ISI TRANSFERİ-1 DÖNEM SONU

ÖRNEK SORU ÇÖZÜMÜ

Hazırlayan: Volkan ASLANYozgat 2017

Sınır Şartları

1- ISI TAŞINIMLI SINIR ŞARTI:

00 0

( )( ) ( )

dT rk h T r T TaşınımSınır Şartı

dr

0 ,h T

2- IŞINIMLI SINIR ŞARTI:

4 400

( )( ) ( )çevre

dT rk T r T IşınımSınır Şartı

dr

, çevreT

3- TANIMLI SICAKLIK SINIR ŞARTIÖrneğin r=r0’daki sıcaklık 150 ͦ C verilirse

0

0( ) 150 .T r C olur

( )TanımlıSıcaklık Sınır Şartı

4- TANIMLI ISI AKISI SINIR ŞARTI:

200

0 0

106157 /2

üretimQ Eq W m

A r L

5- MERKEZDE TERMAL SİMETRİ

Örneğin; 2 kW’lık ısıtıcı direnç teli ortam ısıtılmasında kullanılmaktadır.

200

( )106157 / ( )

dT rk q W m Tanımlı Isı Akısı Sınır Şartı

dr

Örneğin, havada asılı bir kürenin merkezden yukarıya doğru sıcaklık dağılımı ,

merkezden aşağıya doğru sıcaklık dağılımı ile aynıdır .

(0)0( )

dTMerkezdeTermal Simetri

dr

6- YALITIM SINIR ŞARTI:

0( )0( )

dT rk YalıtımSınır Şartı

dr

SORU 1: 2-129

CEVAP 1:

Verilenler:

ktel: 18 W/mºC , kplastik: 1.8 W/mºC

h : 14 W/m2ºC , r1: 0.3 cm

r2-r1: 0.4 cm , T∞ = 25 ºC

ėür: 1.5 W/cm3 = 1.5 x 10 -6 W/m3

Kabuller:

1- Zamanla değişim yok, kararlı hal.

2- Merkez hattının simetri olması ve eksenel yönde bir

değişiklik olmadığından tek yönlüdür. T=T(r)

3- k= sbt ve ısı üretimi telde üniform.

Silindirik Koordinatlar Genel Isı İletim Denklemi

Tel

.

2

1 1üretim

T T T T Tkr k k e c

r r r r z z t

*Sınır Şartları (Tel İçin)*

1 1

0

. .1 ( ) ( ) ,

( 0). .2 0 ( )

S Ş T r T Tanımlı Sıcaklık Sınır Şartı

dT rS Ş Isıl Simetri Sınır Şartı

dr

2

1 1T T Tkr k

r r r r

Tk

z z

.

üretim

Te c

t

.

10 (1)

ürd dT er Matematiksel Formülasyon

r dr dr k

.

,ürd dT e

r x r İntegreedilirsedr dr k

.2

1 (2)2

ürdT e x rr C

dr k

(1) denklemini düzenlersek,

.

,2

ürdT e x rİntegreedilirse

dr k

.2

2( ) (3)4

üre x rT r C

k

.2

1 1

(0) 00 0

2

ürdT e xx C C

dr k

*S.Ş.2 r=0’da*

*S.Ş.1 r=r1’de*

(3) denkleminde yerine koyarsak,.

2

12 1

4

üre x rC T

k

.2

11 2( )

4

üre x rT r C

k

..22

11( )

4 4

ürür

tel

e x re x rT r T

k k

.

2 2

1 1( )4

üreT r r

k

Plastik Koruyucu

2

1 1T T Tkr k

r r r r

Tk

z z

.

üretimeT

ct

0 (4)d dT

r Matematiksel Formülasyondr dr

*Sınır Şartları (Plastik Koruyucu İçin)*

1 1

22

. .1 ( ) ( ) ,

( ). .2 ( ) ( )

S Ş T r T Tanımlı Sıcaklık Sınır Şartı

dT rS Ş k h T r T TaşınımSınır Şartı

dr

(4) denklemini düzenlersek,

11 ,

CdT dTr C İntegreedilirse

dr dr r

1 2( ) ln (5)T r C r C

*S.Ş.1 r=r1’de*

(5) denkleminde yerine koyarsak,

1 1 1 2 2 1 1 1ln lnT C r C C T C r

*S.Ş.2 r=r2’de*

1 2 21

2

lnC rk hr

CC

T

11

2

1 2

ln

T TC

r k

r hr

2

1 1 1 1( ) ln ln

C

plastikT r C r T C r 11

2 1

1 2

ln

lnplastik

T T rT

kr r

r hr

r=r1’de tel ve plastik koruyucunun birleşme noktasıdır ve

burada her iki taraf için ısı iletim denklemi eşitlenir.

11( )( ) plastiktel

tel plastik

dT rdT rk k

dr dr

.

1 1

2 1

1 2

1

2ln

ür

plastikplastik

e x r T Tk

kr r

r hr

.2

1 21

1 2

ln2

ür plastik

plastik

ke x r rT x T

k r hr

6 2

1

0.003 0.007 1.8ln 25

2 1.8 0.

1.5 10  

003 14 0.0

  

07

xx

x

xT

x

.

2 2

( 0) 1 1( )4

ür

tel r

tel

eT T r r

k

.

2

1 14

ür

tel

eT r

k

6 20.00397.1

4 1

1.5 10    

8

x x

x

SORU 2: 3-51

CEVAP 2:

Verilenler:

t12: 0.01 m (Alçıtaşı), t23: 0.08 m, t34: 0.1 m (Tuğla)

k12 : 0.5 W/mºC , k23a : 0.035 W/mºC (yalıtım),

k23b : 50 W/mºC (çelik), k34 : 1 W/mºC

LA :0.6 m, LB :0.005 m ,

Kabuller:

1- Sürekli çalışma koşulları vardır.

2- Bu yöntemin kullanımı Q ısı transfer hızı sabit olan,

yani sürekli ısı transferi içeren ve ısı üretimi olmayan

(dirençle ısıtma veya kimyasal reaksiyonlar gibi)

sistemlerle sınırlıdır.

23 23 0

23

2

0.60.08

( ) 0.03 / 0.6 0.005

2.645 /

Aa

a A B

o

L mR t m

k L L W m C m m

m C W

23 23 0

23

5 2

0.0050.08

( ) 50 / 0.6 0.005

1.32 10 /

Bb

b A B

o

L mR t m

k L L W m C m m

x m C W

23434 0

34

0.10.1 /

1 /

ot mR m C W

k W m C

23 2312 34

23 23

a btoplam

a b

R RR R R

R R

2 01212 0

12

0.010.02 /

0.5 /

t mR m C W

k W m C

5

5

2.645 1.32 100.02 0.1

2.645 1.32 10toplam

x xR

x

2 00.120 /m C W

024 1

2 0

(35 20)125 /

0.120 /top

T T Cq W m

R m C W

SORU 3: 4-54

CEVAP 3:

Verilenler:

Ti: 25 ºC, T0: 6 ºC, T∞: 2 ºC

k: 0.5 W/mºC , α: 0.13 x 10-6 m2/s, D= 6 cm

Patates küre biçiminde alınır.

*Bi ≤ 0.1 olduğunda yığık sistem uygulanabilir.

1- Tek Terim Yaklaşımı:

0 19 0.031.14

0.5

hr xBi

k

*Tablo 4-2’de küre için Biot sayısına göre iterasyon yapılarak ;

1 11.635 1.302 .ve A olarak bulunur

*Merkez sıcaklığa göre Denklem 4-28’i yazarsak;

210

0 1

i

T TAe

T T

2(1.635)6 21.302

25 2e

*Her iki tarafın ln değerini alırsak;

0.753 olarak bulunur.

*Zaman değerini (Merkez sıcaklığın 6 ºC düşeceği zaman) bulmak için Fourier denklemi kullanılır.

2

0

2

0

t rt

r

2

6

0.753 0.03

0.13 10

x

x 5213 1.45s h

2- Heisler Grafik Yöntemi:

*Donma tehlikesini geçirip geçirmeyeceğini bulmak için ise Denklem 4.25’i kullanılır.

0

21

0

1 0

1

1 0

Sin /( )

/

i

r r

küre

i T T

T T

r rT r TAe

T T r r

0( ) 2 6 2 sin(1.635 )

25 2 25 2 1.635

T r rad

0

0( ) 4.44T r C

*Bu yöntemde küre için Şekil 4-17 kullanılır. Zaman değerini bulmak için 4-17(a), patateslerin donma tehlikesi için ise 4-17 (b) kullanılır. Merkez sıcaklığın 6 ºC düşeceği zaman için;

0

10.877

k

Bi hr 0 0.174

i

T T

T T

2

0

2

0

0.75t r

tr

5192 1.44s h

0.174

0.75

* Patateslerin donma tehlikesi için ise 4-17 (b);

0

10.877

k

Bi hr

0

1r

r

( )0.6

i

T r T

T T

0( ) 0.6yüzeyT r T T T T

02 0.6 6 2 4.4 C

!!!Analitik çözüm ile grafik çözüm arasındaki fark grafik okuma hatasındandır!!!

0.8

77

SORU 4: 5-55

CEVAP 4:

Verilenler:

k : 1.4 W/mºC Tgök: 250K

ε : 0.9 Δx = Δy =10 cm

Ti: 280ºC T0: 15ºC

hi : 75 W/m2ºC h0 : 18 W/m2ºC

Kabuller:

1- Baca yüksekliği enine kesite oranla büyük olduğu için

eksenel yönde ısı iletimi ihmal edilir. İki boyutlu ve

sürekli olarak incelenir.

2- Isı üretimi yoktur.

3- k=sbt

4- A=1 m

1. NOKTA

0 0 1.12

xh T T

2 1.1

2

T Tyk

x

5 1.12

T Txk

y

44

1 2732

gök

xT T

0

2. NOKTA2. NOKTA

Δx = Δy olduğundan Δx = Δy =l diyebiliriz

0 0 1.12

lh T T

2 1.12

T Tlk

l

5 1.12

T Tlk

l

44

1 2732

gök

lT T 0

0 0 2h l T T 1 2

2

T Tlk

l

3 2

2

T Tlk

l

44

2 273gökl T T

0 6 2T Tk l

l

3. NOKTA

4. NOKTA

0 0 4h l T T 3 4

2

T Tlk

l

8 4

2

T Tlk

l

44

4 273gökl T T 0

0 0 3h l T T 2 3

2

T Tlk

l

4 3

2

T Tlk

l

44

3 273gökl T T 0 7 3T T

k ll

5. NOKTA (1.Noktanın benzeri)

52

i i

lh T T

6 5

2

T Tlk

l

1 5

2

T Tlk

l

0

Not: İç kısım olduğundan ışınım yok!!!

6i ih l T T 5 6

2

T Tlk

l

7 6

2

T Tlk

l

0 2 6T T

k ll

6. NOKTA (2.Noktanın benzeri)

Not: İç kısım olduğundan ışınım yok!!!

7. NOKTA

7i ih l T T 6 7

2

T Tlk

l

9 7

2

T Tlk

l

0 3 7T T

k ll

8 7T Tk l

l

Not: İç kısım olduğundan ışınım yok!!!

0 0 8h l T T 4 8

2

T Tlk

l

10 8

2

T Tlk

l

0 7 8T T

k ll

44

8 273gökl T T

8. NOKTA

9. NOKTA

92

i i

lh T T

7 9

2

T Tlk

l

10 9

2

T Tlk

l

0

Not: İç kısım olduğundan ışınım yok!!!

0 0 102

lh T T

8 10

2

T Tlk

l

9 10

2

T Tlk

l

0

44

10 273gökl T T

10. NOKTA

*c-şıkkı için;

1/4 '4 4bacanın ü iç yüzeyQ Q Q 4 i i mh A T T

5 6 7 94 / 2 / 2i i i i i i i ih l T T h l T T h l T T h l T T

3153W

SINAVLARINIZDA BAŞARILAR,

ALLAH YARDIMCINIZ OLSUN

SENEYE BU DERSTE GÖRÜŞMEMEK

DİLEĞİYLE…