1

INTR

OD

UÇ

ÃO

ÀB

IOM

ECÂ

NIC

A T

EÓR

ICA

, A

PLIC

AD

A E

CO

MPU

TAC

ION

AL

Paul

o Pi

loto

Inst

ituto

Pol

itécn

ico

de B

raga

nça

web

: ww

w.ip

b.pt

/~pp

iloto

E.m

ail:

ppilo

to@

ipb.

pt

Cur

so d

e B

iom

ecân

ica

Apl

icad

a à

Med

icin

a D

entá

ria

Facu

ldad

e de

Med

icin

a D

entá

riaU

nive

rsid

ade

do P

orto

23 e

24

de M

arço

de

2007

2

SUM

ÁR

IO

•M

ater

iais

e su

as p

ropr

ieda

des m

ecân

icas

;•

Forç

as e

xter

nas;

•M

omen

to d

e um

a fo

rça

e bi

nário

;•

Leis

da

mec

ânic

a cl

ássi

ca;

•Fo

rças

inte

rnas

;•

Tens

ões n

orm

ais e

de

corte

;•

Tens

ão n

um p

onto

;•

Def

orm

ação

num

pon

to;

•Le

is c

onst

itutiv

as d

os m

ater

iais

;•

Crit

ério

s de

resi

stên

cia;

•Te

nsão

equ

ival

ente

;•

Mod

elos

com

puta

cion

ais d

e ap

roxi

maç

ão e

m b

iom

ecân

ica.

3

MA

TER

IAIS

E S

UA

S PR

OPR

IED

AD

ES•

Def

iniç

ão d

e pr

oprie

dade

s mec

ânic

as:

–ca

ract

erís

ticas

intrí

nsec

as d

o m

ater

ial q

ue d

epen

dem

da

com

posi

ção

mol

ecul

ar,

e do

arr

anjo

est

rutu

ral.

•ex

: Alu

mín

io, T

itâni

o, a

ço in

oxid

ável

, tec

ido

osso

, lig

amen

to, e

tc.

4

DET

ERM

INA

ÇÃ

O D

AS

PRO

PRIE

DA

DES

MEC

ÂN

ICA

S

•A

s ca

ract

erís

ticas

m

ecân

icas

do

s m

ater

iais

sã

o de

term

inad

as

expe

rimen

talm

ente

, ut

iliza

ndo

ensa

ios

norm

aliz

ados

.•

Res

ulta

dos

expr

esso

s em

fun

ção

da f

orça

med

ida

e do

de

sloc

amen

to m

edid

o.•

Res

ulta

dos

para

o

mes

mo

mat

eria

l, co

m

geom

etria

di

fere

nte. L

1

L2=

L1

A1 A2

A3=

A2

Geom.1

Geom.2

Geom.3

L3

Mes

mo

mat

eria

lM

ater

ial d

ifere

nte

Mes

mo

mat

eria

l

E

AEFLl

LlE

AFE

=∆

⇔∆

=⇔

=ε

σF

F

FF

FF

5

DET

ERM

INA

ÇÃ

O D

AS

PRO

PRIE

DA

DES

MEC

ÂN

ICA

S•

Ensa

ios d

e la

bora

tório

con

duze

m a

resu

ltado

s dife

rent

es.

–Fu

nção

do

tipo

de m

ater

ial

MET

AIS

POLÍ

MER

OS

CER

ÂM

ICO

S

Trac

ção

José

Hen

rique

RU

BO

, Eds

onA

ntôn

ioC

apel

loSO

UZA

; “M

étod

os

com

puta

cion

ais a

plic

ados

àbi

oeng

enha

ria: s

oluç

ão d

e pr

oble

mas

de

car

rega

men

to e

m p

róte

ses s

obre

impl

ante

s”; R

ev. F

obV.

9,

N.3

/4, P

.97-

103,

Jul

./Dez

. 200

1

Raq

uel S

. Lot

ti, A

ndré

Wils

onM

acha

do, Ê

nio

Tona

niM

azzi

eiro

, Ja

nes

Land

reJú

nior

;

“Apl

icab

ilida

de

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tífic

a do

mét

odo

dos

elem

ento

s fin

itos”

; R D

enta

l Pr

essO

rtodo

nO

rtop

Faci

al, M

arin

gá, v

. 11,

n. 2

, p. 3

5-43

, mar

./abr

il20

06.

Mat

eria

is is

otró

pico

sM

ater

iais

isot

rópi

cos

Mat

eria

is o

rtot

rópi

cos

6

DET

ERM

INA

ÇÃ

O D

AS

PRO

PRIE

DA

DES

MEC

ÂN

ICA

S

•En

saio

s de

labo

rató

rio c

ondu

zem

a re

sulta

dos d

ifere

ntes

.–

Funç

ão d

o tip

o de

mat

eria

l

Ren

ato

Cam

argo

; “A

nális

e co

mpa

rativ

a pe

lo m

étod

o do

s el

emen

tos

finito

s bi

dim

ensi

onal

das

tens

ões

gera

das

nas

estru

tura

s de

sup

orte

de

pró

tese

par

cial

rem

oviv

elda

ext

rem

idad

e liv

re i

nfer

ior

sobr

e re

bord

o re

sidu

al a

scen

dent

e di

stal

e de

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dent

e di

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”; d

isse

rtaçã

o ap

rese

ntad

a à

Facu

ldad

e de

odo

ntol

ogia

da

Uni

vers

idad

e de

São

Pa

ulo

para

obt

ençã

o do

títu

lo d

e m

estre

, B

rasi

l, 20

05

Mat

eria

is is

otró

pico

s

Oss

o es

ponj

oso

Fibr

omuc

osa

Lig

amen

to P

erio

dont

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Oss

o co

rtic

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Den

tina

Esm

alte

Den

tina

Esm

alte

Den

tina,

mic

rosc

opia

ele

trón

ica

7

OU

TRO

S EN

SAIO

S•

Apl

icaç

ões e

m m

edic

ina

dent

ária

:–

Nor

ma

ISO

687

2 de

fine

as re

gras

par

a en

saio

de

mat

eria

is e

m fl

exão

.–

Nor

ma

ISO

114

05 e

ISO

740

5 aj

udam

a d

eter

min

ar a

ten

são

de a

derê

ncia

ent

re

dois

mat

eria

is (o

pera

ções

de

rest

auro

den

tário

).

Shea

rad

hesi

onfix

ture

8

FOR

ÇA

•

Gra

ndez

a ve

ctor

ial:

–A

mpl

itude

, dire

cção

e se

ntid

o.•

Car

acte

rizaç

ão:

–Po

nto

de a

plic

ação

, lin

ha d

e ac

ção.

•A

plic

açõe

s:

–O

rtodo

ntia

, inc

linaç

ão tr

ansl

ação

, int

rusã

o, e

xtru

são

e ou

rota

ção.

•U

nida

des S

I: [N

]–

9,81

[N]=

1 [k

g] x

9,8

1[m

/s2 ]

F=

mx

g–

A u

ma

mas

sa d

e 1

[kg]

, cor

resp

onde

um

a fo

rça

de 1

[kgf

], eq

uiva

le a

9,8

1 [N

].

* V

alor

es q

ue d

epen

dem

do

tam

anho

do

dent

e. V

alor

es in

ferio

res p

ara

inci

sivo

s e v

alor

es

supe

riore

s par

a de

ntes

mul

tirai

z(p

oste

riore

s).

10-2

0 / ~

0.10

-0.2

0in

trusã

o

35-6

0 / ~

0.35

-0.6

0Ex

trusã

o

35-6

0 / ~

0.35

-0.6

0R

otaç

ão

50-1

00 /

~0.5

0-1.

00En

dire

itar r

aiz

70-1

20 /

~0.7

0-1.

20Tr

ansl

ação

35-6

0 /

~0.3

5-0.

60In

clin

ação

(tra

nsl.+

rota

.)

Forç

a [g

f] /

[N]*

Tip

os d

e m

ovim

ento

s

Orto

dont

ia d

e m

ovim

ento

dos

den

tes –

forç

as ó

ptim

as

intr

usão

extr

usão

extr

usão

Forç

a

9

FOR

ÇA

S EX

TER

NA

S

•Ex

empl

o de

apl

icaç

ão d

e fo

rças

ext

erna

s:–

Forç

as e

xter

nas i

ntra

-ora

l;–

Forç

as e

xter

nas e

xtra

-ora

l;–

Forç

as d

e oc

lusã

o;–

Forç

as d

e m

astig

ação

.

10

FOR

ÇA

S EX

TER

NA

S D

E M

AST

IGA

ÇÃ

O•

Forç

as d

e m

astig

ação

det

erm

inad

as

expe

rimen

talm

ente

, ut

iliza

ndo

célu

la

de

carg

a,

com

di

scos

de

pl

ástic

o.

•Fo

rças

máx

imas

for

am r

egis

tada

s at

ravé

s dos

pic

os d

os h

isto

gram

as.

Edua

rdo

Piza

PEL

LIZZ

ER,

Ant

onio

MU

ENC

H;

“For

ças

de m

ordi

da

rela

cion

adas

a

prót

eses

pa

rcia

is

rem

ovív

eis

infe

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s”;

Rev

ista

de

O

dont

olog

ia

da

Uni

vers

idad

e de

Sã

o Pa

ulo,

IS

SN01

03-0

663;

Rev

Odo

ntol

Uni

vSã

o Pa

ulo,

v.1

2n.

4, S

ão P

aulo

, Out

./Dez

. 199

8.

11

Cen

tro

de

resi

stên

cia

Áre

a de

co

mpr

essã

o

Dia

gram

a de

car

gaFo

rça

d

MO

MEN

TO D

E U

MA

FO

RÇ

A E

BIN

ÁR

IO•

Gra

ndez

a ve

ctor

ial:

–A

mpl

itude

, dire

cção

e se

ntid

o.•

Car

acte

rizaç

ão d

e bi

nário

: –

Dua

s fo

rças

, com

sen

tidos

opo

stos

e li

nha

de a

cção

não

so

brep

osta

.•

Apl

icaç

ões:

–So

luçõ

es d

e al

avan

ca c

riada

s pa

ra p

rovo

car

mov

imen

to

de d

ente

s, et

c.•

Uni

dade

s SI:

[Nm

]•

Expr

essã

o de

cál

culo

de

um m

omen

to d

e um

a fo

rça:

•Ex

pres

são

de c

álcu

lo d

e m

omen

to d

e bi

nário

:

O

F

Fr

MF O

rr

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×=

⇒()

braç

oF

Fr

MF O

rr

rr

r

==

θsi

n

()

dF

MF

F Qua

lque

r

rr

rr

=−

+

12

MO

MEN

TO D

E U

MA

FO

RÇ

A E

BIN

ÁR

IO

•U

m b

inár

io p

rodu

z ro

taçã

o pu

ra. A

tend

ênci

a pa

ra tr

ansl

ação

éca

ncel

ada.

13

LEIS

DA

MEC

ÂN

ICA

CLÁ

SSIC

A•

Equi

líbrio

de

corp

os:

–1ª

Lei d

e N

ewto

n, a

plic

ada

no e

quilí

brio

est

átic

o de

cor

pos;

–2ª

Lei d

e N

ewto

n, a

plic

ada

no e

quilí

brio

din

âmic

o de

cor

pos;

–3ª

Lei d

e N

ewto

n, e

stab

elec

e o

prin

cípi

o da

acç

ão re

acçã

o.F

-F

Sir

Isaa

c N

ewto

n(1

643-

1727

)

0M

e

0

n 1=i

F P1

ir

rr

rr

==

∑∑ =n i

iF

∑ =

=n i

cmaM

F1

.rr

cm

n icm

HM

&rr

=∑ =1

e

14

FOR

ÇA

S IN

TER

NA

S vs

FOR

ÇA

S EX

TER

NA

S•

Dep

ende

do

sist

ema

que

se c

onsi

dera

r (D

ente

): –

Exte

rnas

: for

ças a

plic

adas

e re

activ

as;

–In

tern

as: f

orça

s exe

rcid

as p

or p

arte

do

sist

ema

na p

arte

com

plem

enta

r.

forç

a 1

forç

a 2

forç

a 1

forç

a 2

forç

as in

tern

as

forç

as e

xter

nas

forç

as e

xter

nas

15

(pho

to c

ourte

sy P

.M. A

nder

son)

TEN

SÃO

NO

RM

AL

•Te

nsão

nor

mal

:–

Rep

rese

nta

a in

tens

idad

e da

for

ça i

nter

na,

na d

irecç

ão

norm

al à

supe

rfíc

ie, d

istri

buíd

a so

bre

uma

área

.–

Tend

em a

pro

duzi

r al

tera

ção

de v

olum

e no

mat

eria

l (ex

: pr

essã

o hi

dros

tátic

a),

send

o re

sist

idas

pelo

va

lor

do

mód

ulo

de e

last

icid

ade

“E”

e pe

lo v

alor

do

coef

icie

nte

de

Pois

son

“υ“.

dAdFAF

A=

∆∆=

→∆

0lim

σ

P∆F

∆A

APm

ed=

σ

16

TEN

SÃO

DE

CO

RTE

•Te

nsão

de

corte

:–

Inte

nsid

ade

das

forç

as

inte

rnas

qu

e ac

tuam

na

di

recç

ão p

aral

ela

ou ta

ngen

cial

ao

plan

o em

aná

lise.

–Te

ndem

a p

rodu

zir a

ltera

ção

de fo

rma,

sem

alte

rar o

re

spec

tivo

volu

me,

sen

do r

esis

tidas

pelo

mód

ulo

de

corte

“G

”.

dAdFAF

A=

∆∆=

→∆

0lim

τ

APm

ed=

τ

P

∆F

∆A

17

REP

RES

ENTA

ÇÃ

O D

O E

STA

DO

DE

TEN

SÃO

UM

PO

NTO

•Te

nsor

:–

serv

e pa

ra re

pres

enta

r o e

stad

o de

tens

ão n

um p

onto

;–

utili

za o

con

ceito

de

infin

itési

mo

“dV

”;–

poss

ui 9

com

pone

ntes

de

tens

ão, 6

inde

pend

ente

s.–

Poss

ívei

s de

ser

em c

alcu

lada

s, at

ravé

s da

med

ição

das

de

form

açõe

s.–

Tens

ões

defin

idas

num

pla

no in

tern

o sã

o de

com

post

as e

m

3 co

mpo

nent

es m

utua

men

te o

rtogo

nais

.

[]

⎥⎥⎥ ⎦⎤

⎢⎢⎢ ⎣⎡

=

zzzy

zx

yzyy

yx

xzxy

xx

στ

ττ

στ

ττ

σσ

zzσ Fa

ce p

erpe

ndic

ular

a Z

Dir

ecçã

o Z

xyτ Face

per

pend

icul

ar a

X

Dir

ecçã

o Y

X

Y

Z

στ

18

DEF

OR

MA

ÇÕ

ES N

OR

MA

IS•

Def

orm

açõe

s nor

mai

s:–

gran

deza

adi

men

sion

al;

–m

ede

o qu

ocie

nte

entre

o a

long

amen

to e

o

com

prim

ento

inic

ial.

–N

ote:

–em

term

os in

finite

sim

ais:

LL∆=

ε

222

111

LLLL

∆=

≈∆

=ε

ε

dxdx

dx−

='

εx’

dx’

xdx

FF

u

xx

u−

='

dxdu=

ε

A

L1

FF

L2

L1+∆L1

B

C D

A’

B’

C’

D’L2+∆L2

19

•D

efor

maç

ões d

e co

rte:

–gr

ande

za a

dim

ensi

onal

;–

em te

rmos

infin

itesi

mai

s, a

com

pone

nte

do te

nsor

repr

esen

ta u

ma

méd

ia d

a de

form

ação

de

corte

;

–em

term

os in

finite

sim

ais,

a de

form

ação

de

corte

de

enge

nhar

ia re

pres

enta

o

valo

r tot

al d

a de

form

ação

de

corte

;

–N

ote:

Par

a pe

quen

as d

efor

maç

ões;

DEF

OR

MA

ÇÕ

ES D

E C

OR

TE

F

F

⎥ ⎦⎤⎢ ⎣⎡

∂∂+

∂∂=

yuxv

xy21

ε

yuxv

xy∂∂

+∂∂

=γ

ld=

γ

20

REP

RES

ENTA

ÇÃ

O D

O E

STA

DO

DE

DEF

OR

MA

ÇÃ

O N

UM

PO

NTO

•Te

nsor

:–

serv

e pa

ra re

pres

enta

r o e

stad

o de

def

orm

ação

num

pon

to;

–ut

iliza

o c

once

ito d

e in

finité

sim

o “d

V”;

–po

ssui

9 c

ompo

nent

es d

e de

form

ação

, 6 in

depe

nden

tes.

–po

ssív

eis d

e se

rem

med

idas

(ext

enso

met

ria, m

étod

os ó

ptic

os, e

tc.).

[]⎥⎥⎥ ⎦⎤

⎢⎢⎢ ⎣⎡

=

zzzy

zx

yzyy

yx

xzxy

xx

εε

εε

εε

εε

εε

defo

rmad

o

não

defo

rmad

o

21

LEIS

CO

NST

ITU

TIV

AS

DO

S M

ATE

RIA

IS

•R

elaç

ão e

ntre

tens

ão e

def

orm

ação

:–

deve

re

laci

onar

6

com

pone

ntes

de

de

form

ação

co

m

6 co

mpo

nent

es d

e te

nsão

;–

no c

aso

de m

ater

iais

bio

lógi

cos,

deve

ser

con

side

rado

o

com

porta

men

to a

niso

trópi

co d

o m

ater

ial e

a v

isco

elas

ticid

ade;

–es

ta re

laçã

o de

verá

ser m

edid

a em

labo

rató

rio.

Rob

ert H

ooke

(163

5-17

03)

Thom

asY

oung

(177

3-18

29)

Sim

éon-

Den

is

Pois

son

(178

1-18

40)

⎪⎪⎪⎪ ⎭⎪⎪⎪⎪ ⎬⎫

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