isbn 978-979-796-153-4
TRANSCRIPT
i
ii
Prosiding
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika
2010
“Peran Matematika, Pendidikan Matematika serta Terapannya
dalam Perkembangan Ilmu Pengetahuan dan Teknologi (IPTEK)”
Sabtu, 30 Januari 2010
Dome Teater, Universitas Muhammadiyah Malang
Program Studi Pendidikan Matematika
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Muhammadiyah Malang
iii
Prosiding
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2010
xi, + 1231 hlm,: 215 x297 mm
Akhsanul In’am
Dyah Worowirastri Ekowati
Erwin Qodariyah
Mohammad Edy Nurtamam
Katalog Dalam Terbitan (KDT)
Copyright © UMM Press
Penerbitan Universitas Muhammadiyah Malang
Jl. Raya Tlogomas No. 246 Malang 65144
Telepon (0341) 464318 Psw. 140 Fax. (0341) 460435
Edisi Februari 2010
ISBN 978-979-796-153-4
Tata Letak : Mohammad Edy Nurtamam
Desain Sampul : Hadi Putra Qibtiadi
iv
KATA PENGANTAR
Assalammualaikum Wr. Wb.
Syukur Alhamdulillah atas berkat dan karuniaNya, Program Studi Pendidikan
Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah
Malang dapat melaksanakan kegiatan seminar nasional ini dengan baik. Sholawat serta
salam semoga selalu berpadu, kepada hamba pilihan Muhammad SAW yang telah
memberikan tuntunan dan panduan untuk selalu menjalankan titah Illahi.
Kami selaku panitia mengucapkan banyak terima kasih kepada Bapak Rektor
Universitas Muhammadiyah Malang atas dukungannya terhadap kegiatan seminar
nasional ini, dan tak lupa kami mengucapkan banyak terima kasih kepada pemakalah
utama khususnya kepada Bapak Prof. Madya Noor Shah Saad, Ph.D dan Bapak Sazelli
Ab. Ghani, Ph.D dari Universiti Pendidikan Sultan Idris Malaysia, ucapan terima kasih
selanjutnya kami ucapkan kepada para peserta yang telah menyukseskan seminar
nasional ini.
Perlu kami laporkan, bahwa seminar nasional ini diikuti oleh 322 peserta yang
berasal dari 31 PT dalam negeri dan 1 PT luar negeri. Dari keseluruhan peserta tersebut,
terdapat 124 pemakalah dan 198 peserta non pemakalah baik dosen, guru, mahasiswa
dan pemerhati matematika. Sebuah pepatah tertuliskan Al ilmu bila amalin kassajari
bila tsamarin, Ilmu yang tidak diamalkan bagaikan pohon yang tidak dapat
memberikan manfaat, untuk itu terima kasih yang tiada hingga kepada para pemakalah
yang telah berkenan menyampaikan ide dan gagasannya dalam kegiatan seminar ini.
Hanya asa yang selalu menyapa, semoga segala yang disampaikan dicatat Allah sebagai
amal soleh. Amin
Kesempurnaan hanya milik Allah, segala suguh, lungguh dan gupuh yang
kurang berkenan hanya maaf yang kami harapkan.
Wassalamu’alaikum Wr. Wb.
Malang, 12 Februari 2010
Panitia
v
Daftar Isi
Halaman Judul
Kata Pengantar
Daftar Isi
Sidang Pleno Standard Kecemerlangan Pengajaran Matematik (SET@MATH): Satu Cadangan bagi
Meningkatkan Kualiti Pengajaran Guru Matematik Prof. Madya Noor Shah Saad, Ph.D ......................................................................................................... 1
Pengetahuan Konseptual dan Prosedural dalam Pembelajaran Matematika Dr. Dwi Priyo Utomo................................................................................................................................ 21
Statistics Education the 21
st Century: Some Issues of Concern
Sazelli Ab. Ghani, Ph.D ............................................................................................................................ 32
Penyetaraan Item Response Theory (IRT) pada Tes Matematika Model Pilihan Ganda
Menggunakan Desain Common-Item Nonequivalent Group dan Model Logistik 2 Parameter Dr. M. Syaifuddin ..................................................................................................................................... 59
Sidang Paralel
Pendidikan Matematika
Strategi Pembelajaran Matematika Berbasis Multiple Intelligences Abdul Halim Fathani ................................................................................................................................ 71
Report of Design Research Grade 2 in SD Lab Addition and Place Value Using Realistic
Mathematics Education Agung Deddiliawan Ismail, Cut Khairunnisak, Elisabet Ayunika P ......................................................... 86
Pendekatan Metakognitif dalam Pembelajaran Matematika Akhsanul In’am ......................................................................................................................................... 94
Online Mathematical Game to Develop Student’s Critical Thinking Alfath Famela Rokhim, Sitti Maesuri Patahuddin ................................................................................. 105
Analisis Strategi Siswa SD Kelas VI Menyelesaikan Masalah Aritmetika
(Studi Kasus di SDM 08 Dau Malang) Baiduri ................................................................................................................................................... 115
Implementasi Problem Posing pada Pembelajaran Pengantar Dasar Matematika di IKIP PGRI
Madiun Darmadi ................................................................................................................................................. 134
Meningkatkan Performa Guru IPA dan Matematika melalui Kegiatan Lesson Study Berbasis
MGMP di Surabaya Dwikoranto ............................................................................................................................................ 147
Matematika Realistik sebagai Implementasi Kurikulum Berbasis Kompetensi (KBK)
Dwiyono ................................................................................................................................................. 154
vi
Implementasi Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP) melalui Pembelajaran Matematika
Berbasis Masalah dengan Soal Open-Ended pada Siswa Kelas 5 Sekolah Dasar Endang Setyo Winarni ........................................................................................................................... 167
Penerapan Program Iteman dalam Analisa Butir Soal sebagai upaya Peningkatan Kualitas
Pembelajaran Erwin Qodariyah ................................................................................................................................... 183
Pengembangan Mathematics Mobile Learning Application sebagai Media Pembelajaran
Alternatif Evangelista Lus Windyana Palupi, Sitti Maesuri Patahuddin ............................................................... 197
The Student Thinking Process of Junior High School in Solving the Geometry Problem Seen
from the Rigorous Mathematical Thinking (RMT) Paradigm Harina Fitriyani ..................................................................................................................................... 210
Operasi Aljabar yang Menyesatkan Hendarto Cahyono ................................................................................................................................. 227
Pembelajaran melalui Strategi Think-Talk-Write dalam Kelompok Kecil untuk Meningkatkan
Kemampuan Pemahaman dan Penalaran Matematik Siswa Hetty Patmawati .................................................................................................................................... 234
Respon Mahasiswa Program S1 Internasional Pendidikan Matematika 2009 terhadap
Pembelajaran yang Mengintegrasikan Video dan Website Ika Kurniasari, Sitti Maesuri Patahuddin, Agustin Ernawati ................................................................ 244
Peningkatan Kemampuan Pemecahan Masalah Matematik melalui Pendekatan Problem Posing Ipah Muzdalipah .................................................................................................................................... 258
Tingkat Berpikir Siswa SMP Berdasarkan Tahap Berpikir Van Hiele di Kota Malang Istikomah ............................................................................................................................................... 267
Discovery Learning Bruner dalam Pembelajaran Matematika di Sekolah Dasar Juliana M.H. Nenohai ............................................................................................................................ 278
Optimalitation the Understanding of Mathematics Content Using Learning Model "BARTER" Kustiningsih ........................................................................................................................................... 290
Kemampuan Representasi Siswa SMA dalam Memahami Konsep Fungsi Marhan Taufik ....................................................................................................................................... 306
Sikap Siswa terhadap Pembelajaran Matematika di SMA Negeri 2 Batu Metta Sintia Wardhani ........................................................................................................................... 321
Pengembangan Lembar Kerja Siswa Berdasarkan Pembelajaran Berbasis Masalah pada
Pembelajaran Pecahan di Kelas IV SD Minatun Nadlifah ................................................................................................................................... 335
Prinsip Kurikulum Matematika Sekolah: Kajian Orientasi Pengembangan Moh. Mahfud Effendi ............................................................................................................................. 347
Meningkatkan Kemampuan Berpikir Kreatif Matematik dan Kemandirian Belajar Siswa
Sekolah Menengah Atas melalui Problem Based Learning Nani Ratnaningsih ................................................................................................................................. 357
vii
Analisis Kebutuhan Pengembangan Model Pembelajaran Matematika Berpendekatan Tematik
Berorientasi Pemecahan Masalah Terbuka pada Sekolah Dasar Ni Nyoman Parwati ............................................................................................................................... 372
Sikap Siswa terhadap Pembelajaran Matematika di SMP Negeri 03 Batu Nuril Indawati ........................................................................................................................................ 385
Skema Mahasiswa Calon Guru SD (S-1 PGSD) dalam Menyelesaikan Masalah Geometri Prayogo ................................................................................................................................................. 400
Peningkatan Pemahaman Mahasiswa pada Konsep Fungsi melalui Pembelajaran Kooperatif
STAD dengan Portofolio di Prodi Pendidikan Matematika UMM Siti Inganah ............................................................................................................................................ 409
Minds-On, Hands-On, dan Virtual Hands-On dalam Pembelajaran Matematika Siti Rokhmah, Sitti Maesuri Patahuddin, Mohamad Nur....................................................................... 418
Geometry, the Ancient Science, Give Contribution on International Mathematical Olympiad
Competition Soewono ................................................................................................................................................. 429
Peningkatan Hasil Belajar Matematika Siswa melalui Pembelajaran Kompetisi yang didasari
Konstruktivisme Sony Darmawan ..................................................................................................................................... 444
Pemecahan Masalah dalam Pembelajaran Matematika di Sekolah Dasar Sri Harmini ............................................................................................................................................ 457
Pembelajaran Grafik Fungsi Dua Variabel dengan Program Matlab Sumargiyani, Kurnia Fermani Hidayah ................................................................................................ 470
Pembelajaran Berdasarkan Masalah untuk Materi Pokok Aritmetika Sosial di Kelas VII SMP
Muhammadiyah 6 Surabaya Sunyoto Hadi Prayitno ........................................................................................................................... 480
The Use of Electronical Book In Mathematical Learning Supratman .............................................................................................................................................. 495
Relationship between Personalities and Hemisphere Preferences Under Student’s Reading
Mathematics Ability (A Descriptive Analytic Studies to Student Grade X Based on Cluster in
Bandung Academic Year 2006-2007) Rina Oktaviyanthi .................................................................................................................................. 510
Tanggapan Calon Guru Biologi tentang Penggunaan Matematika dalam Perkuliahan Fisika
Dasar Toto ........................................................................................................................................................ 527
Penggunaan Edutainment pada Pembelajaran Matematika di SD/MI Umy Zahroh ........................................................................................................................................... 533
Implementation of Computer Programs To Evaluate The Mathematics Teaching Uus Kusdinar ......................................................................................................................................... 545
Tipologi Belajar Siswa SMA pada Pemahaman Konsep Fungsi di Kota Malang Vivien Restianim .................................................................................................................................... 552
viii
Sikap Mahasiswa terhadap Pembelajaran Pada Mata Kuliah Keilmuan dan Keterampilan
Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Malang Wahyu Ida Sri Hariyani ......................................................................................................................... 566
Kemampuan Matematika Anak Relektif dan Anak Impulsif Warli ...................................................................................................................................................... 590
Karakteristik Penalaran dalam Pemecahan Masalah Matematika Sukayasa ................................................................................................................................................ 604
Corelations between A Spiritual, Emotional Intelligence and Methods to Learn with the
Achievements of Students Mathematics Education UAD 2008 Widayati ................................................................................................................................................. 618
Kemampuan Penalaran dan Pemecahan Masalah Mahasiswa Semester Awal Prodi Pendidikan
Matematika Universitas Muhammadiyah Malang Zaimatud Da’iyah .................................................................................................................................. 649
Matematika Murni
Super Edge Magic Total Labeling of Graph Cn Plus M Chairul Imron, Suhud Wahyudi ............................................................................................................. 664
Pelabelan Total Sisi Ajaib dan Super Sisi Ajaib pada Graph mP2 dengan m Bilangan Asli Ganjil Fadrik Adi Fahrudin .............................................................................................................................. 670
Functionally Small Riemann Sums (FSRS) Integral Henstock-Pettis pada Ruang Euclide ℜn
Hairur Rahman ...................................................................................................................................... 688
Applied Chebyshev Polynomials for Determine Spectrum and Signless Laplacian Eigen Values
of Path and Cycle Graph Imam Fahcruddin .................................................................................................................................. 697
Penentuan Solusi Persamaan Matriks AX–XB = C untuk Matriks Bujur Sangkar dengan Metode
Sylvester Indrawati, Cinta Sembiring, dan Suhendro ........................................................................................... 708
Model Dinamik Kesetimbangan Predator-Prey Imam Turmudzi ...................................................................................................................................... 720
Dimensi Metrik Graph Kincir dengan Pola K1 + mK3 Suhud Wahyudi, Sumarno ...................................................................................................................... 731
Estimasi Model Regresi dengan Metode Bootstrap Ummu Sholihah ..................................................................................................................................... 746
Matching Key Universal Berdasarkan Himpunan Kritis pada Pelabelan Total Sisi Ajaib Utari Wijayanti ...................................................................................................................................... 752
Matematika Terapan
Aplikasi Analisis Dikriminan dalam Mengidentifikasi Faktor-faktor Dominan yang
mempengaruhi Penilaian Masyarakat terhadap Keberlangsungan TPA Sarimukti di Kabupaten
Bandung Achmad Zanbar Soleh, Yulianti Pratama, Sri Mulyani Sanroi .............................................................. 763
ix
Penerapan Association Rule Mining pada Data Nomor Unik Pendidik dan Tenaga Kependidikan
untuk Menemukan Pola Sertifikasi Guru Amiruddin .............................................................................................................................................. 774
Analisis Latent Class Cluster dalam Pengelompokan Lahan Usaha Tambang Bahan Galian
Industri Anna Chadidjah ..................................................................................................................................... 789
Visualization with Square Wave Plat Finite Different Method to Use the Matlab Programs Asnawi ................................................................................................................................................... 804
Development of Application Spatial Data Mining Using Spatial Autoregressive (SAR and
Expansion SAR (E-SAR) for Mapping a Quality Education at East Java Province Atje Setiawan Abdullah and Rudi Rosadi .............................................................................................. 818
Spatial Data Mining Using Expansion Spatial Autoregressive (E-SAR) for Mapping of Quality
Education Disparity Part of North and South of Java Island Atje Setiawan Abdullah .......................................................................................................................... 835
A Large Arcade Formation at the East Solar Limb on August 24, 2005 Bachtiar Anwar ...................................................................................................................................... 850
Identification of the Source Disturbances of Geomagnetic Storms on July 9-10, 2005 Bachtiar Anwar ...................................................................................................................................... 862
Coincidences between Solar Active Regions with Solar CME: Warning to Loop Geometry CME
Bambang Setiahadi ................................................................................................................................ 872
Analisis Diskriminan Diskrit untuk Mengelompokkan Komponen Bernik Maskun ....................................................................................................................................... 880
Desain Kontrol Optimal PI pada Load Frequency Control menggunakan Self Organizing
Genetic Algorithm (SOGA)
Dedy Kurniawan, Muhammad Abdillah, Imam Robandi ......................................................... 887
Probabilitas Absorpsi Kebangkrutan Penjudi Dieky Adzkiya, Bandung Arry Sanjoyo .................................................................................................. 900
Poincare Map of a Time Periodic Ordinary Differential Equation
Dwi Lestari ............................................................................................................................... 907
Telaah Matematis pada Penentuan Awal Bulan Qomariyah Berdasarkan Metode Ephemeris
Hisab Rukyat
Dyah Worowirastri Ekowati .................................................................................................... 919
Analisis Kovarians untuk Eksperimen Faktor Tunggal dalam Pengujian Kadar Hg pada Saliva
dengan Restorasi Amalgam yang Ditriturasi Secara Masinal dan Manual Enny Supartini ....................................................................................................................................... 935
A Model for Transmission of H1N1 Influenza Fitriyani ................................................................................................................................................. 942
Widrawal Normal Cost Memperhitungkan Foreign Exchange Rate pada Manfaat Pensiun Gatot Riwi Setyanto ............................................................................................................................... 951
x
Pemodelan Data Long Memory Nonstasioner dengan Menggunakan Metode GPH (Geweke dan
Porter-Hudak) (Study Kasus Mail Processing Centre Kota Bandung) Gumgum Darmawan .............................................................................................................................. 958
Kajian Efek Multikolenieritas terhadap Peluang Kekeliruan Tipe I dan II dalam Pengujian
Hipotesis Parameter Regresi Multipel I Gede Nyoman Mindra Jaya ................................................................................................................. 970
Digital Signature with Appendix Inu Laksito Wibowo ............................................................................................................................... 988
Penerapan Model Markov untuk Menghitung Peluang Perubahan Indeks Prestasi Semester (IPS)
Mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA UNSRI Irmeilyana, Robinson Sitepu, Dedi Yansen ............................................................................................ 998
Skema Numerik Konservatif untuk Persamaan Schrödinger Nonlinear Isnani Darti ......................................................................................................................................... 1011
Konstruksi Maksima Modulus Transformasi Wavelet untuk Suatu Sinyal ULF Geomgnet John Maspupu ..................................................................................................................................... 1020
Estimasi Parameter pada Indeks Kemampuan Process Cpm dengan Menggunakan Metode
Estimasi Bayesian Laksmi Prita Wardhani, Nines Natalia ............................................................................................... 1029
Perpindahan Panas pada Proses Quenching dengan Metode Numerik Lukman Hanafi, Dewi Safitri, Ali Altway ........................................................................................... 1040
Penerapan Metode Hungarian Untuk Menentukan Biaya Minimum Mohammad Edy Nurtamam ................................................................................................................ 1050
Algoritma Pembentukan Kunci untuk Sistem Kriptografi Elgamal atas Grup Multiplikatif ZP Muhamad Zaki Riyanto ....................................................................................................................... 1063
Design and Simulation Control System of Synchronous Machine with Sliding Mode Control
(SMC) Method
Mardlijah, Khusnul Mufida ................................................................................................... 1077
Stability Analysis for SVIS Epidemic Model Marsudi ............................................................................................................................................... 1089
Analisis Regresi Time Series untuk Jumlah Penumpang Lion Air Rute Surabaya-Balikpapan Nuri Wahyuningsih, Sri Suprapti Hartatiati, Dian Rahmawati .......................................................... 1101
Tuning Parameter Model Predictive Control (MPC) for Max Plus Linear (MPL) Systems
Nurwan, Subiono ................................................................................................................... 1111
Model Deret Waktu Non Linear : Threshold Autoregressive (TAR) Riza Saadiah ....................................................................................................................................... 1119
Applied Customer Satisfaction Index (CSI) and Importance-Performance Analysis (IPA) to
Know Student Satisfaction Level of Sriwijaya University Library Services Sri Indra Maiyanti, Irmeilyana,Verawaty ........................................................................................... 1135
xi
The Existence of Eigen Values for Reducible Matrices in Max-Plus Algebra Subiono ............................................................................................................................................... 1147
Ridge-MM sebagai Salah Satu Metode Regresi Ridge yang Robust terhadap Data Pencilan Sudartianto ......................................................................................................................................... 1159
Pendekatan Teori Kontrol bagi Penyelesaian Matematika Keuangan Sugiyarto ............................................................................................................................................. 1172
On the Moving Electric Field Dynamic in Microwave Heating Toto Nusantara ................................................................................................................................... 1181
Inference and Confidence Interval for Regression Curve in Spline Semi parametric Model Wahyu Wibowo, Sri Haryatmi, I Nyoman Budiantara ........................................................................ 1191
Optimasi Jarak Cluster pada Data Intrusi Jaringan Menggunakan Multi Objective Genetika
Algoritma Wasis W.A, Sumpeno Mardi, Moch Hariadi ....................................................................................... 1204
Strategi Menghindar terhadap Serangan Musuh menggunakan Hierarchy Finite State
Machine Yunifa Miftachul Arif, Supeno Mardi, Mochamad Hariadi ................................................................ 1215
SEMINAR NASIONAL
MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 2010
Kelompok
Matematika
Terapan
1111
TUNING PARAMETER MODEL PREDICTIVE CONTROL (MPC) FOR
MAX PLUS LINEAR (MPL) SYSTEMS
Nurwan
1 and Subiono
2
1 Magister Student of Mathematics Department
2Lecturer of Mathematics Department
FMIPA- I T S, Surabaya
Abstrak
A Model Predictive Control (MPC) is one kind of design controller that can be
applied to industries area and designed base on mathematical models. The Model
Predictive Control has been extended to a class of discrete event systems that can be
described by a model one is a linear in the max-plus algebra notion. In this paper we
will discusse influence of tuning parameters ),,( cp NN as a model predictive
control for max plus linear systems.
Keywords: Model Predictive Control, Max-Plus Algebra, Max-Plus Linear System.
1. PENDAHULUAN
Suatu pabrik beroperasi membutuhkan berbagai macam sumber daya.
Diantara sumber daya tersebut perlu sebuah kontrol untuk mengontrol sistem agar
hasil yang diperoleh bisa maksimal. Model predictive control merupakan salah
satu desain kontrol yang sering digunakan dalam dunia industri (Camacho E.F.,
Bordons. (1999)).
Model Predictive Control (MPC) memiliki beberapa keuntungan
diantaranya: model proses akan meliputi interaksi dinamis dan statis antara
variabel input, output dan gangguan; batasan pada input dan output diperlakukan
dengan sistematis. Model prediksi yang akurat mampu memberikan peringatan
awal pada potensi masalah (Camacho E.F., Bordons., 1999).
Model predictive control telah dikembangkan dalam sistem event diskrit
yang didesain berdasarkan model matemtika. MPC juga telah dikembangkan
untuk sistem max plus linear. Aljabar max plus dapat digunakan untuk
memodelkan berbagai macan event (Bart De Schutter (2002)), seperti sistem
manufaktur, jaringan telekomonikasi dan sistem transportasi dan lain sebagainya.
SEMINAR NASIONAL
MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 2010
Kelompok
Matematika
Terapan
1112
Model predictive control memiliki tiga parameter yaitu Np, Nc, yang
dapat mempengaruhi output dari sebuah sistem. Dalam tulisan ini akan dibahas
ketiga parameter dari model predictive control tersebut dan simulasinya
menggunakan scilab.
2. MODEL PREDICTIVE CONTROL (MPC)
Model predictive control yang dikembangkan untuk kasus deterministik
yaitu tanpa error (Bart De Schutter (2002),Tyagunov, A. A (2004)). Model yang
digunakan dalam mendesain suatu pengendali adalah model ruang keadaan:
)()()1( kBukAxkx (1)
)()( kCxky (2)
Vektor x merupakan variabel keadaan, u sebagai input dan y sebagai
ouput, dan A, B, C merupakan matriks sistem dengan ukuran yang sesuai. Sistem
diatas dapat dikembangkan dalam bentuk Aljabar Max Plus linear yang disebut
Plus Time Linear (PTL).
Perilaku Indeks (J) dari MPC didefenisikan oleh:
inout JJJ
p pN
j
N
j
jkujkrkjky1 1
22
)1()()(ˆ . (3)
Dalam notasi matriks dapat ditulis sebagai berikut :
)()(~)(ˆ kgkuHky
dengan:
)(ˆ
)1(ˆ
)(~
kNky
kky
ky
p
,
pNkr
kr
kr
(
)1(
)(~ ,
)1(
)(
)(~
pNku
ku
ku
dan
CBBCABCA
CBCAB
CB
H
pp NN
21
0
00
, )()(
2
kx
CA
CA
CA
kg
pN
.
SEMINAR NASIONAL
MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 2010
Kelompok
Matematika
Terapan
1113
Pada bagian berikut ini diberikan secara ringkas mengenai Aljabar Max
Plus beserta beberapa notasi terkait yang digunakan pada pembahasan berikutnya.
3. ALJABAR MAX PLUS
Elemen dari Aljabar Max Plus adalah bilangan real dan . Operasi
dasar dari Aljabar Max Plus adalah maximum (dinotasikan dengan ) dan
tambah (dinotasikan dengan ) dengan demikian didapat
),max( yxyx dan yxyx .
Defenisi Struktur aljabar maksR bisa didapat (F. Baccelli dkk (1992)).
Simbol maksR menyatakan himpunan R dengan dua operasi biner yaitu
maksimum yang dinotsaikan oleh sedangkan penjumlahan oleh .
Untuk setiap maksRba, didefenisikan operasi dan sebagai
),(maks babadef
dan babadef
. Sehingga untuk setiap maksRa
didapat aaa dan aa . Himpunan maksR dengan operasi
dan disebut Max Plus dan dinyatakan dengan ),,,( eRR maks , dengan
.
Operasi dan dapat diperluas dalam bentuk matriks. Didefenisikan
nndef
...3,2,1 . MisalkanjiaA , dan
jibB ,adalah matriks nm atas maxR maka
BA adalah matriks nm dengan elemen ke-(i, j) diberikan oleh :
),max()( ,,,,, jijijijiji babaBA , mjni ,
Bila maxRc , maka Ac adalah matriks nm dengan elemen ke-(i, j)
adalah sebagai berikut :
jiji acac ,,.
Selanjutnya bila A dan B masing-masing adalah matriks berukuran pm
dan np , maka BA adalah matriks nm dengan elemen ke-(i, j) adalah
sebagai berikut :
SEMINAR NASIONAL
MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 2010
Kelompok
Matematika
Terapan
1114
),(max)( ,,,,, jkkik
jkki
k
ji babaBA untuk semua i,j , mjni , .
4. SISTEM MAX PLUS LINEAR dan MPC
System event diskrit dapat dimodelkan melalui aljabar max plus (Baccelli,
F. dkk(1992)) :
)()1()( kuBkxAkx (4)
)()( kxCky (5)
Dengan lxnnxmnxn RCRBRA maxmaxmax dan ,, dimana m adalah banyaknya
komponen input dan l adalah banyaknya komponen output.
Berdasarkan persamaan (5) dan (6), dapat dibuat suatu sistem untuk setiap
input :)1(),...,( pNkuku
)()()(ˆ 11
0ikuBACkxACkjky j
j
i
j (6)
dalam notasi matriks dapat ditulis :
)()(~)(~ kgkuHky (7)
dengan :
BCBACBAC
BCBAC
BC
H
pp NN
21
)()(
2
kx
AC
AC
AC
kg
pN
Masalah MPC untuk Aljabar max Plus didefenisikan sebagai berikut :
21 ,,)(~)(~
minmin pinpoutkuku
JJJ (8)
)()(~)(~ kgkuHky
)()(~)()(~)( khkykFkukE
SEMINAR NASIONAL
MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 2010
Kelompok
Matematika
Terapan
1115
0)( jku untuk 1,...0 pNj
0)(2 jku untuk 1,... pc NNj
dengan:
)1()()( kukuku
)2()1(2)()1()()(2 kukukukukuku
Contoh Sistem Perakitan Sederhana
Dalam tulisan ini mengambil contoh penerapan pada sistem perakitan
sederhana (Subiono, (2001)) dengan tiga unit pemproses (gambar 1).
Gambar 1 : sistem perakitan sederhana
Dari gambar (1) diperoleh sistem sebagai berikut:
)(2)(5)1( 11 kukxkx
)()(6)1( 22 kukxkx
)(3)(6)(6)1( 3213 kxkxkxkx
)(3)( 3 kxky
Selanjutnya ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut :
)(0
2
)(
366
6
5
)1( kukxkx (9)
)(3)( kxky
dengan , notasi menyatakan tranpose .
Matriks diberikan oleh
SEMINAR NASIONAL
MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 2010
Kelompok
Matematika
Terapan
1116
366
6
5
A , 0
2
B dan 3C . Selanjutnya dengan
keadaan awal dan input awal , didapat evolusi system (9)
62565044383226201482
62565044383226201482
61554943373125191371
x .
Fungsi obyektif dari model predictive control diberikan oleh :
)(~)(~)(~)()( kukrkyJkJkJ inout
dengan 0 adalah bobot dan )(kr adalah referensi signal. Dalam hal ini
indeks perilaku diberikan oleh
))1()(())1()1(,)()((min)(min kukukrkykrkykJ
))1()((
))1()1(),1()1(),()(),()((min
kuku
kykrkrkykykrkrky
))1()((
)1()1(),1()()1()1(
),1()()()(),1()()()((min
kuku
kykrkukukrky
kukukykrkukukrky
.
Dalam tulisan ini ditentukan nilai 1k , 6pN , 3cN dan referensi
signal
'857566554540)(kr . Selanjutnya hasil simulasi
menggunakan scilab berdasarkan diperoleh :
1116212733
11162127
111621
1116
11
H
SEMINAR NASIONAL
MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 2010
Kelompok
Matematika
Terapan
1117
)(
213934
183329
152724
122119
91514
699
)( kxkg
Untuk '221)0(x , didapat
'413529231711)0(g
'635141352311)0(Y
5. KESIMPULAN
Model Predictive control untuk sistem max plus linear merupakan
pendekatan dengan desain input yang optimal. Aljabar max plus dapat digunakan
untuk memodelkan sebuah sistem dalam bentuk sistem max plus linear. Untuk
menentukan nilai awal atau kondisi awal dari matrik hasil evolusi sistem dapat
digunakan toolbox scilab Max Plus. Pengaturan awal dari parameter Np, Nc, dan
barisan r(k) dapat mempengaruhi output dari sebuah sistem yang ada. Horison
prediksi (Np) dapat mengontrol keminimalan terhadap selisih antara keluaran
proses dan lintasan referensi, Horison kontrol (Nc) pengontrol terhadap perubahan
perubahan harga untuk kemudian memiliki harga yang tetap. Sedangkan
pemilihan parameter seminimal mungkin untuk menstabilkan permasalahan
yang ada.
SEMINAR NASIONAL
MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 2010
Kelompok
Matematika
Terapan
1118
DAFTAR PUSTAKA
Bart De Schutter and T.J.J van den Boom (2002), Model Predictive Control for
Max Plus Linear Discrete Event Systems, Automatica, Vol.37, No.1049-
1056
Camacho E.F. and Bordons. (1999). Model Predictive Control. London: Springer-
Verlag.
F. Baccelli, G. Cohen, G.J. olsder, and J.-P. Quadrat (1992), Synchronization and
linearity: an algebra for discrete event systems, Wiley.
Tyagunov, A. A (2004), High-Performance Model Predictive Control for Process
Industry,Technische Universiteit Eindhoven
Subiono, (2001), Terapan aljabar max-plus pada proses produksi perakitan,
Seminar Nasional Matematika, UGM, Yogyakarta