ISI İLETİMİNE GİRİŞBölüm 2

Anlık iletim, Fourier denklemi; katı bir ortamdan birim zamanda geçen ısı miktarını verir. Fourier denklemi doğada gözlenen

olaylardan geliştirilmiştir. Fourier denklemine daha çok deneysel verilere dayanan bir genelleştirme olarak bakılmalıdır.

xTA q x

Sürekli rejim ısı iletimi deneyi

xTA q x

Burada k ısı iletim katsayısı (W/m.K)∆x →0 limit durumunda, birim zamanda geçen ısı:

dxdT Akqx

ısı akısı:

dxdT k

Aqq x,,

x

Isının her zaman azalan sıcaklık yönünde geçmesi nedeniyle bu denklemde eksi işaretinin kaçınılmaz olduğu unutulmamalıdır.

Fourier yasası ısı akısının yöne bağlı bir büyüklük olduğunu ifade eder. Bir boyutlu durum için, q’’

x’in yönü A kesit alanına diktir. Daha genel olarak, ısı akısının yönü daima izotermal ( eş sıcaklıkta) denilen sabit sıcaklık yüzeyine dik olmalıdır. Isı akısının yöne bağlı

bir büyüklük olduğu hatırlanırsa, iletim denkleminin (Fourier denklemi) daha genel ifadesi:

zTk

yTj

xTi-kTk q ,,

Burada üç boyutlu del operatörü ve T(x,y,z) skaler sıcaklık dağılımıdır.Bu denklemin başka bir yazılımı:

nTk q ,,

n

nTk q ,,

n

bir izotermale dik olan n yönündeki ısı akısı:

Kartezyen eksen takımında, q”nun genel ifadesi:

,,z

,,y

,,x

,, qk q jq iq

xT kq ,,

x

y

T kq ,,

y

zT kq ,,

z

Isı iletim katsayısıYayılım ile geçen enerjinin bir göstergesidir

ve maddenin hali ile ilgili atomik, moleküler ve fiziksel yapıya bağlıdır.

xTq

k x

Buna göre, belirli bir sıcaklık gradyantı için iletimle ısı akısı;

ısı iletim katsayısının artması ile artmaktadır.

Normal sıcaklık ve basınçlarda, maddenin değişik halleri için ısı iletim katsayısı değerleri

Bazı katılarda ısı iletim katsayısının sıcaklıkla değişimi

Gazların ısı iletim katsayılarının sıcaklıkla değişimi

Doyma sıcaklığındaki metal olmayan sıvıların ısı iletim katsayılarının

sıcaklıkla değişimi

Diğer termofiziksel özellikler Aktarım özellikleri

k ısı iletim katsayısı (ısı geçişi için) kinematik viskozite (momentum geçişi)

Termodinamik özellikler yoğunlukcp özgül ısı

cp (J/m3K), malzemenin ısıl enerji depolama yeteneği

Isı iletim katsayısının, ısı kapasitesine oranı; ısıl yayılım katsayısı pc

k

Isıl enerjiyi iletme

yeteneğinin, ısıl enerji depolama yeteneğine oranı

ISI YAYILIM DENKLEMİ

Kontrol Hacminden Çıkan Enerjiler

.dxx

qq q x

xdxx

.dyq

q q yydyy y

.dzqq q zzdzz z

Kontrol Hacminde Üretilen ve Depolanan Enerji

dz dydx qEE.. .

güretilen

dz dydx tTcEE P

..

stdepolanan

Enerjinin Korunumu Denkleminin uygulanmasıyla:

depolanan

.

kançı

.

üretilen

.

giren

.EEEE

dz dydx tTc-dz dydx q P

dzzdyydxx

.

zyx qqqqqq

dz dydx tTcdz dydx q P

.

zyx dzz

qdy

yq

dxxq

Fourier Denklemine göre:

xTdz dy k- qx

y

Tdzdx k- qy

z

Tdydx k- qz

Kartezyen Koordinatlarda Isı Denklemi

tTc qTk Tk Tk P

.

zzyyxx

Isı iletim katsayısı sabitse,

tTc qTTT P

.

2

2

2

2

2

2

kkzyx

Burada ısı yayınım katsayısıdırPc

k

Sistem kararlı ise,

Ayrıca ısı transferi tek boyutlu ve ısı üretimi yok ise:

0 qTk Tk Tk .

zzyyxx

0 Tk

xx

Silindirik eksenlerde, iletim çözümlemesi için diferansiyel kontrol hacmi

Fourier denklemi, silindirik koordinat sistemi için yazılırsa,

zTk T

r1 j

rT ik - Tk q"

Silindirik koordinat sisteminde her üç yöndeki ısı akıları

rTkq"

r

Tkq"

r

z

Tkq"

z

Silindirik koordinatlardaısı denklemi,

tTc qTk Tk 1Tr k 1

P

.

2

zzrrrr

Küresel eksenlerde, iletim çözümlemesi için diferansiyel kontrol hacmi

Örnek 2.2

• Duvara birim zamanda giren ve çıkan ısı,

• Duvarda depo edilen enerjinin zamanla değişimi,

• x=0.025 ve 0.5 m’de sıcaklığın zamanla değişimi.

Yüzeyde (x = 0), ısı yayılma denklemi için

sınır koşulları

Örnek 2.3Çubukta sıcaklık dağılımını yer ve zamanın

fonksiyonu olarak veren diferansiyel denklem ile sınır ve başlangıç koşulları