont ha most is cosinustételt használunk, fix, hogy csak egy megoldást kapunk:

Innen .

Tehát a háromszög szögei 41,17°, 108,03° és 30,8° nagyságúak.

6. feladat: Sík terepen az A és B megközelíthetetlen pontok távolságának meghatározására kijelöltük a mérhető CD szakaszt, és szögmérő műszerrel megmértük az ábrán látható α, β, γ, és δ szögeket. CD = 40 m, α = 35,3°, β = 53,5°, γ = 62°, δ = 29,5°. Számítsuk ki az AB szakasz hosszát!

Megoldás:

Először határozzuk meg az ACD háromszögben az AC oldalt! A sinustétel szerint:

Most határozzuk meg az BCD háromszögben a BC oldalt a sinustétel segítségével:

Most pedig használjuk fel a cosinustételt az ABC háromszögben:

Tehát a keresett távolság 43,4 m.

7. feladat: Egy háromszög belső szögeinek aránya 3:4:5. Legrövidebb oldala cm hosszú. Mekkora a háromszög köré írt körének sugara?

Megoldás:

Az általánosított sinustételt fogjuk felhasználni, de ehhez még meg kell adnunk a legkisebb szöget - ez van a legrövidebb oldallal szemben.

Ekkor

.

Tehát a háromszög köré írt kör sugara 4 cm.

Koordináta-geometria

1. feladat: Milyen messze van a egyenletű kör középpontja az egyenletű egyenestől?

Megoldás:

Végeredményben egy pont és egy egyenes távolságát kell meghatározni. Ez a távolság definíció szerint a pontból az egyenesre bocsátott merőleges szakasz hossza. Koordináta-geometriában szakasz hosszát két pont távolságaként (vektor hosszaként) adjuk meg. Így a megadott pontból (a kör középpontjából) kell merőlegest állítanunk a megadott egyenesre. (Ennek az egyenesnek az egyenletét írjuk fel.) A metszéspont koordinátáit kell megadnunk, majd a távolság számítható.

Először a kör egyenletéből kell kihámoznunk a kör középpontjának koordinátáit. Ehhez teljes négyzetté alakítunk – az egyenlet egyszerűsítése után.

Innen a kör középpontjának koordinátái: .

Most ebből a pontból bocsátunk merőlegest az egyenesre. (Ez lesz az f egyenes, mert az eredetit e-vel jelöljük.)

Az f egyenes egyenletének felírásához ismernünk kell egy pontot (a C éppen jó), valamint vagy az egyenes irányvektorát, vagy normálvektorát vagy iránytangensét. Legyen mondjuk az irányvektor az, amit felhasználunk.

Az f egyenes irányvektora párhuzamos f-fel, ekkor viszont merőleges e-re (hiszen a két egyenes is merőleges egymásra: ), ami azt jelenti, hogy e-nek normálvektora. Így ha megadjuk e egy normálvektorát, akkor éppen f egy irányvektorát kapjuk..

Az általános normálvektoros egyenlet a következő: , ahol A és B a normálvektor két koordinátája ( ), és az egyenesen megadott pont két koordinátája ( ).

Az e egyenes egyenletéből leolvasható az e normálvektorának két koordinátája, csak ehhez kicsit át kell alakítani az egyenletet:

Megkaptuk az e normálvektorát, így megvan f irányvektora: .

Ekkor az f egyenlete már felírható. Az irányvektoros egyenlet általánosan a következő: , ahol és az irányvektor két koordinátája ( ), és

pedig az egyenesen lévő pont két koordinátája ( )

Hogy választ tudjunk adni a feladat eredeti kérdésére, a P pontot kell megadnunk. Ez viszont az e és f egyenes metszéspontja. Két egyenes metszéspontjának koordinátáit az egyenesek egyenletéből álló egyenletrendszer megoldásai adják meg.

Vagyis a két egyenes metszéspontjának koordinátái: . (Az ábrán is valahol ott van.)

Ezek után már csak a CP szakasz hosszát kell megadnunk ahhoz, hogy megtudjuk, milyen távol van a kör középpontja az e egyenestől. Ehhez a vektor koordinátáit írjuk fel.

Így a kör középpontja kb. 2,12 egység távol van az egyenestől.

2. feladat: Egy derékszögű háromszög átfogójának két végpontja A (7; 2) és B (1; 10).a) Írja fel a háromszög köré írható kör egyenletét!b) A háromszög harmadik csúcsa illeszkedik a 3x + 4y = 11 egyenletű egyenesre. Adja

meg ennek a csúcsnak a koordinátáit!c) Számítsa ki a háromszög szögeit!

Megoldás:

a)

Kell a kör középpontja és sugara.

A kör középpontja (K) az AB szakasz felezési pontja:

.

A sugár pedig a KA szakasz hossza:

Így a kör egyenlete:

b)

A keresett pont (C) illeszkedik a körre és a megadott egyenesre is. Így a C pont a kör és az egyenes metszéspontja. Koordináta-geometriában pedig két alakzat metszéspontjának koordinátáit az alakzatok egyenletéből álló egyenletrendszer megoldásával kapjuk.

c)

A C csúcsnál lévő szög derékszög (90°, Thalész tétele miatt). Még keressük az A-nál lévő szöget ( ), és a B-nél lévő szöget ( ).