Io e i Numeri

Galimberti Alessandra II anno Scienze della FormazioneUniversità Cattolica del Sacro Cuore, Milano

Sintesi dei lavori

Matematiche elementari da un punto di vista superiore

I numeri oggi (spunto didattico)

Richiami e approfondimenti sull’evoluzione dei numeri

I numeri cinesi

La scuola finlandese vincitrice secondo il rapporto OCSE

Contenuti

Modalità

Lettura del libro Luisa Girelli “Noi e i numeri”Lettura dei rapporti OCSE di PISA e dei relativi articoliCondivisione delle impressioni personaliRicerche di approfondimento su WEB

I numeri…..un percorso affascinante verso un mondo forse ancora poco conosciuto………

Codificare

OrdinareNumeri civiciCalendarioPagine di un libro…

ContareSoldiTempo…

ClassificareAzioni/effetti

Che percorso ha permesso tutto questo?

E’ una lunga storia a partire dalla nostra innata capacità di contare...

I numeri nella nostra vita

Dove sono i numeri oggi?...un semplice esercizio da fare ai bambini per stimolare la loro Osservazione e capacità di classificazione su categorie concettuali.

Per poi suscitare curiositàVerso la storia e fare lezioni sulla loro storia storia….

(Spunto didattico)

….

CellulareTelecomandoTelefono…

MatricolaConto correnteTarga automobile…

LA NASCITA DEL CONTARE…INNATAOsso di IshangoScoperto nel 1960 dal belga Jean de Heinzelin de Braucourt durante una campagna esplorazione vicino Ishango vicino al confine tra l'Uganda e il Congo. La popolazione che nel 20.000 a.C. abitava le rive del lago potrebbe essere stata tra le prime a utilizzare i numeri per contare; purtroppo questa società durò poche centinaia di anni perché fu distrutta da un'eruzione vulcanica

Colonna centrale inizia con tre tacche (leggendo da destra verso sinistra) e subito 6 tacche (il doppio). Lo stesso per il 4, seguito da 8. Poi inverte il sistema 10 seguito dal 5. Questi numeri, quindi, non sonocasuali, ma suggeriscono una qualche comprensione della moltiplicazione e divisione per 2. L'osso può essere stato utilizzato come uno strumento di "calcolo" per semplici procedure matematiche

Le tacche su entrambi i lati della colonna centrale parrebbero indicare una maggiore capacita di "calcolo". Su entrambe le colonne di destra e sinistra sono tutti dispari (9, 11, 13, 17, 19 e 21). nella colonna sinistra sono tutti numeri primi compresi tra 10 e 20sulla colonna destra sono composti nella maniera 10 + 1, 10 - 1, 20 + 1 e 20 - 1. Se si sommano i numeri presenti sulle colonne esterne possiamo ottenere i totali 60 e 48 nella colonna centrale, entrambi divisibili per 12; si ritrovano ancora i concetti di moltiplicazione e divisione

LA NASCITA DEL CONTARE….INNATA

Osso di Lartet

Un osso istoriato di tacche trasversali e da incisioni di forma circolare proviene da Abri Lartet, regione di Les Eyzies de Tayac sita nel Perigord francese.

Questo oggetto, appartenente al Periodo Aurignaziano (30.000 a.C.), presenta serie di incisioni di 29 e 30 segni abbinate a cinque gruppi di tacche.

I segni circolari sembrerebbero, anche in questo caso, avere la forma delle varie fasi lunari, riprodotte con la medesima sequenza che appaiono nella realtà.Secondo gli studiosi il conteggio delle lunazioni su questo oggetto venne fatto più volte e rappresenterebbe i giorni contenuti in un mese sinodico.

I GETTONI DEI SUMERI

Le somme e sottrazioni venivano eseguite aggiungendo o togliendo gettoni, la moltiplicazione veniva eseguita come somma ripetuta (per esempio per moltiplicare 27 per 5 si sommava 27 cinque volte) e la divisione si effettuava tramite "spicciolature" successive e suddivisione in mucchietti

La numerazione è additiva, cioè i numeri venivano scritti disponendo uno accanto all'altro i simboli fondamentali occorrenti. Come si vede un ruolo speciale spetta, accanto al 10, al numero 60.  

le somme e sottrazioni venivano eseguite in modo ovvio e cioè aggiungendo o togliendo gettoni (ne l caso della sottrazione poteva essere necessario prima “spicciolare” un gettone di valore maggiore in gettoni di valore minore, come facciamo con le monete); la moltiplicazione veniva eseguita tramite somme ripetute (ad esempio per moltiplicare 123 per 32, si sommava il 123 per 32 volte); ed infine anche la divisione si poteva effettuare, tramite "spicciolature" successive e divisione in mucchietti. Per esempio per fare 60: 3 bisognava “spicciolare” un grosso cono da 60 in 6 bilie da dieci che si potevano dividere in 3 mucchietti uguali, ognuno contenente  2 bilie, da cui si ricavava che 60:3 = 20 .

I GETTONI DEI SUMERI Esempio di divisione

LA NUMERAZIONE BABILONESEil passaggio successivo fu quello di utilizzare, invece dei gettoni, delle tavolette di argilla su cui venivano disegnate le forme dei gettoni stessi, ottenendo così una delle più antiche forme di "scrittura dei numeri", con la nascita di vere e proprie "cifre" scritte, come simboli numerici.Questo metodo di scrittura cambiò successivamente sotto i Babilonesi, che adottarono invece una più evoluta scrittura cuneiforme, sempre su tavolette d'argilla, nella quale il valore dei simboli è posizionale, come nella nostra scrittura, ma in base 60 (con base ausiliaria 10). La mancanza dello zero portava a rischi di ambiguità.

LA NUMERAZIONE GRECA i numeri da uno a quattro erano rappresentati da trattini verticali ripetuti. Per il numero cinque si adottava un nuovo simbolo: la prima lettera (o ) della parola cinque, pente. Vi erano poi altri simboli per il dieci e le sue potenze come si vede nel seguente semplice schema riassuntivo

Questo sistema di scritture è additivo, in quanto più simboli l'uno accanto all'altro significano la somma dei loro singoli valori, ma anche moltiplicativo, in quanto un simbolo sotto un altro indica il prodotto dei due

45.678

sistema ionico

sistema erodianico

V secolo a.C. (anche se c'è chi ipotizza risalga all'VIII secolo a.C.).

Il più antico

Maiuscole

Minuscole

LA NUMERAZIONE GRECA

sistema ionico utilizza sempre le lettere dell'alfabeto: nove per i numeri interi inferiori a 10, nove per i multipli di 10 inferiori a 100, enove per i multipli di 100 inferiori a 1000.L'alfabeto greco dell'Età classica contiene soltanto ventiquattro lettere; pertanto si dovette far uso di un alfabeto più antico che comprendeva tre lettere arcaiche addizionali, (vau o digamma o stigma), (coppa) e (sampi), in modo da stabilire la seguente associazione di lettere e numeri:

Per i primi nove multipli di mille, ricorreva alle prime nove lettere dell'alfabeto; ciò rappresentava un uso parziale del principio di posizione. Ma per maggiore chiarezza queste lettere erano fatte precedere da un trattino o apice in basso (o iota):

I caratteri speciali

L'uso delle stesse lettere per indicare le migliaia e le unità avrebbe dovuto indurre i greci a fare il passo definitivo verso il principio di posizione dell'aritmetica decimale; non sembra, però, che essi si rendessero conto dei vantaggi offerti da tale innovazione. Questo sistema, rimane a tutti gli effetti un sistema non posizionale

I primi esempi noti di una scrittura numerica basata sui seguenti elementi: notazione posizionale, base dieci, presenza dello zero, nove simboli (cifre) oltre lo zero risalgono al V secolo d.C. (nel trattato indiano di cosmologia Lokavibhaga, 485 d.C.); questo metodo si diffuse piuttosto rapidamente in India e in Indocina, come è confermato dai documenti che testimoniano l'uso di tale cifre per eseguire i conti, già nel secolo successivo.Nel 773, arrivò a Bagdad un'ambasciata indiana con un omaggio per il califfo Mansour ed ai suoi saggi: il calcolo e le cifre. Muhammad ibn Musa al-Khuwârizmi scrisse il primo testo in lingua araba presentando la numerazione indiana posizionale nel IX secolo (dal suo nome deriva la parola "algoritmo"). Nel X secolo, il monaco francese Gerbert d'Aurillac apprese il nuovo metodo dai Mori di Spagna e iniziò a introdurlo in occidente, specialmente dopo esser divenuto Papa nel 999, col nome di Silvestro II. Le tracce di uso della numerazione indo-araba in Europa sono comunque scarse fino al XIII secolo, quando il matematico pisano Leonardo Fibonacci (che aveva viaggiato molto fra gli arabi) scrisse il Liber Abaci, che illustra il sistema posizionale ed il suo uso, e che fu il testo che più contribuì alla sua introduzione sistematica in Europa

LA NOTAZIONE POSIZIONALE IN BASE 10

Manoscritto indiano del Vi secolo

L’ABACO

Esemplare di antico Abaco romano, in metallo con palline scorrevoli in scanalature

Strumento per "far di conto" che ebbe la vita più lunga nel continente europeo (e anche altrove, con forme diverse) fu l'Abaco. usato prima dai Greci poi dai Romani rimase in uso in Europa fino quasi al 1700 e oltre.

una tavola divisa in sezioni che rappresentano unità, decine, centinaia, ecc. (come le cifre nel nostro sistema posizionale). In tali sezioni si posano dei gettoni con cui eseguire i conteggi; in questo caso i gettoni non hanno un valore assegnato, essi indicano sempre una unità del tipo indicato dalla colonna in cui si trovano.

La parola stessa "calcolo" viene dal latino "calculus" = sassolino, nome usato per i gettoni dell'abaco.

Versione semplice eVersione modificata

LA NUMERAZIONE CINESE

Numeri 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 100 1000 10000

Carattere 一二 三 四 五 六 七 八 九 十 二十 百 千 万

Pronuncia Yī èr Sān sì wǔ liù qī bā jiǔ shí èrshí bai qian Wàn

A partire dal III secolo a.C. circa, i Cinesi cominciano a usare 13 segni.1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-100-1000-10000

Gli antichi cinesi avevano sviluppate notazioni basate su corde e nodi, nodi bianchi per i numeri dispari, richiamanti le giornate, nodi neri per i pari, assegnati alle notti.

Antichità

Verso il moderno

Ci sono poi i cosiddetti "numeri-bacchetta" o "numeri-asta" per il lavoro matematico-scientifico, usati dal II secolo a.C. Venivano usate bacchette rosse e nere che rappresentavano numeri positivi e negativi (e per questo motivo la matematica cinese è stata una delle prime ad elaborare motivi algebrici e forse ad influenzare in questo l'India).

LA NUMERAZIONE CINESE

79.564 qi wan jiu qian wu bai liù shi sì = (7x10.000)+(9x1000)+(5x100)+(6x10)+4

487.390.629 sì wan wan ba qian wan qi bai wan san shì wan jiu wan liù bai er shì jiu (4x10.000x10.000)+(8x1000x10.000)+ (7x100x10.000)+(3x10x10.000)+(9x10.000)+(6x100)+(2x10)+9

Ho letto dell’esistenza di modi più economici ma anche più ambigui di rappresentazione che non approfondisco

LA NOTAZIONE ATTUALEI caratteri normali compaiono nella vita di tutti i giorni, sono quelli insegnati alla scuola elementare.

Sono più elaborate, e sono usate allo scopo di evitare frodi (da questo la descrizione “cifre finanziarie”).

In alcune cifre finanziarie vengono riportate 2 versioni: tradizionale (T) e semplificata (S)

tale differenza nasce durante la rivoluzione maoista, in cui è stata creata una commissione che semplificasse per quanto possibile i caratteri cinesi

Attualmente la versione semplificata è quella usata in Cina, mentre a Taiwan si usa la versione tradizionale

Esistono anche delle versioni dette guanzi (“cifre ufficiali”) usate per atti pubblici di acquisto e vendita, o per scrivere gli importi degli assegni.

Figura 6: Cifre cinesi usate normalmente e in ambito finanziario (T=versionetradizionale, S=versione semplificata)

LO ZERO CINESESun Tzu Suan Ching (“Sun Tzu’s ClassicCalculation”) scritto da Sun Tzu e datato dal V al III secolo a.C.si parla dell’importanza di conoscere le posizioni e la struttura dei numeri. Fino all’VIII secolo d.C., lo zero non era indicato da un simbolo, ma la sua posizione veniva lasciata vuota.

Manoscritti Thang delle grotte-tempio di Tunhuang nel rotolo intitolato “Li-Cheng Suan Ching” vi sono tabelle moltiplicative dove ad esempio il 405 è rappresentato con un 4 e un 5 separati da uno spazio.

Il simbolo dello zero appare per la prima volta stampato nel Su Chiu Chang di Chin Chiu-Shao (1247)si ritiene che possa essere stato usato da un secolo almeno, e l’uso potrebbe essere stato importato dall’India, ma non vi sono prove.

Attualmente lo zero viene indicato come (ling)Originariamente indicava le goccioline di pioggia all’esaurirsi della tempesta, o le goccioline che rimangono sugli oggetti in seguito indicò “quello che resta”Nel rappresentare numeri come 105, l’idea era di avere 100, più quello che resta, ovvero altri 5Lo zero, come cerchio vuoto, somiglia a una gocciolina d’acqua, per cui veniva chiamato ling.

CONCLUSIONI

La rappresentazione dei numeri cinese ha una storia, plurimillenaria

Alcuni elementi caratterizzanti sono rimasti costanti nel tempo, come :- la base decimale - il sistema posizionale.

Nella civiltà cinese sono emerse parecchie idee interessanti in maniera inalcuni casi sicuramente indipendente, in altri, come nell’introduzione dello zero,non del tutto indipendente, ma comunque lo spirito matematico di tale civiltà èstato ben presente fin dalle origini.

LA SCUOLA IN FINLANDIA. MOTIVI DI SUCCESSO

Secondo il rapporto OCSE di Pisa 2006, la Finlandia si pone al primo posto sui test che dovevano riscontrare le conoscenze dei ragazzi e la loro capacità di comprensione

La ricerca compiuta ha messo in luce come il successo sia l’esito di uno sforzo organizzativo globale che ha saputo portare ottimi benefici sui diversi aspetti (finanziamenti, struttura, formazione docenza, programmi ecc ) del mondo scuola e incentivare l’interesse dei ragazzi.

Nella pagine seguenti sintetizziamo :i motivi emersi valutando un poco il sistema scolastico finlandeseAlcune testimonianze trovate su blog web di docenti e alunni

Attenzione… Come sempre le cose da lontano sembrano più belle….Certo, alcune cose sono da prendere come esempio, ma molte sono già presenti anche da noi. Basta con il vederci sempre in negativo…..

• Oltre l’11 % del bilancio alla scuola (3 miliardi 360 milioni di euro).• Libri di testo nel ciclo obbligatorio (7-16 anni, 6 anni di elementari e

3 di media inferiore) sono a carico dello stato.• Accesso al liceo (16 anni) facoltativo, ma sempre a spese dello stato

SOSTEGNO DALLO STATO

• Insegnanti (43.000) ben pagati (2.500 euro lordi. Stipendio di ingresso, 4.500 preside).

• Ogni ora in più passata in classe viene pagata a parteSTIPENDI

• Addestramento in master post-universitari con la missione di mantenere il primato scolastico del paeseFORMAZIONE

• Possibilità di aumentare le proprie entrate scrivendo libri di testo, facendo consulenzeCARRIERA

• computer collegati ad internet, videoproiettori e schermi televisivi in ogni classe, biblioteche ed emeroteche, giochi educativi per imparare la matematica o la geografia, laboratori aule di musica con tanto di sintetizzatore elettronico, basso, batteria, microfoni, palestre attrezzate, piscine, saune.

STRUTTURA

LA SCUOLA IN FINLANDIA. MOTIVI DI UN SUCCESSO

LA SCUOLA IN FINLANDIA. MOTIVI DI UN SUCCESSO

• Sforzo costante dei docenti di attualizzare i programmi• Forte spirito di iniziativa dei docenti grazie agli incentivi.• Volontà di innovare e progettare

DIDATTICA

• Esigenti con i loro studenti, che sanno che per andare avanti hanno bisogno di conseguire ottimi voti

• I voti sono considerati utili perché spinge i ragazzi a una sana competizione

VALUTAZIONE

• Insegnante di supporto, specialista formato in duri training post-universitari che segue i ragazzi più fragili, svogliati o meno dotati.

• Ogni scuola è dotata di un Osservatorio per il benessere dei ragazzi, con tutor e psicologo

• Il tutor coinvolge anche mamma e papà

SOTEGNO

• Applicazione concreta di concetti astratt• Coinvolgimento dei ragazzi, volontà che capiscano davvero l’utilità

quotidiana, reale, del calcolo matematicoMATEMATICA

LA SCUOLA IN FINLANDIA. Testimonianze dei docenti

“ Imparare è fare ” e anche per capire l’algebra o la fisica bisogna usare il cervello, gli occhi, le orecchie e le mani ”.

“ La forza della nostra scuola è che è gratuita, paritaria, flessibile….e inflessibile ”

Sanna Pakkanen, laureata in fisica e insegnante di matematica e scienze

Hiekki Lauttasaaren

<< Non so se i finlandesi sono i migliori del OCSE – Pisa, ma diciamo che non sarebbe una sorpresa… Specialmente dopo il mio anno in Italia, ho iniziato a apprezzare la nostra sistema di scuola molto di più… Io penso che il problema in Italia è che le persone devono studiare a casa e poi vengono a scuola a fare l’interrogazione in cui devono proprio ricordare tutto a memoria parola a parola e poi se gli chiedi “perché?”, non sanno rispondere perché non hanno davvero capito quello che hanno studiato… in Finlandia invece io a volte non studiavo niente a casa e prendevo otto o nove dal compito soltanto perché avevo capito le cose durante le lezioni… e in Finlandia nel liceo i professori non guardano se io ho fatto i compiti a casa, lì loro pensano che siamo assai adulti per decidere le nostre cose e cmnq fa male a noi se non studiamo perché è la nostra vita. E questo fatto ci dava la possibilità di studiare di più quella materia che per noi era difficile e meno quella che era facile. E ci sono anche altre cose che non mi piacevano nella scuola italiana, per esempio l’ingelse… Io non ho mai nella mia vita studiato per esempio shakespeare qui in Finlandia, qui è importante che io so parlare inglese, invece in Italia voi studiate 2-3 anni la grammatica e poi iniziate a studiare shakespeare il quale scriveva inglese che nemmeno Samantha, che parla ingelse come la lingua materna, capiva totalmente… quindi come le persone possono imparare a parlare inglese, se studiano quel modo della lingua che è morto cento anni fa…questi sono i miei pensieri “

LA SCUOLA IN FINLANDIA. Testimonianze degli alunni

Livelli di competenza OCSE PISA – Matematica

Livello 6 Concettualizzazione, generalizzazione e uso di informazioni basate su situazioni eproblemi complessi. Collegamento fra diverse fonti di informazioni e forme dirappresentazione differenti, in seguito combinazione di diversi elementi. Sviluppodi nuove soluzioni e strategie di gestione di situazioni non familiari.Livello 5 Sviluppo e utilizzazione di modelli per situazioni complesse. Scelta, confronto evalutazione di strategie opportune per affrontare problemi complessi. Utilizzazionestrategica di forme di rappresentazione adatte e applicazione di conoscenze riferitealle situazioni.Livello 4 Utilizzazione corretta di modelli espliciti per situazioni complesse. Scelta eintegrazione di varie forme di rappresentazione e loro collegamento con aspetti disituazioni reali, argomentazione flessibile.Livello 3 Svolgimento di procedure descritte chiaramente, comprese quelle chepresuppongono decisioni sequenziali. Utilizzazione e interpretazione dirappresentazioni basate su varie fonti di informazioni e capacità di trarne delleconclusioni dirette.Livello 2 Estrazione di informazioni pertinenti da un’unica fonte e comprensione di un’unicaforma di rappresentazione. Applicazione di algoritmi, formule, procedure oconvenzioni fondamentali.Livello 1 Risposte a domande formulate in un contesto familiare, contenenti tutte le informazioni pertinenti e definite chiaramente. Svolgimento di procedimenti diroutine secondo istruzioni dirette.