PCSI – Mécanique Quantique 1 2014-15

Introduction au monde quantique

I. Dualité onde - corpuscule

a) Aspect corpusculaire de la lumière (ondes électromagnétiques) ; le photon

Effet photoélectrique (A. Einstein, 1905)

– La photocathode est éclairée par de la lumière monochromatique de longueur d'onde λ connue. L’énergie d'un photon transféré à un électron est E = hν . ν est la fréquence de l'onde :ν = c /λ , c est la vitesse de la lumière. On considère un « choc élastique » entre la lumière et

l'électron.

– L'énergie d'extraction nécessaire pour faire sortir un électron de la cathode est W 0 . L'électron qui sort à donc l'énergie E−W 0 au niveau de la cathode.

– Pour qu'il y ait un courant dans le circuit, il faut que les électrons sortis de la cathode puissent arriver à l'anode. Pour cela leur énergie doit vérifier : E−W 0 ≥ eV avec V la différence de potentiel entre l'anode et la cathode. Le potentiel d'arrêt V 0 est la plus petite valeur possible de V pour qu'il y ait un courant : E−W 0 = eV 0 , ainsi E = hν = eV 0+W 0

– Expérimentalement on éclaire la photo cathode avec différente de la lumière monochromatique de fréquence ν . On refait l'expérience pour différente sources lumineuse (différentes valeurs de ν ). Pour chaque ν , on détermine V 0 qui est la plus petite valeur du potentiel V pour laquelle il y a du courant dans le circuit.

– La pente de la courbe V 0 en fonction de ν , permet de déterminer expérimentalement h appelé constante de Planck.

– Soit ν0 la plus petite fréquence qui peut produire un courant : h ν0 = W 0 .

L'existence de cette fréquence minimale montre que les échanges d'énergie entre la lumière et la matière ne se font pas de manière continue. Ils sont quantifiés et donc l'énergie est aussi quantifiée.

E = hν = eV0 + W0

Relation d’Einstein (1905)E = hν

Le rayonnement est quantifié : la lumière est constituée de « grains » élémentaires (appelés photons en 1926) d’énergie hν

0

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Photon : « particule de lumière indivisible » : relations de Planck-Einstein (1905) :

Énergie d'un photon E = hν = ℏω avec la constante de Planck h = 6,626 . 10-34 Js et ℏ=h

2la pulsation de l'onde

la fréquence de l'onde =1T

, période T

Impulsion (quantité de mouvement) : p =Ec

=hλ avec la longueur d'onde

c est la vitesse de la lumière : λ = c T =cν

En relativité restreinte (Einstein) l'énergie E, d'une particule de masse m, vérifie : E2= c2 p2

+ m2 c4 , pour un photon sans masse on a donc : E2

= c2 p2 .

b) Aspect ondulatoire de la matière

Expérience de diffraction de particules de matière de masse m et de quantité de mouvement p

L’expérience de diffraction avec des électrons C. Davisson et L. Germer, G. Thomson (1927)

Relation de de Brog l ie (1924) : B =hp

Une onde de matière, de longueur d'onde B , est associée à chaque particule de masse m et de quantité de mouvement p

Si la particule de matière est non relativiste, c'est à dire si sa vitesse V est V ≪c , alors p = mV

et B =h

mV.

Une particule est dite « quantique » si sa longueur d'onde de Broglie est de l'ordre de grandeur ou supérieure à sa taille.

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II. Interprétation probabiliste : Notion fonction d'onde

a) Expérience des fentes de Young (interférence), « particule par particule » : interprétation probabiliste

L’expérience des fentes d’Young avec des électrons 1961 : avec un faisceau d’électrons (C. Jönsson)1976 : avec des électrons envoyés un par un (P. Merli et al.)2012 : avec des molécules de + de 100 atomes (M. Arndt et al.)

(La même expérience peut être faite avec des photons)

Pour une onde (lumière), on observe des franges d'interférence :– ondes en phase : lumière + lumière = 4 x lumière (franges claires)– ondes en opposition de phase : lumière + lumière = 0 (franges sombres)

On n'observe pas les interférences si ≪ b où b est la distance entre les deux fentes.

Si on envoie les particules une par une, elles arrivent sur l'écran en des points différents avec une probabilité qui correspond aux franges claires est sombres des ondes.

b) L'état d'une particule quantique est décrite par une fonction d'onde position ,temps .La probabilité de présence de la particule à une position donnée et à un temps fixé est proportionnelle au carré de la fonction d'onde.

A une dimension : x , t :La probabilité de présence de la particule entre x et x + dx à l'instant t est : x , t dx

c) Effet de la mesure (hors programme ?) :

Le fait de mesurer une grandeur physique d'un système change l'état de ce système.

Exemple : Fentes de Young : si on cherche à mesurer par quelle fente passe le photon (ou la particule quantique), on n'observe pas d'interférences.

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II. Inégalité de Heisenberg spatiale

a) Indétermination quantique :

Soit une grandeur physique g. • Moyenne de g : ⟨g ⟩

• Écart quadratique moyen : g = ⟨g−⟨g ⟩2⟩ = ⟨ g2

⟩−⟨g ⟩2 . g mesure la dispersion des résultats possibles de g. En mécanique quantique c'est l'indétermination quantique de g.

Remarque : l'indétermination quantique n'est pas une incertitude de mesure de g.

Lorsque la grandeur g est mesuré la probabilité p(g) de trouver la valeur g est (schématiquement)

b) Inégalité de Heisenberg spatiale : px x ≥ ℏ avec ℏ =h

2= 1,054 10−34 Js

p px ; py ; pz est la quantité de mouvement (impulsion) et x la position de la particule quantique.

Dans les direction y et z on a aussi : py y ≥ ℏ et pz z ≥ ℏ

Analogie avec la diffraction des ondes lumineuses (pour retrouver l'inégalité de Heisenberg) :

Avant la fente : p0=px0 ux Après la fente : p=px ux py uy avec py≪px donc p≃px≃p0

ainsi ≃ tan = p y

px

≃ py

p

L'aspect ondulatoire de la particule quantique impose : p =h

Au passage de la fente la particule quantique est confinée dans la direction y donc y = a .

⟨g ⟩g

pg

g

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De plus la diffraction des ondes montre que ≃

a

d'après les équations précédentes : ≃

a≃ py

p= p y

h avec y = a , il vient : h≃ y py

Remarque : ce n'est pas une démonstration, mais uniquement un analogie pour comprendre.

c ) Énergie minimale d'un puits d'énergie potentielle infini (à une dimension)

Considérons une particule quantique dont la position est confinée entre x = 0 et x = L.

Position moyenne de la particule : x0 =L2

et impulsion moyenne : p0 = 0 .

Le confinement de la particule impose que x ≤ L .

Énergie cinétique : Ec =12

m V 2=

p2

2m car p = mV

Énergie potentielle : Epot=0 (constante)

Ainsi l'énergie de la particule est : E = E c Epot =p2

2m 0 =

p2

2m

La valeur minimale de l'énergie (état fondamental) est donc obtenue pour la valeur minimale de p2 ,

avec d'après l'égalité de Heisenberg p ≥ℏ

xmin or xmin=L donc E0 ≃

ℏ2

2 m L2 .

Remarque : Le cas d'une particule classique (c'est à dire lorsqu'on peut négliger les effets quantiques) correspond à l'approximation ℏ≃0 . Dans ce cas on retrouve bien : E0=0 .

d ) Énergie minimale d'un oscillateur harmonique quantique (à une dimension)

Oscillateur harmonique à 1 dimension = système dont l'énergie potentielle est similaire à l'énergie

potentielle d'un ressort à une dimension : Epot =12

k x2 avec x = l−l0

l = élongation du ressort, l0 = longueur à vide du ressort.

Énergie cinétique : Ec =12

mV 2=

p2

2m car p = mV

Énergie d'un oscillateur harmonique : E = Ec + E pot =p2

2m+

12

k x2

Les valeurs moyennes de l'impulsion et de la position sont : px0=0 et x0=0 .

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Pour trouver l'énergie minimale du système on cherche une solution telle que px x ≃ ℏ

Soit px ≃ px ≃ ℏ/x et E ≃ℏ

2

2 m x2

12

k x2

Le minimum d’énergie correspond à : d Ed x

= 0 soit x2=

ℏ

kmainsi l'énergie minimum (état fondamental) de l'oscillateur harmonique est : E0 ≃ ℏ0

avec 0= km

.

Le calcul exact (en mécanique quantique) donne En ≃ ℏω0( n+12 ) avec n entier positif.

Remarque : Il est possible de montrer (en utilisant les développements limités) que beaucoup de systèmes physiques sont équivalents à un oscillateur harmonique lorsque ses systèmes est au voisinage d'un équilibre stable.

III. Quantification de l'énergie d'une particule libre confinée à une dimension.

Particule à une dimension confinée entre x = 0 et x = L.

La probabilité de présence de la particule est nulle en dehors de [0;L], donc la fonction d'onde de la particule vérifie x , t =0 pour x∈ ]−∞ ;0 ]∪[ L ;∞ [ .

Image simple pour comprendre la quantification des niveaux d'énergie quantique : La fonction d'onde se comporte comme les ondes stationnaires d'une corde vibrante.

Onde stationnaire d'une corde vibrante : L = nn

2 , n entier non nul.

Donc les longueurs d'onde possibles sont n =2Ln .

L=

2

L=2

2=

L=3

2

L=4

2=2

Énergie de la particule quantique : E = E c Epot =p2

2m 0 =

p2

2m de plus =

hp .

la longueur d'onde étant quantifiée, l'énergie est aussi quantifiée :

En = p2

2m=

h2

2mn2 =

h2

8m L2 n2 avec n entier non nul. (résultat exact)

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Annexe : Quelques r epères historiques :

• 7ème siècle avant J.C. : Thalès de Milet : Corps électrisésSi l'on frotte de l'ambre, il attire de petits objets. L'ambre est donc un corps « électrisé »

• Début 18ème siècle : Dufay (1698-1739) : 2 types d'électricité : positive et négative « Des objets frottés contre de l'ambre se repoussent, ainsi que des objets frottés contre une baguette de verre, mais les objets frottés avec de l'ambre attirent ceux frottés avec le verre. »

• 1785 : Charles-Augustin Coulomb (1736-1806) : Loi élémentaire (force de Coulomb).

• Début 19ème siècle André-Marie Ampère (1775-1836) : Relation entre magnétisme et électricité. Force entre deux fils parcourus par un courant. Définition de l'Ampère (unité de courant).

• 1931 Michael Faraday (1791-1867) et 1934 Heinrich Lenz (1804-1865) : Induction. Loi de Lenz, force électromotrice. Cage de Faraday.

• 19ème siècle Carl Friedrich Gauss (1777-1855) : Théorème de Gauss. Il n'existe pas de monopôle magnétique.

• 19ème siècle : James C. Maxwell (1831-1879) : Équations unifiées de l'électromagnétisme (équations de Maxwell ou Maxwell-Lorentz).

• 1900 : Max Planck (1858-1947) : Quantification des échanges d'énergie avec la matière (corps noir).

• 1905 : Albert Einstein (1879-1955) : Théorie corpusculaire de la lumière (photon), effet photoélectrique.

• 1905 : Albert Einstein (1879-1955) : Théorie de la relativité restreinte.

1905 : Henri Poincaré (1854-1912) : Transformation de Lorentz. Les équations de Maxwell, qui ne sont pas compatibles avec la mécanique classique (Newton), sont compatibles avec la relativité restreinte.

• Début 20ème siècle : Hendrik A. Lorentz (1853-1928) : Force électromagnétique (force de Lorentz).

• 1910 : Expérience de Robert A. Millikan (1868-1853) : Les charges des ions sont des multiples entiers d'une charge élémentaire e = 1,60217646×10−19 C.

• 1911 : Expérience de Ernest Rutherford (1871-1837) : Les atomes (taille ~10-10 m = 1 Angström) sont constitués d'un noyau positif, très petit (~10-15 m), entouré d'électrons.

• 1913 : Niels Bohr (1885-1962) : 1 er modèle atomique quantique . Les orbites des électrons autorisées (possibles) correspondent à des énergies quantifiées des atomes. D'après la mécanique quantique ce modèle n'est pas correct, mais il donne les bons ordres de grandeur des énergies d'un atome.

• 1924 : Louis de Broglie (1892-1987) : D ualité onde-corpuscule (pour la matière)

• 1926 : Erwin Schrödinger (1887-1961) : Une particule quantique (électron, proton, ions ...) est modélisée comme une onde qui détermine une « probabilité de présence » de la particule.

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