1

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2

Glava I : METRIČKI PROSTORI. FUNKCIJE VIŠE PROMJENLJIVIH

Teorija graničnih vrijednosti je od interesa ne samo u skupu R realnih brojeva, već i u nekim drugim skupovima različite prirode, npr. u skupu C kompleksnih brojeva, u višedimenzionalnim Euklidovim prostorima Rn i Cn, u skupovima funkcija, ali i u mnogo opštijim skupovima (sasvim apstraktne prirode) – samo uz pretpostavku da je na takvom skupu definirano rastojanje sa odgovarajućim osobinama. Takve strukture nazivamo metrički prostori i obradićemo ih u prvom paragrafu ovog poglavlja. Posebno, kao jedan od najjednostavnijih, ali istovremeno i najvažnijih primjera obrađujemo slučaj konačnodimenzionalnih (n - dimenzionalnih) realnih Euklidovih prostora Rn, jer je poznavanje osobina tih prostora osnova za ispitivanje (proučavanje) funkcija više realnih promjeljivih (kao što je i detaljno poznavanje osobina skupa R suštinsko za proučavanje osobina realnih funkcija jedne realne promjenljive), koje proučavamo u ostalim paragrafima ovog poglavlja.

§1.1. Metrički, normirani i unitarni prostori

1.1.1. Pojam metričkog prostora U osnovi pojma granične vrijednosti (limesa) u skupu R realnih brojeva je činjenica da je između svaka dva realna broja x, y definirano rastojanje

d (x, y) : = | x – y |. Dalji pojmovi, kao što su okolina, limes, konvergencija, neprekidnost i dr., mogu se jednostavno uvesti pomoću pojma rastojanja, što omogućavaju, jasno, i određene osobine koje ima funkcija rastojanja d. Konvergencija niza (xn) ka x u skupu R znači da su tačke xn i x na proizvoljno malom rastojanju počevši od nekog dovoljno velikog indeksa n. Ovo svojstvo je fundamentalno u primjenama i može se proširiti i na proizvoljne skupove ukoliko na njima definiramo rastojanje između svake dvije tačke (toga skupa). Uvidjelo se da se rastojanje (između dvije tačke) može definirati na različite načine, ukoliko ono samo zadovoljava tri uslova (tzv. aksiome metrike) opisana u narednoj definiciji pojma rastojanja (udaljenosti) koji je po prvi put apstraktno formulisao Freše*) 1906. godine, dok je sam naziv "metrički prostor" ("metrischer Raum") uveo, kasnije (1914), Hausdorf.**)

Definicija 1.1.1. Neka je X skup elemenata proizvoljne prirode i d : X → R funkcija (preslikavanje) koja svakom uređenom paru (x, y) elemenata x, y skupa X dodjeljuje realan broj d(x, y). Ako ta funkcija zadovoljava sljedeće uslove (tzv. aksiome metrike):

; )( 0),( )2(

,0 ),( )1 (tdefinitnospozitivna

yxyxdMyxdM

⎪⎭

⎪⎬⎫

=⇔=≥

(M 3) d (x, y) = d ( y, x) (osobina simetrije); (M 4) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) (nejednakost trougla);

za sve x, y, z ∈ X, onda kažemo da je d metrika ili udaljenost (rastojanje) na skupu X. Uređen par (X, d ) od skupa X i metrike d na skupu X nazivamo metrički prostor. Ako se uslov (M 2) zamijeni sa slabijim uslovom

(M 2)' x = y ⇒ d (x, y) = 0, (tj. d (x, y) = 0 ako je x = y),

onda se preslikavanje d naziva pseudometrika, a uređeni par (X, d ) pseudometrički prostor. ________________ *) M. Frcéhet (1878 – 1973) – francuski matematičar. **) Felix Hausdorff (1868 – 1942) – njemački matematičar.

2

Funkciju d : X x X → R nazivamo polumetrika ili semimetrika (a par (X, d ) polumetrički ili semimetrički prostor) ako vrijede uslovi (M 1) – (M 3); nesimetrična metrika ako vrijede uslovi (M 1), (M 2) i (M 4). Funkciju d : X x X → R (gdje je R : = R ∪ {– ∞, + ∞} prošireni prostor realnih brojeva) za koju vrijede uslovi (M 1) – (M 4) zovemo metrika proširenih realnih vrijednosti. Ako se umjesto uslova (M 4) zahtijeva jači uslov

(M 5) d (x, y) ≤ max{d (x, z), d (z, y)}

za sve x, y, z ∈ X, onda se za funkciju d kaže da je ultrametrika, a za par (X, d ) da je ultrametrički prostor. Primijetimo da se uslov (M 1) u definiciji 1.1.1. pojma metrike može izostaviti. Naime, za x = y iz nejednakosti (M 4), na osnovu uslova (M 3), dobijemo da je 2 d (x, z) ≥ d (x, x), odakle je (na osnovu uslova (M 2)) d (x, z) ≥ 0 za sve x, z ∈ X. Osim toga, uslovi (M 1) i (M 2) mogu se ekvivalentno zamijeniti uslovima (M 2)' i

(M 1)' d (x, y) > 0 ako je x ≠ y. Mnoge probleme matematičke analize moguće je obraditi u okvirima metričkih prostora. Ipak, postoje problemi, kako u samoj matematičkoj analizi (npr. tako jednostavan pojam kao što je obična konvergencija funkcija*) ) tako i u drugim oblastima matematike i njihovim primjenama (npr. neki fizikalni problemi histerezisa i teorije magnetizma, te problemi fizioloških pragova), koji nisu obuhvaćeni teorijom metričkih prostora. To je primoralo matematičare da uvedu i tako opšte prostore kao što su topološki prostori ali i takve kao što su vjerovatnosni metrički prostori, statistički metrički prostori (pa čak) i vjerovatnosni topološki prostori (koji predstavljaju određene vjerovatnosno – statističke generalizacije Frcéhetovog pojma metričkog prostora uvedenog definicijom 1.1.1.). Primjeri metričkih prostora mogu da budu vrlo raznorodni. Osnovni, inspirativni primjer metričkog prostora je skup realnih brojeva R (što ćemo kasnije i dokazati) /ili skup kompleksnih brojeva C / sa metrikom d definiranom formulom d(x, y) = | x – y |. Najjednostavnije uopštenje prostora R predstavlja, kao što je poznato iz linearne algebre, n – dimenzionalni euklidski prostor Rn čiji su elementi uređene n – torke x : = (x1, ..., xn) realnih brojeva x1, ..., xn. Kasnije ćemo dokazati da je (Rn, d2) metrički prostor s metrikom

d2(x, y) = ( )∑=

−n

iii yx

1

2 , (x : = (x1, ..., xn), y : = ( y1, ..., yn)∈ Rn ),

koja je izvedena iz norme

|| x ||2 = ∑=

n

iix

1

2

po formuli d2(x, y) = || x – y ||2. Ta se metrika zove obična ili euklidska, a prostor (Rn, d2) n – dimenzionalni realni euklidski prostor Rn. Ako je n = 1, dobijemo prostor R realnih brojeva, ili realni pravac s (običnom) metrikom d(x, y) = | x – y |, (x, y∈ R). U zadacima uz ovaj paragraf proučene su i neke druge važnije metrike. U skupu Rn, kao i u bilo kom skupu, metrika se može uvesti na više načina. Jedno od korisnih uopštenja metrike d2 jeste metrika dp (za p ≥ 1) koja se uvodi pomoću relacije

dp : = pn

i

pii yx

1

1 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−∑

=

za sve x : = (x1, ..., xn), y : = ( y1, ..., yn)∈ Rn. (Od uslova (M 1) – (M 4) za metriku netrivijalna je samo provjera uslova (M 4), ali taj uslov slijedi iz nejednakosti Minkovskog**)

pn

i

pi

pn

i

pi

pn

i

pii yxyx

1

1

1

1

1

1 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛≤⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛− ∑∑∑

===

,

koja se dokazuje u poglavljima o realnim brojevima i o /beskonačnim/ redovima). Ponekad se metrički prostor (Rn, dp) označava sa Rp

n. ________________ *) Naime, pokazuje se da je obična konvergencija nizova funkcija poseban slučaj opšteg pojma konvergencije u topološkim prostorima, te da vrijedi činjenica : Ako je X neprebrojiv skup, onda ne postoji metrika d na skupu RX svih funkcija f : R → X sa svojstvom da je konvergencija nizova u prostoru (RX, d ) obična konvergencija nizova funkcija (vidjeti, npr., [Sibe Mardešić, Matematička analiza u n – dimenzionalnom realnom prostoru, Prvi dio, Školska knjiga, Zagreb, I izd. 1974, II izd. 1979, teoremi 11. i 12., str. 119. i 120]). **) Hermann Minkovski (1864 – 1909) – njemački matematičar i fizičar.

3 Najinteresantniji posebni slučajevi prostora Rp

n koje ćemo posmatrati su za p = 1 kada je d1(x, y) = ∑

=

−n

iii y x

1, zatim već navedeni slučaj p = 2, odnosno R2

n = Rn i najzad slučaj p = ∞

kada po definiciji stavljamo d∞ (x, y) = max{| x1 – y1 |, | x2 – y2 |, ..., | xn – yn |}

(uvedenu oznaku d∞ opravdava činjenica /koja se lako dokazuje/ da je lim p→∞ dp (x, y) = d∞ (x, y)). Lako se provjeravaju uslovi metrike za funkciju d na prostoru m svih ograničenih nizova x : = ( ) realnih brojeva, definiranu izrazom ∞

=1 iixd(x, y) = {| x

∞<≤ 1sup

ii – yi |} (x : = (xi), y : = ( yi)∈ m ).

U skupu C[a, b] svih neprekidnih realnih funkcija f : [a, b] → R, definiranih na segmentu [a, b](⊆ R), uvodi se metrika formulom

d ( f, g) = | f (x) – g (x)| ( f, g ∈ C[a, b]) (*) b x a

max≤≤

(prethodni izraz ima smisla prema Weierstassovoj teoremi, a uslovi metrike se lako provjere). Napomenimo da se u skupu C[a, b] (a i u skupu H djelimično neprekidnih funkcija, tj. funkcija koje su neprekidne na [a, b], ili im je skup svih tačaka prekida konačan i svi su prve vrste) metrika može uvesti i pomoću formule

dp ( f, g) = pb

a

p dxxgxf

1

)()( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−∫

za p ≥ 1. Nejednakost trougla slijedi iz integralne nejednakosti Minkowskog, koja se dobije iz obične nejednakosti Minkowskog, napisane za Riemannove integralne sume. Specijalni slučajevi koji su od posebnog interesa su opet kada je p = 1 (tzv. "integralna metrika"), p = 2 (tzv. "metrika srednjeg kvadratnog odstupanja" koja je korisna, npr., u teoriji Fourierovih redova) i p = ∞, pri čemu se lako provjeri da je d∞ = d, gdje je funkcija d definirana formulom (*).

Na proizvoljnom skupu X (≠∅) možemo definirati metriku d izrazom

d (x, y) = ⎩⎨⎧

=≠

. ,0, ,1

yxyx

Za ovu metriku d se kaže da je diskretna, a za (X, d ) da je diskretni prostor. Neka je (X, d ) metrički prostor, Y podskup od X i dY = d | X x Y (tj. neka je dY restrikcija metrike d na podskup Y skupa X ). Tada je očito i (Y, dY ) metrički prostor. Kažemo da je (Y, dY ) potprostor prostora (X, d ).

Ako za metrički prostor (X, d ) uzmemo Euklidov prostor Rn, onda svaki podskup Y⊆ Rn određuje metrički prostor (Y, dY ) i tako se dobije mnoštvo primjera metričkog prostora. Zbog jednostavnosti oznaka metrika dY se najčešće označava takođe sa d, pa se govori o potprostoru (Y, d ) (metričkog) prostora (X, d ). Takođe se često, umjesto (X, d ), piše X i govori metrički prostor X kada je iz konteksta jasno o kojoj se metrici d radi. Kao jedna od neposrednih posljedica definicije 1.1.1. je i tzv. nejednakost mnogougla

d (x0, xn) ≤ d (x0, x1) + d (x1, x2) + ⋅⋅⋅ + d (xn – 1, xn), (1.1.1) gdje su x0, x1,..., xn proizvoljni elementi skupa X, a d metrika na X. Nejednakost (1.1.1) predstavlja poopštenje nejednakosti trougla (M 4) i lako se dokazuje matematičkom indukcijom po n.

Tvrdnja 1.1.1. Za proizvoljne četiri tačke x, y, x ', y '∈ X u svakom metričkom prostoru (X, d ) vrijedi nejednakost

|d (x, y) – d (x ', y ' )| ≤ d (x, x ' ) + d ( y, y ' ). (1.1.2)

Dokaz: Iz nejednakosti mnogougla (1.1.1) slijedi da je d (x, y) ≤ d (x, x ' ) + d (x ', y ' ) + d ( y, y ' ),

odakle je zbog simetrije funkcije d (tj. zbog uslova (M 3))

4

d(x, y) – d (x ', y ' ) ≤ d (x, x ' ) + d ( y, y ' ). (1.1.3) Zamijenimo li u nejednakosti (1.1.3) x, y, respektivno, sa x ', y ' i, obrnuto, x ', y ' sa x, y, dobijemo:

d (x ', y ' ) – d(x, y) ≤ d (x, x ' ) + d ( y, y ' ). (1.1.4) Iz nejednakosti (1.1.4), uzimajući u obzir i nejednakost (1.1.3), dobijemo

– (d (x, x ' ) + d ( y, y ' )) ≤ d(x, y) – d (x ', y ' ) ≤ d (x, x ' ) + d ( y, y ' ), što je ekvivalnetno sa (1.1.2), pa je dokaz tvrdnje 1.1.1. završen. Primjer 1.1.1. Dokažimo da je skup R (svih) realnih brojeva zajedno sa funkcijom d : R x R → R, definiranom izrazom d (x, y) = | x – y |, metrički prostor, a što smo do sada samo navodili bez dokaza, odnosno dobili kao specijalan slučaj prostora Rn (kada je n = 1).

Zaista, uslovi (M 1) – (M 3) za metričku funkciju d direktno slijede iz definicije pojma apsolutne vrijednosti realnog broja (tj. iz jedne od ove tri međusobno ekvivalentne definicije:

1° | x | = 2° | x | = ⎩⎨⎧

<−≥

;0 ,,0 ,

xxxx 2x (aritmetički korijen, ako je x2 > 0, tj. ako je x ≠ 0 );

3° | x | = max {– x, x}). Dokažimo da definirana funkcija d na skupu R zadovoljava i uslov (M 4). Za proizvoljne elemente x, y, z ∈R važi:

| x –y | = | x – z + z – y | = | ( x – z ) + ( z – y )| ≤ | x – z | + | z – y |. Odavdje je d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), čime je pokazano da je uslov (M 4) zadovoljen. U metričkom prostoru (X, d ) definira se udaljenost tačke x0∈X od podskupa A ( ⊆ X ) formulom

d(x0, A) : = inf { d (x0, a) | a∈A }. (*) Skup { d (x0, a) | a∈A } ograničen je odozdo, jer je d(x0, a) ≥ 0 za svaki a∈A. Zato za svaki A≠∅ infimum u (*) postoji, pa je d(x0, a) potpuno određen realan broj i vrijedi d(x0, A) ≥ 0. No, uočimo da iz x0∈A slijedi da je d(x0, A) = 0, a da obrnuto ne vrijedi (npr., za X = R i X = R+ = {x∈R : x > 0} je d(0, R+) = 0, ali ipak 0∉R+ ). Udaljenost između dva podskupa A, B⊆ X u metričkom prostoru (X, d ) definira se formulom

d ( A, B) : = inf {d(a, b) | a∈A, b∈B}. Očigledno vrijedi da je d(A, B) ≥ 0, te da iz A∩B ≠∅ slijedi d (A, B) = 0. Obrnuto, iz d (A, B) = 0 ne mora slijediti A∩B ≠∅, jer, npr., za A = R+, B = -R = { x∈R : x < 0} slijedi d(A, B) = 0, ali ipak A∩B =∅. U preostalom dijelu ovog odjeljka uvodimo neke od osnovnih pojmova i termina pozajmljenih (preuzetih) iz teorije dvodimenzionalnog i trodimenzinalnog Euklidovog prostora, pa se i neki crteži koji služe za ilustraciju mogu izraditi tako da asociraju na takve prostore, ali pri tome treba voditi računa da se osobine koje se dokazuju mogu odnositi i na mnogo apstraktniju situaciju, te da geometrijska intuicija može ponekad biti sasvim neadekvatna (npr., adherencija otvorene kugle K (a, r) : {x∈X | d(x, a) < r} ne mora da se poklopi sa zatvorenom kuglom ),( raK : = {x∈X | d(x, a) ≤ r}, pri čemu se pod

adherencijom skupa A podrazumijeva skup A dat sa A = A ∪ A', gdje je A' skup svih tačaka nagomilavanja*) skupa A). U vezi sa ovim korisna je Poenkareova**) "definicija": "Matematika je umjetnost davanja istog imena različitim stvarima." (Vidjeti, npr., u [Dr Dušan Adnađević – Dr Zoran Kadelburg : Matematička analiza I, Nauka, Beograd, IV izd. 1995] i [Milan Merkle : Matematička analiza, Teorija, Akademska misao, Beograd, 2001]). Definicija 1.1.2. Kažemo da je skup A iz metričkog prostora (X, d ) ograničen (omeđen) ako je skup {d(x, y) | x, y ∈ A} ograničen u prostoru R. U slučaju X = R taj se pojam podudara s (u teoriji realnih brojeva) uvedenim pojmom ograničenog skupa u R. Za preslikavanje f : T → X skupa T u metrički prostor (X, d ) se kaže da je ograničeno (omeđeno) ako je f (T ) (⊆ X ) ograničen skup. Specijalno, ograničeno preslikavanje f : T → X za T = N je ograničen niz. Ako je (X, d ) metrički prostor i ako je skup A (⊆ X ) ograničen, onda očito postoji realan broj

diam (A) : = sup {d(x, y) : x, y ∈ A}, koji se zove dijametar skupa A. Ako je A neograničen skup, onda se uzima da je diam ( A ) = + ∞. Uvijek je diam(A) ≥ 0, a pomoću nejednakosti trougla (M 4) lako se pokazuje da vrijedi formula

diam (A ∪ B) ≤ diam (A) + diam (A, B) + diam (B), iz koje onda lako zaključujemo da je unija od konačno mnogo ograničenih skupova ograničen skup. ________________ *) koje definiramo u preostalom dijelu ovog odjeljka. Skup A' se zove derivirani ili izvodni skup skupa A. **) H. Poincare (1857 – 1912) – francuski matematičar.

5 U svakom metričkom prostoru (X, d ) mogu se definirati sljedeći pojmovi.

Definicija 1.1.3. Neka je ε ( > 0) proizvoljan pozitivan broj iz R i neka je x0∈X, gdje je (X, d ) metrički prostor. Tada se skup tačaka K(x0, ε ) : = {x∈X : d(x0, x) < ε } naziva otvorena kugla sa centrom (središtem) u tački x0 i poluprečnikom (radijusa) ε.

Za ε1 ≤ ε2 je K(x0, ε1) ⊆ K(x0, ε2). U skupu realnih brojeva R otvorena kugla sa centrom u tački x0 i radijusom ε je skup svih tačaka x∈R koje zadovoljavaju nejednakost: | x – x0 | < ε (gdje je d(x0, x) = | x – x0 |), tj. to je otvoreni interval ( x0 – ε , x0 + ε ), (ε > 0).

Definicija 1.1.4. Neka je ε proizvoljan pozitivan broj, a x0∈X, gdje je (X, d ) metrički prostor. Tada se skup tačaka K (x0, ε ) : = {x∈X : d(x0, x) ≤ ε } naziva zatvorena kugla sa centrom u tački x0

i poluprečnikom ε.

Prema tome, u skupu R zatvorena kugla sa centrom u tački x0 i poluprečnikom ε je skup svih tačaka x∈R koje zadovoljavaju nejednakost: | x – x0 | ≤ ε, tj. zatvorena kugla K (x0, ε ) u R je segment [ x0 – ε , x0 + ε ].

Na sl.1.1.1. prikazane su kugle (otvorene) u R2 sa centrom u tački x0 : = (0, 0) i radijusom ε = 1 u različitim metrikama d1, d2 i d∞. U Euklidskom prostoru R3, K(x0, ε) je kugla (u smislu elementarne geometrije) bez sfere koja tu kuglu ograničeva (omeđuje). U diskretnom prostoru je K(x0, ε) = { x0 } ako je ε ≤ 1 i K(x0, ε) = X ako je ε > 1, tj. može biti ε1 < ε2 , a da ipak bude K(x0, ε1) = K(x0, ε2).

y y y

(0, 1) (0, 1) (0, 1) (–1, 0) (1, 0) x (– 1, 0) (1, 0) x (– 1, 0) (1, 0) x (0, –1) (0, –1) (0, –1)

Slika 1.1.1.

(Tačke na rubu iscrtanog područja ne pripadaju skupu K(x0, ε), ali pripadaju skupu K (x0, ε).) Definicija 1.1.5. Okolinom U(x0) (ili O(x0)) tačke x0∈X u metričkom prostoru (X, d ) naziva se svaki skup U(⊆ X ) (ili O ⊆ X ) koji u sebi sadrži neku otvorenu kuglu sa centrom u tački x0. Iz definicije 1.1.5. slijedi da je svaka otvorena kugla sa centrom u tački x0 koja pripada metričkom prostoru X je okolina tačke x0. Ova okolina se naziva i kuglina okolina (ili sferna okolina) tačke x0. I nadalje kada spomenemo okolinu neke tačke mislimo na njenu kuglinu okolinu. Navedimo i neka svojstva okolina (koja se lako pokazuju): I. (Prvo svojstvo za okoline). Ako su U '(x0) ili U ''(x0) dvije okoline tačke x0, tada postoji okolina U(x0) koja je sadržana u datim okolinama. II. (Drugo svojstvo za okoline). Za proizvoljne dvije tačke x, y∈ X ( x ≠ y ) postoje okoline U(x) i U( y) koje nemaju zajedničkih tačaka.

Definicija 1.1.6. Tačka x0∈X1 (⊆ X ) je unutrašnja tačka skupa X1 ako postoji otvorena kugla K(x0, ε ) takva da je K(x0, ε )⊂ X1 ; x0∈ X1 naziva se spoljašnjom tačkom u odnosu na skup X1(⊆ X ) ako postoji otvorena kugla K(x0, ε ) takva da je K(x0, ε ) ∩ X1 = ∅. Tačka x0∈ X1 naziva se izoliranom (izolovanom)tačkom skupa X1 ako postoji otvorena kugla K(x0, ε ) takva da je K(x0, ε )∩ X1 = {x0}.

6

Definicija 1.1.7. Za skup X1 (⊆ X ) kaže se da je otvoren skup ako su sve njegove tačke unutrašnje.

Definicija 1.1.8. Tačka x0∈X naziva se tačkom gomilanja (tačkom nagomilavanja) skupa X1 (⊆ X ) ako svaka okolina U(x0) tačke x0 sadrži bar jednu tačku y∈X1, y ≠ x0. Tačka gomilanja može, a ne mora pripadati skupu X1. Važi sljedeća tvrdnja, koju navodimo bez dokaza.

Tvrdnja 1.1.2. U svakom metričkom prostoru otvorena kugla je otvoren skup. Prema tome (otvoreni) interval u skupu realnih brojeva R je otvoren skup (u odnosu na običnu /euklidsku/ metriku d (definiranu formulom d(x, y) = | x – y | ). Posljedica ove tvrdne je treće svojstvo za okoline: Ako tačka y pripada sfernoj okolini U(x), y ≠ x, onda postoji kuglina okolina tačke y koja je sadržana u okolini U(x).

Tvrdnja 1.1.3. Proizvoljna okolina U(x0) tačke gomilanja x0 skupa X1 (⊆ X ) sadrži beskonačan skup tačaka skupa X1. Dokaz: Pretpostavimo suprotno, tj. da okolina U(x0) sadrži konačan broj tačaka x1, x2, ..., xn ∈ X1 međusobno različitih i različitih od tačke x0. Prema navedenim osobinama za okoline slijedi da postoje okoline U *(x0), U 1(x1), U 2(x2), ...., U n(xn) koje se sadrže u okolini U(x0) i koje nemaju zajedničkih tačaka. Slijedi da okolina U *(x0) ne sadrži ni jednu tačku skupa X1 različitu od x0, pa tačka x0 nije po definiciji tačka gomilanja. Ovim je tvrdnja i dokazana. Po definiciji se uzima da su prazan skup i čitav metrički prostor X otvoreni skupovi.

Definicija 1.1.9. Neka je X metrički prostor. Za skup X1 ⊆ X kažemo da je zatvoren ako on sadrži sve svoje tačke gomilanja. Dokazuje se vda aži sljedeća teorema koju navodimo bez dokaza.

Teorema 1.1.1. U svakom metričkom prostoru zatvorena kugla je zatvoren skup.

Prema tome, svaki segment [a, b]⊂R je zatvoren skup. Važi i sljedeća teorema koju takođe navodimo bez dokaza.

Teorema 1.1.2. Neka je X metrički prostor i neka je X1 ⊆ X. Da bi skup X1 bio otvoren

potrebno je i dovoljno da njegov komplement ~

1X bude zatvoren.

1.1.2. Nizovi u metričkom prostoru Definicija 1.1.10. Niz u skupu X je svako preslikavanje x : N → X skupa prirodnih brojeva u skup X. Vrijednost x(n)∈X za n∈N naziva se n – ti član niza i najčešće se označava sa x n, tj. x(n) = x n, pa se govori o nizu ( ) ili (x∞

=1 nnx n). Ako je X metrički prostor (ili, opštije, topološki prostor), postavlja se pitanje konvergencije niza (xn) iz X prema tački x0∈X. Intuitivno govoreći, radi se o slučaju kada se članovi niza s dovoljno visokim indeksima n nalaze proizvoljno blizu tačke x0. To se svojstvo niza definira na sljedeći način. Definicija 1.1.11. Za niz (xn) elemenata metričkog prostora X kažemo da je konvergentan u metričkom prostoru (X, d ) ako postoji tačka x0∈X i ako za svaki ε > 0 postoji prirodni broj N = N(ε) tako da je za svaki n > N zadovoljena nejednakost:

d(xn, x0) < ε .

7

U ovom slučaju kažemo da niz (xn) konvergira ili teži ka tački x0∈X ili kažemo da je tačka x0 granična vrijednost niza (xn), što kratko pišemo:

lim (xn) = x0 ili lim xn = x0 ili lim n→∞ xn = x0 ili (xn) → x0 za n → +∞ ili xn → x0. Ako niz (xn) nije konvergentan, onda kažemo da je on divergentan. Kada konvergentnom nizu (xn) pridružujemo graničnu vrijednost x0, govorimo da vršimo granični prelaz n → ∞. Ekvivalentna definicija datoj definiciji pojma konvergentnog niza je sljedeća definicija: Definicija 1.1.12. Niz (xn) elemenata metričkog prostora X naziva se konvergentnim u metričkom prostoru X ako postoji tačka x0∈X takva da je

∞→nlim d (xn, x0) = 0.

Definicija 1.1.13. Neka je X metrički prostor. Za niz (xn), xn∈X za svaki n∈N kažemo da je Cauchyjev ili fundamentalan niz ako za svaki ε > 0 postoji prirodni broj N = N(ε) takav da je za ∀n, m > N zadovoljena nejednakost:

d(xn, xm) < ε. Definicija 1.1.14. Za metrički prostor X kažemo da je potpun (ili kompletan) ako svaki njegov fundamentalni niz konvergira ka nekom elementu tog prostora. Primjer 1.1.2. Skup realnih brojeva R je potpun metrički prostor (v. teoremu iz teorije nizova realnih brojeva, koja predstavlja potreban i dovoljan uslov za konvergenciju niza čiji su elementi realni brojevi). Teorema 1.1.3. Svaki fundamentalni niz u metričkom prostoru je ograničen.

Dokaz: Neka je niz (xn) fundamentalni niz. Tada postoji prirodan broj N takav da je d (xn, xm) < 1 (uzeli smo da je ε = 1) za ∀n, m > N. Specijalno je d (xn, xN+1) < 1 za ∀n > N. Označimo sa ri : = d (xi, xN+1) za ∀i = 1, 2, ..., N i sa r : = max{1, ri}, pri čemu je 1 ≤ i ≤ N. Očigledno je d (xn, xN+1) ≤ r za svaki n∈N, čime je teorema i dokazana. Tvrdnja 1.1.4. Svaki konvergentan niz u metričkom prostoru je fundamentalan niz.

Dokaz: Zaista, neka je niz (xn) konvergentan niz u metričkom prostoru (X, d ) i neka konvergira ka elementu x0∈X. Uzmimo proizvoljan ε > 0. Tada za

2ε > 0 postoji prirodni broj N = N(ε)

takav da je d(xn, x0) < 2ε za ∀ n > N. Sada iz nejednakosti

d(xn, xm) ≤ d(xn, x0) + d(xm, x0) slijedi da je

d(xn, xm) < ε, za ∀n, m > N, pa je po definiciji posmatrani niz fundamentalan.

Općenito u metričkom prostoru fundamentalni nizovi nisu konvergentni. Npr., ako je X = (0, 1]⊂R, onda je niz (xn), xn =

n1 ∈X, fundamentalan niz budući da je (xn) konvergentan u [0, 1]. No, u

prostoru (0, 1] niz ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

n1 ne konvergira. Međutim, ipak se lako pokazuje činjenica da ako je (xn)

fundamentalan niz u metričkom prostoru (X, d ) a ako neki podniz (knx ) niza (xn) konvergira

prema x0∈X, onda i niz (xn) konvergira prema x0. Primijetimo da općenito konvergencija nekog podniza ne povlači konvergenciju niza (npr. podniz 1, 1, ... niza 0, 1, 0, 1, ... konvergira, a ipak niz 0, 1, 0, 1, ... ne konvergira).

Tvrdnja 1.1.5. Neka je X potpun metrički prostor. Da bi niz (xn), xn∈X za ∀n∈N, bio konvergentan potrebno je i dovoljno da on bude fundamentalan niz.

8 Dokaz: Zaista, ako je niz konvergentan, onda je prema tvrdnji 1.1.4. on i fundamentalan, a onda je on i konvergentan u potpunom metričkom prostoru, čime je tvrdnja 1.1.5. i dokazana.

1.1.3. Normirani prostori U realnim vektorskim prostorima R2 i R3 definira se intenzitet ( modul ) vektora kao dužina duži kojom je taj vektor predstavljen, odnosno kao rastojanje vrha vektora od ishodišta. Međutim, pojam intenziteta vektora u R2 ili u R3 proširuje se i na vektore u proizvoljnom vektorskom prostoru, tako da imamo sljedeću definiciju. Definicija 1.1.15. Neka je X vektorski prostor nad poljem skalara R ili C. Norma na X je svako preslikavanje || || : X → R, koje zadovoljava sljedeće uslove (aksiome norme) :

(N 1) || x || ≥ 0, || x || = 0 ⇔ x = 0X (0X - neutralni /nula/ element u skupu X ); (N 2) || λ x || = | λ | ⋅ || x || (homogenost norme) ; (N 3) || x + y || ≤ || x || +|| y || (nejednakost trougla),

za sve x, y∈ X i za svaki skalar λ∈R (odnosno λ∈C). Uređeni par (X, || ||) vektorskog (realnog, odnosno kompleksnog) prostora X i norme na X zove se normirani (realni, odnosno kompleksni) (vektorski) prostor.

Vrijednost || x || za x∈X zove se norma vektora x. Polje realnih brojeva R predstavlja vektorski prostor nad samim sobom, pa polje R možemo smatrati realnim normiranim vektorskim prostorom pri čemu se norma proizvoljnog njegovog elementa podudara sa njegovom apsolutnom vrijednosti tog elementa, tj.

|| x || = | x | za ∀x∈R. Primijetimo da se za razliku od metrike, koja se može definirati na proizvoljnom nepraznom skupu, norma definira samo na vektorskim prostorima. Zato su normirani prostori bogatiji svojstvima od metričkih prostora.

Lako se vidi da je funkcija d : X x X → R definirana formulom d (x, y) = || x – y ||, (1.1.5)

gdje je (X, || ||) normirani prostor, metrika na X. Dakle, u svakom normiranom prostoru X sa normom || || može se definirati udaljenost d (x, y) tačaka x, y∈ X formulom (1.1.5), tako da je X metrički prostor sa metrikom d. Iz (1.1.5) imamo da je || x || = d (x, 0). Međutim, obrnuto ne važi u opštem slučaju, tj. ako je na vektorskom prostoru X definirana metrika d, onda funkcija x || x || definirana izrazom || x || = d (x, 0), (x∈X ), ne mora biti norma na X, jer uslovi iz definicije 1.1.15. ne moraju biti ispunjeni. Npr., funkcija d : X x X → R definirana izrazom d(x, y) = 1 ako je x ≠ y i d(x, x) = 0 je metrika na R

a

2, ali d(x, 0) nije norma na R2. Pojam okoline u normiranom prostoru (X, || ||) uvodi se pomoću metrike definirane formulom (1.1.5), a na isti način se definira konvergencija, Cauchyjev niz i ostali pojmovi koje smo definirali u proizvoljnom metričkom prostoru. Npr., otvorena kugla sa središtem u tački x0∈X radijusa r∈R+ definira se kao skup {x∈X : || x – x0|| < r }. Ekvivalentnost normi definira se na isti način kao i ekvivalentnost metrika. Definicija 1.1.16. Za normirani prostor X kažemo da je potpun (ili kompletan) ako svaki Cauchyjev niz (xn) u X konvergira ka nekom elementu x0∈X. Potpun normirani prostor zove se Banachov prostor ili (kratko) B – prostor. Potpun unitarni prostor zove se Hilbertov prostor.

91.1.4. Unitarni prostori. Euklidovi n – dimenzionalni prostori

Definirajmo skup Rn, n∈N : Rn = 444 3444 21puta

x x x n

RRR ⋅⋅⋅ kao direktni proizvod od n – faktora skupa

realnih brojeva, tj. Rn = {(ξ 1, ξ 2, ..., ξ n) : ξ i∈R, i = 1, 2, ..., n} pri čemu svaki element ili tačka x∈ Rn predstavlja uređenu n – torku ili n – slog :

x = (ξ 1, ξ 2, ..., ξ n). Brojevi ξ 1, ξ 2, ..., ξ n su koordinate tačke x. U skupu Rn definira se unutrašnja (binarna) operacija + (koju zovemo zbrajanje ili sabiranje) kao preslikavanje Rn x Rn → Rn, koja je definirana izrazom:

x + y = (ξ 1, ξ 2, ..., ξ n) + (η 1, η 2, ..., η n) = (ξ 1 + η 1, ξ 2 +η 2, ..., ξ n +η n), gdje je x = (ξ 1, ξ 2, ..., ξ n) i y = (η 1, η 2, ..., η n); x i y su proizvoljni elementi iz Rn.

Lako se vidi da uređeni par (Rn, +) predstavlja komutativnu grupu sa neutralnim elementom = 0 = (0, 0, ..., 0) i inverznim elementom – x = (–ξ

nR0 =

1, –ξ 2, ..., –ξ n) za element x = (ξ 1, ξ 2, ..., ξ n).

U skupu Rn se definira i spoljašnja kompozicija puta " ⋅ " koju zovemo množenje realnim brojevima elemenata iz Rn i to kao preslikavanje Rn x Rn → Rn definirano formulom:

λ ⋅ (ξ 1, ξ 2, ..., ξ n) = λ (ξ 1, ξ 2, ..., ξ n) = (λ ξ 1, λ ξ 2, ..., λ ξ n), gdje su λ∈R i x = (ξ 1, ξ 2, ..., ξ n)∈ Rn proizvoljni elementi.

Lako se provjeri da je algebarska struktura (Rn, +, ⋅ ) vektorski prostor nad poljem realnih brojeva R. Elemente iz Rn, tj. uređene n – torke x : = (ξ 1, ..., ξ n), zovemo vektori iz prostora Rn.

U prostoru Rn uvodi se i operacija skalarni proizvod kao preslikavanje: Rn x Rn → R koje uređenom paru vektora x = (ξ 1, ξ 2, ..., ξ n) i y = (η 1, η 2, ..., η n) pridružuje realan broj kojeg označavamo sa (x ; y) (ili sa (x | y) ) a definiran je formulom:

(x ; y) = ∈R. (1.1.6) ∑=

⋅n

i

ii

1 ηξ

Lako se vidi da važe sljedeće osobine skalarnog proizvoda definiranog izrazom (1.1.6): (U 1) (x ; x) ≥ 0 ;

(U 2) (x ; x) = 0 ⇔ x = - neutralni element u prostoru RnR0 ( nR

0 n) ; (U 3) (x ; y) = ( y ; x) (osobina simetrije) ; (U 4) (x1 + x2 ; y) = (x1 ; y) + (x2 ; y) (osobina aditivnosti); (U 5) (λ x ; y) = λ (x ; y) (osobina homogenosti),

gdje su x, y, x1, x2 ∈ Rn i λ∈R proizvoljni elementi. Napomenimo da se skalarni proizvod može definirati i na proizvoljnom vektorskom prostoru. U tom smislu imamo sljedeću definiciju:

Definicija 1.1.17. Unitarnim ili prethilbertovim realnim prostorom naziva se realni vektorski prostor X s preslikavanjem X x X → R koje svakom uređenom paru (x, y) elemenata x,y∈ X pridružuje broj (x ; y)∈R tako da vrijede gore navedena svojstva (U 1) – (U 5). Ovako definirano preslikavanje često se naziva skalarnim množenjem ili skalarnim proizvodom / produktom (ili unutrašnjim proizvodom). Definicija 1.1.18. Unitarni prostor Rn u kome je definiran skalarni proizvod izrazom (1.1.6) naziva se realni n – dimenzionalni Euklidov (euklidski) prostor i često se obilježava sa En ili En. Za dva elementa x, y unitarnog prostora X kažemo da su ortogonalni ili okomiti (normalni) ako je (x ; y) = 0. Primijetimo da je uvijek (x ; 0) = 0 = (0 ; y), (∀x, y∈ X ).

10 Napomenimo da se u slučaju kompleksnog vektorskog prostora X skalarni proizvod definira kao preslikavanje skupa X x X u polje kompleksnih brojeva C za koje vrijede gore navedeni uslovi (U 1), (U 2), (U 4) i (U 5), a uslov (U 3) se zamjenjuje uslovom (U 3)' (x ; y) = ); ( xy ,

gdje z označava kompleksan broj konjugiran broju z. Osnovni primjer kompleksnog unitarnog prostora je prostor Cn = {(ξ 1, ..., ξ n) : ξ i ∈C; i = 1, ..., n}, a standardna formula za skalarni proizvod u Cn glasi

(x ; y) = in

i

i 1

ηξ∑=

, (x = (ξ 1, ..., ξ n), y = (η 1, ..., η n) ∈ Cn).

Za svaki vektor x unitarnog vektorskog prostora X je (x ; x) ≥ 0, pa je potpuno određen nenegativan broj

|| x || : = ) ; ( xx . (1.1.7)

Lako se vidi da je funkcija || || : X → R definirana formulom (1.1.7) norma na X. Prema tome, norma u Euklidovom prostoru Rn zadana je izrazom

|| x || = ( )∑=

n

i

i

1

2 ξ , (1.1.8)

gdje je x = (ξ 1, ξ 2, ..., ξ n), a koja se naziva i kuglinom (sfernom) normom i često označava sa || ||2. Dokažimo da je formulom (1.1.7) definirana norma na X. Zaista, uslovi (N 1) i (N 2) u definiciji pojma normiranog prostora očigledno su zadovoljeni, pa samo treba dokazati da je zadovoljen i uslov (N 3). U tom cilju navedimo bez dokaza sljedeću teoremu. Teorema 1.1.4. (Schwarzova nejednakost)*). U svakom unitarnom vektorskom prostoru X vrijedi nejednakost :

|(x ; y)| ≤ || x || ⋅ || y ||, (1.1.9) gdje su x i y proizvoljni elementi iz X, pri čemu znak jednakosti vrijedi ako i samo ako su vektori x, y linearno zavisni. Iz Schwarzove nejednakosti slijedi poznata Cauchyjeva nejednakost:

( ) ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛≤ ∑∑∑

===

n

i

in

i

in

i

ii

1

2

1

22

1 ηξηξ (1.1.10)

koja važi za proizvoljne realne brojeve ξ 1, ξ 2, ..., ξ n, η 1, η 2, ..., η n . Naime, dovoljno je primijeniti formulu (1.1.9) na vektore x = (ξ 1, ξ 2, ..., ξ n), y = (η 1, η 2, ..., η n) iz Euklidovog prostora Rn.

Dokažimo sada da funkcija || || : X → R definirana izrazom (1.1.7) zadovoljava i uslov (N 3) u definiciji normiranog prostora. Kako je

|| x1 + x2 ||2 = (x1 + x2 ; x1 + x2) = (x1 ; x1) + 2 (x1 ; x2) + (x2 ; x2) = || x1 ||2 + 2 (x1 ; x2) + || x2 ||2 ≤ ≤ || x1 ||2 + 2 |(x1 ; x2)| + || x2 ||2, to primjenom Schwarzove nejednakosti dobijemo

|| x1 + x2 ||2 ≤ || x1 ||2 + 2 || x1 || ⋅ || x2 || + || x2 ||2 = (|| x1 || + || x2 ||)2, što pokazuje da je || x1 + x2 || ≤ || x1 || + || x2 ||, tj. vriejdi (N 3).

Primijetimo da za x1 ≠ 0, x2 ≠ 0 u (N 3) vrijedi znak jednakosti akko postoji λ > 0 takav da je x2 = λ x1. Primjenom nejednakosti trougla (N 3) na Rn dobije se sljedeća nejednakost za proizvoljne realne brojeve ξ 1, ξ 2, ..., ξ n, η 1, η 2, ..., η n:

( ) ( ) ( )∑∑∑===

+≤+n

i

in

i

in

i

ii

1

2

1

2

1

2ηξηξ .

________________ *) Ova nejednakost, pa i njeni specijalni slučajevi: Cauchyjeva nejednakost i nejednakost Bunyakovskog, zove još i nejednakost Cauchy – Schwarz – Bunyakovskog (kratko: CSB ili CBS nejednakost).

11 Iz prethodnog slijedi da je svaki realni unitarni prostor ujedno i normirani, pri čemu se uvijek podrazumijeva da je norma u unitarnom prostoru zadana formulom (1.1.7). No, obrnuto ne vrijedi, jer postoje normirani prostori u kojima se norma ne može dobiti na opisani način ni iz jednog skalarnog proizvoda (x ; y).

Teorema 1.1.5. U realnom unitarnom prostoru X za normu || x || = ) ; ( xx vrijede jednakosti || x + y ||2 + || x – y ||2 = 2 (|| x ||2 + || y ||2) (1.1.11)

(x ; y) = 41 (|| x + y ||2 – || x – y ||2), (x, y∈X ). (1.1.12)

Dokaz: Iz relacija

|| x + y ||2 = (x + y ; x + y) = || x ||2 + 2 (x ; y) + || y ||2, || x – y ||2 = (x – y ; x – y) = || x ||2 – 2 (x ; y) + || y ||2

sabiranjem dobijemo realciju (1.1.11) koja se zove jednakost paralelogramaa, a oduzimanjem dobijemo (1.1.12). Napomenimo da je relacija paralelograma (1.1.11) potreban i dovoljan uslov da bi normirani prostor bio unitaran. Osim primjera (Rn, || ||2), navedimo još neke važne primjene normiranih prostora.

Primjer 1.1.3. Uređeni par (Rn, || ||∞) vektorskog prostora Rn i funkcije || x ||∞ = max {|ξ i| : i∈{1, ..., n}} je normirani vektorski prostor, jer je uslov (N 1) očito ispunjen, a vrijede i uslovi (N 2) i (N 3) budući da je

|| λ x ||∞ = max {|λξ i| : i∈{1, ..., n}} = | λ | ⋅ max {|ξ i| : i∈{1, ..., n}} = | λ | ⋅ || x ||∞,

|ξ i + η i| ≤ |ξ i| + |η i| ≤ max {|ξ i| : i∈{1, ..., n}} + max {|η i| : i∈{1, ..., n}} = || x ||∞ + || y ||∞ ,

odakle je max {|ξ i + η i| : i∈{1, ..., n}} ≤ || x ||∞ + || y ||∞ , pa je || x + y ||∞ ≤ || x ||∞ + || y ||∞ .

Primijetimo da u normiranom prostoru (Rn, || ||∞), n ≥ 2, ne vrijedi jednakost paralelograma (1.1.11). Naime, ako je, npr., x = (1, 0, ..., 0), y = (0, 1, 0, ..., 0), onda je || x ||∞ = 1, || y ||∞ = 1, || x + y ||∞ = 1, || x – y ||∞ = 1, pa očito nije ispunjen uslov (1.1.11). Zato u Rn ne postoji skalarni proizvod (x ; y) takav da se ) ; ( xx podudara s polaznom normom || x ||∞ .

Primjer 1.1.4. Uređen par (Rn, || ||1) vektorskog prostora Rn i funkcije || ||1 : Rn → R zadane formulom || x ||1 = ∑

=

n

i

i

1ξ , x = (ξ 1, ..., ξ n)∈ Rn, je očito normirani prostor koji nema svojstvo

paralelograma (1.1.11).

Za n = 1 je R1 = R i za svaki x∈R je || x ||2 = || x ||∞ = || x ||1 = | x |. Ako u vektorskom prostoru Rn ne specificiramo normu, onda ćemo uvijek podrazumijevati da je

taj prostor snabdjeven (euklidskom) normom || x ||2 = ( )∑=

n

i

i

1

2ξ izevedenom iz skalarnog proizvoda

euklidskog prostora Rn. Naime, || ||∞ i || ||1 u Rn su ekvivalentne normi || ||2. Primjer 1.1.5. U prostoru kompleksnih brojeva C (koji se može smatrati realnim vektorskim prostorom za koji je dim C = 2, jer kompleksni brojevi 1, i čine jednu bazu prostora C, gdje je i imaginarna jedinica) uvodi se norma kao apsolutna vrijednost, tj. za z = ξ +i η je || z || = | z | = = 22 ηξ + . Primijetimo da je i svaki potprostor Y normiranog prostora X takođe normirani prostor u odnosu na normu koja se dobije restrikcijom norme sa prostora X na Y.